MAK585 Dinamik Sistemlerin Modellenmesi ve Simülasyonu

Transkript

1 MAK585 Dinamik Sistemlerin Modellenmesi ve Simülasyonu 016-Güz Dönemi Gebze Teknik Üniversitesi Makine Mühendisliği Bölümü Prof.Dr. Selim Sivrioğlu

2 Bilye-çubuk problemi DC motor Yaklaşım sensörü Yaklaşım sensörü Çubuk Lisans düzeyinde bir çok üniversite laboratuarında bulunan bilye-çubuk deney düzeneği modelleme açısından oldukça ilginç bir problemdir. Bu düzenek iki değişik konfigürayon olarak bulunmaktadır. Elde edilen model kabullere bağlı olarak son derece nonlineer bir yapıda elde edilmektedir.

3 Bilye-çubuk problemi

4 Bilye-çubuk problemi Çubuğun bir ucundan kontrol edildiği model. J R m r mg sin mr 0 d L

5 Bilye-çubuk problemi-yaklaşım I Bilye çapının hesaba katılması durumunda ve çubuk kalınlığının ihmal edildiği durumda modellemenin yapılması. Bilye merkezinin koordinatları: p( t) cos r sin o y p( t) sin r cos o pt () r p cos p sin r cos o y p sin p cos r sin o J () t y y o pt () mg Jb o. r m pt ( ) bilyenin kütle merkezinin anlık pozisyonu o pt ( ) cos pt ( ) sin U mgp( t) sin mgr cos T m( y ) J J o o b ball beam Hareket denklemlerinin elde edilmesi oldukça zahmetli bir yapıda L T U m( o yo ) Jb J mgp( t) sin mgr cos

6 Bilye-çubuk problemi-yaklaşım II Bilyenin çapının küçük olduğu kabulu ile ve bilye kütle merkezinin M noktasında toplandığını kabul edelim. Bilyenin kütle merkezinin konum vektörü: J T y O p () t M m r (, y ) ( p cos, p sin ) M M Buradan hız vektörü: (hem p hem de değişken) v (, y ) ( p cos p sin, p sin p cos ) M M

7 Ball and beam problemi Kinetik enerji denklemi Toplam kinetik enerji öteleme ve yuvarlanma hareketlerine bağlı olarak oluşur. 1 1 T JT m( M ym ) çubuk bilye 1 1 JT m ( p cos p sin ) ( p sin p cos ) 1 1 J m p pp p p T ( cos cos sin sin sin pp cos sin p cos ) 1 1 JT m( p (cos sin ) p (cos sin )) 1 1 JT m( p p )

8 Ball and beam problemi Potansiyel enerji: U mgp sin L T U 1 1 ( JT m p p ) mgp sin d L L Qi dt qi qi q 1 p d L L 0 dt p p L d L mp p dt p L mp mg sin p mp d L L 0 dt p p mp mp mg sin 0

9 Ball and beam problemi 1 1 ( T ) sin L J m p p mgp q, Q d L L dt L JT mp d L JT mp mpp dt L mgp cos d L L dt JT mp mpp mg p cos

10 Ball and beam problemi Lineer modelin elde edilmesi sin 0 mp mp mg ( JT mp ) mpp mgp cos sin cos 1 0 ( T ) p 0 mp mg 0 J J mp J T mgp T Durum uzayı denklemi p g mg p J T 1 J T p p 0 0 g 0 0 p d p dt mg J T J T p p y

11 Ball and beam problemi Imaginary Ais (seconds -1 ) 3 Pole-Zero Map JT=0.06; m=0.037; g=9.81; 1 A=[ g (m*g)/jt 0 0 0]; eig(a) B=[0;0;0;1/JT]; C=[ ]; D=0; pzmap(a,b,c,d) Real Ais (seconds -1 ) Açık çevrim kararsız sistem Kararsız sistemler kontrol edilmeden simüle edilemez yani zaman cevabı sonsuza gider. 11

12 Ball and beam problemi Q=eye(4); R=0.1; K=lqr(A,B,Q,R) figure() Acl=A-B*K; eig(acl) pzmap(acl,b,c,d) Model esaslı kontrol tasarımının en basit yapısı LQR metodudur. Burada durum uzayını oluşturan tüm durum değişkenlerinin ölçüldüğü kabul edilerek durum değişkeni geri besleme kontrol kazancı (state feedback gain) hesaplanmaktadır. r 0 K u A Bu u K A Bu A BK ( A BK) 1

13 Ball and beam problemi Imaginary Ais (seconds -1 ) Kapalı çevrim durumunda yani kontrol uygulandığında açık çevrim kararsız olan sistem kararlı hale gelmektedir..5 Pole-Zero Map K =[ ] ans = i i Real Ais (seconds -1 ) 13

14 Ball and beam problemi Lineer model esaslı simülasyon p g mg p J T 1 J T 14

15 Ball and beam problemi Nonlineer model esaslı simülasyon p p g sin m mg 1 pp p cos ( JT mp ) ( JT mp ) ( JT mp ) 15

16 Ball and beam problemi p ( m ) ( N.m ) Inial value of theta th0=5*pi/ Lineer model Nonlineer model Lineer model Nonlineer model Zaman ( s ) Zaman ( s ) 16

17 p ( m ) ( N.m ) Ball and beam problemi Inial value of theta th0=30*pi/180 figure(1) plot(pl(:,1),pl(:,),pn(:,1),pn(:,),'r--') ais([ ]) label('zaman ( s )'); ylabel('p ( m )'); legend('lineer model','nonlineer model') figure() plot(torkl(:,1),torkl(:,),torkn(:,1),torkn(:,),'r--') label('zaman ( s )'); ylabel('\tau ( N.m )'); legend('lineer model','nonlineer model') Lineer model Nonlineer model 0 Lineer model Nonlineer model Zaman ( s ) Zaman ( s ) 17

18 Ball and beam problemi Pivot noktasının yani döndürme torkunun uygulandığı yerin bilyenin üzerinde hareket ettiği çubuk ile arasında mesafe olması durumu. Ayrıca bilye çubuk üzerindeki kanal içinde hareket ettiği varsayılıyor. Modelleme son derece karmaşık ve sistem dinamiği son derece nonlineer karakterde olmaktadır. The ball and beam system is a classic dynamic system used to illustrate control. It is inherently non-linear and unstable, and despite its simple nature, the cascaded dynamics of the system (with 3/4 integrators and an interconnection between rotational and translation subsystems) and are very similar to planar control of rockets. The University of Adelaide Mechanical Engineering Robotic Group

19 Underactuated sistemler y y pt () mg sin J b o. r m y l m z J () t () t mg f M Pivot Cart p( t) ve ( t) y( t) ve ( t) Her iki sistemde de hareketi tanımlayan iki bağımsız değişken olmasına karşın bir tek aktüatör ile kontrolun sağlanması durumu söz konusudur. Bu tip sistemlere underactuated sistem denmektedir.

20 Bisiklet dinamiğinin modellenmesi Bisiklet, ön çatal kısminin tasarımı ile oluşturulan geri besleme mekanizmasından dolayı var olan özellikleri nedeniyle ilginç bir dinamik sistemdir. Bir çok serbestlik derecesine sahip olmasından ve geometrisinin karmaşık olmasından dolayı bisikletin ayrıntılı modeli oldukça karmaşıktır. Basit modeller üzerinden bisiklet dinamiğinin yapısı anlaşılabilir. F. J. W. Whipple. The stability of the motion of a bicycle. Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, 30:31 348, K. J. Åström, R. E. Klein, and A. Lennartsson. Bicycle dynamics and control. IEEE Control Systems Magazine, 5(4):6 47, 005.

21 Bisiklet dinamiğinin modellenmesi Sürücünün, tekerleklerin, ön çatal grubunun ve arka çerçevenin tek bir rijit gövde gibi ele alındığı şekilde gösterilen düzlemsel bisiklet modelini düşünelim. Şekilde gösterildigi gibi toplam kütle mve kütle merkezinin yeri ( G) dir. Bisikletin ilerleme hızı v nin sabit oldugunu düşünelim. Küçük açısı bisikletin dik poziyonundan bozulma açısıdır. mg ağırlığı bu açıyı arttırmaya çalışırken sürücü direksiyonu küçük açısı kadar döndürür dolayısı ile bisiklet anlık yarıçapı r ve anlık dönme merkezi O olan bir daire etrafinda hareket eder. Bu çembersel hareket arka tekerlek temas nokasından geçen düşey eksen etrafındaki açısı ile temsil edilir. Bu yüzden düzleme dik doğrultudaki G nin ivmesi z Arka tekerlek temas noktası J J ma h z c merkezcil kuvvet Ön tekerlek temas noktası y

22 Bisiklet dinamiğinin modellenmesi v r m h bh h mgh v burada ac merkezcil ivmeyi r ve b arka tekerlek temas noktasından geçen düşey eksenden kütle merkezi G ye olan uzaklıktır. mg ağırlığın küçük açıları için dik bileşenidir. y h z G mg mg mg J J mh : eksenine göre kütlesel atalet momenti J J z z mbh : z düzlemine göre atalet momenti

23 Dönme için tanımlanan anlık merkez O kabulünden: cos v sin v r r a r r a Bisiklet dinamiğinin modellenmesi + v r y O 1 a Bu denklemsel ilişkiler düzenlenebilir: v v (v bit) v sa a r a r a a r a v küçük açılar için: cos 1 sin

24 Bisiklet dinamiğinin modellenmesi Direksiyon açısı ( t) giriş ve (t) açısı çıkış olacak şekilde denklem düzenlenebilir: v m h b mg r v b v g h b g 0 0 r h hr h g b v g bv v h h hr h ha ah

25 Bisiklet dinamiğinin modellenmesi g bv v h ha ah devrilme açısı dinamiği direksiyon açısı değişimi Transfer fonksiyonu elde edilirse: g bv v ( ) ( ) ( ) ( ) h ah ah s s s sa s A s g bv v s ( s) s A( s) h ah ah ( s) bv v 1 s A() s ah ah g s h P () s bv v s ah b g s h

26 Bisiklet dinamiğinin modellenmesi Transfer fonksiyonu kök ve sıfır noktaları elde edilirse: bv v s ah b P ( s) g s h Kökler : s g g 0 s1, h h Sıfırlar : bv v v s 0 s ah b b Kökler kök düzleminde imajiner eksen üzerinde yer aldığından bisiklet üzerinde salınımlı bir hareketi gösterir.

27 Bisiklet dinamiğinin modellenmesi g bv v 0 h ah ah Basit geri besleme kontrol k a Köklerin imajiner ekseni üzerinde olması kontrol gerektirmektedir. Bu kontrol sürücü tarafından direksiyon açısını değiştirerek yapılmaktadır. kabul edelim. Burada k 0 ve aynı zamanda a k a olsun. Kapalı çevrim sistemi: bv v g ka ka ah ah h 0 v k ah k a a ag v g h sıfır olmaması için olmalıdır.

28 Bisiklet dinamiğinin modellenmesi g=9.81; v=5000/3600; th0=3*pi/180; h=0.9; b=0.65; a=1.30; km=(b*v)/(a*h); k1=v/b; k=g/h; nm=-km*[1 k1]; dm=[1 0 k]; [as,bs,cs,ds]=tfss(nm,dm) eig(as) figure(1) pzmap(nm,dm) kaa=(a*g)/v^ ka=10; Imaginary Ais (seconds -1 ) Açık çevrim kökleri Pole-Zero Map Real Ais (seconds -1 )

29 Bisiklet dinamiğinin modellenmesi k 10 a

30 Bisiklet dinamiğinin modellenmesi Başlangıç değeri: th0=3*pi/180 30

31 Bisiklet dinamiğinin modellenmesi ka 0 31

32 Bisiklet dinamiğinin modellenmesi Tam dereceli model ile bisiklet simülatörü oluşturulabilmektedir. 3

33 Frekans cevabı analizi ( t) A sin( t ) f ( t) A sint 1 Bir sistemin frekans cevabı analizi o sisteme giren değişken frekanslı bir sinüzoidal giriş etkisinde sistemin sürekli rejim cevabı üzerinde genlik ve faz ilişkisini ortaya çıkarır. M

34 Frekans cevabı analizi Lineer sistemlerde sinüzoidal bir girişe sistemin cevabı aynı frekansta fakat farklı bir genlik ve faz farkı olarak ortaya çıkar. Kontrol sistemlerinin analizinde frekansın artması ile genlik ve faz değişimi davranışına bakılır. f () t j t Ae 1 () t A e j( t ) Faz açısı A A A 1 G 1 A G

35 Bode diyagramı Bode diyagramı frekans cevabı diyagramının logaritmik versiyonudur. G( j) 0log G( j) db ( desibel ) 10

36 Bode diyagramı ) ( n n n s s s G 1 ( ) 1 n n G j j 1/ Gain 0 log ( ) 0 log 1 n n G j 1 1 tan n n n

37 Imaginary Ais Bode diyagramı wn=1; %dogal frekans ksi=[ ]; % sonum katsayisi Pole-Zero Map for j=1:5; num=[0 0 wn*wn]; den=[1 *ksi(j)*wn wn*wn]; w = logspace(-1,1,00); [ mag,phs ] = bode(num,den,w); mag = 0*log10(mag); figure(1) subplot(11),semilog(w,mag);grid; hold on; label('frequency [Hz]'); ylabel('gain [db]'); title('frequency Response '); subplot(1),semilog(w,phs);grid; hold on; label('frequency [Hz]'); ylabel('phase [deg]') Real Ais figure() pzmap(num,den) hold on ais([- 1 - ]) grid; end;

38 Bode diyagramı analizi p Maksimum değer b Band genişliği c Köşe frekansı Maksimum kazancın olduğu frekans değeri sisteme ait bir karakteristik olan doğal frekans değeridir. Kazancın 0 db den aşağıya saptığı frekans değeri köşe frekansıdır. Sistemin -3 db kadar olan cevabına o sisteme ait band genişliği denir. Faz eğrisi değişik frekanslarda kazanç değerine bakarak değerlendirilir. Esas olarak köşe frekansından itibaren cevaptaki gecikme belirgin olarak görülebilir.

39 Frekans cevabı Şekildeki şematik bina modelinde zemin hareketinden dolayı yatay doğrultuda titreşim hareketi olmaktadır. Bina içindeki kolonların elastiklik ve sönüm etkisi oluşturduğu kabul edilmektedir. Binanın aktif olarak kontrol edildiği ve kontrol girişinin u olduğu bir yapı düşünülmektedir. Bina sisteminin hareket denklemini elde ediniz. Parametreler: m k c ~ m :1.5 kg 1 4 ~ k : 600 N/m 1 4 ~ c : 0.1 Ns/m 1 4

40 Frekans cevabı MX CX KX Fu Hz M m m m m4 C c1 c c 0 0 c c c3 c3 0 0 c c c c 0 0 c4 c F H m1 m m3 m4 X K k1 k k 0 0 k k k3 k3 0 0 k k k k 0 0 k4 k

41 Frekans cevabı Gain db -0 Frequency response of the system -40 A Bu y C 0 I 0 A, B M K M C M F C Cy 0, C y Frequency Hz Yapısal sistemlerde frekans cevabı sistemin titreşim modlarının bulunduğu frekansları göstermektedir.

42 Gain db 1. mod. mod Mod şekilleri ve frekans cevabı -0 Frequency response of the system Frequency Hz 4

43 Frekans cevabı m1=1.5; m=1.5; m3=1.5; m4=1.5; k1=600; k=600; k3=600; k4=600; c1=0.1; c=0.1;c3=0.1; c4=0.1; M=[m ; 0 m m m4]; K=[k1+k -k 0 0; -k k+k3 -k k3 k3+k4 -k k4 k4]; C=[c1+c -c 0 0; -c c+c3 -c c3 c3+c4 -c c4 c4]; F=[0; 0; 0; 1]; H=[m1;m;m3;m4]; inm=inv(m); A=[zeros(4,4) eye(4); -inm*k -inm*c]; B=[0; 0; 0; 0; inm*f]; % mass 4 position Cy=[ ]; C=[Cy zeros(1,4)]; D=zeros(1,1); P=[A B;C D]; w=logspace(-1,3,500); f=w/pi/; mag=bode(a,b,c,d,1,w); figure(1) magdb=0*log10(mag); set(gca,'fontsize',1) semilog(f,magdb,'r-') ais([10^(-1),10^,-140,-0]); label('frequency Hz') ylabel('gain db') title('frequency response of the system')

44 linmod komutu ile durum uzayının elde edilmesi ve frekans cevabı linmod komutu ile diyagram içinde durum uzayı formatında olmayan sistemin state space formunda lineer modelini oluşturmak mümkündür. State space formu lineer giriş çıkış ilişkisini verir: A Bu y C Du [A,B,C,D] = linmod( dosyaismi')

45 Frekans cevabının Simulink dosyasından ile elde edilmesi Frekans cevabı sadece lineer sistemlerde elde edilebilir. Bazen nonlineer sistemlerin lineerleştirilmiş modelleri için linmod ile durum uzayları elde edilebilir. linmod komutu ile nonlineer simülasyon modelinin frekans cevabı elde edilebilir. Esas olarak nonlineer terimler ihmal edilmektedir. sin u Nonlineer model: 1 1 sin u 1 Lineer model: sin u sin u y u 1 1 y 1 1 0

46 Frekans cevabının Simulink dosyasından ile elde edilmesi Gain [ db ] Robot kolun frekans cevabi Nonlineer Model Lineer Model Frequency [ Hz ]

47 Frekans cevabının Simulink dosyasından ile elde edilmesi %robotfreq.m w = logspace(-1,3,300); % 0.1-1k(Hz) A=[ ]; B=[0 1]; C=[1 0]; D=0; figure(1) [mag, phs]=bode(a,b,c,d,1,w.**pi);%lineer model mag0 = 0*log10(mag); semilog(w,mag0); ais([10^(-1),10^,-100,10]); ylabel('gain [ db ]'),label('frequency [ Hz ]'); [A,B,C,D] = linmod('robotlinmod'); [magcl,phacl]=bode(a,b,c,d,1,w.**pi); figure(); mag1=0*log10(magcl(:,1)); semilog(w,mag1, w,mag0,'r--'); title('robot kolun frekans cevabi '); ais([10^(-1),10^,-100,10]); legend('nonlineer Model','Lineer Model') ylabel('gain [ db ]'),label('frequency [ Hz ]');

48 Frekans cevabı cs ks ca ka 1 s s s a a u z m m m m m s s s s s cs k s 1 1 a caa kaa s s u ma ms ma ms ms ms ma ms y a y s a k a c a u m a a a s s z s k s m s c s d dt a a 1 1 k 0 s cs ka c a a m a ma ms 0 a ms ma ms ms m s u z s s 0 0 s k s 1 1 a ca ks c s m m s ms ms m s s

49 Frekans cevabı Matlab de durum uzayı denkleminin standard modeli A Bu y C Du Eğer sistemde gürültü girişleri varsa A Bu B w y C Du w Bu durumda giriş matrisi genişletilerek standard Matlab komutlarında kullanılabilir. 49

50 Frekans cevabı A B u B z s s w y C D u s s A B B s s w y C D u s s B u z u İvmelenme girişi z den y ölçülen çıkışsa frekans cevabı elde edilmek istendiğinde: [mag, phase,w]=bode(as,bw,cs,0,1,w); [mag, phase,w]=bode(as,[bs Bw], Cs, [0 0],,w); [mag, phase,w]=bode(as,[bs Bw], Cs, [zeros(size(bs,)),zeros(size(bw,))],,w); Kontrol girişi u dan ölçülen çıkışa frekans cevabı elde edilmek istendiğinde: [mag, phase,w]=bode(as,bs,cs,0,1,w); [mag, phase,w]=bode(as,[bs Bw], Cs, [0 0], 1,w);

51 Frekans cevabı m s kutlesinin yerdeğiştirmesi ölçülüyorsa: a a y Cs s s s m s kütlesinin ivmesi ölçülüyorsa cs ks ca ka 1 s s s a a u m m m m m s s s s s s a ka ca ks c s a 1 m s ms ms ms s ms y y C D u sa sa s u [maga, phasea,w]=bode(as,bw,csa,dsa,1,w); %kutlenin ivmesi cikis [maga, phasea,w]=bode(as,[bs Bw], Csa, [0 Dsa],,w);%kutlenin ivmesi cikis

52 Frekans cevabı Gain [db] Gain [db] m kutlesi yerdegistirme frekans cevabi %aktifkutledamp.m ms=13000; ma=3000; ks= ; cs=5484; ka=6759; ca=5.169; minv=(1/ma+1/ms); As=[ minv*ka -minv*ca ks/ms cs/ms ka/ms ca/ms -ks/ms -cs/ms]; Bs=[0; minv;0 ;-1/ms]; Cs=[ ]; % ms kutlesinin yerdegistirmesi Bw=[ 0; 0 ; 0 ; -1]; Csa=[ ]*As; % ivme y=csa + Dsa u Dsa=[ ]*Bs; % ivme Frequency [Hz] m kutlesini ivme frekans cevabi Frequency [Hz] freq=logspace(0,1,00); w=*pi*freq; [mag, phase,w]=bode(as,bw,cs,0,1,w); %[mag, phase,w]=bode(as,[bs Bw], Cs, [0 0],,w); [mag, phase,w]=bode(as,[bs Bw], Cs, [zeros(size(bs,)),zeros(size(bw,))],,w); mag = 0*log10(mag); figure(1) semilog(w//pi, mag); label('frequency [Hz]'); ylabel('gain [db]'); title('m kutlesi yerdegistirme frekans cevabi '); [maga, phasea,w]=bode(as,bw,csa,dsa,1,w); %kutlenin ivmesi cikis [maga, phasea,w]=bode(as,[bs Bw], Csa, [0 Dsa],,w);%kutlenin ivmesi cikis maga = 0*log10(maga); figure() semilog(w//pi, maga); label('frequency [Hz]'); ylabel('gain [db]'); title('m kutlesini ivme frekans cevabi ');