İstatistik ve Olasılık

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "İstatistik ve Olasılık"

Transkript

1 İstatistik ve Olasılık Ders 4: OLASILIK TEORİSİ

2 Giriş Bu bölüm sonunda öğreneceğiniz konular: Rastgele Olay Örnek Uzayı Olasılık Aksiyomları Bağımsız ve Ayrık Olaylar Olasılık Kuralları Koşullu Olasılık Permütasyon ve Kombinasyon

3 Tanım : Matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır ve rastgele değişkenleri inceler. Rastgele Değişken: Gelecekteki bir gözlemde alacağı değer önceden kesinlikle bilinemeyen bir değişkendir. Örneğin: Bir zar atışında gelecek sayının önceden bilinememesi Herhangi bir gün gözlenecek yağış yüksekliği Makine elemanının hasara uğrama zamanı vb. Belirsizliğin Kaynağı: Daha önceden tahmin edilemeyen çok sayıda etkene bağlı olunması Doğal olaylardaki mevcut değişkenliklerin olması Bu tür olaylarda değişkenler deterministik bir yaklaşımla incelenemez Değişkenin alacağı değeri önceden kesinlikle belirleyen yasalar elde edilemez. Bunun yerine probabilistik (olasılığa dayalı) yaklaşım gerekir.

4 Tanım Belirsizliklerden hareketle elde edilen verilerden bazı sonuçlar çıkarmak ve tahmin yapabilmek istatistiğin konusudur. Bugün hava muhtemelen yağışlı ve biraz soğuk olacak, bu dersten büyük bir ihtimalle geçerim, bu ameliyatın başarı düzeyi %95 dir,... vb gibi olmak üzere günlük hayatta olasılık kavramı sık sık gündeme gelir. Aslında bu ifadeleri kullanan kişi, daha önceki bilgi ve deneyimleri vasıtasıyla bu sonuçlara varmaktadır. Elde edilen sonuçlar kesin olmamakla birlikte belirli bir güven (doğruluk payı) taşımaktadır.

5 Rastgele Olay Rastgele değişkenin alacağı değer kesin olarak belirlenemeyeceğinden ancak değişkenin belirli bir değeri alma ihtimali belirlenebilir. Bir rastgele değişkenin bir gözlem sırasında belli bir değeri almasına rastgele olay denir. Hangi rastgele olayın görüleceği önceden kesinlikle bilinememekle birlikte herhangi bir rastgele olayın görülme ihtimalini belirlemek mümkündür. Örneğin: Bir zar atışında seçilen bir sayının (tabii 1 ile 6 arasında) görülmesi bir rastgele olay olup bunun ihtimali hesaplanabilir.

6 Örnek Uzayı ve Küme Kavramı Örnek Uzayı: İlgilenen rastgele olayın alabileceği tüm değerleri içeren uzaydır. Örneğin: Bir zar atışında gelebilecek sayıların tümü Bir deneyde gözlemlenecek değerlerin tümü Olasılık teorisinde küme teorisi, rastgele olayların tanımlanması kolaylaştıran bir yaklaşımdır. Küme kesin olarak tanımlanmış elemanlardan oluşur. Kümenin adı büyük harfle, elemanları bu harfe karşılık gelen küçük harf ile gösterilir. Örneğin: Türkçedeki sesli harfler kümesi Zar atışında görülecek sayıların kümesi:

7 Küme Kavramı Bir elemanın bir kümeye ait olduğunu Bir elemanın bir kümeye ait olmadığı şeklinde gösterilir. şeklinde gösterilir. Hiçbir elemanı bulunmayan bir küme boş küme olarak adlandırılır. Bir kümenin bütün elemanları diğer bir kümenin de elemanları ise ilk küme ikinci kümenin alt kümesidir. Örnek: Herhangi iki küme A ve B için, A nın tüm elemanları B kümesinde ise: A B nin alt kümesi Veya B A yı kapsar denir.

8 Venn Diyagramı Bir küme ile alt kümeleri arasındaki ilişkileri grafiksel gösterim kullanarak kolayca tanımlamak için kullanılır.

9 Venn Diyagramı Bir A kümesi ile B kümesinin ortak elemanları yok ise yani: A B birbirinden tamamen farklı birbirini engelleyen olaylar (mutually exclusive) olarak adlandırılır.

10 Olasılık Kavramı Bir deneme farklı N sonucu ortaya koyuyor ve bunlardan n tanesinde A olayı meydan geliyorsa, A olayının ortaya çıkma olasılığı, P( A) n N Rastgele değişkeni büyük harfle (X), rastgele değişkenin bir gözlem sırasında aldığı değeri bu harfe karşılık gelen küçük harfle (x) ile gösterirsek X=xi rastgele olayın olasılığı:

11 Olasılık Aksiyomları Aksiyom 1: Herhangi bir E rastgele olayının ihtimal 0 PE ( ) 1 P(E): E rastgele olayının ihtimalini gösterir. Aksiyom 2: Eğer örnek uzayı S ise PS ( ) 1 yani örnek uzayındaki olayların olasılıklarının toplamı 1 e eşittir. Aksiyom 3: Eğer E1, E2, E3,..., En birbirlerini engelleyen (mutually exclusive) olaylar ise n n P Ei P( Ei) i 1 i 1 Bu aksiyomdan hareketle aşağıdaki özellikler belirlenebilir:

12 Farklı Bağımsız olaylar İstatistikte olayların bağımsızlığı, bir olay hakkındaki bilgi başka bir olaya bağlı değilse bu olay istatistiksel olarak bağımsızdır (independent events). Karşılıklı olarak birbirini engelleyen olaylar (mutually exculsive events) ise bir olayın olması durumunda diğer başka bir olayın gerçekleşme ihtimalinin sıfır olmasıdır. Bağımsız olaylar asla birbirlerini engelleyen olaylar (mutually exculsive events) olmazlar. Örneğin: 52 lik bir desteden çekilen bir kağıdın kalp olması ve sinek olması farklı olaylardır, zira sinek çekilmiş ise bunun kalp olma ihtimali yoktur. Fakat çekilen kartın kalp olması ve kırmız olması birbirlerini engelleyen olaylar değildir zira bu iki durumun aynı anda olma ihtimali vardır.

13 Olasılık hesaplamaları Örnek 1: Bir torbada 5 kırmızı, 7 siyah ve 3 beyaz bilye bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele çekilecek bir bilyenin kırmızı gelme olasılığı nedir? Örnek 1 Çözüm: P ( n A ) N

14 Olasılık hesaplamaları Örnek 2: Bir önceki örnekteki bilgileri kullanarak; a) Herhangi bir renkte bilye gelme olasılığını hesaplayınız. b) Mavi renkte bilye gelme olasılığını hesaplayınız. c) Siyah renkte bilye gelme olasılığını hesaplayınız Örnek 2 Çözüm:

15 Olasılık Kuralları Olasılık olayları: birbirini tamamıyla engelleyen birlikte meydana gelebilen olaylar olmak üzere iki gruba ayrılmaktadır. Ayrımın özelliğine göre kullanılacak olasılık kuralları da farklı olmaktadır. TOPLAMA KURALI Karşılıklı olarak birbirini engelleyen olaylardan (mutually exclusive) birinin veya diğerinin ortaya çıkma olasılığı, bu olayların ayrı ayrı ortaya çıkma olasılıkları toplamına eşittir. A ve B gibi birbirini engelleyen (ayrık) iki olaydan herhangi birisinin meydana gelme olasılığı: zira

16 Olasılık Kuralları Örnek 3: Kusursuz bir tavla zarı atıldığında 2 veya 3 gelmesi olasılığı nedir? Örnek 3 Çözüm: Bu olay birbirini engelleyen özellikte olup, herhangi bir anda sadece tek yüz ile karşılaşılacağından toplama kuralı kullanılmalıdır.

17 Olasılık Kuralları ÇARPMA KURALI Birbirinden bağımsız ve aynı zamanda meydana gelebilen olayların olasılığı, bu olayların ayrı ayrı ortaya çıkma olasılıkları çarpımına eşittir. Örnek 4: Kusursuz bir tavla zarı ve madeni para birlikte atıldığında, paranın yazı ve zarın 5 gelmesi olasılığı nedir? Örnek 4 Çözüm: Bu olaylar birlikte meydana gelebilen özellikte olup, birbirini engellemez. Bu nedenle çarpma kuralı kullanılmalıdır.

18 Olasılık Kuralları Bazı olaylarda ise hem birlikte ortaya çıkma ve hem de birbirlerini engelleme söz konusu olabilir. Bu gibi olaylarda çarpma ve toplama kuralı birlikte kullanılır. Çarpma ve toplama kuralının birlikte kullanıldığı olay sayısı 2 ise (A ve B) formül Olay sayısı 3 (A,B ve C) olduğunda P( A. veya. B. veya. C) P( A) P( B) P( C) P( A. ve. B) P( A. ve. C) P( B. ve. C) P( A. ve. B. ve. C)

19 Olasılık Kuralları Örnek 5: Bir torbada 1 den 5 e kadar numaralanmış 5 beyaz, 6 dan 12 ye kadar numaralanmış 7 tane siyah bilye vardır. Bu torbadan yapılacak bir çekilişte çıkacak bilyenin beyaz veya tek numaralı olması olasılığını hesaplayınız. Örnek 5 Çözüm: B : beyaz bilye T : tek sayılı bilye olmak üzere olayı Venn diyagramında gösterelim. iki olayın elemanlarından bazıları birbirlerini engelleyen özellikte iken bazıları da birlikte ortaya çıkma özelliğindedir. Sözgelimi, çift sayılı beyaz bir bilyenin gelmesi halinde tek sayılı beyaz bir bilye gelemez, oysa hem beyaz, hem de tek sayılı gelince iki olay birlikte ortaya çıkmış olmaktadır. Buna göre beyaz veya tek sayılı bilye gelme olasılığı

20 Koşullu Olasılık Bir olayın ortaya çıkma olasılığı, daha önce ortaya çıkan başka bir olaya göre değişiyorsa sözü edilen olaylar arasında bağımlılık vardır ve koşullu olasılık kuralı uygulanır. A olayının meydana gelmesi koşulu ile B olayının ortaya çıkma olasılığı P(B/A) şeklinde gösterilir ve aşağıdaki formül yardımıyla hesaplanır. P( B / A) P( A ve B) P( A).. P( A B) P( A) Yukarıdaki ifade düzenlenirse:

21 Koşullu Olasılık Bayes Teoremi: E1,E2,..., En ayrık olaylar olsun ve hep birlikte şekilde verildiği gibi S örnek uzayını oluştursun. A olayı bu örnek uzayında bir olay ise

22 Koşullu Olasılık Bayes Teoreminin uygulandığı durumlar: Örnek uzayının E 1,E2,..., En şeklinde ayrık olaylara bölündüğü Bu örnek uzayında, P(B)>0 şartını sağlayan bir B rastgele olayın varlığında P(E k B) olasılığının hesaplanması istendiğinde Aşağıda tanımlanan ihtimallerden en az birinin bilindiği durumlarda Tüm E Tüm k E k için P(E için P(E k k B) ) ve P(B E k )

23 Koşullu Olasılık Örnek 6: Bir torbada 3 mavi, 4 beyaz ve 7 kırmızı bilye bulunmaktadır. Üst üste yapılacak iki çekilişten birincisinde mavi, ikincisinde beyaz bilye gelme olasılığını hesaplayınız Örnek 6 Çözüm: M :mavi bilye B :beyaz bilye yi göstersin. Bu problemin çözümünde bilyelerin torbadan çekiliş durumuna bağlı olarak iki farklı yol izlenebilir:

24 Koşullu Olasılık Örnek 7: Kusursuz bir tavla zarı atıldığında sonucun çift bir sayı olduğu biliniyor. Bu sayının 4 çıkma olasılığını hesaplayınız. Örnek 7 Çözüm:

25 Koşullu Olasılık Örnek 8: Bir bölgede seçmenlerin %40 ı A partisine %60 ise B partisine oy vermişlerdir. Bir kamuoyu yoklamasında A partisine oy verenlerin %30 ile B partisine oy verenlerin %70 i Avrupa Birliğine girmeyi desteklemektedirler. Bu bölgeden rastgele seçilen birinin Avrupa Birliğini desteklediği bilindiğine göre B partisinde olma ihtimali nedir? Örnek 8 Çözüm:

26 Koşullu Olasılık Örnek 8: Elektrik ampulü üreten bir fabrikanın üretiminin %20 si A tipi, %80 ide B tipi ampullerden oluşmaktadır. Hatalı üretim oranı A tipi ampullerde %36, B tipi ampullerde ise %18 dir. Rasgele seçilen bir ampulün hatalı olduğu bilindiğine göre bu ampulün A tipi olma olasılığı nedir? Örnek 8 Çözüm: C : hatalı üretim oranını göstersin istenen olasılık P(A/C)=? dır P( A / C) P( A C) P( C) ancak bu formülün payındaki ifadenin değeri bilinmiyor.

27 Uygulama Soruları Uygulama Sorusu 1: Şekilde verilen 7 elemanlı yapıda i elemanın hasarı F i olarak, i elemanın hasara uğrama ihtimali ise P(F i ) olarak tanımlanmaktadır. Yapıdaki elemanlarının hasara uğraması birbirinden bağımsızdır. Yapıdaki herhangi bir elemanın hasara uğraması ile yapının yıkılacağı varsayılmıştır. P( F1 ) P( F3 ) P( F5 ) P( F7 ) 0.02 P( F2) P( F6) 0.01 PF ( 4) 0.03 ise yapının hasara uğrama ihtimalini hesaplayınız.

28 Uygulama Soruları Uygulama Sorusu 2: 2 hilesiz zarın atılmasında gelen rakamların toplamı 7 ise, zarlardan birisinin 1 gelme olasılığı nedir? ÖDEV 3: Bir makine parçasının montajında kullanılan 23 cıvatadan 20 tanesi emniyet açısından uygun 3 tanesi ise uygun olmadığı tespit edilmiştir. Bu cıvata kutusundan makine parçasını monte etmek için bir seferde 3 cıvata alınmaktadır. a)montajın hatasız cıvatalardan yapılma olasılığını belirleyiniz. b)en azından bir hatalı cıvata kullanılmış olma olasılığını hesaplayınız.

29 Permütasyon ve Kombinasyon Olasılık hesaplarının yapılmasında en önemli husus, olayın meydana gelebileceği yolların sayısı (N) ile istenen olayın meydana gelebileceği yolların sayısını (n) belirlemektir. Bu iki sayı belirlendikten sonra olasılık formülleri vasıtasıyla hesaplama kolayca yapılabilir. Olayların meydana gelebileceği sayısı belirlenirken permütasyon ve kombinasyon işlemleri uygulanabilir

30 Permütasyon (Dizilem) İncelenen n bireyden her defasında r adedi alınarak, sıra gözetilmek kaydıyla, kaç farklı dizi oluşturulabileceği npr n! ( n r)! şeklindeki permütasyon formülü ile hesaplanır.

31 Permütasyon (Dizilem) Örnek 9: 20 kişilik genel kurul toplantısında başkan, başkan yardımcısı ve sekreter olmak üzere 3 kişilik idare heyeti seçilecektir. Buna göre, a) İdare heyeti için kaç farklı heyet oluşturulabilir? b) Bilinen 3 kişiden A nın başkan, B nin başkan yardımcısı ve C nin de sekreter seçilmesi olasılığı nedir? Örnek 9 Çözüm: 3 pozisyon için yapılacak seçimde sıra gözetileceğinden (yani oluşturulan bir ABC heyetinde A başkan, B yardımcı, C sekreter iken, BAC heyetinde B başkan, A yardımcı ve C sekreterdir) permutasyon formülü kullanılır.

32 Kombinasyon (Bileşim) İncelenen n bireyden her defasında r adedi alınmak ve sıra gözetilmemek kaydıyla oluşturulabilecek kombinasyon sayısı ncr n! ( n r)! r!. Örnek 10: 10 profesörün bulunduğu bir gruptan seçilecek 3 kişilik jürinin istenen şahıslardan meydana gelme olasılığı nedir? Örnek 10 Çözüm: 3 pozisyon için yapılacak seçimde sıra gözetilmeyeceğinden (yani oluşturulan bir XYZ jürisinde heyetinde X jüri üyesi, Y jüri üyesi, Z jüri üyesi iken, YXZ jürisinde de Y jüri üyesi, X jüri üyesi, Z jüri üyesidir) kombinasyon formülü kullanılır.

33 Kombinasyon Örnek 11: 4 tarih, 3 felsefe ve 3 matematik kitabı olmak üzere toplam 10 kitap rafta kaç değişik şekilde sıralanabilir? Örnek 11 Çözüm:

34 Gelecek dersin konusu Rastgele Değişkenlerin Dağılımları.

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 GİRİŞ Olasılık Teorisi: Matematiğin belirsizlik taşıyan

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 4: OLASILIK TEORİSİ Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Giriş Bu bölüm sonunda öğreneceğiniz konular: Rastgele Olay Örnek Uzayı Olasılık Aksiyomları Bağımsız ve Ayrık Olaylar Olasılık Kuralları

Detaylı

Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir.

Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir. 5.SUNUM Olasılık, bir deneme sonrasında ilgilenilen olayın tüm olaylar içinde ortaya çıkma ya da gözlenme oranı olarak tanımlanabilir. Günlük hayatta sıklıkla kullanılmakta olan olasılık bir olayın ortaya

Detaylı

kişi biri 4 kişilik, üçü ikişer kişilik 4 takıma kaç farklı şekilde ayrılabilir? (3150)

kişi biri 4 kişilik, üçü ikişer kişilik 4 takıma kaç farklı şekilde ayrılabilir? (3150) PERMÜTASYON KOMBİNASYON. A = {,,,,5} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 5 elemanı bulunur? (). 7 elemanlı bir kümenin en az 5 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır? (9). A { a, b, c, d, e, f, g, h}

Detaylı

Olasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler.

Olasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler. Bölüm 2 OLASILIK TEORİSİ Olasılık teorisi, matematiğin belirsizlik taşıyan olaylarla ilgilenen bir dalıdır. Bu bilim dalı rasgele değişkenleri inceler. Rasgele değişken, gelecekteki bir gözlemde alacağı

Detaylı

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

Olasılık Kavramı. Recep YURTAL. Mühendislikte İstatistik Metotlar. Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü

Olasılık Kavramı. Recep YURTAL. Mühendislikte İstatistik Metotlar. Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği Bölümü Olasılık Kavramı Mühendislikte İstatistik Metotlar Çukurova Üniversitesi İnşaat Mühendisliği ölümü OLSILIK KVRMI KÜME KVRMI irlikte ele alınan belirli nesneler topluluğuna küme, Kümede içerilen nesnelere

Detaylı

Dr. Mehmet AKSARAYLI OLASILIK. Ders 3 / 1

Dr. Mehmet AKSARAYLI OLASILIK. Ders 3 / 1 Dr. Mehmet AKSARAYLI OLASILIK Ders 3 / 1 1 0 Kesin İmkansız OLASILIK; Bir olayın gerçekleşme şansının sayısal değeridir. N adet denemede s adet başarı söz konusu ise, da başarının nisbi frekansı lim (s/n)

Detaylı

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ

ANADOLU ÜNİVERSİTESİ OLASILIĞA GİRİŞ ANADOLU ÜNİVERSİTESİ İST 213 OLASILIK DERSİ OLASILIĞA GİRİŞ DOÇ. DR. NİHAL ERGİNEL OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması

Detaylı

OLASILIĞA GİRİŞ P( )= =

OLASILIĞA GİRİŞ P( )= = OLASILIĞA GİRİŞ - Bugün yağmur yağma olasılığı % 75 dir. - X marka bilgisayarın hiç servis gerektirmeden 100000 saat çalışması olasılığı %85 dir. Olasılık modelleri; Sıvı içindeki moleküllerin davranışlarını

Detaylı

İstatistik 1. Bölüm 5 Olasılık Teorisi ve Kesikli Olasılık Dağılımları. Ankara Üniversitesi SBF, GYY

İstatistik 1. Bölüm 5 Olasılık Teorisi ve Kesikli Olasılık Dağılımları. Ankara Üniversitesi SBF, GYY İstatistik 1 Bölüm 5 Olasılık Teorisi ve Kesikli Olasılık Dağılımları Bu Bölümde İşlenecek Konular Temel Olasılık Teorisi Örnek uzayı ve olaylar, basit olasılık, birleşik olasılık Koşullu Olasılık İstatistiksel

Detaylı

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık

ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: SINIFI: KONU: Olasılık ÖĞRENCİNİN ADI SOYADI: NUMARASI: Dersin Adı SINIFI: KONU: Olasılık Dersin Konusu. Bir kutudaki 7 farklı boncuğun içinden iki tanesi seçiliyor. Buna göre, örneklem uzayının eleman sayısı A) 7 B)! 7. madeni

Detaylı

Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar

Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar Ders 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar Küme Kavramı Küme İşlemleri Deney, Örnek Uzay, Örnek Nokta ve Olay Kavramları Örnek Noktaları Sayma Permütasyonlar Kombinasyonlar Parçalanmalar

Detaylı

ASTROİSTATİSTİK 9. KONU

ASTROİSTATİSTİK 9. KONU ASTROİSTATİSTİK 9. KONU Hazırlayan: Doç. Dr. Tolgahan KILIÇOĞLU 9. OLASILIK HESABI Ortaya çıkacağı önceden kesin olarak bilinmeyen olayların gerçekleşmesinin ne derece olanaklı olduğunu tahmin etmeye olasılık

Detaylı

Olasılık Kuramı ve İstatistik. Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları

Olasılık Kuramı ve İstatistik. Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları Olasılık Kuramı ve İstatistik Konular Olasılık teorisi ile ilgili temel kavramlar Küme işlemleri Olasılık Aksiyomları OLASILIK Olasılık teorisi, raslantı ya da kesin olmayan olaylarla ilgilenir. Raslantı

Detaylı

BİYOİSTATİSTİK Olasılıkta Temel Kavramlar Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH

BİYOİSTATİSTİK Olasılıkta Temel Kavramlar Yrd. Doç. Dr. Aslı SUNER KARAKÜLAH BİYOİSTTİSTİK Olasılıkta Temel Kavramlar Yrd. Doç. Dr. slı SUNER KRKÜLH Ege Üniversitesi, Tıp Fakültesi, Biyoistatistik ve Tıbbi Bilişim D. Web: www.biyoistatistik.med.ege.edu.tr 1 OLSILIK Olasılık; Tablo

Detaylı

BAYES KURAMI. Dr. Cahit Karakuş

BAYES KURAMI. Dr. Cahit Karakuş BAYES KURAMI Dr. Cahit Karakuş Deney, Olay, Sonuç Küme Klasik olasılık Bayes teoremi Permütasyon, Kombinasyon Rasgele Değişken; Sürekli olasılık dağılımı Kesikli - Süreksiz olasılık dağılımı Stokastik

Detaylı

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2

Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? n(s) = 3 6 = 1 2 Bir Olayın Olasılığı P(A) = n(a) n(s) = A nın eleman sayısı S nin eleman sayısı Örnek Bir zar atıldığında zarın üstünde bulunan noktaların sayısı gözlensin. Çift sayı gelmesi olasılığı nedir? Çözüm: S

Detaylı

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler:

Olasılık bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. Örnekler: OLSILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler, bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız.

Örnek...2 : Hilesiz iki zar atma deneyinin bütün çıktılarını aşağıdaki tabloya yazınız. OLASILIK (İHTİMALLER HESABI) Olasılık kavram ı ilk önceleri şans oyunları ile başlamıştır. Örneğin bir oyunda kazanıp kazanmama, bir paranın atılmasıyla tura gelip gelmemesi gibi. Bu gün bu kavramın birçok

Detaylı

Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür.

Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür. 1 Olasılık Örnekler 1. Bir çantada 4 beyaz 8 siyah top vardır. Bir siyah top çekilmesi olasılığı nedir? Çözüm: Siyah top çekilme olasılığı B olsun. Topların sayısı 12 olduğuna göre P(B)=8/12=2/3 tür. 2.

Detaylı

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek:

PERMÜTASYON, KOMBİNASYON. Örnek: Örnek: Örnek: SAYMANIN TEMEL KURALLARI Toplama Kuralı : Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin eleman sayısına eşittir. Mesela, sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(a)=

Detaylı

OLASILIK. P(A) = şeklinde ifade edilir.

OLASILIK. P(A) = şeklinde ifade edilir. OLASILIK Olasılık belirli bir olayın olabilirliğinin sayısal ölçüsüdür. Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. 17 yy. da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmaya

Detaylı

Not: n tane madeni paranın atılması deneyinde örnek uzayın eleman sayısı

Not: n tane madeni paranın atılması deneyinde örnek uzayın eleman sayısı LYS Matematik Olasılık Tanım: Bir deneyde çıkabilecek tüm sonuçların kümesine örnek uzay denir ve E ile gösterilir. Örnek uzayın herhangi bir elemanına da örnek nokta denir. Örnek: Bir zarın atılması deneyinde

Detaylı

Temel Olasılık {\} /\ Suhap SAHIN

Temel Olasılık {\} /\ Suhap SAHIN Temel Olasılık 0 {\} /\ Suhap SAHIN Olasılık P(E) : E nin olma olasılıgı n: Deneme sayısı n(e): Denemelerden kaçı E ile sonuçlandı Deneme sayısı sonsuza( ) yaklasırsa P(E) = limn n(e) n Örnek Uzay S: Bir

Detaylı

Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006

Cebir Notları. Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I. Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr. www.matematikclub.com, 2006 MC www.matematikclub.com, 2006 Cebir Notları Gökhan DEMĐR, gdemir23@yahoo.com.tr Permutasyon-Kombinasyon- Binom TEST I 1. Ankra'dan Đstanbul'a giden 10 farklı otobüs, Đstanbul'- dan Edirne'ye giden 6 farklı

Detaylı

8. SINIF MATEMATiK OLASILIK. Murat ÇAVDAR OLASILIK. Olasılık: Sonucu önceden kesin olarak bilinmeyen rastlantıya bağlı olaylara olasılık denir.

8. SINIF MATEMATiK OLASILIK. Murat ÇAVDAR OLASILIK. Olasılık: Sonucu önceden kesin olarak bilinmeyen rastlantıya bağlı olaylara olasılık denir. 04 8. SINIF MATEMATiK OLASILIK OLASILIK Olasılık: Sonucu önceden kesin olarak bilinmeyen rastlantıya bağlı olaylara olasılık denir. Bir zarın atılması, bir torbadan top çekilmesi, bir paranın yazı veya

Detaylı

Olasılık Föyü KAZANIMLAR

Olasılık Föyü KAZANIMLAR Olasılık Föyü KAZANIMLAR Bir olaya ait olası durumları belirler. Daha fazla, eşit, daha az olasılıklı olayları ayırt eder, örnek verir. Eşit şansa sahip olan olaylarda her bir çıktının olasılık değerinin

Detaylı

OLASILIK LASILIK ve İSTATİSTİK Olasılık

OLASILIK LASILIK ve İSTATİSTİK Olasılık 1-1 Click To Edit Master Title Style OLASILIK ve İSTATİSTİK Olasılık Yrd.Doç.Dr Doç.Dr.. Pınar YILDIRIM Okan Üniversitesi Mühendislik ve Mimarlık Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü 1-2 GİRİŞ Olasılık,

Detaylı

Tesadüfi Değişken. w ( )

Tesadüfi Değişken. w ( ) 1 Tesadüfi Değişken Tesadüfi değişkenler gibi büyük harflerle veya gibi yunan harfleri ile bunların aldığı değerler de gibi küçük harflerle gösterilir. Tesadüfi değişkenler kesikli veya sürekli olmak üzere

Detaylı

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK

YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK YENİ ORTAÖĞRETİM MATEMATİK PROGRAMINA UYGUNDUR. YGS MATEMATİK 3. KİTAP MERVE ÇELENK FİKRET ÇELENK İÇİNDEKİLER Kümeler 5 44 Fonksiyonlar 1 45 88 Fonksiyonlar 2 89 124 Sayma Kuralları 125 140 Faktöriyel

Detaylı

( B) ( ) PERMÜTASYON KOMBİNASYON BİNOM OLASILIK

( B) ( ) PERMÜTASYON KOMBİNASYON BİNOM OLASILIK PERMÜTASYON KOMBİNASYON BİNOM OLASILIK.... n = n! olmak üzere, ( n + )! = 0 n! + n! ise, n kaçtır? (A) ( ) A)0 B) C) D) E). ( n +,) = 6 C olduğuna göre, n kaçtır? (B) A) B)6 C) D)8 E)9. ( n, ). C( n,)

Detaylı

Şartlı Olasılık. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK

Şartlı Olasılık. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK Şartlı Olasılık Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK tover@sakarya.edu.tr Şartlı Olasılık ir olayın olasılığından söz edebilmek için bir alt kümeyle temsil edilen bu olayın içinde bulunduğu örnek uzayının

Detaylı

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir.

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. OLASILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Rastgele Değişkenlerin Dağılımları I Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Ders konusu Bu derste; Rastgele değişkenlerin tanımı ve sınıflandırılması Olasılık kütle fonksiyonu Olasılık yoğunluk

Detaylı

TEMEL SAYMA KURALLARI

TEMEL SAYMA KURALLARI TEMEL SAYMA KURALLARI SAYMA Toplama Yoluyla Sayma A ve B sonlu ve ayrık kümeler olmak üzere, bu iki kümenin birleşiminin eleman sayısı; s(a,b) = s(a) + s(b) dir. Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşiminin

Detaylı

Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur

Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur Kümeler Kümeler ve küme işlemleri olasılığın temellerini oluşturmak için çok önemlidir Küme temel olarak belli nesnelerin ya da elamanların bir araya gelmesi ile oluşur Sonlu sayıda, sonsuz sayıda, kesikli

Detaylı

OLASILIK (İHTİMAL) TEORİSİ. DENEY (experiment),sonuç (outcome), OLAY (event) DENEY:Bir aktivitenin gözlemlenmesi ve ölçüm yapma şekilleridir.

OLASILIK (İHTİMAL) TEORİSİ. DENEY (experiment),sonuç (outcome), OLAY (event) DENEY:Bir aktivitenin gözlemlenmesi ve ölçüm yapma şekilleridir. OLASILIK (İHTİMAL) TEORİSİ 1 DENEY (experiment),sonuç (outcome), OLAY (event) DENEY:Bir aktivitenin gözlemlenmesi ve ölçüm yapma şekilleridir. SONUÇ:Deneylerin tamamlanması ile elde edilen verilerdir.

Detaylı

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları

Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli Şans Değişkenleri İçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları 1 Şans Değişkeni: Bir dağılışı olan ve bu dağılışın yapısına uygun frekansta oluşum gösteren değişkendir.

Detaylı

OLASILIK. (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz)

OLASILIK.  (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) OLASILIK 46 0 86 48 destek@sinavdestek.com www.sinavdestek.com (Bu belgenin güncellenmiş halini bu adresten indirebilirsiniz) JET Yayınları Ocak 20 0. Teorik Olasılık 0.. Deney ve Çıktı 4. Bir zar ile

Detaylı

BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,,

BİNOM AÇILIMI. Binom Açılımı. çözüm. kavrama sorusu. çözüm. kavrama sorusu. ö æ ö æ ö,, BİNOM AÇILIMI Binom Açılımı n doğal sayı olmak üzere, (x+y) n ifadesinin açılımını pascal üçgeni yardımıyla öğrenmiştik. Pascal üçgenindeki katsayılar; (x+y) n ifadesi 1. Sütun: (x+y) n açılımındaki katsayılar

Detaylı

SAÜ BÖLÜM 11. OLASILIK. Prof. Dr. Mustafa AKAL

SAÜ BÖLÜM 11. OLASILIK. Prof. Dr. Mustafa AKAL SAÜ BÖLÜM. OLASILIK Prof. Dr. Mustafa AKAL 0 İÇİNDEKİLER.KAVRAMLAR.. Rassal Deney, Örneklem Uzayı ve Olay.. Olayların Biçimlenmesi.3. Olasılık Tanımı.PERMÜTASYON VE KOMBİNASYON..Permütasyon... Sıralı Permütasyon...

Detaylı

ALIŞTIRMALAR. Sayısal Bilginin Özetlenmesi:

ALIŞTIRMALAR. Sayısal Bilginin Özetlenmesi: İSTATİSTİK I ALIŞTIRMALAR Y.Doç.Dr. Hüseyin Taştan AÇIKLAMA: N: P. Newbold, İşletme ve İktisat için İstatistik, 4. basımdan çeviri. Çift sayılı alıştırmalar için kitabın arkasındaki çözümlere bakabilirsiniz.

Detaylı

Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir.

Tanım Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de elamanı ise, A kümesine B kümesinin alt kümesi denir. BÖLÜM 1 KÜMELER CEBİRİ Küme, iyi tanımlanmış ve farklı olan nesneler topluluğudur. Yani küme, belli bir kurala göre verilmiş nesnelerin listesidir. Nesneler reel veya kavramsal olabilir. Kümede bulunan

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Örnekleme Planlar ve Dağılımları Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım İncelenen olayın ait olduğu anakütlenin bütünüyle dikkate alınması zaman, para, ekipman ve bunun gibi nedenlerden dolayı

Detaylı

Ankara Üniversitesi, SBF İstatistik 2 Ders Notları Prof. Dr. Onur Özsoy 1

Ankara Üniversitesi, SBF İstatistik 2 Ders Notları Prof. Dr. Onur Özsoy 1 1 Rastgele bir denemede ortaya çıkması olası sonuçların tamamıdır Örnek: bir zar bir kez yuvarlandığında S= Yukarıdaki sonuçlardan biri elde edilecektir. Sonuçların her biri basit olaydır Örnek: Bir deste

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar

Detaylı

BİYOİSTATİSTİK OLASILIK

BİYOİSTATİSTİK OLASILIK BİYOİSTATİSTİK OLASILIK B Doç. Dr. Mahmut AKBOLAT *Küme Kavramı: Küme, tek bir isim altında toplanabilen ve benzer özellik gösteren birimlerin meydana getirdiği topluluk olarak tanımlanabilir. Küme içinde

Detaylı

Kosullu Olasılık & Bayes Teoremi

Kosullu Olasılık & Bayes Teoremi Kosullu Olasılık & Bayes Teoremi 0 {\} /\ Suhap SAHIN Olasılık Deneyi Olasılık problemlerinde gerçeklestirilen eylemler Zar atılması Para atılması Top Çekme Bir zar atıldıgında üst yüze çift gelme ihtimali

Detaylı

KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM

KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM KESİKLİ DÜZGÜN DAĞILIM Eğer X kesikli rassal değişkeninin alabileceği değerler (,,..., ) eşit olasılığa sahip ise, kesikli düzgün dağılım söz konusudur. p(x) =, X=,,..., şeklinde gösterilir. Bir kutuda

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık Ders 8: Prof. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Tahmin (kestirim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmaktır. Bu anlamda, anakütleden çekilen

Detaylı

Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları

Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli ġans DeğiĢkenleri Ġçin; Olasılık Dağılımları Beklenen Değer ve Varyans Olasılık Hesaplamaları Kesikli ġans DeğiĢkenlerinin Olasılık Fonksiyonları X, şans değişkeni ve, 2,.., n ise bu tesadüfi değişkenin

Detaylı

Ders 4: Olasılık Aksiyomları ve Bazı Olasılık Kuralları

Ders 4: Olasılık Aksiyomları ve Bazı Olasılık Kuralları Ders 4: Olasılık Aksiyomları ve Bazı Olasılık Kuralları Olasılık aksiyomları Bazı olasılık kuralları Bağımsız olaylar Koşullu olasılık Bayes theoremi Bir olayın gerçekleşme ihtimalinin sayısal değerine

Detaylı

1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir?

1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir? 1. 4 kız ve 5 erkek öğrenci; a) kızların tümü bir arada olacak şekilde kaç türlü sıralanabilir? 9. 4 çocuklu bir aile yan yana poz verecektir. Çocukların soldan sağa doğru boy sırasında olduğu kaç durum

Detaylı

3)Aşağıdaki tabloda gruplandırılmış bir veri kümesi bulunmaktadır. Bu veri kümesinin mutlak ortalamadan sapması aşağıdakilerden hangisidir?

3)Aşağıdaki tabloda gruplandırılmış bir veri kümesi bulunmaktadır. Bu veri kümesinin mutlak ortalamadan sapması aşağıdakilerden hangisidir? İSTATİSTİK SORU VE CEVAPLARI 1)Tabloda 500 kişinin sahip oldukları akıllı telefon markalarını gösteren bilgiler verilmiştir.bu tabloda ki bilgileri yansıtan daire grafiği aşağıdakilerden hangisidir? TELEFON

Detaylı

A { x 3 x 9, x } kümesinin eleman sayısı A { x : x 1 3,x } kümesinin eleman sayısı KÜMELER

A { x 3 x 9, x } kümesinin eleman sayısı A { x : x 1 3,x } kümesinin eleman sayısı KÜMELER KÜMELER Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış bir listesidir. Kümeyi oluşturan nesnelerin her birine kümenin elemanı denir. Kümeler genellikle A, B, C,... gibi büyük harflerle gösterilir. x nesnesi A kümesinin

Detaylı

Ders 3: Olasılık Aksiyomları ve Bazı Olasılık Kuralları

Ders 3: Olasılık Aksiyomları ve Bazı Olasılık Kuralları Ders 3: Olasılık Aksiyomları ve Bazı Olasılık Kuralları Olasılık aksiyomları Bazı olasılık kuralları Bağımsız olaylar Koşullu olasılık Bayes theoremi Bir olayın gerçekleşme ihtimalinin sayısal değerine

Detaylı

AÇIK UÇLU SORULAR ÜNİTE 1 VERİ, SAYMA VE OLASILIK. Bölüm 1 TEMEL SAYMA KLURALLARI

AÇIK UÇLU SORULAR ÜNİTE 1 VERİ, SAYMA VE OLASILIK. Bölüm 1 TEMEL SAYMA KLURALLARI ÜNİTE VERİ, SAYMA VE OLASILIK Bölüm TEMEL SAYMA KLURALLARI AÇIK UÇLU SORULAR. A = {0,,, 3, 4, } kümesindeki rakamlar kullanılarak 3 basamaklı rakamları farklı kaç farklı tek sayı yazılabilir? 48. A = {0,,

Detaylı

2. Klasik Kümeler-Bulanık Kümeler

2. Klasik Kümeler-Bulanık Kümeler 2. Klasik Kümeler-Bulanık Kümeler Klasik Küme Teorisi Klasik kümelerde bir nesnenin bir kümeye üye olması ve üye olmaması söz konusudur. Bu yaklaşıma göre istediğimiz özelliğe sahip olan bir birey, eleman

Detaylı

Rastgelelik, Rastgele Sinyaller ve Sistemler Rastgelelik Nedir?

Rastgelelik, Rastgele Sinyaller ve Sistemler Rastgelelik Nedir? Rastgelelik, Rastgele Sinyaller ve Sistemler Rastgelelik Nedir? Rastgelelik en basit anlamda kesin olarak bilinememektir. Rastgele olmayan deterministiktir (belirli). Bazı rastgele olgu örnekleri şöyle

Detaylı

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar,

6. Ali her gün cebinde kalan parasının (2009) a, b ve c farklı pozitif tamsayılar, 9. x, y, z pozitif gerçek sayılar, 1. 9 2 x 2 ifadesinin açılımında sabit x terim kaç olur? A) 672 B) 84 C) 1 D) -84.E) -672 6. Ali her gün cebinde kalan parasının %20 sini harcamaktadır. Pazartesi sabahı haftalığını alan Ali ni Salı günü

Detaylı

a. Aynı sırada çekilen herhangi iki kartın aynı d. 4. çekişte iki torbadan da 4 numaralı kartların e. 2. ve 4. çekişte aynı numaralı kartların

a. Aynı sırada çekilen herhangi iki kartın aynı d. 4. çekişte iki torbadan da 4 numaralı kartların e. 2. ve 4. çekişte aynı numaralı kartların Örnek Problem - Sinemada, yan yana koltukta oturan arkadaş, ara verildiğinde kalkıyorlar. Dönüşte, aynı koltuğa rastgele oturduklarına göre; hiçbirinin ilk yerine oturmaması olasılığı Örnek Problem - 4

Detaylı

Ders 6 OLASILIK KURAMI. Örnek Uzaylar, Örnek Noktalar ve Olaylar. Örnek Uzaylar, Örnek Noktalar ve Olaylar

Ders 6 OLASILIK KURAMI. Örnek Uzaylar, Örnek Noktalar ve Olaylar. Örnek Uzaylar, Örnek Noktalar ve Olaylar Ders 6 Olasılık Teorisi Permutasyonlar ve Kombinasyonlar OLASILIK KURAMI Geçtiğimiz 5 hafta boyunca serilerin temel özelliklerini gösteren grafiklerin neler olduğunu ve Serilerin temel özelliklerini anlamada

Detaylı

2. (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 10 ifadesinin açılımında kaç terim vardır?

2. (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) 10 ifadesinin açılımında kaç terim vardır? Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır.

Detaylı

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI. Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN OLASILIK DAĞILIMLARI Bernoulli Dağılımı Binom Dağılımı Poisson Dağılımı 1 Bernoulli Dağılımı Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için ilgilenilen süreçte bernoulli

Detaylı

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI

SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI SÜREKLİ OLASILIK DAĞILIŞLARI Sürekli verilerin göstermiş olduğu dağılışa sürekli olasılık dağılışı denir. Sürekli olasılık dağılışlarının fonksiyonlarına yoğunluk fonksiyonu denilmekte ve bu dağılışlarla

Detaylı

Prof.Dr.A.KARACABEY Doç.Dr.F.GÖKGÖZ RANDOM DEĞİŞKEN

Prof.Dr.A.KARACABEY Doç.Dr.F.GÖKGÖZ RANDOM DEĞİŞKEN SÜREKSİZ (DISCRETE) OLASILIK DAĞILIMLARI 1 RANDOM DEĞİŞKEN Nümerik olarak ifade edilebilen bir deneyin sonuçlarına rassal (random) değişken denir. Temelde iki çeşit random değişken vardır. ##süreksiz(discrete)

Detaylı

Şartlı Olasılık. Pr[A A ] Pr A A Pr[A ] Bir olayın (A 1 ) olma olsılığı, başka bir olayın (A 2 ) gerçekleştiğinin bilinmesine bağlıysa;

Şartlı Olasılık. Pr[A A ] Pr A A Pr[A ] Bir olayın (A 1 ) olma olsılığı, başka bir olayın (A 2 ) gerçekleştiğinin bilinmesine bağlıysa; Şartlı Olasılık Bir olayın (A ) olma olsılığı, başka bir olayın (A 2 ) gerçekleştiğinin bilinmesine bağlıysa; Pr[A A 2 Pr A A Pr A A = Pr[A A 2 2 2 Pr[A Pr[A 2 2 A A 2 S Pr[A A 2 A 2 verildiğinde (gerçekleştiğinde)

Detaylı

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674

Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ. Basým Tarihi: Haziran / ISBN Numarası: Sertifika No: 33674 kapak sayfası İÇİNDEKİLER. ÜNİTE SAYMA Sıralama ve Seçme... 4 Toplama Yolu ile Sayma... 4 Çarpma Yolu ile Sayma... 4 Permütasyon (Sıralama)... 5 Konu Testleri - -... 9 Kombinasyon (Seçme)... 4 Konu Testleri

Detaylı

ALKÜ EKONOMİ ve FİNANS BÖLÜMÜ ISL 207 İSTATİSTİK I ALIŞTIRMALAR

ALKÜ EKONOMİ ve FİNANS BÖLÜMÜ ISL 207 İSTATİSTİK I ALIŞTIRMALAR ALKÜ EKONOMİ ve FİNANS BÖLÜMÜ ISL 207 İSTATİSTİK I ALIŞTIRMALAR 1- İlaçla tedavi edilen 7 hastanın ortalama iyileşme süresi 22.6 gün ve standart sapması.360 gündür. Ameliyatla tedavi edilen 9 hasta için

Detaylı

İçindekiler. Ön Söz... xiii

İçindekiler. Ön Söz... xiii İçindekiler Ön Söz.................................................... xiii Bölüm 1 İstatistiğe Giriş....................................... 1 1.1 Giriş......................................................1

Detaylı

İstatistik ve Olasılık

İstatistik ve Olasılık İstatistik ve Olasılık KORELASYON ve REGRESYON ANALİZİ Doç. Dr. İrfan KAYMAZ Tanım Bir değişkenin değerinin diğer değişkendeki veya değişkenlerdeki değişimlere bağlı olarak nasıl etkilendiğinin istatistiksel

Detaylı

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 RASSAL DEĞİŞKENLER VE OLASILIK DAĞILIMLARI Olasılığa ilişkin olayların çoğunluğunda, deneme sonuçlarının bir veya birkaç yönden incelenmesi

Detaylı

İstenen Durum Olasılık Tüm Durum 12

İstenen Durum Olasılık Tüm Durum 12 OLASILIK ÇIKMIŞ SORULAR 1.SORU İçinde top bulunan iki torbadan birincisinde beyaz, siyah ve ikincisinde beyaz, 5 siyah top vardır. Birinci torbadan bir top çekilip rengine bakılmadan ikinci torbaya atılıyor.

Detaylı

ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT

ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT PERMÜTASYON, KOMBİNASYON BİNOM, OLASILIK ve İSTATİSTİK ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT Permütasyon. Kazanım : Eşleme, toplama ve çarpma yoluyla sayma yöntemlerini açıklar. 2. Kazanım : n elemanlı

Detaylı

Rassal Değişken. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK

Rassal Değişken. Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK Rassal Değişken Yrd. Doç. Dr. Tijen ÖVER ÖZÇELİK tover@sakarya.edu.tr S örnek uzayı içindeki her bir basit olayı yalnız bir gerçel (reel) değere dönüştüren fonksiyona rassal değişken adı verilir. O halde

Detaylı

8. SINIF GENEL AÇIKLAMA

8. SINIF GENEL AÇIKLAMA 8. SINIF GENEL AÇIKLAMA Bu kitapçık bölümden oluşmaktadır. 1. bölümde yer alan 5 sorunun her biri 1, puan değerindedir.. bölümde yer alan 15 sorunun her biri,4 puan değerindedir.. bölümde yer alan 10 sorunun

Detaylı

dir. Bir başka deyişle bir olayın olasılığı, uygun sonuçların sayısının örnek uzaydaki tüm sonuçların sayısına oranıdır.

dir. Bir başka deyişle bir olayın olasılığı, uygun sonuçların sayısının örnek uzaydaki tüm sonuçların sayısına oranıdır. BÖLÜM 3 OLASILIK HESABI 3.. Br Olayın Olasılığı Tanım 3... Br olayın brbrnden ayrık ve ortaya çıkma şansı eşt n mümkün sonucundan m tanes br A olayına uygun se, A olayının P(A) le gösterlen olasılığı P(A)

Detaylı

ÜNİTE. İSTATİSTİĞE GİRİŞ Prof.Dr.Erkan Oktay İÇİNDEKİLER HEDEFLER İHTİMAL TEORİSİ

ÜNİTE. İSTATİSTİĞE GİRİŞ Prof.Dr.Erkan Oktay İÇİNDEKİLER HEDEFLER İHTİMAL TEORİSİ HEDEFLER İÇİNDEKİLER İHTİMAL TEORİSİ Temel Kavramlar Toplama Kuralı Çarpma Kuralı İhtimal Dağılım Tablosu Beklenen Değer İSTATİSTİĞE GİRİŞ Prof.Dr.Erkan Oktay Bu üniteyi çalıştıktan sonra; İhtimal (olasılık)

Detaylı

Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler

Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler Mühendislikte İstatistiksel Yöntemler BÖLÜM 7 TAHMİNLER Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU 1 Tahmin (kestirim veya öngörü): Mevcut bilgi ve deneylere dayanarak olayın bütünü hakkında bir yargıya varmaktır.

Detaylı

10SINIF MATEMATİK. Sayma ve Olasılık Fonksiyonlar

10SINIF MATEMATİK. Sayma ve Olasılık Fonksiyonlar 0SINIF MATEMATİK Sayma ve Olasılık Fonksiyonlar YAYIN KOORDİNATÖRÜ Oğuz GÜMÜŞ EDİTÖR Hazal ÖZNAR - Uğurcan AYDIN DİZGİ Muhammed KARATAŞ SAYFA TASARIM - KAPAK F. Özgür OFLAZ Eğer bir gün sözlerim bilim

Detaylı

2. Aşağıdaki pseudocode ile verilen satırlar işletilirse, cnt isimli değişkenin son değeri ne olur?

2. Aşağıdaki pseudocode ile verilen satırlar işletilirse, cnt isimli değişkenin son değeri ne olur? Numarası : Adı Soyadı : SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır.

Detaylı

OLASILIK PROBLEMLERİ I (BAĞIMSIZ OLAYLAR, KOLMOGOROV BELİTLERİ VE KOŞULLU OLASILIK)

OLASILIK PROBLEMLERİ I (BAĞIMSIZ OLAYLAR, KOLMOGOROV BELİTLERİ VE KOŞULLU OLASILIK) İST65-0-02-OLASILIK I (BAĞIMSIZ OLAYLAR, KOLMOGOROV BELİTLERİ VE KOŞULLU OLASILIK). A ve B olayları ayrık olaylar ve olasılıkları sıfırdan farklı ise, bu olayların bağımlı olduklarını tanıtlayınız. A ve

Detaylı

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009

MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu. 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 MIT OpenCourseWare http://ocw.mit.edu 14.30 Ekonomide İstatistiksel Yöntemlere Giriş Bahar 2009 Bu materyale atıfta bulunmak ve kullanım koşulları için http://ocw.mit.edu/terms sayfasını ziyaret ediniz.

Detaylı

İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik

İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik 6.SUNUM İstatistik, genel olarak, rassal bir olayı (ya da deneyi) matematiksel olarak modellemek ve bu model yardımıyla, anakütlenin bilinmeyen karakteristik özellikleri (ortalama, varyans v.b. gibi) hakkında

Detaylı

OLASILIK ve İSTATİSTİĞE GİRİŞ. Yrd. Doç. Dr. Hüsey n Dem r

OLASILIK ve İSTATİSTİĞE GİRİŞ. Yrd. Doç. Dr. Hüsey n Dem r OLASILIK ve İSTATİSTİĞE GİRİŞ Yrd. Doç. Dr. Hüsey n Dem r Yrd. Doç. Dr. Hüseyin Demir OLASILIK VE İSTATİSTİĞE GİRİŞ ISBN 978-605-318-470-6 DOI 10.14527/9786053184706 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarlarına

Detaylı

Deney Dizaynı ve Veri Analizi Ders Notları

Deney Dizaynı ve Veri Analizi Ders Notları Deney Dizaynı ve Veri Analizi Ders Notları Binom dağılım fonksiyonu: Süreksiz olaylarda, sonuçların az sayıda seçenekten oluştuğu durumlarda kullanılır. Bir para atıldığında yazı veya tura gelme olasılığı

Detaylı

Olasılık: Klasik Yaklaşım

Olasılık: Klasik Yaklaşım Olasılık Teorisi Olasılık: Klasik Yaklaşım Olasılık Bir olayın meydana gelme şansına olasılık denir. Örnek Türkiye nin kazanma olasılığı Hava durumu Loto Olayların Olasılığını Belirleme Rastsal (gelişigüzel)

Detaylı

MAT223 AYRIK MATEMATİK

MAT223 AYRIK MATEMATİK MAT223 AYRIK MATEMATİK Kombinatoryal Olasılık 5. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Kombinatoryal Olasılık Olaylar

Detaylı

Olasılık Kavramı. Mühendislikte İstatistik Yöntemler

Olasılık Kavramı. Mühendislikte İstatistik Yöntemler Olasılık Kavramı Mühendislikte İstatistik Yöntemler KÜME KAVRAMI Birlikte ele alınan belirli nesneler topluluğuna küme, Kümede içerilen nesnelere de eleman, öğe veya üye denir. Kümenin elemanlerı (öğeleri,

Detaylı

10. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları

10. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter. Altın Kalem Yayınları 10. Sınıf Matemat k Ders İşleme Defter OLASILIK Altın Kalem Yayınları KOŞULLU OLASILIK Bas t olayların olma olasılıklarını 9. sınıf matemat k konularında şlem şt k. Ş md yapacağımız se daha karmaşık olayların

Detaylı

Biyoistatistik V. HAFTA

Biyoistatistik V. HAFTA Biyoistatistik V. HAFTA Olasılık Olasılık: Bir olayın gerçekleşme ihtimalinin matematiksel değeridir. p= Başarı sayısı / olanaklı durumlar Yazı gelmesi ihtimali p=1/2=0.5 Olasılığın özellikleri: Daima

Detaylı

MAT239 AYRIK MATEMATİK

MAT239 AYRIK MATEMATİK MAT239 AYRIK MATEMATİK 5. Bölüm Emrah Akyar Eskişehir Teknik Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2018 2019 Öğretim Yılı Olaylar ve Olasılıklar Olaylar ve Olasılıklar Karşılaşılması düşünülen

Detaylı

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37

Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 İÇİNDEKİLER Ön Söz...2 Gruplar...3 Alt Gruplar...9 Simetrik Gruplar...13 Devirli Alt Gruplar...23 Sol ve Sağ Yan Kümeler (Kosetler)...32 Normal Alt Gruplar ve Bölüm Grupları...37 Grup Homomorfizmaları...41

Detaylı

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir.

Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydana gelme şansının sayısal ifadesidir. OLSILIK Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır. Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi

Detaylı

Örnek Uzay: Bir deneyin tüm olabilir sonuçlarının kümesine Örnek Uzay denir. Genellikle harfi ile gösterilir.

Örnek Uzay: Bir deneyin tüm olabilir sonuçlarının kümesine Örnek Uzay denir. Genellikle harfi ile gösterilir. BÖLÜM 3. OLASILIK ve OLASILIK DAĞILIMLARI Rasgele Sonuçlu Deney: Sonuçlarının kümesi belli olan, ancak hangi sonucun ortaya çıkacağı önceden söylenemeyen bir işleme Rasgele Sonuçlu Deney veya kısaca Deney

Detaylı

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN

Tanımlayıcı İstatistikler. Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN Tanımlayıcı İstatistikler Yrd. Doç. Dr. Emre ATILGAN 1 Tanımlayıcı İstatistikler Yer Gösteren Ölçüler Yaygınlık Ölçüleri Merkezi Eğilim Ölçüleri Konum Ölçüleri 2 3 Aritmetik Ortalama Aritmetik ortalama,

Detaylı