Ters Fonksiyonlar ve Logaritmalar Ters Fonksiyonlar

Transkript

1 Ters Fonksionlar ve Logaritmalar Ters Fonksionlar Ters Fonksionlar ve Logaritmalar Ters Fonksionlar Tanım Anı değeri iki kez almaan bir f fonksionuna, başka bir deişle 2 için f( ) f( 2 ) koşulunu sağlaan bir fonksiona bire-bir fonksion denir. MAT 9 Kalkülüs I / 8

2 In the language of inputs and outputs, Definition Ters Fonksionlar ve Logaritmalar Ters Fonksionlar this definition sas that f is one-to- one if the same val each output corresponds to onl one Şekilde görüldüğüinput. gibi ata bir doğru f nin grafiğini birden fazla noktada kesiorsa, f( ) = f( 2 ) olan farklı ve 2 olacağından f fonksionu bire-bir değildir. =ƒ If a horizont from Figure 2 t that f is not one mining whether fl Horizontal Line intersects its FIGURE 2 This function is not one-to-one EXAMPLE Is th SOLUTION If MAT 9 Kalkülüs I 2 / 8

3 Ters Fonksionlar ve Logaritmalar Ters Fonksionlar Bu nedenle, bir fonksionun bire-bir olması için aşağıdaki geometrik ölçütü verebiliriz. Yata Doğru Ölçütü Bir fonksionun bire-bir olması için gerek ve eter koşul, hiç bir ata doğrunun grafiği bir kezden fazla kesmemesidir. MAT 9 Kalkülüs I 3 / 8

4 Ters Fonksionlar ve Logaritmalar Ters Fonksionlar Örnek 2 f() = 3 fonkionu bire-bir midir? Çözüm. 2 için birebirdir. olduğundan (farklı saıların küpleri de farklıdır), f MAT 9 Kalkülüs I 4 / 8

5 Ters Fonksionlar ve Logaritmalar Ters Fonksionlar FIGURE 2 EXAMPLE Çözüm 2. This function is not one-to-one Şekilden hiç bir ata doğrunun f nin grafiğini bir kezden fazla SOLUTION because f( )=f( ). kesemeeceğini görüoruz. Yata Doğru Ölçütü nedeni ile f birebirdir. cube). Th = SOLUTION 2 f EXAMPLE 2 SOLUTION FIGURE 3 ƒ= is one-to-one. and so MAT 9 Kalkülüs I 5 / 8

6 Ters Fonksionlar ve Logaritmalar Ters Fonksionlar Örnek 3 f() = 2 fonkionu bire-bir midir? Çözüm. Bu fonksion bire-bir değildir. Örneğin g() = = g( ) dir ve dolaısıla ve de anı değeri almaktadır. MAT 9 Kalkülüs I 6 / 8

7 Ters Fonksionlar ve Logaritmalar Ters Fonksionlar Çözüm 2. FIGURE 3 Şekilden, g nin grafiğini ƒ= birdenis fazla one-to-one. kesen ata doğrular olduğunu görüoruz. Bu nedenle g bire-bir olamaz. = and so SOLUTION graph o one. One possess FIGURE 4 = is not one-to-one. 2 The MAT 9 Kalkülüs I 7 / 8

8 Ters Fonksionlar ve Logaritmalar Ters Fonksionlar Tanım 4 f, tanım kümesi A ve görüntü kümesi B olan bire-bir bir fonksion olsun. f fonksionunun tersi f ; tanım kümesi B, görüntü kümesi A olan ve B kümesindeki her için f () = f() = ile tanımlanan fonksiondur. MAT 9 Kalkülüs I 8 / 8

9 Ters Fonksionlar ve Logaritmalar Ters Fonksionlar 66f in tanım kümesi CHAPTER = f in görüntü FUNCTIONS kümesi AND M f in görüntü kümesi = f in tanım kümesi. A f f! B FIGURE 5 MAT 9 Kalkülüs I 9 / 8

10 Ters Fonksionlar ve Logaritmalar Ters Fonksionlar Örneğin, f() = 3 fonksionunun tersi f () = 3 fonksionudur. = 3 alınırsa f () = f ( 3 ) = ( 3 ) /3 = elde edilir. UYARI: f gösterimindeki bir kuvvet değildir. Başka bir deişle f ile f birbirine eşit değildir. MAT 9 Kalkülüs I / 8

11 Ters Fonksionlar ve Logaritmalar Ters Fonksionlar Geleneksel olarak, ile bağımsız değişkeni gösterdiğimizden, eğer f ile çalışıorsak ile nin erlerini değiştirip f () = f() =. () azarız. Tanımda i ve () de i erine koarak, ok etme kuralları olarak bilinen f (f()) = f(f ()) = A B formüllerini elde ederiz. MAT 9 Kalkülüs I / 8

12 Ters Fonksionlar ve Logaritmalar Ters Fonksionlar Bire-Bir Bir Fonksionunun Tersini Bulmak = f() azınız. 2 Bu denklemde (mümkünse) i cinsinden çözünüz. 3 f fonksionunu in fonksionu olarak azabilmek için ve nin erlerini değiştiriniz. Bu da = f () biçiminde bir ifade verir. MAT 9 Kalkülüs I 2 / 8

13 Ters Fonksionlar ve Logaritmalar Ters Fonksionlar Örnek 5 f() = fonksionunun tersini bulunuz. Çözüm. Yukarıda verilen adımlara uarak, önce = azarız. Sonra, bu denklemi için çözeriz: 3 = 2 = 3 2 Son olarak, ile nin erlerini değiştiririz: = 3 2. Dolaısıla, verilen fonksionun tersi f () = 3 2 dir. MAT 9 Kalkülüs I 3 / 8

14 Ters Fonksionlar ve Logaritmalar CHAPTER FUNCTIONS AND MODELS Ters Fonksionlar f fonksionunun tersini bulma adımlarında if f b ile, nin the erlerini point a, değiştirme b is on the adımı, bize f foksionunun grafiğini the fgraph nin grafiğinden of af. But bulma we get öntemini the point de verir.. (See Figure 8.) f(a) = b için eterli ve gerekli koşul f (b) = a olduğundan, (a, b) noktasının f nin grafiği üzerinde olması için eterli ve gerekli koşul (b, a) noktasının f in grafiğinin üzerinde olmasıdır. Diğer andan (b, a) noktası, (a, b) noktasının = doğrusuna göre ansımasıdır. = (b, a) (a, b) FIGURE 8 MAT 9 Kalkülüs I 4 / 8

15 Ters Fonksionlar ve Logaritmalar Ters Fonksionlar b is on the graph of f if and onl if the point b, a is on et the point b, a from a, b b reflecting about the line f nin grafiğinin = doğrusuna göre ansıması, f fonksionunun grafiğini verir. (a, b) f! = f FIGURE 9 MAT 9 Kalkülüs I 5 / 8

16 Ters Fonksionlar ve Logaritmalar Ters Fonksionlar Örnek 6 Anı düzlemde f() = fonksionunun ve tersinin grafiklerini çiziniz. Çözüm. Önce = eğrisini ( 2 = a da = 2 parabolünün üst arı kolu) çizeriz. Daha sonra bunu = doğrusunda FIGURE ansıtıp 8 f in grafiğini buluruz. Therefore, as illustrated b = =ƒ = The graph of f is obtai FIGURE (_, ) (, _) =f!() EXAMPLE 5 Sketch the graph same coordinate aes. SOLUTION First we sketch the 2, or 2 graph of f. (See Figure for f is f 2 parabola 2 and MAT 9 Kalkülüs I 6 / 8

17 Ters Fonksionlar ve Logaritmalar Ters Fonksionlar Çözüm (devamı). Grafiği doğrulama amacıla, f ifadesinin > için f () FIGURE = 2 8 olduğuna dikkat ediniz. Dolaısıla f fonksionunun grafiği, = 2 parabolünün sağ arım koludur. Therefore =ƒ = The graph FIGURE (_, ) (, _) =f!() EXAMPLE 5 S same coordin SOLUTION First 2 graph of f for f is f parabola MAT 9 Kalkülüs I 7 / 8

18 Trigonometri Açılar Trigonometri Açılar Açılar derece a da radan (kısaca rad) olarak ölçülebilir. Bir tam dönüş ile verilen açı 36 olup 2π rad ile anıdır. Dolaısıla, olup elde edilir. π rad = 8 (2) ( ) 8 rad = 57.3 = π rad.7 rad (3) π 8 MAT 9 Kalkülüs I 8 / 8

19 Trigonometri Açılar Örnek 7 (a) 6 derecenin radan ölçüsünü bulunuz. (b) 5π 4 radanı derece cinsinden ifade ediniz. Çözüm. (a) Denklem (2) a da (3) den derecei radana çevirmek için π/8 ile çarpmamız gerektiğini görürüz. Dolaısıla ( π ) 6 = 6 = π 8 3 rad (b) Radanı derecee çevirmek için 8/π ile çarpanz. Bunun sonucu 5π 4 rad = 5π ( ) 8 = 225 dir. 4 π MAT 9 Kalkülüs I 9 / 8

20 Trigonometri Açılar Kalkülüste tersi belirtilmediği sürece açıları ölçmek için radan kullanırız. Aşağıdaki tablolarda sık karşılaşılan bazı açıların radan ve derece ölçüsü karşılıkları verilmiştir. Derece π π π π 2π 3π Radan Derece π 3π Radan 6 π 2 2π MAT 9 Kalkülüs I 2 / 8

21 angle of (b) 3 8 With rad? r 3 cm and rad, the arc length is Trigonometri 3 8 SOLUTION a r (a) BirUsing açınınequation standart 3 with konumu, a 6 and Şekil r 8 5deki, we 8 gibi see cm that köşesini the angle başlangıç is noktasına ve başlangıç The standard kenarını position pozitif of an ekseni angle occurs when üzerine we place erleştirdiğimizde its verte at the origin oluşur. of a coordinate sstem and its initial side on the positive -ais as in Figure 3. Şekil : θ > (b) With r 3 cm Başlangıç kenarı, saat and rad, the arc length is önünün initial tersiside önünde a r bitiş kenarı ile çakışıncaa terminal 8kadar 8döndürülürse cm side terminal side pozitif initial side açı elde edilir. The standard position of an angle occurs when we place its verte at the origin of a coordinate sstem and its initial side on the positive -ais as in Figure 3. Şekil 2: θ < Açılar FIGURE 3 FIGURE 4 < initial side A positive angle is obtained b rotating the initial side counterclockwise until it coincides with the terminal side. Likewise, negative angles are obtained b clockwise rotation as in Figure 4. Figure 5 shows several eamples of angles in standard position. Notice that different angles can have the same terminal side. terminal For instance, side the angles 3 4, 5 4 initial, and 4 side have the same initial and terminal sides because Benzer olarak saat önünde döndürülürse Şekil 2 deki gibi negatif açı elde edilir. terminal side rad MAT 9 Kalkülüs I 2 / 8

22 les n have can the have same Trigonometri the same terminal terminal side. For side. instance, For instance, the Açılar the ve 4 the have same the same initial initial and terminal and terminal sides sides because because and rad rad represents a a complete revolution. Şekilde standart konumda birkaç açı örneğini gösterilmektedir. Farklı açıların anı başlangıç ve bitiş kenarlarına sahip olabileceğine dikkat ediniz = 3π 3π = volution. ete revolution. ion n 3 = 3π = 3π =_ π π 2 2 = π = π 4 4 =_ 5π =_ 5π 4 4 MAT 9 Kalkülüs I 22 / 8

23 Trigonometri Açılar Örneğin, 3π 4, 5π 4 π ve 4 açıları için 3π 4 2π = 5π 4 3π 4 + 2π = π 4 olduğundan ve 2π rad bir tam dönmei temsil ettiği için anı başlangıç ve bitiş kenarlarına sahiptir. MAT 9 Kalkülüs I 23 / 8

24 Trigonometri Trigonometrik Fonksionlar Trigonometrik Fonksionlar A2 APPENDIX C TRIGONOMETRY Bir θ dar açısı için, altı trigonometrik fonksion bir dik üçgenin kenar uzunluklarının oranı olarak aşağıdaki gibi tanımlanır. The Trigonometric Functions sin θ = For karşı an acute angle csc θ = the hipotenüs si trigonometric hpotenuse hipotenüs karşı opposite sides of a right triangle as follows (see Fi cos θ = komşu sec θ = hipotenüs (4) hipotenüs komşu adjacent tan θ = karşı 4 cot θ = komşu sin komşu karşı hp FIGURE 6 cos tan opp adj hp opp MAT 9 Kalkülüs I 24 / 8

25 Trigonometri Trigonometrik Fonksionlar This defi in standar be the dis Bu tanım, geniş a da negatif açılara ugulanmaz. Bu nedenle, standart konumda genel bir θ açısı için θ nın bitiş kenarı üzerinde bir P (, r) noktası alır ve OP uzunluğunu Şekildeki gibi r ile gösteririz. P(, ) 5 r O FIGURE 7 Since div csc and c MAT 9 Kalkülüs I 25 / 8

26 Trigonometri Trigonometrik Fonksionlar Bölece, P(, ) sin θ = r csc θ = r cos θ = r sec θ = r tan θ = cot θ = azılabilir. Pada sıfır olduğunda bölüm tanımsız olacağından, = için FIGURE 7 tan θ ve sec θ, = için csc θ ve cot θ tanımsızdır. θ dar açı olduğunda (4) ve (5) denklemlerin birbirile tutarlı olduğuna dikkat ediniz. (5) r O MAT 9 Kalkülüs I 26 / 8

27 Trigonometri Trigonometrik Fonksionlar Örnek 8 tan > cos > θ = 2π/3 için kesin trigonometrik oranları bulunuz. FIGURE 9 Çözüm. P {_, œ 3} EXAMPLE 3 SOLUTION F P(, s3 in the defi œ 3 2 π 3 2π 3 The fo FIGURE MAT 9 Kalkülüs I 27 / 8

28 Trigonometri Trigonometrik Fonksionlar Çözüm (devamı). Şekilden θ = 2π/3 ün bitiş doğrusu üzerindeki noktalardan birinin P (, 3) olduğu görülür. Dolaısıla, trigonometrik oranların tanımında alarak elde ederiz. = = 3 r = 2 sin 2π 3 3 = 2 cos 2π 3 = 2 tan 2π 3 = 3 csc 2π 3 = 2 3 sec 2π 3 = 2 cot 2π 3 = 3 MAT 9 Kalkülüs I 28 / 8

29 Trigonometri Trigonometrik Fonksionlar NOT θ bir saı olmak üzere sin(θ), radan ölçüsü θ olan açının sinüsü anlamına gelir. Örneğin, sin(3) ifadesi 3 rad lık bir açı ile ilgilendiğimizi belirtir. Bu saıı hesap makinesi ile bulacağımız zaman makinenin radan aarına geçer ve sin 3.42 elde ederiz. 3 lik açının sinüsünü bulmek istersek, hesap makinemizin derece aarına geçerek sin(3 ) azar ve sin buluruz. MAT 9 Kalkülüs I 29 / 8

30 sin Trigonometri 3 2 cos 3 2 tan 3 s3 Trigonometrik Fonksionlar csc s3 sec cot 3 3 s3 The following table gives some values of sin and cos found b the method of Aşağıdaki tabloda bazı sin θ ve cos θ değerleri verilmiştir. Eample sin cos s3 s3 2 s2 2 2 s2 2 s3 s3 2 s2 2 2 s2 2 EXAMPLE 4 If cos 2 5 and, find the other five trigonometric functions of. 2 SOLUTION Since cos 2 5, we can label the hpotenuse as having length 5 and the adjacent side as having length 2 in Figure. If the opposite side has length, then the Pthagorean Theorem gives and so 2 2, or s2. We can now use the diagram to write the other five trigonometric functions: MAT 9 Kalkülüs I 3 / 8

31 Trigonometri Trigonometrik Özdeşlikler Trigonometrik Özdeşlikler Trigonometrik özdeşlik trigonometrik fonksionlar arasında bir bağıntıdır. Doğrudan doğrua trigonometrik fonksionların tanımından elde edilen özdeşliklerin en temel olanları olarak verililir. csc θ = sin θ tan θ = sin θ cos θ sec θ = cos θ cot θ = cos θ sin θ cot θ = tan θ MAT 9 Kalkülüs I 3 / 8

32 Trigonometri Trigonometrik Özdeşlikler sin 2 θ + cos 2 θ = tan 2 θ + = sec 2 θ + cot 2 θ = csc 2 θ sin( θ) = sin θ cos( θ) = cos θ sin(θ + 2π) = sin θ cos(θ + 2π) = cos θ MAT 9 Kalkülüs I 32 / 8

33 Trigonometri Trigonometrik Özdeşlikler Toplam formülleri olarak adlandırılan diğer iki temel trigonometrik özdeşlik sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β şeklindedir. cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β MAT 9 Kalkülüs I 33 / 8

34 Trigonometri Trigonometrik Özdeşlikler sin(α β) = sin α cos β cos α sin β cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β tan(α + β) = tan(α β) = tan α + tan β tan α tan β tan α tan β + tan α tan β MAT 9 Kalkülüs I 34 / 8

35 Trigonometri Trigonometrik Özdeşlikler sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = cos 2 α sin 2 α cos 2α = 2 cos 2 α cos2α = 2 sin 2 α cos 2 α = sin 2 α = + cos 2α 2 cos 2α 2 MAT 9 Kalkülüs I 35 / 8

36 Trigonometri Trigonometrik Özdeşlikler Örnek 9 sin = sin 2 denklemini sağlaan [, 2π] aralığındaki tüm değerlerini bulunuz. Çözüm. Çift-açı formülünü kullanarak verilen denklemi sin = 2 sin cos vea sin ( 2 cos ) = şeklinde azarız. Dolaısıla iki seçenek vardır: sin = vea 2 cos = =, π, 2π vea cos = 2 = π 3, 5π 3 Verilen denklemin beş çözümü vardır: =, π, 2π, π 3, 5π 3. MAT 9 Kalkülüs I 36 / 8

37 Trigonometri Trigonometrik Fonksionların Grafikleri Trigonometrik Fonksionların Grafikleri f() = sin fonksionunun grafiğini elde etmek için önce 2π aralığı için noktalar çizilmiş daha sonra grafik, fonksionun periodik apısı kullanılarak tamamlanmıştır. Sinüs fonksionunun köklerinin π nin tam saı katlarında ortaa çıktığına, başka bir deişle, n tamsaı olmak üzere = nπ için sin = olduğuna dikkat ediniz. ( cos = sin + π ) 2 özdeşliğinden dolaı kosinüs grafiği sinüs grafiğinin π 2 kadar sola kadırılması ile elde edilir. Sinüs ve kosinüs fonksionlarının her ikisinin de tanım kümeleri ve görüntü kümeleri sırasıla (, ) ve [, ] aralıklarıdır. Dolaısıla, her değeri için sağlanır. sin cos MAT 9 Kalkülüs I 37 / 8

38 Trigonometri ne functions the domain is,, for all values of, we have Trigonometrik Fonksionların Grafikleri and the range is the closed _π FIGURE 3 _ π 2 sin _π π π 2π 5π 3π _ 2 2 _ π 2 _ 3π 2 cos (a) ƒ=sin π 2 π 3π 2 2π 5π 2 3π The graphs of the re and their domains are i,, whereas cosec tions are periodic: tange have period. Gerie kalan dört trigonometrik(b) fonksionun =cos grafikleri ilerideki şekillerde gösterilmiştir. 2 MAT 9 Kalkülüs I 38 / 8

39 Trigonometri Trigonometrik Fonksionların Grafikleri _π _ π 2 _ π 2 π 3π 2 _π _ (a) =tan Şekil 3: = tan MAT 9 Kalkülüs I 39 / 8

40 Trigonometri Trigonometrik Fonksionların Grafikleri 3π 2 _π _ π 2 π π 3π 2 2 (b) =cot Şekil 4: = cot MAT 9 Kalkülüs I 4 / 8

41 Trigonometri (a) =tan Trigonometrik Fonksionların Grafikleri =sin _ π 2 _ π 2 π 3π 2 _π _ FIGURE 4 (c) =csc Şekil 5: = csc Inverse Trigonometric Functions MAT 9 Kalkülüs I 4 / 8

42 Trigonometri (b) =cot Trigonometrik Fonksionların Grafikleri in =cos _π _ π 2 _ π 2 π 3π 2 (d) =sec Şekil 6: = sec ric Functions MAT 9 Kalkülüs I 42 / 8

43 Trigonometri Ters Trigometrik Fonksionlar Ters Trigometrik Fonksionlar Trigonometrik fonksionların tersini bulmaa çalıştığımızda küçük bir güçlükle karşılaşırız. Trigonometrik fonksionlar bire-bir olmadığından ters fonksionları tanımlı değildir. Bu fonksionların tanım kümeleri, fonksion bire-bir olacak şekilde kısıtlanarak bu güçlük aşılır. MAT 9 Kalkülüs I 43 / 8

44 Trigonometri the become Ters Trigometrik one-to-one. Fonksionlar You can see from Figure 5 th the Horizontal Line Test). But Figure 6), is one-to-one. The inv Şekilden = sin() fonksionunun bire-birand olmadığı is denoted (Yatab Doğru sin Ölçütü or arcsin. kullanılarak) görülür. function. =sin _π π π 2 FIGURE 5 Since the definition of an inve f MAT 9 Kalkülüs I 44 / 8

45 or arcsin Trigonometri Ters Trigometrik Fonksionlar. It is called the inverse sine function or the arcsine Ancak, f() = sin(), π/2 π/2 fonksionu bire-birdir. _ π 2 π 2 FIGURE 6 Şekil 7: of an inverse function sas that Bu kısıtlanmış sinüs fonksionunun tersi vardır ve sin a da arcsin ile gösterilir. Bu fonksion f ters sinüs &? fonksionu f a da arksinüs fonksionu olarak adlandırılır. MAT 9 Kalkülüs I 45 / 8

46 Trigonometri Ters Trigometrik Fonksionlar Ters fonksionun tanımı olduğunu söler. Buradan f () = f() = sin () = sin() = ve π/2 π/2 elde ederiz. Dolaısıla, için sin, π/2 ile π/2 arasında bulunan, sinüsü olan saıdır. MAT 9 Kalkülüs I 46 / 8

47 A26 Trigonometri APPENDIX C TRIGONOMETRY Ters Trigometrik Fonksionlar Örnek we have (a) sin (/2) ve (b) tan(arcsin(/3)) değerlerini sin &? hesaplaınız. sin and 2 2 Çözüm. (a) sin(π/6) = /2 ve π/6, π/2 EXAMPLE ile7 Evaluate π/2 arasında (a) sin ( 2) and olduğundan (b) tan(arcsin 3). (b) sin Thus, if, sin is the number between 2 and 2 whose sin 2 œ 2 Bu FIGURE ise, üçgenden 7 3 SOLUTION (a) We have sin (/2) = π 6 dır. because sin 6 2 and 6 lies between 2 and 2. (b) Let. Then we can draw a right triangle with angle as in and θ olan deduce from Şekildeki the Pthagorean gibi Theorem bir dik that üçgen the third side çizer has length s9 2s2. This enables us to read from the triangle that arcsin 3 sin ( 2) θ = arcsin(/3) olsun. Bu durumda açısı ve Pisagor Teoremi nden üçüncü kenarın 9 = 2 2 olduğunu buluruz. tan(arcsin 3) tan 2s2 The cancellation equations for inverse functions [see (.6.4)] become, i tan(arcsin(/3)) = tan θ = 2 2 sonucunu elde etmemize olanak sağlar. sin sin sin sin for 2 2 for MAT 9 The Kalkülüs inverse sine I function, sin, has domain, and range 2, 47 / 8 6

48 Trigonometri The inverse sine function, Ters Trigometrik sin Fonksionlar, has domain graph, shown in Figure 8, is obtained from tha Ters sinüs (ani, sin ) fonksionunun tanım kümesi [, ] ve görüntü kümesi [ π/2, π/2] dirure ve Şekil 6) b 8 de reflection gösterilenabout grafiği, the kısıtlanmış line sinüs. fonksionunun (Şekil 7) = doğrusuna göre ansıtılmasıla elde edilmiştir. π 2 _ π _ 2 _ π 2 Şekil 8: MAT 9 Kalkülüs I 48 / 8

49 Trigonometri Ters Trigometrik Fonksionlar in Figure 8, is obtained from that of the restricted sine function (Figection Tanjant about fonksionu the line ( π/2,. π/2) aralığına kısıtlanarak bire-bir apılabilir. π _ 2 π 2 _ π 2 sin! π 2 FIGURE 9 =tan Şekil 9:, _ << π 2 t function can be made one-to-one b restricting it to the interval MAT 9 Kalkülüs I 49 / 8

50 Trigonometri Ters Trigometrik Fonksionlar Dolaısıla, ters tanjant fonksionu; f() = tan(), π/2 < < π/2 fonksionunun tersidir (Bakınız Şekil 9) ve tan a da arctan ile gösterilir.. tan () = tan() = ve π/2 < < π/2 MAT 9 Kalkülüs I 5 / 8

51 Trigonometri Ters Trigometrik Fonksionlar SOLUTION 2 Ins easier to use ure 2 (whic Ters tanjant, tan = arctan, fonksionunun tanım kümesi R, görüntü FIGURE 2 kümesi ( π/2, π/2) dir. π 2 FIGURE 2 =tan! =arctan _ π 2 The inver 2, 2 vertical asm ing the graph lines Of the si most useful f Eercise 46. MAT 9 Kalkülüs I 5 / 8

52 Trigonometri Ters Trigometrik Fonksionlar Örnek cos(tan ) ifadesini sadeleştiriniz. Çözüm. = tan olsun. Bu durumda tan = ve π/2 < < π/2 olur. cos i bulmak için tan ardımıla sec i hesaplaalım. Dolaısıla, sec 2 = + tan 2 = + 2 sec = + 2 ( π/2 < < π/2 için sec > old.) cos(tan ) = cos = sec = + 2 dir. MAT 9 Kalkülüs I 52 / 8

53 Üstel Fonksionlar ve Logaritma Fonksionları Üstel Fonksionlar ve Logaritma Fonksionları f() = 2 fonksionunda değişken bir üst olduğundan bu fonksion üstel fonksiondur. Bu fonksion, değişken in tabanda olduğu g() = 2 kuvvet fonksionu ile karıştırılmamalıdır. Genel olarak, a saısının pozitif bir sabit saı olduğu fonksionuna üstel fonksion denir. f() = a MAT 9 Kalkülüs I 53 / 8

54 Üstel Fonksionlar ve Logaritma Fonksionları Eponential Functions are = the 2 functions ve = (.5) of the fonksionlarının form f grafikleri a, where aşağıdaki the base Şekilde a is a positive cons raphs gösterilmiştir. of 2 Her and iki durumda.5 are da tanım shown kümesi in Figure (, 2. ) In both ve görüntü cases the do, kümesi and (, the ) range dir. is,. (a) =2 (b) =(.5) ponential functions will be studied in detail in Section.5 and we will see are useful for modeling man natural phenomena, such as population grow MAT 9 Kalkülüs I 54 / 8

55 Üstel Fonksionlar ve Logaritma Fonksionları al function grows more rapidl (for ) MAT 9 Kalkülüs I 55 / 8

56 Üstel Fonksionlar ve Logaritma Fonksionları Üstellik Kuralları a, b > ve, R gerçel saılar olsun. Bu durumda, aşağıdakiler geçerlidir. a + = a a. 2 a = a a. 3 (a ) = a. 4 (ab) = a b. MAT 9 Kalkülüs I 56 / 8

57 Üstel Fonksionlar ve Logaritma Fonksionları Örnek 2 = 3 2 foksionunun grafiğini çiziniz. Çözüm. Önce = 2 fonksionunun grafiğini ekseninde ansıtarak = 2 nin grafiğini buluruz. Sonra da bu grafiği ukarı doğru 3 birim kadırarak = 3 2 nin grafiğini buluruz. MAT 9 Kalkülüs I 57 / 8

58 NLUTION First First we reflect we reflect the graph the graph of of 2 (shown 2 (shown 2 in Figure in Figure 2) about 2) about the -ais the -ais the get to graph the get graph the of graph of 2 of 2 in Figure 2 in Figure in 5(b). Figure 5(b). Then 5(b). Then we Then shift we shift the we graph shift the graph the of graph of 2 of 2 2 d ward three upward three units three units to obtain units to obtain to the obtain graph the graph the of graph of 3 of 3 2 in 32 Figure in 2Figure in 5(c). Figure 5(c). The 5(c). The domain The domain isdoma the and range the and range the is, range is, 3 is., Çözüm (devamı). SOLUTION Üstel Fonksionlar First we ve Logaritma reflect Fonksionları the graph of (shown in Figure 2) about the -a =3 = _ 5 (a) =2 (a) =2 (a) =2 (b) =_2 (b) =_2 (b) =_2 (c) =3-2 (c) =3-2 (c) =3-2 2EXAMPLE Use 2 Use a graphing 2 Use a graphing a graphing device device to device compare to compare to compare the eponential the the eponential function function function f f 2 f 2 e d power the and power the function MAT power function 9 t function t 2 t. Which 2. Which 2 function. Which Kalkülüs function I grows function grows more grows more quickl more quickl when quickl when iswhen 58 / 8

59 Üstel Fonksionlar ve Logaritma Fonksionları e Saısı e Saısı The Number The Number e e Of Tabanlar all Of possible all arasında possible bases a saısının for bases an for eponential seçimi an eponential = function, a fonksionunun function, there is there one eksenini is that one is that most is con m for nasıl the kestiği for purposes the ile purposes ilgilidir. of calculus. of Şekilde calculus. The choice = The 2 ve choice of a = base 3of afoksionlarının base is influenced a is influenced b the b wa the of grafiklerine of a crosses (, a) crosses noktasında the -ais. the -ais. çizilen Figures Figures teğet and doğruları 2 and show gösterilmektedir. 2 the show tangent the tangent lines to lines the =2 =2 =3 =3 må.7 må.7 må. må. FIGURE Bu teğet FIGURE doğrularının eğimlerini ölçersek FIGURE = 2 FIGURE 2 için m2.7 i, = 3 için m. i buluruz. MAT 9 Kalkülüs I 59 / 8

60 Üstel Fonksionlar ve Logaritma Fonksionları e Saısı Kalkülüsteki bazı formüller, taban saısı a olmak üzere = a grafiğine (, ) noktasında çizilen teğet doğrusunun eğimi tam olacak şekilde seçildiğinde çok kolalaşacaktır. = m= graph at the slope 3. It turn be greatl a a denoted b hard Eule view of F and 3 and ure 4). I FIGURE 3 MAT 9 Kalkülüs I 6 / 8

61 Üstel Fonksionlar ve Logaritma Fonksionları e Saısı graph at the slope 3. It turn be greatl a a denoted b hard Eule view of F and 3 and ure 4). I Gerçekten böle bir saı vardır ve e harfi ile gösterilir. e saısının 2 ve 3 arasında, = e fonksionunun grafiğinin de = 2 ile = 3 arasında kalması şaşırtıcı olmamalıdır. = m= Bu gösterim ilk kez İsviçreli matematikçi Leonhard Euler tarafından 727 ılında, muhtemelen, üstel anlamına gelen eponential kelimesinin ilk harfi e olduğu için kullanılmıştır. FIGURE 3 The natural eponential function MAT 9 Kalkülüs I 6 / 8

62 Üstel Fonksionlar ve Logaritma Fonksionları e Saısı Örnek 3 = 2 e fonksionunun grafiğini çiziniz. Arıca, tanım ve görüntü kümelerini bulunuz. Çözüm. = e fonksionunun gradiğini eksenine göre ansıtarak, = e grafiğini elde ederiz. Bu grafiği, düşe önde 2 oranında sıkıştırarak = 2 e grafiğini buluruz. Son olarak, grafiği aşağı doğru birim kadırarak istenen grafiği elde ederiz. Tanım kümesi R, görüntü kümesi ise (, ) aralığıdır. MAT 9 Kalkülüs I 62 / 8

63 Üstel Fonksionlar ve Logaritma Fonksionları Çözüm (devamı). factor of of e 2 Saısı 2 to to obtain the the gra graph downward one one unit to and and the the range is is,.. (a) (a) = (b) (b) =e FIGURE 5 5 MAT 9 Kalkülüs I 63 / 8

64 e the graph graph Üstel of Fonksionlar of ve Logaritma 2 e 2 e in Fonksionları in Figure 5(c). 5(c). Finall, we we shift e Saısı shift the the e nit unit to to get get the the desired graph graph in in Figure 5(d). 5(d). The The domain is is, Çözüm.. (devamı). =_ =_ 2 2 (c) (c) = = e e 2 2 (d) (d) = = e - e - MAT 9 Kalkülüs I 64 / 8

65 Üstel Fonksionlar ve Logaritma Fonksionları Logaritma Fonksionları Logaritma Fonksionları a > ve a için, f() = a fonksionu artan a da azalan olduğundan (Yata Doğru Ölçütü gereğince) bire-birdir. Bu nedenle, tersi olan f vardır. Bu fonksiona a tabanına göre logaritma fonksionu adı verilir ve log a ile gösterilir. MAT 9 Kalkülüs I 65 / 8

66 Üstel Fonksionlar ve Logaritma Fonksionları Logaritma Fonksionları Ters fonksion için koşulunu kullanırsak elde ederiz. f () = f() = log a = a = Bu nedenle, > için log a (), a tabanının saısını vermesi için gerekli olan üssüdür. Örneğin, 3 =. olduğundan log (.) = 3 tür. MAT 9 Kalkülüs I 66 / 8

67 Üstel Fonksionlar ve Logaritma Fonksionları Logaritma Fonksionları Yok etme kuralları f() = a ve f () = log a () fonksionları için kullanılırsa log a (a ) =, R a log a =, > elde edilir. Özel olarak, = alırsak elde ederiz. log a (a) = MAT 9 Kalkülüs I 67 / 8

68 Üstel Fonksionlar ve Logaritma Fonksionları Logaritma Fonksionları log a logaritma fonksionunun tanım kümesi (, ), görüntü kümesi ise R dir. Grafiği ise = a fonksionunun = doğrusuna göre ansımasıdır. =a, a> = =log a, a> The logarithmic reflection of the grap Figure shows have base a.) T is reflected in the fa Figure 2 shows log a, the grap The following pr properties of epone Laws of Logarithms Şekil a > için bir örnektir. FIGURE (En önemli logaritma fonksionlarının tabanı. log a log için a > dir.) =log 2. log a lo MAT 9 Kalkülüs I 68 / 8

69 FIGURE Üstel Fonksionlar ve Logaritma Fonksionları =log =log =log =log Laws of Logarithms If and a Logaritma Fonksionları. log a log a log a log a log a log a 2. > için = a fonksionu çok hızlı artan bir 3. fonksion log a r olduğundan, r log a (w > değerleri için = log a () fonksionu çok 6 Use avaş the artan laws bir of logar EXAMPLE fonksiondur. SOLUTION Using Law 2, we have log 2 8 lo Şekilde FIGURE a saısının 2 farklı değerleri için log a () fonksionlarının grafikleri verilmektedir. because log a () = olduğundan tüm logaritma fonksionlarının grafikleri (, ) noktasından geçerler. Natural Logarithms MAT 9 Kalkülüs I 69 / 8

70 Üstel Fonksionlar ve Logaritma Fonksionları Logaritma Fonksionları Logaritma Kuralları, > ve r R olmak üzere aşağıdakiler geçerlidir. log a () = log a () + log a (). ( ) 2 log a = log a () log a (). 3 log a ( r ) = r log a (). MAT 9 Kalkülüs I 7 / 8

71 Üstel Fonksionlar ve Logaritma Fonksionları Logaritma Fonksionları Örnek 4 Logaritma kuralları ile log 2 8 log 2 5 ifadesinin değerini bulunuz. Çözüm. 2. Kuralı kullanarak log 2 8 log 2 5 = log 2 ( 8 5 elde ederiz, çünkü 2 4 = 6 dir. ) = log 2 6 = 4 MAT 9 Kalkülüs I 7 / 8

72 Üstel Fonksionlar ve Logaritma Fonksionları Doğal Logaritma Doğal Logaritma e tabanına göre logaritmaa doğal logaritma denir ve log e = ln biçiminde özel bir gösterime sahiptir. Doğal logaritma fonksionunu tanımlaan özellikler ln = e = (6) biçimindedir. ln(e ) = R e ln = > (7) MAT 9 Kalkülüs I 72 / 8

73 Üstel Fonksionlar ve Logaritma Fonksionları Doğal Logaritma Özel olarak, = alırsak elde ederiz. ln e = Herhangi bir pozitif a saısı için eşitliği geçerlidir. log a = ln ln a, a >, a MAT 9 Kalkülüs I 73 / 8

74 Üstel Fonksionlar ve Logaritma Fonksionları Doğal Logaritma Örnek 5 ln() = 5 ise saısını bulunuz. Çözüm. Denklem (6) dan ln = 5 iken e 5 = olduğunu görürüz. Bu nedenle = e 5 dir. MAT 9 Kalkülüs I 74 / 8

75 Üstel Fonksionlar ve Logaritma Fonksionları Doğal Logaritma Çözüm 2. ln = 5 denklemi ile başlaıp, her iki tarafı e saısının üstel fonksionu olarak azarsak e ln = e 5 elde ederiz. Burada denklem (7) deki ikinci ok etme kuralı e ln = olduğunu söler. Bu nedenle = e 5 olur. MAT 9 Kalkülüs I 75 / 8

76 Üstel Fonksionlar ve Logaritma Fonksionları Doğal Logaritma Örnek 6 e 5 3 = denklemini çözünüz. Çözüm. Her iki tarafın doğal logaritmasını alıp denklem (7) i kullanırsak: ln(e 5 3 ) = ln 5 3 = ln 3 = 5 ln = (5 ln ) 3 elde edilir. Doğal logaritmanın değerini bilimsel hesap makinesi kullanarak hesaplaıp çözümü dört basamakta aklaşık olarak.899 şeklinde azabiliriz. MAT 9 Kalkülüs I 76 / 8

77 Üstel Fonksionlar ve Logaritma Fonksionları Doğal Logaritma Örnek 7 ln a + ln b toplamını bir saının logaritması olarak ifade ediniz. 2 Çözüm. Logaritma kurallarından ve 3 ü kullanarak ln a + ln b = ln a + ln b/2 2 = ln a + ln b = ln(a b) elde ederiz. MAT 9 Kalkülüs I 77 / 8

78 Üstel Fonksionlar ve Logaritma Fonksionları Doğal Logaritma So the inverse fu Üstel fonksion = e in ve tersi doğal logaritma fonksionunun grafikleri Şekil da gösterilmiştir. = e eğrisi, eksenini eğimle kestiğinden = ln() eğrisi, -eksenini eğimle keser. = = This function giv ticular, the time r FIGURE 3 Şekil : =ln This answer agre tion.5. The graphs of logarithm functio -ais with a slop with a slope of MAT 9 Kalkülüs I 78 / 8

79 Üstel Fonksionlar ve Logaritma Fonksionları Doğal Logaritma In common with all other logarithmic functions with base greater than, the natual Örnek logarithm 8is an increasing function defined on, and the -ais is a vertical smptote. (This means that the values of ln become ver large negative as = ln( 2) fonksionunun grafiğini çiziniz. pproaches.) XAMPLE Çözüm. 2 Sketch the graph of the function ln 2. = ln fonksionunun Şekil da verilen grafiği ile başlaalım. OLUTION We start with the graph of ln as given in Figure 3. Using the ransformations Dönüşümleri of kullanarak Section.3, 2we birim shift sağa it two kadırıp units to the = right ln(to get 2) the fonksionunun graph f grafiğini ln ve2 and birim then aşağı we shift kadırarak it one unit dadownward = ln(to get 2) the graph fonksionunun of grafiğini ln 2 elde ederiz.. (See Figure 4.) =2 =2 =ln(-2) =ln(-2)- 2 (3, ) 2 (3, _) MAT 9 Kalkülüs I 79 / 8

80 Üstel Fonksionlar 2 2 5ve Logaritma 5 Fonksionları Doğal Logaritma,,,, ln Artan bir fonksion olan ln(), > değerleri için çok avaş artar. Bu s gerçeği görmek için = ln() ve = = fonksionlarının grafikleri lnşekilde.49 verilmiştir Başlangıçta iki.55 fonksion da.28 benzer davranış.9.9 gösterirken.4.4 s daha sonra kök fonksionunun logaritmadan daha hızlı büüdüğü görülmektedir. =œ =œ =œ =œ 2 2 =ln =ln =ln =ln IGURE FIGURE 5 5 FIGURE FIGURE 6 6 MAT 9 Kalkülüs I 8 / 8