LİNEER VEKTÖR ALANLARI VE GEOMETRİK UYGULAMALARI. Türkan YAYLACI ANKARA Her hakkı saklıdır

Transkript

2 ÖZET Yüksek Lisans Tezi LİNEER VEKTÖR ALANLARI VE GEOMETRİK UYGULAMALARI Türkan YAYLACI Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Yusuf YAYLI Bu tez beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş ve tez için gerekli temel kavramlara ayrılmıştır. İkinci bölümde, SO(3) ve SE(3) Lie grupları, so(3) ve se(3) Lie cebirlerinin tanımları verilmiştir. Üçüncü bölümde, E 3 Öklid uzayında lineer vektör alanları ele alınarak, lineer vektör alanlarının belirttiği integral eğrileri incelenmiştir. Dördüncü bölümde, E 2n+1 de lineer vektör alanları ele alınmış, bir lineer vektör alanına karşılık gelen matrisin rankının çiftveyatekolması durumunda elde edilen eğrilerin karakterizasyonları verilmiştir. Son bölümde, Öklid uzayında elde edilen sonuçlar, E1 3 Minkowski uzayına genelleştirilmiştir. 2006, 43 sayfa Anahtar Kelimeler : Lineer vektör alanı, İntegral eğrisi, Vida hareketi, 1-Parametreli hareket, Öklid uzayı, Minkowski uzayı, i

3 ABSTRACT Master Thesis LINEAR VECTOR FIELDS AND GEOMETRICAL APPLICATIONS Türkan YAYLACI Ankara University Graduate School of Natural And Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Yusuf YAYLI This thesis consists of five chapters. The first chapter is devoted to the introduction. In the second chapter, descriptions of Lie groups SO(3) and SE(3) and Lie algebras so(3) and se(3) are given. In the third chapter, integral curves which are stated by linear vector fields are examined considering the linear vector fields in E 3 Euclidean space. In the fourth chapter, in E 2n+1 linear vector fields are handled characterization of the curves which are acquired providing the rank of the matrix which matches a linear vector field is even or odd. In the last chapter, the results which are required in Euclidean space are generalized into E1 3 Minkowski space. 2006, 43 pages Key Words : Linear vector field, Integral curve, Screw motion, 1-parameter motion, Euclidean space, Minkowski space ii

4 TEŞEKKÜR Bana araştırma olanağı sağlayan ve çalışmalarımın her safhasında yakın ilgiveöne- rileri ile beni yönlendiren danışman hocam, Sayın Prof. Dr. Yusuf YAYLI (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi) ya ve yardımlarını esirgemeyen hocam, Sayın Doç. Dr. Levent KULA (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi) ya teşekkürlerimi bir borç bilirim. Türkan YAYLACI Ankara, Kasım 2006 iii

5 İÇİNDEKİLER ÖZET... i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜR... iii SİMGELER DİZİNİ... v 1. GİRİŞ VE TEMEL KAVRAMLAR SO(3) LIE GRUBU VE so(3) LIE CEBİRİ, SE(3) LIE GRUBU VE se(3) LIE CEBİRİ SO(3) Lie Grubu ve so(3) Lie Cebiri SE(3) Lie Grubu ve se(3) Lie Cebiri E 3 DE LİNEER VEKTÖR ALANLARI Parametreli Hareketler E 2n+! DE LİNEER VEKTÖR ALANLARI TEOREM 3.1 İN MINKOWSKI UZAYINA GENELLEŞTİRİLMESİ KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ iv

6 SİMGELER DİZİNİ E n R n E1 3 K i A X y h yö T M (p) H 1 n-boyutlu Öklid uzayı n-boyutlu reel vektör uzayı Minkowski uzayı i-yinci eğrilik fonksiyonu Lineer dönüşüm Lineer vektör alanı Homogen çözüm Özel çözüm p M noktasındaki tanjant uzay 1.Harmonik eğrilik v

7 1. GİRİŞ VE TEMEL KAVRAMLAR Bu çalışmada, Öklid uzayında lineer vektör alanları ele alınarak, lineer vektör alanlarının belirttiği integral eğrileri incelenmiştir. Bir lineer vektör alanına karşılıkgelen matrinin rankının çift veya tek olması durumunda elde edilen eğrilerin karakterizasyonuvebueğrilerle, vida hareketinde bir noktanın yörüngesi arasındaki bağıntılar araştırılmıştır. Böylece lineer vektör alanları ile helisel vektör alanları arasındaki ilişki elde edilmiştir. Ayrıca, Öklid uzayında elde edilen sonuçlar E1 3 Minkowski 3- uzayına genelleştirilmiştir. Bu bölümde, tez için gerekli olan bazı temel kavram ve teoremleri vereceğiz. Tanım 1.1. V bir vektör uzayı ve A da boş olmayan bir nokta kümesi olsun. Aşağıdaki şartları sağlayan bir f : A A V fonksiyonu varsa, A ya V ile birleştirilmiş bir afin uzay denir. 1. Her P, Q, R A için f(p, Q)+f(Q, R) =f(p, R) 2. Her P A, herα V için f(p, Q) =α olacak şekilde bir tek Q A noktası vardır (Hacısalihoğlu 1993). Tanım 1.2. V ; n-boyutlu bir reel iç çarpım uzayı olsun. V ile birleşen bir A afin uzayına n-boyutlu Öklid uzayı denir (Hacısalihoğlu 1993). R n nokta kümesi, R n ; n-boyutlu standart iç çarpımlı reel vektör uzayı ile birleşen bir Öklid uzayıdır. Bu uzay E n ile gösterilir. Tanım 1.3. d : E n E n R fonksiyonu her X, Y E n için R n deki. norm olmak üzere d(x, Y )= XY şeklinde tanımlansın. d ye E n de uzaklık fonksiyonu ve d(x, Y ) reel sayısına da E n de X ile Y arasındaki uzaklık denir (Hacısalihoğlu 1993). 1

8 Teorem 1.1. E n ; n-boyutlu Öklid uzayında uzaklık fonksiyonu bir metriktir (Hacısalihoğlu 1993). Tanım 1.4. E n ; n-boyutlu Öklid uzayında {P 0,..., P n } nokta (n +1)-lisine R n de karşılık gelen { P 0 P 1,..., P 0 P n } vektör n-lisi R n için bir ortonormal baz ise, {P 0,...,P n } sistemine E n in bir dik çatısı denir (Hacısalihoğlu 1993). Tanım 1.5.X boş olmayan bir küme,x in altkümelerinin bir ailesi τ olsun. 1. X τ ve τ 2. 1 i n olmak üzere A i τ için T A i τ, I = {1, 2,..., n} i I 3. A i τ için S A i τ, J = {1, 2,...} i J şartlarını sağlayan τ ya topoloji ve (X, τ) ikilisine topolojik uzay denir (Hacısalihoğlu 1993). Tanım 1.6.X bir topolojik uzay olsun. Her x, y X için U V = olacak şekilde x ve y nin sırasıyla U ve V komşulukları varsa, X topolojik uzayına Hausdorff uzayı denir (Hacısalihoğlu 1993). Tanım 1.7. E n ; n-boyutlu bir Öklid uzay ve R nin bir irtibatlı açık altkümesii olmak üzere, α : I R E n dönüşümü diferensiyellenebilir ise, α(i) cümlesine E n de bir eğri denir (Hacısalihoğlu 1993). Tanım 1.8. M E n eğrisi (I,α) koordinat komşuluğu ile verilsin. Bu durumda, ψ = {α 0, α 00,..., α (r) } sistemi lineer bağımsız veherα (r), k>riçin α (k) Sp{ψ} olmak üzere, ψ den elde edilen {V 1,..., V r } ortonormal sistemine, M eğrisinin Serret- Frenet r-ayaklı alanı ve m M için {V 1 (m),...,v r (m)} ye ise, m M noktasındaki Serret-Frenet r-ayaklısı denir. Her bir V i, 1 i r, vektörüne Serret-Frenet vektörü denir (Hacısalihoğlu 1993). Tanım 1.9.E n de bir α : I R E n eğrisinin Frenet r-ayaklısı {V 1 (t),..., V r (t)} 2

9 olsun. Buna göre, k i : I R t k i (t) =<V 0 i (t),v i+1 (t) > şeklinde tanımlanan k i fonksiyonuna, α eğrisinin i-yinci eğrilik fonksiyonu ve belli bir t I için k i (t) reel sayısına da α(t) noktasında, α nın i-yinci eğriliği denir (Hacısalihoğlu 1993). Teorem 1.2. M E n eğrisi (I,α) koordinat komşuluğu ile verilsin. s I yay parametresi olmak üzere, α(s) noktasındaki Frenet r-ayaklısı, {V 1 (s),..., V r (s)} ve E i (s) =α (i) (s) X j<i < α (i) (s),v j (s) >V j (s), 1 i r ise, 1 i r için k i (s) = E i+1(s) E i (s) şeklindedir (Hacısalihoğlu 1993). Tanım M 6= bir küme olsun. M için 1. M Hausdorff uzayı 2. M nin açıkları ile E n in açıkları arasında homeomorfizmler tanımlı 3. M sonlu sayıda açıkla örtülebilir şartları sağlanıyorsa, M kümesine topolojik manifold denir (Hacısalihoğlu 1993). Tanım M bir topolojik manifold olsun. U M açık altkümesinden E n in bir V açık altkümesinebirψ : U V homeomorfizmi verilsin. (ψ,u) ikilisine M de bir lokal koordinat komşuluğu veya harita denir (Hacısalihoğlu 1993). Tanım M; n-boyutlu topolojik manifold ve A da α indislerinin bir kümesi olsun. U α M açık altkümelerinin {U α } α(t) ailesi M nin bir örtüsü olsun. Her bir U α nın E n deki bir V α açık altkümesine homeomorf olduğunu kabul edelim. Böylece elde 3

10 edilen (ψ α,v α ) haritalarının S = {(ψ α,v α )} α A ailesine M nin koordinat komşuluğu sistemi veya atlası denir (Hacısalihoğlu 1993). Tanım n-boyutlu bir M topolojik manifoldunun bir atlası S = {(ψ α,v α )} α A olsun. ψ α (V α ) ψ β (V β ) 6= olacak şekilde her (α, β) A A için ψ 1 α ψ β ve ψ 1 β ψ α fonksiyonları her r N için C r -sınıfından ise S atlasına C r -sınıfından atlas denir (Hacısalihoğlu 1993). Tanım M; n-boyutlu topolojik manifold ve M nin bir S atlası C r -sınıfından ise, M ye n-boyutlu bir diferensiyellenebilir manifold denir (Hacısalihoğlu 1993). Tanım M bir diferensiyellenebilir manifold, C (M,R); M den R ye bütün diferensiyellenebilir fonksiyonların kümesi ve p M olmak üzere, X p : C (M,R) R fonksiyonu, her f,g C (M,R) ve a, b R için 1. X p (af + bg) =a(x p f)+b(x p g) 2. X p (f.g) =(X p f)g(p)+f(p)(x p g) özelliklerini sağlıyorsa, X p fonksiyonuna M nin p noktasındaki bir tanjant vektörü denir. Bu şekilde tanımlanan fonksiyonların kümesinit M (p) ile gösterecek olursak, her X p,y p T M (p), f C (M,R) ve a R için (X p Y p )(f) = X p f + Y p f (a X p )(f) = ax p f işlemleriyle birlikte T M (p), R üzerinde bir vektör uzayı olup, M nin p noktasındaki tanjant uzayı adı verilir (Hacısalihoğlu 1993). 4

11 Tanım M bir diferensiyellenebilir manifold olsun. X : M S p M T M (p) p X p T M (p) şeklinde tanımlanan bire bir ve örten X dönüşümüne M manifoldu üzerinde bir vektör alanı denir (Hacısalihoğlu 1993). Tanım E n+1 parametrik bir eğri α : I E n+1 t α(t) =(α 1 (t),...,α n+1 (t)) ve X; E n+1 üzerinde bir vektör alanı olmak üzere, her t I için dα = X(α(t)) ise, α eğrisine X vektör alanının bir integral eğrisi denir (Hacısalihoğlu 1993). Yani, α eğrisinin her noktasındaki hızvektörüx vektör alanınınbunoktadakideğeri olan tanjant vektörü ile çakışır. Tanım M E n eğrisinin birim teğet vektör alanı V 1 ve X χ(e n ) de sabit bir teğet vektör alanı olsun. Eğer p M için <V 1,X > p =cosϕ = sabit, ϕ 6= π 2 ise, M eğrisine E n de bir eğilim çizgisi, ϕ açısına M nin eğilim açısı ve Sp{X} uzayına da M nin eğilim ekseni denir (Hacısalihoğlu 1993). Tanım M E 3 eğrisi (I,α) koordinat komşuluğu ile verilsin. Her s I ya karşılık gelen α(s) M noktasında M nin birinci ve ikinci eğrilikleri k 1 (s) ve k 2 (s) 5

12 ise, H 1 : I R s H 1 (s) = k 1(s) k 2 (s),k 2(s) 6= 0 şeklinde tanımlanan H 1 fonksiyonuna, M eğrisinin 1. harmonik eğriliği denir (Hacısalihoğlu 1993). Teorem 1.3. M E 3 eğrisi (I,α) koordinat komşuluğu ile verilsin. Bu durumda, M bir eğilim çizgisidir ancak ve ancak, her s I için H 1 (s) =sabittir (Hacısalihoğlu 1993). Tanım V ; n-boyutlu bir vektör uzayı, X; V üzerinde bir vektör alanı olsun. Eğer, A : V V bir lineer dönüşüm olmak üzere, her v V için X v = A(v) ise, X vektör alanına lineerdir denir (Karger and Novak 1985). Teorem 1.4. A; E 3 de bir anti-simetrik matrisle verilen lineer dönüşüm olsun. Bu durumda A nın matris formu A = 0 λ 0 λ olacak şekilde E 3 ün bir ortonormal bazı vardır (Karger and Novak 1985). Tanım V birreelvektöruzayı olsun. Eğer g : V V R dönüşümü her a, b R ve her u, v, w V için 6

13 1. g(u, v) =g(v, u) 2. g(au + bv, w) =ag(u, w)+bg(v, w) g(u, av + bw) = ag(u, v)+ bg(u, w) şartlarını sağlıyorsa, g dönüşümüne V vektör uzayı üzerinde simetrik bilineer form denir (Hacısalihoğlu 1983, O Neill 1983). Tanım g; V reel vektör uzayı üzerinde bir simetrik bilineer form olsun. 1. Her 0 6= v V için g(v, v) > 0 ise, bu durumda g simetrik bilineer formuna pozitif tanımlı, 2. Her 0 6= v V için g(v, v) < 0 ise, bu durumda g simetrik bilineer formuna negatif tanımlı, 3. Her 0 6= v V için g(v, v) 0 ise, bu durumda g simetrik bilineer formuna yarı-pozitif tanımlı, 4. Her 0 6= v V için g(v, v) 0 ise, bu durumda g simetrik bilineer formuna yarı-negatif tanımlı denir (O Neill 1983). Tanım V bir reel vektör uzayı ve g; V üzerinde bir simetrik bilineer form olsun. 1. g nin non-dejenere olması için gerek ve yeter şart g(u, v) =0ve her v V için u =0olmasıdır. 2. g nin dejenere olması için gerek ve yeter şart g(w, v) =0ve her v V için 0 6= w V olmasıdır (O Neill 1983). Tanım V bir reel vektör uzayı ve g : V V R; V üzerinde bir simetrik bilineer form olsun. g W : W W R 7

14 negatif tanımlı olacak şekilde en büyük boyutlu W altuzayının boyutuna g simetrik bilineer formunun indeksi denir ve q ile gösterilir. Ayrıca, q ya V vektör uzayının da indeksi denir ve indv = q ile gösterilir (O Neill 1983). Tanım V reel vektör uzayı üzerinde bir g non-dejenere simetrik bilineer formu tanımlanırsa, g yebirskalarçarpım (yarı-öklid metriği) ve V ye de yarı-öklid uzayı denir (O Neill 1983). Özel olarak, g pozitif tanımlı ise, g ye Öklid metriği ve V ye de Öklid uzayı denir. q =1ise, g ye Lorentz (Minkowski) metriği ve V ye de Lorentz (Minkowski) uzayı denir. Tanım V yarı-öklid uzayı ve g de yarı-öklid metriği olmak üzere,. : V R v v = g(v, v) 1/2 şeklinde tanımlanan fonksiyona norm fonksiyonu denir. v sayısına da v nin normu veya boyu denir (O Neill 1983). Teorem 1.5. Bir V 6= {0} yarı-öklid uzayı daima bir ortonormal baza sahiptir. Tanım (G, ) bir grup ve M bir topolojik manifold olsun. 1. M nin elemanları ile G nin elemanları çakışık 2. : G G G (a, b) a b 1 işlemi G nin her noktasında diferensiyellenebilir ise, (M,G, ) üçlüsüne bir Lie grubu denir (Hacısalihoğlu 1980). 8

15 Tanım gl = {V,, R, +,, } bir vektör uzayı olsun. bracket operatörü için [, ]: gl gl gl (X, Y ) [X, Y ] 1. anti-simetrik ([X, Y ]= [Y,X]) 2. bilineer 3. [X, [Y,Z]] + [Y,[Z, X]] + [Z, [X, Y ]] 0 (Jacobi Özdeşliği) şartları sağlanıyorsa, (gl, [, ]) ikilisine gl nin Lie cebiri denir (Hacısalihoğlu 1980). 9

16 2. SO(3) LIE GRUBU VE so(3) LIE CEBİRİ, SE(3) LIE GRUBU VE se(3) LIE CEBİRİ 2.1. SO(3) Lie Grubu ve so(3) Lie Cebiri R 3 deki küresel hareket: F sabit çatısına göre, M hareketli çatısının ifadesi, dönüşüm denklemi ile verilir. F {X} M {Y } X Y = AX Bu dönme hareketi için, Y = X dir. Dolayısıyla; < Y,Y >=< AX,AX>=(AX) T (AX) =X T (A T A)X < X,X >= X T X eşitliklerinden, A T A = AA T olması ile eşdeğerdir. = I olduğu görülür. Bu ise, A matrisinin ortogonal Tanım R 3 de ortogonal matrislerin kümesi; O(3) = {A R 3 3 : A T A = AA T = I} şeklinde tanımlanır. Bu küme standart matris çarpımı işlemiyle bir gruptur. Bu gruba ortogonal grup denir (Karger and Novak 1985). Tanım O(3) ortogonal grubunun bir altgrubu olan SO(3) = {A R 3 3 : A T A = AA T = I, det A =1} şeklinde tanımlanan gruba özel ortogonal grup denir (Karger and Novak 1985). SO(3) grubunun tanımını aşağıdaki şekilde de verebiliriz: SO(3) = {A R 3 3 :< AX,AY >=< X,Y >,A O(3), det A =1, X, Y R 3 }. 10

17 SO(3) grubu, topolojik yapısıyla ele alındığında 3-boyutlu bir topolojik manifolddur. Dolayısıyla, SO(3) bir matris Lie grubudur. Tanım SO(3) Lie grubunun, so(3) Lie cebiri aşağıdaki şekilde tanımlanır: so(3) = {Ω R 3 3 : Ω = 0 ω 3 ω 2 ω 3 0 ω 1 ω 2 ω 1 0, ΩT = Ω} (Karger ve Novak 1985). Tanım SO(3) Lie grubunun tanjant operatörü olan Ω; Ω = ȦA T = ȦA 1 şeklinde tanımlı anti-simetrik bir operatördür (Karger and Novak 1985). Tanım Ω matrisine A(t) dönmesinin açısal hız matrisi denir (Karger and Novak 1985) SE(3) Lie Grubu ve se(3) Lie Cebiri Tanım SE(3) = {A : A = R d 0 1,R R 3 3,R T R = I 3,d R 3 1, det R =1} kümesi, standart matris çarpımı işlemiyle bir gruptur. (SE(3),.) grubuna R 3 de katı cisim hareketlerinin özel grubu denir (Karger and Novak 1985). SE(3) grubu topolojik yapısıyla ele alındığında, 6-boyutlu bir topolojik manifolddur. Bu durumda, SE(3) bir matris Lie grubudur. Tanım SE(3) Lie grubunun se(3) Lie cebiri; se(3) = { Ω v 0 0 : Ω R 3 3, Ω T = Ω, v= v 1 v 2 v 3 R3 1} şeklinde tanımlanır (Karger and Novak 1985). 11

18 Buradaki Ω; 3 3 anti-simetrik matrisi, ~ω R 3 vektörü ile tek türlü belirlidir: ~ω =(ω 1, ω 2, ω 3 ) R 3 Ω = 0 ω 3 ω 2 ω 3 0 ω 1 ω 2 ω 1 0 R3 3. Tanım SE(3) Lie grubunun tanjant operatörü; S = Ω v 0 0 =[Ω,v] şeklinde tanımlı bir operatördür (Karger and Novak 1985). Her S se(3) elemanına bir {~ω,~v} vektör çifti karşılık gelir. A(t) SE(3) eğrisi, katı cismin hareketini göstermek üzere; S(t) {~ω(t),~v(t)} için, ~ω: cismin hareketinin açısal hızını ~v: cismin hareketinin lineer hızını belirtir. Tanım Kinematikte, {~ω(t),~v(t)} formundaki eleman çiftine twist adı verilir (Karger and Novak 1985). Tanım {~ω,~v} twisti zamanla değişmektedir. {~ω,~v} twisti sabit olan hareketlere vida hareketleri denir. Bu durumda, {~ω,~v} twistine hareketin vida ekseni denir (Karger and Novak 1985). 12

19 3. E 3 DE LİNEER VEKTÖR ALANLARI Parametreli Hareketler Tanım f : R 3 R 3 P f(p )=A(t)P + C(t), A(t) SO(3) (3.1.1) dönüşümüne 1-parametreli hareket denir. P noktasının yörüngesi bir eğridir. (3.1.1) ifadesini matris formunda Y 1 = A(t) C(t) 0 1 P 1 yazabiliriz. dersek, olur. Buradan A(t)= A(t) C(t) 0 1 Y (t) =A(t).P. Y (t) =Ȧ (t).p ve elde edilir.. Y (t) =Ȧ (t)a 1 (t)y (t). Y (t) =Ω(t)Y (t), Ω(t) = ω(t) v(t) 0 0 ω(t) anti-simetrik bir matristir. 13

20 t 0 anında w(t 0 )=~ω, v(t) =~v ile gösterilsin.. Y 0 = ω 3 3 v 0 0. Y = ~ω P + ~v Y 1 elde edilir. Bu bir vida hareketinin hız dağılımıdır. Şimdibizaniharekettebir noktanın yörüngesini araştıralım. Teorem X; E 3 de bir lineer vektör alanı ve X in R = {0; u 1,u 2,u 3 } ortonormal çatısına göre matrisi ve p E 3 olmak üzere A C, X(p), = A C p olsun. Burada A R 3 3 bir anti-simetrik matris ve C R 3 1 bir sütun matristir. Bu durumda; 1. rank[ac] =3ise, X in integral eğrileri, ortak eksenli aynı parametreli helislerdir. 2. rank[ac] =2ise, X in integral eğrileri, paralel düzlemlerde kalan ve merkezleri bu paralel düzlemlere dik olan bir eksen üzerinde bulunan çemberlerdir. 3. rank[ac] =1ise, X in integral eğrileri, paralel doğrulardır (Karger and Novak 1985). İspat. A R 3 3 anti-simetrik matrisi, E 3 ün uygun bir ortonormal bazı seçilerek, (λ R {0}) A = 0 λ 0 λ (3.1.2) 14

21 formunda alınabilir. Bu durumda, X lineer vektör alanı; herp E 3 için X(p), = A C p λ 0 a x λ 0 0 b y = c z (3.1.3) X(p) =(λy + a, λx + b, c) (3.1.4) olarak bulunur. E 3 de α : I E 3 t α(t) =(α 1 (t), α 2 (t), α 3 (t)) eğrisini ele alalım. 1. α nın X vektör alanına ait bir integral eğrisi olabilmesi için dα = X(α(t)) (3.1.5) diferensiyel denklemini sağlaması gerekir. O halde bu diferensiyel denklemin çözümünü arayalım. (3.1.5) diferensiyel denkleminin p = (x, y, z) başlangıç şartlı integral eğrisi α(t) =p, X(p) =(λy + a, λx + b, c) için dα = X(p) (3.1.6) diferensiyel denkleminin çözüm eğrisidir. 15

22 (3.1.6) denkleminin açık şekli dx dy dz = λy + a = λx + b (3.1.7) = c şeklindedir. (3.1.7) denklem sisteminde işlemleri basitleştirmek amacıyla λ =1almamız genelliği bozmaz. Bu durumda (3.1.7) sistemi dx dy dz = y + a = x + b (3.1.8) = c şeklini alır. (3.1.8) sisteminde son denklemin çözümü z = ct + d (3.1.9) şeklindedir. İkinci denklemin türevi alınır ve dx değeri yerine yazılırsa, bulunur. Bu denklemin homogen kısmının çözümü d 2 y + y = a (3.1.10) 2 y h = A cos t + B sin t (3.1.11) ve bir özel çözümü yö = a (3.1.12) 16

23 olmak üzere y çözümü y = y h + yö (3.1.13) şeklinde elde edilir. (3.1.11) ve (3.1.12) değerlerini (3.1.13) de yerine yazarsak, (3.1.10) denkleminin genel çözümü y = A cos t + B sin t a (3.1.14) olarak bulunur. (3.1.14) ün türevi alınırsa (3.1.8) den x = A sin t B cos t + b (3.1.15) elde edilir. p =(x, y, z) başlangıç şartlı X lineer vektör alanının α(t) integral eğrisi; (3.1.9), (3.1.14) ve (3.1.15) deki x, y, z değerlerinin yerlerine yazılmasıyla α(t) =(A sin t B cos t + b, A cos t + B sin t a, ct + d) (3.1.16) olarak bulunur. (3.1.16) daki α(t) integral eğrileri her A, B R için değişir. Bu eğrilerin dairesel helis olduğunu daha sonra göreceğiz. Şimdi bu eğrilerin helis eğrileri olduğunu gösterelim ve eksenlerini hesaplayalım. Göreceğiz ki, bu helis eğrilerinin hepsinin eksenleri aynıdır. α(t) eğrisi birim hızlı değil. Önce α(t) eğrisini birim hızlı hale getirelim. α 0 (t) = A 2 + B 2 + c 2 olmak üzere; s = Z t α 0 (t) 0 = A 2 + B 2 + c 2 t t = s A2 + B 2 + c = s 2 γ, γ = A 2 + B 2 + c 2. 17

24 Birim hızlı eğriyi β ile gösterelim. Bu durumda β(s) =(A sin s γ B cos s γ + b, A cos s γ + B sin s γ a, c s γ + d) (3.1.17) bulunur. β(s) eğrisinin helis olabilmesi için, her s I için H 1 (s) = k 1(s) k 2 (s) = sabit olması gerekmektedir (Hacısalihoğlu 1993). Şimdi H 1 (s) değerini hesaplayalım: Bunun için önce (3.1.17) nin türevini alalım. β 0 (s) = 1 γ (A cos s γ + B sin s γ, A sin s γ + B cos s γ,c) E 1 (s) = β 0 (s) E 2 (s) = β 00 (s) < (s),e β00 1 > <E 1,E 1 > E 1 (3.1.18) E 3 (s) = β 000 (s) < β000 (s),e2 > <E 2,E 2 > E 2 < β 000 (s),e 1 > <E 1,E 1 > E 1 β 0 (s) = 1 γ (A cos s γ + B sin s γ, A sin s γ + B cos s γ,c) β 00 (s) = 1 γ 2 ( A sin s γ + B cos s γ, A cos s γ B sin s γ, 0) β 000 (s) = 1 γ 3 ( A cos s γ B sin s γ,asin s γ B cos s γ, 0) Yukarıdaki değerler (3.1.18) de yerine yazılırsa, < β 00 (s), β 0 (s) >=< β 00 (s), β 000 (s) >= 0 18

25 ve E 2 (s) = β 00 (s), E 2 (s) = 1 γ 2 A2 + B 2 E 3 (s) = β 000 (s)+ A2 + B 2 γ 4 E 1 = 1 γ 4 [γ4 β 000 (s)+(a 2 + B 2 )E 1 ] = c γ ( A cos s 5 γ B sin s γ,asin s γ B cos s γ, A2 + B 2 ) c E 3 (s) = c A2 + B γ 2 4 k 1 (s) = E 2(s) E 1 (s) = E 2(s) k 1 (s) = 1 γ 2 A2 + B 2 (3.1.19) k 2 (s) = E 3(s) E 2 (s) k 2 (s) = c γ 2 H 1 (s) = k 1(s) k 2 (s) = A2 + B 2. γ2 γ 2 c H 1 (s) = A2 + B 2 c (3.1.20) olur. (3.1.20) den görüldüğü gibi H 1 sabittir. O halde, β(s) eğrisi bir helistir. Şimdi bu helislerin eksenlerini hesaplayalım. Aradığımız eksen U olsun. <V 1,U >=cosϕ, türev alalım. < V 0 1,U >=0, (V 0 1 = k 1 V 2 ) k 1 < V 2,U >=0 19

26 ve k 1 6=0olduğundan <V 2,U >=0 bulunur. Dolayısıyla U Sp{V 1,V 3 },yani U =cosϕ V 1 +sinϕ V 3 (3.1.21) şeklindedir (Hacısalihoğlu 1993). Burada U eksenini belirlemek için, V 1, V 3 ve ϕ açısını hesaplamalıyız. V 1 = β 0 (s) = 1 γ (A cos s γ + B sin s γ, A sin s γ + B cos s γ,c) V 3 = E 3 E 3 = tan ϕ = H 1 c γ A 2 + B ( A cos s 2 γ B sin s γ,asin s γ B cos s γ, A2 + B 2 ) c dir (Hacısalihoğlu 1993). Buradan H 1 in değeri yerine yazılırsa, A2 + B tan ϕ = 2 c A2 + B ϕ = arctan 2 c A2 + B sin ϕ = sin(arctan 2 ), (sin(arctan x) = c A2 + B 2 x 1+x 2 ) = c A2 + B 2 + c 2 = A2 + B 2 A2 + B 2 + c 2 c A2 + B 2 sin ϕ = γ ve benzer şekilde cos ϕ = A2 + B cos(arctan ), (cos(arctan x) = c = 1 A2 + B 2 + c 2 c 1 1+x 2 ) 20

27 cos ϕ = c γ bulunur. (3.1.21) den U = c γ V 1 + A2 + B 2 γ V 3 U = c γ [ 1 γ (A cos s γ + B sin s γ, A sin s γ + B cos s γ,c)] A2 + B + c [ γ γ A 2 + B ( A cos s 2 γ B sin s γ,asin s γ B cos s γ, A2 + B 2 )] c = c γ (A cos s 2 γ + B sin s γ, A sin s γ + B cos s γ,c) + c γ ( A cos s 2 γ B sin s γ,asin s γ B cos s γ, A2 + B 2 ) c = c γ (0, 0, A2 + B 2 + c 2 ), (γ = A 2 c + B 2 + c 2 ) U = (0, 0, 1) (3.1.22) elde edilir. (3.1.22) den görüldüğü gibi U ekseni sabittir. Yani, A ve B değerleri değişse bile, X in integral eğrilerinin ekseni aynıdır. X lineer vektör alanının integraleğrisi olan α(t) daireseldir. α(t) nin dairesel olduğunu göstermek için ( b, a, 0) ötelemesi yapılırsa, α(t) =(A sin t B cos t, A cos t + B sin t, ct + d) olur. Bu eğri daireseldir. Çünkü, A 2 + B 2 = r 2 olmak üzere, α 2 1(t)+α 2 2(t) =r 2,r R elde edilir. Gerçekten, (A sin t B cos t) 2 +(A cos t + B sin t) 2 = A 2 + B 2 21 = r 2

28 bulunur. Böylece teoremin birinci şıkkının ispatı tamamlanmış olur. 2. rank[ac] =2olsun. Bunun sağlanabilmesi için 0 λ 0 a λ 0 0 b c , λ 6= 0 matrisinde c =0olmalıdır. Bu durumda X lineer vektör alanının matrisi 0 λ 0 a λ 0 0 b olur. (3.1.8) den c =0olmak üzere; dx dy dz = a + y = b x = 0 denklem sistemi elde edilir. Bu denklem sisteminin çözümü (3.1.16) da c =0 yazılmak suretiyle α(t) =(A sin t B cos t + b, A cos t + B sin t a, d) (3.1.23) elde edilir. (3.1.23) deki α(t) eğrileri çemberleri göstermektedir. Böylece teoremin ikinci kısmının ispatı tamamlandı. 3. rank[ac] = 1 olsun. Bu şartın sağlanabilmesi için λ = 0 olmalıdır. Bu 22

29 durumda X lineer vektör alanının matrisi a b c olur. (3.1.7) de λ =0alınırsa, dx dy dz = a = b = c denklem sistemi elde edilir. Bu denklem sisteminin çözümü; α(t) =(at + d 1,bt+ d 2,ct+ d 3 ) (3.1.24) şeklindedir. Bu ise, paralel doğrular verir. Böylece teoremin ispatı tamamlanmış olur. 23

30 4. E 2n+1 DE LİNEER VEKTÖR ALANLARI Teorem 4.1. X; E 2n+1 debirlineervektöralanı ve X in {0; u 1,..., u 2n+1 } ortonormal çatısına göre matrisi; A C 0 0 olsun. Burada A R 2n+1 2n+1 bir anti-simetrik matris ve C R 2n+1 1 bir sütun matristir. Bu durumda; 1. rank[ac] =2n +1ise, X in integral eğrileri, ortak eksenli aynı parametreli dairesel helis eğrileridir. 2. rank[ac] =2k, 1 k n ise, X in integral eğrileri, paralel düzlemlere dik olan bir eksen üzerinde bulunan çemberlerdir. 3. rank[ac] =2k +1, 1 k n ise, X in integral eğrileri, dairesel helislerdir. 4. rank[ac] =1ise, X in integral eğrileri, paralel doğrulardır (Acratalishian 1989). İspat. X lineer vektör alanı, herp =(x 1,..., x 2n+1 ) E 2n+1 için X(p), 0 = A C 0 0 p 1 = 0 λ a 1 λ a λ n 0 a 2n λ n 0 0 a 2n a 2n x 1 x 2. x 2n 1 x 2n x 2n+1 1 (4.1.1) X(p) =(λ 1 x 2 + a 1, λ 1 x 1 + a 2,..., λ n x 2n + a 2n 1, λ n x 2n 1 + a 2n,a 2n+1 ) (4.1.2) 24

31 olarak bulunur. E 2n+1 de eğrisini ele alalım. α : I E 3 t α(t) =(α 1 (t),..., α 2n+1 (t)) 1. α nın X vektör alanına ait bir integral eğrisi olabilmesi için dα = X(α(t)) (4.1.3) diferensiyel denklemini sağlaması gerekir. O halde bu diferensiyel denklemin çözümünü arayalım. (4.1.3) diferensiyel denkleminin α(t) =p ve p =(x 1,..., x 2n+1 ) başlangıç şartlı integral eğrisi X(p) =(λ 1 x 2 + a 1, λ 1 x 1 + a 2,..., λ n x 2n + a 2n 1, λ n x 2n 1 + a 2n,a 2n+1 ) için dα = X(p) (4.1.4) diferensiyel denkleminin çözüm eğrisidir. (4.1.4) denkleminin açık şekli dx 1 dx 2 dx 3 dx 4 dx 2n 1 dx 2n = λ 1 x 2 + a 1 = λ 1 x 1 + a 2 = λ 2 x 4 + a 3 = λ 2 x 3 + a 4. (4.1.5) = λ n x 2n + a 2n 1 = λ n x 2n 1 + a 2n 25

32 dx 2n+1 = a 2n+1 şeklindedir. (4.1.5) denklem sisteminde işlemleri basitleştirmek amacıyla λ i =1, 1 i n almamız genelliği bozmaz. Bu durumda (4.1.5) sistemi; dx 1 dx 2 dx 3 dx 4 dx 2n 1 dx 2n dx 2n+1 = x 2 + a 1 = x 1 + a 2 = x 4 + a 3 = x 3 + a 4. (4.1.6) = x 2n + a 2n 1 = x 2n 1 + a 2n = a 2n+1 = c şeklini alır. (4.1.6) sisteminde son denklemin çözümü x 2n+1 = ct + d (4.1.7) şeklindedir. Geriye kalan 2n tane denklem ikişer ikişer çözülürler. (4.1.6) sisteminde ilk iki denklemi ele alalım: dx 1 dx 2 = x 2 + a 1 = x 1 + a 2. 26

33 İkinci denklemin türevi alınır ve dx 1 değeri yerine yazılırsa, bulunur. Bu denklemin çözümü d 2 x x 1 = a 1 (4.1.8) x 2 = A 1 cos t + B 1 sin t a 1 şeklinde bulunur. Bu değerin yerine yazılmasıyla x 1 = A 1 sin t B 1 cos t + a 2 elde edilir. Bu şekilde devam ettirilirse, (2n 1) ve 2n-inci denklem çiftinin çözümü x 2n 1 = A n sin t B n cos t + a 2n x 2n = A n cos t + B n sin t a 2n 1 şeklinde bulunur. Buradan X lineer vektör alanına karşılık gelen α(t) integral eğrisinin ifadesi; α(t) = (A 1 sin t B 1 cos t + a 2,A 1 cos t + B 1 sin t a 1,..., A n sin t B n cos t + a 2n,A n cos t + B n sin t a 2n 1,ct+ d) (4.1.9) olur. (4.1.9) eğrisinin E 2n+1 de bir helis olduğunu gösterelim. Daha sonra da eksenini hesaplayalım. E 3 de olduğu gibi bu eğrilerin hepsinin eksenleri aynıdır. 27

34 (4.1.9) eğrisinin helis olduğunu göstermek için olduğunu göstermeliyiz. H 1 (s) = k 1(s) = sabit (4.1.10) k 2 (s) Eğrinin sadece k 1 ve k 2 eğrilikleri mevcut olduğundan (4.1.10) şartı yeterli olur. (4.1.9) eğrisinin türevlerini alalım: α 0 (t) = (A 1 cos t + B 1 sin t, A 1 sin t + B 1 cos t,..., A n sin t + B n cos t, c) α 00 (t) = ( A 1 sin t + B 1 cos t, A 1 cos t B 1 sin t,..., A n cos t B n sin t, 0) α 000 (t) = ( A 1 cos t B 1 sin t, A 1 sin t B 1 cos t,..., A n sin t B n cos t, 0). (4.1.11) Bundan sonra elde edeceğimiz α (4), α (5),...,α (2n+1) türevleri (4.1.11) deki α 0, α 00, α 000 türevleri ile lineer bağımlıdır. Bu durumda ancak k 1 ve k 2 eğriliklerinden söz edebiliriz. (4.1.9) daki α(t) eğrisi birim hızlı değildir. O halde parametre değişimi yaparak, birim hızlı hale getirebiliriz. Y = nx (A 2 i + Bi 2 ) i=1 olmak üzere, α 0 (t) = Y + c 2 s = Z t Y + c2 dir. t = 0 s Y + c 2 = s γ, γ = Y + c 2 bulunur. Bu durumda birim hızlı eğri β(s) ise, β(s) = (A 1 sin s γ B 1 cos s γ + a 2,A 1 cos s γ + B 1 sin s γ a 1,..., 28

35 A n sin s γ B n cos s γ + a 2n,A n cos s γ + B n sin s γ a 2n 1,c s γ + d) (4.1.12) bulunur. β 0 (s) = 1 γ (A 1 cos s γ + B 1 sin s γ, A 1 sin s γ + B 1 cos s γ,..., A n cos s γ + B n sin s γ, A n sin s γ + B n cos s γ,c) β 00 (s) = 1 γ 2 ( A 1 sin s γ + B 1 cos s γ, A 1 cos s γ B 1 sin s γ,..., A n sin s γ + B n cos s γ, A n cos s γ B n sin s, 0) (4.1.13) γ β 000 (s) = 1 γ 3 ( A 1 cos s γ B 1 sin s γ,a 1 sin s γ B 1 cos s γ,..., A n cos s γ B n sin s γ,a n sin s γ B n cos s γ, 0) Şimdi k 1 ve k 2 yi hesaplayalım. < β 00 (s), β 0 (s) >=< β 00 (s), β 000 (s) >= 0 E 1 (s) = β 0 (s) E 2 (s) = β 00 (s) E 3 (s) = β 000 (s) < β 000 (s), β 0 (s) > β 0 (s) = β 000 (s)4 Y γ E 1(s) 4 E 3 (s) = 1 γ 4 [γ4 β 000 (s)+ye 1 (s)] c z } 2 { = 1 γ { γ 2 Y ( A 4 1 cos s γ γ B 1 sin s γ,a 1 sin s γ B 1 cos s γ,..., A n cos s γ B n sin s γ,a n sin s γ B n cos s γ, cy γ )} = c2 γ 5 ( A 1 cos s γ B 1 sin s γ,a 1 sin s γ B 1 cos s γ,..., 29

36 A n cos s γ B n sin s γ,a n sin s γ B n cos s γ, Y c ) E 2 (s) = 1 Y, γ 2 r E 3 (s) = c2 Y + Y 2 γ 5 c 2 = c Y γ 4 k 1 (s) = β 00 (s) = k 2 (s) = E 3(s) E 2 (s) = Y γ 2 = c Y + c 2 Y Y + c 2 H 1 (s) = k 1(s) Y k 2 (s) = c (4.1.14) olur. (4.1.10) ifadesinde görüldüğü gibi H 1 sabit olduğundan α(t) eğrisi bir helistir. Şimdi (4.1.9) eğrisinin eksenini hesaplayalım. Aradığımız eksen U olsun. olduğundan U Sp{V 1,V 3 } U =cosϕ V 1 +sinϕ V 3 (4.1.15) şeklindedir. Burada V 1 = β 0 (s) V 3 = E 3 E 3 c = γ Y ( A 1 cos s γ B 1 sin s γ,a 1 sin s γ B 1 cos s γ,..., A n cos s γ B n sin s γ,a n sin s γ B n cos s γ, Y c ) Y tan ϕ = c Y ϕ = arctan c 30

37 dir. Bu durumda U = cos(arctan Y Y c )V 1 + sin(arctan c )V 3 (4.1.16) olduğundan Y sin(arctan c ) = cos(arctan Y x, (sin(arctan x) = Y + c 2 1+x 2 ) Y c ) = c Y + c 2, (sin(arctan x) = 1 1+x 2 ) U = c Y V 1 + V 3 Y + c 2 Y + c 2 = c γ V 1 + Y γ V 3 olur. Burada V 1 ve V 3 yerlerine yazılır ve gerekli sadeleştirmeler yapılırsa, U =(0, 0,..., 0, 1) (4.1.17) bulunur. (4.1.17) den görüldüğü gibi U ekseni sabittir. Yani, A i ve B i 1 i n değerleri değişse bile, X in integral eğrilerinin ekseni aynıdır. X lineer vektör alanının integraleğrisi olan α(t) daireseldir. Gerçekten, T =(a 1, a 2,..., a 2n 1, a 2n, 0) olmak üzere, α(t) eğrisini T kadar ötelersek, α(t) = (A 1 sin t B 1 cos t, A 1 cos t + B 1 sin t,..., A n sin t B n cos t, A n cos t + B n sin t, ct + d) 31

38 olur. Bu durumda nx α 2 1(t) α 2 2n(t) = (A 2 i + Bi 2 ) i=1 = r 2 = sabit bulunur. Böylece teoremin birinci şıkkının ispatı tamamlanmış olur. 2. rank[ac] =2k, 1 k n olsun. (a) Eğer rank[ac] =2n ise, bu durumda a 2n+1 =0 olması gerekir. Bu durumda (4.1.6) diferensiyel denklem sistemi dx 1 dx 2 dx 3 dx 4 dx 2n 1 dx 2n dx 2n+1 = x 2 + a 1 = x 1 + a 2 = x 4 + a 3 = x 3 + a 4. (4.1.18) = x 2n + a 2n 1 = x 2n 1 + a 2n = a 2n+1 =0 olur. Bu denklem sisteminin çözümü (4.1.9) dan α(t) = (A 1 sin t B 1 cos t + a 2,A 1 cos t + B 1 sin t a 1,..., A n sin t B n cos t + a 2n,A n cos t + B n sin t a 2n 1,d) bulunur. Bu integral eğrilerinin çember olduğu aşikardır. 32

39 (b) rank[ac] =r, r =2, 4,..., 2n 2 olsun. Bu durumda (4.1.1) deki matristen rank[ac] =r λ i =0, r 2 +1 i n yazılabilir. Böylece (4.1.6) diferensiyel denklem sistemi; dx 1 dx 2 dx r 1 dx r dx j = x 2 + a 1 = x 1 + a 2. (4.1.19) = x r + a r 1 = x r 1 + a r = 0,r+1 j 2n +1 şekline dönüşür. Bu durumda denklem sisteminin çözümü (4.1.9) dan α(t) = (A 1 sin t B 1 cos t + a 2,A 1 cos t + B 1 sin t a 1,..., Ar sin t Br cos t + a r,ar cos t + Br sin t a r 1, d r+1,..., d 2n+1 ) bulunur. Bu integral eğrileri yine birer çemberdir. 3. rank[ac] =2k +1, 1 k n olsun. (a) rank[ac] =2n +1ise, bu teoremin birinci şıkkını verir. (b) rank[ac] =2k +1 =r +1, r =2, 4,..., 2n 2 olsun. Bu durumda (4.1.1) deki ilk matristen rank[ac] =r +1 λ i =0, r 2 +1 i n ve a r+1 6= 0 yazılabilir. Böylece (4.1.6) diferensiyel denklem sistemi; dx 1 = x 2 + a 1 33

40 dx 2 dx r 1 dx r dx r+1 dx j = x 1 + a 2. (4.1.20) = x r + a r 1 = x r 1 + a r = a r+1 = 0,r+2 j 2n +1 olur. Bu durumda (4.1.20) sisteminin çözümü α(t) = (A 1 sin t B 1 cos t + a 2,A 1 cos t + B 1 sin t a 1,..., Ar sin t Br cos t + a r,ar cos t + Br sin t a r 1, a r+1 t, d r+2,...,d 2n+1 ) (4.1.21) olarak bulunur. Görüldüğü gibi (4.1.21) eğrileri dairesel helislerdir. 4. rank[ac] =1olsun. Bu ise, her i =1,...,n için λ i =0olması demektir. Bu durumda (4.1.6) diferensiyel denklem sistemi dx 1 dx 2 dx 2n+1 = a 1 = a 2. (4.1.22) = a 2n+1 olur. Bu denklem sisteminin çözümü; α(t) =(a 1 t + d 1,a 2 t + d 2,..., a 2n+1 t + d 2n+1 ) (4.1.23) şeklindedir. Bu ise, paralel doğrular verir. Böylece teoremin ispatı tamamlanmış olur. 34

41 5. TEOREM 3.1. İN MİNKOWSKİ UZAYINA GENELLEŞTİRİLMESİ Lemma 5.1. O ν (n) nin o ν (n) =o(ν,n ν) Lie cebiri, S t = εsε şartını sağlayan tüm S leri kapsayan gl(n, R) nin altcebiridir. Böyle S ler, a o(ν),b (n, ν) ve x; n n tipinde bir matris olmak üzere, a x x t b formundadır (O Neill 1983). Teorem 5.1. X; E1 3 Minkowski 3-uzayında bir lineer vektör alanı ve X in R = {0; u 1,u 2,u 3 } ortonormal çatısına göre matrisi ve p E1 3 olmak üzere A C, X(p), = A C p olsun. Burada A R 3 3 bir Lorentz anlamında anti-simetrik matris ve C R 3 1 bir sütun matristir. Bu durumda; 1. rank[ac] =3ise, X in integral eğrileri, E1 3 Minkowski uzayında ortak eksenli aynı parametreli helis eğrileridir. 2. rank[ac] =2ise, X in integral eğrileri, E1 3 Minkowski uzayında, paralel düzlemlerde kalan ve merkezleri bu paralel düzlemlere dik olan bir eksen üzerinde bulunan çemberlerdir (Lorentz çemberleri). 3. rank[ac] =1ise, X in integral eğrileri, E1 3 Minkowski uzayında paralel doğrulardır (O Neill 1983). İspat. A R 3 3 anti-simetrik matrisi, E 3 ün uygun bir ortonormal bazı seçilerek, (λ R {0}) 0 λ 0 A = λ 0 0 (5.1.1)

42 formunda alınabilir. Bu durumda, X lineer vektör alanı; herp E 3 1 için X(p), 0 = = A C p λ 0 a λ 0 0 b c x y z 1 (5.1.2) X(p) =(λy + a, λx + b, c) (5.1.3) olarak bulunur. E 3 1 de α : I E 3 1 t α(t) =(α 1 (t), α 2 (t), α 3 (t)) eğrisini ele alalım. 1. α nın X vektör alanına ait bir integral eğrisi olabilmesi için dα = X(α(t)) (5.1.4) diferensiyel denklemini sağlaması gerekir. çözümünü arayalım. Şimdi bu diferensiyel denklemin (5.1.4) diferensiyel denkleminin p = (x, y, z) başlangıç şartlı integral eğrisi α(t) =p, X(p) =(λy + a, λx + b, c) için dα = X(p) (5.1.5) diferensiyel denkleminin çözüm eğrisidir. 36

43 (5.1.5) denkleminin açık şekli dx dy dz = λy + a = λx + b (5.1.6) = c şeklindedir. (5.1.6) denklem sisteminde işlemleri basitleştirmek amacıyla λ =1almamız genelliği bozmaz. Bu durumda (5.1.6) sistemi dx dy dz = y + a = x + b (5.1.7) = c şeklini alır. (5.1.7) sisteminde son denklemin çözümü z = ct + d (5.1.8) şeklindedir. İkinci denklemin türevi alınır ve dx değeri yerine yazılırsa, bulunur. Bu denklemin homogen kısmının çözümü d 2 y 2 y = a (5.1.9) y h = A cosh t + B sinh t (5.1.10) ve bir özel çözümü yö = a (5.1.11) 37

44 olmak üzere y çözümü y = y h + yö (5.1.12) şeklinde elde edilir. (5.1.10) ve (5.1.11) değerlerini (5.1.12) de yerine yazarsak, (5.1.9) denkleminin genel çözümü y = A cosh t + B sinh t + a (5.1.13) olarak bulunur. (5.1.13) ün türevi alınırsa (5.1.7) den x = A sinh t + B cosh t b (5.1.14) elde edilir. p =(x, y, z) başlangıç şartlı X lineer vektör alanının α(t) integral eğrisi; (5.1.8), (5.1.13) ve (5.1.14) deki x, y, z değerlerinin yerlerine yazılmasıyla α(t) =(A sinh t + B cosh t b, A cosh t + B sinh t + a, ct + d) (5.1.15) olarak bulunur. (5.1.15) deki α(t) integral eğrileri her A, B R için değişir. Şimdi bu eğrilerin helis eğrileri olduğunu gösterelim. α 0 (t) =(A cosh t + B sinh t, A sinh t + B cosh t, c) olmak üzere, < α 0 (t), α 0 (t) >= B 2 + C 2 A 2 dir. α time-like bir eğri olsun. Bu durumda B 2 + C 2 A 2 = 1 dir. V 1 = α 0 (t) α 00 (t) = (A sinh t + B cosh t, A cosh t + B sinh t, 0) 38

45 < α 00 (t), α 00 (t) >= A 2 B 2 α 00 (t) = A 2 B 2 (t) V 2 = α00 α 00 (t) = 1 (A sinh t + B cosh t, A cosh t + B sinh t, 0) A2 B2 V 3 = c A2 B (A sinh t + B cosh t, A cosh t + B sinh t, A2 B 2 ) 2 c V 0 1 = k 1 V 2 V 0 2 = k 1 V 1 + k 2 V 3 V 0 3 = k 2 V 2 (İlarslan 2002) < V 0 1,V 2 >= k 1 <V 2,V 2 > {z } 1 k 1 = <V 0 1,V 2 > = A 2 B 2 bulunur. < V 0 2,V 3 >= k 1 <V 1,V 3 > {z } 0 k 2 = <V 0 2,V 3 > = c(a2 B 2 ) A2 B 2 +k 2 <V 3,V 3 > {z } 1 bulunur. H 1 = k 1 = (A2 B 2 ) A2 B 2 = k 2 c(a 2 B 2 ) A2 B 2. c Görüldüğü gibi H 1 sabittir. O halde, α(t) eğrisi bir helistir. Bu helisin ekseni de (0, 0, 1) dir. 39

46 X lineer vektör alanının integral eğrisi olan α(t) daireseldir. α(t) nin dairesel olduğunu göstermek için ( b, a, 0) ötelemesi yapılırsa, α(t) =(A sinh t + B cosh t, A cosh t + B sinh t, ct + d) olur. Bu eğri daireseldir. Çünkü, A 2 B 2 = r 2 olmak üzere, α 2 1(t)+α 2 2(t) =r 2,r R elde edilir. Gerçekten, (A sin t B cos t) 2 +(A cos t + B sin t) 2 = A 2 B 2 = r 2 bulunur. Böylece teoremin birinci şıkkının ispatı tamamlanmış olur. 2. rank[ac] =2olsun. Bunun sağlanabilmesi için 0 λ 0 a λ 0 0 b c , λ 6= 0 matrisinde c =0olmalıdır. Bu durumda X lineer vektör alanının matrisi 0 λ 0 a λ 0 0 b

47 olur. (3.1.7) den c =0olmak üzere; dx dy dz = y + a = x + b = 0 denklem sistemi elde edilir. Bu denklem sisteminin çözümü (4.1.15) de c =0 yazılmak suretiyle α(t) =(A sinh t + B cosh t b, A cosh t + B sinh t a, d) elde edilir. Bu α(t) eğrileri çemberleri göstermektedir. Böylece teoremin ikinci kısmının ispatı tamamlandı. 3. rank[ac] = 1 olsun. Bu şartın sağlanabilmesi için λ = 0 olmalıdır. Bu durumda X lineer vektör alanının matrisi a b c olur. (4.1.2) de λ =0alınırsa, dx dy dz = a = b = c denklem sistemi elde edilir. Bu denklem sisteminin çözümü; α(t) =(at + d 1,bt+ d 2,ct+ d 3 ) şeklindedir. Bu ise, paralel doğrular verir. Böylece ispat tamamlanmış olur. 41

48 KAYNAKLAR Acratalishian, A E 2n+1 de Lineer Vektör Alanları Üzerine. Gazi Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Doktora Tezi. Hacisalihoğlu, H.H Yüksek Diferensiyel Geometriye Giriş. Fırat Üniversitesi Fen Fakültesi Yayınları, Diyarbakır. Hacisalihoğlu, H.H Kuaterniyonlar Teorisi. Gazi Üniversitesi Fen Fakültesi Yayınları Mat. No. 2, Ankara. Hacisalihoğlu, H.H Diferensiyel Geometri. Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Yayınları, Ankara. İlarslan, K Öklid Olmayan Manifoldlar Üzerindeki Bazı Özel Eğriler. Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Doktora Tezi. Karger, A. and Novak, J Space Kinematics and Lie Groups. Gordon and Breach Science Publishers. O Neill, B Semi-Riemannian Geometry. Academic Press, New York. 42

49 ÖZGEÇMİŞ Adı Soyadı: Türkan YAYLACI Doğum Yeri: Tokat/Erbaa Doğum Tarihi: Medeni Hali: Bekar Yabancı Dili: İngilizce Eğitim Durumu Lise: Erbaa Coşkun Önder Lisesi Lisans: Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü Yüksek Lisans: Ankara Üniv. Fen Bil. Enst. Matematik Anabilim Dalı 2006 Çalıştığı Kurumlar ve Yıl İzmit Kocatepe İlköğretim Okulu İzmit Atatürk Endüstri Meslek Lisesi