Olasılık: Klasik Yaklaşım

Transkript

1 Olasılık Teorisi

2 Olasılık: Klasik Yaklaşım

3 Olasılık Bir olayın meydana gelme şansına olasılık denir. Örnek Türkiye nin kazanma olasılığı Hava durumu Loto

4 Olayların Olasılığını Belirleme Rastsal (gelişigüzel) Deneme Belirsizlikler karşısında elde edilmesi beklenen ve birden fazla sonucun ortaya çıkma olasılığını belirleyen bir süreçtir. Olasılık teorisi rastsal deneme süreci ile başlar. Örnekler Deney Sonuç Yazı tura atmak Yazı yada Tura Zarın yuvarlanması Tek veya çift sayı Okula gidiş süresi Dakika > 0 Futbol maçı X hisse senedinin performansı Yüksek,düşük,aynı

5 Örnek Uzayı Rastsal bir denemede ortaya çıkması olası olayların her birine basit olay, bu olaylardan oluşan sete örnek uzayı denir. Tüm olası sonuçların listesini oluştur. Listelenmiş sonuçların birbirini dışlayan sonuçlar olduğuna emin ol. Birbirini dışlayan: birbiri ile hiçbir sonucu ortak olmayan olaylardır

6 Örnek Uzayı Örnek uzayı için bu iki koşulun yerine getirilmesi gerekmektedir. Örnek Zarın bir kez yuvarlanması sonucu ortaya çıkabilecek olası sonuçlar: {1,2,3,4,5,6} Bir bebeğin doğum günü için olası örnek uzayı: {1 Ocak,, 31 Aralık}

7 Örnek Uzayı: U = {O 1, O 2,,O k } O 1 O 2 Örnek Uzayı Rastsal bir denemenin örnek uzayı tüm olası sonuçların bir listesidir. Sonuçlar birbirini dışlar nitelikte ve geniş kapsamlı olmalıdır. Olay Olay bir yada daha fazla basit olayın derlemesidir. Amacımız P(A) (A olayının ortaya çıkma olasılığı) nın belirlenmesidir Basit Olay Her bir sonuca basit olay denir. Basit olaylar bileşenlerine ayrılamaz.

8 Örnek: Örnek Uzayı Madeni bir paranın yazı tura atıldığını, sonra da bir zarın yuvarlandığını düşünelim. Bu deneyin örnek uzayını listeleyiniz. parada yazı ve zarda tek sayı gelmesi olayının sonuçlarını listeleyiniz Çözüm: Örnek uzayı = {Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,Y6,T1,T2,T3,T3,T4,T5,T6} {Y1,Y3,Y5}

9 Olasılık Türleri Subjektif Olasılık Bir olayın gerçekleşme olasılığı hakkındaki akıllı tahminlerdir. Ampirik Olasılık Örnek Denizde balık tutma yakalanan balığın palamut olma olasılığı P(E)=(E olayının ortaya çıkma sayısı) / (Bir deneyin gerçekleştirilme sayısı) P(palamut)=(tutulan palamut sayısı) / (tutulan toplam balık sayısı)

10 Olasılık Türleri Ampirik Olasılık Gerçek olasılığın bulunması hususunda faydalıdır; fakat kesin değildir! Büyük sayı kuralına göre deneylerin sayısı arttıkça ampirik olasılık gerçek olasılığa yaklaşmaktadır.

11 Gerçek Olasılık---- Klasik Yaklaşım İle Olasılık Tanım Tüm sonuçlar bilinmektedir. Tüm sonuçların gerçekleşme olasılığı eşit ise P(E), E nin gerçekleşme olasılığı olarak okunur ve P(E)=n(E)/n(S) eşitliği ile ifade edilir. n(e)=olaydaki sonuç sayısı n(s)=örnek uzayındaki sonuçların sayısı

12 Klasik Olasılık Örnekleri Yazı tura Tura gelme olasılığı? Çözüm Olay= tura n(e)=1 Örnek uzayı= {yazı,tura} n(s)=2 P (tura)= n(e)/n(s)=1/2=50% Zar atılması Çift sayı gelme olasılığı? Çözüm Olay= 2,4,6 n(e)=3 Örnek uzayı={1,2,3,4,5,6}=6 P (çift sayı) = n(e)/n(s)=3/6 = 50%

13 Örnek Bir ailede 3 çocuk vardır. Tüm çocukların erkek olma olasılığı? En az 2 sinin erkek olma olasılığı? 1. Çocuk 2. Çocuk 3. çocuk E E E E E K E K E E K K K E E K E K K K E K K K

14 Örnek Bir ailede 3 çocuk vardır. Tüm çocukların erkek olma olasılığı? En az 2 sinin erkek olma olasılığı? P(tümü erkek) = P(en az ikisi erkek) =

15 Örnek Ali pizza siparişi vermiştir ve dolaptan bir içecek seçmek istemektedir. Dolapta 6 kola, 4 gazoz, 2 de limonata olduğunu düşünürsek, rastsal olarak bir şişe gazoz seçme olasılığı nedir?

16 Olasılık İle İlgili Kurallar

17

18 Tamamlayıcılık Kuralı

19 Tamamlayıcılık Kuralı

20 Tamamlayıcının Olasılığı P(E) + P(E C ) = 1 P(E C ) = 1 - P(E)

21 Tamamlayıcının Olasılığı

22 Tamamlayıcının Olasılığı Örnek

23 Ekleme Kuralı Şimdiye kadar tek bir olayı ilgilendiren olasılıklar hesaplandı. Olayların birleştirilmesi ile oluşan olasılıklar nasıl hesaplanır? Bir olayın veya diğer bir olayın gerçekleşme olasılığı A veya B.

24 Ekleme Kuralı Tamamen Bağımsız Olaylar A ve B tamamen bağımsız (sonuçların hiçbiri ortak olmayan) olaylar olduğunda P(A veya B) = P(A) + P(B) A B P(A ve B) = 0

25

26 Ekleme Kuralı Bağımlı Olaylar P(A veya B) = P(A) + P(B) - P(A ve B) P(A) =6/13 + P(B) =5/13 _ P(A ve B) =3/13 P(A veya B) = 8/13 A B A veya B

27

28

29 Çarpım Kuralı

30 Çarpım Kuralı Bağımsız olay Bir olayın gerçekleşme olasılığı diğer bir olayın gerçekleşme olasılığını etkilememektedir.

31

32 Çarpım Kuralı Bağımsız olay Bir olayın gerçekleşme olasılığı diğer bir olayın gerçekleşme olasılığını etkilememektedir. Bağımsız 2 olay (E ve F) için, P(E ve F) = P(E) * P (F)

33 Çarpım Kuralı

34 Çarpım Kuralı

35 Çarpım Kuralı Koşullu Olasılık Bir olayın gerçekleşmesi diğer bir olayın gerçekleşmesine bağlı olduğu durumlarda P (E ve F) = P (E) * P (F E) P(F E) = E olayının gerçekleşmesi koşulu ile F olayının gerçekleşme olasılığı şeklinde okunur.

36 Çarpım Kuralı Koşullu Olasılık

37 Örnek