YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MEKANİK ANABİLİM DALI STATİK DERSİ NOTLARI ŞUBAT Prof. Dr.

Transkript

1 YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ İNŞT MÜHENDİSLİĞİ ÖLÜMÜ MEKNİK NİLİM DLI STTİK 04 3 DERSİ NTLRI ŞUT 008 Prof. Dr. Turgut KCTÜRK

2 . Giriş ve ana ilkeler. Vektörler ve kuvvetler, maddesel noktaların statiği Tanımlar Vektör işlemleri ve kuvvetler Maddesel noktaların statiği 3. Rijit cisimler. Eşdeğer kuvvet sistemleri Rijit cisimler. Dış ve iç kuvvetler ir noktaa göre moment Varignon teoremi ir eksene göre moment Kuvvet çiftinin momenti Eşdeğer kuvvet çiftleri ir kuvveti başka bir noktada etkien bir kuvvet ile bir kuvvet çiftine dönüştürme ir kuvvetler sisteminin bir kuvvet ve bir kuvvet çiftine indirgenmesi ir kuvvetler sisteminin bir kuvvet vidasına indirgenmesi Eşdeğer kuvvet sistemleri 4. ğırlık merkeleri, statik moment Giriş Dülem alan ve eğrilerin ağırlık merkei ileşik plak ve teller Pappus-Guldinus teoremleri Üç boutlu cisimlerin ağırlık merkei 5. Rijit cisimlerin dengesi Rijit cisimlerin dengesi Serbestlik derecesi İki boutlu apılarda çeşitli mesnet ve bağ tipleri Dülemsel apı sistemleri Dülemsel apı sistemlerine etkien çeşitli ük tipleri İki boutlu apısal sistemlerin mesnetlenmesi Çok parçalı apısal sistemlere giriş Üç boutlu apıların mesnet ve bağlarındaki kuvvetler Üç boutlu apıların mesnetlenmesi 6. Dülem taşııcı çubuk elemanlardaki iç statik büüklükler-kesit tesirleri Çubuklardaki iç kuvvetler Çubuklarda normal kuvvet, kesme kuvveti ve eğilme momenti Yük, normal kuvvet, kesme kuvveti ve eğilme momenti arasındaki bağıntılar 7. Dülem ve ua kafes sistemler Kafes sistemin tanımı asit kafes sistemler ileşik kafes sistemler Kafes sistemlerin çöüm öntemleri (Düğüm noktaları öntemi, kesim öntemi) Ua kafes sistemler ve çöüm öntemleri 8. Kablolar Tekil ük etkisindeki kablolar Yaılı ük etkisindeki kablolar

3 Parabolik kablo Zincir eğrisi kablo 9. talet momentleri Tanımlar Paralel eksenler teoremi sal eksenler ve asal atalet momentleri. Eksenlerin döndürülmesi. Mohr çemberi Kütlelerin atalet momentleri 0. Virtüel iş. Potansiel enerji. Dengenin kararlılığı (Stabilite) 3

4 . GİRİŞ. Mekanik Mekanik, kuvvetlerin etkisi altında cisimlerin denge ve hareket şartlarını anlatan ve inceleen bilim dalıdır. Mekanik üç kısma arılabilir:.rijit cisimler mekaniği: Şekil değiştirmeen cisimler mekaniği: a. Statik : Dengede bulunan cisimleri inceleen bilim dalıdır. b. Dinamik: Hareket halindeki cisimleri inceleen bilim dalıdır.. Şekil değiştiren cisimlerin mekaniği a. Mukavemet 3. kışkanlar mekaniği a. Sıkışabilen b. Sıkışamaan. Statiğin Konusu Statik, uada kuvvetler etkisi altındaki cisimlerin denge koşullarını inceler. Tanımından da anlaşılacağı üere statikte üç temel büüklük olup, bunlar aşağıda verilmiştir: Ua: iiksel olaların medana geldiği geometrik bir bölgedir. İncelenen problemin türüne göre ua bir boutlu, iki boutlu ve üç boutlu olabilir. Kuvvet: Hareketin nedeni olarak düşünülen fiiksel etkenin matematik modelidir. ir kuvvet ugulama noktası, doğrultusu, önü ve şiddeti ile bir bütündür. u öelliklere sahip büüklüklerin vektörel büüklükler olduğu matematikten bilinmektedir. Cisim: iiksel olaın etkilerinin ölçüldüğü geometrik bölgee verilen addır. Statikte cisimler aşağıda verilen iki ana idealleştirmele tanımlanırlar:. Maddesel nokta(parçacık): İncelenen statik problemin karakteri nedenile boutları ihmal edilebilecek mertebede küçük olan cisme verilen addır. Maddesel nokta olarak dikkate alınabilen cismin kütlesi bir noktada toplanmış olarak kabul edilir.. Rijit cisim: Kuvvetler etkisinde boutları değişmediği kabul edilen, diğer bir deimle herhangi iki noktası arasındaki uaklık daima sabit kalan, çok saıda maddesel noktanın bileşimi olan ideal bir cisimdir. Çeşitli etkiler altında katı cisimlerin 4

5 boutlarındaki değişme küçük olduğunda, bout değişimile ilgilenilmeen durumlarda apılan bir kabul olup, bu kabul işlemlerde çok büük kolalıklar sağlar..3 irimler Newton mekaniğinde kullanılan temel büüklükler ua, aman, kütle ve kuvvettir. Sö konusu mekanikte ua, aman ve kütle, birbirinden bağımsı, mutlak kavramlardır. Metre, kilogram ve sanie dünanın her hangi bir erinde, hatta başka bir geegende bile kullanılabilir. unların anlamı her erde anı kalır. Newton mekaniğinde, ma temel denklemi kullanılırken bu büüklükler kefi olarak seçileme. Eğer öle apılırsa kuvvetinin şiddeti ma çarpımının şiddetine eşit olama. halde dört birimden üçü istenildiği gibi seçilebilir; dördüncüsü ise Newton un ikinci hareket kanunu olan ma sağlanacak şekilde seçilmelidir. u durumda birimler kinetik açıdan uuşurlar. Kinetik açıdan uumlu birimler seçilirken baı büüklükler temel, diğerleri ise türetilen birimler olarak alınırlar. Ua, aman, kütle temel birimler, kuvvet türetilen birim olarak alınırsa bu şekilde oluşturulan birim sistemlerine salt (mutlak) birim sistemleri; ua, aman, kuvvet temel birimler, kütle türetilen birim olarak alınırsa bölesi birim sistemlerine de çekimsel birim sistemleri denir. Mühendislikte uun ıllar çekimsel birim sistemleri kullanılmasına karşın günümüde salt birim sistemlerinin kullanımı artık tüm dünada bir orunluluk haline gelmektedir. Metrik salt birimler sistemleri olan MKS (Metre-uunluk, Kilogram-kütle, Sanie-aman) ve SI (the International Sstem of Units) birim sistemlerinde kuvvetin şiddeti Newton olup şöle tanımlanır: Newton, kg kütlesindeki bir cisme m/sn lik ivme kaandıran bir büüklüktür. Metrik çekimsel birimler sisteminde kuvvet birimi kilogramdır. urada kilogram kütle birimi değil, kuvvet birimidir. u nedenle bir karışıklığa medan verilmemesi için kg kuvvet birimi olarak kullanıldığında kgf olarak gösterilecek ve kilogram kuvvet olarak okunacaktır. u kuvvet, kütlesi kg olan bir cismin deni düeinde ve 45 o enlemdeki ağırlığı olarak tanımlanır. öle bir erde serbest düşen bir cismin ivmesi 9,8 m/sn olduğundan kilogramkuvvetin kilogramlık kütlee 9,8m/sn lik ivme verdiği görülür. halde metre, kilogram kuvvet, sanie ve kilogram kütle kinetik olarak uuşan bir birim sistemi oluşturma. ununla beraber, bu kitapta Tablo. irim sistemleri. Sistemler Uunluk Kütle Kuvvet CGS cm gr Din (gr. cm. /sn ) MKS m kg N (kg. m. /sn ) SI m kg N (kg. m. /sn ) İngili ft lb Poundal (lb. ft. /sn ) salt birimler sistemi kullanılacağından bu konu üerinde daha fala durulmaacak, alnı, tanımından da anlaşıldığı üere kg kuvvet 9, 8N olduğu not edilmekle etinilecektir. 5

6 Çeşitli salt birim sistemleri Tablo. de verilmiştir. rıca gerekli olabilecek baı birim çevirmeleri de Tablo. de verilmiştir. Tablo. irim çevirmeleri. lb453,59 Din in.54cm kgf,046 lb kgf. m9,8 J psi0,0703 kgf/cm 6,894kPa6,894 N/m ft in30,48 cm N.mJoule; kgf9,8 N; Pa N/m ; psilb/in ; JJoule; Pa Pascal Kinetikte iş birimi olarak kullanılan Joule Newton luk kuvvetin metre ol alması durumunda aptığı iş olarak tanımlanmaktadır. irim alana gelen kuvvet (gerilme) birimi pa N / m dir..4 Statiğin Temel İlkeleri Statik dört temel ilkee daanır: ) Kuvvet paralelkenarı ilkesi: ir rijit cisimde bir noktaa etkien iki kuvvet erine bir kuvvet konulabilir. u kuvvet, kenarları eşit olan paralelkenarın köşegenini çierek elde edilir ve bu iki kuvvetin bileşkesi olarak anılır. ileşke kuvvet gö önüne alınan iki kuvvetin vektörel toplamıdır, Şekil.. R + (.) R Şekil. Şekil. Tersine olarak paralelkenar ilkesi, verilen bir kuvveti verilen iki doğrultuda belli iki kuvvete (bileşenlerine) aırmak için de kullanılabilir. ) Denge ilkesi: ir rijit cisme etkien iki kuvvetin dengede olabilmeleri için tesir çigilerinin anı, şiddetlerinin eşit ve önlerinin ıt olması gerekir. Örneğin ise şekildeki kuvvetler dengede olurlar, Şekil.. 3) Süperpoison ilkesi: Rijit bir cisme etkien bir kuvvet sistemine, dengedeki bir kuvvet sistemini eklemek vea çıkarmak rijit cismin durumunu değiştirme. İkinci ve üçüncü ilke birleştirilerek, rijit cisim statiğinde kuvvetin bir kaan vektör olduğu, ani anı tesir çigisi üerinde, anı şiddet, doğrultu ve önde başka bir noktaa etkien bir kuvvet olarak gö önüne alınabileceği görülebilir. Şekil.3 de bu kolaca görülmektedir. 6

7 - Şekil.3 4) Etki tepki ilkesi: irbirlerine değen iki cismin değme noktalarında etki ve tepki kuvvetleri anı şiddette, anı tesir çigisi üerinde ve ıt öndedirler, Şekil.4. ortak teğet R R rtak teğet EtkiTepki R R.5 Statiğin Problemleri ve Yöntemi Şekil.4 Statik problemlerinde aşağıdaki gibi üç durumla karşılaşılabilir:. ileşke aranması: Kuvvetler sisteminde kuvvetlerin saısını aaltmak hesaplarda önemli kolalıklar sağlar. Eğer kuvvetler sistemi bir tek kuvvete indirgenebilirse bu kuvvet aranan bileşke olur.. ileşenlere aırma: aı durumlarda bir kuvvetin kendisi erine belirli doğrultulardaki bileşenlerinin kullanılması daha elverişli olabilir. u durumda bileşenlere aırma problemi ile karşılaşılabilir. 3. Denge problemi: Kuvvetler sisteminin dengede olması için sağlaması gereken koşulların incelenmesidir. Statik problemleri incelenirken, problemdeki cisimlerin hepsi için, her birine etkien kuvvetleri açıkça gösteren arı arı diagramlar çiilmelidir. Dengesi incelenecek olan sistemin a da cismin üerine etkien bütün kuvvetlerin gösterildiği diagramlara serbest cisim diagramları (SCD) denir. u diagramların elde edilebilmesi için, a) incelenecek olan cisim bağlarından ve diğer cisimlerden arılır, b) bağlardan ve diğer cisimlerden arılan cismin serbest cismi üerine ugulanan kuvvetler gösterilir, 7

8 c) serbest cisim birkaç parçadan oluşuorsa, tüm cismin SCD da, bu parçaların birbirlerine uguladığı kuvvetler gö önüne alınmamalıdır, d) bilinen dış kuvvetler şiddet ve doğrultularıla SCD da çiilir, e) bağ kuvvetleri (mesnet tepkileri vea mesnet reaksionları) de, bağın öelliğine göre SCD da cisim üerine etkitilir. ölece elde edilen SCD da denge denklemleri aılarak bilinmeenler hesaplanabilir. aı SCD ları Şekil.5 de görülmektedir. H V V q q R R H V Şekil.5 V 8

9 . Tanımlar. VEKTÖRLER VE KUVVETLER Kütle, uunluk, aman, bir cismin oğunluğu ve herhangi bir saı gibi sadece büüklüğü olan ifadelere skaler denmekte olup, mekanikte en sade ifadeler skalerlerdir. Mekanik problemlerin incelenmesinde skaler tanımı eterli olmaıp, buna ek olarak vektör tanımına ihtiaç vardır. Vektörel büüklükler: Hı, ivme ve kuvvet gibi hem önü, hem doğrultusu, hem de şiddeti olan büüklüklere vektör adı verilir. ir vektörünün şiddeti a da ile simgelenir. Vektör doğrultusunu bir doğru, önünü de bir ok belirler, Şekil.. Şekil. deki (,, ) ve (,, ) vektör doğrultusu üerindeki iki nokta olup, bu noktalar koordinatlarıla verilmişlerdir; dolaısıla vektörün doğrultusu belirlidir. (,, ) (,, ) Şekil. Vektörler aşağıdaki gibi guruplandırılabilirler:. Serbest vektör: Yönü ve şiddeti korunmak şartıla uada serbestçe hareket edebilen vektör.. Kaan vektör: nı doğrultu üerinde olmak koşulula istenilen noktaa ugulanabilen vektör. Statikte kuvvetler kaan vektörlerdir. Statikte kuvvetlerin kaan vektörler olduğu süperpoison ve denge ilkeleri ardımıla gösterilebilir. Şekil.a da, noktasına etkien kuvveti ele alınsın. Denge ilkesinden cisim içerisindeki bir noktasına kuvveti ile anı tesir çigisi üerinde olan, önleri ters, şiddetleri olan iki kuvvet erleştirilebilir, Şekil.b. Süperpoison ilkesi kullanılarak noktasındaki kuvveti ile noktasındaki kuvveti kaldırılabilir. 9

10 Sonuç olarak noktasına etkien kuvveti cisim üerindeki noktasına taşınmış olur, Şekil.c. - (a) (b) (c) Şekil. 3. Sabit vektör: Ugulama noktası sabit olan vektör. 4. irim vektör: u vektörler burada λ simgesi ile gösterilecek olup, boları, ani şiddetleri birim olan ( λ ) vektörlerdir, Şekil.3. Şekil.3 den de görüldüğü gibi dik karteen koordinat takımında birim vektör doğrultusu ile θ, doğrultusu ile θ ve doğrultusu ile θ açılarını apmaktadır. irim vektör konusunda daha arıntılı çalışma kısım. de apılacaktır. λj θ λ λk θ θ λ i. Vektörel İşlemler ve Kuvvetler Şekil.3 Statikte bütün işlemler vektörel olarak apılabilmesine karşın, üç boutlu problemlerde vektörel hesap sonuca daha kola götürdüğünden öellikle tercih edilmektedir. u aşamada statikte kullanılacak olan baı temel vektörel işlemlerden sö edilecektir. Paralelkenar ilkesi: Vektörler bu ilke ile toplanırlar, Şekil.4. u ilkenin matematik gösterimi R + (.3) şeklindedir. 0

11 R R Şekil.4 Şekil.5 Üçgen ilkesi: ve vektörleri birbirlerinin ucuna eklenerek Şekil.5 de gösterildiği gibi bileşkenin bulunması mümkündür. Vektörlerin bir sabit ile çarpımı: noktasına ugulanmış bir vektörü a gibi bir skalerle çarpılırsa, a > 0 P a ve Q a (.4) için P ve Q vektörleri Şekil.6 da görüldüğü gibi elde edilir. Q P Şekil.6 Kuvvetin vektörel gösterimi: ir kuvvetin, ugulama noktası, şiddeti, doğrultusu ve önü ile belirlendiğine daha önce değinilmiş ve kuvvetin vektörel bir büüklük olduğu ifade edilmişti. u aşamada bir vektörü kuvvet olarak gö önüne alınsın. Üç boutta verilen bir kuvvetin dik bileşenleri, Şekil.7, E (a) θ C D E θ (b) Şekil.7 C D E θ D (c) C

12 olur. u durumda kuvvet i.cosθ. i j.cosθ. j k.cosθ. k (.5) i + j + k (.6) şeklini alır. (.5) in sağ tarafındaki ifadeler cinsinden kuvvet (cosθ i + cosθ j + cosθ k) (.7) şeklinde aılabilir, Şekil.7a,b,c. ve bunlar, Şekil.8, j cos θ,cosθ, cosθ lere doğrultman kosinüsleri denir λ(siddet) cosθj cosθk cosθi λ i k şeklinde gösterilir. urada Şekil.8 λ cos θ λ cosθ λ cosθ (.8) λ λ i + λ j + λ k (.9) şeklinde bir ifade tanımlanırsa, bu durumda kuvveti λ (.0) olarak aılır. urada kuvvetin şiddetini gösterir, λ ise doğrultu ve önü gösteren birim er vektörüdür. irim er vektörü için ileen bağıntılar geçerlidir:

13 3 cos cos cos λ λ λ λ λ λ λ θ θ θ λ λ λ (.) Şiddeti ve tesir çigisi üerindeki iki nokta ile tanımlanan kuvvet: Ugulamaların bir çoğunda, kuvvetinin doğrultusu, tesir çigisi üerindeki ),, ( ),, ( N ve M gibi iki noktasının koordinatları ardımıla tanımlanır, Şekil.9. u kuvvetin,, bileşenleri (.7) den N(,, ) d - <0 d - M(,, ) d - λ Şekil.9 ) cos cos (cos + + k j i θ θ θ şeklinde bilinmekte olup, θ θ θ cos,,cos cos doğrultman kosinüsleri Şekil.9 dan ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( k j i d d k j d d i MN λ (.) şeklini alır. urada d d d d d d d d d d θ θ θ θ θ θ cos cos cos cos cos cos (.3) şeklinde bağıntıların olduğu görülmektedir. ( ) k j i k j i λ λ λ λ. (.4)

14 biçiminde aılabilir. urada, vektörünün şiddetidir. Şekil.8 den olur. vektörünün şiddeti olarak hesaplanır. λ cos θ, λ cosθ, λ cosθ (.5) + + (.6) Vektörel çarpım: P ve Q vektörlerinin vektörel çarpımı matematikte V P Q (.7) şeklinde gösterilir. P ve Q gibi iki vektörün vektörel çarpımı aşağıdaki şartları sağlaan bir V vektörü olarak tanımlanır, Şekil.0. VP Q Q θ P Şekil.0 a) V nin tesir çigisi P ve Q vektörlerinin oluşturduğu düleme diktir, Şekil.0. Vektörün önü sağ el kuralı ile belirlenebilir; şöle ki sağ elin dört parmağı P den Q a dönüş önünü gösterirken başparmağın önü V nin önünü gösterir. b) V nin şiddeti 0 V P.Q.sinθ ( θ 80 ) (.8) olur. c) Dağılma (disribütiflik) öelliği sağlanır: P ( Q + Q P Q + P Q (.9) ) d) ssosatif öellik geçerli değildir: 4

15 e) Komütatif öellik geçerli değildir : P ( Q S) ( P Q) S (.0) P Q Q P (.) f) Q vektörünün ucundan P vektörüne paralel çiildiğinde, başlangıcı P ve Q vektörlerinin başlangıcında, bitimi ise Q nun ucundan P e çiilen paralel üerinde olan bir Q vektörü için P Q P Q (.) ilişkisi vardır, Şekil.. V Q Q' P Şekil. Vektörel Çarpımın Dik Koordinatlar Cinsinden İfadesi: Şimdi i, j, k birim vektörlerinin herhangi iki tanesinin vektörel çarpımı belirtilecektir. Önce i j çarpımı gö önüne alınsın, Şekil.. Vektörlerin ikisinin de şiddeti bire eşit olduğu ve birbirlerine dik olduğu için vektörel çarpımları da bir birim vektör olacaktır. u birim vektör de k olmak orundadır, çünkü i, j, k vektörlerinin hepsi birbirine diktir ve bir sağ üçlü oluştururlar. ir birim vektörün kendisi ile vektörel çarpımı, örneğin i i sıfıra eşittir, çünkü iki vektör de anı doğrultudadır. irim vektörlerden oluşturulması mümkün olan çiftlerin vektörel çarpımları şöledir: 5

16 6 i j k (a) j i (b) j j i -k i Şekil k k i k j j k i i j k j j k j i j i k k i j i i (.3) irim vektörleri gösteren üç harf bir daire üerinde sıralanırsa, Şekil.3, iki birim vektörün vektörel çarpımının işaretinin belirtilmesi kolalaştırılabilir: İki birim vektör birbirini saat ibrelerinin aksi önde iliorsa vektörel çarpımları poitif, aksi halde negatiftir. k i j Şekil.3 Verilmiş olan Q ve P vektörlerinin V vektörel çarpımı artık bu vektörlerin dik bileşenleri cinsinden kolaca ifade edilebilir. Q ve P vektörleri bileşenlerine arılarak önce aşağıdaki ifade aılabilir: Q P V k Q j Q i Q k P j P i P V Distribütif öellikten ararlanılarak V, (.3) ödeşlikleri kullanılarak, k ve j i, ortak çarpan alınmak suretile ileen şekilde aılabilir:

17 V P Q k P Q j P Q k P Q i + P Q j P Q i ( P Q P Q ) i + ( P Q P Q ). j + ( P Q P Q ) V. k (.4). ölece V vektörel çarpımının dik bileşenleri şöle olur: V V V P Q P Q P Q P Q P Q P Q (.5) (.4) denklemine dönülürse bunun sağ anının bir determinantın açılımını gösterdiği görülür. u hale göre V vektörel çarpımı, hatırda tutulması daha kola olan şöle bir şekilde ifade edilebilir: i j k V P P P (.6) Q Q İki Vektörün Skaler Çarpımı: P ve Q vektörlerinin skaler çarpımı, P ve Q vektörlerinin şiddetleri ile P ve Q nun aptığı θ açısının kosinüsünün çarpımı olarak tanımlanır, Şekil.4. u şöle aılabilir: Q Q α P Şekil.4 P. Q P. Q.cosα (.7) Tanımlanan bu ifadenin bir vektör olmaıp bir skaler olduğuna dikkat edilmelidir; bu husus skaler çarpım adını açıklamaktadır. Skaler çarpıma iç çarpım da denir. Skaler çarpıma ilişkin ileen öellikler vardır: a) İki vektörün skaler çarpımı komütatiftir, ani P. Q Q. P (.8) bağıntısı geçerlidir. b) Skaler çarpım distribütif tir. P.( Q + Q ) P. Q + P Q (.9). 7

18 c) Üçüncü öelliğe assosiatif öellik gelince bunun skaler çarpıma ugulanamaacağını görürü. Gerçekten ( P Q) S nin anlamı oktur, çünkü ( P Q ) bir vektör değil, skalerdir. Şimdi P ve Q gibi iki vektörün skaler çarpımı vektörlerin dik koordinatları cinsinden ifade edilecektir. P ve Q vektörleri bileşenlerine arılırsa ileen ifade aılabilir: P Q ( P i + P j + P k )(. Q i + Q j + Qk ) (.30) Distribütif öellikten ararlanılarak P.Q, P i Q i ve P i Q j şeklindeki çarpımların toplamı olarak ifade edilebilir. akat skaler çarpımın tanımından ararlanılarak birim vektörlerinin çarpımlarının a sıfır vea bir olduğu kolaca sağlanabilir: i i j j k k (.3) i j 0 j k 0 k i 0 ölece P.Q için elde edilen ifade şu basit şekle iner: P Q P Q + P Q + P Q (.3) Öel olarak P ve Q anı ise olduğu görülür. P P P + P + P (.33) Verilen İki Vektör rasındaki çı: İki vektör, bileşenleri cinsinden verilmiş olsun; P P i + P j + P k Q Q i + Q j + Q k (.34) u iki vektörün arasındaki açının bulunması için, vektörlerin skaler çarpımlarına ait (3.) ve (3.8) ifadeleri birbirine eşitlenecektir: uradan PQ cos θ P Q + P Q + P Q (.35) cos θ çöülerek aşağıdaki eşitlik bulunur: P. Q + P. Q + P. Q cosθ (.36) P. Q 8

19 ir Vektörün Verilen ir Eksen Üerindeki İdüşümü: θ. L P θ. Q L P λ θ θ. P θ Şekil.6 Şekil.7 Şekil.8 ir eksen vea önlü bir L doğrusu, Şekil.6, ile θ açısı apan bir P vektörü gö önüne alalınsın. P nin L ekseni üerindeki idüşümü şu skaler ile tanımlanır: P L P. cos θ (.37) P L idüşümünün, doğru parçasının bouna eşit olduğu görülmektedir;, L ekseni ile anı önde ise, ani θ dar açı ise, idüşüm poitif olacak, aksi halde negatif olacaktır. P ile L birbirine dikse P nin L üerindeki idüşümü sıfır olur. Şimdi L üerinde bulunan ve L ile anı önde olan bir vektör gö önüne alınsın, Şekil.7. P ile Q nun skaler çarpımı P Q P Q cosθ P Q (.38) şeklinde ifade edilebilir; buradan P Q P Q PL Q + PQ Q L + P Q (.39) sonucu elde edilir. Öel olarak L üerindeki vektör, λ birim vektörü ise ileen ifade aılabilir: P P L λ (.40) P ve λ dik bileşenlerine arılırsa, P nin L üerindeki idüşümü şu şekilde ifade edilebilir: P L P cos θ + P cosθ + P cosθ (.4) urada θ, θ ve θ, L ekseninin koordinat ekseni ile aptığı açıları göstermektedir, Şekil.8 9

20 3. RİJİT CİSİMLER VE EŞDEĞER KUVVET SİSTEMLERİ 3. Rijit Cisimler. Dış ve İç Kuvvetler Daha önce tanımı apılan rijit cisme etkien kuvvetler iki kısma arılabilir.() Dış kuvvetler () İç kuvvetler. Dış Kuvvetler: Cismin dış davranışından tamamen bu kuvvetler sorumludur. unlar a cismin hareket etmesine a da dengede olmasına sebep olurlar.. İç Kuvvetler: Cisim birkaç parçadan vea maddesel noktalardan ibaret ise bu cismi bir arada tutan kuvvetlere iç kuvvetler denir. 3. ir Kuvvetin ir Noktaa Göre Momenti Şimdi rijit cisme etkien bir kuvveti gö önüne alınsın. ilindiği gibi kuvveti, kuvvetin şiddet ve doğrultusunu tanımlaan bir vektörle gösterilebilmektedir. sa kuvvetin rijit cisme etkisi ugulama noktasına bağlıdır. nın eri, sabit karşılaştırma noktası olan u ile birleştiren r vektörü ardımıla kolaca tanımlanabilir; bu vektöre nın er vektörü denir. r er vektörü ile kuvveti Şekil 3. de gösterilen dülemi belirler. Mo d r θ Şekil 3. nin a göre momenti, r ile nin vektörel çarpımı olarak tanımlanacaktır: M 0 r (3.) Vektörel çarpımın tanımı gereğince M 0 momenti, ile nin bulunduğu düleme dik olacaktır; şu halde, M 0 momentinin tesir çigisi, noktasından bağlanmış ve kuvveti etkisindeki cismin apacağı dönmenin eksenini gösterecektir. M 0 ın önü, r vektörünü, vektörünün üstüne götürecek dönmenin önü ile tanımlanır; bu dönme ise nin cisme aptırmak istediği dönmedir. halde, M 0 momentinin önü nin rijit cisme aptırmağa uğraştığı dönmenin önünü karakterie eder. M 0 un önü ile rijit cismin hareketi arasındaki bağıntıı ifade etmek için sağ el 0

21 kuralı kullanılr. una göre: Sağ el kapatılır ve parmaklar nin rijit cisme aptırmak istediği dönme önünde kıvrılmış şekilde tutulur; bu durumda baş parmak M 0 momentinin önünü gösterecektir: Son olarak, r er vektörü ile kuvveti arasındaki açı θ ile gösterilirse, nin a göre momentinin şiddeti M 0 r..sinθ. d (3.) olarak bulunur; buradaki d, nun kuvvetinin tesir çigisine olan uaklığını göstermektedir. ir kuvvetin bir noktaa göre M 0 momenti kuvvetin şiddetine, tesir çigisine ve önüne bağlı olmakla beraber, kuvvetin kendi tesir çigisi üerindeki gerçek erine bağlı olmadığını görmek mümkündür. Karşıt olarak, kuvvetinin M 0 momenti, nin ugulama noktasının erini karakterie etme. ncak, şiddet ve doğrultusu verilmiş olan bir kuvvetinin M 0 çigisini tam olarak tanımlar. Gerçekten, nin tesir çigisi dan geçen, M 0 dik dülemde bulunacaktır; dan olan d uaklığı, M 0 momenti, nin tesir momentine ile nin şiddetlerinin bölümü olan M 0 / e eşit olmak orundadır; M 0 ın önü de, nin tesir çigisinin nun bir anında vea öte anında alınacağını belirtir. 3.3 Varignon Teoremi Tesir çigileri bir noktada kesişen çok saıda kuvvetin bileşkesinin bir noktasına göre momenti, bu kuvvetlerin noktasına göre momentlerinin toplamına eşittir. M o r ( ) n M 0 r R (3.3) 4 3 r/0 Şekil 3.

22 3.4 ir Kuvvetin Momentinin Dik ileşenleri Uada bir kuvvetin momentinin bulunması, kuvveti ve kuvvetin ugulama noktasının er vektörünü,,, dik bileşenlerine aırarak genellikle bir hali basitleştirilebilir. Örnek olarak, bileşenleri, ve, koordinatları, ve olan bir noktasına etkien bir kuvvetinin noktasına göre M o momenti gö önüne alınsın, Şekil r er vektörünün bileşenlerinin de sırasıla noktasının, ve koordinatlarına eşit olduğu dikkate alınarak ileen ifade aılabilir: j j r k i i k Şekil 3.3 r i + j + k (3.4) i + j + k (3.5) r ve için (3.4) ve (3.5) da verilen değerler M 0 r (3.6) ifadesinde erine konulmak ve kısım 3. de elde edilen sonuçlar hatırlanmak suretile, nin a göre M momenti M M i + M j + M k (3.7) şeklinde elde edilir ki burada M, M ve M şu bağıntılarla tanımlanmaktadır: M M M (3.8) Kısım 3.5 de görüleceği gibi M momentinin M, M ve M skaler bileşenleri, kuvvetinin rijit cisme sırasıla, ve eksenleri etrafında aptırmak istediği dönme hareketinin eğilimi ölçer. (3.8), (3.7) de erine konursa M determinant şeklinde de aılabilir:

23 M i j k (3.9) Sadece iki boutun işe karıştığı problemlerde kuvvetinin düleminde bulunduğu kabul edilebilir, Şekil 3.4. (3.9) bağıntılarında 0 ve 0 konularak j j i (,,0) M r i M M k o o Şekil 3.4 ( )k elde edilir. nin a göre momentinin şekil dülemine dik olduğu ve M o M (3.0) skaleri ile tam olarak tanımlandığı sağlanmış olur. 3.5 ir Kuvvetin Verilen ir Eksene Göre Momenti L Mo L λ C. r P r r λ r Şekil 3.5 Şekil 3.6 Rijit cisme etkien bir kuvveti ve bu kuvvetin noktasına göre M momenti gö önüne alınsın, Şekil 3.5. L, dan geçen bir eksen olsun; nin L e göre momenti olan M L, M 3

24 momentinin L ekseni üerindeki idüşümü olarak tanımlanmıştır. L üerindeki birim vektör λ ile gösterilir ve daha önce bir vektörün verilen bir eksen üerindeki idüşümüne ait (.40) ve bir kuvvetinin momentine ait (3.6) ifadeleri hatırlanırsa M λ M λ r (3.) L ( ) aılabilir; bu göstermektedir ki, nin L eksenine göre M L momenti, λ, r ve nin karışık üçlü çarpımından elde edilen skalerdir. M L bir determinant şeklinde ifade edilerek şöle aılabilir: M L λ λ λ (3.) urada, λ, λ, λ L ekseninin doğrultman kosinüsleri,, nin ugulama noktasının koordinatları,, kuvvetinin bileşenleridir. ir kuvvetinin sabit L eksenine göre M L momentinin fiiksel anlamı, kuvvetini biri L e paralel, öteki L e dik P düleminde bulunan bileşenlerine aırmak suretile daha açık görülebilir, Şekil.3.6. ener şekilde r de r ve r bileşenlerine arılıp ve r (3.) de erlerine konursa λ r + r + M L M L [( ) ( )] ( r ) + λ ( r ) + λ ( r ) + ( r ) λ λ aılabilir. u karışık üçlü çarpımlardan, sonuncusu hariç, hepsinin anı dülemde vektörlerin çarpımı olmak bakımından sıfıra eşit olduğuna dikkat edilerek M L λ ( r ) (3.3) olarak bulunur. r vektörel çarpımı P dülemine diktir ve nin bileşeninin, L nin P i kestiği noktasına göre momentini göstermektedir. Şu halde r ile L anı önde ise poitif, aksi halde negatif olacak olan M L skaleri nin rijit cismi sabit L ekseni etrafında döndürmee eğilimini ölçer. nin öteki bileşeni cismi L etrafında döndürmee uğraşmaacağı için şu sonuca varılmış olunur: nin L e göre momenti olan M L, kuvvetinin rijit cismi sabit L ekseni etrafında döndürme çabasını ölçmektedir. ir kuvvetin bir eksene göre momentinin tanımından şu sonuç çıkar: nin koordinat eksenlerinden birine göre momenti, M nun bu eksen üerindeki bileşenlerine eşittir: (3.) de 4

25 λ erine sırasıla i, j ve k ı komak suretile nin koordinat eksenlerine göre momentleri için elde edilen ifadelerin, kısım 3.4 de nin a göre M momentinin bileşenleri için elde edilen ifadelerin anı olduğu görülür: M M M Tıpkı rijit cisme etkien bir kuvvetinin, ve bileşenlerinin, nin rijit cismi, ve doğrultularında hareket ettirme eğilimini ölçmesi gibi nin koordinat eksenlerine göre momentleri olan M, M ve M de nin rijit cismi, ve eksenleri etrafında döndürme eğilimini ölçer. Sonuç olarak eksene göre moment eksen üerinde noktaa göre moment almak için seçilen noktadan bağımsıdır. 3.6 ir Kuvvet Çiftinin Momenti (3.8) - Şekil 3.7 Şiddetleri anı, tesir çigileri paralel ve önleri ıt ve - kuvvetleri bir kuvvet çifti oluştururlar, Şekil 3.7. u iki kuvvetin herhangi bir doğrultudaki bileşenleri toplamının sıfır edeceği açıktır. una karşı, iki kuvvetin verilen bir noktaa göre momentleri toplamı sıfır değildir. öle iki kuvvet etkidikleri cismi ötelenme apmaa değil, dönme apmaa orlarlar. ve - kuvvetlerinin bir noktasına göre er vektörleri sırasıla r ve r ile gösterilirse, Şekil 3.8, kuvvetlerin noktasına göre momentleri toplamı şöle ifade edilebilir: - M r d θ r Şekil 3.8 5

26 r + r ( ) ( r r ) r iki vektörün ugulama noktalarını birleştiren vektörü göstermek üere r - r r konarak, ve - nin a göre momentleri toplamı M r (3.9) vektörü ile gösterilir. M vektörüne kuvvet çiftinin momenti denir; bu moment kuvvetlerin bulunduğu düleme diktir ve şiddeti de ve - nin tesir çigileri arasındaki dik uaklık olan d olmak üere şöle ifade edilir: M nin önü sağ el kuralı ile tanımlanır. M r..sinθ. d (3.0) (3.9) daki r er vektörü koordinat eksenlerinin başlangıç noktası olan dan bağımsı olduğu için ve - nin momentleri başka bir noktasına göre hesaplansa da anı sonucun elde edileceğine dikkat edilmelidir. ölece bir kuvvet çiftinin momenti serbest vektör (.. ci kısım) olup herhangi bir noktaa ugulanabilir (Şekil 3.8). M - d Şekil 3.9 ir kuvvet çiftinin momentinin tanımından şu sonuç da çıkar: ve - gibi iki kuvvetin aptığı bir kuvvet çifti ile ve - kuvvetlerinin aptığı başka bir kuvvet çiftinin, Şekil 3.0, momentlerinin eşit olması için - d - d Şekil 3.0. d (3.) d. olmalı, iki çift paralel dülemlerde (vea anı dülemde) bulunmalı ve önleri anı olmalıdır. 6

27 3.7 Eşdeğer Kuvvet Çiftleri M M M 30 N 0 cm 30 N 30 N 0 cm 0 cm 0 cm 0 N 5 cm 0 N 30 N (a) (b) (c) Şekil 3. Şekil 3. de gösterilen, paralelü şeklindeki anı kutua arı arı etkien üç kuvvet çifti gö önüne alınsın. undan önceki kısımda olduğu gibi bir kuvvet çiftinin rijit cisme verebileceği hareket sadece dönme olabilir. Şekilde görülen bu üç kuvvet çiftinin de M momentleri anı (doğrultuları anı ve şiddetleri M300 Ncm olduğuna göre) olduğu için üçünün de kutua etkisinin anı olup bu durum statiğin temel ilkeleri kullanılarak ispat edilebilir. u ispat burada verilmeecektir. uradan şu sonuca varılmış olur: İster anı ister paralel dülemlerde olsun, M momentleri birbirine eşit olan kuvvet çiftleri eşdeğerdir. ölece ukarıda söü edilen bu öellik rijit cisimler mekaniğini doğru olarak anlamak bakımından son derece önemlidir. u öellik göstermektedir ki, bir kuvvet çifti bir rijit cisme etkidiği takdirde kuvvet çiftini oluşturan kuvvetlerin neree etkidiğinin, şiddetleri ve doğrultularının ne olduğunun önemi oktur. Sadece kuvvet çiftinin momenti (şiddeti ve doğrultusu) önemlidir. Momentleri anı olan kuvvet çiftleri rijit cisme anı etkii aparlar. 3.8 Verilen ir Kuvveti Noktasına Etkien ir Kuvvet İle ir Kuvvet Çiftine Dönüştürmek r - (a) (b) (c) Şekil 3. ir rijit cismin r er vektörü ile tanımlanan bir noktasına etkien bir kuvveti gö önüne alınsın, Şekil 3.a. Herhangi bir nedenle kuvvetin noktasına etkimesi istenmiş olsun. kuvvetinin kendi tesir çigisi üerinde hareket ettirilebileceği bilinmektedir. akat ilk tesir çigisinin dışında bulunan bir noktasına götürmek, nin rijit cisme etkisi değişmeksiin, mümkün değildir. r M o 7

28 ununla beraber ilk kuvvetin rijit cisme etkisini değiştirmeden, noktasına biri e, öteki - e eşit iki vektör eklenebilir, Şekil 3.b. u dönüşümün sonucu olarak şimdi a bir kuvveti etkimiş olur; öteki iki kuvvet ise momenti M 0 r olan bir kuvvet çifti oluşturur. ölece, rijit cisme etkien herhangi bir kuvveti, gelişigüel bir noktasına götürülebilir, eter ki nin a göre momentine eşit momente sahip bir kuvvet çifti eklensin. nin a götürülmeden önce rijit cisme aptırmak istediği dönmenin anı, kuvvet çifti tarafından aptırılır. Kuvvet çifti, r ile nin bulunduğu düleme dik bir M 0 kuvvet çifti vektörü ile gösterilir. M 0 serbest vektör olduğu için istenilen ere ugulanabilir; bununla beraber kola olsun die kuvvet çifti vektörü çok kere ile birlikte a konur ve elde edilen sisteme kuvvet-kuvvet çifti sistemi denir, Şekil 3.c. s r r' M o s r r' s r r' M o' Şekil 3.3 Eğer kuvveti, dan başka bir noktasına götürülmüş olsadı, Şekil 3.3a ve c, nin ne göre momenti olan M r hesaplanacaktı ve kuvveti ile M kuvvet çifti vektöründen oluşan eni bir kuvvet-kuvvet çifti sistemi ne konacaktı. nin ve ne göre momentleri arasındaki bağıntı, nü a birleştiren vektör s olmak üere, M r ( r + s ) r + s M M 0 + s (3.) aarak elde edilir. Şu halde. nin ne göre M momenti, nin a göre M 0 momentine s vektörel çarpımı eklenerek elde edilir; bu çarpım, a etkien kuvvetinin ne göre momentini göstermektedir. u sonuç, şu hususa dikkat edilerek de elde edilebilirdi: a etkien kuvvet-kuvvet çifti sistemini ne taşımak için, Şekil 3.3b ve c, M 0 kuvvet çifti vektörü serbestçe ne götürülebilir; i dan ne götürmek için ise, a etkien kuvvetinin ne göre momenti olan s kuvvet çifti vektörünü e eklemek gerekir. u suretle M kuvvet çifti vektörü, M 0 ile s nin toplamı olmalıdır. Yukarıda işaret edildiği gibi, bir kuvveti bir noktasından bir noktasına taşınınca elde edilen kuvvet-kuvvet çifti sistemi, kuvveti ile e dik M 0 r kuvvet çifti vektöründen ibarettir. Karşıt olarak, birbirine dik bir kuvveti ile M 0 kuvvet çifti vektöründen ibaret 8

29 herhangi bir kuvvet-kuvvet çifti sisteminin erine eşdeğer bir tek kuvvet konulabilir. u, kuvvetini M 0 a dik dülemde hareket ettirip a göre momenti M 0 kuvvet çifti vektörüne eşit olmak suretile onu ok etmesile sağlanır. 3.9 ir Kuvvetler Sisteminin ir Kuvvet ve ir Kuvvet Çiftine İndirgenmesi R r r r M 3 M 3 R M o M Şekil 3.4 ir rijit cisimde r, r, r 3,... er vektörleri ile tanımlanan,, 3,... noktalarına etkien bir,, 3,... kuvvetler sistemi gö önüne alınsın, Şekil 3.4a. undan önceki kısımda görüldüğü gibi, kuvveti den verilen bir noktasına götürülebilir; bunun için ilk kuvvetler sistemine öle bir kuvvet çifti eklemek gerekir ki, bu kuvvet çiftinin M momenti, in a göre momenti olan r e eşit olsun. u işlemi, 3,... kuvvetleri için tekrarlamak suretile Şekil 3.4b de gösterilen, da etkien kuvvetlerle kuvvet çiftinden ibaret sistem elde edilir. rtık, kuvvetler bir noktada kesiştikleri için vektörel olarak toplanabilir ve erlerine bileşkesi olan R konulabilir. ener şekilde, M, M, M 3,... kuvvet çifti vektörleri de vektörel olarak toplanabilir ve erlerine bir tek R M 0 kuvvet çifti vektörü konulabilir. Kuvvetler sistemi ne kadar karmaşık olursa olsun, bu olla verilen bir noktasında etkien eşdeğer bir kuvvet-kuvvet çifti sistemine indirgenebilir (Şekil 3.5c). Şu hususa dikkat edilmelidir: Şekil 3.4b deki M, M, M 3,... kuvvet çifti vektörlerinin her biri kendine karşı gelen kuvvete dik olduğu halde, Şekil 3.4c deki R R bileşke kuvveti ile M 0 bileşke kuvvet çifti vektörü(moment bileşkesi) genel olarak birbirine dik değildir. Eşdeğer kuvvet-kuvvet çifti sistemi şu denklemlerle tanımlanır: R R M 0 M 0 ( r ) (3.3) ir kuvvetler sistemi bir kere noktasındaki bir kuvvetle bir kuvvet çiftine indirgenince artık başka bir noktasındaki bir kuvvetle bir kuvvet çiftine indirgenmesi koladır. R bileşke R kuvveti anı kaldığı halde eni kuvvet çifti vektörü, kuvvet çifti vektörü ile daki M R M 0 R kuvvetinin ne göre momentinin toplamına eşit olacaktır, Şekil 3.5: 9

30 R R M o s ' s ' R M o R Şekil 3.5 R R M M 0 + s R (3.4) Pratikte verilen bir kuvvetler sisteminin da bir R R kuvveti ile bir M 0 kuvvet çiftine indirgenmesi bileşenler cinsinden apılır. r er vektörü ile kuvvetlerinin her biri dik bileşenlerine arılarak r i + j + k (3.5) i + j + k (3.6) aılabilir. r ve nin değerleri (3.3) de erine konulmak ve i, j, k birim vektörleri ortak çarpan alınmak suretile R R ve M 0 şu şekilde elde edilir: R R R R R R i + R j + R k M 0 M i + M j + M k (3.7) R, R, R bileşenleri sırasıla verilen kuvvetlerin, ve bileşenlerinin toplamını gösterir ve sistemin rijit cisme, ve doğrultularında aptırmak istediği ötelenme hareketinin eğilimi R R R ölçer. ener şekilde M, M, M bileşenleri sırasıla verilen kuvvetlerin, ve eksenlerine göre momentlerinin toplamıdır ve sistemin rijit cisme, ve eksenleri etrafında aptırmak istediği dönme hareketi eğilimini ölçer. 3.0 ir Kuvvetler Sisteminin Kuvvet Vidasına İndirgenmesi Kısım 3.9 da görüldü ki, verilmiş her hangi bir kuvvetler sistemi da etkien bir kuvvet-kuvvet çifti sistemine indirgenebilmektedir; bu R kuvveti, kuvvetler sistemindeki kuvvetlerin R toplamından ibarettir, M kuvvet çifti vektörü ise sistemin moment bileşkesine eşit olmaktadır. Eğer R R 0 olursa kuvvet-kuvvet çifti sistemi bir tek M kuvvet çifti vektörüne indirgenmiş olur, buna sistemin bileşke kuvvet çifti adı verilir. Şimdi verilen kuvvetler sisteminin hangi şartlar altında bir tek kuvvete indirgenebileceği araştırılacaktır. Kısım 3.8 de görüldü ki, eğer R R ve M birbirine dik iseler, daki kuvvetkuvvet çifti sisteminin erine eni bir tesir çigisi üerinde etkien bir tek R kuvveti komak 30

31 mümkün olmaktadı. Şu halde bir tek kuvvete vea bir bileşkee indirgenebilen kuvvet sistemleri, R R kuvveti ile M kuvvet çifti vektörü birbirlerine dik olan sistemlerdir. u şart ua kuvvet sistemleri halinde genellikle sağlanma, buna karşın, ) bir noktada kesişen kuvvetler, ) dülem kuvvetler, 3) paralel kuvvetlerden ibaret sistemlerde sağlanır. u haller arı arı göden geçirilecektir: ) ir noktada kesişen kuvvetler anı noktaa etkir ve bu nedenle doğrudan doğrua toplanarak R bileşkeleri bulunur. Şu halde böle sistemler daima tek bir kuvvete indirgenir. ) Dülemde bulunan tüm kuvvetlerin, ine bu dülem üerindeki bir noktaa göre momentleri daima düleme dik olacağından, bu momentlerin toplamı da bileşke kuvvete dik olacaktır. R 3 R R M k M o R R M i Şekil 3.6 3) Paralel kuvvetlerin tesir çigileri birbirlerine paraleldir; önleri anı olabilir vea olmaabilir. u halde kuvvetlerin eksenine göre paralel olduğu kabul edilerek, Şekil 3.6a, toplamları olan R nin de eksenine paralel olacağı görülür. Öte andan, bir kuvvetin momenti bu kuvvete dik olacağından, sistemdeki kuvvetlerin a göre R momentlerinin hepsi ve dolaısıla M 0 moment bileşkesi düleminde bulunacaktır. Şu halde daki kuvvet-kuvvet çifti sistemi, birbirine dik bir R R kuvveti ile M 0 kuvvet çifti vektöründen ibaret olacaktır, Şekil 3.6b. unlar da a bir tek R kuvvetine, Şekil 3.6c, vea R R 0 ise momentine sahip bir kuvvet çiftine indirgenir. M 0 Pratikte daki kuvvet-kuvvet çifti sistemi şu bileşenlerle karakterie edilir: R R M M R M M (3.8) 3

32 Sistemin bir tek kuvvete indirgenmesi, R i eni bir (, 0, ) ugulama noktasına götürmekle sağlanacaktır; bu nokta o şekilde seçilecektir ki R R nin a momenti M 0 e eşit olsun: M R 0 r R R R i + k R j M i + M ( ) k vektörel çarpımları hesaplanıp denklemin iki anındaki karşılıklı birim vektörlerin katsaıları eşitlenerek nın koordinatlarını tanımlaan iki skaler denklem elde edilir: R R M R M u denklemler R nin ve eksenlerine göre momentlerini ifade ederler ve sırasıla M ve M e eşit olmaları gerekir. R R R R R R M o R M M M Şekil 3.7 Uada genel kuvvetler sistemi halinde daki kuvvet-kuvvet çifti sistemi, birbirine dik olmaan ve ikisi de sıfırdan farklı olan bir R R kuvveti ile bir M 0 kuvvet çifti vektöründen ibaret olur, Şekil 3.7a. halde kuvvetler sistemi bir tek kuvvet vea bir tek kuvvet çiftine indirgeneme. R ununla beraber M 0 i biri R doğrultusunda olan M, öteki R e dik dülemde bulunan M bileşenlerine aırarak kuvvet çifti vektörünün erine başka iki kuvvet çifti konulabilir, Şekil 3.7b. u takdirde M kuvvet çifti vektörü ile R kuvvetinin erine, tesir çigisi farklı bir tek R kuvveti ile bir M momenti konulabilir. ölece ilk kuvvetler sistemi R ile M kuvvet çifti vektörüne indirgenmiş olur, Şekil 3.7c; bu sistem ise R ile R e dik dülemde etkien bir kuvvet çiftidir. u öel kuvvet-kuvvet çifti ikilisine kuvvet vidası denir. R kuvveti ile M kuvvet çifti vektörü, üerine etkidikleri rijit cisme R doğrultusunda bir ötelenme ve anı amanda R nin tesir çigisi etrafında bir dönme aptırmaa çalışırlar. R nin tesir çigisine vida ekseni ve M / R oranına vida adımı adı verilir. ir vektörün, başka bir vektörün tesir çigisi üerindeki idüşümüne ait (3.33) ifadesi R hatırlanırsa, M 0 nin, R nin tesir çigisi üerindeki idüşümünün R R. M 0 M (3.9) R olduğu görülür. u suretle vida adımı için 3

33 bulunmuş olur. M R R M 0 Vida adımı (3.0) R R ir kuvvet-kuvvet çifti sistemine indirgemede önemli bir öel hal hem R kuvvetinin, hem de R M 0 nin sıfıra eşit olması halidir. aman kuvvetler sisteminin sıfıra eşdeğer olduğu sölenir. öle bir sistem, üerine ugulandığı rijit cisme hiçbir etki apma, bu halde cisim dengededir denir. u hal rijit cisimlerin dengesine ilişkin bölümde anlatılacaktır. 3. Eşdeğer Kuvvet Sistemleri undan önceki kısımda görüldü ki, rijit cisme etkien herhangi bir kuvvetler sistemi, verilen bir noktasındaki kuvvet-kuvvet çifti sistemine indirgenebilmektedir. u eşdeğer kuvvet-kuvvet çifti sistemi, verilen sistemin rijit cisme olan etkisini tam olarak karakterie eder. Şu halde, eğer iki kuvvetler sistemi, verilen bir noktasında anı kuvvet-kuvvet çifti sistemine indirgenebiliorsa birbirine eşdeğerdir. daki kuvvet-kuvvet çifti sisteminin (3.3) bağıntıları ile tanımlandığı düşünülerek şu sölenebilir :,, 3,...,ve,, 3,... gibi iki kuvvetler sisteminin eşdeğer olması için gerek ve eter şartlar şunlardır : ve M 0 M (3.) 0 İki kuvvet sisteminin eşdeğer olduğunu ispat etmek için (3.) bağıntılarından ikincisinin sadece bir tek noktası için aılmasının eteceğine dikkat edilmelidir. una karşılık eğer iki sistem eşdeğer ise bu gelişigüel her nokta için sağlanacaktır. (3.) deki kuvvetler ve momentler dik bileşenlerine arılarak iki kuvvetler sisteminin eşdeğerliliğine ait gerek ve eter şartlar şu şekilde ifade edilebilir: (3.) M M M M M M u denklemlerin basit bir fiik anlamı vardır. unlar, eğer iki kuvvetler sistemi bir rijit cisme, ve doğrultularında anı ötelenmei, ve eksenleri etrafında anı dönmei aptırmaa çalışıorsa, sistemlerin birbirine eşdeğer olduklarını ifade etmektedir. 33

34 4. Tanım 4.ĞIRLIK MERKEZİ Gerçekte ükler aılı olup, tekil ük problemlerin çöümünü kolalaştıran bir idealleştirmedir. Şöle ki, statikte çok küçük bir alana etki eden birbirlerine paralel aılı kuvvetlerin toplamı, o alanın merkeinde tek bir tekil kuvvet olarak gö önüne alınabilmektedir. una örnek olarak bir cismin ağırlığı verilebilir. Cismin her bir küçük parçasının ağırlığı düna merkeine doğru önlenmiş olup, bunlar paralel kuvvetler oluştururlar. u aılı kuvvetlerin toplamı cismin ağırlığıdır. u noktada akla gelen ilk soru u ağırlı kuvveti cismin hangi noktasında etkir? olmaktadır. u bölümde bu sorua anıt aranacaktır, fakat önce iki önemli tanım verilerek işe başlanacaktır. Cismin ağırlığı: Dünanın bir cisme uguladığı erçekimi kuvvetine o cismin ağırlığı denmektedir. u kuvvet, cismin üerine aılmış çok saıda kuvvet ile gösterilir ve bunların bileşkesi de W olarak alınır. ir cismin ağırlık merkei: Cismin ağırlığı W nun, cismin her konumunda geçtiği C ( C, C ) noktasına verilen addır. 4. Dülem lan ve Eğrilerin ğırlık Merkei Şimdi bir dülemde bulunan alanların ve eğrilerin C ( C, C ) koordinatlarının bulunması görülecektir. a) Plaklar: Sabit t kalınlıklı, ρ ögül ağırlıklı Şekil 4. deki homojen plak üerinde olan bir noktasındaki dw dwk ağırlıklı diferansiel eleman incelensin. u durumda cismin ağırlığı W Wk nın şiddeti, W dw t M(, ) M M d Şekil 4. W dw k V ( ) olur. Paralel kuvvetler bir tek bileşke kuvvete indirgenebileceğinden, ani (4.) M 0 durumu elde edilecek bir konumda bileşke kuvvet etki ettirilebileceğinden, M ağırlık merkeinin koordinatları, R 34

35 C V V dw dw ve C V V dw dw (4.) ifadelerinden bulunur. Şekil 4. deki levhanın alanı, d (4.3) diferansiel elemanın ağırlığının hesaplanmasında kullanılırsa, dw ρ td W ρ t (4.4) bulunur. (4.4), (4.) de erleştirilip, pa ve padadaki ρ t ler sadeleştirilirse, olur. (4.5) deki d C ve d S d ve d C d (4.5) S d ifadelerine sırası ile ve eksenlerine göre alanın statik momenti denir. Karteen koordinatlarda d dd olurken, Şekil 4.a, polar koordinatlarda d rdrdθ çift katlı integrali olur, Şekil 4.b. Sıkça karşılaşılan baı alanlar ve ağırlık merkeleri Tablo 4. de verilmiştir. İşlemlerin basitleştirilmesi için, çoğu durumda d elemanı ince bir şerit şeklinde alınarak, çift katlı integral tek katlı integrale dönüştürülebilir. d dd.d dr rdθ d dθ r drdrdθ (a) (b) Şekil 4. i) Karteen koordinat takımı kullanılması: Şekil 4.3a da görüldüğü üere diferansiel elemanın ağırlık merkeinin koordinatları ve alanı için,,, d d (4.6) 35

36 (a) d P(,) M(,) P(,) a (b) M(,) d ii) Şekil 4.3 ifadeleri kullanılabileceği gibi, Şekil 4.3b de görüldüğü üere ( a + ),, d ( a )d (4.7) ifadeleri de aılabilir. Polar koordinat takımı kullanılması: Daire diliminin ağırlık merkei r sin θ 3θ (Tablo 4.) ifadesi Şekil 4.4 deki alan elemanına θ << koşulu altında ugulanabilir ve ağırlık merkei C nin başlangıcına olan radal uaklığı ise, r r lim sin θ r, θ θ dir. u noktanın - koordinatları ve diferansiel elemanın alanı, r cosθ 3 r sinθ 3 d r dθ (4.8) P(,) r dθ θ M(,) Şekil 4.4 olur. Verilen eğrinin biçimine en ugun olan (4.6-8) bağıntılarından biri (4.5) de erleştirilirse, tek katlı integral hesabı ile de ağırlık merkei hesaplanabilir. 36

37 Tablo 4. aı alanların ağırlık merkeleri 37

38 b) Teller: Şekil 4.5 deki homojen, sabit a kesitli ve ρ ögül ağırlıklı telin üerinde diferansiel bir dl a elemanı ele alınsın. u a elemanının ağırlığı dw ρ adl (4.) de kullanılırsa, telin ağırlık merkeinin koordinatları, L dl C ve dl L M( M, M) Şekil 4.5 dl L dl C dl (4.9) olur. aı sık karşılaşılan dülemsel alanlar ve eğrilerin ağırlık merkei, alan ve bolarının formülleri Tablo 4. de verilmiştir. (4.9) daki dl uunluk elemanı; eğrinin apısına bağlı olarak Pthagorean (Pisagor) teoremine göre, hesap kolalığı nedenile, kullanılmak istenilen koordinat takımında çeşitli biçimlerde aılabilir. Şimdi bunlar incelenecektir : i) Karteen koordinat takımı kullanılması: Şekil 4.6a daki bo elemanı dl d + d, a L a da, d dl + d + ( ) d (4.0) d d dl + d + ( ) d (4.) d d biçiminde aılabilir. (4.0, ) de ve d d dir. d dd.d d d r rdθ dθ θ dl dr (a) (b) 38

39 Şekil 4.6 dl rdθ + dr bo ii) Polar koordinat takımı kullanılması: Şekil 4.6b deki ( ) ( ) elemanı düenlenirse, dr dl () r + dθ (4.) dθ elde edilir. Sonuç olarak (4.0-) denklemleri (4.9) da ugun problem tipleri için kolaca kullanılabilir. Tablo 4. aı eğrilerin ağırlık merkeleri 4.3 ileşik Plak ve Teller ğırlık merkei aranan cisim eğer üçgen, dikdörtgen, daire vea Tablo 4. ve 4. de verilen ve ağırlık merkei ile alanları/boları bilinen diğer şekillerden oluşuorsa, Şekil 4.7, bu durumda cismi oluşturan parçalar arıklaştırılarak incelenebilir. rıca integral apısındaki (4.) denklemi de aşağıda verildiği gibi bir toplama dönüşür, ve C n i iw W W nwn i n W + W + + Wn W n i W i i C n W i i i i (4.3) (4.4) 39

40 W3 3 W W t Şekil 4.7 elde edilir. urada n; arıklaştırılması istenen toplam parça saısıdır. Sabit kalınlık durumunda kullanılan integral apısındaki (4.5) denklemi aşağıda sunulduğu üere bir toplama dönüşür: n i C n i i i i ve n i C n i i i i (4.5) nı şekilde sabit kesit alanlı homojen eğrilerin ağırlık merkei de basit parçalara arıklaştırılarak bulunabiliorsa, Şekil 4.8, (4.9) ifadesi de toplama dönüştürülebilir: n i C n i L i L i i ve n i C n i L i L i i (4.6) M (, ) M (, ) Şekil 4.8 M (, ) urada da n, arıklaştırılması istenen toplam parça saısıdır Pappus-Guldinus Teoremleri Pappus-Guldinus teoremi baı üç boutlu cisimlerin üe alanları ve hacimlerinin hesaplanmasında büük kolalık sağlamaktadır. u aşamada iki adet tanıma ihtiaç vardır. a) Dönel Yüe: Dülemsel bir doğrunun a da eğrinin, Şekil 4.9a, sabit bir eksen etrafında döndürülmesi ile medana getirilen üelerdir, Şekil 4.9b. 40

41 M( M, M) L s (a) (b) Şekil 4.9 b) Dönel Cisim: Dülemsel bir alanın, Şekil 4.0a, sabit bir eksen etrafında döndürülmesi ile medana getirilen hacimlerdir, Şekil 4.0b. M( M, M) V (a) (b) Şekil 4.0 Teorem I: ir dönel üein alanı, bu üei medana getirecek eğrinin L bou ile bu üein oluşumu sırasında eğrinin ağırlık merkeinin ( C a da C ) kat ettiği uaklığın çarpımıdır. Örneğin bou L olan bu eğri ekseni etrafında θ radan kadar dönecek olursa, Şekil 4.5, bu üein alanı, θ L (4.7) olur. ir tam devir durumunda s π L dir. C s Teorem II: ir dönel cismin hacmi, kendisini oluşturan alanı ile bu alanın ağırlık merkeinin ( C a da ) bu hacmi oluşturmak için kat ettiği uaklığın çarpımıdır. C Örneğin bu alan ekseni etrafında θ radan kadar dönecek olursa, Şekil 4.0, bu cismin hacmi, olur. ir tam devir durumunda V π dır. C V θ (4.8) C C 4.5 Üç outlu Cisimlerin ğırlık Merkei Üç boutlu bir cismin küçük hacim elemanlarının dw ağırlıklarının toplamının eşdeğeri olan W nun etkidiği kabul edilen noktaa M ağırlık merkei denecektir. noktasına göre momentlerin eşit olması gerektiğinden, rc W r dw (4.9) V 4

42 dw r r M M W Şekil 4. elde edilir. u vektörel ifade üç skaler bileşen cinsinden, V V V C, C, C (4.0) dw dw dw V dw V dw V dw biçiminde aılabilir. ileşik cisimlerde integral işaretleri toplam işaretine döner ve olarak ifade edilirse W n W i i n n C i Wi C i Wi C i Wi i i i C, C, C (4.) W W W olur. Eğer üç boutlu cisim homojen bir malemeden apılmışsa, dw ρ dv nin integrali W ρ dv dir ve bu iki sonuç (4.0) de erine konursa V V V C, C, C (4.) dv dv dv V dv V dv elde edilir. Homojen bileşik cisimler için hacim integralleri toplama dönüşür ve (4.) ifadelerinden V n dv sonucuna ulaşılır. C n i V C i V i n C i Vi C i Vi i i, C, C (4.3) V V n aı sık karşılaşılan hacimlere ait ağırlık merkeleri Tablo 4.3 de verilmiştir. 4

43 Tablo 4.3 aı hacimlerin ağırlık merkeleri 43

44 5. RİJİT CİSİMLERİN DENGESİ 5. Dengede lan Rijit Cisim ir rijit cisme etkien dış kuvvetler sıfıra eşdeğer bir kuvvet sistemi oluşturuorsa, ani dış kuvvetler, sıfır kuvvet ve sıfır kuvvet çiftine indirgenebiliorsa, o cisme dengededir denir. (3.37) bağıntılarında R R ve M i sıfıra eşitleerek, ilk çigisel hı V ve ilk açısal hı ω olmak üere, bir rijit cismin dengesi için gerek ve eter olan aşağıdaki şartlar elde edilir: R R 0 M ( r ) 0 V 0 ω 0 (5.) Kuvvetler ve momentler dik bileşenlere arılarak rijit cismin dengesi için gerek ve eter şartlar, ilk çigisel ve açısal hılar sıfır alınmak şartıla, altı skaler denklemle de ifade edilebilir : 0 0 (5.a) 0 M M 0 M 0 (5.b) 0 (5.) şartlarının sağlanması durumunda dış kuvvetler sistemi, gö önüne alınan cisme ne bir ötelenme, ne de bir dönme aptırabilir. undan sonraki çalışmalarda, çigisel ve açısal hıların sıfır olarak alındığı, bu duruma değinme ihtiacı duulmadan, baştan kabul edilmektedir. 5. Uada ir Maddesel Noktanın Dengesi Rijit cismin öel durumu olan bir maddesel noktasına etkien bütün kuvvetlerin bileşkesi sıfırsa, noktası a dengededir, a da eğer başlangıçta bir hıı varsa sabit hılı bir ötelenme hareketi apar. u halde denge durumu üç boutta iki vektörel denklemle R 0, V 0 şeklinde ifade edilebilir. urada V maddesel noktanın ilk hııdır. İlk hı sıfır olduğunda, bir noktada kesişen kuvvetlerde R 0 ise, bu kuvvetler sisteminin herhangi bir noktaa göre momentleri de sıfır olacağından, denge şartları sadece (5.a) denklemi ile ifade edilir. (5.a) denklemleri, uada bir maddesel noktanın dengesi için gerek ve eter şartları gösterir. Gerçek apılarla ilgili problemlerin bir çoğu bir maddesel noktanın dengesini ilgilendiren problemlere indirgenebilir. u, elverişli bir maddesel nokta seçip, bu maddesel noktaı gösteren arı bir diagram çimek ve noktaa etkien bütün kuvvetleri göstermek suretile apılır. öle bir diagrama daha önce de söü edildiği gibi serbest cisim diagramı denir. Üç boutta denge problemlerini çömek için, önce dengede olan maddesel noktaı ve bu noktaa etkien kuvvetlerin tümünü gösteren bir serbest cisim diagramı çiilmelidir. Daha sonra (5.a) eşitlikleri kullanılarak üç bilinmeen çöülebilir. Rastlanan problemlerin bir çoğunda bu bilinmeenler ) bir tek kuvvetin üç bileşenini vea ) doğrultuları bilinen üç kuvvetin şiddetlerini gösterir. İki boutlu problemlerde maddesel noktaa etkien tüm kuvvetler anı dülem içindedir. ölesi durum üç boutlu problemin öel bir hali olup, üç boutlu problemlere göre daha basit olduğundan arı bir kısımda incelenmeecektir. 44