Lorenzt Uzayında Spacelike İnvolüt B-Scroll Üzerine. Süleyman ŞENYURT. Ordu Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü ORDU

Transkript

1 Ordu Üni. Bil. Tek. Derg. Cilt:4 Sayı: /Ordu Uni. J. Si. Teh. Vol:4 No: ÖZET Lorenzt Uzayında Spaelike İnolüt B-Sroll Üzerine Süleyman ŞENYURT Ordu Ünieritei Fen-Edebiyat Fakültei Matematik Bölümü ORDU Bu çalışmada paelike eğrii time eğriinin bir inolütü olarak alındığında paelike inolüt eğriinin Frenet ektörleri eğrilik e toriyonu timelike eğriinin Darboux ektörü ile B binormal ektörü araındaki lorentzian açıına bağlı olarak erildi. Bu durumda inolüt eğri boyuna oluşan B-roll un şekil operatörüne karşılık gelen matri Gau eğriliği ortalama eğriliği I. e II. temel formları yeniden heaplandı. Mathemati Subjet Claifiation: 5A04 Anahtar Kelimeler: B-roll paelike inolüt B-roll On Spaelike Inolute B- Sroll a New View Süleyman ŞENYURT Ordu Unierity Faulty of Art and Siene Department Of Mathemati ABSTRACT In thi paper when i onidered a the paelike inolute of the timelike ure Frenet etor urature and torion of are gien repetiely depending on the angle whih i betwen Darboux etor and B binormal etor of ure. In thi ae matrix orreponding to the tranformation weingarten Gauian and mean urature I. and I. fundamental form of B roll generated by inolute ure hae been alulated. Mathemati Subjet Claifiation: 5A04 Keyword: B-roll paelike inolute B-roll 10

2 Lorenzt Uzayında Spaelike İnolüt B-Sroll Üzerine 1.GİRİŞ Bir parametreye bağlı dogrular aileinin geometrik yeri bir regle yüzey olarak bilinmektedir lı yıllardan itibaren regle yüzeyler üzerinde birçok bilim adamı çalışmalar yapmaya başlanmış e198 de Sabunuoğlu Genelleştirilmiş Regle Yüzeyler üzerine iimli doçentlik tezi hazırlayarak bu yüzeylerin özeliklerini ineledi. Regle yüzeyler için yapılan çalışmalar Lorentz (Minkowki) uzayında da yapıldı. Turgut boyutlu Lorentz uzayında timelike e paelike regle yüzeyler ile bunlara ait boğaz noktaı dağılma parametrei e açılabilir regle yüzey karamları üzerinde durdu [1]. Grae dayanak eğrii null olan bir eğri boyuna binormal ektörün hareketiyle oluşan timelike regle yüzeyleri B roll olarak tanımladı [7]. Bundan onra Ekmekçi e İlarlan Lorentz uzayında eğrilerin Frenet formüllerini heapladı[6]. Balgetir n boyutlu Lorentz uzayında genelleştirilmiş null roll lar üzerinde çalıştı []. 006 da Kılıçoğlu n boyutlu Lorentz uzayında timelike e paelike B roll ların şekil operatörüne karşılık gelen matrii Gau eğriliğiortalama eğriliği aimptotik çizgileri I. e II. temel formları heapladı[9]. Özüağlam e arkadaşları Minkowki -uzayında B-Sroll yüzeylerinin genişletilmişi e B-Sroll yüzeylerinin KII ikini Gauian eğriliği e ortalama eğriliğini heapladı [16]. Şenyurt inolüt eğri boyuna oluşan B-roll un Gau eğriliği ortalama eğriliği I. e II. temel formları eolüt eğriinin Darboux ektörü ile B binormal ektörü araındaki açıya bağlı olarak erdi [1]. 1 1 g : IR IR IR g X Y x y x y x y şeklinde tanımlı fonkiyona Lorentz metriğiir g ikiliine -boyutlu Lorentz uzayı denire IL ile göterilir.bir X IL ektörü için; i) g( X ) X 0 eya X 0 ie X ektörüne paelike ektör (uzay benzeri) ii) g( X ) X 0 ie X ektörüne timelike ektör (zaman benzeri) iii) g( X ) X 0 ie X ektörüne lightlike eya null ektör (ışık benzeri) denir.bir X IL ektörünün normu X IL g X X şeklinde tanımlanır. X ( x1 x) x e Y ( y1 y) y IL olmak üzere X Y ( x y x y x y x y ) x y x y

3 S. Şenyurt ektörüne X e Y nin ektörel çarpımı denir(akutugawa and Nihikawa 1990). : I IL difereniyellenebilireğriininfrenetçatııt N B olun. B binormal ektör ile ektörü araındaki Lorentzian açı ile göterilin. a) timelike ie Frenet formülleri T N N T B B N şeklinde([15] [6]) ani dönme ektörü 1. T N B N B T e B T N olmak üzere T B 1. şeklinde [14] b) paelike binormalli paelike ie Frenet formülleri T N N T B B N şeklinde [15] ani dönme ektörü T N B N B T e B T N olmak üzere 1.4 T B 1.5 şeklinde [14] ) timelike binormalli paelike ie Frenet formülleri T N N T B B N şeklinde [15] ani dönme ektörü de T N B N B T e B T N olmak üzere 1.6 T B 1.7 şeklinde bulunur [14]. 1

4 Lorenzt Uzayında Spaelike İnolüt B-Sroll Üzerine IL boyutlu Lorentz uzayında bir yüzey M olun. M yüzeyi üzerine indirgenmiş metrik Lorentz metriği ie M ye timelike yüzey denir ([] [1]). I IL e I IL eğrileri erilmiş olun. eğriinin teğet doğruları eğriinin teğet doğrularına dik oluyora eğriine eğriinin bir inolütü denir e inolüt eğrinin denklemi T IR 1.8 şeklinde yazılır. Burada bt I 8. Teorem 1.1: I IL paelike eğrii I IL timelike eğriinin bir inolütü olun. e eğriinin eğrilikleri ıraıyla e e ile göterilire bu eğrilikler araında bağıntıı ardır [5]. N paelike N timelike Teorem 1.: I IL paelike eğrii 1.9 I IL timelike eğriinin bir inolütü olun. e eğrilerinin Frenet çatıları ıraıyla T N B T N B ile göterilin. eğriinin B binormal ile araındaki Lorentzian açı olmak üzere bu çatılar araında a) paelike ie e Darboux ektörü T N B N oh = inh oht inhb inht ohb

5 S. Şenyurt a) timelike ie inh = oh T N B bağıntıı ardır [4]. N inht ohb oht inhb Şekil 1Darboux ektörü : I IL timelike birim hızlı eğriinin Frenet ayaklıı { T N B} olun. B paelike binormal ektörü tarafından üretilen regle yüzeye B roll denir e denklemi u ub 1.14 şeklinde yazılır [7]. Bu yüzeyin birim normali N şekil operatörüne karşılık gelen matri S Gau eğriliği K e ortalama eğriliği H ile göterilin. Bu durumda N u T N u S u 1 u 1 0 u 1 u u

6 Lorenzt Uzayında Spaelike İnolüt B-Sroll Üzerine K det S u H İzS u u u I. e II. temel formları ıraıyla I e II ile göterilire bu formların matriel ifadeleri ıraıyla u 1 0 I II şeklinde bulunur [10]. u 1 u 1 0 u 1 u u 1.0. Lorenzt uzayında Spaelike inolüt B-roll üzerine I E paelike eğrii durumda paelike inolüt B-roll' un denklemi I E timelike eğriinin bir inolütü olun. Bu u B şeklinde yazılır. Burada e B ın yerine ıraıyla karşılıkları yazılıra bu denklem e1.1 den inh T oh B paelike oh T inh B timelike olur. Teorem.1: I E paelike eğrii I E timelike eğriinin bir inolütü olun. eğriinin eğrilik e toriyonu ıraıyla.1 15

7 S. Şenyurt e h eh. İpat: eğrii eğriinin bir inolütü olduğundan 1.11 bağıntıından N timelike olur. Bu durumda 1.10 bağıntıı1.9 da yerine yazılıra aranan bulunmuş olur. Teorem.: I E paelike eğrii I E timelike eğriinin bir inolütü olun. eğrii boyuna timelike B-roll ile eğrii boyuna paelike inolüt B-roll'un arakeit eğriinin denklemi İpat:.1 bağıntıından eya tan h B paelike ot h B timelike. inh 0 e oh u oh 0 olmalıdır. Buradan u tan h eya e inh u u ot h olur. Bu değer.1 de yerine yazılıra işlem tamamlanmış olur. Teorem.: I E palike eğrii I E timelike eğriinin bir inolütü olun. eğrii boyunapaelike inolüt B-roll'un birim normal ektörü alanı N ile göterilire N İpat: B normalı e h oht N inhb. e h 1 denklemi ile erilen B roll un birim

8 Lorenzt Uzayında Spaelike İnolüt B-Sroll Üzerine N T 1 N dir (Turgut 1995). Burada itenen elde edilmiş olur e. bağıntıları yerlerine yazılıra Teorem.4: I E palike eğrii I E timelike eğriinin bir inolütü olun. eğrii boyuna B-roll'un N birim normal ektörü alanı eğrii boyuna inolüt B-roll'un N birim normal ektörü alanına dik ie u. eh.5 İpat: N N N N 0 olur. Buradan e h oht N inhb u T N 0 u 1 e h 1 e h u oh 0 oh e h u. eh u Teorem.5: I E paelike eğrii I E timelike eğriinin bir inolütü olun. eğrii boyuna paelike inolut B-roll'un şekil operatörüne karşılık gelen matri 17

9 S. Şenyurt eh e h eh e h eh 1 eh eh S eh 1 1 eh 0 eh 1 şeklindedir. İpat: Spaelike inolut B-roll'un şekil operatörüne karşılık gelen matri S ile göterilire S S S yazılır. B olur e buradan S S ifadeinin e ya göre türeleri alınıra T N 1 e B 1 N 1 N S 1 T N B S

10 Lorenzt Uzayında Spaelike İnolüt B-Sroll Üzerine S 1 T N 1 S S 1 S 0 bulunur.bu ifadeler S matriinde yerine yazılıra 1 1 S 0 1 olur. Burada e yerine.deki ifadeleri yazılıra ipat tamamlanmış olur. Sonuç.1: I E palike eğrii boyuna oluşan inolüt B-roll'un Gau eğriliği e ortalama eğriliği ile göterilire bu eğrilikler ıraıyla eh det S eh

11 S. Şenyurt 0 eh eh eh 1 e h e e 1 h h İ zs.8 olur. Teorem.6: I E palike eğrii boyuna oluşan inolüt B-roll'un I. e II. temel formları ıraıyla I e II ile göterilire eh I.9 e eh eh eh eh 1 eh eh 1 1 eh 0 e e h 1 II h h.10

12 Lorenzt Uzayında Spaelike İnolüt B-Sroll Üzerine İpat:Spaelike inolut B-roll'un I. e II. temel formları ıraıyla I e II ile göterilire I dd dd dd I 1 dd 0dd 1 dd II S dd S dd dd II dd dd 0dd 1 1 olur. Bu ifadeler matri formunda yazılıra I II bulunur. Burada e yerine. deki ifadeleri yazılıra ipat tamamlanmış olur. Örnek.1 inh oh elemanları timelike eğriinin (şekil) Frenet T oh inh1 oh inh B N inh oh 0 1. timelike eğriine ait B- roll un denklemi (şekil ) u inh u oh oh u inh u. inh oh oh inh paelike eğriinin ( şekil 4) Frenet elemanları 1

13 S. Şenyurt inh oh 0 N oh inh 0 B 00 1 T 1 0. paelike eğriine ait B- roll un denklemi (şekil 5) inh oh oh inh. Şekil timelike eğrii Şekil paelike inolut eğrii Şekil 4 timelike B- roll Şekil 5 paelike inolüt B- roll KAYNAKLAR [1] Akutugawa K. Nihikawa S. (1990) The Gau map and paelike urfae with preribed mean urature in Minkowki pae. Tohoku Math.J.() 4(1) Balgetir H. (00) Lorentz uzayında genelleştirilmiş null roll lar. Doktora tezi Fırat Ünieritei Fen Bilimleri Entitüü.

14 Lorenzt Uzayında Spaelike İnolüt B-Sroll Üzerine Beem J.K. Ehrlihe P.E. (1981) Global Lorentzian GeometryMarel Dekker In. New York. 4 Bilii M. (011)Natural lift and the geodei pray for the pherial indiatrie of the inolute of a timelike ure inminkowki -Spae International Journal of Phyial Siene ol. 6(0) Bilii M. (009) on the timelike or paelike inolute-eolute ure oupleunierity of Ondokuz MayıIntituteof SienePh. D Thei. 6Ekmekçi N. İlarlan K. (1998) Higher urature of a regular ure in Lorentzian pae. Jour. of Int. of Math & Camp. Si. (Math. Ser) Vol. 11 No Grae L.K. (1979) Codimenion one iometri immerion between lorentz pae Tran. Amer. So Haıalihoğlu H.H. (1998) Difereniyel GeometriAnkara Ünieritei Fen Fakültei Yayınları.Bakı. 9KılıçoğluŞ. (011) On the Inolute B-roll in the Eulidean -pae IE XIII.International Conferene Geometry Integrability and Quantization June -8 Varna Bulgaria. 10 KılıçoğluŞ. (006) n-boyutlu Lorentz uzayında B- rollar Doktora Tezi Ankara Ünieritei Fen Bilimleri Entitüü. 11 Sabunuoğlu A. (006) Difereniyel Geometri Nobel Yayınları. 1 Şenyurt S. (014) On Inolute B-Sroll A New View Ordu Uni. J. Si. Teh. Vol. 4 No Turgut A. (1995) - Boyutlu Minkowki Uzayında Spaelike e Timelike Regle Yüzeyler Doktora Tezi Ankara Ünieritei Fen Bilimleri Entitüü. 14 UğurluH.H. (1997) On the Geometry of Timelike urfae Commun. Fa. Si. Uni.Ank. Serie A1V oetijne V.D.I. (1990) Minimal Surfae of the - dimenional Minkowki Spae.ord ientifi Publihing Singapore. 16 Özüağlam E. EkiiC. (007) GörgülüA. Seond Gauian Curature of B-Sroll urfae inminkowki -Spae SDÜ Fen Edebiyat Fakültei Fen Dergii (E-Dergi)()