Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller
|
|
|
- Sanaz Şahan
- 4 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller Fizik, mühendislik, kimya, biyoloji, astronomi, ekonomi gibi dallarda belli problemleri temsil etmek için bir matematiksel model gerekli olur. Bu matematiksel modeller içinde değişkenleri ve türevleri bulunduran bir denklemi ve bu denklemi bazı koşullarda sağlayan bir bilinmeyen fonksiyonu bulmak için kaynak oluşturur. En ilginç doğal olaylar değişim içerir ve değişen nicelikleri birbirine bağlayan denklemler ile tanımlanır. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 1/ 31
2 Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller Tanım Bağımlı bir değişkeni ve bunun bir yada daha çok bağımsız değişkene göre türevlerini veya diferansiyellerini içeren denkleme diferansiyel denklem denir. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 2/ 31
3 Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller Tanım Bağımlı bir değişkeni ve bunun bir yada daha çok bağımsız değişkene göre türevlerini veya diferansiyellerini içeren denkleme diferansiyel denklem denir. Örnek dx dt = x2 + t diferansiyel denklemi, hem x(t) bilinmeyen fonksiyonunu hemde onun x (t) = dx dt birinci türevini içerir. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 2/ 31
4 Örnek d 2 y dx dy dx + 7y = 0 diferansiyel denklemi, x bağımsız değişkeninin bilinmeyen y fonksiyonunu ve y nin ilk iki y, y türevlerini eçerir. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 3/ 31
5 Örnek d 2 y dx dy dx + 7y = 0 diferansiyel denklemi, x bağımsız değişkeninin bilinmeyen y fonksiyonunu ve y nin ilk iki y, y türevlerini eçerir. Örnek (x y)dx + x 2 dy = 0 Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 3/ 31
6 Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller Diferansiyel denklemleri incelemenin başlıca üç amacı vardır. Belirli bir fiziksel olayı tanımlayan diferansiyel denklemi bulmak, Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 4/ 31
7 Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller Diferansiyel denklemleri incelemenin başlıca üç amacı vardır. Belirli bir fiziksel olayı tanımlayan diferansiyel denklemi bulmak, Diferansiyel denklemin -kesin yada yaklaşık- uygun bir çözümünü elde etmek, Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 4/ 31
8 Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller Diferansiyel denklemleri incelemenin başlıca üç amacı vardır. Belirli bir fiziksel olayı tanımlayan diferansiyel denklemi bulmak, Diferansiyel denklemin -kesin yada yaklaşık- uygun bir çözümünü elde etmek, Elde edilen çözümü yorumlamak. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 4/ 31
9 Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller Cebirde, genellikle x 3 +7x 2 11x+41 = 0 gibi bir denklemi sağlayan bilinmeyen sayıları ararız. Aksine, bir diferansiyel denklemi çözerken bir reel sayı aralığında y (x) = 2xy(x) gibi bir diferansiyel denklemi sağlayan bilinmeyen y(x) fonksiyonlarını bulmak isteriz. Genellikle diferansiyel denklemin, eğer mümkünse tüm çözümlerini bulmak isteyeceğiz. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 5/ 31
10 Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller ÖRNEK Eğer C bir sabit sayı ve ise, bu takdirde y(x) = Ce x2 (1) dy dx = C(2xex2 ) = 2x(Ce x2 ) = 2xy dir. Böylece denk. (1) şeklindeki her y(x) fonksiyonu, tüm x ler için dy = 2xy (2) dx diferansiyel denklemini sağlar ve böylece onun bir çözümüdür. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 6/ 31
11 Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller Özellikle denk. (1), bu diferansiyel denklemin (2), C keyfi sabitinin her seçimi için farklı çözümlerinin bir sonsuz ailesini tanımlar. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 7/ 31
12 Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller ÖRNEK Newton un soğuma yasası şu şekilde ifade edilebilir: bir cismin T (t) sıcaklığının değişiminin zamana oranı (t zamanına göre), T ve cismi çevreleyen ortamın A sıcaklığı arasındaki farkla orantılıdır. Yani k pozitif bir sabit olmak üzere, dt dt = k(t A) Dikkat edilirse, eğer T > A ise, dt/dt < 0 ve böylece sıcaklık t nin azalan bir fonksiyonudur. Bu durumda cisim soğur. Fakat eğer T < A ise, dt/dt > 0 ve böylece T artandır. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 8/ 31
13 Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller Böylece bir fiziksel yasa bir diferansiyel denkleme dönüştürüldü. Eğer k ve A değerleri verilirse, T (t) için açık bir formül bulunabilir ve ondan sora bu formül yardımıyla cismin sonraki sıcaklığı tahmin edilebilir. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 9/ 31
14 Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller ÖRNEK Newton nun ikinci kanunu Bir cismin kütlesi ile ivmesinin çarpımı o cisim üzerinde etki eden toplam kuvvete eşittir. Bu durum serbest düşüş yapan bir cisme uygulanırsa Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 10/ 31
15 Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller ÖRNEK Newton nun ikinci kanunu Bir cismin kütlesi ile ivmesinin çarpımı o cisim üzerinde etki eden toplam kuvvete eşittir. Bu durum serbest düşüş yapan bir cisme uygulanırsa m d2 h dt 2 = mg denklemi elde edilir. Burada h yükseklik, m cismin kütlesi, g(sabit) yer çekim ivmesidir. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 10/ 31
16 Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller ÖRNEK Newton nun ikinci kanunu Bir cismin kütlesi ile ivmesinin çarpımı o cisim üzerinde etki eden toplam kuvvete eşittir. Bu durum serbest düşüş yapan bir cisme uygulanırsa m d2 h dt 2 = mg denklemi elde edilir. Burada h yükseklik, m cismin kütlesi, g(sabit) yer çekim ivmesidir. h fonksiyonunu çözersek Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 10/ 31
17 Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller ÖRNEK Newton nun ikinci kanunu Bir cismin kütlesi ile ivmesinin çarpımı o cisim üzerinde etki eden toplam kuvvete eşittir. Bu durum serbest düşüş yapan bir cisme uygulanırsa m d2 h dt 2 = mg denklemi elde edilir. Burada h yükseklik, m cismin kütlesi, g(sabit) yer çekim ivmesidir. h fonksiyonunu çözersek h(t) = 1 2 gt2 + c 1 t + c 2 elde edilir. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 10/ 31
18 Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller ÖRNEK Sabit doğum ve ölüm oranlarına sahip bir P (t) nüfusunun değişiminin zaman oranı, bir çok basit halde nüfusun büyüklüğüyle orantılıdır. Yani, k orantı sabiti olmak üzere, dp dt dir. Biraz daha inceliyecek olursak, = kp (3) P (t) = Ce kt şeklindeki her bir fonksiyon, (3) daki diferansiyel denklemin bir çözümüdür. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 11/ 31
19 Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller Böylece k sabitinin değeri bilinse bile, dp/dt = kp diferansiyel denklemi, keyfi C sabitinin her bir seçimi için bir tane olmak üzere, P (t) = Ce kt şeklinde sonsuz çoklukta farklı çözüme sahiptir. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 12/ 31
20 Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller Nüfus örneğinde, gerçek-dünya problemi, nüfusun gelecek bir zamanda belirlenmesidir. Bir matematiksel model, verilen olayı tanımlayan değişkenlerin (P ve t) bir listesi ile bu değişkenleri birbirine bağlayan bilinen veya geçerli olduğu varsayılan bir veya daha çok denklemden (dp/dt = kp, P (0) = P 0 ) ibarettir. Matematiksel analiz bu denklemleri çözmekten (burada t nin bir fonksiyonu olan P yi elde etmekten) ibarettir. Nihayet bu matematiksel sonuçları (ele aldığımız), gerçek-dünya problemini cevaplandırmak için kullanırız. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 13/ 31
21 Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller Bunula beraber, diferansiyel denklemin hiçbir çözümünün bilinen tüm bilgilerle uyuşmaması mümkündür. Böyle bir halde diferansiyel denklemin gerçek-dünya olayını uygun bir şekilde tanımlayamadığını düşünmeliyiz. Örneğin, denk. (3) nın çözümleri, C bir pozitif sabit olmak üzere P (t) = Ce kt şeklindedir. Ancak k ve C sabitlerinin herhangi bir seçimi için P (t) geçen birkaç yüzyılın dünya insan nüfusunun gerçek büyüklüğünü tanımlayamaz. Bu yüzden, belki, doğum oranı, azalan yiyecek miktarı ve diğer etkenlerin nüfus üzerindeki baskılarının etkisini göz önünde bulunduran diferansiyel denklemler yazmamız gerekir. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 14/ 31
22 Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller Doyurucu bir matematiksel model birbiriyle çelişen iki durum arzeder: Matematiksel model,göreceli kesinliğe sahip gerçek-dünya olayını temsil etmek için yeteri kadar ayrıntılı olmalıdır; fakat matematiksel analizi kolayca yapmak için yeteri kadar basit olmalıdır. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 15/ 31
23 Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller ÖRNEK Eğer C bir sabit ve y(x) = 1 C x ise, Bu taktirde x C için dy dx = 1 (C x) 2 = y2 dir. Böylece y(x) = 1 C x x = C noktasını içermiyen herhangi bir reel sayı aralığında (4) diferansiyel denkleminin bir çözümünü tanımlar. dy dx = y2 (5) Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 16/ 31
24 Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller Gerçekte denk. (4), C keyfi sabitinin veya parametresinin her bir değeri için bir tane olmak üzere, dy/dx = y 2 nin bir parametreli bir çözüm ailesini tanımlar. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 17/ 31
25 Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller Gerçekte denk. (4), C keyfi sabitinin veya parametresinin her bir değeri için bir tane olmak üzere, dy/dx = y 2 nin bir parametreli bir çözüm ailesini tanımlar. C = 1 için y(0) = 1 başlangıç koşulunu sağlayan özel çözümünü elde ederiz. y(x) = 1 1 x Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 17/ 31
26 Diferansiyel Denklemlerin Sınıflandırılması Tanım Bir tek değişkene bağlı bir fonksiyonun bu bağımsız değişkene göre türevlerini içeren bir denkleme adi diferansiyel denklem denir Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 18/ 31
27 Diferansiyel Denklemlerin Sınıflandırılması Tanım Bir tek değişkene bağlı bir fonksiyonun bu bağımsız değişkene göre türevlerini içeren bir denkleme adi diferansiyel denklem denir Örneğin, dy dx 6y = 9 Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 18/ 31
28 Diferansiyel Denklemlerin Sınıflandırılması Tanım Bir tek değişkene bağlı bir fonksiyonun bu bağımsız değişkene göre türevlerini içeren bir denkleme adi diferansiyel denklem denir Örneğin, dy dx 6y = 9 d 2 y dx 2 4 dy 6y = sin x dx Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 18/ 31
29 Diferansiyel Denklemlerin Sınıflandırılması Tanım Bir tek değişkene bağlı bir fonksiyonun bu bağımsız değişkene göre türevlerini içeren bir denkleme adi diferansiyel denklem denir Örneğin, dy dx 6y = 9 d 2 y dx 2 4 dy 6y = sin x dx (y x)dx + 7xdy = 0 Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 18/ 31
30 Tanım İki yada daha çok bağımsız değişkene bağlı bir fonksiyonun bu bağımsız değişkene göre türevlerini içeren denkleme kismi diferansiyel denklem denir. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 19/ 31
31 Tanım İki yada daha çok bağımsız değişkene bağlı bir fonksiyonun bu bağımsız değişkene göre türevlerini içeren denkleme kismi diferansiyel denklem denir. Örneğin, u t = k 2 u x 2 Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 19/ 31
32 Tanım İki yada daha çok bağımsız değişkene bağlı bir fonksiyonun bu bağımsız değişkene göre türevlerini içeren denkleme kismi diferansiyel denklem denir. Örneğin, u t = k 2 u x 2 x u x + y u y = u Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 19/ 31
33 Tanım İki yada daha çok bağımsız değişkene bağlı bir fonksiyonun bu bağımsız değişkene göre türevlerini içeren denkleme kismi diferansiyel denklem denir. Örneğin, u t = k 2 u x 2 x u x + y u y = u Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 19/ 31
34 Diferansiyel Denklemlerin Sınıflandırılması Tanım Bir diferansiyel denklemin mertebesi, denklemde görülen en yüksek türevin mertebesidir. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 20/ 31
35 Diferansiyel Denklemlerin Sınıflandırılması Tanım Bir diferansiyel denklemin mertebesi, denklemde görülen en yüksek türevin mertebesidir. dy dx = y2 (Birinci mertebeden) Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 20/ 31
36 Diferansiyel Denklemlerin Sınıflandırılması Tanım Bir diferansiyel denklemin mertebesi, denklemde görülen en yüksek türevin mertebesidir. dt dt dy dx = y2 = k(t A) (Birinci mertebeden) (Birinci mertebeden) Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 20/ 31
37 Diferansiyel Denklemlerin Sınıflandırılması Tanım Bir diferansiyel denklemin mertebesi, denklemde görülen en yüksek türevin mertebesidir. dt dt dy dx = y2 = k(t A) (Birinci mertebeden) (Birinci mertebeden) y (4) + x 2 y (3) + x 5 y = sin x (Dördüncü mertebeden) Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 20/ 31
38 Diferansiyel Denklemlerin Sınıflandırılması Bağımsız değişkeni x ve bilinmeyen fonksiyonu veya bağımlı değişkeni y = y(x) olan n. mertebeden en genel diferansiyel denklem F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (6) dır. Burada F, n + 2 değişkenli verilmiş bir reel-değerli fonksiyondur. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 21/ 31
39 Diferansiyel Denklemlerin Sınıflandırılması Tanım y bağımlı değişken ve x bağımsız değişken olmak üzere n. mertebeden bir lineer adi diferansiyel denklem a n (x) dn y dx n + a n 1(x) dn 1 y dx n a 1(x) dy dx + a 0(x)y = b(x) şeklinde ifade edilen denklemdir. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 22/ 31
40 ÇÖZÜMLER Açık çözüm, Kapalı çözüm F, x, y, y, y,..., y (n) gibi n + 2 değişkenli verilmiş bir reel-değerli fonksiyon olmak üzere F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (7) adi diferansiyel denklemi ele alalım. I aralığında sürekli bir y = f(x) fonksiyonunun f, f,..., f (n) türevleri I da mevcut ve I daki tüm x ler için F (x, f, f, f,..., f (n) ) = 0 (8) ise y = f(x) fonksiyonuna (7) diferansiyel denkleminin bir açık çözümüdür denir. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 23/ 31
41 ÇÖZÜMLER Açık çözüm, Kapalı çözüm F, x, y, y, y,..., y (n) gibi n + 2 değişkenli verilmiş bir reel-değerli fonksiyon olmak üzere F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (7) adi diferansiyel denklemi ele alalım. I aralığında sürekli bir y = f(x) fonksiyonunun f, f,..., f (n) türevleri I da mevcut ve I daki tüm x ler için F (x, f, f, f,..., f (n) ) = 0 (8) ise y = f(x) fonksiyonuna (7) diferansiyel denkleminin bir açık çözümüdür denir. Kısaca y = f(x) in I da (7) daki diferansiyel denklemi sağladığını söyleyebiliriz. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 23/ 31
42 Bir g(x, y) = 0 kapalı fonksiyonu, bir I aralığında (7) denklemini sağlarsa buna (7) nin kapalı çözümü denir. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 24/ 31
43 Bir g(x, y) = 0 kapalı fonksiyonu, bir I aralığında (7) denklemini sağlarsa buna (7) nin kapalı çözümü denir. örnek 1. x R için y = sin x fonksiyonu y + y = 0 diferansiyel denkleminin bir açık çözümüdür. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 24/ 31
44 Bir g(x, y) = 0 kapalı fonksiyonu, bir I aralığında (7) denklemini sağlarsa buna (7) nin kapalı çözümü denir. örnek 1. x R için y = sin x fonksiyonu y + y = 0 diferansiyel denkleminin bir açık çözümüdür. örnek 2. g(x, y) = x 2 + y 2 25 = 0 fonksiyonu x + yy = 0 diferansiyel denkleminin bir kapalı çözümüdür. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 24/ 31
45 Genel, Özel, Tekil çözüm n. mertebeden F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 adi diferansiyel denklem verildiğinde Bu denklemin c 1, c 2,..., c n gibi n tane keyfi sabit içeren f(x, c 1, c 2,..., c n ) çözümüne genel çözüm Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 25/ 31
46 Genel, Özel, Tekil çözüm n. mertebeden F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 adi diferansiyel denklem verildiğinde Bu denklemin c 1, c 2,..., c n gibi n tane keyfi sabit içeren f(x, c 1, c 2,..., c n ) çözümüne genel çözüm Bu genel çözümdeki keyfi sabitlere değer vererek elde edilen çözüme özel çözüm Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 25/ 31
47 Genel, Özel, Tekil çözüm n. mertebeden F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 adi diferansiyel denklem verildiğinde Bu denklemin c 1, c 2,..., c n gibi n tane keyfi sabit içeren f(x, c 1, c 2,..., c n ) çözümüne genel çözüm Bu genel çözümdeki keyfi sabitlere değer vererek elde edilen çözüme özel çözüm Genel çözümdeki keyfi sabitlerin herhangi bir şekilde seçimi ile elde edilemeyen çözüme tekil çözüm. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 25/ 31
48 Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller Bu bölümde dy = f(x, y) (9) dx şeklindeki birinci mertebeden diferansiyel denklemlere yoğunlaşacağız. Ele alınan bir olayın tipik matematiksel modeli, (10) şeklinde bir diferansiyel denklemi ve bir y(x 0 ) = y 0 başlangıç koşulunu içerebilir. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 26/ 31
49 Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller Bu bölümde dy = f(x, y) (9) dx şeklindeki birinci mertebeden diferansiyel denklemlere yoğunlaşacağız. Ele alınan bir olayın tipik matematiksel modeli, (10) şeklinde bir diferansiyel denklemi ve bir y(x 0 ) = y 0 başlangıç koşulunu içerebilir. dy dx = f(x, y), y(x 0) = y 0 (10) başlangıç değer problemini çözmek, x 0 ı içeren bir aralıkta denk. (11) deki her iki koşulu sağlayan türevlenebilir bir y = y(x) fonksiyonu bulmak demektir. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 26/ 31
50 Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller ÖRNEK dy = 2xy, dx y(0) = 1 (11) başlangıç değer problemini çözünüz. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 27/ 31
51 Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller ÇÖZÜM Daha önce dy/dx = 2xy diferansiyel denkleminin çözümünün y(x) = ce x2 olduğunu söylemiştik. Burada sadece y(0) = 1 başlangıç koşulunu sağlayacak şekilde bir c değeri bulmamız gerekir. x = 0 için y(0) = c = 1 değeri çözümde yerine konursa başlangıç değer problemin çözümü y(x) = e x2 olarak bulunur. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 28/ 31
52 Genel ve Özel Çözüm olarak İntegraller dy = f(x, y) dx Eğer f fonksiyonu y bağımlı değişkenine bağımlı değilse, yukarıdaki birinci mertebeden diferansiyel denklem basit bir hal alır: dy = f(x) (12) dx Bu özel halde, (12) denkleminin her iki yanının sadece integralini almamız yeterlidir. Böylece y(x) = f(x)dx + C (13) elde ederiz. (13), (12) denkleminin genel çözümüdür. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 29/ 31
53 Genel ve Özel Çözüm olarak İntegraller Bir y(x 0 ) = y 0 başlangıç koşulunu sağlaması için y(x) = G(x) + C genel çözümünde x = x 0 ve y = y 0 konulması gerekir. Buradan C değerini bulabilir ve dy dx = f(x), y(x 0) = y 0 başlangıç değer problemini sağlayan bir özel çözümünü elde ederiz. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 30/ 31
54 Genel ve Özel Çözüm olarak İntegraller ÖRNEK dy = 2x + 3, dx y(1) = 2 (14) başlangıç değer problemini çözünüz. ÇÖZÜM Diferansiyel denklemin her iki yanının integralini alalım y(x) = (2x + 3)dx = x 2 + 3x + C genel çözümü elde ederiz. Aradığımız özel çözüm (1, 2) noktasından geçen, dolayısıyla y(1) = (1) (1) + C = 2 başlangıç koşulunu sağlayan eğridir. Böylece aranan özel çözüm y(x) = x 2 + 3x 2 dir. Öğr.Gör.Dr. A.Sevimlican MAT MATEMATİK III 31/ 31
Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.
Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini
Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler
Birinci Mertebeden Adi Diferansiyel Denklemler Bir veya daha çok bağımlı değişken, bir veya daha çok bağımsız değişken ve bağımlı değişkenin bağımsız değişkene göre (diferansiyel) türevlerini içeren bağıntıya
Diferensiyel denklemler sürekli sistemlerin hareketlerinin ifade edilmesinde kullanılan denklemlerdir.
.. Diferensiyel Denklemler y f (x) de F ( x, y, y, y,...) 0 veya y f ( x, y, y,...) x ve y değişkenlerinin kendileri ve türevlerini içinde bulunduran denklemlerdir. (Türevler; "Bağımlı değişkenin değişiminin
Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınır değer problemleri (çeviri: Prof. Dr.
Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler Edwards and Penney, Difarensiyel denklemler ve sınır değer problemleri (çeviri: Prof. Dr. Ömer Akın) AYRILABİLİR DENKLEMLER Birinci mertebeden dy = f(x, y) (1)
Math 322 Diferensiyel Denklemler Ders Notları 2012
1 Genel Tanımlar Bir veya birden fazla fonksiyonun türevlerini içeren denklemlere diferensiyel denklem denmektedir. Diferensiyel denklemler Adi (Sıradan) diferensiyel denklemler ve Kısmi diferensiyel denklemler
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
MAT 2011 MATEMATİK III
} MAT 20 MATEMATİK III Ders Notları } Öğr. Gör. Volkan ÖĞER 205 İçindekiler Birinci Mertebeden Diferansiyel Denklemler 3. Diferansiyel Denklemler ve Matematiksel Modeller............................ 3.2
İkinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemler
A(x)y + B(x)y + C(x)y = F (x) (5) Denklem (5) in sağ tarafında bulunan F (x) fonksiyonu, I aralığı üzerinde sıfıra özdeş ise, (5) denklemine lineer homogen; aksi taktirde lineer homogen olmayan denklem
HOMOGEN OLMAYAN DENKLEMLER
n. mertebeden homogen olmayan lineer bir diferansiyel denklemin y (n) + p 1 (x)y (n 1) + + p n 1 (x)y + p n (x)y = f(x) (1) şeklinde olduğunu ve bununla ilgili olan n. mertebeden lineer homogen denlemin
MAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1 GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması
2. (1 + y ) ln(x + y) = yy dif. denk. çözünüz. 3. xy dy y 2 dx = (x + y) 2 e ( y/x) dx dif. denk. çözünüz.
D DİFERANSİYEL DENKLEMLER ÇALIŞMA SORULARI Fakülte No:................................................... Adı ve Soyadı:................................................. Bölüm:...................................................................
UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER
UYGULAMALI DİFERANSİYEL DENKLEMLER GİRİŞ Birçok mühendislik, fizik ve sosal kökenli problemler matematik terimleri ile ifade edildiği zaman bu problemler, bilinmeen fonksionun bir vea daha üksek mertebeden
TÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI A R, a A ve f de A da tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f(x) f(a) lim x a x a limiti veya x=a+h koymakla elde edilen f(a+h) f(a) lim h 0 h Bu türev f (a), df dx limiti varsa f fonksiyonu
Mühendislik Matematiği 2- Hafta 2-3. Arş. Gör. Dr. Sıtkı AKKAYA
Mühendislik Matematiği 2- Hafta 2-3 Arş. Gör. Dr. Sıtkı AKKAYA İÇİNDEKİLER BÖLÜM 2 2.1. GİRİŞ 2.2. BİRİNCİ MERTEBE DİFERANSİYEL DENKLEMLERE GENEL BAKIŞ 2.3. BİRİNCİ MERTEBE LİNEER DİFERANSİYEL DENKLEMLER
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Alıştırmalar 1. 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz.
Alıştırmalar 1 1) Aşağıdaki diferansiyel denklemlerin mertebesini ve derecesini bulunuz. Bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirtiniz. Denklem Mertebe Derece a) 2 1 ( ) 4 6 c) 2 1 d) 2 2 e) 3 1 f) 2 4 g)
1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri
Outline İçindekiler 1 Lineer Diferansiyel Denklem Sistemleri 1 1.1 Lineer sistem türleri (iki bilinmeyenli iki denklem)................. 1 2 Normal Formda lineer denklem sistemleri (İki bilinmeyenli iki
Y = f(x) denklemi ile verilen fonksiyonun diferansiyeli dy = f '(x). dx tir.
1 İNTEGRAL BİR FONKSİYONUN DİFERANSİYELİ Tanım: f: [a,b] R, x f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında türevli olmak üzere, x değişkeninin değişme miktarı x ise f '(x). x ifadesine f(x) fonksiyonunun diferansiyeli
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları
2004 Diferensiyel Denklemler I Uygulama Notları Mustafa Özdemir İçindekiler Temel Bilgiler...................................................................... 2 Tam Diferensiyel Denklemler........................................................4
Sınav süresi 75 dakika. Student ID # / Öğrenci Numarası
March 16, 2017 [16:00-17:15]MATH216 First Midterm Exam / MAT216 Birinci Ara Sınav Page 1 of 6 Your Name / İsim Soyisim Your Signature / İmza Student ID # / Öğrenci Numarası Professor s Name / Öğretim Üyesi
Şeklinde çok sayıda diferansiyel denklemden oluşan denklem sistemleridir. Denklem sayısı = bağımlı değişken eşitliği sağlanmasıdır.
5. Diferansiyel Denklem Sistemleri ve Çözüm Yöntemleri X=bağımsız, Y, Z, W = bağımlı değişkenler olmak üzere; Y= (X, Y, Y, Y,, Z, Z, Z,, W, W, W, ) Z= (X, Y, Y, Y,, Z, Z, Z,, W, W, W, ) W= (X, Y, Y, Y,,
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR
BÖLÜM 1: TEMEL KAVRAMLAR Hal Değişkenleri Arasındaki Denklemler Aralarında sıfıra eşitlenebilen en az bir veya daha fazla denklem kurulabilen değişkenler birbirine bağımlıdır. Bu denklemlerden bilinen
Bahar Yarıyılı D_IFERANS_IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 6 Nisan 2011 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI. y = c n x n+r. (n + r) c n x n+r 1 +
DÜZCE ÜN_IVERS_ITES_I FEN-EDEB_IYAT FAKÜLTES_I MATEMAT_IK BÖLÜMÜ 010-011 Bahar Yarıyılı D_IFERANS_IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 6 Nisan 011 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI 1. 0p x d y + dy + xy = 0 diferansiyel
ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav
Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, BAHAR
MAT 114 LİNEER CEBİR ( İSTATİSTİK, ASTRONOMİ ve UZAY BİLİMLERİ) Hafta 8: İç Çarpım Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.İsmail GÖK 2017-2018 BAHAR İç Çarpım Tanım 23: V bir reel vektör
2(1+ 5 ) b = LYS MATEMATİK DENEMESİ. işleminin sonucu kaçtır? A)2 5 B)3 5 C)2+ 5 D)3+ 5 E) işleminin sonucu kaçtır?
017 LYS MATEMATİK DENEMESİ Soru Sayısı: 50 Sınav Süresi: 75 ı 1. 4. (1+ 5 ) 1+ 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B)3 5 C)+ 5 işleminin sonucu kaçtır? D)3+ 5 E)1+ 5 A) B) 1 C) 1 D) E) 3. 4 0,5.16 0,5 işleminin
İÇİNDEKİLER. Ön Söz...2. Adi Diferansiyel Denklemler...3. Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden. Diferansiyel Denklemler...9
İÇİNDEKİLER Ön Söz... Adi Diferansiyel Denklemler... Birinci Mertebeden ve Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemler...9 Homojen Diferansiyel Denklemler...15 Tam Diferansiyel Denklemler...19 Birinci Mertebeden
MAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 5- SONLU FARKLAR VE İNTERPOLASYON TEKNİKLERİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ MAK 210 - Sayısal Analiz 1 İNTERPOLASYON Tablo halinde verilen hassas sayısal değerler veya ayrık noktalardan
Diferansiyel denklemler uygulama soruları
. Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DENKLEMLER CAUCHY-EULER DENKLEMİ. a n x n dn y dx n + a n 1x n 1 dn 1 y
SABİT KATSAYILI DENKLEMLERE DÖNÜŞTÜREBİLEN DENKLEMLER Bu bölümde sabit katsayılı diferansiyel denklemlere dönüşebilen değişken katsayılı diferansiyel denklemlerden Cauchy Euler ve Legendre difarensiyel
MAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 7- SAYISAL TÜREV Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ İntegral işlemi gibi türev işlemi de mühendislikte çok fazla kullanılan bir işlemdir. Basit olarak bir fonksiyonun bir noktadaki
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Kübik Spline lar/cubic Splines
Kübik spline lar önceki metodların aksine bütün data noktalarına tek bir fonksiyon/eğri uydurmaz. Bunun yerine her çift nokta için ayrı ayrı üçüncü dereceden polinomlar uydurur. x i noktasından geçen soldaki
Lys x 2 + y 2 = (6k) 2. (x 2k) 2 + y 2 = (2k 5) 2 olduğuna göre x 2 y 2 =? Cevap: 14k 2
1. 1 =? Lys 1 7. x + y = (6k) (x k) + y = (k 5) olduğuna göre x y =?. 6 a.b = ise a + 1 b. b 1 a =? 1k 8. x ve y birbirinden farklı pozitif gerçel sayılar olmak üzere, x y y x. x.y = (x y) ise x y =?.
Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri
18.034 İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI
MATLAB DA SAYISAL ANALİZ DOÇ. DR. ERSAN KABALCI Konu Başlıkları Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümü İntegral ve Türev İntegral (Alan) Türev (Sayısal Fark ) Diferansiyel Denklem çözümleri Denetim Sistemlerinin
METASEZGİSEL YÖNTEMLER
METASEZGİSEL YÖNTEMLER Ara sınav - 30% Ödev (Haftalık) - 20% Final (Proje Sunumu) - 50% - Dönem sonuna kadar bir optimizasyon tekniğiyle uygulama geliştirilecek (Örn: Zaman çizelgeleme, en kısa yol bulunması,
EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER
EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının
Bölüm 9: Doğrusal momentum ve çarpışmalar
Bölüm 9: Doğrusal momentum ve çarpışmalar v hızıyla hareket eden m kütleli bir parçacığın doğrusal momentumu kütle ve hızın çarpımına eşittir; p = mv Momentum vektörel bir niceliktir, yönü hız vektörü
MAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 6- İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 İSTATİSTİK VE REGRESYON ANALİZİ Bütün noktalardan geçen bir denklem bulmak yerine noktaları temsil eden, yani
TÜREV VE UYGULAMALARI
TÜREV VE UYGULAMALARI 1-TÜREVİN TANIMI VE GÖSTERİLİŞİ a,b R olmak üzere, f:[a,b] R fonksiyonu verilmiş olsun. x 0 (a,b) için lim x X0 f(x)-f( x 0 ) limiti bir gerçel sayı ise bu limit değerine f fonksiyonunun
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Elektrik Mühendisliği Elektrik Makinaları Güç Sistemleri (Elektrik Tesisleri) Kontrol Sistemleri
Elektrik Mühendisliği Elektrik Makinaları Güç Sistemleri (Elektrik Tesisleri) Kontrol Sistemleri Elektronik Mühendisliği Devreler ve Sistemler Haberleşme Sistemleri Elektromanyetik Alanlar ve Mikrodalga
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
1.1 Yapı Dinamiğine Giriş
1.1 Yapı Dinamiğine Giriş Yapı Dinamiği, dinamik yükler etkisindeki yapı sistemlerinin dinamik analizini konu almaktadır. Dinamik yük, genliği, doğrultusu ve etkime noktası zamana bağlı olarak değişen
İÇİNDEKİLER. Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 MATEMATİKSEL İKTİSADA GİRİŞ 11 1.1.İktisat Hakkında 12 1.2.İktisatta Grafik ve Matematik Kullanımı 13 Bölüm 2 STATİK DENGE ANALİZİ 19 2.1 İktisatta Denge Kavramı 20 2.1.1.
DÜZCE ÜN IVERS ITES I FEN-EDEB IYAT FAKÜLTES I
DÜZCE ÜN IVERS ITES I FEN-EDEB IYAT FAKÜLTES I MATEMAT IK BÖLÜMÜ 203-204 BAHAR YARIYILI D IFERANS IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 2 Nisan 204 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI. (5p) Belirsiz katsay lar yöntemini
Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1
Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Düzlem Gerilme durumu için: Bilinmeyenler: Düzlem Şekil değiştirme durumu için: Bilinmeyenler: 3 gerilme bileşeni : 3 gerilme bileşeni : 3 şekil değiştirme
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ Bölüm 1 SAYILAR 11 Bölüm 2 KÜMELER 31 Bölüm 3 FONKSİYONLAR
İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ III Bölüm 1 SAYILAR 11 1.1. Sayı Kümeleri 12 1.1.1.Doğal Sayılar Kümesi 12 1.1.2.Tam Sayılar Kümesi 13 1.1.3.Rasyonel Sayılar Kümesi 14 1.1.4. İrrasyonel Sayılar Kümesi 16 1.1.5. Gerçel
Lineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
MAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 2- HATA VE HATA KAYNAKLARI Doç. Dr. Ali Rıza YILDIZ 1 GİRİŞ Bir denklemin veya problemin çözümünde kullanılan sayısal yöntem belli bir giriş verisini işleme tabi tutarak sayısal
Genetik Algoritmalar. Bölüm 1. Optimizasyon. Yrd. Doç. Dr. Adem Tuncer E-posta:
Genetik Algoritmalar Bölüm 1 Optimizasyon Yrd. Doç. Dr. Adem Tuncer E-posta: adem.tuncer@yalova.edu.tr Optimizasyon? Optimizasyon Nedir? Eldeki kısıtlı kaynakları en iyi biçimde kullanmak olarak tanımlanabilir.
Örnek. Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız.
Örnek Aşağıdaki veri setlerindeki X ve Y veri çiftlerini kullanarak herbir durumda X=1,5 için Y nin hangi değerleri alacağını hesaplayınız. i. ii. X 1 2 3 4 1 2 3 4 Y 2 3 4 5 4 3 2 1 Örnek Aşağıdaki veri
Mat Matematik II / Calculus II
Mat - Matematik II / Calculus II Çalışma Soruları Çok Değişkenli Fonksiyonlar: Seviye eğri ve yüzeyler, Limit ve süreklilik wolframalpha.com uygulamasında bir fonksiyonun tanım kümesini bulmak için: x
Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7. Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü
Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. BÖLÜM 7 Adi Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü Copyright The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
MAK 210 SAYISAL ANALİZ
MAK 10 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 9-DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMÜ 1 GİRİŞ Diferansiyel denklemler, mühendislikte fiziksel olayların modellenmesinde sık karşılaşılan denklemlerdendir. Dolayısıyla bu
MATEMATiKSEL iktisat
DİKKAT!... BU ÖZET 8 ÜNİTEDİR BU- RADA İLK ÜNİTE GÖSTERİLMEKTEDİR. MATEMATiKSEL iktisat KISA ÖZET KOLAY AOF Kolayaöf.com 0362 233 8723 Sayfa 2 içindekiler 1.ünite-Türev ve Kuralları..3 2.üniteTek Değişkenli
DERS İÇERİKLERİ, KAZANIMLAR, DERSLER ARASI İLİŞKİ Çizelge 2.
DERS İÇERİKLERİ, KAZANIMLAR, DERSLER ARASI İLİŞKİ Çizelge 2. Kategoriler Alt kategoriler Ders içerikleri Kazanımlar Dersler arası ilişki I. Analiz I.1. Fonksiyonlar I.1.1. Fonksiyonlara ait bazı önemli
JFM 301 SİSMOLOJİ ELASTİSİTE TEORİSİ Elastisite teorisi yer içinde dalga yayılımını incelerken çok yararlı olmuştur.
JFM 301 SİSMOLOJİ ELASTİSİTE TEORİSİ Elastisite teorisi yer içinde dalga yayılımını incelerken çok yararlı olmuştur. Prof. Dr. Gündüz Horasan Deprem dalgalarını incelerken, yeryuvarının esnek, homojen
KAMU PERSONEL SEÇME SINAVI ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ TESTİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ TG 15 ÖABT ORTAÖĞRETİM MATEMATİK Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının
Okut. Yüksel YURTAY. İletişim : (264) Sayısal Analiz. Giriş.
Okut. Yüksel YURTAY İletişim : Sayısal Analiz yyurtay@sakarya.edu.tr www.cs.sakarya.edu.tr/yyurtay (264) 295 58 99 Giriş 1 Amaç : Mühendislik problemlerinin bilgisayar ortamında çözümünü mümkün kılacak
1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.
1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)
2 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var ise bulunuz.
ANALİZ 1.) a) sgn. sgn( 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini b) f ( ) 3 1 fonksiyonu veriliyor. olacak şekilde ortalama değer teoremini sağlayacak bir c sayısının var olup olmadığını araştırınız. Eğer var
Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir.
1 DENKLEMLER: Değişken içeren ve değişkenlerin belli değerleri için doğru olan cebirsel eşitliklere denklem denir. Bir denklemde eşitliği sağlayan(doğrulayan) değerlere; verilen denklemin kökleri veya
SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER
SONLU FARKLAR GENEL DENKLEMLER Bir elastik ortamın gerilme probleminin Airy gerilme fonksiyonu ile formüle edilebilen halini göz önüne alalım. Problem matematiksel olarak bölgede biharmonik denklemi sağlayan
Sistem Dinamiği. Bölüm 2- Dinamik Cevap ve Laplace Dönüşümü. Doç.Dr. Erhan AKDOĞAN
Sistem Dinamiği - Dinamik Cevap ve Laplace Dönüşümü Doç. Sunumlarda kullanılan semboller: El notlarına bkz. Yorum Soru MATLAB Bolum No.Alt Başlık No.Denklem Sıra No Denklem numarası Şekil No Şekil numarası
ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV. ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV
- 1 - ÖĞRENME ALANI TEMEL MATEMATİK BÖLÜM TÜREV ALT ÖĞRENME ALANLARI 1) Türev 2) Türev Uygulamaları TÜREV Kazanım 1 : Türev Kavramını fiziksel ve geometrik uygulamalar yardımıyla açıklar, türevin tanımını
fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı
10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.
Newton un ikinci yasası: Bir cisim ivmesi cisim üzerine etki eden toplam kuvvet ile doğru orantılı cismin kütlesi ile ters orantılıdır.
Bölüm 5: Hareket Yasaları(Özet) Önceki bölümde hareketin temel kavramları olan yerdeğiştirme, hız ve ivme tanımlanmıştır. Bu bölümde ise hareketli cisimlerin farklı hareketlerine sebep olan etkilerin hareketi
Bölüm 2. Bir boyutta hareket
Bölüm 2 Bir boyutta hareket Kinematik Dış etkenlere maruz kalması durumunda bir cismin hareketindeki değişimleri tanımlar Bir boyutta hareketten kasıt, cismin bir doğru boyunca hareket ettiği durumların
FİZİK 4. Ders 10: Bir Boyutlu Schrödinger Denklemi
FİZİK 4 Ders 10: Bir Boyutlu Schrödinger Denklemi Bir Boyutlu Schrödinger Denklemi Beklenen Değer Kuyu İçindeki Parçacık Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi Kare Kuyu Tünel Olayı Basit Harmonik Salınıcı
İSTANBUL SABAHATTİN ZAİM ÜNİVERSİTESİ
İSTANBUL SABAHATTİN ZAİM ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ 203-204 GÜZ DÖNEMİ Diferansiyel Denklemler Ders Notları Yrd.Doç.Dr. Ahmet Altundağ İSTANBUL 2 İçindekiler BİRİNCİ MERTEBEDEN DİFERANSİYEL
MEB YÖK MESLEK YÜKSEKOKULLARI PROGRAM GELİŞTİRME PROJESİ. 1. Matematik ile ilgili temel kavramları açıklayabilme.
PROGRAMIN ADI DERSIN ADI DERSİN İŞLENECEĞİ YARIYIL HAFTALIK DERS SAATİ DERSİN SÜRESİ AMAÇLAR 1. Matematik ile ilgili temel kavramları açıklayabilme. MUHASEBE PROGRAMI MATEMATİK 1. Yıl I. Yarıyıl 3 (Teori:
1. ÇÖZÜM YOLU: (15) 8 = = 13 13:2 = :2 = :2 = 1.2+1
. ÇÖZÜM YOLU: (5) 8 =.8+5 = 3 3:2 = 6.2+ 6:2 = 3.2+0 3:2 =.2+ En son bölümden başlayarak kalanları sıralarız. (5) 8 = (0) 2 2. ÇÖZÜM YOLU: 8 sayı tabanında verilen sayının her basamağını, 2 sayı tabanında
DİFERENSİYEL DENKLEMLER. Doç. Dr. Mustafa KANDEMİR
DİFERENSİYEL DENKLEMLER Doç. Dr. Mustafa KANDEMİR Doç. Dr. Mustafa KANDEMİR DİFERENSİYEL DENKLEMLER ISBN: 978-605-318-31-1 Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarına aittir. 015, Pegem Akademi
1. GİRİŞ Örnek: Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre), zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak
DERS: MATEMATİK I MAT0(09) ÜNİTE: TÜREV ve UYGULAMALARI KONU: A. TÜREV. GİRİŞ Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin başlangıç noktasına göre konumu s (metre) zamanın t (saniye) bir fonksiyonu olarak
Birden Fazla RDnin Bileşik Olasılık Fonksiyonları
Birden Fazla RDnin Bileşik Olasılık Fonksiyonları Birden fazla x 1, x 2,..., x n gibi RDlerimiz olsun. Bunların bileşik olasılık fonksiyonları kesikli ve rastgele RDler için sırasıyla şu şekilde tanımlanır
FEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS
Bir Dönemde Okutulan Ders Saati MAT101 Genel I (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) 1 Kümeler, reel sayılar, bir denklem veya eşitsizliğin grafiği 2 Fonksiyonlar,
(m+2) +5<0. 7/m+3 + EŞİTSİZLİKLER A. TANIM
EŞİTSİZLİKLER A. TANIM f(x)>0, f(x) - eşitsizliğinin
6. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM. Yazan SAYIN SAN
6. HAFTA DERS NOTLARI İKTİSADİ MATEMATİK MİKRO EKONOMİK YAKLAŞIM Yazan SAYIN SAN SAN / İKTİSADİ MATEMATİK / 2 A.5. Doğrusal olmayan fonksiyonların eğimi Doğrusal fonksiyonlarda eğim her noktada sabittir
VEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ
1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.
Elektromanyetik Dalga Teorisi
Elektromanyetik Dalga Teorisi Ders-1 Diferansiyel Formda Maxwell Denklemleri İntegral Formda Maxwell Denklemleri Fazörlerin Kullanımı Zamanda Harmonik Alanlar Malzeme Ortamı Dalga Denklemleri Michael Faraday,
DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ
DENİZ HARP OKULU TEMEL BİLİMLER BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS DİFERANSİYEL DENKLEMLER FEB-211 2/ 1.YY 3+0+0 3 3 Dersin Dili Dersin Seviyesi
Ders Adı Ders Kodu T+U K AKTS Snf Program ATATÜRK İLKELERİ VE INKİLAP TARİHİ I AIIT Matematik ANALİTİK GEOMETRİ I MAT
Ders Adı Ders Kodu T+U K AKTS Snf Program ATATÜRK İLKELERİ VE INKİLAP TARİHİ I AIIT101 2+0 2 2 1 Matematik ANALİTİK GEOMETRİ I MAT101 3+0 3 5 1 Matematik ANALİTİK GEOMETRİ II MAT102 3+0 3 5 1 Matematik
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
TERMODİNAMİĞİN BİRİNCİ YASASI
İç Enerji Fonksiyonu ve C v Isınma Isısı Kimyasal tepkimelerin olmadığı kapalı sistemlerde kütle yanında molar miktar da sabit kalmaktadır. Madde miktarı n mol olan kapalı bir ideal gaz sistemi düşünelim.
UYGULAMALI MATEMATİK ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI
ÖABT UYGULAMALI MATEMATİK ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Yasin ŞAHİN ÖABT UYGULAMALI MATEMATİK ÇÖZÜMLÜ SORU BANKASI Her hakkı saklıdır. Bu kitabın tamamı ya da bir kısmı, yazarın izni olmaksızın, elektronik, mekanik,
İleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER
Yrd. Doç. Dr. A. Burak İNNER Kocaeli Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Yapay Zeka ve Benzetim Sistemleri Ar-Ge Lab. http://yapbenzet.kocaeli.edu.tr DOĞRUSAL OLMAYAN (NONLINEAR) DENKLEM SİSTEMLERİ Mühendisliğin
Şekilde görülen integralin hesaplanmasında, fonksiyonun her verilen bir noktası için kümülatif alan hesabı yapılır.
NÜMERİK İNTEGRASYON Şekilde görülen integralin hesaplanmasında, onksiyonun her verilen bir noktası için kümülati alan hesabı yapılır. Nümerik integrasyonda, integralin analitik değerine, çeşitli yöntemlerle
Kesirli Türevde Son Gelişmeler
Kesirli Türevde Son Gelişmeler Kübra DEĞERLİ Yrd.Doç.Dr. Işım Genç DEMİRİZ Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü 6-9 Eylül, 217 Kesirli Türevin Ortaya Çıkışı Gama ve Beta Fonksiyonları Bazı
KAHRAMANMARAŞ SÜTÇÜ İMAM ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM ÖĞRETİM YILI FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİRİNCİ VE İKİNCİ ÖĞRETİM DERSLERİ
I. YARIYIL Adı Teori Uygulama KSU MT101 Analiz I 6 4 2 5 7 MT107 Soyut Matematik I 4 4 0 4 5 MT109 Analitik Geometri I 4 4 0 4 5 FZ173 Fizik I 4 4 0 4 4 OZ101 Türk Dili I 2 2 0 2 2 OZ121 Ingilizce I 2