Baki Karl ¼ga. Gazi Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Ankara/Türkiye

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Baki Karl ¼ga. Gazi Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Ankara/Türkiye"

Engin Kekilli
6 yıl önce
İzleme sayısı:

1 H IPERBOL IK VE KÜRESEL ÜÇGENLERIN KENAR UZUNLUKLARINA BA ¼GLI ALAN FORMÜLLER I Baki Karl ¼ga karliaga@gazi.edu.tr Murat Savaş msavas@gazi.edu.tr Gazi Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Ankara/Türkiye Özet: Bu çal şmada hierbolik ve küresel üçgenler için kenar uzunluklar na ba¼gl alan formülleri elde edilmiştir. Bulunan bu formüller özel hierbolik ve küresel üçgenlere uygulanarak baz sonuçlar elde edilmiştir. 1. GiriŞ Öklid uzay ndaki üçgenler için herkes taraf ndan bilinen başl ca alan formülleri; Alan (ABC) = u (u a) (u b) (u c) = 1 ab sin C = 1 ac sin B = 1 bc sin A = 1 ah a = 1 bh b = 1 ch c şeklinde Yer küremiz üzerinde üçgenlerin alan ya da hacim hesalar nda bu formüller kullan lmaktad r. Oysa yer küre üzerindeki alanlar n heaslad ¼g m z üçgenlerin tamam Öklidyen düzlemdeki üçgenler şeklinde de¼gil Tersine küresel üçgen O halde kullan lan alan formülleri belli bir hata içermekte Bu hatadan kaç nmak istersek küresel üçgenleri ele al ve bu üçgenlerin alanlar n hesalamam z gerekir. Bu çal şmada, Öklidyen üçgenlerin yukar daki alan formülleri içerisinde üçgenin sadece kenar uzunluklar na ba¼gl olan birinci alan formülüne benzer alan formülü küresel ve hierbolik üçgenler için elde edilmiştir. Küresel ve hierbolik üçgenler için alan formülleri Öklid uzay ndaki alan formüllerinden farkl d r. Bu iki uzayda üçgenlerin alanlar n n hesalanmas nda başl ca iki formül vard r: H ve S s ras yla hierbolik ve küresel düzlemleri göstersin. ; H (veya S ) de v 1 ; v ; v 3 tee noktal, 1 ; 13 ; 3 dihedral aç l ve ' 1 ; ' 13 ; ' 3 ayr t uzunluklu bir üçgen ise H için, Date: Mart, 006. Key words and hrases. Alan, hierbolik üçgen, küresel üçgen. 1

2 (1.1) Alan() = ( ) S için, (1.) Alan() = ( ) şeklindedir[ratchli e].. Hierbolik Üçgenin Kenar Uzunluklar na Ba¼Gl Alan Formülü ; v 1 ; v ; v 3 teeli, 1 ; 13 ; 3 dihedral aç l ve ' 1 ; ' 13 ; ' 3 ayr t uzunluklu hierbolik üçgen olsun. M = 4 1 cosh ' 1 cosh ' 13 cosh ' 1 1 cosh ' 3 cosh ' 13 cosh ' 3 1 n n ayr t matrisi ve a = cosh ' 1 ; b = cosh ' 13 ve c = cosh ' 3 olmak üzere; det M = = a + b + c abc 1 Teorem.1. i 6= j; i; j = 1; ; :::; n + 1 olmak üzere n(n+1) tane ozitif reel ' ij = ' ji say s H n de nin ayr t uzunluklar d r () M = cosh ' ij matrisi aşa¼g dakileri sa¼glar. i) < 0 ii) M 1 in bütün asli alt matrisleri ozitif tan ml d r. iii) M ij > 0; i 6= j; i; j = 1; ; :::; n + 1 [Karl ¼ga 1 ]. Teorem.. ; ' 1 ; ' 13 ; ' 3 ayr t uzunluklu bir hierbolik üçgen ve a = cosh ' 1 ; b = cosh ' 13 ; c = cosh ' (.1) Alan() = arctan! (a + b + c + 1) + (a + 1) (b + 1) (c + 1) Isat. ; v 1 ; v ; v 3 tee noktal, 1 ; 13 ; 3 dihedral aç l ve ' 1 ; ' 13 ; ' 3 ayr t uzunluklu bir hierbolik üçgen olsun. [Karl ¼ga 1] den; (.) cos ij = oldu¼gu bilindi¼gine göre; M ij Mii M jj (.3) cos 1 = bc a sinh ' 13 sinh ' 3 cos 13 = ac b sinh ' 1 sinh ' 3 cos 3 = ab c sinh ' 1 sinh ' 13 de¼gerleri hesalan r. Bu eşitliklerden yararlanarak;

3 3 sin 1 = (.4) sin 13 = sin 3 = eşitlikleri bulunur. (.3) ve (.4) dan; sinh ' 13 sinh ' 3 sinh ' 1 sinh ' 3 sinh ' 1 sinh ' 13 (.5) elde edilir. (.5) den; (.6) tan 1 = tan 13 = tan 3 = 1 = arctan 13 = arctan 3 = arctan bc a ac b ab c bc a ac b ab c hesalan r. (1.1) alan formülünde (.6) de¼gerleri yaz l, u + v + w uvw (.7) arctan u + arctan v + arctan w = arctan 1 uv uw vw özdeşli¼gi kullan l rsa, (.1) elde edilir. 3. Küresel Üçgenin Kenar Uzunluklar na Ba¼Gl Alan Formülü ; v 1 ; v ; v 3 tee noktal, 1 ; 13 ; 3 dihedral aç l ve ' 1 ; ' 13 ; ' 3 ayr t uzunluklu hierbolik üçgen olsun. M = 4 1 cos ' 1 cos ' 13 cos ' 1 1 cos ' 3 cos ' 13 cos ' 3 1 n n ayr t matrisi ve a = cos ' 1 ; b = cos ' 13 ; c = cos ' 3 olmak üzere; det M = a + b + c + abc + 1 Teorem 3.1. i 6= j; i; j = 1; ; :::; n+1 olmak üzere n(n+1) tane ozitif reel ' ij = ' ji say s S n de nin ayr t uzunluklar d r () M = cos ' ij ayr t matrisi ozitif tan ml d r ve dioganal üzerindeki elemanlar 1 e eşittir. [Karl ¼ga 1] Teorem 3.. ; ' 1 ; ' 13 ; ' 3 ayr t uzunluklu bir hierbolik üçgen ve a = cos ' 1 ; b = cos ' 13 ; c = cos ' 3 olmak üzere; (3.1) Alan() = arctan! (a + b + c + 1) (a + 1) (b + 1) (c + 1) 3 5

4 4 Isat. ; v 1 ; v ; v 3 teeli, 1 ; 13 ; 3 dihedral aç l ve ' 1 ; ' 13 ; ' 3 ayr t uzunluklu bir küresel üçgen olsun. [Karl ¼ga 1] den; (3.) cos ij = oldu¼gu bilindi¼gine göre; M ij Mii M jj a bc cos 1 = sin ' 13 sin ' 3 b ac (3.3) cos 13 = sin ' 1 sin ' 3 c ab cos 3 = sin ' 1 sin ' 13 de¼gerleri hesalan r. Bu eşitliklerden yararlanarak; sin 1 = (3.4) sin 13 = sin 3 = eşitlikleri bulunur. (3.) ve (3.3) dan; sin ' 13 sin ' 3 sin ' 1 sin ' 3 sin ' 1 sin ' 13 (3.5) elde edilir. (.5) den; (3.6) tan 1 = tan 13 = tan 3 = 1 = arctan 13 = arctan 3 = arctan a bc b ac c ab a bc b ac c ab hesalan r. (1.) alan formülünde (3.6) de¼gerleri yaz l,(.7) özdeşli¼gi kullan l rsa (3.1) elde edilir. 4. Özel Hierbolik Üçgenler ve Alanlar Sonuç 4.1. H ve 1 < 3 olmak üzere aşa¼g dakiler denktir. i) hierbolik eşkenar üçgen ii) 1 = 13 = 3 iii) ' 1 = ' 13 = ' 3 [Karl ¼ga ] iv) Alan() = arctan (a 1)(3a+1) a+1 a(a 6a 3) Teorem 4.. cosh ' 1 cos 1 <cosh (v 1 ; H 1 ) cosh (v ; H ) ise ; v 1 ; v ; v 3 tee noktal hierbolik üçgen bir diklik merkezine sahitir. [Karl ¼ga 3]

5 5 Sonuç 4.3. Her hierbolik eşkenar üçgen bir diklik merkezine sahitir. Isat. ' 1 = ' 13 = ' 3 oldu¼gundan; < v 1 ; e 1 >=< v ; e >=< v 3 ; e 3 >= eşitlikleri vard r. cosh ' ij = a olmak üzere; s M ii ; i = 1; ; 3 hesalan r. Buna göre; = (1 a) a a 1 M 11 = 1 a (4.1) ve cosh (v 1 ; H 1 ) cosh (v ; H ) = M 11 + M 11 = a 1 + a eşitlikleri hesalan r. O halde; cos 1 = = M 1 M11 M a 1 + a (4.) cosh ' 1 cos 1 = a 1 + a bulunur. [4.1] ve [4.] den cosh ' 1 cos 1 <cosh (v 1 ; H 1 ) cosh (v ; H ) oldu¼gu aç kt r. O halde; Teorem 4.. den eşkenar hierbolik üçgen bir diklik merkezine sahitir. Sonuç 4.4. H olmak üzere; 1 = 13 (a = b) ve 1 < 3 ise ikiz kenar hierbolik üçgendir ve (4.3) Alan() = arctan! (c 1) (a c 1) (a + c + 1) 3a + c a c + ac + a + c Sonuç 4.5(Hierbolik Dik Üçgen Için Pisagor Teoremi). hierbolik dik üçgen ise cosh ' 1 = cosh ' 13 cosh ' 3 (a = bc) ve (4.4) Alan() = arctan! (b 1) (c 1) (b + c + bc + 1) (b + 1) (c + 1) (b + c) H bir

6 6 5. Özel Küresel Üçgenler ve Alanlar Sonuç 5.1. S ve 1 > 3 olmak üzere aşa¼g dakiler denktir. i) küresel eşkenar üçgen ii) 1 = 13 = 3 iii) ' 1 = ' 13 = ' 3 [Karl ¼ga ] iv) Alan() = arctan (a 1) (a+1)(3a+1) a( a +6a+3) Sonuç 5.. S olmak üzere; 1 = 13 (a = b)ve 1 > kenar küresel üçgendir ve (5.1) Alan() = arctan! (c 1) ( c + a 1) (a + c + 1) a c + 3a + ac + a + c + c 3 ise ikiz Sonuç 5.3(Küresel Dik Üçgen Için Pisagor Teoremi). S bir küresel dik üçgen ise cos ' 1 = cos ' 13 cos ' 3 (a = bc) ve (5.) Alan() = arctan! (b 1) (c 1) (b + c + bc + 1) (c + 1) (b + 1) (b + c) References [1] John G. Ratcli e, Foundations of Hyerbolic Manifolds,Sringer-Verlag, New York (1994). [] Karl ¼ga B., Edge matrix of hyerbolic simlices, Geom. Dedicata, Vol:109, No:1, (004). [3] Karl ¼ga B. and Savas M., On The New Volume Formulas of Hyerbolic and Sherical Symmetric Tetrahedra in Terms of Edge Lengths (Çal şma aşamas nda). [4] Karl ¼ga B., Küresel ve Hierbolik Simlekslerin k-y nc mertebeden tee aç lar n n geometrik yorumlar, 3. Geometri Semozyumu, Eskişehir, 005.

Benzer belgeler

2010 oldu¼gundan x 2 = 2010 ve

2010 oldu¼gundan x 2 = 2010 ve ) 444400 say s ndaki rakamlar n yerleri de¼giştirilerek 7 basamakl kaç farkl say yaz labilir? Çözüm : Bu rakamlar n bütün farkl 7 li dizilişlerinin say s 7! olacakt r. Bu dizilişlerin 4!! soldan ilk rakam