3. KUYRUK TEORİSİNE GİRİŞ ve Ulaşım Mühendisliğinde Uygulamaları

Transkript

1 3. KUYRUK TEORİSİNE GİRİŞ ve Ulaşım Mühendisliğinde Uygulamaları Kuyruk (bekleme hattı- bekleme sırası - bekleme kuyruğu) teorisi, bekleme hattının matematiksel modellerini oluşturarak kuyruk uzunluğu, bekleme süresi,servis süresi, vb. hususların tespit edilmesiyle ilgilenir. Trafik mühendisliğinde özellikle kesintili trafik akım problemlerinin çözümünde kuyruk teorisinin prensiplerinden yararlanılır. Kesintili trafik akımlarında kuyrukların modellenmesindeki amaç Gecikmelerin Kuyruk uzunluğunun tahmin edilmesidir. Bu hususların tahmini ve/veya tespiti, trafik mühendisliği yapılarının tasarımı (dönüş Şeritlerinin uzunluğu, kavşaklarda şerit sayısı, gişe sayısı, havaalanlarında ve terminallerde kapı ve banko sayısı, vb.) ve kavşaklarda trafik sinyalizasyon zamanlaması, vb. için gereklidir. Kuyruk modellerinin tümü aşağıdaki kavramlara ait bir takım kabuller ve tespitler ile yapılır. Bunlar Varış paternleri Ayrılış karakteristikleri Kuyruk disiplini Örnek olarak, bir müşteri bankaya girdiğinde işlemleri yapan memurlardan birinin önünde sıraya (kuyruğa) girerek bekleme hattını (sıradaki kişi sayısını) oluşturur ve sırasının gelmesini bekler. İşlem sırası kendisine geldiğinde işlemlerini yaptırır ve bankayı terkeder. Bu işlem sırasında Kuyruk uzunluğu (kuyruktaki kişi sayısı) ve bekleme süresi İşlem süresi olmak üzere toplam bir bekleme süresi ve bir kuyruk uzunluğu oluşur. Ayrıca bankaya gelen müşteriler (varış), zaman olarak farklı veya eşit aralıklarla gelebilir (Varış Paterni) her müşterinin işlem süresi (Servis Süresi) birbirinden farklı (Ayrılış Karakteristiği) olabilir ve hizmet şekli ise ilk gelene ilk hizmet veya rastgele veya son gelene ilk hizmet şeklinde (Kuyruk Disiplini) olabilir. Eğer bu değişkenler tespit ve/veya tahmin edilebilirse veya varsayılırsa bu bankadaki kuyruk uzunluğu, bekleme süresi ve hizmet süresi tespit edilebilir. Eğer bu banka için kaç adet memur (bekleme hattı) olması gerektiği bilinmek istenirse kuyruk teorisi ile saptanabilir. Ortalama araç varış hızı (λ) veya ortalama akım miktarı verilmiş ise ard arda gelen araçların aralarındaki süre iki farklı olasılık dağılımında olabileceği gözönüne alınır. Bunlar Eşit zaman aralıklarında (Uniform veya belirli varış aralıklarında olacağı kabulüne dayanarak) Rassal (Eksponsiyonel dağılımlı) zaman aralıklarında (Poisson veya Erlang olası dağılımında varış aralıklarında olacağı kabulüne dayanarak ) Araçların varış kabulüne ilaveten aynı zamanda araçların ayrılış (kalkış) karakteristiklerinin de belirlenmesi gerekir. Zira bir aracın bekleme ve kalkış sırasında zaman kayıpları mevcuttur. Ortalama araç ayrılış hızı (μ), varış hızında olduğu gibi eşit zaman aralıklı (veya belirli) veya rassal dağılımlı zaman aralıklı olması mümkündür. Trafik amaçlı kuyruklarda ilk kuyruk disiplini en realize olanıdır. Kuyruk rejimi aşağıdaki notasyonla belirlenir Burada; M: Rassal dağılıma sahip varış veya ayrılış zaman aralığında (bağımsız ve belirli bir dağılımda) D: Belirli veya uniform dağılıma sahip varış veya ayrılış zaman aralığında 1. D/D/1 Kuyruk Problemlerinin Çözümü D/D/1 Kuyruk rejimi ile ulaşım ve trafik mühendisliğine ait bir takım problemler çözümlenebilmektedir. Bu problemler genellikle kesintili akımlar ile ilgilidir. Yani akım bir nedenden ötürü kesintiye uğradığı takdirde trafik akımının durmasına neden olup durma veya gecikme süresi yani kuyrukta bekleme süresi ile kuyruk uzunluğu oluşmaktadır. Bu tip kuyruk rejimi ile hem grafik hem de matematiksel olarak problemler çözümlenebilmektedir. Ancak D/D/1 kuyruk rejiminde hem varış hem de ayrılış hızları (yani oranları) üniform yani eşit zaman aralıklı (yada eşite oldukça yakın) olmak zorundadır. ÖRNEK 2.111: Yoğun uçuş trafiğine sahip bir havaalanında pik (zirve) saatte yani yolcuların havaalanına geldiği en yoğun zaman dilimi içerisinde ilk 10 dakika için 12 yolcu/dak ve daha sonraki saatlerde 2 yolcu/dak yolcu trafiği mevcuttur. Her bir yolcu, güvenlik kontrol noktasında ortalama 15 saniye süre harcamaktadır. Buradaki kuyruk uzunluğu ve gecikme ne olacaktır? 1

2 ÇÖZÜM: Bu problemde λ ve μ uniform olduğundan dolayı D/D/1 rejimi ile çözümlenecektir. t 10 dak için λ = 12 yolcu/dak t > 10 dak için λ = 2 yolcu/dak Şekil D/D/1 Kuyruk Rejiminin Grafik Gösterimi (Örnek 2.111) t 10 dak için λ = 12 yol/dak, t> 10 dak için λ = 2 yol/dak ve μ= 4 yol/dak için Şek daki gafik çizildiğinde en uzun kuyruk, en uzun gecikme ve kuyruk dağılma yani kuyruğun bittiği süre kolaylıkla saptanabilmektedir. Eğer λ > μ ise kuyruk oluşum devam edip kuyruk giderek uzayacaktır. Gerçekten de λ= 12 yol/dak > μ= 4 yol/dak olduğundan dolayı kuyruk oluşmaya başlamış ve maksimum bir uzunluğa eriştikten sonra λ= 2 yol/dak < μ = 4 yol/dak olduktan sonra kuyruk yavaş yavaş azalarak t = 50 dakikadan sonra kuyruk kalmamıştır. t > 50 dak dan sonra sadece dakikada 2 yolcu gelirken dakikada 4 yolcunun işlemi yapılabileceğinden dolayı herhangi bir kuyruk oluşamayacaktır. Ancak 10 t 50 arasında ilk 10 dakika içinde biriken kuyruk yavaş yavaş azalarak yok olacaktır. Bu problemi analitik olarak çözümlersek gelen yolcu sayısı; λt = 12t, t 10 dak için yani t = 1,2,3,...,10 (12x10) + 2(t-10) veya (t-10) yani t > 10 dak için yani t = 11,12,..., n olarak bulunur. Ayrılan yolcu sayısı 4t, tüm t için yani o < t < olarak bulunur. Kuyruk dağılma noktası iki doğrunun kesim noktası olduğundan dolayı (t-10) = 4t eşitliğinden t = 50 dak olarak bulunur. Geciktirilen toplam yolcu sayısı, n=4t=4x50= 200 yolcu olacaktır. Toplam gecikme miktarı (D), herbir yolcunun gecikmesinin toplamı olduğundan dolayı varış ve ayrılış fonksiyonlarının yarattığı kapalı alana eşit olup yolcu-dakika birimi ile anılır. Çünkü bu alanın tabanı gecikme süresini ve yüksekliği ise yolcu sayısı veya kuyruk uzunluğunu temsil ettiğinden dolayı uzunluk x süre =toplam gecikme olacaktır. Ayrıca bu çarpımın neticesi yolculuk x dakika veya yolcu - dakika birimini verecektir. Buna göre D = 1/2 (20x120) + 1/2(20) ( ) = 2000 yolcu-dakika olur. Ortalama gecikme süresi (d) For ile hesaplanır. d = D/Σn (2.124) Buna göre d= 2000/200 = 10 dakika/yolcu olarak bulunur. Çünkü kuyruktaki toplam 200 yolcu, toplam 2000 yolcu-dak gecikmeye maruz kalmıştır. ÖRNEK 2.112: 2

3 2x2 Şeritli kentiçi bir yolda bir arabanın lastik patlaması nedeniyle yolun bir şeriti 15 dk süreyle kapalı kalmıştır. Bu yolun herbir şeriti 2000 araç/saat kapasitesine sahip ve tek yöndeki trafik hacminin 2900 araç/sat olduğu bilindiğine göre bu yolda oluşacak tıkanmanın analizini D/D/1 rejimine göre yapınız. ÇÖZÜM: (t-15) Şekil Trafik Tıkanmasının D/D/1 Rejimi ile Analizi (Örnek 2.112) İki doğrunun kesişme noktası ile kuyruk dağılma süresi aşağıdaki gibi bulunur t = (t-15) t = dak Kuyruk dağılma noktasındaki toplam araç sayısı aşağıdaki gibi bulunur. λt = (27.26) = 1317 araç Toplam araç gecikmesi kapalı alana eşit olacağından dolayı toplam gecikme D= 1/2 (4.66 x 500) +1/2 (4.66 x 817) = = 3069 araç-dakika olarak bulunur. Ortalama araç gecikmesi d = D/Σn = 3069/1317 = 2.33 dakika/araç olarak bulunur. Bir aracın 15 dk süreyle bir şeriti kapaması halinde oluşan trafik tıkanmasında araç başına ortalama 2.33 dakika gecikme olmaktadır. En uzun kuyrukta ise 225 araç yığılmaktadır. Bir aracın uzunluğu minimum 4.5 m olduğu kabul edilirse 225x4.5 = 1012 m kuyruk uzunluğu olacaktır. Eğer kazanın olduğu yerden 1 km ileride bir hemzemin kavşak varsa bu yolu kesen yolda da tıkanma olacağı beklenmelidir. ÖRNEK 2.113: Örnek deki verilere göre bir trafik kazası sırasında yolun tümünün 15 dakika süreyle kapandığı daha sonra 20 dk süreyle sadece bir şeridinin trafiğe açıldığı ve toplam 15+20=35 dk sonra yolun tamamı açıldığına göre D/D/1 rejimine göre trafik tıkanıklığının analizini yapınız. Not: Kaza olduktan 15 dk sonra trafik polisinin gelip ilk kaza değerlendirmesinden sonra araçları sağ şeride alıp yolu 20 dk süreyle tek şeritten trafiğe açık tutmaktadır. Kaza tespit tutanağını hazırlayıp kazaya uğrayan araçları kaza yerinden 3

4 uzaklaştırmıştır. Bu süreler ülkemiz şartlarında minimum süreler olup gerçekte daha uzundur. Ancak bu örnek en kısa sürede dahi oluşan darboğazın yarattığı trafik sıkışıklığının boyutlarını göstermektedir. ÇÖZÜM: Şekil Trafik Tıkanmasının D/D/1 Rejimi ile Analizi (Örnek 2.113) Toplam araç gecikmesi olacaktır. Ortalama araç gecikmesi d= 56224/4398 = 12.8 dakika/araç olarak bulunur. Görüldüğü gibi, ortalama araç gecikmesi 12.8 dak ve kuyruğun yok olması 1.5 saat olmaktadır. Trafik polisinin kaza yerine saat sonra gelmesi halinde oluşacak trafik sıkışıklığının boyutları ise çok daha büyük olacağı açıktır. Sinyalize kavşaklarda μg > λc ise D/D/1 kuyruk rejimi ile kavşaklarda trafik akım analizi kolaylıkla yapılmaktadır. Burada (μg), kavşak kapasitesini (λc) ise kavşağa gelen trafik hacmini temsil etmektedir. Şek de sinyalize bir kavşakta D/D/1kuyruk rejiminin uygulaması grafik olarak görülmektedir. 4

5 Şekil Sinyalize Kavşakta Kuyruk ve Gecikme Analizi Burada; ρ= λ/μ: Trafik şiddeti (yoğunluğu) λ : Gelen (varan) trafik, araç/san μ : Ayrılan (kalkış) trafik, araç /san r : Efektif kırmızı (saniye) g : Efektif yeşil (saniye) C : Faz süresi = r+g (saniye) t : Toplam hareket süresi (saniye) to : Efektif yeşilin başlamasından sonra ve kuyruğun dağılmasına (yok olmasına) kadar geçen süre (san) Sinyalize bir kavşakta Herbir faz süresinde gelen trafik: λc Herbir faz süresinde kavşak kapasitesi: μg (kavşaktan ayrılan trafik) olmalıdır. Dolayısıyla Şek den türetilecek formüller μg>λc olması halinde geçerlidir. Yani kavşağın kapasitesi, kavşağa gelen trafik hacminden büyük olmalıdır. λ(r+to) = μto ve ρ = λ/μ eşitlikleri ile Şek nin yardımıyla sinyalize kavşak analizlerinde kullanılacak gerekli formüller aşağıdaki gibi elde edilir. 5

6 ÖRNEK 2.114: Sinyalize bir kavşakta 1800 araç/saat/şeritlik kapasite ve 900 araç/saat trafik hacmi mevcuttur. Efektif kırmızı 20 san ve efektif yeşil 40 san olan trafik sinyalizasyonu için D/D/1 rejimine göre kavşak analizini yapınız. ÇÖZÜM: μ = 1800/3600 = 0.50 araç/san λ = 900/3600 = 0.25 araç/san ρ = λ/μ = 0.25/0.50 = 0.50 μg = 0.50 (40 ) = 20 araç λc = 0.25 (60) = 15 araç μg > λc olduğundan uygundur. 6

7 Kavşak kapasitesinin ancak yarısı kadar trafik hacminde ve r = 20 saniye gibi en kısa durma süresinde dahi toplam ve ortalama araç gecikme süresi oldukça uzun çıkmaktadır. 2. M/D/1 Kuyruk Problemlerinin Çözümü Araçların üniform aralıklı olması kabulünden ziyade ekspansiyonel dağılımlı aralıklı olması kabulü bazı hallerde daha gerçekçi olmaktadır. Bu durumda D/D/1 rejimi yerine M/D/1 rejimi ile analiz yapmak gerekir. Bu tip kuyruk rejiminde ρ = λ/μ< 1 olmak kaydıyla; olarak bulunur. Burada 1/μ, ortalama servis süresidir. Eğer λ< μ ise D/D/1 kuyruk rejimi kuyruk formasyonunu tahmin edemez. Çünkü bu durumda λt ile μt fonksiyonları birbirini kesemeyeceğinden dolayı kuyruk oluşmaz. Halbuki M/D/1 kuyruk rejimi ile yani rassal varış durumunda kuyruk formasyonu yukarıdaki formüllerle tayin edilebilmektedir. Aynı zamanda M/D/1 kuyruk rejimi sabit bir varış ve ayrılış hızı (oranı) şartlarında kabul edilen olasılık dağılımına göre rassal trafik akımını gözönüne almaktadır. Halbuki D/D/1 kuyruk rejimi, varış ve ayrılış hızlarının (veya aralıklarının) belirli ve üniform olması halinde trafik akımını analiz etmektedir. ÖRNEK 2.115: Örnek deki havaalanı için tüm gün boyunca yolcuların havaalanına varış hızı 180 yolcu/saat ise M/D/1 kuyruk rejimi ile analiz ediniz. ÇÖZÜM: Gelen yolcu λ = 180/60 = 3 yolcu/dak Giden yolcu μ= 4 yolcu/dak (Örnek de hesaplandığı gibi) ρ = λ/μ = 3/4 = 0.75<1 olduğundan dolayı M/D/1 rejimi ile analiz yapılabilir. 7

8 Şekil M/D/1 Kuyruk Rejimi (Örnek 2.115) Örnek M/D/1 rejimi ile çözülemez. Çünkü λ = 8 yolcu/dak için ρ = 8/4 = 2>1 olduğundan çözümü yoktur. Aynı şekilde bu problemde D/D/1 rejimi ile çözülemez. Zira kapalı alan mevcut değildir. 3. M/M/1 Kuyruk Problemlerinin Çözümü Bazı trafik uygulamalarında hem varış hem de ayrılış zaman paternleri eksponsiyonel dağılım şeklinde (yada rassal bir şekilde) olması daha uygun olabilir. Örneğin, bir otoyol gişesinde bazı sürücüler gişeyi daha çabuk bazıları daha geç terkedebilir. Bu da ayrılış süresinin eşit zaman aralıklı olmamasına neden olacaktır. Bu tip kuyruk rejiminde ρ = λ/μ< 1 olmak kaydıyla olarak hesaplanır. ÖRNEK Örnek deki problemde olduğu gibi herbir yolcunun güvenlik + kontrol işlemleri ortalama 15 saniyedir. Ancak bu süre yolcudan yolcuya bagaj miktarlarına bağlı olarak veya yolcunun davranışına bağlı olarak değişiklik gösterdiğine göre Örnek deki şartlar için M/M/1 kuyruk rejimi ile analiz ediniz. ρ = 3/4 = 0.75, λ = 3 yolcu/dk, μ = 4 yolcu/dk olduğundan dolayı M/M/1 kuyruk rejimi ile çözümlenebilir. 8

9 Görüldüğü gibi M/M/1 rejimi sonuçları M/D/1 rejimi sonuçlarına göre daha yüksektir. Bunun nedeni, ayrılış süresinin M/M/1 kuyruk rejimine belirli aralıkta olmayıp belirli bir dağılıma göre değişken olmasındandır. Dolayısıyla kuyrukta bekleme süresi ve sistemde sarfedilen sürede uzamaktadır. ÖRNEK 2.117: Tek çıkışa sahip bir otoparkta para toplama süresi değişken olup ortalama süre (1/μ) 18 saniyedir. Otoparktan saatte 120 araç çıkış yapmakta ise bu operasyonun karakteristikleri nedir? ÇÖZÜM: Ortalama kuyruk sayısı: Ortalama bekleme süresi: Ortalama sarfedilen süre: ÖRNEK 2.118: Bir metro istasyonuna ortalama λ = 90 yolcu/dakika gelmektedir. Bir turnikeden ise ortalama 6 san de 1 yolcu geçmektedir. Bu istasyonda 10 turnike mevcut ise ve gelen yolcu ile turnikeden geçen yolcu rassal bir dağılım gösteriyorsa a) Ortalama kaç yolcu turnikeden geçmek için bekliyor olabilir? b) Ortalama yolcuların bekleme süresi ne olabilir? c) Metro İdaresi işletme masraflarının ve gecikme masraflarının toplamını minimize etmek için kaç adet turnike olmasını bilmek istemektedir. Metro İdaresinin yaptığı araştırmada TL/saat, bir yolcu için gecikme maliyeti TL/saat, bir turnike için işletme maliyeti (satınalma, bakım, enerji, vb. masraflar dahil) olduğuna karar verdiğine göre mevcut 10 adet turnike ekonomik olurmu? ÇÖZÜM: 9

10 10

11 ÖRNEK Aşağıdaki verilere göre bir otoyol çıkışında kaç adet para toplama turnikesi gereklidir? Zirve saat süresinde en fazla 5 araç kuyruk yaparsa Varış ve servis süreleri ekspansiyonel dağılım göstereceği, zirve saatte 10 araç/dak vasıta geleceği ve ortalama servis süresi 15 saniye olarak kabul edilirse ÇÖZÜM: Bu kuyruk problemi, M/M/1 tipi olmalıdır. Buna göre ortalama kuyruk uzunluğu aşağıdaki gibi tahmin edilir. 4. M/M/N Kuyruk Problemi M/M/N tipi problemler daha ziyade para ödeme gişeleri, otopark çıkışları, havaalanında güvenlik kontrolleri, vb. ulaşım problemrinde birden fazla çıkış noktası (yada turnike) buluması halinde kullanılır. Aşağıdaki eşitlikler M/M/N kuyruk problemlerinin operasyonel karakteristiklerini ortaya koymaktadır.m/d/1 ve M/M/1 kuyruk problemlerinin aksine trafik yoğunluğu (ρ) birden büyük olabilir fakat kullanım faktorü (ρ/n) birden küçük olması halinde kullanılabilir. 11

12 Burada; P 0 : Sistemde hiç araç olmaması olasılılğı P n : Sistemde n araç olma olasılığı P n>n : Kuyrukta bekleme olasılığı (yada sistemdeki araç sayısının ayrılış kanallarından daha büyük olma olasılığı) n : Sistemdeki araç sayısı N : Sistemdeki ayrılış kanal sayısı n c : Ayrılış kanalının nosu ρ : Trafik yoğunluğu (λ/μ) Burada; Q : Kuyruğun ortalama uzunluğu, araç sayısı olarak w : Kuyrukta ortalama bekleme süresi, birim zaman/araç t : Sistemde harcanan ortalama süre, birim zaman/araç ÖRNEK : Paralı bir köprünün para ödeme gişelerine gelişte 4 gişe açıktır. Araçların gişeye gelmesi ortalama 1200 araç/saat kadar olup para ödeme süreleri ortalama 10 saniye sürmektedir.gişelere geliş ve ayrılış aralıklarının rassal olduğu kabul edilmektedir. Buna göre gerekli analizleri yapın ve eğer 5. gişe açılacak olursa kuyrukta bekleme olasılığını saptayın. 12

13 Eğer 5. gişe açılacak olursa; 13

14 Buradanda görüleceği üzere, 5. gişenin açılması halinde kuyruk uzunluğu =2.663 araç kadar azalma gösterecektir. Sistemdeki ortalama süre ise =0.132 araç/dakika kadar azalma gösterecektir. Kuyrukta bekleme olasılığı ise =0.330 kadar azalma gösterecektir. ÖRNEK : Bir küçük market önünde 4 adet otopark alanı mevcuttur. Market sahibi, müşterilerinin alışveriş sürelerinin ekponsiyonel dağılım göterdiği ve ortalama 6 dak olduğunu deneyimleri ile saptamıştır.aynı zamanda market sahibinin en yoğun zamanda ortalama 20 müşteri/saat ortalama ile geldiğini bilmektedir. Bu markete gelen müşterilerin boş otopark yeri bulmamam olasılığı nedir? olarak bulunur. 14