Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri"

Transkript

1 Üç Boyutlu Uzayda Bazı Yüzeyler ve Koordinat Sistemleri Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Küresel Koordinatlar Silindirik Koordinatları Dönel Yüzeylerin Elde Edilmesi Silindir ve Koninin Denkleminin Bulunması Koniklerle İlişkilendirilen Bazı Yüzeyleri İçindekiler Giriş 205 Silindirik Koordinatlar 207 Silindir 214 Koni 215 Bazı Önemli İkinci Dereceden Yüzeyler 216 Özet 220 Değerlendirme Soruları 221

2 Çalışma Önerileri Bu üniteyi çalışmadan önce; Uzayda dik koordinatları tekrarlayınız. Düzlemde kutupsal koordinatları tekrarlayınız. Lise yıllarından bildiğiniz silindir, küre, koni gibi geometrik nesneleri tekrar inceleyiniz. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

3 ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİ NAT Sİ STEMLERİ Giriş İkinci bölümde üç boyutlu uzayda kartezyen koordinat sistemi ile donatdık. Bu koordinat sisteminin öteleme, dönme ve afin eşdeğerlerini bir kenara bırakacak olursak, uzay değişik amaçlar için farklı şekillerde koordinatlanabilir. Kartezyen koordinat sistemi bizim işimizi görmekle birlikte, eğer uzayda verilen nesnenin (genelde yüzeyin) denklemini sade ve basit bir biçimde ifade edelemiyebilir. Örneğin, düzlemde gördüğümüz kutupsal koordinat sisteminde bir çemberin denklemi düzlemin kartezyen koordinatlardaki denklemine göre çok sade bir formdadır. Yine vurgulayacak olursak düzlemde (0, 0) merkezli R yarıçaplı bir çemberin kartezyen koordinat sisteminde denklemi + y 2 = R 2 olmasına karşın, kutupsal koordinat sisteminde ki denklemi r = R dir. Kartezyen denklem: + y 2 = R 2 y Kutupsal denklem: r = R R (0,0) x Bu kutupsal koordinatlar benzer şekilde üç boyutlu uzayda genişletilebilir, buna küresel koordinatlar denir. Şimdi üç boyutlu uzayı küresel koordinatlar ile koordinatlayalım. Uzayda bir X = (x 0, y 0, z 0 ) noktası alalım. z D X = x o, y o, z o = (r, θ, ) z o r y o 0 θ x o B x C A y AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

4 206 ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİ NAT Sİ STEMLERİ Bu alınan (x 0, y 0, z 0 ) noktasını (r, θ, ) şeklinde koordinatlayabiliriz. Burada r alınan X noktasının başlangıç noktasına uzaklığı, dolayısıyla r>0 dır. θ ise X noktasını başlangıç noktasına birleştiren doğrunun xy koordinat düzlemine dik izdüşümü olan doğrununx ekseni ile yaptığı açını (radyan) ölçüsü, dolayısıyla bu açı 0 θ 2π dir. Son olarak ise X noktasını başlangıç noktasına birleştiren doğru ile xy düzlemi arasında kalan açı, dolayısıyla bu açı - π 2 π 2 dir. (x 0, y 0, z 0 ) ile (r, θ, ) arasındaki ilişkiler de aşağıdaki şekilde elde edilebilir. 0XA dik üçgeninde cos = 0A r 0A = r cos ve sin = XA r XA = r sin dir. Diğer taraftan XA = z 0 olduğundan z 0 = r sin olarak elde edilir. Dikkat edilirse 0 ise z 0 0 ve 0 ise z 0 0 olduğundan z 0 = r sin formülünde açısı z 0 ın işaretini de verir. Öte yandan 0AB dik üçgeninde cos θ = 0B 0B = 0A cos θ olur. 0A = r cos yazılırsa x 0 = 0B = 0A cos 0A cosθ yine aynı 0AB dik üçgeninde sin θ = AB AB = 0A sin = θ = r cos sinθ 0A elde edilirler. Özetle (r, θ, ) den (x 0, y 0, z 0 ) geçiş x 0 = r cos cos θ, y 0 = r cos sin θ ve z 0 = r sin olarak elde edilir. Uzayda bazı noktaların küressel koordinatları aşağıdaki şekildeki gibi işaretlenebilir. z 1, 4, /4 x y Aslında yukarıdaki koordinatlama (0, 0, 0) noktasını koordinatlayamaz çünkü r = 0 dır. Bu noktayı ayrıca şu şekilde koordinatlayabiliriz. x = (0, 0, 0) r = 0, θ = 0, = 0 denilirse küresel koordinatlarla donatılan uzay ile dik koordinatlarla donatılan uzay arasında ilişki kurulmuş olur. Bu işlemin tersine (x 0, y 0, z 0 ) dır (x, θ, ) yi aşağıdaki şekilde elde edebiliriz. r = x y z 0 2 r = 0 ise θ = 0, = 0 r 0 ise ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

5 ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİ NAT Sİ STEMLERİ 207 = sin -1 z 0 r - π 2, π 2 olduğundan iyi tanımlıdır x 0 0, y 0 0 θ 0, π 2 θ = tan -1 y 0 x 0 x 0 0, y 0 0 θ π 2, π x 0 0, y 0 0 θ π 3, 3π 2 x 0 0, y 0 0 θ 3π 2, 2π Örneğin küresel kooordinatlardaki 2, π 2, π 3 noktasının kartezyen koordinatlarını bulalım. x 0 = r cos cos θ = 2 cos π 3 cos π 2 = 0 y 0 = r sin θ cos = 2 sin π 2 cos π 3 = 1 z 0 = r sin = 2 sin π 3 = 3 den 0, 1, 3 elde edilir. noktasının küresel koardinatla- Kartezyen koordinatlarda verilen 1 2, 1 2, 1 2 rını bulalım. r = x y z 0 2 = = 1-1 = sin = π 4 1 θ = tan -1 2 = π x 0 > 0, y 0 > 0 olduğu için O halde noktanın küresel koordinatları 1, π 4, - π 4 elde edilir. 2. Silindirik Koordinatlar Küresel koordinatlar gibi doğrusal olmayan bir diğer yaygın kullanıma sahip koordinat sistemi de silindirik koordinatlardır. Silindirik koordinatlar da yine düzlemin kutupsal koordinatlarının üç boyutlu uzaya genişletilmesi gibi düşünülebilir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

6 208 ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİ NAT Sİ STEMLERİ Kartezyen koordinatları X = (x 0, y 0, z 0 ) olarak verilen bir noktayı (r, θ, z) olarak aşağıdaki şekilde koordinatlayabiliriz. z (x, y, z ) = X θ r B y C A y Bu koordinatlamada r alınan X noktasını başlangıç noktasına birleştiren doğrunun x y düzlemine olan dik üzdüşümünün uzunluğu, dolayısıyla r > 0 dır. θ ise bu dik izdüşümün x ekseni ile yaptığı açı, dolayısıyla 0 θ< 2π dir. Son olarak ise OX doğrusunun z ekseni üzerine olan dik izdüşümünün işaretli uzunluğu z = z 0 dır. Bu durumda kartezyen koordinatlarda verilen bir (x 0, y 0, z 0 ) noktasının (r,, z) silindirik koordinatları aşağıdaki şekilde bulunur. r = + y 0 2 θ = cos -1 x 0 x y 0 2 = sin-1 y 0 x y 0 2 z = z 0 Tersine silindirik koordinatlarda verilen bir (r, θ, z) noktasının kartezyen koordinatları (x 0, y 0, z 0 ) aşağıdaki şekilde bulunabilir. z 0 = z x 0 = r cosθ, y 0 = r sinθ noktasının kartezyen koordinatla- Örneğin silindirik koordinatlarda rı (x 0, y 0, z 0 ) ı bulalım: 1, π 3, -1 z 0 = -1, x 0 = 1 cos π 3 = 1 2, y 0 = 1 sin π 3 = 3 2 O halde istenilen nokta 1 2, 3 2, -1 noktasıdır. Son olarak silindirik ve küresel koordinatlar arasındaki ilişkiyi netleştirelim. Aynı bir (x 0, y 0, z 0 ) noktasının küresel koordinatı (r, θ, ) ve silindirik koordinatı (r', θ', z) ise ilişkiler: ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

7 ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİ NAT Sİ STEMLERİ 209 θ * = θ *', r 2 = r' 2 + z 2, = tan -1 z r' formülleri ile silindirik koordinatlardan küresel koordinatlara geçilir. Küresel koordinatlarda silindirik koordinatlara ise θ ' = θ, z = r sin, r' = r 2 - z 2 formülleri ile geçilir. Bu formülleri biz yalnızca ifade ettik. Siz de uygun dik üçgenleri göz önüne alarak bu formülleri kanıtlayınız. Üç boyutlu uzayda koordinat sistemlerini kabaca bu şekilde gördükten sonra uzayda yüzeylere kısa bir göz gezdirelim Yüzeyler Uzayda bir yüzeyin tanımını şu şekilde yapabiliriz. f : U R 2 R 3 sürekli bir fonksiyonunun R 3 deki f(u) görüntüsüne R 3 de bir yüzey denir. Eğrilerdeki kötü kullanım burada da aynı şekilde kendini gösterir. Çoğunlukla görüntüyü belirleyen f fonksiyonunun kendisine yüzey denir. Bu şekilde f : U R 2 R 3, f(λ, µ) = (x (λ, µ), y (λ, µ), z (λ, µ)) şeklinde verilişi aslında çoğu zaman yüzeyin parametrik biçimi denir. Aynı bir yüzey parametre uzayı ve fonksiyon değişik biçimlerde seçilerek farklı şekillerde ifade edilebilir. Örneğin: f : R 2 R 3 (λ, µ) (2λ, 1 + µ + λ, λ - µ) bir yüzeydir. Burada: x = 2λ, y = 1 + λ + µ ve z = λ - µ şeklindedir. x = 2λ ve z = λ - µ denklemlerinden λ ve µ yü x ve z cinsinden çözersek, λ = ve µ = - z elde edilir. Bu değerler y = 1 + λ + µ denkleminde yerine konulursa y = z y = 1 + x - z elde edilir. Bu şekilde parametreler yok edilerek elde edilen AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

8 210 ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİ NAT Sİ STEMLERİ F(x, y, z) = 0 şeklinde ifadeye yüzeyin kartezyen formu denir. Eğer kartezyen formdaki F(x, y, z) ifadesi n-inci dereceden x, y, ve z ye bağlı bir polinom ise F(x, y, z) = 0 denklemiyle verilen yüzeye n-inci dereceden bir cebirsel yüzey denir. Örneğin xy - 2x 3 - z 2 y = 0 denklemiyle verilen yüzey üçüncü dereceden cebirsel bir yüzeydir. Yüzeylerin teorisi yüzeylere göre çok daha zordur. Doğal olarak burada ilk bakılacak yüzeyler birinci dereceden cebirsel yüzeylerdir. Yani a, b, c, d R olmak üzere kartezyen formu ax + by + cz + d = 0 şeklinde verilen yüzeylerdir. Bu yüzeylerin bir düzlem gösterdiğini bir önceki bölümde görmüştük (Eğer a, b ve c değerleri sıfır ise boş küme gösterir). Genelde F(x, y, z) = 0 ifadesi ile verilen bir yüzeyi canlandırmak (en azından nasıl bir şey olduğunu hayal etmek) hiç de kolay değildir. Bu bağlamda öncelikle yüzeyleri düzlemsel eğrilerden türetmeyi düşünebiliriz. Bunun ilk şekli ise belki daha önceki yıllardan adını duyduğunuz dönel yüzeylerdir Dönel Yüzeyler Dönel yüzeyler xz koordinat düzleminde verilen bir y = 0, F(x, y, z) = 0 eğrisinin z ekseni etrafında döndürülmesi ile oluşan yüzeydir. Burada farklı koordinat düzlemlerindeki eğrilerin farklı eksenler etrafında döndürülmesiyle de dönel yüzeyler elde edilebilir. Şimdi bir dönel yüzey örneği elde edelim. Z x = 1 y = 0 θ (x, y, z) (x cos θ - y sin θ, x sin θ + y cos θ, z) x Uzayda x = 1, y = 0, z R denklemleriyle verilen doğruyu z ekseni etrafında döndürelim. Bu dönme esnasında ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

9 ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİ NAT Sİ STEMLERİ 211 z koordinatı değişmez z - ekseni etrafında dönme aslında xy düzleminin ve ona paralel bütün düzlemlerin dönmesidir. O halde xy koordinat düzlemindeki dönmenin paralel düzlemler boyunca uygulanmasından başka bir şey değildir. x y düzleminin θ radyan dönmesi sonucu elde edilen yeni noktaların koordinatları (x cos θ - y sin θ, x sin θ + y cos θ, z) dır. Bizim doğrunun her noktasında x = 1, y = 0 olduğundan dönmüş nokta (cos θ, sin θ, z) dır. z yi sabit bırakıp xy düzlemini θ radyan döndürdük. O halde dönel yüzeyin denklemi { (x, y, z) x = cos θ, y = sin θ, z R, θ [0, 2π] } olmalıdır. θ [0, 2π] alarak bütün dönmeleri yeni yüzeyin elemanı yaptık. + y 2 = sin 2 θ + cos 2 θ = 1 olduğundan yüzeyin kartezyen denklemi R 3 de + y 2 = 1, z R ifadesi ile verilir. (Bu yüzeyin bir dik silindir olduğunu sanırım fark ediyorsunuzdur). Şimdi benzer yolla bir koninin denklemini elde edelim: Z z = 2x y = 0 x 0 θ (x, y, z) = (x, 0, 2x) x y AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

10 212 ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİ NAT Sİ STEMLERİ Kolay olsun diye koninin köşesini başlangıç noktası alıp uzayda z = 2x, y = 0, x 0 yarı doğrusunu z -ekseni etrafında döndürelim. Şekilden de görüldüğü gibi z = 2x, y = 0 doğrusu üzerinde koniye ait bir noktanın koordinatları (x, 0, 2x) dir. (Doğru denkleminin bir sonucu olarak.) Yine keyfi bir (x, y, z) noktasının z -ekseni etrafında θ radyan döndürürsek yeni nokta (x cos θ - y sin θ, x sin θ + y cos θ, z) olur. Burada y = 0, z = 2x alınırsa θ [0, 2π] ve x 0 olmak üzere istenilen koninin denklemini elde etmiş oluruz. O halde koni üzerinde keyfi bir nokta (x cos θ, x sin θ, 2x) θ [0, 2π], x 0 olur. Yani koni üzerinde keyfi bir (X, Y, Z) noktası X = x cos θ, Y = x sin θ, Z = 2x denklemlerini sağlar. x = Z 2 yazılırsa: X = Z 2 cosθ, Y = Z 2 sinθ 2X Z = cosθ, 2Y Z = sinθ 2X Z 2 + 2Y Z 2 = 1 4 X2 + Y 2 = 1 4 X 2 + Y 2 = Z 2 Z 2 denklemini elde etmiş oluruz. x 0 olduğundan yeni denklemde de Z 0 dır. Şimdi benzer yolla R yarı çaplı bir küre yüzeyinin denklemini yazalım: z x = R 2 - z 2, y = 0 x y ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

11 ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİ NAT Sİ STEMLERİ 213 Bu yüzeyde x = R 2 - z 2, y = 0 yarı çemberinin z ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilebilir. O halde θ radyanlık dönme xy düzlemine paralel her düzleme uygulanıp z de sabit bırakıldığında elde edilen yeni koordinatlar: (xcosθ - ysinθ, xsinθ + ycosθ, z) olur. y = 0 ve x = R 2 - z 2 alınırsa; R 2 - z 2 cosθ, R 2 - z 2 sinθ, z elde edilir. Yani küre kabuğu üzerindeki keyfi bir (X, Y, Z) noktasında X = R 2 - z 2 cosθ, Y = R 2 - z 2 sinθ, Z = z dir. Buradan X 2 + Y 2 + Z 2 = (R 2 - z 2 )cos 2 θ + (R 2 - z 2 ) sin 2 θ + z 2 = (R 2 - z 2 ) (cos 2 θ + sin 2 θ) + z 2 = R 2 - z 2 + z 2 = 1 elde edilir. O halde (0, 0, 0) merkezli R yarıçaplı küre yüzeyinin denklemi X 2 + Y 2 + Z 2 = R 2 dir. Şimdi biraz daha zorca bir yüzey olan (susamsız) simit yüzeyinin denklemini elde edelim. z (x - R - r) 2 + z 2 = r 2 R r (R + r, 0, 0) y = 0 x R > r y R > r olmak üzere simit yüzeyi (R + r, 0, 0) merkezli, r yarıçaplı (x - R - r) 2 + z 2 = r 2, y = 0 çemberinin z ekseni etrafında dönmesi ile elde edilebilir. O halde z nin sabit kalması koşuluyla (x, y, z) noktasının dönme altındaki görüntüsü: AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

12 214 ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİ NAT Sİ STEMLERİ (xcosθ - ysinθ, xsinθ + ycosθ, z) olur. Burada y = 0 yazılırsa (xcosθ, xsinθ, z) şeklini alır. O halde simit yüzeyi üzerindeki keyfi bir (X, Y, Z) noktasının koordinatları θ [0, 2π) ve (x - R - r) 2 + z 2 = r 2 olmak üzere X = xcosθ, Y = xsinθ, Z = z dir. Burada F(X, Y, Z) = 0 olarak yazmak yerine kolay olan parametrik formu yazalım. (x - R - r) 2 + z 2 = r 2 x = (R + r) + rcos γ z = rsinγ (çember parametrizasyonu) ifadelerinden X = ((R + r) + rcosγ) cosθ, Y = ((R + r) + rcosγ) sinθ ve Z = rsinγ olan simit yüzeyinin parametrik gösterimi elde edilmiş olur. Sanırım bu yöntemle çok zor gibi görünen çoğu yüzeyin denklemleri kısmen de olsa rahatlıkla nasıl çıkarabileceğinizi anlamışsınızdır. Bütün bu örnek verdiğimiz yüzeylerin temel bir ortak noktaları bu yüzeylerin bir simetri eksenleri vardır. 3. Silindir Uzayda bir yüzey elde etmenin diğer bir önemli yolu da uzayda verilen bir l doğrusunu verilen bir uzay eğrisi l üzerinde paralel kaydırmaktır. Bu paralel kaydırma esnasında l doğrusunun süpürdüğü yüzeye bir silindir, buradaki l eğrisine silindirin dayanak eğrisi ve l doğrusuna da silindirin doğrultmanı denir. Önemli olan paralel kaydırma olduğu için doğrudan ziyade doğrultu buradaki önemli kavramdır. Bu doğrultuyu (vektörü) v ile gösterirsek yüzey üzerindeki genel bir noktadan v vektörü doğrultusundaki doğru üzerinde keyfi bir noktadır. Sembolik olarak bunlar şöyle yapılabilir. A ve B verilen l doğrusu üzerinde iki nokta ise v = B - A = AB = v 1, v 2, v 3 olarak alınabilir. Uzayda bir (x 0, y 0, z 0 ) noktasındangeçen ve doğrultusu v ile verilen doğrunun denkleminin x = x 0 + λv 1 y = y 0 + λv 2 z = z 0 + λv 3 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

13 ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİ NAT Sİ STEMLERİ 215 olduğunu biliyoruz. Eğer l eğriside (x(t), y(t), z(t)) parametrik formunda verilmiş olduğunu kabul edersek yüzeyin üzerindeki keyfi bir noktanın koordinatları (X,Y,Z) şu şekildedir: X = x(t) + λv 1 Y = y(t) + λv 2 Z = z(t) + λv 3 Örnek Dayanak eğrisi (2t, 4t 2-1, sint) ve doğrultmanı, silindirin denklemini bulunuz. x 2 = y = z doğrusu olan 3 Çözüm Doğru üzerindeki keyfi iki nokta A = (0, 0, 0) ve B = (2, 3, 1) olarak alınabilir. O halde v = B - A = 2, 3, 1 Şimdi (2t, 4t2-1, sint) noktasında v doğrultusundaki doğru: X = 2(t) + λ. 2 Y = 4t λ. 3 Z = sint + λ. 1 koordinatları ile verilir. O halde yüzey (silindir) { ( 2t + 2λ, 4t λ, sint + λ) λ, t R} olarak verilir. 4. Koni Uzayda yüzey elde etmenin bir başka şeklide şöyledir. l uzayda bir eğri ve P = (p 1, p 2, p 3 ) de l üzerinde olmayan bir nokta olsun. P den ve l eğrisinin üzerinde bir noktadan geçen bir l doğrusunun l üzerinde P noktası sabit bırakılarak kaydırılması suretiyle elde edilmesidir. Bu tipten yüzeye bir koni ve P noktasına koninin köşesi ve l ya da koninin dayanak eğrisi denir. Eğer l nin bir noktası (x(t), y(t), z(t)) ve P = (p 1, p 2, p 3 ) olarak verilirse koninin keyfi bir (X, Y, Z) noktasının koordinatları X = p 1 + λ(x(t) - p 1 ) Y = p 2 + λ(y(t) - p 2 ) Z = p 3 + λ(z(t) - p 3 ) ile verilir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

14 216 ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİNAT SİSTEMLERİ Örnek Dayanak eğrisi (sint, cost, 1) ve köşesi (0, 0, 0) olan bir koninin denklemini elde ediniz. Çözüm (0, 0, 0) noktasından ve (sint, cost, 1) noktasından geçen bir doğrunun denklemini yazmak problemin çözümüdür. Bu doğrunun (X, Y, Z) noktası X = λ sint, Y = λ cost, Z = λ dır. X = sint, Y = cost Z Z X Z 2 + Y Z 2 =1 X 2 + Y 2 = Z 2 elde edilir. Silindir ve koni adına regle yüzey denilen daha geniş bir yüzey sınıfının örnekleridir. Uzayda bir doğrunun herhangi bir şekilde verilen hareketi sonucu elde edilen yüzeye bir regle yüzey denir. Verilen bir yüzeyin bir regle yüzey olup olmadığının incelenmesi oldukça detaylı bir iştir. Bu yüzey sınıfını sadece tanımlamakla yetineceğiz. Şimdi bu bölümü bazı önemli yüzeylerle bitirelim. Bu yüzeylerin koniklerin üç boyutlu genellemesinden başka bir şey değildir. 5. Bazı Önemli İkinci Dereceden Yüzeyler Uzayda a, b, c pozitif gerçel sayılar olmak üzere 2 x2 + y + z2 = 1 denklemi a2 c2 b2 ile verilen yüzeye (0, 0, 0) merkezli bir elipsoid denir. Şekil 10.1: Elipsoid ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

15 ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİ NAT Sİ STEMLERİ 217 Bu yüzeyin ay, xz ve yz düzlemleriyle ara kesitleri sırasıyla a 2 + y2 b 2 = 1 elipsi, x2 a 2 + z2 c 2 y2 = 1 elipsi ve a, b, c pozitif gerçel sayılar olmak üzere b 2 + z2 c 2 = 1 elipsidir. a 2 + y2 b 2 = cz denklemiyle tanımlanan yüzeye bir eliptik parabolid denir. Bu yüzeyin z = 1 düzlemiyle ara kesiti Şekil 10.2: Eliptik Parabolid a 2 elipsi olmasına karşın x = 0 ve y = 0 düzlemleriyle ara kesitleri y 2 = b 2 cx ve = a 2 cx parabolleridir. Diğer bir önemli yüzey ise yine a, b, c pozitif gerçel sayılar olmak üzere a 2 + y2 b 2 - y2 b 2 = c = cz denklemiyle verilen yüzeye bir hiperbolik paraboloid denir. Bu yüzeyin de z = 1 düzlemiyle ara kesiti a 2 - y2 b 2 = c AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

16 218 ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİ NAT Sİ STEMLERİ hiperbolü olmasına karşın x = 0 ve y = 0 düzlemleriyle ara kesitleri sırasıyla y 2 = -b 2 cx ve = a 2 cx parabolleridir. Şekil 10.3: Hiperbolik Paraboloid Son olarak yine a, b, c pozitif gerçel sayılar olmak üzere a 2 + y2 b 2 - z2 c 2 = 1 eşitliği ile tanımlanan yüzeye tek kanatlı hiperboloid ve Şekil 10.4: Tek Kanatlı Hiperboloid ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

17 ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİ NAT Sİ STEMLERİ 219 a 2 - y2 b 2 - z2 c 2 = 1 eşitliği ile tanımlanan yüzeye çift kanatlı hiperboloid denir. Bir tek kanatlı hiperboloidin z = 0 düzlemiyle ara kesiti Şekil 10.5: Çift Kanatlı Hiperboloid a 2 + y2 b 2 = 1 elipsi olmasına karşın, çift kanatlı hiperboloidin z = 0 düzlemiyle ara kesiti a 2 - y2 b 2 = 1 elipsidir. Son olarak elips, hiperbol ve parabol eğrilerine neden konik denildiğini görelim. Aşağıdaki şekillerden görüldüğü gibi bu eğriler bir dik koninin düzlem ile arakesitleri sonucunda oluşan eğrilerdir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

18 220 ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİNAT SİSTEMLERİ (a) Çember (c) Parabol (b) Elips (d) Hiperbol Şekil 10.6: Koni Kesitlerinin Bir Dik Koniden Elde Edilmesi Özet Bu bölümde daha önce dik koordinatlarda donatılan üç boyutlu uzayın küresel ve silindirik koordinat sistemleri ile nasıl donatılacağını ve bu koordinat sistemleri arasındaki geçişlerin nasıl olduğunu gördük. Daha sonra uzayda önemli bir yüzey elde etme yöntemi olan dönel yüzeyleri inceleyip koni ve silindiri genel anlamda tanımladık. Son olarak düzlemdeki koni kesitleri ile çok yakından ilgili olan elipsoid, eliptik parabolid, hiperbolik parabolid, (tek ve çift) kanatlı hiperbolik olarak adlandırılan ikinci dereceden yüzeyleri tanımladık. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ

19 ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİ NAT Sİ STEMLERİ 221 Değerlendirme Soruları 1. Kartezyen koodinatları 3 olan noktanın küresel koordinatlarını bulunuz? 2, 1 2, - 3 A. B. C. D. E. 2, π 6, - π 3 2, - π 6, - π 3 2, π 6, π 3 2, π 3, π 6 2, - π 3, π 6 2. Silindirik koordinatları 1, π noktasının kartezyen koordinatlarını bulunuz? 4, - 2 A. B. C. D. E. - 2, 1 2, , 1 2, , 1, - 2 1, 1 2, - 2 1, 1, y = 0, x + 2z = 1 doğrusunu z-ekseni etrafında dönmesiyle elde edilen yüzeyin denklemini yazınız? A. + y 2-4z 2 + 4z = 1 B. - y 2-4z 2 + 4z = 1 C. + y z = - 1 D. + 2y 2-4z 2 + 4z = 1 E. + 2y 2-4z 2 + 4z = y = 0 z = eğrisini z-ekseni etrafında dönmesiyle elde edilen yüzeyin denklemini yazınız? A. z = + y 2 B. 2z = + y 2 C. z = 2 ( + y 2 ) D. z = + 2y 2 E. z = 2 + y 2 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

20 222 ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİ NAT Sİ STEMLERİ 5. z = + y 2 yüzeyi ile x + y = 0 z = 1 eğrisinin ara kesiti nedir? A. (x, - x, z) B. (x, - x, 0) C. (x, - x, 1) D. (x, y, + y 2 ) E. ( - z, y 2 - z, 1) 6. Doğrultmanı z = 1 x + y + 1 = 0 doğrusu ve dayanak eğrisi (t 2 + 1, 2t, t 2-1), t R olan silindirin denklemini yazınız? A. (λ µ, 2 λ - µ, λ 2-1) B. (λ 2 + 1, 2 λ - µ, λ 2 + 1) C. (λ 2 + µ 2, λ 2 - µ 2, 2 λ) D. (λ µ 2, λ - 2µ, λ 2-1) E. (λ µ 2, λ - 2µ, λ 2 + 1) 7. Dayanak eğrisi (t, sint, cost) ve köşesi (1, 1, 1) olan koninin denklemini yazınız? A. (λ 2, λ sint, λ cost) B. (λ cost λ, λ sint λ, λt λ) C. (λt λ, λ sint λ, λ cost λ) D. (1, λ sint λ, λ cost λ) E. (λ sint λ, λt λ, λ cost λ) 8. Aşağıda verilen yüzeylerden hangisi bir tek kanatlı hiperbobiddir? A. B. C. D. E. 2 + y2 4 - z2 5 = y2 4 - z2 5 = y2 4 + z2 5 = y2 4 - z2 5 = - 1 x y z = y2 = 2z hiperbolik paraboloidinin x + y = 0 düzlemiyle arakesiti 3 nedir? A. = 24 z, y = x B. z 2 = 24 x, y = x C. z 2 = - 24 x, y = x D. = - 24 z, y = x E. xz = 24, y = x ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

21 ÜÇ BOYUTLU UZAYDA BAZI YÜZEYLER VE KOORDİ NAT Sİ STEMLERİ Aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur? a) 9 - y2 2 + z2 = 1 yüzeyinin başlangıç noktasından geçen bir düzlemle ara kesi elipstir. b) 4 - y2 + 3z = 1 yüzeyinin x = 1 düzlemiyle arakesiti bir paraboldür. 12 c) İki küre yüzeyi bir elips boyunca kesişir ya da ara kesiti boştur. A. {a, b} B. {a} C. {b} D. {a, b, c} E. {b, c} Değerlendirme Sorularının Yanıtları 1. A 2. B 3. A 4. A 5. C 6. A 7. C 8. B 9. D 10. A AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

22 224 Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kaynaklar ELLIS, J.A.; Basic Algebra and Geometry for Scientists and Engineers, John Wiley & Sons 1982, ISBN KAYA, Rüstem; Analitik Geometri, Anadolu Üniversitesi Basımevi Eskişehir, 1992, ISBN X. RYAN, Patrick J.; Euclıdean and Non-Euclıdean Geometry, Cambrıdge University Press 1986, ISBN WALKER, Robert J.; Algebraic Curves, Dover Publications, Inc. New York ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın,

Detaylı

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25

İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Noktanın Analitik İncelenmesi...3. Doğrunun Analitiği Analitik Düzlemde Simetri...25 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Noktanın Analitik İncelenmesi...3 Doğrunun Analitiği...11 Analitik Düzlemde Simetri...25 Analitik Sistemde Eşitsizlikler...34 Çemberin Analitik İncelenmesi...40 Elips...58 Hiperbol...70

Detaylı

ANALİTİK GEOMETRİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİTİK GEOMETRİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİTİK GEOMETRİ ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik,

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

KUTUPSAL KOORDİNATLAR

KUTUPSAL KOORDİNATLAR KUTUPSAL KOORDİNATLAR Geometride, bir noktanın konumunu belirtmek için değişik yöntemler uygulanır. Örnek olarak çok kullanılan Kartezyen (Dik ) Koordinat sistemini anımsatarak çalışmamıza başlayalım.

Detaylı

MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI

MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI MAT 103 ANALİTİK GEOMETRİ I FİNAL ÇALIŞMA SORULARI SORU 1. Köşeleri (1,4) (3,0) (7,2) noktaları olan ABC üçgeninin bir ikizkenar dik üçgen (İpucu:, ve vektörlerinden yararlanın) SORU 2. Bir ABC üçgeninin

Detaylı

Cebirsel Fonksiyonlar

Cebirsel Fonksiyonlar Cebirsel Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 4 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; polinom, rasyonel ve cebirsel fonksiyonları tanıyacak ve bu türden bazı fonksiyonların grafiklerini öğrenmiş

Detaylı

3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10

3. V, R 3 ün açık bir altkümesi olmak üzere, c R. p noktasında yüzeye dik olduğunu gösteriniz.(10 Diferenisyel Geometri 2 Yazokulu 2010 AdıSoyadı: No : 1. ϕ (u, v) = ( u + 2v, v + 2u, u 2 v ) parametrizasyonu ile verilen M kümesinin bir regüler yüzey olduğunu gösteriniz. (15 puan) 3. V, R 3 ün açık

Detaylı

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi

Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda iki doğrunun ortak dikme doğrusunun denklemi Uzayda verilen d 1 ve d aykırı doğrularının ikisine birden dik olan doğruya ortak dikme doğrusu denir... olmak üzere bu iki doğru denkleminde değilse

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Öğr. Gör. Volkan ÖĞER MAT 1010 Matematik II 1/ 172 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası)

Detaylı

Konikler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN

Konikler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Doç.Dr. Hüseyin AZCAN Konikler Yazar Doç.Dr. Hüsein AZCAN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu ünitei çalıştıktan sonra; lise ıllarından da tanıdığınız çember, elips, parabol ve hiperbol gibi konik kesitleri olarak adlandırılan geometrik nesneleri

Detaylı

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi... 71. 2. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri... 77 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM Sayfa No. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektörel ve parametrik denklemi.............. 7. BÖLÜM uzayda düzlem denklemleri.......................................... 77. BÖLÜM uzayda Bir

Detaylı

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Üç Boyutlu Geometri Nokta (Point,Vertex) Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur. Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak

Detaylı

Kuadratik Yüzeyler Uzayda İkinci Dereceden Yüzeyler

Kuadratik Yüzeyler Uzayda İkinci Dereceden Yüzeyler İÇİNDEKİLER Kuadratik Yüeler Uada İkinci Dereceden Yüeler 1 0.1. Elipsoid 2 0.2. Hiperboloid 4 0.2.1. Tek Kanatlı Hiperboloid 4 0.2.2. Çift Kanatlı Hiperboloid 4 0.3. Paraboloid 5 0.3.1. Eliptik Paraboloid

Detaylı

H. Turgay Kaptanoğlu. Ç. Dışmerkezlilik ve Doğrultmanlar Dışmerkezlilik kavramı, inceledimiz dört

H. Turgay Kaptanoğlu. Ç. Dışmerkezlilik ve Doğrultmanlar Dışmerkezlilik kavramı, inceledimiz dört KONİNİN KESİTLERİ (II) H. Turgay Kaptanoğlu Ç. Dışmerkezlilik ve Doğrultmanlar Dışmerkezlilik kavramı, inceledimiz dört eğriyi aynı bakış açısı etrafında toplamamızı sağlayacak. Dışmerkezlilik hakkında

Detaylı

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir.

Detaylı

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN

İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.

Detaylı

Bilgisayar Grafikleri

Bilgisayar Grafikleri Bilgisayar Grafikleri Konular: Cismin Tanımlanması Bilindiği gibi iki boyutta noktalar x ve y olmak üzere iki boyutun koordinatları şeklinde ifade edilirler. Üç boyutta da üçüncü boyut olan z ekseni üçücü

Detaylı

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER

ÜNİTE. MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI İÇİNDEKİLER HEDEFLER DOĞRULAR VE PARABOLLER HEDEFLER İÇİNDEKİLER DOĞRULAR VE PARABOLLER Birinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Doğru Doğru Denklemlerinin Bulunması İkinci Dereceden Polinom Fonksiyonlar ve Parabol MATEMATİK-1 Yrd.Doç.Dr.Ömer TARAKÇI

Detaylı

= e DIŞ MERKEZLİK HAZİNE-1 HAZİNE-2

= e DIŞ MERKEZLİK HAZİNE-1 HAZİNE-2 HAZİNE-1 HAZİNE-2 Bir eksen üzerinde verilen noktadan geçen ve eksen ile belirli açı yaparak dönen doğrunun oluşturduğu yüzeye konik yüzey denir. Konik yüzeyin değişik düzlemler ile arakesit kümeleri çember,

Detaylı

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ DEKANLIĞI DERS/MODÜL/BLOK TANITIM FORMU MATEMATİK II. Dersin Kodu: MAT 1010

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ DEKANLIĞI DERS/MODÜL/BLOK TANITIM FORMU MATEMATİK II. Dersin Kodu: MAT 1010 Dersi Veren Birim: Mühendislik Fakültesi Dersin Adı: MATEMATİK II Dersin Düzeyi:(Ön lisans, Lisans, Yüksek Lisans, Doktora) Lisans Dersin Kodu: MAT 1010 Dersin Öğretim Dili: Türkçe Formun Düzenleme / Yenilenme

Detaylı

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ DEKANLIĞI DERS/MODÜL/BLOK TANITIM FORMU. Dersin Kodu: MAT 1010

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ DEKANLIĞI DERS/MODÜL/BLOK TANITIM FORMU. Dersin Kodu: MAT 1010 Dersi Veren Birim: Mühendislik Fakültesi Dersin Türkçe Adı: MATEMATİK II Dersin Orjinal Adı: MATEMATİK II Dersin Düzeyi:(Ön lisans, Lisans, Yüksek Lisans, Doktora) Lisans Dersin Kodu: MAT 1010 Dersin Öğretim

Detaylı

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu FOTOGRAMETRİ I Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ JDF329 Fotogrametri I Ders Notu 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi İzdüşüm merkezi(o):

Detaylı

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN

Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,

Detaylı

Genel Olarak Bir Yüzeyin Diğer Bir Yüzeye Projeksiyonu

Genel Olarak Bir Yüzeyin Diğer Bir Yüzeye Projeksiyonu JEODEZİ9 1 Genel Olarak Bir Yüzeyin Diğer Bir Yüzeye Projeksiyonu u ve v Gauss parametrelerine bağlı olarak r r ( u, v) yer vektörü ile verilmiş bir Ω yüzeyinin, u*, v* Gauss parametreleri ile verilmiş

Detaylı

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ DEKANLIĞI DERS/MODÜL/BLOK TANITIM FORMU MATEMATİK II. Dersin Kodu: MAT 1010

DOKUZ EYLÜL ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ DEKANLIĞI DERS/MODÜL/BLOK TANITIM FORMU MATEMATİK II. Dersin Kodu: MAT 1010 Dersi Veren Birim: Mühendislik Fakültesi Dersin Adı: MATEMATİK II Dersin Düzeyi:(Ön lisans, Lisans, Yüksek Lisans, Doktora) Dersin Kodu: MAT Dersin Öğretim Dili: Türkçe Formun Düzenleme / Yenilenme Tarihi:

Detaylı

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07

İÇİNDEKİLER UZAY AKSİYOMLARI... 001-006... 01-03 UZAYDA DOGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 04-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-014... 06-07 UZY GEMETRİ İÇİNDEKİLER Safa No Test No UZY KSİYMLRI... 001-00... 01-0 UZYD DGRU VE DÜZLEMLER... 007-010... 0-05 DİK İZDÜŞÜM... 011-01... 0-07 PRİZMLR... 015-0... 08-1 KÜP... 05-00... 1-15 SİLİNDİR...

Detaylı

Analitik Geometri (MATH172) Ders Detayları

Analitik Geometri (MATH172) Ders Detayları Analitik Geometri (MATH172) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Uygulama Saati Saati Laboratuar Kredi AKTS Saati Analitik Geometri MATH172 Bahar 2 2 0 3 4 Ön Koşul Ders(ler)i Dersin Dili Dersin

Detaylı

Uzayda Simetri. A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği B(x, y, z ) ise O noktası [AB] nın orta noktasıdır.

Uzayda Simetri. A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği B(x, y, z ) ise O noktası [AB] nın orta noktasıdır. Uzayda Simetri Hazırlayan Halit Çelik Matematik Öğretmeni Noktaya Göre Simetri: A(x, y, z) noktasının O(a, b, c) noktasına göre simetriği B(x, y, z ) ise O noktası [AB] nın orta noktasıdır. Buna göre şeklinde

Detaylı

LİSE ÖĞRENCİLERİNE OKULLARDA YARDIMCI VE ÜNİVERSİTE SINAVLARINA. (YGS ve LYS na) HAZIRLIK İÇİN. Örnek çözümlü. Deneme sınavlı GEOMETRİ-2.

LİSE ÖĞRENCİLERİNE OKULLARDA YARDIMCI VE ÜNİVERSİTE SINAVLARINA. (YGS ve LYS na) HAZIRLIK İÇİN. Örnek çözümlü. Deneme sınavlı GEOMETRİ-2. LİSE ÖĞRENCİLERİNE OKULLARDA YARDIMCI VE ÜNİVERSİTE SINAVLARINA (YGS ve LYS na) HAZIRLIK İÇİN Konu anlatımlı Örnek çözümlü Test çözümlü Test sorulu Deneme sınavlı GEOMETRİ-2 Hazırlayan Erol GEDİKLİ Matematik

Detaylı

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500

1984 ÖYS A) 875 B) 750 C) 625 D) 600 E) 500 984 ÖYS. + + a a + a + a işleminin sonucu nedir? a A) +a B) a C) +a D) a E) +a a b ab. ifadesinin kısaltılmış biçimi a b + a b + ab a + b A) a b a b D) a b B) a b a + b E) ab(a-b) C) a b a + b A) 87 B)

Detaylı

Trigonometrik Fonksiyonlar

Trigonometrik Fonksiyonlar Trigonometrik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 6 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; açı kavramını hatırlayacak, açıların derece ölçümünü radyan ölçümüne ve tersine çevirebilecek, trigonometrik

Detaylı

İçindekiler. 3 KONİKLER Geometrik Yer Çember Parabol... 63

İçindekiler. 3 KONİKLER Geometrik Yer Çember Parabol... 63 İçindekiler 1 DÜZLEMDE VEKTÖRLER 1 1.1 Kartezyen Koordinatlar..................... 1 1.2 Noktalar ve Vektörler....................... 5 1.3 Vektörler Üzerinde Temel İşlemler............... 7 1.3.1 Skaler

Detaylı

FİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A

FİNAL SORULARI GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ FİNAL SORULARI 25-26 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... SINAV TARİHİ VE SAATİ : A A A A A A A Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav süresi 9 dakikadır.

Detaylı

25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır?

25. f: R { 4} R 28. ( ) 3 2 ( ) 26. a ve b reel sayılar olmak üzere, 27. ( ) eğrisinin dönüm noktasının ordinatı 10 olduğuna göre, m kaçtır? . f: R { 4} R, > ise ( ) 4 f =, ise 6 8. ( ) f = 6 + m + 4 eğrisinin dönüm noktasının ordinatı olduğuna göre, m kaçtır? ) 7 ) 8 ) 9 ) E) fonksiyonu aşağıdaki değerlerinin hangisinde süreksizdir? ) ) )

Detaylı

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir.

Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri. Not 1: Buradaki A noktasına dönme merkezi denir. Düzlemde Dönüşümler: Öteleme, Dönme ve Simetri Düzlemin noktalarını, düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten bir fonksiyona düzlemin bir dönüşümü denir. Öteleme: a =(a 1,a ) ve u =(u 1,u ) olmak

Detaylı

Lineer Denklem Sistemleri

Lineer Denklem Sistemleri Lineer Denklem Sistemleri Yazar Yrd. Doç.Dr. Nezahat ÇETİN ÜNİTE 3 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Lineer Denklem ve Lineer Denklem Sistemleri kavramlarını öğrenecek, Lineer Denklem Sistemlerinin

Detaylı

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II)

7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (II) 7.2 Fonksiyon ve Fonksiyon Tanımları (I) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir görüntüsü varsa, tanım kümesinden değer kümesine olan bağıntıya fonksiyon denir. Fonksiyonu f ile

Detaylı

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri

Bölüm 3: Vektörler. Kavrama Soruları. Konu İçeriği. Sunuş. 3-1 Koordinat Sistemleri ölüm 3: Vektörler Kavrama Soruları 1- Neden vektörlere ihtiyaç duyarız? - Vektör ve skaler arasındaki fark nedir? 3- Neden vektörel bölme işlemi yapılamaz? 4- π sayısı vektörel mi yoksa skaler bir nicelik

Detaylı

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY

TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY TRIGONOMETRI AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY A. AÇI Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına ise açının köşesi denir. B. YÖNLÜ AÇI

Detaylı

PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir Noktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma

PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir Noktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma PROJE ADI: Bir Koniğin Üzerindeki Veya Dışındaki Bir oktadan Çizilen Teğetlerin Denklemlerini Matrisler Yardımıyla Bulma PROJEİ AMACI: Bu projede herhangi bir koniğin üzerindeki veya dışındaki bir noktadan

Detaylı

Soru 1: Şekil-1 de görülen düzlem gerilme hali için: b) elemanın saat yönünde 30 0 döndürülmesi ile elde edilen yeni durum için elemana tesir

Soru 1: Şekil-1 de görülen düzlem gerilme hali için: b) elemanın saat yönünde 30 0 döndürülmesi ile elde edilen yeni durum için elemana tesir Soru 1: Şekil-1 de görülen düzlem gerilme hali için: a) elemanın saat yönünde 30 0 döndürülmesi ile elde edilen yeni durum için elemana tesir eden gerilme bileşenlerini, gerilme dönüşüm denklemlerini kullanarak

Detaylı

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.

MATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz. MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu

Detaylı

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.

MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır. MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı

Detaylı

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme

Detaylı

BÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ

BÖLÜM 1 1- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR 1-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ BÖLÜM - KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR - KARMAŞIK SAYILAR VE ÖELLİKLERİ ax + bx +c ikinci derece denkleminin < iken reel köklerinin olmadığını biliyoruz. Örneğin x + denkleminin reel sayılar kümesinde çözümü

Detaylı

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık

Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket Bölüm-4 İki Boyutta Hareket Bölüm 4: İki Boyutta Hareket Konu İçeriği 4-1 Yer değiştirme, Hız ve İvme Vektörleri 4-2 Sabit İvmeli İki Boyutlu Hareket 4-3 Eğik Atış Hareketi 4-4 Bağıl Hız ve Bağıl İvme

Detaylı

ANALİTİK GEOMETRİ VE ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER. Matrisler - Determinant Lineer Denklem Sistemleri - Vektörler Uzayda Doğru Denklemi - Uzayda Düzlem Denklemi

ANALİTİK GEOMETRİ VE ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER. Matrisler - Determinant Lineer Denklem Sistemleri - Vektörler Uzayda Doğru Denklemi - Uzayda Düzlem Denklemi ANALİTİK GEOMETRİ VE ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER Matrisler - Determinant Lineer Denklem Sistemleri - Vektörler Uzayda Doğru Denklemi - Uzayda Düzlem Denklemi Kutupsal Koordinat Sistemi - Konikler Koordinat Dönüşümleri

Detaylı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı

Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada

Detaylı

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4.

POLİNOMLAR I MATEMATİK LYS / 2012 A1. 1. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? 6. ( ) ( ) 3 ( ) 2. 2. ( ) n 7 8. ( ) 3 2 3. ( ) 2 4. POLİNOMLAR I MATEMATİK. Aşağıdakilerden kaç tanesi polinomdur? I. ( ) P = + II. ( ) P = + III. ( ) + + P = + 6. ( ) ( ) ( ) P = a b a + b sabit polinom olduğuna göre ( ) ( ) ( ) P a +P b +P 0 toplamı kaçtır?

Detaylı

1. O(0,0) merkezli, 3 birim yarıçaplı. 2. x 2 +y 2 =16 denklemi ile verilen. 3. O(0,0) merkezli ve A(3,4)

1. O(0,0) merkezli, 3 birim yarıçaplı. 2. x 2 +y 2 =16 denklemi ile verilen. 3. O(0,0) merkezli ve A(3,4) HAZİNE-1 Düzlemde sabit M(a,b) noktasından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri, M merkezli R yarıçaplı çemberdir. HAZİNE-2 O(0,0) merkezli, R yarıçaplı çemberin denklemi; x 2 +y 2 =R 2 dir.

Detaylı

H. Turgay Kaptanoğlu. Bu yazüda çember, elips, parabol ve hiperbolden. çemberin denklemi olan

H. Turgay Kaptanoğlu. Bu yazüda çember, elips, parabol ve hiperbolden. çemberin denklemi olan KONİNİN KESİTLERİ (I) H. Turgay Kaptanoğlu Bu yazüda çember, elips, parabol ve hiperbolden söz edeceğiz. Bu düzlem eğrilerinin denklemlerini elde ettikten sonra birkaç değişik konuyu açacağüz. Bunlar,

Detaylı

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür.

Matematikte karşılaştığınız güçlükler için endişe etmeyin. Emin olun benim karşılaştıklarım sizinkilerden daha büyüktür. - 1 - ÖĞRENME ALANI CEBİR BÖLÜM KARMAŞIK SAYILAR ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Karmaşık Sayılar Karmaşık Sayıların Kutupsal Biçimi KARMAŞIK SAYILAR Kazanım 1 : Gerçek sayılar kümesini genişletme gereğini örneklerle

Detaylı

MEKANİZMA TEKNİĞİ (3. Hafta)

MEKANİZMA TEKNİĞİ (3. Hafta) MEKANİZMALARIN KİNEMATİK ANALİZİ Temel Kavramlar MEKANİZMA TEKNİĞİ (3. Hafta) Bir mekanizmanın Kinematik Analizinden bahsettiğimizde, onun üzerindeki tüm uzuvların yada istenilen herhangi bir noktanın

Detaylı

1990 ÖYS. 1. si 13 olan si kaçtır? A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 65 B) 63 C) 56 D) 54 E) 45

1990 ÖYS. 1. si 13 olan si kaçtır? A) 91 B) 84 C) 72 D) 60 E) 52 A) 65 B) 63 C) 56 D) 54 E) 45 990 ÖYS. si olan si kaçtır? A) 9 B) 8 C) D) 60 E) 5. Ağırlıkça %0 si şeker olan 0 kg lık un-şeker karışımına 8 kg daha un eklendiğine göre, yeni şeker (kg) karışımın oranı kaçtır? un (kg) A) B) C) D) E)

Detaylı

DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ

DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ 3 DÜZLEMDE GERİLME DÖNÜŞÜMLERİ Gerilme Kavramı Dış kuvvetlerin etkisi altında dengedeki elastik bir cismi matematiksel bir yüzeyle rasgele bir noktadan hayali bir yüzeyle ikiye ayıracak olursak, F 3 F

Detaylı

İÇİNDEKİLER. 1. DÖNEL YÜZEYLER a Üreteç Eğrisi Parametrik Değilse b Üreteç Eğrisi Parametrik Olarak Verilmişse... 4

İÇİNDEKİLER. 1. DÖNEL YÜZEYLER a Üreteç Eğrisi Parametrik Değilse b Üreteç Eğrisi Parametrik Olarak Verilmişse... 4 İÇİNDEKİLER 1. DÖNEL YÜZEYLER... 1 1.a Üreeç Eğrisi Paramerik Değilse... 1 1.b Üreeç Eğrisi Paramerik Olarak Verilmişse.... DÖNEL YÜZEYLERLE İLGİLİ ÖRNEKLER... 5.a α f,,0 Eğrisinin Dönel Yüzeyleri... 5.b

Detaylı

UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR

UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR Cisimlerin kapladığı yer ve içinde bulundukları mekan uzaydır. Doğruda sadece uzunluk, düzlemde uzunluk ve genişlik söz konusudur. Uzayda ise uzunluk ve genişliğin yanında

Detaylı

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;

7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI İÇ ÇARPIM UZAYLARI .= 1 1 + + Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım; İÇ ÇARPIM UZAYLARI 7. BÖLÜM İÇ ÇARPIM UZAYLARI Genel: Vektörler bölümünde vektörel iç çarpım;.= 1 1 + + Açıklanmış ve bu konu uzunluk ve uzaklık kavramlarını açıklamak için kullanılmıştır. Bu bölümde öklit

Detaylı

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu

2012 LYS MATEMATİK SORU VE ÇÖZÜMLERİ Niyazi Kurtoğlu .SORU 8 sayı tabanında verilen (5) 8 sayısının sayı tabanında yazılışı nedir?.soru 6 3 3 3 3 4 6 8? 3.SORU 3 ise 5? 5 4.SORU 4 5 olduğuna göre, ( )? 5.SORU (y z) z(y ) y z yz bulunuz. ifadesinin en sade

Detaylı

Harita Projeksiyonları

Harita Projeksiyonları Harita Projeksiyonları Bölüm Prof.Dr. İ. Öztuğ BİLDİRİCİ Amaç ve Kapsam Harita projeksiyonlarının amacı, yeryüzü için tanımlanmış bir referans yüzeyi üzerinde belli bir koordinat sistemine göre tanımlı

Detaylı

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu

18.701 Cebir 1. MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 18.701 Cebir 1 2007 Güz Bu malzemeden alıntı yapmak veya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms ve http://tuba.acikders.org.tr

Detaylı

PARABOL. Merkezil parabol. 2px. 2py F 0, 2 F,0. Şekil I. Şekil II. p Odağı F 2. Odağı F 0, Doğrultmanı x. Doğrultmanı y

PARABOL. Merkezil parabol. 2px. 2py F 0, 2 F,0. Şekil I. Şekil II. p Odağı F 2. Odağı F 0, Doğrultmanı x. Doğrultmanı y ARABL Tanım: Düzlemde verilen sabit bir noktası ile bir d doğrusuna uzaklıkları eşit olan noktaların geometrik erine arabol denir. Sabit noktaa arabolün odağı; doğrua ise doğrultmanı denir. Merkezil arabol

Detaylı

Özdeğer ve Özvektörler

Özdeğer ve Özvektörler Özdeğer ve Özvektörler Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 9 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; bir lineer dönüşümün ve bir matrisin özdeğer ve özvektör kavramlarını anlayacak, bir dönüşüm matrisinin

Detaylı

1998 ÖYS. orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı kaçtır? 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7

1998 ÖYS. orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı kaçtır? 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7 998 ÖYS. Üç basamaklı bir doğal sayısının 7 katı, iki basamaklı bir y doğal sayısına eşittir. Buna göre, y doğal sayısı en az kaç olabilir? orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı

Detaylı

BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM

BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Geometri Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 45 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde yer

Detaylı

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur.

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran Matematik II Soruları ve Çözümleri. = 1 olur. Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 8 Haziran 6 Matematik II Soruları ve Çözümleri x, x. f(x) x ise fonksiyonu için,, x olduğuna göre, a b kaçtır? lim + x f ( x) a ve lim x f ( x) b A) B) C) D) E) Çözüm x x için

Detaylı

1986 ÖYS. 3 b. 2 b C) a= 1. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? C) 3 D) 8 E)

1986 ÖYS. 3 b. 2 b C) a= 1. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? C) 3 D) 8 E) ÖYS. Aşağıdaki ABC üçgeninde. BD kaç cm dir? 0. Aşağıdaki şekilde ABCD bir yamuk ve AECD bir paralel kenardır.. Aşağıdaki şekilde EAB ve FBC eşkenar üçgendir. AECD nin alanı cm Buna göre CEB üçgeninin

Detaylı

Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri

Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri Fotogrametrinin Optik ve Matematik Temelleri Resim düzlemi O : İzdüşüm (projeksiyon ) merkezi P : Arazi noktası H : Asal nokta N : Nadir noktası c : Asal uzaklık H OH : Asal eksen (Alım ekseni) P OP :

Detaylı

7.1 Karmaşık Sayılar. x 2 = 1. denkleminin çözümü olarak +i ve i sayıları tanımlanır. Tanım 7.1.

7.1 Karmaşık Sayılar. x 2 = 1. denkleminin çözümü olarak +i ve i sayıları tanımlanır. Tanım 7.1. Bölüm 7 Karmaşık Sayılar Karmaşık sayılar gerçel sayıların genişlemesiyle elde edilen daha büyük bir kümedier. Genişleme şu gereksemeden doğmuştur: x 2 = +1 denklemimin çözümü +1, 1 sayılarıdır ve R içindedir.

Detaylı

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 10

MATEMATİK MATEMATİK-GEOMETRİ SINAVI LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 TESTİ SORU KİTAPÇIĞI 10 LİSNS YRLŞTİRM SINVI- MTMTİK-GOMTRİ SINVI MTMTİK TSTİ SORU KİTPÇIĞI 0 U SORU KİTPÇIĞI LYS- MTMTİK TSTİ SORULRINI İÇRMKTİR. . u testte 0 soru vardýr. MTMTİK TSTİ. evaplarýnýzý, cevap kâðýdýnın Matematik

Detaylı

VEKTÖRLER. DOĞRU PARÇASI: Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [AB] DOĞRU PARÇASI denir.

VEKTÖRLER. DOĞRU PARÇASI: Doğrunun A ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [AB] DOĞRU PARÇASI denir. VEKTÖRLER DOĞRU PRÇSI: Doğrunun ve B noktaları ile bunların arasında kalan bütün noktalarından oluşan kümeye [B] DOĞRU PRÇSI denir. Doğrultusu (üzerinde bulunduğu doğru) ve uzunluğundan söz edilebilir.

Detaylı

ÖRNEK ÖRNEK ÖRNEK ÖRNEK

ÖRNEK ÖRNEK ÖRNEK ÖRNEK Öteleme ve yansımanın birlikte kullanıldığı dönüşümlere ötelemeli yansıma denir. Düzlemde yansıma ve ötelemeli yansıma dönüşümlerinde uzaklıklar korunurken açıların yönleri değişir. Ötelemeli yansıma dönüşümünde

Detaylı

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2

Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2 1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.

Detaylı

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM

(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin

Detaylı

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler

18.034 İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 GEOMETRİ TESTİ 19 HAZİRAN 2016 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

UZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU DÜZLEM

UZAYDA VEKTÖRLER ve DOĞRU DÜZLEM UD VEKTÖRLER ve DĞRU DÜLEM. ir küpün ayrıtlarını taşıyan doğrular kaç farklı doğrultu oluşturur? ) ) ) D) 7 E) 8. ir düzgün altıgenin en uzun köşegeni ile aynı doğrultuda kaç farklı kenar vardır?. şağıdaki

Detaylı

Jeodezi

Jeodezi 1 Jeodezi 5 2 Jeodezik Eğri Elipsoid Üstünde Düşey Kesitler Elipsoid yüzünde P 1 noktasındaki normalle P 2 noktasından geçen düşey düzlem, P 2 deki yüzey normalini içermez ve aynı şekilde P 2 de yüzey

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Bibliography 11 CONTENTS 5 0.1 Kartezyen Çarpım 0.2 Sıralı İkililer Şimdiye kadar sıra ya da

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan;

[ AN ] doğrusu açıortay olduğundan; . Bir havuzu bir musluk 6 saatte, başka bir musluk 8 saatte dolduruyor. Bu iki musluk kapalı iken, havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu saatte boşaltabiliyor. Üç musluk birden açılırsa,boş

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI. Analiz. Cilt 2. Ünite 8-14 ANADOLU ÜNİVERSİTESİ AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ İLKÖĞRETİM ÖĞRETMENLİĞİ LİSANS TAMAMLAMA PROGRAMI Analiz Cilt 2 Ünite 8-14 T.C. ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINLARI NO: 1082 AÇIKÖĞRETİM FAKÜLTESİ YAYINLARI NO: 600

Detaylı

BATMIŞ YÜZEYLERE GELEN HİDROSTATİK KUVVETLER

BATMIŞ YÜZEYLERE GELEN HİDROSTATİK KUVVETLER BATMIŞ YÜZEYLERE GELEN HİDROSTATİK KUVVETLER Yrd. Doç. Dr. Beytullah EREN Çevre Mühendisliği Bölümü BATMIŞ YÜZEYLERE GELEN HİDROSTATİK KUVVETLER Atatürk Barajı (Şanlıurfa) BATMIŞ YÜZEYLERE ETKİYEN KUVVETLER

Detaylı

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; üstel ve logaritmik fonksiyonları tanıyacak, üstel ve logaritmik fonksiyonların grafiklerini

Detaylı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı

fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı 10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.

Detaylı

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV

Türev Uygulamaları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV Türev Uygulamaları Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 10 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; türev kavramı yardımı ile fonksiyonun monotonluğunu, ekstremum noktalarını, konvekslik ve konkavlığını, büküm

Detaylı

3 VEKTÖRLER. Pilot uçağın kokpit inden havaalanını nasıl bulur?

3 VEKTÖRLER. Pilot uçağın kokpit inden havaalanını nasıl bulur? 3.1 Koordinat sistemleri 3.2 Kartezyen koordinatlar 3.3 Vektörler 3.4 Vektörlerin bileşenleri 3.5 Vektörlerin toplanması 3.6 Vektörlerin çıkarılması 37Bii 3.7 Birim vektör 3 VEKTÖRLER Pilot uçağın kokpit

Detaylı

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A Contents Bibliography 9 Index 13 CONTENTS 5 0.1 Doğru, Düzlem, Uzay Bu derste sık sık doğru, düzlem ve

Detaylı

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu

Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller. Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ. JDF329 Fotogrametri I Ders Notu FOTOGRAMETRİ I Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel Temeller Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ JDF329 Fotogrametri I Ders Notu 2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi İçerik Tanımlar

Detaylı

1.DERECEDEN DENKLEMLER. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

1.DERECEDEN DENKLEMLER.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) .DERECEDEN DENKLEMLER Rüstem YILMAZ 546 550 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları 8 Ağustos 07 0. Bir Bilinmeyenli

Detaylı

4. Çok büyük ve çok küçük pozitif sayıları bilimsel gösterimle ifade eder.

4. Çok büyük ve çok küçük pozitif sayıları bilimsel gösterimle ifade eder. LENDİRME ŞEMASI ÜNİTE Üslü 1. Bir tam sayının negatif kuvvetini belirler ve rasyonel sayı olarak ifade eder.. Ondalık kesirlerin veya rasyonel sayıların kendileriyle tekrarlı çarpımını üslü sayı olarak

Detaylı

ELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan

ELASTİSİTE TEORİSİ I. Yrd. Doç Dr. Eray Arslan ELASTİSİTE TEORİSİ I Yrd. Doç Dr. Eray Arslan Mühendislik Tasarımı Genel Senaryo Analitik çözüm Fiziksel Problem Matematiksel model Diferansiyel Denklem Problem ile ilgili sorular:... Deformasyon ne kadar

Detaylı

3-1 Koordinat Sistemleri Bir cismin konumunu tanımlamak için bir yönteme gereksinim duyarız. Bu konum tanımlaması koordinat kullanımı ile sağlanır.

3-1 Koordinat Sistemleri Bir cismin konumunu tanımlamak için bir yönteme gereksinim duyarız. Bu konum tanımlaması koordinat kullanımı ile sağlanır. Bölüm 3 VEKTÖRLER Bölüm 3: Vektörler Konu İçeriği Sunuş 3-1 Koordinat Sistemleri 3-2 Vektör ve Skaler nicelikler 3-3 Vektörlerin Bazı Özellikleri 3-4 Bir Vektörün Bileşenleri ve Birim Vektörler Sunuş Fizikte

Detaylı

ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI

ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI ÖABT ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT ANALİZ KONU ANLATIMLI ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı a da bir kısmı, azarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik,

Detaylı

Katı Cisimlerin Yü zey Alanı Ve Hacmi

Katı Cisimlerin Yü zey Alanı Ve Hacmi Katı Cisimlerin Yü zey Alanı Ve Hacmi Dikdörtgenler Prizması Hacmi ve Yüzey Alanı Paralelkenar Prizmanın Hacmi Kürenin Hacmi ve Kürenin Yüzey Alanı Kürenin temel elemanları; bir merkez noktası, bu merkez

Detaylı

KUTUPLANMA (Polarizasyon) Düzlem elektromanyetik dalgaların kutuplanması

KUTUPLANMA (Polarizasyon) Düzlem elektromanyetik dalgaların kutuplanması KUTUPLANMA (Polarizasyon) Kutuplanma enine dalgaların bir özelliğidir. Ancak burada mekanik dalgaların kutuplanmasını ele almayacağız. Elektromanyetik dalgaların kutuplanmasını inceleyeceğiz. Elektromanyetik

Detaylı

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol

1. BÖLÜM Polinomlar BÖLÜM II. Dereceden Denklemler BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler BÖLÜM Parabol ORGANİZASYON ŞEMASI . BÖLÜM Polinomlar... 7. BÖLÜM II. Dereceden Denklemler.... BÖLÜM II. Dereceden Eşitsizlikler... 9. BÖLÜM Parabol... 5 5. BÖLÜM Trigonometri... 69 6. BÖLÜM Karmaşık Sayılar... 09 7.

Detaylı