PROBLEMLER. Problemler, ÖSS-MATEMATİK-1 in en çok soru çıkan bölümüdür. SAYI VE KESİR PROBLEMLERİ Soruda konu edilen sayıyı x ile gösterelim.

Transkript

1 PROBLEMLER Problemler, ÖSS-MATEMATİK-1 in en çok soru çıkan bölümüdür. Bu bölümde başarılı olabilmek için, Türkçeyi iyi bilmek, okuduğunu anlayabilmek ve soruyu tam olarak okumak şarttır. Kısaca problem çözerken yapılan iş, kelimeleri matematik sembollere dönüştürmek ve oluşan denklem veya eşitsizliği temel matematik bilgileri kullanarak bilinmeyeni bulmaktır. Hataları önlemek için de problemin son bölümünde istenen ile denklemden bulduğunuzun aynı bilgi olup olmadığı kontrol edilmelidir. Hatta mümkün ise bulduğunuz sayıyı problemde yerine yazıp, sağlayıp sağlamadığına bakılabilir. Problem çözümlerinde; 1.ADIM: Verilen ifade, matematik semboller seçilerek eşitlik (eşitsizlik) şekline dönüştürülür..adim: Denklem (veya eşitsizlik) çözülür. 3.ADIM: Bulunan ile istenenin aynı bilgi olup olmadığı kontrol edilir. Gerekirse sağlaması yapılır. Konunun iyice pekişmesi için problemleri gruplara ayırıp inceleyeceğiz. SAYI VE KESİR PROBLEMLERİ Soruda konu edilen sayıyı x ile gösterelim. Bu sayı ile karşımıza çıkabilecek bazı ifadeleri semboller kullanarak yazalım. Sayının 3 fazlası: x+3 Sayının 3 eksiği: x-3 Sayının 3 katı: 3x Sayının üçte biri: 1 3. x = x 3 Sayının üçte ikisi: 3. x = x 3 Sayının katının 3 fazlası: x+3 Sayının 3 fazlasının katı: (x+3) Sayının yarısının 3 eksiği: x 3 Sayının 3 eksiğinin yarısı: x 3 Sayının kübü: x 3 Sayının karesinin 3 fazlası: x +3 Sayının 3 fazlasının karesi: (x+3) Sayının karesinin üç katı: 3x Sayının üç katının karesi: (3x) =3.x =9x Sayının karekökü: Sayının karekökünün 1 fazlası: x + 1 x Sayının 1 fazlasının karekökü: x + 1

2 Sayının karekökünün üç katı: 3 x Sayının üç katının karekökü: 3x DNA-1 Bir sayının fazlasının yarısı, aynı sayının 5 eksiğine eşittir. Bu sayı kaçtır? A)7 B)9 C)1 D)14 E)16 ÇÖZÜM İstenen sayı x olsun. x + = x 5 denklemi oluşturulur. ÇÖZÜM İstenen sayı x olsun. 3x-19=x+5 denklemi oluşturulur. Denklemi çözelim: 3x-x=5+19 x=4 bulunur. Doğru Seçenek B dir. GENETİK KOPYA- Hangi sayının 3 eksiğinin iki katı, aynı sayının 5 eksiğinin üç katına eşittir? A)6 B)7 C)8 D)9 E)1 Denklemi çözelim: x+=(x-5) x+=x-10 x=1 bulunur. Doğru Seçenek C dir. DNA-3 Hangi sayıdan 5 çıkardığımızda veya 5 e böldüğümüzde aynı sonucu buluruz? GENETİK KOPYA-1 Bir sayının 1 fazlasının iki katı, aynı sayının 5 fazlasına eşittir. Bu sayı kaçtır? A) B)3 C)4 D)5 E)6 A)5 B)6 C)5/4 D)13/ E)7 Aranan sayı x olsun. x x 5 5 denklemi oluşur. Denklemi çözelim: 5x-5=x 4x=5 DNA- Üç katının 19 eksiği, iki katından 5 fazla olan sayı aşağıdakilerden hangisidir? x=5/4 bulunur. Doğru Seçenek C dir. A)14 B)4 C)35 D)53 E)70

3 GENETİK KOPYA-3 Hangi sayıya 6 eklediğimizde veya 6 katını aldığımızda aynı sonucu buluruz? A)1/6 B)1/5 C)5/6 D)1 E)6/5 DNA-5 Bir öğrenci kendisine söylenen sayıyı 6 ile çarpacağına, 6 ya bölmüş ve 15 sonucunu bulmuştur. Doğru işlem yapılsaydı sonuç ne olurdu? A)90 B)180 C)360 D)540 E)70 DNA-4 Payı paydasından farklı bir kesrin pay ve paydasına 3 eklendiğinde ilk kesrin çarpma işlemine göre tersi elde ediliyor. Bu kesrin pay ve paydasının toplamı kaçtır? A)-6 B)-3 C)-1 D)0 E)3 Alınan kesir x y olsun. Kesrin çarpımsal tersi y x x 3 y 3 y x denklemi oluşur. dir. Denklemi düzenleyelim: x +3x=y +3y x -y =3y-3x (x-y)(x+y) = -3(x-y) x+y = -3 bulunur. Doğru Seçenek B dir. GENETİK KOPYA-4 Payı paydasından farklı bir kesrin pay ve paydasından 3 çıkardığımızda ilk kesrin çarpma işlemine göre tersi elde ediliyor. Bu kesrin pay ve paydasının toplamı kaçtır? Öğrenciye söylenen sayı x olsun. Yanlış işlem: x 6 15 x=90 söylenen sayı. Doğru işlem: 6x=6.90=540 doğru sonuç. Doğru Seçenek D dir. GENETİK KOPYA-5 Bir öğrenci kendisine söylenen sayıyı 3 ile böleceğine, 3 ile çarpmış ve 36 sonucunu bulmuştur. Doğru işlem yapılsaydı sonuç ne olurdu? A)3 B)4 C)6 D)1 E)18 DNA-6 Bir doğal sayı 4 ile çarpılacağı yerde, yanlışlıkla 4 ile bölünmüştür. Bu durumda yapılan hata, bulunan sonucun kaç katıdır? A)4 B)7 C)8 D)15 E)16 A)-6 B)-3 C)-1 D)0 E)3

4 Söz konusu doğal sayı x olsun. Doğru işlem: 4.x doğru sonuç. Yanlış işlem: x bulunan sonuç. 4 Yapılan hata: doğru sonuç bulunan sonuç x 15x x Yapılan hata: 4x katıdır. Doğru Seçenek D dir. GENETİK KOPYA-6 Bir doğal sayı 6 ile bölüneceği yerde, yanlışlıkla 6 ile çarpılmıştır. Bu durumda yapılan hata, bulunması gereken doğru sonucun kaç katıdır? A)6 B)11 C)1 D)35 E)36 DNA-7 İki sayının farkı büyük sayının /3 ü olduğuna göre, sayıların toplamı küçük sayının kaç katıdır? A) B)3 C)4 D)5 E)6 Büyük sayı x, küçük sayı y olsun. x-y = x 3 y=x- x 3 x y = 3 x = 3y olur ki x+y = 3y+y = 4y sayıların toplamı, küçük sayının 4 katıdır Doğru Seçenek C dir. GENETİK KOPYA-7 İki sayının toplamı küçük sayının 5 katı olduğuna göre, sayıların farkı küçük sayının kaç katıdır? A) B)3 C)4 D)5 E)6 DNA-8 Bir sayı ile çarpılır, 6 çıkarılır ve sonuç ye bölünürse 0 bulunuyor. Alınan sayı kaçtır? A)1 B)13 C)0 D)3 E)4 Alınan sayı x olsun. x 6 0 denklemi oluşur. Denklemi çözelim: x-6 = 40 x = 46 x = 3 bulunur. YADA!!! Tersten işlem yaparak: En son işlem, ye bölme işlemi. Bölme yapılmasa idi sayı 40 olurdu. 6 çıkarılmış. Çıkarma yapılmasa idi sayı 46 olurdu. ile çarpılmış. Çarpmayapılmasa idi sayı 3 olurdu. Doğru Seçenek D dir.

5 GENETİK KOPYA-8 Bir sayı 3 ile bölünür, 3 eklenir ve sonuç 3 ile çarpılırsa 1 bulunuyor. Alınan sayı kaçtır? A)6 B)9 C)1 D)15 E)18 DNA-9 60 sayısı öyle dört parçaya ayırılmıştır ki; birincinin dörtte biri, ikincinin dört katı, üçüncünün 4 fazlası, dördüncünün 4 eksiği biribirine eşittir. Bu parçalardan en büyüğü kaçtır? A),4 B)5,6 C)13,6 D)38,4 E)43, Parçalar x, y, z ve t olsun. 5y=60 y=,4 bulunur. y nin bulunan bu değeri yerine yazıldığında; x=16y=16.(,4)=38,4 z=4y-4=4(,4)-4=9,6-4=5,6 t=4y+4=4(,4)+4=9,6+4=13,6 bulunur. En büyük parça x olup x=38,4 bulunur. Doğru Seçenek D dir. GENETİK KOPYA-9 45 sayısı öyle dört parçaya ayırılmıştır ki; birincinin yarısı, ikincinin iki katı, üçüncünün fazlası, dördüncünün eksiği biribirine eşittir. Bu parçalardan en küçüğü kaçtır? A)3 B)5 C)8 D)10 E)1 Parçaların toplamı bütünü vereceğinden; x y z t 60 olur. x 4y z 4 t 4 4 Sistemi çözelim: x 4 = 4y ve x=16y 4y=z+4 ve z=4y-4 4y=t-4 ve t=4y+4 x, z ve t nin y türünden değerlerini ilk eşitlikte yerlerine yazarsak; x y z t 60 16y+y+4y-4+4y+4=60 DNA-10 Bir otobüsteki yolcuların /5 i erkek, /5 i kadın ve kalan 1/5 i çocuktur. İlk durakta erkeklerin yarısı, kadınların üçte biri ve çocukların yarısı iniyor. Başlangıçta otobüste en az kaç çocuk vardır? A)3 B)4 C)6 D)8 E)9

6 Otobüsteki yolcu sayısına x dersek; Başlangıçta: x Erkekler =E= 5 x Kadınlar =K= 5 x Çocuklar =Ç= 5 İnenler: x E= 10 x K= 15 x Ç= 10 Kişi sayıları sayma sayısı olacağından; x sayısının 10 ve 15 e bölünebilmesi gerekir. x=okek(10,15) 10=.5 15=3.5 x=okek(10,15)=.3.5=30 x, en az 30 dur. Başlangıçta: Çocuklar = x 5 = 30 5 = 6 kişidir. Doğru Seçenek C dir. DNA-11 Bir yıl sonu balosuna 95 kişi katılıyor. Balo boyunca 1. erkek 6 kızla,. erkek 7 kızla, 3. erkek 8 kızla ve böyle devam ederek sonuncu erkek te balodaki kızların tümü ile dans ediyor. Baloda kaç kız vardır? A)45 B)50 C)55 D)60 E)55 Erkeklere birer numara verdiğimizi düşünelim. 1. erkek 6 kızla,. erkek 7 kızla, 3. erkek 8 kızla,... x. erkek x+5 kızla dans ediyor. Her erkek, numarasının 5 fazlası kadar kız ile dans etmektedir. Baloda x erkek, x+5 kız bulunduğundan; E+K=95 x+(x+5)=95 x=90 x=45 erkek vardır. Kızların sayısı = x+5 = 45+5 = 50 bulunur Doğru Seçenek B dir. GENETİK KOPYA-10 Bir otobüs durağında bekleyenlerin, 1/3 ü erkek, 1/3 kadın ve 1/3 ü de çocuktur. İlk gelen otobüse erkeklerin üçte biri, kadınların yarısı ve çocukların yarısı biniyor. Başlangıçta durakta bekleyen en az kaç kadın vardır? A)3 B)4 C)5 D)6 E)9 GENETİK KOPYA-11 Bir yıl sonu balosuna 43 kişi katılıyor. Balo boyunca 1. erkek 4 kızla,. erkek 5 kızla, 3. erkek 6 kızla ve böyle devam ederek sonuncu erkek te balodaki kızların tümü ile dans ediyor. Baloda kaç kız vardır? A)17 B)0 C)3 D)6 E)9

7 DNA-1 Bir toplantıdaki erkeklerin sayısı, kadınların sayısının üç katıdır. Toplantıdan 4 erkek eşleriyle birlikte ayrılınca erkeklerin sayısı, kadınların sayısının dört katı olmaktadır. Başlangıçta toplantıda bulunan erkek ve kadınların toplam sayısı kaçtır? A)36 B)40 C)44 D)48 E)5 DNA-13 Sol taraftadaki evler 1,,3, şeklinde birer artarak numaralandırılmış, yolun sonuna gelindiğinde kalan numaradan işleme devam edilmiştir. Evlerin simetrik olarak karşı karşıya baktığı caddede 5 nolu evin karşısında 46 nolu ev olduğuna göre caddede kaç ev vardır? A)64 B)66 C)69 D)70 E)7 Erkeklerin sayısı=e Kadınların sayısı=k Başlangıçta; E=3.K 4 erkek eşleri ile ayrıldığında; erkeklerin ve kadınların sayıları 4 er azalır. E-4=4(K-4) E=4K-1 eşitliğinde, E=3K yazılırsa; 4K-1=3K K=1 E=3.1=36 bulunur. Toplantıdaki kişi sayısı=e+k=36+1=48 Doğru Seçenek D dir. GENETİK KOPYA-1 Bir toplantıdaki erkeklerin sayısı, kadınların sayısının dört katıdır. Toplantıya 3 erkek eşleriyle birlikte katılınca erkeklerin sayısı, kadınların sayısının üç katı olmaktadır. Başlangıçta toplantıda bulunan erkek ve kadınların toplam sayısı kaçtır? A)4 B)30 C)35 D)40 E)45 Sol tarafta 5 nolu eve kadar 4 tane ev olduğundan, sağ tarafta da 46 nolu evden sonra 4 tane ev olacaktır. Caddede 46+4=70 ev vardır. YADA 5 ve 46 nolu evlerin arasında =0 ev vardır. Bunların 10 tanesi sol tarafta, 10 tanesi sağ taraftadır. Sol tarafta, 5+10=35 ev vardır. Caddedeki ev sayısı 35.=70 tir. Doğru Seçenek D dir. GENETİK KOPYA-13 Sol taraftadaki evler 1,,3, şeklinde birer artarak numaralandırılmış, yolun sonuna gelindiğinde kalan numaradan işleme devam edilmiştir. Evlerin simetrik olarak karşı karşıya baktığı caddede 16 nolu evin karşısında 35 nolu ev olduğuna göre caddede kaç ev vardır? A)46 B)48 C)50 D)5 E)54

8 DNA-14 Aynı hastahanede doktor olan Derya ve Deniz den, Derya: Bu hastahanedeki doktorların 1/17 si bayan meslektaşımdır. Deniz: Bu hastahanedeki doktorların 5/7 si bayan meslektaşımdır. demiştir. Her iki doktor da doğru söylediğine göre bu hastahanedeki bayan doktorların sayısı kaçtır? GENETİK KOPYA-14 Bir ailedeki erkek çocuk: Kız kardeşlerimin sayısı, erkek kardeşlerimin sayısına eşittir. Ailedeki kız çocuk: Erkek kardeşlerim yarısı kadar kız kardeşim var. diyorsa ailedeki çocuk sayısı kaçtır? A)5 B)6 C)7 D)8 E)9 A)85 B)119 C)11 D)13 E) Derya : Deniz : oranlarını vermiştir < Derya bayan olduğundan, bayan meslektaşlarının oranını söylerken kendisini saymamış, bayan doktorların sayısını 1 eksik söylemiştir. Deniz ise erkek olduğundan, bayan meslektaşlarının sayısını tam olarak vermiştir. 119 doktordan, 85 tanesi bayandır. Doğru Seçenek A dır. DNA-15 Evli kişilerin eşleri ile birlikte oldukları bir toplulukta; Erkeklerin 3 ü, bayanların ise 3 5 i evlidir. Bu toplulukta en az kaç kişi bulunmaktadır? A)18 B)19 C)0 D)1 E)1 Evli erkeklerin sayısı, evli bayanların sayısına eşit olacağından; 3 E K E=9.K E ve K sayma sayısı olduğundan, E=9 ve K=10 dur. Kişi sayısı=e+k=10+9=19 Doğru Seçenek B dir.

9 GENETİK KOPYA-15 Evli kişilerin eşleri ile birlikte oldukları bir toplulukta; Erkeklerin 3 4 ü, bayanların ise 4 5 i evlidir. Bu toplulukta en az kaç kişi bulunmaktadır? A)30 B)31 C)3 D)33 E)34 GENETİK KOPYA-16 Bankadan YTL. ihtiyaç kredisi alan kişi geri ödemeyi; 1. ay: YTL.. ay: 00 YTL. 3. ay: 300 YTL. ve her ay bir önceki aydan YTL. fazla ödeme yaparak 5. ayda ödemeyi tamamlamıştır. Bu durumda bankaya ödenen faiz kaç YTL. dir. DNA-16 Arkadaşından 500 YTL. borç alan kişi geri ödemeyi; 1. gün bir YTL,. gün iki YTL ve her gün bir öncekinin iki katı kadar ödeme yaparak 10. gün ödemeyi tamamlıyor. Toplam ödediği para, borcundan kaç YTL. fazladır? A)500 B)53 C)64 D)104 E)146 Ödenen para; 1. gün: 1= 0. gün: = 1 3. gün: 4= 4. gün: 8= gün: 9 milyon TL. ödemiştir. Toplam ödenen para: = 10-1 = = 103 YTL. fark: =53 YTL. Doğru Seçenek B dir. A) B)00 D)300 D)400 E)500 DNA-17 Ali ve Bora aynı kitabı almak istiyorlar. Ali nin cebindeki parası kitabın fiyatından YTL. az, Bora nın cebindeki parası da kitabın fiyatından 47 YTL. azdır. Ali ve Bora nın paraları toplamı da kitabı almaya yetmemektedir. Kitabın fiyatı tamsayı olarak kaç YTL. dir? A)48 B)49 C)50 D)51 E)5 Kitabın fiyatına x dersek; Alinin parası=x- Boranın parası=x-47 A+B=(x-)+(x-47) < x x < 49 ve x > 47 eşitsizliklerinden; 47 < x < 49 koşulunu sağlayan tamsayı x=48 dir. Doğru Seçenek A dır.

10 GENETİK KOPYA-17 Kerem, Ekrem ve Senem her üçüde aynı oyuncağı almak istiyorlar. Oyuncağın fiyatı Kerem in parasından 14 YTL, Ekrem in parasından 37 YTL ve Senem in parasından 5 YTL. daha fazladır. Kerem, Ekrem ve Senem in paraları toplamı da kitabın parasını karşılamamaktadır. Kitabın fiyatı YTL. olarak bir tamsayı olduğuna göre kaç YTL. dir? GENETİK KOPYA-18 Bir kitabın sayfaları numaralandırılırken 7 rakamı 700 kez kullanılmıştır. Kitap en az kaç sayfadır? A)457 B)467 C)477 D)487 E)497 A)37 B)38 C)39 D)40 E)41 DNA-18 Bir kitabın sayfalarını numaralandırmak için 1434 tane rakam kullanılmıştır. Kitap kaç sayfadır? A)51 B)513 C)514 D)515 E)516 1 basamaklı 9 tane sayma sayısı: 9.1=9 rakam basamaklı 90 tane sayma sayısı: 90.=180 3 basamaklı 1ab sayıları tane:.3=300 rakam ab sayıları tane:.3=300 rakam 3ab sayıları tane:.3=300 rakam 4ab sayıları tane:.3=300 rakam Toplam: 1389 rakam =45 rakam daha kullanılmış. Her sayfada 3 rakam kullanılacağından 45:3=15 sayfa daha var. 500 den başlayan 15 sayfa 514 sayfa olur. Doğru Seçenek C dir.

11 KONU TESTİ 1. Hangi sayının 3 fazlası, 3 eksiğinin üç katıdır? A) B) 3 C) 4 D) 6 E) 9 5. Yapılan bir sınavda erkek öğrencilerin /3 ü, kız öğrencilerin 3/4 ü başarılı olmuşlardır. Başarılı kız ve erkek öğrencilerin sayılarının eşit olduğu bilindiğine göre, Sınavda tüm öğrencilerin kaçta kaçı başarılıdır?. Hangi sayının üç katının 8 fazlasının yarısından 6 çıkarıldığında, sayının kendisini bulursunuz? 11 A) D) 19 1 B) E) 3 13 C) 18 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 3. Bir kesrin değeri 1 dir. Bu kesrin pay ve paydasından 1 çıkarıldığında elde edilen kesir ile, pay ve paydasına 1 eklendiğinde elde edilen kesir çarpıldığında sonuç 5 1 olmaktadır. Bu kesrin pay ve paydası arasındaki farkın mutlak değeri kaçtır? A) 1 B) C) 3 D) 4 E) küçük, 4 büyük kutu toplam 84 silgi, 5 küçük, 3 büyük kutu toplam 85 silgi almaktadır. küçük, 5 büyük kutuya toplam kaç silgi konulabilir? A)91 B)9 C)93 D)94 E) Milyon lirayı iki kardeşe öyle paylaştırın ki, birinin aldığı paranın /3 ü, diğerinin 3/5 ine eşit olsun. Bu durumda en az parayı alan kaç milyon lira almıştır? A) 0 B) 8 C) 36 D) 40 E) 4 4. b a kesrinin payı 1 artırıldığında, kesrin değerinin değişmemesi için paydası ne kadar artırılmalıdır? A) 1 B) a C) b D) b a E) a b 8. Ali, Bora ve Can eşit katılımla bir şirket kuracaklardır. Ali 9 milyar TL., Bora 15 milyar TL. vermektedir. Can ise hiç para vermeyip arkadaşlarına borçlanmıştır. Can ın Boraya borcu kaç milyar TL. dir? A) 1 B) 3 C) 4 D) 7 E) 9

12 9. İki halkadan oluşan bir zincir parçası 13 cm., üç halkadan oluşan parça 18 cm. uzunluğunda ise; 5 halkadan oluşan zincir kaç cm. uzunluğundadır? A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) Ali, kilosu 4 YTL olan fıstık ile kilosu 3 YTL olan fındıktan 500 gramlık bir karışım alarak 180 kuruş ödemiştir. Ali nin aldığı karışımda kaç gram fındık vardır? A) 150 B) 175 C) 00 D) 5 E) A, B, C, D bitkilerinin boyları sırasıyla,3,5 ve 6 cm.dir. Her bitki ayda cm. uzadığına göre kaç ay sonra A,B,C bitkilerinin boylarının toplamı, D bitkisinin boyuna eşit olur? A) B) 3 C) 4 D) 5 E) paket eşya, araba veya hamalla taşınabilmektedir. En çok 60 paket götürebilen araba her gidiş için 8 YTL, en çok 0 paket götürebilen hamal ise her gidiş için 3 YTL almaktadır. Eşyanın tümü en az kaç YTL ye taşınabilir? A) 88 B) 94 C) 96 D) 105 E) Boş iken ağırlıkları x ve y olan iki kap su ile doldurulduklarında ağırlıkları eşit olmaktadır. Eğer kaplar yarıya kadar su ile doldurulursa ağırlıkları farkı 300 gr. oluyorsa x-y farkı kaçtır? A) 300 B) 450 C) 600 D) 750 E) Bir parça telin ucundan telin 7 1 si kesilirse, telin orta noktası eski durumundan cm kayıyor. Bu telin tamamı kaç cm dir? kişilik bir sınıfta 1,,3,4,5,6,7,8 notlarından herhangi biri en çok altı defa kullanılabiliyor. Sınıf geçme notu 4 ve üstü olduğuna göre, bu sınıfta en az kaç kişi sınıfta kalacaktır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 10 E) den 13 e kadar ( 1 ve 13 dahil) doğal sayıların yan yana yazılmasıyla elde edilen sayı kaç basamaklıdır? A) 13 B) 171 C) 49 D) 58 E) 61 A) 14 B) 18 C) 1 D) 8 E) 35 1.D.B 3.B 4.E 5.B 6.A 7.C 8.D 9.D 10.C 11.C 1.D 13.C 14.B 15.B 16.E

13 YAŞ PROBLEMLERİ: Kişinin bu günkü yaşı=içinde bulunulan yıl-doğum yılı Doğum yılı 1900 olan kişinin, 008 yılında kaç yaşında olduğunu bulalım. Kişinin 008 yılındaki yaşı= =18 dir. Kişinin bu günkü yaşı x ise, A yıl sonraki yaşı x+a B yıl önceki yaşı y-b dir. Soruda söz konusu kişilerin bu günkü yaşları x, y, z,... ise; A yıl önce yaşları x-a, y-a, z-a,... A yıl sonra yaşları x+a, y+a, z+a,... olacağı unutulmamalıdır. Ayça bugün 17, kardeşi 13 yaşında ise; 5 yıl sonra; Ayça 17+5= Kardeşi 13+5=18 yaşında olacaktır. 6 yıl önce; Ayça 17-6=11 Kardeşi 13-6=7 yaşında idi. Soruda söz konusu kişilerin yaş farklarının sabit kaldığına dikkat ediniz. DNA-1 Üç çocuğun bu gün yaşları toplamı 5 ise dört yıl sonra yaşları toplamı kaç olacaktır? A)9 B)33 C)37 D)41 E)45 Çocukların bu gün yaşları; a, b ve c ise a+b+c = 5 4 yıl sonraki yaşları; a+4, b+4, c+4 olur. (a+4)+(b+4)+(c+4)=a+b+c+1 isteniyor. a+b+c=5 olduğu bilindiğine göre, a+b+c+1 = 5+1 = 37 bulunur. Doğru Seçenek C dir. GENETİK KOPYA-1 Dört kardeşin bu gün yaşları toplamı 36 ise yıl önce yaşları toplamı kaç idi? A)34 B)3 C)30 D)8 E)6 DNA- Ekrem in yaşı, babasının yaşının /7 si, annesinin yaşının 1/3 ü kadardır. Ekremin yaşı, babasının ve annesinin yaşları farkının kaç katıdır? A) 1 B) 3 Ekremin yaşı: E Annesinin yaşı: A Babasının yaşı: B olsun. C) D) 3 E) 4 7E E B. ve B 7 1 E A. ve A 3E dir. 3 Baba ve annenin yaş farkı: 7E 1 B A 3E E Ekremin yaşının 1 katıdır. Doğru Seçenek A dır.

14 GENETİK KOPYA- Cansu nun yaşı, babasının yaşının 4/17 si, annesinin yaşının 1/4 ü kadardır. Cansu nun yaşı, babasının ve annesinin yaşları farkının kaç katıdır? GENETİK KOPYA-3 00 yılında annesine: Kaç yaşındasın? diye soran çocuk, Doğum tarihimin son iki basamağının oluşturduğu sayı yaşımdır yanıtını alır. B) 1 B) 3 C) D) 3 E) 4 Anne kaç yaşındadır? A)49 B)50 C)51 D)5 E)53 DNA yılında çocuğuna; doğum tarihimin son iki basamağındaki sayı bu günkü yaşımı gösterir diyen baba, 008 yılında kaç yaşındadır? A)58 B)59 C)60 D)61 E)6 Babanın doğum yılı: 19ab 1998 yılındaki yaşı: ab (19ab dört basamaklı, ab iki basamaklı birer sayıdır.) ab = ab 19ab=1900+ab olarak gruplandırıldığında ab = 1998-(1900+ab) ab=98-ab.ab = 98 ab = 49 babanın 1998 yılındaki yaşı 19ab=1949 babanın doğum yılı = 59 babanın 008 yılındaki yaşı Doğru Seçenek B dir. DNA-4 ab, ba iki basamaklı sayılar, c bir rakam olmak üzere; Alp in yaşı ab, Ber in yaşı ba dır. Alp, Berkten Can ın yaşı olan c kadar büyük, Berk in yaşı Can ın yaşının 5 katıdır. Alp kaç yaşındadır? A)45 B)48 C)5 D)54 E)56 ab=ba+c ve ba=5.c verilmiş. ba sayısı 5 in katı olduğundan a=5 tir. (a=0 olamaz) ab=ba+c çözümlendiğinde; 10a+b=10b+a+c 9.a=9.b+c 9.5=9.b+c 45=9.b+c eşitliğinde; b=4 ve c=9 olmalıdır. Alp in yaşı=ab=54 bulunur. Doğru Seçenek D dir.

15 GENETİK KOPYA-4 ab, ba ve c4 iki basamaklı doğal sayılar olmak üzere ; Kaya nın yaşı ab, Lemi nin yaşı ba ve Murat ın yaşı c4 tür. Murat ın yaşı Kaya ve Lemi nin yaşları farkına eşit ise, Kaya en az kaç yaşındadır? A) 19 B)1 8 C)1 7 D) 15 E)1 3 DNA yılında doğan bir kişi, yaşını soran arkadaşına, Bu günkü yaşım, doğum yılımın rakamları çarpımına eşit. yanıtını veriyor. Buna göre, bu konuşma hangi yılda yapılmıştır? A)1975 B)1976 C)1977 D)1978 E) sayısının rakamları çarpımı; =54 tür. Bu aynı zamanda kişinin yaşı olduğundan, 54=içinde bulunulan yıl-193 İçinde bulunulan yıl=193+54=1977 Doğru Seçenek C dir. DNA-6 Ayça, Bora ve Cansu nun bugünkü yaşları toplamı 68 dir. Ayça, Bora nın bugünkü yaşında iken, Cansu nun yaşı da Bora nın yaşının iki katı idi. Buna göre, Bora nın bugünkü yaşı kaçtır? A)14 B)16 C)17 D)18 E) Ayça, Bora ve Cansu nun bugünkü yaşları sırası ile A, B ve C olsun. A+B+C=68 Ayça, Bora nın bugünkü yaşında iken ifadesi, Ayça nın Bora dan büyük olduğunu verir. A-B yıl öncesinden söz edilmektedir. A-(A-B)=B Ayça nın yaşı B-(A-B)=B-A Bora nın yaşı C-(A-B)=C-A+B Cansu nun yaşı idi. C-A+B=(B-A) C-A+B=4B-A C=3B-A A+B+C=68 Eşitliğinde yerine yazılırsa; A+B+(3B-A)=68 4B=68 B=17 bulunur. Doğru Seçenek C dir. GENETİK KOPYA yılında doğan bir kişi, yaşını soran arkadaşına, Bu günküm yaşım, doğum yılımın rakamları toplamına eşit. yanıtını veriyor. Buna göre, bu konuşma hangi yılda yapılmıştır? A)000 B)001 C)00 D)003 E)004 GENETİK KOPYA-6 Ayça, Bora ve Cansu nun bugünkü yaşları toplamı 68 dir. Ayça, Bora nın bugünkü yaşına geldiğinde, Cansu nun yaşı da Bora nın yaşının iki katı olacaktır. Buna göre, Bora nın bugünkü yaşı kaçtır? A)14 B)16 C)17 D)18 E)

16 Aslı nın yaşı A, Zara nın yaşı Z olsun. Aslı, Zara nın yaşına geldiğinde; (Z-A yıl sonra) Aslı nın yaşı: A+(Z-A)=Z Zara nın yaşı: Z+(Z-A)=.Z-A olur. Zara, Aslı nın yaşında iken; (Z-A yıl önce) Aslı nın yaşı: A-(Z-A)=.A-Z Zara nın yaşı: Z-(Z-A)=A idi. DNA-7 Bir anne 36, kızı 8 yaşındadır. Kaçyıl sonra annenin yaşı, kızının yaşının 3 katı olur? A)6 B)7 C)8 D)9 E)10 x yıl sonra; annenin yaşı: 36+x kızının yaşı: 8+x olacaktır. 36+x=3(8+x) 36+x=4+3x x=1 x=6 bulunur. Doğru Seçenek A dır. GENETİK KOPYA-7 Bir baba 38, oğlu 8 yaşındadır. Kaçyıl sonra babanın yaşı, oğlunun yaşının 4 katı olacaktır? A)1 B) C)3 D)4 E)5 DNA-8 Bir babanın bugünkü yaşı, üç çocuğunun bugünkü yaşları toplamının üç katına eşittir. yıl sonra babanın yaşı, çocuklarının yaşları toplamının iki katı olacağına göre, Babanın bugünkü yaşı kaçtır? A)8 B)30 C)3 D)36 E)40 Babanın bugünkü yaşı: B Çocukların bugünkü yaşları: x,y ve z olsun B=3(x+y+z) yıl sonra; Babanın yaşı: B+ Çocukların yaşları: x+, y+, z+ olacaktır. B+=[(x+)+(y+)+(z+)] B+=(x+y+z)+1 B=3(x+y+z) yazılırsa, 3(x+y+z)+=(x+y+z)+1 x+y+z=10 bulunur. Babanın bugünkü yaşı: B=3(x+y+z) verildiğinden B=3.10=30 dur. Doğru Seçenek B dir. GENETİK KOPYA-8 Bir annenin bu günkü yaşı, üç çocuğunun bu günkü yaşları toplamının iki katıdır. İki yıl önce annenin yaşı, çocuklarının yaşları toplamının üç katı olduğuna göre, Çocukların bugünkü yaşları toplamı kaçtır? A)8 B)10 C)1 D)14 E)16

17 DNA-9 Bir babanın yaşı, ikişer yıl ara ile doğmuş 3 çocuğunun yaşları toplamına eşittir. Baba 48 yaşında olduğuna göre, en büyük çocuk doğduğunda babanın yaşı kaçtır? A)8 B)30 C)3 D)34 E)35 Çocukların yaşları: x, x+ ve x+4 x+(x+)+(x+4)=48 3x+6=48 3x=4 x=14 En büyük çocuğun yaşı: x+4=14+4=18 Çocuk doğduğunda babanın yaşı: 48-18=30 olur. Doğru Seçenek B dir. DNA-10 Ali 6 yaşında iken babası 36 yaşındadır. Kaç yıl sonra yaşlarının oranı 1 4 A) B)3 C)4 D)5 E)6 x yıl sonra; Ali nin yaşı: 6+x Babanın yaşı: 36+x olacaktır. 36+x=4(6+x) 36+x=4+4x 3x=1 x=4 6 + x 36 + x = 1 4 olur? Doğru Seçenek C dir. GENETİK KOPYA-10 Aysu nun yaşı 1, Banu nun yaşı 4 tür. Kaç yıl önce yaşlarının oranı 3 7 idi? GENETİK KOPYA-9 Bir annenin yaşı, üçer yıl ara ile doğmuş üç çocuğunun yaşları toplamına eşittir. A) B)3 C)4 D)5 E)6 Annenin 39 yaşında olduğu bilindiğine göre, en küçük çocuk doğduğunda annenin yaşı kaçtır? A)0 B)3 C)6 D)9 E)3 DNA-11 Kaya ve Mert in bugünkü yaşlarının oranı 3 tür yıl sonra bu oran olacağına göre, Kaya ve Mert in bu günkü yaşları toplamı kaçtır? 5 A)30 B)8 C)4 D)18 E)16

18 Kayanın bugünkü yaşı: K Mert in bugünkü yaşı: M K M = 3 4 4K = 3M 4 yıl sonra; Kaya: K+4 Mert: M+4 yaşında olacaktır. K + 4 M + 4 = 4 5 5K+0=4M+16 4M-5K=4 4K = 3M M= 4K 3 4M-5K=4 4K 3 K 3 = 4 K=1 4K = 3M 4.1=3M M=16 5 K + 4 = 4(M + 4) -5K=4 K+M=1+16=8 bulunur. Doğru Seçenek B dir. DNA-1 Ayşe ile Fatma nın bugünkü yaşları toplamı 4 dir. Ayşe, kendisinden daha yaşlı olan Fatmanın yaşına geldiğinde ise yaşları toplamı 54 olacaktır. Buna göre Ayşe nin bugünkü yaşı kaçtır? A)16 B)18 C)4 D)30 E)3 Ayşe nin bugünkü yaşı: A Fatma nın bugünkü yaşı: F A+F=4 F-A yıl sonrasından söz edilmektedir. Ayşe: A+(F-A)=F Fatma: F+(F-A)=F-A F+(F-A)=54 Sistem çözüldüğünde; A+F=4 F=4-A F+(F-A)=4-A+[(4-A)-A]=54 4-A+84-3A=54 4A=7 A=18 Doğru Seçenek B dir. GENETİK KOPYA-11 Elif ve Demir in bugünkü yaşlarının oranı 3 4 tür. 6 yıl önce bu oran 3 olduğuna göre, Demir ile Elif in yaşları farkı kaçtır? A)6 B)9 C)1 D)18 E)4 GENETİK KOPYA-1 Can ve Doğa nın bugünkü yaşları toplamı 35 tir. Doğa kendisinden genç olan Can ın yaşında iken ikisinin yaşları toplamı 5 idi. Buna göre Doğa bugün kaç yaşındadır? A)1 B)13 C)15 D)17 E)0

19 DNA ve 18 yaşındaki öğrencilerden oluşan 0 kişilik bir sınıftaki öğrencilerin yaşları toplamı 348 dir. Bu sınıfta 18 yaşında olan kaç öğrenci vardır? A)6 B)8 C)9 D)10 E)1 17 yaşındaki öğrencilerin sayısı: x 18 yaşındaki öğrencilerin sayısı: y olsun. x+y=0 Tüm öğrencilerin yaşları toplamı; 17x+18y=348 Sistemi çözdüğümüzde; x+y=0 x=0-y 17x+18y=17(0-y)+18y= y+17y=348 y=8 kişi 18 yaşındadır. Doğru Seçenek B dir. DNA-14 Can ile babasının yaşlarının toplamı 56 dır. 4 yıl önce babasının yaşı Can ın yaşının üç katı olduğuna göre, babasının bugünkü yaşı kaçtır? A)36 B)37 C)38 D)39 E)40 Can ın bugünkü yaşı: C Babasının bugünkü yaşı: B C+B=56 4 yıl önceki yaşları; Can: C-4 Baba: B-4 B-4=3(C-4) Sistemi çözdüğümüzde; C+B=56 C=56-B B-4=3(C-4)=3(56-B-4) B-4=156-3B 4B=160 B=40 Babanın bugünkü yaşı. Doğru Seçenek E dir. GENETİK KOPYA ve 14 yaşındaki öğrencilerden oluşan 18 kişilik bir sınıftaki öğrencilerin yaşları toplamı 4 dir. Bu sınıfta 13 yaşında olan kaç öğrenci vardır? A)6 B)8 C)9 D)10 E)1 GENETİK KOPYA-14 Arzu ile annesinin bugünkü yaşlarının toplamı 58 dir. 4 yıl sonra annesinin yaşı, Arzu nun yaşının iki katı olacaktır. Arzu nun bugünkü yaşı kaçtır? A)16 B)17 C)18 D)19 E)0

20 DNA-15 Bir gruptaki kız öğrencilerin yaş ortalaması 18, erkek öğrencilerin yaş ortalaması 1 dir. Erkek öğrencilerin sayısı, kız öğrencilerin sayısının iki katı olduğuna göre, Bu grubun yaş ortalaması kaçtır? A)18 B)19 C)0 D)1 E) Yaş ortalaması = yaş toplamı kişi sayısı Kız öğrencilerin sayısı: x Erkek öğrencilerin sayısı: x Yaş toplamı Kız öğrenciler için: 18= x Yaş toplamı=18x Yaş toplamı Erkek öğrenciler için: 1= x Yaş toplamı=1.x=4x Grubun yaş ortalaması= 18x+4x x+x = 60x 3x =0 Doğru Seçenek C dir. GENETİK KOPYA-15 Beş kişinin yaş ortalaması 1 dir. Bu kişilerden ikisinin yaş ortalaması 18 ise diğer üçünün yaş ortalaması kaçtır? A)8 B)9 C)10 D)11 E)1

21 KONU TESTİ 1. Lale 14, Gül x yaşındadır. Gül x+5 yaşına geldiğinde, Lale kaç yaşında olur. A)x+5 B)x+14 C)x+19 D)x+5 E)x Bir ailenin bütün bireylerinin bugünkü yaşları toplamı 10, iki yıl önceki yaş ortalaması dir. İki yıl içinde birey sayısında değişiklik olmayan bu ailede kaç birey vardır? A) 3 B)4 C)5 D)6 E)7. Namık yıl sonra, Mehmet yıl önce doğmuş olsalardı yaşları eşit olacaktı. İkisinin bugünkü yaşları toplamı 40 olduğuna göre, Mehmet bu gün kaç yaşındadır? 6. Ali, Bora ve Can ın bugünkü yaşları toplamı 48 dir. Ali, Bora nın bu günkü yaşına geldiğinde, Can ın yaşı da Bora nın yaşının iki katı olacaktır. Buna göre, Bora nın bu günkü yaşı kaçtır? A)9 B)1 C)15 D)18 E)1 A)16 B)18 C)0 D) E)4 3. Ayla nın yıl önceki yaşı, Bora nın şimdiki yaşının dört katı idi. 4 yıl sonra Ayla nın yaşı, Bora nın şimdiki yaşının beş katı olacağına göre, Bora bugün kaç yaşındadır? A)5 B)6 C)7 D)8 E)9 4. Anne, baba ve iki çocuktan oluşan bir ailedeki tüm fertlerin yaşları toplamı 80 dir. 5 yıl sonra, anne ve babanın yaşları toplamı, çocukların yaşları toplamının 4 katı olacaktır. Anne ve babanın bugünkü yaşları toplamı kaçtır? 7. Akın ın doğduğu yıl, Barış ın yaşı Akın ın bugünkü yaşının yarısı kadardı. Akın ile Barış ın bugünkü yaşları toplamı 0 olduğuna göre, Barış bugün kaç yaşındadır? A)8 B)9 C)10 D)1 E)15 8. İki kardeşin yaşları 5 ve 8 dir. Kaç yıl sonra yaşlarının oranı 3 4 olacaktır? A)3 B)4 C)5 D)6 E)7 A)8 B)10 C)1 D)16 C)18

22 9. Üç kardeşin yaşları toplamı 30 dur. En küçük çocuk ile en büyüğünün yaş farkı 6 olduğuna göre, En küçük çocuk en büyüğünün yaşına geldiğinde üç cocuğun yaşları toplamı kaç olacaktır? A)36 B)39 C)4 D)48 E) Bir annenin bugünkü yaşı, kızının yaşının 8 katıdır. Kızı annesinin bugünkü yaşına geldiğinde ikisinin yaşları toplamı 9 olduğuna göre, Annenin bugünkü yaşı kaçtır? A)8 B)30 C)3 D)34 E) Ekrem ile Kerem in bu günkü yaşları toplamı35 dir. Ekrem Kerem in bugünkü yaşındayken Kerem 13 yaşında olduğuna göre, Ekrem bu gün kaç yaşındadır? A)13 B)16 C)19 D)0 E) 1. A nın yaşı bu gün B nin yaşının k katıdır. k yıl önce A nın yaşı B nin yaşının k katı olduğuna göre, B nin bu günkü yaşı nedir? A) k/ B) k-1 C) k D) k+1 E) k 13. ab ve ba iki basamaklı sayılardır. Bir baba ab, çocuğu ba yaşındadır. Bir yıl önce çocuğun yaşı, babasının yaşının yarısı olduğuna göre baba ve çoçuğun yaşları toplamı kaçtır? A)73 B)84 C)95 D)110 E) Ali bey 5 yaşında okula başladı. Hayatının çeyreği eğitimde geçti. Eğitimini bitirince çalışmaya başladı ve hayatının yarısı iş hayatında geçti. Emekli olarak 14 yıl daha yaşadı. Ali bey kaç yaşında emekli olmuştur? A) 54 B) 56 C) 6 D) 68 E) Bir sınıftaki 4 öğrencinin yaş ortalaması a dır. Öğretmenin katılmasıyla ortalama b olmaktadır. Öğretmenin yaşı kaçtır? A) 4(b-a) B) 5(b-a) C) 5b-4a D) 5a-4b E) b-a 16. Aşağıdaki tablo bir iş yerinde çalışanların sayısı ile yaşlarını göstermektedir. Yaş Kişi sayısı Bu iş yerinden seçilen 16 kişinin yaş ortalaması 5 olduğuna göre, geriye kalanlardan kaç kişi 6 yaşındadır? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 1 1.C.B 3.B 4.B 5.C 6.B 7.D 8.B 9.D 10.C 11.C 1.D 13.D 14.C 15.C 16.E

23 İŞÇİ (HAVUZ) PROBLEMLERİ: Problem çözümlerinin pek çoğunda olduğu gibi, bire indirgeme yöntemi uygulanır. Bir kalemin fiyatı, bir saatte gidilen yol, bir günde yapılan iş, bir saatte akıtılan su miktarı,... bulunarak çözüme gidilir. Bir işin tamamını A işçisi a günde, B işçisi b günde bitirebiliyorsa, ikisi birlikte bu işi kaç günde bitirirler? sorusunu çözmek için; A işçisi, işin tamamını a günde yapıyorsa 1 1 günde işin kadarını yapar. a B işçisi, işin tamamını b günde yapıyorsa; 1 bir günde işin kadarını yapar. b İkisi birlikte işi x günde bitirirlerse; 1 günde işin 1 x kadarını yaparlar. ÇÖZÜM Ekin işin tamamını 10 saatte yapıyorsa; 1 saatte işin 1 unu yapar. 10 Damla işin tamamını 15 saatte yapıyorsa; 1 saatte işin 1 ini yapar. 15 İkisi birlikte işi x saatte bitirirlerse; 1 saatte işin 1 x kadarını yaparlar. 1 saatte birlikte yaptıkları işlerin toplamı; = 1 x Denklemi çözdüğümüzde; = 1 x = 1 x = 1 x = 1 x 1 6 = 1 x x=6 bulunur. Doğru Seçenek B dir. 1 günde yaptıkları işleri toplamı; a b x olur. diyerek denklemimizi kurar ve çözümü yaparız. DNA-1 Ekin bir işi tek başına 10 saatte, Damla aynı işi tek başına 15 saatte yapabilmektedir. GENETİK KOPYA-1 Mehmet bir işi tek başına 30 saatte, Akif aynı işi tek başına 6 saatte yapabilmektedir. İkisi birlikte aynı işi kaç saatte yaparlar? A)5 B)4 C)3 D) E)1 İkisi birlikte aynı işi kaç saatte yaparlar? A)5 B)6 C)7 D)8 E)9

24 DNA- Bir havuza açılan iki musluktan, birincisi havuzun tamamını 6 saatte, ikincisi havuzun tamamını 30 saatte doldurmaktadır. Bu havuzun tamamını, muslukların ikisi birlikte kaç saatte doldurabilir? A) B)3 C)4 D)5 E)6 ÇÖZÜM I.Musluk havuzun tamamını 6 saatte dolduruyorsa; 1 saatte 1 6 sını, II.Musluk havuzun tamamını 30 saatte dolduruyorsa; 1 saatte 1 30 unu, İkisi birlikte havuzu x saatte dolduracak ise; 1 saatte 1 x kadarını doldurur. 1 saatte muslukların doldurdukları kısımların toplamı; GENETİK KOPYA- Bir havuza açılan iki musluktan, birincisi havuzun tamamını 10 saatte, ikincisi havuzun tamamını 15 saatte doldurmaktadır. Bu havuzun tamamını, muslukların ikisi birlikte kaç saatte doldurabilir? A)9 B)8 C)7 D)6 E)5 DNA-3 Ceren bir işi x günde, Demir ise aynı işi x günde bitirebilmektedir. İkisi birlikte aynı işi 3 günde bitirdiklerine göre, Demir tek başına kaç günde bitirebilir? A)4 B)4,5 C)5 D)5,5 E) = 1 x ÇÖZÜM Ceren 1 günde; 1 x kadarını, Denklemi çözdüğümüzde; = 1 x = 1 x = 1 x 30 = 1 x 1 5 = 1 x x=5 bulunur. Doğru Seçenek D dir. Demir 1 günde; 1 x = x kadarını, İkisi birlikte 1 günde; 1 kadarını yaparlar 3 1 x + x = 1 3 Denklemi çözdüğümüzde; 1 x + x = x = 1 3 x = 9 bulunur. UYARI Havuz ve işçi problemlerinin çözüm yöntemlerinin aynı olduğu DNA-1 ve DNA- de açıkça görülmektedir. Kişiler ve musluklar yer değiştirmiştir. Demir x = 9 = 4,5 günde bitirir. Doğru Seçenek B dir.

25 GENETİK KOPYA-3 Bir havuza açılan iki musluktan, birincisi havuzun tamamını a saatte, ikincisi a havuzun tamamını saatte doldurmaktadır. Bu havuzun tamamını, muslukların ikisi birlikte 6 saatte doldurabildiğine göre, ikinci musluk havuzu tek başına kaç saatte doldurur? A)9 B)8 C)7 D)6 E)5 3 1 x = = 3 4 = 1 8 x=8 bulunur. Doğru Seçenek C dir. GENETİK KOPYA-4 Aynı nitelikteki üç musluk bir havuzu birlikte 1 saatte doldurmaktadır. Musluklardan biri yalnız başına bu havuzu kaç saatte doldurabilir? A)3 B)4 C)1 D)4 E)36 DNA-4 Üç işçi bir işi birlikte çalışarak 4 günde bitirebiliyor. Bunlardan birincisi bu işi yalnız başına 1 günde, ikincisi 4 günde bitirebildiğine göre, Üçüncüsü bu işi yalnız başına kaç günde bitirebilir? A)6 B)7 C)8 D)9 E)10 ÇÖZÜM 1.işçi 1 günde 1 1 kadarını,.işçi 1 günde 1 4 kadarını, DNA-5 Meral ve Nuran, birlikte çalışarak 1 saatte bitirebilecekleri bir işi yapmaya başlıyorlar. İkisi birlikte 3 saat çalıştıktan sonra Meral işi bırakıyor. Geriye kalan işi Nuran 15 saatte bitirebiliyor. Bu işin tümünü Meral kaç saatte bitirebilirdi? A)0 B)4 C)8 D)30 E)36 3.işçi 1 günde 1 x kadarını ve Üç işçi birlikte 1 günde işin 1 4 yaptıklarından; kadarını ÇÖZÜM Meral işin tamamını x saatte, Nuran işin tamamını y saatte bitirebilsin Meral 1 saatte işin 1 x kadarını, x = 1 4 Nuran 1 saatte işin 1 y kadarını, Denklemini çözdüğümüzde; x = x = 6 4 İkisi birlikte 3 saatte işin kadarını yaparlar. Denklemi kurduğumuzda; 3 1 x + 1 y

26 olur. 1 x + 1 y = x + 1 y ve y = 1 DNA-6 Bir musluk havuzu 4 saatte, başka bir musluk 6 saatte doldurabiliyor. Bu iki musluk kapalı iken havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu 1 saatte boşaltabiliyor. UYARI Yapılan tüm işlerin toplamı, iş bitiminde bire eşittir. Sistemin ortak çözümünde; y = 1 Üç musluk birden açılırsa havuz kaç saatte dolar? A)3 B)4 C)5 D)6 E)8 ÇÖZÜM 1.musluk 1 saatte 1 4 ünü, 15 y = musluk 1 saatte 1 6 sını doldururken, 15 y = 3 4 y=0 saatte Nuran. 1 x = x = = 1 30 x=30 saatte Meral işi bitirir. Doğru Seçenek D dir. 3.musluk 1 saatte 1 1 sini boşaltır. Üçü birlikte x saatte dolduruyorsa, 1 saatte 1 x kadarı dolar. Denklemi kurduğumuzda; olacaktır. Denklemi çözersek; = 1 1 x = 1 x GENETİK KOPYA-5 Aynı havuza açılan iki musluk havuzu birlikte 4 saatte doldurmaktadır. Birlikte açıldıktan saat sonra musluklardan biri kapatıldığında, diğer musluk havuzun kalan kısmını 6 saatte doldurabilmektedir. 1 3 = 1 x x=3 bulunur. Doğru Seçenek A dır. Musluklardan biri havuzu tek başına en az kaç saatte doldurabilir? A)5 B)6 C)8 D)10 E)1

27 GENETİK KOPYA-6 Bir musluk havuzu 10 saatte, başka bir musluk 15 saatte doldurabiliyor. Bu iki musluk kapalı iken havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk, dolu havuzu x saatte boşaltabiliyor. Üç musluk birden açılırsa havuz 1 saatte dolacağına göre, x kaçtır? (x-30)(x-5)=150 x-30=0 x=30 x-5=0 x=5 bulunur. x=5 alındığında, x-15=5-15=-10 negatif olacağından yanı değildir. A)10 B)1 C)14 D)16 E)0 x=30 bulunur. Doğru Seçenek C dir. DNA-7 Akif bir işi Bekir den 15 saat daha kısa sürede yapabilmektedir. İkisi birlikte bu işi 10 saatte yapabildiklerine göre, Bekir bu işi tek başına kaç saatte yapar? A)0 B)5 C)30 D)35 E)40 ÇÖZÜM Bekir işin tamamını x saatte yaparsa, Akif işin tamamını x-15 saatte yapar. UYARI Soruda bilinmeyen kullanılacaksa, sorulan çokluğa x demek yanlışa düşmenizi önler. GENETİK KOPYA-7 A musluğunun tek başına havuzu doldurma süresi, B musluğundan 5 saat daha fazladır. İkisi birlikte havuzu 6 saatte doldurabildiklerine göre, A musluğu havuzu tek başına kaç saatte doldurur? A)9 B)10 C)1 D)15 E)18 Bekir 1 saatte işin 1 x kadarını, Akif 1 saatte işin 1 x 15 kadarını yapar. DNA-8 İkisi birlikte 1 saatte işin yaptıklarından; 1 10 kadarını 1 x + 1 x 15 = 1 10 Denklemi kurulabilir. Denklem çözüldüğünde; x 15 + x x x 15 = 1 10 x(x-15)=0x-150 x -35x+150=0 Muslukların üçü birlikte açıldığında dolu havuz saatte boşaldığına göre, D musluğu tek başına dolu havuzu kaç saatte boşaltır? A)1 B) C)7 D)33 E)36

28 ÇÖZÜM Bir musluk, havuzun üçte birlik kısmını tek başına x saatte boşaltsın. Havuzun üstteki ilk üçte birlik kısmındaki su, B, C ve D musluklarından boşalacağından, bu kısım x saatte, 3 Ortadaki üçte birlik kısımdaki su, C ve D musluklarından boşalacağından, bu kısım x saatte, En alttaki üçte birlik kısım yalnızca D musluğundan boşalacağından x saatte boşalır. GENETİK KOPYA-8 Aynı nitelikteki üç işçi bir işe birlikte başlamışlardır. İşin üçte birlik kısmı bittiğinde işçilerden biri, ikinci üçte birlik kısmı bittiğinde de ikincisi işten ayrılıyor. Üçüncü işçi, işin kalan kısmını tek başına tamamlıyor. Bu koşullarda 11 saatte biten iş, işin tamamında üç işçi çalışırsa kaç saatte biter? A)4 B)5 C)6 D)7 E)8 Dolu havuzun tamamı için; x 3 + x + x = Denklemi kurulabilir. Denklemin çözümünde; x+3x+6x 6 = 11x 6 = x=1 bulunur. Üçte birlik kısmını x=1 saatte boşaltan D musluğu, havuzun tamamını 3x=3.1=36 saatte boşaltır. Doğru Seçenek E dir. UYARI Bir işçi, bir işi A saatte yapıyorsa; aynı nitelikteki işçi bu işi A saatte, 3 işçi A saatte,... yaparlar. 3 DNA-9 Üç işçi belli bir işi sırasıyla x, y, z günde bitirebilmektedir. Üçü birden aynı işi 1 günde bitirebildiğine ve x, y, z arasında x< y< z bağıntısı bulunduğuna göre, z nin en küçük tamsayı değeri kaçtır? A)35 B)36 C)37 D)38 E)39 ÇÖZÜM 1.işçi,1 günde işin 1 kadarını, x. işçi, 1 günde işin 1 kadarını, y 3.işçi, 1 günde işin 1 kadarını, z 1 Üçü birlikte, 1 günde yaparlar. 1 x + 1 y + 1 z = 1 1 denklemi kurulabilir. 1 kadarını x<y<z 1 ve eşitsizlik özelliğinden, > 1 > 1 olur. x y z Eşitlikte; tüm terimler yerine en küçüğü olan 1 yazılırsa; z

29 1 z + 1 z + 1 z < 1 1 z > 36 bulunur. 3 z < 1 1 DNA-10 5 işçi, günde 5 er saat çalışarak 5 günde 5 baraka yapabiliyorlar. 36 dan büyük en küçük tamsayı 37 dir. Doğru Seçenek C dir. YADA!!! İşçiler aynı nitelikte olsaydı; Üçü birden 1 günde yapabiliyorlarsa, Biri 3.1=36 günde yapar. z=36 olurdu. z, en büyükleri olduğundan; z > 36 olmalıdır. En küçüğü 37 dir. 10 işçi günde 10 ar saat çalışarak 10 günde kaç baraka yapabilirler? A)10 B)0 C)30 D)40 E)50 Yapılan iş miktarı Bir işçinin birim zamanda yaptığı iş = işçi sayısı x tüm zaman İlk parağraf için; Bir işçinin birim zamanda yaptığı iş = İkinci parağraf için; Bir işçinin birim zamanda yaptığı iş = x GENETİK KOPYA-9 Üç musluk bir havuzu sırasıyla x, y, z saatte doldurabilmektedir. Üçü birden aynı havuzu 9 saatte doldurduklarına ve x, y, z arasında x< y< z bağıntısı bulunduğuna göre, x nin en büyük tamsayı değeri kaçtır? A)4 B)5 C)6 D)8 E)9 İşçilerin nitelikleri aynı olduğundan; x ve x=40 bulunur. Doğru Seçenek D dir. GENETİK KOPYA-10 kişi c günde f tuğla örmektedir. Buna göre c kişi b tane tuğlayı kaç günde örer? IŞIK-1 A) b f B) b f C) f b D) f b E) f Yapılan iş miktarı Bir işçinin birim zamanda yaptığı iş = işçi sayısı x tüm zaman

30 DNA-11 A bir parça işi 3 saatte, B, saatte, C, 5 saatte yapabiliyor. Üçü birlikte 6 parça işi kaç saatte yaparlar? A)30 B)36 C)45 D)60 E)75 A, bir saatte bir parçanın 1/3 ünü, B, bir saatte bir parçanın 1/ sini, C, bir saatte bir parçanın 1/5 ini yapar. Üçü birlikte bir saatte : parça iş yaparlar parça iş : 60 saatte yapılır Doğru Seçenek D dir. GENETİK KOPYA-11 A musluğundan saatte bir ton su, B musluğundan 3 saatte bir ton su, C musluğundan 4 saatte bir ton su akmaktadır. Üç musluk birlikte 6 ton su alan boş bir havuzu kaç saatte doldurur? DNA-1 Tek tür mal üreten bir atölyede makinelerden biri 3 saatte 47 birim mal üretmektedir. Aynı süre içinde bu makinenin 4 katı mal üreten başka bir makine, 47 birim malı kaç saatte üretir? A) 3 47 B) 3 4 C) 47 4 D) E) saatte 47 birim mal üreten makine, bir saatte 47 3 birim mal üretir. Başka bir makine bir saatte mal üretir. Bu makine 47 birim malı üretir = 3 4 birim saatte Doğru Seçenek B dir. GENETİK KOPYA-1 Bir musluktan 4 saatte 13 ton su akmaktadır. Aynı sürede bu musluğun 3 katı su akıtan başka bir musluktan 13 ton su kaç saatte akar? A) 39 4 B) 5 3 C) 13 3 D) 4 3 E) 4 13 A)1 B)13 C)16 D)18 E)4

31 DNA-13 Ustanın 8 saatte yaptığı bir işi, çırak 4 saatte yapabilmektedir. Usta, bu işte tek başına 6 saat çalıştıktan sonra bırakmış ve kalan işi çırak tamamlamıştır. Çırak kaç saat çalışmıştır? A) B)3 C)4 D)6 E)8 Usta, 1 saate işin 1 ini, 8 Çırak, 1 saatte işin 1 ünü yapar. 4 Usta 6 saatte işin = 3 4 ünü, Çırak x saatte işin x. 1 ünü yapar. 4 İş bittiği için; 3 + x = x 4 = = 1 4 DNA-14 A musluğundan birim zamanda akan su miktarı, B musluğundan birim zamanda akan su miktarının iki katıdır. İkisi birlikte boş bir havuzu 18 saatte doldurduklarına göre, B musluğu boş havuzu tek başına kaç saatte doldurur? A)4 B)7 C)36 D)48 E)54 B musluğu havuzu x saatte dolduruyorsa, 1 saatte havuzun 1 x kadarını doldurur. A musluğu katı kadar su akıttığından, 1 saatte havuzun x kadarını doldurur. İkisi birlikte 1 saatte havuzun 1 18 dolduracağından; denklemi kurulabilir. x + 1 x = 1 18 ini x=6 bulunur. Doğru Seçenek D dir. Denklemin çözümünden; 3 x = 1 18 GENETİK KOPYA-13 A musluğunun 6 saatte doldurduğu bir havuzu, B musluğu 30 saatte doldurabilmektedir. A musluğu tek başına 4 saat açık bırakıldıktan sonra kapatılıp B musluğu açılıyor. Havuzun kalan kısmını B musluğu kaç saatte doldurur? A)6 B)8 C)10 D)1 E)15 x=54 bulunur. Doğru Seçenek E dir. GENETİK KOPYA-14 Ayşe nin birim zamanda yaptığı iş, Fatma nın birim zamanda yaptığı işin üç katıdır. İkisinin birlikte 1 saatte yapabildikleri bir işi, Ayşe tek başına kaç saatte yapabilir? A)16 B)4 C)36 D)48 E)5

32 DNA-15 Büyüklükleri aynı olan iki havuzdan biri saatte, diğeri 3 saatte doldurulabilmektedir. Aynı anda doldurulmaya başlanan iki havuzdan birinin boş kısmının, diğerinin boş kısmının üç katı olması için kaç saat geçmelidir? GENETİK KOPYA-15 İki farklı tür kutudan eşit miktarlarda yapılacaktır. Birinci tür kutuların tümünün yapımı 3 saatte, ikinci tür kutuların ise 4 saatte bitmektedir. Kutuların yapımına aynı anda başladıktan kaç saat sonra, birinin yapılacak kutu sayısı, diğerinin yapılacak kutu sayısının iki katı olur? A) 1 7 B) 6 7 C) 10 7 D) 1 7 E) 13 7 A) B) 11 5 C) 9 4 D) 1 5 E) 5 1.Havuzun 1 saate 1 x saat sonra x. 1 si boştur. 1- x si dolar. si dolar,.havuzun 1 saatte 1 ü dolar. 3 x saat sonra x. 1 ü dolar, 3 1- x ü boştur. 3 x 3 < x olduğundan, 1- x 3 > 1-x dir. 1- x 3 =3 1 x 1- x 3 =3-3x 3x x 3 = 3 1 7x 6 = x= 1 7 bulunur. Doğru Seçenek D dir.

33 KONU TESTİ 1. İşin 4 sini 8 günde yapabilen bir işçi, 7 bu işin tamamını kaç günde yapar? A)10 B)11 C)1.D)14 E)15 6. Emel bir işi x günde, Ferit 3x günde ve Gül 18 günde yapabilmektedir. Üçü birlikte bu işi X günde yapabildiklerine göre, x kaçtır? A)6 B)8 C)9 D)1 E)18. Hacmi A litre olan bir havuza dakikada k litre su akmaktadır. Havuzun yarısı kaç dakikada dolar? A) A k B) A k C) A D) 1 k E) 1 k 3. 4 tavuk, 4 kg. yemi, 4 günde bitiriyor. 0 tavuk, 30 kg. yemi kaç günde bitirir? 7. Boş bir havuzu iki musluktan birincisi diğerinden 6 saat daha kısa zamanda doldurmaktadır. İki musluk birlikte boş havuzu 4 saatte doldurduğuna göre, İkinci musluk tek başına kaç saatte doldurur. A) 8 B)9 C)1 D)14 E)16 A) B) 3 C) 4 D) 6 E) Bir işi Alp ve Burcu birlikte 10 saatte, Burcu ve Cenk birlikte 15 saatte, Cenk ve Alp birlikte 30 saatte yapabiliyorlar. Üçü birlikte bu işi kaç saatte yapabilirler? 8. Akın bir işin üçte birini yaptıktan sonra hızını iki katına çıkarıp işi tamamlamıştır. İşin tamamını 18 günde tamamladığına göre, ilk hızıyla çalışsaydı işi kaç günde yapardı? A)0 B)1 C)4 D)7 E)30 A),5 B)3 C)4,5 D)5 E)6 5. Kerim bir işi tek başına 1 günde, Leyla 18 günde, Mahir 36 günde yapabilmektedir. Üçü birlikte bu işi kaç günde yapabilirler? A)4 B)5 C)6 D)7 E)8 9. Can bir işi Bora nın yapacağı zamanın iki katı zamanda yapabilmektedir. Bora ve Can birlikte bu işi 8 saatte yaptıklarına göre, Can tek başına kaç saatte yapabilir? A)1 B)14 C)16 D)18 E)4

34 10. Kaya bir işi 3 saatte, Mert 4 saatte yapabilmektedir. Birlikte bu işi yapmaya başladıktan 5 saat sonra Mert 4 işi bırakıyor. Kaya işin kalan kısmını kaç saatte tamamlar? A) 1 B) 3 4 C) 5 6 D) 5 8 E) İki işçi bir duvarı birlikte 1 günde örebiliyor. Duvarın yarısı örülünce bir işçi daha işe alınıyor. Üç işçi birlikte duvarın kalan kısmını 3 günde tamamlıyor. Buna göre, üçüncü işçi duvarın tamamını tek başına kaç günde örebilir? A) 3 B) 6 C) 9 D) 1 E) Değişik boyda iki mumdan biri 11 saatte, diğeri 7 saatte bitiyor. Aynı anda yakıldıktan 3 saat sonra aynı boyda kalıyorlar. Başlangıçtaki boylarının oranı nedir? A) 8 11 B) 3 4 C) D) E) A ve B muslukları boş havuzu sırasıyla 6 ve 1 saatte doldurabiliyorlar. B musluğu tek başına 3 saat açık kaldıktan sonra A musluğu da açılarak kalan kısmı birlikte dolduruyorlar. Havuzun tamamı kaç saatte dolar? A)4 B)4,5 C)5 D)5,5 E)6 1. Aynı hızla çalışan 6 işçi birlikte bir işi 6 saatte bitiriyorlar. İşçilerden ikisi hızlarını iki katına çıkarır, diğerleri yarıya düşürürse aynı işi kaç saatte bitirirler? A) 6 B) 8 C) 9 D) 1 E) Bir havuzu x saatte doldurabilen bir musluk 3 saat saat açık bırakıldığında havuzun kaçta kaçı dolmuş olur? A) 3 X B) X 3 C)3X D) X 3 X E) X X A, B ve C aynı nitelikte üç işçidir. A işe başladıktan bir saat sonra B ve B işe başladıktan bir saat sonra da C işe başlamış, üç saat sonunda işi bitirmişlerdir. Üçü birlikte aynı anda işe başlamış olsalardı iş kaç saatte biterdi? 1.D.B 3.D 4.A 5.C 6.D 7.C 8.D 9.E 10.E 11.D 1.A 13.C 14.D 15.C 16.A A) 1 B) 1,5 C) D),5 E) 3

35 YOL PROBLEMLERİ: Soruların teorik çözümüne geçmeden önce gündelik yaşantıda karşılaştığımız aşağıdaki soruları birlikte yanıtlamaya çalışalım. Bir saatte 70 kilometre yol alabilen aracın, 4 saatte aldığı yol kaç km. dir? (4.70=80 km.) DNA-1 İzmir den Balıkesir e giden ve durmadan geri dönen bir otomobil gidişinde ortalama 80 km., dönüşünde 60 km. hız yapmıştır. Bu otomobil 4 saatte gidip geldiğine göre İzmir den Balıkesir e kaç saatte gitmiştir? 180 kilometrelik yolu 3 saatte gidebilen bir araç, bir saatte ortalama kaç kilometre gitmiştir? ( = 60 km/saat ) Bir saatte ortalama 80 km. gidebilen bir araç ile 400 km. lik yol, kaç saatte alınabilir? ( = 5 saat ) Görülüyorki yolculuklarda karşılaştığımız bu tür soruları yanıtlamak için özel bilgiler gerekmemektedir. Fakat biz yine de bu bilgileri toparlayalım: Hız, birim zamanda gidilen yoldur. Araç, bir saatte 60 km. yol aldıysa; Aracın hızı: v=60 km/saat 1 km=0 metre. 1 saat=60 dakika. HIZ=v= YOL = 60.0 = 0 metre/dak ZAMAN 60 YOL = HIZ X ZAMAN A) 11 7 B) 1 7 C) 13 7 D) E) 15 7 İzmir-Balıkesir gidiş zamanı=x Balıkesir-İzmir dönüş zamanı=4-x YOL = HIZ X ZAMAN İzmir-Balıkesir=80.x Balıkesir-İzmir=60(4-x) İzmir-Balıkesir= Balıkesir-İzmir 80.x=60(4-x) 80x=40-60x 140x=40 x= 1 7 bulunur. Doğru Seçenek B dir. GENETİK KOPYA-1 A kentinden B kentine giden ve durmadan geri dönen bir otomobil, gidişinde ortalama 60 km. dönüşünde 90 km. hız yapmıştır. Bu otomobil 6 saatte gidip geldiğine göre, A dan B ye kaç saatte gitmiştir? A)3,5 B)3,6 C)3,7 D)3,8 E)4 ORTALAMA HIZ = TOPLAM YOL TOPLAM ZAMAN

36 DNA- Bir araç Ankara ve Bolu arasındaki yolu 4 saatte almaktadır. Araç hızını 15 km. artırırsa aynı yolu 3 saatte almaktadır. Buna göre Ankara ve Bolu arasındaki yol kaç km dir? A)10 B)160 C)180 D)190 E)10 Ankara-Bolu=v.4 Ankara-Bolu=(v+15).3 4v=3(v+15) 4v=3v+45 v=45 AB =v.6 yolun tamamı AB AB = 6v = 3v yolun yarısı = 3v =v.x x=3 x=1,5 saat İlk yarısı için geçen zaman AB = 3v = v.y 3=y y=6 saat İkinci yarısı için geçen zaman x+y=1,5+6=7,5 saat. Yolun tamamı için geçen zaman. Doğru Seçenek D dir. Ankara-Bolu=v.4=45.4=180 km. Doğru Seçenek C dir. GENETİK KOPYA- Bir araç A kentinden B kentine 5 saate gitmektedir. Araç hızını 0 km azaltırsa aynı yolu 6 saatte almaktadır. Buna göre, A ve B kenleri arasındaki yol kaç km dir? GENETİK KOPYA-3 Saatteki hızı v olan bir araç A ve B kentleri arasındaki yolu 8 saatte almıştır. Bu araç yolun yarısını saatte 3v hızıyla, diğer yarısını da v hızıyla giderse yolun 3 tamamını kaç saatte alır? A)8 B)10 C)13 D) 40 3 E) 43 3 A)500 B)50 C)540 D)560 E)600 DNA-3 Saatteki hızı v olan bir araç A ve B kentleri arasındaki yolu 6 saatte almıştır. Bu araç yolun yarısını saatte v hızıyla, v diğer yarısında da hızıyla giderse yolun tamamını kaç saatte alır? DNA-4 Bir araç A kenti ile B kenti arasındaki yolu ortalama v km/saat hızla giderek 1 saatte alıyor. Bu araç yolun yarısını ortalama 3v km/saat hızla aldıktan sonra, tüm yolu yine 1 saatte tamamlamak için yolun kalan kısmını ortalama kaç km/saat hızla gitmelidir? A)5 B)6 C)7 D)7,5 E)8 A) v 5 B) v 5 C) 3v 5 D) 4v 5 E) v 3

37 ÇÖZÜM AB =v.1 AB AB = 1v yolun tamamı = 6v yolun yarısı = 6v =3v.x 3x=6 x= saat İlk yarısı için geçen zaman. 1-=10 saat kalan zaman. DNA-5 Aralarındaki yol 600 km olan A ve B kentlerinden aynı anda, sabit hızla birbirine doğru hareket eden iki araçtan birinin hızı 50 km/saat, diğerinin hızı 70 km/saattir. Bu iki araç hareketlerinden kaç saat sonra karşılaşırlar? AB = 6v =v 1.10 v 1 = 6v = 3v bulunur Doğru Seçenek C dir. A)4 B)5 C)6 D)7 E)8 ÇÖZÜM GENETİK KOPYA-4 Saatteki hızı v olan bir araç A ve B kentleri arasındaki yolu 6 saatte almıştır. Bu araç yolun yarısını saatte v 3 hızıyla aldıktan sonra, tüm yolu yine 6 saatte tamamlamak için yolun kalan kısmını ortalama kaç km/saat hızla gitmelidir? A) v B) 3v IŞIK-1 C) v D) 5v E) 3v Karşılaşma hareketten t saat sonra olsun AC = 70.t BC = 50.t AB = AC + BC 6OO=70.t+50.t=10.t t=5 saat bulunur. Doğru Seçenek B dir. YADA!!! karşılaşma zamanı AB t v 1 v = A ve B noktalarından v 1 ve v hızlarıyla aynı anda yola çıkan ve birbirine doğru hareket eden iki araç t saat sonra C noktasında karşılaşıyorlarsa : AC =v 1.t ve BC =v.t AC + CB = AB v 1.t+v.t= AB dir. AB t karşılaşma zamanı. v 1 v GENETİK KOPYA-5 Aralarındaki yol 560 km olan A ve B kentlerinden aynı anda, sabit hızla birbirine doğru hareket eden iki araçtan birinin hızı 60 km/saat, diğerinin hızı 80 km/saattir. Bu iki araç hareketlerinden kaç saat sonra karşılaşırlar? A)4 B)5 C)6 D)7 E)8