Rasgele Sayılar Rasgele Basamaklar

Transkript

1 Rasgele Sayılar Rasgele Basamaklar Gerçek hayatı taklit etmek için ihtiyaç duyulan rasgeleliği elde etmek rasgele sayılar ın kullanılması ile mümkündür. Rasgele sayıların oluşturulmasında rasgele basamaklar kullanılır.

2 Rasgele Sayılar Rasgele Basamaklar Rasgele sayılar (0,) aralığında bağımsız ve düzenli olarak dağılmıştır. Rasgele basamaklar {0,,2,...,9} kümesinde düzenli olarak dağılmıştır. Rasgele basamak tablosu ile Rasgele Sayıların oluşturulması: Her bir rasgele sayı için uygun sayıda (girişlerinizin gerektirdiği çözünürlüğe bağlı) basamak seçilir ve seçilen sayının soluna ondalık virgül eklenir:

3 Tek Kanallı Kuyruk Sistemi Örneği Tek kasası (ödeme noktası) olan bir dükkan Müşterilerin kasaya varış aralıkları -8 dakika arası ve rasgele değişiyor Varışlar arası sürelerin hepsi aynı olasılığa sahip Kasiyerin servis süresi -6 dakika arasında değişiyor ve farklı olasılıklara sahip 00 müşteri için sistemi analiz etmek isteyelim...

4 Tek Kanallı Kuyruk Sistemi Örneği Normalde 00 müşterilik bir örnek kümesi seçmek güvenilir sonuçlar için yeterli değil Böyle bir dükkanın simülasyonunun dükkan boş iken başlaması da doğru değil ancak hesaplamaları basit tutmak için başlangıç koşulları ve diğer tereddütleri ihmal ediyoruz...

5 Varışlar Arası Sürelerin Dağılımı Varışlar Arası Süre (dakika) Olasılık Kümülatif Olasılık Rasgele Basamak Ataması R. Basamaklar arasında Varışlar arası süre dk. R. Sayı ile 0.25 arası kümülatif olasılığa karşılık gelir

6 Varışlar Arası Sürelerin Üretilmesi Kasaya varışları üretmek için bir grup düzgün dağılımlı rasgele sayıya ihtiyacımız var. Bu sayılar (0,) aralığında olmalı ve ardarda gelen sayılar birbirinden bağımsız olmalı. Varışlar arası sürelerin olasılıkları 3 basamak ile doğru olarak temsil edilebilir. 00 müşteri için varışlar arası süreleri üretmek üzere 99 rasgele sayıya ihtiyacımız var (neden 99?)

7 Varışlar Arası Sürelerin Üretilmesi : : : Varışlar Arası Süre (dakika) Rasgele Basamaklar Müşteri Varışlar Arası Süre (dakika) Rasgele Basamaklar Müşteri

8 Servis Sürelerinin Dağılımı Varışlar Arası Süre (dakika) Olasılık Kümülatif Olasılık Rasgele Basamak Ataması

9 Servis Sürelerinin Üretilmesi : : : Servis Süresi (dakika) Rasgele Basamaklar Müşteri Servis Süresi (dakika) Rasgele Basamaklar Müşteri

10 Simülasyondan Çıkarılabilecek Bazı Sonuçlar Ortalama Bekleme Süresi Bir müşterinin kuyrukta x dakika bekleme olasılığı Kasanın boşluk-doluluk oranı (kasanın boş olma olasılığı) Ortalama servis süresi (ve beklendik değeri) Varışlar arası ortalama süre (ve beklendik değeri)

11 Olay Çizelgeleme-Planlama Yaklaşımı Örneği (Tek-Kanallı Kuyruk) Tek Kasalı Bir Dükkan için Elle Simülasyon Örneği Sistem Durumu LQ(t) Sırada bekleyen müşteri sayısı LS(t) t anında servis verilen müşteri sayısı (0 veya ) Varlıklar Servis elemanı ve müşteri özel olarak modellenmiyor (sadece durum değişkenleri içinde yer alıyor) Olaylar Varış (A) Ayrılma(D) Durma Olayı (E) t=60 anında oluşması planlanmış

12 Olay Çizelgeleme-Planlama Yaklaşımı Örneği Olay İhbarları (A,t) gelecekteki bir t anındaki varış olayı (D,t) gelecekteki bir t anındaki varış olayı (E,60) gelecekte 60 anında simülasyonu sonlandırma olayı Aktiviteler Varışlar arası süre, servis süresi Gecikme Müşterinin kuyrukta beklerken harcadığı süre

13 Varış Olayının Uygulanması

14 Ayrılma Olayının Uygulanması

15 Simülasyon Tablosunun Daha önce üretilen varışlar arası süreler ve servis sürelerini kullanacağız : Oluşturulması Varışlar Arası Süreler (a*) : Servis Süreleri (s*) :

16 İstatistiklerin Toplanması Sadece servis kullanımı ve maksimum kuyruk uzunluğuna ait iki istatistik toplayacağız. o Simülasyon tablosunda servis meşgul süresi (B) ve max. kuyruk uzunluğu (MQ) değerleri toplanmıştır. o Servis kullanımı daha sonra servis meşgul süresinin (B) geçen toplam süreye (T E ) bölünmesi ile elde edilir.

17 Simülasyon Tablosu Saat Sistem Durumu LQ(t) LS(t) Gelecek Olay Listesi Açıklama Kümülatif İstatistikler MQ B 0 0 (A,) (D,) (E,60) Önce A oluşuyor (a*=) sonraki varışı programla A (s*=) ilk ayrılışı D programla 0 0 (A,2) (D,) (E,60) İkinci A oluşuyor: (A,) (a*=) sonraki varışı A prlanla (müşteri gecikti) 2 2 (D,) (A,8) (E,60) Üçüncü A oluşuyor: (A,2) (a*=6) sonraki varışı A prlanla (iki müşteri gecikti) 2 2 (D,6) (A,8) (E,60) İlk D oluşur: (D,) (s*=2) sonraki ayrılışı (D) planla (müşteri gecikti)

18 Ortalama Cevap Süresinin Hesaplanması Örneğimizde simülasyon analistinin ortalama cevap süresi ve kasada 5 dakika veya daha fazla süre geçiren müşterilerin oranını hesaplamak istediğini düşünelim. Bu durumda cevap süresini hesaplamak için müşteri ayrılırken varış zamanını da bilmemiz gerekiyor. Bunun için müşteri varlık olarak tabloya eklenecek kasa kuyruğu isimli yeni bir listede tutulacak. Ayrıca gelecek olay listesindeki olay ihbarları hangi müşterinin etkilendiğini de gösterecek şekilde tutulacak.

19 Ortalama Cevap Süresinin Hesaplanması Varlıklar (Ci,t), t anında varan müşteriyi (Ci ) temsil etsin Olay İhbarları (A,t,Ci), müşterinin(ci) glecekteki t anında varışı (D,t,Cj), müşterinin(ci) glecekteki t anında ayrılışı Kasa Sırası: belli bir anda kasa varış zamanlarına göre sıralı tüm müşterilerin kümesi Tutulacak Yeni İstatistikler: Cevap Süresi = Saat- Nitelik (varış zamanı) S: O ana kadar ayrılmış olan tüm müşterilerin cevap süresi toplamı N D : O ana kadar ayrılmış olan müşterilerin toplam adedi F: Sistemde 5 dakika veya daha fazla zaman harcamış olan toplam müşteri sayısı

20 Ortalama Cevap Süresinin Hesaplanması Örneğin Saat = anında C müşterisi için bir ayrılma olayı gerçekleşsin: C müşterisi (varlık) kasa kuyruğu listesinden çıkarılır Nitelik (varış zamanı) = 0 olarak not edilmiş ise, Cevap Süresi = -0 = dakika olacaktır. S (cevap süresi toplamı) artırılır, N D (o ana kadar ayrılmış müşterilerin toplamı) artırılır, F(Sistemde 5 dakika veya daha fazla zaman harcamış olan toplam müşteri sayısı) artırılmaz.

21 Simülasyon Tablosu (D,6,C2) (A,8,C) (E,60) (C2,)(C3,2) C artık listede yok (D,,C) (A,8,C) (E,60) (C,0)(C2,) (C3,2) (A,2,C3) (D,,C) (E,60) (C,0)(C2,) (A,,C2) (D,,C) (E,60) (C,0) 0 0 F ND S LS(t) LQ(t) Kümülatif İstatistikler Gelecek Olay Listesi KASA KUYRUĞU Sİstem Durumu SAAT

22 Bir Simülasyon Sisteminin Yapısı Varlıklar-İlişkiler Saat Yönetim Dağılımlar Sonuçların Toplanması

23 OLASILIK TEORİSİ TEMEL KAVRAMLARIN HATIRLANMASI

24 Rasgele Deneyler Deneyin yapılmasından önce tayin edilemeyen sonuçlarla son bulan deneylerdir. Ancak olası herbir sonuç gözlemlenebilir ve liste halinde yazılabilir. Örnek Uzay Rasgele deneyin olası herbir sonucunu içeren küme

25 Rasgele Değişken Bir rasgele deneyin sonuçları bir sayı olabildiği gibi farklı büyüklükler de olabilir. Rasgele değişken rasgele deneyin herbir sonucuna bir değer atayan bir fonksiyondur.

26 ÖRNEK RASGELE DENEY OLASI SONUÇLAR ÖRNEK UZAY S RASGELE DEĞİŞKEN X Kafesten bir fare seçilip Cinsiyetinin tesbit edilmesi dişi veya Erkek S={dişi,erkek}

27 Tekrarlayan Deneyler Kafesteki dişi ve erkek fare sayısı eşit değilse?? Deneyin tabiiatına göre herbir olayın olasılığını atamak deneyin birçok kez tekrarlanmasını gerektirebilir

28 Tekrarlayan Deneyler Deney n kez tekrarlanır ve A olayı defa oluşursa: A olayının bağıl frekansı olarak adlandırılır. n yeterince büyük ise

29 Stokastik Süreçler Stokastik Süreçler veya Rasgele Süreçler : Rasgele çıktı üreten bir seri olay veya süreçler Bir olasılık dağılımıyla tanımlanabilen süreçlerdir Olasılık Dağılımı: Olasılıkların olaylaranasıl dağıldığı. Değişkenlik : Variability, Bir sistem veya olayın birini izleyen gözlemlerde tümüyle aynı sonuç üretmemesi. Örnek: Arabanın yakıt / km verisi için arabanın durumu, kullanılan yakıt, hava durumu, trafik şartları vs. etkileri bulunmaktadır, bu etkilerden izole bir modelde arabanın kilometre başına harcadığı yakıt değişkendir.

30 Değişkenliğin Modellenmesi Konnektör kalınlığının dirence etkisini ölçen bir Mühendisin tablodaki konnektör-direnç verilerini aldığını düşünelim: Kalınlık 3 inç iken Dayanıklılık Ortalama 3 Pound Kalınlık 3.5 inç iken Dayanıklılık Ortalama 3.5 Pound

31 Değişkenliğin Modellenmesi Bu durum X = m + e olarak modellenebilir. Burada m sabit bir değerken e rasgele bozunumdur.

32 İstatiksel Çıkarım Örnek: test edilen konnektörler Popülasyon: müşteriye satılan bütün konnektörler Burada istatistiksel çıkarım kullanılmıştır.

33 Veri Toplama Verilerin Toplanması: Tarihsel yöntem : Geçmiş veriler incelenir Gözlemsel : Hedefe yönelik deneyler tasarlanır, tasarlanmış olan deneylerden bir kısmı sabit tutularak tekrarlanır ve bu yolla değişkenlerin sisteme etkileri ayrı ayrı incelenmiş olunur.

34 Gözlemsel Veri Toplama

35 Örnek Uzay Örnek Uzay (Sample Space ) : Rasgele bir deneyin olan sonçlarının tamamının oluşturduğu küme. S= R+ (örneğin konnektörün kalınklık uzayı) S= { x 0 < x < } (kalınlığı 0 ile arasında olan bir değişken) S= { ince, orta, kalın } (3 ihtimalden birisi)

36 Örnek Uzay Örnek uzaylar, Discerete (ayrık) veya continous (sürekli) olabilirler. S= { x 0 < x < } S= { 3, 5, 7 } 2 adet konnektör olsaydı, örnek uzay S= R+ x R+ şeklinde gösterilecekti.

37 Örnek Uzay Event (olay) : Rastgele bir deneyin sonçlarının oluşturduğu örnek uzayın alt kümesidir. De Morgan's Rule :

38 Olasılık Teorisi S = { a, b, c} ise permütasyonu abc, acb, bac, bca, cab,cba... şeklinde olacaktır ve ihtimal sayısı P = n! Şeklinde hesaplanır. Alt kümelerin permütasyonu : n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı : Prn = n x (n-) x (n-2)... (n-r+) = n! / (n-r)! olarak hesaplanır.

39 Olasılık Teorisi Örneğin 8 boşluğa eleman (her eleman birbirinden farklı) kaç farklı şekilde yerleştirilebilir. P8 = 8! /! = 680