DİKDÖRTGEN KESİTLİ KANALDA AKIŞ İPÇİKLERİNİN İNCELENMESİ

Transkript

1 1 DİKDÖRTGEN KESİTLİ KANALDA AKIŞ İPÇİKLERİNİN İNCELENMESİ Yılmaz YÖRÜ Yüksek Lisans Tezi Makine Mühendisliği Anabilim Dalı 2000

2 2 INVESTIGATION OF FLOW FIELDS IN A RECTANGULAR CHANNEL FLOW Yılmaz YÖRÜ Master of Science In The Department of Mechanical Engineering 2000

3 3 DİKDÖRTGEN KESİTLİ KANALDA AKIŞ İPÇİKLERİNİN İNLENMESİ Yılmaz YÖRÜ OSMANGAZİ ÜNİVERSİTESİ Fen Bilimleri Enstitüsü Lisansüstü Yönetmeliği Uyarınca Makine Mühendisliği Anabilim Dalı Konstrüksiyon-İmalat Dalında YÜKSEK LİSANS TEZİ Olarak Hazırlanmıştır. Danışman: Prof. Dr. Zekeriya ALTAÇ Ocak-2000

4 4 Yılmaz YÖRÜ nün YÜKSEK LİSANS tezi olarak hazırladığı Dikdörtgen Kesitli Kanalda Akış İpçiklerinin İncelenmesi başlıklı bu çalışma, jürimizce lisansüstü yönetmeliğinin ilgili maddeleri uyarınca değerlendirilerek kabul edilmiştir. Üye: Prof. Dr. Zekeriya ALTAÇ Üye:... Üye:... Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu nun... gün ve... sayılı kararıyla onaylanmıştır. BÖLÜM I PROJE Prof. Dr. M. Selami KILIÇKAYA Enstitü Müdürü

5 5 ÖZET Bu tezin amacı, dikdörtgen kesitli akış kanalı içersinde yer alan dikdörtgen cisim üzerindeki iki boyutlu sıkıştırılamaz zamana bağlı akışı sayısal ve grafiksel olarak sunmaktır. Nümerik çözüm yöntemi olan SIMPLE (Basınca Bağlı Denklemler için Yarı Kapalı Metot) bu problemin çözümü için kullanılmıştır. Re sayısı, kanal genişliği ve uzunluğu, ve akışa engel olarak konan dikdörtgen geometrideki cismin konumunun etkileri, C programlama dilinde programlanmış ve SIMPLE algoritmasını da içeren Phen_of_NS programı ile belirlenmiştir. Anahtar Kelimeler: - Dikdörtgen Kesitli Kanalda Akış - SIMPLE metodu - Akış ipçikleri

6 6 SUMMARY The purpose of this thesis is to present numerical and graphical solutions for two dimensional incompressible time dependent flow about rectangles in a rectangular channel flow. The numerical method, SIMPLE, Semi Implicit Method for Pressure- Linked Equations applied to solve this problem. The effect of the Re number, channel width and length, and the position of the rectangular geometry of the obstacle to flow field have been determined by the Phen_of_NS program which is coded by C programming language and which is also includes SIMPLE algorithm.. Keywords: - Rectangular channel flow - SIMPLE method - Flow Field

7 7 TEŞEKKÜR Beraber gidemediğimiz ODTÜ den ilgili makaleleri bana getiren ve her türlü pratik akışkanlar mekaniği yardımlarını esirgemiyen değerli hocam Prof. Dr. Yaşar PANCAR a, dikdörtgen kesitli kanalda akış ipçiklerini deneysel olarak görebilmem için her türlü laboratuar imkanını sağlayan Yrd.Doç.Dr. İrfan ÜREYEN e, ve Hidrolik Laboratuarı Teknikeri Necdet Duran a, Anadolu Üniversitesi Science Citation Index taramalarımda yardımcı olan sayın Uzman Halime ATIL a, ve Osmangazi Üniversitesi Kütüphanesi nden hiçbir kitabı benden esirgemiyen sayın Nilüfer Hanıma, gece ve gündüz her türlü desteği her zaman gösteren değerli Ailem e, oda arkadaşım sayın Arş. Grv. Mithat Murat YALÇIN a, nümeric konularda bazı yardımları olan sayın Arş. Grv. Birsen SÜLÜŞ, Arş. Grv. Mesut TEKKALMAZ, Arş. Grv. Davut BELEN, Arş. Grv. Ümit ER e, akışkanlar mekaniği konusundaki teorik konularda yardımcı olan, ve CFD kitaplarını ve ilgili makaleleri benden esirgemiyen Yrd. Doç. Dr. Necati MAHİR e, S.I.M.P.L.E. algoritması ve sınır şarları ile ilgili bazı bilgileri esirgemiyen sayın Prof. Dr. Tahir KARASU D.I.C. e, yine sınır şartları konusunda en temel bilgileri bana sunan sayın Yrd. Doç. Dr. İlker Gürkan a, akış ipçiklerinin tayininde kullanılacak olan S.I.M.P.L.E algoritması ve ilgili makaleleri bana sunan, çalışmam süresince her türlü sayısal, teorik ve bilgisayar programlama konularında bana büyük destek olan, uygulanacak iterasyon metodları konusunda ve izlenen yöntemde tüm çabalarını yoğun çalışmasına rağmen bana harcayan sayın Prof. Dr. Zekeriya ALTAÇ a teşekkürü bir borç bilirim.

8 8 İÇİNDEKİLER BÖLÜM I PROJE 1.1 Giriş 1 BÖLÜM II NAVIER STOKES DENKLEMLERİ 2.1 Su Molkülü Akışkan Hareketinin Diferansiyel Analizi (3D) Akışkan Hareketinin Diferansiyel Analizi (2D) Akışkan Taneciğinin İvmelenmesi (3D) Akışkan Taneciğinin İvmelenmesi (2D) Akışkanın Rotasyonu (3D) Taneciğin Rotasyonu Vortisite (Vorticity) Sirkülasyon (Circulation) Akışkanın Rotasyonu (2D) Taneciğin Rotasyonu Vortisite (Vorticity) Sirkülasyon (Circulation) Akışkanın Deformasyonu (2D) Momentum Denklemleri Boyutsuz Navier Stokes Denklemi 11 BÖLÜM III NÜMERİK ÇÖZÜM 3.1 Sonlu Farklar ile Hesaplamalar Akışkanlar Mekaniğinde Nümerik Yöntemler Kaydırılmış Izgara Yapısında Hız ve Basınç Noktaları Düğüm Noktalarının Numaralandırılması 14

9 9 İÇİNDEKİLER (Devamı) Basınç Noktaların Belirlenmesi Hız Noktalarının Belirlenmesi Farklı Grid Uzunluklarına Sahip Noktalar İçin 2. Dereceden Fark 16 Denklemlerinini Çıkarılışı 3.7 Matris Formlarının Çözümünde İteratif Metodlar Jacobi İterasyon Metodu Gauss-Seidel İterasyon Metodu SOR İterasyon Metodu SORR İterasyon Metodu SORRY İterasyon Metodu İteratif Yöntemlerin Karşılaştırılması 25 BÖLÜM IV SIMPLE ALGORİTMASI 4.1 Genel Bilgi Basınç Düzeltme Denklemi Sınır Şartları ve 31 Genel İndisleme Yöntemi Explicit Olarak Hız Çözüm Yöntemi Sınır Şartları U Hız Değerlerinin Hesaplanması V Hız Değerlerinin Hesaplanması Yeni Hız Değerlerinin Eskisine Atanması p Matrisi ve Çözümü Kontrol Akış Şeması Imlicit Olarak Hız Çözüm Yöntemi Sınır Şartları U Hız Değerlerinin Hesaplanması V Hız Değerlerinin Hesaplanması 45

10 10 İÇİNDEKİLER (Devamı) Yeni Hız Değerlerinin Eski Değerlerine Atanması p Matrisi ve Çözümü Kontrol Bağlantılı Ağ Sistemi 48 BÖLÜM V PHEN_OF_NS PROGRAM PAKETİ 5.1 Program Bilgileri Program Panelleri Ana Panel Kontrol Paneli Akış Gösterim Alanı Sayısal Sonuç Paneli Opsiyon Paneli Histogram Paneli 52 BÖLÜM VI SONUÇLAR 6.1 8x8 Grid Yapısında Serbest Akış x20 Grid Yapısında Dikdörtgen Cisim x20 Grid Yapısında Giriş ve Çıkışta Dikdörtgen Cisim x20 Grid Yapısında Dikdörgenler 59 BÖLÜM VII PHEN_OF_NS PROGRAMI

11 11 ŞEKİLLER DİZİNİ 2.1 Su Molekülü Kütlenin Korunumu Akışkan Eleman Akışkanın Rotasyonu Akışkanın Deformasyonu Momentum Denklemi Hız ve Basınç Noktaları Basınç Noktalarının Belirlenmesi Hız Noktalarının Belirlenmesi U Hız Noktaları V Hız Noktaları Düzgün Dağılımlı Matris Parse Matris M Matrisi x5 Matris Hesap Süresi x10 Matris Hesap Süresi x100 Matris Hesap Süresi Kanal Akış Sistemi Düğüm Noktaları ve Sınır Şartı Basınç Noktaları ve Sınır Şartı U Hız Noktaları V Hız Noktaları Kaydırılmış Grid Sistemi ve Numaralandırma U Hız Vektörünün Hesaplanması V Hız Vektörünün Hesaplanması Basınç Noktasının Hesaplanması Phen_of_NS Programında Düğüm Noktaları Ana Panel Kontrol Paneli Sayısal Sonuç Paneli 51

12 12 ŞEKİLLER DİZİNİ (Devamı) Re=1000 ve 8x8 lik ızgara yapısında hız vektörleri Re=1000 ve 8x8 lik ızgara yapısında P,u,v değerleri Re=500 ve 8x8 lik ızgara yapısında hız vektörleri Re=500 ve 8x8 lik ızgara yapısında P,u,v değerleri Re=200 ve 8x8 lik ızgara yapısında hız vektörleri Re=200 ve 8x8 lik ızgara yapısında P,u,v değerleri Re=2000 ve 35x20 ızgara yapısında hız vektörleri Re=1000 ve 35x20 ızgara yapısında hız vektörleri Re=500 ve 35x20 ızgara yapısında hız vektörleri Re=1000 ve girişe yakın kare cisim durumunda hız vektörleri Re=1000 ve girişe yakın kare cisim durumunda hız spektrumu Re=1000 ve çıkışa yakın kare cisim durumunda hız vektörleri Re=1000 ve çıkışa yakın kare cisim durumunda hız spektrumu Re=1000 ve dikey-sıralı kare cisim durumunda hız vektörleri Re=1000 ve yatay-sıralı kare cisim durumunda hız vektörleri 59

13 13 BÖLÜM I PROJE 1.1 GİRİŞ Akışkanların bir ortamda ve/veya bir engel etrafında akışının incelenmesi, sistemde meydana gelen girdaplar ve bunların akış kararlılığına etkisi, sürtünme katsayısının ve kayma gerilmelerinin mertebelerinin bilinmesi birçok mühendislik tasarımının ana problemidir. Bu problemin üstesinden gelmek ancak deneysel veya sayısal inceleme ile çözülebilir. Deneysel setlerin ve cihazların çok pahalı olması, problem hakkında izafi bilgi vermesi ve sayısal verilerin yetersiz kalması, teorik koşulların laboratuar ortamında sağlanmasının güçlükleri mevcuttur. Bu nedenle, bilgisayar ortamında sayısal modelleme son 30 yılda giderek önem kazanmış ve bilgisayar teknolojilerinin de gelişimiyle de uygulama alanları ve çözüm metotlarında çeşitlilik kendini göstermiştir. Bilgisayarda sayısal modelleme ile ilgili birçok metot mevcuttur. Bilinen ve sıkça kullanılan algoritmalar ve yaklaşım yöntemleri şunlardır; MAC Fomülasyonu, Upwind Metodu, Central-Difference Metodu, Hybrid Yaklaşım Metodu, Lineer Upwind Metodu, Power-Difference Metodu, Local Exact Difference Metodu, Quick Metodu, Quicker Metodu, Quickest Metodu, SIMPLE Metodu, SIMPLER Metodu, SIMPLEC Metodu. Metodun seçiminde, ele alınacak uygulama alanı, grid yapısı ve kullanılacak denklemler önemli yer teşkil etmektedir [4]. MAC (Marker And Cell) Formülasyonu ilk metotlardan biri olup ilk kez 1965 de Harlow ve Welch tarafından kullanılmıştır [4]. Metod daha çok serbest yüzeylerin bulunduğu düzenli olmayan problemlerde kaydırılmış ızgara yapısı ile kullanılır. Çok kompleks serbest yüzey hesaplamalarında dahi metod oldukça doğru simulasyon sonuçları vermektedir.

14 14 Upwind metodunda ise özellikle konvektif terimlerde yer alan merkezi fark denklemlerinde fiziksel olmayan sıçramalar (değişimler) iki veya dört noktada upwind fark denklemleri kullanılarak hesaplanır de Davis ve Moore bu metodu kullanarak oldukça başarılı sonuçlar almıştır. Spektral metod özellikle bilinmeyen düğüm noktaları üzerinde çok daha hassas tır. Çok düzgün sonuçlara ihtiyaç duyulan problemlerde, periyodik sınır şartı gibi farklı durumlarda oldukça sağlıklı sonuçlar vermektedir. Bununla birlikte çok karışık sınır koşullarında, düğüm noktaları üzerinde çok hassas sonuçlar alınmayabiliyor ve bu nedenle de karalı çözüme ulaşmakta oldukça zor olabilmektedir. Sonlu Elemanlar Formülasyonu.ise basınçların açıkça görünmediği süreklilikmomentum denklemleri kombinasyonunu içeren denklemlerin hız bileşenlerini çözen bir metoddur. SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure Linked Equations) ise kaydırılmış ızgara yapısı kullanılarak sonlu farklılaştırılmış fark denklemleri kullanılarak çözüm sağlayan yarı-implicit bir metoddur. Özellikle dalga denklemlerinde, hız ve basınç değerlerinin olduğu Navier-Stokes denklemlerinde oldukça iyi sonuçlar veren ve sınır şartlarını belirlenmesi de kolay olan bir metoddur. Bu nedenle bu çalışmada 2 boyutlu akış düzlemine ait akış ipçiklerinin belirlenmesinde uygulanacak Navier-Stokes denklemleri için SIMPLE (Patankar, 1972) metodu seçilmiştir. Akış sürekli rejimdedir ve fiziksel özellikler sabittir. Giriş hızı parabolik veya uniform olup sadece çıkış basıncı biliniyor kabul edilmiş ve çıkışta tam gelişmiş akış özelliği aranmıştır. Duvar kenarında ise hız bileşenleri 0 (sıfır) alınmıştır.

15 15 BÖLÜM II NAVIER-STOKES DENKLEMLERİ 2.1 AKIŞKAN HAREKETİNİN DİFERANSİYEL ANALİZİ : Kartezyen koordinat sisteminde dx,dy,dz ebatlarında diferansiyel bir kontrol hacmini Şekil 1 de olduğu gibi ele alalım. Bu kontrol hacminin merkezinde yoğunluk ρ, / hız ise bu noktada V = ˆi.u ˆj.v k.w ˆ dir. ρ x ρ x 2 u x u x 2 ρ x ρ x 2 u x u x 2 x z Şekil 1: Kütlenin Korunumu [5] Bu kontrol hacmi için kütlenin korunumu ifadesini yazacak olursak; ρ d ρvda = 0 (2.1.1) t Şekil 1 de görülen x.. z ebatlarındaki bir kontrol hacmindeki net kütle girişi için; ρ x u x ρ x u x = ρ u. z ρ u.. z x 2 x 2 x 2 x 2 u x ρ x ρ x u x u x ρ x ρ x u x = ρ u ρ u.. z ρu ρ u.. z x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 elde edilir. Bu ifadeyi x,y,z yönlerinde tek tek yazmak gerekirse;

16 16 x yönünde kütlenin korunumu: y yönünde kütlenin korunumu: z yönünde kütlenin korunumu: ( u) ρ u ρ x. y. z = x ρ u x. y. z x x ( v) ρ v ρ x. y. z = y ρ v x.. z y y ( w) ρ w ρ x. y. z = z ρ w x. y. z z y (2.1.2) (2.1.3) (2.1.4) Denklem de belirtilen ifadeyi şu şekilde yazabiliriz. Yüzeylerden Kontrol Hacmindeki = Kütlenin Korunumu Net Kütle Çıkışı Kütlenin Zamanla Değişimi (2.1.5) ( u) ( v) ( w) ρ ρ ρ x.. z x.. z x.. z ( ρ. x.. z) = 0 x y z t ( u) ( v) ( w) ρ ρ ρ ρ x.. z x.. z = 0 x y z t (2.1.6) Buna göre kartezyen koordinatlarda üç boyutlu bir kontrol hacmi için elde edilecek en genel süreklilik denklemini; ( ρu) ( ρv) ( ρw) x y z ρ = 0 t (2.1.7) olarak yazmak mümkündür. İki boyutlu bir kartezyen koordinat sisteminde ise bu denklem; ( ρu) ( ρv) x y ρ = 0 t (2.1.8) olur.bunu vektörel notasyonda basitçe şu şekilde ifade edebiliriz. ρ (. V ) = 0 ρ (2.1.9) t

17 17 Bu ifade sürekli rejim şekilde ifade edilir. ρ = 0 ve sürekli sıkıştırılamaz akış için aşağıdaki t Sürekli Akış: ( ρ. V ) = 0 (2.1.10) Sürekli Sıkıştırılamaz Akış: / V = 0 (2.1.11) Sonuç olarak bu çalışmada kullanılan Denklem elde edilir.

18 MOMENTUM DENKLEMLERİ τ yx τ yx. x. z y 2 τzx z τzx x. z 2 σxx x σxx.. z x 2 σxx x σ xx.. z x 2 τzx z τ zx x. z 2 x τyx τyx. x. z y 2 z Şekil 2: Momentum Denklemi [5] Akışkan içerisinde alınan x, ve z boyutlarında bir kontrol hacmi için x yönünde olan tüm yüzeylerdeki gerilmeleri tek tek yazacak olursak Şekil 2 elde edilir. Sonlu bir sistem için Newton un ikinci yasasına göre basıncın zamanla değişimi kuvvet değişimini vereceğinden momentum denklemi; d P d F = dt sys yazmak mümkündür. Basınç için deyişle; P = V. dm yazılacak olursa d F DV m Dt = olup bir başka V V F = m u v x y V w z V t d (2.2.1) olur. Aynı ifade Şekil 2 göz önüne alınarak basma ve kayma gerilmeleriyle ifade edilecek olursa momentum denklemi;

19 19 / σxx x τ yx τzx z dfsx = σ xx.. z τ yx. x. z τ zx x. x 2 y 2 z 2 σxx x τyx τzx z σxx.. z τyx. x. z τzx x. x 2 y 2 z 2 (2.2.2) / σxx x τyx τzx z dfsx =.. z. x. z x. x 2 y 2 z 2 σxx x τyx τzx z.. z. x. z x. x 2 y 2 z 2 (2.2.3) Denklemi basitleştirecek olursak; / σ τ xx yx τzx dfsx =. x.. z x y z (2.2.4) (2.2.1) ve (2.2.4) denklemleri birleştirilerek çekme ve kayma gerilmelerine bağlı olarak aşağıdaki momentum denklemleri elde edilir. X yönünde momentum denklemi; u u u u σ τ xx yx τ zx ρ u v w = x y z t x y z (2.2.5) Y yönünde momentum denklemi; v v v v τxy σ yy τzy ρ u v w = x y z t x y z (2.2.6) Z yönünde momentum denklemi; w w w w τ τ σ x y z t x y z xz yz zz ρ u v w = (2.2.7)

20 20 Diferansiyel hacim üzerinde bulunan kayma ve kesme gerilmeleri yazılacak olursa; v u τ = τ = µ (2.2.9) xy yx x y 2 V σ xx = p µ V 2µ 3 x (2.2.10) w u τ = τ = µ (2.2.11) xz zx x z 2 V σ = p µ V 2µ yy 3 y (2.2.12) v w τ = τ = µ (2.2.13) yz zy z y 2 V σ zz = p µ V 2µ 3 z (2.2.14) Sabit viskozitede sıkıştırılamaz akış kabulü yapılarak yukarıdaki çekme ve kayma gerilmeleri yazılacak olursa bilinen momentum denklemleri (Navier-Stokes denklemleri) elde edilir. Buna göre; X yönünde momentum denklemi; u u u u P u u u ρ u v w = µ x y z t x x y z (2.2.15) Y yönünde momentum denklemi; v v v v P v v v ρ u v w = µ x y z t x x y z (2.2.16) Z yönünde momentum denklemi; w w w w P w w w ρ u v w = µ x y z t x x y z (2.2.17) Problemin çözümünde uygulanacak olan Navier-Stokes Denklemi vektörel formasyonda şu şekilde gösterilebilir. / DV P / 2 ρ = µ V Dt x (2.2.18)

21 BOYUTSUZ NAVIER STOKES DENKLEMİ Denklem (2.2.18) yerçekimi etkisi ihmal edilerek yeniden yazılacak olursa; DV P 2 ρ = µ V Dt x u u u u P u u u ρ u v w = µ x y z t x x y z u u u u P µ u u u u v w = x y z t. x ρ ρ x y z (2.3.1) (2.3.2) Boyutsuz ifadeler (*) üst indisleri ile gösterilecek olursa, ve akışkan ile geometri açısından ortalama hız V, kanal genişliği L, kanal yüksekliği H, akışkanın özgül ağırlığı ρ olarak alındığında x-y düzleminde aşağıdaki boyutsuzlaştırmalar yapılmaktadır. f f = x x * * x x f = * x. L f f = y y * * y y f = * y. L (2.3.3) f t f = t * * t t f. V = * t. L denklem (2.3.2) yi aşağıdaki şekilde yazmak mümkündür; ( u V ) ( u V ) x ( v V ) ( v V ) ( u V ) ( p. ρ. V ) µ ( u V ) ( v V ) y t = ρ. x ρ x 2 y 2 (2.3.4) V u V v V u V p µ V u v.u.v = L L L L x y t x L ρ x y (2.3.5) sadeleştirmeden sonra boyutsuz Navier-Stokes denklemi elde edilir. u u v u p 1 2 u 2 v v = Re 2 2 x y t x x y (2.3.6)

22 22 BÖLÜM III SIMPLE ALGORİTMASI 3.1 GENEL BİLGİ SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations) Metodu [6] basınç düzeltme denklemleri (Pressure-Correction Equations) kullanılarak hız vektörlerinin açık biçimde (explicit), basınç düzeltme değerlerinin ise kapalı biçimde (implicit) çözüldüğü bir algoritmadır. Bu çözüm yönteminde sonlu farklılaştırmalarda sadece ana düğüm noktaları ve bunların komşu noktaları değil, bu noktaların arasında yer alan noktalarda kullanılmıştır. Bu tür ızgara yapısının oluşturulması ve kullanımı literatürde kaydırılmış ızgara yapısı olarak anılmaktadır. Bu nedenle hız dağılımlarını elde etmek için tüm değişkenleri aynı düğüm noktası üzerinde hesaplamak gerekmemektedir. Bu tip bir ızgara yapısı ilk kez 1965 yılında Harlow ve Welch tarafından yaptıkları MAC metodunda kullanılmış ve daha sonra Harlow ve çalışanları tarafından geliştirilen birçok metodda uygulanmıştır [6]. SIMPLE metodunda Bölüm 3.3 de belirtilen kaydırılmış (staggered) ızgara yapısı kullanılmaktadır. SIMPLE metodu revize edilerek SIMPLER Metodu (Patankar, 1979a) olarak geliştirilmiştir. SIMPLE metodu Navier-Stokes denklemlerini (pseudotransient) geçici rejim problemi gibi çözerek sürekli rejim çözümüne ulaşmayı amaçlamaktadır. Ancak sürekli rejime ulaşılıncaya kadar; yani u/ t 0 ve v/ t 0, oluncaya kadar olan ara kademe çözümlerin akışın gerçek geçici rejim davranışını aynen yansıtmaz.

23 SINIR ŞARTLARI Dikdörtgen kesitli bir kanalda optimum bir sistem ele alınacak olursa Şekil 3 de gösterilen 5x4 lük bir sistem kullanılabilir. Böyle bir sistemde akış hattı için girişte u ve v sabit olup, P basınç değerleri bilinmiyor kabul edilmiştir. Tam gelişmiş akış şartı için girişte sabit u değerleri için parabolik hız dağılımı verilmiş ve çıkışta u/ x = 0alınmıştır. Alt ve üst noktalarda ise duvar cidarında u=0, v=0 dır. Çıkış basınç değeri ise P=Pout olarak alınmıştır. Şekil 3: Kanal akış sistemi

24 24 Kaydırılmış ızgara (staggered grid) yapısında; u hız bileşenlerine ait noktalar mavi küreler ile, v hız bileşenlerine ait noktalar kırmızı kürelerle ve basınçlara ait düğüm noktaları ise yeşil küreler ile gösterilecek olursa sınır şartları da göz önüne alındığında Şekil 4 elde edilir. Düğüm noktalarını ayrı ayrı incelemek gerekirse basınç noktaları Şekil 5, u hız vektörleri Şekil 6, v hız vektörleri Şekil 7 de sınır şartları ile birlikte gösterilmiştir. Basınç değerlerine ve hız bileşenlerine ait bilinmeyen noktaların numaralandırılması Şekil 8 de gösterilmiştir. Şekil 4: Düğüm noktaları ve sınır şartları Şekil 5: Basınç noktaları ve sınır şartları Şekil 6: U-Hız noktaları Şekil 7: V-Hız noktaları

25 25 Şekil 8: Kaydırılmış grid sistemi ve numaralandırma

26 NAVIER-STOKES DENKLEMLERİNİN SONLU FARKLILAŞTIRILMASI X Yönünde Momentum Denklemi: Dikdörtgen kesitli kanal içerisinde akış problemi için iki boyutlu sistemde x yönündeki Navier-Stokes denklemi eşitliğin sağ tarafı sıfır olacak şekilde yazılacak olursa; u u 1 u uv 1 u P 0 t x Re 2 = y Re 2 x y x (3.3.1) Buna göre x yönünde Navier-Stokes denklemi aşağıdaki şekilde yazılabilir; u 2 1 u 1 u uv u P = 0 t x Re x y Re y x (3.3.2) Benzer şekilde y yönünde Navier-Stokes denklemi; v 1 v 2 1 uv v v P = 0 t x Re x y Re y y (3.3.3) olarak yazılır. Akış kanalı içerisinde akış sıkıştırılamaz kabul edilmiş ve yerçekimi etkisi ihmal edilmiştir. (1) 2 1 Denklemlerde x ve y yönündeki parametreler F = u u Re x, (1) 1 u G = uv Re y, F v = uv Re x (2) 1 (2) 2 1 ve G = v v Re y ile ifade edilecek olursa momentum denklemleri; (1) (1) u F G P = 0 t x y x. (3.3.4) ve (2) (2) v F G P = 0 t x y y (3.3.5) olur.

27 27 Şekil 9: u hız bileşenini hesaplamada kullanılan değerler Bu denklem sistemini kullanarak yeni u M hız bileşeninin bulunabilmesi için gerekli tüm değerler Şekil 9 da gösterilmiştir. Şekilden de faydalanarak yukarıdaki denkleme göre u M hızının diferansiyel açılımı yazılacak olursa; (1) (1) (1) (1) um um FP2 FP 1 GV2 GV1 PD PB = 0 t x x (3.3.6) Burada yer alan parametreler sonlu farklarla şu şekilde yazılır. F (1) P2 2 D M 1 D M u u u u = 2 Re x (3.3.7) F (1) P1 2 M B 1 M B u u u u = 2 Re x (3.3.8) G u u v v 1 u u = 2 2 Re (1) K M a2 b2 K M V 2 (3.3.9) G u u v v 1 u u = 2 2 Re (1) M G a1 b1 M G V1 (3.3.10) Şimdi burada F x (1) ifadesini u değerleri cinsinden ayırmak gerekirse;

28 28 F x x x x olur. Benzer şekilde (1) ud 2uDuM um um 2uBuM ub 1 ub 2uM ud = 4 4 Re 2 M ( ) u u u 1 u 2u u = x Re ( x) M D B B M D 2 (1) G y ifadesi içinde yazılacak olursa; ( ) (3.3.11) uk um va2 vb2 1 uk um um ug va1 vb1 1 um ug (1) G 2 2 Re 2 2 Re = y M v v v v v v v v 1 u 2u u = Re ( ) a2 b2 a2 b2 a1 b1 a1 b1 K M G uk um ug 2 v v 1 v v v v 2 v v 1 = 4 Re ( ) 4 Re ( ) 4 Re ( ) a2 b2 a2 b2 a1 b1 a1 b1 u 2 K u 2 M u 2 G (3.3.12) Buna göre denklemi tekrar yazacak olursa; ( ) um um um ud u 1 B ub 2uM u D va2 vb2 1 u t x Re 2 2 ( x) 4 Re ( ) v a2 vb2 va1 v 1 2 b va1 vb1 1 PD PB u M u 2 G = Re ( ) 4 Re ( ) x Son düzenleme ile denklem; t t t va2 vb2 1 M M M ( D B) ( 2 ) 2 B M D K u u u u u u u u u x Re 4 Re ( x) t va2 vb2 va1 vb1 2 t va1 vb1 1 PD PB um ug = 0 4 Re 4 Re x K (3.3.13) (3.3.14) Denklemde t, x ve değerlerini içeren terimler yerine aşağıdaki katsayılar denklemlerde basitlik sağlamak için tanımlanırsa; t 1 α x = β x = x Re x t 1 α y = β y = Re katsayıları elde edilir. α β = x y x α β = y t 2 ( x) Re t 2 ( ) Re

29 29 Impilicit bir çözüm için n1. terimleri () üst indisi ile gösterecek olursak; ( ) α β ( 2 ) u u u u u u u u M M αx M D B x x B M D va2 vb2 va2 vb2 va1 vb1 va1 vb1 αy βy uk αy 2βy um αy βy ug ( P P ) α = 0 x D B u u α u u α u u α β u 2α β u α β u M M x M D x M B x x B x x M x x D ( P P ) (3.3.15) v v α v v α β ( ) 4 α β 4 α β 4 a2 b2 y a1 b1 y y uk va2 vb2 va1 vb1 2 y y um y y ug α = 0 x D B (3.3.16) Merkez, Doğu, Batı, Kuzey ve Güney deki u hız bileşenlerine göre zamana bağlı x yönündeki momentum denklemi ; v v v v α ( β ) α ( β ) α β α β 4 4 α y 1 2αxβ x 2αyβ y ( va2 vb2 va1 vb1) um = um αx ( PD PB ) 4 a2 b2 a1 b1 x um x ud x um x ub y y uk y y ug (3.3.17) şeklini alır. Özellikle matris formunda hesaplamalarda ve sınır koşullarına göre denklemlerin yazılmasında kolaylık olması bakımından u hız bileşenlerine ait katsayılar F u, D u, H u, B u, E u, Q u ile ifade edilecek olursa; i i i i i i u u u va2 vb2 u va1 vb1 Fi = αx ( um βx) ; Di = αx ( um βx) ; Hi = αy βy ; Bi = αy βy ; 4 4 u α y u Ei = 1 2αxβx 2 αyβy ( va2 vb2 va1 vb1) ; Qi = um x ( PD PB ); 4 α olmak üzere u hız bileşeni için genel fark denklemi basitçe; u u u u u u i G i B i M i D i K i B. u D. u E. u F. u H. u Q (3.3.18) = (3.3.19) olur. Bütün düğüm noktaları için tek tek bu fark denklemleri türetildiğinde bir lineer denklem sistemi (matris denklemi) elde edilir. Bu matris denkleminin matrisi beş köşegenlidir. Buna göre AU =Q olup, buradaki A matrisi ve U ile Q vektörlerine adaptif SOR algoritması hesap yönteminde değinilecektir.

30 Y Yönünde Momentum Denklemi: Şekil 10: v hız bileşenini hesaplamada kullanılan değerler Benzer şekilde v hız bileşeni için denklem (3.3.5), denklem (3.3.6) gibi sonlu farklılaştırılınca Şekil 10 da yer alan noktalara göre değiştirilecek olursa, (2) (2) (1) (1) vm vm FK FG GV2 GV1 PK PG = 0 t x (3.3.20) vm v M ua2 u 2 1 b ua2 ub2 ua1 ub1 2 v 4 2 D v t x 2 Re ( x) 4 x Re ( x) ( ) ua 1 u 1 1 b vm vk v 1 G vk 2vM v G PK PG v B = x 2 Re ( x) Re ( ) (3.3.21) n1. terimler () indisi ile gösterilecek olursa ve komşu v hız bileşenlerini de içeren y yönündeki momentum denkleminde v hız bileşenlerine ait katsayılar B v, D v, E v, F v, H v, Q v ile ifade edilecek olursa; i i i i i i v v v ua1 ub1 v ua2 ub2 Hi = αy ( vm βy) ; Bi = αy ( vm βy) ; Di = αx βx ; Fi = αx βx ; 4 4 v αx v Ei = 1 2αxβx 2 αyβy ( ua2 ub2 ua1 ub1) ; Qi = vm αy ( PK PG ); 4 olmak üzere v hız bileşeni için genel fark denklemi basitçe şöyle olur. v v v v v v i G i B i M i D i K i B. v D. v E. v F. v H. v Q M (3.3.22) = (3.3.23) Genel fark denklemi, sınır şartları göz önüne alındığında, u-momentum denkleminin çözümünde olduğu gibi bir matris denklemi elde edilir ve bu denklem adaptif SOR yöntemiyle çözülmektedir.

31 u Hız Bileşeninin Çözümünde Sınır Şartlarının Genel Fark Denklemlerine Uygulanması Şekil 8 ele alındığında dikdörtgen kanal içinde akış probleminde her bir sınır koşulu için denklemleri yazmak mümkündür. Burada u hız bileşenleri için yatay eksendeki düğüm noktası sayısı Wu=5 ve düşey eksendeki düğüm noktası sayısı Hu=3 olup u in giriş hızıdır. Alt ve üst noktalarda u üst =0 ; u alt =0; olmak üzere; Tip 1: (sol alt köşe) m=1 için; u. m m u m. u m 1 m. u u m Wu m m. u = in m. alt E u F u H u Q D u B u u. u u u u m m m. m 1 m. m Wu = m m. in E u F u H u Q D u Tip 2: (alt kenar) m=2,3,4 nolu noktalar için; u. u m m 1 m. u m m. u m 1. u m m Wu = m D u E u F u H u Q Tip 3: (sağ alt köşe) m=5 için; ( ) u. u u m m 1 m m. u. u m m m Wu m D u E F u H u Q Tip 4: (sol sınır) m=6 için; = (çıkışta süreklilik) u. u. u m m Wu m m m. u m 1 m. u u m Wu = m m. in B u E u F u H u Q D u Tip 5: (orta düğüm noktaları için) m=7,8,9 için; u. u. u m m Wu m m 1 m. u m m. u m 1 m. m Wu B u D u E u F u H u = Q u m Tip 6: (sağ sınır) m=10 için; ( ) u. u m m Wu m. u u m 1 m. u. u m m m m Wu m B u D u E F u H u Q = (çıkışta süreklilik) Tip 7: (sol üst köşe) m=11 için; u. u m m Wu m. u u u m m. m 1 = m m. in B u E u F u Q D u Tip 8: (üst kenar) m=12,13,14 nolu noktalar için; u. u. u m m Wu m m 1 m. u u m m. m 1 = m B u D u E u F u Q Tip 9: (sağ üst köşe) m=15 için; u u u u u B. u D. u E F. u = Q (çıkışta süreklilik) m ( ) m Wu m m 1 m m m m

32 v Hız Bileşenleri için Sınır Şartlarına Göre Noktasal Denklemler Benzer şekilde Şekil 8 göz önünde bulundurulduğunda v hız bileşeni için Wv=6; Hv=4; v in =0; v üst =0 ; v alt =0; olmak üzere; Tip 1: (sol alt köşe) m=1 için; v. v v v v v m m. m m 1 m. 1 Wv = m m. in m. alt E v F v H v Q D v B v v. v v v m m m. m 1 m. m Wv = m E v F v H v Q Tip 2: (alt kenar) m=2,3,4,5 nolu noktalar için; v. v m m 1 m. v m m. v m 1. v m m Wv = m D v E v F v H v Q Tip 3: (sağ alt köşe) m=6 için; v v v v ( m m). m 1 m.. 1 v D F v E v H v = Q (çıkışta süreklilik) m m Wv m Tip 4: (sol sınır) m=7,13 nolu noktalar için; v. v. v m m Wv m m m. v v m 1 m. m Wv = m B v E v F v H v Q Tip 5: (orta düğüm noktaları için) m=8,9,10,11 ve 14,15,16,17 için; v. v. v m m Wv m m 1 m. v m m. v m 1 m. m Wv B v D v E v F v H v = Q v m Tip 6: (sağ sınır) m=12,18 nolu noktalar için; ( ) 1 v v v v v v B. v D F. v E. v H. v = Q (çıkışta süreklilik) m m Wv m m m m m m m Wv m Tip 7: (sol üst köşe) m=19 için; v. v m m Wv m. v m m. m 1 B v E v F v = Q v m Tip 8: (üst kenar) m=20,21,22,23 nolu noktalar için; v. v. v m m Wv m m 1 m. v v m m. m 1 = m B v D v E v F v Q Tip 9: (sağ üst köşe) m=24 için; ( ) 1 v v v v v B. v D F. v E. v = Q (çıkışta süreklilik) m m Wv m m m m m m

33 SÜREKLİLİK ve BASINÇ DENKLEMLERİ Basınçların hesaplanmasında basınç düğüm noktaları için sınır şartlarını uygulamaya gerek yoktur. Yeni hız bileşenleri ile eski hız bileşenleri karşılaştırıldığında elde edilen denklemleri süreklilik denklemine uygulayarak basınç düzeltme denklemleri elde edilmektedir. Bir an için komşu düğüm noktalarındaki hız değişimlerinin sıfır olduğunu kabul edelim; yani u = u, u = u, u = u, u = u olsun. Bu varsayım, başlangıçta yanlış G G B B D D K K olmasına rağmen, bu varsayımla yapılan hatanın iterasyon sayısının arttırılması ve basınç profilinin düzeltilmesiyle düzeldiği görülmektedir. Bu durumda denklem (3.3.19) hem u lar hem de u lar için yazılıp taraf tarafa çıkartılmasıyla; u u u u u u i G i B i M i D i K i B. u D. u E. u F. u H. u = Q u u u u u u i G i B i M i D i K i B. u D. u E. u F. u H. u = Q u u E i. u M = Q i (3.3.24) elde edilir. Bu şekilde Q terimi içerisinde yer alan P değerlerinin de bulunduğu u hız bileşenini düzeltme denklemini elde ederiz, bunu da açarsak; ( P P ) α x D B um = α y 1 2αxβx 2αyβy ( va2 vb2 va1 vb1) 4 (3.3.25) Yeni u M değeri hesaplanan u M değerine bu düzeltmenin eklenmesi ile bulunur. M M M u = u u (3.3.26) böylece denklem (3.3.26); u M ( P P ) αx D B = um α 1 2α β 2α β 4 şeklini alır. Sonuç olarak; ( v v v v ) y x x y y a2 b2 a1 b1 (3.3.27) u M yazılabilir. u Q i = um E u i (3.3.28)

34 34 Benzer şekilde v hız bileşenleri için de aynı yöntem izlenirse; v v v v v v i G i B i M i D i K i B. v D. v E. v F. v H. v = Q v v v v v v i G i B i M i D i K i B. v D. v E. v F. v H. v = Q v v E i. vm Q i = (3.3.29) buna göre; ( P P ) α y K G vm = α 1 2α β 2α β 4 ( u u u u ) x x x y y a2 b2 a1 b1 (3.3.30) yine burada benzer işlemler uygulanarak v hız bileşenleri için gereken düzeltme denkelemlerini elde etmek mümkündür. M M M v = v v (3.3.31) v M ( P P ) αy K G = vm α 1 2α β 2α β 4 ( u u u u ) x x x y y a2 b2 a1 b1 (3.3.32) v M v Q i = vm E v i (3.3.33) Dikdörtgen kesitli kanal içerisinde sürekilik denklemi; u v = 0 x y (3.3.34) olup bu denklem içerisinde düzeltmeleri de içeren yeni u ve v değerlerini yani u = u u, v = v v değerlerini koyacak olursak;

35 35 u u v v Q D Q B Q K Q G ud ub vk vm u u v v E D E B E K E G = 0 x (3.3.35) bu denklemi açarak komşu basınç düzeltmelerini ve 12 farklı hız bileşenini içeren denklem elde edilir. Bu denklemde kullanılan tüm ifadeler Şekil 11 üzerinde gösterilmiştir. Şekil 11: P basınç değerlerini hesaplamada kullanılan değerler u D v ( ) ( ) ( ) αx PD PM αx PM PB ub αy αy 1 2αxβx 2αyβy ( vk vkd vg vgd) 1 2 x x 2 y y ( vk vkb vg vgb) 4 α β α β 4 x K ( ) αy PK PM αy PM PG vg αx αx 1 2αxβx 2αyβy ( ud ukd ub ukb) 1 2αxβx 2αyβy ( ud ugd ub ukb) 4 4 = 0 (3.3.36) denklemi düzenlemek gerekirse;

36 36 αx / x αx / x PD PB αy αy 1 2αxβx 2αyβy ( vk vkd vg vgd) 1 2 x x 2 y y ( K KB G GB) 4 α β α β v v v v 4 αx / x αx / x αy α y 1 2αxβx 2αyβy ( vk vkd vg vgd) 1 2 x x 2 y y ( vk vkb vg vgb) 4 α β α β 4 PM α y / α y / αx αx 1 2αxβx 2αyβ y ( ud ukd ub ukb) 1 2 x x 2 y y ( ud ugd ub ugb) α β α β 4 4 αy / αy / PK PG αx αx 1 2αxβx 2αyβy ( ud ukd ub ukb) 1 2αxβx 2αyβy ( ud ugd ub ugb) 4 4 * * ud ub v x * * K vg = 0 (3.3.37) Daha önce u ve v hızlarında yapıldığı gibi özellikle matris formunda hesaplamalarda ve sınır koşullarına göre denklemlerin yazılmasında kolaylık olması bakımından yukarıdaki denklemde yer alan P basınç değerlerine ait katsayılar p p p p B, D, E, F, H ile ifade edilecek olursa; i i i i p i F p m D H B b p m p m p m m α x / x = α y 1 2αxβx 2αyβy ( vk vkd vg vgd) 4 α x / x = α y 1 2αxβx 2αyβy ( vk vkb vg vgb) 4 α y / = α x 1 2αxβx 2αyβy ( ud ukd ub ukb) 4 α y / = α x 1 2αxβx 2αyβy ( ud ugd ub ugb ) 4 ud ub v = x K v G ( mdüğüm noktasındaki süreklilik) (3.3.38)

37 37 Burada P M noktasına ait katsayının diğer komşu katsayıların toplamına eşit olduğu görülmektedir. p p p p p p p p F P D P H P B P ( D F H B ) P b = 0 (3.3.39) i D i B i K i G i i i i M m ( i i ) p p p p p i i i E B D F H = (3.3.40) olarak tanımlanmasıyla basınç noktaları için yazılabilecek genel fark denklemi ise şöyledir. p p p p p i G i B i M i D i K m B. P D. P E. P F. P H. P b 0 = (3.3.41)

38 P BASINÇ DEĞERLERİ İÇİN SINIR ŞARTLARINA GÖRE NOKTASAL DENKLEMLER Şekil 8 ele alındığında her bir basınç noktası için süreklilik denklemini yazılabilir. Dolayısıyla her bir noktaya ait P düzeltme değerlerine ait denklemleri yazmak mümkündür. Burada Pout çıkış basıncı olmak üzere P basınç değerleri için yatay düğüm noktası sayısı Wp=5 ve düşey düğüm noktası sayısı Hp=6 dır. Tip 1: (sol alt köşe) m=1 için; ud ub vk 0 = 0 x u v D G = ub = 0 = 0 p HmPK H P = p vk ( m ) M 0 Tip 2: (alt kenar) m=2,3,4 nolu noktalar için; ud ub vk 0 = 0 x u v D G, ub = 0 = 0 p HmPK H P = p vk ( m ) M 0 Tip 3: (sağ alt köşe) m=5 için; ud ub vk 0 = 0 x u = 0 p p v K x HmPK ( Hm) PM = 0 ud, ub, vg = 0 Tip 4: (sol sınır) m=6,11,16 nolu noktalar için; ud ub vk vg = 0 x p p p p p p p p ud ub vk v G DmPB Fm PD HmPK BmPG ( Dm Fm Hm Bm) PM = 0 x Tip 5: (orta düğüm noktaları için) m=7,8,9 ve 12,13,14 ve 17,18,19 için; ud ub vk vg = 0 x p p p p p p p p ud ub vk v G Fm PD DmPB HmPK BmPG ( Dm Fm Hm Bm) PM = 0 x

39 39 Tip 6: (sağ sınır) m=10,15,20 nolu noktalar için; ud ub vk vg = 0 x u = 0 x p p p p vk v G HmPK BmPG ( Hm Bm) PM = 0 Tip 7: (sol üst köşe) m=21 için; u u x 0 = 0 D B v G ub, ud = 0 vk = 0 p p v G BmPG ( Bm) PM = 0 Tip 8: (üst kenar) m=22,23,24 nolu noktalar için; u u x 0 = 0 D B v G u v D K, ub = 0 = 0 p p v G BmPG ( Bm) PM = 0 Tip 9: (sağ üst köşe) m=25 için; u u x 0 = 0 D B v G u = 0 x vk = 0 p p v G BmPK ( Bm) PM = 0 P ler için sınır koşulları göz önüne alınarak elde edilen fark denklemleri bir matris denklemi oluşturur. A P = q P. Bu matris denklemi (lineer denklem sistemi) u ve v momentum denklemlerinin çözümünde olduğu gibi adaptif SOR metodu yardımıyla çözülmektedir. Burada A P beş köşegenli bir matristir.

40 40

41 41

42 42

43 SIMPLE ALGORITMASI SIMPLE metodu aşağıda adım adım verilen prosedüre göre çözüm verir; i) u,v ve P değişkenleri için akış alanındaki tüm düğüm noktaları için başlangıç değerlerini belirle, zaman sayacını sıfırla. ii) Denklem ü kullanarak sınır şartlarına göre u momentum denklemleri için matris denklemini oluştur, çöz ve çözümleri u değişkenlerine ata. iii) Denklem i kullanarak sınır şartlarına göre v momentum denklemleri için matris denklemini oluştur, çöz ve çözümleri v değişkenlerine ata. iv) Denklem i yeni u ve v değerleri ile beraber kullanarak sınır şartlarına göre p (Poisson Denklemi) matrisini oluştur, çöz ve α gibi bir yakınsama parametresi kullanarak, çözümleri p =pα.p değerlerine ata. ( α=0.8 seçilebilir.) v) Yeni basınç değerlerini kullanarak u hız bileşeni düzeltme değerlerini bul ve u değerlerini buna göre düzelt. vii) Yeni basınç değerlerini kullanarak v hız bileşeni düzeltme değerlerini bul ve v değerlerini buna göre düzelt. viii) Zaman sayacını t kadar arttır ve her noktada süreklilik bir ε kriteri mertebesinde mutlak değerce sağlanmadıkça 2. adımdan itibaren işleme devam et. ( b max <ε ) Bununla ilgili olarak akış şeması ve basitleştirilmiş program algoritması ise şu şekildedir;

44 44 t=0 u,v,p değerlerine tahminde bulun u değerlerini kullanarak u değerlerini elde et (Denklem ) v değerlerini kullanarak v değerlerini elde et (Denklem ) u ve v değerlerini kullanarak p değerlerini elde et (Denklem ) p =pα.p u değerlerini bul ve u değerlerini düzelt (Denklem ) v değerlerini bul ve v değerlerini düzelt (Denklem ) t=t t Hayır b max <ε Evet Sonuçları yazdır veya grafik olarak düzenle SON Şekil 12: Akış Şeması

45 YAPILAN ÇALIŞMALAR VE TARTIŞMALAR Dikdörtgen kesitli kanallarda akış alanını belirlemede hız vektörleri ele alınarak akış yönünü görmek mümkündür. Bu doğrultuda sürekli rejimde ve 2 boyutlu akışta hız bileşenleri ve basınç değerlerinin zamana bağlı olarak değişimlerin incelenmesinde Navier-Stokes denklemlerinden faydalanılmış ve SIMPLE [6], algoritması ile ilgili düğüm noktalarında hız vektörleri ve basınç değerleri elde edilmiştir. Tüm sayısal sonuçların elde edilmesinde ve temel incelemelerde C programlama dilinde hazırlanan programlar kullanılmıştır. Dilin çok geniş olması, matematiksel ifadelerin hesaplanmasında hızlı oluşu, bilgisayarın tüm olanaklarına (hafıza, sabit disk, grafik vs.) erişilebilir olması, grafik desteği ve görsel Windows sunumlarını da içermesi (pencereler, menüler, butonlar vs.) programlama ve yorumlamalarda oldukça faydalı olmuştur. Çalışmalarda iki adet Pentium 333 işlemcili 32 MB 4 Mb Gfx PC bilgisayarlar ve bir adet Amiga bilgisayar kullanılmıştır. Hız ve basınç noktalarına ait sayısal değerler ve bunların vektörel gösterimleri; farklı sınır şartları, Re sayısı, basınç ve hız değerleri, kanal genişliği ve yüksekliğinde elde edilmiştir. Uygulanan denklemler ve program ile dikdörtgen kesitli kanal içinde serbest akışta duvar cidarında u ve v hız değerlerinin sıfır olduğu, düşey doğrultuda u u 1 2 y H/2 = max değişimini gösterdikleri ve kanal uzunluğu boyunca her kademede aynı oldukları (süreklilik) verilerle elde edilmiştir. Basınç değerlerinde ise kanal uzunluğu boyunca kademeli olarak P out çıkış basıncına kadar azalan dağılımlar elde edilmiştir. Basınç değerlerinin düşey doğrultuda aynı değerlerde olduğu saptanmıştır. Sistem daha da geliştirilerek kanal içerisine (ortasına) kare model konulmuş ve u-v hız bileşenlerinin yine kanal cidarında sıfır olduğu, konulan karenin cidarlarında da u-v hız bileşenlerinin sıfır oldukları kabul edilmiş, karenin alt ve üst kısımlarındaki

46 46 daralan bölgede akışın daha da hızlandığı, diğer bileşenlerin ise akışa uygun doğrultuda yer aldıkları saptanmıştır. Kanal içerisinde kare model uygulaması için yeni sınır şartları belirlemek yerine daha farklı objelerin de yerleştirilebilmesi için bloğun bulunduğu bölgede Re çok küçük tutulmuş ayrıca blok içinde yer alan tüm hızlar sıfırlanmıştır. Böylece %100 katı olmayan fakat katı modele yakın bir model ile hız vektörleri incelenmiştir. Sınır şartları uygulamalarında, ayır ayrı u bileşeni, v bileşeni ve basınç değerleri için düğüm noktalarının yerlerini çok iyi belirlemek gerekmektedir. Aksi durumda momentum denklemlerinin sonucu olarak hız ve basınç arasındaki ilişki kaybolmakta veya düğüm noktalarına ait formüllerde bazı değerlerin eksik kalmasına neden olmaktadır. Bu nedenle sınır şartlarında Şekil 8 e benzer sınır şartları denenmelidir. Sınır şartı uygulamalarında kaydırılmış ızgara yapısında bir kanal içerisinde akış problemi için kanal girişinde akışkanın giriş hızı ve giriş basıncı verilebilir, fakat uygulamada kanal çıkışında süreklilik istendiğinden kanal girişinde akışkanın giriş hızı ve çıkışta akışkanın çıkış basıncı verilmiş ve çıkışta hız bileşenleri için süreklilik şartı sağlanmıştır. Bilinmeyen düğüm noktalarına ait değerlerin başlangıç koşulları ne olursa olsun denklemler akışkanın karakterine uygun olarak başlangıç değerlerini düzeltmektedir. u in giriş hızı parabolik verilebildiği gibi üniform da verilebilir. Kanal içerisindeki diğer tüm u hız bileşenleri genellikle 1.0 alınmıştır (u set =1.0). Unutmamalıdır ki girişte üniform hız dağılımı verilirse hidrodinamik giriş uzunluğu için X = 0.04xRe. D şartı hidrodinamik aranmalıdır [2]. Bu nedenle kanal uzunluğu kanal yüksekliğine göre oldukça büyük seçilmelidir. Kanal içersinde kare blok durumlarında ise U set değerleri U in parabolik değerlerine eşit alınmış böylece tam gelişmiş akış ortamında problemin çözümüne başlanmıştır. Kanal girişinde parabolik hız dağılımı verilirken dikkat edilmeli, kesinlikle simetrik olmalıdır. Çıkış basıncı 0 alınabildiği gibi bu çalışma kapsamında 0.5 alınmıştır.

47 47 SIMPLE algoritmasının uygulanmasında sayısal indislerin kontrolünün kolay olması bakımından en çok Şekil 8 deki 5x4 lük optimum kaydırılmış ızgara yapısı kullanılmıştır. Kanal içinde serbest akış için 20x15 lik ızgara yapısı kullanılmıştır. Kanal içersinde kare blok durumlarında ise kanal için 120x63, kare blok için 9x9 luk ızgara yapısı kullanılmıştır. Y eksenindeki ızgara sayısının tek olması y eksenindeki u bileşenlerine ait düğüm noktası sayısının (Hu=H-1) çift olmasını sağlar bu da simetri ekseni boyunca dizili olan ve blok ön yüzüne çarpan u hızlarının kararsız kalması problemini ortadan kaldırmakla birlikte vorteks oluşumlarının tam simetrik başlamasını sağlar. Vorteks hareketlerinin daha serbest izlenebilmesi için kanal yüksekliği blok yüksekliğinin 7 katı kadar (H=7b) olmalıdır. Bloğun girişe uzaklığı yine blok genişliğinin 2-3 katı alınabilir (Xe=2a). Bu anlamda kanal gerisindeki vorteks salınımları için kanal uzunluğunun da kat olmasında fayda var [3]. Çalışmalar göstermiştir ki dar kanal durumunda dahi (H=3b gibi) vorteksleri görmek mümkün. Kanal içerisinde 1x1 birimlik kare blok durumunda uygun boyutlar kanal yüksekliği için 7-10 birim, kanal genişliği ise birim alınmıştır [3]. Hız bileşenlerinin denklemlerinden elde edilen beş köşegenli matrislerin çözümlerinde SOR metodu ile çözmek zaman almasına karşın daha büyük t aralıklarında dahi sonuç vermiş böylece toplam hesaplama süresi bakımından avantaj sağlamıştır. Öte yandan basınç düzeltme değerlerinin çözümünü içeren matris sistemi kesinlikle SOR veya benzer bir implicit metodla (Örneğin ADI Metodu) ile hesaplanmalıdır. SIMPLE algoritması explicit bir algoritma olup, t, x, ve Re arasında bir takım şartlar sağlanmadıkça yakınsama mümkün olmaz. Yakınsamayı garantilemenin en etkili ve kesin yolu t değerini mümkün mertebede küçük tutmaktır. Özellikle p basınç düzeltme değerlerine ait matris denkleminin çözümünde yakınsama için gerekli iterasyon sayısı oldukça fazla olup, yakınsama oranı büyük; diğer bir deyişle yakınsaması yavaştır. Bu nedenle SOR metodu içersinde sparse matrisleri de çözebilen ve ω hızlandırma parametresini de kendi içinde kontrol eden ve maksimum iterasyon

48 48 sayısında çözüm yapan adaptif bir algoritma uygulanmıştır. Zaman dilimi içersinde toplam iterasyon sayısının zaman zaman çok büyük olması nedeniyle maksimum iterasyon saysısı 1000 tutulmuştur. Düğüm noktalarının geometride bulunduğu konuma göre elde edilen , ve fark denklemlerinden birisi uygulanır. Böylece, örneğin u bileşeni için; u u u E1 F1 H 1 u u u u D2 E2 F2 H2 u u u u D3 E3 F3 H3 u u u u u BN DN EN FN H N A = u u u u u BN 1 DN 1 EN 1 FN 1 HN 1 u u u BNN DNN ENN u u 1 Q 1 u u2 Q2 u u3 Q3 U = ve q = u un QN u u NN Q NN Bu değerler; olur. matrisleri ele alınarak AU = q ile verilen matris denklemi SOR yöntemi kullanılarak çözülmektedir. Yöntem adaptif bir algoritma kullanmaktadır; yani ω hızlandırma parametresi her 10 iterasyonda bir hesaplanmakta ve yeni hesaplanan ω opt hemen kullanılmaktadır. Adaptif SOR metodunda ω opt hızlandırma parametresinin hesabında sırasıyla her bir iterasyonda bulunan u i, u i çözümleri alınarak 1, 2, 3 hesaplanır. u i, η η η değerleri N 2 N 2 1 ui u i, 2 ui u i, 3 2 / 1 i= 1 i= 1 η = η = η =η η

49 49 olup, daha sonra maximum özdeğer için bir yaklaşım (best) hesaplanır. ( η 3 ω 1) best = ω. η 3 best > 1 best = min( best, ω 1) Burada ω = 2/ 1 1 ( best) 2 opt olarak hesaplanır. t Blok içinde Re sayısının çok küçük olması dolayısıyla terimlerinin 2 ( x) Re büyük olması da ıraksamalara neden olmakta dolayısıyla blok içersindeki Re değerini çok çok küçük değerlerde alma imkanı olmamaktadır. Uygulamalarda Re 2 =1 alınmıştır. U Kanal içinde serbest akışta girişte uniform hız verilmesi durumunda çıkışta = xu değeri elde edilmiş ve ortalama hız değerinin yaklaşık olarak girişteki max 1.5 ort hız değerine eşit olduğu saptanmıştır. Basınç değerlerinin ise girişte çıkış basıncına göre daha büyük oldukları ve kademeli olarak azaldıkları saptanmıştır. Hesaplama süreci içersinde belirli bir zaman aralığı sonunda sürekli rejim şartına ulaşılmıştır. Kanal içerisinde blok problemlerinde ise akışkanın blok üzerine tam bir çarpma etkisi gösterdiği, ayrılarak daralan bölgelerde daha da hızlandığı tespit edilmiştir. Zamanla blok gerisinde simetrik vorteksler oluşmuş, daha sonra simetri bozularak ikiden fazla vorteksleri de saptamak mümkün olmuştur. Bloğun ön yüzünden saçılan akışkan hızının yüksek olmasından dolayı bloğun alt ve üst kısımlarında da bir miktar vorteksler saptanmış hatta bloğa çarpan yüzeyde dahi zaman zaman vorteksler oluşmuştur. Basınç değerleri ön yüzeyde büyük olurken arka yüzeyde oldukça düşük değerlerde seyretmektedir. Çalışmanın kontrolü bakımından Davis ve Moore un Quickest metoduyla kare blokta aldıkları grafiksel sonuçlar ve AnSYS programında yapılan çalışmalar karşılaştırılmış ve oldukça yakın değerler elde edilmiştir. Alınan sonuçlar aşağıda olduğu gibidir.

50 Kanal İçerisinde Serbest Akış- Üniform Giriş Hızı Bu çalışmada 20x15 lik ızgara yapısı kullanılmıştır. Re=1000 için girişte U in =1.0 üniform hızı verilmiş ve diğer tüm noktalardaki hız değerleri yine 1.0 alınmıştır (Uset=1.0). Çıkış basıncı 0.5 verilmiştir. Diğer tüm değerler aşağıda olduğu gibidir. W=20 H=15 Pout=0.5 Uin=1.0 Uset= dt= dx= dy= Re= Re2= alfa= ax= bx= abx= ay= by= aby= Uort= Umax= Umax/Uort= Time= bmax= CalcTime= sn Iter=101 Şekil a: Hız Vektörlerinin Dağılımı P (basınç) Şekil b: Basınçların Dağılımı Şekil c: AnSYS de Elde Edilen Hız Vektörleri Şekil d: AnSYS de Elde Edilen Basınç Dağılımı

51 Kanal İçerisinde Serbest Akış- Parabolik Giriş Hızı Bu çalışmada 20x15 lık ızgara yapısı kullanılmıştır. Re=1000 için girişte U in üniform hızı parabolik verilmiş ve diğer tüm noktalardaki hız değerleri yine 1.0 alınmıştır (Uset=1.0). Çıkış basıncı (Pout=0.5) verilmiştir. Diğer tüm değerler aşağıda olduğu gibidir. W=20 H=15 Pout=0.5 Uin=1.5*(1-(r/R)^2) Uset= dt= dx= dy= Re= Re2= alfa= ax= bx= abx= ay= by= aby= Uort= Umax= Umax/Uort= Time= bmax= CalcTime= sn Iter=11 Şekil a: Hız Vektörlerinin Dağılımı P (basınç) Şekil b: Basınçların Dağılımı

52 x33 Kanal İçerisinde Blok - Parabolik Giriş Hızı Bu çalışmada 60x33 lük ızgara yapısı ve 9x9 luk blok kullanılmıştır. Re=1000 için girişte U in üniform hızı parabolik verilmiş ve diğer tüm noktalardaki hız değerleri de parabolik verilmiştir (Tam Gelişmiş Akış). Çıkış basıncı (Pout=0.5) verilmiştir. Diğer tüm değerler aşağıdaki gibi olup farklı zamanlarda elde edilen grafikler aşağıda olduğu gibidir. W=60 H=33 Pout= Uset=Parabolic Uin= dt= dx= dy= Re= Re2= alfa= ax= bx= abx= ay= by= aby= Şekil a t=0.010 Şekil b t=0.500

53 53 Şekil c t=1.000 Şekil d t=2.000 Şekil e t=3.000

54 54 Şekil f t=4.000 Şekil g t=5.000 Şekil h t=7.000

55 55 Şekil i t= Şekil j t= Şekil l t=14.000

56 56 Şekil m t= de Basınç Dağılımı Aynı çalışmanın farklı zamanlarında alınan u bileşenleri, R hız vektörleri ve P basınç değerlerinin farklı zamanlardaki sayısal değişimleri ise aşağıda olduğu gibidir. Şekil m 60x33 lük grid yapısında u, R ve P değişimleri

57 57 Davis ve Moore un yaptığı bir çalışmada kanal boyutları şekillerde olduğu gibi olup, Re=1000 değeri için alınan sonuçlar ise şöyledir. Şekil n t=12 (Davis-Moore, 1982) Şekil o t=33.5 (Davis-Moore, 1982)

58 58 Şekil p t=37.5 (Davis-Moore, 1982) Şekil p t=41.5 (Davis-Moore, 1982) Şekil q t=43.5 (Davis-Moore, 1982)

59 PowerCFD Thesis x63 Kanal İçerisinde Blok - Parabolik Giriş Hızı Bu çalışmada önceki çalışmaya benzer şekilde 120x63 lük ızgara yapısı ve 14x9 luk blok kullanılmıştır. Re=1000 için girişte Uin üniform hızı parabolik verilmiş ve diğer tüm noktalardaki hız değerleri de parabolik verilmiştir (Tam Gelişmiş Akış). Çıkış basıncı (Pout=0.5) verilmiştir. W=60 H=33 Pout= Uset=Parabolic dt= dx= dy= Re= Re2= alfa= ax= bx= abx= ay= by= aby= Şekil a: t=3. sn Şekil b: Sürekli Rejimde AnSYS Çözümü

60 60 Şekil c: t=15. sn Şekil d: t=15. sn de Basınç Dağılımı

61 SONUÇLAR ve ÖNERİLER Dikdörtgen kesitli kanal içerisinde blok problemiyle ilgili yapılan çalışmalarda sonuçların gerek hız bileşenleri gerekse basınç dağılımı bakımından oldukça makul olduğu saptanmıştır. Ara çözümlerin benzerlik göstermesine karşın zaman zaman değişiklikler gösterdiği de saptanmıştır. Problemin pseudo-transient çözümü ve vortekslerin oluşması nedeniyle sürekli rejime ulaşmak da pek mümkün olmamıştır. Kanal içerisindeki blok probleminde çok viskoz akışkan tanımı yapılarak yapılan çözümleme yerine sonuçların daha sağlıklı yapılabilmesi bakımından orta noktalarda da blok için olan sınır şartlarının yazılmasında fayda var. Fakat karmaşık yapıdaki cisimlerin kanal içerisinde incelenmesinde hetorojen kanal yapısının tanımlanması özellikle denklemlerin çıkarılmasında kolaylık sağlar. Blok çevresinde düğüm noktalarındaki değişimlerin büyük olması nedeniyle bu bölgelerdeki grid sayısı arttırılmalıdır. Yine bu da sonuçların daha sağlıklı olmasını sağlayacaktır.

62 62 KAYNAKLAR [1] Anderson, D.A., Tannehill, J.C. ve Pletcher, R. H., 1984, Computational Fluid Mechanics And Heat Transfer, Mc Graw-Hill Book Company [2] Bejan A., 1984, Convectional Heat Transfer, John Wiley & Sons Inc. [3] Davis, R.W., Moore, E.F., 1980, A Numerical Study Of Vortex Shedding From Rectangles, Fluid Engineering Division, National Bureau of Standards, Washington, D.C , U.S.A. [4] Fletcher, C.A.J., 1991, Springer-Verlag Berlin Heidelberg [5] Fox R.W., McDONALD A.T., 1985, Introduction To Fluid Mechanics, John Wiley & Sons Inc. [6] Patankar, S.V., 1980, Numerical Heat Transfer And Fluid Flow, Mc Graw- Hill Book Company