Eğer bir balonun içine hava pompalarsak, balonun hem yarıçapı hem de

Transkript

1 Bağımlı Hız Türevin Ugulamarı Bağımlı Hız Eğer bir balonun içine hava pompalarsak, balonun hem arıçapı hem de hacmi artar ve artış hızları birbirine bağımlıdır. Fakat, hacminin artış hızını doğrudan ölçmek arıçapın artışını ölçmekten daha koladır. Bağımlı hız problemlerindeki fikir, bir niceliğin değişim hızını, (ölçümü daha kola olabilen) diğer bir niceliğin değişim hızı cinsinden hesaplamaktır. Bunun için öntem; iki niceliğe bağlı bir denklem bulmak ve sonra zincir kuralını kullanarak her iki tarafın zamana göre türevini almaktır. MAT 1009 Kalkülüs I 1 / 65

2 Bağımlı Hız Örnek 1 Küresel bir balon içine hava pompalandığında balonun hacmi 100 cm 3 /sn hızla artıor. Balonun çapı 50 cm olduğunda arıçapındaki artış hızı ne kadardır? Çözüm. İki şei tanımlamakla başlıoruz. Bu nicelikleri matematiksel olarak ifade etmek için bazı fikir verici gösterimleri tanımlaacağız. Balonun hacmi V ve arıçapı r olsun. Verilen Hacimin artış hızı 100 cm 3 /sn dir. Bilinmeen Çap 50cm olduğundaki arıçapın artış hızı. Anımsanması gereken ana düşünce değişim hızlarının türevler olduğudur. Bu problemde, hacim ve arıçap t zamanında bağlı fonksionlardır. MAT 1009 Kalkülüs I 2 / 65

3 Bağımlı Hız Çözüm (devamı). Hacmin zamana göre artış hızı dv/dt türevi ve arıçapın artış hızı dr/dt türevidir. Verileni ve bilinmeeni eniden aşağıdaki gibi ifade edebiliriz. Verilen dv dt = 100 cm3 /s Bilinmeen r = 25 iken dr dt dv/dt ve dr/dt arasında bağlantı kurmak için önce V ve r arasında kürenin hacim formülü ile bağlantı kurmak için V = 4 3 πr3 azalım. Verilen bilgileri kullanmak için bu denklemin her iki tarafının t e göre türevini alacağız. MAT 1009 Kalkülüs I 3 / 65

4 Bağımlı Hız Çözüm (devamı). Sağ tarafın türevini almak için zincir kuralını kullanırsak dv dt = dv dr dr dt = 4πr2 dr dt elde ederiz. Şimdi, bu denklemden bilinmeeni çözersek dr dt = 1 4πr 2 dv dt buluruz. Eğer, bu denklemde r = 25 ve dv/dt = 100 koarsak dr dt = 1 4π(25) = 1 25π elde ederiz. Burada balonun arıçapının (1/25π) cm/sn hızla arttığını görürüz. MAT 1009 Kalkülüs I 4 / 65

5 Bağımlı Hız Örnek 2 10 m uzunluğundaki bir merdiven dik bir duvara daanıor. Merdivenin altı 1 m/sn hızla kaarak duvardan uzaklaşırsa merdivenin How high will alta fireman kısmının get while climbing a duvardan uzaklığı 6 m olduğu anda üstünün duvardan aşağıa kama hızı nedir? Çözüm. İlk olarak, Şekildeki gibi bir şema çizelim. Merdivenin altından duvara olan uzaklık m ve merdivenin tepesinden ere uzaklık m olsun. Burada ve değerleri zamanı gösteren t nin fonksionlarıdır. sliding ladder? wall FIGURE 1 Resources / Module 5 / Related Rates / Start of the Sliding Fireman 10 ground MAT 1009 Kalkülüs I 5 / 65

6 Bağımlı Hız Çözüm (devamı). ground Differentiating each side with Bize d/dt = 1 m/sn olduğu verilior ve = 6 m olduğunda d/dt FIGURE 1 değerini bulmamız istenior. and solving this equation for t d dt =? When 6, the Pthagorean and d dt 1, we have d dt =1 The fact that d dt is negat to the ground is decreasing at FIGURE 2 sliding down the wall at a rate Bu problemde, ve arasındaki ilişki Pisagor teoremi ile olarak elde edilir = 100 MAT 1009 Kalkülüs I 6 / 65

7 Bağımlı Hız Çözüm (devamı). Zincir kuralını kullanarak her iki tarafın t e göre türevini alırsak 2 d dt + 2 d dt = 0 olur ve bu denklemden isteneni çözersek d dt = d dt buluruz. = 6 olduğunda Pisagor teoreminden = 8 olur. Bu değerleri ve d/dt = 1 i ukarıdaki denklemde erine koarsak d dt = 6 8 (1) = 3 4 ft/sn elde ederiz. d/dt nin negatif olmasının anlamı merdivenin üstünden ere olan uzaklığın 3/4 m/sn oranında azalmasıdır. Diğer bir deişle, merdivenin üstü duvardan 3/4 m/sn hızla aşağıa doğru kamaktadır. MAT 1009 Kalkülüs I 7 / 65

8 Bağımlı Hız Örnek 3 Bir su tankı, taban arıçapı 2 m ve üksekliği 4 m olan ters çevrilmiş bir koni şeklindedir. Eğer tank içine 2 m 3 /dk hızla su pompalanırsa derinlik 3 m olduğu zaman su seviesinin artış hızını bulunuz. Çözüm. İlk olarak, Şekildeki gibi bir çembersel koni çizip isimlendirme apalım. V, r, h sırasıla t anındaki hacmi, üzein arıçapı ve üksekliği olsun. Burada, t dakika ile ölçülmüştür. FIGURE 3 r 2 h 4 E 2 fi S v m 3 b u MAT 1009 Kalkülüs I 8 / 65

9 Bağımlı Hız Çözüm (devamı). Bize dv/dt = 2 m 3 /dk olduğu verilior ve h = 3 m olduğunda dh/dt değerini bulmamız istenior. V ve h arasındaki ilişki V = 1 3 πr2 h denklemi ile verilir. Fakat V i sadece h nin fonksionu olarak ifade etmek çok ararlıdır. r i ok etmek için Şekildeki benzer üçgenleri kullanırız. Buradan elde ederiz. r h = 2 4 ve r = h 2 FIGURE 3 MAT 1009 Kalkülüs I 9 / 65 r 2 h 4 E 2 fi S v m 3 b u

10 Bağımlı Hız Çözüm (devamı). Bunu V de erine erleştirirsek V = 1 3 π ( h 2 ) 2 h = π 12 h3 olur. Şimdi her iki tarafın t e göre türevini alırsak olur ve bölece dv dt = π dh h2 4 dt dh dt = 4 dv πh 2 dt. buluruz. h = 3 m ve dv/dt = 2 m 3 /dk ı erine koarsak dh dt = 4 π(3) 2 2 = 8 9π 0.28 m3 /dk elde ederiz. MAT 1009 Kalkülüs I 10 / 65

11 Maksimum ve Minimum Değerler Maksimum ve Minimum Değerler Diferansiel hesabın en önemli ugulamalarından biri, bir işi apmanın en ii olunu bulmak olan optimizason problemleridir. Malieti minimum apmak için bir teneke kutunun şekli nasıl olmalıdır? Bir uza mekiğinin maksimum ivmesi ne olmalıdır? Bu ivmenin etkilerine katlanmak zorunda olan astronotlar için önemli bir sorudur. Bu problemler bir fonksionun maksimum a da minimum değerlerini bulmaa indirgenebilir. Şimdi ilk olarak maksimum ve minimum değerle tam olarak ne demek istediğimizi açıklaalım. MAT 1009 Kalkülüs I 11 / 65

12 Maksimum ve Minimum Değerler Tanım 4 f bir fonksion ve D, f nin tanım kümesi olsun. D içindeki her elemanı için f(c) f() ise f fonksionunun c noktasında mutlak maksimumu vardır. f(c) saısına f nin D deki maksimum değeri denir. Benzer olarak, D içindeki her için f(c) f() ise f fonksionunun c noktasında mutlak minimumu vardır ve f(c) saısına f nin D deki minimum değeri denir. f nin maksimum ve minimum değerlerine f nin uç değerleri denir. MAT 1009 Kalkülüs I 12 / 65

13 Maksimum ve Minimum Değerler shows the graph of a function f with absolute maimum at d an at. Note that a, f nt. Şekil d noktasında mutlak maksimuma ve a noktasında mutlak minimuma sahipa olan bir f d, fonksionunun f d is the grafiğini highest göstermektedir. point on the Bugraph grafik and üzerindeki en üstteki noktanın (d, f(d)) noktası ve en alttaki noktanın (a, f(a)) noktası olduğuna dikkat ediniz. f(a) f(d) a 0 b c d e MAT 1009 Kalkülüs I 13 / 65

14 Maksimum ve Minimum Değerler Tanım 5 noktası c e akın olduğuda f(c) f() ise f fonksionunun c noktasında bir erel maksimumu (a da göreli maksimumu) vardır. (Bunun anlamı c i içeren bir açık aralık içindeki her için f(c) f() olmasıdır) Benzer olarak, noktası c e akın olduğunda f(c) f() ise f nin c noktasında bir erel minimumu vardır. MAT 1009 Kalkülüs I 14 / 65

15 Maksimum ve Minimum Değerler Örnek 6 Her için ve herhangi bir n tamsaısı için 1 cos 1 cos(2nπ) = 1 olduğundan f() = cos fonksionu (erel ve mutlak) maksimum değeri olan 1 i sonsuz kez alır. Benzer olarak, herhangi bir n tamsaısı için fonksionunun minimum değeridir. cos(2n + 1)π = 1 MAT 1009 Kalkülüs I 15 / 65

16 2 Defin Maksimum ve Minimum Değerler c if f c Örnek 7 some op f() = 2 ise her için 2 0 olduğundan f() f(0) dır. Dolaısıla, f c f(0) = 0 değeri f nin mutlak (ve erel) minimum değeridir. Bu = 2 parabolü üzerindeki en alttaki noktanın başlangıç noktası olduğu gerçeğine karşılık gelir EXAMPLE 1 value of 1 i 1 cos = where n is EXAMPLE 2 f 0 0 is 0 fact that th Bununla beraber, parabol ever, there FIGURE üzerinde 2 en üst nokta oktur ve bu üzden bu fonksionun maksimum değeri de oktur. value. Minimum value 0, no maimum MAT 1009 Kalkülüs I 16 / 65

17 EXAMPLE 2 I Maksimum ve Minimum Değerler f 0 0 is 0 Örnek 8 fact that the Şekilde gösterilen f() = 3 fonksionunun grafiğinden, fonksionun ever, hem there i FIGURE 2 mutlak maksimum hem de mutlak minimum değerlerinin olmadığını value. görüoruz. Minimum value 0, no maimum EXAMPLE 3 F this function = value. In fac 0 EXAMPLE 4 T FIGURE 3 is shown in absolute ma mum becau MAT 1009 Kalkülüs I 17 / 65

18 Maksimum ve Minimum Değerler shown in Figure 4. You can see that f 1 5 is a local maimum, whereas the solute Örnek maimum 9 is f [This absolute maimum is not a local maim because it occurs at an endpoint.] Also, f 0 0 is a local minimum and 3 27 is both f() a = local 3 4 and 16 an 3 absolute minimum. Note 1 that 4f has neither a al Fonksionunun nor an absolute grafiği maimum Şekilde at gösterilmiştir. 4. (_1, 37) =3$ (1, 5) _ (3, _27) MAT 1009 Kalkülüs I 18 / 65

19 f 3 Maksimum 27 is both ve Minimum a local Değerler and an absolute minimum. Note that local nor an absolute maimum at 4. f has neither a (_1, 37) =3$ (1, 5) _ (3, _27) Buradan f(1) = 5 in erel maksimum ve f( 1) = 37 nin mutlak maksimumum olduğunu görürüz. [Bu mutlak maksimum bir erel maksimum değildir. Çünkü uç noktada oluşmuştur] MAT 1009 Kalkülüs I 19 / 65

20 f 3 Maksimum 27 is both ve Minimum a local Değerler and an absolute minimum. Note that local nor an absolute maimum at 4. f has neither a (_1, 37) =3$ (1, 5) _ (3, _27) Arıca f(0) = 0 erel minimum ve f(3) = 27 hem erel hem de mutlak minimumdur. Burada f nin = 4 de ne erel ne de mutlak maksimumunun olmadığına dikkat ediniz. MAT 1009 Kalkülüs I 20 / 65

21 Maksimum ve Minimum Değerler he 3Etreme The 3Etreme Value The Etreme Theorem Value Theorem Value If Theorem f is If continuous f is If continuous f is continuous a closed a closed on interval a closed interval a, interval b, a, then b, a, then b, th ains f attains an fabsolute attains an absolute an maimum absolute maimum value maimum value f c and value f c an and fabsolute c an and absolute an minimum absolute minimum value minimum value value at f d some at f d some numbers at some numbers c and numbers cd and in a, cd and in b. a, d in b. a, b. Teorem 10 (Uç Değer Teoremi) f fonksionu bir [a, b] kapalı aralığında sürekli ise c ve d saıları [a, b] Etreme The Etreme The Value Etreme Value Theorem Value Theorem is Theorem illustrated is illustrated is in illustrated Figure in Figure 5. in Note Figure 5. that Note 5. an that Note etreme an that etreme an value etreme valu kapalı aralığında olmak üzere f(c) mutlak maksimumum değerini ve f(d) taken n be can taken on be more taken on more than on once. more than once. Although than once. Although the Although Etreme the Etreme the Value Etreme Value Theorem Value Theorem is Theorem intuitivel is intuitivel is r mutlak plausible, ver it plausible, is minimum difficult it is difficult it değerini to is prove difficult to prove alır. and to so prove and we so omit and we so the omit we proof. the omit proof. the proof. 0 5 ca 0 cad b c d b d b 0 a 0 ca 0 cd=b a cd=b d=b 0 a 0c a d0 c c a dc b c d b c Figures 6 and Figures 67 and show 67 and show that 7 a show that function a that function a need function need not possess need not possess not etreme possess etreme values etreme values if either values if eithe if hpothesis (continuit (continuit (continuit or closed or closed interval) or closed interval) is omitted interval) is omitted from is omitted the from Etreme the from Etreme the Value Etreme Value Theorem. Value Theorem MAT 1009 Kalkülüs I 21 / 65

22 Maksimum ve Minimum Değerler gures 6 and Figures 7 show 6 that and a 7 function show that need a function not possess need etreme not possess values etrem if e thesis (continuit hpothesis or (continuit closed interval) or closed is omitted interval) from is omitted the Etreme from Value the Etrem Theo RE Şekiller 6 FIGURE uç değer 6 teoreminin hipotezlerinden FIGURE birini 7 kaldırdığımızda FIGURE 7 function (süreklilik has This minimum afunction da kapalılık) value has minimum fonksionun valuethis uç değerlere continuous sahip This function continuous olması g has function g 0, gerekmediğini but no f(2)=0, maimum gösterir. but value. no maimum value. no maimum or no minimum. maimum or minimum. he function The f whose function graph f is whose shown graph in Figure is shown 6 is defined Figure on 6 is the defined closed on int MAT 1009 Kalkülüs I 22 / 65

23 Maksimum ve Minimum Değerler Uç değer teoremi bir kapalı aralıkta sürekli olan bir fonksionun bir maksimum ve bir minimum değere sahip olduğunu söler fakat bu uç değerlerin nasıl bulunacağı konusunda bir şe sölemez. Yerel uç değerleri araarak işe başlaalım. MAT 1009 Kalkülüs I 23 / 65

24 Maksimum ve Minimum Değerler Şekil c de bir erel maksimumu ve d de bir erel minimumu olan bir f fonksionunun grafiğini göstermektedir. Maksimum ve minimum noktalarında teğet doğruları atadır ve bunun sonucu olarak her birinin eğimi 0 dır. Türevin 274teğet doğrusunun CHAPTER eğimi 4 APPLICATIONS olduğunu bilioruz. OF DIFFERENTIATIO Bu nedenle, f (c) = 0 ve f (d) = 0 dır. 0 c d FIGURE 8 {c, f(c)} {d, f(d)} Figure 8 minimum at are horizonta of the tangen sas that this 4 Fermat eists, the MAT 1009 Kalkülüs I 24 / 65

25 Maksimum ve Minimum Değerler Aşağıdaki teorem bu sonucun türevlenebilir fonksionlar için daima doğru olduğunu söler. Teorem 11 (Fermat Teoremi) Eğer f, c noktasında erel maksimuma a da erel minimuma sahip ve f (c) varsa f (c) = 0 sağlanır. Note Dolaısıla, f (c) = 0 olduğunda f nin c noktasında maksimumu a da minimumu olması gerekmez. Diğer bir deişle, Fermat teoreminin tersi genelde doğru değildir. MAT 1009 Kalkülüs I 25 / 65

26 ed after ), a French matics as eur status, inventors of tes was the ing tangents d minimum Thus, when f c 0, f doesn t necessa (In other words, the converse of Fermat s Th Maksimum ve Minimum Değerler 0 = n of f() limits = and 3 ise f (0) FIGURE = 0 dır ancak 9 f nin maksimum ve minimumu oktur. rerunner of If ƒ=, then fª(0)=0 but ƒ differential has no minimum or maimum. FIG If ƒ min MAT 1009 Kalkülüs I 26 / 65

27 0, 0, the curve crosses its horizontal tangent there. Maksimum ve Minimum Değerler f doesn t necessaril have a maimum or minimum at c. rse of Fermat s Theorem is false in general.) = 0 f() = ise f(0) FIGURE = 0 minimum 10 değerdir fakat f (0) oktur. t ƒ If ƒ=, then f(0)=0 is a. minimum value, but fª(0) does not eist. d that there ma be an etreme value where f c does not MAT 1009 Kalkülüs I 27 / 65

28 Maksimum ve Minimum Değerler Tanım 12 f bir fonksion ve c saısı f nin tanım kümesi içinde olsun. Eğer f (c) = 0 a da f (c) oksa c e f nin bir kritik noktası denir. Kritik saılar cinsinden, Fermat teoremini aşağıdaki biçimde eniden ifade edebiliriz. Teorem 13 (Fermat Teoremi) Eğer f nin c de bir erel maksimumu a da minimumu varsa c noktası f nin bir kritik noktasıdır. MAT 1009 Kalkülüs I 28 / 65

29 Maksimum ve Minimum Değerler Örnek 14 f() = 3/5 (4 ) fonksionunun kritik saılarını bulunuz. Çözüm. Çarpım kuralı ile f () = 3 5 2/5 (4 ) + 3/5 ( 1) = = 3(4 ) 5 5 2/5 = /5 3(4 ) 5 2/5 3/5 olur. (Anı sonuç f() = 4 3/5 8/5 azarak da elde edilebilir.) Bölece, f () = 0 dan 12 8 = 0 olur. Buradan, = 3 2 elde ederiz. = 0 noktasında türev oktur. Sonuç olarak, 3 2 ve 0 kritik noktalardır. MAT 1009 Kalkülüs I 29 / 65

30 Maksimum ve Minimum Değerler Kapalı Aralık Yöntemi Bir [a, b] kapalı aralığında tanımlanan bir sürekli fonksionun mutlak maksimumum a da minimum değerlerini bulmak için: 1 f nin (a, b) deki kritik saılardaki değerlerini bulunuz. 2 Aralığın uç noktalarında f nin değerlerini bulunuz. 3 Adım 1 ve 2 deki değerlerin en büüğü mutlak maksimumum değeri, en küçüğü ise mutlak minimum değeridir. MAT 1009 Kalkülüs I 30 / 65

31 Maksimum ve Minimum Değerler Örnek 15 f() = fonksionunun [0, 3] aralığı üzerinde mutlak maksimum ve mutlak minimum değerleri bulunuz. Çözüm. f() = fonksionu [0, 3] aralığında süreklidir. f () = 6 12 olduğundan = 2 kritik noktadır. Kritik noktada fonksionun değeri f(2) = 3(2) 2 12(2) + 5 = 7 dir. Uç noktalarda fonksionun değeri f(0) = 5 ve f(3) = 4 dir. Kapalı Aralık Yöntemini kullanarak bu üç değeri karşılaştırırsak f(2) = 7 mutlak minimum değeri ve f(0) = 5 mutlak maksimum değeri olur. MAT 1009 Kalkülüs I 31 / 65

32 Türevler ve Bir Eğrinin Biçimi Artan ve Azalan Fonksionlar The graph shown in Figure 26 rises from A to B, falls from B to C, and rises again Türevler from C to D. ve The Bir function Eğrinin f is said Biçimi to be increasing on the interval a, b, decreasing Artan on b, vec Azalan, and increasing Fonksionlar again on c, d. Notice that if 1 and 2 are an two numbers between a and b with 1 2, then f 1 f 2. We use this as the defining propert of an increasing function. B D =ƒ A f( ) f( ) C 0 a b c d Şekilde grafik A dan B e kadar ükselmekte B den C e kadar düşmekte ve A C den function D e f is kadar called tekrar increasing ükselmektedir on an interval f Ifonksionu if [a, b] aralığında artan, [b, c] aralığında f azalan, 1 f [c, 2 d] aralığında whenever ise 1 ine 2 in artandır. I MAT 1009 Kalkülüs I 32 / 65

33 ert of an increasing function. Türevler ve Bir Eğrinin Biçimi Artan ve Azalan Fonksionlar B D =ƒ A f( ) f( ) C E 26 0 a b c d 1 ve 2 noktaları a ve b arasında, 1 < 2 koşulunu sağlaan herhangi iki A function f is called increasing on an interval I if nokta ise f( 1 ) < f( 2 ) olduğuna dikkat ediniz. Bu özelliği artan fonksionun tanımı için f kullanacağız. 1 f 2 whenever 1 2 in I I aralığındaki It is called her decreasing on I if 1 < 2 için f( 1 ) < f( 2 ) ise f fonksionu I aralığında artandır. f 1 f 2 whenever 1 2 in I I aralığındaki In the definition her of 1 < an increasing 2 için f( function 1 ) > it f( is important 2 ) ise fto fonksionu realize that the I inequalit f 1 f 2 must be satisfied for ever pair of numbers 1 and 2 in I with aralığında azalandır MAT 1009 Kalkülüs I 2 33 / 65

34 Türevler ve Bir Eğrinin Biçimi Artan ve Azalan Fonksionlar Artanlık-Azalanlık Testi (a) Bir aralıkta f () > 0 ise bu aralıkta f artandır. (b) Bir aralıkta f () < 0 ise bu aralıkta f azalandır. MAT 1009 Kalkülüs I 34 / 65

35 Türevler ve Bir Eğrinin Biçimi Artan ve Azalan Fonksionlar Örnek 16 f() = fonksionunun artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz. Çözüm. Burada f () = = 12( 2)( + 1) olup artanlık-azalanlık testini kullanmak için nerede f () > 0, nerede f () < 0 olduğunu bilmek zorundaız. Bu f () in çarpanlarının işaretlerine bağlıdır. Bu çarpanlar, 12, ( 2) ve ( + 1) dir. MAT 1009 Kalkülüs I 35 / 65

36 Türevler ve Bir Eğrinin Biçimi Artan ve Azalan Fonksionlar Çözüm (devamı). Gerçel doğruu uç noktaları 1, 0 ve 2 kritik noktaları olan aralıklara bölelim ve çalışmamızı bir çizelgee erleştirelim f () azalan artan azalan artan Artı işareti, verilen ifadenin pozitif, eksi işareti, verilen ifadenin negatif olduğunu gösterir. MAT 1009 Kalkülüs I 36 / 65

37 Türevler ve Bir Eğrinin Biçimi Artan ve Azalan Fonksionlar Çözüm (devamı). Dolaısıla f() = fonksionu (, 1) aralığında azalandır, ( 1, 0) aralığında artandır, (0, 2) aralığında azalandır, (2, ) aralığında artandır. MAT 1009 Kalkülüs I 37 / 65

38 Türevler ve Bir Eğrinin Biçimi Artan ve Azalan Fonksionlar f nin c de bir erel maksimumu a da minimumu varsa, c nin f nin kritik saısı olması gerektiğini (Fermat Teoremi), fakat her kritik saıda bir maksimum a da minimum ortaa çıkmaacağını hatırlaalım. Bunun sonucu olarak kritik saıda f nin erel maksimumu a da minimumu olup olmadığımız bir teste ihtiacımız var. Birinci Türev Testi Bir f sürekli fonksionunun bir kritik saısının c olduğunu varsaalım. (a) Eğer f türevi c de pozitiften negatife değişirse f nin c de bir erel maksimumu vardır. (b) Eğer f türevi c de negatiften pozitife değişirse f nin c de bir erel minimumu vardır. (c) Eğer f türevi c de işaret değiştirmezse (f, c nin iki anında pozitif a da negatif ise) f nin c de erel maksimumu ve minimumu oktur. MAT 1009 Kalkülüs I 38 / 65

39 Türevler ve Bir Eğrinin Biçimi It Artan is It eas veis Azalan eas to Fonksionlar to remember the th F t not change change sign sign at cat (that c (that is, is, f is f is positive on those on both those both sides in Figure sides in of Figure cof 4. orc or 4. on both both sides), sides), then then f has f has no no local local maimum or or minimum at cat. c. ivative Test Test is fª()>0 a is fª()>0 a consequence fª()<0 of fª()<0 the of the I D I D Test. Test. In part In part (a), (a), for for instance, fª( f changes from from positive to to negative c, at fc, is f is increasing to the to the left left fª()<0 fª()<0 fª()>0 fª()>0 ing to the to the right right of c. of It c. follows It follows that that f has f has a local a local maimum at c. at c. remember ember the the First First Derivative Test Test b b visualizing diagrams such such as as. 0 0 c c 0 0 c c 0 0 (a) Local (a) Local maimum maimum (b) Local (b) Local minimum minimum fª()<0 fª()<0 (c) No (c FIGURE FIGURE 4 4 fª()>0 fª()>0 fª()<0 fª()<0 )>0 0 fª()>0 fª()>0 EXAMPLE EXAMPLE 3 Find 3 Find the local the local minim Eample Eample c c 0 0SOLUTION SOLUTION cfrom cfrom the chart the chart in the in so th negative negative to positive to positive at 1, at 1, so fs (c) No (c) No maimum or or minimum (d) No (d) No Derivative maimum Test. or or Test. minimum Similarl, f cha f MAT 1009 Kalkülüs I 39 / 65

40 Türevler ve Bir Eğrinin Biçimi Artan ve Azalan Fonksionlar Örnek 17 f() = fonksionunun erel maksimum ve minimum değerlerini bulunuz. Çözüm f () Çizelgeden f () in ( 1) noktasında negatiften pozitife değiştiğini görürüz. Dolaısıla, f( 1) = 0, Birinci Türev Testi ile bir erel minimum değeridir. MAT 1009 Kalkülüs I 40 / 65

41 Türevler ve Bir Eğrinin Biçimi Artan ve Azalan Fonksionlar Çözüm (devamı) f () Benzer olarak, f türevi 2 de negatiften pozitife değişir. Burada f(2) = 27 de bir erel minimum değeridir. Daha önce de belirtildiği gibi f(0) = 5 bir erel maksimum değeridir çünkü f () türevi 0 da pozitiften negatife değişir. MAT 1009 Kalkülüs I 41 / 65

42 Türevler ve Bir Eğrinin Biçimi Düşe Asimptot Düşe Asimptot Tanım 18 lim f() = a lim f() = lim a lim f() = a f() = lim a lim f() = a + f() = a + ifadelerinden en az birinin doğru olması durumunda = a doğrusuna = f() eğrisinin düşe asimptotu denir. MAT 1009 Kalkülüs I 42 / 65

43 Türevler ve Bir Eğrinin Biçimi Düşe Asimptot Örnek 19 = tan ve = ln fonksionlarının grafiklerinde and so düşe the line asimptotlar 0 vardır. log a provided that a 1 Şekilden lim 3 ln = + 0 (the -ais) is a verti. (See Figur SECTION 2.5 LIMITS INVOLVING INFINITY 1 olduğu görülür. _ and so the line 0 (the -ais) is a vertical asmptote. In fact, the same is true 3 log a provided that a 1. (See Figures 11 and 12 in Section 1.6.) Şekilden lim (π/2) tan=ln = + 0 olduğu görülür. Aslında, n bir tamsaı olmak üzere = (2n+1)π/2 doğruları = tan fonksionunun tüm düşe asimptotlarıdır. 1 lim l0 3 ln 0 FIGURE 6 =ln 1 Figure 71shows that lim ta 3π l 2 π π 0 π _ π 3π and so the line 2 is a vertical asm n an integer, are all vertical asmptotes of EXAMPLE 2 Find lim ln tan 2. l0 lim ln l0 MAT 1009 FIGURE 6 Kalkülüs I FIGURE SOLUTION 7 We introduce a new variable, 43 / t65 FIGU =

44 Türevler ve Bir Eğrinin Biçimi Yata Asimptot Yata Asimptot sembolü bir saı belirtmez ve lim f() = L ifadesi şeklinde okunur. Tanım 20 eksi sonsuza aklaşırken, f() in limiti L dir Eğer, lim f() = L vea lim f() = L ise = L doğrusuna = f() eğrisinin ata asimptotu denir. MAT 1009 Kalkülüs I 44 / 65

45 Türevler ve Bir Eğrinin Biçimi Eamples illustrating lim ƒ=l _` Yata Asimptot Örnek 21 Yata asimptotu olan bir eğri örneği = tan 1 dir. π 2 For instance, th asmptote because 0 _ π 2 An eample of a cu In fact, Gerçekten, FIGURE 11 lim=tan! tan 1 = π 2 lim tan 1 = π 2 olduğundan, = π/2 ve = π/2 doğruları ata asimptotlardır. so both of the lines MAT 1009 Kalkülüs I 45 / 65 6

46 Türevler ve Bir Eğrinin Biçimi Bükelik Bükelik F DIFFERENTIATION Bir Notice f fonksionunun in Figure 5 that f the türevi slopes bir of I the aralığı tangent üzerinde lines increase artan bir from fonksion left to right ise on the interval a, b, so f is increasing and f is concave upward (abbreviated f fonksionu (a da grafiği) I üzerinde dışbüke denir. Eğer f CU) on türevi bir a, b. [It can be proved that this is equivalent to saing that the graph of f lies above I all aralığı of its tangent üzerinde lines azalan on a, bir b fonksion.] Similarl, ise the f slopes fonksionu of the I tangent üzerinde lines içbüke decrease denir. from left to right on b, c, so f is decreasing and f is concave downward (CD) on b, c. P Q 0 a dışbüke b içbüke c dışbüke CU CD CU MAT 1009 Kalkülüs I 46 / 65

47 Notice Türevler in Figure ve Bir 5 Eğrinin that Biçimi the slopes of the tangent lines increase Bükelik from left to right on the interval a, b, so f is increasing and f is concave upward (abbreviated CU) on a, b. [It can be proved that this is equivalent to saing that the graph of f lies above all of its tangent lines on a, b.] Similarl, the slopes of the tangent lines decrease Bir from eğrinin left to right bükeliğinin on b, c, önünün so f is decreasing değiştiği noktaa and f is concave büküm downward noktası denir. (CD) on b, c. P Q 0 a b c dışbüke içbüke dışbüke CU CD CU Şekildeki eğri P de dışbükelikten içbükeliğe ve Q da içbükelikten dışbükeliğe A point where değişir. a curve Dolaısıla changes its P ve direction Q noktaları of concavit eğrininis büküm called an inflection noktalarıdır. point. The curve in Figure 5 changes from concave upward to concave downward at P and from concave downward to concave upward at Q, so both P and Q are inflection points. Because f f, we know that if f is positive, then f is an increasing func- MAT 1009 Kalkülüs I 47 / 65

48 Türevler ve Bir Eğrinin Biçimi Bükelik Bükelik Testi (a) I aralığındaki her için f () > 0 ise I üzerinde f nin grafiği dışbükedir. (b) I aralığındaki her için f () < 0 ise I üzerinde f nin grafiği içbükedir. Bükelik testinden dolaı ikinci türevin işaretinin değiştiği herhangi bir noktada bir büküm noktası vardır. Bükelik testinin bir sonucu maksimum ve minimum değerleri veren aşağıdaki testtir. İkinci Türev Testi f nün c nin akınında sürekli olduğunu varsaalım. (a) f (c) = 0 ve f (c) > 0 ise f nin c de bir erel minimumu vardır. (b) f (c) = 0 ve f (c) < 0 ise f nin c de bir erel maksimumu vardır. MAT 1009 Kalkülüs I 48 / 65

49 Türevler ve Bir Eğrinin Biçimi Bükelik Not f (c) = 0 olduğunda İkinci Türev Testi sonuç vermez. Diğer bir deişle, bu noktada bir maksimum vea bir minimum olabilir a da her ikisi de olmaabilir. Bu test, f (c) tanımlı olmadığında da geçerli değildir. Böle durumlarda Birinci Türev Testi kullanılmalıdır. Her iki testin kullanılabildiği durumlarda Birinci Türev Testini kullanmak çoğu kez daha koladır. MAT 1009 Kalkülüs I 49 / 65

50 Türevler ve Bir Eğrinin Biçimi Bükelik Örnek 22 = eğrisinin bükeliğini, büküm noktalarını, erel maksimum ve erel minimum değerlerini tartışınız. Bu bilgileri kullanarak eğrinin grafiğini çiziniz. Çözüm. f() = ise f () = = 4 2 ( 3) f () = = 12( 2) olur. Kritik noktaları bulmak için f nin türevini sıfıra eşitlersek f () = = 4 2 ( 3) = 0 = 0 ve = 3 buluruz. MAT 1009 Kalkülüs I 50 / 65

51 Türevler ve Bir Eğrinin Biçimi Bükelik Çözüm (devamı). İkinci türev testini kullanmak için kritik saılarda f (0) = 0 f (3) = 36 > 0 f (3) = 0 ve f (3) > 0 olduğundan ikinci türev testi 0 kritik noktası hakkında bilgi vermez, f(3) = 27 erel minimum değeridir. Fakat, < 0 ve 0 < < 3 için f () negatif olduğundan birinci türev testi bize f nin 0 da bir erel maksimumu a da erel minimumu olmadığını söler. MAT 1009 Kalkülüs I 51 / 65

52 Türevler ve Bir Eğrinin Biçimi Bükelik Çözüm (devamı). İkinci türevin köklerini f () = 12( 2) = 0 = 0 ve = 2 olarak buluruz. 2 f () (0, 0) noktasında bükelik dışbükelikten içbükeliğe değiştiği için büküm noktasıdır. MAT 1009 Kalkülüs I 52 / 65

53 Türevler ve Bir Eğrinin Biçimi Çözüm (devamı). =$-4 Bükelik since f 0 that f does not f shows tha Since f numbers as end (0, 0) inflection points 2 3 FIGURE 7 (2, _16) (3, _27) The point 0 upward to conc curve changes Using the lo sketch the curv MAT 1009 Kalkülüs I 53 / 65

54 Türevler ve Bir Eğrinin Biçimi Bükelik Örnek 23 f() = 2/3 (6 ) 1/3 fonksionunun grafiğini çiziniz. Çözüm. Fonksionun birinci ve ikinci türevleri f () = 4 1/3 (6 ) 2/3 f () = 8 4/3 (6 ) 5/3 şeklindedir. = 4 için f () = 0 olup = 0 vea = 6 için f () tanımlı olmadığından 0, 4, 6 noktaları kritik noktalardır. MAT 1009 Kalkülüs I 54 / 65

55 Türevler ve Bir Eğrinin Biçimi Bükelik Çözüm (devamı). Yerel uç değerlerini bulmak için birinci türev testini kullanırız. 4 1/3 (6 ) 2/3 f () MAT 1009 Kalkülüs I 55 / 65

56 Türevler ve Bir Eğrinin Biçimi Bükelik Çözüm (devamı). f türevi 0 da negatiften pozitife değiştiğinden f(0) = 0 erel bir minimumdur. f türevi 4 te pozitiften negatife değiştiğinden f(4) = 2 5/3 bir erel maksimumdur. f nün işareti = 6 da değişmediğinden bu noktada maksimum a da minimum oktur. f 8 () = 4/3 (6 ) 5/3 İkinci türev testi, 4 te kullanılabilir fakat 0 ve 6 da f tanımlı olmadığından kullanılamaz. MAT 1009 Kalkülüs I 56 / 65

57 Türevler ve Bir Eğrinin Biçimi Bükelik Çözüm (devamı). f () in ifadesine bakılırsa 4/3 (6 ) 5/3 8 4/3 (6 ) 5/ (, 0) içbüke (0, 6) içbüke (6, ) dışbüke (6, 0) noktasının tek büküm noktası olduğu görülür. MAT 1009 Kalkülüs I 57 / 65

58 nt is 6, 0. The graph is sketched in Figure 8. Note that the curve has Türevler ve Bir Eğrinin Biçimi Bükelik ents at 0, 0 and 6, 0 because f l as l 0 and as l 6. Çözüm (devamı). 4 (4, 2%?#) =@?#(6-)!?# Eğrinin (0, 0) ve (6, 0) da düşe teğetleri vardır. Çünkü 0 ve 6 6iken Use f the () first and olur. second derivatives of f e 1, together with a sketch its graph. MAT 1009 Kalkülüs I 58 / 65

59 Türevler ve Bir Eğrinin Biçimi Bükelik Örnek 24 f() = e 1/ fonksionunun asimptotlarla birlikte birinci ve ikinci türevlerini kullanarak grafiğini çiziniz. Çözüm. f nin tanım kümesi { 0} kümesidir. Dolaısıla, 0 iken f nin sağdan ve soldan limitlerini hesaplaarak düşe asimptotlarını kontrol edebiliriz. 0 + iken t = 1 olduğunu bilioruz. Buradan, lim 0 e1/ = + olur. 0 iken 1/ olduğunu bilioruz. Buradan, olur. lim 0 e1/ = 0 MAT 1009 Kalkülüs I 59 / 65

60 Türevler ve Bir Eğrinin Biçimi Çözüm (devamı). Bükelik cated that f finish the sk inflection po =1 inflecti point 0 FIGURE 9 (a) Preliminar sketch MAT 1009 Kalkülüs I 60 / 65

61 Türevler ve Bir Eğrinin Biçimi Bükelik Çözüm (devamı). ± iken 1 0 ve lim e1/ = e 0 = 1 olur. Yani, = 1 ata asimptottur. MAT 1009 Kalkülüs I 61 / 65

62 Türevler ve Bir Eğrinin Biçimi Çözüm (devamı). Bükelik cated that f finish the sk inflection po =1 inflecti point 0 FIGURE 9 (a) Preliminar sketch MAT 1009 Kalkülüs I 62 / 65

63 Türevler ve Bir Eğrinin Biçimi Bükelik Çözüm (devamı). Şimdi f nin birinci ve ikinci türevlerini hesaplaalım. Zincir kuralı ile f () = e1/ 2 hesaplanır. Her 0 için 2 > 0 ve e 1/ > 0 olduğundan her 0 için f () < 0 dır. Dolaısıla, f fonksionu (, 0) ve (0, ) aralıklarında azalandır. Kritik nokta olmadığından f nin erel maksimumu ve erel minimumu oktur. MAT 1009 Kalkülüs I 63 / 65

64 Türevler ve Bir Eğrinin Biçimi Bükelik Çözüm (devamı). İkinci türev f () = 2 e 1/ ( 1/ 2 ) e 1/ (2) 4 = e1/ (2 + 1) 4 olarak hesaplanır. e 1/ > 0 ve 4 > 0 olduğundan > 1 2 ( 0) iken f () > 0 ve < 1 2 iken f () < 0 olur. Bölece, eğri (, 1/2) aralığında içbüke ( 1/2, 0) ve (0, ) aralıklarında dışbükedir. ( 1/2, e 2 ) büküm noktasıdır. MAT 1009 Kalkülüs I 64 / 65

65 Türevler the ve fact Bir Eğrinin that Biçimif is decreasing on both, Bükelik0 and 0,. N cated that f l 0 as l 0 even though f 0 does not finish the sketch b incorporating the information concern Çözüm (devamı). inflection point. In Figure 9(c) we check our work with a = =1 inflection point =1 0 _3 (b) Finished sketch (c) MAT 1009 Kalkülüs I 65 / 65