6 Koni kesitleri 9. David Pierce. Popüler Matematik, Matematik Bölümü, MSGSÜ

Transkript

1 Koni kesitleri avid Pierce 25 ralık 2012 Popüler Matematik, Matematik ölümü, MSSÜ Özet Neden koni kesitlerine parabol, hiperbol, veya elips denir. Why conic sections are called parabolas, hyperbolas, or ellipses. İçindekiler 1 Parabol, hiperbol, ve elips 2 2 Kelimeler 3 3 Oranlar, orantılar, ve benzerlik 3 4 Çemberler 5 5 Uygulamalar 6 6 Koni kesitleri 9 Kaynaklar 14 1

2 1 Parabol, hiperbol, ve elips ir koni kesiti, bir koni yüzeyi ile bir düzlemin kesişimi olan bir eğridir. Milattan önce 3. yüzyılda Pergeli pollonius [1, 2], koni kesitlerine parabol, hiperbol, ve elips (yani παραβολή, ὑπερβολή, ve ἔλλειψις) adlarını verdi. u eğrileri ip kullanarak çizebiliriz: a lipse iki odaktan giden uzaklıkların toplamı değişmez. a+t c a t b a 2 b 2 = c 2, x 2 a 2 + y2 b 2 = 1. iperbole iki odaktan giden uzaklıkların farkı değişmez. 2a+t t a 2 +b 2 = c 2, x 2 a 2 y2 b 2 = 1. Parabole bir odaktan ve doğrultmandan giden uzaklıkları birbirine eşittir, dolayısıyla odaktan ve doğrultmana paralel olan bir doğrudan eğriye giden uzaklıkların toplamı değişmez. b c c a t a+t a t 2a b = 2c, y = x2 4c. 2

3 2 Kelimeler Parabol, hiperbol, ve elips adlarının normal anlamları vardır. u anlamlar, yukarıdaki özellikleri anlatmaz: βάλλω (fiil) atmak, fırlatmak. βολή (isim) atma, fırlatma. παραβάλλω (fiil) karşılaştırmak, yaklaşmak. παραβολή (isim) karşılaştırma, yaklaşma, ilişki, benzeme, benzerlik. ὑπερβάλλω (fiil) geçmek, aşmak. ὑπερβολή (isim) geçme, aşma, fazlalık. λείπω (fiil) bırakmak, eksik olmak. λεῖψις (isim) eksiklik. ἐλλείπω (fiil) bir yana bırakmak, arkada bırakmak. ἔλλειψις (isim) eksiklik (bu kelime, [3] kaynağında değil). 3 Oranlar, orantılar, ve benzerlik Sınırlı doğrular, alanlar, ve cisimler, büyüklük örnekleridir. ir büyüklük çoğaltılabilir. er n tamsayısı için, bir büyüklüğün n katı vardır. üyüklük ise, onun n katı, olarak yazılabilir. n ile, büyüklük olsunlar. ğer bir n tamsayısı için, n >, n > 3

4 olursa, o zaman büyüklüklerin oranı vardır. (u tanım, Öklid in Öğeler inin V. kitabının 4. tanımıdır [4, 5, 6, 7].) büyüklüğünün büyüklüğüne oranı için /, : yazılabilir. ncak bir oran çizilemez: soyuttur. (slında bir denklik sınıfı olacak.) ile büyüklüklerinin oranı olsun, ve ile büyüklüklerinin oranı olsun. Tüm n ve m tamsayıları için n > m n > m, n = m n = m, n < m n < m olduğunu varsayalım. O zaman büyüklüğünün büyüklüğüne oranı, büyüklüğünün büyüklüğüne oranı ile aynıdır. yrıca,,, ve büyüklükleri, orantılıdır [Öğeler V, 5. tanım], ve bu durumda : :: :, = ifadeleri yazılabilir. (Önceki ifadeyi tercih ederim, çünkü bir orantıda oranlar sadece eşit değil, aynıdır, ama iki büyüklüğün kendileri, aynı olmadan eşit olabilir.) Orantı, oranları olan büyüklük çiftleri arasında bir denklik bağıntısıdır. Öğeler in V. kitabında kolay kurallar gösterilir, mesela : :: : = + : :: + : & : :: :. Yüksekliğinin aynı olan üçgenlerin oranı, tabanlarının oranıyla aynıdır [Öğeler VI.1]: : :: :. 4

5 olayısıyla, bu şekilde, ise, o zaman : :: : :: : [I.37] :: :, ve tersi de doğrudur [Öğeler VI.2]. u şekilde, durumunda, ile üçgenleri, birbirine benzerdir [VI, 1. tanım]. F u şekilde ile paralelkenarları birbirine benzerdir ancak ve ancak,, ve noktaları bir doğrudadır [VI.24, 26]. ile F paralelkenarlarında ilef açıları birbirine eşit ise ve : :: F : F ise, o zaman paralelkenarlar birbirine benzerdir [VI, 1. tanım]. 4 Çemberler ir çemberin bir kirişinin orta dikmesi, çemberin merkezinden geçer [Öğeler III.1]. ir çemberin iki kirişi kesişirse, birinin parçaları tarafından içerilen dikdörtgen, ötekinin parçaları tarafından içerilen dikdörtgene eşittir [III.35], ve o zaman parçalar orantılıdır [VI.16]: =, : :: :. 5

6 r unu göstermek için, bir kirişin çemberin merkezinden geçtiğini varsayabiliriz ve Pisagor Teoremini [I.47] kullanabiliriz: r b d a b c c r a (r +a)(r a) = r 2 a 2 = b 2 +d 2 (d 2 +c 2 ) = b 2 c 2 = (b+c)(b c). Özel olarak yarım dairenin çapına dikmedeki kare, çapın parçaları tarafından içerilen dikdörtgene eşittir: 2 =, : :: :. (Sonuç olarak açısı dik olmalı.) 5 Uygulamalar Öklid de παραβάλλω fiili, yerleştirmek veya uygulamak olarak çevrilebilir. (İngilizcede apply olarak çevrilir.) u kelime, birkaç tane problemlerde kullanılır: Önerme I.44: Παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν Verilen bir doğru boyunca τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἴσον verilen bir üçgene eşit παραλληλόγραμμονπαραβαλεῖν bir paralelkenar uygulamak ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ. verilen bir düzkenar açıda. Önerme I.45: Τῷδοθέντιεὐθυγράμμῳἴσον Verilen bir düzkenar [şekl]e eşit παραλληλόγραμμονσυστήσασθαι bir paralelkenar inşa etmek ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ. verilen bir düzkenar açıda. 6

7 (urada bir düzkenar açı, çokgen olarak düşünebilir.) Sonuç olarak aşağıdaki problemi çözebiliriz: Verilen bir doğru boyunca verilen bir düzkenar [şekl]e eşit bir paralelkenar uygulamak verilen bir düzkenar açıda. VI. kitabında Öklid, son satırda değişiklikler yapar: Önerme VI.28: Παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ἐλλεῖπον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ τῷ δοθέντι. Verilen bir doğru boyunca verilen bir düzkenar [şekl]e eşit bir paralelkenar uygulamak verilen [paralelkenar]a benzer bir paralelkenar şekli kadar eksik kalan. (uradan bir şart çıkardım: Verilen düzkenar [şekl]in [verilen doğrunun] yarı[sın]da çizilmiş eksiğe benzer [şekil]den büyük olmaması gerekir. 1 ) Önerme VI.29: Παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῷ δοθέντι εὐθυγράμμῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ὑπερβάλλον εἴδει παραλληλογράμμῳ ὁμοίῳ τῷ δοθέντι. Verilen bir doğru boyunca verilen bir düzkenar [şekl]e eşit bir paralelkenar uygulamak verilen [paralelkenar]a benzer bir paralelkenar şekli kadar aşan. 1 δεῖδὲτὸδιδόμενονεὐθύγραμμονμὴμεῖζονεἶναιτοῦἀπὸτῆςἡμισείαςἀναγραφομένου ὁμοίου τῷ ἐλλείμματι. 7

8 Son önermenin gösterisi. Verilen doğru, olsun; verilen düzkenar şekil, olsun; verilen paralelkenar, olsun. 1. noktası, doğrusunu ikiye bölsün. [I.10] =. 2. F paralelkenarı, paralelkenarına benzer olsun. [VI.18] F. F K 3. K paralelkenarı, F paralelkenarı ile şeklinin toplamına eşit ve paralelkenarına benzer olsun. [VI.25] K = F +, K. 4. paralelkenarı, K paralelkenarına eşittir. [I.43] = K. 5. paralelkenarı, K paralelkenarına eşittir. = K. 6. L paralelkenarı, LK gnomonuna eşittir (γνώμων bilen; güneş saatinin göstergesi). L = LK. 7. u gnomon, şekline eşittir. L F + = K = F +LK, = LK. 8. L paralelkenarı, şekline eşittir. L =. 9. L paralelkenarı, doğrusunu paralelkenarına benzer L paralelkenarı kadar aşar. [I.24] L. 8

9 Kartezyen çözüm. Verilen doğrunun uzunluğu, a olsun. Verilen düzkenar şeklin alanı, x 2 olsun. Verilen paralelkenarın eni, b olsun; a a yüksekliği, c olsun. İstediğimiz fazla gelen paralelkenarın eni, z olsun. z cz b O zaman yüksekliği, cz/b, ve x 2 = (2a+z) cz b, bx2 = cz (2a+z). Öyleyse z belirlenir. a a c/b urada y = z +a ise, o zaman z = y a, 2a+z = y +a, bx 2 = cy 2 a 2 c, cy 2 bx 2 = a 2 c, y 2 a 2 x2 a 2 c/b = 1. 6 Koni kesitleri Son denklemler, bir hiperbolün denklemleridir. bir nokta, ve, bir dairenin çapı olsun. noktası, dairenin düzleminde olmasın. O zaman öyle bir koni vardır ki noktası, koninin tepesidir, ve dairesi, koninin tabanıdır. Koninin yüzeyi, tepeden tabanın çevresine giden tüm doğruların noktalarından oluşur (veya o doğruları içerir, veya o doğrular tarafından oluşturulur). 9

10 F noktası, çapının orta noktası olsun. O zaman F doğrusu, koninin eksenidir. üçgeni, koninin bir eksen üçgenidir. Koninin tabanının çapı ve kirişi, noktasında kesişsin. ir düzlem, koninin tabanını kirişinde kessin. u kirişin orta dikmesinin çapı olduğunu varsayabiliriz. [III.3] Koninin tabanını kesen düzlem, eksen üçgenini doğrusunda kessin; noktasının doğrusunda olduğunu varsayabiliriz. Kesen düzlem, koninin yüzeyini bir eğrisinde keser. u eğri, bir koni kesitidir. u kesit, noktasını içerirse, o zaman ile, aynı noktadır, ve kesit, ile doğrularından oluşur. ğer doğrusu, doğrusuna paralel ise, kesit bir paraboldür. Kalan durumda, uzatılırsa, ile doğruları, bir K noktasında kesişir. u nokta, koninin tabanının altındaysa, kesit bir elipstir, koninin tepesinin üstündeyse, kesit bir hiperboldür. K F K 10

11 K Koni kesitimiz, hiperbol olsun. doğrusundaki kare, ile tarafından içerilen dikdörtgene eşittir [III.35], yani 2 =. Şimdi tabana paralel olan bir düzlem, koniyi kessin. doğrusunu L noktasında kessin, ve eksen üçgenini MN doğrusunda kessin. K M L N M P L N Q O zaman koninin yüzeyi, bir çemberde kesilir, ve koni kesitinin düzlemi, bu çemberi bir PQ kirişinde keser. MN doğrusu, bu çemberin bir çapıdır ve PQ kirişinin orta dikmesidir. Özel olarak, PL = LQ yüzünden, doğrusu, koni kesitinin bir çapıdır. şağıdaki eşitliğimiz vardır. 2 PL 2 = ML LN = ML LN = L K KL. 11

12 Şimdi R doğrusu, K doğrusuna dik olsun, ve R dikdörtgeni, doğrusundaki kareye eşit olsun, yani K R = 2 olsun. enzer şekilde S dikdörtgeni, P L doğrusundaki kareye eşit olsun, yani olsun. O zaman SL L = PL 2 R SL = K KL, R S M L N dolayısıyla R,, ve K, bir doğrudadır. R T K Şimdi K doğrusuna noktasındaki dikme, RK doğrusunu T noktasında kessin. O zaman Verilen T doğrusuna doğrusundaki kareye eşit olan R dikdörtgenini uygulandık verilen KT dikdörtgenine benzer bir dikdörtgen kadar aşan (ὑπερβάλλον). u yüzden koni kesitine hiperbol (ὑπερβολή) denir. u tanım ve ispat, Pergeli pollonius ün Koni kesitleri [1, 2] eserinin I. kitabının 12. önermesinde bulunur. O eserin III. kitabında odak özelliği anlatılır. T doğrusuna, dik kenar (ὀρθία, latus rectum) denir. şağıdaki gibi bulunur: T K = R K = R K = K = K. O zaman V K ise K T K = V V VU V VU = V V 2. T V U 12

13 K T R R : T :: K : K, 2 = R. 13

14 Kaynaklar [1] pollonius of Perga, pollonii Pergaei qvae raece exstant cvm commentariis antiqvis, vol. I, Teubner, 1974, didit et Latine interpretatvs est I. L. eiberg. [2], onics. ooks I III, revised ed., reen Lion Press, Santa Fe, NM, 1998, Translated and with a note and an appendix by R. atesby Taliaferro, With a preface by ana ensmore and William. onahue, an introduction by arvey Flaumenhaft, and diagrams by onahue, dited by ensmore. MR MR (2000d:01005) [3] üler Çelgin, ski Yunanca Türkçe sözlük, Kabalcı, İstanbul, [4] uclid, uclidis lementa, uclidis Opera Omnia, vol. I, Teubner, 1883, didit et Latine interpretatvs est I. L. eiberg. [5], The thirteen books of uclid s lements translated from the text of eiberg. Vol. I: Introduction and ooks I, II. Vol. II: ooks III IX. Vol. III: ooks X XIII and ppendix, over Publications Inc., New York, 1956, Translated with introduction and commentary by Thomas L. eath, 2nd ed. MR 17,814b [6], The bones, reen Lion Press, Santa Fe, NM, 2002, handy where-to-find-it pocket reference companion to uclid s lements. [7], uclid s lements, reen Lion Press, Santa Fe, NM, 2002, ll thirteen books complete in one volume, the Thomas L. eath translation, edited by ana ensmore. MR MR (2003j:01044) 14