FONKSİYONLAR Bölüm 3.2.

Transkript

1 Ünite FONKSİYONLAR Bölüm.. Fonksionların Grafikleri Bu Bölümde Neler Öğreneceğiz? Fonksionların grafiğini okumaı ve orumlamaı f() = n ( n d Z ) biçimindeki fonksionların grafiklerini Doğrusal fonksionların grafiklerile ilgili ugulamaları = f() fonksionun grafiği ile f() = denkleminin köklerinin ilişkisi Parçalı tanımlı şekilde verilen fonksionları ve grafiklerini Bire bir fonksionları ve örten fonksionları Neden Öğreneceğiz? Matematikte birçok bilgi için farklı temsil biçimleri kullanılır. Bu saede, problem çözümlerinde matematiksel temsiller arasından ugun olanları seçmek, ugulamak ve aralarında dönüşümler apmak; matematiksel, fiziksel, toplumsal olaları orumlamak ve modellemek için temsiller kullanmak mümkün olmaktadır. Bu çerçevede fonksionların özellikle de farklı temsil ve gösterimlerinin anlaşılması önemlidir. Bir fonksionun grafiksel gösterimi, fonksion hakkındaki birçok bilgii görsel ve anlaşılması kola bir şekilde sunduğu gibi, cebir ile geometrii bir arada kullanmamıza imkan verir. Diğer taraftan, günlük haatımızdaki bazı verilerin kola anlaşılmasını sağlamak ve akılda kalıcılığını arttırmak için bu verilerin sunumunu saısal ve sözel ifade etme, şekillere dökme gibi öntemler ardımıla aparız. Örneğin, bir işeri vea şirket sahibi alık kar zarar durumlarını geçmişle de kıaslaarak görmek için görsel sunumlar isteebilir. Fonksion grafikleri bu gibi birçok durum için etkin bir sunum öntemidir. Boğaziçi Köprüsü nün temeli Şubat 97 tarihinde atılmış ve 9 Ekim 97 tarihinde hizmete açılmıştır. Köprünün kule üksekliği aklaşık olarak metre, ara açıklığı ise 7 metredir. Köprünün sağlam dur9 8 masını sağlaan çelik halatların pozisonu bir fonksionla ifade edilebilir: f() = Köprüe dikkatli bakacak olursanız ol kısmı da ere paralel değildir. Bunun amacı köprünün direncini artırmak ve daha sağlam olmasını sağlamaktır. Köprünün ol kısmının pozisonu da bir fonksion grafiği şeklinde olup g() = fonksionu ile ifade edilebilir.

2 Bölüm.. Fonksionların Grafikleri HAZIR MIYIZ?. Kartezen düzlemde ekseni üzerinde orijinden önce sağa birim, sonra aşağı önde birim ilerlendiği zaman gelinen noktanın koordinatları (, ) olmaktadır. Benzer şekilde, a. Orijinden ekseni bounca birim ukarı çıktıktan sonra birim sağa A noktasına b. Orijinden ekseni bounca birim aşağı indikten sonra birim sağa B noktasına c. Orijinden ekseni bounca birim sola gittikten sonra birim ukarı C noktasına ç. Orijinden ekseni bounca birim sola gittikten sonra birim aşağı D noktasına ulaşılmaktadır. Buna göre A, B, C ve D noktalarının koordinatlarını kartezen düzlemde gösteriniz.. Kartezen düzlemdeki bir A noktasından birim sağa birim aşağı önde ilerlenildiğinde (,) noktasına gelinior. Buna göre A noktasının koordinatları nedir?. (, ), (, ), (, ), (, 6) ve (, 7) noktalarını Kartezen düzlemde gösteriniz. Bu noktaların dizilişi ile ilgili neler sölenebilir?. Herhangi bir fonksionun grafiğini alarak bu grafiği eksenine dike doğrularla taraınız. Çizdiğiniz her bir dike doğru fonksion grafiğini kaç noktada kesti?. Herhangi bir fonksionun grafiğini alarak bu grafiği eksenine paralel doğrularla taraınız. Çizdiğiniz her bir paralel doğru fonksion grafiğini kaç noktada kesti? 6. = eşitliğini sağlaan değerlerini bulunuz = eşitliğini sağlaan değerlerini bulunuz. 8. f() = fonksionunun grafiğinin eksenini kestiği nokta ile = denkleminin kökünü karşılaştırınız. 9 Ünite. Fonksionlar

3 Bölüm.. Fonksionların Grafikleri HAZIR MIYIZ? 9. R de tanımlı f fonksionu f() = 9 ile verilior. Bu fonksionun grafiği olan doğrunun eğimini bulunuz.. f() = + fonksionun grafiğini < ve g() = + fonksionunun grafiğini > için çiziniz. Bu grafikleri anı kartezen düzlemde gösteriniz.. Aşağıda verilen doğrusal denklemlerin grafiklerini çiziniz. a. = b. = c. = +. = denklemi için! ",,, 8, ise değerlerinin kümesini azınız.. = + denklemi için! ise hangi aralıkta değerler alabilir?. Aşağıda grafiği verilen doğruların eğimlerini bulunuz. 6 = + = + = + = Ünite. Fonksionlar 9

4 Bölüm. Fonksionların Grafikleri Neler Öğreneceğiz?... Fonksion Grafiklerini Okuma ve Yorumlama Dike doğru testini fonksionların grafiğinden tanım ve görüntü kümelerini tanım kümesindeki bir elemanın görüntüsünü görüntü kümesindeki bir elemanın ters görüntülerini tanım kümesinin bir alt kümesinin görüntüsünü görüntü kümesinin bir alt kümesinin ters görüntüsünü bulmaı Anahtar Terimler Fonksionun grafiği Tanım kümesinin alt kümesinin görüntüsü Değer kümesinin alt kümesinin ters görüntüsü Dike doğru testi Sembol ve Gösterimler f A " B ve K A içinf^kh Başlarken: Yandaki grafikte, ülkemizdeki nüfus artış hızının ıllara göre binde kaç azaldığını (değiştiğini) görüoruz. Bu grafikten ne gibi çıkarımlar apabiliriz? Örneğin, şu sorulara cevap bulabilir miiz? Verilen bir ıldaki nüfus artış hızını başka bir ıldaki nüfus artış hızıla kıaslaabilir miiz? 9 ile 8 ılları arasında nüfus artış hızının en fazla olduğu ıl hangi ıldır? Nüfus artış hızının azalıp artma bakımından seri nasıldır? Bu örnekte olduğu gibi verilerin grafiksel sunumu sizce ne gibi fadalar sağlamaktadır? Benzer şekilde gazete ve dergilerin ekonomi safalarına baktığımızda borsa, enflason gibi birçok konuda grafiklerin sıklıkla kullanıldığını görürüz. BENZİN FİYATLARI Nüfus artış hızı (binde) Yıllar Karmaşık verileri daha ii analiz edebilmek için verileri görsel hale getirmek ii bir çözümdür. Fonksion grafiklerinin kullanımı verileri görsel hale getirip anlaşılmasını kolalaştırdığı gibi fonksionların özelliklerini kullanarak eldeki verilerden eni bilgilere ulaşmamıza da imkan sağlar. Fonksion grafiklerinin orumlarına geçmeden önce çizimlerini örneklerle hatırlaalım. Ülkemizdeki ve ıllarına ait benzin fiatları anda verilmiştir. Bu değerleri tablo ve grafik ardımıla gösterelim. 9 Ünite. Fonksionlar

5 Fonksion Grafiklerini Okuma ve Yorumlama Yıl Fiat,9,,6,7,9,7,7,6,78,8,87,9, Tablodaki değerleri (ıl, fiat) sıralı ikilisi olarak koordinat sistemi üzerinde gösterelim.,,9,87,8 Benzin fiatı (TL),6,78,7,7,9,7,6,, Grafiğe bakarak kola bir şekilde ıllar geçtikçe benzin fiatlarının nasıl değiştiğini görebiliriz. Örneğin, benzin fiatlarının genel eğilimi ıllar geçtikçe artmasıdır. Fakat 8 ılında fiatların iniş eğiliminde olduğunu görmekteiz. Yıllar Anahtar Bilgi = f() fonksionunda girdiler ekseninde çıktılar ekseninde gösterilir. Çıktı Girdi f : R R ve f() = + ile verilen bir doğrusal fonksion olsun. A = {,,,, } ve B = {,,, } kümeleri verilior. Buna göre a. Tanım kümesinin bir alt kümesi olan A kümesindeki elemanların f altındaki görüntülerini bulalım. b. Görüntü kümesinin bir alt kümesi olan B kümesindeki elemanların, tanım kümesindeki hangi elemanların f altındaki görüntüleri olduğunu bulalım. c. Bu doğrusal fonksionun grafiğini, grafiğin ve eksenlerini kestiği iki noktaı kullanarak çizelim. d. Çizdiğiniz grafik üzerinde koordinatları, A kümesindeki elemanlar ve bu elemanların f altındaki görüntüleri olan noktaları gösterelim. Ünite. Fonksionlar 9

6 Bölüm. Fonksionların Grafikleri a. f nin A kümesinin elemanlarındaki değerlerini bulalım. f( ) = + =, f( ) = + =, f() = + =, f() = + = f() = + = b. Öncelikle f nin tanım kümesi R dir. Bu durumda, görüntüsü olan a! R şeklindeki a değerini bulalım. f(a) = den a + = ve de a = bulunur. Bu durumda görüntüsü olan tanım kümesinin elemanı dir. Bu durum, in f altındaki ters görüntüsü dir şeklinde de ifade edilmektedir. Benzer şekilde, f(b) = ise b + = ve b = ; f(c) = ise c + = ve c = ; f(d) = ise d + = ve d = olur. Bu durumda, ve sırasıla, ve ün f altındaki görüntüleridir. c. f nin grafiği, = + denklemile belirtilen doğrudur. Bu doğrunun eksenini kestiği noktanın bileşeni olacağından, = + eşitliğinden =, bulunur. Bu nedenle, (, ) noktası grafiğin eksenini kestiği noktadır. eksenile grafiğin kesişme noktasında bileşeni olacağından = + ve = olur. Dolaısıla, (, ) noktası grafiğin eksenini kestiği noktadır. Bölece f in grafiği (, ) ve (, ) noktalarından geçen doğrunun grafiği olarak şu şekildedir: (, ) (, ) 96 Ünite. Fonksionlar

7 Fonksion Grafiklerini Okuma ve Yorumlama d. A kümesinde bulunan elemanların f altındaki görüntülerini bulmuştuk. Bunlara karşılık gelen noktaların koordinatları (, ), (, ), (, ), (, ), (, ) dir. Bu noktaların ve bileşenleri fonksionun kuralı olan = f() ani = + eşitliğini sağladığından bu noktalar f nin grafiği üzerindedir ve şu şekilde grafikle gösterilirler: (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) Doğrusal fonksion için aptığımız bu işlemlerde herhangi bir fonksion için doğru olan şu bilgii kullandık: Bir (a, b) sıralı ikilisini oluşturan bileşenler bir f fonksionunun kuralı olan = f() eşitliğini b = f(a) şeklinde sağlarsa koordinatları (a, b) olan nokta f fonksionunun grafiği üzerindedir. Bunun tersi de doğrudur. Şöle ki, eğer = f() ile verilen fonksionun grafiği üzerindeki bir noktanın koordinatları (a, b) ise a ile b arasında b = f(a) ilişkisi vardır. Hatırlaacağımız gibi, a tanım kümesinden bir eleman ve b = f(a) ise b görüntü kümesine ait bir eleman olmalıdır. Bu durumda b, a nın f altındaki görüntüsüdür vea f nin a daki değeri b dir deriz. b görüntü kümesinden bir eleman ise b = f(a) eşitliğini sağlaan ve tanım kümesinin elemanı olan bir a vardır. Ancak, b = f(a) eşitliğini sağlaan a değerleri birden fazla olabilir ve hepsinin tanım kümesinde bir eleman olma zorunluluğu oktur. b değer kümesinden bir eleman, b = f(a) ve a tanım kümesinin bir elemanı ise b nin f altındaki bir ters görüntüsü a dır deriz. Ünite. Fonksionlar 97

8 Bölüm. Fonksionların Grafikleri Şu ana kadar bir fonksionun tanım kümesini, görüntü kümesini ve tanım kümesindeki elemanların fonksion altındaki görüntülerini bulmaı, fonksionun değerler tablosunu vea fonksionun kuralını kullanarak öğrendik. Şimdi ise fonksionun grafiğini kullanarak da bunların bulunabileceğini göreceğiz. Önce belirttiğimiz ilişkileri, fonksionun grafiği, tanım kümesi ve görüntü kümesi açısından eni bir açıklamala tekrar edip detalandıralım. f fonksionunun grafiği üzerindeki bir noktadan eksenine çizdiğimiz dik doğrunun eksenini kestiği noktanın bileşeni, f in tanım kümesinin elemanıdır. Benzer şekilde fonksionun grafiği üzerinden alınan bir noktadan eksenine çizdiğimiz dik doğrunun eksenini kestiği noktanın bileşeni, f in değer kümesinin elemanıdır. Bu işlemi fonksionun grafiği üzerindeki her bir nokta için aparak, fonksionun tanım kümesini ve görüntü kümesini bulabiliriz. Bir fonksionun grafiği verildiğinde tanım kümesindeki herhangi bir a değerinin bu fonksion altındaki görüntüsünü bulabiliriz. Bunun için ekseni üzerinde a değeri ile belirtilen noktaı buluruz. Bu noktadan eksenine dik bir doğru çizerek bu doğrunun fonksionun grafiğini kestiği noktaı buluruz. Grafik üzerinde bulduğumuz bu noktadan eksenine dik bir doğru çizeriz. Bu doğru anı zamanda da eksenine paraleldir. Bu doğrunun eksenini kestiği noktaa karşılık gelen b değeri, a nın f altındaki görüntüsü olur. Örneğin bu işlemler bir grafik üzerinde aşağıdaki gibi belirtilebilir: b a Diğer taraftan, bir fonksionun grafiği verildiğinde değer kümesindeki herhangi bir b değerinin varsa bu fonksion altındaki ters görüntülerini bulabiliriz. Bunun için ekseni üzerinde b değeri ile belirtilen noktaı buluruz. Bu noktadan eksenine dik bir doğru çizerek bu doğrunun fonksionun grafiğini kestiği noktaları buluruz. Bu noktalar en az bir tanedir. Grafik üzerinde bulduğumuz bu noktalardan eksenine dik doğrular çizeriz. Bu doğrular anı zamanda da eksenine paraleldir. Bu doğruların eksenini kestiği noktalara karşılık gelen değerler, b nin f altındaki ters görüntüleridir. Örneğin, aşağıdaki grafik üzerindeki b için bunları aparsak b nin ters görüntüleri a ve c olur ve şu şekilde gösterilebilir: b c a 98 Ünite. Fonksionlar

9 Fonksion Grafiklerini Okuma ve Yorumlama g fonksionunun grafiği şu şekildedir: Buna göre, bu fonksionun a. Tanım kümesini b. Görüntü kümesini c. Tanım kümesindeki, ve ün g altındaki görüntülerini ç. Görüntü kümesindeki, ve ün g altındaki ters görüntülerini bulalım. a. Fonksionun grafiği üzerindeki her bir noktadan eksenine çizdiğimiz dik doğrular eksenini tanım kümesinin elemanlarına karşılık gelen noktalarda kesecektir. Bu dik doğruların eksenini kestiği noktalar andaki grafikte eşil ile gösterilmiştir. O halde g nin tanım kümesi 6 ",,, olur. b. Fonksionun grafiğinin her bir noktasından eksenine dik doğrular çizdiğimizde bu doğruların eksenini kestiği noktalara karşılık gelen değerler görüntü kümesini verecektir. Bu noktalar andaki grafikte mavi ile gösterilmiştir. Dolaısıla g nin görüntü kümesi [, ] olarak bulunur. Bu durumda fonksionumuz g 6 $ B şeklinde olacaktır. Burada B kümesi g nin değer kümesi ve ",,, h= kümesi de g nin görüntü kümesidir. Grafikteki bilgilerden B hakkında söleebileceğimiz tek şe [, ] B olduğudur. Ünite. Fonksionlar 99

10 Bölüm. Fonksionların Grafikleri c. ekseni üzerinde, ve noktalarını bulup bu noktalardan geçen ve eksenine dik olan doğrular g nin grafiğini andaki şekilde belirtilen (, ), (, ) ve (, ) noktalarında keser. Bu noktalardan eksenine çizdiğimiz dik doğrular da eksenini ine andaki şekilde belirtilen noktalarda kesecektir. Bu nedenle, ve ün g altındaki görüntüleri sırasıla, ve tür. Yani g( ) =, g() = ve g() = tür. ç. ekseninde, ve noktalarını bulalım. Bu noktalardan eksenine paralel doğrular çizelim. Bu doğruların g nin grafiğini kestiği noktalar andaki şekilde belirtilen noktalarda keser. Bu noktalardan eksenine çizdiğimiz dik doğrular da eksenini ine andaki şekilde görüldüğü gibi,,,,, noktalarında kesecektir. Bu nedenle in g altındaki ters görüntüsü, ani g( ) =, ün g altındaki ters görüntüsü, ani g() = ün g altındaki ters görüntüleri,, ve tür. Yani g() = g() = g() = g() = tür. ün birden fazla ters görüntüsünün olduğuna dikkat edelim. Ünite. Fonksionlar

11 Fonksion Grafiklerini Okuma ve Yorumlama f fonksionunun grafiği şekildeki gibidir. Buna göre; Bunu bilior mudunuz f() = a. f in tanım ve görüntü kümelerini bulalım. b. f in tanım kümesinden alınan - -,,,,, ve ün f altındaki görüntülerini bulalım. c. Görüntü kümesindeki elemanlardan hangilerinin f altındaki ters görüntüsünün tanım kümesinden birer, ikişer vea üçer elemandan oluştuğunu bulalım. ç. ; -, E ve ;, E aralıklarında er alan elemanların f altındaki görüntülerinin oluşturdukları kümeleri bulalım. Kule aakları arasındaki orta açıklığı 9 metre ve temelden itibaren kule üksekliği metre olan Fatih Sultan Mehmet Köprüsü Temmuz 988 de işletmee açıldı. Bir kuleden metre uzaklıktaki halatların üksekliğini aklaşık olarak hesaplamak için, kuralı h ( ) = ( - ) + olan gerçek saılarda tanımlı h fonksionundan ararlanabiliriz. a. Tanım kümesini grafikten eksenine çizdiğimiz dik doğrularla aşağıdaki grafikte eşille belirtildiği gibi [, ] şeklinde buluruz. Görüntü kümesini grafikten eksenine çizdiğimiz dik doğrularla aşağıdaki şekilde mavile belirtildiği gibi - ;, E şeklinde buluruz. f() = Ünite. Fonksionlar

12 Bölüm. Fonksionların Grafikleri - b. -,,,,, ve noktalarının f altındaki görüntüleri sırasıla,, -,,,- ve dir. c. = doğrusu grafiği iki noktada kesmektedir ki bunlardan birinin koordinatları (, ) dir. Benzer şekilde = doğrusu ani ekseni, grafiği iki noktada kesmektedir ki bu noktaların koordinatları c, m ve c, m dır. Bu nedenle, görüntü - kümesindeki ve nin f altındaki ters görüntüleri ikişer elemandır. ekseninde ile nin arasında er alan herhangi bir erden eksenine paralel bir doğru çizersek grafiği üç noktada keser. Bu nedenle, görüntü kümesindeki elemanlardan (, ) aralığında olanların f altındaki ters görüntüleri üçer elemandır. - Görüntü kümesindeki diğer elemanların, ani =, n, c, E kümesindeki elemanların f altındaki ters görüntüleri birer tanedir. - ç. Tanım kümesinde olup ;, E aralığında er alan elemanların görüntülerinin oluşturduğu küme ;, E tür. Benzer şekilde ;, E aralığında er alan elemanla- rın görüntülerinin oluşturduğu küme [, ] dir. Şimdi görüntü olan elemanlar ile ters görüntü olan elemanların oluşturduğu kümeler için kullanacağımız sembolik gösterimleri tanımlaalım. A ve B kümeleri ile f A $ B fonksionu verilsin. Herhangi bir C ve D kümeleri C A ve D f^aholsun. Bu durumda tanım kümesinin bir alt kümesi olan C kümesindeki elemanların f altındaki görüntülerinin oluşturduğu kümee kısaca C nin f altındaki görüntüsü denir ve f(c) ile gösterilir. Bu küme ortak özellik öntemile şeklinde belirtilir. f(c) = {f() : C} Benzer şekilde görüntü kümesinin bir alt kümesi olan D kümesindeki elemanların f altındaki ters görüntülerinin oluşturduğu kümee D kümesinin f altındaki ters görüntüsü deriz ve bu kümei ortak özellik öntemile şeklinde gösteririz. D nin f altındaki ters görüntüsü = { A : f() D} Ünite. Fonksionlar

13 Fonksion Grafiklerini Okuma ve Yorumlama f : R R ve f() = a + b doğrusal fonksionu ile c < d ve n < m şartlarını taşıan c, d, n, m gerçek saıları için a. [c, d] nin f altındaki görüntüsü b. [n, m] nin f altındaki ters görüntüsü kümelerini bulalım. Burada olduğu gibi herhangi bir f doğrusal fonksionunun grafiğine bakacak olursak, f doğrusal fonksionu eksenindeki bir kapalı (açık) aralıktaki elemanları eksenindeki bir kapalı (açık) aralıktaki elemanlarla eşlemektedir. f in grafiğinin bu eşlemee karşılık gelen kısmı ise bir doğru parçasıdır. Bu doğru parçasının uç noktalarının koordinatlarını, kapalı aralıkların uç noktaları ve f altındaki görüntüleri oluşturmaktadır. Bu nedenle çözüme aşağıdaki gibi devam edebiliriz. a. [c, d] nin f altındaki görüntüsü f([c, d]) dir. f(c) = ac + b ve f(d) = ad + b dir. Burada, a> iken f(c) < f(d) olduğundan, f([c,d]) = [f(c),f(d)] = [ac + b, ad + b] olacaktır. Eğer a< ise f(c) > f(d) olduğundan f([c,d]) = [f(d), f(c)] = [ad + b, ac + b] İkinci bir ol olarak, a> iken f^6c, d@ h6f^ch, f^dh@ ve 6f^ch, f^dh@ h olduğu gösterilerek f^6c, d@ h ve 6f^ch, f^dh@ kümelerinin eşitliği gösterilebilir. a< iken de benzer bir ol izlenebilir. Grafikteki ilgili doğru parçasının uç noktaları ise (c,ac + b) ve (d,ad + b) noktalarıdır. b. Görüntü kümesinde er alan n ve m elemanlarının f altındaki ters görüntüleri sırasıla u ve v olsun. Bu durumda f(u) = n ve f(v) = m dir. Buradan au + b = n ve ^n- bh ^m- bh av + b = m olur. Dolaısıla, u =, v = olarak bulunur. Bu durumda, [n, m] nin f altındaki ters görüntüsü a > iken ;, Eve a< a a ^n-bh ^m-bh a a ^m-bh ^n-bh iken ;, E aralığıdır. Grafikteki ilgili doğru parçasının uç noktaları a a n b m b ise c, n m ve c, m m noktalarıdır. a a Ünite. Fonksionlar

14 Bölüm. Fonksionların Grafikleri = + Yanda g fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre, a. Fonksionun tanım, değer ve görüntü kümelerini bulalım. b. Tanım kümesinin bir alt kümesi olan (,] ün g altındaki görüntüsünü bulalım. c. Görüntü kümesinin bir alt kümesi olan [,] ün g altındaki ters görüntüsünü bulalım. a. Tanım kümesinin R olduğu grafikten anlaşılmaktadır. Benzer şekilde, görüntü kümesinin R olduğu grafikten anlaşılmaktadır. Bu durumda değer kümesi de görüntü kümesine eşit olarak R olacaktır. b. (, ] nin g altındaki görüntüsü g((, ]) dir. Arıca, g() = ve g() = dır. Dolaısıla, bir önceki örnektekine benzer olarak g((, ]) = [g(), g()) = [,) olur. c. [, ] ün g altındaki ters görüntüsü [, ] dir. 6 h 6 R fonksionunun kuralı h() = + olarak verilior. Bu fonksionun görüntü kümesini bulalım ve grafiğini çizelim. Tanım kümesi Değer kümesi Bu fonksionun tanım kümesi [, ] ve değer kümesi de R olarak verilmiştir. Bu fonksionun grafiğini çizmek için doğrusal fonksionların çiziminde izlediğimiz oldan fadalanabiliriz. Çünkü h nin tanım kümesi R olsadı bir doğrusal fonksion olurdu ve doğrusal fonksionların bir önceki örnekte belirtilen özelliklerini h için de kullanabiliriz. O halde h nin grafiği, [, ] aralığındaki elemanları [h( ), h()] ani [, ] aralığındaki elemanlarla eşlemektedir. Diğer bir ifadele, h nin görüntü kümesi [, ] tür. Arıca h nin grafiği, uç noktaları (, ) ve (, ) olan doğru parçasıdır. Bu bilgiler doğrultusunda h fonksionunun grafiği andaki şekildedir. Ünite. Fonksionlar

15 Fonksion Grafiklerini Okuma ve Yorumlama 7 Bir fidanın dikildiği andan itibaren ıllara göre büüme grafiğinin aşağıdaki gibi olduğunu varsaalım Buna göre; a., 6 ve 7. ıllarda fidanın bounu bulalım. b. Kaçıncı ılda fidanın bounun metre ve kaçıncı ılda metre olduğunu bulalım. c. Fidanın bounun metreden metree çıkana kadar geçen zaman aralığını grafikte zamanın belirtildiği eksen üzerinde gösterelim. ç. Fidanın bou metre iken kaç ıl sonra fidanın bou metre olduğunu bulalım. a. Grafiği bir f fonksionunun grafiği olarak düşünelim. Örneğin, verilen grafik, f: [, 9] $ [, ] şeklinde bir fonksionun grafiği olarak düşünülebilir. Bu durumda, 6, 7. ıllardaki fidanın bou sırasıla f(), f(6), f(7) değerleridir. Grafikten f() =, f(6) =, f(7) = olduğu görülmektedir. Ölese fidanın bou. ılda metre, 6. ılda metre, 7. ılda metre olur. Ünite. Fonksionlar

16 Bölüm. Fonksionların Grafikleri b. Fidanın bounun ve metre olduğu ıllar f() = ve f(t) = eşitliğini sağlaan ve t değerleridir. Diğer bir ifadele bu değerler, f in görüntü kümesindeki ve elemanlarının f altındaki ters görüntüleridir. Ters görüntüleri bulmak için grafik üzerinde apacağımız işlem andaki grafik üzerinde şekilde belirtilmiştir Fidanın bou (m) Zaman (ıl) Bölece, ün ters görüntüsü, ün ters görüntüsü 8 olduğundan fidanın bounun metre olduğu ıl. ıldır. Benzer şekilde fidanın bounun metre olduğu ıl 8. ıl olur. c. Fidanın bounun m den m e çıktığı süreci grafik üzerinde andaki gibi belirtebiliriz. Bodaki değişim aralığını dike eksende mavi ve buna karşılık gelen zaman aralığını da ata eksende eşil ile gösterdik. Bu soruu f fonksionu için şu şekilde de ifade edebiliriz: f in görüntü kümesinin bir alt kümesi olan [,] aralığının f altındaki ters görüntüsü nedir? Grafikten de anlaşılacağı üzere bu sorua cevabımız [, 8] şeklindedir. Fidanın bou (m) Zaman (ıl) ç. Zaman aralığındaki değişim süresi 8 = 7 ıldır. Diğer bir ifadele, fidanın bou metre iken 7 ıl sonra fidanın bou metre olur. 6 Ünite. Fonksionlar

17 MATEMATİK ATÖLYESİ Bu atöle çalışmasında bir fonksionun tanım ve değer kümesi değiştiğinde grafiğinde oluşan değişiklikleri inceleeceğiz. f() = + fonksion kuralı verilior. Buna göre bu fonksionun; Adım Tanım kümesi A = {,,,, } değer kümesi B = {,,,,,,,, } olacak şekilde grafiğini çiziniz. Adım Tanım kümesi A = {,,,, } değer kümesi B = {,,,,,, } olacak şekilde grafiğini çiziniz. Adım Tanım ve değer kümesi doğal saılar olacak şekilde grafiğini çiziniz. Adım Tanım ve değer kümesi tamsaılar olacak şekilde grafiğini çiziniz. Adım Tanım kümesi tamsaılar değer kümesi reel saılar olacak şekilde grafiğini çiziniz. Çizdiğiniz bu grafiklerden ola çıkarak; Adım 6 Değer kümesindeki değişimin grafiği nasıl etkilediğini belirtiniz. Adım 7 Tanım kümesindeki değişimin grafiği nasıl etkilediğini belirtiniz. Ünite. Fonksionlar 7

18 Bölüm. Fonksionların Grafikleri 8 Yandaki grafiğe göre aşağıda istenenleri apalım. a. Grafiği verilen fonksionun tanım ve değer kümelerini bulalım. b. Grafiğin kou kısmı grafiği olan fonksionun tanım ve görüntü kümelerini bulalım. a. Tanım ve değer kümeleri gerçek saılar kümesi olabilir. b. Grafikte mavi çizgile verilen kısmın üzerindeki noktalara karşılık gelen eksenindeki değerler [, ] aralığındadır. Yine grafikteki bu noktalara karşılık gelen eksenindeki değerler [,] aralığındadır. Dolaısıla grafikte belirtilen kısım, tanım kümesindeki [, ] aralığındaki elemanların görüntü kümesindeki [, ] elemanları ile ilişkilendirilmesi ile elde edilmiştir. 8 Ünite. Fonksionlar

19 MATEMATİK ATÖLYESİ Bu atöle çalışmasında verilen bir grafiğin fonksion grafiği olup olmadığını belirlemee çalışacağız. Aşağıdaki grafikleri inceleiniz. f : R R g : R R h : R R 6 f g 9 h k : 6, h l :" a, bcd,,, " " a, bcd,,, R m: R R d k c b a a b c d Adım Her bir grafik için tanım ve değer kümelerini belirleiniz. Adım Her bir grafikte grafiğe dike doğrular ( eksenine paralel doğrular) çiziniz. Adım Çizdiğiniz her bir dike doğrunun grafiği kestiği nokta/noktalar ile eksenini kestiği noktaı işaretleiniz. Adım Grafiğe çizilen dike doğruların eksenini kestiği noktaların tanım kümesinin elemanları olduğunu düşünerek tanım kümesinden bir eleman değer kümesinden kaç elemanla eşleştiğini verilen grafikler için belirleiniz. Adım Elde ettiğiniz sonuca göre ukarıdaki grafiklerden hangileri fonksion grafiğidir? Ünite. Fonksionlar 9

20 Bölüm. Fonksionların Grafikleri Bunu bilior mudunuz Bir bilgisaar klavesindeki her bir tuşun bir görevi (bir fonksionu) vardır. Belirli bir harfi vea karakteri azmak için o tuşa basarız. Bir tuş birden fazla karakteri azmak için kullanılmaz. Zaten bundan dolaı da bazı karakter ve sembollerin azılması için birkaç tuş kombinasonu kullanılarak eni tuşlar elde edilmiştir. f fonksionu A R kümesinden B R kümesine tanımlı bir fonksion olsun. Fonksionların grafiksel gösterimlerile ilgili açıklamalarımızdan anlaşılacağı üzere, koordinatları f in aptığı ilişkilendirmelerle belirlenen ikililer olan noktaların kartezen düzlemde gösterilmesi f in grafiğini vermektedir. Bu nedenle, daha önce de belirttiğimiz gibi f in grafiği R R nin bir alt kümesi olmaktadır. Şimdi bunun tersinin doğru olup olmadığını düşünelim: R R nin herhangi bir alt kümesi, bir fonksionun grafiği şeklinde düşünülebilir mi? Bu sorua, fonksion grafiklerile ilgili bazı bilgileri hatırlatarak ve bazı örnekleri göz önünde bulundurarak cevap araalım. Bir fonksion grafiğinin üzerindeki noktalardan eksenine dik doğrular (dike doğrular) çizildiğinde bu doğruların eksenini kestiği noktaların bileşenleri tanım kümesinin elemanlarıdır. Diğer taraftan, ekseni üzerinde olup tanım kümesinde er alan bir elemana karşılık gelen bir noktadan geçen ve eksenine dik olan bir doğru çizdiğimizde, bu doğru fonksionun grafiğini mutlaka bir noktada kesmeli ve birden fazla noktada da kesmemelidir. Bahsettiğimiz durumlara birer örnek verelim:. eksenini = a noktasında kesen dike doğru, verilen grafiği kesmiorsa bu grafik tanım kümesinde a ı eleman olarak bulunduran bir fonksiona ait olamaz. Çünkü, a değerine karşılık değer kümesinde a ile eşlenen bir eleman olmaacaktır; bu da fonksion olma kuralına akırıdır. Grafiğin, bu tür a a elemanlarını dışlaarak oluşturduğumuz tanım kümesine sahip bir fonksion grafiği olabileceği arıca düşünülmelidir.. eksenini = a noktasında kesen dike doğru grafiği bir noktada kesior olsun. Bu durumda tanım kümesindeki a değeri, değer kümesinden bir elemanla eşlenmiştir. Eğer ekseni üzerinde belirlediğimiz bir tanım kümesine karşılık gelen noktalardan çizilen tüm dike doğrular grafiği alnız a bir noktada kesiorsa tanım kümesindeki her bir eleman değer kümesinden alnız bir elemanla eşlenmiş demektir. Ölese bu durumda, grafik belirlediğimiz tanım kümesine sahip bir fonksionun grafiğidir.. a eksenini = a noktasında kesen doğru grafiği birden fazla noktada kesiorsa, bu grafik tanım kümesinde a ı eleman olarak bulunduran bir fonksiona ait olamaz. Çünkü, a elemanı değer kümesinden birden fazla elemanla eşlenmiştir, bu da fonksion olma kuralına akırıdır. Bu durumda grafik herhangi bir fonksion grafiği olamaz. Ünite. Fonksionlar

21 Fonksion Grafiklerini Okuma ve Yorumlama 9 Aşağıdaki seçeneklerdeki grafiklerin, tanımlandıkları kümelerde bir fonksionun grafiği olup olmaacağını bulunuz. Dikkat a. f : R R b. f 6-a, a@ $ 6-b, b@ a b b a Verilerin grafiksel gösterimi her zaman bir fonksion grafiği şeklinde değildir. Benzer şekilde çizdiğimiz bir grafik her zaman bir fonksion grafiği olmaabilir. c. f : R R d. h "-,-,,,, $ ",,,,, (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) Anahtar Bilgi Bir grafiğe dike doğrular çizerek bir grafiğin fonksion grafiği olup olmadığını anlama öntemine dike doğru testi denir. Dike eksen değer kümesi, ata eksen tanım kümesi olmak üzere grafiği kesecek şekilde çizilen dike doğrular; a. Grafikte ekseni bounca çizilen her dike doğru grafiği alnız bir noktada kestiğinden verilen tanım kümesi olan R deki her eleman değer kümesinden alnız bir elemanla eşleşmiştir. Bu üzden bu grafik f : R R şeklindeki bir fonksionun grafiği olabilir. grafiği her zaman birer noktada kesiorsa grafik fonksion grafiğidir. grafiği birden fazla noktada kesiorsa grafik fonksion grafiği değildir. Ünite. Fonksionlar

22 Bölüm. Fonksionların Grafikleri b. a b b a ekseni üzerindeki ( a, a) aralığında çizilen her dike doğru verilen grafiği iki noktada kesmektedir. Bu üzden bu grafik, önerilen f: [ a, a] [ b, b] şeklindeki bir fonksionun grafiği olamaacağı gibi, başka tür bir fonksionun da grafiği olamaz. c. b a eksenindeki dike doğrulardan = a haricindekiler grafiği bir noktada kesmiştir. Sadece a noktasında fonksionun değeri oktur. Önerilen fonksion f : R R şeklinde ve tanım kümesi R olduğundan, verilen grafik f gibi bir fonksionun grafiği değildir. Ancak, bu verilen grafiğin g R- " a, $ R şeklinde bir fonksionun grafiği olabileceğine dikkat edelim. ç. (, ) (, ) (, ) (, ) h:{,,,, } {,,,,} (, ) Tanım kümesindeki her noktadan geçecek şekilde dik doğrular çizdiğimizde bu doğrular grafiği alnızca bir noktada keser. Bu durumda verilen grafik h: {,,,, }$ {,,,, } fonksionunun grafiğidir. Benzer şekilde, ",,,,, Biin ç g "-,-,,,, $ B şeklindeki bir fonksionun da grafiği olabilir. Ancak verilen grafik, "-,-,,,, A R ve "-,-,,,,! A şeklindeki bir A kümesi için f A $ R olan bir fonksionun grafiği değildir. Ünite. Fonksionlar

23 Fonksion Grafiklerini Okuma ve Yorumlama Aşağıda verilen grafiklerin, ilgili tanım kümelerine ugun bir fonksion grafiği olup olmaacağını bulunuz. a. f 6 -, h $ R b. g 6, h $ R c. h : R $ R h f - g Dike doğru testini, belirtilen fonksionların tanım kümelerini dikkate alarak verilen grafiklerde ugulaalım. a. f 6 -, h $ R b. g 6, h $ R c. h : R $ R h - f a. Verilen grafik f 6 -, h $ R şeklindeki bir fonksionun grafiğidir. Çünkü, 6 -, h aralığındaki dike doğrular verilen grafiği hep birer noktada kesmektedir. b. Verilen grafik g 6, h $ R şeklindeki bir fonksionun grafiği olmadığı gibi = f() şeklindeki herhangi başka bir f fonksionunun da grafiği değildir. Çünkü tanım kümesi olan ^, h aralığındaki her hangi bir dike doğru grafiği iki noktada kesmektedir. c. Verilen grafik h R $ R şeklindeki bir fonksionun grafiği olmadığı gibi = f() şeklindeki herhangi başka bir f fonksionunun da grafiği değildir. Çünkü bazı dike doğrular grafiği iki noktada kesmektedir. Ünite. Fonksionlar

24 Bölüm. Fonksionların Grafikleri,, (, ),,,, (, ) f,, (, -) f fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre, a. f in tanım ve görüntü kümelerini bulunuz. b. f([, ]) ifadesinin eşitini bulunuz. c. [,] kümesinin f altındaki ters görüntüsünü bulunuz.,, (, ),,,, (, ) f,, (, -) a. Aşağıdaki şekilde grafiğin tanım kümesi ekseni üzerinde eşil doğru parçası ile görüntü kümesi de ekseni üzerinde mavi doğru parçası ile gösterilmiştir. Dolaısıla tanım kümesi [, ], görüntü kümesi ise [, ] dır. b. Öncelikle [,] ile [,] aralıklarının f altındaki görüntülerinin anı olduğuna dikkat edelim. [,] in f altındaki görüntü-,, (, ),,,, (, ) f,, (, -) sü andaki grafikte mavi doğru parçası ile gösterilmiştir. Dolaısıla, - f([, ]) = f([, ]) = [, ] dır. c. f nin görüntü kümesinin [, ] aralığı olduğunu bulmuştuk. Herhangi bir fonksionda, görüntü kümesinin fonksion altındaki ters görüntüsü tanım kümesidir. Arıca, bu fonksionun tanım kümesi [, ] olarak bulunmuştur. Dolaısıla [, ] ın f altındaki ters görüntüsü [, ] dır. Ünite. Fonksionlar

25 Fonksion Grafiklerini Okuma ve Yorumlama (, ) ( -, ) ( +, ) (,- ) h (, ) Bir h fonksionunun grafiği anda verilmiştir. Buna göre, a. h nin tanım ve görüntü kümelerini bulunuz. b. [, ] in h altındaki görüntüsünü bulunuz. c. (, ] ün in h altındaki görüntüsünü bulunuz. ç. ın h altındaki görüntüsünü ve nin h altındaki ters görüntüsünü bulunuz. d. [, ] kümesinin f altındaki ters görüntüsünü bulunuz. h a. h fonksionunun grafiğinde tanım kümesi eşil doğru, görüntü kümesi de mavi arı doğru ile belirtilmiştir. Dolaısıla h nin tanım kümesi (, ) ve görüntü kümesi [, ) dur. (,- ) (,- ) ( -, ) ( +, ) (,- ) b. h fonksionunun grafiğinde belirtilen mavi doğru parçası h([, ]) dir. Dolaısıla, h([, ]) = [, ] dir. c. Benzer şekilde verilen grafikten anlaşılacağı üzere h((, ]) = [, ] dir. ç. Verilen grafikten h() =, h( ) = h() = olduğu görülür. Bu durumda, nin görüntüsü dir. nin ters görüntüleri ve tür. d. [,] kümesinin h altındaki ters görüntüsü andaki grafikte eşil doğru parçalarıla belirlenmiştir. Dolaısıla, cevap 6, dir. Ünite. Fonksionlar

26 Bölüm. Fonksionların Grafikleri g fonksionunun grafiği anda verilmiştir. Buna göre, a. g nin tanım ve görüntü kümelerini bulunuz. b. [, ] in g altındaki ters görüntüsünü bulunuz. = g() a. g nin tanım kümesi R ve görüntü kümesi 6, h dur. g b. Aşağıda belirtilen grafiklerden anlaşılacağı üzere [, ] ün g altındaki ters görüntüsü 6-, -@, tür. g g 6 Ünite. Fonksionlar

27 Fonksion Grafiklerini Okuma ve Yorumlama KENDİMİZİ SINAYALIM Kavram Yoklama ve Muhakeme Ugulama Soruları. Aşağıda boş bırakılan erlere ugun ifadeleri azınız. a. Bir fonksionun grafiğinde girdiler... ekseninde çıktılar ise... ekseninde gösterilir.. A = {,, } ve f: A R fonksionunun kuralı f() = + olduğuna göre, f(a) görüntü kümesini bulunuz. b. Bir fonksionun kartezen düzlemde gösterilmesine... gösterim denir. c. Fonksionun grafiğinin girdilerinin kümesine... çıktılarının kümesine... kümesi denir.. g: A R, g() = fonksionu için g(a)= [,] ise A kümesini bulunuz.. Aşağıdaki verilen olalarla ilgili grafiklerin hangisi/ hangileri bir fonksion belirtmez? a. Bir bardağa bir musluktan su doldurulurken bardaktaki su üksekliğinin zamana bağlı değişimi. b. Bir maçtaki atılan gol saısının zamana bağlı değişimi. c. Bir çadanlık su ısıtıldığında suun sıcaklığının zamana bağlı değişimi. ç. Bir şehirdeki insanları sahip oldukları kredi kartlarına eşleme ilişkisi.. Gerçek saılarda tanımlı f fonksionunun grafiği aşağıda verilmiştir. Buna göre, [,9] kümesinin f altındaki görüntü kümesi nedir? Ünite. Fonksionlar 7

28 Fonksion Grafiklerini Okuma ve Yorumlama KENDİMİZİ SINAYALIM. Gerçek saılar kümesi üzerinde tanımlı aşağıda grafiği verilen fonksion için B = [,8] kümesinin ters görüntü kümesi nedir? f fonksionunun verilen grafiğine göre f() + f() f( ) değeri kaçtır? f. Aşağıdaki grafikler f ve g fonksionlarının grafikleri g( 6) - f( ) olduğuna göre değeri kaçtır? f( 6) - f( ) 8. Bir f fonksionunun grafiği aşağıdaki gibidir. f(a) = 6, f(b) =, f(c) = ise a + b c değeri kaçtır? f g (, ) 6 (, ) 6. Bir doğrusal fonksion grafiği aşağıdaki gibidir. Bu grafikte verilen k değeri kaçtır? k 9. Şekilde bir f fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre f() = a, f(a) = b ve f(b) = c ise c kaçtır? (, ) (, ) (, ) 8 Ünite. Fonksionlar

29 Fonksion Grafiklerini Okuma ve Yorumlama KENDİMİZİ SINAYALIM. Grafiği verilen f fonksion için f(-)= ise in alabileceği değerler toplamı kaçtır?. (, ) f (, ) (, ) Yukarıda bir f fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre; a. f in tanım ve görüntü kümelerini bulunuz.. Aşağıda grafiği verilen fonksionların tanım ve görüntü kümelerini belirleiniz. a. A(,) B(,) f b. A = {-,,, } kümesinin f altındaki görüntüsünü bulunuz. c. A = { - } kümesinin f altındaki görüntüsünü bulunuz. ç. B = {,, } kümesinin f altındaki ters görüntüsünü bulunuz. d. B = {, } kümesinin f altındaki ters görüntüsünü bulunuz. b. A(,) g C(,) Ünite. Fonksionlar 9

30 Fonksion Grafiklerini Okuma ve Yorumlama KENDİMİZİ SINAYALIM.. f: R " R, f( ) = 7 fonksionu verilior. a. f fonksionun grafiğini çiziniz. b. [, ] aralığının f altındaki görüntüsünü bulunuz ve grafikte gösteriniz. c. Görüntüsü -9 olan elemanın f altındaki ters görüntüsünü bulup grafikte gösteriniz. Yukarıda bir g fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre; a. g nin tanım ve değer kümelerini bulunuz. 6. b. A = {-, -, -,,, } kümesinin g altındaki görüntüsünü bulunuz. c. A = { - } kümesinin g altındaki görüntüsünü bulunuz. ç. B = { } kümesinin g altındaki ters görüntüsünü bulunuz. d. B = {,,, } kümesinin g altındaki ters görüntüsünü bulunuz.. A= {,,,, } ve fa : " R fonksionunun kuralı f ( ) = +, ile verilior. a. f fonksionunun değerler tablosunu oluşturunuz. b. f fonksionun grafiğini çiziniz. Tanım, değer ve görüntü kümelerini grafik üzerinde gösteriniz. Grafiği verilen f fonksionu için; a. tanım, değer ve görüntü kümelerini bulunuz. b. = ve = elemanlarının f altındaki görüntülerini bulunuz. c. = ve = çıktılarının f altındaki ters görüntülerini bulunuz. Ünite. Fonksionlar

31 Fonksion Grafiklerini Okuma ve Yorumlama KENDİMİZİ SINAYALIM Aşağıdaki grafiklerin hangileri bir fonksion grafiği olabilir? Nedenini çıklaınız. a Grafiği verilen fonksion için; a) =-, =, = ve = elemanlarının bu fonksion altındaki görüntülerini bulunuz. b) =-, = ve =- çıktılarının bu fonksion altındaki ters görüntülerini bulunuz. 8. Aşağıdaki verilen grafiklerin = f() şeklinde bir fonksion grafiği olup olmadığını bulunuz. b c Ünite. Fonksionlar

32 Fonksion Grafiklerini Okuma ve Yorumlama KENDİMİZİ SINAYALIM ç. f. d. 6 6 g. 6 e. Ünite. Fonksionlar

33 MATEMATİK ATÖLYESİ Bu atöle çalışmasının amacı, f() = n (n Z) biçimindeki fonksionların davranışlarının bilgi ve iletişim teknolojilerinden ararlanılarak incelenmesidir. Araç ve Gereçler: Elektronik tablolama, grafik hesap makinesi, bilgisaar cebir sistemi, dinamik matematik/geometri azılımı vb. grafik çizimi apılabilen bir araç/azılım Adım Grafik çizimi apabilen bir araç/azılım kullanarak; n =,, 6, 8, değerleri için = n fonksionlarının grafiklerini çiziniz. Adım n =,, 6, 8, değerleri için = n fonksionlarının grafiklerini farklı renklerde anı koordinat düzlemi üzerinde çiziniz. Bu tür grafiklerin ortak özellikleri için neler sölenebilir? Açıklaınız. Adım n = -, -, -6, -8, - değerleri için = n fonksionlarının grafiklerini anı eksen üzerinde çiziniz. Bu tür grafiklerin ortak özellikleri için neler sölenebilir? Açıklaınız. Adım n nin çift bir negatif vea pozitif tamsaı olması durumunda = n şeklindeki fonksionların grafiklerinin nasıl değiştiğini açıklaınız. Adım n =,,, 7, 9 değerleri için = n fonksionlarının grafiklerini farklı renklerde anı koordinat düzlemi üzerinde çizdirin. Bu tür grafiklerin ortak özellikleri için neler sölenebilir? Açıklaınız. Adım 6 n = -, -, -, -7, -9 değerleri için = n fonksionlarının grafiklerini anı koordinat düzlemi üzerinde çizdirin. Bu tür grafiklerin ortak özellikleri için neler sölenebilir? Açıklaınız. Adım 7 n nin çift olmaan bir negatif vea pozitif tamsaı olması durumunda = n şeklindeki fonksionların grafiklerinin nasıl değiştiğini açıklaınız. Adım 8 n nin tek vea çift bir pozitif tamsaı olması durumunda = n şeklindeki fonksionların görüntü kümelerinin nasıl değiştiğini açıklaınız. Yukarıdaki adımları, örneğin, bir dinamik matematik/geometri azılımı olan GeoGebra kullanarak aşağıdaki şekilde apabilirsiniz. (Geogebra azılımını vea adreslerinden ücretsiz indirebilir ve kullanabilirsiniz.) Ünite. Fonksionlar

34 MATEMATİK ATÖLYESİ Geogebra kurulu bir bilgisaarda, geogebraı açalım. Öncelikle bir sürgü oluşturalım: Araç çubuğundan Sürgü aracını sol tuşu ile tıklaın. seçin ve ekranın neresinde sürgüü oluşturmak istiorsanız oraa farenizin Karşınıza Sürgü aracı ile ilgili özelliklerin olduğu bir pencere gelecektir: Program sürgüe ilk değer olarak a ismini vermektedir. Sürgünün adını n olarak değiştirelim. Arıca sürgünün minimum ve maksimum değerleri ve artış miktarını da ukarıdaki şekilde görüntülendiği gibi belirledikten sonra Ugula tuşuna basınız. Ekranda beliren sürgüü hareket ettirdiğinizde n değeri de belirlediğiniz aralıkta belirlediğiniz artış miktarı ile değişecektir. GeoGebra ekranının sol alt köşesindeki Giriş ekranını kullanarak fonksionumuzu tanımlaacağız. ^ sembolü üst anlamına gelip ^n ifadesi matematiksel olarak n anlamına gelmektedir. Fonksionu girdikten sonra klaveden Enter/Return tuşuna basıldığında fonksion n sürgüsüne bağlı olarak oluşacaktır. Şimdi n değerini değiştirerek fonksionun nasıl değiştiğini gözlemleiniz. Aşağıda n = ve n = değerleri için oluşan grafiğe er verilmiştir. =f() n = n = =f() Ünite. Fonksionlar

35 Fonksion Grafiklerini Okuma ve Yorumlama... f() = n Biçimindeki Fonksionların Grafikleri Başlarken Neler Öğreneceğiz? f() = n biçimindeki fonksionların grafiklerini Bazı fonksionların grafiklerine vea benzerlerine mimaride, teknolojik araçlarda ve doğada rastlanmaktadır. Örneğin, fotoğraflarda görülen uza araştırmalarında kullanılan rado teleskopun/antenin, asma köprülerin ve kıvrımlı bir nehrin şeklini f() = n, n Z biçimindeki fonksionların grafiklerini kullanarak ifade edebiliriz. Ele aldığımız bir şeklin fonksion grafiği olarak modellenebilmesinin fadaları sizce neler olabilir? Anahtar Terimler Fonksion grafiği Sembol ve Gösterimler f() = n, n! Z br br Bir kenar uzunluğu br olan bir karenin alanını kenar uzunluğuna bağlı olarak değişen ve A() ile belirtilen bir çokluk olarak düşündüğümüzde A: R + R + ve A() = şeklinde bir fonksionla karşılaşırız. Benzer şekilde, bir kenar uzunluğu br olan bir küpün hacmini kenar uzunluğuna bağlı olarak değişen ve V() ile belirtilen bir çokluk olarak düşündüğümüzde V: R + R + ve V() = şeklinde bir fonksion elde ederiz. Bu fonksionların grafikleri kare ve küpte kenar uzunluk değiştikçe alan ve hacmin değişimini daha ii görmemizi sağlar. Dikkat edersek bu cebirsel kurallara sahip fonksionların da ve negatif gerçek saılarda da tanımlanabileceğini görebiliriz. Bu fonksionlar birçok durum için temel örnek niteliğindedir. Bu fonksionların grafiklerini bilmemiz bir gereklilik olduğu gibi, bunlardan daha karmaşık kurala sahip fonksionların grafiklerinin anlaşılmasında bir avantajdır. Ünite. Fonksionlar

36 Bölüm. Fonksionların Grafikleri Anahtar Bilgi f() = n biçimindeki fonksionların grafikleri çizilirken;. Fonksiona ait bir değerler tablosu oluşturulur.. Fonksionun grafiği üzerinde er alan ve koordinatları değerler tablosu ile verilen noktalar kartezen düzlemde gösterilir.. Düzlemde gösterilen noktalardan geçen bir eğri kabaca çizilir.. Bu işlem nokta saısını artırarak tekrar edilirse hata paı daha az olan bir grafik elde edilmiş olur.. Çoğu durumda grafiğin genel apısı göreceli olarak az saıda noktanın grafiksel gösterimi apılarak tespit edilebilmektedir. Bu kısımda göreceğimiz fonksionlar, n negatif bir tam saı iken f: R {} R ve n nin diğer tam saı durumları için f: R R şeklindeki olup aşağıdaki cebirsel kurallara sahip fonksionlardır: n = için f() = n = için f() = n = için f() = n = için f() = n = için f() = n = için f() = n = için f() = Bunlar kısaca n Z olmak üzere f() = n şeklinde de ifade edilebilir. Şimdi n nin bazı değerleri için bu tür fonksionların grafiklerini, fonksiona ait değerler tablosunu, ani fonksionun grafiği üzerindeki bazı noktaların koordinatlarını bularak çizmee çalışalım. n = için f: R R, f() = n fonksionunun grafiğini çizelim. f() = n = için f() = n = = olacağından, f fonksionu bir sabit fonksiondur. Daha önce gördüğümüz gibi bu fonksionun grafiği ekseninde den geçen ve eksenine paralel olan bir doğrudur. n = için f: R R, f() = n fonksionunun grafiğini çizelim. n = için f() = n = = olacağından f fonksionu bir birim fonksiondur. Yine daha önce ele aldığımız gibi bu fonksionun grafiği (,) orijin ve (,) noktalarından geçen bir doğrudur. Şimdi bu doğrunun grafiğini hemen çizmek erine, bundan sonraki örneklerde kullanacağımız bir öntemi anlatmak için ikiden fazla nokta kullanarak çizelim. Önce grafik üzerindeki bazı noktaların koordinatlarını belirlemek için fonksiona ait bir değerler tablosu oluşturalım. Sonra bu noktaları kartezen düzlemde gösterelim. 6 Ünite. Fonksionlar

37 f() = n Biçimindeki Fonksionların Grafikleri ( R) Grafikte gösterilen noktaların doğrusal olduğunu gözlemleebilioruz. Ama fonksion grafiğimiz olan doğrumuzu tam olarak elde etmiş değiliz. Şimdi aptığımız işlemleri, grafik üzerinde er alan daha fazla noktaı belirleerek tekrar edelim. Bu durumda grafik. Grafiksel Gösterimdeki gibi olacaktır.. Grafiksel Gösterim. Grafiksel Gösterim Bu grafik elde etmek istediğimiz doğru grafiğine daha çok benzior değil mi? Bu işlemleri her seferinde artırarak devam ettiğimizde f: R R, f() = fonksionun grafiği,. Grafiksel Gösterimdekine daha çok aklaşmış olacaktır.. Grafiksel Gösterim Ünite. Fonksionlar 7

38 Bölüm. Fonksionların Grafikleri n = için f: R R, f() = n fonksionunun grafiğini çizelim. n = için f() = n = dir. Bu fonksiona ait bir değerler tablosu ve bu değerlere karşılık gelen noktaların grafiksel gösterimi şu şekildedir: Yaptığımız işlemlere nokta saısını artırarak devam ettiğimizde ve tanım kümesinin tüm gerçek saılar olduğu düşünüldüğünde; f: R R, f() = fonksionunun grafiğinin andaki gibi olacağı anlaşılacaktır Bu fonksion tanım kümesindeki her elemanı, kendisinin karesile eşlenmektedir. Dolaısıla grafik üzerindeki noktaların ordinatları, apsislerden daha hızlı büümektedir. Arıca tanım kümesindeki her eleman hiçbir zaman negatif bir saı ile eşlenmemektedir. Benzer şekilde grafik üzerindeki nokta saısını artırırsak bu durumda grafik andaki gibi olacaktır Ünite. Fonksionlar

39 f() = n Biçimindeki Fonksionların Grafikleri Şimdi başka bir fonsionun grafiğini anı öntemle elde edelim. n = için f: R R, f() = n fonksionunun grafiğini çizelim. n = için f() = n = olur. Bu fonksion için bir değerler tablosu ve buna karşılık gelen noktaların grafiği. Grafiksel gösterimdeki gibi olacaktır. = f() 8 8 f: R R, f() = fonksionunda tanım kümesindeki her eleman değer kümesinden kendisinin küpüle eşlenmektedir. Dolaısıla grafiğin üzerindeki noktaların koordinatlarının apsislere göre büümesi daha önce incelediğimiz f() = fonksionundakinden çok daha hızlıdır. Değerler tablosuna eni değerler eklediğimizde, ani grafiksel gösterimini aptığımız noktası saısını arttırdığımızda grafik. Grafiksel Gösterimdeki gibi olacaktır. Fonksionun tanım kümesinin tüm gerçek saılar olduğu düşünüldüğünde f: R R, f() = fonksionunun grafiği. Grafiksel gösterimdeki gibi olacaktır Grafiksel Gösterim. Grafiksel Gösterim. Grafiksel Gösterim Ünite. Fonksionlar 9

40 Bölüm. Fonksionların Grafikleri Bunu bilior mudunuz Bilgisaar cebir sistemleri ile dinamik matematik/geometri azılımları fonksion grafiklerinin çizimini aparken, temelde bizim bu kısımda uguladığımız önteme benzeen metodları kullanırlar. Şöle ki, çizilecek grafik üzerinde belli saıdaki noktaı belirli aralıklardan seçer, bu noktaları grafik üzerinde gösterir ve bu noktaları ikişer ikişer birleştiren doğrular çizerler. Nokta seçimlerini ise burada belirtemeeceğimiz matematiksel bilgi ve teknikleri kullanarak akıllı bir şekilde aparlar. Örneğin f: ;-, E " [-, ] ve f() = ile verilen fonksionun grafiğini Mathematica programında grafiğin noktasını kullanarak çizdirirsek n = için: R R, f() = n fonksionunun grafiğini çizelim. n = için f() = = dir. Bazı değerleri için f fonksionunun aldığı değerler tablosu şu şekildedir: =f() Tablodaki değerler incelendiğinde; (-,) aralığında değerleri sıfıra aklaştıkça fonksionun değeri () negatif değerler alarak küçülmektedir ve değeri sıfıra aklaştıkça değerleri daha da küçülmektedir. (,) aralığında değerleri sıfıra aklaştıkça fonksionun değerleri () pozitif değerler alarak büümektedir ve değeri sıfıra aklaştıkça değerleri daha da büümektedir. değerleri negatif değerlerle küçüldükçe vea pozitif değerlerle büüdükçe fonksionun değerleri () a aklaşmaktadır. grafiğin noktasını kullanarak çizdirirsek grafiğin nokta saısı seçimini belirtmeden çizdirirsek grafiklerini elde ederiz Şimdi koordinatları tabloda verilen (,) ikilileri olan noktaları grafik üzerinde gösterelim: Tanım kümesi olan sıfır hariç tüm gerçek saılar düşünüldüğünde f: R {} R, f() = fonksionunun grafiğinin şöle olacağını görebiliriz: Ünite. Fonksionlar

41 f() = n Biçimindeki Fonksionların Grafikleri Şu ana kadar bu kısımda gördüğümüz fonksion grafiklerini bir arada görelim: n {,,, } için f() = n in grafikleri f() = f()= =f()= n, n= =f()= n, n= f()= f( ) = =f()= n, n= =f()= n, n= Benzer işlemler n =,, 6 için de izlendiğinde f: R R, f() = n fonksionunun grafiği n =,, 6 için şu şekilde elde edilecektir: h() = 6 g() = f() = Bu grafiklerde n değerleri bir pozitif çift tamsaı olarak alınmıştır. Bu grafiklerde şu bilgileri gözlemleebiliriz: = n nin grafiğinin kolları -eksenine göre simetriktir. n değeri büüdükçe < < iken = n in grafiğinin kolları ekseninden uzaklaşırken, > ve < iken fonksionun değerleri çok daha hızlı büüdüğünden grafiğin kolları -eksenine aklaşır. Yine, benzer işlemler n =,, 7 için de izlendiğinde, f: R R, f() = n fonksionunun grafiğinin n =,, 7 değerleri için şu şekilde olduğu görülecektir: Ünite. Fonksionlar

42 Bölüm. Fonksionların Grafikleri h() = 7 g() = f() = Bu grafiklerde n değerleri bir pozitif tek tamsaı olarak alınmıştır. Bu grafiklerde şu bilgileri gözlemleebiliriz: = n in grafiğinin kolları orijine göre simetriktir. n değeri büüdükçe < < iken = n in grafiğinin kolları -ekseninden uzaklaşırken, > ve < iken fonksionun değerleri çok daha hızlı büüdüğünden grafiğin kolları -eksenine aklaşır. En son aptığımız işlemler n nin negatif değerlerile tekrarlandığında elde edeceğimiz grafikleri görelim: f( ) g( ) h( ) = = = 6 n =,, 6 için f: R {}, R, f() = n fonksionunun grafiğin bir negatif çift tamsaı olmak üzere, = n in grafiğinin kolları -eksenine göre simetriktir. n =,, 7 için f( ) g( ) h( ) = = = 7 f: R {} R, f() = n fonksionunun grafiğin bir negatif tek tamsaı olmak üzere, = n in grafiğinin kolları orijine göre simetriktir. Ünite. Fonksionlar

43 f() = n Biçimindeki Fonksionların Grafikleri KENDİMİZİ SINAYALIM. f, g, h, k: R R, n fonksionlarının grafikleri verilmiştir. Bu grafikleri benzerliklerine göre sınıflandırınız. Bu sınıflandırmaı nasıl aptığınızı açıklaınız =f() =h() 6 6 =g() =k(). = f() Grafikleri verilen f, g ve h fonksionlarının kuralı 8 n, n Z şeklindedir. Buna göre, bu fonksionları, kurallarındaki n değerinin büüklüğüne göre sıralaınız. = g() = h() Ünite. Fonksionlar

44 f() = n Biçimindeki Fonksionların Grafikleri KENDİMİZİ SINAYALIM. Gerçek saılar kümesinde tanımlı f()= fonksionu için aşağıdaki soruları cevaplaınız. a. f( ), f(), f() değerlerini bulunuz. b. f(a) =, f(b) = 9, f(c) = eşitliklerini sağlaan a, b ve c değerlerini bulunuz. c. f fonksionunun tanım kümesinin bir alt kümesi olan [, ] kümesinin fonksion altındaki görüntüsünü bulunuz. ç. f fonksionunun değer kümesinin bir alt kümesi olan [, 6] kümesinin fonksion altındaki ters görüntüsünü bulunuz.. Gerçek saılar kümesinde tanımlı h() = fonksionları için aşağıdaki soruları cevaplaınız. a. h( ), h(), h() değerlerini bulunuz. b. h(a) = 8, h(b) =, h(c) = 7 eşitliklerini sağlaan a, b ve c değerlerini bulunuz. c. h fonksionunun tanım kümesinin bir alt kümesi olan [, ] kümesinin fonksion altındaki görüntüsünü bulunuz. ç. h fonksionunun değer kümesinin bir alt kümesi olan [, 8] kümesinin fonksion altındaki ters görüntüsünü bulunuz.. Gerçek saılar kümesinde tanımlı g() = fonksionu için aşağıdaki soruları cevaplaınız. a. g( ), g(), g() değerlerini bulunuz. b. g(a) =, g(b) =, g(c) = eşitliklerini sağlaan varsa a, b ve c değerlerini bulunuz. c. g fonksionunun tanım kümesinin bir alt kümesi olan [-, ] kümesinin fonksion altındaki görüntüsünü bulunuz. ç. g fonksionunun değer kümesinin bir alt kümesi olan [, 9] kümesinin fonksion altındaki ters görüntüsünü bulunuz. 6. f: R {} R, f() = fonksionun; a. f( ), f( ), f(), f(), f() değerlerini bulunuz. b. f(a) =, f(b) = eşitliklerini sağlaan varsa a ve b değerlerini bulunuz. c. f fonksionunun tanım kümesinin bir alt kümesi olan [,] kümesinin fonksion altındaki görüntüsünü bulunuz. ç. f fonksionunun değer kümesinin bir alt kümesi olan [-, -] kümesinin fonksion altındaki ters görüntüsünü bulunuz. Ünite. Fonksionlar

45 MATEMATİK ATÖLYESİ Bu atöle çalışmasında grafik çizme özelliği bulunan bir dinamik matematik/geometri azılımı ardımıla doğrusal fonksionlarda bağımlı değişkenin değişim hızı ile fonksionun grafiği olan doğrunun eğimi arasındaki ilişkii inceleeceğiz. Araç ve Gereçler: Grafik çizme özelliği bulunan bir dinamik matematik/geometri azılımı Adım g: R R ve g() = + n olmak üzere; n =,,,, değerleri için g doğrusal fonksionunun grafiğini (anı kartezen düzlemde) çiziniz. Grafiklerde nelerin değiştiğini nelerin sabit kaldığını inceleiniz. Adım n R olmak üzere n nin farklı değerleri için g = R R ve g() = + n ile verilen fonksionun grafiğinin nasıl değiştiğini açıklaınız. Adım h: R R ve h() = m + olmak üzere; m =,,,, değerleri için doğrusal bir fonksion olan h nin grafiğini (anı kartezen düzlemde) çiziniz. Grafiklerde nelerin değiştiğini nelerin sabit kaldığını inceleiniz. Adım m R olmak üzere m nin farklı değerleri için h : R R ve h() = m + ile verilen fonksionun grafiğinin nasıl değiştiğini açıklaınız. Adım 6 f : R R ve = f()= m +n fonksionu verilior. m ve n sabitleri için birer değer seçerek (örneğin m =, n = ) bu fonksiona ait bir değerler tablosu oluşturunuz. Örneğin, a... =f() f()=? f(a)=?... Oluşturduğunuz tablodaki değerleri kullanarak ardışık iki değeri farkının bunlara karşılık gelen değerleri farkına oranını belirleiniz. Örneğin, fa ( )- f( ) a - Bulduğunuz oranlarla belirlediğiniz m değeri arasında nasıl bir ilişki olduğunu açıklaınız. Belirlediğiniz m değeri için farklı n değerleri alarak benzer oranlar oluşturunuz. Elde ettiğiniz oranlar ile m değeri arasındaki ilişkinin n değerlerinden nasıl etkilendiğini açıklaınız. Adım f: R R ve = f()= m + n şeklindeki bir doğrusal fonksion için m ve n sabitlerini değiştirmenin fonksionun grafiğine nasıl bir etki aptığını açıklaınız. Adım 7 f: R R ve = f() = m +n fonksionunun grafiği ile m +n = denkleminin çözüm kümesi arasında nasıl bir ilişki olduğunu açıklaınız. Ünite. Fonksionlar

46 Bölüm. Fonksionların Grafikleri Neler Öğreneceğiz?... Doğrusal Fonksionlarla İlgili Ugulamalar Ortalama değişim oranını (hızı) Başlarken: Doğrusal fonksionlar ve değişim oranını (hızı) Günlük haattaki birçok durumda iki nicelik arasındaki ilişkiler bir doğrusal fonksionla modellenebilir. Bu tür modeller, ilişkileri anlama, olaları analiz etme ve tahminlerde bulunmada sıklıkla kullanılır. Tahmin? Anahtar Terimler Doğrusal fonksion Değişim oranı (hızı) Ortalama değişim oranı (hızı) Sabit değişim oranı (hızı) Sembol ve Gösterimler f() = a + b Örneğin, bir GSM şirketinin STANDART HAT abonelerinin alık fatura tutarlarını t dakika konuşma için; F(t) =,9 +,6. t fonksionuna göre hesapladığını varsaalım. Bu fonksionun grafiği nasıl bir grafiktir? Bu fonksionun tanım kümesi nedir? Fonksionun kuralındaki,9 ne anlama gelmektedir? Fonksionun kuralındaki,6 değerinin anlamı nedir? Fatura tutarı,7 TL olan bir abone kaç dakika konuşmuştur? Bu ve benzeri soruların cevaplarını daha ii verebilmek için doğrusal fonksionların grafiklerini daha detalı inceleip ugulamalarına er vereceğiz. t 6 Ünite. Fonksionlar

47 Doğrusal Fonksionlarla İlgili Ugulamalar Değişim Oranı (Hızı) Düna Bankası Düna Gelişim Göstergelerine göre Türkie ve Almana nın ve ıllarına ait nüfusları tabloda gösterilmektedir. Yıllar Ülkeler Almana Türkie Kanak: Buna göre - ılları arasında her iki ülkenin nüfuslarındaki değişimi bularak orumlaalım. den e kadar geçen ıllık süreçte Almana nın nüfusundaki değişim =.8 kişi; Türkie ninki ise =..7 kişidir. Ancak bu bilgiler bize nüfusun ne kadar hızlı bir şekilde arttığı vea azaldığını sölememektedir. Bu değerleri ve arasındaki zaman farkına bölerek ıllık bazda ortalama değişimi bulalım: nüfustakideğişim 8 Almana : = kişil / ı zamandaki değiim ş Buna göre - ılları arasındaki ıllık süreçte Almana nın nüfusu her ıl ortalama 7.6 kişi azalmıştır. nüfustaki değisim ş 7 Türkie: =. 98 kisi ş / l ı zamandakide ğ isim ş Buna göre - ılları arasındaki ıllık süreçte Türkie nin nüfusu, ılda ortalama 9.8 kişi artmıştır. Yukarıdaki örnekte iki değişken vardır; zaman ve nüfus. Buradaki ortalama değişme oranı (hızı), nüfusun zamana bağlı olarak ne kadar bir hızla değiştiğini göstermektedir. Her iki ülkenin verilerini nokta çiftleri olarak grafikle gösterip bu noktaları birer doğru ile birleştirelim. Ünite. Fonksionlar 7

48 Bölüm. Fonksionların Grafikleri 8 Nüfus (milon kişi) Almana Türkie Anahtar Bilgi Doğrusal fonksionlarda değişim oranı (hızı) sabit olup, fonksionun grafiği olan doğrunun eğimine eşittir. Diğer bir ifadele, = f() = m + b fonksionu için değişim oranı (hızı) m değeridir Zaman (ıl) ılları arasında nüfus artışı vea azalışının ortalama olarak bu oranda (hızda) olduğunu varsaarak, aradaki ıllar için nüfus miktarlarını aklaşık olarak bulabiliriz. Bunun için, ilgili doğruların denklemlerini ( ıl, nüfus) kullanabiliriz. Ancak, - aralığının herhangi bir parçasında ve bu aralığın dışında kalan geçmiş vea gelecek ıllar için nüfus artış oranları bilinmediğinden aptığımız varsaım bize doğru sonuçlar vermeebilir. Değişim oranı (hızı) vea ortalama değişim oranı (hızı) bir niceliğin değerindeki değişiminin başka bir nicelikteki değişime kıasla ortalama ne kadar olacağını gösteren bir orandır. bağımsız, de e bağımlı bir değişken olmak üzere, bu değişkenlere ait (, ) ve (, ) değerleri verilsin. (, ) değerlerinden (, ) değerlerine geçişte aşanan değerlerindeki değişim değişim oranı (hızı) = =, ( değerlerindeki değişim ) şeklinde ifade edilir. = f() (, ) (, ) 8 Ünite. Fonksionlar

49 Doğrusal Fonksionlarla İlgili Ugulamalar Bir doğru üzerinde alınacak herhangi iki nokta çifti için değişim oranı anı olacaktır. Bu nedenle, hatırlaacağınız gibi bir doğrunun eğimi, doğru üzerindeki herhangi iki nokta arasındaki dike değişimin ata değişime oranı olarak tanımlanmaktadı. Dikkat edilirse ukarıda tanımladığımız (, ) değerlerinden (, ) değerlerine geçişte aşanan (ortalama) değişim oranı (hızı) ile (, ) ve (, ) ile belirtilen noktalardan geçen doğrunun eğimi anı değerdir. = f() = m + b şeklindeki bir doğrusal fonksionun değişim oranı (hızı), bu fonksionun grafiği üzerinden alınacak herhangi iki nokta çifti için olan değişim oranıdır, ani bu fonksionun grafiği olan doğrunun eğimidir. Şimdi bununla ilgili bir örnek verelim. Gerçek saılarda tanımlı f() = +, g() = +, h() = ve k() = fonksionlarının değişim oranlarını (hızını) bularak orumlaalım. Verilen fonksionların değişim oranlarını (hızını) bulmak için öncelikle bu fonksionların bazı gerçek saılarda aldığı değerleri bulalım. Örneğin, f, g, h ve k fonksionlarının = -, -,,,, 7 için aldığı değerler aşağıda verilen tablolardaki gibidir. Bu tablolarda ardışık sıradaki iki değeri farkı, değerindeki değişimi; bunlara karşılık gelen değerleri farkı da fonksionun değerindeki değişimi göstermektedir. Bu iki farkın oranı ise fonksionun değişim oranını (hızını) göstermektedir. f() değerindeki f() değerindeki Değişim oranı (hızı) değişim değişim f( ) f( ) ( ) f( ) f( ) (-) = ( ) = / = ( ) = = / = = = / = = = / = = 8 = / = Ünite. Fonksionlar 9

50 Bölüm. Fonksionların Grafikleri g() değerindeki değişim ( ) g() değerindeki değişim g( ) g( ) Değişim oranı (hızı) g( ) g( ) ( ) = = 8 8/ = ( ) = = / = = = / = = ( ) = / = 7 7 = ( ) = 8 8/ = h() değerindeki - -7 değişim ( ) h() değerindeki değişim h( ) h( ) Değişim oranı (hızı) h( ) h( ) ( ) = ( 7) = / = ( ) = ( ) = / = = ( ) = 6 6/ = 7 = 7 = / = = 9 7 = / = k() değerindeki 8 değişim ( ) k() değerindeki değişim k( ) k( ) Değişim oranı (hızı) k( ) k( ) ( ) = ( 8) = / = ( ) = ( ) = / = = ( ) = / = = ( ) = / = 7 7 = = / = f() = +, g() = +, h() = ve k() = fonksionları için bu fonksionların değişim oranları (hızı) sabit değerler olup sırasıla,, ve dir. Tablolarda değişimler ardışık iki değeri ve fonksionun bunlara karşılık gelen ardışık değerleri için hesaplanmıştır. Ancak, ardışık olmaan (herhangi iki) değeri ve fonksionun bunlara karşılık gelen değerleri için de hesaplansadı değişen bir şe olmazdı. Örneğin = ve = için f( ) = ve f() = olduğundan, f fonksionu için değişim oranı (hızı) f( ) - f( - ) -- ( ) = -- ( ) + 8 = = olarak bulunur. 8 Dikkat edilirse bu doğrusal fonksionların değişim oranları (hızı) grafikleri birer doğru olan bu fonksionların eğimidir. Bu durumu fonksionların grafikleri üzerinde de gözlemleebiliriz. Ünite. Fonksionlar

51 Doğrusal Fonksionlarla İlgili Ugulamalar g 6 h f k 6 Görüldüğü gibi kuralları farklı olan f ve k fonksionlarının değişim oranları (hızları) anıdır. Bu durum, her iki fonksionun grafiklerinin birbirine paralel ani eğimleri anı olan iki doğru olmasından da açıkça görülmektedir. Eğimin değerinin pozitif vea negatif olması değişim oranının önünü göstermektedir. Pozitif eğim değerleri değişimin artış; negatif eğim değerleri de değişimin azalış (düşüş) şeklinde olduğunu göstermektedir. Eğimin mutlak değeri arttıkça/azaldıkça değişim oranı (hızı) da artacak/azalacaktır. Örnekler üzerinde gözlemlediklerimizin herhangi bir doğrusal fonksion için de geçerli olduğunu gösterelim. m ve n birer gerçek saı ve m olmak üzere, f fonksionu f() = m + n ile verilen bir doğrusal fonksion olsun. Bu fonksionun değişim oranının (hızının) sabit olduğunu gösterelim. Ünite. Fonksionlar

52 Bölüm. Fonksionların Grafikleri Anahtar Bilgi Bir doğrusal fonksionda mutlak değerce büük eğim daha büük bir değişim oranı (hızı) demektir. Eğimin pozitif bir saı olması artışı, negatif bir saı olması azalmaı (düşüşü) gösterir. Verilen f fonksionunun grafiği üzerinde er alan iki farklı nokta alalım. Bu noktaların koordinatları (, ) ve (, ) olsun. Noktalar farklı olduğundan olacağına dikkat edelim. Bu durumda = f( ) ve = f( ) olacaktır. Diğer taraftan f( ) = m + n ve f( ) = m + n dir. Bu durumda (, ) değerlerinden (, ) değerlerine geçişte aşanan Değişim oranı = = = = - - f ( ) - f ( ) - m+ n- ^m+ nh - m ( - ) - = m olur. Bulduğumuz sonuç,, ve değerlerinden herhangi birini içermemektedir. Dolaısıla, f doğrusal fonksionunun grafiği üzerindeki herhangi iki nokta için elde edeceğimiz değişim oranı anı olacaktır. Diğer taraftan, bu değişim oranı fonksionun grafiği olan doğrunun eğimidir. Bu nedenle aptıklarımız, f: R R ve f() = m + n ile verilen fonksionun grafiği olan doğrunun eğiminin m değeri olduğunu göstermektedir. Aşağıdaki tabloda bazı değerleri verilen f ve g fonksionlarından hangisinin bir doğrusal fonksion olabileceğini inceleelim. = f() = g() Ünite. Fonksionlar

53 Doğrusal Fonksionlarla İlgili Ugulamalar f ve g fonksionlarında ardışık ve değerlerindeki değişim ve bunların oranlarını inceleelim. f() değerindeki değişim ( ) - 6 f() değerindeki değişim f( ) f( ) Değişim oranı (hızı) f( ) f( ) ( ) = 6 = / = = = / = 7 7 = ( ) = / = 7 = 8 ( ) = 8 8/8 = 7 = 7 ( ) = / = g) değerindeki değişim ( ) 7 6 g() değerindeki değişim g( ) g( ) Değişim oranı (hızı) g( ) g( ) ( 7) = 6 6 = 8 8/6 = 8 ( ) = ( ) = / = 9 = 9 ( ) = / = = ( 9) = / = = ( ) = 6 6/ = 8 Görüldüğü gibi f fonksionu için değişim oranı (hızı) sabit iken, g fonksionu için sabit bir değişim oranından (hızından) bahsetmek mümkün değildir. Bu durumda f fonksionu bir doğrusal fonksion olabilir ancak g fonksionu bir doğrusal fonksion olamaz. f fonksionunun bir doğrusal fonksion olduğunu düşünelim. Bu durumda, bu fonksion = f() = m + b şeklindedir. Değişim oranı (hızı) bu fonksionun eğimi olacağından m = olmalıdır. Bu durumda = f() = + b azılabilir. Verilen (, f()) değer çiftlerinden herhangi biri fonksionun kuralını sağlamalıdır. Bu durumda, örneğin (, ) için = + b = b bulunur. O halde f fonksionunun kuralı = f() = + olmalıdır. Ünite. Fonksionlar

54 Bölüm. Fonksionların Grafikleri Verilen ifadelerdeki bağımlı ve bağımsız değişkenleri belirleerek verilen durumdaki değişim oranını orumlaalım ve grafiksel olarak gösterelim. Bunu aşağıdaki her bir şık için arı arı apalım. a. Bir otomobilin şehir içi ortalama akıt tüketimi, km/l dir. b. tüketilen akıt miktarını (litre) ve alınan olu (km) göstermek üzere =,8 c. M fatura tutarı (TL) ve t konuşma süresini (dk) göstermek üzere M =,t + 7 a. Tüketilen akıt miktarı bağımsız değişken, gidilen ol bağımlı değişkendir. Değişim oranı (hızı), km/l dir. Bunun anlamı tüketilen her litre akıtla, km ol gidilebileceğidir. Gidilen toplam ol (km) Harcanan akıt (litre) b. Alınan ol ( km) bağımsız değişken, tüketilen benzin ( litre) bağımlı değişkendir. Değişim oranı (hızı),8 dir. Bu ise girdi değerindeki birimlik artışın çıktı değerinde,8 birimlik artışa neden olacağı anlamına gelir. Diğer bir deişle gidilen her km ol için,8 litre benzin tüketilmesi gerektiği anlamına gelmektedir. Harcanan akıt (litre) Gidilen toplam ol (km) 6 8 Ünite. Fonksionlar

55 Doğrusal Fonksionlarla İlgili Ugulamalar c. Konuşma süresi (t dk) bağımsız değişken, fatura tutarı (M TL) bağımlı değişkendir. Değişim oranı, tür. Bu ise girdi değerindeki birimlik artışın, çıktı değerinde, birim artışa neden olacağı anlamına gelir. Diğer bir deişle her dakika konuşma, fatura tutarında, TL artışa neden olacaktır. Toplam fatura tutarı (TL) Konuşma süresi (dk) 6 8 Aşağıda A, B, C ve D koşucularının konum-zaman grafiği verilmiştir. Buna göre koşucuların konumlarının zamana bağlı değişimini bularak orumlaalım. 6 8 Konum (km) A B C D Zaman (sa) Ünite. Fonksionlar

56 Bölüm. Fonksionların Grafikleri Koşucuların konumlarının zamana bağlı değişim oranı (hızı) koşucuların hızlarıla (km/ sa) ilişkilidir. Zamana bağlı konumlar birer doğru ile gösterildiğinden koşucuların konumlarının zamana bağlı değişim oranı (hızı) bu doğruların eğimi olacaktır. Buna göre A koşucusuna ait doğrunun eğimi, ma = - = kmsa / - B koşucusuna ait doğrunun eğimi, m = - 8 B = kmsa / - C koşucusuna ait doğrunun eğimi, mc = - = 6 kmsa / - D koşucusuna ait doğrunun eğimi, 6 m D = - =, kmsa / bulunur. - Bu durumda koşucuların en hızlıdan avaşa doğru sıralaması A, C, B, D biçiminde olur. 6 Bir firmanın zamana ( ıl) bağlı gelir (milon TL) fonksionu f, gider fonksionu g dir. f()= ve g() = +, 6 verildiğine göre aşağıda istenenleri apalım. a. f ve g fonksionlarının grafiklerini anı koordinat düzleminde çiziniz. b. Gelir ve giderin eşit olduğu zamanı ve eşitlik anındaki miktarını bulunuz. c. Kâr edilen ve zarar edilen bölgeleri ve en büük kârı belirleiniz. 6 Ünite. Fonksionlar

57 Doğrusal Fonksionlarla İlgili Ugulamalar a. Grafikte f ve g fonksionlarının sadece [,6] aralığında çizildiğine dikkat ediniz. f() = g() = b. Gelir ve giderin eşit olduğu değeri grafikte de görüldüğü gibi iki doğrunun kesim noktası olan (, 6) noktasıdır. Bunu cebirsel olarak da bulabiliriz. İki denklemin eşit olduğu noktaı bulmak için denklemleri birlikte çözelim. f() = g() = + = bulunur. = için gider fonksionunun (g nin) değeri = + = + = 6 dır. Diğer bir deişle gelir ve gider. ılda eşit olup 6 milon TL dir. c. Kâr edilen bölgeler, gelirin (f değerlerinin) giderden (g değerlerinden) daha fazla olduğu bölgelerdir. f fonksionu [, ] arasında azalarak den 6 a düşmüştür. Bu noktadan sonra f fonksionunun aldığı değerler g fonksionunkilerden daha küçüktür. O halde kâr edilen bölge [, ] aralığı zarar edilen bölge ise [, 6] aralığıdır. Şirketin kârı = değerinden itibaren hep azalmakta ve = değerinden sonra zarara dönüşmektedir. Bu durumda en büük kâr = noktasında olur. f() g() = = 9 milon TL Ünite. Fonksionlar 7

58 Doğrusal Fonksionlarla İlgili Ugulamalar KENDİMİZİ SINAYALIM. Aşağıda gerçek saılarda tanımlı f() = a + 8 fonksionun grafiği verilmiştir. Buna göre a kaçtır?. Aşağıda grafikleri verilen doğruların eğimlerini bulunuz. a. f() = a + 8 = + = + b. = +. Aşağıda denklemleri verilen doğruların eğimlerini bulunuz: = + a. = b. = + c. = 6 c. = ç. = d. = = ç. = = 8 Ünite. Fonksionlar

59 Doğrusal Fonksionlarla İlgili Ugulamalar KENDİMİZİ SINAYALIM. Şekilde grafikleri verilen f, g, h, p, q fonksionlarının değişim oranlarını (hızlarını) küçükten büüğe doğru sıralaınız. 8 6 = h() = f() 6. 9 Yükseklik (metre) (, 9) = p() = q() 8 (, 6) t Zaman (sanie) 6 8 = g() Paraşütle atlaan bir kişinin düşme hızı 9 metre ükseğe geldiğinde sabitlenior. Bu andan sonraki. saniede erden üksekliği 6 metre olduğuna göre; a. Yükseklikteki ortalama değişim oranını (hızını) bularak orumlaınız. b. Bu kişinin 9. metreden itibaren, zamana bağlı ükseklik değişimini bir fonksion olarak ifade ediniz. c. b şıkkında bulduğunuz fonksionun grafiğinin eğimi kaçtır? ç. Bu kişi 9 metre ükseklikte olduğu andan kaç sanie sonra ere ulaşır?. Aşağıdaki doğrusal fonksionların hangisinin değişim oranı (hızı) en büüktür? a. f() = b. g() = -- c. h() = + ç. k() = + d. t() = - + Ünite. Fonksionlar 9

60 Doğrusal Fonksionlarla İlgili Ugulamalar KENDİMİZİ SINAYALIM 7. Bilgisaar üreten bir firmanın günlük giderini üretilen bilgisaar saısına bağlı bir fonksion olarak düşünelim. Bu fonksionun bir doğrusal fonksion olduğunu varsaalım. Firmanın, günlük TL sabit gideri varsa ve bir günde bilgisaar üretirse, o günkü toplam gideri. TL oluor. Firmanın günde adet bilgisaar üretmesi durumunda günlük toplam giderini g() ile gösterelim. Buna göre; a. g fonksionunu bulunuz. b. Günde bilgisaar üretilmesi durumunda toplam gider nedir? c. için gider fonksionunun grafiğini çiziniz. Ünite. Fonksionlar

61 = f() Fonksionunun Grafiği ile f() = Denklemi Arasındaki İlişki... = f() Fonksionunun Grafiği ile f() = Denklemi Arasındaki İlişki Neler Öğreneceğiz? Başlarken Alışageldiğimiz ollardan çözümüne ulaşmakta zorluk çektiğimiz birçok problemi farklı zemin ve koşullarda ele almamız, problem hakkında eni bilgilere ulaşmamıza imkan verebilir. Örneğin, görülebilir ışığın anında diğer ışınları da algılaabilen teleskoplar ardımıla birçok keşifler apılmaktadır. İlk resimdeki nebula bunlardan biridir. Benzer şekilde, ısıa duarlı kameralar kullanırsak çıplak gözle algılaamadığımız birçok şei karanlıkta bile olsa fark edebilioruz. Matematiksel birçok problemin çözümünde, problemi farklı tarzlarda ifade ederek vea problemin denk olduğu problemleri tespit ederek matematiğin farklı alanlarına ait bilgi, öntem ve tekniklerden fadalanırız. Bu nedenle, konular arasında geçiş apmamıza imkan veren aklaşımlar çok önemlidir. Cebire ait bir konu olarak sunmaa başladığımız fonksionların kartezen düzlemde (koordinat sisteminde) grafiklerini çizmekle, fonksionlarla ilgili problem çözümlerinde geometrik bilgi ve öntemlerimizi kullanma imkanına kavuşuoruz. Bunun bir örneği olarak, bu kısımda denklem ve denklem sistemlerinin çözümlerinde fonksion grafiklerinin ve grafiklerin birbirlerile kesişmelerinin nasıl kullanılabileceğini öğreneceğiz. Rosette Nebula (Chadwell 9) Hareket halindeki bir grup arabanın termal kamera altındaki görüntüsü Bir fonksionun sıfırı Fonksionların grafiklerinin kesişim noktalarının cebirsel ve geometrik orumu Anahtar Terimler Bir denklemin kökü Bir fonksionun sıfırı Sembol ve Gösterimler = f() = f() = = f() fonksionu, bir şirketin zamana () bağlı olarak mali durumunu () göstersin. Bu fonksionun grafiğinde a. grafiğin ekseninin üzerinde olduğu erler şirketin kâr ettiği zamanları b. grafiğin ekseninin altında olduğu erler şirketin zarar ettiği zamanları c. grafiğin eksenini kestiği erler ise şirketin ne kâr ne de zarar ettiği zamanlarıgöstermektedir. Çünkü, bu durumda Ünite. Fonksionlar

62 Bölüm. Fonksionların Grafikleri - değeri pozitif ise şirket kâr etmektedir. Anahtar Bilgi = f() fonksionunun grafiği için; ekseninin altında kalan kısımda f() < ekseninin ukarısında kalan kısımda f() > ekseni üzerinde kalan kısımda ise f() = olur. - değeri negatif ise şirket zarar etmektedir. - değeri sıfır ise şirket ne kâr ne de zarar etmektedir. Burada şirketin ne kâr ne de zararda olduğunu temsil eden =f()= değeri fonksionun grafiksel gösteriminde grafiğin eksenini kestiği noktadır. Bu kısımda, herhangi bir = f() fonksionunun grafiğile f()= denklemi arasındaki ilişkii ele alacağız. Bölece bu ilişkii kullanarak denklem çözümlerinde grafik orumlamalarından ararlanacağız. Fonksionların Sıfırları Bir denklemin çözümü olan denklemin kökleri, denklemi sağlaan (doğrulaan) değerlerdir. Örneğin, = gibi bir doğrusal denklemde erine değerini azdığımızda bu değerin denklemi sağladığı görebiliriz. Bu nedenle değeri denklemin bir köküdür. Gerçekten de bu denklemin kökünü = Anahtar Bilgi Bir denklemin kökü, denklemi sağlaan (doğrulaan) değerlerdir. = = şeklinde bulabiliriz. Şimdi = eşitliğini iki bilinmeenli doğrusal bir denklem olarak ele alalım. Dikkat edersek bu denklemde değerini alırsak ilk denklemimiz olan = i elde edioruz. Diğer taraftan ve bilinmeenlerini bağımlı ve bağımsız değişkenler olarak ele aldığımızda = eşitliği f() = doğrusal fonksionula akından ilişkili olmaktadır. Şöle ki, = denklemini sağlaan (, ) şeklindeki ikililer, f() = doğrusal fonksionunun grafiği üzerindeki noktaların koordinatlarıdır. Şimdi şu soruu düşünelim: = denkleminin kökü ile f() = doğrusal fonksionunun grafiği arasında nasıl bir ilişki vardır? Hatırlaacağımız gibi koordinatları (, ) şeklinde olan bir nokta ekseni üzerindedir ve ekseni üzerindeki herhangi bir noktanın da koordinatları (,) şeklindedir. Bu nedenle, koordinatları (, ) şeklinde olan bütün noktalar, eksenini verecektir. Dikkat edilirse koordinatları (, ) olan noktalar, = denkleminin iki bilinmeenli ( ve bilinmeenleri) bir denklem olarak ele alındığındaki çözümlerine karşılık gelmektedir. Dolaısıla ekseni, = doğrusal denklemile ifade edilebilir. Ünite. Fonksionlar

63 = f() Fonksionunun Grafiği ile f() = Denklemi Arasındaki İlişki Benzer şekilde (gerekçelerini açıklaınız), ekseni, = doğrusal denklemile ifade edilebilir. Şimdi, = denkleminin kökü ile f() = doğrusal fonksionunun grafiği arasında nasıl bir ilişki olduğunu bu bilgiler ışığında bulmaa çalışalım. = denkleminin kökü, f() = eşitliğini sağlaan değeridir. f() = eşitliğini sağlaan değeri ise f fonksionunun grafiği üzerinde olup ordinatı olan noktanın apsisidir. Bu nokta ise = f() fonksionunun grafiği ile ekseninin kesiştiği noktadır. Dolaısıla aradığımız ilişkii kısaca şu şekilde belirtebiliriz: = denkleminin kökü, f()= doğrusal fonksionuna ait grafiğin eksenini kestiği erdir. Şimdi f() = fonksionunun grafiğini inceleelim. Anahtar Bilgi a R için f(a) = oluorsa a saısına f fonksionunun sıfırı denir. = f() = Görüldüğü gibi grafiğin -eksenini kestiği nokta = denkleminin çözüm kümesi (kökü) olan, ani dir. Bu örnekte gözlemlediğimiz durum genelde de geçerlidir. Şöle ki, herhangi bir denklemin kökünü ilişkili fonksionun grafiğini kullanarak da bulabiliriz. a R için f(a) = oluorsa a saısına f fonksionunun sıfırı denir. Diğer bir ifadele, bir f fonksionun sıfırları f() = denkleminin kökleridir. Bu durumda f fonksionun sıfırları fonksionun grafiğinin -eksenini kestiği noktalardır. Örneğin, m + n = doğrusal denkleminin kökü f() = m + n doğrusal fonksionunun sıfırıdır. Aşağıda grafikleri verilen fonksionların sıfırlarını bulalım. a. b. = g() = f() Ünite. Fonksionlar

64 Bölüm. Fonksionların Grafikleri Anahtar Bilgi Bir f fonksionunun grafiği = f() denkleminin grafiğidir. Grafiğin (varsa), -eksenini kestiği noktalar f() = denkleminin gerçek saılardaki çözüm kümesidir. Grafik -eksenini hiçbir noktada kesmiorsa f() = denkleminin gerçek saılarda çözüm kümesi boş kümedir. c. d. = h() = k() a. f fonksionunun grafiği -eksenini (, ) noktasında kestiği için = değeri f fonksionunun sıfırıdır. Diğer bir ifadele f() = denkleminin çözüm kümesi { } 'tür. b. g fonksionunun grafiği -eksenini (, ) ve (, ) noktalarında kestiği için = ve = değerleri g fonksionunun sıfırlarıdır. Diğer bir ifadele g() = denkleminin çözüm kümesi {, } dir. c. h fonksionunun grafiği -eksenini (, ), (, ), (, ), (, ) ve (, ) noktala- rında kestiği için =,,,, değerleri h fonksionunun sıfırlarıdır. Diğer bir ifadele h() = denkleminin çözüm kümesi {,,, } dir. ç. k fonksionunun grafiği -eksenini (-, ), (, ) ve (, ) noktalarında kestiği için =,, değerleri k fonksionunun sıfırlarıdır. Diğer bir ifadele k() = denkleminin çözüm kümesi {,, } dir. Bir f fonksionun sıfırları için kullandığımız akıl ürütmei genişleterek f() = a (a R ) denkleminin çözüm kümesini f fonksionun grafiği üzerinden bulabiliriz. Şöle ki, f() = a denkleminin çözüm kümesi = f() = a denklem sistemini sağlaan değerleridir. Diğer bir ifadele, f() = a denkleminin çözüm kümesi f fonksionunun grafiği ile eksenini a da kesen ata doğrunun kesiştiği noktanın apsisidir. Ünite. Fonksionlar

65 = f() Fonksionunun Grafiği ile f() = Denklemi Arasındaki İlişki Örneğin aşağıda grafiği verilen f fonksionu için f() = denkleminin çözüm kümesi = f() fonksionun grafiğinin = doğrusu ile kesişiminin apsisi olacaktır. = f() = f() Bu durumda f() = denkleminin çözüm kümesi { } tür. g fonksionunun grafiği anda verilmiştir. Buna göre g() = denkleminin çözüm kümesini bulalım. g (,) g (,) g fonksionun grafiği ile = doğrusunun kesişimi (, ) ve (, ) noktalarıdır. Dolaısıla g() = denkleminin çözümü {, } dir. Ünite. Fonksionlar

66 Bölüm. Fonksionların Grafikleri Bir firmanın zamana ( ıl) bağlı gelir (milon TL) fonksionu f, gider fonksionu g dir. 6 için f()= ve g() = + olarak verildiğine göre aşağıda istenenleri apalım. a. f ve g fonksionlarının grafiklerini anı koordinat düzleminde çizelim. b. Gelir ve giderin eşit olduğu zamanı ve bu andaki geliri bulalım. c. Kâr edilen ve zarar edilen bölgeler ile en büük kârı belirleelim. a. f() = Grafikte f ve g fonksionlarının sadece [,6] aralığında çizildiğine dikkat ediniz. g() = b. Gelir ve giderin eşit olduğu değeri grafikte de görüldüğü gibi iki doğrunun kesim noktası olan (, 6) noktasıdır. Bunu cebirsel olarak da bulabiliriz. İki denklemin eşit olduğu noktaı bulmak için denklemleri birlikte çözelim. f() = g() = + = bulunur. = için gider fonksionunun değeri g() = + = 6 dır. Bölelikle gelir ve gider. ılda eşit olup 6 milon TL dir. c. Kâr edilen bölgeler, gelirin (f değerlerinin) giderden (g değerlerinden) daha fazla olduğu bölgelerdir. f fonksionu [, ) arasında azalarak den 6 a düşmüştür. Bu noktadan sonra f fonksionunun aldığı değerler g fonksionunkilerden daha küçüktür. O halde kâr edilen bölge [, ) aralığı zarar edilen bölge ise (, 6] aralığıdır. Şirketin kârı = değerinden itibaren hep azalmakta ve = değerinden sonra durum zarara dönüşmektedir. Bu nedenle, en büük kâr = noktasında f() g() = = 9 milon TL olur. 6 Ünite. Fonksionlar

67 = f() Fonksionunun Grafiği ile f() = Denklemi Arasındaki İlişki Gerçek saılar kümesinde tanımlı f fonksionunun grafiği verilmiştir. Buna göre f()= denkleminin kökleri toplamını bulalım. = f() f() = denkleminin kökleri =f() fonksionunun grafiğinin eksenini kestiği noktalardır. Bu durumda verilen f fonksionunun grafiği eksenini =, =, = ve = noktalarında kesmektedir. Buradan f() = denkleminin kökleri toplamı ( ) + ( ) + + = olur. = g() = f() Gerçek saılar kümesinde tanımlı f ve g fonksionlarının grafikleri verilmiştir. Buna göre; I. f fonksionunun sıfırlarını bulunuz. II. g fonksionunun sıfırlarını bulunuz. III. f() = g() eşitliğini sağlaan değerini bulunuz. I. f fonksionunun grafiğinin eksenini kestiği nokta olan = değeri f fonksionunun sıfırıdır. II. g fonksionunun grafiğinin eksenini kestiği noktalar olan =- ve = değerleri g fonksionunun sıfırlarıdır. f() = g() eşitliğini sağlaan değeri f ve g fonksionlarının grafiklerinin kesiştiği noktanın apsisidir. Bu durumda istenilen cevap = dir. Ünite. Fonksionlar 7

68 Bölüm. Fonksionların Grafikleri 6 6 f () 6 Gerçek saılarda tanımlı f fonksionu f() = ile verilior. Bu fonksionun grafiği şekildeki gibidir. değerleri den küçük ve den büük değerler aldıkça grafiğin ekseninden uzaklaştığı bilinmektedir. Buna göre f fonksionunun grafiğini kullanarak a. = denkleminin çözüm kümesini bulalım. b. = denkleminin kaç tane gerçek saı çözümü olduğunu bulalım. c. = denkleminin kaç tane gerçek saı çözümü olduğunu ve varsa bu çözümün vea çözümlerin hangi ardışık iki tam saı(lar) arasında olduğunu bulalım. a. Verilen denklem f() = dır. = f() fonksionunun grafiğinde, grafiğin eksenini kestiği noktalar =, = ve = olduğundan bu denklemin çözüm kümesi {,, } dir. b. Dikkat edilirse = denklemi = f(), = denklem sisteminin çözümünden elde edilecek olan değerleridir. Bunun grafiksel anlamı f fonksionu ile =- doğrusunun kesişim noktalarının apsisleridir. Verilen grafiği eksenini te kesen bir ata doğru çizdiğimizde bu ata doğrunun grafiği üç noktada kestiği görülecektir. Dolaısıla, verilen denklemin de üç gerçek saı çözümü olacaktır. 8 Ünite. Fonksionlar

69 = f() Fonksionunun Grafiği ile f() = Denklemi Arasındaki İlişki 6 f () Dikkat edilirse verilen denklemin çözümleri ün f altındaki ters görüntüleridir. 6 c. 6 f () Benzer şekilde grafiği üzerinde eksenini te kesen bir ata doğru çizersek bu ata doğrunun verilen fonksion grafiğini sadece bir noktada kestiği görülecektir. Arıca bu kesişim noktasının apsisinin ile arasında olduğu grafikten görülmektedir. 6 Bu nedenle = denkleminin sadece bir gerçek saı çözümü olup bu çözüm de (, ) aralığındadır. Ünite. Fonksionlar 9

70 = f() Fonksionunun Grafiği ile f() = Denklemi Arasındaki İlişki KENDİMİZİ SINAYALIM. Gerçek saılarda tanımlı f() = ile g() = + fonksionlarının grafiklerinin kesiştiği noktaı bulunuz.. Aşağıdaki denklem sistemlerinin çözüm kümelerini ilgili fonksionların grafiklerini kullanarak bulunuz. a. = 6 = b. + = + 6=. Aşağıda grafikleri verilen fonksionlar için a. f() = b. g() = c. h() = ç. q() = d. h() = e. g() = q() h() f() g() denklemlerinin çözüm kümelerini bulunuz.. (,) = denkleminin köklerini bir grafik çizim aracından/azılımından ararlanarak bulunuz. f g 6. Grafikte verilenlere göre f ve g fonksionlarının denklemlerin bulunuz. b f() = + 6 Grafikte verilenlere göre b değeri kaçtır? 6 Ünite. Fonksionlar

71 = f() Fonksionunun Grafiği ile f() = Denklemi Arasındaki İlişki KENDİMİZİ SINAYALIM 7. Aşağıdaki denklemleri verilen doğruların eksenleri kesitği noktaları bulunuz. a. = b. = + c. = 6 ç. = d. = 9. = h() Grafiği verilen h fonksionunun sıfırlarını bulunuz?. 8. = g() = f() = f() m f ve g fonksionlarının grafikleri verilmiştir. f fonksionunun grafiğinin eksenini kestiği nokta m dir. m nin g fonksionu altındaki ters görüntüsü nedir? Grafiği verilen f fonksionunun grafiği eksenini c noktasında kesior ve f(c ) = ise c kaçtır? Ünite. Fonksionlar 6

72 = f() Fonksionunun Grafiği ile f() = Denklemi Arasındaki İlişki KENDİMİZİ SINAYALIM. = f() = g() f ve g fonksionlarının grafikleri verilmiştir. f(a) = ve g(b) = ise a + b kaçtır?. = f() = g() Grafiği verilen f ve g fonksionlarının ters görüntülerinin eşit olduğu değer a ise g(a +) in değeri kaçtır? 6 Ünite. Fonksionlar

73 MATEMATİK ATÖLYESİ Bu atöle çalışmasının amacı, birden fazla kuralla tanımlanan fonksionları bir örnek üzerinde incelemektedir. a b c Şekilde verilen a, b ve c depoları üst üste konulmuş dik silindir şeklindeki bölümlerden oluşmaktadır. Bu depolar boş iken, musluklardan sabit hızla akan su ile doldurulmaktadır. Adım Her bir depo için, depo içindeki suun üksekliğini zamana bağlı olarak gösteren fonksionların grafiğini çiziniz. Adım Depolarda suun üksekliğinin nasıl değiştiğini çizdiğiniz grafikleri kullanarak açıklaınız. Bu grafikleri karşılaştırarak, birim zamanda suun üksekliğinin en hızlı değiştiği depou tespit ediniz? Cevabınızın gerekçelerini açıklaınız. Adım Her bir depo için, depo içindeki suun hacimini zamana bağlı olarak gösteren fonksionların grafiğini çiziniz. Adım Depolarda suun hacminin nasıl değiştiğini çizdiğiniz grafikleri kullanarak açıklaınız. Bu grafikleri karşılaştırarak, birim zamanda suun hacminin en hızlı değiştiği depou tespit ediniz. Cevabınızın gerekçelerini açıklaınız. Ünite. Fonksionlar 6

74 Bölüm. Fonksionların Grafikleri Neler Öğreneceğiz? Parçalı tanımlı fonksionu Bir parçalı tanımlı fonksionun grafiğini Anahtar Bilgi Parçalı tanımlı fonksion Mutlak değer fonksionu Mutlak değerli fonksion Sembol ve Gösterimler = = g( ) Z g ( ), a ] f ( ) = [ h ( ), a < < b ] \ k ( ), b... Parçalı Tanımlı Fonksionlar ve Grafikleri Başlarken Havanın tamamen güneşli, parçalı bulutlu vea devamlı ağmurlu olduğu günler olabileceği gibi bir gün içinde sırasıla dört mevsimi de aşaabiliriz. Benzer şekilde, bir duruma tek düze bir tarif eterli olabileceği gibi birden çok tarife ihtiaç da duulabilir. Bu, fonksionlar için de geçerlidir. Tanım kümesinin belli bir bölümü için verilen ilişkilendirme kuralı, tanım kümesinin diğer kısımları için geçerli olmaabilir. Yani bir fonksionun aptığı ilişkilendirmei tarif etmek için birden fazla cebirsel kurala ihtiaç duulabilir. Örneğin, piasa ekonomisinde, arz-talep dengesi içinde bir malın fiatındaki değişimler sıkça karşılaşılan durumlardır. Şöle ki, bir malın fiatı bir süre doğrusal olarak artıp, daha sonra hafta bounca sabit kalabilir ve sonrasında tekrar doğrusal olarak artmaa devam edebilir. Buna göre bu malın fiatının zamana bağlı değişimini gösteren fonksion nasıl bir fonksiondur? Bu fonksionun grafiğini çizmek istersek nasıl bir grafik elde ederiz? Yaptığı ilişkilendirmenin belirtilmesinde birden fazla kurala ihtiaç duulan fonksion kullanımını gerektiren bazı örnekler üzerinde duralım. 6 Ünite. Fonksionlar

75 Parçalı Tanımlı Fonksionlar ve Grafikleri Bir motosiklet arışçısının antrenmanlarında önce belli bir hıza ulaştığını ve bundan sonra turlarını samaa başladığını düşünelim. Bu motosikletlinin birinci tur başındaki hızının km/sa. ve motor maksimum hızına ulaşana kadar her tur sonundaki hızının o tur başındaki hızından 8 km/sa. fazla olduğunu varsaalım. Buna göre aşağıda istenenleri apalım. Bunu bilior mudunuz a. Bu motosikletlinin ilk tur sonundaki hızlarını bulup bir tabloda gösteriniz. b. Hız ile tur saısı arasında bulduğunuz tablo değerlerine uan bir kural bulunuz. (c, ç ve d seçeneklerinde bundan sonraki sorularda motosikletlinin turlar saılmaa başladıktan sonraki herhangi bir andaki hareketinin bulduğunuz kurala ugun olduğunu ve motorun maksimum hızının 96 km/sa olduğunu varsaınız.) c. İlk olarak kaçıncı tur sonunda bu motosikletlinin hızı 8 km/sa den fazla olur? ç. Kaçıncı turda maksimum hıza ulaşır? d. Motosikletlinin tur- hız grafiğini çiziniz. Kenan Sofuoğlu (98- ) Kenan Sofuoğlu, Türk motorsporları tarihinin en başarılı sporcusu olarak anılmaktadır 7, ve ıllarında Düna Supersport şampionasını kazanan Sofuoğlu'nun başarısının sırrı, azimle hedeflerine önelik sıkı çalışmasıdır. a. Hızının (V), tur saısına (t) bağlı olarak fonksionumuzu oluşturmaa çalışalım. Burada V nin t. tur sonundaki hızı gösterdiğine göre, bu durumu t e bağlı V(t) fonksionu olarak düşünebiliriz. Verilenleri bu gösterime ugun olarak şu şekilde ifade edebiliriz: V() = ve motor maksimum hızına ulaşana kadar V(t + ) = V(t) + 8 olacaktır. Buradan, V() = V() + 8 = + 8 = 8, V() = V() + 8 = = 6 bulunur. Benzer şekilde aşağıdaki tablodaki değerleri elde ederiz: t V(t) + 8 = = = = b. İlk tur başlangıç hızı km/sa ve her turda da motosikletlinin hızını 8 km/sa arttırdığı bilioruz. Tablodaki değerleri de kullanarak motor maksimum hızına ulaşana kadar V(t) = + 8 t motor maksimum hızına ulaştıktan sonra da olarak fonksionumuzu azabiliriz. V(t)= maksimum hız Ünite. Fonksionlar 6

76 Bölüm. Fonksionların Grafikleri c. V(t) > 8 olmalıdır. 8 < 96 olduğundan + 8 t > 8 eşitsizliğini elde ederiz ve buradan 8t > 8 olur ve t >,9 olup motosikletlinin. turda hızı 8 km/sa ten fazla olmaa başlar. ç. V(t) 96 olmasını istioruz. Bu durumda + 8t 96, buradan 8t 96 ve de t 7 elde edilir. Bu nedenle, motosikletlinin 7 tur sonunda hızı 96 km/sa olarak sabitlenir. d. t değeri ile 7 arasında iken V(t) = + 8t doğrusal fonksionunun; t değeri 7 den büük olduğunda ise V(t) = 96 sabit fonksionunun grafiğini çizeceğiz. Bu durumda grafik aşağıdaki gibi çizilir tur Hız fonksionu V(t) için elde ettiklerimizi tekrar şu şekilde ifade edebiliriz: t [, 7) için V(t) = 8t +, t [7, ) için V(t) = 96 dir. Dikkat edersek V(t) fonksionunun kuralını tarif etmek için birden fazla koşula ihtiaç duduk. Şimdi, bu örnekte karşılaştığımız durumlara benzer fonksionları tanımlaalım. Tanım kümesinin arık altkümelerinde farklı kurallarla tanımlı olan fonksionlara parçalı tanımlı fonksionlar vea kısaca parçalı fonksionlar denir. g: (, ) R, g() = +, h: [, ) R, h() =, k: (, ) R, k() = fonksionları verilsin. Buna göre a. g, h ve k nın her birinin grafiklerini farklı renkler kullanarak, anı kartezen düzlemde çizelim. b. g, h ve k fonksionlarının grafiklerinin birleşiminden oluşan grafiği, tek bir fonksionun grafiği şeklinde nasıl ifade edebileceğimizi açıklaalım. 66 Ünite. Fonksionlar

77 Parçalı Tanımlı Fonksionlar ve Grafikleri a. g g fonksionunun grafiğini kırmızı, h fonksionunun grafiğini eşil ve k fonksionun grafiğini de mavi renkle gösterelim. Daha önce öğrendiğimiz fonksion grafiklerinin çizimleri hakkındaki bilgilerimizi kullanarak şekildeki grafiği elde ederiz. b. Dikkat edecek olursak verilen fonksionun grafiklerinin birleşimi olan grafiği, tüm gerçek saılarda tanımlı tek bir fonksionun grafiği olarak düşünülebilir. Şekildeki bütünleştirilmiş grafik üzerinde dike doğru testi ugulandığında bunun bir fonksion grafiği olduğu anlaşılacaktır. f: R R fonksionunun kuralını parçalı olarak şu şekilde tanımlaalım: (,-) ise f() = g(), [,) ise f() = h(), [, ) ise f() = k(). Bu durumda, f fonksionu aradığımız fonksiondur. Parçalı tanımlı verilen f fonksionunun kuralını aşağıdaki gibi bir gösterimle ifade edebiliriz. g ( ), - < < - f ( ) = * h ( ), - < k ( ), < Bu gösterimde, g, h ve k fonksionları için verilen cebirsel kuralları kullanırsak f ( ) = +, - < < -, - <, < elde edilir. Bu gösterim ise şu şekilde okunur: * değerleri, < < şartını sağlarsa f() = + kuralı ugulanmalıdır. değerleri, < şartını sağlarsa f() = kuralı geçerlidir. < şartını sağlaan ler için ise f() = kuralı ugulanmalıdır. Örneğin, f() = olur, çünkü < şartı sağlanır, f( ) = + = olur çünkü, < < şartı sağlanmaktadır, f() = = dir çünkü, < olduğunu bilioruz. Ünite. Fonksionlar 67

78 Bölüm. Fonksionların Grafikleri Bir otoparkın ücret tarifesi aşağıdaki gibidir. Park Süresi (saat) Ücret (TL) < t, < t, < t 6, < t 6, 6 < t, Buna göre park ücretinin, parkta kalma süresine bağlı grafiğini çizelim. t saat bir aracın otoparkta kaldığı sürei göstermek üzere, aracın ödeeceği ücret g(t) TL olsun. g fonksionunun tanım kümesi bu otoparkın izin verdiği park süreleri kümesidir. Park edilen bir araç en fazla saat kalabildiğinden g nin tanım kümesi (, ] aralığıdır. Verilen bilgilere göre, bir kişi aracını park ettikten sonra a. Bir saat içinde alırsa TL ödeme apmalıdır, ani t (, ] için g(t) = dir b. saatten fazla olmak üzere saat içinde alırsa TL ödeme apmalıdır, ani t (, ] için g(t) = tür. c. saatten fazla olmak üzere saat içinde alırsa 6, TL ödeme apmalıdır, ani t (, ] için g(t) = 6, tir. d. saatten fazla olmak üzere 6 saat içinde alırsa TL ödeme apmalıdır, ani t (, 6] için g(t) = dur. e. 6 saatten fazla olmak üzere saat içinde alırsa TL ödeme apmalıdır, ani t için g(t) = dir. Yukarıda g fonksionun kuralının nasıl olacağını, olabilecek farklı durumlar için açıkladık. Ancak bu açıklamalarımızın anısını aşağıdaki gibi bir gösterim tercihi aparak daha kısa bir şekilde ifade edebiliriz. Z, < t ise ] ], < t ise g^th= [ 6,, < t ise ], < t 6 ise ] \, 6 < t ise Bu gösterimde önce g fonksionunun alacağı değerleri sonra da bu değerlerin hangi koşul altında geçerli olduğunu belirtiriz. Bu gösterimi okurken ise koşullardan başlarız. 68 Ünite. Fonksionlar

79 Parçalı Tanımlı Fonksionlar ve Grafikleri Örneğin, t değeri ile arasında vea e eşitse g(t) = 6, dir deriz. Burada, g fonksionunun kuralını kısım kısım vermiş oluoruz. Dolaısıla g bir parçalı tanımlı fonksiondur. Bu örnekte g fonksionun görüntü kümesi, ödenecek tüm olası ücret miktarlarının oluşturduğu küme olan {,, 6.,, } dir. Verilenlere göre g fonksionunun grafiğini çizmek için 6, Ücret (TL) Süre (saat) 6 (, ] aralığında =, (, ] aralığında =, (, ] aralığında = 6,, (, 6] aralığında =, (6, ] aralığında = doğrularını çizmeliiz. Bölece g fonksionunun grafiği aşağıdaki gibi elde edilir. Tanım kümesi tüm gerçek saılar olan bir f fonksionu parçalı tanımlı olarak aşağıdaki gibi verilior: Z-, - < < - ] + f ( ) = [, - < + ] \ +, < Buna göre aşağıda verilenleri bulalım. a. f( ) b. f( ) c. f( ) a. f h = =- - ^ h + + b. f( ) = ( ) = c. Herhangi bir gerçek saısı için olduğundan, f( ) = + olarak bulunur. Ünite. Fonksionlar 69

80 Bölüm. Fonksionların Grafikleri Bir postanede mektup ve kargo göndermek için alınan gönderinin kütlesine bağlı olarak belirlenen ücret tarifesi aşağıda verilmiştir. Mektup Gönderme Tarifesi: Grama kadar: TL Gramdan grama kadar:, TL Gramdan grama kadar: TL Gramdan grama kadar:, TL gram ve üstü:, TL e her g fazlalık için kr. Bu tarifee ugun bir fonksion oluşturarak bu fonksionun tanım ve görüntü kümelerini bulalım. Arıca bu fonksionun kuralını azalım ve grafiğini çizelim. gönderinin gram cinsiden kütlesi olmak üzere gönderme ücreti g() TL olsun. g fonksionunun tanım kümesi pozitif gerçek saılar ani (, ) dir. Bu fonksionun görüntü kümesi ise alınabilecek ücretlerdir, ani TL ve TL den itibaren kr. ekleerek elde edeceğimiz tüm saılardır. Bu durumda görüntü kümesini ortak özellik öntemile şu şekilde belirtebiliriz: ' k : k vekbirpozitif tamsa ı Verilen bilgiler doğrultusunda g fonksionunun kuralı parçalı tanımlı olarak şu şekildedir: Z ], < < için ],, < için ] ], < için g^h= [,, < için ] ], < için ], < için ] \ h h Buna göre (, ) = g()= [, ) = g() =, [, ) = g() = [, ) = g() =, [, ) = g() = [, ) = g() =,... Bu durumda g fonksionunun grafiği aşağıdaki gibi olacaktır. 7 Ünite. Fonksionlar

81 Parçalı Tanımlı Fonksionlar ve Grafikleri Ücret,...,, gönderinin kütlesi 6 Z ] - +, < ise ] k ( ) = [ ], < ise ] \ -, ise fonksionunun grafiğini çizelim. k() fonksionunun her bir parçasında verilen kurallara sahip f() =, g() = ve h() = + doğrusal fonksionların grafiklerini çizelim. h() = + f() = g() = Bu grafiklerin k nın tanımında belirtilen kısımlarını alarak k fonksionunun grafiğini elde edeceğiz. Bu durumda f in grafiği üzerindeki noktalardan apsisleri [, ) aralığında olanları, g nin grafiği üzerindeki noktalardan apsisleri ;, m aralığında olanları, h nin grafiği üzerindeki noktalardan apsisleri c-, m aralığında olanları alarak k nın grafiğini şekildeki gibi elde ederiz. k Ünite. Fonksionlar 7

82 Bölüm. Fonksionların Grafikleri 7 r= m Yanda verilen üst üste iki dik silindir şeklindeki bölümden oluşan boş depo sabit miktarda su akıtan h = m bir musluk ile doldurulmaktadır. Alttaki silindirin taban arıçapı metre ve üksekliği 8 metredir. H=8 m Üstteki silindirin ise taban arıçapı metre, üksekliği metredir. Buna göre aşağıda istenenleri h =8 m apalım. (r erine alınız) R = m a. Alttaki silindirde suun hacminin üksekliğe bağlı olarak değişim oranı (hızı) nedir? b. Üstteki silindirde suun hacminin üksekliğe bağlı değişim oranı (hızı) nedir? c. Deponun tamamı için suun hacminin üksekliğe bağlı değişimini gösteren fonksionun grafiğini çiziniz. a. Suun hacminin üksekliğe bağlı değişimini bir fonksion olarak düşünebiliriz. Bu fonksionda hacim bağımlı değişken, ükseklik ise bağımsız değişkendir. Burada hacim ile ükseklik birlikte değişmektedir. h =8m m m Öncelikle üksekliği birer birim artırarak hacimin aldığı değerleri bulalım. Dikkat Burada değişim oranının birimi m /m'dir. Bu ifadenin m sadeleştirerek = m m şeklinde azılamaacağına dikkat ediniz. Yükseklik (h) Hacim (V = rr h) m 7 m 7 m 7 m 8 6 Tabloda görüldüğü üzere suun üksekliğindeki her metre artışına karşılık, hacim 7 m artmaktadır. Yani değişimde e 7 bir oran vardır. Yükseklik metreden metree çıktığında hacimdeki değişim oranını (hızını) V- V - 7 = = 7m / m - olarak hesaplaabiliriz. 7 Ünite. Fonksionlar

83 Parçalı Tanımlı Fonksionlar ve Grafikleri Yani suun üksekliği birim arttığında hacim bunun 7 katı kadar artmaktadır. Değişim oranı sabit olduğu için istenen fonksion bir doğrusal fonksiondur. Bu durumda alttaki silindir bölüm için aranan doğrusal fonksionun eğimi 7 olmalıdır. Şimdi değişim oranını, değişim oranının sabit olduğu bilgisini kullanmadan ikinci bir oldan hesaplaalım. Bunun için belli ükseklik değerleri erine genel olarak aldığımız (h, V) ve değerleri için hesaplaalım. V h - V - h rr h - rr h = h- h rr ^h- hh = h- h = rr = m / m = 7 m / m V- V Dikkat edilirse burada = rr olduğunu gözlemledik. h - h Dolaısıla verilen şartlar altında silindirdeki suun hacminin üksekliğe bağlı değişim oranı sadece silindirin arı çapına bağlıdır. b.. Yol: (a) seçeneğinde alttaki silindir için aptığımız işlemi üstteki silindir bölüm için apalım. Yükseklik (h) Hacim (V = rr h) m 8 6 m 9 6 m 6 m Tabloda görüldüğü üzere üksekliğin her metre artışına karşılık hacim m artmaktadır. Örneğin, suun 8 ve metre ükseklikte olduğu durumlara karşılık gelen hacim değerleri sırasıla 6 m ve 6 m tür. Bu aralıktaki değişim oranı, 6-6 = = m / m - 8 olarak hesaplanır. Başka aralıklar için bu işlemin sonucu anı olacaktır. Değişim oranı burada da sabit olduğu için istenen fonksion bir doğrusal fonksiondur. Bu durumda üstteki silindir bölüm için aranan doğrusal fonksionun eğimi olmalıdır. Ünite. Fonksionlar 7

84 Bölüm. Fonksionların Grafikleri. Yol: Anahtar Bilgi, < ise = f( ) = = ( -, ise fonksionu mutlak değer fonksionu olarak bilinir. Mutlak değerli ifade içeren fonksionlar parçalı tanımlı fonksionlara örnektir. (a) da bulduklarımızdan dolaı değişim oranı rr = m = m /m dir. c. Suun hacminin üksekliğe bağlı değişimi alttaki ve üstteki bölümler için eğimleri sırasıla 7 ve olan birer doğrusal fonksionla gösterilebilir. (a) ve (b) de bulduklarımız değişim oranlarıdı. Alttaki silindir bölme için azılacak fonksionda ükseklik (m), f() de bu ükseklikteki suun hacmini (m ) göstermek üzere, f() = 7 + c olmalıdır. Suun üksekliği olduğunda hacim dır. Bu durumda f() = 7 + c = c = bulunur. O halde, alttaki silindir bölme üksekliğe bağlı hacim fonksionu, < 8 için f() = 7 bulunur. Üstteki silindir bölme için eğimin olduğunu bulmuştuk. O halde suun üksekliğine bağlı hacmini gösteren fonksion, g() = + k olmalıdır. Burada k değeri bulmak için bilinen değerlerden ararlanabiliriz. g() = + k fonksionu üstteki silindire ait olduğu için, suun üksekliği 8 metreden büük, deponun bou olan (iki bölmenin toplam üksekliği) 8 metreden küçük olduğu durum için geçerlidir. Yükseklik 8 olduğunda hacmin 6 m olduğunu bilioruz. Bu durumda, g(8) = 8 + k = 6 k = bulunur. O halde 8 < 8 için g() = + olur. Bu durumda deponun tamamı için suun üksekliğe bağlı hacim fonksionu v() aşağıdaki gibi olmalıdır. 7, 8ise v^h = ( +, 8 < 8 ise Parçalı tanımlı v() fonksionunun grafiğini aşağıdaki gibi çizebiliriz = v Ünite. Fonksionlar

85 Parçalı Tanımlı Fonksionlar ve Grafikleri 8 Gerçek saılarda tanımlı = f() = fonksionun grafiğini çizelim. Öncelikle pozitif değerleri için =, negatif değerleri için = ve de = olduğundan = mutlak değer fonksionunu parçalı tanımlı fonksionlar için kullandığımız gösterim olula ifade edebiliriz: Z ] -, < için = [, = için ] \, > için Son iki koşulu birleştirdikten sonra koşul sıralarını eniden düzenleerek şu şekilde de gösterebiliriz:, = ( -, < Dolaısıla, = f() = in grafiği < için = ve iken = doğrularının grafiklerinin ilgili kısımlarıdır. Anahtar Bilgi Mutlak değerli fonksionların grafikleri çizilirken mutlak değerin içindeki ifadenin grafiği çizilir. Daha sonra grafiğin -ekseninin altında kalan kısmının -eksenine göre simetriği alınır. Bölece istenilen mutlak değerli ifade içeren grafik çizilmiş olur. Örneğin, f() = g() ifadesi g^h, g^h f ^h= g^h = ) - g^h, g^h< olacak şekilde azılabilir. = = Grafikten de görüldüğü gibi f() = fonksionunun tanım kümesinin dike doğru testinden R, görüntü kümesinin ise grafikten [, ) olduğu görülmektedir. Anahtar Bilgi Kuralında mutlak değerli ifade içeren bir f fonksionunun grafiği çizilirken, mutlak değerli ifadei (sıfır) apan değerler kritik değerlerdir. Tanım kümesi bu kritik değerlere göre parçalanarak, fonksionun ilgili aralıklardaki kuralı fonksionunun o bölgelerde negatif ve pozitif olmasına göre grafiği çizilir. Ünite. Fonksionlar 7

86 Bölüm. Fonksionların Grafikleri 9 f: R R, f() = fonksionunun kuralını parçalı tanımlı olarak ifade edip grafiğini çizelim. Mutlak değerin tanımı gereği iken = ( ) = < iken = olduğundan, ise f = - = - ^ - h ^ h ) -, < ise -, ise = ( -, < ise f fonksionunun grafiğini elde etmek için, = fonksionunun grafiği çizilip, grafiğin < için olan kısmı; = fonksionunun grafiğini için olan kısmı alınarak birleştirilir. Bu şekilde elde ettiğimiz grafik şudur: g() = h() = = f() = Dikkat edilirse f()= in grafiğini elde etmek için = doğrusunun grafiği çizilir. -ekseninin üstünde kalan kısmın tamamı, -ekseninin altında kalan kısmın (ani fonksionun negatif değer aldığı kısmın) ise -eksenine göre simetriği alınır. Bu alınan grafikler f fonksionunun grafiğini oluşturur. Bu örnek üzerinde aptığımız gözlemi şu şekilde genelleebiliriz: Mutlak değerli fonksionların grafikleri çizilirken mutlak değerin içindeki ifadei kural olarak alan fonksionun grafiği çizilir. Daha sonra grafiğin -ekseninin üstünde olan kısımlar alınır. -ekseninin altında kalan kısımlar varsa bu kısımların da -eksenine göre simetriği alınır. Bölece istenilen mutlak değerli ifade içeren grafik çizilmiş olur. 76 Ünite. Fonksionlar

87 Parçalı Tanımlı Fonksionlar ve Grafikleri Aşağıdaki örneklerde = f() in grafiğinden = f() in grafiğinin nasıl elde edildiğini inceleiniz: 6 f() = 6 f() = g() = g() = 6 6 h() = h() = 6 Gerçek saılarda tanımlı f() = + fonksionunun grafiğini çizelim. Ünite. Fonksionlar 77

88 Bölüm. Fonksionların Grafikleri için = olduğundan f() = + = 'tür. < için < = ( ) olduğundan f() = ( ) + = 'dir. Bu durumda f fonksionu şu şekilde ifade edilebilir: -, f^h = (, < Buna göre f fonksionunun grafiği, aşağıda gösterildiği gibi için f() = fonksionunun grafiği < için f() = fonksionunun grafiği olmalıdır. f () Grafikten de görüldüğü gibi f fonksionu, kuralında bulunan mutlak değerli ifadei (sıfır) apan değerlerin sağında ve solunda farklı cebirsel ifadelerle temsil edilmektedir. Parçalı tanımlı verilen bir fonksionda, tanım kümesinden olup fonksionun kuralının değişiklik gösterdiği erlere fonksionun kritik değerleri denir. = f() şeklindeki parçalı tanımlı fonksionlar için f() = eşitliğini sağlaan erler bu parçalı tanımlı fonksionun kritik noktaları olacaktır. Örneğin, gerçek saılarda tanımlı f() = 6 fonksionunun kritik noktası, 6 = dan = olarak bulunur. 78 Ünite. Fonksionlar

89 Parçalı Tanımlı Fonksionlar ve Grafikleri KENDİMİZİ SINAYALIM. Gerçek saılarda tanımlı aşağıdaki fonksionların grafiklerini çiziniz. a., < f^h = ( +, b. g() = * c. h() = + -, < -, -, >. + a, < m^h = *, fonksionunun grafiği - b, > şekilde gösterilmektedir? Buna göre a ve b değerlerini bulunuz. m. Gerçek saılarda tanımlı aşağıdaki fonksionların grafiklerini çiziniz. a. k() = b. n() = + c. m() = + ç. t() = -. Bir üzme havuzunun giriş ücreti bir saate kadar TL, bir saatten sonraki her arım saat için TL dir. Bu durumda;. Gerçek saılarda tanımlı aşağıdaki fonksionların grafiklerini çiziniz. a. f() = + + b. g() = + a. Havuzda üzmee giden iki arkadaşın havuzu kullanacakları zamana (saat) göre ödeeceği toplam ücreti (TL) gösteren bir fonksion azınız. b. a) seçeneğinde bulduğunuz fonksionun grafiğini çiziniz. c. g() = + Ünite. Fonksionlar 79

90 Parçalı Tanımlı Fonksionlar ve Grafikleri KENDİMİZİ SINAYALIM 6. Bir GSM şirketi kullanıcılarına alık TL sabit ücret karşılığı her öne dakika konuşma hakkı veren bir tarife sunmaktadır. Bu tarifee göre dakika aşımı halinde, ilave her dakika konuşma için kuruş ücretlendirme apılmaktadır. Bu durumda; a. Ada ortalama dakika konuşan bir kişinin bu tarifee göre ne kadar ücret ödeeceğini bulunuz. b. Konuşma süresine (dakika) bağlı ödenecek ücreti gösteren bir fonksion bulunuz. c. Üstte bulduğunuz fonksionun grafiğini çizerek orumlaınız. d. Anı GSM şirketi farklı bir tarifee göre alık sabit ücreti TL ve dakika ücreti kuruş olan bir paket sunmaktadır. Her iki tarifedeki ücretlendirmeleri karşılaştırarak, bu tarifelerin müşteriler için hangi durumlarda daha karlı olduğunu açıklaınız. 8 Ünite. Fonksionlar

91 MATEMATİK ATÖLYESİ Bu atöle çalışmasında tanım kümesindeki elemanların değer kümesindeki farklı elemanlarla ilişkilendirildiği fonksionları inceleeceğiz. Adım Her ilin farklı bir plaka kodu olduğunu trafikte gözlemlemişsinizdir. Aşağıda verilen haritada her ilin ismi ve plaka numarası görülmektedir. Bulunduğunuz coğrafi bölgedeki illerin kümesini A, bu illerin plaka kodlarının kümesini B ile gösteriniz. Adım A ve B kümelerini Venn şeması ile göstererek il ve plaka kodlarını eşleiniz. Adım A kümesindeki şehirlerden B kümesinden anı plaka kodula eşleşen var mı? Cevabınızı nedenlerile açıklaınız. Adana Edirne Kütaha 6 Uşak Adıaman Elazığ Malata 6 Van Afon Erzincan Manisa 66 Yozgat Ağrı Erzurum 6 K. Maraş 67 Zonguldak Amasa 6 Eskişehir 7 Mardin 68 Aksara 6 Ankara 7 Gaziantep 8 Muğla 69 Baburt 7 Antala 8 Giresun 9 Muş 7 Karaman 8 Artvin 9 Gümüşhane Nevşehir 7 Kırıkkale 9 Adın Hakkari Niğde 7 Batman Balıkesir Hata Ordu 7 Şırnak Bilecik Isparta Rize 7 Bartın Bingöl İçel Sakara 7 Ardahan Bitlis İstanbul Samsun 76 Iğdır Bolu İzmir 6 Siirt 77 Yalova Burdur 6 Kars 7 Sinop 78 Karabük 6 Bursa 7 Kastamonu 8 Sivas 79 Kilis 7 Çanakkale 8 Kaseri 9 Tekirdağ 8 Osmanie 8 Çankırı 9 Kırklareli 6 Tokat 8 Düzce 9 Çorum Kırşehir 6 Trabzon Denizli Kocaeli 6 Tunceli Diarbakır Kona 6 Şanlıurfa Adım Bu kümelerin elemanları arasında apılan ilişkilendirmenin neden bir fonksion olduğunu açıklaınız. Adım Bu fonksionun A kümesindeki her bir elemanı B kümesindeki farklı elemanlara eşleip eşlemediğini belirtiniz. Görüntü kümesinden aldığınız elemanların bu fonksion altında kaçar tane ters görüntüsü olmaktadır. Ünite. Fonksionlar 8

92 Bölüm. Fonksionların Grafikleri..6. Bire Bir ve Örten Fonksionlar Neler Öğreneceğiz? Bire bir fonksionu Örten fonksionu Yata doğru testini Terimler Bire bir fonksion Örten fonksion Yata doğru testi Sembol ve Gösterimler Başlarken..6. Bire Bir ve Örten Fonksionlar Marketlerde satılan her ürün çeşidinin bir barkodu vardır. Herhangi bir ürün çeşidinin fiatını barkod okuucu ardımıla öğrenebiliriz. Her ürün çeşidine bir barkod numarası verilmesinin sağladığı birçok kolalıklar vardır. Bir marketteki ürün çeşitlerini barkodlarına eşleen fonksionu düşünelim. Bir ürüne barkod verilirken nelere dikkat edilmelidir? Bunlar ele aldığımız fonksion için ne anlama gelmektedir? Bu örnektekine benzer fonksionların incelenmesinde bire bir fonksion kavramıla karşılaşırız. Diğer önemli bir özellik de bir fonksionun örten olup olmadığıdır. Bu kısımda, oldukça işlevsel olan fonksionların bire bir, örten ve hem bire bir hem örten olma durumlarını inceleeceğiz. Bire Bir Fonksion A A.a.b.c.a.b.c..... B B A A.a.b.c.a.b.c B B Fonksion konusuna girişte, bir fonksionun tanım kümesindeki her bir elemanı, değer kümesinin bir ve alnız bir elemanı ile eşleştirdiğini vurgulamıştık. Örneğin, A kümesinden B kümesine tanımlanan andaki ilişkiler birer fonsion belirtmektedir. Buna göre, İlk satırdaki fonksionların tanım kümesindeki her bir eleman değer kümesinde farklı bir elemanla eşleşmiştir. İkinci satırdaki fonksionların tanım kümesinin bazı elemanları değer kümesinde anı elemanla eşleşmiştir. Şöle ki, her iki fonksionda da tanım kümesinin a ve b elemanları değer kümesindeki elemanı ile eşleşmiştir. Şimdi bu örneklerde gözlemlediğimiz fonksion özelliklerine önelik bir tanım apalım: 8 Ünite. Fonksionlar

93 Bire Bir ve Örten Fonksionlar Bir fonksionun tanım kümesindeki her bir elemanın görüntüsü diğer elemanların görüntülerinden farklı ise o fonksiona bire bir fonksion denir. Bu tanımı daha net ifade etmek için bire bir olma kavramının cebirsel olarak ne anlama geldiğini belirtelim: Bir f: A B fonksionu verildiğinde, herhangi a A ve b A için a b f(a) f(b) Anahtar Bilgi f: A B fonksionu bire bir ise, A kümesinden alınan herhangi iki farklı elemanın görüntüleri anı olamaz. şartı sağlanıorsa f fonksionuna bire bir fonksion denir. Bu tanımı şu şekilde de ifade edebiliriz: herhangi a A ve b A için f(a) = f(b) a = b şartı sağlanıorsa f fonksionu bire bir fonksiondur. Bir f fonksionunun bire bir olma durumu f fonksionu - dir. şeklinde ifade edilebilir. Bu üç tanım birbirine denk olmakla beraber, verilen bir fonksionun bire bir olduğunu göstereceksek üçüncü tanım daha kullanışlıdır. Diğer taraftan, verilen bir fonksionun bire bir olmadığını göstereceksek genellikle ikinci tanım daha kullanışlıdır. Girişte verilen örnekteki, bir marketteki ürün çeşidini barkodlarına eşleen fonksion, bire bir fonksiondur. Aşağıda şekilde verilen f fonksionu bire bir bir fonksiondur. Ancak g fonksionu bire bir değildir. A.a.b.c f.k.l.m B A.a.b.c g.l.m B Anahtar Bilgi Her a, b A ve f: A B, f(a) = f(b) olması sadece a = b durumunda gerçekleşiorsa f fonksionuna bire bir fonksion denir. Anahtar Bilgi Bir f: A B fonksionu için f(a) = f(b) olup a b olan iki a, b A bulunabilirse, f fonksionu bire bir fonksion değildir. f bire bir dir. g bire bir değildir. Çünkü f fonksionunda A kümesindeki her eleman B kümesinden farklı bir elemanla eşleşmiştir. g fonksionunda ise A kümesinin a ve b elemanları B kümesinin anı elemanıla eşleşmiştir. Ünite. Fonksionlar 8

94 Bölüm. Fonksionların Grafikleri f: R R, f() = fonksionunun bire bir olup olmadığını inceleelim. a ve b gibi iki gerçek saı için f(a) = a ve f(b) = b olur. f(a) = f(b) olduğunda a ve b değerleri arasındaki ilişkii bulalım. f(a) = f(b) a = b a = b olur. Bölece, her a, b R için f(a) = f(b) olması durumunda a = b olduğunu göstermiş olduk. Bu nedenle f fonksionu bire bir fonksiondur. Tanım kümesinden alacağımız herhangi iki farklı elemanın değer kümesinde anı elemanla eşleştiğini gösterebilirsek fonksionun bire bir olmadığını söleebiliriz. Aksi durumda ise fonksion bire bir olacaktır. f: R R, f() = fonksionunun bire bir olup olmadığını inceleelim.. Yol: a ve b gibi iki gerçek saı için f(a) = a ve f(b) = b olur. f(a) = f(b) olduğunda a ve b değerleri arasındaki ilişkii bulalım. f(a) = f(b) a = b a = b vea a = b olur. Bu durumda f(a) = f(b) olması için a b de olabilir. Ölese f: R R, f() = fonksionu bire bir fonksion değildir. 8 Ünite. Fonksionlar

95 Bire Bir ve Örten Fonksionlar. Yol: ve birer gerçek saı olduğundan f fonksionunun kümesinin elemanıdır. f() = = f( ) dir. Fakat olduğundan f fonksionu bire bir değildir. Siz de, tanım kümesini pozitif gerçek saılar alarak çözümde izlediğimiz basamakların ve sonucun nasıl değişeceğini açıklaınız. Bölece f: R + R, f() = fonksionunun bire bir fonksion olup olmadığını bulmuş olacaksınız. f: R R, f() = fonksionunun bire bir olup olmadığını cebirsel olarak gösterelim. a ve b gibi iki gerçek saı için f(a) = a ve f(b) = b olur. f(a) = f(b) olduğunda a ve b değerleri arasındaki ilişkii bulalım. f(a) = f(b) a = b a = b Bölece f(a) = f(b) ise a = b olduğunu göstermiş olduk. Bu durumda f: R R, f() = fonksionu bire bir fonksiondur. f: R R, f() = fonksionunun bire bir olma durumunu inceleelim. a, b R olmak üzere f(a) = f(b) olsun. f(a) = a ve f(b) = b olduğundan a = b a = b a = b a = b Bu nedenle f fonksionu bire birdir. Ünite. Fonksionlar 8

96 Bölüm. Fonksionların Grafikleri f: R R, f() = + fonksionunun bire bir olup olmadığını inceleelim.. Yol: a, b R olmak üzere f(a) = f(b) olsun. f() = + olduğundan f(a) = a + ve f(b) = b + dir. Dolaısıla, f(a) = f(b) a + = b + dir. Buradan a + = b + vea a + = (b + ) a = b vea a + = b a = b elde edilir. Bu nedenle, f fonksionu bire bir değildir.. Yol: f fonksionunun tanım kümesi R dir. ve gerçek saıları için, f( ) = + = = ve f() = + = = olur. Fakat olduğu için f fonksionu bire bir değildir. Bir fonksionun bire bir olup olmadığını, ukarıdaki örneklerde kullandığımız cebirsel aklaşımla tespit edebileceğimiz gibi fonksionun grafiğinden ararlanarak da belirleebiliriz. Bir fonksionun grafiği verildiğinde tanım kümesindeki herhangi bir a değerinin bu fonksion altındaki görüntüsünü bulabildiğimizi belirtmiştik. a noktasından -eksenine dik olarak çizilen bir doğrunun grafiği kestiği noktanın ordinatı olan b değeri, a nın f altındaki görüntüsüdür. Eğer tanım kümesindeki birden fazla eleman için -ekseninden çizilen dik doğrunun grafiği kestiği noktanın ordinatı anı ise bu fonksion bire bir değildir. Çünkü bu durumda tanım kümesindeki birden fazla elemanın görüntüsü anı olacaktır. 86 Ünite. Fonksionlar

97 Bire Bir ve Örten Fonksionlar 6 f: R R, f() = fonksionunun bire bir olduğunu fonksionun grafiğini kullanarak belirleelim. f: R R, f() = fonksionunun grafiğini çizdikten sonra f altında görüntüleri anı olan gerçek saılar olup olmadığını fonksionun grafiğini kullanarak belirleelim. 6 Örneğin, f altında görüntüsü olan kaç tane değeri olduğunu bulmak için = noktasından ata bir doğru çizelim. Bu ata doğru, grafiği alnız (, ) noktasında kesmektedir. Bu durumda görüntüsü olan sadece bir nokta vardır o da = dir. Anahtar Bilgi Bir fonksionun görüntü kümesinden -eksenine paralel olarak çizilen doğrulardan en az biri fonksionun grafiğini birden fazla noktada kesiorsa bu fonksion - değildir. 6 Farklı değerleri için de ata doğrular çizdiğimizde, her ata doğrunun grafiği sadece bir noktada kestiğini görebiliriz. Bu da bize f fonksionunun bire bir fonksion olduğunu göstermektedir. Yandaki örnekte detalandırdığımız önteme ata doğru testi denilmektedir. Ünite. Fonksionlar 87

98 Bölüm. Fonksionların Grafikleri Bir fonksionun grafiği üzerinde, -eksenine paralel çizilen her doğru grafiği en fazla bir noktada kesiorsa grafik - fonksion grafiğidir. Bu grafiği birden fazla noktada kesen en az bir ata doğru varsa bu fonksion - değildir. Bu önteme ata doğru testi adı verilir. Verilen bir fonksion grafiği üzerinde ata doğru testini ugulaarak fonksionun bire bir olup olmadığını örneklerle inceleelim Şekilde grafiği verilen f: R R, f() = fonksionunun olup olmadığını inceleelim Grafikte ata doğru testi uguladığımızda, ata doğrulardan grafiği iki noktada kesenler olduğunu görmekteiz. Bu durumda f: R R, = fonksionu bire bir değildir. 88 Ünite. Fonksionlar

99 Bire Bir ve Örten Fonksionlar 8 f: R R, = fonksionunun bire bir olup olmadığını ata doğru testi ardımıla inceleelim. F E A Fonksionun grafiğinde ata doğru testini uguladığımızda, her ata doğrunun grafiği alnızca bir noktada kestiği görülmektedir. Bu durumda f: R R, = fonksionu bire birdir. B C D 9 Grafiği verilen fonksionun bire bir olup olmadığını ata doğru testi kullanarak belirleelim. Grafik üzerinde çizilen ata doğrulardan bazıları grafiği birden fazla noktada kesmektedir. Örneğin, = doğrusu grafiği in, ve değerlerinde kesmektedir. Bu durumda f fonksionu bire bir değildir. Ünite. Fonksionlar 89

100 Bölüm. Fonksionların Grafikleri 6 6 Grafiği verilen fonksionun bire bir olup olmadığını ata doğru testi kullanarak belirleelim. Grafik üzerinde çizdiğimiz ata doğru, grafiği birden fazla noktada kesebilmektedir. Bu durumda f fonksionu bire bir değildir. 6 6 Örten Fonksion Bire bir fonksiona girişte verdiğimiz örneği tekrar ele alalım. A.a.b.c... B A.a.b.c.... B A B A B.a.b.c...a.b.c... 9 Ünite. Fonksionlar

101 Bire Bir ve Örten Fonksionlar Buna göre, İlk sütundaki fonksionların değer kümeleri ile görüntü kümeleri birbirine eşittir. İkinci sütundaki fonksionların değer kümeleri ile görüntü kümeleri birbirine eşit değildir. Benzer şekilde, f: {,,,, } {,,,,, 6, 7, 8, 9, } ve f() = fonksionunun değer kümesi ile görüntü kümesini karşılaştıralım. Önce fonksionunun görüntü kümesini bulalım. f() = =, f() = =, f() = = 6, f() = = 8, f() = = olduğundan f(a) = {,, 6, 8, } olup bu küme f in görüntü kümesidir. Diğer taraftan f in değer kümesi B = {,,,,, 6, 7, 8, 9, } dir. Bu durumda f(a) B olup görüntü kümesi değer kümesine eşit değildir. Anahtar Bilgi f: A B, f(a) = B ise f fonksionuna örten fonksion denir. Başka bir ifadele, her b B için b = f(a) olacak şekilde bir a A varsa f fonksionu örten fonksiondur. Eğer bir fonksionun değer kümesindeki her eleman, tanım kümesinden en az bir eleman ile eşleşmiş ise bu fonksion örten fonksiondur. Bir başka ifadele, bir fonksionun görüntü kümesi ile değer kümesi birbirine eşitse fonksion örtendir. Şimdi bu tanımları cebirsel olarak ifade edelim: f: A B fonksionu için f(a) = B ise f örtendir. Bu tanımı aşağıdaki gibi belirtmek agın ve kullanışlıdır: f: A B fonksionu verilsin. Her b B için b = f(a) olacak şekilde en az bir a A varsa f örten bir fonksiondur. A f B C g D f örten değildir. Çünkü f(a) B dir. g örtendir. Çünkü g(a) = B dir. f: {,,,, } {,, 6, 8, }, f() = fonksionunun örten olup olmadığını inceleelim. f(a) = {,, 6, 8, } ve B = {,, 6, 8, } olup f(a) = B olduğundan f fonksionu örtendir. Ünite. Fonksionlar 9

102 Bölüm. Fonksionların Grafikleri Aşağıda verilen fonksionların örten olup olmadıklarını inceleelim. A..8.. f B C g D f fonksionun görüntü kümesi f(a) = {8,, 9, } ve değer kümesi B = {8,, 9,, 7} dir. Bu durumda, f(a) B olduğundan f bir örten fonksion değildir. g fonksionunun görüntü kümesi g(c) = {, 8, 9,, } ve değer kümesi D = {, 8, 9,, } dir. g(c) = D olduğundan g bir örten fonksiondur. Bir fonksionun bire bir olma durumunu incelemek için kullandığımız ata doğru testini fonksionun örten olma durumunu incelemek için de kullanabiliriz. Şöle ki, değer kümesinin elemanlarından çizilen her ata doğru fonksionun grafiğini en az bir noktada kesiorsa bu fonksion örten fonksiondur Bir f: [, ] [, 8] fonksionunun grafiği şekildeki gibidir. Bu fonksionun örten olup olmadığını ata doğru testi ile inceleelim. 9 Ünite. Fonksionlar

103 Bire Bir ve Örten Fonksionlar Fonksionun tanım ve değer kümeleri şekilde kırmızı renklerle gösterilmiştir. Yata doğru testi ugulandığında, değer kümesindeki her elemanın f fonksionu altında bir ters görüntüsünün olduğu görülecektir. Bu nedenle, bu fonksion örtendir. Sizce, g: [, ] [, ] fonksionu bu örnekteki anı grafikle verilirse örten olur mu? Neden? f: R R, f() = fonksionunun örten olup olmadığını belirleelim.. Yol: Fonksionun cebirsel kuralını kullanarak. Fonksionunun tanım ve değer kümeleri tüm gerçek saılar olarak verilmiş. Amacımız, her b R için b = f(a), ani b = a şartını sağlaan bir a R olup olmadığını belirlemektir. Eğer b = alırsak, = a eşitliğini sağlaan bir gerçek saı olmadığından, f fonksionu örten olma şartını sağlamaz, ani örten değildir.. Yol: Fonksionun grafiğini kullanarak f fonksionunun grafiğini çizmei daha önce öğrenmiştik. Çizdiğimiz grafikte fonksionun değer kümesi mavi renkle belirtilmiştir. Grafik incelendiğinde değer kümesindeki negatif değerlerle eşlenen değerlerinin olmadığı görülmektedir. Bu durumda f fonksionu örten değildir. Sizce f: R R +, f() = fonksionu örten bir fonksion mudur? Neden? Ünite. Fonksionlar 9

104 MATEMATİK ATÖLYESİ Bu atöle çalışmasında, dinamik matematik/geometri azılımları kullanarak grafikleri çizilen fonksionların - vea örten olup olmadıklarını ata doğru testi ardımıla inceleeceğiz. Araç ve Gereçler: Elektronik tablolalama, grafik hesap makinesi, dinamik geometri/matematik azılımı vb. grafik çizimi apılabilen bir araç/azılım. Adım Grafik çizme özelliği olan bir dinamik matematik/geometri azılımı kullanarak gerçek saılarda tanımlı = f() = grafiğini çiziniz. Adım -eksenine dik (vea -eksenine paralel) doğrular çizerek ata doğru testini ugulaınız ve fonksionun bire bir fonksion örten fonksion olup olmadığını belirleiniz. Adım Gerçek saılarda tanımlı = h() = +, = g() = 6, = t() =, = F() =, = G() =, = H() = + 6 fonksionlarının grafiklerini çizdirerek her bir fonksionun bire bir fonksion örten fonksion olup olmadığını belirleiniz. Adım Hem -, hem de örten olan fonksionların grafiklerinin ortak özelliklerini açıklaınız. 9 Ünite. Fonksionlar

105 Bire Bir ve Örten Fonksionlar f: R R, f() = + fonksionunun - ve örten olup olmadığını inceleelim. f fonksionunun bire bir olması için, her a, b R ve a b için f(a) f(b) olmalıdır. f(a) = a + ve f(b) = b + olduğundan, a + b + olması a b anlamına gelmektedir. Bu nedenle, f fonksionu - dir. f fonksionunun örten olması için, her b R için f(a) = b eşitliğini sağlaan en az bir a R bulunabilmelidir. Verilen fonksion için f(a) = a + olduğundan, amacımız, her b R için a + = b eşitliğini sağlaan bir a gerçek saısının var olup olmadığını bulmaktır. b b R iken a + = b ise a = -! R dir. Dolaısıla f fonksionu örtendir. Bu durumda, f: R R, f() = + fonksionu hem - hem de örtendir. Sizce f: N N, f() = + fonksionu örten bir fonksion mudur? - bir fonksion mudur? Neden? f: A B, = f() fonksionu hem bire bir hem de örten fonksion ise f fonksionuna, bire bir ve örten fonksion denir. Sizce f: R R, f() = fonksionu bire bir ve örten fonksion mudur? Neden? Ünite. Fonksionlar 9

106 Bire Bir ve Örten Fonksionlar KENDİMİZİ SINAYALIM Kavrama ve Muhakeme Soruları b.. Aşağıdaki kavramları kendi cümlelerinizle açıklaınız. 6 a. Bire bir fonksion b. Örten fonksion c. Yata doğru testi g. f: R R, f() = fonksionu bire bir midir? Cevabınızı fonksionun grafiğini çizmeden açıklaınız.. f: {,,, } {8,, 6, }, f() = fonksionu örten midir? Cevabınızın nedenini açıklaınız. Alıştırmalar. f: R R, f() = + fonksionunun grafiğini çizerek - ve örten olduğunu ata doğru testi ardımıla gösteriniz. g: R R. Yata doğru testini kullanarak aşağıda grafikleri verilen fonksionların tanımlı oldukları kümelerde Bire bir c. Örten a. Bire bir ve örten olup olmadıklarını belirleiniz. 6 f h h: R {} R f: R R 96 Ünite. Fonksionlar

107 KENDİMİZİ SINAYALIM Bire Bir ve Örten Fonksionlar ç. 6 k k: R [, ). Gerçek saılarda tanımlı h fonksionun grafiği verilior. h Yata doğru testini kullanarak aşağıdaki soruları cevaplaınız. a. h fonksionu - ve örten midir? b. g: (, ) R, g() = h() şeklinde tanımlanan g fonksionu - ve örten midir?. Gerçek saılarda tanımlı f fonksionun grafiği verilior.. Bir dinamik geometri azılımı kullanarak gerçek saılarda tanımlı F() = + G() = H() = + = f() Yata doğru testini kullanarak aşağıdaki soruları cevaplaınız. a. f fonksionu - ve örten midir? b. g: [, ] [, ], g() = f() şeklinde tanımlanan g fonksionu - ve örten midir? f() = h() = fonksionlarının grafiklerini çizdiriniz. Yata doğru testini kullanarak bu fonksionların - ve örten olup olmadıklarını belirleiniz. 6. f: R {} R, f ( ) = fonksionunun - ve örten olup olmadığını cebirsel olarak gösteriniz. 7. Aşağıdaki fonksionları; bire bir ve örten, bire bir ama örten değil, bire bir değil ama örten, hem bire bir değil hem örten değil şeklinde sınıflandırınız: i. f: R R, f() = Ünite. Fonksionlar 97

108 Bire Bir ve Örten Fonksionlar KENDİMİZİ SINAYALIM ii. g: N N, g() = iii. h: {a, b} {,, }, h(a) =, h(b) = iv. k: [, ) R, k() = v. t: R R, t() = vi. m: [, ) R, m() = vii. n: Z [, ), n() = viii. o: [, ) [, ), o() = Ugulama ve Problem Çözme. EĞLENCELİ MATEMATİK şaka apmak ister. Bir gün gizlice Hoca nın taşları büüklüğünde bir avuç taşı çömleğe boşaltır. Sonra doğruca Hoca nın anına gider ve sorar: Hocam, bugün ramazanın irmi dördü mü, irmi beşi mi? Arkadaşlarla bir karara varamadık. Bana Hoca a git danış. O bilir, dediler. Hoca: Olur, şu bizim çömleğe bir bakalım, der. Hoca, çömleğin anına gider. İçindeki taşları samak için boşaltır. Haretler içinde kalır. Taşları saar, tam tane taş vardır. Kendi kendine: Allah Allah! Hiç böle şe olmaz! die sölenir. Soru soran adamın anına geri gelir: Bugün ramazanın altmış ikisi der. Adam: Aman Hocam! Hiç böle şe olur mu? Hiç a altmış iki çeker mi? Hoca: Sen gene şükret, ben insaflı davrandım da arısını söledim. Benim çömleğin hesabına kalsadı bugün ramazanın üz irmi dördü idi, der. Eskiden takvim günümüzdeki kadar agın değildi. Özellikle kölerde ancak önemli bazı olalara göre zaman belirlenirdi. O üzden özellikle ramazanda günleri şaşırmamak için bazı usuller ugulanırdı. Nasreddin Hoca da zamanı belirlemek için bir çömlek alır bir ığın ufak taş toplar. Nasrettin Hoca nın eşleme hesabı doğru olsadı ani ramazanın her bir gününe karşılık çömleğe bir taş atılmış olsadı bu durum aşağıdaki fonksion türlerinden hangilerine örnek olurdu? I. Bire bir fonksion II. Örten fonksion III. Bire bir ve örten fonksion Akşam olduğu zaman bu taşlardan bir tanesini çömleğe atardı. Ramazanın kaçı olduğunu öğrenmek isteince çömlekteki taşları saardı. Hoca nın bu usulünü bilen bir arkadaşı Hoca a küçük bir 98 Ünite. Fonksionlar

109 Bire Bir ve Örten Fonksionlar BÖLÜM ÖZETİ Bir fonksionun grafiği çizilirken tanım kümesi ata eksende, değer kümesi de dike eksende gösterilir. Bir (a,b ) sıralı ikilisini oluşturan bileşenler bir f fonksionunun kuralı olan = f() eşitliğini b = f(a) şeklinde sağlarsa, koordinatları (a, b) olan nokta f fonksionunun grafiği üzerindedir. Bunun tersi de doğrudur: = f() fonksionunun grafiği üzerindeki bir noktanın koordinatları (a,b) ise a ile b arasında b=f(a) ilişkisi vardır. Değer kümesinin bir elemanı olan b ile tanım kümesinin bir elemanı olan a arasında b=f(a) ilişkisi varsa, b nin f altındaki bir ters görüntüsü a dır deriz. A ve B kümeleri ile f : A B fonksionu verilsin. Herhangi bir C ve D kümeleri C A ve D f(a) olsun. Bu durumda tanım kümesinin bir alt kümesi olan C kümesindeki elemanların f altındaki görüntülerinin oluşturduğu kümee kısaca C nin f altındaki görüntüsü denir ve f(c) ile gösterilir. Bu küme ortak özellik öntemile şu şekilde belirtilir: f(c) = {f(): C} Görüntü kümesinin bir alt kümesi olan D kümesindeki elemanların f altındaki ters görüntülerinin oluşturduğu kümee, D kümesinin f altındaki ters görüntüsü denir ve bu küme ortak özellik öntemile şu şekilde belirtilir: D nin f altındaki ters görüntüsü = { A : f() D} Bir grafik fonksion grafiği ise, ata eksende gösterilen tanım kümesinin elemanlarından geçen dike doğrular grafiği birer noktada keser. Herhangi bir dike doğru grafiği birden fazla noktada kesiorsa grafik fonksion grafiği değildir. Bu şekilde verilen grafiğin bir fonksiona ait olup olmadığını anlama öntemine dike doğru testi denir. f() = n (n Z) biçimindeki fonksionların grafikleri çizilirken önce değer tablosu oluşturulur. Değer tablosundaki veriler koordinat düzleminde işaretlenir ve bu noktalar birleştirilerek grafik çizilir. Örneğin, R de tanımlı f() = fonksionunu grafiği R de tanımlı f() = fonksionunu grafiği f: R {} R, f() = fonksionunun grafiği bağımsız, de e bağımlı bir değişken olmak üzere, bu değişkenlere ait (, ) ve (, ) değerleri verilsin. (, ) değerlerinden (, ) değerlerine geçişte aşanan değerlerindeki değişim - şeklinde ifade edilir. değişim oranı (hızı) = = değerlerindeki değişim Ünite. Fonksionlar 99

110 Bölüm. Fonksionların Grafikleri = f() = m + b şeklindeki bir doğrusal fonksionun değişim oranı (hızı) sabittir ve bu değer bu fonksionla belirtilen doğrunun eğimi olan m değeridir. Bir f fonksionu için, a R iken f() = oluorsa a gerçek saısına f fonksionunun sıfırı denir. Diğer bir ifadele, bir f fonksionun sıfırları f() = denkleminin kökleridir. Bu durumda, f fonksionun sıfırları fonksionun grafiğinin -eksenini kestiği noktalardır. ekseni, = doğrusal denklemile; ekseni de = doğrusal denklemile ifade edilir. Bir f fonksionu ve b R için f() = b denkleminin çözüm kümesi, f fonksionunun grafiği ile eksenini b de kesen ata doğrunun kesiştiği noktaların apsislerinden oluşur. Tanım kümesinin arık alt kümelerinde farklı kurallarla tanımlı olan fonksionlara parçalı tanımlı fonksionlar vea kısaca parçalı fonksionlar denir., < ise = f( ) = = (, ise parçalı fonksionu mutlak değer fonksionudur ve grafiği şekildeki gibidir: Bir fonksionun tanım kümesindeki her bir elemanın görüntüsü diğer elemanların görüntülerinden farklı ise o fonksiona bire bir fonksion (vea -) denir. Bir f : A B fonksionu bire bir ise şu şartları sağlar: herhangi a A ve b A için a b f(a) f(b) herhangi a A ve b A için f(a) = f(b) a = b Bir fonksionun değer kümesindeki her eleman, tanım kümesinden en az bir eleman ile eşleşmiş ise bu fonksion örten fonksiondur. f: A B fonksionu örten ise aşağıdaki şartları sağlar: f(a) = B dir. Her b B için b = f(a) olacak şekilde en az bir a A vardır. f: A B, = f() fonksionu hem bire bir hem de örten fonksion ise f fonksionuna, bire bir ve örten fonksion denir. Bir fonksionun grafiği üzerinde, -eksenine paralel çizilen her ata doğru grafiği en fazla bir noktada kesiorsa grafik - fonksion grafiğidir. Grafiği birden fazla noktada kesen en az bir ata doğru varsa bu fonksion - değildir. Değer kümesinin elemanlarından çizilen her ata doğru fonksionun grafiğini en az bir noktada kesiorsa bu fonksion örten fonksiondur. Bu şekilde bir fonksionun grafiğini kullanarak fonksionun - olma ve örten olma durumlarını tespit etme öntemine ata doğru testi denir. 6 Ünite. Fonksionlar

111 Bölüm.. Fonksionların Grafikleri BÖLÜM DEĞERLENDİRME. Aşağıda verilen ifadelerdeki boşlukları ugun şekilde doldurunuz. a. Bir fonksionun grafiğinde girdiler... ekseninde çıktılar da... ekseninde gösterilir. b. Bir fonksionun belirlediği ikililer kümesinin kartezen düzlemde gösterilmesine fonksionun... gösterimi denir. c. Bir fonksionun girdilerine... kümesi ve çıktılarına... kümesi denir. ç. a değeri pozitif iken, = a şeklindeki bir fonksion için a değeri... ise fonksionun grafiği a değeri... aklaşır. d. a değeri negatif iken, = a şeklindeki bir fonksion için a değeri... ise fonksionun grafiği a değeri... aklaşır.. A = ",,,,, kümesi için f: A B, f() = fonksionu verilior. Buna göre f nin görüntü kümesini bulunuz.. f: [, ] R, f() = fonksionu verilior. Buna göre; a. Bu fonksionun tanım, değer ve görüntü kümelerini belirtiniz. b. Fonksionun grafiği üzerindeki bazı noktaların koordinatlarını, fonksionun değerler tablosunu oluşturarak tespit ediniz ve fonksionun grafiğini çiziniz. c. { 8,,,,, 6, 9} kümesinin f altındaki ters görüntüsünü bulunuz.. Aşağıdaki grafikleri verilen fonksionların tanım ve görüntü kümelerini bulunuz. a. e. = f() şeklindeki bir fonksionun grafiğinde -eksenini kesen noktalar... denkleminin çözüm kümesi olur. = f() f. Kartezen düzlemdeki bir grafiğin, herhangi bir fonksionun grafiği olup olmadığını anlamak için... dike doğrular çizilir ve grafiği kesen bu doğruların grafiği... noktada kesmesi gerekir. g. -eksenine dik olarak çizilen her bir doğrunun bir fonksionun grafiğini en fazla birer noktada kesmesi, o fonksionun... olduğunu gösterir. b. c. d 8 k = g() a b n c m = h(). f: A B, f() = ve A = {,,, 7} ise f(a) kümesini bulunuz. Ünite. Fonksionlar 6

112 Bölüm.. Fonksionların Grafikleri BÖLÜM DEĞERLENDİRME 6. Aşağıda verilen grafiklerden hangileri gerçek saılarda tanımlı bir fonkiona ait olabilir? a. 8. f: R R, f() = a + b fonksionu için f() = 7, f(8) = olduğuna göre f() kaçtır? b. 9. = f() Grafiği verilen f fonksionu için f^h+ f^h ifadesi- f^h nin değeri kaçtır? c.. Gerçek saılarda tanımlı aşağıdaki fonksionların {,,,, } girdi değerleri için değerler tablosu oluşturarak grafiklerini çiziniz. Bu fonksionların grafiklerini bir grafik çizim azılımı/aracı ile çizdirip bunları kendi çizimleriniz ile karşılaştırınız. ç. a. f() = b. g() = c. h() = +, ç. k() = - - d. l() =, + e. m() = f. n() = g. o() = + ğ. p() = 9 h. t() =,. Aşağıdaki doğrusal fonksionların grafiklerini çizerek değişim oranlarını (hızını) belirtiniz. 7. f: R R, f() = m + n fonksionu için f() =, f() = olduğuna göre m + n kaçtır? a. = + b. = c. = + ç. = + d. = 8 e. = 7 f. = + g. = ğ. = - h. = + ı. = + 7 i. = 6 Ünite. Fonksionlar

113 Bölüm.. Fonksionların Grafikleri BÖLÜM DEĞERLENDİRME. Aşağıda verilen fonksionların tanım kümelerinin bazı değerleri için değerler tablosu aparak grafiklerini çiziniz. Bu fonksionların grafiklerini bir grafik çizim azılımı/aracı ile çizdirip bunları kendi çizimleriniz ile karşılaştırınız. a. f: [, ] R, f() = b. g: [, ] R, g() = c. h: R R, h() = - ç. k: [, ] R, k() = - - d. l: R R, l() =, e. m: [, ] R, m() = f. n: R [, ], n() = g. o: R R, o() = + ğ. p: [ 6, ] R, p() = 6. Aşağıdaki fonksionların bire-bir ve/vea örten olup olmadığını inceleiniz. a. b. f: [, ) [, ) = f() g: R R = g() h. t: R R, t() =, ı. s: R R, s() = i: b: R R, b() =. p n m l k a b c d e a. f(a), f(b), f(e) değerlerini bulunuz. b. f() = m ise kaçtır? Şekilde verilen f fonksionunun grafiğine göre; c. ç. = h() h: R R k: R [, ) = k() Ünite. Fonksionlar 6

114 Bölüm.. Fonksionların Grafikleri BÖLÜM DEĞERLENDİRME. Aşağıda gerçek saılada tanımlı g, h, f, k ve t fonksionlarının grafikleri verilmiştir. 6 = g() = h() 6 6 = k() 6 6 = t() Buna göre aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz. a. g() = b. h() = c. f() = 6 6 = f() ç. k() = d. t() = e. h() = f. f() = g. k() = h. k() = ı. h() = -, > 6. Gerçek saılarda tanımlı f() = ( -, fonsionu için f( ) + f() + f() değerini bulunuz. 6 Ünite. Fonksionlar

115 Bölüm.. Fonksionların Grafikleri BÖLÜM DEĞERLENDİRME 7. Şekilde grafiği verilen fonksionun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?. fa : " R, f^h= + ve f^ah = [ 8, ] olduğuna göre, A kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) [, ] [, ] B) [, ] [, ] C) [, ] D) [, ] E) [, ] [, ) A) = + B) f() = C) + = D) = - E) + 6 =. 8. A = {,,, } olmak üzere f: A B ve f() = + ile verilen fonksion örten bir fonksiondur. Buna göre, B kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {,,, } B) {,,, } C) {,,, } D) {,,, } E) {,,, } 9. Gerçek saılarda tanımlı f() = + fonksionu verilior. f((, ]) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) [ 7, ) B) (, ) C) [, ) D) [, 7) E) (, ]. f: A B fonksionu, f() = kuralıla tanımlanıor. A = {,,,, } olduğuna göre, f(a) kümesinin elemanları toplamı kaçtır? A) B) 6 C) D) 6 E) 6 Şekilde grafiği verilen fonksion aşağıdakilerden hangisidir? Z -, < ise ] A) f ^h=, < ise [ ], ise \ Z -, ise ], < < ise B) f ^h= [ ], ise \ Z -, < ise ] C) f ^h=, < ise [ ], ise \ -, < ise D) f ^h = *, < ise, ise E) Z, < ise ] -, < ise f ^h= [ ], ise \ Ünite. Fonksionlar 6

116 Bölüm.. Fonksionların Grafikleri BÖLÜM DEĞERLENDİRME. 6 Şekilde grafiği verilen fonksion aşağıdakilerden hangisidir? -, - < < ise A) f^h = * -, - ise -, < 6 ise B) f^h = *, - < - ise -, -, - < 6 ise ise, - < < ise C) f^h = * -, - ise -, < 6 ise, - < < ise D) f^h = * -, - ise -, < 6 ise E) -, - < < ise f^h = * -, - ise -, < 6 ise. Gerçek saılarda tanımlanan aşağıdaki fonksionların grafiklerini çiziniz. a. = 8 b. = - c. = + ç. = d. = + e. = + +. Gerçek saılarda tanımlanan aşağıdaki fonksionların grafiklerini çiziniz. a. b. c. ç. d. e. 6. +, - ise f^h = *, - < ise -, < ise Z-, < ise f^h= ], < ise [ ], ise \ -, > ise f^h = * -, - < ise - +, < - ise, ise f^h = *, - < ise -, - ise, - ise f^h = * +, -< ise -, > ise - 7, < ise f^h = ( -, ise = f() 6 Şekilde grafiği verilen ve gerçek saılarda tanımlı olan fonksion aşağıdakilerden hangisidir? A) f() = B) f() = + C) f() = + D) f() = -- - E) f ( ) = Ünite. Fonksionlar

117 Bölüm.. Fonksionların Grafikleri BÖLÜM DEĞERLENDİRME 7. Şekilde grafiği verilen ve gerçek saılarda tanımlı olan fonksion aşağıdakilerden hangisidir? 9. = f() (, ) A) f() = - B) f^h=- - (, ) C) f ( ) =- + D) f() = E) f ( ) = Bir f fonksionun grafiği şekildeki gibidir. a. Bu fonksionun tanım ve görüntü kümelerini bulunuz. b. A = {,, } kümesinin f altındaki görüntüsünü bulunuz Bir f fonksionunun grafiği şekildeki gibidir. c. B = { } kümesinin f altındaki görüntüsünü bulunuz. ç. f(c) = { } kümesinin f altındaki ters görüntüsünü bulunuz. d. f(d) = {,, } kümesinin f altındaki ters görüntüsünü bulunuz. a. f((, ]) kümesi nedir? b. A = {,, } kümesinin f altıdaki görüntüsü nedir? c. [, ] kümesinin f altındaki görüntüsü nedir? ç. [, ] kümesinin f altıdaki ters görüntüsü nedir? Ünite. Fonksionlar 67

118 Bölüm.. Fonksionların Grafikleri BÖLÜM DEĞERLENDİRME. Denizlerdeki su basıncı derinlere inildikçe artar. Öle ki; her metrede basınç, aklaşık olarak santimetre karee kilogram kadarlık artış gösterir. Buna göre derinlik olmak üzere, derinlikteki su basıncı f() olacak şekilde bir f fonksionu verilsin. Buna göre; a. ar metrelik aralıklarla, metreden metree kadar olan derinlik-su basıncı tablosunu apınız. b. f() in cebirsel ifadesini azınız. c. - metre derinlik aralığı için derinlik (m) su basıncı (kg/cm ) grafiğini çiziniz.. TL ile açılan bir taksimetre ilk km de, her m için kr, km den sonra her m için kr ücret azmaktadır. Gidilen ol km cinsinden ile gösterildiğinde, bu taksimetrenin ücret tarifesini veren f() fonksionunu bulunuz.. Sıcaklık ölçü birimlerinden Fahrenhat derece ( F) ile Santigrat derece ( C) derece arasında F =,8 C + ilişkisi vardır. Buna göre;. a. Tablou doldurunuz. C 7 F b. Fahrenheit derece ( F) ile Celcius derece ( C) ilişkisini grafiksel olarak gösteriniz. 6 7 Bir f fonksionunun grafiği şekildeki gibidir. a. f([, ]) kümesi nedir? b. (, ) aralığının f altındaki görüntüsünü bulunuz. c. [, ] aralığının f altındaki görüntüsünü bulunuz. ç. [, ] aralığının f altındaki ters görüntüsünü bulunuz. d. in f altındaki ters görüntüsünü bulunuz. Araştırma Soruları. Günlük haattan fonksion olarak nitelendirilebilecek örnek durumlar bulunuz. Buna göre; a. Bu fonksionların girdilerini ve çıktılarını bulunuz. b. Bu fonksionların grafiklerini kabaca çiziniz.. Değişim oranı sabit olmaan bir fonksion doğrusal bir fonksion olabilir mi? Açıklaınız. 68 Ünite. Fonksionlar

119 Ünite. Fonksionlar ÜNİTE DEĞERLENDİRME I. Aşağıda sözel olarak verilmiş ve arasındaki ilişkileri cebirsel olarak ifade ediniz. a. çıktısı girdisinin katıdır. b. girdisi çıktısının arısından eksiktir. c. çıktısı girdisinin karesinin eksiğidir.. Gerçek saılarda tanımlı olan aşağıdaki fonksionların grafiklerini çiziniz. a. f() = b. g() = - c. h() = + ç. k() = ç. girdisi çıktısının karekökünün fazlasıdır.. Aşağıda cebirsel olarak verilmiş ve arasındaki ilişkileri sözel olarak ifade ediniz. a. = b. = c. = ç. = d. = e. =. f: [, ] [, ], f() = fonksionu verilior. Buna göre; a. f fonksionunun tanım, değer ve görüntü kümelerini bulunuz. b. f in grafiği üzerinde er alan bazı noktaların koordinatlarını tablo ile gösterip grafiğini çiziniz. c. Görüntü kümesindeki,,,,, elemanlarının ters görüntülerini bulunuz.. Aşağıdaki grafiklerden hangileri bir fonksiona aittir? Cevabınızı nedenlerile açıklaınız. 6. I. = tir. II. Ödeeceğimiz para aldığımız kalemlerin saısına bağlıdır. III. Kalem saısı değiştikçe ödenecek para da değişir. Her birinin fiatı TL olan kalemlerden tane aldığımızda ödeeceğimiz paraa dielim. Buna göre ukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur? 7. Aşağıdakilerden hangileri bir fonksiondur? I. f: R Z, f() = II. f: R R, f() = III. f: Z Z, f() = IV. f: R + R, f() = - + V. f: N N, f() = I. II. III. 8. Aşağıdakilerden hangisi a da hangileri bir fonksion grafiği belirtir? I. Hareketsizken harekete başlaan ve düzgün hızlanan otomobilin - sanie arasındaki konum-zaman grafiği IV. V. II. Hareketli iken düzgün hızlanan otomobilin hızlanma süresince konum-zaman grafiği III. Hareketli iken düzgün hızlanan otomobilin hızlanma süresince hız-zaman grafiği Ünite. Fonksionlar 69

120 Ünite. Fonksionlar ÜNİTE DEĞERLENDİRME I - 9. f: R R, f() = fonksionu verilior. Buna göre, aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz. a. f( ) b. f() c. fc m ç. f() d. f(. f() Yanda bir f fonksionunun değerler tablosu verilmiştir. Buna göre aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz. a. f(7). f: R R, f() = + fonksionu verilior. Buna göre aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz. a. f( 6) b. f( ) c. fc m d. f() e. f^ h b. f() c. f() = 9 eşitliğini sağlaan değerleri.. f: R R, f() = 6 fonksionu verilior. f(a ) = 6 ise a değerini bulunuz.. f: R R, f() = fonksionu verilior. Buna göre aşağıdaki ifadelerin eşiti bulunuz. a. f( + ) b. f( ) c. f() ç. f( ) d. fa k e. f( ). f: R R, f() = n fonksionu verilior. f() = ise n değerini bulunuz. 6. f: R R, f() = - c ve f(8) = 9 ise c değerini bulunuz.. f: R R, f() = ( + ) fonksionu verilior. Buna göre aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz. a. f( ) b. f^ - h c. f fonksionunun görüntü kümesi 7. f: R R, f() = + ve g: R R, g() = olarak verilior. f(n) = g(n) ise n kaçtır? 6 Ünite. Fonksionlar

121 Ünite. Fonksionlar ÜNİTE DEĞERLENDİRME I 8. f: R R, f() = bulunuz. - t ve f() = ise t değerini. f: Z N, f() = fonksionunun bire bir olup olmadığını ata doğru testi ile gösteriniz. 9. f: R R, f() = f( ) + ve f() = ise f() değerini bulunuz. 6. f: Z Z +, f() = fonksionunun örten bir fonksion olup olmadığını inceleiniz.. f: R R, f() = f( ) + ve f() = ise f() değerini bulunuz.. f: R R, f() = f( + ) ve f() = ise f() değerini bulunuz.. f: [, ] {} R, f() = fonksionun görüntü kümesini bulunuz. 7. Bir arabanın aldığı olla harcadığı benzin arasında doğrusal bir ilişki olduğunu varsaalım. Eğer bu araba km gittiğinde L benzin, km gittiğinde L benzin harcıorsa; a. Arabanın aldığı olla, harcadığı benzin arasındaki ilişkinin grafiğini çiziniz? b. Harcanan benzin miktarını, alınan ola bağlı olarak ifade eden fonksionun kuralını bulunuz.. f: R R, f() = + fonksionu verilior. Buna göre; a. f fonksionunun grafiğini çiziniz. b. (, ) aralığının f altındaki görüntüsünü bulunuz. 8. Bir fabrikanın günlük gideri ile bu fabrikada üretilen ürün saısı arasında doğrusal bir ilişki olduğu bilinmektedir. Fabrikanın, günlük TL sabit gideri varsa ve eğer bir günde ürün üretilirse, o günkü toplam gideri TL olmaktadır. Fabrikanın ürün ürettiği bir güne ait toplam giderini f() ile gösterelim. Buna göre; a. f() in cebirsel eşitini bulunuz.. Gerçek saılarda tanımlı g() = fonksionunun tanım kümesinin bir alt kümesi olan [, ] kümesinin bu fonksion altındaki görüntüsünü bulunuz. b. ürünün üretildiği bir gün için toplam gider nedir? c. Gider fonksionun 8 şartını sağlaan değerleri için grafiğini çiziniz. Ünite. Fonksionlar 6

122 Ünite. Fonksionlar ÜNİTE DEĞERLENDİRME I 9. Tunca saat bounca ortalama 8 km/sa hızla bisiklet sürüor. Tunca ın t zamanda aldığı olu veren fonksion d(t) = 8t dir. Buna göre; a. Tunca ın bu aktivitesinin ilk dakikasında aldığı olla, bu aktivitesinin herhangi bir dakikasında aldığı olu kıaslaınız. Bulduğunuz sonucu nasıl açıklarsınız? b. d(m) = 6 km ise m kaç dakikadır?. Aşağıdaki fonksionları bire bir olma ve örten olma durumlarına göre sınıflandırınız. a. f: R R, f() = + b. g: R [, + ), g() = + c. h: [, + ) R, h() = + ç. m: [ + ) [, + ), m() = +. f: A R bir fonksion olsun. Eğer bir a A için f(a) = a oluorsa f in a da bir sabit noktası vardır denir. Buna göre; a. g: [, ) R, g() = fonksionunun varsa sabit noktasını bulunuz.. f: R R, = f( + ) = fonksionu verilior. Buna göre, aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz. a. f(7) b. f(8) c. f(a) ç. f() b. Herhangi bir doğrusal fonksionun sabit noktası var mıdır? Varsa kaç tanedir?. Aşağıdaki fonksionları bire bir olma ve örten olma durumlarına göre sınıflandırınız f: R R, fd n= d n + ise a. f() =? b. f(a) =? i. f: R R, f() = ii. g: R {}, f() = iii. h: {m, n} {,, 6}, h(m) =, h(n) = iv. k: [, ) R, v. l: R R, vi. m: [, ) R, vii. n: R [, ),. = f() Grafiği verilen doğrusal f fonksionun kuralını bulunuz. 6 Ünite. Fonksionlar

123 Ünite. Fonksionlar ÜNİTE DEĞERLENDİRME I 6. = f() Grafiği verilen doğrusal f fonksionun kuralını bulunuz. 9. = f() = g() = f() Grafiği verilen doğrusal f fonksiou için f(8) değerini bulunuz. f ve g fonksionlarının verilen grafiklerini kullanarak f(n) = g(n) eşitliğini sağlaan n değerleri toplamını bulunuz.. Verilen f: R {} R, f() = fonksionu için a. A = {, } kümesinin f altındaki görüntüsü nedir? b. B = {, } kümesinin f altındaki ters görüntüsü nedir? c. [, ) aralığının f altındaki görüntüsü nedir? ç. (, ] aralığının f altındaki ters görüntüsü nedir? = g() 6. f: R R, fonksionu f( ) = * +, <, = - +, > biçiminde tanımlanmışsa f( ) kaçtır? g(m) =, g(t) = 7 ise m t nin olabileceği değerler nelerdir? Ünite. Fonksionlar 6

124 Ünite. Fonksionlar ÜNİTE DEĞERLENDİRME I -, <. f: R R, fonksionu f() =, = +, > biçiminde tanımlanıor. Buna göre, a. f( ) + f() + f() b. f( + ) c. f( ) ifadelerinin değerlerini bulunuz? * 6. Gerçek saılarda tanımlı +,, ise f ( ) = *, - < < ise -, ise fonksionu için; a. A = {,,,, } kümesinin f altındaki görüntüsünü b. B = {,, } kümesinin f altındaki ters görüntüsünü c. (, ] aralığının f altındaki görüntüsünü bulunuz.. Gerçek saılarda tanımlı f fonksionu, f ( ) = * -, d( -,- ), d[ -, ], d (, + ) ile verilior. f fonksionunun grafiğini çiziniz.. Bir kargo şirketi ile kg arasında olan gönderilere m TL, ile kg arasında olan gönderilere m TL, ile kg arasında olan gönderilere m TL, ile kg arası gönderilere ise m TL ücret alıor. Bu şirketin fiat tarifesini gösteren bir grafik çiziniz.. f: R R, f() = + fonksionu için a. A ={,, } kümesinin f altındaki görüntüsünü b. B = {} kümesinin f altındaki ters görüntüsünü c. [, ) aralığının f altındaki ters görüntüsününü -, - < < ise 7. f: " R, f^h = *, - < ise +, ise fonksionu verilior. Buna göre; a. A = {,,,, } kümesinin f altındaki görüntüsünü b. B = {,,, } kümesinin f altındaki ters görüntüsünü c. (, ) aralığının f altındaki ters görüntüsünü ç. [, ) aralığının f altındaki görüntüsünü bulunuz. ç. [, ] aralığının f altındaki görüntüsünü bulunuz. 6 Ünite. Fonksionlar

125 Ünite. Fonksionlar ÜNİTE DEĞERLENDİRME II. Aşağıda verilen ilişkilendirmelerden hangileri fonksion belirtir?. Aşağıdaki grafiklerden hangisi bir fonksion grafiği değildir? I. II. III. A B A B A. a.. a.. a.. b.. b.. b.. c. c. B.... A) B) IV. V. VI. A B A B A. a.. a.. a. b.. b.. b.. c. c.. c.. d B. C) D) A) I III V B) II IV VI C) I III IV VI D) II III V E) I II III IV E). Fonksionlarla ilgili olarak aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) Bir fonksion bir tek kuralla verilmelidir. B) Bir fonksionun bir grafiği vardır. C) Her fonksion a bire birdir a da örtendir. D) Bir kümenin her bir elemanını başka bir kümenin alnız bir elemanına eşleen ilişkidir. E) Cebirsel olarak ifade edilmeen ilişkiler fonksion belirtmez.. f: A B bir fonksion A = {,,, 7} ve f() = ise f in görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {,, 9, 7} B) {,,, 7} C) {, 6,, } D) {,,, 8} E) {6,, 8, } Ünite. Fonksionlar 6

126 Ünite. Fonksionlar ÜNİTE DEĞERLENDİRME II. B = {,, 8,, } olmak üzere f: A B, f() = ve f(a) = B ise A kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {,,, 6, 8} B) {,,, 7, 9} C) {,,,, } 9. f bir doğrusal fonksion ve f() = 6 olarak verilior. Buna göre f( ) + f() ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) 6 D) 7 E) 8 D) {,, 6, 9, } E) {, 8,, 6, }. f: R R ve f() = 9 fonksionu için f() + f() = f(n + ) + ise a değeri kaçtır? 6. f: R R, f() + olmak üzere f((, 6]) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) 6 E) 7 A) (, ) B) (, ] C) [, ) D) [, ) E) (, ]. f: R R, f() = + fonksionu verilior. f() + f() = f(n + ) + ise n değeri kaçtır? A) B) C) D) E) 7. Değer kümesi R olan bir f fonksionu için Grafik(f) = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} olarak verilior. Buna göre f fonksionunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {,, } B) {-, -,,, } C) {, }. f: R R, f( ) = 9 fonksionu verilior. f() + f( ) + f() değeri kaçtır? A) B) C) D) E) D) {,, } E) {,,,, }. A = {,, } olmak üzere: f: A Z, f() =, fonksionu verilior f: N {} R, f() = fonksionu verilior. - f() + f() f() ifadesinin sonucu kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) E) f(a) kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {} B) {, } C) {, } D) {, } E) {,, } 66 Ünite. Fonksionlar

127 Ünite. Fonksionlar ÜNİTE DEĞERLENDİRME III. f: A R, f() = fonksionu verilior. f(a) = {,, 7} olduğuna göre A kümesi hangisidir? 6. Aşağıdaki problemlerden hangilerinin çözümünde fonksionlardan ararlanılır? A) {,, } B) {,, } C) {,, } D) {,, } E) {,, }. Gerçek saılarda tanımlı f ve g fonksionları için f() =, g() = + ve f(m) = g(m) olduğuna göre m saısını bulunuz. A) 8 B) C) D) E) 8. h: A B olmak üzere, h fonksionu bire-bir ve örtendir. s(a) = a ve s(b) = a+ ise bu fonksionun tanım kümesinin eleman saısı, s(a) kaçtır? A) B) C) 8 D) 9 E). f: R R, f(n + ) = f(n) + n ve f() = m verilior. f() = 6 ise m kaçtır? I. İki otoparktan biri saat başına TL sabit ücret, diğeri ise her a TL sabit abonelik ücreti alıp saat başına kuruş ücret önerior. Birinci otoparkı tercih edince daha karlı çıkmak için bir ada en fazla kaç saat otopark kullanılmalıdır? II. En az karton kullanarak apılabilecek br hacimli bir silindirin arıçapı ve üksekliği nedir? III. Pınar ın evile okulu arası 9 m dir. Pınar sabah okula ürüerek gitmee karar verior. İlk dakika 6 m ürüor. Ama daha sonra orulmaa başlıor ve hızını arıa düşüor. Pınar okuluna evden çıktıktan kaç dakika sonra varır? A) I ve II B) II ve III C) I, II ve III D) I, III E) Hiçbiri A) B) 9 C) 8 D) 7 E) 6. Tam saılarda tanımlı bir f fonksionu için f() f( + ) = eşitliği sağlanmaktadır. f() = 9 ise f(7) kaçtır? A) B) C) D) E) Z +, < ise ] 7. f: R R f^h= [, ise ] \ -, ise olduğuna göre, f( ) + f() + f() kaçtır? A) B) C) 6 D) 9 E) Ünite. Fonksionlar 67

128 Ünite. Fonksionlar ÜNİTE DEĞERLENDİRME III 8. Grafiği verilen fonksionun ve değişkenleri arasında ifade ettiği ilişki aşağıdakilerden hangisidir?. Bir top, 6 m ükseklikteki bir binanın tepesinden aşağıa bırakılıor. Topun bırakıldıktan t sanie sonraki üksekliği (metre) (t) = t + 6 fonksionu ile verilior. Buna göre top kaç sanie sonra ere düşer? A) B) C) D) 6 E) 7 A) = B) = + C) = D) = + E) = - 9. Kısmi zamanlı çalışan bir işçinin ilk saate kadar ücreti TL dir. İki saatten sonraki her arım saat için TL ücret ödenmektedir. bu durumda bir günde 8 saate kadar çalışabilen bir işçie ödenecek ücretin zamana bağlı grafiği verilior. Bu grafiğe en doğru şekilde karşılık gelen fonksion türü aşağıdakilerden hangisidir? A) Mutlak değer fonksionu. Fonksionlarla ilgili aşağıdakilerden hangisi anlıştır? A) Sabit fonksion anı zamanda bir örten fonksion da olabilir. B) Her doğrusal fonksion bire bir fonksiondur. C) Birim fonksion bir doğrusal fonksiondur. D) Sabit fonksion bir birim fonksion türüdür. E) Bir fonksion hem bire bir hem de örten fonksion olabilir. B) Sabit fonksion C) Doğrusal fonksion D) Parçalı tanımlı fonksion E) Birim fonksion. A = {,,,, } kümesi ile A da tanımlı bir g fonksionu verilior. Grafik(g) = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} kümesine göre aşağıdakilerden hangisi anlıştır? A) g nin görüntü kümesi {,,, } tür. B) g sabit bir fonksion değildir. C) g bire birdir. D) g nin değer kümesi A dır. E) g örten değildir.. Grafiği verilen bir f fonksionunu için = f() f(k) = ise k nın alabileceği kaç değer vardır? A) B) C) D) E) 68 Ünite. Fonksionlar

129 Ünite. Fonksionlar ÜNİTE DEĞERLENDİRME IV. Grafiği verilen bir g fonksionu için = g(). Gerçek saılarda tanımlı f fonksionunu bire bir olduğu bilinior. Bu fonksion için f(a 6) = b, f(b) =, f() ve f(8) = ise a kaçtır? A) B) 6 C) 7 D) 8 E) = f() g( ) + g() + g() + g( 6) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) D) E) 6 a. Grafiği verilen bir f fonksionu için Grafiği verilen doğrunun eğimi ise a kaçtır? A) B) C) 6 D) 8 E) 6 = f() 6. 8 f() + f(6) f( ) işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 6 D) 9 E). f: R R, f() = fonksionu verilior. f() = a, f(a) = b ve f(b) = c ise c kaçtır? A) B) C) D) E) Grafiği verilen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisi olamaz? A) = 8 B) f() = + 8 C) = 8 D) + = 8 E) + = Ünite. Fonksionlar 69

130 Ünite. Fonksionlar ÜNİTE DEĞERLENDİRME IV 7. f: R R, f() = (a + ) + (b + ) + k + t fonksionu bir birim fonksion ise a + b + k + t kaçtır? A) B) C) D) E). f: R R ve f() = (a ) + a + fonksionu verilior. f bir sabit fonksion ise f() değeri kaçtır? A) B) C) 6 D) 7 E) 8 8. Gerçek saılarda tanımlı f() = (a 8) + b fonksionu bir birim fonksion olduğuna göre a + b değeri kaçtır? A) B) C) D) E). f: R R ve f() = (a 6) + (a b) + (a b) fonksionu verilior. f bir sabit fonksion ise, f() değeri kaçtır? A) B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 9. Gerçek saılarda tanımlı f() = a + b 9 + fonksionunun bir birim fonksion olması için a + b değeri kaç olmalıdır? A) B) C) D) E). Bir A kümesinde tanımlı f fonksionu 8 - f() = ile verilor. f bir sabit fonksion ise + n n + f(8) toplamı kaçtır? A) 7 B) 6 C) D) E). f doğrusal bir fonksion, f( ) = ve f() = ise f() aşağıdakilerin hangisine eşittir? A) + B) = C) + D) + E). f: R R ve f() = (a + b ) + (a b + ) + (a + ) + ( b) fonksionu doğrusal bir fonksion ise f() değeri kaçtır? A) 8 B) C) D) E) 6. f: R R ve f() = (m + ) + (n 8) + n k 6 fonksionu bir birim fonksion olduğuna göre m + n k kaçtır? A) 9 B) 7 C) D) E) 6. f, doğrusal bir fonksiondur. f() = 6 ve f() = ise f( + ) aşağıdakilerden hangisidir? A) + 7 B) + 6 C) + 7 D) + E) + 6 Ünite. Fonksionlar

131 Ünite. Fonksionlar ÜNİTE DEĞERLENDİRME V. f, gerçek saılar kümesinde tanımlı bir fonksiondur. f() f() = 8 ise f(7) değeri kaçtır? A) B) C) 6 D) 8 E) 6. f: R R ve f() = + + olduğuna göre, f(6) nın değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E). f: R R ve f() = (a + 7) + 7b + fonksionu birim fonksion olduğuna göre, a. b çarpımı kaçtır? A) B) C) D) E) 7. f: R R ve f( + ) = olduğuna göre f() kaçtır? A) B7 C) D) E). f: R c- m R ve f() = 6+ 6-n bir sabit + fonksion olduğuna göre, f(n) değeri kaçtır? A) B) C) D) E) 8. f: R R ve f( + ) = + 7 olduğuna göre f() nin değeri kaçtır? A) B) 6 C) 7 D) 9 E). f: A B fonksionu, f() = + kuralıla tanımlanıor. A = {,, } olduğuna göre, f(a) kümesinin elemanları toplamı kaçtır? A) 7 B) C) D) E) 7 9. f: R R ve f( + ) = 6 + olduğuna göre fc m in değeri kaçtır? A) 7 B) C) D) E) 7. f: R R ve f() = olduğuna göre f() nin değeri kaçtır? A) 8 B) C) D) E) 8. f: R R ve f( ) = n ve f(8) = 6 olduğuna göre, n kaçtır? A) B) C) D) 6 E) 8 Ünite. Fonksionlar 6

132 Ünite. Fonksionlar ÜNİTE DEĞERLENDİRME V + 7. f: R {6} R {7} ve fc m = - göre, f() değeri kaçtır? + 9 olduğuna 6 - A) B) C) D) E). f: R R ve f( + ) = f( + ) + ve f() = olduğuna göre f() kaçtır? A) B) 9 C) D) 9 E) -, < ise. f() = ( fonksionu için, ise. f: R R ve f() = olduğuna göre f( ) aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) 8 D) E) 6 A = {,, } kümesinin verilen fonksion altındaki görüntüsü aşağıdaki kümelerden hangisidir? A) { 6,, } B) { 6,, } C) {,, } D) {,, } E) {,, }. f: R R ve f(a + b) = f(a) + f(b) eşitliğini gerçekleen fonksionda f() = olduğuna göre f() + f() + f(8) toplamı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) E) 6. f: R R ve f() = ( )( + ) fonksionu için A = {} kümesinin verilen fonksion altındaki ters görüntüsü aşağıdaki kümelerden hangisidir? A) {} B) { } C) {, } D) {, } E) {,, } 6 Ünite. Fonksionlar

133 Ünite. Fonksionlar ÜNİTE DEĞERLENDİRME VI. A = {,,, } ve B = {,,, 7} olmak üzere f: A B, f() = + fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) C) E) B) D) A = {,,,, } kümesinin her bir elemanını arısının dört fazlasına eşleen fonksionun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) 6 C) 6 E) 6 B) 6 D) 6 Ünite. Fonksionlar 6

134 Ünite. Fonksionlar ÜNİTE DEĞERLENDİRME VI. Şekilde grafiği verilen f fonksionu aşağıdakilerden hangisi olabilir?. A = {,,,, } ve B = {,,,,,,, 7} kümeleri verilior. f: A B, f() = + fonksionunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {,,,,,,, 7} B) {,,,,,, 7} C) {,,,, 7} D) {,,,,, 6} E) {,,,,, 7} A) f: R R, f() = + B) f: R R, f() = C) f: {,,,} { 8,,, }, f() = + D) f: {,,,} { 8,,, }, f() = E) f: {,,,} { 8,,, }, f() = + 6. f: [, ] R, f() = fonksionu için görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) ;-, E B) ;-, m C) c-, m D) [, ] E) (, ). = f() A) f: R R, f() = B) f: (, ) [, ), f() = Şekilde grafiği verilen f fonksionu aşağıdakilerden hangisidir? 7. Şekildeki grafiği verilen fonksion için tanım ve görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir? C) f: (, ] [, ), f() = D) f: R [, ), f() = E) f: {, ] R, f() = Tanım Kümesi Görüntü Kümesi A) [, ] { } (, ) { } B) (, ] (, ] C) (, ] { } (, ] D) (, ] (, ] { } E) (, ] {} (, ] { } 6 Ünite. Fonksionlar

135 Ünite. Fonksionlar ÜNİTE DEĞERLENDİRME VI 8. Şekilde grafiği verilen fonsion için tanım ve görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir? Tanım Kümesi Görüntü Kümesi A) R (, ) B) (, ) R C) [, ) [, ) D) [, ) {} (, ) E) [, ] (, ). 6 = f() Şekilde grafiği verilen f fonksionu için f() = a ve f( ) = b ise {a, b} aşağıdakilerden hangisidir? A) {, } B) {, } C) {, } D) {, } E) {, } 9. Tanım Kümesi Şekilde grafiği verilen fonksion için sırasıla tanım ve görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir? Görüntü Kümesi A) (, ) [, ] B) (, ) {,,,,,, } {,,, } C) (, ) {,, } D) (, ) {,,,,,, } [, ] E) (, ) {,,,,, } {,, }. A) {} B) {, } C) {} D) { } E) { } Şekildeki grafiği verilen = f() fonksionu için f() = denkleminin çözüm kümesi nedir? Ünite. Fonksionlar 6

136 Ünite. Fonksionlar ÜNİTE DEĞERLENDİRME VI. = h() Şekilde grafiği verilen = h() fonksionu için h() = denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir? A) {,, } B) {,,,, } C) {,, } D) {, } E) {, }. Aşağıda verilen grafiklerden hangisi bir fonksion grafiği belirtmez? A) B). Aşağıda verilen grafiklerden hangisi bir fonksion grafiğidir? A) C) B) D) E) C) D) E) 66 Ünite. Fonksionlar

137 Ünite. Fonksionlar ÜNİTE DEĞERLENDİRME VII. = g() = f() A) B) - C) D) Şekilde f ve g fonksionlarının grafiği verilmiştir. f fonksionun eğiminin g fonksionun eğimine oranı nedir? E). Aşağıda verilen grafiklerden eğimi en büük olan hangisidir? A) B) +, > ise. f() = ( fonksionunun grafiği aşa- -, ise ğıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E) C) D) E) Ünite. Fonksionlar 67

138 Ünite. Fonksionlar ÜNİTE DEĞERLENDİRME VII Z- +, > ise ]. f() = [, = ise fonksionunun grafiği ] \, < ise aşağıdakilerden hangisidir? A) B) -, ise. f() = *, < < ise fonksionunun - +, > ise grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) C) D) E) E) 68 Ünite. Fonksionlar

139 Ünite. Fonksionlar ÜNİTE DEĞERLENDİRME VII 6. Şekilde grafiği verilen fonksion aşağıdakilerden hangisidir? 7. f: R R, f() = fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) B) A) f: R R, f() = *, < - ise -, - ise -, > ise B) f: R R, f() = C) f: R R, f() = D) f: R R, f() = E) f: R R, f() = * * -, < - ise -, - ise -, > ise, < ise -, - ise -, > - ise, < - ise *, - ise -, < ise *, - ise -, - < ise -, > ise C) D) E) Ünite. Fonksionlar 69

140 Ünite. Fonksionlar ÜNİTE DEĞERLENDİRME VII 8. f: R R, f() = fonksionun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) B) 9. A) f: R R, f() = B) f: R R, f() = + C) f: R R, f() = + D) f: R R f() = E) f: R R, f() = Şekilde grafiği verilen fonksion aşağıdakilerden hangisidir? C). D) E) Şekilde grafiği verilen fonksion aşağıdakilerden hangisidir? A) f: R {} R, f() = + B) f: R {} R, f() = C) f: R {} R, f() = D) f: R {} R, f() = + E) f: R {} R, f() = 6 Ünite. Fonksionlar

141 Ünite. Fonksionlar ÜNİTE DEĞERLENDİRME VII. f: R R, f() = fonksionunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? A) B). = f() = g() = h() Şekilde grafiği verilen fonksionlar aşağıdakilerden hangisidir? A) f: R R, f() = C) D) g: R R, g() = h: R R, h() = + B) f: R R, f() = + g: R R, g() = h: R R, h() = + E) C) f: R R, f() = + g: R R, g() = + h: R R, h() = + D) f: R R, f() = g: R R, g() = + h: R R, h() = + E) f: R R, f() = g: R R, g() = h: R R, h() = + Ünite. Fonksionlar 6

142 Ünite. Fonksionlar ÜNİTE DEĞERLENDİRME VII. Aşağıda grafikleri verilen fonksionlardan hangisi bire birdir? A) f: R R C) f: R R E) f: R R B) f: R R D) f: R R. Aşağıda grafikleri verilen fonksionlardan hangisi örten değildir? A) f: R R C) f: [, ] [, ] B) f: R R D) f: R R E) f: R R. Aşağıda grafikleri verilen fonksionlardan hangisi birebir ve örtendir? A) f: R R C) f: R R E) f: R R B) f: R R D) f: R {} R { } 6 Ünite. Fonksionlar