ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ BÜYÜK EK BOYUTLARIN ÇARPIŞTIRICILARDA VE DÜŞÜK ENERJİLERDE İNCELENMESİ.

Transkript

2 TEZ ONAYI Salih Cem İNAN tarafından hazırlanan BÜYÜK EK BOYUTAIN ÇAPIŞTIICIADA ve DÜŞÜK ENEJİEDE İNCEENMESİ adlı tez çalışması, aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı nda (DOKTOA TEZİ) olarak kabul edilmiştir. Danışman : Prof. Dr. Satılmış ATAĞ Jüri Üyeleri : Başkan : Prof. Dr. Abdullah VEÇİN Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Fizik Anabilim Dalı Üye : Prof. Dr. Satılmış ATAĞ Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Fizik Anabilim Dalı Üye : Prof. Dr. Ali Ulvi YIMAZE Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Fizik Mühendisliği Anabilim Dalı Üye : Prof. Dr. Orhan Çakır Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Fizik Anabilim Dalı Üye : Prof. Dr. Takhmasib AİEV Ortadoğu Teknik Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Fizik Anabilim Dalı Yukarıdaki sonuu onaylarım. Prof. Dr.Orhan ATAKO Enstitü Müdürü

3 ÖZET Doktora Tezi BÜYÜK EK BOYUTAIN ÇAPIŞTIICIADA VE DÜŞÜK ENEJİEDE İNCEENMESİ Salih Cem İNAN Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Satılmış ATAĞ Bu çalışmada Arkani-Hamed, Dimoupolos, Dvali (ADD) ile andall-sundrum (S) ek boyut modellerinin fenomolojisi EP ve HC için çalışılmıştır. Çalışmanın ilk bölümlerinde maddeler arasındaki etkileşimleri tanımlayan iki temel teori, Standart Model ile Genel ölativite Teorisi özetlenmiştir. Daha sonra Kaluza-Klein teorisi, hiyerarşi problemi ve Kaluza-Klein gravitonları hakkında bilgi verilerek maddegraviton etkileşme köşeleri elde edilmiştir. Sonraki kısımda büyük ek boyutları içeren ADD modeli ve kıvrık ek boyutları içeren S modeli kısaa anlatılmıştır. Ek boyutların EP te Z ννγγ bozunumuna olası katkıları araştırılmıştır. HC de foton-foton + etkileşmesinden kaynaklanan iki lepton son durumlu pp pγγ p pl l p ayrık sürei, s-kanalından gelen KK graviton katkıları da göz önüne alınarak tartışılmıştır. Son olarak, foton-foton etkileşmesiyle ek boyut parametreleri için elde edilen duyarlılığın EP ve Tevatrondan elde edilen duyarlılıktan daha iyi olabileeği ortaya konmuştur. Ekim 009, 0 sayfa Anahtar Kelimeler: Ek boyutlar, Kaluza-Klein gravitonları, ADD Modeli, S modeli ABSTACT 3

4 Ph.D. Thesis INVESTIGATION OF THE AGE EXTA DIMENSIONS AT COIDES AND OW ENEGIES Salih Cem İNAN Ankara University Graduate Shool of Natural and Applied Sienes Department of Physis Supervisor: Prof. Dr. Satılmış ATAĞ In this work, phenomenology of extra dimensions has been studied at EP and HC for the Arkani-Hamed, Dimopoulos and Dvali (ADD) model and the andal-sundrum (S) model. In the firs part, two fundamental theories whih desribe the interations between matter, the Standard Model and the General elativity have been summarized. Then, information about Kaluza-Klein gravitons and hierarhy problem has been given. Interation verties of matter and Kaluza-Klein graviton have been disussed to some extent. In the next part, ADD model of large extra dimensions and S model of warped extra dimensions have been reviewed. Possible ontributions of the extra dimensions to physis at EP have been investigated via the deay width of Z boson Z ννγγ. + Photon-indued two lepton exlusive final states at the HC pp pγγ p pl l p has been disussed inluding KK gravitons into the s-hannel. Finally, it has been shown that the sensitivity of the photon indued proess to model parameters an be improved ompared to EP and Tevatron sensitivity. Otober 009, 0 pages Key Words: Extra Dimensions, Kaluza-Klein gravitons, ADD model, S model. 4

5 TEŞEKKÜ Bu tez çalışmasının gerçekleştirilmesi sırasında danışman hoam, Sayın Prof. Dr. Satılmış ATAĞ dan (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Fizik Bölümü Öğretim Üyesi) büyük destek ve yardım gördüm. Kendisine açtığı bu berrak akademik yol için teşekkürlerimi sunarım. Ayrıa Zonguldak Karaelmes Üniversitesi nden Yrd. Doç. Dr. İnanç ŞAHİN e yardımlarından ötürü teşekkürü borç bilirim. Eşim Z. Deniz İNAN a ve kızım Berru İdil İNAN a varlıklarıyla ve sabırlarıyla bana destek oldukları için şükranlarımı sunarım. Salih Cem İNAN Ankara, Ekim 009 İÇİNDEKİE 5

6 ÖZET... i ABSTACT... ii TEŞEKKÜ... iii SİMGEE DİZİNİ... vi ŞEKİEDİZİNİ... viii ÇİZEGEE DİZİNİ... x. GİİŞ.... TEME PAÇACIKA VE TEME KUVVETE STANDAT MODE Elektrozayıf Etkileşmelerin Standart Modeli Standart Modelin Eksiklikleri ve Problemleri GENE ÖATİVİTE TEOİSİ Metrik Tensörün Özellikleri Kovaryant Türev Einstein Denklemi Vierbeinler EK BOYUTA Ek Boyuların Kısa Tarihçesi Hiyerarşi Problemi ve Kaluza-Klein Uyarılmaları Kaluza-Klein (KK) Gravitonları KK Gravitonlarının Madde İle Etkileşimi Skalar alan graviton etkileşimi Vektör alan graviton etkileşimi Spinor alan graviton etkileşimi Graviton propagatörü Arkani-Hamed, Dimopolous, Dvali (ADD) Modeli KK modlarının toplanması Han-ykken-Zang (HZ) yaklaşımı Guidie-atazzi-Wells (GW) yaklaşımı Hewett yaklaşımı andall- Sundrum (S) Modeli

7 6. EK BOYUT MODEEİNİN ÇAPIŞTIICIADA İNCEENMESİ EP te Graviton Propagatörlüğünde seyrek Z ννγγ Bozunumu İle Ek Boyut Araştırılması HC de İndüklenmiş İki Foton Etkileşmesiyle Ek Boyut Araştırılması Eşdeğer foton yaklaşımı ve foton-foton etkileşmesi ADD modelinde tesir kesiti ve nümerik analiz S modelinde tesir kesiti ve numerik analiz TATIŞMA VE SONUÇ KAYNAKA EK Poisson Dağılımı ÖZGEÇMİŞ... SİMGEE DİZİNİ 7

8 e - e + - τ - ν e ν ν τ u d s b t γ W Z A Elektron Pozitron Müon Tau Elektron Nötrinosu Müon Nötrinosu Tau Nötrinosu Yukarı Kuark Aşağı Kuark Garip Kuark Tılsımlı Kuark Taban Kuark Üst Kuark Foton W Bozonu Z Bozonu Foton Alanı ± W W ± Alanı Z Z Alanı H Higgs Alanı g SU ( ) Etkileşme Sabiti g U () Etkileşme Sabiti Y Y Zayıf Hiperyük w I Zayıf İzospin θ w α m e Weinberg Açısı İne Yapı Sabiti Elektronun kütlesi m p Protonun kütlesi m H Higgs Bozonun Kütlesi 8

9 m W W Bozonun Kütlesi m Z Z Bozonun Kütlesi ŞEKİE DİZİNİ 9

10 Şekil 3. Potansiyelin skaler alanlara göre grafiği... 3 Şekil 3. W ve Z bozonlarının Higgs bozonu ile olan üçlü ve dörtlü etkileşmeleri... 7 Şekil 3.3 Higgs bozonunun kendi kendisi ile olan üçlü ve dörtlü bağlaşımı... 8 Şekil 3.4 Ayar bozonlarının birbirleri ile üçlü ve dörtlü bağlaşımları... 0 Şekil 3.5 (3.60) bağıntısındaki terimlerin Feynman diyagramları... Şekil 3.6 Higgs bozonunun yokluğunda W + W W + W saçılmasındaki Feynman ağaç diyagramları... 5 Şekil 3.7 W + W W + W saçılması için Higgs bozonunu içeren Feynman ağaç diyagramları... 6 Şekil 5. 5-boyutlu uzay zamanın M 4 S şeklinde tasviri Şekil 5. Skalar alan graviton etkileşme köşesi Şekil 5.3 Vektör alan graviton etkileşme köşesi... 6 Şekil 5.4 Spinör alan graviton etkileşme köşesi Şekil 5.5 Spinör alan-vektör alan-graviton etkileşme köşesi Şekil 6. Z ννγγ bozunumu için Feynman diyagramı Şekil 6. Z ννγγ sürei için EP te elde edilen S modeli parametre uzayı grafiği. (Grafiğin altında kalan alan dışarılanmış bölgeyi temsil eder) Şekil 6.3 HC de foton-foton etkileşimi Şekil 6.4 Etkin foton ısınlığının iki farklı ileri dedöktör ölçüm aralığı için değişmez kütleye göre grafiği r r Şekil 6.5. q + q < 30 MeV enine momentum kesilimi varken ve yokken etkin t t ışınlık Şekil 6.6. γγ ll altsürei için Feynman diyagramları Şekil 6.7. pp + pl l p süreinin son durum leptonlarının enine momentum kesilimine göre KK gravitonu varken ve yokken ki M = 500 GeV Şekil 6.8. %95 C.. iken farklı dedektör kabullenimleri için tesir kesiti grafiği... 9 M D nin, iki farklı ileri dedektör parametrisi için toplam HC ışınlığına göre grafiği. b de pt > 500 GeV uygulanmıştır. r r Grafiklerdeki altdaki eğriler q + q < 30 MeV uygulandığı durumu t temsil etmektedir t D 0

11 Şekil 6.9 Son durum leptonlarının 0. < ξ < 0.5 kabullenim bölgesi için M D = 500 GeV de açısal dağılımı Şekil 6.0 %95 C.. β ve m parametrelerinin 50 fb, t t 00 fb, 00 fb ışın- r r lıklarda dışarılama bölgesi. Şekil (b) q + q < 30 MeV kesilimi koyuduktan sonra elde edilmiştir. (Dışarılanmış bölge grafiğin üstünde kalan kısımdır) Şekil 6. %95 C.. β ve Λ π parametrelerinin 50 fb, 00 fb, 00 fb ışınr r lıklarda dışarılama bölgesi. Şekil (b) q + q < 30 MeV kesilimi koyulduktan sonra elde edilmiştir. (Dışarılanmış bölge grafiğin altında kalan kısımdır) Şekil 7. Tevatron un II de son durum iki foton için parametre uzayı grafiği (Srindnar 00). (Dışarlanmış bölge grafiğin üstünde kalan kısımdır) Şekil 7. HC de son durum iki foton için parametre uzayı grafiği (Srindnar 00). (Dışarlanmış bölge grafiğin üstünde kalan kısımdır) Şekil 7.3 Çizgisel hızlandırıılar için farklı ışınlıkta ve enerjide elde edilen parametre uzayı grafiği (Davoudiasl vd. 000). (Dışarlanmış bölge grafiğin altında kalan kısımdır) Şekil 7.4 Hadron çarpıştırııları için farklı ışınlıkta ve enerjide elde edilen parametre uzayı grafiği (Davoudiasl vd. 000). (Dışarlanmış bölge grafiğin altında kalan kısımdır)... 0 t t ÇİZEGEE DİZİNİ

12 Çizelge. Temel leptonlar... 4 Çizelge. Kuarklar... 5 Çizelge.3 Temel kuvvetler ve araı bozonları... 5 Çizelge 3. Temel fermiyon aileleri... 8 Çizelge 3. Temel fermiyon ve skaler bozon alanlarının zayıf izospin, zayıf hiperyük ve elektrik yükleri... 9 Çizelge 3.3 m H nin farklı değerleri için E r... 9 Çizelge 5. J ( ) x i =0 bağıntısının kökleri Çizelge 6. Z ννγγ bozunumu içinadd modelinde elde edilen limitler Çizelge 7. ADD modelinde var olan ve beklenen limitler Çizelge 7. HC de farklı iki ışınlık değeri için parametre değerleri. (Oslan vd. 009) GİİŞ

13 Var olan modeller içerisinde Standart Model parçaık fiziğinin temel teorisi olarak kabul görmektedir. Günümüze kadar yapılan deneylerde, Standart Model in ortaya koyduğu öngörülerin tümü doğru çıkmıştır. Anak Standart Model in hala evaplayamadığı birçok fiziksel problem mevuttur. Modelin içerdiği parçaıkların sayısı için kesin bir sınırlama yoktur. Belirli parametrelerin değerlerinin model tarafından öngörülemez, anak deneye başvurularak belirlenebilir. Temel fermiyonlara ve ayar bozonlarına kütle kazandırma mekanizmaları olan kendiliğinden simetri kırılması ve Higgs mekanizmasının kökeni konusunda model büyük ölçüde sessiz kalır ve bu mekanizmalar için gerekli olan Higgs bozonlarının varlığını henüz deneysel olarak kanıtlanamamıştır. Ayrıa modeli kütle çekim kuvvetini de içine alaak şekilde genişletmenin güçlüğü gibi birçok problem yeni düşünelere araştırmaıları itmektedir. Bu nedenle Standart Model i parçaık fiziğin son temel teorisi olarak görmek doğru değildir. Ayrıa geçmişte çok büyük kabul görmüş teoriler ulaşılan enerji ölçeği arttıkça yerlerini yeni fizik teorilerine bırakmıştır. Günümüz fizikçilerinin de beklentisi daha yüksek enerji ölçeğine ulaşıldığında Standart Model in ötesinde yeni fizik modeline ulaşılabileeğidir. Standart Model ötesindeki fizik konularından bir tanesi ek boyutların varlığını öngören yeni fizik teorileridir. Ek boyut modelleri bildiğimiz üç uzay, bir zaman boyutuna ek olarak yeni boyutların düşünüldüğü modellerdir ve son 30 yıldır çok ilgi görmektedir. Bir öneki paragrafta da bahsedildiği gibi kütle çekim kuvveti Standart Model içerisinde yer almamaktadır. Çünkü diğer kuvvetler göre çok zayıftır. Bu duruma Hiyerarşi problemi de denir. Son yıllarda, hiyerarşi problemini çözmek için birçok yeni model ortaya konmuştur. Ek boyut modellerinin ana motivasyonunu bu problem oluşturmaktadır. Bu modeller uyguladığında, kütle çekim kuvveti elektrozayıf ölçek mertebesinde güçlü olabilmektedir. O nedenle gravitasyonun etkilerini günümüzde yapılmış olan HC ve önerilen TESA, CIC gibi hızlandırıılarda görmek mümkün olabileektir. Hızlandırıı deneyleri dışında başka deneyler de ek boyut araştırmalarına katkı sağlamaktadır. Sonuç olarak ek boyutların varlığı basit evren anlayışımıza yeni ufuklar kazandırmıştır. 3

14 Bu tez çalışmasında önelikle temel parçaık fiziği ve günümüzün geçerli teorisi olan Standart Model hakkında ayrıntılı bilgi verileek ve bir sonraki bölümde Genel ölativite teorisi ineleneektir. Gravitasyon ve temel Standart Model bilgileri verildikten sonra ek boyutların çıkış noktası ayrıntılarıyla anlatılaak ve günümüz fiziğine yaptığı katkı tartışılaaktır. Aynı kısımda iki ek boyut modeli ineleneektir. Daha sonra günümüzde çalışmakta olan ve bir elektron-pozitron çarpıştırıısı EP (inear Eletron-Positron Collider) te keskin bir limit elde edilen, Z ννγγ bozunumuna ek boyut katkıları, bahsedilen iki ek boyut modeli çerçevesinde ineleneektir. Son bölümde ise HC (arge Hadron Collider) de foton-foton etkileşmesi ineleneektir. Aslında bir proton-proton çarpıştırıısı olan HC de fotonfoton etkileşmelerinin inelenmesi ileride kurulması planlanan ileri dedektörlerle mümkün olaaktır. Bu süreçler HC nin en temiz kanalını oluşturmaktadır. Aynı kısımda foton-foton ayrık (exlusive) etkileşmelerinin fiziğinden (eşdeğer foton yaklaşımı) ve ileri dedektör fiziğinden bahsedileek, önemi anlatılaaktır. Hem EP hem de HC için yapılan inelemede ek boyut parametreleri için sınır değerler elde edileektir.. TEME PAÇACIKA VE TEME KUVVETE 4

15 Maddeyi oluşturan en temel yapı nedir? Bu sorunun evabı milattan öne 6. yüzyılda eski yunanlı Empedoles, Demoritus ve euippus gibi filozoflar tarafından bile aranmıştır. İlk Atom (Yunana da bölünemez anlamına gelir) düşünesi de o günlere dayanmaktadır. Sonraki yüzyıllarda teknolojinin ve bilimin ilerlemesiyle daha öneleri metafizik ve felsefe düzleminde tartışılan konu, bilimsel bir anlayış kazanarak günümüze kadar gelmiştir. Öyle ki özellikle son yüzyıldaki müthiş ilerlemeden ve bilgi birikiminden ötürü parçaık fiziği adı altında yeni bir anabilim dalı doğmuş ve binlere araştırmaı katkıda bulunmuştur. Ülkeler, teorisyenlerin ortaya attığı teorileri kanıtlamak adına çok yüksek bütçeli laboratuarlar yapmakta ve evrenin sırlarına ulaşmak için çok büyük yatırımları bu uğurda hayata geçirmektedirler Parçaık fiziğinin teorik altyapısında yaygın olarak kullanılan teori kuantum alanlar teorisidir. Kuantum alanlar teorisinde etkileşmeler yani kuvvetler araı parçaıklar sayesinde açığa çıkmaktadır. Günümüzde temel parçaıklar denilen olguya araı parçaıklarda katılmış ve parçaık fiziği araştırmaları doğadaki etkileşmeleri de kapsayaak şekilde genişlemiştir. Şimdi temel parçaık ve temel kuvvetler kavramları aşağıda özetleneektir. Temel parçaıkları temel olarak iki kısıma ayırmak mümkündür. Fermiyonlar ve bozonlar. Bu parçaıklar spinlerinin tam sayı ya da buçuklu olmasına bağlı olarak farklı fiziksel durumlar gösterirler. Bozonların spini ћ'ın tamsayı katlarıyla orantılı olup aynı kuantum durumunda bulunabilirler, yani dalga fonksiyonları parçaık değişimi altında simetriktir. Fermiyonlar ise spinleri ( ћ/, 3ћ/,...) olan parçaıklardır ve aynı kuantum durumlarında bulunamazlar, yani dalga fonksiyonları parçaık değişimi altında antisimetriktir. Fizikte bu olgu "Pauli dışarlama ilkesi" olarak isimlendirilir. Fermiyonlar leptonlar ve kuarklar olarak ikiye ayrılırlar. Elektron, müon, tau ve bunların nötrinoları leptonları oluştururlar. Üçlü kuark gruplarından oluşan proton ve nötron gibi kompozit parçaıklar birer fermiyon, kuark ikililerinden oluşan mezonlar ve kuvvet taşıyıı parçaıklar bozondur. eptonlar, lepton sayısı adı verilen kuantum sayısına sahip parçaıklardır. Kuarklar bir araya gelerek temel olmayan parçaıkları oluştururlar. Daha öne bahsedildiği gibi iki kuarkın bir araya gelmesi ile oluşan 5

16 parçaıklara mezon, üç kuarkın bir araya gelmesi ile oluşan parçaıklara ise baryon adı verilir. Anlaşılaağı üzere proton ve nötron birer baryondur. Bozonlar da kendi içerisinde skaler, vektör ve tensör parçaıklar olmak üzere üç sınıfta inelenir. Skaler bozonlar spini sıfır olan, vektör bozonlar spinleri bir olan, tensör bozonlar ise spinleri iki olan bozonlardır. Doğada, bilinen dört temel kuvvet mevuttur. Bunlar; elektromagnetik kuvvet, zayıf ve güçlü kuvvetler ile kütle çekim kuvveti. Elektromagnetik kuvvetin taşıyıı parçaığı kütlesiz fotondur. Fotonun spini birdir. Yani vektör bir bozondur. Elektromagnetik kuvvetin menzili sonsuz kabul edilir. Zayıf kuvvetin taşıyıı parçaıkları ise spini bir olan W +, W, Z kütleli vektör bozonlarıdır, dolayısıyla menzili çok kısadır. Güçlü kuvvetin taşıyıı parçaıklarına gluon adı verilir. Gluonlarında spini birdir. Güçlü kuvvetinde menzili zayıf kuvvette olduğu gibi çok kısadır. Gravitasyon yani kütle çekim kuvvetinin taşıyıı parçaığına ise graviton adı verilir ve spini iki olan tensör bir bozondur. Henüz gözlenememiştir. Bu kuvvetlerin şiddeti şöyle kıyaslanabilir: Eğer güçlü kuvvetin şiddetini 0 ile gösterirsek elektromagnetik kuvvetin şiddeti 0 -, zayıf kuvvetin 0-3, kütle çekim kuvvetinin şiddeti ise 0-4 mertebesinde olaaktır. Yukarıda anlatılan fiziksel olguların tümü aşağıda, çizelge. -.3 te özetlenmiştir. 6

17 Çalışmanın bir sonraki kısmında, yukarıda sonuçları özetlenen Standart Model ana hatlarıyla ele alınaaktır. 7

18 3. STANDAT MODE Geçen son elli yıl içerisinde geniş anlamda kabul gören, temel parçaıkları ve kuvvetleri açıklayan model Standart Model dir. Model şu ana kadar yapılan tüm deneylerle uyum içindedir. Ayrıa 970 ile 973 yılları arasında onu geliştiren fizikçilerin; Weinberg- Salam adıyla da anılan model, birçok fiziksel gerçekliğin tahmininde çok başarılı olmuştur. 960 yılların başında fizikçiler daha öneki bölümlerde bahsedilen dört kuvvetin varlığıyla doğayı açıklıyordu. O günden bu güne temel inanış dört kuvvetin birleştirilip tek bir modelle açıklanabileeğidir. Standart Model dört kuvvetten elektromagnetik ve zayıf kuvveti birleştirmeyi kısmen de olsa elektrozayıf ayar teorisiyle başarabilmiştir. Standart Modelin inşasında kullanılan ana teori kuantum alan teorisidir. Bir orentz değişmezi olan ve parçaıkların serbest hareketlerini, diğer parçaıklarıyla etkileşmelerini betimleyen nielik langrange yoğunluğudur. Bu çalışmada lagrange yoğunluğu lagranjiyen olarak adlandırılaaktır. Daha öne bahsedildiği gibi Standart Model in inşasında ana teori kuantum alan teorisidir. Anak parçaıkların etkileşme lagranjiyeninin inşası için yeterli değildir. Ayar teorileri etkileşme lagranjiyenlerinin açığa çıkabilmesi için en önemli araçtır. Temel düşüne yapılan belli dönüşümler altında lagranjiyenin değişmez kalmasıdır. Ayar dönüşümlerini global ve lokal ayar dönüşümleri adıyla iki sınıfa ayırmak mümkündür. Global ayar dönüşümünde; dönüşümün parametreleri, uzay-zaman koordinatlarına bağlı değildir. Bu herhangi bir ψ alanı için ψ ψ exp( iθ), θ. (3.) şeklinde ifade edilebilir. okal ayar dönüşümünde ise dönüşümün parametreleri uzay-zamana bağlıdır. ψ ψ exp( iθ( x)). (3.) 8

19 Noether teoremi kısaa şunu söyler: Sistem sürekli bir simetri altında değişmez ise mutlaka korunan bir nielik vardır. Teoremden yola çıkılarak global ayar değişmezliğinin yük korunum yasasına eşdeğer olduğu bulunur. okal ayar simetrisinin varlığı ise gözlemlenebilir kuvvetlerin varlığına yol açar. Temel işleyiş şu şekildedir: ψ parçaık fiziğinde, dinamikleri agranjiyeni ile verilen fiziksel bir sistem olsun ve lagranjiyen global simetri (G) altında değişmez kalsın. Eğer G global simetrisini lokal bir simetriye çevirilirse orijinal serbest teori kendiliğinden etkileşme teorisine döner. Global simetri lokal simetriye dönüştüğü zaman sistemin değişmez kalması için artık yeni vektör bozon alanları, yani ayar alanları ortaya çıkar ve bunlar ψ alanı ile etkileşirler. Ayar alanlarının sayısı simetri grubunun özelliklerine bağlıdır. Elektrozayıf model bu düşüneler ışığında ortaya çıkmıştır. 3. Elektrozayıf Etkileşmelerin Standart Modeli Elektrozayıf etkileşmenin Standart Modelinde doğa belli özelliklerine ayrılmış üç farklı lepton ve kuark ailesine (çizelge 3.) ek olarak W -, W +, Z ve γ bozonlarını ve kütleli temel fermiyonlar ile ayar bozonlarına kütle kazandıran Higgs skaler bozonlarıyla betimlenir. Çizelge 3. Temel fermiyon aileleri eptonlar. Aile. Aile 3. Aile Ψ ν = e e Ψ ν = Ψ 3 ν τ = τ Ψ = e Ψ = Ψ 3 = τ Kuarklar q u = d q = s q 3 t = b u, d, s t, b 9

20 Modelde çizelge 3. de görüldüğü üzere sağ-elli fermiyonlar dubletler sol-elli fermiyonlar ise singletler ile gösterilmektedir. 93 yılında Heisenberg şöyle bir öneride bulundu; kuvvetli etkileşmeler iç simetri grubu olan SU ( ) ayar dönüşümü altında simetriktir. Buna göre proton ve nötron aynı bir dubletin farklı dönme durumlarına karşılık gelmesinden başka bir şey değildir. Bu simetride korunan nielik ise izospin yüküdür. Tanımlanan uzayda her dublet her singlet ise I w = 0 olan izospine sahiptir. I w =, Elektrozayıf teorinin ayar grubu Y hiperyük olmak üzere () SU ( ) U ayar Y grubudur. Bütün alanlar U () ayar dönüşümü altında dönüşürken yalnıza sol elli fermiyonlar ile skaler bozonlar ( ) Y SU ayar dönüşümü altında dönüşür. Neden olarak bir üst paragrafta bahsedilen motivasyondan yola çıkılarak, sağ elli fermiyonların izospin yükü taşımamaları olarak gösterilebilir. Bu sebeple, sağ elli fermiyonlar izospin uzayında birer singlet olarak ele alınmıştır. Modelde yer alan temel fermiyon ve skaler bozon alanlarının izospin, hiperyük ve elektrik yükleri çizelge 3. ile verilmiştir. Herhangi bir fiziksel süreçte baryon sayısı B ve her bir aile için ayrı ayrı lepton sayısı korunmalıdır. Herhangi baryonun yükü, I 3 izospinin üçünçü bileşenine, S aayiplik katsayısına ve B baryon sayısına bağlıdır. Yük ve B tüm etkileşmelerde korunur. S ise sadee güçlü ve elektromagnetik etkileşmelerde korunur. Dolayısıyla I 3 te anak güçlü ve elektromagnetik etkileşmelerde korunur. Zayıf hiperyük Y = B+ S olarak tanımlanır. Zayıf izospin, hiper yük ve elektrik yükü arasındaki ilişki ünlü Gell-Mann Nishijima formülü ile verilir. Y Q = I3 +. (3.3) 0

21 Çizelge 3. Temel fermiyon ve skaler bozon alanlarının zayıf izospin, zayıf hiperyük ve elektrik yükleri w I w I 3 Y Q Ψ e Ψ 3 Ψ - τ q u q 3 q t d s b Φ + 0 Çizelgede var olan sağelli ve solelli parçaıklar 5 γ matrisi kullanılarak 5 ( + γ ) ψ = ψ (3.4) 5 ( γ ) ψ = ψ (3.5) şeklinde elde edilir. Sadee ( ) SU ( ) Y U global simetrisini göz önünde tutulursa.aile fermiyonlarına ait elektrozayıf teori için aşağıdaki lagranjiyen yazılabilir. l q s Y =. (3.6)

22 l 0 = iψ /Ψ + ie / e. (3.7) q 0 = iq / q + iu / u + id d. (3.8) / ( Φ )( Φ) + Φ Φ ( Φ ) f ( Ψ Φe + e Φ Ψ ) f ( q Φd + d Φ q ) f ( q Φ u + u Φ q ) s 0 = λ Φ. (3.9) Y 0 = e d u. (3.0) agranjiyen sadee lepton kinetik terimi l 0, kuark kinetik terimi q 0, skaler bozon alanların kinetik, potansiyel terimlerini içeren s 0 ye ek olarak, 0 Y Yukawa terimi olarak adlandırılan kısımlardan oluşur. Skaler bozonlar üzerine konan üst indisi, yük eşlenik anlamındadır. Dikkat edilirse lagranjiyende mψψ = m( ψ ψ + ψ ψ ) şeklinde kütle terimleri mevut değildir. Çünkü bu terimler hem lokal hemde global ayar değişmezliğini bozarlar. Betimlenen lagranjiyende sadee (3.9) denklemindeki + Φ Φ kütle terimini andırmaktadır. Anak Klein-Gordon lagranjiyenindeki kütle teriminden bir eksi işareti kadar farklıdır. Temel fermiyon ve skalar bozon alanları için Y () SU ( ) U lokal ayar dönüşümleri Ω exp Y ( igi w r r τ. α( x) ) exp ig θ ( x) Ω ; Ω = Ψ, q, Φ. (3.) biçiminde elde edilebilir. Denklem (3.) ile verilen dönüşüm uyguladığında ek terimler lagranjiyen içerisinde kendini göstereektir. Değişmezlik, kovaryant türevin tanımlanmasıyla sağlanabilir. türev; Ψ, q ve Φ alanlarının kinetik terimleri için kovaryant D g g = (3.) i τ A i YB biçiminde e, u ve d alanlarının kinetik terimleri için ise, D g = + i YB. (3.3)

23 biçimindedir. agranjiyende açığa çıkan yeni ayar alanları aşağıdaki dönüşümlere uyar. A = A + α( x) + gα A. (3.4) B = B + θ (x). (3.5) Denklem (3.4) ve (3.5) den anlaşılabileeği gibi A r alanı izospin uzayında bir vektör ve B alanı ise bir skalerdir. A ve B alanlarının kinetik terimlerini içeren lagranjiyen V 0 olmak üzere, r r ν = Gν. G. (3.6) 4 4 ν V 0 Fν F biçiminde yazılabilir. Burada; F r G ν ν = B B. (3.7) ν ν ν ν r r r r = A A ga A. (3.8) ν biçimindedir. F ν ve ν G r nün yerel ayar dönüşümleri ise aşağıdaki şekilde elde edilebilir. Fν F ν. (3.9) r r r r Gν Gν + g( α Gν ). (3.0) Tüm dönüşümler ve tanımlar ışığında ( ) SU ( ) Y U lokal ayar değişmezliğini sağlayan lagranjiyen,. aile fermiyonları için şu şekilde bulunabilir. 3

24 =Ψ i D/Ψ + ie De / + iq Dq / + iu Du / + id Dd / ( )( ) ( ) λ + D Φ D Φ + Φ Φ Φ Φ + +. (3.) Y V 0 0 Denklem (3.) de D/= γ D olarak kullanılmaktadır. Gelinen aşamada tüm parçaıklar kütlesizdir. Denklem (3.0) da belirtilen s 0 lagranjiyenindeki potansiyel teriminin eklenmesindeki ana motivasyon parçaıklara kütle kazandırma mekanizmasının inşası içindir. ( Φ, Φ) = Φ Φ + λ( Φ Φ ) V. (3.) Burada; + φ φ+ iφ Φ= φ = φ iφ (3.3) şeklinde kompleks skalar SU () dubletleridir. λ terimi ise skaler alanın kendi kendisi ile olan dörtlü etkileşmesinin bağlaşım katsayısıdır. Şimdi ( Φ,Φ) durumunu veren φ, φ, φ3, φ 4 alan değerleri bulunmalıdır. V potansiyelini taban V ( Φ, Φ) = 0 φ. (3.4) (3.4) denklemi kullanılırsa aşağıdaki hiperküre yüzey denklemi elde edilir. φ + φ + φ3 + φ4. (3.5) λ = Bu durum şekil 3. ile tasvir edilmiştir. Görüldüğü üzere potansiyelin taban durumu (vakum) dejeneredir. Dejenere taban durumları birbirlerine, skaler alanların uzayındaki bir dönme ile bağlıdır. 4

25 φ 3 φ 4 Şekil 3. Potansiyelin skaler alanlara göre grafiği Dejenereliği ortadan kaldırmak için taban durumlarından herhangi bir tanesi seçilebilir. φ = φ = φ 0, φ = η 4 = 3 ; η =. (3.6) λ Öyleyse vakum durumu (3.3) göz önünde bulundurulduğunda, 0 0 Φ 0 = (3.7) η şeklinde elde edilir. Böylee Φ nin vakum beklenen değeri, η 0 Φ 0 =. (3.8) biçiminde elde edilir. Yapılan seçim ile birlikte artık vakumun () SU ( ) Y U simetrisi kırılmış yerine U em () simetrisi kalmıştır. Simetrinin kırılması hiçbir dış etken olmadan gerçekleştiği için kendiliğinden simetri kırılması adı verilmektedir. Anak bir problem vardır: Pertürbasyon teorisi açısından, fiziksel alanlar taban durum üzerindeki tedirgenmeler olarak düşünülür. Öyleyse fiziksel beklenti vakum durumunun beklenen 5

26 değerinin sıfır olmasıdır. Fakat (3.8) den elde edilen sonuç bahsedilen fiziksel beklentiyle çelişir. Bu durum φ, φ, φ 3, φ 4 alanlarının fiziksel olmadığı sonuunu doğurur. Problemin çözümü için yapılması gereken alanların yeniden tanımlamaktır. Yeni fiziksel alanlar ξ r ve H alanları olmak üzere, r τ. r ξ 0 Φ = exp( i ) η + H ( x) (3.9) şeklinde yazılırsa potansiyelin minimum olduğu taban durumu ξ r ve H alanlarının vakum beklenen değerlerinin sıfır olduğu durum olaaktır. 0 ξ 0 = 0 H 0 = 0. (3.30) Yeni tanımlanan r ξ bozonlarına Goldstone bozonları ve H bozonuna Higgs bozonu adı verilir. Fiziksel sistemin yapılan işlemlerden sonra serbestlik sayısı değişmemelidir. Anak kütle sisteme bir serbestlik dereesi kazandırır. Buna ek olarak elektromagnetik etkileşmenin menzili sonsuzdur ve taşıyıı parçaığı foton kütlesizdir. Zayıf etkileşmenin ise erimi çok kısadır, tüm ayar bozonları kütlelidir. Bu gerçeklik göz önüne alınırsa, sistemin serbestlik dereesi üç artaak demektir. Yani yeni bir ayara daha ihtiyaç vardır. r v α( x) = ξ ( x), θ ( x) = 0 (3.3) g olmak üzere, Ω exp Y ( igi w r r τ. α( x) ) exp ig θ ( x) Ω ; Ω = Ψ, q, Φ. (3.3) 6

27 ayar dönüşümü gerçekleştirilsin. Oluşturulan ayar seçimine üniter ayar adı verilir. Yapılan ayar doğrultusunda ayar alanları Goldstone bozonlarını yiyerek kütle kazanır. Goldstone bozonları yok olur. Üniter ayar seçimi sonrası skaler alan aşağıdaki formu alır: 0 Φ = η + H ( x ). (3.33) Üniter ayar seçiminden sonraki alanlar ilk alanlardan farklıdır ve yeni alanlar genelde farklılığı belirtmek adına ' üst indisi ile gösterilir. Anak bundan sonraki ifadelerde ' üst indisi atılaak ve aksi belirtilmediği süree alanlar, üniter ayar seçimi sonrası alanlar anlamında kullanılaaktır. Yapılan üniter ayar seçimi sonrası skaler bozonların kinetik terimi aşağıdaki biçimi alır: g r r g gg 3 ( D Φ )( D Φ) = ( H )( H ) + ( + H ) A. A + ( B B ) A η B 4 4 Denklem (3.34) ile verilen lagranjiyeninde yer alan bozon alanları olan. (3.34) i A (i=,,3) ve B alanları fiziksel alanlar değildirler. Fiziksel alanlar (kütle özdurumları) verilen alanların bir karışımıdırlar: + W = ( A + ia ). (3.35) W = ia ( A ). (3.36) Z A 3 = A os( θ ) B sin( θ ). (3.37) w 3 w + w = A sin( θ ) B os( θ ). (3.38) w 7

28 Burada, g' sin( θ w ) = (3.39) g' + g g os( θ w ) = (3.40) g' + g olarak verilir. θ w Weinberg açısı veya zayıf-karışım açısı adını alır ve değeri yaklaşık olarak arsin( 0,3) θ kadardır. w ± W ve Z fiziksel bozonları daha öne bahsedilen zayıf kuvvetin taşıyıı bozonları olan, W ve Z bozonlarına, A ise elektromagnetik kuvvetin taşıyıı bozonu olan fotona karşılık gelir. agranjiyendeki ilgili terimin fiziksel alanlara bağlı son hali; gη + η g + g Φ Φ = + + ( )( ) ( )( ) D D H H W W Z Z ( g + g ) g + + ( H + η H) WW + ZZ 4 (3.4) şeklinde verilir. Son durumda lagranjiyenden de anlaşılabileeği gibi ayar alanlarının kütleleri; gη m W =, g + g m Z = η, m A = 0 (3.4) olarak elde edilmiştir. (3.4) denklemi ilk defa Steven Weinberg tarafından 967 yılında çıkartılmıştır (Weinberg 967). Ayrıa (3.4) lagranjiyeni ± W ve Z bozonlarının kütle terimlerini içermesinin yanı sıra, Higgs bozonu ile olan etkileşmelerini de içerir (şekil 3.). 8

29 Şekil 3. W ve Z bozonlarının Higgs bozonu ile olan üçlü ve dörtlü etkileşmeleri Üniter ayar seçimi skalar ayar alanlarının potansiyel terimini de değiştirir ve (, 3 λ 4 Φ) = Φ Φ + λ( Φ Φ) = + H + ( ηλ) H + H V Φ (3.43) 4λ 4 şeklini alır. Görüldüğü üzere (3.43) Higgs bozonunun kütlesini ve Higgs bozonunun kendi kendisi ile olan üçlü ve dörtlü etkileşmelerinin varlığını ortaya koymuştur. Bu etkileşmeler şekil 3.3 ile gösterilmiştir. Skaler Klein-Gordon lagranjiyenine benzer olarak Higgs bozonunun kütle terimi (3.38) den aşağıdaki gibi elde edilir. m =. (3.44) H 9

30 Şekil 3.3 Higgs bozonunun kendi kendisi ile olan üçlü ve dörtlü bağlaşımı. Ayar bozonlarının kinetik terimi birbirleri ile olan üçlü ve dörtlü etkileşmelerini içerir ve son hali V 0 üç parçaya ayrılarak aşağıdaki şekilde betimlenebilir. V = +. (3.45) ν = Fν F. (3.46) 4 4 i ν Aν Ai j k ν = gε ijk A Aν Ai. (3.47) 3 j k ν = g ε ijkε ilm A Aν Al Am. (3.48) 4 Denklem da A i ν i ν F ν, elektromagnetik alan tensörüdür. i i A ν ise = A A. (3.49) ν şeklinde tanımlıdır. V 0 lagranjiyeni fiziksel alanlar insinden tanımlanmalıdır. Öyleyse gelinen noktada alanların alan tensörleri elde edilmelidir. A W Z ν ν ν = A A. (3.50) ν ν ν ν = W W. (3.5) ν ν = Z Z. (3.5) 30

31 Burada W, W anlamında kullanılmıştır. Yapılan tanımlamalardan sonra V 0 lagranjiyeni aşağıdaki şekilde elde edilir. ν ν W νw Z ν Z ν = Aν A. (3.53) 4 4 ( θw ν θw ν ) ( ν ν )( θw θw ) igw W A Z ig W W W W A Z = ν sin + os sin ν + os ν. ( ν ν ν ν ) 3 = g W W W W W W W W ( sin θw os θw sinθwosθw ) + + ν ν ν g WW AA ν ZZ ν AZ ν ( ) (3.54) ν ν ν ν + gww ν sin θwa A + os θwz Z + sinθwosθw AZ + AZ. (3.55) Görüldüğü üzere V 0 lagranjiyeni üçlü ve dörtlü ayar bozon etkileşmelerini de kapsamaktadır ve Feynman diyagramları şekil 3.4 te gösterilmiştir. Şu ana kadar yapılan inelemelerde hep bir lepton ve kuark aileli durum göz önüne alınmıştır. Anak. ve 3. aileye inelemeleri genellemek mümkündür. Genelleme yapıldığında, üniter ayar dönüşümü uygulandıktan sonra lagranjiyendeki tek değişiklik Yukawa ve kinetik terimlerinde olaaktır. Bu nedenle. ve 3. lepton ve kuark ailesi göz önüne tutulduğunda bu iki terim yeniden inelenmelidir. Kendiliğinden simetri kırılması ile üniter ayar seçimi sonrası üç lepton ve üç kuark ailelerinin kinetik terimi aşağıdaki şekilde elde edilebilir: f l q = +. (3.56) l 3 = iψ /Ψ j= j j 3 j= j + iψ /Ψ j + g e ( ν ν ν ) γ W + h.. e τ τ + g gg + g e ν e g + g ( e τ ) γ A ( ν e ν ντ ) γ ν Z τ ν τ 3

32 3 ( ) τ γ θ γ τ Z e e g g w sin 5. (3.57) Şekil 3.4 Ayar bozonlarının birbirleri ile üçlü ve dörtlü bağlaşımları ( ) ( ).. h W b s d t u g t b s d u i t b s d u q + / = γ ( ) ( ) γ γ A b s d b s d g g gg A t u t u g g gg ( ) γ θ γ Z t u t u g g w + sin 3 4 5

33 33 ( ) γ θ γ Z b s d b s d g g w sin 3 5. (3.58) Burada h.. solunda bulunan ifadenin hermitsel eşleniği anlamında kullanılmıştır. veya alt indisi bulunmayan fermiyon alanlarının, hem sol hem de sağ elli durumları belirtmektedir. Üç lepton ve üç kuark ailesi için Yukawa lagranjiyeni şöyle verilir: ( ) ( ) ( ) 3 3 e Y f f e e f Ψ Φ + Φ Ψ Ψ Φ + Φ Ψ Ψ Φ + Φ Ψ = τ τ τ ( ) ( ) ( ) s u d q s s q f q u u q f q d d q f Φ + Φ Φ + Φ Φ + Φ ( ) ( ) ( ) t b q t t q f q b b q f q q f Φ + Φ Φ + Φ Φ + Φ ( ) ( ) ( ) u db ds q q f q b b q f q s s q f Φ + Φ Φ + Φ Φ + Φ ( ) ( ) ( ) sb sd ut q b b q f q d d q f q t t q f Φ + Φ Φ + Φ Φ + Φ ( ) ( ) ( ) 3 3 bd t u q d d q f q t t q f q u u q f Φ + Φ Φ + Φ Φ + Φ ( ) ( ) ( ) t tu bs q q f q u u q f q s s q f Φ + Φ Φ + Φ Φ + Φ. (3.59) Beklendiği üzere (3.59) lagranjiyeninde lepton sayısının korunumundan dolayı farklı aileler arası çapraz terimler yoktur. Kuarklar için ise böyle bir korunum yasası var olmadığından lagranjiyene eklenmiştir. Bahsedilen terimlere aşağıdaki örnek verilebilir. ( ) ds ds ds ds ds Hd s f Hs d f d s f s d f q s s q f = Φ + Φ η η. (a) (b) () (d) (3.60) (3.60) da (a) ve (b) terimleri, farklı iki ailede bulunan d ve s kuarkın birbirine dönüşümünü, () ve (d) terimleri ise d ile s kuarkın Higgs bozonuyla etkileşimi nedeniyle birbirine dönüşümünü göstermektedir (şekil 3.5).

34 Şekil 3.5 (3.60) bağıntısındaki terimlerin Feynman diyagramları Anak bahsedilen terimler kuarkların kütle özdurumunda bulunmadığından dolayı fiziksel olarak anlamlı değildir. Kuarklar için Yukawa lagranjiyeni, u d ( ) Y η + H ( x) ~ + q = u t M d s b M s ] (3.6) t b fuu fu fut M ~ = η M ~ = η fu f f t, ftu ft ftt M f dd f ds f db = η M = η f sd f ss f sb (3.6) fbd fbs fbb şeklinde verilir. M ve M ~ matrisleri kuarkların kütle matrisleridir. Matrisler köşegenleştirilerek fiziksel anlam taşıyan kütle özdurumlarına geçilebilir. Böylee şekil 3.5 ile verilen fiziksel anlam taşımayan terimlerden kurtulmak mümkündür. Bu, en genel kompleks elemanlı bir matrisi iki üniter dönüşümle köşegenleştirilebilir, önermesinden yola çıkılarak yapılabilir. S MT = M diag ; S, T: üniter. (3.63) u,,t ve d,s,b kuark sektörlerinin kütle matrisleri farklıdır. Dolayısıyla karşı gelen kütle matrislerini köşegenleştiren iki üniter dönüşüm matrisleri de farklı olmak zorundadır. Farklılığı gözetmek amaıyla matrisler S u, T u ve S d, T d şeklinde gösterileektir. Bahsedilen düşüneler hayata geçirildikten sonra (3.6) lagranjiyeni aşağıdaki gibi olur. 34

35 35 ( ) ] + + = d d d d u u u u Y q b s d T M T S S b s d t u T M T S S t u x H ~ ) ( η diag M ~ diag M.(3.59) Böylee kuark alanları için kütle özdurumları, = = = = d d u u b s d T b s d b s d S b s d t u T t u t u S t u,,, (3.60) şeklinde elde edilir. (3.60) ta dikkat edileek husus, kütle özdurumları sol ve sağ elli kuarklar için farklı tanımlanmıştır. Elektromagnetik ve nötral akım etkileşmeleri kütle özdurumlarına geçildiğinde değişmez kalır. Anak yüklü kuark akımlarının W ayar bozonu ile olan etkileşmeleri, farklı kuark ailelerinin etkileşmesini içerir ve dolayısıyla kütle özdurumlarına geçildiğinde değişirler. ( ).. h W b s d S S t u g d u q akim Yüklü + = γ. (3.6) (3.6) lagranjiyeninde u S ve d S farklı kuark ailelerine mensup olduğundan, I S S d u (3.6) sonuu ortaya çıkar. d u S S matrisine Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (CKM) matrisi denir. = b s d V V V V V V V V V b s d tb ts td b s d ub us ud. (3.63)

36 ( αβ V α = u,, t β = d, s, b CKM matrisinin elemanlarını göstermektedir.) CKM matrisi fiziksel beklentilere uygun biçimde aşağıdaki şekilde parametrize edilebilir. CKM = s ss s s iδ s3e iδ s3e s + s s s s s iδ 3e iδ 3e + s. (3.64) Burada i = osθi ve si sinθi =, i 3 şeklinde tanımlıdır. 3. Standart Modelin Eksiklikleri ve Problemleri Standart Model günümüze kadar yapılan tüm deneylerle tam uyumlu bir ayar modeldir. Model U () SU ( ) SU ( 3) Y C genişletilmesiyle beraber elektromagnetik, zayıf ve güçlü etkileşmeye giren tüm parçaıkları bünyesinde barındıran ve etkileşmeleri güçlü etkileşmeler dışında başarı ile açıklayan bir yapıdadır. Daha öne bahsedildiği gibi Higgs bozonunun varlığı henüz deneysel olarak kanıtlanamamıştır. Anak 000 yılında yapılan bazı deneyler heyean uyandırmıştır. O tarihte CEN de yapılan EP deneylerinde s > 05 GeV enerjilerinde AEPH çalışma grubu yaptıkları analizlerde 5 GeV mertebelerinde Higgs bozonunun varlığını ortaya koyaak sonuçlar elde ettiklerini bildirmişlerdir. Anak DEPHI, 3 ve OPA çalışma gruplarının verilerinde böyle bir veri yoğunluğuna ilişkin kanıt bulunamamıştır. 009 yılının sonlarında çalışmaya başlayaak olan HC (arge Hadron Collider) hızlandırıısının en önemli amaçlarından bir tanesi bahsedilen Higgs bozonunu gözleyebilmektir. Çünkü Higgs bozonun varlığının kanıtı Standart Model in öngörülerindeki başarısı ve dolayısıyla doğruluğu konusunda önemli bir test niteliğindedir. Higgs parçaığının varlığını teorik olarak açığa çıkaran Higgs mekanizmasını çok yapay bulan bilim adamları da mevuttur. Sebebi, modelde ( ) SU ( ) U simetrisinin kendiliğinden kırılmasının Y tam da simetriyi kendiliğinden kıraak biçimde seçilmiş olan ( Φ,Φ) V skaler potansiyelinin araç olarak kullanılmasıdır. Simetrinin kendiliğinden kırılması için, 36

37 neden kütle teriminden bir eksi çarpanı kadar farklıdır? - çarpanının kökeni nedir? Eğer bu sorunun bir evabı varsa, evap Standart Modelin ötesinde, daha temel bir teoride aranmalıdır. Belki de kendiliğinden simetri kırılması, daha temel ve skaler alanların varlığını gerektirmeyen bir mekanizma ile gerçekleşmektedir. Şimdi Higgs bozonunun mevut olmadığı durumda W + W W + W saçılması nasıl meydana gelir sorusunu inelenebilir. Şekil 3.9 da bu düşünenin sonuunda açığa çıkan Feynman diyagramları gösterilmiştir. Şekil 3.6. Higgs bozonunun yokluğunda W + W W + W saçılmasındaki Feynman ağaç diyagramları Higgs bozonunun yokluğunda W + W W + W saçılma genliği g E m W ile orantılı bir şekilde artar. E kütle merkezi enerjisidir. Böyle bir davranış ağaç mertebesinde üniterliğin bozulmasına yol açar. Çünkü E artıkça genlik hızla artaak ve üniterlik sınırlamasının üstüne çıkaaktır. Anak Higgs bozonunun varlığıyla beraber saçılma yeniden düşünülürse şekil 3.0. ile verilen s ve t kanalı ağaç diyagramları da katkı getireek ve E biçimindeki artış engelleneek, saçılma genliği yaklaşık 37

38 g mh λ = 3πm 4π W şeklinde davranış göstereektir. Denklemde, λ daha öne bahsedildiği gibi Higgs bozonunun kendi kendisi ile olan dörtlü bağlaşımı ile orantılıdır. Şekil 3.7. W + W W + W saçılması için Higgs bozonunu içeren Feynman ağaç diyagramları Görüldüğü üzere Higgs bozonunu varlığı W + W W + W saçılma süreinde genliğin enerji ile orantılılığını kaldırmıştır. Anak problem tam çözülmemiştir. Çünkü eğer λ>> ise Pertürbasyon teorisinden yola çıkılarak yüksek mertebe diyagramlardan gelen katkı büyük oranda artaaktır. Dolayısıyla üniterliğin bozulmasının engellenmesinin Higgs kaynaklı olup olmadığı bilinemez. λ nın yeterine küçük olduğu ve herhangi bir sorunla karşılaşılmadığı durumlar zayıf bağlaşım rejimi ve büyük olduğu durumlar kuvvetli bağlaşım rejimi olarak adlandırılır. λ nın değeri ile Higgs bozonunun kütlesinin ilişkili olduğu açıktır. Böylee, hangi rejimin geçerli olduğu Higgs bozonunun kütlesinin ne olduğu belirlendikten sonra açığa çıkaaktır. Aslında λ enerjiye bağlı olarak değişmektedir ve bağlılıktan ötürü farklı enerji ölçeğinde farklı rejimler ortaya çıkabilmektedir. Dolayısıyla iki rejimi ayıran kritik enerji değeri bu bağlamda önem kazanmaktadır. λ nın enerjiye ne şekilde bağlı olduğu, renormalizasyon grup denklemi analizi ile belirlenebilir. Skaler alan potansiyelinin ( Φ,Φ) V ile verildiğini düşünelim. Burada, 38

39 H m λ = (3.74) η olarak alınsın. Şeçilen değer tam olarak Standart Model in skaler sektörüdür. λ için renormalizasyon grup denklemi, dλ = dt 4π 3λ (3.75) Q şeklindedir. Burada log( ) t = ve Q 0 bir referans enerji skalasıdır. (Q 0 referans enerji Q0 skalası genellikle η olarak alınır.) (3.75) renormalizasyon grup denklemi çözülürse, ( Q ) λ 0 λ ( Q) = ( ) (3.76) 3λ Q ( ) 0 Q log Q0 4π olarak bulunur. Denklemin anlamı şudur: Q 0 enerji skalasındaki λ(q 0 ) bağlaşımının değeri bilinirse Q enerji skalasındaki λ(q) bağlaşımının değeri de belirlenebilir. (3.76) denkleminden anlaşılaağı üzere paydayı sıfır yapaak şekilde seçilen λ(q 0 ) değerinde λ(q) ıraksayaaktır. λ(q) nun sonsuz olduğu Q enerjisine kritik enerji denir ve E r ile H gösterilir. Q 0 =η ve λ( η) denkleminden, m = olarak alınırsa, kritik enerjinin değeri (3.76) η Er η 4π η = exp 3mH (3.77) olarak elde edilir. Görüldüğü gibi E r nin değeri Higgs bozonunun kütlesine bağlıdır. Çizelge 3.4 de Higgs bozonunun kütlesinin çeşitli değerleri için E r enerjileri verilmektedir. Yapılan hesaplar sırasında η=46 GeV alınmıştır. Çizelgeden görüldüğü üzere, m H < 50 GeV için kritik enerji skalası çok yüksektir (E r > 0 7 GeV). Higgs 39

40 modeli bu yüksek enerji skalasına kadar geçerli kalaaktır. Anak eğer m 700 GeV kadarsa, E r üstel olarak azalmakta ve yaklaşık Higgs bozonunun kütle mertebesine kadar düşmektedir. Higgs bozonunun kütlesi için daha büyük değerler çelişkilidir. Çünkü kritik enerji skalası tanım gereği, teorinin kütle spektrumunun üst limitinden daha küçük olamaz. H Çizelge 3.3 m H nin farklı değerleri için E r m H (GeV) E r (GeV) Yapılan tüm tartışmalar, Standart Modelin daha temel bir teori içerisinin daha düşük enerjilerdeki hali olabileeği ve E r kritik enerjisinin de Standart Model ile yeni fiziği birbirinden ayıran bir enerji skalası olduğu yönünde güçlü ipuçları vermektedir. Öyleyse, yeni fiziğin hangi enerji skalasında başladığı, Higgs bozonunun kütlesinin ne olduğuna bağlıdır. Standart Modelin yanıtlayamadığı diğer sorular ise şöyle özetlenebilir; i) Kuarklar ve leptonlar temel parçaık mı yoksa hadronlar gibi içyapıları mı var? ii) Parçaık kütleleri neden öngörülemiyor? iii) Madde ve anti-madde simetrikse doğada neden sadee madde var. Anti-maddeye ne oldu? iv) Karanlık madde ve kara enerji nedir? 40

41 v) Temel bir birleşim kuramı var mı, dört kuvvet tek bir kuvvet olarak birleştirilebilir mi? vi) Neden gravitasyonel kuvvet diğer kuvvetlere göre bu kadar zayıf ve Standart Model in içinde yer almıyor? Son problem Hiyerarşi problemi olarak adlandırılır ve bu tezin ana çalışma konusunu içerir. Günümüzde son problemin çözümüne en önemli katkı ek boyutların varlığının öne sürülmesiyle gerçekleşmiştir. Şu aşamadan sonra önelikle gravitasyonel etkileşmelerin en geçerli teorisi genel rölativite teorisi hakkında kısaa bilgi verileektir. 4

42 4. GENE ÖATİVİTE TEOİSİ Gravitasyon günlük deneyimlerle her gün hissedilen ve ilk olarak doğru bir bilimsel yaklaşımla açıklanan temel bir kuvvettir. Newton tarafından verilen ilk gravitasyon teorisi makroskobik isimlerin, dünya ve evrende hareket eden isimlerin hareketlerini tam olarak betimleyebilmiştir (Merkür ün perihelion hareketi hariç). Anak daha sonra özel görelilik teorisinin ortaya çıkması Newton mekaniğinin eksiklerini ortaya koymuştur. Newton un gravitasyon teorisine göre etkileşmeler anlık olarak gerçekleşir, aksine özel görelilik teorisinde ise etkileşmeler maksimum ışık hızında ve bir propagatör araılığıyla meydana gelir. Öyleyse gravitasyonun, özel göreliliğin önerdiği fiziksel gerçeklikleri de içereek şekilde düzenlenmesi gerekir. Einstein 96 yılında genel rölativite teorisi ile bir çözüm önermiştir. Özel rölativite teorisi iki temel düşüneyle açıklanabilir: i) Işığın boşluktaki hızı tüm eylemsiz çerçevelerde aynıdır. ii) Fiziğin tüm yasaları eylemsiz tüm çerçevelerdeki dönüşümler altında değişmez kalmalıdır. Genel rölativite teorisinde bu düşüneler hala geçerlidir. Anak gravitasyonel etkiler göz önünde tutulduğunda son düşüne biraz daha genelleştirilmelidir. Yasaların değişmez kalması sadee eylemsiz değil tüm çerçevelerdeki dönüşümleri kapsamalıdır. Bu prensibe eşdeğerlik prensibi denir ve kısaa şu şekilde tanımlanabilir: a) Uzay-zamanın her noktasında birbirlerine bir orentz dönüşümü yaklaşığıyla eşdeğer olan yerel bir eylemsizlik sistemi mevut olup bu referans sistemlerinde bütün fizik kanunları, Minkowski uzayında sahip oldukları standart biçime girerler. b) Bu fizik kanunlarının Minkowski uzayında sahip oldukları şekil ve içerdikleri sabitlerin değerleri bütün uzay-zamanda aynıdır. 4

43 Böylee eylemli çerçevelerinde kapsandığı teori bu prensiple inşa edilmiş oldu. okal eylemsiz çerçeve serbest düşen bir ismin uzay-zaman da yeterine küçük koordinatları olarak tanımlanabilir ve lokal eylemsiz çerçevenin betimlediği koordinat sistemi serbest düşen koordinat olarak tanımlanabilir. Üzerine gravitasyonel alan dışında hiçbir kuvvetin etki etmediği bir parçaığın hareket denklemi serbest düşen koordinat sistemi insinden, α d y 0 dτ = (4.) biçiminde verilebilir. Burada; αβ α β dτ = η dy dy (4.) ile verilir ve has zaman olarak isimlendirilir. Has zaman herhangi bir x sistemi insinden aşağıdaki biçimde elde edilebilir. koordinat α β y y ν ν dτ = η dx αβ dx gν dx dx. (4.3) ν x x Burada, g α y y η x x ν αβ ν β (4.4) olarak tanımlanır ve metrik tensör adı verilir. Metrik tensör gravitasyonel alanların varlığında Minkowski metriğinin işlevini görür. Gravitasyonel alanın yokluğunda metrik tensör Minkowski metriğine dönüşür. Dolayısıyla uzay-zaman düzdür. Minkowski tensörünün aksine, metrik tensör genelde koordinat bağımlıdır. Denklem (4.) x koordinatlarına dönüştürülürse aşağıdaki bağıntı elde edilir. 43

44 α d y x 0 = dτ x τ = + α α ν y d x y dx dx ν x dτ x x dτ dτ (4.5) bağıntısı insinden hareket denklemi, λ α dx α dy ile çarpılıp y dx x dy. (4.5) λ λ = δ α eşitliği kullanılırsa x koordinatları ν d x λ dx dx 0 ν +Γ = (4.5) dτ dτ dτ biçiminde elde edilir. Γ λ ν ya Christoffel sembolü veya afin bağlantı denir ve λ α λ dx y Γ = dy x x ν α ν (4.6) şeklinde tanımlanır. λ Γ ν tensör gibi dönüşmez. Γ λ ν nün tüm bileşenlerinin sıfır olduğu çerçeveye lokal eylemsiz çerçeve adı verilir. Anak sistem lokal eylemsizde olsa Christoffel sembolünün türevleri sıfırdan farklı değerler alabilir. Denklem (4.5) dış kuvvetlerin etkisi altındaki parçaığın hareket denklemi formundadır. Bu durumda λ Γ ν ile orantılı terim, gravitasyonel kuvvetlerin varlığını ortaya koyar. Böylee gravitasyonel alanın etkisi altında parçaıkların nasıl hareket ettiği kolaya bulunabilir. Önelikle Γ λ ν nün fonksiyonel formu elde edilmelidir. Christoffel sembolünün metrik tensörü insinden ifadesini elde edebilmek için (4.4) denkleminin x λ ya göre türevi alınmalıdır. Aynı zamanda (4.6) bağıntısı kullanılırsa; β α β gν y y y y = η λ λ ν αβ + η λ ν x x x x x x x αβ 44

45 σ y y σ y y =Γ η + Γ x x x x α β α β η λ σ ν αβ λν σ αβ σ σ =Γ g + Γ g (4.7) λ σν λν σ sonuuna ulaşılır. (4.7) denklemine λ ve değişiminden elde edilen bağıntı eklenir, λ ve ν değişiminden elde edilen bağıntı çıkarılırsa, gν gν gν σ σ σ σ σ σ + = Γ g + Γ g + Γ g + Γ g Γ g Γ g λ ν x x x λ σν λν σ λ σν ν λσ ν σλ νλ σ σ = Γ g (4.8) λ σν sonuuna ulaşılır. (4.8) denklemi g νρ νρ ile çarpılır ve iyi bilinen g g kullanılırsa Christoffel sembolü metrik tensör insinden elde edilmiş olur. σν = δ eşitliği ρ σ g g ρ g g νρ ν λν Γ = + x x x λ λ λ ν. (4.9) Görüldüğü üzere Christoffel sembolü buna bağlı olarak gravitasyonel etki tamamen metrik tensörü araılığıyla belirlenebilmektedir. Vurgulanması gereken diğer bir olgu da uzay-zaman düz olduğunda yani g ν yerine η ν kullanıldığında Christoffel sembolü sıfır değerini almasıdır. Bu durum gravitasyonel kuvvetin olmadığı duruma eşdeğerdir. Eşdeğerlik prensibinin en önemli sonuçlarından bir tanesi genel kovaryanslık prensibidir ve şöyle tanımlanabilir: Eğer herhangi bir fiziksel denklem herhangi bir koordinat sisteminde gravitasyonel alanın varlığında doğruysa, gravitasyonel alanın yokluğunda da doğrudur. Kovaryanslığı doğrulamak için tüm skalar, vektör ve tensör yapıdaki denklemlerin kovaryant dönüşümlere uyması gerekir. Bir örnek olarak kontravaryant bir A vektörü için yapılabilir. ' ' x ν A A = A. (4.0) ν x 45

46 Kovaryant dönüşüm ise benzer şekilde x = x ν ' A A A ' ν (4.) olarak bulunabilir. Tensör dönüşümler (4.0) ve (4.) bağıntılarının genelleştirilmesiyle elde edilebilir. 4. Metrik Tensörün Özellikleri (4.4) denklemiyle betimlenen metrik tensör genel göreliliğin inşasında çok önemli bir araçtır. Kontravaryant g ν metrik tensörünün tersi g ν ile tanımlanır. g λν g ν = δ. (4.) λ Tensörlerin indisleri, Minkowski metriğinin düz uzay-zamanda yaptığı gibi, metrik tensör kullanılarak indirilir ve kaldırılır. Metrik tensörün determinantı da genel görelilik kuramında önemli bir yer tutar. g det. (4.3) g ν (4.) de vektörler için verilen kural tensörler için kullanılırsa metrik tensör, x x x x ρ σ ' ν = ' ' ν g g ρσ (4.4) biçiminde dönüşür. Son bağıntı kullanılırsa, g ' = x det( ) ' ν x g (4.5) 46

47 sonuu elde edilir. Genel görelilikte her zaman lokal eylemsiz çerçeve, yani g = detη = (4.6) ν eşitliğinin geçerli olduğu çerçeve kullanılmaktadır. Dolayısıyla metrik tensörün determinantı her yerde negatiftir. (4.6) önemi şurdadır: uzay-zamanın haim elamanı 4 dx genel koordinat dönüşümleri altında değişmez değildir. Fakat 4 gdx genel koordinat dönüşümleri altında değişmezdir ve genel görelilik kuramında eylem integralinin oluşturulmasında kullanılan önemli bir özelliktir. 4. Kovaryant Türev (4.0) dönüşümü uygulanan herhangi bir vektörün türevi alındığında, ' x x x da d A da A dx x x x x ' ' ' ν ν ν λ = ν = + ν ν λ (4.7) sonuu bulunur. Anlaşılaağı üzere herhangi bir vektörün türevi genelde vektör değildir. Ayrıa (4.7) den anlaşılaağı gibi da ν denklem (4.0) da olduğu gibi dönüşmez. Bunun nedeni türevin farklı uzay-zaman noktalarında vektörlerin ilişkilerini içermesidir. Anak uzay-zamanda metrik her bir noktada farklı değerler alabilir. Yapılması gereken verilen vektörü ilişki kurulaak vektörle aynı uzay-zaman noktasına taşımaktır. Normal türev yerine kovaryant türevin tanımlanmasıyla istenen durum elde edilebilir. A λa = +Γ x ν vλa λ A A = Γ x v λ λ λ. (4.8) ν A. (4.9) 47

48 Kovaryant türevi alınan herhangi bir vektörde artık vektör gibi dönüşeektir. Ayrıa düz uzay-zamanda Γ = 0 olaak, kovaryant türev beklendiği üzere normal türeve vλ dönüşeektir. Metrik tensörün kovaryant türevi ilerde kullanılaağından şimdi hesaplamak uygun olaaktır. A herhangi bir vektör olmak üzere; ( g A ) = g A + A g = Av + A g (4.0) λ ν ν λ λ ν λ λ ν sonuuna ulaşılır. Ayrıa; ( g A ) = Av (4.) λ ν λ olduğu kullanılır ve (4.0) denklemi göz önünde bulundurulursa, g = 0 λ ν bağıntısı elde edilir. (4.) Gravitasyon alanının lagranjiyeni metrik tensör ve onun türevlerine bağlı bazı tensörlerden inşa edilir. iemann veya eğrilik tensörü bunlardan bir tanesidir. Γ λ λ λ v ρ σ λ σ λ vρ = +Γ v vγ ρ σρ ΓρΓσv x Γ x. (4.3) iemann tensörü uzay-zamanın eğriliği konusunda tüm bilgiyi içerdiğinden genel rölativite teorisinde önemli bir yer tutar. Bazı özellikleri aşağıda özetlenmiştir. = =. (4.4) λνρ λρv λρν λνρ =. (4.5) νρλ + + = 0. (4.6) λνρ λvρ λρv v ρ σ + σ + σ = 0. (4.7) λν λρ λvρ 48

Daha göster