FONKSİYONLAR Bölüm 3.2.

Transkript

1 Ünite FONKSİYONLAR Bölüm.. Fonksionların Grafikleri Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz? Fonksionların grafiğini okumaı ve orumlamaı f() = n ( n d Z ) biçimindeki fonksionların grafiklerini Doğrusal fonksionların grafiklerile ilgili ugulamaları = f() fonksionun grafiği ile f() = denkleminin köklerinin ilişkisi Parçalı tanımlı şekilde verilen fonksionları ve grafiklerini Bire bir fonksionları ve örten fonksionları Neden Öğreneceğiz? Matematikte birçok bilgi için farklı temsil biçimleri kullanılır. Bu saede, problem çözümlerinde matematiksel temsiller arasından ugun olanları seçmek, ugulamak ve aralarında dönüşümler apmak; matematiksel, fiziksel, toplumsal olaları orumlamak ve modellemek için temsiller kullanmak mümkün olmaktadır. Bu çerçevede fonksionların özellikle de farklı temsil ve gösterimlerinin anlaşılması önemlidir. Bir fonksionun grafiksel gösterimi, fonksion hakkındaki birçok bilgii görsel ve anlaşılması kola bir şekilde sunduğu gibi, cebir ile geometrii bir arada kullanmamıza imkan verir. Diğer taraftan, günlük haatımızdaki bazı verilerin kola anlaşılmasını sağlamak ve akılda kalıcılığını arttırmak için bu verilerin sunumunu saısal ve sözel ifade etme, şekillere dökme gibi öntemler ardımıla aparız. Örneğin, bir işeri vea şirket sahibi alık kar zarar durumlarını geçmişle de kıaslaarak görmek için görsel sunumlar isteebilir. Fonksion grafikleri bu gibi birçok durum için etkin bir sunum öntemidir. Boğaziçi Köprüsü nün temeli Şubat 97 tarihinde atılmış ve 9 Ekim 97 tarihinde hizmete açılmıştır. Köprünün kule üksekliği aklaşık olarak metre, ara açıklığı ise 7 metredir. Köprünün sağlam dur9 8 masını sağlaan çelik halatların pozisonu bir fonksionla ifade edilebilir: f() = Köprüe dikkatli bakacak olursanız ol kısmı da ere paralel değildir. Bunun amacı köprünün direncini artırmak ve daha sağlam olmasını sağlamaktır. Köprünün ol kısmının pozisonu da bir fonksion grafiği şeklinde olup g() = fonksionu ile ifade edilebilir.

2 Bölüm.. Fonksionların Grafikleri HAZIR MIYIZ?. Kartezen düzlemde ekseni üzerinde orijinden önce sağa birim, sonra aşağı önde birim ilerlendiği zaman gelinen noktanın koordinatları (, ) olmaktadır. Benzer şekilde, a. Orijinden ekseni bounca birim ukarı çıktıktan sonra birim sağa A noktasına b. Orijinden ekseni bounca birim aşağı indikten sonra birim sağa B noktasına c. Orijinden ekseni bounca birim sola gittikten sonra birim ukarı C noktasına ç. Orijinden ekseni bounca birim sola gittikten sonra birim aşağı D noktasına ulaşılmaktadır. Buna göre A, B, C ve D noktalarının koordinatlarını kartezen düzlemde gösteriniz.. Kartezen düzlemdeki bir A noktasından birim sağa birim aşağı önde ilerlenildiğinde (,) noktasına gelinior. Buna göre A noktasının koordinatları nedir?. (, ), (, ), (, ), (, 6) ve (, 7) noktalarını Kartezen düzlemde gösteriniz. Bu noktaların dizilişi ile ilgili neler sölenebilir?. Herhangi bir fonksionun grafiğini alarak bu grafiği eksenine dike doğrularla taraınız. Çizdiğiniz her bir dike doğru fonksion grafiğini kaç noktada kesti?. Herhangi bir fonksionun grafiğini alarak bu grafiği eksenine paralel doğrularla taraınız. Çizdiğiniz her bir paralel doğru fonksion grafiğini kaç noktada kesti? 6. = eşitliğini sağlaan değerlerini bulunuz = eşitliğini sağlaan değerlerini bulunuz. 8. f() = fonksionunun grafiğinin eksenini kestiği nokta ile = denkleminin kökünü karşılaştırınız. 9 Ünite. Fonksionlar

3 Bölüm.. Fonksionların Grafikleri HAZIR MIYIZ? 9. R de tanımlı f fonksionu f() = 9 ile verilior. Bu fonksionun grafiği olan doğrunun eğimini bulunuz.. f() = + fonksionun grafiğini < ve g() = + fonksionunun grafiğini > için çiziniz. Bu grafikleri anı kartezen düzlemde gösteriniz.. Aşağıda verilen doğrusal denklemlerin grafiklerini çiziniz. a. = b. = c. = +. = denklemi için! ",,, 8, ise değerlerinin kümesini azınız.. = + denklemi için! ise hangi aralıkta değerler alabilir?. Aşağıda grafiği verilen doğruların eğimlerini bulunuz. 6 = + = + = + = Ünite. Fonksionlar 9

4 Bölüm. Fonksionların Grafikleri Neler Öğreneceğiz?... Fonksion Grafiklerini Okuma ve Yorumlama Dike doğru testini fonksionların grafiğinden tanım ve görüntü kümelerini tanım kümesindeki bir elemanın görüntüsünü görüntü kümesindeki bir elemanın ters görüntülerini tanım kümesinin bir alt kümesinin görüntüsünü görüntü kümesinin bir alt kümesinin ters görüntüsünü bulmaı Anahtar Terimler Fonksionun grafiği Tanım kümesinin alt kümesinin görüntüsü Değer kümesinin alt kümesinin ters görüntüsü Dike doğru testi Sembol ve Gösterimler f A " B ve K A içinf^kh Başlarken: Yandaki grafikte, ülkemizdeki nüfus artış hızının ıllara göre binde kaç azaldığını (değiştiğini) görüoruz. Bu grafikten ne gibi çıkarımlar apabiliriz? Örneğin, şu sorulara cevap bulabilir miiz? Verilen bir ıldaki nüfus artış hızını başka bir ıldaki nüfus artış hızıla kıaslaabilir miiz? 9 ile 8 ılları arasında nüfus artış hızının en fazla olduğu ıl hangi ıldır? Nüfus artış hızının azalıp artma bakımından seri nasıldır? Bu örnekte olduğu gibi verilerin grafiksel sunumu sizce ne gibi fadalar sağlamaktadır? Benzer şekilde gazete ve dergilerin ekonomi safalarına baktığımızda borsa, enflason gibi birçok konuda grafiklerin sıklıkla kullanıldığını görürüz. BENZİN FİYATLARI Nüfus artış hızı (binde) Yıllar Karmaşık verileri daha ii analiz edebilmek için verileri görsel hale getirmek ii bir çözümdür. Fonksion grafiklerinin kullanımı verileri görsel hale getirip anlaşılmasını kolalaştırdığı gibi fonksionların özelliklerini kullanarak eldeki verilerden eni bilgilere ulaşmamıza da imkan sağlar. Fonksion grafiklerinin orumlarına geçmeden önce çizimlerini örneklerle hatırlaalım. Ülkemizdeki ve ıllarına ait benzin fiatları anda verilmiştir. Bu değerleri tablo ve grafik ardımıla gösterelim. 9 Ünite. Fonksionlar

5 Fonksion Grafiklerini Okuma ve Yorumlama Yıl Fiat,9,,6,7,9,7,7,6,78,8,87,9, Tablodaki değerleri (ıl, fiat) sıralı ikilisi olarak koordinat sistemi üzerinde gösterelim.,,9,87,8 Benzin fiatı (TL),6,78,7,7,9,7,6,, Grafiğe bakarak kola bir şekilde ıllar geçtikçe benzin fiatlarının nasıl değiştiğini görebiliriz. Örneğin, benzin fiatlarının genel eğilimi ıllar geçtikçe artmasıdır. Fakat 8 ılında fiatların iniş eğiliminde olduğunu görmekteiz. Yıllar Anahtar Bilgi = f() fonksionunda girdiler ekseninde çıktılar ekseninde gösterilir. Çıktı Girdi f : R R ve f() = + ile verilen bir doğrusal fonksion olsun. A = {,,,, } ve B = {,,, } kümeleri verilior. Buna göre a. Tanım kümesinin bir alt kümesi olan A kümesindeki elemanların f altındaki görüntülerini bulalım. b. Görüntü kümesinin bir alt kümesi olan B kümesindeki elemanların, tanım kümesindeki hangi elemanların f altındaki görüntüleri olduğunu bulalım. c. Bu doğrusal fonksionun grafiğini, grafiğin ve eksenlerini kestiği iki noktaı kullanarak çizelim. d. Çizdiğiniz grafik üzerinde koordinatları, A kümesindeki elemanlar ve bu elemanların f altındaki görüntüleri olan noktaları gösterelim. Ünite. Fonksionlar 9

6 Bölüm. Fonksionların Grafikleri a. f nin A kümesinin elemanlarındaki değerlerini bulalım. f( ) = + =, f( ) = + =, f() = + =, f() = + = f() = + = b. Öncelikle f nin tanım kümesi R dir. Bu durumda, görüntüsü olan a! R şeklindeki a değerini bulalım. f(a) = den a + = ve de a = bulunur. Bu durumda görüntüsü olan tanım kümesinin elemanı dir. Bu durum, in f altındaki ters görüntüsü dir şeklinde de ifade edilmektedir. Benzer şekilde, f(b) = ise b + = ve b = ; f(c) = ise c + = ve c = ; f(d) = ise d + = ve d = olur. Bu durumda, ve sırasıla, ve ün f altındaki görüntüleridir. c. f nin grafiği, = + denklemile belirtilen doğrudur. Bu doğrunun eksenini kestiği noktanın bileşeni olacağından, = + eşitliğinden =, bulunur. Bu nedenle, (, ) noktası grafiğin eksenini kestiği noktadır. eksenile grafiğin kesişme noktasında bileşeni olacağından = + ve = olur. Dolaısıla, (, ) noktası grafiğin eksenini kestiği noktadır. Bölece f in grafiği (, ) ve (, ) noktalarından geçen doğrunun grafiği olarak şu şekildedir: (, ) (, ) 96 Ünite. Fonksionlar

7 Fonksion Grafiklerini Okuma ve Yorumlama d. A kümesinde bulunan elemanların f altındaki görüntülerini bulmuştuk. Bunlara karşılık gelen noktaların koordinatları (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) dir. Bu noktaların ve bileşenleri fonksionun kuralı olan = f() ani = + eşitliğini sağladığından bu noktalar f nin grafiği üzerindedir ve şu şekilde grafikle gösterilirler: (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) Doğrusal fonksion için aptığımız bu işlemlerde herhangi bir fonksion için doğru olan şu bilgii kullandık: Bir (a, b) sıralı ikilisini oluşturan bileşenler bir f fonksionunun kuralı olan = f() eşitliğini b = f(a) şeklinde sağlarsa koordinatları (a, b) olan nokta f fonksionunun grafiği üzerindedir. Bunun tersi de doğrudur. Şöle ki, eğer = f() ile verilen fonksionun grafiği üzerindeki bir noktanın koordinatları (a, b) ise a ile b arasında b = f(a) ilişkisi vardır. Hatırlaacağımız gibi, a tanım kümesinden bir eleman ve b = f(a) ise b görüntü kümesine ait bir eleman olmalıdır. Bu durumda b, a nın f altındaki görüntüsüdür vea f nin a daki değeri b dir deriz. b görüntü kümesinden bir eleman ise b = f(a) eşitliğini sağlaan ve tanım kümesinin elemanı olan bir a vardır. Ancak, b = f(a) eşitliğini sağlaan a değerleri birden fazla olabilir ve hepsinin tanım kümesinde bir eleman olma zorunluluğu oktur. b değer kümesinden bir eleman, b = f(a) ve a tanım kümesinin bir elemanı ise b nin f altındaki bir ters görüntüsü a dır deriz. Ünite. Fonksionlar 97

8 Bölüm. Fonksionların Grafikleri Şu ana kadar bir fonksionun tanım kümesini, görüntü kümesini ve tanım kümesindeki elemanların fonksion altındaki görüntülerini bulmaı, fonksionun değerler tablosunu vea fonksionun kuralını kullanarak öğrendik. Şimdi ise fonksionun grafiğini kullanarak da bunların bulunabileceğini göreceğiz. Önce belirttiğimiz ilişkileri, fonksionun grafiği, tanım kümesi ve görüntü kümesi açısından eni bir açıklamala tekrar edip detalandıralım. f fonksionunun grafiği üzerindeki bir noktadan eksenine çizdiğimiz dik doğrunun eksenini kestiği noktanın bileşeni, f in tanım kümesinin elemanıdır. Benzer şekilde fonksionun grafiği üzerinden alınan bir noktadan eksenine çizdiğimiz dik doğrunun eksenini kestiği noktanın bileşeni, f in değer kümesinin elemanıdır. Bu işlemi fonksionun grafiği üzerindeki her bir nokta için aparak, fonksionun tanım kümesini ve görüntü kümesini bulabiliriz. Bir fonksionun grafiği verildiğinde tanım kümesindeki herhangi bir a değerinin bu fonksion altındaki görüntüsünü bulabiliriz. Bunun için ekseni üzerinde a değeri ile belirtilen noktaı buluruz. Bu noktadan eksenine dik bir doğru çizerek bu doğrunun fonksionun grafiğini kestiği noktaı buluruz. Grafik üzerinde bulduğumuz bu noktadan eksenine dik bir doğru çizeriz. Bu doğru anı zamanda da eksenine paraleldir. Bu doğrunun eksenini kestiği noktaa karşılık gelen b değeri, a nın f altındaki görüntüsü olur. Örneğin bu işlemler bir grafik üzerinde aşağıdaki gibi belirtilebilir: b a Diğer taraftan, bir fonksionun grafiği verildiğinde değer kümesindeki herhangi bir b değerinin varsa bu fonksion altındaki ters görüntülerini bulabiliriz. Bunun için ekseni üzerinde b değeri ile belirtilen noktaı buluruz. Bu noktadan eksenine dik bir doğru çizerek bu doğrunun fonksionun grafiğini kestiği noktaları buluruz. Bu noktalar en az bir tanedir. Grafik üzerinde bulduğumuz bu noktalardan eksenine dik doğrular çizeriz. Bu doğrular anı zamanda da eksenine paraleldir. Bu doğruların eksenini kestiği noktalara karşılık gelen değerler, b nin f altındaki ters görüntüleridir. Örneğin, aşağıdaki grafik üzerindeki b için bunları aparsak b nin ters görüntüleri a ve c olur ve şu şekilde gösterilebilir: b c a 98 Ünite. Fonksionlar

9 Fonksion Grafiklerini Okuma ve Yorumlama g fonksionunun grafiği şu şekildedir: Buna göre, bu fonksionun a. Tanım kümesini b. Görüntü kümesini c. Tanım kümesindeki, ve ün g altındaki görüntülerini ç. Görüntü kümesindeki, ve ün g altındaki ters görüntülerini bulalım. a. Fonksionun grafiği üzerindeki her bir noktadan eksenine çizdiğimiz dik doğrular eksenini tanım kümesinin elemanlarına karşılık gelen noktalarda kesecektir. Bu dik doğruların eksenini kestiği noktalar andaki grafikte eşil ile gösterilmiştir. O halde g nin tanım kümesi 6 ",,, olur. b. Fonksionun grafiğinin her bir noktasından eksenine dik doğrular çizdiğimizde bu doğruların eksenini kestiği noktalara karşılık gelen değerler görüntü kümesini verecektir. Bu noktalar andaki grafikte mavi ile gösterilmiştir. Dolaısıla g nin görüntü kümesi [, ] olarak bulunur. Bu durumda fonksionumuz g 6 $ B şeklinde olacaktır. Burada B kümesi g nin değer kümesi ve ",,, h= kümesi de g nin görüntü kümesidir. Grafikteki bilgilerden B hakkında söleebileceğimiz tek şe [, ] B olduğudur. Ünite. Fonksionlar 99

10 Bölüm. Fonksionların Grafikleri c. ekseni üzerinde, ve noktalarını bulup bu noktalardan geçen ve eksenine dik olan doğrular g nin grafiğini andaki şekilde belirtilen (, ), (, ) ve (, ) noktalarında keser. Bu noktalardan eksenine çizdiğimiz dik doğrular da eksenini ine andaki şekilde belirtilen noktalarda kesecektir. Bu nedenle, ve ün g altındaki görüntüleri sırasıla, ve tür. Yani g( ) =, g() = ve g() = tür. ç. ekseninde, ve noktalarını bulalım. Bu noktalardan eksenine paralel doğrular çizelim. Bu doğruların g nin grafiğini kestiği noktalar andaki şekilde belirtilen noktalarda keser. Bu noktalardan eksenine çizdiğimiz dik doğrular da eksenini ine andaki şekilde görüldüğü gibi,,,,, noktalarında kesecektir. Bu nedenle in g altındaki ters görüntüsü, ani g( ) =, ün g altındaki ters görüntüsü, ani g() = ün g altındaki ters görüntüleri,, ve tür. Yani g() = g() = g() = g() = tür. ün birden fazla ters görüntüsünün olduğuna dikkat edelim. Ünite. Fonksionlar

11 Fonksion Grafiklerini Okuma ve Yorumlama f fonksionunun grafiği şekildeki gibidir. Buna göre; Bunu bilior mudunuz f() = a. f in tanım ve görüntü kümelerini bulalım. b. f in tanım kümesinden alınan - -,,,,, ve ün f altındaki görüntülerini bulalım. c. Görüntü kümesindeki elemanlardan hangilerinin f altındaki ters görüntüsünün tanım kümesinden birer, ikişer vea üçer elemandan oluştuğunu bulalım. ç. ; -, E ve ;, E aralıklarında er alan elemanların f altındaki görüntülerinin oluşturdukları kümeleri bulalım. Kule aakları arasındaki orta açıklığı 9 metre ve temelden itibaren kule üksekliği metre olan Fatih Sultan Mehmet Köprüsü Temmuz 988 de işletmee açıldı. Bir kuleden metre uzaklıktaki halatların üksekliğini aklaşık olarak hesaplamak için, kuralı h ( ) = ( - ) + olan gerçek saılarda tanımlı h fonksionundan ararlanabiliriz. a. Tanım kümesini grafikten eksenine çizdiğimiz dik doğrularla aşağıdaki grafikte eşille belirtildiği gibi [, ] şeklinde buluruz. Görüntü kümesini grafikten eksenine çizdiğimiz dik doğrularla aşağıdaki şekilde mavile belirtildiği gibi - ;, E şeklinde buluruz. f() = Ünite. Fonksionlar

12 Bölüm. Fonksionların Grafikleri - b. -,,,,, ve noktalarının f altındaki görüntüleri sırasıla,, -,,,- ve dir. c. = doğrusu grafiği iki noktada kesmektedir ki bunlardan birinin koordinatları (, ) dir. Benzer şekilde = doğrusu ani ekseni, grafiği iki noktada kesmektedir ki bu noktaların koordinatları c, m ve c, m dır. Bu nedenle, görüntü - kümesindeki ve nin f altındaki ters görüntüleri ikişer elemandır. ekseninde ile nin arasında er alan herhangi bir erden eksenine paralel bir doğru çizersek grafiği üç noktada keser. Bu nedenle, görüntü kümesindeki elemanlardan (, ) aralığında olanların f altındaki ters görüntüleri üçer elemandır. - Görüntü kümesindeki diğer elemanların, ani =, n, c, E kümesindeki elemanların f altındaki ters görüntüleri birer tanedir. - ç. Tanım kümesinde olup ;, E aralığında er alan elemanların görüntülerinin oluşturduğu küme ;, E tür. Benzer şekilde ;, E aralığında er alan elemanla- rın görüntülerinin oluşturduğu küme [, ] dir. Şimdi görüntü olan elemanlar ile ters görüntü olan elemanların oluşturduğu kümeler için kullanacağımız sembolik gösterimleri tanımlaalım. A ve B kümeleri ile f A $ B fonksionu verilsin. Herhangi bir C ve D kümeleri C A ve D f^aholsun. Bu durumda tanım kümesinin bir alt kümesi olan C kümesindeki elemanların f altındaki görüntülerinin oluşturduğu kümee kısaca C nin f altındaki görüntüsü denir ve f(c) ile gösterilir. Bu küme ortak özellik öntemile şeklinde belirtilir. f(c) = {f() : C} Benzer şekilde görüntü kümesinin bir alt kümesi olan D kümesindeki elemanların f altındaki ters görüntülerinin oluşturduğu kümee D kümesinin f altındaki ters görüntüsü deriz ve bu kümei ortak özellik öntemile şeklinde gösteririz. D nin f altındaki ters görüntüsü = { A : f() D} Ünite. Fonksionlar

13 Fonksion Grafiklerini Okuma ve Yorumlama f : R R ve f() = a + b doğrusal fonksionu ile c < d ve n < m şartlarını taşıan c, d, n, m gerçek saıları için a. [c, d] nin f altındaki görüntüsü b. [n, m] nin f altındaki ters görüntüsü kümelerini bulalım. Burada olduğu gibi herhangi bir f doğrusal fonksionunun grafiğine bakacak olursak, f doğrusal fonksionu eksenindeki bir kapalı (açık) aralıktaki elemanları eksenindeki bir kapalı (açık) aralıktaki elemanlarla eşlemektedir. f in grafiğinin bu eşlemee karşılık gelen kısmı ise bir doğru parçasıdır. Bu doğru parçasının uç noktalarının koordinatlarını, kapalı aralıkların uç noktaları ve f altındaki görüntüleri oluşturmaktadır. Bu nedenle çözüme aşağıdaki gibi devam edebiliriz. a. [c, d] nin f altındaki görüntüsü f([c, d]) dir. f(c) = ac + b ve f(d) = ad + b dir. Burada, a> iken f(c) < f(d) olduğundan, f([c,d]) = [f(c),f(d)] = [ac + b, ad + b] olacaktır. Eğer a< ise f(c) > f(d) olduğundan f([c,d]) = [f(d), f(c)] = [ad + b, ac + b] İkinci bir ol olarak, a> iken f^6c, d@ h6f^ch, f^dh@ ve 6f^ch, f^dh@ h olduğu gösterilerek f^6c, d@ h ve 6f^ch, f^dh@ kümelerinin eşitliği gösterilebilir. a< iken de benzer bir ol izlenebilir. Grafikteki ilgili doğru parçasının uç noktaları ise (c,ac + b) ve (d,ad + b) noktalarıdır. b. Görüntü kümesinde er alan n ve m elemanlarının f altındaki ters görüntüleri sırasıla u ve v olsun. Bu durumda f(u) = n ve f(v) = m dir. Buradan au + b = n ve ^n- bh ^m- bh av + b = m olur. Dolaısıla, u =, v = olarak bulunur. Bu durumda, [n, m] nin f altındaki ters görüntüsü a > iken ;, Eve a< a a ^n-bh ^m-bh a a ^m-bh ^n-bh iken ;, E aralığıdır. Grafikteki ilgili doğru parçasının uç noktaları a a n b m b ise c, n m ve c, m m noktalarıdır. a a Ünite. Fonksionlar

14 Bölüm. Fonksionların Grafikleri = + Yanda g fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre, a. Fonksionun tanım, değer ve görüntü kümelerini bulalım. b. Tanım kümesinin bir alt kümesi olan (,] ün g altındaki görüntüsünü bulalım. c. Görüntü kümesinin bir alt kümesi olan [,] ün g altındaki ters görüntüsünü bulalım. a. Tanım kümesinin R olduğu grafikten anlaşılmaktadır. Benzer şekilde, görüntü kümesinin R olduğu grafikten anlaşılmaktadır. Bu durumda değer kümesi de görüntü kümesine eşit olarak R olacaktır. b. (, ] nin g altındaki görüntüsü g((, ]) dir. Arıca, g() = ve g() = dır. Dolaısıla, bir önceki örnektekine benzer olarak g((, ]) = [g(), g()) = [,) olur. c. [, ] ün g altındaki ters görüntüsü [, ] dir. 6 h 6 R fonksionunun kuralı h() = + olarak verilior. Bu fonksionun görüntü kümesini bulalım ve grafiğini çizelim. Tanım kümesi Değer kümesi Bu fonksionun tanım kümesi [, ] ve değer kümesi de R olarak verilmiştir. Bu fonksionun grafiğini çizmek için doğrusal fonksionların çiziminde izlediğimiz oldan fadalanabiliriz. Çünkü h nin tanım kümesi R olsadı bir doğrusal fonksion olurdu ve doğrusal fonksionların bir önceki örnekte belirtilen özelliklerini h için de kullanabiliriz. O halde h nin grafiği, [, ] aralığındaki elemanları [h( ), h()] ani [, ] aralığındaki elemanlarla eşlemektedir. Diğer bir ifadele, h nin görüntü kümesi [, ] tür. Arıca h nin grafiği, uç noktaları (, ) ve (, ) olan doğru parçasıdır. Bu bilgiler doğrultusunda h fonksionunun grafiği andaki şekildedir. Ünite. Fonksionlar

15 Fonksion Grafiklerini Okuma ve Yorumlama 7 Bir fidanın dikildiği andan itibaren ıllara göre büüme grafiğinin aşağıdaki gibi olduğunu varsaalım Buna göre; a., 6 ve 7. ıllarda fidanın bounu bulalım. b. Kaçıncı ılda fidanın bounun metre ve kaçıncı ılda metre olduğunu bulalım. c. Fidanın bounun metreden metree çıkana kadar geçen zaman aralığını grafikte zamanın belirtildiği eksen üzerinde gösterelim. ç. Fidanın bou metre iken kaç ıl sonra fidanın bou metre olduğunu bulalım. a. Grafiği bir f fonksionunun grafiği olarak düşünelim. Örneğin, verilen grafik, f: [, 9] $ [, ] şeklinde bir fonksionun grafiği olarak düşünülebilir. Bu durumda, 6, 7. ıllardaki fidanın bou sırasıla f(), f(6), f(7) değerleridir. Grafikten f() =, f(6) =, f(7) = olduğu görülmektedir. Ölese fidanın bou. ılda metre, 6. ılda metre, 7. ılda metre olur. Ünite. Fonksionlar

16 Bölüm. Fonksionların Grafikleri b. Fidanın bounun ve metre olduğu ıllar f() = ve f(t) = eşitliğini sağlaan ve t değerleridir. Diğer bir ifadele bu değerler, f in görüntü kümesindeki ve elemanlarının f altındaki ters görüntüleridir. Ters görüntüleri bulmak için grafik üzerinde apacağımız işlem andaki grafik üzerinde şekilde belirtilmiştir Fidanın bou (m) Zaman (ıl) Bölece, ün ters görüntüsü, ün ters görüntüsü 8 olduğundan fidanın bounun metre olduğu ıl. ıldır. Benzer şekilde fidanın bounun metre olduğu ıl 8. ıl olur. c. Fidanın bounun m den m e çıktığı süreci grafik üzerinde andaki gibi belirtebiliriz. Bodaki değişim aralığını dike eksende mavi ve buna karşılık gelen zaman aralığını da ata eksende eşil ile gösterdik. Bu soruu f fonksionu için şu şekilde de ifade edebiliriz: f in görüntü kümesinin bir alt kümesi olan [,] aralığının f altındaki ters görüntüsü nedir? Grafikten de anlaşılacağı üzere bu sorua cevabımız [, 8] şeklindedir. Fidanın bou (m) Zaman (ıl) ç. Zaman aralığındaki değişim süresi 8 = 7 ıldır. Diğer bir ifadele, fidanın bou metre iken 7 ıl sonra fidanın bou metre olur. 6 Ünite. Fonksionlar

17 MATEMATİK ATÖLYESİ Bu atöle çalışmasında bir fonksionun tanım ve değer kümesi değiştiğinde grafiğinde oluşan değişiklikleri inceleeceğiz. f() = + fonksion kuralı verilior. Buna göre bu fonksionun; Adım Tanım kümesi A = {,,,, } değer kümesi B = {,,,,,,,, } olacak şekilde grafiğini çiziniz. Adım Tanım kümesi A = {,,,, } değer kümesi B = {,,,,,, } olacak şekilde grafiğini çiziniz. Adım Tanım ve değer kümesi doğal saılar olacak şekilde grafiğini çiziniz. Adım Tanım ve değer kümesi tamsaılar olacak şekilde grafiğini çiziniz. Adım Tanım kümesi tamsaılar değer kümesi reel saılar olacak şekilde grafiğini çiziniz. Çizdiğiniz bu grafiklerden ola çıkarak; Adım 6 Değer kümesindeki değişimin grafiği nasıl etkilediğini belirtiniz. Adım 7 Tanım kümesindeki değişimin grafiği nasıl etkilediğini belirtiniz. Ünite. Fonksionlar 7

18 Bölüm. Fonksionların Grafikleri 8 Yandaki grafiğe göre aşağıda istenenleri apalım. a. Grafiği verilen fonksionun tanım ve değer kümelerini bulalım. b. Grafiğin kou kısmı grafiği olan fonksionun tanım ve görüntü kümelerini bulalım. a. Tanım ve değer kümeleri gerçek saılar kümesi olabilir. b. Grafikte mavi çizgile verilen kısmın üzerindeki noktalara karşılık gelen eksenindeki değerler [, ] aralığındadır. Yine grafikteki bu noktalara karşılık gelen eksenindeki değerler [,] aralığındadır. Dolaısıla grafikte belirtilen kısım, tanım kümesindeki [, ] aralığındaki elemanların görüntü kümesindeki [, ] elemanları ile ilişkilendirilmesi ile elde edilmiştir. 8 Ünite. Fonksionlar

19 MATEMATİK ATÖLYESİ Bu atöle çalışmasında verilen bir grafiğin fonksion grafiği olup olmadığını belirlemee çalışacağız. Aşağıdaki grafikleri inceleiniz. f : R R g : R R h : R R 6 f g 9 h k : 6, h l :" a, bcd,,, " " a, bcd,,, R m: R R d k c b a a b c d Adım Her bir grafik için tanım ve değer kümelerini belirleiniz. Adım Her bir grafikte grafiğe dike doğrular ( eksenine paralel doğrular) çiziniz. Adım Çizdiğiniz her bir dike doğrunun grafiği kestiği nokta/noktalar ile eksenini kestiği noktaı işaretleiniz. Adım Grafiğe çizilen dike doğruların eksenini kestiği noktaların tanım kümesinin elemanları olduğunu düşünerek tanım kümesinden bir eleman değer kümesinden kaç elemanla eşleştiğini verilen grafikler için belirleiniz. Adım Elde ettiğiniz sonuca göre ukarıdaki grafiklerden hangileri fonksion grafiğidir? Ünite. Fonksionlar 9

20 Bölüm. Fonksionların Grafikleri Bunu bilior mudunuz Bir bilgisaar klavesindeki her bir tuşun bir görevi (bir fonksionu) vardır. Belirli bir harfi vea karakteri azmak için o tuşa basarız. Bir tuş birden fazla karakteri azmak için kullanılmaz. Zaten bundan dolaı da bazı karakter ve sembollerin azılması için birkaç tuş kombinasonu kullanılarak eni tuşlar elde edilmiştir. f fonksionu A R kümesinden B R kümesine tanımlı bir fonksion olsun. Fonksionların grafiksel gösterimlerile ilgili açıklamalarımızdan anlaşılacağı üzere, koordinatları f in aptığı ilişkilendirmelerle belirlenen ikililer olan noktaların kartezen düzlemde gösterilmesi f in grafiğini vermektedir. Bu nedenle, daha önce de belirttiğimiz gibi f in grafiği R R nin bir alt kümesi olmaktadır. Şimdi bunun tersinin doğru olup olmadığını düşünelim: R R nin herhangi bir alt kümesi, bir fonksionun grafiği şeklinde düşünülebilir mi? Bu sorua, fonksion grafiklerile ilgili bazı bilgileri hatırlatarak ve bazı örnekleri göz önünde bulundurarak cevap araalım. Bir fonksion grafiğinin üzerindeki noktalardan eksenine dik doğrular (dike doğrular) çizildiğinde bu doğruların eksenini kestiği noktaların bileşenleri tanım kümesinin elemanlarıdır. Diğer taraftan, ekseni üzerinde olup tanım kümesinde er alan bir elemana karşılık gelen bir noktadan geçen ve eksenine dik olan bir doğru çizdiğimizde, bu doğru fonksionun grafiğini mutlaka bir noktada kesmeli ve birden fazla noktada da kesmemelidir. Bahsettiğimiz durumlara birer örnek verelim:. eksenini = a noktasında kesen dike doğru, verilen grafiği kesmiorsa bu grafik tanım kümesinde a ı eleman olarak bulunduran bir fonksiona ait olamaz. Çünkü, a değerine karşılık değer kümesinde a ile eşlenen bir eleman olmaacaktır; bu da fonksion olma kuralına akırıdır. Grafiğin, bu tür a a elemanlarını dışlaarak oluşturduğumuz tanım kümesine sahip bir fonksion grafiği olabileceği arıca düşünülmelidir.. eksenini = a noktasında kesen dike doğru grafiği bir noktada kesior olsun. Bu durumda tanım kümesindeki a değeri, değer kümesinden bir elemanla eşlenmiştir. Eğer ekseni üzerinde belirlediğimiz bir tanım kümesine karşılık gelen noktalardan çizilen tüm dike doğrular grafiği alnız a bir noktada kesiorsa tanım kümesindeki her bir eleman değer kümesinden alnız bir elemanla eşlenmiş demektir. Ölese bu durumda, grafik belirlediğimiz tanım kümesine sahip bir fonksionun grafiğidir.. a eksenini = a noktasında kesen doğru grafiği birden fazla noktada kesiorsa, bu grafik tanım kümesinde a ı eleman olarak bulunduran bir fonksiona ait olamaz. Çünkü, a elemanı değer kümesinden birden fazla elemanla eşlenmiştir, bu da fonksion olma kuralına akırıdır. Bu durumda grafik herhangi bir fonksion grafiği olamaz. Ünite. Fonksionlar

21 Fonksion Grafiklerini Okuma ve Yorumlama 9 Aşağıdaki seçeneklerdeki grafiklerin, tanımlandıkları kümelerde bir fonksionun grafiği olup olmaacağını bulunuz. Dikkat a. f : R R b. f 6-a, a@ $ 6-b, b@ a b b a Verilerin grafiksel gösterimi her zaman bir fonksion grafiği şeklinde değildir. Benzer şekilde çizdiğimiz bir grafik her zaman bir fonksion grafiği olmaabilir. c. f : R R d. h "-,-,,,, $ ",,,,, (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) Anahtar Bilgi Bir grafiğe dike doğrular çizerek bir grafiğin fonksion grafiği olup olmadığını anlama öntemine dike doğru testi denir. Dike eksen değer kümesi, ata eksen tanım kümesi olmak üzere grafiği kesecek şekilde çizilen dike doğrular; a. Grafikte ekseni bounca çizilen her dike doğru grafiği alnız bir noktada kestiğinden verilen tanım kümesi olan R deki her eleman değer kümesinden alnız bir elemanla eşleşmiştir. Bu üzden bu grafik f : R R şeklindeki bir fonksionun grafiği olabilir. grafiği her zaman birer noktada kesiorsa grafik fonksion grafiğidir. grafiği birden fazla noktada kesiorsa grafik fonksion grafiği değildir. Ünite. Fonksionlar

22 Bölüm. Fonksionların Grafikleri b. a b b a ekseni üzerindeki ( a, a) aralığında çizilen her dike doğru verilen grafiği iki noktada kesmektedir. Bu üzden bu grafik, önerilen f: [ a, a] [ b, b] şeklindeki bir fonksionun grafiği olamaacağı gibi, başka tür bir fonksionun da grafiği olamaz. c. b a eksenindeki dike doğrulardan = a haricindekiler grafiği bir noktada kesmiştir. Sadece a noktasında fonksionun değeri oktur. Önerilen fonksion f : R R şeklinde ve tanım kümesi R olduğundan, verilen grafik f gibi bir fonksionun grafiği değildir. Ancak, bu verilen grafiğin g R- " a, $ R şeklinde bir fonksionun grafiği olabileceğine dikkat edelim. ç. (, ) (, ) (, ) (, ) h:{,,,, } {,,,,} (, ) Tanım kümesindeki her noktadan geçecek şekilde dik doğrular çizdiğimizde bu doğrular grafiği alnızca bir noktada keser. Bu durumda verilen grafik h: {,,,, }$ {,,,, } fonksionunun grafiğidir. Benzer şekilde, ",,,,, Biin ç g "-,-,,,, $ B şeklindeki bir fonksionun da grafiği olabilir. Ancak verilen grafik, "-,-,,,, A R ve "-,-,,,,! A şeklindeki bir A kümesi için f A $ R olan bir fonksionun grafiği değildir. Ünite. Fonksionlar

23 Fonksion Grafiklerini Okuma ve Yorumlama Aşağıda verilen grafiklerin, ilgili tanım kümelerine ugun bir fonksion grafiği olup olmaacağını bulunuz. a. f 6 -, h $ R b. g 6, h $ R c. h : R $ R h f - g Dike doğru testini, belirtilen fonksionların tanım kümelerini dikkate alarak verilen grafiklerde ugulaalım. a. f 6 -, h $ R b. g 6, h $ R c. h : R $ R h - f a. Verilen grafik f 6 -, h $ R şeklindeki bir fonksionun grafiğidir. Çünkü, 6 -, h aralığındaki dike doğrular verilen grafiği hep birer noktada kesmektedir. b. Verilen grafik g 6, h $ R şeklindeki bir fonksionun grafiği olmadığı gibi = f() şeklindeki herhangi başka bir f fonksionunun da grafiği değildir. Çünkü tanım kümesi olan ^, h aralığındaki her hangi bir dike doğru grafiği iki noktada kesmektedir. c. Verilen grafik h R $ R şeklindeki bir fonksionun grafiği olmadığı gibi = f() şeklindeki herhangi başka bir f fonksionunun da grafiği değildir. Çünkü bazı dike doğrular grafiği iki noktada kesmektedir. Ünite. Fonksionlar

24 Bölüm. Fonksionların Grafikleri,, (, ),,,, (, ) f,, (, -) f fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre, a. f in tanım ve görüntü kümelerini bulunuz. b. f([, ]) ifadesinin eşitini bulunuz. c. [,] kümesinin f altındaki ters görüntüsünü bulunuz.,, (, ),,,, (, ) f,, (, -) a. Aşağıdaki şekilde grafiğin tanım kümesi ekseni üzerinde eşil doğru parçası ile görüntü kümesi de ekseni üzerinde mavi doğru parçası ile gösterilmiştir. Dolaısıla tanım kümesi [, ], görüntü kümesi ise [, ] dır. b. Öncelikle [,] ile [,] aralıklarının f altındaki görüntülerinin anı olduğuna dikkat edelim. [,] in f altındaki görüntü-,, (, ),,,, (, ) f,, (, -) sü andaki grafikte mavi doğru parçası ile gösterilmiştir. Dolaısıla, - f([, ]) = f([, ]) = [, ] dır. c. f nin görüntü kümesinin [, ] aralığı olduğunu bulmuştuk. Herhangi bir fonksionda, görüntü kümesinin fonksion altındaki ters görüntüsü tanım kümesidir. Arıca, bu fonksionun tanım kümesi [, ] olarak bulunmuştur. Dolaısıla [, ] ın f altındaki ters görüntüsü [, ] dır. Ünite. Fonksionlar

25 Fonksion Grafiklerini Okuma ve Yorumlama (, ) ( -, ) ( +, ) (,- ) h (, ) Bir h fonksionunun grafiği anda verilmiştir. Buna göre, a. h nin tanım ve görüntü kümelerini bulunuz. b. [, ] in h altındaki görüntüsünü bulunuz. c. (, ] ün in h altındaki görüntüsünü bulunuz. ç. ın h altındaki görüntüsünü ve nin h altındaki ters görüntüsünü bulunuz. d. [, ] kümesinin f altındaki ters görüntüsünü bulunuz. h a. h fonksionunun grafiğinde tanım kümesi eşil doğru, görüntü kümesi de mavi arı doğru ile belirtilmiştir. Dolaısıla h nin tanım kümesi (, ) ve görüntü kümesi [, ) dur. (,- ) (,- ) ( -, ) ( +, ) (,- ) b. h fonksionunun grafiğinde belirtilen mavi doğru parçası h([, ]) dir. Dolaısıla, h([, ]) = [, ] dir. c. Benzer şekilde verilen grafikten anlaşılacağı üzere h((, ]) = [, ] dir. ç. Verilen grafikten h() =, h( ) = h() = olduğu görülür. Bu durumda, nin görüntüsü dir. nin ters görüntüleri ve tür. d. [,] kümesinin h altındaki ters görüntüsü andaki grafikte eşil doğru parçalarıla belirlenmiştir. Dolaısıla, cevap 6, dir. Ünite. Fonksionlar

26 Bölüm. Fonksionların Grafikleri g fonksionunun grafiği anda verilmiştir. Buna göre, a. g nin tanım ve görüntü kümelerini bulunuz. b. [, ] in g altındaki ters görüntüsünü bulunuz. = g() a. g nin tanım kümesi R ve görüntü kümesi 6, h dur. g b. Aşağıda belirtilen grafiklerden anlaşılacağı üzere [, ] ün g altındaki ters görüntüsü 6-, -@, tür. g g 6 Ünite. Fonksionlar

27 Fonksion Grafiklerini Okuma ve Yorumlama KENDİMİZİ SINAYALIM Kavram Yoklama ve Muhakeme Ugulama Soruları. Aşağıda boş bırakılan erlere ugun ifadeleri azınız. a. Bir fonksionun grafiğinde girdiler... ekseninde çıktılar ise... ekseninde gösterilir.. A = {,, } ve f: A R fonksionunun kuralı f() = + olduğuna göre, f(a) görüntü kümesini bulunuz. b. Bir fonksionun kartezen düzlemde gösterilmesine... gösterim denir. c. Fonksionun grafiğinin girdilerinin kümesine... çıktılarının kümesine... kümesi denir.. g: A R, g() = fonksionu için g(a)= [,] ise A kümesini bulunuz.. Aşağıdaki verilen olalarla ilgili grafiklerin hangisi/ hangileri bir fonksion belirtmez? a. Bir bardağa bir musluktan su doldurulurken bardaktaki su üksekliğinin zamana bağlı değişimi. b. Bir maçtaki atılan gol saısının zamana bağlı değişimi. c. Bir çadanlık su ısıtıldığında suun sıcaklığının zamana bağlı değişimi. ç. Bir şehirdeki insanları sahip oldukları kredi kartlarına eşleme ilişkisi.. Gerçek saılarda tanımlı f fonksionunun grafiği aşağıda verilmiştir. Buna göre, [,9] kümesinin f altındaki görüntü kümesi nedir? Ünite. Fonksionlar 7

28 Fonksion Grafiklerini Okuma ve Yorumlama KENDİMİZİ SINAYALIM. Gerçek saılar kümesi üzerinde tanımlı aşağıda grafiği verilen fonksion için B = [,8] kümesinin ters görüntü kümesi nedir? f fonksionunun verilen grafiğine göre f() + f() f( ) değeri kaçtır? f. Aşağıdaki grafikler f ve g fonksionlarının grafikleri g( 6) - f( ) olduğuna göre değeri kaçtır? f( 6) - f( ) 8. Bir f fonksionunun grafiği aşağıdaki gibidir. f(a) = 6, f(b) =, f(c) = ise a + b c değeri kaçtır? f g (, ) 6 (, ) 6. Bir doğrusal fonksion grafiği aşağıdaki gibidir. Bu grafikte verilen k değeri kaçtır? k 9. Şekilde bir f fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre f() = a, f(a) = b ve f(b) = c ise c kaçtır? (, ) (, ) (, ) 8 Ünite. Fonksionlar

29 Fonksion Grafiklerini Okuma ve Yorumlama KENDİMİZİ SINAYALIM. Grafiği verilen f fonksion için f(-)= ise in alabileceği değerler toplamı kaçtır?. (, ) f (, ) (, ) Yukarıda bir f fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre; a. f in tanım ve görüntü kümelerini bulunuz.. Aşağıda grafiği verilen fonksionların tanım ve görüntü kümelerini belirleiniz. a. A(,) B(,) f b. A = {-,,, } kümesinin f altındaki görüntüsünü bulunuz. c. A = { - } kümesinin f altındaki görüntüsünü bulunuz. ç. B = {,, } kümesinin f altındaki ters görüntüsünü bulunuz. d. B = {, } kümesinin f altındaki ters görüntüsünü bulunuz. b. A(,) g C(,) Ünite. Fonksionlar 9

30 Fonksion Grafiklerini Okuma ve Yorumlama KENDİMİZİ SINAYALIM.. f: R " R, f( ) = 7 fonksionu verilior. a. f fonksionun grafiğini çiziniz. b. [, ] aralığının f altındaki görüntüsünü bulunuz ve grafikte gösteriniz. c. Görüntüsü -9 olan elemanın f altındaki ters görüntüsünü bulup grafikte gösteriniz. Yukarıda bir g fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre; a. g nin tanım ve değer kümelerini bulunuz. 6. b. A = {-, -, -,,, } kümesinin g altındaki görüntüsünü bulunuz. c. A = { - } kümesinin g altındaki görüntüsünü bulunuz. ç. B = { } kümesinin g altındaki ters görüntüsünü bulunuz. d. B = {,,, } kümesinin g altındaki ters görüntüsünü bulunuz.. A= {,,,, } ve fa : " R fonksionunun kuralı f ( ) = +, ile verilior. a. f fonksionunun değerler tablosunu oluşturunuz. b. f fonksionun grafiğini çiziniz. Tanım, değer ve görüntü kümelerini grafik üzerinde gösteriniz. Grafiği verilen f fonksionu için; a. tanım, değer ve görüntü kümelerini bulunuz. b. = ve = elemanlarının f altındaki görüntülerini bulunuz. c. = ve = çıktılarının f altındaki ters görüntülerini bulunuz. Ünite. Fonksionlar

31 Fonksion Grafiklerini Okuma ve Yorumlama KENDİMİZİ SINAYALIM Aşağıdaki grafiklerin hangileri bir fonksion grafiği olabilir? Nedenini çıklaınız. a Grafiği verilen fonksion için; a) =-, =, = ve = elemanlarının bu fonksion altındaki görüntülerini bulunuz. b) =-, = ve =- çıktılarının bu fonksion altındaki ters görüntülerini bulunuz. 8. Aşağıdaki verilen grafiklerin = f() şeklinde bir fonksion grafiği olup olmadığını bulunuz. b c Ünite. Fonksionlar

32 Fonksion Grafiklerini Okuma ve Yorumlama KENDİMİZİ SINAYALIM ç. f. d. 6 6 g. 6 e. Ünite. Fonksionlar

33 MATEMATİK ATÖLYESİ Bu atöle çalışmasının amacı, f() = n (n Z) biçimindeki fonksionların davranışlarının bilgi ve iletişim teknolojilerinden ararlanılarak incelenmesidir. Araç ve Gereçler: Elektronik tablolama, grafik hesap makinesi, bilgisaar cebir sistemi, dinamik matematik/geometri azılımı vb. grafik çizimi apılabilen bir araç/azılım Adım Grafik çizimi apabilen bir araç/azılım kullanarak; n =,, 6, 8, değerleri için = n fonksionlarının grafiklerini çiziniz. Adım n =,, 6, 8, değerleri için = n fonksionlarının grafiklerini farklı renklerde anı koordinat düzlemi üzerinde çiziniz. Bu tür grafiklerin ortak özellikleri için neler sölenebilir? Açıklaınız. Adım n = -, -, -6, -8, - değerleri için = n fonksionlarının grafiklerini anı eksen üzerinde çiziniz. Bu tür grafiklerin ortak özellikleri için neler sölenebilir? Açıklaınız. Adım n nin çift bir negatif vea pozitif tamsaı olması durumunda = n şeklindeki fonksionların grafiklerinin nasıl değiştiğini açıklaınız. Adım n =,,, 7, 9 değerleri için = n fonksionlarının grafiklerini farklı renklerde anı koordinat düzlemi üzerinde çizdirin. Bu tür grafiklerin ortak özellikleri için neler sölenebilir? Açıklaınız. Adım 6 n = -, -, -, -7, -9 değerleri için = n fonksionlarının grafiklerini anı koordinat düzlemi üzerinde çizdirin. Bu tür grafiklerin ortak özellikleri için neler sölenebilir? Açıklaınız. Adım 7 n nin çift olmaan bir negatif vea pozitif tamsaı olması durumunda = n şeklindeki fonksionların grafiklerinin nasıl değiştiğini açıklaınız. Adım 8 n nin tek vea çift bir pozitif tamsaı olması durumunda = n şeklindeki fonksionların görüntü kümelerinin nasıl değiştiğini açıklaınız. Yukarıdaki adımları, örneğin, bir dinamik matematik/geometri azılımı olan GeoGebra kullanarak aşağıdaki şekilde apabilirsiniz. (Geogebra azılımını vea adreslerinden ücretsiz indirebilir ve kullanabilirsiniz.) Ünite. Fonksionlar

34 MATEMATİK ATÖLYESİ Geogebra kurulu bir bilgisaarda, geogebraı açalım. Öncelikle bir sürgü oluşturalım: Araç çubuğundan Sürgü aracını sol tuşu ile tıklaın. seçin ve ekranın neresinde sürgüü oluşturmak istiorsanız oraa farenizin Karşınıza Sürgü aracı ile ilgili özelliklerin olduğu bir pencere gelecektir: Program sürgüe ilk değer olarak a ismini vermektedir. Sürgünün adını n olarak değiştirelim. Arıca sürgünün minimum ve maksimum değerleri ve artış miktarını da ukarıdaki şekilde görüntülendiği gibi belirledikten sonra Ugula tuşuna basınız. Ekranda beliren sürgüü hareket ettirdiğinizde n değeri de belirlediğiniz aralıkta belirlediğiniz artış miktarı ile değişecektir. GeoGebra ekranının sol alt köşesindeki Giriş ekranını kullanarak fonksionumuzu tanımlaacağız. ^ sembolü üst anlamına gelip ^n ifadesi matematiksel olarak n anlamına gelmektedir. Fonksionu girdikten sonra klaveden Enter/Return tuşuna basıldığında fonksion n sürgüsüne bağlı olarak oluşacaktır. Şimdi n değerini değiştirerek fonksionun nasıl değiştiğini gözlemleiniz. Aşağıda n = ve n = değerleri için oluşan grafiğe er verilmiştir. =f() n = n = =f() Ünite. Fonksionlar

35 Fonksion Grafiklerini Okuma ve Yorumlama... f() = n Biçimindeki Fonksionların Grafikleri Başlarken Neler Öğreneceğiz? f() = n biçimindeki fonksionların grafiklerini Bazı fonksionların grafiklerine vea benzerlerine mimaride, teknolojik araçlarda ve doğada rastlanmaktadır. Örneğin, fotoğraflarda görülen uza araştırmalarında kullanılan rado teleskopun/antenin, asma köprülerin ve kıvrımlı bir nehrin şeklini f() = n, n Z biçimindeki fonksionların grafiklerini kullanarak ifade edebiliriz. Ele aldığımız bir şeklin fonksion grafiği olarak modellenebilmesinin fadaları sizce neler olabilir? Anahtar Terimler Fonksion grafiği Sembol ve Gösterimler f() = n, n! Z br br Bir kenar uzunluğu br olan bir karenin alanını kenar uzunluğuna bağlı olarak değişen ve A() ile belirtilen bir çokluk olarak düşündüğümüzde A: R + R + ve A() = şeklinde bir fonksionla karşılaşırız. Benzer şekilde, bir kenar uzunluğu br olan bir küpün hacmini kenar uzunluğuna bağlı olarak değişen ve V() ile belirtilen bir çokluk olarak düşündüğümüzde V: R + R + ve V() = şeklinde bir fonksion elde ederiz. Bu fonksionların grafikleri kare ve küpte kenar uzunluk değiştikçe alan ve hacmin değişimini daha ii görmemizi sağlar. Dikkat edersek bu cebirsel kurallara sahip fonksionların da ve negatif gerçek saılarda da tanımlanabileceğini görebiliriz. Bu fonksionlar birçok durum için temel örnek niteliğindedir. Bu fonksionların grafiklerini bilmemiz bir gereklilik olduğu gibi, bunlardan daha karmaşık kurala sahip fonksionların grafiklerinin anlaşılmasında bir avantajdır. Ünite. Fonksionlar

36 Bölüm. Fonksionların Grafikleri Anahtar Bilgi f() = n biçimindeki fonksionların grafikleri çizilirken;. Fonksiona ait bir değerler tablosu oluşturulur.. Fonksionun grafiği üzerinde er alan ve koordinatları değerler tablosu ile verilen noktalar kartezen düzlemde gösterilir.. Düzlemde gösterilen noktalardan geçen bir eğri kabaca çizilir.. Bu işlem nokta saısını artırarak tekrar edilirse hata paı daha az olan bir grafik elde edilmiş olur.. Çoğu durumda grafiğin genel apısı göreceli olarak az saıda noktanın grafiksel gösterimi apılarak tespit edilebilmektedir. Bu kısımda göreceğimiz fonksionlar, n negatif bir tam saı iken f: R {} R ve n nin diğer tam saı durumları için f: R R şeklindeki olup aşağıdaki cebirsel kurallara sahip fonksionlardır: n = için f() = n = için f() = n = için f() = n = için f() = n = için f() = n = için f() = n = için f() = Bunlar kısaca n Z olmak üzere f() = n şeklinde de ifade edilebilir. Şimdi n nin bazı değerleri için bu tür fonksionların grafiklerini, fonksiona ait değerler tablosunu, ani fonksionun grafiği üzerindeki bazı noktaların koordinatlarını bularak çizmee çalışalım. n = için f: R R, f() = n fonksionunun grafiğini çizelim. f() = n = için f() = n = = olacağından, f fonksionu bir sabit fonksiondur. Daha önce gördüğümüz gibi bu fonksionun grafiği ekseninde den geçen ve eksenine paralel olan bir doğrudur. n = için f: R R, f() = n fonksionunun grafiğini çizelim. n = için f() = n = = olacağından f fonksionu bir birim fonksiondur. Yine daha önce ele aldığımız gibi bu fonksionun grafiği (,) orijin ve (,) noktalarından geçen bir doğrudur. Şimdi bu doğrunun grafiğini hemen çizmek erine, bundan sonraki örneklerde kullanacağımız bir öntemi anlatmak için ikiden fazla nokta kullanarak çizelim. Önce grafik üzerindeki bazı noktaların koordinatlarını belirlemek için fonksiona ait bir değerler tablosu oluşturalım. Sonra bu noktaları kartezen düzlemde gösterelim. 6 Ünite. Fonksionlar

37 f() = n Biçimindeki Fonksionların Grafikleri ( R) Grafikte gösterilen noktaların doğrusal olduğunu gözlemleebilioruz. Ama fonksion grafiğimiz olan doğrumuzu tam olarak elde etmiş değiliz. Şimdi aptığımız işlemleri, grafik üzerinde er alan daha fazla noktaı belirleerek tekrar edelim. Bu durumda grafik. Grafiksel Gösterimdeki gibi olacaktır.. Grafiksel Gösterim. Grafiksel Gösterim Bu grafik elde etmek istediğimiz doğru grafiğine daha çok benzior değil mi? Bu işlemleri her seferinde artırarak devam ettiğimizde f: R R, f() = fonksionun grafiği,. Grafiksel Gösterimdekine daha çok aklaşmış olacaktır.. Grafiksel Gösterim Ünite. Fonksionlar 7

38 Bölüm. Fonksionların Grafikleri n = için f: R R, f() = n fonksionunun grafiğini çizelim. n = için f() = n = dir. Bu fonksiona ait bir değerler tablosu ve bu değerlere karşılık gelen noktaların grafiksel gösterimi şu şekildedir: Yaptığımız işlemlere nokta saısını artırarak devam ettiğimizde ve tanım kümesinin tüm gerçek saılar olduğu düşünüldüğünde; f: R R, f() = fonksionunun grafiğinin andaki gibi olacağı anlaşılacaktır Bu fonksion tanım kümesindeki her elemanı, kendisinin karesile eşlenmektedir. Dolaısıla grafik üzerindeki noktaların ordinatları, apsislerden daha hızlı büümektedir. Arıca tanım kümesindeki her eleman hiçbir zaman negatif bir saı ile eşlenmemektedir. Benzer şekilde grafik üzerindeki nokta saısını artırırsak bu durumda grafik andaki gibi olacaktır Ünite. Fonksionlar

39 f() = n Biçimindeki Fonksionların Grafikleri Şimdi başka bir fonsionun grafiğini anı öntemle elde edelim. n = için f: R R, f() = n fonksionunun grafiğini çizelim. n = için f() = n = olur. Bu fonksion için bir değerler tablosu ve buna karşılık gelen noktaların grafiği. Grafiksel gösterimdeki gibi olacaktır. = f() 8 8 f: R R, f() = fonksionunda tanım kümesindeki her eleman değer kümesinden kendisinin küpüle eşlenmektedir. Dolaısıla grafiğin üzerindeki noktaların koordinatlarının apsislere göre büümesi daha önce incelediğimiz f() = fonksionundakinden çok daha hızlıdır. Değerler tablosuna eni değerler eklediğimizde, ani grafiksel gösterimini aptığımız noktası saısını arttırdığımızda grafik. Grafiksel Gösterimdeki gibi olacaktır. Fonksionun tanım kümesinin tüm gerçek saılar olduğu düşünüldüğünde f: R R, f() = fonksionunun grafiği. Grafiksel gösterimdeki gibi olacaktır Grafiksel Gösterim. Grafiksel Gösterim. Grafiksel Gösterim Ünite. Fonksionlar 9

40 Bölüm. Fonksionların Grafikleri Bunu bilior mudunuz Bilgisaar cebir sistemleri ile dinamik matematik/geometri azılımları fonksion grafiklerinin çizimini aparken, temelde bizim bu kısımda uguladığımız önteme benzeen metodları kullanırlar. Şöle ki, çizilecek grafik üzerinde belli saıdaki noktaı belirli aralıklardan seçer, bu noktaları grafik üzerinde gösterir ve bu noktaları ikişer ikişer birleştiren doğrular çizerler. Nokta seçimlerini ise burada belirtemeeceğimiz matematiksel bilgi ve teknikleri kullanarak akıllı bir şekilde aparlar. Örneğin f: ;-, E " [-, ] ve f() = ile verilen fonksionun grafiğini Mathematica programında grafiğin noktasını kullanarak çizdirirsek n = için: R R, f() = n fonksionunun grafiğini çizelim. n = için f() = = dir. Bazı değerleri için f fonksionunun aldığı değerler tablosu şu şekildedir: =f() Tablodaki değerler incelendiğinde; (-,) aralığında değerleri sıfıra aklaştıkça fonksionun değeri () negatif değerler alarak küçülmektedir ve değeri sıfıra aklaştıkça değerleri daha da küçülmektedir. (,) aralığında değerleri sıfıra aklaştıkça fonksionun değerleri () pozitif değerler alarak büümektedir ve değeri sıfıra aklaştıkça değerleri daha da büümektedir. değerleri negatif değerlerle küçüldükçe vea pozitif değerlerle büüdükçe fonksionun değerleri () a aklaşmaktadır. grafiğin noktasını kullanarak çizdirirsek grafiğin nokta saısı seçimini belirtmeden çizdirirsek grafiklerini elde ederiz Şimdi koordinatları tabloda verilen (,) ikilileri olan noktaları grafik üzerinde gösterelim: Tanım kümesi olan sıfır hariç tüm gerçek saılar düşünüldüğünde f: R {} R, f() = fonksionunun grafiğinin şöle olacağını görebiliriz: Ünite. Fonksionlar

41 f() = n Biçimindeki Fonksionların Grafikleri Şu ana kadar bu kısımda gördüğümüz fonksion grafiklerini bir arada görelim: n {,,, } için f() = n in grafikleri f() = f()= =f()= n, n= =f()= n, n= f()= f( ) = =f()= n, n= =f()= n, n= Benzer işlemler n =,, 6 için de izlendiğinde f: R R, f() = n fonksionunun grafiği n =,, 6 için şu şekilde elde edilecektir: h() = 6 g() = f() = Bu grafiklerde n değerleri bir pozitif çift tamsaı olarak alınmıştır. Bu grafiklerde şu bilgileri gözlemleebiliriz: = n nin grafiğinin kolları -eksenine göre simetriktir. n değeri büüdükçe < < iken = n in grafiğinin kolları ekseninden uzaklaşırken, > ve < iken fonksionun değerleri çok daha hızlı büüdüğünden grafiğin kolları -eksenine aklaşır. Yine, benzer işlemler n =,, 7 için de izlendiğinde, f: R R, f() = n fonksionunun grafiğinin n =,, 7 değerleri için şu şekilde olduğu görülecektir: Ünite. Fonksionlar

42 Bölüm. Fonksionların Grafikleri h() = 7 g() = f() = Bu grafiklerde n değerleri bir pozitif tek tamsaı olarak alınmıştır. Bu grafiklerde şu bilgileri gözlemleebiliriz: = n in grafiğinin kolları orijine göre simetriktir. n değeri büüdükçe < < iken = n in grafiğinin kolları -ekseninden uzaklaşırken, > ve < iken fonksionun değerleri çok daha hızlı büüdüğünden grafiğin kolları -eksenine aklaşır. En son aptığımız işlemler n nin negatif değerlerile tekrarlandığında elde edeceğimiz grafikleri görelim: f( ) g( ) h( ) = = = 6 n =,, 6 için f: R {}, R, f() = n fonksionunun grafiğin bir negatif çift tamsaı olmak üzere, = n in grafiğinin kolları -eksenine göre simetriktir. n =,, 7 için f( ) g( ) h( ) = = = 7 f: R {} R, f() = n fonksionunun grafiğin bir negatif tek tamsaı olmak üzere, = n in grafiğinin kolları orijine göre simetriktir. Ünite. Fonksionlar

43 f() = n Biçimindeki Fonksionların Grafikleri KENDİMİZİ SINAYALIM. f, g, h, k: R R, n fonksionlarının grafikleri verilmiştir. Bu grafikleri benzerliklerine göre sınıflandırınız. Bu sınıflandırmaı nasıl aptığınızı açıklaınız =f() =h() 6 6 =g() =k(). = f() Grafikleri verilen f, g ve h fonksionlarının kuralı 8 n, n Z şeklindedir. Buna göre, bu fonksionları, kurallarındaki n değerinin büüklüğüne göre sıralaınız. = g() = h() Ünite. Fonksionlar

44 f() = n Biçimindeki Fonksionların Grafikleri KENDİMİZİ SINAYALIM. Gerçek saılar kümesinde tanımlı f()= fonksionu için aşağıdaki soruları cevaplaınız. a. f( ), f(), f() değerlerini bulunuz. b. f(a) =, f(b) = 9, f(c) = eşitliklerini sağlaan a, b ve c değerlerini bulunuz. c. f fonksionunun tanım kümesinin bir alt kümesi olan [, ] kümesinin fonksion altındaki görüntüsünü bulunuz. ç. f fonksionunun değer kümesinin bir alt kümesi olan [, 6] kümesinin fonksion altındaki ters görüntüsünü bulunuz.. Gerçek saılar kümesinde tanımlı h() = fonksionları için aşağıdaki soruları cevaplaınız. a. h( ), h(), h() değerlerini bulunuz. b. h(a) = 8, h(b) =, h(c) = 7 eşitliklerini sağlaan a, b ve c değerlerini bulunuz. c. h fonksionunun tanım kümesinin bir alt kümesi olan [, ] kümesinin fonksion altındaki görüntüsünü bulunuz. ç. h fonksionunun değer kümesinin bir alt kümesi olan [, 8] kümesinin fonksion altındaki ters görüntüsünü bulunuz.. Gerçek saılar kümesinde tanımlı g() = fonksionu için aşağıdaki soruları cevaplaınız. a. g( ), g(), g() değerlerini bulunuz. b. g(a) =, g(b) =, g(c) = eşitliklerini sağlaan varsa a, b ve c değerlerini bulunuz. c. g fonksionunun tanım kümesinin bir alt kümesi olan [-, ] kümesinin fonksion altındaki görüntüsünü bulunuz. ç. g fonksionunun değer kümesinin bir alt kümesi olan [, 9] kümesinin fonksion altındaki ters görüntüsünü bulunuz. 6. f: R {} R, f() = fonksionun; a. f( ), f( ), f(), f(), f() değerlerini bulunuz. b. f(a) =, f(b) = eşitliklerini sağlaan varsa a ve b değerlerini bulunuz. c. f fonksionunun tanım kümesinin bir alt kümesi olan [,] kümesinin fonksion altındaki görüntüsünü bulunuz. ç. f fonksionunun değer kümesinin bir alt kümesi olan [-, -] kümesinin fonksion altındaki ters görüntüsünü bulunuz. Ünite. Fonksionlar