MALİYET MİNİMİZASYONU... 2

Transkript

1 MAİYET MİNİMİZASYONU EN DÜŞÜ MAIYETTE ÜRETIM GIRDI İAMESI EŞ MAIYET DOĞRUSU EN DÜŞÜ MAIYET TENIĞI l. Girdi Fiyatlarında Değişmeler MARJINA ÜRÜN VE MARJINA MAIYET Marjinal İkame Oranı ve Marjinal Ürün Marjinal Maliyet TENOOJI VE MAIYETE MATEMATISE YAAŞIM ÜRETIM FONSIYONU UZUN DÖNEMDE MAIYET MINIMIZASYONU ÜRETIM FATÖRÜNÜN İIDEN FAZA OMASI DURUMU AGRANGE YÖNREMI VE UZUN DÖNEM MAIYET MINIMIZASYONU FIRMA TERCIHERI FIRMA TERCIHERI Azalan Marjinal Verimlilik Örnek Ölçek Getirisi Marjinal İkame Oranı (MRS) İkame Esnekliği ( ) İktisatta Sık ullanılan Üretim Fonksiyonları MAIYET ãr ve Maliyet Örnek Homojenlik Örnek ısa Uzun Dönem Ayrımı Örnek Örnek

2 MAİYET MİNİMİZASYONU 1. En Düşük Maliyette Üretim 1.1. Girdi İkamesi Girdi ikamesi, emek ve sermayenin birbiri yerine kullanılabilmesidir. Sermaye için emeğin marjinal ikame oranı, çıktı sabitken birim emek artışının karşıladığı sermaye azalışının oranıdır. Azalan marjinal ikame oranı yasası, bir noktadan sonra üretimin aynı düzeyde kalabilmesi için ikame edilen girdinin azalana göre daha fazla artmasıdır. Eş ürün eğrileri vasıtasıyla marjinal ikame oranını gösterebiliriz. (Şekil l) Sermaye () Q 2 Q 1 Şekil 1. Eş Ürün Eğrileri Q 0 Emek () Eş ürün veri çıktı için emek ve sermayenin çeşitli bileşimlerini göstermektedir. Eğri üzerinde sol yukarıya ve sol aşağıya doğru gittikçe emek ve sermayeye bağlı olarak marjinal ikame oranları düşmektedir. Marjinal ikame oranı eş ürün eğrisinin eğimine eşittir. (Şekil 2) (Marjinal ikame oranı, marjinal teknik ikame oranı olarak da adlandırılmaktadır) 2

3 MRS=2 a b MRS=1 Eş Ürün Eğrisi Şekil 2. Marjinal İkame Oranı Q 2 =240 Q 1 = Şekil 3. Ölçeğe Göre Artan Getiri Eş ürün eğrileri vasıtasıyla, ölçek ekonomilerini de incelemek olanaklıdır. Şekil 3 de ölçeğe göre artan, Şekil 4 de ölçeğe göre sabit getiri durumunda eş ürün eğrilerinin aldığı şekiller görülmektedir. 3

4 32 16 Q 2 =200 Q 1 = Şekil 4. Ölçeğe Göre Sabit Getiri 1.2. Eş Maliyet Doğrusu a b c Eş Maliyet Doğrusu d e Şekil 5. Eş Maliyet Doğrusu Eş maliyet doğrusu, veri toplam maliyetle satın alınabilir, sermaye ve emek bileşimlerini gösterir. (Şekil 5) 4

5 P + P =TC dir. Buradan, = TC P ( P ) dir. P P = Emeğin fiyatı, P = Sermayenin Fiyatıdır. Aynı biçimde emek miktarı bulunabilir. Eş maliyet doğrusunun eğimi, girdilerin nispi fiyatına bağlıdır. Yani P P dır. Girdi fiyatlarına bağlı olarak eş maliyet doğrularının eğimi değişmektedir (Şekil 6). a) Emek Fiyatında Artış b) Sermaye Fiyatında Artış Şekil 6. Girdi Fiyatlarında Değişme ve Eş Maliyet Doğrusu Eş maliyet haritası, eş maliyet doğrularının bir serisidir. (Şekil 7) 5

6 TC 1 TC 2 TC 3 Şekil 7. Eş Maliyet Haritası Bunların her biri farklı toplam maliyetleri göstermektedir En Düşük Maliyet Tekniği En düşük maliyet tekniği, veri çıktıda üretimin toplam maliyetlerini minimize eden girdi bileşimidir. (Şekil 8) En Düşük Maliyet Tekniği b Eş Ürün Eğrisi Şekil 8. En Düşük Maliyetli Üretim Tekniği 6

7 Bu nokta, eş ürün eğrisi ve eş maliyet doğrusunun birbirine teğet olduğu noktada gerçekleşmektedir. b noktasında en düşük maliyet tekniği veya ekonomik olarak etkin teknik gerçekleşmektedir. b noktasında marjinal ikame oranı girdi fiyatları oranına eşittir. Marjinal ikame oranı (eş ürün eğrisinin eğiminin büyüklüğü) = nispi girdi fiyatı (eş maliyet doğrusunun eğimi) dir. 1.3.l. Girdi Fiyatlarında Değişmeler Girdi fiyatlarında değişmeler girdi ikamesine yol açmaktadır (Şekil 9). İkamenin büyüklüğü teknolojiye bağlıdır. Eğer girdiler yakın ikamede ise eş ürün eğrileri düz doğrular olacak ve ikame büyük olacaktır. Yakın ikamede değilse eş ürün eğrileri nispeten daha dar alana sıkışmış olacak ve küçük ikame için oldukça büyük fiyat değişmeleri gerekecektir. a) Ücretlerde Bir Artış b) Sermayenin Fiyatında Bir Artış Şekil 9. Girdi Fiyatlarında Değişme 1.4. Marjinal Ürün ve Marjinal Maliyet Önceki bölümde (Çıktı ve Maliyetler alt bölümü) marjinal ürün () arttığında, marjinal maliyetin (MC) düştüğünü, 'nin düştüğünde 7

8 ise MC 'nin arttığını görmüştük. Şimdi aynı soruna eş maliyet, eş ürün ve en düşük maliyet tekniği ile yaklaşmak istiyoruz Marjinal İkame Oranı ve Marjinal Ürün Sermaye yerine emeğin marjinal ikame oranı, emeğin marjinal ürünü / sermayenin marjinal ürünü oranına eşittir. MRS = Emeğin Marjinal Ürünü dür. Sermayenin Marjinal Ürünü Çıktıda değişme = + dir. Çıktıda değişme emek girdisinin marjinal ürünü emek girdi miktarında değişme + sermayenin marjinal ürünü sermaye girdi miktarındaki değişmedir. Aynı eş ürün eğrisi üzerinde kalmak istediğimize göre, çıktıdaki değişme sıfırdır. Böylece = olur veya = yazabiliriz. Böylece girdilerdeki değişmeyi görebiliriz. Buradan olur. = Marjinal İkame Oranı idi. 8

9 Buna göre aynı eş ürün eğrisinde kalmak üzere sermayede azalış, emekle artışla karşılanmaktadır. Özetle, MRS emek ve sermayenin marjinal ürünleri oranına eşittir Marjinal Maliyet Eş ürün eğrisinin eğimi dir. Eş maliyet doğrusunun eğimi P P w = dir. r P = Emeğin fiyatı (ücret oranı), P = Sermayenin fiyatı (faiz oranı)dır. En düşük maliyet tekniği gereği, eş ürün eğrisi ve eş maliyet doğrusunun birbirlerine teğet olduğu noktada; P = P dir. Buradan; = P P dir. Buna göre emeğe harcanan her T'nın marjinal ürünü, sermayeye harcanan her T'nın değerine eşit olduğunda, toplam maliyet minimize edilmektedir. < P P daha çok emek gerekecektir. ise, sermaye azaldığında, aynı çıktıyı elde etmek için, > P düşürmektedir. En düşük maliyet tekniği, ancak gerçekleşmektedir. P ise, daha çok sermaye, maliyeti = P P eşitliğinde 9

10 2. Teknoloji ve Maliyete Matematiksel Yaklaşım 2.1. Üretim Fonksiyonu Q = f(, )= 1/2 1/2 şeklinde Cobb Douglas üretim fonksiyonu olsun. P, marjinal fiziksel ürün (marjinal ürün) dür. P = f = 1/2 1/2 1/2 dir. P P P > 0 ise artan marjinal getiri, < 0 ise azalan marjinal getiri, = 0 ise sabit marjinal getiri vardır. 2 1/ 2 P 1/ 2 1/ MRTS = = 1/ 2 1/ 2 P 1/ 2 = dir. 2.2.Uzun Dönemde Maliyet Minimizasyonu Q = 1/2 1/2 olsun. w + r = Faktör harcamalarıdır. MRTS = r w, MRTS = dir. Buradan, 10

11 w =, r w = dir. r Q = 1/2 1/2 idi. Buradan, Q= 1/2 (w/r) 1/2 olur. çekilirse, = w 1/2 r 1/2 Q dır. Bu değer, maliyeti minimize eden emek miktarıdır. w = idi. Buradan maliyeti minimize eden sermaye miktarı, r = w 1/2 r 1/2 Q olur. Birleştirisek, C(Q)= w(w 1/2 r 1/2 Q) + r(w 1/2 r 1/2 Q) = 2w 1/2 r 1/2 Q dır. Bu eşitlik maliyeti minimize eden emek ve sermaye bileşimini vermektedir Üretim Faktörünün İkiden Fazla Olması Durumu E= Elektrik olsun. Q= f(,, E) dir. f P E =, E 11

12 P MRTS= P E dir agrange Yönremi ve Uzun Dönem Maliyet Minimizasyonu Toplam harcamalar = w + r + te, Q = f(,, E) = 1/3 1/3 E 1/3 olsun. V = w + r + te + (Q 1/3 1/3 E 1/3 ) dir. = agrange çarpanıdır. ısmi türevlerini alırsak, V V V E = w P = w 1/3 2/3 1/3 E 1/3 = 0, = r P = r 1/3 1/3 2/3 E 1/3 = 0, = t P E = t 1/3 1/3 1/3 E 2/3 = 0, V = Q f(,, E) = Q 1/3 1/3 E 1/3 = 0 dır. Buradan, = w 2/3 r 1/3 t 1/3 Q, = w 1/3 r 2/3 t 1/3 Q, E = w 1/3 r 1/3 t 2/3 Q ve = 3w 1/3 r 1/3 t 1/3 dir. Toplam maliyet, w + r + te= 3w 1/3 r 1/3 t 1/3 Q dır. 12

13 3. Firma Tercihleri 3.1. Firma Tercihleri Bir firmanın üretim fonksiyonunu Q=f(,); olarak sermaye () ve emekten () oluştuğunu varsayalım. Böylece, sermayenin marjinal fiziksel ürünü, Q f (1), ve emeğin marjinal fiziksel ürünü, Q f (2) olacaktır Azalan Marjinal Verimlilik Girdilerin marjinal fiziksel ürünlerindeki azalmayı matematiksel olarak göstermek için, (1) ve (2) nin türevlerini alırız. Buna göre, 2 Q 2 f 0 ve 2 Q 2 f 0 yazılır Örnek Q=f(,)= olduğunu varsayalım. Bu fonksiyona göre, toplam, marjinal ve ortalama emek verimliliğini bulalım. Bu durumda sermaye miktarını bilmemiz gerekmektedir. Sermayeyi 10 olarak kabul edersek, toplam verimlilik, Q=TP = (3) olacaktır. Emeğin marjinal verimliliği ise, Q = (4) bulunur. 13

14 Maksimum çıktı için, eşitlik (4) ü sıfıra eşitleriz. Böylece, maksimum çıktıyı sağlayacak olan emek sayısının 40 olduğu bulunacaktır. =40 ı üretim fonksiyonunda (3) de yerine koyarsak, Q= elde edilir. Emeğin ortalama verimliliğini, aşağıdaki gibi hesaplarız. TP AP bulunur. Maksimum ortalama verimlilik için, AP 0 dan hareketle, =30 bulunur. Bunu ortalama verimlilik fonksiyonunda yerine koyarsak, maksimum ortalama verimlilik olacaktır Ölçek Getirisi Ölçeğe göre sabit getiriyi matematiksel olarak aşağıdaki gibi gösterebiliriz: f(m,m)=mf(,)=mq (5) dir. Aynı şekilde, ölçeğe göre azalan getiride, f(m,m)<mf(,)=mq (6) olacaktır. Ölçeğe göre artan getiride ise, f(m,m)>mf(,)=mq (7) dir Marjinal İkame Oranı (MRS) Marjinal ikame oranı (Marjinal Teknik İkame Oranı), MRS d d Q Q 0 (8) dir. 14

15 Ayrıca, çıktıdaki değişimi, yazarsak, MRS yi daha farklı bir biçimde ifade ederiz. f dq d f d. d. d 0. d. d buradan, d d (9) olacaktır İkame Esnekliği ( ) İkame esnekliği ( ), d / dmrs MRS / (10) dur. MRS teknik ikame oranıdır İktisatta Sık ullanılan Üretim Fonksiyonları a) Doğrusal (lineer) Fonksiyonlar ( = ) Q=f(,)=a+b b) Sabit Fonksiyonlar, ( =0) Q=min (a, b) a, b > 0, c) Cobb Douglas Tipi ( =1) Q=f(,)=A a b a, b, A > 0 (sabit) 15

16 olur. a b ab a b ab f ( m, m) A( m) ( m) Am m f (, ) (11) a + b = 1 sabit getirili ölçek a + b > 1 artan getirili ölçek a + b < 1 azalan getirli ölçek olacaktır Maliyet ãr ve Maliyet Matematiksel olarak, kãrı gösterirsek, ãr = Toplam Hasılat Toplam Maliyet = PQ w v (12) olacaktır. = Pf(,) w v Burada, w emek için, v ise sermaye için ödenen ücrettir. Maliyet minimizasyonu olarak agrange çarpan yöntemini kullanırsak, V=w + v + Q0 f (, ) (13) olur. V w f 0 (14) V v f 0 (15) V Q 0 f (, ) 0 (16) Eşitlik (14) ve (15) den hareketle, 16

17 w v f / f / MRS ( için ) (17) bulunur Örnek Saat başı hamburger üretimi (Q) ızgara sayısına () ve işçiye () bağlıdır. Cobb Douglas tipi üretim fonksiyonumuzun olduğunu 12 varsayalım. Q10 / 12 / 10 dır. Izgaralar saat başına v kadar kiralanıyorsa ve işçilere saat başına w kadar ücret ödeniyorsa, toplam maliyet TC=v+w olacaktır. Varsayalım ki, saat başı 40 hamburger için, maliyet minimizasyonu yaparsak, agrange fonksiyonu, 12 / 12 / V=v+w+ ( 4010 ) olur. Minimum için, birinci dereceden koşullar, V w 5 12 ( / ) / 0 (18) V v 5 12 ( / ) / 0 (19) V / 12 / 0 (20) dir. (18) i (19) a bölersek, v (21) bulunur. w Varsayalım ki, w=v==4 birim olsun. Böylece, =4 bulunacaktır. Bu değerleri toplam maliyet fonksiyonunda yerine koyarsak, TC=40 olur. 17

18 Homojenlik TC=v + w TC =tv + tw=t(v + w)=ttc ise, böylece, ttc=tc (22) olacaktır Örnek Hamburger örneğine geri döndüğümüzde, v 12 den hareket ederek, Q10 12 w gereken işlemleri yaparsak, çıktıyı önce sermayeye () bölersek, 12 / 12 / Q v w (23) den, Q w v / 12 / (24) olup, v Q 12 / 12 / w v 10 (25) olacaktır. Aynı işlemleri, emekle yaptığımızda, w Q 12 / 12 / w v 10 (26) bulunur. (25) ve (26) daki ifadeleri, toplam maliyet fonksiyonunda, TC=v + w de yerine koyarsak, TC Q 12 w / 12 v / 5 (27) yazılır. 18

19 Eğer, w=v=4 birim ise, 4 TC Q 08. Q (28) bulunur. 5 Saat başı 40 hamburger üretmenin maliyeti, Q yu eşitlik (28) de yerine koyarsak, TC=32 çıkacaktır. Ölçek göre sabit getiri olduğundan, AC=0.8 ve MC=0.8 olur ısa Uzun Dönem Ayrımı Bildiğimiz gibi, kısa dönemde sermayeyi ( 1 ) değiştiremediğimizden, sabit kabul ederiz. Böylece, üretim fonksiyonumuz, Q f ( 1, ) (29) olacaktır. ısa dönem toplam maliyet (SRTC) ise, SRTC=v 1 + w (30) olur. ısa dönem sabit maliyet (SRFC) ise, SRFC( 1 )=v 1 (31) bulunur. ısa dönem değişken maliyet (SRVC) ise, SRVC=w (32) olacaktır. Bir başka şekilde, kısa dönem toplam maliyet fonkisyonunu yazarsak, SRTC=SRFC( 1 ) + SRVC (33) olur. ısa dönem ortalama toplam maliyet ise, 19

20 SRATC SRTC ( 1) Q (34) bulunur. ısa dönem marjinal maliyet ise, SRMC SRTC ( 1) Q (35) olacaktır Örnek Hamburger örneğimizden hareket edersek, kısa dönem üretim fonksiyonu, 12 / 12 / Q Q (36) olacaktır. Buradan, (37) bulunur. (37) yi kısa dönem toplam maliyet fonksiyonunda yerine koyarsak, SRTC=v 1 + w= v 1 2 Q (38) olur. 100 Sermayenin yani 4 ızgaranın olduğunu kabul edersek, 1 SRTC4v wq (39) olacaktır. Ödenen ücretler de v=w=4 birim ise uzun dönem toplam maliyet fonksiyonu, TC4 Q (40) bulunur. 20

21 Örnek Bir lahmacun dükkanının kısa dönem toplam maliyet fonksiyonu, SRTC4v wq olsun. ısa dönem marjinal maliyet fonksiyonu ise, SRMC SRTC ( 1) Q 2 wq 400 olur. Tam rekabette, fiyat marjinal maliyete eşit olacağından, P=SRMC= 2 wq 400 (41) olacaktır. Q için, (41) i çözersek, P Q 200 (42) bulunur. w Emeğe ödenen ücret 4 birim kabul edilirse, Q=50P (43) olur. Bu semtte 100 tane lahmacuncu varsa, tam rekabet olduğundan, her firma için, Q 50 P i=(1,.,100) olacaktır. i Böylece, piyasa arz fonksiyonu, Q Q 100 *(50 P) 5000P (44) bulunur. s 100 i 1 i 21

22 Bir saatte piyasanın lahmacun talebi, Q D = P (45) olsun. Denge fiyatını bulmak için, Q D =Q S olması gerekmektedir. Böylece, P = 5000P yazılır. Buradan, P=1 ve Q D =Q S =5000 olur. Eğer, emeğin ücreti bir birim artarak, 5 birim olursa (42) ve (44) arasındaki işlemler sayesinde, Q S = 4000P (46) elde edilir. Piyasa talebiyle, arzını eşitlediğimizde, P=1,11 ve Q D = Q S = 4000 bulunur. 22