DOĞRUSAL OLMAYAN VOLTERRA. Doktora Tezi. Matematik Anabilim Dalı

Transkript

1 DOĞRUSAL OLMAYAN VOLTERRA İNTEGRAL DENKLEMİ İLE VERİLEN KONTROL SİSTEMİN YÖRÜNGELER KÜMESİNİN ÖZELLİKLERİ VE YAKLAŞIMI Anar HÜSEYİN Doktora Tezi Matematik Anabilim Dalı Temmuz-2014

2 JÜRİ VE ENSTİTÜ ONAYI Anar Hüseyin in Doğrusal Olmayan Volterra İntegral Denklemi ile Verilen Kontrol Sistemin Yörüngeler Kümesinin Özellikleri ve Yaklaşımı başlıklı Matematik Anabilim Dalındaki, Doktora Tezi tarihinde, aşağıdaki jüri tarafından Anadolu Üniversitesi Lisansüstü Eğitim - Öğretim ve Sınav Yönetmeliğinin ilgili maddeleri uyarınca değerlendirilerek kabul edilmiştir. Adı-Soyadı İmza Üye Tez Danışmanı) : Prof. Dr. KAMAL N. SOLTANOV... Üye : Prof. Dr. ELÇİN YUSUFOĞLU... Üye : Doç. Dr. BARIŞ ERBAŞ... Üye : Doç. Dr. SERKANALİ DÜZCE... Üye : Yard. Doç. Dr. HAKKIULAŞÜNAL... Anadolu Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu nun... tarih ve... sayılı kararıyla onaylanmıştır. Enstitü Müdürü

3 ÖZET Doktora Tezi DOĞRUSAL OLMAYAN VOLTERRA İNTEGRAL DENKLEMİ İLE VERİLEN KONTROL SİSTEMİN YÖRÜNGELER KÜMESİNİN ÖZELLİKLERİ VE YAKLAŞIMI Anar HÜSEYİN Anadolu Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Kamal N. SOLTANOV 2014, 89 Sayfa Tezde davranışı Volterra integral denklemi ile verilen kontrol sistem incelenmektedir. Sistemin faz ve kontrol vektörüne göre doğrusal olmadığı varsayılıyor. Mümkün kontrol fonksiyonları kümesi olarak L, > 1, uzayının merkezi orijinde olan µ yarıçalı kaalı yuvarı seçiliyor. Kontrol sistemin yörüngeler kümesinin özellikleri ve bu kümenin kesitlerinin yaklaşık yaılandırılması roblemi araştırılıyor. Yörüngeler kümesinin sürekli fonksiyonlar uzayının rekomakt alt kümesi olduğu gösterilmiş ve yörüngeler kümesinin µ ve arametrelerine bağlılığının sürekli olduğu kanıtlanmıştır. Mümkün kontrol fonksiyonları kümesi, integral kısıtlı, geometrik kısıtlı ve Lischitz sabitleri aynı sabitle sınırlı yeni komakt kontrol fonksiyonları kümesi ile değiştirilir. Bu kontrol fonksiyonların ürettiği yörüngeler kümesinin komakt küme olduğu gösterilmiştir. Sistemin yörüngeler kümesinin kesitlerinin, karma kısıtlı ve Lischitz sabitleri aynı sabitle sınırlı kontrol fonksiyonlarının ürettiği yörüngeler kümesinin kesitleri ile yaklaşımının mümkün olduğu kanıtlanmıştır. Anahtar Kelimeler: Doğrusal Olmayan Volterra İntegral Denklemi, Kontrol Sistem, İntegral Kısıtlama, Yörüngeler Kümesi, Yaklaşım. i

4 ABSTRACT PhD Dissertation THE PROPERTIES AND APPROXIMATION OF THE SET OF TRAJECTORIES OF THE CONTROL SYSTEM DESCRIBED BY NONLINEAR VOLTERRA INTEGRAL EQUATION Anar HUSEYIN Anadolu University Graduate School of Sciences Mathematics Program Suervisor: Prof. Dr. Kamal N. SOLTANOV 2014, 89 Pages In this dissertation the control system described by a nonlinear Volterra integral equation is studied. It is assumed that the system is nonlinear with resect to the state and control vectors. The closed ball centered at the origin with radius µ in the sace L, > 1, is chosen as the set of admissible control functions set. The roerties of the set of trajectories of the control system and aroximate construction of its sections are investigated. It is shown that the set of trajectories is a recomact subset of the sace of continuous functions and it is roved that the set of trajectories deends on µ and continuously. The set of admissible control functions is relaced by a new comact control functions set which consists of integral constrained, geometric constrained and Lischitz continuous control functions, the Lischitz constant of which is bounded. It is shown that the set of trajectories generated by these control functions is a comact set. It is roved that the sections of the set of trajectories can be aroximated by the sections of the set of trajectories, generated by the mixed constrained and Lischitz continuous control functions, the Lischitz constant of which is bounded. Keywords: Nonlinear Volterra Integral Equation, Control System, Integral Constraint, Set of Trajectories, Aroximation. ii

5 TEŞEKKÜR Bu tezin hazırlanması sürecinde gösterdikleri ilgiden dolayı danışman hocam Prof. Dr. Kamal N. SOLTANOV a ve tez izleme komitesi üyelerine teşekkür ederim. Anar HÜSEYİN iii

6 İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET... i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜR... iii İÇİNDEKİLER...iv SİMGELER DİZİNİ...vi GİRİŞ 1 1 KÜME DİZİLERİ VE STEKLOV FONKSİYONU Küme Dizisinin Alt ve Üst Limiti Steklov Fonksiyonu KONTROL SİSTEMİN YÖRÜNGELER KÜMESİNİN TEMEL ÖZELLİKLERİ Kontrol Sistemin Yörüngeler Kümesi, Temel Tanım ve Koşullar Yörüngelerin Varlığı ve Tekliği Yörüngeler Kümesinin Sınırlılığı Yörüngeler Kümesinin Prekomaktlığı ve Kaalılığı YÖRÜNGELER KÜMESİNİN KESİTLERİNİN SÜREKLİLİĞİ VE SİSTEMİN PARAMETRELERİNE BAĞLILIĞI t X,µ0 t) Dönüşümünün Sürekliliği ve X,µ0 Kümesinin Çaı Yörüngeler Kümesinin µ 0 a Bağlılığı Yörüngeler Kümesinin ye Bağlılığı YÖRÜNGELER KÜMESİNİN YAKLAŞIMI Karmaşık Kısıtlı Kontrol Fonksiyonların Ürettiği Yörüngeler Kümesi Karmaşık Kısıtlı ve Lischitz Sürekli Kontrol Fonksiyonların Ürettiği Yörüngeler Kümesi Komakt Kontrol Fonksiyonlar Kümesi iv

7 4.4 Komakt Yörüngeler Kümesi Yörüngeler Kümesinin Kesitlerine Komakt Kümelerle Yaklaşım TARTIŞMA, SONUÇ VE ÖNERİLER 82 KAYNAKLAR 83 v

8 SİMGELER DİZİNİ R n x br n ) B n x 0,r) B n r) B n d n x,e) h n D,E) : n-boyutlu Euclidean uzay : x R n vektörünün Euclidean normu : R n uzayının boş kümeden farklı, sınırlı alt kümeler ailesi : R n uzayında merkezi x 0 noktası, yarıçaı r olan kaalı yuvar : R n uzayında merkezi orijin, yarıçaı r olan kaalı yuvar : R n uzayında kaalı birim yuvar : R n uzayında x noktasından E kümesine olan uzaklık : R n uzayında D ve E kümeleri arasındaki Hausdorff uzaklık L [t0,θ];r m) : L normu sonlu olan ölçülebilir x ) : [,θ] R m fonksiyonlar uzayı u ) : u ) L [t0,θ];r m) fonksiyonunun normu C [,θ];r n) : sürekli x ) : [,θ] R n fonksiyonlar uzayı x ) C : x ) C [,θ];r n) fonksiyonunun normu u h ) : h 0,1) için u ) fonksiyonunun Steklov fonksiyonu X,µ0 : sistemin yörüngeler kümesi X,µ0 t) : X,µ0 yörüngeler kümesinin t anındaki kesiti U,µ0 : mümkün kontrol fonksiyonları kümesi B C 1) : C[,θ];R n ) uzayının kaalı birim yuvarı h C U,V) : C[,θ];R n ) uzayındaki U ve V kümeleri arasındaki Hausdorff uzaklık ħ 1 G,W) : G L 1 [t0,θ];r m) ve W L 2 [t0,θ];r m) kümeleri arasındaki Hausdorff uzaklık B Lr µ 0 ) : L r [,θ];r m ) uzayında merkezi orijin ve yarıçaı µ 0 olan kaalı yuvar U,µ H 0 X H X H t) : integral ve geometrik kısıtlı kontrol fonksiyonlar kümesi : sistemin U,µ H 0 kontrol fonksiyonları tarafından üretilen yörüngeler kümesi : X H yörüngeler kümesinin t anındaki kesiti vi

9 U H,li X H,li X H,li t) U H,li,R X H,li,R : integral ve geometrik kısıtlı olan Lischitz sürekli kontrol fonksiyonlar kümesi : sistemin U H,li yörüngeler kümesi kontrol fonksiyonları tarafından üretilen : X H,li yörüngeler kümesinin t anındaki kesiti : integral ve geometrik kısıtlı olan ve Lischitz sabiti R den büyük olmayan Lischitz sürekli kontrol fonksiyonları kümesi : sistemin U H,li,R yörüngeler kümesi kontrol fonksiyonları tarafından üretilen X H,li,R t) : X H,li,R yörüngeler kümesinin t anındaki kesiti vii

10 GİRİŞ Tez konusunun güncelliği. Genelde, doğada meydana gelen olay ve süreçlerin matematiksel modelleri çeşitli denklemlerle ifade edilmektedir. İntegral denklemler fizikte, mekanikte, biyolojide, ekonomide ortaya çıkmaktadır. Doğrusal olmayan integral denklemler çağdaş matematikte birçok sürecin global davranışı incelenirken kendisini göstermektedir. Bundan dolayı doğrusal olmayan integral denklemlerin incelenmesi teori ve uygulamada çok önemlidir. Matematiğin yoğun araştırma konularından biri olan integral denklemler teorisi fonksiyonel analizin bazı konuları üzerine yaılmış araştırmalar sonucu ortaya çıkmıştır. Bilindiği gibi, adi diferansiyel denklem için başlangıç değer robleminin çözümü, aynı zamanda belli bir Volterra integral denkleminin çözümü, adi diferansiyel denklem için sınır değer robleminin çözümü ise uygun Urysohn denkleminin çözümü olarak ele alınabilir. Doğrusal olmayan integral denklemler ilk olarak [1] - [3] te ele alınmıştır ve [4], [5] te doğrusal olmayan integral denklemler analitik yöntemlerle incelenmiştir. Doğrusal olmayan integral denklemlerin çözümlerinin varlığının ve tekliğinin kanıtlanmasında, doğrusal olmayan dönüşümlerin sabit noktalarının varlığı ve tekliği önemli yer tutmaktadır. Doğal olarak, bu denklemlerin çözümlerinin varlığı ve tekliğinin kanıtında Schauder ve Banach sabit nokta teoremleri kullanılmaktadır bkz., [6] - [9]). Ayrıca, doğrusal olmayan integral denklemlerin çözümlerinin varlığı ve tekliğinin kanıtında farklı toolojik ve varyasyon yöntemleri de kullanılmaktadır bkz., [10] - [16]). Doğrusal olmayan integral denklemlerin çözümlerinin varlığı, tekliği, nümerik yöntemlerle hesalanması ve diğer özellikleri [17] - [44] te ele alınmıştır. Doğada meydana gelen bazı olaylarda çoğu zaman dışarıdan müdahale de söz konusudur. Eğer bu müdahale bizim kontrolümüz altında ise, yani başka deyişle müdahaleyi biz yaıyorsak bu olaya kontrolü olan olay denir. Eğer yaılan müdahale bizim yetkimiz dışında ise, başka deyişle müdahaleyi başka birileri yaıyorsa, o halde olaya belirsizlik içeren olay denir. Biz ele aldığımız olaylarda müdahale yetkisinin bizim elimizde olduğunu, yani olayın kontrolü olan bir olay olduğunu varsayacağız. Tezde, davranışı doğrusal olmayan integral denklem ile ifade edilen kontrol sistemler incelenmektedir. Davranışı doğrusal olmayan integral denklem ile ifade edilen kontrol sistemler fizikte, mekanikte ve bilimin başka dallarında görülmektedir. Kontrol sistemler bazı özelliklerine göre sınıflandırılabilir. Eğer sistemin dav- 1

11 ranışını ifade eden denklem doğrusal ise, sisteme doğrusal kontrol sistem denir. Eğer kontrol sistemin davranışını ifade eden denklem doğrusal olmayan denklem ise, sisteme doğrusal olmayan kontrol sistem denir. Kontrol sistemlerin başka bir sınıflandırılması ise kontrol fonksiyonları üzerine konulan kısıtlamaya göre yaılmaktadır. Eğer kontrol fonksiyonu üzerine konulan kısıtlama geometrik kısıtlama ise, o halde kontrol sisteme geometrik kısıtlaması olan kontrol sistem denir. Eğer kontrol fonksiyonları üzerine konulan kısıtlama integral kısıtlama ise, o halde kontrol sisteme integral kısıtlaması olan kontrol sistem denir. Eğer kontrol fonksiyonları üzerine aynı zamanda geometrik ve integral kısıtlama konulmuşsa, o halde kontrol sisteme karmaşık kısıtlaması olan kontrol sistem denir. Kontrol sistemlerin en önemli yaılarından biri, sistemin tüm mümkün kontrol fonksiyonları tarafından üretilen yörüngeler kümesidir. Kontrol sistemin yörüngeler kümesinin özelliklerini önceden bilmek ve bu kümeyi yaklaşık hesalamak sistem hakkında önbilgiler elde etmeye imkan sağlıyor. Davranışı adi diferansiyel denklemle verilen kontrol sistemler literatürde geniş bir biçimde incelenmiştir bkz., [9], [45] - [69]). Kontrol sistemler teorisinin en önemli sonuçlarından biri L.S.Pontryagin in maksimum rensibidir. Bu rensi, verilen değer fonksiyoneline maksimum değerini veren otimal sürecin sağlayacağı bir gerek koşuldur bkz., [70]). Davranışı adi diferansiyel denklem ile verilen kontrol sistemlerin tüm yörüngelerinin grafiklerinin oluşturduğu kümeye sistemin integral tüneli, integral tünelin zamana göre kesitlerine ise sistemin erişim kümeleri denir. Davranışı adi diferansiyel denklem ile verilen ve kontrol fonksiyonları geometrik kısıtlı olan kontrol sistemlerin integral tünelinin ve erişim kümelerinin farklı toolojik özellikleri ve sistemin arametrelerine bağlılığı [45] - [51] de incelenmiştir. [52] - [54] te ise davranışı adi diferansiyel denklem ile verilen ve kontrol fonksiyonları geometrik kısıtlı olan kontrol sistemlerin integral tünelinin ve erişim kümelerinin yaklaşık hesalanması için hesalama yöntemleri verilmektedir. Ayrıca, davranışı adi diferansiyel denklem ile verilen ve kontrol fonksiyonları geometrik kısıtlı olan kontrol sistemler diferansiyel içermeler teorisi kasamında da incelenmektedir bkz, [45] - [48], [51] - [53]). Kontrol fonksiyonları üzerinde integral kısıtlaması, genelde enerji, yakıt ve finans kaynaklı kontrolü olan sistemlerde ortaya çıkmaktadır. Örneğin, kütlesi değişken olan uçan araçların hareketinin matematiksel modeli kullanılan yakıt tükenirken, aracın kütlesi değişir), kontrol fonksiyonları integral kısıtlı olan kontrol 2

12 sistem olarak verilmektedir bkz., [55] - [57], [71], [72] ). Davranışı adi diferansiyel denklem ile verilen ve kontrol fonksiyonları integral kısıtlı olan kontrol sistemlerin integral tünelinin ve erişim kümelerinin toolojik özellikleri ve sistemin arametrelerine bağımlılığı [61] - [69], [73] de, erişim kümelerinin yaklaşık yaılandırılması için hesalama yöntemleri ve algoritmalar [58] - [60] da verilmiştir. Tezde, davranışı doğrusal olmayan Volterra integral denklemi ile verilen ve kontrol fonksiyonları integral kısıtlı olan kontrol sistemlerin yörüngeler kümesi incelenmektedir. Tezin amacı. Tezin amacı, davranışı doğrusal olmayan Volterra integral denklemi ile verilen ve kontrol fonksiyonları L [,θ];r m ) uzayının merkezi orijinde, yarıçaı µ 0 kaalı yuvarı olan kontrol sistemlerin yörüngeler kümesinin toolojik özelliklerini ve yörüngeler kümesinin sistemin farklı arametrelerine bağlılığını incelemektir. Bunun yanı sıra, verilen mümkün kontrol fonksiyonlar kümesini daha basit yaısı olan kontrol fonksiyonlar kümesi ile değişerek, sistemin yörüngeler kümesi ile basit yaılı kontrol fonksiyonlara karşılık gelen yörüngeler kümesi arasındaki Hausdorff uzaklığını değerlendirmektir. Araştırma yöntemleri. Tezde ele alınan roblemlerin incelenmesinde fonksiyonel analizin, küme değerli analizin, reel analizin, diferansiyel denklemler teorisinin, integral denklemler teorisinin ve kontrol sistemler teorisinin yaı ve yöntemleri kullanılmaktadır. Bilimsel yenilik. Tez kasamında yaılan araştırmalarda aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir: 1. Mümkün kontrol fonksiyonların ürettiği yörüngeler kümesinin önce sürekli fonksiyonlar uzayında sınırlı ve daha sonra rekomakt küme olduğu kanıtlanmıştır. Yörüngeler kümesinin kaalı küme olmayabileceği örneklenmiştir. 2. Yörüngeler kümesinin, kontrol kaynağı kısıtlayan µ 0 arametresine göre Lischitz sürekli, kontrol fonksiyonların seçildiği L uzayının arametresine göre ise sürekli olduğu gösterilmiştir. Yörüngeler kümesinin kesitlerinin oluşturduğu küme değerli dönüşümün sürekli olduğu isatlanmış ve yörüngeler kümesinin çaı için bir üst değerlendirme elde edilmiştir. 3. Mümkün kontrol fonksiyonları kümesi küçültülerek integral kısıtın yanı sıra, geometrik kısıtlı ve Lischitz sabitleri aynı sayı ile sınırlı olan Lischitz sürekli yeni kontrol fonksiyonlar kümesi tanımlanmıştır. Birkaç adımda, kontrol fonksiyonların geometrik kısıtını ayarlayan sabit ve Lischitz sabitlerini kısıtlayan sayı belli bir 3

13 biçimde seçildiğinde, sistemin yörüngeler kümesi ile tanımlanan yeni kontrol fonksiyonların ürettiği yörüngeler kümesi arasındaki Hausdorff uzaklığın yeteri kadar küçük yaılabileceği kanıtlanmıştır. Tezin teorik ve ratik değeri. Tez de elde edilmiş sonuçlar yenidir ve teorik olarak davranışı doğrusal olmayan Volterra integral denklemi ile verilen ve kontrol etkisi integral kısıtlı olan kontrol sistemler teorisine katkı sağlamaktadır. Yörüngeler kümesinin sistemin çeşitli arametrelerine sürekli bağlantılı olması, ratik uygulamalardaki matematiksel modelleme sürecinde bu arametrelerin ölçümünde oluşabilecek küçük hataların yörüngeler kümesini az etkileyeceğini göstermektedir. Sistemin yörüngeler kümesi ile yeni kontrol fonksiyonları kümesinin, yani integral kısıtla yanı sıra, geometrik kısıtlı olu Lischitz sabitleri aynı sayı ile kısıtlı Lischitz sürekli kontrol fonksiyonların ürettiği yörüngeler kümesi arasındaki Hausdorff uzaklığın yeteri kadar küçük yaılabilir olması, yörüngeler kümesinin yaklaşık yaılandırılmasında kullanılabilir. Tezin yaısı. Tez Giriş kısmından ve 4 bölümden oluşmaktadır. Giriş kısmında tezin karakterizasyonu verilmektedir. 1. bölüm iki alt bölümden oluşmaktadır ve bu anabölümde tezde kullanılan bazı tanım ve teoremler verilmektedir. Alt bölüm 1.1 de küme dizilerinin üst ve alt limitleri tanımlanmış ve özellikleri ifade edilmiştir. Alt bölüm 1.2 de ise ölçülebilir fonksiyonların Steklov ortalaması tanımlanmış ve özellikleri verilmiştir. 2. bölüm dört alt bölümden oluşmaktadır ve bu bölümde sistemin yörüngeler kümesi tanımlanarak, yörüngeler kümesinin temel toolojik özellikleri incelenmektedir. Alt bölüm 2.1 de sistemin sağlayacağı temel koşullar verilmiş ve sistemin mümkün kontrol fonksiyonları kümesi ile, bu kontrol fonksiyonların ürettiği yörüngeler kümesi tanımlanmıştır. Alt bölüm 2.2 de her mümkün kontrol fonksiyonun ürettiği yörüngenin var olduğu ve her mümkün kontrol fonksiyonun yalnız ve yalnız tek yörünge ürettiği kanıtlanmıştır. Alt bölüm 2.3 te yörüngeler kümesinin sürekli fonksiyonlar uzayında sınırlı küme olduğu isatlanmıştır. Alt bölüm 2.4 te ise yörüngeler kümesinin sürekli fonksiyonlar uzayında rekom- 4

14 akt küme olduğu gösterilmiş ve bu kümenin kaalı olmadığı örneklenmiştir. 2. bölümde elde edilmiş sonuçlar [74] te yayınlanmıştır. 3. bölüm üç alt bölümden oluşmaktadır. Bu bölümde yörüngeler kümesinin sistemin arametrelerine bağlantısı araştırılmaktadır. Alt bölüm 3.1 de yörüngeler kümesinin kesitlerinin oluşturduğu küme değerli dönüşümün sürekli olduğu kanıtlanmış ve yörüngeler kümesinin çaı için üst değerlendirme elde edilmiştir. Alt bölüm 3.2 de yörüngeler kümesinin, sisteme verilen kontrol etkinin integral kısıtını gösteren µ 0 arametresine göre Lischitz sürekli olduğu kanıtlanmıştır. Alt bölüm 3.3 te ise yörüngeler kümesinin, kontrol fonksiyonların seçildiği L uzayının arametresine göre sürekli olduğu isatlanmıştır. 3. bölümde elde edilmiş sonuçlar [75] te yayınlanmıştır. 4. bölüm beş alt bölümden oluşmaktadır. Bu bölümde mümkün kontrol fonksiyonları kümesi, sürekli fonksiyonlar uzayında komakt olan yeni kontrol fonksiyonları kümesi ile değiştirilerek, yörüngeler kümesinin bir yaklaşımı elde edilmiştir. Alt bölüm 4.1 de kontrol fonksiyonları integral kısıtı olmakla birlikte, aynı zamanda geometrik kısıtlı da olan yeni kontrol fonksiyonları kümesi tanımlanmıştır. Sistemin yörüngeler kümesi ile yeni, yani integral ve geometrik kısıtlı kontrol fonksiyonların ürettiği yörüngeler kümesi arasındaki Hausdorff uzaklık için değerlendirme elde edilmiştir. Geometrik kısıtı ayarlayan sabit yeterince büyük iken sistemin yörüngeler kümesi ile integral ve geometrik kısıtlı kontrol fonksiyonların ürettiği yörüngeler kümesi arasındaki Hausdorff uzaklığın yeteri kadar küçük yaılabileceği kanıtlanmıştır. Alt bölüm 4.2 de integral ve geometrik kısıtlı kontrol fonksiyonları kümesi daraltılarak integral, geometrik kısıtlı ve Lischitz sürekli kontrol fonksiyonları kümesi ele alınmıştır. İntegral ve geometrik kısıtlı kontrol fonksiyonların ürettiği yörüngeler kümesi ile, integral, geometrik kısıtlı ve Lischitz sürekli kontrol fonksiyonların ürettiği yörüngeler kümesi arasındaki Hausdorff uzaklığın sıfır olduğu gösterilmiştir. Alt bölüm 4.3 te sürekli fonksiyonlar uzayında komakt altküme olan yeni kontrol fonksiyonlar kümesi tanımlanmıştır. Bu küme, integral, geometrik kısıtlı olmak üzere Lischitz sabitleri aynı sayı ile sınırlı olan Lischitz sürekli fonksiyonlardan oluşmaktadır. Alt bölüm 4.4 te integral, geometrik kısıtlı ve Lischitz sabitleri aynı sayı ile 5

15 sınırlı olan Lischitz sürekli kontrol fonksiyonların ürettiği yörüngeler kümesinin sürekli fonksiyonlar uzayında komakt alt küme olduğu isatlanmıştır. Bu bölümde, integral, geometrik kısıtlı ve Lischitz sürekli kontrol fonksiyonların ürettiği yörüngeler kümesinin kesitleri ile integral, geometrik kısıtlı ve Lischitz sabitleri aynı sayı ile sınırlı olan Lischitz sürekli kontrol fonksiyonların ürettiği yörüngeler kümesinin kesitleri arasındaki Hausdorff uzaklığın yeteri kadar küçük yaılabileceği kanıtlanmıştır. Alt bölüm 4.5 te daha önce alt bölüm 4.1, alt bölüm 4.2 ve alt bölüm 4.4 te elde edilmiş sonuçlar değerlendirilmiştir. Kontrol fonksiyonları integral, geometrik kısıtlı ve Lischitz sabitleri aynı sayı ile sınırlı olan Lischitz sürekli kontrol fonksiyonları kümesinin ürettiği yörüngeler kümesi için geometrik kısıtı ayarlayan sabit, Lischitz sürekli fonksiyonların Lischitz sabitlerini kısıtlayan sayı uygun biçimde seçildiğinde, sistemin yörüngeler kümesinin kesitleri ile her biri komakt küme olan integral, geometrik kısıtlı ve Lischitz sabitleri aynı sayı ile sınırlı olan Lischitz sürekli kontrol fonksiyonların ürettiği yörüngeler kümesinin kesitleri arasındaki Hausdorff uzaklığın yeteri kadar küçük yaılabileceği isatlanmıştır. 4. bölümde elde edilmiş sonuçlar [76] da yayınlanmıştır. 6

16 1 KÜME DİZİLERİ VE STEKLOV FONKSİYONU 1.1 Küme Dizisinin Alt Ve Üst Limiti Bu bölümde, küme değerli analizde bilinen ve tezde kullanacağımız bazı temel tanım ve yaıları tanıtacağız. n boyutlu Euclidean uzayı R n olarak göstereceğiz. x = x 1,x 2,...,x n ) R n için x ile verilen x vektörünün Euclidean normu gösterilir ve olarak tanımlanır. x R n, α 0 için olarak gösterelim. x = n i=1 x 2 i )1 2 B n x,α) = {x R n : x x α}, B n α) = {x R n : x α}, B n = {x R n : x 1} Böylece, B n x,α) merkezi x noktasında, yarıçaı α olan kaalı yuvarı, B n α) merkezi orijinde, yarıçaı α olan kaalı yuvarı, B n ise kaalı birim yuvarı göstermektedir. Verilen D R n, E R n kümeleri arasındaki Hausdorff uzaklık h n D,E) olarak gösterilir ve h n D,E) = max{su x D olarak tanımlanır bkz., [77] - [79]). d n x,e),sud n y,d)} y E Burada d n x,e), x R n noktası ile E R n kümesi arasındaki uzaklığı gösteriyor ve olarak tanımlıdır. d n x,e) = inf{ x y : y E} Eğer E = {x}, D = {y} ise h n E,D) = x y Hausdorff uzaklığı için aşağıdaki önerme doğrudur. Önerme Keyfi D R n ve E R n kümeleri için h n D,E) = inf{r > 0 : D E +rb n,e D +rb n } 7

17 Benzer olarak, herhangi bir metrik uzayın alt kümeleri arasında Hausdorff uzaklığı tanımlanabilir bkz., [77] - [79]). R n uzayınınboştanfarklı,komaktaltkümeleriailesinicomr n )ilegösterelim. O halde comr n ),h n, ) ) uzayı bir tam metrik uzaydır. bkz., [49], [77], [78]). R n uzayının boştan farklı, sınırlı alt kümeleri ailesini br n ) ile gösterelim. Bu durumda h n, ) fonksiyonu br n ) de bir yarı metrik Öğeleri kümelerden oluşan diziler için üst limit, alt limit ve limit kavramları verelim ve bu limitlerin bazı özelliklerini ifade edelim bkz., [77], [78]). Tanım [77], [78] Her k = 1,2,... için E k R n olsun. {E k } k=1 dizisinin üst limiti ile gösterilir ve olarak tanımlanır. lim sue k k lim sue k = {f R n : liminf d nf,e k ) = 0} k k Tanım [77], [78] Her k = 1,2,... için E k R n olsun. {E k } k=1 dizisinin alt limiti ile gösterilir ve olarak tanımlanır. lim inf k E k lim inf k E k = {f R n : lim k d n f,e k ) = 0} Önerme Her k = 1,2,... için E k R n olsun. O halde, lim inf E k limsu k k E k Şimdi {E k } k=1 dizisinin k iken limitini tanımlayalım. Tanım [77], [78] Her k = 1,2,... için E k R n olsun. Eğer lim sue k = liminf E k = E 0 k k ise {E k } k=1 dizisinin k iken limiti vardır denir ve E 0 = lim k E k olarak gösterilir. 8

18 Küme dizilerinin üst ve alt limitlerini karakterize eden aşağıdaki önermeler de doğrudur. Önerme r > 0, her k = 1,2,... için E k B n r) ve lim sue k = E k olsun. O halde E B n r) boş kümeden farklı, kaalı ve sınırlı kümedir. Ayrıca, her ε > 0 için k > Kε) iken olacak biçimde Kε) > 0 vardır. E k E +εb n Önerme r > 0, her k = 1,2,... için E k B n r) ve lim inf k E k = E olsun. O halde E B n r) kaalı ve sınırlı kümedir. Ayrıca, her ε > 0 için k > Kε) iken olacak biçimde Kε) > 0 vardır. Önerme ve E E k +εb n Önerme in sonucu olan ve kümeler dizisinin limitini karakterize eden aşağıdaki önerme elde edilir. Önerme r > 0, her k = 1,2,... için E k B n r) ve lim k E k = E 0 olsun. O halde E 0 B n r) boş kümeden farklı, kaalı ve sınırlı kümedir. Ayrıca, her ε > 0 için k > Kε) iken olacak biçimde Kε) > 0 sayısı vardır. E k E 0 +εb n, E 0 E k +εb n Önerme den aşağıdaki sonuç elde edilir. Sonuç r > 0, her k = 1,2,... için E k B n r) ve lim k E k = E 0 olsun. O halde lim h ne k,e 0 ) = 0 k 9

19 Şimdi özel bir küme dizisinin limitini karakterize eden bir önerme verelim. Önerme r > 0, her k = 1,2,... için E k B n r), E k E k+1 ve E = E k olsun. O halde, k=1 Kanıt. Önce, olduğunu kanıtlayalım. Önerme gereği Şimdi, olduğunu kanıtlayalım. cle = lim k E k lim sue k = liminf E k 1.1.1) k k lim inf E k limsue k 1.1.2) k k lim sue k liminf E k 1.1.3) k k Keyfi v lim k sue k alalım ve sabitleyelim. O halde tanım gereği, lim inf k d nv,e k ) = 0 Bu durumda {E k } k=1 dizisinin i iken olacak biçimde {E ki } i=1 alt küme dizisi vardır. lim d nv,e ki ) = ) i Her k = 1,2,... için α k = d n v,e k ) olsun. Keyfi k = 1,2,... için E k E k+1 olduğundan 0 α k+1 α k Yani {α k } k=1 dizisi ozitif terimli azalan dizidir ve bundan dolayı yakınsaktır ) ten i iken α ki 0 O halde k iken α k 0, yani lim k d n v,e k ) = 0 Bu ise v liminf E k k olması demektir. v limsue k keyfi olarak seçildiğinden 1.1.3) ün doğru k olduğu kanıtlanmış 1.1.2) ve 1.1.3) kasamalarından 1.1.1) eşitliğinin doğru olduğu elde edilir. edilir. Ayrıca, 1.1.1) eşitliğinden, {E k } k=1 küme dizisinin limitinin var olduğu elde 10

20 Şimdi cle liminf k E k 1.1.5) olduğunu gösterelim. Önce E liminf k E k 1.1.6) olduğunu görelim. Keyfi v E alalım ve sabitleyelim. O halde v E k k=1 olduğundan v E k olacak şekilde k > 0 vardır. Her k = 1,2,... için E k E k+1 olduğundan her k k için v E k ve dolayısıyla keyfi k k için d n v,e k ) = 0 Bu durumda lim d nv,e k ) = 0 k dır ve tanım gereği v liminf E k v E keyfi seçildiğinden, 1.1.6) kasamasının doğru olduğu elde edilir. lim inf E k kümesi kaalı olduğundan, 1.1.6) k k dan, 1.1.5) kasamasının doğru olduğu elde edilir. Son olarak olduğunu kanıtlayalım. lim inf k E k cle 1.1.7) Herhangi bir v liminf k E k alalım ve sabitleyelim. O halde tanım gereği olduğu elde edilir. lim d nv,e k ) = ) k Keyfi ε > 0 alalım ve sabitleyelim. O halde 1.1.8) den her k k için d n v,e k ) < ε olacak biçimde k > 0 vardır. d n v,e k ) < ε olduğundan v E k +εb n Bu durumda, f E k ve b B n olmak üzere v = f +εb 1.1.9) olarakbulunur. f E k olduğundanf E k Ayrıcab B n olduğundan, 1.1.9) dan v E k +εb n ) k=1 k=1 11

21 ) ε > 0 keyfi sabitlenmiş olduğundan ) dan v cl E k yani v k=1 cle ) olduğu elde edilir. v liminf E k keyfi seçildiğinden 1.1.7) kasamasının k doğru olduğu elde edilir ) eşitliğinden, 1.1.5) ve 1.1.7) kasamalarından ise önermenin doğru olduğu kanıtlanır. Önerme dan aşağıdaki sonuç elde edilir. Sonuç r > 0, her k = 1,2,... için E k B n r), E k E k+1 ve E = olsun. O halde, her ε > 0 için k > kε) iken h n E,E k ) < ε olacak biçimde kε) > 0 sayısı vardır. E k k=1 Kanıt. Önerme gereği cle = lim k E k O halde Sonuç dan lim h ncle,e k ) = ) k olarak bulunur. ve h n E,E k ) h n cle,e )+h n cle,e k ) h n cle,e ) = 0 olduğundan, ) den ) den sonuç kanıtlanır. lim h ne,e k ) = ) k 1.2 Steklov Fonksiyonu [1,+ ) için L [,θ];r m ) uzayı u ) < olacak biçimde ölçülebilir u ) : [,θ] R m fonksiyonlar uzayıdır. Burada θ u ) = ut) dt 1 12

22 olarak tanımlıdır. C[,θ];R m ) ile sürekli x ) : [,θ] R m fonksiyonlar uzayını gösterelim. x ) C[,θ];R m ) fonksiyonunun normu x ) C = max{ xt) : t [,θ] } olarak tanımlanır. C[,θ];R m ) uzayının merkezi orijinde ve yarıçaı ν olan kaalı yuvarını B C ν) olarak gösterelim. O halde B C ν) = {x ) C[,θ];R m ) : x ) C ν} C[,θ];R m ) uzayının kaalı birim yuvarını B C 1) olarak göstereceğiz, yani B C 1) = {x ) C[,θ];R m ) : x ) C 1} P C[,θ];R m ), Q C[,θ];R m ) kümeleri arasındaki Hausdorff uzaklığı olarak tanımlanır. Burada h C P,Q) = max{ su d C x ),Q), su d C y ),P)} x ) P y ) Q d C x ),y )) = x ) y ) C olmak üzere d C x ),Q) = inf{d C x ),y )) : y ) Q} olarak tanımlıdır. Önce, Lebesgue yakınsaklık teoremini ifade edelim. Önerme Lebesgue Yakınsaklık Teoremi) [9], [80] 1, keyfi i = 1,2,... için f i ) L [t0,θ];r m) ve hemen hemen her t [,θ] için lim i f i t) = f t) olsun. Ayrıca g ) L [t0,θ];[0, ) ) olmak üzere, keyfi i = 1,2,... ve hemen hemen her t [,θ] için f i t) gt) olsun. O halde lim f i ) f ) i = 0 13

23 Şimdi de verilen h > 0 sayısı için u ) L [t0,θ];r m) fonksiyonunun Steklov fonksiyonunu tanımlayalım. Tanım [80] > 1, u ) L [,θ];r m ) olsun ve u ) : [ 1,θ+1] R m fonksiyonu, t [ 1,θ+1] için ut), t [,θ] u t) = 0, t [ 1, ) 1.2.1) θ,θ+1] olarak tanımlansın. 0 < h < 1 ve t [,θ] olmak üzere, u ) L [,θ];r m ) fonksiyonunun u h ) : [,θ] R m Steklov fonksiyonu her t [,θ] için olarak tanımlanır. u h t) = 1 2h t+h t h u τ)dτ 1.2.2) Önerme [80] > 1, u ) L [,θ];r m ), u ) µ 0, her t [,θ] için ut) H ve h 0,1) olsun. O halde u h ) u ) µ 0, her t [,θ] için u h t) H ve u h ) fonksiyonu H sabiti ile Lischitz süreklidir. h Önerme [80] > 1, u ) L [t0,θ];r m) ve h 0,1) için u h ) : [,θ] R m fonksiyonu u ) : [,θ] R m fonksiyonunun Steklov fonksiyonu olsun. O halde, lim h 0 + u h ) u ) = 0 14

24 2 KONTROL SİSTEMİN YÖRÜNGELER KÜMESİNİN TEMEL ÖZELLİKLERİ 2.1 Kontrol Sistemin Yörüngeler Kümesi, Temel Tanım ve Koşullar Davranışı xt) = at,xt))+λ Kt,s,xs),us))ds 2.1.1) integral denklemi ile verilen kontrol sistem ele alalım. Burada x R n sistemin durum vektörü, u R m kontrol vektörü, λ 0 gerçel sayı, t [,θ] dır. > 1 ve µ 0 > 0 için } U,µ0 = {u ) L [,θ];r m ) : u ) µ ) olsun ) ile tanımlanan U,µ0 L [,θ];r m ) kümesine mümkün kontrol fonksiyonları kümesi denir. Açıktır ki U,µ0, L [,θ];r m ) uzayının merkezi orijinde olan µ 0 yarıçalı kaalı yuvarıdır. Her u ) U,µ0 L [,θ];r m ) kontrol fonksiyonuna 2.1.1) sisteminin mümkün kontrol fonksiyonu denir ) sisteminde verilen λ [0, ) arametresinin, a ) : [,θ] R n R n ve K ) : [,θ] [,θ] R n R m R n fonksiyonlarının aşağıdaki koşulları sağladığını varsayacağız: 2.1.A. a ) : [,θ] R n R n ve K ) : [,θ] [,θ] R n R m R n fonksiyonları süreklidir; 2.1.B. Keyfi t 1,s,x 1,u 1 ) [,θ] [,θ] R n R m, t 2,s,x 2,u 2 ) [,θ] [,θ] R n R m için at,x 1 ) at,x 2 ) L 0 x 1 x 2, Kt 1,s,x 1,u 1 ) Kt 2,s,x 2,u 2 ) [L 1 +H 1 u 1 + u 2 )] t 1 t 2 + [L 2 +H 2 u 1 + u 2 )] x 1 x 2 + [L 3 +H 3 x 1 + x 2 )] u 1 u 2 olacak biçimde L 0 [0,1), L 1 0, H 1 0, L 2 0, H 2 0, L 3 0 ve H 3 0 sabitleri vardır; 2.1.C. λ sayısı ) 0 λ L 2 θ )+2H 2 θ ) 1 µ0 < 15

25 eşitsizliğini sağlıyor ) sisteminin u ) U,µ0 mümkün kontrol fonksiyonu tarafından üretilen yörüngesini tanımlayalım. Tanım u ) U,µ0 olsun. Her t [,θ] için x t) = at,x t))+λ Kt,s,x s),u s))ds integral denklemini sağlayan sürekli x ) : [,θ] R n fonksiyonuna, 2.1.1) sisteminin u ) U,µ0 mümkün kontrol fonksiyonu tarafından üretilen yörüngesi denir. x ;u ))ile2.1.1)sistemininu ) U,µ0 kontrolfonksiyonutarafındanüretilen yörüngesini gösterelim. X,µ0 ile 2.1.1) sisteminin tüm mümkün u ) U,µ0 kontrol fonksiyonu tarafından üretilen yörüngeler kümesi gösterilir, yani X,µ0 = {x ;u )) : u ) U,µ0 } ) 2.1.3) ile tanımlı X,µ0 kümesine 2.1.1) sisteminin yörüngeler kümesi denir. Açıktır ki, X,µ0 C[,θ];R n ). Burada C[,θ];R n ), sürekli x ) : [,θ] R n fonksiyonlar uzayıdır ve x ) C[,θ];R n ) için x ) C = max{ xt) : t [,θ]}. olarak tanımlıdır. Ayrıca her sabitlenmiş t [,θ] için X,µ0 t) = {xt) R n : x ) X,µ0 } 2.1.4) olarak gösterelim. Açıktır ki X,µ0 t) kümesi, X,µ0 kümesinde bulunan yörüngelerin t de aldığı değerlerden oluşur. Koşul 2.1.B gereği, L 0 [0,1) olmak üzere her sabitlenmiş t [,θ] ve keyfi x 1 R n, x 2 R n için at,x 1 ) at,x 2 ) L 0 x 1 x 2 O halde Banach sabit nokta teoreminden, her sabitlenmiş t [,θ] için at, ) : R n R n fonksiyonunun tek sabit noktası var. Yani her sabitlenmiş t [,θ] için s t = at,s t ) 2.1.5) 16

26 olacak biçimde tek s t R n vardır. Bu durumda 2.1.1) ve 2.1.5) ten keyfi x ) X,µ0 için x ) = a,x )) = s t0 olduğu elde edilir. Böylece aşağıdaki önerme kanıtlanmış Önerme X,µ0 ) = {s t0 } eşitliği doğrudur. Burada s t0 R n 2.1.5) ile tanımlıdır. Eğer K ) : [,θ] [,θ] R n R m R n fonksiyonu Lischitz sürekli ise, bu fonksiyon 2.1.A ve 2.1.B koşullarını sağlar. Şimdi 2.1.1) biçiminde olmak üzere 2.1.A ve 2.1.B koşullarını sağlayan bir sistem örneği verelim. Örnek Davranışı, xt) = 1 2 arctanxt)+λ [t cossxs)us)) + sintsus))] ds, t [0, 2] 2.1.6) 0 integral denklemi ile verilen kontrol sistemi ele alalım. Burada x R ve u R dir. Açıktır ki 2.1.A koşulu sağlanmaktadır. Şimdi 2.1.6) integral denkleminin sağ tarafındaki fonksiyonların 2.1.B koşulunu sağladığını gösterelim. Keyfi x R için darctanx) dx = 1 1+x 2 1 olduğundan x 1 2 arctanx) fonksiyonu 1 2 t,s,x,u) [0,2] [0,2] R R için sabiti ile Lischitz süreklidir. Kt,s,x,u) = tcossxu)+sintsu) 2.1.7) olarak gösterelim. f 1 z) = sinz) ve f 2 z) = cosz) fonksiyonları için f 1z) = cosz) 1, f 2z) = sinz) 1 17

27 olduğundan, bu fonksiyonlar L = 1 sabiti ile Lischitz süreklidir. Buna göre keyfi t 1,s,x 1,u 1 ) [0,2] [0,2] R R ve t 2,s,x 2,u 2 ) [0,2] [0,2] R R için Kt1,s,x 1,u 1 ) Kt 2,s,x 2,u 2 ) = t 1 cossx 1 u 1 )+sint 1 su 1 ) t 2 cossx 2 u 2 ) sint 2 su 2 ) t 1 cossx 1 u 1 ) t 2 cossx 2 u 2 ) + sint 1 su 1 ) sint 2 su 2 ) t 1 cossx 1 u 1 ) t 2 cossx 1 u 1 ) + t 2 cossx 1 u 1 ) t 2 cossx 2 u 2 ) + t 1 su 1 t 2 su 2 = cossx 1 u 1 ) t 1 t 2 +t 2 cossx 1 u 1 ) cossx 2 u 2 ) +s t 1 u 1 t 2 u 2 t 1 t 2 +2 cossx 1 u 1 ) cossx 2 u 2 ) +2 t 1 u 1 t 2 u 2 t 1 t 2 +2 sx 1 u 1 sx 2 u 2 +2 t 1 u 1 t 2 u 2 = t 1 t 2 +2s x 1 u 1 x 2 u 2 +2 t 1 u 1 t 2 u 2 t 1 t 2 +4 x 1 u 1 x 2 u 2 +2 t 1 u 1 t 2 u 2 = t 1 t 2 +4 x 1 u 1 x 1 u 2 +x 1 u 2 x 2 u 2 +2 t 1 u 1 t 1 u 2 +t 1 u 2 t 2 u 2 t 1 t 2 +4 x 1 u 1 x 1 u 2 +4 x 1 u 2 x 2 u 2 +2 t 1 u 1 t 1 u 2 +2 t 1 u 2 t 2 u 2 = t 1 t 2 +4 x 1 u 1 u 2 +4 u 2 x 1 x 2 +2t 1 u 1 u 2 +2 u 2 t 1 t 2 t 1 t 2 +4 x 1 u 1 u 2 +4 u 2 x 1 x 2 +4 u 1 u 2 +2 u 2 t 1 t 2 = 1+2 u 2 ) t 1 t 2 +4 u 2 x 1 x x 1 ) u 1 u 2 olduğueldeedilir. Böylecekeyfi t 1,s,x 1,u 1 ) [0,2] [0,2] R R ve t 2,s,x 2,u 2 ) [0,2] [0,2] R R için Kt1,s,x 1,u 1 ) Kt 2,s,x 2,u 2 ) 1+2 u2 ) t 1 t 2 +4 u 2 x 1 x x 1 ) u 1 u 2 Bu ise 2.1.7) ile tanımlı K ) : [0,2] [0,2] R R R fonksiyonunun 2.1.B koşulunu sağlaması demektir. Dolayısıyla 2.1.6) denkleminin sağ tarafındaki fonksiyonlar için 2.1.B koşulu da sağlanmaktadır. 2.2 Yörüngelerin Varlığı ve Tekliği 2.1.A, 2.1.B ve 2.1.C koşulları sağlandığında her u ) U,µ0 için 2.1.1) sisteminin yörüngesinin var olduğunu ve bu yörüngenin tek olduğunu kanıtlayalım. 18

28 ] Lλ; ) = L 0 +λ [L 2 θ )+2H 2 θ ) 1 µ ) olarak gösterelim. Bu durumda 2.1.C koşulu gereği Lλ; ) < 1 Teorem a ) : [,θ] R n R n ve K ) : [,θ] [,θ] R n R m R n fonksiyonları ve λ [0, ) arametresi 2.1.A, 2.1.B ve 2.1.C koşullarını sağlasın. O halde her u ) U,µ0 için 2.1.1) sisteminin x ;u )) yörüngesi vardır ve bu yörünge tektir. Kanıt. Her x ) C[,θ];R n ) için F x )) t) = at,xt))+λ Kt,s,xs),u s))ds, t [,θ] 2.2.2) olmak üzere x ) F x )) dönüşümü tanımlayalım. u ) U,µ0, x ) C[,θ];R n ) olduğundan, 2.1.A ve 2.1.B koşulları gereği t Fx )) t), t [,θ], fonksiyonu sürekli Böylece 2.2.2) ile tanımlı x ) Fx )) dönüşümü F ) : C[,θ];R n ) C[,θ];R n ) biçiminde dönüşümdür ) ile tanımlı F ) : C[,θ];R n ) C[,θ];R n ) dönüşümünün büzülen dönüşüm olduğunu kanıtlayalım. Keyfi x 1 ) C[,θ];R n ) ve x 2 ) C[,θ];R n ) alalım ve sabitleyelim. O halde keyfi t [,θ] için + λ olduğu elde edilir. F x2 )) t) F x 1 )) t) = at,x2 t))+λ Kt,s,x 2 s),u s))ds at,x 1 t)) λ Kt,s,x 1 s),u s))ds at,x 2 t)) at,x 1 t)) Kt,s,x 2 s),u s)) Kt,s,x 1 s),u s)) ds 2.2.3) 2.1.B koşulundan ve 2.2.3) ten, keyfi t [,θ] için F x 2 )) t) F x 1 )) t) L 0 x 2 t) x 1 t) + λ L 2 +2H 2 u s) ) x 2 s) x 1 s) ds 2.2.4) 19

29 olarak bulunur. Keyfi t [,θ] için x 2 t) x 1 t) x 2 ) x 1 ) C olduğundan, 2.2.4) ten, keyfi t [,θ] için F x2 )) t) F x 1 )) t) L0 x 2 ) x 1 ) C + λ L 2 +2H 2 u s) ) x 2 ) x 1 ) C ds ) L 0 +λl 2 θ )+2λH 2 u s) ds x 2 ) x 1 ) C 2.2.5) u ) U,µ0 olduğundan, Hölder eşitsizliği gereği u s) ds t ) 1 u s) ds O zaman 2.2.1) ve 2.2.5) ten, keyfi t [,θ] için olduğu elde edilir. )1 θ t0 ) 1 µ0 F x2 )) t) F x 1 )) t) ) L 0 +λl 2 θ )+2λH 2 θ ) 1 µ0 x 2 ) x 1 ) C = Lλ; ) x 2 ) x 1 ) C 2.2.6) Son olarak 2.2.6) dan olarak bulunur. F x2 )) ) F x 1 )) ) C Lλ; ) x 2 ) x 1 ) C 2.2.7) 2.1.C koşulundan, Lλ; ) < 1 O halde 2.2.7) gereği, 2.2.2) ile tanımlı F ) : C[,θ];R n ) C[,θ];R n ) dönüşümü büzülen dönüşümdür. C[,θ];R n ) uzayı tam olduğundan, Banach sabit nokta teoremi gereği F ) dönüşümünün C[,θ];R n ) uzayında sabit noktası vardır ve bu sabit nokta tektir. Yani 2.2.2) ile tanımlı F ) : C[,θ];R n ) C[,θ];R n ) dönüşümü için olacak biçimde tek bir x ) C[,θ];R n ) vardır. Fx )) = x ) 2.2.8) Bu durumda 2.2.2) ve 2.2.8) den F ) dönüşümünün x ) C[,θ];R n ) tek sabit noktası için x t) = at,x t))+λ Kt,s,x s),u s))ds, t [,θ] 20

30 Başka deyişle sürekli x ) : [,θ] R n fonksiyonu 2.1.1) sisteminin u ) U,µ0 mümkün kontrol fonksiyonu tarafından üretilen tek yörüngesidir. 2.3 Yörüngeler Kümesinin Sınırlılığı Bubölümde2.1.2)kısıtıolan2.1.1)sistemininyörüngelerkümesinin, yanix,µ0 C[,θ];R n ) kümesinin sınırlı olduğunu kanıtlayacağız. Önce bir yardımcı önerme verelim. Önerme Her u ) U,µ0 ve t [,θ] için uτ) dτ t ) 1 µ 0 θ ) 1 µ 0 Kanıt. u ) U,µ0 için Hölder integral eşitsizliği kullanılırsa, her t [,θ] için uτ) dτ 1 = t ) 1 t ) dτ u ) U,µ0 olduğundan 2.1.2) den uτ) dτ uτ) dτ θ uτ) dτ ) 2.3.1) ve 2.3.2) den θ uτ) dτ ) 1 µ ) olarak elde edilir. uτ) dτ t ) 1 µ0 Daha sonra kullanacağımız bir yardımcı önerme kanıtlayalım. 21

31 a, ) : [,θ] R n R n ve K,,, ) : [,θ] [,θ] R n R m R n fonksiyonları 2.1.A koşulunu sağladığından dolayı, a,0) : [,θ] R n ve K,,0,0) : [,θ] [,θ] R n fonksiyonları süreklidir. O zaman γ 0 = max{ at,0) : t [,θ]}, 2.3.3) γ 1 = max{ Kt,s,0,0) : t,s) [,θ] [,θ]} 2.3.4) olarak tanımlayalım. Açıktır ki, γ 0 0 ve γ 1 0 Önerme a, ) : [,θ] R n R n ve K,,, ) : [,θ] [,θ] R n R m R n fonksiyonları 2.1.A ve 2.1.B koşullarını sağlasın. O halde keyfi t,s,x,u) [,θ] [,θ] R n R m için at,x) L 0 x +γ 0, Kt,s,x,u) [L 2 +H 2 +H 3 ) u ] x +L 3 u +γ 1 Kanıt. Keyfi t,x) [,θ] R n alalım. O halde 2.1.B koşulu gereği at,x) at,0) L 0 x 2.3.5) 2.3.3) ve 2.3.5) ten at,x) L 0 x + at,0) L 0 x +γ ) Şimdi, keyfi t,s,x,u) [,θ] [,θ] R n R m alalım. O halde 2.1.B koşulu gereği Kt,s,x,u) Kt,s,0,0) [L 2 +H 2 u ] x +[L 3 +H 3 x ] u 2.3.7) 2.3.4) ve 2.3.7) den Kt,s,x,u) [L 2 +H 2 +H 3 ) u ] x +L 3 u + Kt,s,0,0) [L 2 +H 2 +H 3 ) u ] x +L 3 u +γ ) olduğu elde edilir ) ve 2.3.8) den önermenin kanıtı elde edilir. 22

32 Aşağıdaki önerme, 2.1.1) sisteminin X,µ0 yörüngeler kümesinin C[,θ];R n ) uzayında sınırlı küme olduğunu göstermektedir. ρ = γ 0 +γ 1 θ )λ+λl 3 θ ) 1 µ 0, 2.3.9) ) Pλ; ) = λ L 2 θ )+H 2 +H 3 )θ ) 1 µ0, ) olarak gösterelim. [ ] Pλ;,µ0 ) r = ρ ex ) Teorem Keyfi x ) X,µ0 için eşitsizliği doğrudur. x ) C r Kanıt. Keyfi x ) X,µ0 alalım. O halde keyfi t [,θ] için xt) = at,xt))+λ Kt,s,xs),us))ds ) olacak biçimde u ) U,µ0 mümkün kontrol fonksiyonu vardır. O halde ) ve Önerme den her t [,θ] için xt) at,xt)) +λ Kt,s,xs),us)) ds t 0 t L 0 xt) +γ 0 +λ [L 2 +H 2 +H 3 ) us) ) xs) +L 3 us) +γ 1 ]ds L 0 xt) +γ 0 +γ 1 θ )λ+λl 3 + us) ds [L 2 +H 2 +H 3 ) us) ] xs) ds ) u ) U,µ0 olduğundan, Önerme den us) θ ) 1 µ ) olduğu elde edilir. O halde ) ve ) ten her t [,θ] için xt) L 0 xt) +γ 0 +γ 1 θ )λ+λl 3 θ ) 1 µ 0 + λ [L 2 +H 2 +H 3 ) us) ] xs) ds 23

33 olarak bulunur. L 0 [0,1) olduğundan, son eşitsizlikten her t [,θ] için xt) γ 0 +γ 1 θ )λ+λl 3 θ ) 1 µ 0 1 L 0 λ t + [L 2 +H 2 +H 3 ) us) ) xs) ds ) olduğu elde edilir ) ve ) ten, her t [,θ] için xt) ρ + λ [L 2 +H 2 +H 3 ) us) ) xs) ds ) Gronwall eşitsizliğinden, Önerme den, ), ) ve ) dan her t [,θ] için [ λ t ] xt) ρ ex L 2 +H 2 +H 3 ) us) )ds t [ 0 λ θ )] ρ ex L 2 θ )+H 2 +H 3 ) us) ds t [ 0 λ ) ] ρ ex L 2 θ )+H 2 +H 3 )θ ) 1 µ0 1 L [ 0 ] Pλ;,µ0 ) = ρ ex = r ) ) den x ) C r olduğu elde edilir. Teorem ten aşağıdaki sonuçlar elde edilir. Teorem ) integral kısıtı olan 2.1.1) sisteminin X,µ0 yörüngeler kümesi düzgün sınırlıdır. Teorem Keyfi t [,θ] için X,µ0 t) B n r ) içermesi doğrudur. Burada X,µ0 t) kümesi 2.1.4) ile, r > 0 sayısı ) ile tanımlıdır, B n r ) = {x R n : x r } dır. 2.4 Yörüngeler Kümesinin Prekomaktlığı ve Kaalılığı Bu bölümde, 2.1.2) integral kısıtı olan 2.1.1) sisteminin X,µ0 yörüngeler kümesinin rekomaktlığı incelenmiş ve kaalı olmayabileceği örneklenmiştir. r sayısı ) ile tanımlanmak üzere D 1 = [,θ] B n r ), 2.4.1) 24

34 ω 0 ) = max { at 2,x) at 1,x) : t 2 t 1, t 1,x) D 1, t 2,x) D 1 }, 2.4.2) ϕ ) = 1 { ] ω 0 )+λ [L 1 θ )+2H 1 θ ) 1 µ 0 +λl 2 r +γ 1 ) +λµ 0 [H 2 +H 3 )r +L 3 ] 1 } 2.4.3) olsun. 2.1.A koşulu gereği a ) fonksiyonu süreklidir. O halde 0 + iken ω 0 ) 0 +, ϕ ) 0 + Teorem Keyfi x ) X,µ0 ve keyfi t 1 [,θ], t 2 [,θ] için xt 2 ) xt 1 ) ϕ t 2 t 1 ) eşitsizliği doğrudur. Kanıt. Keyfi x ) X,µ0 alalım. Bu durumda, xt) = at,xt))+λ Kt,s,xs),us)) ds, t [,θ] olacak şekilde u ) U,µ0 vardır. Keyfi t 1 [,θ], t 2 [,θ] alalım ve genelliği bozmaksızın t 1 t 2 olduğunu kabul edelim. O halde, xt 2 ) xt 1 ) at 2,xt 2 )) at 1,xt 1 )) λ Kt 2,s,xs),us)) ds λ Kt 1,s,xs),us)) ds at 2,xt 2 )) at 1,xt 2 )) + at 1,xt 2 )) at 1,xt 1 )) λ Kt 2,s,xs),us)) ds Kt 1,s,xs),us)) ds 2 + λ Kt 2,s,xs),us)) ds t 1 25

35 at 2,xt 2 )) at 1,xt 2 )) + at 1,xt 2 )) at 1,xt 1 )) 1 + λ 2 + λ Kt 2,s,xs),us)) Kt 1,s,xs),us)) ds t 1 Kt 2,s,xs),us)) ds 2.4.4) 2.1.B koşulunu ve Önerme i kullanırsak 1 Kt2,s,xs),us)) Kt 1,s,xs),us)) ds olduğu bulunur. 1 Önerme gereği L 1 +2H 1 us) )t 2 t 1 )ds = L 1 t 1 )t 2 t 1 )+2H 1 t 2 t 1 ) 1 us) ds L 1 θ )t 2 t 1 )+2H 1 t 2 t 1 )θ ) 1 µ 0 = [L 1 θ )+2H 1 θ ) 1 µ 0 ]t 2 t 1 ) 2.4.5) 2 t 1 Kt 2,s,xs),us)) ds 2 t 1 [L 2 +H 2 +H 3 ) us) ) xs) +L 3 us) +γ 1 ]ds 2.4.6) x ) X,µ0 olduğundan, Teorem ten keyfi t [,θ] için xt) r Burada r sayısı ) ile tanımlıdır. O halde 2.4.6) dan ve Önerme den 2 t 1 Kt 2,s,xs),us)) ds 2 t 1 [L 2 +H 2 +H 3 ) us) ) xs) +L 3 us) +γ 1 ]ds 26

36 2 olduğu elde edilir. t 1 [L 2 +H 2 +H 3 ) us) )r +L 3 us) +γ 1 ]ds = L 2 r +γ 1 )t 2 t 1 )+ 2 t 1 [H 2 +H 3 )r +L 3 ] us) ds 2 = L 2 r +γ 1 )t 2 t 1 )+[H 2 +H 3 )r +L 3 ] us) ds t 1 L 2 r +γ 1 )t 2 t 1 )+µ 0 [H 2 +H 3 )r +L 3 ]t 2 t 1 ) ) 2.1.B koşulundan at 1,xt 2 )) at 1,xt 1 )) L 0 xt 2 ) xt 1 ) 2.4.8) Keyfi t [,θ] için xt) r olduğundan, 2.4.1) den her t [,θ] için t,xt)) D 1 O halde 2.4.2) den at 2,xt 2 )) at 1,xt 2 )) ω 0 t 2 t 1 ) 2.4.9) 2.4.4), 2.4.5), 2.4.7), 2.4.8) ve 2.4.9) dan olarak bulunur. xt 2 ) xt 1 ) L 0 xt 2 ) xt 1 ) +ω 0 t 2 t 1 ) + λ [L 1 θ )+2H 1 θ ) 1 µ 0 ]t 2 t 1 ) + λl 2 r +γ 1 )t 2 t 1 )+λµ 0 [H 2 +H 3 )r +L 3 ]t 2 t 1 ) ) L 0 [0,1) olduğundan, 2.4.3) ve ) dan 1 { xt 2 ) xt 1 ) ω 0 t 2 t 1 ) ] + λ [L 1 θ )+2H 1 θ ) 1 t 2 t 1 ) + λl 2 r +γ 1 )t 2 t 1 )+λµ 0 [H 2 +H 3 )r +L 3 ]t 2 t 1 ) 1 = ϕ t 2 t 1 ). } 27

37 Teorem ) kısıtı olan 2.1.1) sisteminin X,µ0 yörüngeler kümesi eşsüreklidir. Kanıt. Keyfi ε > 0 ve x ) X,µ0 alalım ) ile tanımlı ϕ ) : [0, ) [0, ) fonksiyonu için 0 + iken ϕ ) 0 + olduğundan ε > 0 için < δε) iken ϕ ) < ε olacak biçimde δε) > 0 vardır. Şimdi t 2 t 1 < δε) olacak biçimde keyfi t 1 [,θ], t 2 [,θ] alalım. O halde ϕ t 2 t 1 ) < ε ) Bu durumda Teorem ve ) den xt 2 ) xt 1 ) ϕ t 2 t 1 ) < ε olduğu elde edilir. Böylece verilen keyfi ε > 0 için t 2 t 1 < δε) iken xt 2 ) xt 1 ) < ε olacak biçimde δε) > 0 vardır. x ) X,µ0 keyfi olarak seçildiğinden, X,µ0 yörüngeler kümesi eş sürekli Teorem ve Teorem den aşağıdaki sonuç elde edilir. Teorem ) kısıtı olan 2.1.1) sisteminin X,µ0 yörüngeler kümesi C [,θ];r n) uzayında rekomakt kümedir. Kanıt. X,µ0 kümesi, düzgün sınırlı ve eşsürekli fonksiyonlar kümesi olduğundan, Arzela-Ascoli teoreminden X,µ0 kümesi C [,θ];r n) uzayında rekomakt küme Kontrol fonksiyonları üzerinde 2.1.2) integral kısıtı olan 2.1.1) sisteminin yörüngeler kümesi X,µ0 kaalı küme olmayabilir. Bu durumu doğrulayan bir örnek verelim. Kullanacağımız örnek, daha önce davranışı doğrusal olmayan diferansiyel denklem ile verilen ve kontrol fonksiyonları integral kısıtlı olan sistemlerin erişim kümelerinin kaalı olmayabileceği gösterilirken kullanılmıştır bkz., [49], [63]). Örnek Davranışı xt) = yt) = 0 0 [ y 2 s)+u 2 s) ] ds, us)ds ) 28

38 integral denklemler sistemi ile verilen kontrol sistemi ele alalım. Burada x, y) R 2 sistemin durum vektörü, u R kontrol vektörü, t [0,1] dir. u ) kontrol fonksiyonu 2.1.2) de = 2 ve µ 0 = 1 olmak üzere 1 0 u 2 t)dt ) integral kısıtını sağlamaktadır. Mümkün kontrol fonksiyonları kümesini Ũ 2,1 ile gösterelim. O halde, Ũ 2,1 = {u ) L 2 [0,1];R) : u ) 2 1} ve ) sisteminin mümkün yörüngeler kümesi X 2,1 = { x ;u ) ),y ;u ) )) } : u ) Ũ2,1 İlk önce X 2,1 yörüngeler kümesinin sınırlı olduğunu kanıtlayalım. Keyfi x ),y )) X 2,1 alalım ve sabitleyelim. Bu durumda [ xt) = y 2 s)+u 2 s) ] ds, yt) = 0 0 us)ds olacak biçimde u ) Ũ2,1 vardır. Böylece, keyfi t [0,1] için xt) = yt) = 0 0 y 2 s)ds+ 0 u 2 s)ds, ) us) ds ) Bu durumda ), ) ve Hölder eşitsizliğinden, keyfi t [0, 1] için yt) us) ds ds us) 2 ds 1 2 t ) olduğu bulunur. Diğer taraftan ), ) ve ) dan, keyfi t [0, 1] için xt) ys) 2 ds+ us) 2 ds sds+1 = 1+ t )

39 2.4.16) ve ) den, her t [0,1] için O halde, xt) 3 2, yt) 1 x ),y )) C = max xt),yt)) = max x2 t)+y 2 t) t [0,1] t [0,1] < 2 x ),y )) X 2,1 keyfi { seçildiğinden, X 2,1 yörüngeler kümesi sınırlı kümedir. [0,1] aralığının = 0, 1 } 2k, 2 2k 1,..., 2k 2k,1 şeklindeki düzgün bölüntüsünü alalım ve her k = 1,2,... için i = 0,1,...,k 1 olmak üzere 1, t [ 2i u k t) =, 2i+1) 2k 2k ) 1, t [ 2i+1, 2i+2) 2k 2k fonksiyon dizisini tanımlayalım. Açıktır ki her k ve her t [0,1] için u 2 1 k t) = 1 dir. Buradan u 2 k t)dt = 1 Böylece keyfi k = 1,2,... için u k ) Ũ2,1 Şimdi ) sisteminin u k ) Ũ2,1 mümkün kontrol fonksiyonu tarafından üretilen yörüngesini x k ),y k )) X 2,1 olarak gösterelim. O halde keyfi k = 1,2,... için x k ),y k )) X 2,1 ve ) den her t [0,1] için x k t) = y k t) = Her t [0,1]içiny k t) = 1 olmak üzere 0 t 2i 2k y k t) = 0 0 t yk 2 s)ds+ u k s)ds 0 u 2 k s)ds ) u k s)dsolduğundan, ) deni = 0,1,...,k t+ 2i+2 2k O halde ) den her t [0,1] için,, t [ 2i 2k, 2i+1 2k ), t [ 2i+1 2k, 2i+2 2k ) ) 0 y k t) 1 2k ) 30

40 2.4.21) den her t [0,1] için, olduğu elde edilir. 0 y 2 kt) 1 4k ) ) den, her t [0,1] için, u 2 k t) = 1 O halde ) dan her t [0,1] için x k t) = ) den keyfi t [0,1] için, 0 yk 2 s)ds+t ) 1 4k 2 y2 kt) ) olduğu elde edilir. O halde ) eşitsizliğinin her iki tarafının 0 dan t ye integralini alırsak, her t [0,1] için olduğu elde edilir. 1 4k 2t 0 yk 2 s)ds ) O halde ) ve ) ten her t [0,1] için 1 1 ) t x 4k 2 k t) t ) olarak bulunur. Böylece ) ve ) dan keyfi k = 1,2,... ve keyfi t [0,1] için 0 y k t) 1 2k, 1 1 ) t x 4k 2 k t) t, ) Şimdi her t [0,1] için x t) = t, y t) = ) olmak üzere x ),y )) : [0,1] R 2 fonksiyonu tanımlayalım ) den her k = 1,2,... için x k ),y k )) X 2,1 olmak üzere k iken x k ),y k )) x ),y )) 31

41 olduğu elde edilir. Şimdi olduğunu kanıtlayalım. x ),y )) X 2,1 Aksini varsayalım. x ),y )) X 2,1 olsun. Bu durumda, her t [0,1] için x t) = t y 2 s)ds+ u 2 s)ds, ) 0 0 y t) = u s)ds ) olacak biçimde u ) Ũ2,1 vardır ), ) ve ) dan her t [0,1] için 0 u 2 s)ds = t ) ve olduğu elde edilir. Her t [0,1] için 0 0 u s)ds = ) νt) = u s)ds ) 0 olmak üzere ν ) : [0,1] R fonksiyonu tanımlayalım. u ) : [0,1] R integrallenebilir fonksiyon olduğundan ν ) : [0, 1] R mutlak sürekli fonksiyondur ve hemen hemen her t [0,1] için dνt) dt = u t) ) ) ve ) ten her t [0,1] için νt) = 0 ve buradan ise her t [0,1] için dνt) = 0 O halde ) ten hemen hemen her t [0,1] için dt u t) = 0 32

42 olduğu elde edilir. Bu durumda hemen hemen her t [0,1] için u 2 t) = 0 ve buradan da her t [0,1] için 0 u 2 s)ds = ) olduğu elde edilir ) ve ) çelişir. O halde varsayımımız doğru değil ve x ),y )) X 2,1 Böylece keyfi k = 1,2,... için x k ),y k )) X 2,1, k iken x k ),y k )) x ),y )) olmak üzere x ),y )) X 2,1 olduğunu gördük. Bu ise ) kısıtlaması olan ) sisteminin X 2,1 yörüngeler kümesinin kaalı olmaması demektir. 33

43 3 YÖRÜNGELER KÜMESİNİN KESİTLERİNİN SÜREKLİLİĞİ VE SİSTEMİN PARAMETRELERİNE BAĞLILIĞI 3.1 t X,µ0 t) Dönüşümünün Sürekliliği ve X,µ0 Kümesinin Çaı Şimdit X,µ0 t),t [,θ],dönüşümünününt yegörehausdorffyarımetriğinde sürekliolduğunugösterelim. Hatırlatalımki, X,µ0 kümesi 2.1.2)kısıtı olan2.1.1) sisteminin yörüngeler kümesi olmak üzere X,µ0 t) = {xt) R n : x ) X,µ0 }, t [,θ] olarak tanımlıdır. Teorem Keyfi t 1 [,θ], t 2 [,θ] için h n X,µ0 t 1 ),X,µ0 t 2 )) ϕ t 1 t 2 ) eşitsizliği doğrudur. Burada ϕ ) fonksiyonu 2.4.3) ile tanımlıdır. Kanıt. Keyfi t 1 [,θ], t 2 [,θ] alalım. Genelliği bozmaksızın t 1 < t 2 olarak alalım. y 1 X,µ0 t 1 ) keyfi bir nokta olsun. Bu durumda y 1 = x t 1 ) 3.1.1) olacak şekilde x ) = x ;u )) X,µ0 vardır. y 2 = x t 2 ) 3.1.2) olsun. Açıktır ki, y 2 X,µ0 t 2 ) 3.1.1), 3.1.2) ve Önerme den y 1 y 2 = x t 1 ) x t 2 ) ϕ t 1 t 2 ) 3.1.3) olduğu elde edilir. Burada ϕ ) fonksiyonu 2.4.3) ile tanımlıdır. Böylece her y 1 X,µ0 t 1 ) için 3.1.3) eşitsizliğini sağlayacak biçimde y 2 X,µ0 t 2 ) olduğunu gördük. O halde olduğu elde edilir. X,µ0 t 1 ) X,µ0 t 2 )+ϕ t 2 t 1 )B n 3.1.4) Şimdi keyfi y 2 X,µ0 t 2 ) alalım ve sabitleyelim. Bu durumda y 2 = x t 2 ) 34

44 olacak şekilde x ) = x ;u )) X,µ0 yörüngesi vardır. y 1 = x t 1 ) olsun. Açıktır ki, y 1 X,µ0 t 1 ) y 1 ve y 2 noktaları arasındaki uzaklık benzer biçimde değerlendirilirse, Önerme den y 2 y 1 = x t 2 ) x t 1 ) ϕ t 2 t 1 ) 3.1.5) olduğu elde edilir. Böylece her y 2 X,µ0 t 2 ) için 3.1.5) eşitsizliğini sağlayacak biçimde y 1 X,µ0 t 1 ) olduğunu gördük. O halde X,µ0 t 2 ) X,µ0 t 1 )+ϕ t 2 t 1 )B n 3.1.6) olduğu elde edilir ), 3.1.6) ve Önerme den, Önerme kanıtlanmış edilir. δ 0 + iken ϕδ) 0 + olduğundan, Önerme den aşağıdaki sonuç elde Sonuç t X,µ0 t), t [,θ], küme değerli dönüşümü t ye göre süreklidir. Kanıt. Keyfi t [,θ] alalım ve sabitleyelim. Şimde ise keyfi ε > 0 alalım. δ 0 + iken ϕδ) 0 + olduğundan, ε > 0 için δ 0,δ ε)) iken ϕδ) < ε olacak biçimde δ ε) > 0 vardır. O halde Önerme den keyfi t t δ ε),t + δ ε)) [,θ] için h n X,µ0 t),x,µ0 t )) ϕ t t ) < ε Bu ise t X,µ0 t), t [,θ], küme değerli dönüşümünün t noktasında sürekli olması demektir. Şimdi verilen kümenin çaını tanımlayalım. Tanım A R n için A kümesinin çaı, diama ile gösterilir ve olarak tanımlanır. diama = su x y x,y A 35