b) c) d) (French-p2.1) BÖLÜM -II Örnek 1. Çözüm: a) bu değerleri yukarıdaki ifadede yerine yazalım, elde ederiz. Bunu ise şeklinde ifade edebiliriz.

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "b) c) d) (French-p2.1) BÖLÜM -II Örnek 1. Çözüm: a) bu değerleri yukarıdaki ifadede yerine yazalım, elde ederiz. Bunu ise şeklinde ifade edebiliriz."

Bulut Mutlu
5 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Örnek. Aşağıdaki ifadeleri BÖLÜM -II formunda yazınız. a) b) c) d) (French-p.) a) ve bu değerleri yukarıdaki ifadede yerine yazalım, elde ederiz. Bunu ise şeklinde ifade edebiliriz. b) Bu sonuç şeklinde yazılabilir. c) Şekildeki dik üçgenden

Yazabiliriz. Bu değerler verilen ifadede yerine yazılırsa sonucu elde edilir. Bu sonuç şeklinde ifade edilebilir. Burada θ = tan ( 3 ) dür. c) Burada a-şıkının sonucu kullanılırsa elde edilir.

2 Yazabiliriz. Bu değerler verilen ifadede yerine yazılırsa sonucu elde edilir. Bu sonuç şeklinde ifade edilebilir. Burada θ = tan ( 3 ) dür. c) Burada a-şıkının sonucu kullanılırsa elde edilir. Bu değer yerine yazılırsa veya yazılabilir. Örnek. Bir parçacık aynı frekanslı ve x-ekseni doğrultusunda üç BHH ye aynı zamanda maruz kalmaktadır. Eğer BHH lerin genlikleri sırasıyla 0,5, 0,0 ve 0,5 mm ve birinci ile ikinci BHH arasındaki faz farkı 45, ikinci ile üçüncü BHH arasındaki faz farkı 30 ise bileşke hareketin yer değiştirmesinin genliğini ve birinci BHH ye göre (genliği 0,5 mm olan) faz farkını bulunuz. (French, p.) BHH lerin bileşkesi aşağıdaki vektör diyagramı kullanılarak incelenebilir. OPR üçgeninde kosinüs teorimini kullanarak

Buradan bulunur. Aynı üçgende kosinüs teoreminden yazabiliriz. Buradan veya Benzer şekilde ORQ üçgeninden bulunur. Buradan bulunur. Aynı üçgende kosinüs teoreminden yazabiliriz. Buradan A ile A arasındaki açıya veya dersek bulunur.

3 Buradan bulunur. Aynı üçgende kosinüs teoreminden yazabiliriz. Buradan veya Benzer şekilde ORQ üçgeninden bulunur. Buradan bulunur. Aynı üçgende kosinüs teoreminden yazabiliriz. Buradan A ile A arasındaki açıya veya dersek bulunur. veya olur. Sonuç olarak A ve bulunur. Örnek 3. Aynı doğrultuda iki titreşim hareketi y = Acos(0πt) ve y = Acos(πt) eşitlikleri ile tanımlıdır. Vuru periyodunu bulunuz ve bir vuru periyodu için bileşke hareketin yer değiştirmesinin grafiğini çiziniz. (French-p.3) Bileşke hareket için yazabiliriz. Burada ve olduğunu hatırlayınız. Verilen ifadelerden için ve olduğu açıktır. Buradan vuru frekansı ; bulunur. Vuru periyodu ise T vuru = f vuru = s olur. Bileşke hareketin yer değişimi yandaki şekilde verilmiştir. 3

4 Örnek 4. Bir cisim aynı anda birbirlerine dik iki kuvvetin etkisinde eşit frekanslı titreşim hareketi yapıyor. Bu titreşim hareketleri x(t) = A cosωt ve y(t) = A cos (ωt + π 4 ) eğrisini geometrik yöntemle çiziniz. eşitlikleri ile tanımlıdır. Lissajous Yatay hareketi temsil için yarıçapı ve düşey hareketi temsil için ise yarıçaplı çemberleri çizeriz. İki hareket arasında δ = π kadarlık faz farkı olduğuna dikkat ediniz. Bu nedenle çember- 4 üzerinde π 4 aralıklarla noktalar işaretlemek şekli belirlemek için yeterlidir (Siz daha fazla örnekleme aralığı seçebilirsiniz). +x-ekseninden itibaren π aralıklarla döneriz ve çember- üzerinde buna karşı 4 gelen noktaları işaretleriz. Noktalara karşılıklı aynı numaralar veririz. Aynı numaraları noktalardan x-eksenine ve y-eksenine şekildeki gibi dikmeler ineriz. Bu dikmelerin kesiştiği noktalara da aynı numaraları veririz. Şekildeki dikdörtgen içerisine düşen bu noktaları sırası ile birleştirirseniz saat ibreleri yönünde çizilmiş elipsi elde edersiniz. 4

5 Örnek 5. Birbirlerine dik iki titreşim, x = acosωt ve y = bsinωt ifadelerine uymaktadır. a) Bu iki titreşimin üst üste gelmesinden ortaya çıkan Lissajous eğrisinin analitik ifadesini türetiniz. b) a = b = özel durumunda meydana gelecek Lissajous eğrisini, Şekil-5 den yararlanarak, çiziniz. Çizimi bu şekil üzerinde gösteriniz. y x y = sin t = cos( t π ) 4 3 5, 7 x = cos t 8 a) Titreşim hareketlerini tanımlayan eşitlikler: Burada ve buradan yazılabilir. eşitliğinden elde edilir ve ifadesinde yerine yazılırsa 5

Bu iki titreşimin üst üste gelmesinden ortaya çıkan Lissajous eğrisinin grafiğini aşağıda verilen şekilden yararlanarak, çiziniz.

6 elde edilir. b) Lissajous eğrisinin şekli aşağıda verilmiştir (Geometrik yöntemle çizilmiş). Örnek. Birbirlerine dik iki titreşim, x = acosωt ve y = acos (ωt + π ) ifadelerine uymaktadır. Bu iki titreşimin üst üste gelmesinden ortaya çıkan Lissajous eğrisinin grafiğini aşağıda verilen şekilden yararlanarak, çiziniz. Çizimi şekil üzerinde gösteriniz. Şekildeki çemberler π radyan lık eşit açılara bölünmüştür. Not :. Çemberde seçilen açısına karşı. Çemberde alındığına dikkat ediniz. Şekildeki noktalar bu yöntemle elde edilmiştir. Şekildeki noktaları sırasıyla Lissajous eğrisini elde edersiniz. birleştirirseniz

Not : Yatay teğete nokta, düşey teğete nokta değdiğine dikkat ediniz. Bu durum frekanslar oranına karşı gelir yani ω ω = dir. Not 3: Lissajous eğrisini çizen yazılım programları vardır.

7 Not : Yatay teğete nokta, düşey teğete nokta değdiğine dikkat ediniz. Bu durum frekanslar oranına karşı gelir yani ω ω = dir. Not 3: Lissajous eğrisini çizen yazılım programları vardır. Aşağıdaki şekil x = acosωt ve y = acos (ωt + π ) fonksiyonları mathcad programında kullanılarak çizilmiştir. Örnek 7. Bir cisim, aynı doğrultuda x = 3sin (πt + π ) ve x = sin (πt + π ) ifadeleri ile verlilen iki 3 harmonik titreşime maruz kalmaktadır, burada t saniye ve x santimetre olarak verilmektedir. Cismin maksimum ivmesi nedir? x = 3sin (πt + π ) = 3 [sinπt cos (π ) + cosπt sin(π )] = 3cosπt x = sin (πt + π 3 ) = [sinπt c os (π 3 ) + / cosπt sin( π 3 ) ] = sinπt + 3cosπt x = x + x = 3cosπt + sinπt + 3cosπt = (3 + 3)cosπt + sinπt Toplam titreşim ifadesinin faz sabitini ve genliğini bulmak için, sinüs ve cosinüs ifadelerinin önündeki çarpanların karelerinin toplamının karekökü olan [(3 + 3) + ] / ifadeyle x in payını ve paydasını çarpalım. x = [(3 + 3) + ] / (3 + 3) [ [(3 + 3) cosπt + + ] / [(3 + 3) sinπt] + ] / cos 3/ (3 + 3) x = 4,84 [(3 + 3) + ] cosπt + [(3 + 3) + ] [ A 0 = 4.84 cm ve = sin [ [(3+ 3) +] sin /] = 0.08 rad sinπt x = A 0 [cosπt cos + sinπt sin ] = A 0 cos(πt ) = A 0 cos(πt 0.08) Cismin hızı: v = dx = πa dt 0 sin(πt ) v max Cismin ivmesi: a = dv = dt π A 0 cos(πt ) a max ] 7

8 Örnek 8. Aşağıda verilen üst üste gelmiş hareketlerin frekanslarını bulunuz. a) sin (πt ) + cos(πt) b) sin (πt) + cos(3πt π/4) c) sin (3t) + cos(πt) a) sin (π ω t ) + cos (π ω t), ω = ω = π olduğundan, bileşke hareketin açısal freaknsı da aynıdır. T = π ω = π π = s ve frakans f = T = s b) sin (π t) + cos (3π t π/4), Genlikleri eşit ve frekansları birbirine yakın olduğu için bileşke hareket ω ω vurudur. O halde titreşim frekansı ω = ω +ω =.5π, f = ω =.5 s π Vuru frekansı: ω vuru = ω ω = π ve modülasyon frekansı ω mod = ω ω = π+3π = π c) sin ( 3 ω t) + cos ( π ω t) titreşim frekansı ω = ω +ω = 3+π, f = ω π = 3+π 4π = 0.48 s 8

Benzer belgeler

BÖLÜM-2. Sabit katsayılı çizgisel homojen diferansiyel denklem örneği olarak

BÖLÜM-2. Sabit katsayılı çizgisel homojen diferansiyel denklem örneği olarak BÖLÜM-2 2.1 PERİYODİK TİTREŞİMLERİN ÜST ÜSTE GELMESİ (Süperpozisyon) Kütle-yay problemlerini geri çağırıcı kuvvetin sadece x ile orantılı olduğu durumlar için inceleyeceğiz, yani Hook yasasının ( ) geçerli