BÖLÜM XII BODE DİYAGRAMI

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "BÖLÜM XII BODE DİYAGRAMI"

Pembe Dağtekin
4 yıl önce
İzleme sayısı:

1 BÖLÜM XII BODE DİYAGRAMI Daha önceden de belirtiğimiz gibi bir devrenin davranışı analiz edilirken frekans cevabı çok önemli bir araçtır. Sinüzoidal kaynağın frekansının değişimi devre karakteristiğini doğrudan etkilediğinden, transfer fonksiyonunun değişen frekansa göre analiz edilmesi gerekmektedir. Bode diyagramı, devrenin frekans cevabı hakkında bilgi veren grafiksel bir tekniktir. Bu yöntem sayesinde, H ( jw ) nın frekansa göre genlik H( jw ) ve fazının ( w) değişimini inceleyebiliriz. Bode diyagramı çizilirken H () s in sıfır ve kutupları dikkate alınır.

2 2. Bode Diyagramı: Reel, Birinci Dereceden Kutuplar ve Sıfırlar Kolay bir başlangıç için H () s in bütün kutupları reel ve birinci dereceden olduğu düşünülecek olur ise; H() s s jw K( s z) s( s p ) H() s H( jw) K( jw z) jw( jw p ) Bode diyagramının çiziminde ilk adım H( jw ) ifadesini standart formda yazmaktır. Bu form, ifadede da sıfır ve kutuplar parantez dışına alınarak aşağıdaki gibi elde edilir. H( jw) Kz( jw z) p ( jw)( jw p ) 2

3 İkinci adımda ise Kz p i sabit olarak o ifadesini aşağıdaki gibi kutupsal formda yazıyoruz: H jw K ile temsil ediyoruz ve ardından H ( jw ) K jw z K jw z o o ( ) 90 w90 jw p w jw p H ( jw) H ( jw) ( w) olduğundan, H( jw) Ko w jw z jw p (0.) ( w) 90 (0.2), tan w z w tan. p Bode diyagramı; Denklem (0.) ve (0.2) nin; w nın fonksiyonu olarak çizilmesidir. 3

4 2.2 Düz Hat (Straight-line) Genlik Çizimi Normalde H () s in genlik çizimi, H () s in sıfır ve kutupları ile ilgili faktörlerin çarpılıp bölünmesi ile ilişkilidir. Biz burada logaritmik olarak, çarpma ve bölme yerine toplama ve çıkarma ile bu işi kolaylaştıracağız. H ( jw ) nın genliği (db) olarak; AdB 20log H( jw) 0 Bir önceki inci dereceden H( jw ) yı db olarak yazmak istersek; A db 20log 0 K o w jw z jw p 20log K 20log jwz 20log w20log j wp 0 o Burada her bir terimi ayrı ayrı çizip sonra bir grafikte birleştirmek Düz-Hat (Straight-Line) Bode diyagramıdır. i) Burada 20log0 K o yatay düz çizgidir. Çünkü 4 K o w ya bağlı bir fonksiyon değildir.

5 Eğer K 20log0 K o 0 K 0 K o 20log 0 K 0 K o 20log 0 ii) 20log0 jw z in çizimi iki düz çizgi ile mümkündür. w nın küçük değerleri için; 20log0 jw z 0, w 0 w nın büyük değerleri için; 20log0 jw z 20log 0( w z), w Logaritmik frekans ölçeğinde, 20log 0( wz ), 20 db/decade lik bir eğimle düz bir doğrudur ( Decade, frekansta 0: lik değişime denktir). Bu düz çizgi 0 db ekseni ile w z de kesişir. Bu w z frekansı, köşe frekansı olarak adlandırılır. Böylece inci dereceden sıfırın genlik çizimi aşağıdaki gibidir. 5

6 20log w z A db 20 db / Decade z Decade 0 z wrad ( / sn) iii) 20log0 w, -20 db/decade eğimli bir düz çizgidir. 0 db eksenini w de keser. -20log w A db wrad ( / sn) 6

7 iv) 20log j w p iki düz doğru ile temsil edilir. İki doğru w p de kesişir. Küçük w lar için; 20log jw p 0, w. Büyük w lar için; 20log jw p 20log( w p), w (-20 db/decade lik eğimle). Böylece inci dereceden bir kutbun genlik çizimi aşağıdaki gibidir. p 20log w p A db 20 db / Decade Decade 0 p wrad ( / sn) 7

8 Aşağıdaki şekilde A 20log H( jw) nın çizimi toplu olarak K 0, db z 0. rad / sn ve p 5 rad / sn değerleri için çizilmiştir. o 8

9 Örnek: H() s 4 0 ( ) s ( s0)( s00) a) Düz-çizgi Bode diyagramı çiziniz. b) w 50 rad / sn ve w 000 rad / sn de 20log 0 H( jw)? c) b şıkkındaki değerleri Bode üzerinde gösteriniz. Cevap: a) H( jw ) yı standart formda yazarak; H( jw) ( jw) 0 ( jw) 3 ( 0)( 00) 0 [ ( 0)][ ( 00)] jw jw j w j w 0( jw) [ jw ( 0)][ jw ( 00)] 9

10 A 20log H ( jw) db 0 w w 20log00 20log0 jw 20log0 j 20log0 j 0 00 A db w - 20log0 + j log0 + jw 20log0 0 20log 0 H ( jw) 9.96 w - 20log 0 +j 00 wrad ( / sn) b) 0( j50) H( j50) ( j5)( j0.5) 20log H ( jw) 20log dB 0 0 0

11 0( j000) H( j000) ( j00)( j0) 20log H ( jw) 20log dB 0 0 c) Yukarıdaki grafiğe bakınız.

12 2.3 Hasas (Daha Doğru) Genlik Çizmi Düz çizgi (straight-line) Bode çizimini inci dereceden sıfır ve kutuplarla köşe frekansı, köşe frekansının yarısı ve köşe frekansının 2 katında genlik değerlerini değerlendirerek daha doğru çizilebilir. i. Köşe frekansında gerçek değer AdB c 20log j 20log 2 3dB ii. Köşe frekansının yarısında; AdB c 20log j 20log 5 4 db 2 2 iii. Köşe frekansının 2 katında A 20log j2 20log 5 7dB db 2c 2

13 Bu değerde (+) değerler inci dereceden sıfırlar için (-) değerler inci dereceden kutuplar içindir. Sonuç olarak straight-line de w de ve w 2 de 0 db olan değer sırasıyla şimdi c 3dB ve db doğrultma olmuştur. 2w c de 6 db olan değerde şimdi doğrultma olmuştur. c db db 3dB db A db db -3dB c/2 c wrad ( / sn) 2c -db 2: değişiklik (frekansta) octave olarak adlandırılır 20 db / decade 6.02 db / octave 6 db / octave 3

14 Burada yapılan düzeltme, köşe frekansının octave üstü ve octave altına denk düşmektedir. 4

15 2.4 Düz-Çizgi (Straight-Line) Faz-Açı Çizimi Sabit K o için faz açısı sıfırdır. Orijindeki inci dereceden sıfır veya kutup için faz açısı sırasıyla 90 ve 90 dir. Köşe frekansının onda birinden ( w c 0 dan) küçük frekanslar için faz açısı 0 kabul edilir. Köşe frekansının 0 katından (0w c ) büyük frekanslar için, faz açısı 90 kabul edilir. (( ) sıfır, ( ) kutup) w c 0 ile 0w c arasındaki değerlerde faz-açı çizimi; w c 0 da 0, w c de 45 ve 0w c de 90 olacak şekilde düz çizgi ile belirlenir. Bütün bu işlemlerde (+) sıfırlar için (-) kutuplar içindir ( inci dereceden). inci dereceden bir sıfır ve bir kutbun faz-açı grafiği; 5

16 y = tan ( wz) - q( w) - b = tan ( w p ) - z 0 p 0 z 0. rad / sn, p 5 rad / sn için ( w) 90 tan wz, tan wp z p wrad ( / sn) 0z 0 p H( jw) Ko w jw z jw p için grafik aşağıdadır. (genlik çizimi yapılan transfer fonksiyonu.) 6

17 y = tan ( wz) - q( w) q( w) - b = tan ( w p ) - q( w) wrad ( / sn)

18 Örnek: H() s 4 0 ( s ) ün ( s0)( s00) a) Faz-açı çizimini (bode) yapınız. b) ( w) yı w 50,500,000 rad / sn de hesaplayınız ve Bode diyagramında Cevap: gösteriniz. a) H( jw) 0( jw) jw ( 0) jw ( 00) 0( jw) jw ( 0) jw ( 00) 2 2 tan w, tan ( w 0), tan ( w 00) 8

19 - y = tan w q( w) q( w) = y -b -b b =- - 2 tan ( w 00) b - = tan ( w 0) wrad ( / sn) b) H( j50) H( j500) H( j000) (50) 6.40 (500) (000)

20 Kaynak J. W. Nilsson and S. Riedel, Electric Circuits, Pearson Prentice Hall. 20

Benzer belgeler

Direnç(330Ω), bobin(1mh), sığa(100nf), fonksiyon generatör, multimetre, breadboard, osiloskop. Teorik Bilgi

DENEY 8: PASİF FİLTRELER Deneyin Amaçları Pasif filtre devrelerinin çalışma mantığını anlamak. Deney Malzemeleri Direnç(330Ω), bobin(1mh), sığa(100nf), fonksiyon generatör, multimetre, breadboard, osiloskop.