1956 da... Ali Nesin

Transkript

1 956 da... Ali Nesin

2 Nesin Yayıncılık Ltd. Şti. künye...

3 Ali Nesin Analiz I

4

5 İçindekiler Üçüncü Basıma Önsöz İkinci Basıma Önsöz Önsöz I Gerçel Sayılar 7 Gerçel Sayılar ve Özellikleri 9. Gerçel Sayıların Aksiyomları Toplamanın Özellikleri Çarpmanın Özellikleri Sıralamanın Özellikleri Mutlak Değer ve Mesafe SUP Aksiyomu R nin içindeki N, Z ve Q Doğal Sayılar Tamsayılar ve Kesirli Sayılar Kesirli Üsler ve Kökler Kesirli Üs Alma ve Kök Bulma Bazı Basit Sonuçlar Bernoulli-vari Eşitsizlikler Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği I Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği II R nin Biricikliği II Diziler 69 4 Yakınsak Gerçel Sayı Dizileri 7 4. Dizi Yakınsak Diziler v

6 4.3 Limitin Biricikliği Örnekler Yakınsak Dizilerle Sıralama ve İşlemler Yakınsak Diziler ve Sıralama Yakınsak Dizilerle İşlemler Yakınsak Dizi Örnekleri I 07 7 Dizi Çeşitleri 7 7. Monoton Diziler Sonsuza Iraksayan Diziler I Cauchy Dizileri Gerçel Sayıların Tamlığı Altdiziler Gerçel Sayıların Tamlığı Okuma Parçası: Onluk Tabanda Açılım Vize Sınavı 5 9 Sınırlı Diziler Büzen Diziler Kapalı Kutular Teoremi Bolzano-Weierstrass Teoremi Euler Sabiti e ve exp Fonksiyonu Euler Sayısının Tanımı (( + x/n) n ) n Dizisi e ye Yakınsayan Bir Başka Dizi exp Fonksiyonu e ye Yakınsayan Bir Başka Dizi (devam) exp x in Yaklaşık Değerini Bulmak exp(x + y) = exp x exp y Okuma Parçası : e Kesirli Bir Sayı Değildir Okuma Parçası 2 : Bileşik Faizler Okuma Parçası 3: e Sayısının Değişik Gösterimleri Okuma Parçası 4: Yer Bulma Olasılığı Yakınsak Dizi Örnekleri II 207

7 2 Sonsuza Iraksayan Diziler ve Sonsuzlar 2 2. Sonsuza Iraksayan Diziler II Sonsuzları R ye Eklemek Dizilerin Alt ve Üstlimitleri 225 III Seriler Seriler Tanımlar Teleskopik Seriler Serilerle İlgili İki Basit Gözlem Serilerin Terimleriyle Oynamak Pozitif Seriler ve Mutlak Yakınsaklık Pozitif Seriler Kıyaslama Teoremleri Mutlak Yakınsaklık Serilerle İşlemler Toplama, Çıkarma ve Bir Sayıyla Çarpma Cauchy Çarpımı Cesàro Ortalaması ve Toplamı Dalgalanan Seriler Leibniz Testi Riemann Düzenleme Teoremi d Alembert ve Cauchy Kıstasları d Alembert Kıstasları Cauchy Kıstası (Kök Testi) Cauchy-d Alembert Karşılaştırması Yakınsaklık Yarıçapı Kuvvet Serilerinin Türev ve İntegralleri Birkaç Önemli Yakınsaklık Kıstası Daha Riemann Serisi ve Kıstası Raabe Kıstasları Kummer-Dini Kıstası Dirichlet ve Abel Kıstasları Karışık Alıştırmalar 353

8 IV Ekler Ekler Üs Almak - Yusuf Ünlü Çifte Diziler ve Seriler Sonsuz Çarpımlar Toplanabilir Aileler Formüler 383 Kaynakça 392

9 Üçüncü Basıma Önsöz Olabildiğince kitabı takip etmeye çalışarak birinci sınıf öğrencilerine bir ders verdim ve oldukça rahat bir biçimde kitabı bir dönemde bitirebildim. Ama bazı bölümleri atladım ve sadece gerektiğinde o bölümlere geri döndüm. Atladığım ve ilk okumada atlanmasını tavsiye ettiğim bölümler: 3. dışında 3 üncü bölümün tümü, 9., 4.4, 6.3, 8.3, 8.5 altbölümleri ve 9 uncu bölümün tümü. Her yıl olduğu gibi bu yıl da öğrencilerin düşüncelerini kâğıda aktarmayı beceremediklerini gözlemledim. Bu beceriksizlik her yıl giderek artıyor. Anlaşılan lise öğrencileri her yıl daha az yazıyorlar. Oysa yazmak, düşünceyi sınamak, yani tekrar düşünmek, tekrar tekrar düşünmek, yani aslında düşünmek ve gerçeğe ulaşmak demektir. Hiç yazmamış birini bu konuda nasıl ikna edebilirim bilmiyorum ama gerçek böyle! Öğrenciler okudukları kanıtları kitaba bakmadan, sanki yeni bir kitap yazıyormuşçasına noktasına, virgülüne, satırbaşına, merkezlenen formüllere, yani yazış biçimine ve biçemine dikkat ederek bir kâğıda aktarmalılar. Amaç, okuyanın kanıtı kolaylıkla anlaması olmalıdır elbette. Bunun için harcanan kâğıda, zamana ve emeğe acımamalı ve gereken tüm özen gösterilmelidir. Kesinlikle zaman kaybı değildir. Doğru biçimde yazılmış bir kanıtta yanlış hemen farkedilir, zorlanılan nokta hemen kendini belli eder, eksikler hemen göze çarpar! Herkesin okuyunca hemen anlayacağı tertemiz bir kanıt yazıncaya kadar denemeye devam edin. Yararını göreceksiniz. Kanıt kâğıda tertemiz bir biçimde aktarıldıktan sonra, sözlü olarak, el kol sallayarak bir arkadaşa sözlü olarak anlatılmalıdır. Civarda arkadaş yoksa aynanın karşısına geçin! Böylece kanıtı içselleştireceksiniz. Sıra önemli: önce yazı, sonra söz. Kazanım diye bir şey icat edildi son yıllarda. Yönetici sınıfı her dönem başı hocalardan bir dersten öğrencilerin kazanacakları kazanımları soruyor. Kazanımları beğenmezlerse dersin açılmasına izin vermeyecekler herhalde... Bolonya süreci denen şeyin bir parçası sanırım. Modaya uyarak ben de öğrencinin bu kitaptan elde edeceği kazanımları sıralayayım. Öğrencinin kitabı baştan sona anlaması gerektiği dışında şunları söyleyebilirim:

10 2 Üçüncü Basıma Önsöz. ϵ-n li kanıt yöntemi. 2. Birinci bölümdeki gerçel sayıların aksiyomları ve daha sonra ikinci bölümde N, Z, Q gibi sayı kümelerinin R de nasıl bulundukları. 3. Matematiksel yöntem: Tanım, aksiyom, varsayım, sav gibi kavramlar arasındaki ayrım. Tanımların zihinselliği ve gerçekle olan buğulu ilişkisi. 4. Biraz önce söz ettiğim matematik yazma sanatı. 5. Ve son olarak, diziler ve seriler. Nihai amaç 8., 8.2 ve 8.4 altbölümlerini anlamak olmalı. Derslerinde kitabı kullanan meslektaşlarımdan kitapta aksiyomlarla çok zaman harcandığı, bildiğimiz anlamda analize çok geç geçildiği yönünde eleştiriler geldi. Ne yazık ki bildiğimiz anlamda analize erken geçildiğinde yanlıştan dönmek için çok geç oluyor. Bu kitap mühendislik bölümü öğrencileri için yazılmadı. Birinci sınıf matematik öğrencilerine ilk günden ne idüğü belirsiz sayı doğrusun dan söz etmenin büyük bir yanlış olduğu düşüncesini taşıyorum ve yakın zamanda bu düşüncemi değiştireceğe benzemiyorum. Birinci sınıfta matematiğin aksiyomatik, yani zihinsel yönüne yeterince zaman harcanması gerektiği düşüncemi hâlâ daha aynı şiddetle savunuyorum. Öte yandan kitap yazmak yerine kaset doldursaydım, kitaptakinden bambaşka bir sıralama takip ederdim. Bir başka eleştiri bazı alıştırmaların öğrenciler için çok zor olduğu yönünde. Doğrudur. Öğrencilerimin bana kitaptan sorduğu birkaç alıştırmayı ben de yapamadım! Ama ne önemi var ki! Her basımda kitaba bir iki küçük ek, yeni alıştırmalar, yeni kaynakçalar eklemek gibi bazı iyileştirmeler yapılacağa benzer. Gelecek basımlarda temel bir değişiklik olmadıkça bu ufak tefek ekleri belirtmeyeceğim. Ali Nesin / Ocak 203

11 İkinci Basıma Önsöz Birinci basımdaki bazı hatalar düzeltildi, beceriksizlikler giderildi. Bazı bağımsız bölümler tek bir bölüm altında toplanarak kitap daha derli toplu bir hale getirildi. Bunun dışında, gereksiz yere uzun olduklarına hükmettiğim bazı kanıtlar kısaltıldı. (Ama bu konuda yanılmış da olabilirim, eski uzun kanıtları seviyordum!) Kitap daha az sayfaya insin ve böylece fiyatı artmasın diye mizanpajla oynandı. Bu çabalar sonucunda 20 sayfa kadar kısalan kitap, kitabın sonuna eklediğim eklerle ve en ilginçleri [A], [Bro] ve [Kn] şaheserlerinden apartılan ya da uyarlanan alıştırma ve örneklerin eklenmesiyle birlikte 80 sayfa kadar da uzadı! Ama kitabın özünün bu değişikliklerden pek etkilendiğini söyleyemem. Örnekleri ya da alıştırmaları tek başına çözemeyen öğrenci karamsarlığa kapılmamalı, kimisi hiç kolay değildir çünkü. Birçoğunda ben de zorlandım, hatta kimisinde resmen çuvalladım, bir bilene sordum. Önemli olan kavramları, teoremleri ve kanıtlarını özümsemektir. Uygulamada ustalaşma işi zamanla (ve ancak gerekirse!) olacaktır. Birinci basımda bir örneğin uzun açıklamalarını iki üç satıra indiren İlham Aliyev e ve eşitsizliklerle ilgili birçok kanıtı kısaltan Yusuf Ünlü ye sonsuz teşekkürler. Yusuf Ünlü, pozitif gerçel sayıların üslerini almayı çok şık bir biçimde tanımlayıp yolladı. Bunu ek olarak Altbölüm 20. e koydum ama tanım Altbölüm 3.3 ün sonuna gelebilecek kadar basitti! Ama bu durumda kitap baştan aşağı değişmek zorunda kalacak ve hedeflediğimden bambaşka bir kitap ortaya çıkacaktı. Yapmadım. Bunun dışında, kitabın sonuna, meraklılar için, seri kavramını bir anlamda (ve sadece belli bir anlamda) genelleştiren toplanabilir ailelerle, iki göstergeçli çifte serilerle ve sonsuz çarpımlarla ilgili birer altbölüm ekledim. Bir de ayrıca kitabın en sonuna bir formüler ekledim. Böylece hangi diziden ya da seriden hangi sayfada sözedildiği bir bakışta görülebilecek. Mükerrer örnekler ve alıştırmalar özellikledir. Bu arada bu analiz serisinin topoloji ve metrik uzaylar konularını işleyen dördüncü cildi çıktı ve hatta ikinci basımını yapmak üzere. İkinci cildin ise hâlâ daha eli kulağında. Tek bir cilde sığacağından giderek daha fazla kuşku

12 4 İkinci Basıma Önsöz duyduğum üçüncü cildin yayımlanması ise 203 ü bulabilir. Analizden sonra sıra cebire gelecek. Kitapların çıkmasını bekleyemeyecek okur Matematik Dünyası dergisini ( takip etmeli. Bu kitap da büyük ölçüde Matematik Dünyası nda yazılan yazıların derlenmesiyle ortaya çıktı. Ali Nesin / Mayıs 202

13 Önsöz En az dört ciltten oluşacak olan bu analiz serisi, 996 dan, yani kuruluşundan beri İstanbul Bilgi Üniversitesi nde birinci sınıf matematik öğrencilerine verdiğim analiz derslerinden ve daha sonra Matematik Dünyası dergisine yazdığım yazılardan ortaya çıktı. Her cildin bir dönemlik bir dersin içeriğini (fazlasıyla) oluşturacağı düşünülmüştür. Türev ve integral konuları öğrenciyi kaçınılmaz olarak otomatizme ve ezbere iteklediğinden, birkaç yıl sonra birinci sınıfta bu konulara hiç girmeme kararı aldım. Başlangıçta bu kısıtlama yüzünden işleyebileceğim konuların oldukça sınırlı olacağını düşünürken, zamanla bu tahminimde ne derece yanıldığımı anladım. Meğer türev ve integralsiz de analiz yapılabiliyormuş ve bayağı derine inilebiliyormuş. Dolayısıyla ilk iki ciltte bu konulara girmeyeceğiz. Türev ve integralsiz analiz yapmak kimi zaman ayaklarından tavana asılı halde ve fırça ağızda resim yapmaya benzeyebiliyor, ama çekilen zorluğa değecek bir güzellik çıkıyor ortaya. (Biraz abarttım galiba!) Burbakist bir yaklaşımla, kitaba gerçel sayılar sisteminin aksiyomları yla, yani tanımıyla başladım. Kanıtlanmamış hiçbir olgu kullanmadım. Raabe Kıstasları bölümü gibi daha ileri seviyede olan bazı bölümler de ilk okuyuşta atlanabilir. Ama her matematik öğrencisinin bu ciltteki Cauchy çarpımını (Altbölüm 6) ve ikinci ciltteki Weierstrass M-testini okumasında, anlamasında ve özümsemesinde yarar vardır. Bu iki teorem hayatınızı kolaylaştıracak ve ayrıntılarla zaman kaybetmeyip kısa zamanda daha derine inmenize olanak sağlayacaktır. Her ne kadar kitapta bir boyutlu (yani R de) analiz yapılmışsa da, daha deneyimli okurun kanıtladığımız olguların birçoğunu, R n ye, C ye, topolojik ve metrik uzaylara ve hatta daha genel olarak Banach uzaylarına ve cebirlerine genelleştirmesi işten bile değildir. Konuları en ekonomik biçimde alaburbaki işlemedim ve bunu özellikle yapmadım. Analiz gibi hesap kitap isteyen ve üstelik böylesine temel bir konuda ekonomik olmanın pedagojik değerine inanmıyorum. Örneğin exp fonksiyonuyla ilgili her şeyi, kitabın sonlarına doğru çok daha kısa bir biçimde sunabilirdim ya da eşitsizlikleri türev kullanarak çok daha kolay kanıtlayabilirdim. Tam tersine en ilkel yöntemlerle olabildiğince derin sonuçlar kanıtlamak iste-

14 dim. Tabii sebat edip kitabı bitiren okur, yaptığımız karmaşık kanıtları basitleştirebilecektir. Ne mutlu ona! Bir öğrenci iki tehlikeye maruz kalabilir. Ya çok fazla kuramsal matematiğe yönelip hesap yapmasını unutur, ya da tam tersine, hesaba kitaba çok fazla önem verir ve kavramların derinliğine vakıf olamaz, kavramsal düşünemez. Gençliğinde ikinci tehlikeye maruz kalmış biri olarak öğrencilerimin böyle yetişmesini istemedim ve İstanbul Bilgi Üniversitesi nde gereken önlemleri aldım, ama bu sefer tam tersi oldu, bir fonksiyonun grafiğini çizemeyen ya da çizmekten imtina eden öğrenciler yetişti. İşte bu kitap öğrencileri her iki tehlikeye karşı korumak için yazılmıştır. Bir matematikçi gerektiğinde hesap yapabilmeli! Bu kitabı okumak amacıyla eline alan ciddi matematik öğrencisi, teoremleri önce kendi kanıtlamaya çalışmalıdır, çözümlü örnekleri önce kendi çözmelidir. Sanılanın aksine zaman kaybı olmaz ve çok şey kazandırır. Bu önerim her matematik kitabı için geçerlidir. Düşünmekten kitap okuyamadığı zaman öğrenci araştırma yapmaya hazır demektir! Zaten bu yüzden birçok kez, daha sonra metinde kanıtlanacak olan teoremleri alıştırma olarak koydum. Kitabın bir iki yerinde pek pedagojik değeri olduğuna inanmadığım hesaplamalar yaptığımın farkındayım. Engelleyemedim. Daha doğru yaklaşımlara açığım. Lütfen kitapta bulduğunuz fazlalıkları, eksiklikleri, yanlışları, anlatım bozukluklarını adresine bildirin. Kanıtlayamadığım eşitsizliklerde hızır gibi imdadıma yetişen Görkem Özkaya ya, bu ders notlarını yazmam için bana gereken ortamı sağlayan ve desteği veren eşim Özlem Beyarslan a ve asistanlarım Aslı Can Korkmaz ve Çiğdem Şahin e, kitabın hazırlanışının çeşitli kademelerinde yardımcı olan ve daha da olacak olan (!) Sonat Süer e sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Herkese kolay gele. Ali Nesin / NMK, 0 Ekim Eylül 20

15 Kısım I Gerçel Sayılar 7

16

17 . Gerçel Sayılar ve Özellikleri. Gerçel Sayıların Aksiyomları [N2] de, kümeler kuramının en basit aksiyomlarından yola çıkarak, gerçel sayılar kümesi R yi matematiksel olarak yaratmıştık. Ayrıca, adına 0 (sıfır) ve (bir) dediğimiz iki gerçel sayıya özel önem vermiş ve R kümesi üzerine, + (toplama) ve (çarpma) diye adlandırdığımız iki işlemle birlikte bir de < olarak simgelediğimiz bir tamsıralama tanımlamıştık. Yine aynı kitapta, (R, +,, <, 0, ) yapısının birtakım özelliklerini kanıtlamıştık. [N2] de kanıtlanmış özelliklerin 6 sını birazdan sıralayacağız. Bu kitapta, gerçel sayılar yapısının [N2] de nasıl inşa edildiğini unutarak, sadece bu 6 özellikten hareketle, yani gerçel sayıların sadece ve sadece bu özelliklerini doğru varsayarak, matematiksel analizi geliştireceğiz; çünkü bu kitapta analiz yapılacak ve analizde gerçel sayıların nasıl yaratıldıklarından ziyade ne oldukları önemlidir. [N2] de kanıtlanmış bu 6 önermeyi bu kitapta aksiyom olarak kabul etmenin psikolojik, pedagojik ya da matematiksel düzeyde hiçbir sakıncası yoktur. Gerçekten de bu 6 önerme, çocukluğumuzdan beri sezgilerimizle hissettiğimiz gerçel sayıların özünü oluşturur. Doğru varsayılan bu 6 önermeden hareketle, gerçel sayıların sezgilerimize göre doğru olması gereken tüm özellikleri kanıtlanabilir. Yani bu kitapta, [N2] de gerçek anlamda ve somut olarak inşa ettiğimiz R kümesinin, 0 ve elemanlarının ve toplama ve çarpma işlemlerinin ve < sıralamasının nasıl tanımlandıklarını unutup, gerçel sayıları, aşağıdaki 6 özelliği sağlayan matematiksel bir yapı olarak kabul edebilirsiniz. Aşağıdaki önermelerde ab ifadesi a b anlamına gelmektedir. R nin Aksiyomları T. Her a, b, c için, (a + b) + c = a + (b + c). T2. Her a için, a + 0 = 0 + a = a. T3. Her a için, a + b = b + a = 0 eşitliklerini sağlayan bir b vardır. T4. Her a, b için, a + b = b + a.

18 0. Gerçel Sayılar ve Özellikleri Ç. Her a, b ve c için, (ab)c = a(bc). Ç2. Her a için, a = a = a. Ç3. Her a 0 için, ab = ba = eşitliklerini sağlayan bir b vardır. Ç4. Her a ve b için, ab = ba. SB. 0. D. Her a, b ve c için, a(b + c) = ab + ac. O. Hiçbir a için a < a olamaz. O2. Her a, b ve c için, a < b ve b < c ise a < c. O3. Her a ve b için, ya a < b ya a = b ya da b < a. TO. Her a, b ve c için, a < b ise a + c < b + c. ÇO. Her a, b ve c için, a < b ve 0 < c ise ac < bc. SUP. Boş olmayan üstten sınırlı her altkümenin bir en küçük üstsınırı vardır. Bundan böyle bu önermelere aksiyom adını vereceğiz. Bunlar matematiğin değil, analizin aksiyomları olarak kabul edilmelidirler. Daha doğru bir ifadeyle, tek bir aksiyomumuz var, o da şu: Bu 6 önermenin doğru olduğu bir (R, +,, <, 0, ) yapısı vardır. Yukardaki önermelerin bir anlam kazanması için şunları da eklemek lazım:. R bir kümedir ve, R nin birer elemanıdır. 0 a sıfır, e bir denir ve, R R kartezyen çarpımından R ye giden iki fonksiyondur. Ama aksiyomları yazarken, +(a, b) yerine çok daha alışık olduğumuz a + b yazılımını kullandık. a + b yazılımını a artı b diye okuyacağız. Benzer şekilde (a, b) yerine ab yazdık; bunu da a çarpı b diye okuyacağız. Gerekli gördüğümüzde a b ya da a b yazılımlarına da başvuracağız. 4. <, R nin ikili bir ilişkisidir, yani < aslında R R kartezyen çarpımının bir altkümesidir. (a, b) < yerine, daha alışık olduğumuz a < b yazılımını tercih ettik. a < b ifadesi a, b den küçüktür diye okunur. Dikkat ederseniz, toplama ve çarpma üzerine yukarıdaki aksiyomlar dışında hiçbir şey bilmiyormuşuz gibi davranıyoruz. Örneğin 2 diye bir eleman henüz tanımlamadık. Bu elemanı daha sonra + olarak tanımlayacağız. Soyut matematik işte böyle bir şeydir. Aksiyomların sonuncusu hariç her biri R nin elemanlarından bahsetmektedir, yani ilk 5 aksiyomda söz edilen a, b ve c şeyleri R nin birer elemanıdır. Sonuncu aksiyomda (SUP) ise R kümesinin (üstten sınırlı olan ama boşküme olmayan) altkümelerinden sözedilmektedir. SUP aksiyomu dışındaki tüm aksiyomların kesirli sayılar kümesi Q için de geçerli olduklarına dikkatinizi çekeriz. Kesirli sayılarla gerçel sayıların arasındaki ayrımın, elemanlardan değil de altkümelerden sözeden SUP aksiyomunda saklı olduğunu görmek gerekir.

19 .. Gerçel Sayıların Aksiyomları Bazı Notlar. Yukarda sıralanan aksiyomları sağlayan iki (R, +,, <, 0 R, R ) ve (S, +,, <, 0 S, S ) yapısı birbirine öylesine benzer ki, elemanlarının adları değişik olmasa aralarındaki farkı anlamanın olanağı yoktur. Matematiksel deyişle, R ile S arasında, toplamaya, çarpmaya ve sıralamaya duyarlı, yani her x, y R için, önermelerini sağlayan bir f(x + y) = f(x) + f(y), f(xy) = f(x)f(y), x < y f(x) < f(y) f : R S eşlemesi vardır [N2]. Günlük ifadeyle bu şu demektir: Toplamaya, çarpmaya ve sıralamaya dokunmadan R nin x elemanını atıp yerine f(x) koyarsak aynen S yapısını elde ederiz, yani R ile S yapıları arasında, kümelerin elemanlarının adları dışında - ki bunun da matematiksel ve düşünsel açıdan en küçük bir önemi yoktur - en küçük bir ayrım yoktur. Bu durumda, (R, +,, <, 0 R, R ) (S, +,, <, 0 R, R ) yazarız. Bunu, gerçekten (yani özünde, yani esaslı bir biçimde) birbirinden değişik iki gerçel sayı sistemi yoktur diye ifade edebiliriz. Bu biricikliği SUP aksiyomuna borçluyuz. SUP aksiyomunu sağlamayan (Q, +,, <, 0, ) ya da (Z, +,, <, 0, ) yapıları için böyle bir biriciklik doğru olmadığı gibi, doğru olması sözkonusu bile olamaz! Öte yandan sonuncu SUP aksiyomunun diğer aksiyomlar kadar doğal olmadığına dikkatinizi çekerim. Bir sonraki gözlem biraz da bu dediğimizle ilgili. Matematiksel anlamda [N2] de inşa ettiğimiz ya da yukarda varlığını kabul ettiğimiz gerçel sayılar yapısının gerçek dünyayla (her ne demekse!) ya da liselerde öğretilen sayı doğrusuyla ilgisi pek açık değil. Gerçel sayıları bu kitapta fiziksel anlamda mesafe olarak tanımlamadık, tanımlayamazdık da, çünkü matematik yapıyoruz ve matematik sadece ve sadece zihinsel bir uğraştır. Gerçel sayılar yapısı, matematiksel anlamda yukarıda sıraladığımız özellikleri sağlayan bir yapıdır. Tekrar etmekte yarar var: Böyle bir yapının varlığı [N2] de kanıtlanmıştı. Bu kitapta matematiksel mantık dışında sadece bu özellikleri veri olarak kabul edeceğiz ve analizi geliştireceğiz. Analize meraklı okur [N2] ye başvurmadan bu noktadan devam etmelidir.

20 2. Gerçel Sayılar ve Özellikleri Bu satırdan itibaren, bütün kitap boyunca gerçel sayılar sistemi ya da yapısı, bir önceki bölümdeki 6 önermeyi sağlayan bir (R, +,, <, 0, ) altılısıdır. Bu önermelere R nin aksiyomları diyeceğiz. Tabii bunlar aslında aksiyom değildirler, [N2] de kanıtlanmışlardır, ama bu kitapta bu önermelere aksiyom muamelesi yapacağız. R nin elemanlarına gerçel sayı diyeceğiz. Bu arada, [N2] de yaptıklarımızı yok saydığımızdan R nin içinde kesirli sayılar kümesi Q nün ya da en azından bir kopyasının bulunduğunu henüz bilmediğimizi de dikkatinizi çekerim. Gelecek bölümde R nin içindeki Q yü bulacağız. Bu bölümde gerçel sayı sisteminin en basit özelliklerini kanıtlayacağız. Kanıtlarda SUP aksiyomunu sadece en sonda kullanacağız. SUP dışındaki aksiyomların sağlandığı yapılara sıralı cisim denir. Demek ki hemen aşağıda kanıtlayacağımız önermeler sadece R de değil, tüm sıralı cisimlerde doğrudur..2 Toplamanın Özellikleri A. T ve T4 ün anlamı. T, sayıları toplarken paranteze gerek olmadığını söylüyor. Örneğin, (a + b) + c ve a + (b + c) yerine a + b + c yazabiliriz. Aynı biçimde, (a + b) + (c + d) ve (a + (b + c)) + d yerine a + b + c + d yazabiliriz. T4 de toplama yaparken sıralamanın önemli olmadığını söylüyor. Örneğin, a + b + c + d yerine b + d + c + a yazabiliriz. T e birleşme özelliği, T4 e de değişme özelliği adı verilir. B. 0 ın biricikliği. T2 özelliğini sağlayan 0 elemanının biricik olduğunu kanıtlayalım: 0 elemanı da aynen 0 gibi T2 özelliğini sağlasın, hatta bu özelliğin sadece yarısını sağlasın, diyelim her a R için, a + 0 = a olsun. Özel bir durum olarak, a = 0 için = 0 elde ederiz; o zaman, olur. 0 T2 = = 0 C. Toplamsal Ters. Şimdi, verilmiş bir a R için T3 özelliğini, hatta T3 ün sadece yarısını sağlayan b nin biricikliğini kanıtlayabiliriz: olsun; o zaman, a + b = b + a = 0 ve a + c = 0 b T2 = b + 0 = b + (a + c) T = (b + a) + c = 0 + c T2 = c.

21 .2. Toplamanın Özellikleri 3 Demek ki b = c. Yani verilmiş bir a için T3 ü sağlayan b biricik. Benzer şekilde c + a = 0 ise de c = b eşitliği kanıtlanabilir. Tabii a değiştikçe T3 eşitliğini sağlayan b de değişir, ama verilmiş bir a için T3 özelliğini sağlayan b biriciktir, bir ikincisi daha yoktur. O zaman b ye özel bir ad verebiliriz: b ye a nın toplamsal tersi denir ve b yerine a yazılır ve bu eleman eksi a diye okunur. Elbette, () ( a) + a = a + ( a) = 0 eşitliği sağlanır ve a bu eşitliklerin birini sağlayan yegâne elemandır, yani, b = a a + b = 0 b + a = 0. Ayrıca, = 0 olduğundan, 0 = 0 olur. D. Çıkarma. a + ( b) yerine a b yazılır ve bu işleme çıkarma denir. ifadesi ( a) b anlamına gelir: a b a b = ( a) b = ( a) + ( b). a + b ifadesi de ( a) + b anlamına gelir. Tahmin edilen (a + b) = a b ve (a b) = b a gibi eşitlikleri kanıtlamak zor değildir. Birincisini kanıtlayalım misal olarak: (a + b) + ( a b) = a + b + ( a) + ( b) = (a + ( a)) + (b + ( b)) = = 0, ve bundan ve (C) den istenen eşitlik çıkar. Demek ki a b, a + b sayısının toplamsal tersidir. E. Sadeleştirme. R de toplamaya göre sadeleştirme de yapılabilir, yani ise, a = b olur. Nitekim, a + c = b + c a = a + 0 = a + (c + ( c)) = (a + c) + ( c) = (b + c) + ( c) = b + (c + ( c)) = b + 0 = b. Tabii, T4 sayesinde, sadece sağdan değil, soldan da sadeleştirme yapılabilir. Eğer a + b = a ise a + b = a = a + 0 olur ve buradan sadeleştirerek b = 0 buluruz.

22 4. Gerçel Sayılar ve Özellikleri F. Tersin Tersi. () eşitliğinde a yerine a alırsak, buluruz. Demek ki ve sağdaki a ları sadeleştirerek ( ( a)) + ( a) = 0 ( ( a)) + ( a) = 0 = a + ( a) a = ( a) elde ederiz. Özetle, a nın tersinin tersi a dır. Bunu şöyle de görebiliriz; T3 te a ve b nin simetrik rolleri olduğundan b, a nın tersiyse a da b nin tersi olur, yani a nın tersinin tersi a dır, yani olur. ( a) = a G. a + b = c eşitliğinden kolaylıkla a = c b ve b = c a eşitlikleri çıkar. Bundan böyle toplamayla ilgili tüm bu bilgileri ve kimbilir belki de kanıtlamayı unuttuğumuz başka eşitlikleri de özgürce kullanacağız..3 Çarpmanın Özellikleri H. Ç ve Ç4 ün anlamı. Ç, çarpma işlemi için paranteze gerek olmadığını söylüyor. Ç4 de elemanları çarparken sıralamanın önemli olmadığını söylüyor. Örneğin, ((ab)c)d yerine bdca yazabiliriz. Ç e (çarpma için) birleşme özelliği, Ç4 e (çarpma için) değişme özelliği denir. I. in Biricikliği. Aynen toplamadaki gibi, Ç2 özelliğini sağlayan elemanının biricik olduğunu kanıtlayalım: elemanı da Ç2 özelliğini sağlasın, yani her a R için, a = a olsun. Bunun özel bir durumu olarak, a = için = elde ederiz. Demek ki, olur. Ç2 = = J. 0 la Çarpma. Her a için a0 = 0 olur, çünkü, a0 + 0 = a0 = a(0 + 0) D = a0 + a0 ve sadeleştirerek ((E) nin son paragrafı) a0 = 0 buluruz.

23 .3. Çarpmanın Özellikleri 5 Bundan ve SB den, Ç3 özelliğinde neden a elemanının 0 dan değişik olması gerektiği anlaşılır. Çünkü bir b R elemanı için 0b = olsaydı, 0 = 0b = olurdu; dolayısıyla her x R için x = x = 0x = 0 olurdu, yani R = {0} olurdu; pek arzuladığımız bir sonuç olduğu söylenemez! K. Çarpımsal Tersin Biricikliği. Verilmiş bir 0 a R için Ç3 özelliğini sağlayan b elemanının da biricikliğini kanıtlayabiliriz: olsun; şimdi, ab = ba = ac = b Ç2 = b = b(ac) Ç = (ba)c = c Ç4 = c. Demek ki b = c, ve b gerçekten biricikmiş. b ye a nın çarpımsal tersi denir. a nın çarpımsal tersi a, /a ya da a olarak gösterilir. Elbette, (2) a a = aa = eşitliği sağlanır ve a bu eşitliklerin birini sağlayan yegâne elemandır. (J) den dolayı a, 0 olamaz, çünkü aksi halde, = aa = a0 = 0 olur ve bu da SB ile çelişir. Son olarak = olduğundan, = olur. L. Bölme. xy yerine kimileyin x/y ya da x y yazılır. Bu yazılım anlaşmasından dolayı eşitlikleri geçerlidir. x = /x = x x yz = x y z = y x z = x z y gibi tahmin edilen çeşitli eşitlikleri kanıtlamak zor değildir. M. Sadeleştirme. Eğer ac = bc ve c 0 ise, a = b olur. Nitekim, a = a = a(cc ) = (ac)c = (bc)c = b(cc ) = b = b. N. Tersin Tersi. a 0 olsun. (K) nın ikinci paragrafına göre a 0. Demek ki a elemanının tersini de alabiliriz. (2) denkleminde a yerine a alırsak, a (a ) = buluruz. Demek ki a (a ) = = a a. Sadeleştirerek, (a ) = a

24 6. Gerçel Sayılar ve Özellikleri buluruz. a yerine /a yazılımı tercih edilirse, bu eşitlik, şeklini alır. /a = a O. Eğer ab = c ve b 0 ise, a = cb olur. Bunun kanıtı kolaydır ve okura bırakılmıştır. P. Her a için, a = ( )a, çünkü, 0 = 0a = ( + ( ))a = a + ( )a = a + ( )a ve (C) ye göre (toplamsal tersin biricikliği), (3) a = ( )a olur. Özel bir durum olarak bulunur. Ayrıca (3) ten ( )( ) = ( ) = (4) (xy) = x( y) = ( x)y eşitliklerinin kanıtı kolaydır, mesela (xy) = ( )(xy) = (( )x)y = ( x)y. (4) eşitliklerinden dolayı (xy) yerine, daha kısa olarak xy yazılır. Q. Her a için, ( a) 2 = a 2 olur. (Burada x 2 = xx anlamına geliyor.) Bu da (P) den çıkar: ( a) 2 = ( a)( a) = ( )a( )a = (( )( ))aa = ( ( ))aa = aa = aa = a 2. R. Eğer ab = 0 ise ya a = 0 ya da b = 0 olur; nitekim eğer b 0 ise olur. a = a = a(bb ) = (ab)b = 0b = 0.4 Sıralamanın Özellikleri Yukardaki kanıtlarda hiç sıralamayı kullanmadık. Şimdi sıralamayla ilgili özellikleri kanıtlayalım. Bilinmesi gerektiği gibi, x y önermesi x < y ya da x = y anlamına gelir. x > y ve x y yazılımlarının anlamlarını okur tahmin ediyordur.

25 .4. Sıralamanın Özellikleri 7 Eğer x ve y iki gerçel sayıysa, max{x, y} sayısı x ve y sayılarının en büyüğü, yani maksimumu anlamına gelir: { x eğer x y ise max{x, y} = y eğer y x ise O3 ten dolayı max iyi tanımlanmıştır. max elbette maximum un kısaltılmışıdır. min{x, y} ise { y eğer x y ise min{x, y} = x eğer y x ise anlamına gelir. Alıştırmalar.. Her x, y R için max{x, y} + min{x, y} = x + y eşitliğini kanıtlayın..2. Her x, y, z R için max{max{x, y}, z} = max{x, max{y, z}} eşitliğini kanıtlayın. Benzer eşitliği max yerine min için kanıtlayın. Eğer 0 x ise x e pozitif diyeceğiz. (Genelde bu tanım 0 < x koşulunu sağlayan x elemanları için kullanılır, ama biz öyle yapmayacağız.) Eğer 0 < x ise x e mutlak pozitif diyeceğiz. Negatif ve mutlak negatif in anlamlarını okur tahmin ediyordur. S. Eğer a < b ise b < a olur. Bunu kanıtlamak için a < b eşitsizliğinin her iki tarafına a b eklemek yeterli. Dolayısıyla 0 < a eşitsizliği, ancak ve ancak a < 0 ise doğrudur; yani a pozitiftir ancak ve ancak a negatifse. Demek ki negatif sayılar, pozitif sayıların toplamsal tersleridir. T. Pozitif Elemanlar. Pozitif gerçel sayılar kümesi toplama ve çarpma altında kapalıdır. Çarpma altında kapalı olduklarını kanıtlamak çok kolay, bu hemen ÇO dan çıkıyor: 0 < a ve 0 < b ise, 0 = 0 0 < ab olur; ve eğer a ya da b = 0 ise ab = 0 0. Toplamaya geçelim. 0 < a ve 0 < b olsun. O zaman, TO ya göre, 0 = < a + 0 < a + b. a ya da b nin 0 a eşit olduğu durumlar da bariz. U. İki negatif sayının çarpımı pozitiftir ve negatif bir sayıyla pozitif bir sayının çarpımı negatiftir. İkinci önermeyi kanıtlayalım. Eğer 0 < x ve y < 0 ise, o zaman (S) ye göre 0 < y olur, dolayısıyla (P) ye göre, 0 < x( y) = xy ve xy < 0. Bundan karelerin (ve karelerin toplamlarının) negatif olamayacakları çıkar. Nitekim, eğer 0 a ise (T) ye göre 0 a 2 ve eğer a 0 ise, o zaman (S) ye göre 0 a ve yukarda kanıtladığımıza göre, (Q) den dolayı, 0 ( a) 2 = a 2 bulunur. a yerine koyarsak, 0 2 = olur. Dolayısıyla < 0.

26 8. Gerçel Sayılar ve Özellikleri V. Pozitif elemanlar kümesi çıkarma altında kapalı değildir elbet ama bölme altında kapalıdır. Nitekim 0 < a olsun. O zaman 0 /a olur ve eğer /a < 0 olsaydı = a(/a) < 0 olurdu ki bu da (U) nun en sonunda kanıtladığımız 0 < eşitsizliğiyle çelişirdi. Demek ki /a > 0. Dolayısıyla, a, b > 0 ise a/b = a(/b) > 0 olur. W. 0 < eşitsizliği (U) nun son satırında kanıtlandığına göre, her iki tarafa da ekleyerek < 2 elde ederiz. (2 yi + olarak tanımlıyoruz.) Demek ki, 0 < < 2 ve dolayısıyla 0 < 2 ve 2 0. Buradan 2 nin R de bir tersi olduğu çıkar: /2. Eğer < 2 eşitsizliğinin iki tarafına eklersek 2 < 3 elde ederiz. (3 ü 2 + olarak tanımlıyoruz.) Böylece, 0 < < 2 < 3 elde ederiz ve 3 0 olur. Bunu böyle devam edebiliriz. (Henüz doğal sayılardan ve doğal sayılar kümesinden sözetmediğimize dikkatinizi çekerim. R nin içinde N nin bir kopyasının olduğunu bir sonraki bölümde kanıtlayacağız.) X. Orta Nokta. İki sayının aritmetik ortalaması bu iki sayının arasındadır, yani x < y ise, x < x + y < y 2 olur. Kanıtı okura bırakıyoruz. Aralığın tanımını okur ilköğretim yıllarından biliyordur. İşte birkaç aralık örneği: (a, b) = {x R : a < x < b}, [a, b) = {x R : a x < b}, [a, b] = {x R : a x b}, (, b) = {x R : x < b}, [a, ) = {x R : a x}, R 0 = [0, ) = {x R : 0 x}, R >0 = (0, ) = {x R : 0 < x}, R = (, ). Diğer aralıkların tanımını okura bırakıyoruz. R, [a, b], (, b] ve [a, ) türünden aralıklara kapalı aralık ve R, (a, b), (, b) ve (a, ) türünden aralıklara açık aralık adı verilir. R ve hem açık hem kapalı aralıklardır ve başka da hem açık hem kapalı aralık yoktur. Alıştırmalar.3. Bir I R altkümesinin şu özelliği olsun: Her x, z I ve her y R için, eğer x < y < z ise y I. I nın bir aralık olduğunu gösterin. R için doğru olan bu özelliğin Q için yanlış olduğunu kanıtlayın. (Not: Q sıralı halkasının bir aralığının uç noktaları da Q da olmalıdır.).4. a bir gerçel sayı olsun. Eğer her b > 0 için a b oluyorsa a 0 eşitsizliğini gösterin..5. a ve b iki gerçel sayı olsun. Eğer her c > b için a c oluyorsa, a b eşitliğini gösterin.

27 .5. Mutlak Değer ve Mesafe 9.5 Mutlak Değer ve Mesafe Bir x R için, x in mutlak değeri denilen x R sayısı şöyle tanımlanır: x = max{x, x}, yani x ve x ten en büyüğünü seçiyoruz. Mutlak değerin şu önemli özellikleri vardır: Önsav.. Her x, y R için, i. x 0, ii. x = 0 x = 0, iii. x = x, iv. x 0 ise x = x ve x 0 ise x = x, v. xy = x y, vi. y x x y x, vii. x x x, viii. Üçgen eşitsizliği. x + y x + y, ix. x y x y, x. y a < x a x < y < a + x. Kanıt: i. x ve x sayılarının ikisi birden mutlak negatif olamaz. x, tanımı gereği x ve x sayılarından hangisi pozitifse ona eşittir. Demek ki x 0. ii. Eğer x = 0 ise x = 0 = max{0, 0} = max{0, 0} = 0 ve böylece ( ) kısmı gösterilmiş olur. Aksi istikamette: x = 0 olsun. Demek ki Dolayısıyla, olduğundan, 0 = x = max{x, x}. max{x, x} x ve max{x, x} x 0 x ve 0 x olur. Yani 0 x ve x 0. Bu da x = 0 demektir. iii. Bariz. iv. Eğer x 0 ise, x 0 olur; dolayısıyla x x ve x = max{x, x} = x olur. Eğer x 0 ise, x 0 olur; yani x x ve x = max{x, x} = x olur. v. Gerekirse x yerine x ve y yerine y alarak, (iii) ten dolayı, x ve y nin negatif olmadıklarını varsayabiliriz. O zaman xy de negatif değildir ve (iv) ten dolayı, xy = xy = x y elde ederiz. vi. y x ise, max{y, y} = y x olur. Demek ki, y x ve y x. Buradan y x ve y x çıkar. Sonuç: x y x.

28 20. Gerçel Sayılar ve Özellikleri Şimdi diğer istikameti kanıtlayalım. x y x olsun. O zaman y x ve y x. Yani y = max{y, y} x. vii. x max{x, x} = x. Aynı nedenden x x, yani x x. viii. (vi) ya göre, x y x+y x + y eşitsizliklerini kanıtlamalıyız. Bunlar da (vii) den çıkar. ix. (viii) ve (iii) ten, çıkar. Demek ki x = x y + y x y + y x y x y. Benzer biçimde y x y x, yani Bu iki eşitsizlik demektir ve (vi) dan x y x y. x y x y x y x y x y çıkar. x. (vi) dan çıkar. Daha ileri analizde çok önemli olacak olan bir kavramın temellerini atalım. İki x ve y gerçel sayısı arasındaki mesafeyi d(x, y) = x y olarak tanımlayalım. Mesafenin şu önemli özellikleri vardır: Önsav.2. Her x, y, z R için, i. d(x, y) R 0. ii. d(x, y) = 0 x = y. iii. d(x, y) = d(y, x). iv. d(x, y) d(x, z) + d(z, y). Kanıt: Mesafenin tanımından ve sırasıyla Önsav..i, ii, iii ve viii den doğrudan çıkar. Üçgen eşitsizliği adı verilen sonuncusunun kanıtını yazmakta fayda olabilir: a = x z ve b = z y olsun. O zaman, d(x, y) = x y = a + b a + b = x z + z y = d(x, z) + d(z, y) olur. Önsav kanıtlanmıştır. Önsav.2 yi gündelik dille yorumlayalım:

29 .6. SUP Aksiyomu 2 i. İki nokta arasındaki mesafe negatif bir sayı olamaz. ii. İki nokta arasındaki mesafe, ancak ve ancak noktalar çakışıyorsa (aynıysa) 0 olabilir. iii. Bir noktanın ikinci bir noktaya mesafesi, ikinci noktanın birinci noktaya mesafesine eşittir. (Tek yönlü yollar yüzünden modern trafikte bu özellik doğru olmayabilir.) iv. Bir noktanın ikinci bir noktaya mesafesi üçüncü bir noktadan (yani z den) geçerek kısalamaz. Notlar. Ola ki bazı herkesin bildiği özellikleri kanıtlamayı unutmuş olabiliriz. Kanıtlamayı unuttuklarımızı okura alıştırma olarak bırakıyoruz. Örneğin, 0 a b ve 0 c d ise ac bd önermesini kanıtlamadık. Okur, bu ve buna benzer kanıtlanmamış ama kanıtlaması kolay gibi görünen önermelere rastlarsa kanıtlasın. Her şeyin aksiyomlardan çıkması gerekir. Genel kural olarak, elemanlarla ilgili önermelerin kanıtı, altkümeler ve fonksiyonlarla ilgili önermelerin kanıtından çok daha kolaydır. 2. Son aksiyom olan (SUP) dışındaki aksiyomların uzun uzadıya açıklamalara ihtiyaçları yok. Şimdi kısaca bu aksiyomlarla ilgili birkaç tanım verelim. Bu tanımları bu ve sonraki analiz ciltlerimizde pek kullanmayacağız ama okurun matematiğin bu önemli kavramlarını bilmesinde yarar vardır. T, T2, T3 aksiyomlarını sağlayan bir (R, +, 0) yapısına grup adı verilir. Bir grup ayrıca T4 ü de sağlıyorsa, adına değişmeli grup denir. Bu yapılara daha ziyade cebirde rastlanır ve bu notlarda pek sözünü etmeyeceğiz. O ve O2 yi sağlayan bir (R, <) yapısına yarısıralama adı verilir. Eğer yarısıralama ayrıca O3 ü de sağlıyorsa, o zaman yapıya tamsıralama adı verilir. [N3] te sıralamalardan uzun uzadıya sözetmiştik. Eğer değişmeli bir grup aynı zamanda tamsıralıysa ve ayrıca TO yu sağlıyorsa, o zaman bu yapıya sıralı değişmeli grup adı verilir. T den D ye kadar olan aksiyomları sağlayan bir yapıya cisim denir. Eğer cisimde TO ve ÇO yu sağlayan bir sıralama varsa, o zaman bu yapıya sıralı cisim adı verilir. Cisimler de cebirin çalışma alanına girerler. Belki Ç3 dışında, T den D ye kadar olan aksiyomları sağlayan bir yapıya değişmeli halka denir. Biz değişmeli halka yerine kısaca halka diyeceğiz. Eğer halkada TO ve ÇO yu sağlayan bir sıralama varsa, o zaman bu yapıya sıralı halka adı verilir. Alıştırmalar.6. Eğer 0 a b ve 0 c d ise ac bd eşitsizliğini kanıtlayın..7. Eğer a x b ise x max{ a, b } eşitsizliğini kanıtlayın..6 SUP Aksiyomu Bizim için hayati önem taşıyacak olan ama bu bölümde bu ana dek hiç sözünü etmediğimiz (SUP) aksiyomunu biraz açalım. (R, <) bir tamsıralama olsun, yani O, O2, O3 aksiyomlarını sağlasın. Ayrıca A R herhangi bir altküme ve s R olsun. Eğer her a A için a s oluyorsa, s ye A nın üstsınırı denir. Örneğin ve 2 sayıları (0, ) ve (0, ] aralıklarının üstsınırlarıdır. Ama, 2 den

30 22. Gerçel Sayılar ve Özellikleri daha küçüktür. En küçük üstsınıra en küçük üstsınır denir. sayısı (0, ) ve (0, ] aralıklarının en küçük üstsınırıdır. Örneğin R = R ise ve sıralama bu bölümdeki sıralamaysa o zaman R nin üstsınırı yoktur çünkü her r R için r +, r den daha büyük bir elemandır, üstsınırı olmayan R nin elbette en küçük üstsınırı da olamaz. Üstsınırı olan kümelere üstten sınırlı kümeler denir. Altsınır, alttan sınırlı küme ve en büyük altsınır kavramları benzer şekilde tanımlanır. A nın en küçük üstsınırı, olduğunda elbet, biriciktir ve sup A olarak yazılır. En büyük altsınır inf A olarak yazılır. Her gerçel sayı boşkümenin bir üstsınırıdır, dolayısıyla boşkümenin de en küçük üstsınırı yoktur. sup A = s eşitliği için, i. Her a A için a s, ve ii. Her ϵ > 0 için, s ϵ < a eşitsizliğini sağlayan bir a A sayısı vardır koşulları gerek ve yeter koşullardır. Nitekim birinci koşul s nin A nın bir üstsınırı olduğunu söylüyor; ikincisi ise s den küçük hiçbir sayının A nın üstsınırı olamayacağını söylüyor, yani s nin en küçük üstsınır olduğunu söylüyor. Alıştırmalar.8. Gerçel sayılar kümesinin boş olmayan ve alttan sınırlı bir X altkümesinin en büyük altsınırının olduğunu kanıtlayın. Bu altsınıra inf X adı verilir. inf X = sup( X) eşitliğini kanıtlayın..9. Eğer X R ve c > 0 ise, sup(cx) = c sup X ve inf(cx) = c inf X eşitliklerini kanıtlayın. (sup X ve inf X varsa elbette.) Eğer c < 0 ise, sup(cx) = c inf X ve inf(cx) = c sup X eşitliklerini kanıtlayın..0. X, Y R olsun. Her x X için, x y eşitsizliğini sağlayan bir y Y olsun. sup Y varsa sup X in de olduğunu ve sup X sup Y eşitsizliğini kanıtlayın... X, Y R boş olmayan iki altküme olsun. Her x X ve her y Y için x y eşitsizliği sağlanıyorsa, sup X ve inf Y nin olduğunu ve sup X inf Y eşitsizliğini kanıtlayın..2. X R üstten sınırlı ve boş olmayan bir altküme olsun. Y, X in üstsınırlarından oluşan küme olsun. sup X = inf Y eşitliğini kanıtlayın..3. X, Y R boş olmayan ve üstten sınırlı iki altküme olsun. X + Y = {x + y : x X, y Y } olsun. sup(x + Y ) nin olduğunu ve sup(x + Y ) = sup X + sup Y eşitliğini kanıtlayın..4. X, Y R >0 boş olmayan ve üstten sınırlı iki altküme olsun. XY = {xy : x X, y Y } olsun. sup(xy ) nin olduğunu ve sup(xy ) = (sup X)(sup Y ) eşitliğini kanıtlayın. Aynı şey R nin herhangi iki sınırlı altkümesi için geçerli midir?

31 .6. SUP Aksiyomu I R olsun. Eğer her a, b I elemanı için, (a, b) I içindeliği doğruysa, o zaman I nın bir aralık olduğunu kanıtlayın. I sınırlıysa uç noktalarının inf X ve sup X olduğunu gösterin. (İlerde üstten sınırsız bir küme için sup X = ve alttan sınırsız bir küme için inf X = tanımlarını yapacağız ve bu dediğimiz, bir anlamda, her zaman doğru olacak.) Her aralığın bu özelliği olduğunu gösterin.

32

33 2. R nin içindeki N, Z ve Q Bu bölümde R nin içindeki doğal sayılar kümesi N yi, tamsayılar kümesi Z yi ve kesirli sayılar kümesi Q yü keşfedip başat özelliklerini kanıtlayacağız. Bu bölümü okurken, tanımlayacağımız bu N, Z ve Q kümeleri hakkında sanki hiçbir şey bilmiyormuş gibi davranın ama bir yandan da bu kümelerle çocukluğunuzdan beri aşina olduğunuzu unutmayın! 2. Doğal Sayılar Gerçel sayılar kümesi R nin, 0 ı içeren ve içerdiği her x sayısı için x + sayısını da içeren altkümelerini ele alalım. Bu tür altkümelere tümevarımsal altküme diyelim. Demek ki bir A R kümesinin tümevarımsal olması için iki koşul gerekiyor:. 0 A, 2. Eğer x A ise x + A. R nin kendisi elbette tümevarımsal bir kümedir. Negatif olmayan gerçel sayılar kümesi R 0 da bir başka tümevarımsal küme örneğidir. Her r < 0 için [r, ) ve (r, ) aralıkları tümevarımsal kümelerdir. { } R 0, {0} [, ) ve {0,, 2} (3/2, ) kümeleri de tümevarımsaldır. Biraz düşününce, varlığını kanıtlayacağımız N kümesinin (eğer varsa tabii!) R nin en küçük tümevarımsal altkümesi olması gerektiği anlaşılır, ne de olsa ta ilkokuldan beri bildiğimiz üzere N kümesi 0 ı içerir ve ile toplama altında kapalıdır ve bu iki özelliği sağlayan N den daha küçük bir küme yoktur. Dolayısıyla önce R nin en küçük tümevarımsal altkümesinin varlığını kanıtlamalıyız ve daha sonra N yi bu en küçük tümevarımsal küme olarak tanımlamalıyız. Oldukça basit ama çok parlak olan genel fikri açıkladıktan sonra en küçük tümevarımsal kümenin varlığını kanıtlayalım. İki tümevarımsal kümenin kesişimi de tümevarımsaldır. Nitekim eğer A ve B iki tümevarımsal kümeyse, her ikisi de 0 ı içerdiğinden, kesişimleri olan

34 26 3. R nin içindeki N, Z ve Q A B kümesi de 0 ı içerir. Ayrıca, eğer bir x sayısı A B kesişimindeyse, o zaman x hem A da hem de B dedir; her iki küme de tümevarımsal olduğundan x + de her iki kümededir; demek ki x + de kesişimdedir. Sadece iki tümevarımsal kümenin değil, elemanları tümevarımsal kümeler olan bir kümenin elemanlarının kesişimi de tümevarımsaldır. Yani eğer T, tümevarımsal kümeler içeren bir kümeyse, o zaman, T = A kümesi de tümevarımsaldır. Bunun kanıtı da aynı: Her A T için, 0 A olduğundan, 0 kesişimdedir. Şimdi kesişimden herhangi bir x sayısı alalım. Her A T için, x A ve A tümevarımsal olduğundan, x + A olur. Demek ki x + de A T A kesişimindedir. A T Şimdi R nin tüm tümevarımsal altkümelerini kesiştirelim ve kesişimin adına doğal sayılar kümesi diyelim ve bu kümeyi N simgesiyle gösterelim. N nin tümevarımsal bir küme olduğunu gördük. Tüm tümevarımsal altkümelerin kesişimi olduğundan ve tümevarımsal olduğundan, N, R nin en küçük tümevarımsal altkümesidir, yani N, R nin her tümevarımsal altkümesinin altkümesidir. Bütün bunları özetleyelim: Teorem 2.. i. 0 N. ii. n N ise n + N. iii. N, yukardaki iki özelliği sağlayan N nin en küçük altkümesidir, yani eğer A, N nin bir altkümesiyse ve 0 A ise ve her n A için n + A ise A = N olur. Kanıt: İlk ikisi N nin tümevarımsal olduğundan çıkıyor. Üçüncü önermedeki A kümesi varsayıma göre tümevarımsal bir küme. Ama N tüm tümevarımsal kümelerin altkümesi. Demek ki N A, yani A = N. Yukardaki teoremin son maddesinin tümevarımla kanıt ilkesi olduğuna dikkatinizi çekerim. Bu konuyu [N, N2] de ayrıntılarıyla işlediğimizden üstünde fazla durmuyoruz. Gene de ilkeyi yazalım:

35 2.. Doğal Sayılar 27 Teorem 2.2 (Tümevarım İlkesi I). Eğer (doğal ya da gerçel) sayılarla ilgili bir önerme 0 doğal sayısı için doğruysa ve, her n doğal sayısı için, n için doğru olduğunda n + için de doğru oluyorsa, o zaman o önerme her n doğal sayısı için doğrudur. Beklenildiği üzere doğal sayılarda toplama ve çarpma yapabiliriz. Bunu tümevarım ilkesini kullanarak kanıtlayalım. Teorem 2.3. N, toplama ve çarpma altında kapalıdır. Kanıt: x + (y + ) = (x + y) + ve x(y + ) = xy + x eşitlikleri kullanılarak istenenler tümevarımla kolaylıkla kanıtlanır. Örnek olarak N nin toplama altında kapalı olduğunu kanıtlayalım. A = {y N : N + y N} olsun. Elbette 0 A. Şimdi y A olsun. y + in de A da olduğunu kanıtlayalım. N den herhangi bir x alalım. O zaman y, A da olduğundan, x + y elemanı N dedir. Bundan ve N nin tanımından (x + y) + N çıkar. Ama x + (y + ) = (x + y) + eşitliği doğru. Demek ki x + (y + ) N. Her x N için, x + (y + ) N önermesini kanıtladık, yani y+ in A da olduğunu kanıtladık. Demek ki A = N ve N toplama altında kapalı. Yukarda kanıtladıklarımızdan kolaylıkla, (N, +,, 0, ) yapısının Peano aksiyomlarını sağladığı çıkar (Peano aksiyomları için bkz. [N2]). Alıştırmalar 2.. Her a, b 0 için, (a + b) n a n + b n eşitsizliğini tümevarımla kanıtlayın. (Binom açılımı daha kolay bir kanıt verir.) 2.2. Eğer s > ise, her n doğal sayısı için ( + s) n + ns eşitsizliğini tümevarımla kanıtlayın Aşağıdaki eşitlikleri tümevarımla kanıtlayın n > 6 doğal sayısı için n = n(n + )/2, n 2 = n(n + )(2n + )/6, n 3 = n 2 (n + ) 2 /4. n! > 8n (2n)! eşitsizliğini tümevarımla kanıtlayın. (İpucu: Doğrudan da deneyebilirsiniz ama şu yöntem de sonuca gider: f(n) = (2n)! n! 8 n olsun. f(n + )/f(n) > eşitsizliğini n üzerinden tümevarımla gösterebilirsiniz.) 2.5. Her n > 0 doğal sayısı için eşitsizliğini kanıtlayın. 2n n n+ n n+n n

36 28 3. R nin içindeki N, Z ve Q Aşağıdaki alıştırmalarda sadece ve sadece N ve R nin tanımlarını ve bu tanımlardan yola çıkarak bu satıra kadar kanıtlanan olguları kullanmalısınız ın N nin en küçük elemanı olduğunu kanıtlayın Eğer x N \ {0} ise x in de doğal sayı olduğunu kanıtlayın Eğer x R ve 0 < x < ise, x in N de olamayacağını kanıtlayın Eğer n N, x R ve n < x < n + ise, x in N de olamayacağını kanıtlayın. Aşağıdaki alıştırmalarda x, y N Eğer x < y ise, x + y eşitsizliğini kanıtlayın. 2.. Eğer x y ise, y x in de N de olduğunu kanıtlayın Eğer x < y + ise, x in ya y ye eşit olduğunu ya da y den küçük olduğunu kanıtlayın Eğer y 0, ve 0 < x ise x < xy eşitsizliğini kanıtlayın. Pierre de Fermat nın sonsuzdan iniş adını verdiği tümevarım ilkesini kanıtlayalım şimdi. Teorem 2.4. N nin boş olmayan her altkümesinin bir en küçük elemanı vardır, yani N iyisıralı bir kümedir. Kanıt: A, N nin bir altkümesi olsun. A nın en küçük elemanı olmadığını varsayıp A nın boşküme olduğunu kanıtlayalım. Ama önce başka bir şey kanıtlamamız gerekiyor: B = {n N : n den küçük hiçbir sayı A da değil } olsun. Tümevarımla B nin N ye eşit olduğunu kanıtlayalım. 0 dan küçük bir doğal sayı olmadığından (Alıştırma 2.6), 0 dan küçük bir sayı A da olamaz, dolayısıyla 0 B olmalı. Şimdi n B olsun ve n + in de B de olduğunu kanıtlayalım. Eğer n + den küçük bir sayı A da olsaydı, o zaman bu sayı ancak n olabilirdi (Alıştırma 2.9) ve bu n, A nın en küçük elemanı olurdu. Ama A nın en küçük elemanı olmadığını varsaydık. Bu bir çelişkidir. Demek ki B = N. Şimdi bir x doğal sayısının A da olduğunu varsayalım. n = x + olsun. O zaman x < n ve x A. Bundan n / B çıkar. Ama bu imkânsız. Yukardaki teorem aslında bir kanıt ilkesidir: Eğer doğal sayılarla ilgili bir önerme her n doğal sayısı için doğru değilse, o zaman bu önermenin yanlış olduğu en küçük doğal sayı vardır. Dolayısıyla şu teorem de böylece kanıtlanmış oldu:

37 2.. Doğal Sayılar 29 Teorem 2.5 (Tümevarım İlkesi II). Eğer bir önerme, her n doğal sayısı için, n den küçük doğal sayılar için doğru olduğunda n için de doğru oluyorsa, o zaman bu önerme her n doğal sayısı için doğrudur. Kanıt: Önermenin yanlış olduğu en küçük doğal sayı n olsun. Demek ki önerme n den küçük doğal sayılar için doğru. Ama varsayıma göre, bu durumda önerme n için de doğru olur, çelişki. Doğal sayılarla ilgili bildiklerimizi teyit etmeye devam edelim: Teorem 2.6. Üstten sınırlı ve boş olmayan bir doğal sayı kümesi en küçük üstsınırını içerir. Kanıt: A bir doğal sayı kümesi ve x, A nın en küçük üstsınırı olsun. x bir üstsınır olmadığından, x < n x eşitsizliklerini sağlayan bir n A doğal sayısı vardır. Demek ki x < n + ve n den daha büyük bir doğal sayı A da olamaz. Bundan da n nin A nın en büyük elemanı olduğu çıkar. Yani n = x. Teorem 2.7 (Arşimet Özelliği). Eğer ϵ > 0 bir gerçel sayıysa ve x R ise, o zaman nϵ > x eşitsizliğinin sağlandığı bir n N vardır, yani (tanım gereği) R bir Arşimet cismidir. Kanıt: Teoremin doğru olmadığını varsayalım. Demek ki her n N için, nϵ x yani n x/ϵ. Demek ki doğal sayılar kümesi N, x/ϵ tarafından üstten sınırlı. Teorem 2.6 ya göre N nin en küçük üstsınırı N dedir. Bu en küçük üstsınır y ise, bu da y + doğal sayısının varlığıyla çelişir. Teorem 2.8 (Bölme). Her n, m N için, eğer m 0 ise, n = mq + r ve 0 r < m önermelerini sağlayan bir ve bir tane (q, r) doğal sayı ikilisi vardır. Kanıt: Önce q ve r nin varlığını gösterelim. Önermenin yanlış olduğunu varsayalım, yani, A={n N : belli bir m > 0 doğal sayısı için, n = mq + r eşitliğini ve 0 r < m eşitsizliklerini sağlayan q ve r doğal sayıları yoktur}

38 30 3. R nin içindeki N, Z ve Q kümesi boş olmasın. n, A nın en küçük elemanı olsun ve koşullar m sayısı için sağlanmasın. Eğer n < m ise q = 0 ve r = n istenen koşulları sağlar. Demek ki n m olmalı. O zaman, Alıştırma 2. e göre n m bir doğal sayıdır ve n den küçük olduğundan n m / A olmalı. Demek ki, n m = mq + r eşitsizliğini sağlayan q ve 0 r < m doğal sayıları vardır. Ama bundan, çıkar ve q = q + için n = m(q + ) + r n = mq + r elde ederiz. Demek ki önerme n ve m için de doğruymuş. Bu bir çelişkidir. Şimdi q ve r nin biricikliğini kanıtlayalım. mq + r = mq + r, 0 r < m ve 0 r < m ilişkilerini sağlayan r, r, q, q olsun. q = q ve r = r eşitliklerini kanıtlayacağız. q q eşitsizliğini varsaymanın bedeli yoktur, varsayalım. O zaman, q q N ve m > r r r = m(q q ) olur. Ama bu ancak q q = 0 ise mümkündür. (Neden?) 2.2 Tamsayılar ve Kesirli Sayılar Doğal sayıların bildiğimiz diğer özelliklerini de yukardaki gibi oldukça kolay bir biçimde kanıtlayabiliriz. Daha fazla ileri gitmeden kısaca tamsayılar kümesi Z ye geçelim. Z yi, Z = N N. olarak tanımlayalım. Teorem 2.9. Z, R nin, i içeren ve çıkarma altında kapalı en küçük altkümesidir. Ayrıca Z toplama, çarpma ve çıkarma altında kapalıdır, yani Z bir halkadır. Kanıt: Z nin i içerdiği ve çıkarma altında kapalı olduğu bariz. A, R nin i içeren ve çıkarma altında kapalı herhangi bir altkümesi olsun. 0 = olduğundan 0 A. Demek ki, her a A için, a = 0 a A. Dolayısıyla A A ve her a, b A için, a + b = a ( b) A ( A) A A A.

39 2.2. Tamsayılar ve Kesirli Sayılar 3 Demek ki A toplama altında kapalı. i de içerdiğinden, bundan A nın tümevarımsal bir küme olduğu sonucu çıkar. Sonuç: N A ve N A A ve Z = N N A. Böylece birinci önerme kanıtlanmış oldu. Şimdi A = Z alırsak Z nin toplama altında kapalı olduğunu görürüz. Z nin çarpma altında da kapalı olduğu, bundan ve n(m + ) = nm + m eşitliğinden m üzerine tümevarımla çıkar. Ayrıntıları okura bırakıyoruz. Teorem 2.0 (Bölme). Her n, m Z için, eğer m 0 ise, n = mq + r ve 0 r < m önermelerini sağlayan bir ve bir tane (q, r) tamsayı ikilisi vardır. Kanıt: Teorem 2.8 temel alınarak kolaylıkla kanıtlanabilir. Ayrıntıları okura bırakıyoruz. Z nin çok bilinen diğer özelliklerini burada kanıtlamayacağız. Gerektiği zaman tanımlara başvurularak kolaylıkla kanıtlanabilir. Son olarak kesirli sayıları tanımlayalım: { n } Q = m : n, m Z ve m 0 olsun. Q nün elemanlarına kesirli sayı ya da rasyonel sayı, Q kümesine de kesirli sayılar kümesi denir. Teorem 2.. Q, toplama, çarpma ve sıfırdan değişik bir elemana bölme altında kapalıdır, yani bir cisimdir. Ayrıca Q, R nin Z yi içeren en küçük altcismidir. Kanıt: Çok basit. Teorem 2.2 (Tamkısım). Her x R için, n x < n + eşitsizliklerini sağlayan bir ve bir tane n tamsayısı vardır. Kanıt: Önce x 0 varsayımını yapalım. A = {a N : a x} olsun. O zaman 0 A ve A, x tarafından üstten sınırlı. Teorem 2.6 ya göre A, en küçük üstsınırını içerir. Bu doğal sayıya n dersek, n x < n + olur. Biricikliği kanıtlayalım: Bir de ayrıca m x < m + olsun. Eğer n < m ise, Alıştırma 2.0 a göre, x < n + m x,

40 32 3. R nin içindeki N, Z ve Q çelişki. Benzer biçimde m < n de olamaz. Demek ki n = m. x in negatif olduğu durumun kanıtını okura bırakıyoruz. Teorem 2.2 de biricikliği kanıtlanan n tamsayısına x in tamkısmı denir ve bu sayı [x] olarak yazılır. [x], x ten küçükeşit en büyük tamsayıdır. Demek ki her x R için x [x] [0, ) olur ve [x] bu içindeliği sağlayan biricik tamsayıdır. Teorem 2.3. Herhangi iki farklı gerçel sayı arasında kesirli bir sayı vardır, yani (yoğunluğun tanımı gereği) Q, R de yoğundur. Kanıt: α < β iki gerçel sayı olsun. Eğer α < 0 < β ise 0 sayısı α yla β arasındadır. Eğer α < β 0 ise 0 β < α olur ve β ile α arasında bir q kesirli sayısı bulmuşsak, q kesirli sayısı α yla β arasında olur. Dolayısıyla teoremi 0 α < β varsayımı altında kanıtlamak yeterli. α < q < β eşitsizliğini sağlayan bir q kesirli sayısı bulmak istiyoruz. Arşimet Özelliği nden (Teorem 2.7) dolayı, < n(β α) eşitsizliğini sağlayan bir n vardır. Demek ki, n < β α. Şimdi, m = [nα] olsun (bkz. Teorem 2.2 ve sonraki tanım.) Demek ki m nα < m + ve m n α < m + n Dolayısıyla = m n + n α + < α + (β α) = β. n α < m n + n < β olur ve q = m + n sayısı aranan kesirli sayıdır, daha doğrusu sayılardan biridir. Alıştırmalar 2.4. x + 3 < δ 4x 2 < 0, 04 önermesini doğrulayan en büyük δ yı bulun Merkezi 7 olan ve x 3 2 < eşitsizliğini sağlayan en büyük aralığı bulun n Z, m 2N + olsun. n = mq + r eşitliğini ve m 2 r < m 2 eşitsizliklerini sağlayan bir ve bir tane (q, r) tamsayı ikilisi olduğunu kanıtlayın.

41 3. Kesirli Üsler ve Kökler Bundan böyle N, Z ve Q sayı kümeleri üzerine tanımlanmış toplama ve çarpma gibi basit aritmetiksel işlemleri ve bu işlemlerle ilgili basit olguları -kanıtlamamış olsak da- bildiğimizi varsayacağız. Örneğin asal sayılardan hiç sözetmedik ama her doğal sayının tek bir biçimde asalların çarpımı olarak yazıldığını bildiğimizi varsayacağız. Öte yandan üs almanın tanımını ve özellikleri aşağıda vereceğiz. 3. Kesirli Üs Alma ve Kök Bulma Eğer x bir gerçel sayı ve n bir doğal sayıysa, x in n inci üssü adı verilen x n gerçel sayısını n üzerine tümevarımla tanımlayacağız. Önce n = 0 şıkkından başlayalım : x 0 =. Eğer x n tanımlanmışsa, x n+ sayısını x n x olarak tanımlayalım: x n+ = x n x. Tanımın hemen ardından tahmin edilen ve liseden beri bilinen eşitlikleri kanıtlayalım: Teorem 3.. Her x, y R ve her n, m N için, 0. n =, x = x ve n > 0 için 0 n = 0. i. x m+n = x m x n. ii. (xy) n = x n y n. iii. (x m ) n = x mn. iv. 0 < n ve 0 < x < y ise x n < y n. Kanıt: Önermelerin her biri n üzerine tümevarımla kanıtlanır. Diğerlerini okura alıştırma olarak bırakarak örnek olarak (i) i kanıtlayalım: n = 0 için: x m+0 = x m = x m = x m x 0. Bazıları, genellikle analizciler, 0 0 ifadesini tanımsız kabul eder. Cebirde ve aritmetikte 0 0 = tanımını yapmak işimize gelir. En azından ders notlarının başlarında 0 0 = tanımını yapalım. İlerde limit konusuna geldiğimizde 00 ifadesini tanımsız kabul etme hakkını saklı tutalım.

42 34 3. Kesirli Üsler ve Kökler Şimdi, x m+n = x m x n eşitliğini varsayıp, x m+(n+) = x m x n+ eşitliğini kanıtlayalım: x m+(n+) = x (m+n)+ = x m+n x = (x m x n )x = x m (x n x) = x m x n+. Teorem 3. in kanıtı tamamlanmıştır. Her değişmeli halkada geçerli olan (x + y) n ifadesinin binom açılımını okurun bildiğini varsayıyoruz. Zaten bunu [N2] de de görmüştük. Eğer x 0 ve n < 0 ise, x n terimini şöyle tanımlarız: x n = /x n. Son maddesindeki ufak bir oynamayla Teorem 3. tamsayılar için de geçerlidir: Teorem 3.2. Her x, y R \ {0} ve her n, m Z için, 0. x n = /x n. i. x m+n = x m x n. ii. (xy) n = x n y n. iii. (x m ) n = x mn. iv. n < 0 ve 0 < x < y ise x n > y n. Kanıt: Tanımdan ve Teorem 3. den çıkar. Okura bırakıyoruz. Sonuç 3.3. n Z \ {0}, x, y > 0 ve x n = y n ise o zaman x = y olur. Kanıt: Teorem 3..vi ve Teorem 3.2.vi dan çıkar. Buraya kadar yaptıklarımız oldukça kolaydı. Daha zor konu ve sonuçlara doğru yelken açalım. Pozitif gerçel sayıların köklerini bulalım, yani a > 0 bir gerçel sayıysa ve n 0 bir tamsayıysa, X n = a denklemini gerçel sayılarda çözebileceğimizi görelim. Bu çözümün pozitif gerçel sayılarda biricik olduğunu kanıtlayabilirsek, a /n gerçel sayısını bu biricik pozitif çözüm olarak tanımlayabiliriz. Teorem 3.4. a > 0 bir gerçel sayıysa ve n 0 bir tamsayıysa, X n = a denkleminin pozitif gerçel sayılarda bir ve bir tek çözümü vardır. Kanıt: Sonuç 3.3, çözümün (eğer varsa) biricikliğini söylüyor. Çözümün varlığını kanıtlayalım. Eğer a = 0 ya da ise her şey bariz. Bundan böyle a > 0 ve a varsayımlarını yapalım. Çözümün varlığını pozitif n tamsayıları için kanıtlamak yeterli. Nitekim, eğer n > 0 için x > 0 gerçel sayısı X n = a denkleminin bir çözümüyse, o zaman /x pozitif gerçel sayısı X n = a denkleminin bir çözümüdür. n = için x = a bir çözüm olduğundan, n yi den de büyük alabiliriz. Bundan böyle n > olsun. Teoremi, den büyük a gerçel sayıları için kanıtlamak da yeterlidir. Nitekim, eğer 0 < b < ise, /b > olur ve x > 0 gerçel sayısı X n = /b denkleminin bir çözümüyse, o zaman /x pozitif gerçel sayısı X n = b denkleminin bir çözümüdür.

43 3.. Kesirli Üs Alma ve Kök Bulma 35 n > bir tamsayı ve a > bir gerçel sayı olsun. X n = a denklemi çözmek için, x 0 ve x n a eşitsizliklerini sağlayan gerçel sayılar kümesinin üstten sınırlı olduğunu kanıtlayıp, kümenin (SUP) aksiyomuna göre var olduğunu bildiğimiz en küçük üstsınırını alacağız. Kanıtlayacağımız üzere, bu en küçük üstsınır X n = a denkleminin çözümü olacak. Planımızı uygulayalım. n > bir tamsayı ve a > bir gerçel sayı olsun. A = {x 0 : x n a} olsun. 0, A olduğundan A boşküme değildir. Ayrıca A, a tarafından üstten sınırlıdır, çünkü < a. Demek ki (SUP) aksiyomuna göre, A nın bir en küçük üstsınırı vardır. Bu en küçük üstsınıra s adını verelim. Elbette s. Şimdi s n = a eşitliği iki adımda (aşağıdaki Sav ve 2) kanıtlayalım. Önce bir önsav. Önsav 3.5. n > bir doğal sayı olsun. a ve x iki pozitif gerçel sayı olsun. Eğer x n < a ise, (x + ϵ) n < a eşitsizliğinin sağlandığı bir ϵ > 0 gerçel sayısı vardır. Kanıt: (x + ϵ) n terimiyle oynayarak, bu terimin a dan küçükeşit olması için ϵ un ne kadar küçük (ama pozitif) olması gerektiğini göreceğiz. ϵ sayısını, eğer varsa, her zaman den küçük, hatta /2 den küçükeşit seçebiliriz, çünkü eğer bir ϵ > /2 için (x + ϵ) n < a eşitsizliği doğruysa, o zaman ϵ = /2 için de aynı eşitsizlik doğrudur. Hesaplara başlayalım: ( ) ( ) n n (x + ϵ) n = x n + x n ϵ + + x n i ϵ i + + ϵ n i ( ) ( ) n n < x n + x n ϵ + + x n i ϵ + + ϵ = x n + ϵ Burada, B sayısı, B = (( n ) x n + + ( ) n x n + + i ( n i ) x n i + + ( ) n x n i + + i ) = x n + ϵb.

44 36 3. Kesirli Üsler ve Kökler olarak alınmıştır. Demek ki (x+ϵ) n < a eşitsizliğinin sağlanması için x n +ϵb a eşitsizliğinin sağlanması yeterlidir. Dolayısıyla ϵ un ne kadar küçük olması gerektiği de bellidir: { ϵ = min 2, a } xn. B ϵ u böyle seçerek istediğimiz (x + ϵ) n a eşitsizliğini kanıtlarız. Önsavımız kanıtlanmıştır. Şimdi Teorem 3.4 ün kanıtına devam edebiliriz. s yi anımsayın: s = sup(a). Sav. s n a. Sav in Kanıtı: Tam tersine, s n < a eşitsizliğini varsayalım. Önsav 3.5 e göre yeterince küçük bir ϵ > 0 sayısı için, (s + ϵ) n < a eşitsizliği sağlanır. Ama o zaman da s den büyük olan s + ϵ sayısı A da olur ve bu da s nin en küçük üstsınır olmasıyla çelişir. Sav kanıtlanmıştır. Bu savdan, s çıkar. Demek ki s >. Bu, birazdan önem kazanacak. Sav 2. s n a. Sav 2 nin Kanıtı: Tam tersine, s n > a eşitsizliğini varsayalım. O zaman (/s) n < /a olur. Önsav 3.5 e göre, belli bir ϵ > 0 için, ( ) n s + ϵ < a olur. Buradan olur. Ama olduğundan, bir x A için olur. Böylece, a < elde ederiz, ki bu bir çelişkidir. a < ( s ) n + sϵ s + sϵ < s = sup A s + sϵ < x < s Sav ve 2 den s n = a eşitliği çıkar. Teorem 3.4 tamamen kanıtlanmıştır. ( ) s n < x n a + sϵ Sonuç 3.6. Eğer n 0 bir tamsayıysa, f(x) = x n kuralıyla tanımlanan f fonksiyonu R >0 kümesinin bir eşleşmesidir. Eğer n > 0 ise f sürekli artar. Eğer n < 0 ise f sürekli azalır.

45 3.. Kesirli Üs Alma ve Kök Bulma 37 Kanıt: f nin eşleşme olduğunu Teorem 3.4 söylüyor. f nin artan ya da azalan olması Teorem 3..iv ve Teorem 3.2.iv ten belli. a > 0 gerçel sayısı ve n 0 tamsayısı için, X n = a denkleminin biricik pozitif çözümü a /n olarak yazılır. Demek ki, a > 0 için, Bir başka deyişle, (a /n ) n = a ve a /n > 0. x = a /n x n = a ve x > 0. Kimileyin a /n yerine n a yazılır. Ayrıca 2 a yerine a ya da a yazılır. Son olarak, q Q ve a R >0 için a q sayısını tanımlayalım. m, n Z tamsayıları için q = m/n olarak yazıp, a q = (a m ) /n tanım denemesini yapalım. Yani, a q sayısı için, x = a q x n = a m ve x > 0 tanımını önerelim. Bunun gerçekten bir tanım olması için, örneğin, yani a 5/6 = a 25/0 = a 30/2, (a 5 ) /6 = (a 25 ) /0 = (a 30 ) /2 olmalı; daha genel olarak, m, m, n, n Z tamsayıları için, m/n = m /n olduğunda (a m ) /n = (a m ) /n olmalı, yoksa a q sayısının tanımı q ye göre değil, q = m/n eşitliğini sağlayan m ve n tamsayılarına göre değişebilir. Bir sonraki önsav, (a m ) /n sayısının m ve n ye göre değil, m/n ye göre değiştiğini gösterecek.

46 38 3. Kesirli Üsler ve Kökler Önsav 3.7. m, m, n, n tamsayıları için m/n = m /n ise her a > 0 için (a m ) /n = (a m ) /n olur. Kanıt: Varsayıma göre mn = m n. Şimdi x = (a m ) /n ve y = (a m ) /n olsun. Demek ki x n = a m ve y n = a m. Dolayısıyla, y n m = (y n ) m = a m m = a mm = (x n ) m = x nm = x n m. Sonuç 3.3 ten y = x çıkar. Böylece artık x > 0 için x n/m = (x n ) /m tanımını yapabiliriz. Gözden kaçabilecek bir şey daha kontrol edilmeli, n N ve a R >0 için, a n nin eski tanımıyla, yukarda tanımlanan a n/ sayısı birbirine eşit olmalı, yani n yi tamsayı olarak da görsek, n/ olarak kesirli sayı olarak da görsek, a n nin her iki tanımı da aynı sonucu vermeli. Nitekim öyle: a n/ sayısının yukardaki tanımına göre, x = a n/ x = a n ve x > 0 olmalı ve bu da x = a n/ x = a n demektir, yani a n/ = a n. Teorem 3.8. Her x, y R >0 ve p, q Q için, 0. p =, x 0 =, x = x, i. x p+q = x p x q ve x p = /x p. ii. (xy) p = x p y p. iii. (x p ) q = x pq. iv. 0 < p ve x < y ise x p < y p. v. 0 > p ve x < y ise x p > y p. vi. p < q ve < x ise x p < x q. vii. p < q ve x < ise x q < x p. Kanıt: Her şey tanımdan ve Teorem 3., Teorem 3.2 ve Sonuç 3.3 ten oldukça kolay bir biçimde çıkar. Alıştırma 3.. n 0 ve m tamsayıları ve a > 0 için, a m/n = (a /n ) m eşitliğini kanıtlayın. Eğer a < 0 ise, X 2 = a denkleminin gerçel sayılarda çözümü yoktur çünkü gerçel sayılarda kareler negatif olamazlar (bkz. Bölüm 2, U maddesi). Aynı nedenden eğer a < 0 ve n bir çift tamsayıysa, X n = a denkleminin de gerçel sayılarda çözümü olamaz. Öte yandan, şimdi kanıtlayacağımız üzere, eğer n bir tek doğal sayıysa, a hangi gerçel sayı olursa olsun, X n = a denkleminin gerçel sayılarda bir ve bir tek çözümü vardır. Teorem 3.9. i. Eğer n bir tek doğal sayıysa, her a R için X n = a denkleminin gerçel sayılarda bir ve bir tek çözümü vardır. Bir başka deyişle f(x) = x n kuralıyla tanımlanan fonksiyon R nin (artan) bir eşleşmesidir.

47 3.. Kesirli Üs Alma ve Kök Bulma 39 ii. Eğer a 0 ise aynı şey n tek tamsayıları için de geçerlidir. Yani f(x) = x n kuralıyla tanımlanan fonksiyon R \ {0} kümesinin bir eşleşmesidir. iii. Eğer a 0 ise ve n bir çift tamsayıysa X n = a denkleminin gerçel sayılarda iki çözümü vardır. Eğer x bir çözümse, x diğer çözümdür. Kanıt: i. Eğer a 0 ise, bu aynen Teorem 3.4. a 0 durumu, x n = a ( x) n = a eşdeğerliğinden ve yukardakinden çıkar. Artanlığı ve teoremin (ii, iii) kısımlarını okura bırakıyoruz. Bu f(x) = x n fonksiyonlarının el yordamıyla çizilen grafiği meraklısı için aşağıda ayrı ayrı gösterilmiştir. (Matematikçiler grafikleri her zaman el yordamıyla çizerler...) Teorem 3.9.ii ye göre, eğer n > 0 tek bir tamsayıysa, sadece a > 0 için değil, her a R için a /n sayısını X n = a denkleminin biricik çözümü olarak tanımlayabiliriz. Ama o zaman tehlikelere maruz kalırız, örneğin: = ( ) /3 = ( ) 2/6 = (( ) 2 ) /6 = /6 =. Bu yüzden negatif tamsayıların kökü alınmaz, alınırsa da hesaplarda dikkatli olunur. Kesirli olmayan gerçel sayılara irrasyonel ya da kesirli olmayan gerçel sayılar adı verilir. Örneğin 2 kesirli bir sayı değildir. Daha genel bir olgu doğrudur. Önsav 3.0. k > 0 bir tamsayı ve a N olsun. Eğer a bir doğal sayının k inci gücü değilse a /k kesirli bir sayı olamaz.

48 40 3. Kesirli Üsler ve Kökler Kanıt: Tam tersine, a /k sayısının kesirli olduğunu varsayalım ve n, m > 0 tamsayıları için, a /k = n/m yazalım. Gerekirse sadeleştirerek, n ve m tamsayılarının birbirine asal olduklarını varsayabiliriz. Yukardaki eşitliğin her iki tarafının da k inci gücünü alarak, a = n k /m k, yani am k = n k elde ederiz. Bu eşitlikten, m yi bölen her asalın n yi de bölmek zorunda olduğu çıkar. n ve m birbirine asal olduklarından, m = çıkar. Teorem 3.. İrrasyonel sayılar R de yoğundurlar, yani herhangi iki değişik gerçel sayı arasında irrasyonel bir sayı vardır. Kanıt: a < b iki gerçel sayı olsun. Teorem 2.3 e göre, a 2 < q < b 2 eşitsizliklerini sağlayan bir q kesirli sayısı vardır. Şimdi q/ 2 irrasyonel bir sayıdır (yoksa 2 rasyonel, yani kesirli olurdu) ve a ve b arasındadır. Örnekler 3.2. p ve q iki pozitif kesirli sayı olsun. Her n > doğal sayısı için n p n q (n + ) p (n + ) q < eşitsizliğini kanıtlayın. Kanıt: Gerekirse p ve q sayılarının yerlerini değiştirerek p > q > 0 varsayımını yapabiliriz. O zaman payda pozitif olur ve n p n q < (n+) p (n+) q eşitsizliğini kanıtlamamız gerektiğini anlarız. Bu son eşitsizlik n q (n p q ) < (n + ) q ((n + ) p q ) eşitsizliğine ve dolayısıyla ( ) q n p q n + < ((n + ) p q ) n eşitsizliğine denktir. Bu son eşitsizliği kanıtlayalım: ( ) q n p q < (n + ) p q n + < ((n + ) p q ). n İstediğimiz kanıtlanmıştır Yeterince büyük n doğal sayıları için n i= /i n eşitsizliğini kanıtlayın. Kanıt: Aklımıza ilk gelen yöntem tümevarım olmalı. Eşitsizlik n = için doğru ama n = 2 için yanlış. Hatta n = 3, 4, 5, 6 için de yanlış. Ama n = 7 için doğru. n = 7 den başlayarak tümevarımla kanıtlamaya çalışalım. n 7 olsun ve eşitsizliğin n için doğru olduğunu varsayıp n + için kanıtlayalım. n+ i= i = n i= i + n + n + n +

49 3.2. Bazı Basit Sonuçlar 4 olduğundan, n + n + n + eşitsizliğini kanıtlamak yeterli. Bu eşitsizlikle eşitsizliği ve n + n + n n + n n + eşitsizliği eşdeğer. Ama n + n = n + + n olduğundan, bu son eşitsizliği kanıtlamak için n + + n n + eşitsizliğini kanıtlamak yeterli. Öte yandan, n + + n n + + n + = 2 n + eşitsizliğinden dolayı, bu en son eşitsizliği kanıtlamak için 2 n + n + yani 2 n + eşitsizliğini kanıtlamak yeterli, ki n 3 doğal sayıları için bunu elbette biliyoruz. 3.2 Bazı Basit Sonuçlar İlerde karşılaşacağımız bazı basit sonuçları bu altbölümde toparlıyoruz. Okur, ruh haline göre, ya bu sonuçları kanıtlarına bakmadan tek başına kanıtlamaya çalışmalıdır ya da tam tersine, şimdilik atlayıp gerektiğinde geri dönmelidir. Matematiğe yeni başlayanlara (ruh hallerinden bağımsız olarak) birinci seçeneği öneririz. Önsav 3.2. Her k doğal sayısı için 0 k > k olur. Kanıt: k üzerine tümevarımla kanıtlayacağız. k = 0 için, Bir de k = için kanıtlayalım: k = 0 < = 0 0 = 0 k. k = < 0 = 0 = 0 k. Şimdi k olsun ve 0 k > k eşitsizliğinin geçerli olduğunu varsayalım. Elbette 0 k k + olur. Hesap vakti geldi: 0 k+ = 0 0 k > 0 k k +. (Son eşitsizlik, kanıtın başında teoremi neden k = 0 ve k = için kanıtladığımızı göstermektedir.)

50 42 3. Kesirli Üsler ve Kökler Sonuç 3.3. Her ϵ > 0 gerçel sayısı için öyle bir N doğal sayısı vardır ki, her n > N doğal sayısı için, 0 n < ϵ olur. Kanıt: N, /ϵ dan büyük bir doğal sayı olsun (Arşimet Özelliği). O zaman, 0 N > N > /ϵ yani 0 N < ϵ olur. Dolayısıyla her n > N için, 0 n < 0 N < ϵ olur. Önsav 3.4. Her k doğal sayısı ve her r gerçel sayısı için, + r + r r k = rk+ r. Kanıt: S = + r + r r k olsun. Bu sayıyı r ile çarpalım: rs = r( + r + r r k ) = r + r r k+. Şimdi S yi ve rs nin bu ifadelerini altalta yazalım: S = + r + r r k rs = r + r 2 + r r k+, ve birbirinden çıkaralım. r, r 2,..., r k ifadeleri sadeleşir ve geriye sadece ve r k+ kalır: S rs = r k+, yani ( r)s = r k+ bulunur. Buradan da S bulunur. Alıştırmalar 3.4. Önsav 3.4 ü k üzerine tümevarımla kanıtlayın n n 2 eşitsizliği hangi n doğal sayıları için doğrudur? n n 2 eşitsizliği hangi n doğal sayıları için doğrudur? n n 3 eşitsizliği hangi n doğal sayıları için doğrudur? n n 3 eşitsizliği hangi n doğal sayıları için doğrudur?

51 3.3. Bernoulli-vari Eşitsizlikler Bernoulli-vari Eşitsizlikler Sonuçlarımızı üç bölüme ayıracağız. Birinci Bölüm. Bu altbölümde, ilerde sık sık başvuracağımız meşhur (Jacob) Bernoulli eşitsizliğini ve bu eşitsizliğin türevlerini kanıtlayacağız. Önsav 3.5 (Bernoulli). Eğer s 0 ise, her n doğal sayısı için, olur. ( + s) n + ns Kanıt: Binom açılımından doğrudan çıkar: ( ) n ( + s) n = + ns + s s n + ns. 2 Önsav kanıtlanmıştır. Bundan daha genel bir sonuç doğru: Önsav 3.6 (Bernoulli). Eğer s > ise, her n doğal sayısı için olur. ( + s) n + ns Kanıt: n üzerine tümevarımla kanıtlayacağız. Eğer n = 0 ise, kanıtlayacağımız eşitsizlik, eşitsizliğine dönüşüyor ki bunun doğru olduğu belli. Şimdi eşitsizliğin n için doğru olduğunu varsayıp n + için kanıtlayalım. + s > 0 olduğundan, (+s) n+ = (+s) n (+s) (+ns)(+s) = +(n+)s+ns 2 +(n+)s. Savımız kanıtlanmıştır. Önsav 3.7. Eğer r < ise, her n doğal sayısı için, ( r) n nr olur. Kanıt: Önsav 3.6 da s = r almak yeterli. Birazdan yukardaki sonucu doğal sayılardan kesirli sayılara genelleştireceğiz (Sonuç 3.22). Önsav 3.8. Her p kesirli sayısı ve x 0 gerçel sayısı için eşitsizliği geçerlidir. + px ( + x) p

52 44 3. Kesirli Üsler ve Kökler Kanıt: a b > 0 doğal sayıları için p = a/b olsun. Demek ki + ax b ( + x)a/b yani ( + ax b ) b ( + x) a eşitsizliğini kanıtlamalıyız. Her iki tarafı da açarsak, kanıtlamak istediğimizin, b ( ) b a i x i i b i a ( ) a x i i eşitsizliği olduğunu görürüz. Sağ tarafta her biri pozitif olan daha çok terim olduğundan, her i = 0,,..., b için, ( ) b a i i b i ( ) a i eşitsizliğini kanıtlamak yeterli. Bu eşitsizlik i = 0 için doğru. Şimdi eşitsizliğin i için doğru olduğunu varsayıp (tümevarım varsayımı), eşitsizliği i + için kanıtlayalım. Tümevarım varsayımını kullanarak, ( b ) a i+ i + b i+ = ( ) b b i i i + ai b i a b = ( ) a i + = i + ( ) b a i i a i b i i + a b = b i b i i + a b ( ) a b i i + ( ) a b i i a i a b i + a b ( ) a i + eşitsizliğini elde ederiz. (En sondaki eşitsizlikte a b varsayımını kullandık.) Önsav kanıtlanmıştır. İkinci Bölüm 2. Bu bölümde yukarda kanıtladığımız numaralı sonuçları çok daha şık bir biçimde bir defa daha kanıtlayacağız ama ayrıca kitabın en sonundaki ekte (sayfa 362 ta) x R iken a x sayısını tanımlamamızda çok yararlı olacak olan Sonuç 3.20 yi kanıtlayacağız. (Daha önce a x sayısını sadece x Q iken tanımlamıştık.) Dileyen okur bu bölümü okuduktan sonra doğrudan kitabın sonundaki eke gidip x R iken a x sayısının tanımını görebilir. Dileyen okur ise üs almayı tanımlamak için ikinci cildi bekleyebilir; nitekim ikinci ciltte üs almayı çok daha genel bir teorem kanıtlayarak tanımlayacağız. Önsav 3.9. Eğer x 0 ve n N ise (n + )x n nx n+ olur ve eşitlik sadece x = için mümkündür. 2 Bu ikinci bölümdeki sonuçlar ve zarif kanıtları için Yusuf Ünlü ye müteşekkiriz.

53 3.3. Bernoulli-vari Eşitsizlikler 45 Kanıt: Oldukça kolay ama zekice bir hesap: ( ) n (n + )x n nx n+ = nx n (x ) + (x n ) = (x ) nx n + x i n n = (x ) (x i x n ) = (x ) x i (x n i ) n = (x ) 2 n i x i x j j=0 0. Ayrıca en sondaki eşitsizlik ancak x = ise eşitliğe dönüşebilir. (Eğer x = 0 ise, i = j = 0 durumu en alttaki ve sağdaki parantezin 0 olmasını engelliyor.) Önsav kanıtlanmıştır. Sonuç Eğer x 0 ve 0 p < q iki kesirli sayıysa olur. x p p < xq q Kanıt: Önermeyi önce p ve q doğal sayıları için kanıtlayalım. q = p + için kanıtlamak yeterli. Ama bu da Önsav 3.9 dan hemen çıkar: Şimdi p ve q iki kesirli sayı olsun. p ve q nün paydalarını eşitleyerek, n < m ve r doğal sayıları için, p = n/r, q = m/r yazabiliriz. y = x r alarak, y n n < ym m eşitsizliğini kanıtlamamız gerektiğini görürüz, ki bunu da bir önceki paragrafta kanıtlamıştık. Sonuç 3.2 (Bernoulli). 0 < p kesirli bir sayı ve x gerçel bir sayı olsun. Eğer p ise + px ( + x) p olur. Eğer p < ise + px ( + x) p olur. Kanıt: a = + x 0 olsun. Eğer p ise Sonuç 3.20 den, x = a < ap p = ( + x)p p bulunur ve bu da istediğimizi verir. Eğer p < ise, gene Sonuç 3.20 den, ( + x) p p bulunur ve bu da istediğimizi verir. = ap p < a = x

54 46 3. Kesirli Üsler ve Kökler Daha önce oldukça ilkel yöntemlerle ve çıplak elle kanıtlanmış olan 3.5, 3.6, 3.7 ve 3.8 numaralı sonuçlarımız yukardaki önsavdan hemen çıkar 3. Kanıtları okura alıştırma olarak bırakıyoruz. Şimdi Önsav 3.7 yi genelleştirebiliriz: Önsav Her p kesirli sayısı ve her 0 < x gerçel sayısı için eşitsizliği geçerlidir. px ( x) p Kanıt: a = x olsun. Sonuç 3.20 ye göre x = a ap p = ( x)p p olur ve sonuç bundan çıkar 4. Üçüncü Bölüm. Bu bölümdeki iki sonuç, ilerde, Bölüm 0 da exp fonksiyonunu tanımladığımızda gerekecek. Önsav Her n > 0 için, 2 ( + /n) n 3 olur. Kanıt: Önsav 3.6 da s = /n alırsak, 2 ( + /n) n eşitsizliğini buluruz. Diğer eşitsizlik daha zor. Dikkatli bir hesap yapmak gerekiyor. Yapalım. n = ve n = 2 için kolay. n 3 için: ( + n) n = n ( ) n n i n i = + i= n n n = + n n n i + n i! i= n [ ( = + ) n < + i= n i= n(n ) (n i + ) i! ( i n n i ) ] < + i! n 2 i < + 2 j = + /2n /2 < + /2 = 3. j=0 Önsav n > 0 ve x > 0 için, ( + x n n i= ) n < ( + x n+) n+. 3 Önsav 3.9 u ve bu çok şık sonuçlarını işaret eden Yusuf Ünlü ye çok teşekkür ederim. 4 Bu kitabın ilk basımında bu önsavın Görkem Özkaya tarafından bulunan son derece yaratıcı ve olağanüstü güzellikte ama iki sayfa uzunluğunda bir kanıtını vermiştik. Yukarda verdiğimiz ve ilk basımda bulunmayan bu sade ve zarif kanıt Yusuf Ünlü nün. Görkem Özkaya nın kanıtını üzülerek kaldırmak zorundayım. i!

55 3.4. Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği I 47 Kanıt: Önsav 3.8 e göre, + x n = + n + n x n + < ( + x ) n+ n n + olur. Alıştırma < k, n N olsun. ( + k ) n ( + k ) kn n kn eşitsizliğini kanıtlayın ve bu eşitsizlikten hareketle eşitsizliğini kanıtlayın. ( + k ) n [( + ) n ] k n n 3.4 Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği I Bu ve bundan sonraki altbölüm bu kitapta ve sonraki ciltlerde çok esaslı bir biçimde kullanılmayacağından, ilk okumada, kanıtlanan sonuçlar şöyle bir bakıldıktan sonra atlanabilir. Öte yandan, çok basit yöntemlerle son derece şaşırtıcı ve güçlü sonuçlar kanıtlayacağımızı da söyleyelim 5. a ve b sayılarının aritmetik ortalaması, a + b 2 olarak tanımlanır; geometrik ortalaması da, ab olarak. Negatif sayıların geometrik ortalaması alınmaz, sayıların 0 dan büyükeşit olmaları istenir. Bu iki ortalama arasında meşhur bir eşitsizlik vardır: Teorem Her a, b 0 için, (AG) ab a + b 2 olur ve eşitlik sadece a = b için geçerlidir. 5 Bu ve bundan sonraki altbölüm için büyük ölçüde, okura da hararetle tavsiye edeceğimiz [SCY] kitabından yararlanılmıştır.

56 48 3. Kesirli Üsler ve Kökler Bunu kanıtlayalım. Önce şu kanıtın yanlış olduğunu belirtelim: Her iki tarafın da karesini al, paydaları eşitleyip yap, sol tarafı sağ tarafa geçir; böylece yani 0 a 2 + b 2 2ab, 0 (a + b) 2 elde ederiz. Bu son eşitsizlik de doğru olduğundan ilk eşitsizliğimiz de doğrudur. Bu akıl yürütmenin yanlış olmasının nedeni, kanıtlanacak önermeden hareket ederek doğru bir önerme elde etmenin bir kanıt yöntemi olamayacağındandır, çünkü yanlış bir önermeden yola çıkılarak da doğru bir önerme elde edilebilir. Örneğin 0 = eşitliğinden yola çıkalım. 0 = ise, = 0 dır elbette. Bu iki eşitliği altalta yazıp toplayalım: = elde ederiz. Bu dediklerimizden 0 = eşitliğinin doğru olduğu anlaşılmaz elbette. Ama doğru olduğunu bildiğimiz bir önermeden, örneğin, 0 (a + b) 2 önermesinden yola çıkarak ab a+b 2 önermesini (kanıtta bir hata yapmadan) elde edersek, o zaman gerçekten de bu son eşitsizliği kanıtlamış oluruz. Teorem 3.25 in Birinci Cebirsel Kanıtı: Yukarda verdiğiniz yanlış kanıtı ters çevirmek gerekir. 0 (a b) 2 = a 2 + b 2 2ab olduğundan, her iki tarafa da 4ab ekleyerek 4ab a 2 + b 2 + 2ab = (a + b) 2 elde ederiz. Her iki tarafın karekökünü alıp 2 ye bölersek istediğimiz eşitsizliği elde ederiz. Bu arada kanıtın ilk satırındaki eşitsizliğin, ancak ve ancak a = b ise eşitlik olabileceği gözönüne alınırsa, ikinci önerme de kanıtlanmış olur. Teorem 3.25 in İkinci Geometrik Kanıtı 6 : Bir diküçgende dik köşeden indirilen yükseklik, hipotenüsü, aşağıdaki şekildeki gibi a ve b uzunluğunda iki doğru parçasına bölsün. 6 Bu kanıt bu kitaptaki aksiyomatik yaklaşımımızla hiç uyum sağlamıyor. Bu kanıtı bir parantez olarak algılayın lütfen.

57 3.4. Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği I 49 M, BC nin orta noktası olsun. Düzlem geometrisinden, AH 2 = ab ve AM = BM = a + b 2 eşitliklerini biliyoruz. Ayrıca AH AM eşitsizliğini de biliyoruz. Bu üç olgudan (AG) eşitsizliği kolayca çıkar. (AG) eşitsizliğinde a yerine a 2, b yerine b 2 yazarsak ve her iki tarafı da 2 yle çarparsak, 2ab a 2 + b 2 elde ederiz. (Bu eşitsizlik elbette (AG) siz de kanıtlanır!) Her iki tarafa a 2 + b 2 eklersek a 2 + b 2 + 2ab 2(a 2 + b 2 ), yani yani (AG ) (a + b) 2 2(a 2 + b 2 ), ( ) a + b 2 a2 + b 2 2 buluruz. Ayrıca bu son eşitsizlikten (AG) yi elde etmek de zor değildir. Demek ki (AG) ve (AG ) eşitsizlikleri birbirine denktir. (AG) yerine (AG ) eşitsizliğinin daha kullanışlı olduğu durumlar vardır. Örneklerde göreceğiz. Teorem 3.25 in Üçüncü Kanıtı 7 : (AG) eşitsizliğine denk olduğunu bildiğimiz (AG ) eşitsizliği, aşağıdaki şekilden de görüldüğü üzere, f(x) = x 2 fonksiyonun dışbükeyliğinden de çıkar. 2 7 Bu kanıtta da dışbükeylik gibi henüz tanımlamadığımız ama ikinci ciltte tanımlayacağımız geometrik bir kavram kullanacağız. Bu kanıt da bir parantez olarak algılanmalı.

58 50 3. Kesirli Üsler ve Kökler Bu da (AG) eşitsizliğinin üçüncü kanıtını verir. Örnekler 3.0. Çevresi verilmiş bir sabit olan tüm dikdörtgenler arasında, alanı en büyük olanın kare olduğunu kanıtlayın. Kanıt: Sabit çevreye p diyelim. Kenarlar a ve b olsun. Demek ki a + b = p/2 ve alan ab ye eşit. (AG) ye göre, ( ) 2 a + b ( p ) 2 p 2 Alan = ab = = olur ve ancak a = b ise eşitlik olur. Bundan da en büyük alanın a = b iken meydana çıktığı ve bu alanın p 2 /6 olduğu anlaşılır. İkinci Kanıt: Bu kanıt (AG) yi kullanmadığı gibi başka bir bilgi de kullanmaz. Sabit çevre p, kısa kenar a, büyük kenar b olsun. Demek ki Buradan bir x 0 sayısı için, a p 4 b ve a + b = p 2. a = p 4 x ve b = p 4 + x çıkar. Dolayısıyla ( p ) ( p ) ab = 4 x 4 + x = p2 6 x2 olur. Bundan da ab nin maksimum değerine x = 0 iken ulaştığı ortaya çıkar: x = 0 ve a = b = p/ Alanı verilmiş bir sabit olan tüm dikdörtgenler arasında, çevresi en küçük olanın kare olduğunu kanıtlayın. Kanıt: Aynen yukarıdaki birinci kanıttaki gibi. Tekrarlamıyoruz Bir diküçgenin dik kenarlarının uzunluklarının toplamının 2 defa hipotenüsün uzunluğunu geçemeyeceğini kanıtlayın. Kanıt: Dik üçgenin kenarları a, b ve c olsun. Hipotenüsün uzunluğu c olsun. (AG ) eşitsizliğine göre, ( ) (a + b) 2 2 a + b = a2 + b 2 = c ve (a + b) 2 2c 2 olur. Buradan da istenen çıkar x, herhangi bir pozitif sayı olsun. x + /x sayısı en az kaç olabilir? α > 0 bir gerçel sayıysa, min{x + /x : 0 < x α} kaçtır? Yanıt: (AG) eşitsizliğini a = x ve b = /x için uygularsak, x + /x sayısının en az 2 olacağı çıkar. 2 değeri de x = /x, yani x = için elde edilir. Demek ki α ise, ikinci sorunun yanıtı da aynı: Minimum değer x = için elde edilir ve minimum değer 2 dir. Şimdi α < varsayımını yapalım. Kolay bir hesapla kanıtlanacağı üzere x + /x fonksiyonu (0, α] aralığı üzerine azalır. Demek ki minimum değer x = α iken elde edilir ve bu minimum değer α + /α dır.

59 3.4. Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği I a ve b pozitif sayılar olmak üzere, ( a + ) 2 ( + b + ) 2 a b ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulun. Eğer a + b = kısıtlaması yapılırsa, en küçük değer ne olur? Yanıt: Eğer kısıtlama yoksa, yanıt bir önceki sorudan dolayı 4+4 = 8 çıkar ve bu sonuç a = b = için elde edilir. Bundan böyle a + b = kısıtlaması altında çalışalım. İfade, a ve b değişkenleri açısından simetrik olduğundan, eğer en küçük değer (a, b) tarafından alınırsa, aynı değer (b, a) tarafından da alınır. Buradan da en küçük değerin, a = b, yani a = b = /2 olduğunda aldığı düşünülebilir. (Bu durumda ifadenin değeri 25/2 olur, 8 den daha büyük elbette.) Aşağıdaki şekilde (a, b) düzlemi üzerinde, a + b = eşitliğini sağlayan noktalar kümesi olan AB doğru parçasını ve AB ye dik olarak da sorudaki ifadenin aldığı değerleri göstermeye çalıştık. Elbette a ya da b sayıları 0 a yaklaştıkça ifade büyür. Şekilde minimum tam ortada, a = b = /2 olarak gözüküyor, ama böyle olmayabilir tabii. Gerçek şekil aşağıdaki gibi de olabilir. Ama herhalde birincisi daha akla yakın geliyor. Nitekim öyle de. Birinci Çözüm: (AG) ye göre, a+b = olduğunda, ab en fazla /4 değerini aldığından (o da a = b = /2 olduğunda), sorudaki ifadeyi ab cinsinden ifade etmenin iyi bir fikir

60 52 3. Kesirli Üsler ve Kökler olduğu düşünülebilir. Yanlış değil. Öyle yapalım: ( a + ) 2 ( + b + ) 2 = (a a ) + (b b ) a b 2 2 ( ) = (a 2 + b 2 a 2 + b 2 ) = ( 2ab) + a 2 b 2 = 5 2ab + 2ab (ab) 2. ( 2ab a 2 b 2 ) + 4 En sondaki ifadede a ve b sadece ab olarak beliriyor. Dikkat edilirse, ab ne kadar büyük olursa, en sondaki ifade o kadar küçük oluyor. Dolayısıyla ifade en küçük değerini ab nin en büyük değerinde alabilir: ab = /4 iken. Dolayısıyla, ( a + a ) 2 + ( b + b ) 2 = 5 2ab + 2ab a 2 b = ( 4 ) + 2 ( ) 4 ( ) 2 4 = = 3 2 = 25 2 olur ve 25 değeri a = b = iken alınır. 2 2 İkinci Çözüm: Fikir gene aynı: x = a + ve y = b + olsun. a b (AG ) eşitsizliğini x ve y için yazalım: ( x + y ) 2 x 2 + y Ama ( x + y = a + ) ( + b + ) = a + b + a + b = + a b ab ab. Demek ki x 2 + y 2 2 ( x + y 2 ) 2 ( + ) 2 = 2 ab. 2 En sağdaki ifade en küçük değerini ab en büyükken (/4 iken) alır ve eşitlik a = b = /2 iken sağlanır. Sonuç gene 25/2 çıkar a ve b pozitif sayılar olmak üzere, ( a + ) ( b + ) a b ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulun. Eğer bir de ayrıca a + b = kısıtlaması yapılırsa, en küçük değer ne olur? Yanıt: Hiç kısıtlama yoksa, en küçük değer 2 2 = 4 olur elbette ve bu değer de a = b = iken alınır. Bundan böyle a + b = kısıtlaması yapalım. ( a + ) ( b + ) = ab + ab a b + ab + ba = ab + ab + a2 + b 2 ab = ab + ab + 2ab = ab + 2 ab ab 2 eşitliğinden dolayı, ab + 2 ab

61 3.4. Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği I 53 ifadesinin aldığı en küçük değeri bulmalıyız. Ama bu sefer ab sayısı (0, /4] aralığında değişiyor çünkü ab ((a + b)/2) 2 = /2 2 = /4 ve bu değere iken ulaşılır. (AG) den dolayı, a = b = /2 ab + 2 ab 2 ab 2 ab = 2 2 ve eşitlik ancak ab = 2/ab, yani ab = 2 ise doğru olur. Ama bizim ilgilendiğimiz ab değerleri en fazla /4 olabilirler. x + 2/x fonksiyonunun (0, ) aralığında azaldığını kanıtlamak zor değil; demek ki x + 2/x fonksiyonu (0, /4] aralığında minimum değeri x = /4 için alır ve bu minimum değer /4 + 8 = 33/4 olur. Sonuç olarak, a + b = ve a, b 0 kısıtlaması altında, ( a + ) ( b + ) a b = ab + 2 ab = 25 4 olur ve minimum 25/4 değerine a = b = /2 iken ulaşılır a ve b pozitif sayılar olmak üzere, ( a + ) ( b + ) b a ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulun. Eğer bir de ayrıca a + b = kısıtlaması yapılırsa, en küçük değer ne olur? Yanıt: İfadeyi açalım: ( a + ) ( b + ) = ab + b a ab = 4. Eşitlik ancak ab = /ab ise, yani ab = ise geçerlidir. Öte yandan eğer a + b = kısıtlaması yaparsak, ab = olamaz, ab en fazla /4 olabilir ve bu da ancak a = b = /2 iken olabilir. x + /x fonksiyonu den ve /4 ten önce azalan olduğundan, ( a + ) ( b + ) b a = ab + ab = 25 4 olur ve minimum 25/4 değerine a = b = /2 iken ulaşılır Pozitif a, b ve c sayıları için, (a + b)(b + c)(c + a) 8abc eşitsizliğini kanıtlayın. Kanıt: Bu soru artık son derece basit olmalı, (AG) yi üç defa uygulamak yeterli Pozitif a ve b sayıları için, a + bx 4 x 2 ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulun. Yanıt: y = x 2 alırsak, a/y + by ifadesinin y > 0 iken alabileceği en küçük değeri bulmak yeterli. İfadenin alabileceği en küçük değer (AG) ye göre 2(ab)/2 dir ve bu en küçük değer y = (a/b) /2 için alınır. Demek ki x = (a/b) /4 olmalı a, b, c 0 için aşağıdaki eşitsizliği kanıtlayın. Eşitliğin ancak a = b = c için gerçekleşeceğini gösterin: (AG 3) (abc) /3 a + b + c. 3

62 54 3. Kesirli Üsler ve Kökler Kanıt: a, b, c yerine a 3, b 3, c 3 alarak, a 3 + b 3 + c 3 3abc 0 eşitsizliğini kanıtlamanın (gerekli ve) yeterli olduğu görülür. Çarpanlarına ayırarak soldaki ifadenin pozitif olduğunu kanıtlayacağız. Soldaki ifadede a yerine X koyarsak, polinomunu elde ederiz. p(x) = X 3 + b 3 + c 3 3Xbc p ( b c) = 0 eşitliğinin doğru olduğunu kontrol etmek kolay. Demek ki X + b + c polinomu p(x) polinomunu böler. Bölmeyi yapalım: p(x) = (X + b + c)(x 2 (b + c)x + b 2 bc + c 2 ) buluruz. Şimdi a da değerlendirirsek, a 3 + b 3 + c 3 3abc = p(a) = (a + b + c)(a 2 (b + c)a + b 2 bc + c 2 ) = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ab bc ca) = (a + b + c)((a b)2 + (b c) 2 + (c a) 2 ) 2 elde ederiz. Bu da istediğimizi kanıtlar. Eşitliğin ancak a = b = c iken doğru olduğuna da dikkatinizi çekeriz x > 0 olmak üzere x + /x 2 ifadesinin alabileceği minimum değeri bulun. x > 0 olmak üzere x 2 + /x ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulun. Kanıt: AG yi uygulamak bir işe yaramıyor. AG 3 ü uygulamanın bir yolu var: x + x 2 = x 2 + x 2 + x x 2 x 2 x = 3 2 ve eşitlik ancak x = 2 /3 ise geçerli. İkinci soru birincisiyle aynı: İlk soruda y = /x almak yeterli Aynı çevreye sahip üçgenler arasında, en büyük alan hangi üçgen tarafından elde edilir? Yanıt: Ünlü Heron formülünü kullanacağız: Bir üçgenin kenarları a, b ve c uzunluğundaysa ve p çevre uzunluğunun yarısıysa, o zaman alan, A = p(p a)(p b)(p c) 2 2/3 olur. (AG 3) e göre, ( A 2 (p a) + (p b) + (p c) = (p a)(p b)(p c) p 3 ( ) 3 ( ) 3 3p (a + b + c) 3p 2p = = = p olur ve eşitlik ancak p a = p b = p c, yani a = b = c ise geçerlidir. Demek ki en büyük alanı veren üçgen eşkenar üçgen olmalı. ) 3

63 3.4. Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği I a, a 2, a 3, b, b 2, b 3 0 altı sayı olsun. 3 (a + b )(a 2 + b 2)(a 3 + b 3) 3 a a 2a b b 2b 3 eşitsizliğini kanıtlayın. Kanıt: İki kez (AG 3) ü uygulayarak aşağıdaki hesabı yapalım: (a + b )(a 2 + b 2 )(a 3 + b 3 ) = a a 2 a 3 + b b 2 b 3 + (a a 2 b 3 + a b 2 a 3 + b a 2 a 3 ) +(a b 2 b 3 + b a 2 b 3 + b b 2 a 3 ) a a 2a 3 + b b 2b a 2 a2 2 a2 3 a bb2b a 2a 3b 2 b2 2 b2 3 ( = 3 a a 2 a ) 3 b b 2 b 3. İstediğimiz kanıtlanmıştır. Eşitliğe hangi koşullarda erişildiği sorusunu okura bırakıyoruz. Aşağıdaki alıştırmalar lise seviyesinde bir kitap olan [BB] dendir ve bu altbölümde yapılanların zorluğunu yansıtamayacak kadar kolaydırlar. Alıştırmalar Her a, b > 0 için 2 /a + /b ab eşitsizliğini kanıtlayın a b > 0 ve c > d > 0 olsun. Eğer a/d = b/c ise a = b ve c = d eşitliklerini kanıtlayın Her a, b, c için a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca eşitsizliğini kanıtlayın Her a, b için (a 2 ± b 2 )(a 4 ± b 4 ) (a 3 ± b 3 ) 2 eşitsizliğini kanıtlayın Eğer ab 0 ise (a 2 b 2 ) 2 (a b) 4 ve eğer ab 0 ise (a 2 b 2 ) 2 (a b) 4 eşitsizliklerini kanıtlayın Eğer a + b 0 ise a 3 + b 3 a 2 b + ab 2 eşitsizliğini kanıtlayın a, b, c, d 0 olsun. c ve d kesirli sayılar olsun. a c+d + b c+d z c b d + a d b c eşitsizliğini kanıtlayın. Eşitlik hangi durumlarda geçerli olur? (c = d = durumu ilginç.) a, b, c, d 0 olsun. Eğer a/b c/d ise a b a + c b + d c d eşitsizliklerini gösterin Cauchy-Lagrange Eşitsizliği. Basit cebirle (a 2 +b 2 )(c 2 +d 2 ) = (ac+bd) 2 +(bc ad) 2 eşitliğini gösterin. Buradan, (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) (ac + bd) 2 eşitsizliğini kanıtlayın. Bu eşitsizlik ne zaman eşitlik olabilir? Cauchy-Lagrange Eşitsizliği. (a 2 + a a 2 3)(b 2 + b b 2 3) (a b + a 2 b 2 + a 3 b 3 ) 2 eşitsizliğini kanıtlayın Cauchy-Lagrange Eşitsizliği. ( n ) ( n ) ( i= a2 i i= a2 i n ) 2 i= aibi eşitsizliğini kanıtlayın.

64 56 3. Kesirli Üsler ve Kökler 3.5 Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği II Bir önceki altbölümdeki (AG) eşitsizliğini iki sayıdan n sayıya genelleştireceğiz. Önce temel tanımları verelim. a,..., a n 0 olsun. Bu sayıların aritmetik ortalaması, A n (a) = a + + a n n sayısıdır. Geometrik ortalaması ise, G n (a) = (a a 2 a n ) n sayısıdır. Bu iki ortalama arasında çok meşhur bir eşitsizlik vardır: Geometrik ortalama aritmetik ortalamayı aşamaz! n = için bariz olan ve n = 2 ve 3 için geçen altbölümde kanıtladığımız bu eşitsizliği bu altbölümde her n doğal sayısı için kanıtlayıp çeşitli uygulamalarını vereceğiz. Teorem Her a,..., a n 0 için, (AG n ) (a a 2 a n ) n a + + a n n olur. Ayrıca eşitlik sadece ve sadece a =... = a n ise geçerlidir. Birinci Kanıt: Önce (AG 2n) eşitsizliğini n üzerine tümevarımla kanıtlayacağız. Eğer n = 0 ise kanıt bariz, ne de olsa (AG ), a = a diyor. Kanıtı çok kolay olan n = durumunu geçen yazımızda ele almıştık. Şimdi n olsun. (AG 2 n) eşitsizliğini varsayalım ve (AG 2 n+) eşitsizliğini kanıtlayalım. 2 n+ tane pozitif sayı alalım: a,..., a 2 n, b,..., b 2 n. (AG 2 n) den dolayı (a a 2 a 2 n) /2n a + + a 2 n 2 n, (b b 2 b 2 n) /2n b + + b 2 n 2 n eşitsizlikleri geçerlidir. Bunları taraf tarafa çarparsak, (a a 2 nb b 2 n) /2n a + + a 2 n b + + b 2 n 2 n 2 n elde ederiz. (AG 2 ) yi kullanarak sağ tarafı büyütelim: ( ) a + +a a + + a 2 n b + + b 2 n b + +b 2 n 2 2 n 2 2 n 2 n n 2 + n 2 2 ( ) a + + a 2 n + b + + b 2 2 n =. 2 n+

65 3.5. Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği II 57 Son iki eşitsizlikten, ( a + + a (a a 2 nb b 2 n) /2n 2 n + b + + b 2 n 2 n+ buluruz. Her iki tarafın da karekökünü alırsak, istediğimiz eşitsizliğe ulaşırız. Eşitliğin ne zaman olacağını da (tümevarımla) anlayabiliriz. Eşitsizliğe kanıt boyunca, bir defa (AG 2 ) yi, bir defa da (AG 2 n) yi kullanarak olmak üzere tam iki kez başvurduk. (AG 2 n+) de eşitliğin olması için kanıtta kullanılan her iki eşitsizliğin de eşitlik olması gerekir. (AG 2 n) yi kullandığımızda eşitliğin olması için (tümevarım varsayımına göre), a =... = a 2 n ve b =... = b 2 n. eşitliklerinin geçerli olması gerekir. (AG 2 ) yi kullandığımızda eşitliğin olması için, a + + a 2 n 2 n = b + + b 2 n 2 n eşitliğinin geçerli olması gerekir. Sonuç: (AG 2 n+) de eşitliğin geçerli olması için a =... = a 2 n = b =... = b 2 n. eşitliklerinin geçerli olması gerektiği anlaşılır. Böylece (AG 2 n) eşitsizliğini her n doğal sayısı için kanıtlamış olduk. Şimdi eğer (AG n+ ) doğruysa, (AG n ) nin de doğru olduğunu kanıtlayacağız. Bu da, yukardaki sonuç sayesinde, (AG n ) formülünün her n için doğru olduğunu kanıtlayacak. a,..., a n ) 2 sayılarını alalım. olsun. a n+ = a + + a n n a,..., a n, a n+ sayılarına (AG n+ ) eşitsizliğini uygulayalım: (a a 2 a n a n+ ) /n+ a + + a n + a n+. n + Bu eşitsizlikte a n+ yerine değerini koyalım: ( ) a + + a n n+ a + + a n + a + +a n a a 2 a n n n n +

66 58 3. Kesirli Üsler ve Kökler elde ederiz. Her iki tarafı da düzenleyerek, (a a 2 a n ) n+ n n+ (a + + a n ) n+ a + + a n n elde ederiz. Eşitsizliğin sol tarafındaki en sağdaki ifadeyi eşitsizliğin sağ tarafına geçirelim: (a a 2 a n ) n+ n n+ (a + + a n ) n+ n elde ederiz. Her iki tarafın da n + inci kuvvetini alırsak, a a 2 a n n (a + + a n ) n n n+ = (a + + a n ) n/n+ n buluruz. Gerisi kolay. Solda paydada bulunan n yi solda paydada bulunan n ile sadeleştirirsek ve her iki tarafın da n inci kökünü alırsak, dilediğimiz, (a a 2 a n ) /n a + + a n n eşitsizliğini buluruz. Eşitliğin ne zaman doğru olduğuna bakalım. Kanıt boyunca eşitsizlik sadece bir defa peyda oldu. O eşitsizliğin de eşitlik olması için a =... = a n = a n+ olmalı. Demek ki a =... = a n olmalı. İkinci Kanıt: n üzerine tümevarımla kanıtlayacağız. n = için önerme bariz. Şimdi (AG n ) yi varsayıp (AG n+ ) i kanıtlayalım. a,..., a n, a n+ sayılarını seçelim. Bu sayıların en büyüğünü en sona koyduğumuzu varsayalım, yani a n+ diğer bütün sayılardan büyükeşit olsun. A n = a + + a n n tanımını yapalım. A n+ benzer biçimde tanımlansın. O zaman, A n+ = a + + a n + a n+ n + = na n + a n+ n + olur. a n+ sayısı diğer tüm a i sayılarından büyükeşit olduğundan, elbette a n+ A n

67 3.5. Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği II 59 olur. Demek ki bir b 0 sayısı için, a n+ = A n + b olur. Yukardaki eşitlikten devam edecek olursak, A n+ = na n + a n+ n + = na n + A n + b n + = A n + b n + eşitliğini buluruz. Sol ve sağ tarafların n + inci kuvvetini alıp (ve en son eşitsizlikte tümevarım varsayımını kullanıp), ( A n+ n = A n + A n+ n + b ) n+ ( ) n + = A n+ n + A n b n n + n + + ( ) n + A n b n n + = An+ n + A n nb = A n n(a n + b) = A n na n+ (a a n )a n+ = a a n a n+ elde ederiz. Bu da kanıtlamak istediğimiz eşitsizlikti. Eşitliğin doğru olması için b = 0 ve (tümevarım varsayımına göre), a = a 2 =... = a n olmalı. Bu ikisinden a = a 2 =... = a n = a n+ çıkar. Üçüncü Kanıt: a i yerine b n i yazarak, kanıtlamak istediğimiz eşitsizliği, nb b n b n + + b n n şekline sokalım. n = için eşitlik var. Şimdi eşitsizliği n için varsayıp n + için kanıtlayalım. n + tane pozitif sayısı seçelim. b, b 2,..., b n, b n+ (n + )b b n b n+ b n+ + + b n+ n + b n+ n+ eşitsizliğini kanıtlamak istiyoruz. İki tarafı da bn+ sayısına bölüp c i = b i b n+

68 60 3. Kesirli Üsler ve Kökler tanımını yaparsak, kanıtlamak istediğimiz eşitsizlik, (n + )c c n c n+ + + c n+ n + şekline bürünür. Ama tümevarım varsayımını, sayılarına uygularsak, c (n+)/n,..., c (n+)/n n n(c c n ) (n+)/n + = nc (n+)/n c (n+)/n n + c n+ + + c n+ n + eşitsizliğinin geçerli olduğunu görürüz. Demek ki, eşitsizliğini kanıtlamak yeterli. tanımını yaparak, (n + )c c n n(c c n ) (n+)/n + x = (c c 2 c n ) /n (n + )x n nx n+ + eşitsizliğini kanıtlamamız gerektiği anlaşılır. Ama bu da Önsav 3.9 da kanıtlanmıştı. Gene aynı önsava göre, eşitlik ancak c c 2 c n = x = ve (tümevarım varsayımını kullanarak) c = c 2 =... = c n ise, yani, c = c 2 =... = c n = ise, yani, b = b 2 =... = b n = b n+ ise yani, a = a 2 =... = a n = a n+ ise geçerlidir. Teorem bir kez daha kanıtlanmıştır. Örnekler Toplamı, verilmiş bir t sayısı olan n pozitif gerçel sayının çarpımı en fazla kaç olabilir? Yanıt: r + r r n = t ise, (AG n ) den dolayı ( r + + r ) n n t n r r n = n n n olur ve eşitlik ancak r = r 2 =... = r n = t/n ise geçerlidir.

69 3.5. Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği II a,..., a n > 0 sayıları verilmişse, a + a2 + + an + an a 2 a 3 a n a sayısı en fazla kaç olabilir? Yanıt: (AG n ) den dolayı olur ve eşitlik ancak a + a a n + a n n a 2 a 3 a n a = a 2 =... = a n a 2 a 3 a n ise geçerlidir. Bu orana r dersek, eşitlik ancak, ise, yani ise, yani r = ve ise geçerlidir Nesbitt Eşitsizliği. a, b, c > 0 ise a ( a a 2 a 2 a 3 an a n = a n a a = ra 2, a 2 = ra 3,..., a n = ra n, a n = ra a = ra 2 = r 2 a 3 =... = r n a n = r n a a = a 2 = a 3 =... = a n = a n a b + c + b c + a + c a + b 3 2 olur. Kanıt: Alıştırma 3.35 e göre x/y + y/x 2 olur. Demek ki ) a n = n a a + b b + c + b + c a + b + a + c c + b + c + b a + c + b + a a + c + a + c b + a = 6. Bunu şöyle yazalım: ( a + b b + c + a + c ) ( c + b + c + b a + c + b + a ) ( b + c + a + c a + b + a + c ) = 6, b + a yani yani 2a b + c + + 2b c + a + + 2c a + b + 6, a b + c + b c + a + c a + b 3 2. Görüldüğü gibi eşitsizlik konusu hiç de kolay değil. Neyse ki bu kitaplarda eşitsizliklerle çok işimiz olmayacak a ve b pozitif sayıları için, n+ ab n a + nb n + eşitsizliğini kanıtlayın. Ne zaman eşitlik olabilir? Kanıt: Eşitsizlik (AG n+ ) den hemen çıkar. Eşitlik ancak a = b ise mümkündür x n = ( ) + n ve z n n = ( ) n olsun. Her 0 n N için x n n < x n+ ve z n < z n+ eşitsizliklerini kanıtlayın. Kanıt: Önceki problemde a = ve b = ± /n alırsak, ( ± ) n < + n ( ) ± n n n + n+ = ± n + buluruz. Her iki tarafın da n + inci kuvvetini alırsak istediğimiz çıkar.

70 62 3. Kesirli Üsler ve Kökler y n = ( ) + n+ olsun. Her 0 n N için y n n+ < y n eşitsizliğini kanıtlayın. Kanıt: Bir önceki probleme göre z n+ < z n+2 olduğundan, aşağıdaki hesaplar istenen sonucu verir: y n = ( + n ) n+ = ( ) n+ n + = ( n n n+ ) n+ = ( n+ ) n+ = z n+. İstediğimiz kanıtlanmıştır a,..., a n pozitif sayılarsa ( (a + + a n ) + + ) a a n sayısı en az kaç olabilir? Yanıt: (AG n+) i her iki parantez için de uygularsak yanıtın n 2 olduğunu hemen görürüz. Eşitlik ancak a =... = a n ise mümkündür Her n > doğal sayısı için, ( ) n n + n! < 2 eşitsizliğini kanıtlayın. Kanıt: (AG n) yi uygulayalım: ( ) ( n (n+)n ) n ( ) n n 2 n + n! = 2 n = =. n n 2 İstediğimiz kanıtlanmıştır Her n > doğal sayısı için, 2 n n! n n < 3 eşitsizliğini kanıtlayın. Kanıt: (AG n) yi uygulayarak ya da bir önceki soruyu kullanarak 2 n n! n n < ( n + n ) n buluruz. Demek ki, ( ) n n + 3 n eşitsizliğini göstermek gerekiyor. İşte bu son eşitsizliğin kanıtı: ( ) n ( n + = + ) ( ) n n n ( ) n = n n i n = + + n i i n i i=2 n n! = 2 + i!(n )! n = 2 + n n(n ) (n (i )) i n i i! = i=2 n i=2 n i=2 ( n n i! 2 + ) ( 2 n i=2 i=2 ) 2 < 2 + i ( i n i= ) i! 2 i = 3.

71 3.5. Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği II x + x 2 + x 3 + /x 6 ifadesinin x > 0 için alabileceği en küçük değeri bulun. Yanıt: (AG 4) ü uygulayalım: x + x 2 + x 3 + ( ) /4 x 4 xx 2 x 3 = 4. 6 x 6 Ve eşitlik ancak x = ise mümkündür. Dikkat: Eğer soru x+x 2 +2/x 3 ifadesinin alabileceği en küçük değeri bulun şeklinde olsaydı (AG 3 ) ü uygulayarak en küçük değeri bulamazdık, çünkü x = x 2 = 2/x 3 denklemlerinin çözümü yoktur. x + x 2 + 2/x 3 ifadesinin alabileceği en küçük değerin bu yöntemle bulunabileceğini sanmıyorum x 2 + 2/x 3 ifadesinin x > 0 için alabileceği en küçük değeri bulun. Yanıt: (AG 5 ) i uygulayalım: x x = x x2 3 + x2 3 + x + ( ) x 2 3 x 5 x 2 x 2 /5 = x 3 x 3 3 3/5 buluruz. Eşitlik ancak x 2 /3 = 2/x 3 ise, yani x = 6 /5 ise mümkündür x + x 2 + /64x 4 ifadesinin x > 0 için alabileceği en küçük değeri bulun. Bu en küçük değere hangi x tarafından ulaşlılır? Yanıt: (AG 4 ) ü uygulamaya çalışalım: x + x x = x x 2 + x2 + ( ) /4 ( ) /4 x 64x 4 x x2 = 4 =. 64x Şimdilik in sadece altsınır olduğunu biliyoruz; henüz e ulaşabileceğimizi bilmiyoruz. x/2 = x 2 = /64x 5 denklemlerinin bir çözümü olduğundan (x = /2, şansımız yaver gitti!) gerçekten en küçük değerdir ve bu en küçük değere x = /2 ile ulaşılır x + x /x 5 ifadesinin x > 0 için alabileceği en küçük değeri bulun. Bu en küçük değere hangi x tarafından ulaşılır? Yanıt: (AG 4) ü uygulamaya çalışalım: x + x x = x + x x ) (x x 4 x2 x 2 /4 64 = 4 (6) /4 = x 5 Şimdilik 8 in sadece altsınır olduğunu biliyoruz; henüz 8 e ulaşabileceğimizi bilmiyoruz. x = x 2 /2 = 64/x 5 denklemlerinin bir çözümü olduğundan (x = 2, şansımız gene yaver gitti!) 8 gerçekten en küçük değerdir ve bu en küçük değere x = 2 ile ulaşılır. Eğer hesaplara x + x x = x + x x x 5 eşitliğiyle başlamak yerine, x + x x = x x 3 + x 3 + x x 5 eşitliğiyle başlasaydık, başarıya ulaşamazdık çünkü x/3 = x 2 /2 = 64/x 5 denklemlerinin bir çözümü yoktur. Yani şansın yaver gitmesi için doğru ayrıştırmayı yapmak lazım, ama her şeyden önce doğru ayrıştırmanın olması lazım. Bir sonraki soruyu çözmek çok daha zor x + 2x 2 + /(2x 4 ) ifadesinin x > 0 için alabileceği en küçük değeri bulun. Bu en küçük değere hangi x tarafından ulaşılır?

72 64 3. Kesirli Üsler ve Kökler Yanıt: (AG 4) ü uygulamaya çalışalım: 3x + 2x 2 + 2x = 6 x x x 4 ( ( x 2 ) 6 ( x 2 2 ) 4 ) / = 2x 4 2. x/2 = x 2 /2 = /(2x 4 ) denklemlerinin bir çözümü olduğundan (x =, şans hep bizden yana!) /2 gerçekten en küçük değerdir ve bu en küçük değere ulaşmak için x = alınmalı a, a 2, a 3, a 4 0 sayıları için ( a a 2 2a 3 3a 4 a + 2a 2 + 3a 3 + 4a ) 0 eşitsizliğini kanıtlayın. Kanıt: Çok kolay Aşağıdaki eşitsizliği kanıtlayın: ( ) n(n+)/ n <. n n + Kanıt: (AG n(n+)/2 ) yi kullanmak yeterli: ( 4 4 n = n ) ( 3 3 ) ( 3 n ) n 2 2 ( n 2 3 n n ( = Aşağıdaki eşitsizliği kanıtlayın: n n(n + )/2 ) n(n+)/2 = ( 2 n + ( ) n(n+)/ n n 2n +. 3 Kanıt: (AG n(n+)/2 ) yi kullanmak yeterli: ) n ) n(n+)/2. ( ) n(n+)/ n n n n n(n + )/2 ( ) n(n+)/2 ( ) n(n+)/2 n(n + )(2n + )/6 2n + = =. n(n + )/ a,..., a n, toplamı s olan n tane pozitif sayı olsun. eşitsizliğini kanıtlayın. ( + a )( + a 2 ) ( + a n ) + s! + s2 2! + + sn n!

73 3.6. R nin Biricikliği 65 Kanıt: (AG n) yi kullanacağız: ( n ) i= ( + ai) n ( n + n i= ( + a )( + a 2 ) ( + a n ) = ai n n ( = + s ) n ( ) n n s i = n i n i n n! s i = i!(n i)! n = n i n i = n ( n ) ( 2 n ) n n(n ) (n (i )) ) ( i n ) s i n i! < s i i! s i i!. İstediğimiz kanıtlanmıştır. Not: Bunun özel bir durumu olarak, a =... = a n = s/n alırsak, elde ederiz. ( + s ) n s + n! + s2 2! + + sn n! Her 0 n N için, n 2n n + eşitsizliğini kanıtlayın. Kanıt: Sol tarafın 2 n inci kuvvetini alıp (AG) yi uygulayalım: ( n ) 2 (2 i ) /2i i= n ) 2 n n ( n = (2 i ) 2n i i= 2n i 2 i 2 n i= ( n ) 2 n ( ) i= = 2n n2 n 2 n = (n + ) 2n < (n + ) 2n. 2 n 2 n İstediğimiz kanıtlanmıştır. Alıştırmalar Eğer q,..., q k 0 kesirli sayılarının toplamı ise, her x,..., x k 0 gerçel sayıları için eşitsizliğini gösterin. q x + + q k x k x q x q k k Eşitsizlikler matematiğin ve özellikle analizin önemli konularından biridir. İkinci ciltte bu konuya özel bir bölüm ayıracağız. Daha fazla bilgi isteyen okur [BB, St, MOD, Lee, Cv, HLP] kaynaklarına başvurabilir. 3.6 R nin Biricikliği İlk okuyuşta atlanabilecek bu altbölümde ikinci bir gerçel sayı sisteminin daha olmadığını kanıtlayacağız, daha doğrusu, eğer (R, +,, <, 0, ) ve (R, +,, <, 0, )

74 66 3. Kesirli Üsler ve Kökler yapıları kitabın en başında verilen 6 aksiyomu (önermeyi) sağlıyorsa, o zaman bu iki yapı birbirine çok benzerler, sadece elemanların ve işlemlerin adları değişiktir, mesela biri İngilizce diğeri Türkçe olabilir (birinde iki artı üç beşse diğerinde two plus three five olur), ama yapıların özünde birbirinden hiçbir farkı yoktur; R ceden ile R ceye ve R ceden R ceye tercüme yapmamızı sağlayan iki sözlük aradaki farkı yok eder. Aşağıdaki teoremde bu dediğimizi matematiksel olarak ifade edeceğiz. Teorem (R, +,, <, 0, ) ve (R, +,, <, 0, ) yapıları kitabın en başında verilen 6 aksiyomu sağlayan iki yapı olsun. O zaman her x, y R için a. f(x + y) = f(x) + f(y), b. f(x y) = f(x) f(y), c. x < y x < y, d. f(0) = 0, e. f() = önermelerini sağlayan bir f : R R eşlemesi vardır. Ayrıca ilk iki önermeyi sağlayan bir f : R R eşlemesi zorunlu olarak son üç önermeyi de sağlar ve böyle bir eşlemeden sadece bir tane vardır. Kanıt: Her iki yapı da 6 aksiyomu sağladığından ve bu aşamaya kadar kanıtladığımız teoremlerin kanıtları sadece bu 6 aksiyomu (ve matematiğin genel aksiyomlarını elbette) kullandığından, bu teoremlerin her biri her iki yapı için de geçerlidir. Örneğin R için inşa ettiğimiz (N, +,, 0, ) doğal sayılar yapısının bir benzeri R yapısının içinde de vardır; bu yapıya (N, +,, 0, ) diyelim. Aynı şey Z ve Q için degeçerlidir, bunların da R yapısında muadilleri vardır. Onlara da Z ve Q adlarını verelim. Teoremde f eşlemesinden sadece bir tane olduğu söyleniyor. Demek ki f yi bulmak zor olmamalı. Matematikte biricik olan nesneleri pek aramaya gerek yoktur, onlar zaten sürekli ben buradayım, ben buradayım diyerek kendilerini belli ederler. Dolayısıyla kanıt zor değil, ama biraz zaman alıcı. İlk önce eğer f : R R eşlemesi ilk iki özelliği sağlıyorsa, bu eşlemenin ters eşlemesi olan f : R R eşlemesinin de ilk iki özelliği sağladığını kanıtlayalım. Nitekim x, y R olsun. f(f (x ) + f (y )) = f(f (x )) + f(f (y )) = x + y olduğundan, eşitliğin her iki tarafının f -imgesini alarak, f (x ) + f (y ) = f (x + y ) bulunur. Benzer şekilde her x, y R için, f (x ) f (y ) = f (x y )

75 3.6. R nin Biricikliği 67 eşitliği doğrudur. Bunları aklımızda tutalım. Şimdi ilk iki önerme bir f : R R fonksiyonu tarafından sağlanıyorsa, son üç önermenin de sağlandığını kanıtlayalım. Diyelim f : R R ilk iki önermeyi sağlıyor, yani toplamaya ve çarpmaya dağılıyor, matematikçi jargonuyla toplama ve çarpmayla uyumla, ya da toplamaya ve çarpmaya saygı duyuyor. (a) dan dolayı 0 + f(0) = f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0) doğru olduğundan, f(0) = 0 olmak zorundadır, çünkü sayfa 3 te kanıtlanan sadeleştirme özelliği, sadece R için değil, R yapısı için de geçerlidir. Benzer şekilde f() 2 = f() bulunur: f() = f( ) = f() f(). Demek ki f() ya 0 elemanına ya da elemanına eşit. Ama f() = 0 ise, f() = 0 = f(0) ve, f birebir olduğundan 0 = çıkar. Demek ki f() = olmalı. (d) ve (e) kanıtlandı. Şimdi (e) yi kanıtlayalım. Pozitif her elemanın gene pozitif, dolayısıyla 0 dan farklı bir karekökü olduğunu biliyoruz. 0 dan farklı elemanların karelerinin de pozitif olduğunu biliyoruz. Demek ki aşağıdaki önerme R de doğrudur: x < y z (z 0 y = x + (z z). Bir başka deyişle R de eşitsizliği toplama ve çarpma işlemleriyle ifade edilebiliriz. Aynı önermenin muadili R yapısında da doğrudur: x < y z (z 0 y = x + (z z). Ama f ve f eşlemeleri toplama ve çarpmayla uyumlu olduklarından, eğer bir z R için, z 0 y = x + (z z) önermesi doğruysa, bu önermeye f yi uygulayarak f(z) 0 f(y) = f(x) + (f(z) f(z)) önermesinin de doğru olduğu anlaşılır. Bundan da x < y ise f(x) < f(y) olduğu çıkar. Diğer istikamet benzer şekilde kanıtlanır çünkü bir önceki paragrafta f eşlemesinin de toplama ve çarpmayla uyumlu olduğunu kanıtladık. Şimdi sıra, toplama ve çarpmayla uyumlu bir f : R R eşlemesinin varlığını kanıtlamaya geldi. f nin biricikliğini kanıtın en sonunda kanıtlayacağız. f yi önce N den N kümesine gidecek biçimde tanımlayacağız. Ardından, bulduğumuz bu f : N N eşlemesini f : Z Z eşlemesine genişleteceğiz; daha sonra da bulduğumuz bu f : Z Z eşlemesini f : Q Q eşlemesine

76 68 3. Kesirli Üsler ve Kökler genişleteceğiz. Ardından Q nun R de yoğunluğunu kullanarak bulduğumuz bu son f : Q Q eşlemesini f : R R eşlemesine genişleteceğiz. Tabii her aşamada f nin toplama ve çarpmaya uyumlu olduğuna dikkat etmeliyiz. f(0) = 0 olsun ve n N için f(n + ) = f(n) + tanımını yapalım. Böylece f fonksiyonu tümevarımla tanımlanmış olur. Biraz haklı nedenlerden bu formülün gerçekten bir fonksiyon tanımladığından kuşku duyan okurlar için şu tanımı verelim (diğerleri bir sonraki paragrafa geçebilirler): Eğer bir X N N altküğmesi (0, 0 ) X ve (x, y) X (x +, y + ) önermesini sağlıyorsa, bu paragaraflık bu kümeye güzel küme adı verelim. Güzel kümelerin kesişimi gene güzeldir elbette ve N N güzel bir kümedir. Tüm güzel kümeleri kesiştirirsek en küçük güzel kümeyi elde ederiz. BVu en küçük güzel küme, yukarıda tanımlamaya çalıştığımız fonksiyonun grafiğidir. Böylece tanımlanan f fonksiyonunun birebir ve örten olduğu ve her x, y N için (a) ve (b) özelliklerini sağladığı kolaylıkla kanıtlanır, kanıtı daha fazla uzatmamak için ayrıntıları okura bırakıyoruz. Şimdi n N ise f( n) = f(n) tanımını yapalım. (Buradaki, R yapısındaki eksidir, yani aslında olarak yazılmalıydı.) Böylece f : N N eşlemesi f : Z Z eşlemesine genişler. Bu yeni tanımlanan f : Z Z eşlemesinin de toplama ve çarpmayla uyumlu olduğu kolaylıkla kanıtlanabilir. Okura bırakıyoruz. Şimdi de, n, m Z ama m 0 için f(n/m) = f(n)/f(m) tanımını yapalım. m 0 için f(m) 0 olduğundan eşitliğin sağındaki ifade anlamlıdır. Ama eşitliğin anlamlı olduğunu kanıtlamak için, n/m = p/q ise, f(n)/f(m) = f(p)/f(q) eşitliğini kanıtlamalıyız.

77 Kısım II Diziler 69

78

79 4. Yakınsak Gerçel Sayı Dizileri 4. Dizi Ta en başından, dizinin tanımından başlayalım. X herhangi bir küme olsun. X ten sırayla elemanlar seçelim: x 0, x, x 2, x 3,... İşte dizi böyle bir şeydir. Buna X-dizisi denir. Örneğin, 2, 2 3, 3 4, 4 5, 5 6,... bir Q-dizisidir, ve aynı zamanda bir R-dizisidir elbette. π, π 2, π 3, π 4, π 5,... ise bir R-dizisidir. (Her ne kadar π diye bir sayının varlığını tanımlamamışsak da, böyle bir gerçel sayının varlığı okurun kulağına kadar gelmiştir... Dileyen π yerine herhangi bir başka gerçel sayı da alabilir.) Bu bölümde sadece gerçel sayı dizilerini konu edeceğimizden R-dizisi yerine kısaca dizi diyeceğiz. Daha matematiksel olalım. Matematiksel olarak bir dizi (yani bir R-dizisi), doğal sayılar kümesi N den gerçel sayılar kümesi R ye giden bir x fonksiyonudur. Eğer n N ise, x in n de aldığı x(n) değeri yerine x n yazılır. Ayrıca, x fonksiyonu değerleriyle belirlendiğinden, x yerine (x n ) n yazılır: x = (x n ) n. Örneğin yukardaki /2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6,... dizisi, eğer tahmin edildiği gibi devam ediyorsa, ( ) n + n + 2 n

80 72 4. Yakınsak Gerçel Sayı Dizileri olarak yazılır. x n ye x dizisinin n inci terimi adı verilir. n ye de x n nin göstergeci ya da endisi denir. (Bu son tanımın şu tuhaflığı var: x n = x m ise x n nin göstergeci n midir yoksa m midir? Dolayısıyla bu bir tanım olamaz, bu tanım lafın gelişi ve muallakta kalınmadığından emin olunduğunda kullanılır.) Bazı dizilerin tanımında yapay bir tanım sorunu olabilir. Örneğin, x n = n(n 2) dizisi n = 0 ve 2 göstergeçleri için sorun yaşar. Bu durumda dizinin 3 ve daha büyük göstergeçler için tanımlandığı varsayılabiliriz, ya da bu dizi yerine, x n = (n + 3)(n + ) dizisini alabiliriz. Nitekim, ( ) ( = n(n 2) n 3 (n + 3)(n + ) ). n 0 Bu yöntemle sonlu sayıda göstergeçte tanımsız olan dizilerin her göstergeçte tanımlı olduklarını varsayabiliriz. Bir dizi aslında bir fonksiyon olduğundan, dizinin grafiğini de çizebiliriz. Aşağıda bir örnek verdik. Her terimi sabit bir a sayısı olan diziye sabit a dizisi adı verilir. Bu diziyi s(a) olarak göstereceğiz. Demek ki s(a) dizisi, a, a, a, a, a, a,... diye başlar ve aynen böyle devam eder. Sabit 0 dizisi ve sabit dizisi önemli sabit dizilerdendir. Kimi zaman bir dizi hemen değil ama zamanla sabitleşebilir, örneğin, b, c, b, a, a, a, a, a, a,... dizisi zamanla -dördüncü adımda- sabitleşen bir dizidir.

81 4.. Dizi 73 Dizilerden oluşan kümeyi D ile gösterelim. D kümesi üstüne toplama, çıkarma ve çarpma gibi standart işlemleri şöyle -en doğal biçimde, fonksiyonların toplamını, farkını, çarpımını tanımladığımız gibi- tanımlayabiliriz: (x n ) n + (y n ) n = (x n + y n ) n, (x n ) n (y n ) n = (x n y n ) n, (x n ) n (y n ) n = (x n y n ) n. Bunlara sırasıyla terim terim toplama, çıkarma ve çarpma denir, çünkü dizileri toplamak, çıkarmak ve çarpmak için aynı işlemi dizilerin terimleriyle yapıyoruz. Eğer her n için y n 0 ise bir diziyi (y n ) n dizisine terim terim bölebiliriz: (x n ) n /(y n ) n = (x n /y n ) n. s(0) sabit dizisi toplamanın, s() sabit dizisi de çarpmanın etkisiz elemanlarıdır elbette. s(0) ve s() yerine 0 D ve D de yazılabilir. Eğer x = (x n ) n D ise tanımını yapabiliriz. Alıştırmalar x = 0 D x = ( x n ) n 4.. Bir dizi tümevarımla tanımlanabilir. Örneğin eğer x0 sayısı verilmişse x n+ = x 2 n formülü bir dizi tanımlar. Eğer x 0 = 0 alırsak, 0,, 0,, 0,... dizisini elde ederiz. x 0 = /2 alarak bu dizinin ilk birkaç terimini bulun. Dizinin terimlerinin giderek ya 0 a ya da e yakın olduklarını gözlemleyin x 0 = 2 ve x n+ = x n olsun. Üstünde karekök düğmesi olan bir hesap makinası kullanarak (x n ) n dizisinin ilk 20 terimini hesaplayın. Ne gözlemliyorsunuz? Şimdi aynı şeyi x 0 = 0, 5 için yapın. x 0 için farklı değerlerle aynı işlemi yaptığınız zaman ne gözlemliyorsunuz? 4.3. Excel gibi bir yazılım kullanarak yukardaki dizinin ilk yüz terimini çeşitli x 0 değerleri için bulmaya çalışın. Özellikle x 0 =, 6803 ve x 0 =, 6805 için dizinin davranışını gözlemleyin x n+ = x 2 n + 3x n + olsun. x 0 = için diziyi bulun. Excel gibi bir yazılım kullanarak aynı soruyu x 0 = 0, 5 için yanıtlamaya çalışın. Dizinin terimlerinin 0,98, 0,555, 3,247 gibi sayıların civarında dolanıp durduklarını gözlemleyin x n+ = 6 /x n olsun. x 0 ı elbette 0 a eşit alamayız, yoksa x tanımlanmaz. Ama /6 ya da eşit alamayız, yoksa x 2 tanımlanmaz. x 0 = 6/35 olabilir mi? Bundan böyle x 0 = olsun. Her n için x n nin tanımlandığını ve x n 5 eşitsizliğini kanıtlayın; ayrıca x n 6 eşitsizliğini kanıtlayın. Excel gibi bir yazılımla dizinin ilk birkaç terimini

82 74 4. Yakınsak Gerçel Sayı Dizileri hesaplayın. Ne gözlemliyorsunuz? x = 6 /x denkleminin çözümüyle dizinin aldığı değerleri karşılaştırın. Gene x 0 = ve n için, x n+ x n xn xn 25 eşitsizliğini kanıtlayın Bazen bir diziyi tümevarımla tanımlamak için ilk iki terimi bilmek gerekebilir. Örneğin meşhur Fibonacci dizisi x n+2 = x n + x n+ ve x 0 = x = eşitlikleriyle tanımlanır. y n = x n+/x n olsun. y n+ = /y n + ve y 0 = eşitliklerini gözlemleyin. (y n) n dizisinin ilk birkaç terimini (örneğin Excel le) hesaplayın ve bu terimlerle y 2 y = 0 denkleminin pozitif kökü arasındaki ilişkiyi gözlemleyin. Her n için y n+ 2 eşitsizliklerini kanıtlayın. y n+ y n sayıları arasında bir önceki alıştırmadaki gibi bir eşitsizlik bulun s 0 ve x 0 0 sayıları verilmiş olsun. Her n 0 için x n+ = s + x n tanımını yapalım. Her x n nin bu formülle gerçekten tanımlandığını kanıtlayın. önermesini kanıtlayın. Bunu kullanarak önermesini kanıtlayın. x n+ x n x 2 n x n s x n+ x n x n+2 x n+ { α = max x 0, + } + 4s 2 olsun. α 2 α s 0 eşitsizliğini gözlemleyerek, her n için x n α eşitsizliğini kanıtlayın. (Bkz. Örnek 7.4.) 4.8. a 0 > 0 bir kesirli sayı olsun. Her n N için a n+ = a a n tanımını yaparak, çeşitli a (0, 2) kesirli sayıları için (a n ) n dizisinin büyük n ler için davranışını bulun. (Bir hesap makinası ya da Excel kullanın.) 4.2 Yakınsak Diziler Kesirli sayı dizileri bir sayıya giderek daha çok yaklaşabilirler. Örneğin girişte verdiğimiz 2, 2 3, 3 4, 4 5, 5 6,... örneğindeki dizi giderek daha çok e yaklaşır, yaklaşmaktan da öte (çünkü dizi 2 ye de yaklaşır) in burnunun dibine girer. Öte yandan, /2, /3, /4, /5,... kesirli sayı dizisi giderek daha fazla 0 ın burnunun dibine girer, 0 a yaslanır nerdeyse. Buna matematikte yakınsamak denir. Tanım. (x n ) n bir dizi ve a R olsun. Eğer her ϵ > 0 sayısı için, ( ) n > N x n a < ϵ önermesini sağlayan bir N doğal sayısı varsa, o zaman, (x n ) n dizisi (n sonsuza giderken) a ya yakınsar ya da a, (x n ) n dizisinin limitidir denir.

83 4.2. Yakınsak Diziler 75 Bir sayıya yakınsayan dizilere yakınsak denir. Yakınsak olmayan dizilere de ıraksak denir. Örneklere geçmeden önce bu önemli tanım üzerine biraz kafa yoralım. Bu tanımı özümsemek çok önemlidir. Okur, tanımın, sezgileriyle algıladığı yakınsama nın anlamını matematiksel olarak verdiğine ikna olmalıdır, dolayısıyla aşağıda yazılanları laf ebeliği olarak nitelemeyip dikkatle okumalıdır. Tanımın Tartışması. x n a < ϵ eşitsizliğiyle, x n (a ϵ, a+ϵ) önermesi birbirine denktir, nitekim Önsav..vi ya göre, x n a < ϵ ϵ < x n a < ϵ a ϵ < x n < a + ϵ x n (a ϵ, a + ϵ) denklikleri geçerlidir. Demek ki tanıma göre, (x n ) n dizisinin a ya yakınsaması için, her ϵ > 0 sayısı için öyle bir N doğal sayısı olmalı ki, N den büyük her n göstergeci için, x n (a ϵ, a + ϵ) olsun. Yani (x n ) n dizisi belli bir göstergeçten sonra (a ϵ, a + ϵ) aralığına düşmeli. Dolayısıyla bir dizinin limiti olmasında ilk birkaç terimin, örneğin ilk milyar terimin ne olduğu hiç ama hiç önemli değildir, önemli olan dizinin son kısmının, yani kuyruğu nun genel davranışıdır. Sonuç olarak, dizinin ilk terimleri yakınsamayı etkilemez. Örneğin, 2, 2 3, 3 4, 4 5, 5 6,... dizisi e yakınsıyorsa -ki yakınsıyor, daha sonra kanıtlayacağız bunu- o zaman, 9, 99, 3543, 2, 2 3, 3 4, 4 5, 5 6,... dizisi de e yakınsar. Nitekim verilmiş bir ϵ > 0 için birinci dizide N yeterliyse, aynı ϵ için ikinci dizide N + 3 yeterlidir. Bunun gibi 3 4, 4 5, 5 6, 7 8, 9 0,... dizisi de e yakınsar. Kanıtını ilerde vereceğimiz şu daha genel sonuç geçerlidir (bkz. sayfa 84).

84 76 4. Yakınsak Gerçel Sayı Dizileri Teorem 4.. Yakınsak bir dizinin sonlu sayıda terimini değiştirirsek ya da yakınsak bir diziye sonlu sayıda terim eklersek ya da yakınsak bir diziden sonlu sayıda terim çıkarırsak gene yakınsak bir dizi elde ederiz ve bu işlemlerle dizinin limiti değişmez; bir başka deyişle, iki dizinin kuyrukları aynıysa, yani belli A ve B doğal sayıları ve her n > A için, x n = y n+b ise, o zaman, (x n ) n ve (y n ) n dizilerinden biri yakınsaksa diğeri de yakınsaktır ve bu durumda her iki dizi de aynı sayıya yakınsarlar. Eğer belli bir ϵ 0 > 0 için (*) önermesini doğrulayan bir N sayısı bulmuşsak, bu ϵ 0 dan büyük ϵ lar için de (*) önermesi aynı N ile doğrudur. Örneğin, ϵ 0 = 0,00 için N = yetiyorsa, ϵ 0 dan daha büyük olan ϵ = 0,003 için de N = yeter. Dolayısıyla önermeyi asıl küçük ϵ lar için doğrulamak gerekir. Yani buradaki ϵ çok küçük (ama gene de pozitif) bir sayı olarak algılanmalıdır. Tanımdaki N sayısı, ϵ a göre değişir: ϵ küçüldükçe N yi daha büyük almak zorunda kalabiliriz. ϵ ne kadar küçükse, x n terimlerinin (a ϵ, a + ϵ) aralığına düşmesi zorlaşır ve gecikebilir. Örneğin, ϵ 0 = 0,00 için N = yetiyorsa, ϵ = 0,0000 için artık N = yetmeyebilir, N yi daha büyük, örneğin almak gerekebilir. Kısaca söylemek gerekirse, N, ϵ a göre değişir. N nin ϵ a bağımlı olduğunu görsel olarak göstermek için, kimileyin N yerine N ϵ yazılır. Elbette, eğer bir ϵ için, (*) önermesini sağlayan bir N ϵ doğal sayısı bulunmuşsa, bu N ϵ sayısından büyük N ler de (*) önermesini sağlarlar. Dikkat: Bir dizinin a ya yakınsaması için, amaç, verilmiş her ϵ > 0 için (*) önermesini sağlayan en küçük N doğal sayısını bulmak değildir. Böyle bir en küçük N doğal sayısı vardır elbette ama çoğunlukla bulması ya da ifade etmesi çok zordur (ve gereksizdir). Amaç, sadece (*) önermesini sağlayan bir N nin olduğunu bulmaktır. Bu önemli. Bir dizinin bir sayıya yakınsadığını kanıtlamak aslında bu yüzden zordur. ϵ verildiğinde, (*) önermesini doğrulayan

85 4.3. Limitin Biricikliği 77 tek bir N doğal sayısı olsaydı (rüyada mesela!), eminim kanıtlar çok daha kolay olurdu. Ama maalesef N yi seçmekte bayağı bir özgürlüğümüz var. İşte bu özgürlüktür çoğu zaman yaratıcılık gerektiren, analizi zorlaştıran ve heyecanlı kılan. Önemli bir nokta daha: Tanımda n > N yerine n N ve x n a < ϵ yerine x n a ϵ veya x n a < ϵ/2 de yazabilirdik, kavram değişmezdi. Bu, belki küçük bir ayrıntıdır, ama okurun neden böyle olduğunu anlamasında çok yarar vardır. Gerekirse saatlerini versin bu ince noktaya, değer çünkü. Birçok yakınsama örneği vereceğiz birazdan. Ama şimdi bir yakınsama kanıtına nasıl başlanacağını görelim. Diyelim (x n ) n sayı dizisinin a ya yakınsadığını göstermek istiyorsunuz. Demek ki her ϵ > 0 için bir şey kanıtlamanız gerekiyor. O zaman hemen rastgele bir ϵ > 0 sayısı seçin. Yani kanıtınız, ϵ > 0, herhangi bir pozitif sayı olsun sözleriyle başlamalıdır. Kanıtın bu birinci tümcesi yanlış olamaz. Şimdi, her n > N doğal sayısı için, x n a < ϵ eşitsizliğinin sağlandığı bir N doğal sayısı bulmaya çalışacaksınız. N yi kafadan atarak hemen bulmaya çalışmayın, genellikle başaramazsınız. x n a < ϵ eşitsizliğinin doğru olması için n nin en az kaç olması gerektiğini bulmak için x n a ifadesiyle oynamalısınız. Örneklerle her şey daha açık olacak. 4.3 Limitin Biricikliği İlk sonucumuz, bir dizinin limiti - eğer varsa - biricik olduğunu söyleyecek; yani bir dizi iki farklı sayıya yakınsayamaz. Önsav 4.2. Bir dizi en fazla bir sayıya yakınsayabilir. Yani bir dizinin en fazla bir limiti olabilir. Kanıt: Hem a hem de b sayılarına yakınsayan bir (x n ) n dizisi ele alalım. a = b eşitliğini kanıtlayacağız. Bunun için, eğer a b ise, (x n ) n dizisinin hem a ya hem de b ye aynı zamanda çok çok yakın olamayacağını kullanacağız elbette. Aşağıdaki şekil kanıtımızı resmediyor.

86 78 4. Yakınsak Gerçel Sayı Dizileri Yukardaki resimden izleyelim. a b eşitsizliğini varsayalım. ϵ = a b /2 olsun. (x n ) n dizisi a ya yakınsadığından, öyle bir N vardır ki, her n > N doğal sayısı için, x n a < ϵ eşitsizliği doğrudur. Aynı nedenden, öyle bir N 2 vardır ki, her n > N 2 doğal sayısı için, x n b < ϵ eşitsizliği doğrudur. Şimdi n hem N den hem de N 2 den büyük herhangi bir doğal sayısı olsun. Şu hesabı yapalım: a b = (a x n ) + (x n b) a x n + x n b = a x n + b x n < ϵ + ϵ = 2ϵ = a b, yani a b < a b. Bu da bariz bir çelişkidir, bir sayı kendinden küçük olamaz! Bu önsav sayesinde, eğer bir (x n ) n dizisi yakınsaksa, dizinin yakınsadığı sayıyı lim n x n olarak gösterme hakkını kazanırız. Bu sayıya (x n ) n dizisinin limiti adı verilir. Eğer bir (x n ) n dizisi a ya yakınsıyorsa, o zaman lim x n = a ya da x n a n yazılır. İnce ama gerekli bir ayrıntı: Buradaki simgesinin tek başına anlamı yoktur. Burada anlamı olan ve bir anlam verilen, lim x n = a n ifadesinin tümüdür ve bu, n sonsuza giderken (x n ) n dizisinin limiti vardır ve bu limit a dır ya da n sonsuza giderken (x n ) n dizisi a ya yakınsar/gider diye okunur.

87 4.4. Örnekler Örnekler İlerde örneklerimizi çoğaltacağız. Şimdilik en kolay örnekten başlayalım. Önsav 4.3. Sabit a dizisi a ya yakınsar. Daha genel olarak, zamanla sabitleşen bir dizi zamanla sabitleştiği sayıya yakınsar. Kanıt: (x n ) n dizisi zamanla sabitleşen bir dizi olsun. Yani belli bir göstergeçten sonra, diyelim M göstergecinden sonra dizi hep a olsun: Eğer n > M ise x n = a. Bu dizinin a ya yakınsadığını göstereceğiz. Rastgele bir ϵ > 0 sayısı seçelim. Şimdi, her n > N doğal sayısı için, x n a < ϵ eşitsizliğinin sağlandığı bir N doğal sayısı bulmaya çalışacağız. Ama N yi M almak yeterli. Nitekim, eğer n > M olursa, x n a = a a = 0 < ϵ olur. Önsav 4.4. lim n /n = 0. Kanıt: Herhangi bir ϵ > 0 gerçel sayısı alalım. Öyle bir N doğal sayısı bulmak istiyoruz ki, her n N için /n 0 < ϵ olsun, yani /n < ϵ olsun, yani /ϵ < n olsun, yani, [/ϵ] + n olsun. Burada [x], x in tamkısmıdır (bkz. sayfa 2.2). Eğer N = [/ϵ] + alırsak istediğimiz olur. Ne olur ne olmaz diye kontrol edelim. n > N olsun. O zaman, n < N = [/ϵ] + /ϵ = ϵ. Kanıtımız bitmiştir. Alıştırmalar 4.9. Aşağıdaki eşitlikleri kanıtlayın: lim n ( ) n n = 0, lim n n 2 = 0, lim n n+ = lim n x n = a ile lim n (x n a) = 0 önermelerinin eşdeğerliğini kanıtlayın. 4.. Her n için x n 0 olsun. Eğer lim n x n limiti varsa, eşitliğini kanıtlayın. ( ) /2 lim n x/2 n = lim x n n

88 80 4. Yakınsak Gerçel Sayı Dizileri Yakınsaklığın verdiğimiz tanımına bakılırsa, bir dizinin yakınsak olduğunu bilmek ve hatta kanıtlamak için dizinin limitini bilmek gerekiyor. İlerde dizinin limitini bilmeden de dizinin yakınsak olduğunu kanıtlamanın yöntemlerini bulacağız. Örneklerimize birkaç satır ara vererek araya önemli bir kavram ve sonuç sokuşturalım: Arşimet Cisimleri. R sıralı bir cisim olsun. Her 0 < ϵ R için, Nϵ > eşitsizliğini sağlayan bir N doğal sayısı varsa R ye Arşimet cismi adı verilir. Teorem 4.5. R bir Arşimet cismidir. Kanıt: Kanıt, kanıtlanmıştır. Önsav 4.4 ün kanıtında gizlidir. Ayrıca Teorem 2.7 olarak da Örnekler 4.2. Önsav 4.3 ün kanıtının neredeyse aynısı, lim n n 2 = 0 eşitliğini de kanıtlar: Bir ϵ > 0 için, aynen kanıttaki N yi seçelim: n 2 n < N < ϵ olur. Benzer şekilde lim n /2n = 0 eşitliği de kanıtlanır. Ayrıntıları okura bırakıyoruz. Benzer şekilde lim n /n! = 0 olur Biraz daha karmaşık bir limit alıştırması olarak, lim n n 3 n 2 + n 5 = 0 eşitliğini gösterelim. Eşitliğin doğruluğunu kanıtlamadan önce, eşitliğin neden olması gerektiğini anlayalım. n 3 n 2 + n 5 ifadesinin payı n 3 e eşit. Ama n çok büyük olduğunda, sondaki 3 ün esamesi bile okunmaz. Bir trilyonerin servetinden 3 lira eksilse ne çıkar ki!.. Bu yüzden n 3 yerine n yazabiliriz. Paydaya bakalım şimdi. Payda, n 2 +n 5 e eşit. Ama n çok büyük olduğunda, n 2, n den o kadar büyüktür ki, n 5 onun yanında çok küçük kalır. Dolayısıyla, n çok büyük olduğunda n 2 + n 5 yerine n 2 alabiliriz. Böylece paya n, paydaya n 2 yazarsak, n 3 n 2 + n 5 n n 2 = n elde ederiz. Bir Excel tablosu yaparak bu iki ifadenin büyük n ler için birbirine ne kadar yakın olduklarını görebilirsiniz. Yukarda yaptığımız tam bir matematiksel kanıt değil, şimdilik. Ama daha sonra (Bölüm 6 da) bu akıl yürütmeyi matematiksel bir kanıt haline dönüştüreceğiz. Her n doğal sayısı ve her r R için nr R elemanı n üzerine tümevarımla şöyle tanımlanır: 0r = 0 ve her n N için (n + )r = nr + r.

89 4.4. Örnekler 8 Limitin 0 olduğunu şöyle de tahmin edebilirdik. İfadenin her terimini n2 ye bölelim. n 3 /n 3/n2 = n 2 + n 5 + /n 5/n 2 elde ederiz. n çok büyük olduğunda, /n, 3/n 2 ve 5/n 2 terimleri o kadar küçük sayılardır ki (bunu biraz önce kanıtlamıştık), bu sayılar yerine 0 yazarsak fazla hata yapmış olmayız! Böylece, n 3 /n 3/n2 = n 2 + n 5 + /n 5/n = 0 elde ederiz. Bu da şimdilik pek matematiksel değil. (İlerde olacak ama.) Eşitliğini tanıma başvurarak kanıtlayalım: n 3 lim n n 2 + n 5 = 0. Her zamanki gibi pozitif bir ϵ > 0 sayısı seçerek başlıyoruz. Öyle bir N bulacağız ki, her n > N için, n 3 n 2 + n 5 0 ϵ olacak. Yani yukardaki eşitsizliğin doğru olması için n nin ne kadar büyük olması gerektiğini bulacağız. Soldaki ifadeyle oynayacağız. Soldaki ifadeyi büyüteceğiz ama bunu yaparken n yi büyüterek yeni ifadeyi dilediğimiz kadar küçültebileceğimize emin olacağız. Hesaplara başlıyoruz. Önce n yi 3 ten büyük alırsak hem pay hem de payda pozitif olur ve mutlak değer işaretinden kurtuluruz: n 3 n 2 + n 5 0 = n 3 n 2 + n 5. Eğer paydaki n 3 yerine n yazarsak daha büyük bir ifade buluruz elbet: n 3 n 2 + n 5 < n n 2 + n 5. Şimdi sağdaki ifadenin ϵ dan küçük olması için n nin ne kadar büyük olması gerektiğini bulacağız. Sağdaki ifadeyi büyütmeye devam ediyoruz, ama çok az büyüteceğiz. Eğer n yi 5 ten büyük alırsak, paydada da bulunan n 5 pozitif olur ve o n 5 i silersek payda küçüleceğinden ifade büyür: n n 2 + n 5 < n n 2. En sağdaki ifade /n ye eşit. Demek ki n yi, /n sayısı ϵ dan küçük olacak biçimde seçmek yeterli. Bunun da Arşimet Özelliği sayesinde mümkün olduğunu biliyoruz. Şimdi bir satırlık kanıtımızı yazabiliriz: ϵ > 0, herhangi bir kesirli sayı olsun. N > 5 sayısı < Nϵ eşitsizliğini sağlasın. Şimdi, her n > N için, n 3 n 2 + n 5 < n n 2 + n 5 < n n = 2 n < N < ϵ. Kanıtımız tamamlanmıştır r R ve q Q >0 iki sabit sayı olsun. lim n r/n q = 0 eşitliğini gösterelim. ϵ > 0 olsun. Yeterince büyük n ler için r/n q 0 < ϵ eşitsizliğinin, yani n > ( r /ϵ) /q eşitsizliğinin doğru olduğunu göstermek istiyoruz. N yi ( r /ϵ) /q sayısından büyük herhangi bir doğal sayı alırsak, bu N den büyük her n doğal sayısı için r/n q 0 < ϵ olur.

90 82 4. Yakınsak Gerçel Sayı Dizileri 4.5. (a n) n ve (b n) n iki dizi olsun. Şu varsayımları yapalım: a. Yeterince büyük n göstergeçleri için a n b n b. (b n) n dizisi e yakınsar. c. Her a < için öyle bir N vardır ki, her n > N için a a n. Bu durumda (a n ) n dizisinin e yakınsadığını kanıtlayın. Kanıt: ϵ > 0 olsun. (a) varsayımına göre, öyle bir N vardır ki, her n > N için a n b n olur. (b) varsayımına göre öyle bir N 2 vardır ki, her n > N 2 için b n < + ϵ/2 olur. (c) varsayımına göre öyle bir N 3 vardır ki, her n > N 3 için ϵ/2 a n olur. Şimdi N = max{n, N 2, N 3 } olsun. Her n > N için ϵ 2 < a n b n < + ϵ 2 ve dolayısıyla a n < ϵ olur A R ve x R olsun. Her ϵ > 0 için x a < ϵ eşitsizliğini sağlayan bir a A olduğunu varsayalım. O zaman x e yakınsayan bir A-dizisinin varlığını kanıtlayın. Kanıt: Her n > 0 için, x a n < eşitsizliğini sağlayan bir a n+ n A seçelim. (a n ) n dizisinin x e yakınsadığının kanıtını okura bırakıyoruz A, B R olsun. B nin her elemanının bir A-dizisinin limiti olduğunu varsayalım. Yakınsak her B-dizisinin limitinin bir A-dizisinin limiti olduğunu kanıtlayın. Kanıt: (b n ) n yakınsak bir B-dizisi olsun. Her n > 0 için b n ye yakınsayan bir A-dizisi vardır. Demek ki b n a n n eşitliğini sağlayan bir a n A vardır. (a n) n dizisinin lim n b n sayısına yakınsadığını kanıtlamayı okura bırakıyoruz. Alıştırmalar 4.8. Aşağıdaki eşitlikleri limitin tanımına başvurarak kanıtlayın. lim n x n = lim n x n, lim n 3n + 5 = 0, lim 2(n + ) 2 n 3n (n + ) 2 = 3 2, 3n 2 4n + 5 lim = n 3(2n + ) 2 4, lim 5n 2 4n + 5 = 5 n 2(3n 5) 2 6, lim n n = 4 n A R olsun. (a n ) n ve (b n ) n aynı noktaya yakınsayan iki dizi olsun. Şu varsayımları yapalım: her n için a n A ve b n, A nın bir üstsınırı. lim n a n = sup A eşitliğini kanıtlayın. Iraksak iki dizi örneği verelim. Örnekler x n = ( ) n olsun. (x n) n dizisi şöyle başlar:,,,,,,,... ve böyle devam eder. Bu dizinin limiti yoktur, çünkü a ne olursa olsun, ϵ sayısını e eşit alırsak, her n için, ya x 2n a ϵ ya da x 2n+ a ϵ olur (bkz. aşağıdaki şekil); demek ki dizinin limiti a olamaz.

91 4.4. Örnekler Yakınsamayan bir başka dizi örneği: 0,, 2, 3, 4, 5,... diye başlayan ve y n = n kuralıyla tanımlanan dizidir, çünkü a ne olursa olsun, ϵ = ise, her n > [a] + 2 için, y n a ϵ olur (bkz. aşağıdaki şekil) ve dizi herhangi bir sayıya yakınsayamaz. Yakınsaklığın tanımı üzerinde biraz daha duralım çünkü yakınsaklığın ve benzer kavramların tanımını anlayıp özümsemek matematik eğitiminin aşağı yukarı üçte birini teşkil eder. Limitin tanımını şöyle değiştirebiliriz: Tanım. (x n ) n bir dizi ve a R olsun. Eğer her m > 0 doğal sayısı için, ( ) n > N x n a < m önermesini sağlayan bir N doğal sayısı varsa, o zaman, (x n ) n dizisi (n sonsuza giderken) a ya yakınsar ya da a, (x n ) n dizisinin limitidir denir. Bu tanımla eskisinden farklı bir kavram elde edilmez. Birinci tanımla (x n ) n dizisinin limiti a ise, ϵ = /m alarak, bu ikinci tanımla da (x n ) n dizisinin limitinin a olduğunu görürüz. Şimdi, (x n ) n dizisinin limitinin bu ikinci tanıma göre a olduğunu varsayalım. ϵ > 0 herhangi bir sayı olsun. m doğal sayısı, mϵ > eşitsizliğini sağlasın (Arşimet Özelliği, Teorem 2.7) ve N yi (**) önermesi m için doğru olacak şekilde seçelim. O zaman, her n > N için, x n a < m < ϵ olur. Daha genel bir sonuç aşağıdaki Alıştırma 4.25 te bulunabilir. Örnek Eğer A R üstten sınırlıysa ve a = sup A ise, terimleri A da olan ve a ya yakınsayan bir dizi vardır. Dilersek bu diziyi artan (yani bizim terminolojimizle azalmayan) seçebiliriz. Kanıt: Her m > 0 doğal sayısı için, a /m < a olduğundan, a /m sayısı A nın üstsınırı değildir. Demek ki A da a /m < a m a eşitsizliklerini sağlayan bir a m noktası vardır. Demek ki a m a = a a m < /m ve her n > m için a n a < /n < /m olur. Yukardaki yakınsaklık tanımındaki (**) formülünde N = m almak yeterli. Şimdi de dizinin artan (yani azalmayan) olarak seçilebileceğini gösterelim. Eğer a A ise sabit a dizisi işimizi görür. Bundan böyle a A varsayımını yapalım. a i yukardaki paragrafta olduğu gibi seçtikten sonra a m+ A terimini m üzerine tümevarımla, a min{/m, a a m} < a m+

92 84 4. Yakınsak Gerçel Sayı Dizileri eşitsizliği doğru olacak biçimde seçelim. O zaman, olur. a m = a (a a m ) a min{/m, a a m } < a m+ Son olarak Teorem 4. i kanıtlayalım. Teorem 4. in Kanıtı: (x n ) n ve (y n ) n kuyrukları aynı olan iki dizi olsun. Bu iki diziden ilk birkaç terimi atarak her ikisini de aynı (z n ) n dizisine dönüştürebiliriz. Demek ki (x n ) n dizisinden ilk birkaç terimi attığımızda elde edilen (z n ) n dizisinin yakınsaklığının ve yakınsaksa limitinin değişmediğini göstermemiz gerekiyor. Belli bir A doğal sayısı için z n = x n+a olsun. a, (x n ) n dizisinin limiti olsun. Bir ϵ > 0 sayısı alalım. N sayısı, her n > N için, x n a < ϵ eşitsizliğini sağlayacak biçimde seçilmiş olsun. O zaman, n > N için, n+a > N olduğundan, z n a = x n+a a < ϵ olur. Benzer yöntemle, yakınsak bir (z n ) n dizisinin başına terimler ekleyerek elde edilen (x n ) n dizisinin de yakınsak olduğunu ve limitin değişmediğini kanıtlayabiliriz. Verilen tanıma göre, bir dizinin yakınsak olduğunu kanıtlamak için dizinin limitini bilmek gerekir. İlerde dizinin limitini bilmeden de dizinin yakınsak olduğunu kanıtlamanın yöntemlerini bulacağız. Alıştırmalar A R sonlu bir küme olsun. Her n N için, x n A olsun. (x n ) n dizisinin yakınsak olması için dizinin zamanla sabitleşmesi gerektiğini kanıtlayın Her n N için, x n Z olsun. (x n ) n dizisinin yakınsak olması için dizinin zamanla sabitleşmesi gerektiğini kanıtlayın (e n ) n, 0 a yakınsayan bir dizi olsun. (x n ) n bir dizi ve a R olsun. Eğer her m > 0 doğal sayısı için, n > N x n a < e m önermesini sağlayan bir N doğal sayısı varsa, o zaman (x n) n dizisinin a ya yakınsadığını kanıtlayın (x n) n dizisi yakınsaksa ve a R ise (ax n) n dizisinin de yakınsak olduğunu ve lim ax n = a lim x n n n eşitliğini kanıtlayın (x n) n, 0 a yakınsayan bir diziyse ve her n göstergeci için y n x n ise, (y n) n dizisinin de 0 a yakınsadığını kanıtlayın Eğer (x n) n yakınsak bir diziyse, ( x n ) n dizisinin de yakınsak olduğunu ve lim x n = lim x n n n eşitliğini kanıtlayın. Bunun tersi doğru mudur? Eğer (x n) n dizisi 0 a yakınsıyorsa ( x n ) n dizisinin de 0 a yakınsadığını gösterin.

93 4.4. Örnekler (x n) n, yakınsak bir dizi olsun ve her n göstergeci için a x n olsun. a lim n x n eşitsizliğini kanıtlayın. Her n için a < x n eşitsizliğine rağmen a = lim n x n eşitliğinin olabileceğini gösterin (x n) n ve (y n) n, aynı sayıya yakınsayan iki dizi olsun. z 2n = x n ve z 2n+ = y n olsun. (z n) n dizisinin de aynı sayıya yakınsadığını kanıtlayın (x n) n ve (y n) n, iki farklı sayıya yakınsayan iki dizi olsun. {x n : n N} {y n : n N} kesişiminin sonlu olduğunu kanıtlayın lim n x n = 0 lim n x n = 0 eşdeğerliğini kanıtlayın (x n ) n yakınsak bir dizi ve { xn eğer n tekse y n = eğer n çiftse x n+ olsun. (y n ) n dizisinin de yakınsak bir dizi olduğunu ve her iki dizinin de limitinin aynı olduğunu kanıtlayın (x n ) n yakınsak bir dizi olsun. f : N N, artan bir fonksiyon olsun. y n = x f(n) olsun. (y n) n dizisinin de yakınsak olduğunu ve her iki dizinin de limitinin aynı olduğunu kanıtlayın. (Bir sonraki alıştırma bundan daha da genel bir sonucu kanıtlamanızı istiyor.) (x n) n yakınsak bir dizi olsun. f : N N, her n N için, f (n) kümesinin sonlu olduğu bir fonksiyon olsun. y n = x f(n) olsun. (y n) n dizisinin de yakınsak olduğunu ve her iki dizinin de limitinin aynı olduğunu kanıtlayın Artan ve üstten sınırlı bir dizinin en küçük üstsınırına yakınsadığını kanıtlayın. Yani (x n) n dizisi, sabit bir b için her n için x n x n+ b eşitsizliklerini sağlıyorsa ve s = sup{x n : n N} ise, lim n x n = s eşitliğini kanıtlayın (I n) n küçülen, yani her n N için I n I n+ içindeliğini sağlayan kapalı aralıklar dizisi olsun. n In kesişiminin boşküme olamayacağını gösterin Alıştırma 4.38 nın Q için yanlış olduğunu kanıtlayın. (Tanım gereği, Q nün bir aralığının uç noktaları da Q de olmalıdır.) Alıştırma 4.38 nın (a, b] türünden yarı kapalı aralıklar için yanlış olduğunu kanıtlayın Eğer x n 0 ise ve lim n x n varsa, o zaman, ( ) /2 lim n x/2 n = lim x n n eşitliğini kanıtlayın a 0, b 0 > 0 ve a > 0 olsun. a n+ = a ve b n+ = a + a n b n xxxx ikincisi yanlış, düzeltilmeli xxxx olsun. (a n ) n dizisinin x 2 + x a = 0 denkleminin pozitif köküne, (b n ) n dizisinin de negatif köküne yakınsadığını kanıtlayın. Kısa Tarih Notu. MÖ 5 inci yüzyılda Elea lı filozof Zenon (M.Ö ) bir mesafeyi sonsuz defa 2 ye bölerek limit kavramını - adını vermeden - ilk kez dile getirmiştir diyebiliriz. Demokrit (MÖ ) şeylerin sonsuza kadar bölünemeyeceğini düşünerek atom kavramını ortaya atmıştır. Arşimet (MÖ ) dizilerle ve limit kavramıyla bir parabolün içerdiği alanı hesaplamış ve π sayısının o ve ilerki çağlarda rekor sayılabilecek yaklaşık değerlerini bulmuştur. Bugünkü limit kavramını Bolzano (86 da) ve Cauchy (82 de) birbirinden bağımsız olarak bulmuşlardır. Aynı kavramı Bolzano nun da bulduğu çok daha sonradan anlaşılmıştır.

94

95 5. Yakınsak Dizilerle Sıralama ve İşlemler 5. Yakınsak Diziler ve Sıralama Bu bölümde, gerçel sayıların sıralamasıyla dizilerin limitleri arasındaki ilişkiyi kısaca irdeleyeceğiz. Bu ilişkinin özü aşağıdaki teoremde gizlidir. Teorem 5. (Sandviç Teoremi). (x n ) n, (y n ) n ve (z n ) n üç dizi olsun. x n y n z n eşitsizlikleri belli bir göstergeçten sonra doğruysa ve (x n ) n ve (z n ) n dizileri aynı sayıya yakınsıyorlarsa, (y n ) n dizisi de yakınsaktır ve diğer dizilerle aynı sayıya yakınsar. Kanıt: (x n ) n ve (z n ) n dizileri a ya yakınsasınlar. (y n ) n dizisinin de a ya yakınsadığını kanıtlayacağız, yani ϵ > 0, herhangi bir pozitif sayıysa, y n a < ϵ eşitsizliğinin her n > N için doğru olduğu bir N sayısı bulacağız. ϵ > 0 verilmiş olsun. y n a < ϵ eşitsizliğinin doğru olması için n nin ne kadar büyük olması gerektiğini bulacağız.

96 88 5. Yakınsak Dizilerle Sıralama ve İşlemler Bunun için y n a ifadesiyle oynayacağız. Teoremin önermesindeki eşitsizlikler M den büyük göstergeçler için doğru olsun. Hesaplarda kolaylık olması için n > M alalım. Bu kısıtlama yetmez ama bu sayede, hiç olmazsa, y n a = a x n + x n y n a x n + x n y n = a x n + (y n x n ) a x n + (z n x n ) a x n + z n a + a x n = 2 a x n + z n a eşitsizliğini elde ederiz. Demek ki en sondaki 2 a x n + z n a ifadesini ϵ dan küçük yapmak yeterli. (x n ) n dizisi a ya yakınsadığından, öyle bir N vardır ki, her n > N için x n a = a x n < ϵ/3 olur. Aynı nedenden, öyle bir N 2 vardır ki, her n > N 2 için a z n < ϵ/3 olur. N = max{m, N, N 2 } olsun. Eğer n > N ise, y n a = 2 a x n + z n a < 2ϵ/3 + ϵ/3 = ϵ elde ederiz ve kanıt böylece tamamlanır. Sandviç Teoremi nin İkinci Kanıtı: Bir ϵ > 0 verilmiş olsun. a, (x n ) n ve (z n ) n dizilerinin limiti olsun. O zaman büyük n ler için, hem a ϵ < x n hem de z n < a + ϵ olur. (Neden?) Demek ki belki biraz daha büyük n ler için a ϵ < x n y n z n < a + ϵ olur. Bu büyük n ler için a ϵ < y n < a + ϵ, yani y n a < ϵ olur. Örnekler 5.. lim n n!/n n = 0 eşitliğini kanıtlayın. Kanıt: Örnek 3.42 a göre, 2 n n! n < 3. n Demek ki n 4 için, 0 n! n < 3 n 2 3 n n. 2 (Neden?) En sağdaki terim 0 a yakınsadığından, Sandviç Teoremi ne göre istenen limit 0 olmak zorundadır. Meraklı okur bu örneği tek başına, Örnek 3.42 u kullanmadan yapmaya çalışmalıdır.

97 5.. Yakınsak Diziler ve Sıralama Aşağıdaki eşitliği kanıtlayın: lim n n n i= i = 0. Kanıt: Gene Sandviç Teoremi ni kullanacağız. Ama Örnek 3.3 de yardım edecek. Önce n n i= i n n i= n = n eşisizliğini gözlemleyelim. Sonra da Örnek 3.3 te yeterince büyük n sayıları için elde edilen n n i n = n n eşitsizliğini görelim. Demek ki, i= n n n i= i. n Birinci ve sonuncu diziler 0 a gittiğinden, ortadaki terim de 0 a gider. Alıştırmalar 5.3. Terimleri n n+ n+n n olan dizinin 0 a yakınsadığını kanıtlayın Terimleri n + n n + n olan dizinin /2 ile arasında değer aldığını ve arttığını kanıtlayın. Önsav 5.2. i. (x n ) n dizisinin a ya yakınsaması için, ( x n ) n dizisinin a ya yakınsaması gerek ve yeter koşuldur. ii. (x n ) n dizisinin 0 a yakınsaması için, ( x n ) n dizisinin 0 a yakınsaması gerek ve yeter koşuldur. iii. (x n ) n, 0 a yakınsayan bir diziyse ve yeterince büyük n göstergeçleri için (yani belli bir M göstergecinden sonra) y n x n ise, (y n ) n dizisi de 0 a yakınsar. iv. (x n ) n dizisi a ya yakınsıyorsa, ( x n ) n dizisi a ya yakınsar.

98 90 5. Yakınsak Dizilerle Sıralama ve İşlemler Kanıt: i. Önermenin sadece bir yönünü kanıtlamak yeterli elbette. (x n) n dizisi a ya yakınsasın ve ϵ > 0 olsun. N, her n > N için, x n a < ϵ eşitsizliğini sağlatan göstergeç olsun. O zaman her n > N için, x n ( a) = x n + a = x n a < ϵ olur ve kanıtımız tamamlanır. ii. x n x n x n olduğundan, yukardakinden (a = 0 alın) ve Sandviç Teoremi nden, ( x n ) n dizisi 0 a yakınsıyorsa, (x n ) n dizisinin de 0 a yakınsadığı anlaşılır. Şimdi (x n ) n dizisinin 0 a yakınsadığını varsayalım. ϵ > 0 olsun. N, her n > N için, x n = x n 0 < ϵ eşitsizliğini sağlatan göstergeç olsun. O zaman her n > N için, xn 0 = xn = xn < ϵ olur ve kanıtımız tamamlanır. iii. Yeterince büyük n ler için 0 y n x n olduğundan ve sabit 0 dizisi 0 a yakınsadığından, Sandviç Teoremi nden (y n ) n dizisinin 0 a yakınsadığı çıkar. iv. ϵ > 0 olsun. Yeterince büyük n göstergeçleri için, x n a < ϵ eşitsizliğini göstermeliyiz. Önsav..ix a göre, xn a xn a olduğundan ve sağdaki x n a terimi yeterince büyük n göstergeçleri için ϵ dan küçük olduğundan, kanıtımız tamamlanmıştır. Öte yandan (iv) ün tersi yanlıştır. Örneğin, x n = ( ) n ise ( x n ) n dizisi e yakınsar ama (x n ) n dizisi hiçbir sayıya yakınsamaz. Şimdi de yakınsak bir dizinin terimlerinin sınırsız bir biçimde artıp azalamayacağını kanıtlayalım. Teorem 5.3. Yakınsak bir dizi sınırlıdır, yani eğer (x n ) n dizisi yakınsaksa, o zaman öyle bir B vardır ki, her n için x n < B olur. Kanıt: Kanıtın anafikri çok basit: Eğer bir dizi a ya yakınsıyorsa, bu dizinin terimleri a dan sürekli uzaklaşamazlar...

99 5.2. Yakınsak Dizilerle İşlemler 9 Bir a sayısına yakınsayan bir (x n ) n dizisi ele alalım. Yakınsamanın tanımında ϵ u e eşit alalım., 0 dan büyük bir sayı olduğundan buna hakkımız var. O zaman dizinin terimleri belli bir N göstergecinden sonra (a, a + ) aralığına düşer, yani her n > N için, x n (a, a + ) olur. Geriye sonlu sayıda x 0, x,..., x N terimi kalır. Bunlar da sınırlı bir aralığa sığarlar elbette. Daha biçimsel olalım ve A = min {x 0, x,..., x N, a}, B = max {x 0, x,..., x N, a} + tanımlarını yapalım. O zaman her x n terimi (A, B) aralığına düşer. Demek ki dizi sınırlıdır. Demek ki sınırlı olmayan bir dizi ıraksak olmak zorundadır. Örneğin, 0,, 2, 3, 4,... doğal sayı dizisi ıraksaktır. Öte yandan, her sınırlı dizi yakınsak değildir. Örneğin,,,,,,,... diye devam eden dizi sınırlıdır ama yakınsak değildir. Alıştırmalar 5.5. Sınırlı diziler kümesinin toplama, çıkarma ve çarpma altında kapalı olduğunu kanıtlayın (x n ) n, hiçbir terimi 0 olmayan bir dizi olsun. (/x n ) n dizisi illa sınırlı olmak zorunda mıdır? 5.7. (x n) n, hiçbir terimi 0 olmayan bir dizi olsun. (/x n) n dizisinin sınırlı olması için, her n için, 0 < δ < x n eşitsizliğini sağlayan bir δ > 0 vardır koşulunun yeter ve gerek olduğunu kanıtlayın (x n) n dizisi sınırlıysa ve (y n) n dizisi 0 a yakınsıyorsa, (x ny n) n dizisinin de 0 a yakınsadığını kanıtlayın (x n) n dizisi sınırlıysa ve (y n) n dizisi yakınsaksa, (x ny n) n dizisi de yakınsak olmak zorunda mıdır? 5.2 Yakınsak Dizilerle İşlemler Bu bölümde yakınsak dizilerle toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri arasındaki ilişkiyi göreceğiz. Teorem 5.4. İki yakınsak dizinin toplamı, farkı, çarpımı, (mümkün olduğunda) kesirli bir kuvveti ve birbirine bölümü de yakınsaktır ve dizilerin limiti tahmin edilen sayıdır. Daha net bir ifadeyle, (x n ) n ve (y n ) n iki yakınsak diziyse ve q Q ise (x n + y n ) n, (x n y n ) n, (x n y n ) n dizileri de yakınsaktır ve

100 92 5. Yakınsak Dizilerle Sıralama ve İşlemler i. lim n (x n + y n ) = lim n x n + lim n y n, ii. lim n (x n y n ) = lim n x n lim n yn, iii. lim n (x n y n ) = (lim n x n )(lim n y n ), eşitlikleri geçerlidir. (iii) ün sonucu olarak her r R için, (rx n ) n dizisi de yakınsaktır ve iv. lim n rx n = r (lim n x n ) olur. v. Ayrıca eğer (y n ) n dizisinin her terimi 0 dan farklıysa ve lim n y n 0 ise, o zaman (x n /y n ) n dizisi de yakınsaktır ve x n lim = lim n x n n y n lim n y n olur. vi. Ayrıca x q n ve (lim n x n ) q sayıları tanımlı olduğunda (x q n) n dizisi yakınsaktır ve ( ) q lim n xq n = lim x n n olur. Kanıt: Bu teoremin kanıtı biraz uzun sürecek, sayfa 99 de bitecek. Pek teoremin zorluğundan kaynaklanmayacak bu uzunluk, biz de özellikle uzun uzun anlatarak, engelleri işaret ederek, zorluklara parmak basarak, ayrıntılara girerek kanıtlayacağız. Teoremi kanıtlarken kanıtlayacağımız önsavlar da kendi başlarına önemli olacaklar. Teorem 5.4.i in Kanıtı: Önce, lim (x n + y n ) = lim x n + lim y n n n n eşitliğini kanıtlayalım. (x n ) n ve (y n ) n iki yakınsak dizi olsun. Bu dizilerin sırasıyla a ve b sayılarına yakınsadıklarını varsayalım. lim (x n + y n ) = a + b n eşitliğini kanıtlayacağız. Kanıtımız her zamanki gibi başlayacak: ϵ > 0, herhangi bir sayı olsun. (x n + y n ) n dizisinin a + b sayısına yakınsadığını göstermek istediğimize göre, öyle bir N sayısı bulmalıyız ki, her n > N için, (x n + y n ) (a + b) < ϵ olsun. Eğer n yi yeterince büyük seçersek, x n a ve y n b

101 5.2. Yakınsak Dizilerle İşlemler 93 sayılarını istediğimiz kadar küçültebileceğimizi biliyoruz. Dolayısıyla, kanıtlamak istediğimiz yukardaki eşitsizliğe bir biçimde x n a ve y n b sayılarını sokuşturmalıyız, bu sayılar devreye girmeli ki varsayımları kullanabilelim. Tekrar: (x n + y n ) (a + b) < ϵ eşitsizliğinin sağlanması için n nin ne kadar büyük seçilmesi gerektiğini bulacağız. Her zaman olduğu gibi sol taraftaki ifadeyle oynayacağız. O ifadeden birazcık daha büyük bir ifade bulacağız. Bulduğumuz bu büyük ifadeyi,. Varsayımlarımızı kullanacağımız biçimde ve 2. n yi yeterince büyük seçerek dilediğimiz kadar küçülteceğimizden emin olacağımız biçimde değiştireceğiz. Başlayalım: Üçgen eşitsizliğinden (x n + y n ) (a + b) = (x n a) + (y n b) x n a + y n b elde ederiz. Şimdi, (x n + y n ) (a + b) ifadesi yerine, x n a + y n b ifadesini ϵ dan küçük yapmaya çalışabiliriz. Eğer, x n a ve y n b ifadelerinin her biri ϵ/2 den küçük olursa, toplamları ϵ dan küçük olur. Bunu yapmasını biliyoruz, çünkü x n nin limiti a ve y n nin limiti b... x n nin limiti a olduğundan, öyle bir N vardır ki, her n > N için, x n a < ϵ 2 olur. Aynı nedenden, öyle bir N 2 doğal sayısı vardır ki, her n > N 2 için, y n b < ϵ/2 olur. Biz her iki eşitsizliğin birden doğru olmasını istediğimizden, n yi hem N den hem de N 2 den büyük almalıyız. Dolayısıyla, eğer N = max{n, N 2 } ise, n > N olduğunda, n, hem N den hem de N 2 den büyük olur ve yukardaki iki eşitsizliğin ikisi birden doğru olur.

102 94 5. Yakınsak Dizilerle Sıralama ve İşlemler Teorem 5.4.ii nin Kanıtı: Önsav 5.2.i den ve yukardakinden çıkar. Ama yukardaki kanıt yöntemini toplama yerine çıkarma işlemine de uygulayabiliriz: (x n ) n, (y n ) n, a ve b yukardaki gibi olsunlar. ϵ > 0, herhangi bir sayı olsun. (x n ) n dizisinin limiti a olduğundan, öyle bir N vardır ki, her n > N için, x n a < ϵ 2 olur. Aynı nedenden, öyle bir N 2 vardır ki, her n > N 2 için, y n b < ϵ 2 olur. Şimdi N = max{n, N 2 } olsun. Eğer n > N ise, hem n > N hem de n > N 2 olduğundan, (x n y n ) (a b) = (x n a) + (b y n ) x n a + b y n = x n a + y n b ϵ 2 + ϵ 2 = ϵ olur. İkinci eşitliğin de kanıtı tamamlanmıştır. Teorem 5.4.iii ün Kanıtı: Üçüncü eşitliğin kanıtı ne yazık ki yukardakiler kadar doğrudan çıkmıyor. Biz gene de tüm iyimserliğimizi takınıp yukardaki gibi doğrudan bir kanıta girişelim. (x n ) n, (y n ) n, a ve b yukardaki gibi olsunlar. (x n y n ) n dizisinin ab sayısına yakınsadığını göstermek istediğimize göre, herhangi bir ϵ > 0 sayısı seçildiğinde, öyle bir N sayısı bulmalıyız ki, her n > N için, x n y n ab < ϵ olsun. Bir başka deyişle, x n y n ab < ϵ eşitsizliğinin geçerli olması için n nin ne kadar büyük olması gerektiğini bulmaya çalışacağız. Eğer n yi yeterince büyük seçersek, x n a ve y n b sayılarını istediğimiz kadar küçültebileceğimizi biliyoruz. Dolayısıyla, kanıtlamak istediğimiz yukardaki x n y n ab < ϵ eşitsizliğine bir biçimde x n a ve y n b sayılarını sokuşturabilmeliyiz, bu sayılar devreye girmeli ki varsayımları kullanabilelim. Her zamanki gibi sol taraftaki x n y n ab ifadesiyle oynamalıyız. Bu ifadeyi hafifçe büyüterek, işin içine x n a ve y n b ifadelerini sokmalıyız. Bunu yapmak için matematikte sık sık kullanılan bir hile vardır. İşte o hile x n y n ab = x n y n x n b + x n b ab x n y n x n b + x n b ab = x n y n b + x n a b.

103 5.2. Yakınsak Dizilerle İşlemler 95 Şimdi en sağdaki x n y n b + x n a b toplamını ϵ dan küçük yapmalıyız. Ama bu mümkün müdür? Her iki x n y n b ve x n a b terimini de ϵ/2 den küçük yapabilirsek, o zaman bunların toplamları da ϵ 2 + ϵ 2 = ϵ sayısından küçük olur ve kanıtımızı başarıyla tamamlamış oluruz. Önce görece kolay olan x n a b terimini (n yi yeterince büyük yaparak) ϵ/2 den küçük yapalım. Bunun için, x n a terimini ϵ/2 b den küçük yapmak yeterli. Ama dikkat, eğer b = 0 ise, b ye bölemeyiz... Hiç önemli değil! Bu sorunun çözümü gayet basit: olduğundan, x n a terimini x n a b < x n a ( + b ) ϵ 2( + b ) sayısından küçük yapmak yeterli! Bunu yapabilir miyiz? Evet! Bu sayı 0 dan büyük olduğundan, öyle bir N sayısı vardır ki, her n > N için, x n a < ϵ 2( + b ) eşitsizliği doğrudur. Şimdi, x n y n b terimini de ϵ/2 den küçük yapmaya çalışmalıyız. y n b terimini istediğimiz kadar küçültebileceğimizi biliyoruz. Ama bu yetmez. Çünkü bu terimin yanına yapışmış bir de x n terimi var. Eğer x n çok büyürse, o zaman bu terimi, küçüldüğünü bildiğimiz y n b terimiyle çarptığımızda, çarpımın çok küçüleceğinden pek emin olamayız. Örneğin, y n b terimi /n gibi küçülebilir ama x n terimi n gibi artabilir. O zaman da çarpımları olan x n y n b terimi n büyükken civarında dolanır durur ve hiçbir zaman ϵ/2 kadar küçülemez. (ϵ un küçük bir sayı olduğunu bir kez daha anımsayın.) Neyse ki böyle bir sorunla karşılaşmayız, çünkü yakınsak bir dizi olduğundan, (x n ) n dizisi sınırlıdır (Teorem 5.3) ve her x n belli bir B > 0 sayısından küçüktür. Demek ki, x n y n b < B y n b

104 96 5. Yakınsak Dizilerle Sıralama ve İşlemler eşitsizliği geçerlidir. Şimdi en sağdaki B y n b ifadesini ϵ/2 dan küçük yapmak yeterlidir. B y n b ifadesini ϵ/2 den küçük yapmak için ise, y n b ifadesini ϵ 2B sayısından küçük yapmak yeterlidir. (Bunu başarabiliriz dostum!) Ne de olsa bu sayı pozitiftir ve y n b sayısı yeterince büyük n ler için bu sayının altına iner: Öyle bir N 2 sayısı vardır ki, her n > N 2 için, eşitsizliği doğrudur. Demek ki, y n b < ϵ 2B x n y n b < B y n b < B ϵ 2B = ϵ 2 eşitsizliği geçerlidir. Şimdi N = max{n, N 2 } olsun. Eğer n > N ise, hem n > N hem de n > N 2 olduğundan, x n y n ab = x n y n x n b + x n b ab x n y n x n b + x n b ab olur. (iii) ün kanıtı bitmiştir. = x n y n b + x n a b < B y n b + x n a b < B y n b + x n a ( + b ) < B ϵ 2B + ϵ 2( + b ) ( + b ) = ϵ 2 + ϵ 2 = ϵ Teorem 5.4.iv ün Kanıtı: Bir önceki maddede y n = r almak yeterli. Teorem 5.4.v in Kanıtı: Eğer aşağıdaki teoremi kanıtlayabilirsek, o zaman (iii) ten (v) çıkar. Teorem 5.4 ün kanıtına devam etmeden önce şu sonuca ihtiyacımız var: Teorem 5.5. Eğer (x n ) n yakınsak dizisinin her terimi 0 dan farklıysa ve dizi 0 a yakınsamıyorsa, o zaman (/x n ) n dizisi de yakınsaktır ve lim n x n = lim n x n olur. Ayrıca eğer (x n ) n dizisi 0 a yakınsıyorsa (/x n ) n dizisi ıraksaktır. Teorem 5.5 i kanıtlamadan önce de iki önsava ihtiyacımız var. Her iki önsavın da kendi başına önemi vardır.

105 5.2. Yakınsak Dizilerle İşlemler 97 Önsav 5.6. (x n ) n ve (y n ) n dizileri sırasıyla a ve b ye yakınsasınlar. Eğer belli bir göstergeçten sonra hep x n y n eşitsizliği sağlanıyorsa, o zaman a b olur. Kanıt: z n = x n y n tanımını yaparak, kanıtlanmış olan Teorem 5.4.ii ye göre, Eğer (z n ) n dizisi c ye yakınsıyorsa ve belli bir göstergeçten sonra hep z n 0 eşitsizliği sağlanıyorsa, o zaman c 0 olur önermesini kanıtlamanın yeterli olduğunu görürüz. Tam tersine, c nin negatif olduğunu varsayalım. Demek ki c = c. Şimdi, n > N 0 için, z n 0 olsun. Varsayıma göre böyle bir N 0 vardır. Ayrıca n > N için, z n c c 2 olsun. (z n ) n dizisi c ye yakınsadığından böyle bir N vardır; bunu görmek için, yakınsamanın tanımında ϵ = c /2 > 0 almak yeterli. Demek ki, c 2 z n c c 2. Dolayısıyla z n c + c /2. Şimdi n, hem N 0 dan hem de N den büyük bir göstergeç olsun. O zaman, çelişki. z n c + c 2 = c + c 2 = c 2 < 0, Önsav 5.7. i. Eğer (x n ) n yakınsak dizisi 0 a yakınsamıyorsa, öyle bir N doğal sayısı ve δ > 0 vardır ki, her n > N için, x n > δ olur. Demek ki böyle bir dizinin ancak sonlu sayıda terimi 0 a eşit olabilir. ii. Eğer (x n ) n dizisi yakınsaksa ama 0 a yakınsamıyorsa ve her terimi 0 dan farklıysa, öyle bir δ > 0 vardır ki, her n için, x n > δ olur. Kanıt: Önsav 5.2.ii ye göre, (x n) n yerine ( x n ) n dizisini alıp x n 0 eşitsizliğini varsayabiliriz. (x n ) n dizisi a ya yakınsasın. Önsav 5.6 ya göre a 0 olmalı. Demek ki a > 0. Eğer ϵ = a 2 alırsak, her n > N için, x n a < a 2 eşitsizliğini, yani a 2 < x n a < a 2 eşitsizliklerini sağlayan bir N nin olduğunu görürüz. Demek ki, n > N için, a a 2 < x n

106 98 5. Yakınsak Dizilerle Sıralama ve İşlemler eşitsizliği sağlanır. Şimdi δ = a 2 alırsak, birinci kısmı kanıtlamış oluruz. İkinci kısma geçelim. Yukardaki δ yerine, { x0 δ = min 2, x 2,..., x N 2, a } 2 alalım. Varsayımdan dolayı δ > 0 olur. Ve a, N ve δ nın tanımlarından dolayı, her n için, x n > δ olur. Teorem 5.5 in Kanıtı: a 0 sayısı (x n ) n dizisinin limiti olsun. /a sayısının (/x n ) n dizisinin limiti olduğunu göstereceğiz. Her zaman olduğu gibi herhangi bir ϵ > 0 sayısı almakla işe başlayalım. Öyle bir N bulmak istiyoruz ki, her n > N için, x n a < ϵ olsun. /x n /a ifadesiyle oynayarak, bu ifadenin ϵ dan küçük olması için n nin ne kadar büyük olması gerektiğini bulacağız. Oynamaya başlayalım: x n a = a x n a x n. Sağdaki ifadenin payını dilediğimiz kadar küçük yapabiliriz, çünkü (x n ) n dizisi a ya yakınsıyor, burada bir sorun yok. Paydadaki a da sabit bir sayı, bu da sorun yaratmaz. Ama x n sorun yaratabilir, çünkü eğer x n çok küçülürse, o zaman ifade çok büyüyebilir ve ifadenin ϵ dan küçük olduğunu kanıtlayamayız. Teoremin doğru olması için x n ler belli bir pozitif sayıdan küçük olmamalı. Bu doğrudur ve (x n ) n dizisinin limitinin 0 olmamasından kaynaklanır ve bu yukardaki önsavda kanıtlanmıştır: Önsav 5.7 ye göre, öyle bir δ > 0 var ki, her n için, x n > δ olur. Şimdi yukardaki hesabı bir adım daha devam ettirebiliriz: x n a = a x n a x n < a x n. a δ En sağdaki ifadenin ϵ dan küçük olması için n nin ne kadar büyük olması gerektiğini bulalım. Bu ifadenin ϵ dan küçük olması için, a x n, ϵ a δ dan küçük olmalı ve ϵ a δ > 0 olduğundan bunu yapabiliriz: N, her n > N için, a x n < ϵ a δ eşitsizliğini sağlayan bir sayı olsun. Şimdi N den büyük her n için, x n a = a x n < a x n < ϵ a δ a x n a δ a δ = ϵ olur. Teorem 5.4.v in kanıtı da böylece tamamlanmış oldu.

107 5.2. Yakınsak Dizilerle İşlemler 99 Teorem 5.4.vi nın Kanıtı: (v) inci kısımdan dolayı teoremi q > 0 için kanıtlamak yeterli. Eğer q N ise sonucumuz (iii) üncü kısımdan tümevarımla kolaylıkla çıkar. Önce sorunun (x q n) n dizisinin yakınsaklığını kanıtlamak olduğunu gösterelim. Nitekim eğer bu dizi yakınsaksa, pozitif a ve b doğal sayıları için q = a/b yazarsak, ( lim x xq n ) b = lim x xa n = ( lim x x n eşitliğinden istediğimiz kanıtlanır. x = lim x x n olsun. Önce x = 0 varsayımını yapalım. ϵ > 0 olsun. Öyle bir N bulalım ki, her n > N için x n < ϵ /q olsun; bu durumda x q n = x n q < ϵ olur. Dolayısıyla (x q n) n dizisi de 0 a yakınsar. Şimdi de dizinin 0 a yakınsamadığını varsayalım. u, v N ve v 0 için q = u/v olsun. Önce u = alalım. O zaman, /v olduğundan, Sonuç 3.20 ye göre, (x x n ) /v x x n v olur. Ama (x x n ) n dizisi e yakınsadığından, yukardaki eşitliğin sağ tarafındaki ifadeyi istediğimiz kadar küçük yapabiliriz. Demek ki ((x x n ) /v ) n, yani (x /v x /v n ) n dizisi de e yakınsar, yani (x /v n ) n dizisi x /v sayısına yakınsar. Buradan da (x u/v n ) n dizisinin x u/v sayısına yakınsadığı çıkar. Teorem 5.4 ü, limit alma işlemi toplamaya, çıkarmaya, çarpmaya, bölmeye ve kesirli üs almaya saygı duyuyor ya da limit alma işlemi toplamaya, çıkarmaya, çarpmaya ve bölmeye dağılıyor ya da ya da limit alma işlemi toplamayla, çıkarmayla, çarpmayla, bölmeyle be üs almayla uyumlu gibi ifadelerle ifade edebiliriz. Örnekler 5.0. a n = ( ) n ve b n = ( ) n ( + /n) olsun. (a n ) n ve (b n ) n dizileri ıraksaktır ama (a n + b n ) n, (a n b n ) n ve (a n /b n ) n dizileri yakınsaktır. 5.. İki basit örnek: ve lim n 8 3n = lim n ( 8 3 ) 8 = lim n n 3 lim n n = 8 3 lim n n = = 0. ( lim 5 8 n 3n + 7 ) = 5. n 2 ( 5.2. lim n n2 + n n ) limitini bulun. Çözüm: Limiti alınacak ifadenin eşleniği denen şeyle çarpıp bölelim: ( n2 + n n ) ( n 2 + n + n ) n2 + n n = = (n2 + n) n 2 n2 + n + n n2 + n + n n = n2 + n + n = + /n + 2. ) a

108 00 5. Yakınsak Dizilerle Sıralama ve İşlemler Alıştırmalar 5.3. a 0 ve a verilmiş olsun ve n için a n+ = ua n + va n olsun. Eğer (a n ) n dizisinin limiti varsa ve 0 dan farklıysa, u ve v sayıları hakkında ne söyleyebilirsiniz? 5.4. lim n ( n2 + 3n n ) limitini bulun. Şimdi bir polinomu bir dizide değerlendirip, bu değerlerin limitine bakalım. Şimdi, limit alma işlemiyle bir diziyi bir polinomda değerlendirme işlemlerinin yer değiştirebildiklerini göreceğiz, bir başka deyişle bir dizinin limitini alıp değerlendirmekle, diziyi değerlendirip limitini almak aynı sonucu verir: Teorem 5.8 (Polinomlarla Yakınsaklık). (a n ) n dizisi a ya yakınsasın. p(x) de herhangi bir polinom olsun. O zaman, (p(a n )) n dizisi p(a) sayısına yakınsar. Eğer q(x) herhangi bir başka polinomsa, q(a) 0 ise ve her n için q(a n ) 0 ise, o zaman ( ) p(an ) q(a n ) n dizisi p(a)/q(a) sayısına yakınsar. Kanıt: Bu da Teorem 5.4 ün doğrudan bir sonucudur. Aşağıdaki alıştırmaların birçoğu çok kolay değildir ve çözümü de her zaman doğal gelmeyebilir. (Yani tek başınıza yapamazsanız moraliniz bozulmasın!) Ancak limit kavramının iyice oturması için her birini ayrı ayrı denemekte ve sonra çözüme bakmakta yarar var. Örnekler 5.5. Aşağıdaki limiti bulun: 3n 2 4n + 5 lim n 4n 2 5n +. Çözüm: Payı ve paydayı n 2 sayısına bölerek ve yukarda kanıtlanan teoremi a n = /n dizisine uygulayarak, 3n 2 4n + 5 lim n 4n 2 5n + = lim 3 4/n + 5/n 2 n 4 5/n + /n = buluruz Aşağıdaki limiti bulun: ( ) n(n + 2) lim n3. n n + n 2 + Çözüm: Limiti alınacak ifadenin paydalarını eşitleyip elde ettiğimize bakalım: n(n + 2) n + n3 n 2 + = n(n + 2)(n2 + ) n 3 (n + ) = n3 + n 2 + 2n (n + )(n 2 + ) (n + )(n 2 + ). Tarafları n 3 e bölersek limitin olduğunu görürüz.

109 5.2. Yakınsak Dizilerle İşlemler < q < p iki kesirli sayı olsun. eşitliğini kanıtlayın. Kanıt: Basit bir hesap: lim n n p n q (n + ) p (n + ) q = n p n q (n + ) p (n + ) q = n p q (n + ) p /n q ( + /n) q = = n p q (n + ) p q (n + ) q /n q ( + /n) q /n p q. ( + /n) p q ( + /n) q ( + /n) q /np q Bu konuda Örnek 3.2 ye de bakabilirsiniz. Dizi e alttan yakınsar Aşağıdaki limiti bulun: ( lim n n n n ). n 2 + n Çözüm: Paydadaki n 2 + i sayıları yerine önce n 2 +, sonra da n 2 + n koyalım, bakalım bir şeyler çıkacak mı. Önce n2 + koyalım: n n i n 2 + i i n 2 + = n i = n(n + ). n 2 + n i= i= Demek ki Sandviç Teoremi ne göre, Şimdi de n 2 + n koyalım: n i n 2 + i i= n i= Gene Sandviç Teoremi ne göre, Böylece limitin /2 olduğu çıkar Aşağıdaki limiti bulun: lim n n i= i= i n 2 + i 2. i n 2 + n = n 2 + n lim n n i= lim n i= j= n i = i= i n 2 + i 2. n i j n 3. n 2 + n n(n + ). 2 Çözüm: Oldukça kolay ama belki biraz uzunca bir hesap: n i i= j= j n 3 = n 3 = 2n 3 n i= j= i j = n 3 n i= ( n ) n i 2 + i i= i= i(i + ) 2 = 2n 3 n (i 2 + i) i= = ( n(n + )(2n + ) + 2n 3 6 ve gerisi Teorem 5.8 den kolaylıkla çıkar. (Sonuç /6 çıkar.) ) n(n + ) 2

110 02 5. Yakınsak Dizilerle Sıralama ve İşlemler lim n a n = l ise a a n lim = l n n eşitliğini kanıtlayın. Kanıt: b n = a n l tanımını yaparak, lim n b n = 0 ise b b n lim = 0 n n eşitliğini kanıtlamamız gerektiğini görürüz. Eğer M < n ise, eşitliğinden b b n n = b b M n b b n n b b M n + b M + + b n n + b M + + b n n eşitsizliği çıkar. Şimdi ϵ > 0 olsun. lim n b n = 0 olduğundan M yi, i M b i < ϵ/2 önermesi doğru olacak biçimde seçebiliriz. Demek ki n > M için, b M + + b n n olur. M yi böylece seçtikten sonra, P sayısını < b b M P (n M)ϵ/2 n olacak biçimde seçelim. N = max{m, P } olsun. O zaman her n > N için, b0 + + bn b0 + + bm bm + + bn n + < ϵ n n 2 + ϵ 2 = ϵ < ϵ 2 ϵ 2 olur ve bu da istediğimizi kanıtlar lim n ( + n + n 2 ) /n = eşitliğini kanıtlayın. Kanıt: Elbette ( + n + n 2 ) /n. Demek ki bir r n 0 sayısı için ( + n + n 2 ) /n = + r n yazabiliriz. lim n r n = 0 eşitliğini göstermemiz lazım. n 3 olsun. Her iki tarafın da n inci kuvvetini alarak ve binom teoremini kullanarak, + n + n 2 = ( + r n ) n = + nr n + ve dolayısıyla elde ederiz. Buradan da + n + n < r 3 n < n(n ) rn 2 + 2! n(n )(n 2) rn 3 3! 6(n + n 2 ) n(n )(n 2) n(n )(n 2) rn rn n 3! bulunur. Bundan ve bu bölümde yapılanlardan lim n r 3 n = 0 çıkar. Teorem 5.4.vi dan dolayı lim n r n = 0 bulunur ve bu da istediğimizi kanıtlar.

111 5.2. Yakınsak Dizilerle İşlemler Aşağıdaki limiti bulun: lim n n k= k 2 + 3k +. (k + 2)! Çözüm: Bir zekâ pırıltısı gerekiyor: n k= k 2 + 3k + (k + 2)! = = n k= n k= k 2 n + 3k + (k + 2)(k + )k! = (k 2 + 3k + 2) (k 2 + 3k + 2)k! = k 2 + 3k + (k 2 + 3k + 2)k! n ( ) k! (k + 2)! k= k= =! + 2! (n + )! (n + 2)! ve sonuç /! + /2! = 3/2 çıkar Aşağıdaki limiti bulun: ( lim 2 n 2 3 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) 2. n(n + ) Çözüm: Limiti bulunması gereken ifade, n i=2 ( ) 2. i(i + ) Parantezlerin herbirini hesaplamaktan başka çare yok sanki: 2 i(i + ) (i + 2)(i ) =. i(i + ) Bu parantezleri i = 2 den i = n+ e kadar çarpınca birçok sadeleştirmeler olur ve geriye kalır. Bunun limiti de /3 olur. 3 n + 2 n Alıştırmalar Aşağıdaki limitleri bulun: lim n ( ) 3 2n + 7, lim 3n 5 n n n +, lim n n /3 n +, lim n n /3 n 2/3 +, lim n Aşağıdaki limitleri kanıtlayın: ( ( lim n2 + n) = 0, lim n2 + n n) = n n 2. (İpucu: Eşlenikleriyle çarpıp bölün.) k N için lim n eşitliğini kanıtlayın. (İpucu: Binom açılımı.) n k n k+ (n ) k+ = k + n /3 n /3 +.

112 04 5. Yakınsak Dizilerle Sıralama ve İşlemler Sandviç Teoremi ni kullanarak lim n n i= n2 + i limitini bulun. (Bkz. Örnek 5.8.) Genel terimi x n = n 2 n olan dizi 2 ye yakınsar. Hesap makinanızı ya da Excel i kullanarak buna ikna olun. Bu aşamada bunu kanıtlamanız imkânsız olabilir ama denemenin kimseye bir zararı olmaz, hatta böylece gelecek sayfalarda yapacaklarımızın değerini anlamış olursunuz. Bkz. Örnek Aşağıdaki limiti bulun (bkz. Örnek 5.22): lim n n k= Aşağıdaki limiti bulun (bkz. Örnek 5.9): lim k 3 + 6k 2 + k + 5. (k + 3)! n i n i= j= 5.3. Eğer (x n ) n yakınsak ama 0 a yakınsamayan bir diziyse, belli bir zaman sonra, dizinin ya hep pozitif ya da hep negatif olacağını kanıtlayın (x n ) n, yakınsak bir diziyse ve belli bir göstergeçten sonra a x n ise, lim n x n a eşitsizliğini kanıtlayın Eğer (x n ) n dizisi yakınsaksa ama 0 a yakınsamıyorsa, lim n j 2 n 4. x n x n+ = eşitliğini kanıtlayın Sınırlı diziler kümesinin toplama, çıkarma ve çarpma altında kapalı olduğunu kanıtlayın. Terimleri 0 dan farklı olan sınırlı diziler kümesinin bölme altında kapalı olmadığını kanıtlayın. (x n ) n sınırlı ve terimleri 0 dan farklı bir diziyse, ne zaman (/x n ) n dizisi sınırlıdır? Eğer (x n ) n ve (y n ) n iki diziyse ve lim(x n y n ) = l, yani x n y n l oluyorsa, bunu x n y n + l olarak gösterelim. Eğer lim x n /y n = l ise bunu x n ly n olarak gösterelim. Bu tanımların geçerli olması için (x n ) n ve (y n ) n dizilerinin illa yakınsak olmaları gerekmediğine dikkatinizi çekelim. a. x n = /n ve y n = ( ) n /n olsun. x n y n olduğunu (yani tanımdaki l = 0) ama hiçbir l için x n ly n olmadığını gösterin. b. x n = 2n ve y n = n olsun. x n 2y n olduğunu ama hiçbir l için x n y n + l olmadığını kanıtlayın. c. a R olsun. x n = /n ve y n = a/n olsun. Yukardaki ilişkilerden hangisi ya da hangileri doğrudur?

113 5.2. Yakınsak Dizilerle İşlemler 05 d. x n = /n ve y n = /n 2 olsun. Yukardaki ilişkilerden hangisi ya da hangileri doğrudur? e. x n = /n 2 ve y n = /n olsun. Yukardaki ilişkilerden hangisi ya da hangileri doğrudur? f. Eğer bir l için x n y n + l için oluyorsa bunu x n y n olarak gösterelim. Bu ilişki diziler üzerine bir denklik ilişkisi midir? g. Eğer bir l için x n ly n için oluyorsa bunu x n y n olarak gösterelim. Bu ilişki diziler üzerine bir denklik ilişkisi midir? Eğer yeterince büyük n ve n den bağımsız bir K için x n < Ky n oluyorsa, yazılır. Eğer lim x n/y n = 0 ise x n = O(y n) x n = o(y n) yazılır. Bunlara büyük O ve küçük o adı verilir. a. x n = 3n, y n = n olsun. Yukardaki ilişkilerden hangisi ya da hangileri doğrudur? b. x n = n, y n = n 2 olsun. Yukardaki ilişkilerden hangisi ya da hangileri doğrudur? c. x n = n 2, y n = n olsun. Yukardaki ilişkilerden hangisi ya da hangileri doğrudur? x n = n2 + 2n + 3 3n olsun. a. x n n/3 + 7/9 ilişkisini kanıtlayın (bkz. Alıştırma 5.35). b. x n n/3 olduğunu gösterin (bkz. Alıştırma 5.35). c. x n = O(n) olduğunu gösterin (bkz. Alıştırma 5.36). d. x n = o(n 2 ) olduğunu gösterin (bkz. Alıştırma 5.36).

114

115 6. Yakınsak Dizi Örnekleri I En önemli dizilerden biri olan geometrik dizilerden başlayalım. (r n ) n biçiminde yazılan bir diziye geometrik dizi denir:, r, r 2, r 3,..., r n,... Geometrik dizilerin yakınsaklığına karar vermek oldukça kolaydır: Teorem 6.. r bir gerçel sayıysa (r n ) n dizisi ancak r (, ] iken yakınsak olabilir. r = ise limit dir. r (, ) ise limit 0 dır. r / [, ] ise dizi sınırsızdır, dolayısıyla ıraksar. Kanıt: Önce < r < olsun; lim n r n = 0 eşitliğini göreceğiz. Eğer r = 0 ise kanıtlayacak fazla bir şey kalmıyor, bundan böyle r nin 0 olmadığını varsayalım. ϵ > 0 olsun. s = + / r olsun. Tabii ki s > 0 ve N doğal sayısı, r = + s. s < Nϵ eşitsizliğini sağlasın (Arşimet Özelliği). Şimdi, her n > N için, Önsav 3.5 e göre, ( ) n r n 0 = r n = = + s ( + s) n + ns < ns < Ns < ϵ. lim n r n = 0 eşitliği kanıtlanmıştır. Şimdi r nin den büyük olduğunu varsayalım. s = r > 0 olsun. O zaman Önsav 3.5 e göre r n = ( + s) n + ns ve Arşimet özelliğinden dolayı (r n ) n dizisi sınırlı değildir, dolayısıyla yakınsak olamaz (bkz. Teorem 5.3).

116 08 6. Yakınsak Dizi Örnekleri I Eğer r < ise, n = 2m çift olduğunda, r n = r 2m = (r 2 ) m sayıları bir önceki paragrafa göre üstten sınırlı değildirler. Dolayısıyla (r n ) n dizisi sınırlı değildir ve yakınsak olamaz. Şimdi de geometrik dizinin terimlerini toplayarak elde ettiğimiz, s 0 =, s = + r, s 2 = + r + r 2, s 3 = + r + r 2 + r 3, s n = + r + r 2 + r r n, dizisine bakalım. Bu dizinin limiti analizde temel niteliktedir. Teorem 6.2. r bir gerçel sayı ve s n = + r + r 2 + r r n olsun. (s n ) n dizisi ancak ve ancak r (, ) iken yakınsak olabilir ve bu durumda limit r olur. Kanıt: Önsav 3.4 te, eğer r ise, s n = rn+ r eşitliğini kanıtlamıştık. Dolayısıyla eğer r (, ) ise sonuç Teorem 6. ve 5.4 ten çıkar: lim s r n+ n = lim n n r Eğer r ise, = lim n r n+ r s n = + r + r 2 + r r n n + olduğundan, dizi sınırlı değildir ve ıraksar (bkz. Teorem 5.3). Eğer r < ise, n çift sayısı için, s n = rn+ r = + r n+ + r > r n+ 2 r = r. = r n 2 bulunur. Dolayısıyla dizi sınırsızdır (Önsav 3.5) ve limiti olamaz. Eğer r = ise, (s n ) n dizisi, 0,, 0,, 0,... diye devam eder ve hiçbir sayıya yakınsayamaz.

117 6. Yakınsak Dizi Örnekleri I 09 Aşağıda vereceğimiz örnekler önemlidir. Her birini önce kendiniz kanıtlamayı denemelisiniz. Okuduğunuzda size çok kolay gelebilecek kanıtları bulamamanız moralinizi bozmasın. Gerçekten de birçoğu uzun süren çalışmalardan süzülmüş zekâ ürünleridir. Örnekler 6.. Her r R için, lim n r n /n! = 0. Kanıt: Önsav 5.2.ii ye göre, r yerine r alarak r 0 varsayımını yapabiliriz. x n = r n /n! 0 olsun. ϵ > 0, herhangi bir gerçel sayı olsun. L, r den büyük herhangi bir doğal sayı olsun. Her k doğal sayısı için, ( r x L+k x L L + eşitsizliğini k üzerine tümevarımla kanıtlayalım. k = 0 ise eşitlik sözkonusu. Şimdi eşitsizliği k için varsayıp k + için kanıtlayalım: x L+k+ = rl+k+ (L + k + )! = rl+k (L + k)! ( r x L L + ) k r L + k + xl ) k r L + k + = x r L+k L + k + ( ) k r r L + L + = xl ( ) k+ r. L + Eşitsizliği kanıtladık. Ama 0 < r/(l+) < ve Teorem 6. e göre yukardaki eşitsizliğin en sağındaki terimin k sonsuza giderken limiti 0 dır. Demek ki öyle bir K vardır ki, her k > K için, ( ) k r < ϵ L + x L eşitsizliği geçerlidir. Şimdi N = K + L olsun. Her n > N için, tanımıyla, k = n L > K ( r ) k ϵ x n = x L+k x L < xl = ϵ L + x L elde ederiz. İstediğimizi kanıtladık ama pek kolay olmadı. Limit bulmak her zaman kolay değildir, hatta bazen çok çok zor olabilir. Okur, haklı olarak yukardaki kanıtı nasıl düşündüğümüzü sorabilir. Kanıtı nasıl yaptığımızı açıklamaya çalışalım. x n+ ile x n arasında çok basit bir ilişki var: x n+ = Bunu bir adım daha götürürsek, x n+2 = elde ederiz. Ama buradan da, rn+ (n + )! = r r n n + n! = r n + x n. r n + 2 xn+ = x n+2 = r r n + 2 n + x n < r r n + 2 n + xn ( ) 2 r x n n +

118 0 6. Yakınsak Dizi Örnekleri I elde ederiz. Bu aşamada, x n+k ( ) k r x n n + eşitsizliğini tahmin edip kanıtlamak zor değil. Eğer n yi yeterince büyük seçersek, r n + sayısı den küçük olur ve Teorem 6. e göre eşitsizliğin sağ tarafı k büyüdükçe küçülür. Bizim istediğimiz de buydu zaten. Gerisi, okurun ustalaşması gerektiği teknik ayrıntı. Benzer Bir Kanıt Daha: x n+ /x n = r/(n + ) < r/n. Ama lim n r/n = 0 olduğundan, öyle bir N vardır ki, n > N için r/n < /2 olur. Demek ki her n > N için, 0 x n x N+ = x N+2 x N+ x N+3 x N+2 x n x n < ( ) n N 2 olur. Sonuç şimdi Sandviç Teoremi nden çıkar. Bir Uyarı: (n n /n!) n dizisi bir zaman sonra her sayıyı aşar, yani limiti yoktur. Bkz. Alıştırma 0.2 ya da Örnek Her r (, ) için, ( lim r + ) n = 0. n n Eğer r > ise dizi ıraksar. Kanıt: Önce r (, ) varsayımını yapalım. Önsav 5.2.ii ve r + n r + n eşitsizliğinden dolayı, genelliği bozmadan, r [0, ) varsayımını yapabiliriz. s (r, ) olsun. N doğal sayısı, /N < s r eşitsizliğini sağlasın. O zaman, her n N için, r + n r + N < r + (s r) = s ve 0 ( r + ) n < s n n olur. Sağ taraf, Teorem 6. e göre 0 a yakınsadığından Sandviç Teoremi istediğimizi verir. Eğer r > ise, ( r + ) n > r n n olur ve Teorem 6. e göre dizimiz sınırsızdır, dolayısıyla ıraksaktır. r = Durumu: Dizinin r = için ıraksadığını Örnek 0.7 de, r = için (adına e denilen bir sayıya) yakınsadığını Teorem 0. de göreceğiz Eğer a > 0 ise lim n a /n = olur. Kanıt: a = ise sorun yok. Gerekirse a yerine /a alırsak, a > varsayımını yapabiliriz. x n = a /n olsun. O zaman a = ( + x n) n = + nx n + > nx n ve 0 < x n < a/n. Buradan da lim n x n = 0 ve dolayısıyla lim n a /n = çıkar.

119 6. Yakınsak Dizi Örnekleri I 6.4. Eğer lim n x n = 0 ise ve a > 0 ise lim n a xn = olur. Kanıt: ϵ > 0 verilmiş olsun. Bir önceki örneğe göre, bir m doğal sayısı için a /m ve a /m sayıları ( ϵ, + ϵ) aralığında olurlar. Ayrıca yeterince büyük n sayıları, diyelim N den büyük n sayıları için /m < x n < /m olur. Buradan a xn sayısının a /m ile a /m arasında olduğu, yani ( ϵ, + ϵ) aralığında olduğu çıkar ve bu da istediğimizi kanıtlar r < ise lim n nr n = 0 olur. Kanıt: r 0 varsayımını yapabiliriz. / r = + s olsun. s > 0 olur elbette. n > 2 için, eşitliğinden ve buradan da, ( + s) n ( + s) n = + ns + s 2 = s 2 + n s nr n = + n(n ) 2 n(n ) s > n ( + s) < 2 n (n )s < 4 2 ns 2 n(n ) 2 çıkar. (Son eşitsizlik n > 2 koşulundan çıkar.) Şimdi ϵ verilmiş olsun. { } 4 N = max 2, ϵs 2 olsun. Eğer n > N ise, yukardaki hesaptan, nr n < ϵ çıkar. Eğer r = 00/0 ise, (nr n ) n dizisi 00 üncü terime kadar artar, nerdeyse 37 olur ve daha sonra azalarak 0 a yakınsamaya başlar, yani bu dizi 0 a yakınsar ama sonlara doğru yakınsar! Bu dediklerimizin doğruluğu örneğin excel ile kontrol edilebilir r < ve q Q 0 ise lim n n q r n = 0 olur. Kanıt: q = 0 ise sorun yok. Bundan böyle q > 0 olsun. s = r /q olsun. O zaman, lim n n q s qn = 0 eşitliğini göstermek durumundayız ki bu da Teorem 5.4.vi ya göre, lim n ns n = 0 eşitliğini göstermek demektir. Bunu da yukarda, bir önceki örnekte göstermiştik lim n n /n =. Kanıt: x n = n /n olsun. O zaman, n > 2 için, olur. Demek ki ve n = ( + x n) n = + nx n + n(n ) x 2 n + > 2 x 2 n < 2 n 2 x n < n. Dolayısıyla, lim n x n = 0 ve lim n n /n = Terimleri, n 2 için, n(n ) x 2 n 2 x n = n i= i(n i) = (n ) + 2 (n 2) + + i(n i) + + (n ) olan diziyi ele alalım. i (n i) = ( n i + ) n i

120 2 6. Yakınsak Dizi Örnekleri I eşitliğinden dolayı, x n = 2 n ( ) n olur. Örnek 3.3 ye göre n < n. Demek ki, her n 2 için 0 < x n < 2 2 n = n n sağlanır. Buradan da lim x n = 0 elde edilir x R olsun ve [x] + [2x] + + [nx] x n = n 2 olsun. lim n x n = x/2 eşitliğini kanıtlayın. Kanıt: Her r R için [r] r < [r] + olduğundan, r < [r] r olur. Buradan (x ) + (2x ) + + (nx ) < [x] + [2x] + + [nx] x + 2x + + nx ve dolayısıyla n(n + ) 2 x n < [x] + [2x] + + [nx] n(n + ) 2 olur. Her tarafı n 2 ye bölersek, Sandviç Teoremi nden istediğimiz çıkar [Lineer cebir bilenlere.] a 0 =, a = 0 ve x a n+2 = a n + a n+ 2 olsun. lim n a n limiti var mıdır ve varsa kaçtır? (Not: Lineer cebir kullanmayan bir çözüm için sayfa 52 deki Alıştırma 2 ye bakın.) Çözüm: Her n N için ( ) an x n = ve olsun. O zaman ve her n N için olur. Buradan da her n N için A = x 0 = a n+ ( 0 ) /2 /2 ( a0 a ) = x n+ = Ax n A n x 0 = x n ( ) 0 çıkar. A n matrisini hesaplayalım. Bunu yapmak için önce A matrisini çapraz matris haline sokalım. (Eğer bu mümkün değilse Jordan kanonik biçime sokmak gerekir.) Bunu yapmak için de matrisin özdeğerlerini ve özvektörlerini bulalım: ( ) x det(a x Id 2) = det = x 2 x2 /2 /2 x 2 ( = (x ) x + ) 2 Birinci basımda bu sonucun Görkem Özkaya tarafından bulunmuş çok güzel ama oldukça uzun bir kanıtı vardı. İlham Aliyev yukardaki kısa kanıtı sundu.

121 6. Yakınsak Dizi Örnekleri I 3 olduğundan, özdeğerler ve /2 dir. (İki değişik özdeğer olduğundan, A matrisi bir başka tabanda çapraz matris olarak yazılır.) Eğer bu özdeğerlere sırasıyla λ ve λ 2 dersek, bunlara tekabül eden v i 0 özvektörleri bulalım. i =, 2 için denklemini çözersek, v = Av i = λ i v i ( ) ve v 2 = ( ) 2 vektörlerinin λ = ve λ 2 = /2 özdeğerlerine tekabül eden özvektörlerden olduklarını buluruz. Şimdi P, e ve e 2 kanonik tabanları v ve v 2 vektörlerine götüren dönüşümün matrisi olsun: ( ) 2 P =. P nin tersini bulmak zor değil: Şimdi P = 3 P AP = ( ) 2. ( 0 ) 0 /2 olmalı. İki üç dakikadan fazla sürmemesi gereken hesaplar yapılınca bir hata yapmadığımız ve eşitliğin gerçekten doğru olduğu kolaylıkla görülür. Buradan, ( ( ) ) n ( ) n A n 0 = P P 0 = P P 0 /2 0 /2 ( ) 0 = P 0 ( /2) n P = ( ) ( /2) n 2 ( /2) n 3 + ( /2) n 2 ( /2) n bulunur. Dolayısıyla, ( ) an = x a n = A n x 0 n+ ve = 3 = 3 ( ( 2 + ( 2 ( ( 2 + ( 2 a n = 3 ( + ) n 2 ( ) n ) ( ) ) n 2 2 ( ) n 0 ) n ) n ) ( ) ) n 2 olur. Demek ki lim n a n = /3. Not: Yukardaki a n ifadesi bilindikten sonra aynı eşitlik tümevarımla kanıtlanabilir! Ama sadece bilindikten sonra... Tümevarımla kanıt yöntemi çok güçlü olmasına karşın, bu yöntemi kullanabilmek için kanıtlanacak formülün ya da teoremin önceden bilinmesi gerekir! 2

122 4 6. Yakınsak Dizi Örnekleri I Alıştırmalar 6.. (x n ) n, bir dizi olsun. Sabit bir r (0, ) sayısı ve her n göstergeci için x n+ r x n olsun. lim x n = 0 n eşitliğini kanıtlayın Genel terimi n + 4 3n olan dizinin bir zaman sonra azalan olduğunu ve limitinin 0 olduğunu kanıtlayın Terimleri pozitif ve azalan olan ama limitin 0 olmadığı bir dizi bulun Terimleri olan dizi yakınsak mıdır? 6.5. Terimleri 6.6. olan dizi yakınsak mıdır? x n = x n = n i= n i= i(n 2 i) n i(n 2 i) 2 lim n n/n = eşitliğini kanıtlayın. (İpucu: n/n n /n2.) 6.7. [Lineer cebir bilenlere.] f 0 = 0, f = ve f n+2 = f n + f n+ olsun (Fibonacci dizisi). Örnek 6.0 daki gibi yola çıkarak f000 i bulun a 0, a > 0 ve her n N için a n+2 = (a na n+) /2 olsun. lim a n = (a 0 a 2 ) /3 n eşitliğini kanıtlayın. İpucu: a n = a u n 0 av n olsun. u n ler arasında bir ilişki bularak ve Örnek 6.0 u kullanarak lim n u n limitini bulun. Aynı şeyi v n için yapın [Sierpinski Üçgeni] Aşağıdaki birinci üçgenin alanı dir. Şekildeki gibi, her seferinde üçgenden siyah üçgenler çıkarılıyor ve bu böyle sonsuza kadar devam ediyor. n inci üçgende kalan beyaz alanı hesaplayın. Bu alanların n sonsuza giderken limitini bulun [Koch Kartanesi] Aşağıdaki şekildeki gibi, bir eşkenar üçgenin kenarlarına, üçgenin üçte biri kadar olan üç üçgeni taşıyoruz ve benzer işlemi elde edilen şekilde tekrar ediyoruz. Başlangıç üçgeninin kenarı br ise, süreci sonsuza dek devam ettirdiğimizde, elde edilen şeklin dış çevresi ne olur? Peki ya üçgenin alanı br ise oluşan şeklin alanı ne olur?

123 6. Yakınsak Dizi Örnekleri I [Sierpinski Halısı] Aşağıdaki şekil yukardakiler gibi bir kareden o karenin dokuzda biri kareler çıkartılarak ve süreç sürekli sonsuza dek tekrarlanarak elde ediliyor. Sonsuzda elde edilen şeklin (siyah kısmın) alanını hesaplayın [Kaos] k sabit bir sayı, x = 0,8 ve x n+ = kx n ( x 2 n) olsun. k = 2,2 ve k = 2,4 için ilk dizinin 50 değerini örneğin Excel de hesaplayın. İki dizi arasındaki farkı görüyor musunuz? Aynı şeyi başka k değerleri için yapıp ne olup bittiğini anlamaya çalışın.

124

125 7. Dizi Çeşitleri 7. Monoton Diziler Artan ya da azalan bir diziye monoton dizi denir. Yani eğer bir (x n ) n dizisi her n için, x n x n+ koşulunu sağlıyorsa (yani artansa), ya da her n için, x n x n+ koşulunu sağlıyorsa (yani azalansa), o zaman bu diziye monoton dizi adı verilir. Örneğin ( ) n + 3 n + n azalan bir dizidir. Bazı diziler başlangıçta monoton olmasalar da zamanla, örneğin milyonuncu terimden sonra monotonlaşabilirler. Örnekler 7.. (a n) n dizisi artansa (azalansa), terimleri a a n n (n ) olan dizi de artandır (azalandır). Kanıt: Soruyu artan diziler için kanıtlayalım. a a n toplamına s n diyelim. İstediğimiz, s n n s n+ n + s n n s n + a n n + s n na n eşdeğerliğinden ve eşitsizliğinden çıkar. s n = a a n na n na n Eğer eşitsizliği mutlak eşitsizlikle değiştirirsek, kesin azalan ya da kesin artan dizi kavramını buluruz. Birçok kitapta bizim artan dediğimize azalmayan dense de, bu terminolojinin pek pratik olmadığını düşünüyoruz.

126 8 7. Dizi Çeşitleri 7.2. a > 0 olsun ve yukarda kanıtladığımızı terimleri a n = a n ( a) olan diziye uygulayalım. Bu dizinin azalan olduğunu kanıtlamak zor değil (ama kanıtı a ve a olarak iki parçaya ayırmak gerekir). Demek ki (s n) n dizisi de azalandır. s n = a a n n olduğundan, buradan kolaylıkla = ( a) + a( a) + + an ( a) n na n ( a) < a n < n( a) = an n çıkar (a n ) n ve (b n ) n iki dizi olsun. Her n için b n > 0 olduğunu ve (a n /b n ) n dizisinin artan (azalan) olduğunu varsayalım. O zaman terimleri a a n b b n olan dizi de artandır (azalandır). Kanıt: Kanıtı sadece artan diziler için yapalım. (a n ) n ve (b n ) n dizilerinin kısmi toplamlarını sırasıyla s n ve t n ile gösterelim. Önce () s n t n a n+ b n+ eşitsizliğini n üzerinden tümevarımla kanıtlayalım. n = 0 için her şey yolunda. () eşitsizliğini kabul edip (2) s n+ t n+ an+2 b n+2 eşitsizliğini kanıtlayalım. () eşitsizliğinden kolayca yani eşitsizliği çıkar. Ama varsayıma göre s n + a n+ t n + b n+ a n+ b n+, s n+ t n+ an+ b n+ a n+ b n+ a n+2 b n+2. Demek ki (2), dolayısıyla () de doğru. Şimdi (s n /t n ) n dizisinin artan olduğunu kanıtlayabiliriz. s n t n sn+ t n+ sn t n sn + an+ t n + b n+ ki son eşitsizliği bir paragraf önce kanıtlamıştık. sn t n an+ b n+, Alıştırmalar 7.4. Örnek 7. in ters istikametlisinin yanlış olduğunu kanıtlayın Örnek 7.2, n < 0 için doğru mudur? Doğru değilse ne tür bir eşitlik doğrudur? 7.6. Örnek 7.2, kesirli sayılar için doğru mudur? Doğru değilse ne tür bir eşitlik doğrudur? 7.7. Örnek 7.3 ün artan yerine azalan için de doğru olduğunu kanıtlayın.

127 7.. Monoton Diziler Örnek 7.3 ün ters istikametlisinin doğru olmadığını gösterin. Yani öyle (a n) n ve (b n) n dizileri bulun ki, (s n/t n) n dizisi artan olsun ama (a n/b n) dizisi artan olmasın a > 0 olsun. Her a n = a n+ ( a) ve b n = n + olsun. Örnek 7.3 ü an/bn dizisine uygulayın. Monoton dizilerin diğer dizilere göre önemli bir üstünlüğü vardır: Bu dizilerin yakınsak olmaları için sadece sınırlı olmaları yeterlidir. Nitekim, sezgilerimiz de, sürekli (ya da bir zaman sonra) artan bir dizinin, eğer terimleri belli bir sayıyı hiçbir zaman aşamıyorsa, belli bir sayıya (en küçük üstsınırına) yoğunlaşması gerektiğini söylüyor. Teorem 7.. Artan ve sınırlı bir dizi yakınsaktır. Eğer (x n ) n böyle bir diziyse, bu dizinin limiti sup{x n : n N} olur. Teorem, kesirli sayılar kümesi için geçerli değildir. [N2] de kesirli bir sayıya yakınsamayan birçok artan kesirli sayı dizisi örneği gördük. Daha ince zevklere hitap eden bir örnek verelim. x, kesirli olmayan herhangi bir gerçel sayı olsun. x, x ile x arasında olan herhangi bir kesirli sayı olsun. Eğer kesirli sayıları, x <... < x n < x x x i < i eşitsizlikleri doğru olacak biçimde tanımlanmışsa, x n+ sayısını, ( (x n, x) x ) n +, x açık aralığından herhangi bir kesirli sayı olarak seçelim. O zaman (x n ) n dizisi sürekli artan bir kesirli sayı dizisidir ve gerçel sayılarda x e yakınsar, ancak kesirli sayılar kümesinde limiti yoktur (çünkü x kesirli değil.) Bundan da, teoremin kanıtında, gerçel sayılarda doğru olan ama kesirli sayılarda doğru olmayan (SUP) aksiyomunun kullanılması gerektiği çıkar. Teorem 7. in Kanıtı: x = sup{x n : n N} olsun. x nin varlığını dizinin sınırlı olmasına ve SUP aksiyomuna borçluyuz. Elbette, her n N için x n x. Herhangi bir ϵ > 0 alalım. x ϵ < x olduğundan ve x, dizinin en küçük üstsınırı olduğundan, x ϵ, dizinin bir üstsınırı değildir. Demek ki, belli bir N sayısı için, x ϵ < x N x

128 20 7. Dizi Çeşitleri olur. Dolayısıyla her n > N için de, x ϵ < x N x n x olur, yani x n x = x x n ϵ olur. Teorem kanıtlanmıştır. Dizi, zamanla artan bir dizi olsa da sonuç değişmez elbet. Sonuç 7.2. Zamanla artan ve sınırlı olan bir dizi yakınsaktır. Eğer (x n ) n böyle bir diziyse ve dizi M göstergecinden sonra azalmamaya başlıyorsa, o zaman bu dizinin limiti sup{x n : n > M} olur. Benzer sonuçlar azalan diziler için de geçerli: Sonuç 7.3. Zamanla azalan ve sınırlı bir dizi yakınsaktır. Eğer (x n ) n böyle bir diziyse, bu dizinin limiti inf{x n : n N} olur. Sonuç 7.4. Zamanla monotonlaşan sınırlı diziler yakınsaktır. Ve elbette monoton bir dizi sınırlı değilse yakınsak olamaz, çünkü bildiğimiz gibi yakınsak her dizi sınırlı olmak zorundadır. Bu sonuçlar çok önemlidir ve birçok uygulamasını göreceğiz. Hemen başlayalım. Örnekler 7.0. Genel terimi n 2 olan diziye bakalım. Bu dizinin sürekli arttığı belli, her terime yeni pozitif bir sayı ekleniyor. Teoreme göre, eğer dizi sınırlıysa yakınsak olması gerekir. Bu elektronik çağda, insanın eli mecburen aygıtlara gidiyor. Dizinin ilk birkaç terimini bilgisayara hesaplatalım. / 2 = / 2 + /2 2 =,25 / 2 + /2 2 + /3 2 =,36... / 2 + /2 2 + /3 2 + /4 2 =, / 2 + /2 2 + / /5 2 =, / 2 + /2 2 + / /6 2 =, / 2 + /2 2 + / /7 2 =, / 2 + /2 2 + / /8 2 =, / 2 + /2 2 + / /9 2 =, / 2 + /2 2 + / /0 2 =, Toplamlar gittikçe büyüyorlar, doğru, ama bu, toplamların her sayıyı aşacağı anlamına gelmez. Örneğin, 0,9, 0,99, 0,999, 0,9999,...

129 7.. Monoton Diziler 2 dizisi de durmadan büyür, ama i hiçbir zaman geçemez. Birkaç terim daha hesaplayalım: / 2 + /2 2 + / /00 2 =, / 2 + /2 2 + / /200 2 =, / 2 + /2 2 + / /300 2 =, / 2 + /2 2 + / /000 2 =, / 2 + /2 2 + / / =, / 2 + /2 2 + / / =, / 2 + /2 2 + / / =, / 2 + /2 2 + / / =, Sanki dizi,65 i geçmeyecek gibi bir hisse kapıldınız mı? Doğru, haklısınız, hislerinizde yanılmadınız... Bu dizi π 2 /6 ya yakınsar. π yi ikinci ciltte tanımlayacağız. Limitin π 2 /6 ya eşit olduğunun kanıtı da bu kitabı aşar. Bunu olmasa da, dizinin en azından 2 yi geçemeyeceğini kanıtlayabiliriz. olsun. x n = n 2 Sav. Her n doğal sayısı için, x n 2 /n. Kanıt: n = için kanıtlayacak fazla bir şey yok. Eşitsizliği n için varsayıp n + için kanıtlayalım. Sav kanıtlanmıştır. x n+ = x n + (n + ) 2 2 n + (n + ) 2 = 2 n2 + n + n(n + ) 2 < 2 n2 + n n(n + ) 2 = 2 n +. Demek ki dizi 2 den küçük bir sayıya yakınsar. Bu arada, n 3n 2 2n + eşitsizliği tümevarımla kolaylıkla kanıtlandığından (kanıtlayın lütfen), dizinin limitinin, 5 ile 2 arasında bir sayı olduğu anlaşılır. (Bu dizinin limiti π 2 /6 dır. Euler kimsenin tahmin edemediği bu ünlü sonucu bulduğunda yer yerinden oynamıştı.) 7.. Peki n 3 dizisinin limiti nasıl bir sayıdır? /i 2 /i 3 olduğundan, bu yeni toplam π 2 /6 dan daha küçük bir sayıdır. (Sonlu toplamlar π 2 /6 dan küçük ama artan bir dizidir, dolayısıyla yakınsaktır.) Bu sayının hangi sayı olduğu bilinmiyor. Nasıl bir sayı olduğu da bilinmiyor, tek bildiğimiz, bu sayının kesirli bir sayı olmadığı. Bu da, sadece 990 ların başında kanıtlandı / 4 + /2 4 + /3 4 + / /n 4 toplamının limitinin kaç olduğu biliniyor. Genel olarak, eğer k çift bir sayıysa, k + 2 k + 3 k + 4 k + + n k toplamının limitinin π k ile kesirli bir sayının çarpımı olduğu biliniyor (Euler), örneğin, n lim n i = π i=

130 22 7. Dizi Çeşitleri ve lim n n i= i 6 = π Ama eğer k 5 tek bir sayıysa, bu sonsuz toplam üzerine pek bir şey bilindiğini sanmıyorum [Gauss] 0 a 0 b 0 ve a n+ = a n + b n 2 ve b n+ = a nb n olsun. Tümevarımla a n a n+ b n+ b n eşitsizliklerini göstermek kolay. Demek ki (a n) n ve (b n) n dizileri yakınsaktır. Limitlere sırasıyla a ve b dersek, a = a + b 2 yani a = b olur. Bu ortak değere a 0 ve b 0 sayılarının aritmetik-geometrik ortalaması adı verilir s 0 ve x 0 0 sayıları verilmiş olsun. Her n 0 için x n+ = s + x n tanımını yapalım. Her x n bu formülle gerçekten tanımlanır, nitekim eğer x n tanımlanmışsa, x n 0 olmak zorundadır, dolayısıyla s + x n 0 olur ve karekökü vardır, dolayısıyla x n+ de tanımlanmıştır. Her iki tarafın da karesini alarak x 2 n+ = s + x n buluruz, demek ki dizinin limiti eğer varsa, x 2 x s = 0 köklerinden biri olmalıdır. Ama köklerden küçük olanı negatif olduğundan, dizinin limiti varsa, bu limit ancak + + 4s 2 olabilir. Dizinin artanlığına azalanlığına karar verelim. x n+ x n x 2 n x n s önermesini kanıtlamak zor değil, x n+ yerine x n cinsinden ifadesini yazınca çıkıyor. Bunu kullanarak x n+ x n x n+2 x n+ önermesini kanıtlayabiliriz: x n+2 x n+ x 2 n+ x n+ s (x n + s) x n+ s x n+ x n. Demek ki dizi bir yerde artarsa her yerde artıyor, bir yerde azalırsa her yerde azalıyor, yani dizi monoton. Daha keskin bir ifadeyle (x n) n azalan x x 0 x 2 0 x 0 s. Dizi azalansa dizinin bir limiti olduğu belli. Şimdi dizinin üstten sınırlı olduğunu gösterelim ki dizinin her durumda yakınsadığı anlaşılsın. { α = max x 0, + } + 4s 2 olsun. Elbette x 0 α ve α 2 α s 0 olur. Eğer x n α eşitsizliğini varsayarsak, x 2 n+ = x n + s α + s α 2 ve buradan da x n+ α buluruz. Demek ki (x n ) n dizisi üstten sınırlıdır ve her durumda limiti vardır.

131 7.. Monoton Diziler [A] a 0 = 3/2 ve 3a n+ = 2 + a 3 n olsun. (a n) n dizisinin e yakınsadığını kanıtlayın. Kanıt: Eğer dizinin limiti varsa, bu limit 3x = 2 + x 3 eşitliğini sağlamalı. x 3 3x + 2 = (x ) 2 (x + 2) olduğundan bu limit ya olabilir ya da 2. Ayrıca a 0 < 0 ve a = /24 < 0 olduğundan, limit (eğer varsa) negatif gibi görünebilir ilk bakışta ama kolayca hesaplanabileceği üzere 0 < a 2 = , < oluyor. Dizinin tanımı kullanılarak buradan her n 2 için a n 0 eşitsizliği hemen görülüyor. Bu bilgiyle a n+ < a n < eşdeğerliğini de kanıtlamak kolay. Demek ki n 2 için 0 < a n <. Buradan n 2 için 3(a n+ ) = (2 + a 3 n) 3 = a 3 n = (a n )(a 2 n + a n + ) > 3(a n ) elde ederiz (çünkü a n < 0). Böylece (a n) n dizisinin bir zaman sonra artan olduğu anlaşılır. Demek ki dizinin limiti dir. Alıştırmalar 7.6. (n!/n n ) n dizisinin bir zaman sonra azaldığını kanıtlayın. Bu dizinin limitinin 0 olduğunu kanıtlayın r (0, ) olsun. (nr n ) n dizisinin bir zaman sonra azaldığını, dolayısıyla yakınsak olduğunu kanıtlayın. Dizinin 0 a yakınsadığını kanıtlayın r (0, ) olsun. (n 2 r n ) n dizisinin bir zaman sonra azaldığını, dolayısıyla yakınsak olduğunu kanıtlayın. Dizinin 0 a yakınsadığını kanıtlayın r (, ) ve sabit bir k N için (n k r n ) n dizisinin 0 a yakınsadığını kanıtlayın Terimleri 3 5 (2n ) a n = (2n) olan dizinin yakınsak olduğunu kanıtlayın a = 3 ve a n+ = 3(+a n) 3+a n olsun. lim n a n = 3 eşitliğini kanıtlayın Terimleri n + n n + n olan dizinin ile 2 arasında değer aldığını ve arttığını kanıtlayın. Dolayısıyla bu dizinin bir limiti vardır a > 0 ve x 0 > olsun. Her n N için x n+ = 2 ( x n + a ) x n olsun. ( ) 2 a. x 2 n+ a = x 4 n a x n eşitliğini kanıtlayın. b. Bundan x n a eşitsizliğini çıkarın. c. x n x n+ = x2 n a 2x n eşitliğini kanıtlayın. d. Bundan (x n) n dizisinin azalan olduğunu gösterin. e. lim n x n = a eşitliğini gösterin. 2 Limit ln 2 dir. Ancak logaritma gelecek ciltte tanımlanacak.

132 24 7. Dizi Çeşitleri a 0 ve b 0 iki pozitif sayı olsun. a n+ = a n+b n ve b 2 n+ = a n+b n tanımını yapalım. (a n) n ve (b n) n dizilerinin monoton olduklarını ve aynı limite yakınsadıklarını kanıtlayın a 0 ve b 0 iki pozitif sayı olsun. a n+ = a n+b n ve a 2 n+b n+ = a nb n olsun. (a n) n ve (b n) n dizilerinin monoton olduklarını ve a 0b 0 sayısına yakınsadıklarını kanıtlayın s 0, x 0 0 ve x n+ = s +x n olsun. Dizinin limiti varsa bu limitin ancak x 2 + x s = 0 denkleminin pozitif kökü olabileceğini, yani olabileceğini gösterin s 2 x n+ x n x n x n önermesini kanıtlayın. Dizinin monoton olduğunu kanıtlayın. Eğer dizi azalansa dizinin yakınsak olduğunu kanıtlayın. Eğer dizi artansa, her n için a n s + a 0 eşitsizliğini kanıtlayın. Dizinin her durumda yakınsak olduğunu kanıtlayın s 0, x 0 0 ve x n+ = s/x n + olsun. Yukardakine benzer analizi bu dizi için yapın a n = olsun. } {{ } n tane i. (a n ) n dizisinin artan olduğunu kanıtlayın. ii. a n+ = + a n eşitliğini kanıtlayın. iii. Yukardaki eşitlikten, limitin eğer varsa (altın oran olarak bilinen) ϕ = sayısına eşit olduğunu kanıtlayın. iv. Altın oranın 2 den küçük olduğunu kanıtlayın. v. Her n için a n < 2 eşitsizliğini kanıtlayın. vi. Bütün bunlardan, lim n a n = ϕ eşitliğini kanıtlayın b n = n olsun. i. (b n) n dizisinin artan olduğunu kanıtlayın. ii. b n = n eşitliğini kanıtlayın n iii. a n bir önceki alıştırmadaki gibi olsun. (b) kısmından hareketle b n < 2a n eşitliğini kanıtlayın. iv. (b n ) n dizisinin yakınsak olduğunu kanıtlayın Terimleri a n = olan dizi yakınsak mıdır ve öyleyse hangi } {{ } n tane sayıya yakınsar?

133 7.2. Sonsuza Iraksayan Diziler I Sonsuza Iraksayan Diziler I Bir önceki bölümde, Örnek 6.0 te sürekli artan n 2 dizisinin (örneğin 2 tarafından) üstten sınırlı olduğunu, dolayısıyla yakınsak olduğunu gösterdik. Bu bölümde, gene sürekli artan ve harmonik dizi adı verilen n dizisini ele alacağız. Bu dizi de bir önceki dizi gibi sınırlı mı ve dolayısıyla yakınsak mıdır? Bu altbölümde bu soruyu ele alacağız. Dizinin ilk terimlerine bakıp bir tahminde bulunmaya çalışalım. = + 2 =, =, = 2, = 2, = 2, = 2, = 2, = 2, = 2, İlk on terimde sadece 2 yi geçtik, henüz 3 e varamadık. Bu toplamlar bir zaman sonra -örneğin- 00 ü geçer mi? Geçerse ne zaman geçer? Bilgisayara hesaplattık bu toplamları. Eğer H n = n tanımını yaparsak, bulduğumuz sonuçları daha rahat yazabiliriz:

134 26 7. Dizi Çeşitleri H = H = 3, H 2 =,5 H 2 = 3, H 3 =, H 3 = 3, H 4 = 2, H 4 = 3, H 5 = 2, H 5 = 3, H 6 = 2,45 H 6 = 3, H 7 = 2, H 7 = 3, H 8 = 2, H 8 = 3, H 9 = 2, H 9 = 3, H 0 = 2, H 20 = 3, İlk 20 toplamda henüz 4 e varamadık, yanına bile yaklaşamadık. Bilgisayarda daha da ileri gittik. 4 ü ancak 3 inci toplamda aşabildik: H 30 = 3, H 3 = 4, Ya 5 i aştık mı? Aştık. Ama oldukça geç aştık, ancak 83 üncü toplamda aşabildik: 6 yı da aştık. 227 nci toplamda... H 82 = 4, H 83 = 5, H 226 = 5, H 227 = 6, yi aşmak için çok bekledik. 7 yi ancak 66 ncı terimde aşabildik: H 65 = 6, H 66 = 7, i aşıp aşmayacağımız merak konusu... Onu da aştık: H 673 = 7, H 674 = 8, Ya 9? 9 u aşabilir miyiz? Aştık, daha doğrusu bilgisayar aştı: H 4549 = 8, H 4550 = 9,

135 7.2. Sonsuza Iraksayan Diziler I 27 0 u, i, 2 yi de aştık: H 2366 = 9, H 2367 = 0, H 3366 = 0, H 3368 =,... H 9328 = 2, Her sayıyı bir zaman sonra aşacak mıyız? Örneğin 00 ü aşacak mıyız? Evet aşacağız!, üncü toplamdan sonra... Baklayı ağzımızdan çıkaralım: Yukardaki dizi sonsuza gider. Yani her sayıyı bir zaman sonra aşarız. Kanıtlayalım bunu. Şu tablodaki eşitsizliklere bakalım: > = > = > = > = 2. Bu hesaplardan sonra dizinin neden her sayıyı aştığı anlaşılıyor: H 2 n = + n }{{ 2} 2. n tane Dolayısıyla dizi bir sayıya yakınsamaz çünkü sürekli artarak her sayıyı bir zaman sonra geçer. Bu tür diziler için özel bir terim kullanılır: Dizinin sonsuza gittiği ya da sonsuza ıraksadığı söylenir. Hatta kimi zaman, sanki sonsuz diye bir sayı varmışçasına dizi sonsuza yakınsar denir. Matematiksel tanımı verelim: Tanım. (x n ) n bir dizi olsun. Hangi A sayısı verilirse verilsin, eğer her n > N için, x n > A eşitsizliğini sağlayan bir N göstergeci varsa, o zaman (x n ) n dizisinin sonsuza gittiği ya da ıraksadığı söylenir ve bu, lim x n = n

136 28 7. Dizi Çeşitleri olarak yazılır. Dikkat: Burada sonsuz diye bir kavramı tanımlamadık, sadece bir dizinin sonsuza gitmesi nin ne demek olduğunu söyledik, yani dizi sonsuza gidiyor kavramını tanımladık. Tanımımıza göre, sonsuza gitmek demek, her sayıyı belli bir aşamadan sonra hep geçmek demektir. lim n x n = yazıldığında aslında bir eşitlikten söz edilmemektedir, çünkü diye özel bir matematiksel nesne tanımlanmamıştır. Ama lafın gelişi ve alışkanlıklardan dolayı lim n x n = eşitliği nden bahsedeceğiz. Demek ki yukarıda, eşitliğini kanıtladık. Örnekler lim n ( n ) = ,, 2, 3, 4, 5, 6,... dizisi de sonsuza gider elbet Ancak, 0,,,, 2,, 3,, 4,, 5,, 6,,... dizisi sonsuza gitmez, çünkü her iki terimin arasına konmuş olan ler dizinin sonsuza gitmesini engellerler Terimleri n olan dizi sonsuza gider çünkü bu dizi artandır ve içinde n 2 = n sayılarını barındırır, dolayısıyla her doğal sayıyı bir zaman sonra aşar Terimleri olan dizi sonsuza ıraksar çünkü, n i + + i i + + i = i + i eşitliği geçerlidir ve dolayısıyla n n ( i ) = + i = n + i + + i olur. Bir önceki örneğe göre n + sayısı her sayıyı aştığından dizimiz sonsuza ıraksar. x (Cauchy, 82) Eğer lim n x n = ise lim + +x n n = olur. n Kanıt: 0 < A R olsun. M göstergeci, n > M x n > 2A olacak biçimde seçilmiş olsun. O zaman B = x + + x M 2MA tanımıyla x + + x n n = x + + x M n > x + + x M n + x M+ + + x n n 2(n M)A + n = 2A + x + + x M 2MA = 2A + B n n buluruz. Negatif de olabilecek olan B sayısı M ye bağımlı ama n den bağımsız. Sağ taraftaki n yi istediğimiz kadar büyük alabileceğimizden, n yi yeterince büyük, diyelim belli bir P den büyük seçersek B n < A

137 7.2. Sonsuza Iraksayan Diziler I 29 olur. Şimdi N = max{m, P } olsun. Her n > N için, x + + x n n olur lim n x n = x ise ve (u n) n pozitif dizisi için > 2A + B n > 2A A = A lim (u0 + + un) = n ise, u 0 x u n x n lim = x n u u n olur. Not: u i = alırsak bir önceki örneği elde ederiz.

138 30 7. Dizi Çeşitleri Kanıt: ϵ > 0 olsun. Her i > N için x x i < ϵ eşitsizliğinin sağlandığı bir N seçelim. n > N olsun. n u n ix i n x = u i(x i x) N n = u n i(x i x) i=n+ n + u i(x i x) n ui ui ui ui olduğundan, üçgen eşitsizliğinden, N A = u i(x i x) tanımıyla, n u ix i n u i x n A i=n+ n u + u i x i x n i u < i A n u + ϵ i eşitsizliğini elde ederiz. n yi sonsuza götürdüğümüzde sağ taraf ϵ a yakınsadığından ve ϵ rastgele seçildiğinden, Sandviç Teoremi nden istediğimizi elde ederiz. x (y n) n kesin artarak sonsuza ıraksayan bir dizi olsun. Eğer lim n x n n y n y n = z ise x lim n n yn = z olur 3. Kanıt: u n = y n y n > 0 ve u 0 = y 0 olsun. O zaman y n = u 0 + u + + u n olur. Ve v n = x n x n ve v 0 = x 0 olsun. O zaman x n = v 0 + v + + v n olur. Demek ki, (u n) n pozitif artan bir diziyse ve lim n (u u n) = ve lim n v n/u n = z ise v 0 + v + + v n lim = z n u 0 + u + + u n eşitliğini kanıtlamamız lazım. Şimdi z n = v n/u n tanımını yapalım. Bu tanımla, (u n) n pozitif artan bir diziyse ve lim n (u u n ) = ve lim n z n = z ise u 0 z 0 + u z + + u n z n lim = z n u 0 + u + + u n eşitliğini kanıtlamamız lazım, ki bunu da bir önceki örnekte kanıtlamıştık. Uygulama olarak bir 0 < k N alalım. x n = k + 2 k + + n k ve olsun. Yukarda kanıtlanana göre, y n = n k+ k + 2 k + + n k n k lim = lim n n k+ n n k+ (n ) = k+ k + olur (bkz. Alıştırma 5.26). Bir dizinin sonsuza gitmesi için, artan olması gerekmez, örneğin,, 0, 2,, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 6, 5,... (terimleri ikişer ikişer gruplarsanız dizinin nasıl devam ettiğini anlarsınız) dizisi artan değildir ama sonsuza gider. Öte yandan aşağıdaki sonuç doğrudur: 3 Analizde pek sık kullanılan L Hospital kuralını bilene bu önerme ilginç gelecektir.

139 7.2. Sonsuza Iraksayan Diziler I 3 Teorem 7.5. Artan bir dizi ya yakınsaktır ya da sonsuza gider. Kanıt: Dizi sınırlıysa, o zaman limitinin olduğunu biliyoruz. Eğer sınırsızsa, o zaman belli bir N göstergecinden sonra verilmiş herhangi bir A sayısını aşar. Ama dizi artan olduğundan, o göstergeçten sonra A sayısını sürekli aşar. Benzer biçimde eksi sonsuza gitme yi de tanımlayabiliriz. Tanım. (x n ) n bir dizi olsun. Hangi A sayısı verilirse verilsin, eğer her n > N için, x n < A eşitsizliğini sağlayan bir N göstergeci varsa, o zaman (x n ) n dizisinin eksi sonsuza (ya da a) gittiği söylenir ve bu, olarak yazılır. lim x n = n Teorem 7.6. lim n x n = lim n x n =. Kanıt: Kolaydır ve okura bırakılmıştır. Altbölümün başında ele aldığımız H n = n dizisi çok önemlidir, çünkü bu dizi sonsuza gider ama sonlu bir sayıya gitmesine - tabiri caizdir! - ramak kalmıştır, yani sonsuza çok yavaş gider. Örneğin eğer s > ise, s + 2 s + + n s dizisi yakınsaktır, limiti sonlu bir sayıdır, s, e ne kadar yakın olursa olsun, s =,000 olsa bile, yeter ki den büyük olsun... Bunu ilerde, gerçel sayılarda üs almayı tanımladığımızda kanıtlayacağız. Ama okur, şimdilik, s yi kesirli bir sayı alarak kanıtlamaya çalışabilir. Güzel ve yararlı bir alıştırmadır. Alıştırmalar Şu eşitlikleri kanıtlayın: lim n (n2 n) =, n 2 n 2 lim =, lim n n n 3 + n = Sonsuza ıraksayan iki dizinin toplamının da sonsuza gittiğini kanıtlayın Sonsuza ıraksayan iki dizinin çarpımının da sonsuza gittiğini kanıtlayın.

140 32 7. Dizi Çeşitleri 7.4. Terimleri n n i= i olan dizi hangi terimden sonra azalmaya başlar? (Bkz. Örnek 5.2 ve 6.9) lim n x n = ise ve r > 0 ise, lim n rx n = eşitliğini kanıtlayın A, onluk tabanda yazıldığında içinde 0 rakamının belirdiği pozitif doğal sayılar kümesi olsun. n A /n = eşitliğini kanıtlayın p(x) = a k X k + + a X + a 0 bir polinom olsun. a k > 0 olsun. lim n p(n) = eşitliğini kanıtlayın p(x) = a k X k + + a X + a 0 bir polinom olsun. a k > 0 olsun. q(x) = b l X l + + b X + b 0 da bir polinom olsun ve b l > 0 olsun. Ayrıca k > l olsun. p(n) lim n q(n) = eşitliğini kanıtlayın α, bir 0-dizisiyse, f α (n), α nın ilk n terimindeki sayısı olsun. (f α (n)/n) n dizisinin ıraksadığı bir α dizisi yaratın. Verilmiş bir p [0, ] sayısı için f α(n) lim = p n n eşitliğini sağlayan bir α dizisinin varlığını kanıtlayın. 7.3 Cauchy Dizileri Yakınsak dizinin tanımına bakılırsa, bir dizinin yakınsak olduğunu kanıtlamak için önce dizinin limitini bilmek lazım gibi bir hisse kapılabilir insan. Bu bölümde, bir dizinin yakınsak olduğunu dizinin limitini bilmeden de kanıtlayabileceğimizi göreceğiz. Aslında Bölüm 7 de de yapmıştık bunu. Artan ve üstten sınırlı bir dizinin limiti olduğunu limiti bilmeden kanıtlamıştık, örneğin ( lim n ) n 2 limitinin kaç olduğunu bilmeden limitin varlığını kanıtlamıştık. Yakınsak bir dizi limitine çok çok çok yaklaştığından, dizinin terimleri birbirlerine çok çok çok yakınlaşırlar. Nitekim eğer ϵ > 0 verilmişse, a sayısına yakınsayan bir dizinin terimleri belli bir aşamadan sonra a ya ϵ/2 den daha yakın olurlar;

141 7.3. Cauchy Dizileri 33 dolayısıyla o aşamadan sonra, dizinin terimleri birbirlerine, yukardaki şekilde de görüleceği üzere, ϵ dan daha yakın olurlar. Bu tür dizilere Cauchy dizileri denir. (Koşi diye okunur.) Matematiksel tanım şöyle: Tanım. (x n ) n bir dizi olsun. Eğer her ϵ > 0 için, x n x m < ϵ eşitsizliğinin her n, m > N için sağlandığı bir N göstergeci varsa, (x n ) n dizisine Cauchy dizisi denir. Tanım, Cauchy dizilerinin terimlerinin belli bir zaman sonra birbirlerine çok yakın olduklarını, daha doğrusu, Cauchy dizilerinin terimlerini birbirlerine istediğimiz kadar yaklaştırabileceğimizi söylüyor, yeter ki göstergeçleri yeterince büyük seçelim. Cauchy olmak da, yakınsamak gibi, dizinin kuyruğunu ilgilendiren bir özelliktir. Bir dizinin başından istediğimiz kadar terim atalım ya da başına istediğimiz kadar terim ekleyelim, dizinin koşiliği bozulmaz. Bir dizinin Cauchy dizisi olduğunu kanıtlamak için önce rastgele bir ϵ > 0 sayısı seçilir. Ardından, x n x m < ϵ eşitsizliğinin doğru olması için n ve m nin ne kadar büyük olması gerektiği araştırılır. Bunun için de x n x m terimiyle dikkatli bir biçimde -terimi fazla büyütmemeye çalışılarak- oynanır. Örnekler (x n ) n dizisinin Cauchy olduğunu kanıtlamak için, x k+ x k ifadesini (ardışık terimlerin farkını) küçük yapmak yetmez, çünkü x k+ x k ifadesi çok küçük olsa da x n x m çok küçük olmayabilir. buna bir örnektir; x n = n x k x k+ = k + olur, dolayısıyla çok küçülür ama m kaç olursa olsun, n yi çok büyük alarak x n x m sayısını dilediğimiz kadar büyütebiliriz, örneğin den büyük yapabiliriz. (Bkz. Bölüm 7.2.) Öte yandan eğer her k için x k x k+ < 2 k ise o zaman (x n ) n dizisi Cauchy olur. Nitekim n > m olsun. x m x n = (x m x m+) + (x m+ x m+2) + + (x n x n)

142 34 7. Dizi Çeşitleri olduğundan, x m x n x m x m+ + x m+ x m x n x n 2 + m m+ 2 n = ( + 2 m 2 + ) n m = /2 n m = 2 m /2 2 ( m /2n m ) < 2 m olur. Demek ki verilmiş bir ϵ için N yi N > /ϵ olacak biçimde seçersek, her n > m > N için, x n x m < 2 m 2 N N < ϵ olur Her n > 0 için a n {0,, 2, 3,..., 8, 9} olsun, yani a n bir rakam olsun. a 0 da herhangi bir doğal sayı olsun. x n = a 0 + a 0 + a a n 2 0 n tanımını yapalım. Daha ekonomik bir yazılımla: x n = n a i 0 i. i= (x n) n dizisinin bir Cauchy dizisi olduğunu kanıtlayalım. ϵ > 0 herhangi bir pozitif gerçel sayı olsun. x n x m < ϵ eşitsizliğinin yeterince büyük n ve m göstergeçleri için doğru olduğunu kanıtlayacağız. Sanki bu dediğimiz doğruymuş gibi davranıp, bu eşitsizliğin doğru olması için n ve m nin ne kadar büyük olması gerektiğini bulalım. n m varsayımını yapabiliriz çünkü x n x m = x m x n. Şimdi x n x m ifadesiyle oynayalım: n m x n x m = a i0 i a i0 i = = i= n i=m+ a i 0 i i= = 9 0 m n i=m+ n m = 9 0 m j=0 n i=m+ = 9 0 m 0 n m 9 0 n i=m+ 9 0 i = 9 a i0 i n i=m+ 0 i n m 0 i+m+ = 9 0 m j=0 0 j 0 = 9 j 0 m 0 n m 0 ( = 0 m ) 0 m. 0 n m Üçüncü satırda son eşitlikte j = i m değişikliğini yaptık. Dördüncü satırda Önsav 3.4 te kanıtlanan eşitliği a = /0 için kullandık.

143 7.3. Cauchy Dizileri 35 Yukardaki hesaptaki eşitsizliklerin her biri son derece ekonomiktir: İkinci satırdaki eşitsizlik zorunlu bir eşitsizliktir, çünkü a i lerin her biri bal gibi de 9 olabilirler. Son satırdaki eşitsizlik de zorunlu, çünkü m sabit kalıp n çok büyüdüğünde (sonsuza gittiğinde), /0 n m sayısı e kadar dayanır. Bu hesaptan, 0 m yi ϵ dan küçük yapmamız gerektiğini anlıyoruz. olduğundan, Teorem 6. e göre, 0 < 0 < lim m 0 m = 0 olur. Dolayısıyla öyle bir N vardır ki, her m > N için, 0 m < ϵ olur. Alıştırma c < olsun. (a n) n dizisinin terimleri n için a n+ a n < c n eşitsizliğini sağlasın. O zaman (a n ) n dizisi bir Cauchy dizisidir. İpucu: Örnek 48. Görüldüğü gibi bir dizinin Cauchy dizisi olduğunu kanıtlamak her zaman kolay olmayabilir. Ama çoğu zaman bir dizinin limiti bilinemeyeceğinden, bilinebilse de bulmak kolay olmayabileceğinden, Cauchy dizisi kavramı çok yararlıdır. İlk paragrafta her yakınsak dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu söyledik ve bunun edebi bir kanıtını verdik. Bunu matematiksel olarak kanıtlayalım: Teorem 7.7. Her yakınsak dizi Cauchy dizisidir. Kanıt: (x n ) n yakınsak bir dizi olsun. ϵ > 0, herhangi bir pozitif gerçel sayı olsun. Dizinin limitine a diyelim. Demek ki, öyle bir N doğal sayısı vardır ki, her n > N için, x n a < ϵ/2 olur. Dolayısıyla, n, m > N için, x n x m = (x n a) + (a x m ) x n a + a x m < ϵ 2 + ϵ 2 = ϵ. Kanıt tamamlanmıştır. Sonuç 7.8. (a n ) n bir dizi olsun. s n = a 0 + a + + a n olsun. Eğer (s n ) n dizisi yakınsaksa (a n ) n dizisi 0 a yakınsar. Kanıt: ϵ > 0 herhangi bir gerçel sayı olsun. (s n ) n dizisi yakınsak olduğundan, bir Cauchy dizisidir, dolayısıyla, her n, m > N için, s m s n < ϵ

144 36 7. Dizi Çeşitleri eşitsizliğinin sağlandığı bir N vardır. Böyle bir N yi sabitleyelim. Eğer n > N + ise, yukardaki m yerine n alarak, s n s n < ϵ buluruz. Ama s n s n = a n olduğundan, bu da a n < ϵ demek olur ve böylece aradığımız sonuç kanıtlanır. İkinci Daha Basit Kanıt: a n = s n s n olduğundan ve lim n s n = lim n s n olduğundan, sonuç hemen çıkar. Sonuç 7.9. Eğer (a n ) n dizisi 0 a yakınsamıyorsa, terimleri s n = a 0 + a + + a n olarak tanımlanan (s n ) n dizisi yakınsak değildir. Yukardaki sonuçların tersi doğru değildir, yani bir (a n ) n dizisi 0 a yakınsayabilir ama terimleri, s n = a 0 + a + + a n olarak tanımlanan (s n ) n dizisi yakınsamayabilir. Örneğin, n için, a n = n + alırsak (a n ) n dizisi 0 a yakınsar ama terimleri n olan dizi bildiğimiz gibi sonsuza gider (Bölüm 7.2), yakınsamaz. Bir Cauchy dizisinin terimleri birbirlerine çok yakın olduğundan, bir Cauchy dizisinin sınırlı olması şaşırtıcı olmamalı. Nitekim öyledir, Cauchy dizileri sınırlıdır. Bunu şimdi kanıtlayacağız. Birkaç sayfa sonra, Teorem 8.5 te her Cauchy dizisinin yakınsak olduğunu kanıtlayacağız, bundan da her Cauchy dizisinin sınırlı olduğu çıkar, ama bu bir kanıt sayılmaz çünkü zaten her Cauchy dizisinin yakınsak olduğunu kanıtlamak için aşağıdaki bu olguya gereksineceğiz. Teorem 7.0. Her Cauchy dizisi sınırlıdır. Kanıt: (x n ) n bir Cauchy dizisi olsun. Tanımdaki ϵ u, örneğin, seçelim. Demek ki, öyle bir N göstergeci vardır ki, her n, m > N için, x n x m <

145 7.3. Cauchy Dizileri 37 olur. Demek ki, her n > N için, x n x N+ < olur; bir başka deyişle, x N+ < x n < x N+ + olur. Şimdi b = max{x 0, x,..., x N, x N+ + } ve a = min{x 0, x,..., x N, x N+ } olsun. O zaman, her n için, a x n b olur. Alıştırmalar 7.5. Eğer (x n) n bir Cauchy dizisiyse ( x n ) n dizisinin de Cauchy olduğunu kanıtlayın Eğer (x 2 n) n bir Cauchy dizisiyse ( x n ) n dizisinin de Cauchy olduğunu kanıtlayın Monoton ve sınırlı bir dizinin Cauchy olduğunu kanıtlayın İki Cauchy dizisinin toplamının, farkının ya da çarpımının da Cauchy olduğunu kanıtlayın Eğer (x n ) n bir Cauchy dizisiyse ve p(x) bir polinomsa, (p(x n )) n dizisinin de Cauchy olduğunu kanıtlayın (x n ) n bir Cauchy dizisi ve a R olsun. Eğer {n N : x n < a} ve {n N : x n > a} kümeleri sonsuzsa, o zaman (x n ) n dizisinin a ya yakınsadığını kanıtlayın Eğer (x n) n bir Cauchy dizisiyse ve 0 a yakınsamıyorsa, her n > N için, x n > δ eşitsizliğinin sağlandığı bir N doğal sayısı ve bir δ > 0 olduğunu kanıtlayın Eğer (x n) n Cauchy dizisi 0 a yakınsamıyorsa ve her terimi 0 dan değişikse, her n için, x n > δ eşitsizliğinin doğru olduğu pozitif bir δ sayısının varlığını kanıtlayın Eğer (x n) n ve (y n) n birer Cauchy dizisiyse, her n için y n 0 ise ve (y n) n dizisi 0 a yakınsamıyorsa, (x n/y n) n dizisinin de Cauchy olduğunu kanıtlayın Diziler kümesi üzerine şu ilişkiyi tanımlayalım: (x n) n (y n) n (x n y n) n Cauchy dizisidir. Bu ilişkinin bir denklik ilişkisi olduğunu kanıtlayın Diziler kümesi üzerine şu ilişkiyi tanımlayalım: (x n) n (y n) n lim (xn yn) = 0. n Bu ilişkinin bir denklik ilişkisi olduğunu kanıtlayın (x n ) n bir dizi olsun. Sabit bir r (0, ) ve her n için, x n+ r x n olsun. ( n x ) i dizisinin Cauchy olduğunu kanıtlayın. n

146

147 8. Gerçel Sayıların Tamlığı Yakınsak bir dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu Teorem 7.7 de kanıtlamıştık. Bu bölümde her Cauchy dizisinin (gerçel sayılar kümesinde) yakınsak olduğunu kanıtlayacağız. Önce altdizi kavramından başlayacağız, ana teoremimizi ikinci altbölümde kanıtlayacağız. 8. Altdiziler Herhangi bir dizi ele alalım: x 0, x, x 2, x 3,... ve bu dizinin içinden göstergeci çift olan terimleri seçelim: x 0, x 2, x 4, x 6,... Bu ikinci dizi, birincisinin altdizisidir. Bir başka altdizi, göstergeci asal olan terimlerden seçilebilir: x 2, x 3, x 5, x 7, x,... Ya da dizinin ilk birkaç terimini silip bir başka altdizi elde edebiliriz: Öte yandan, x 3, x 4, x 5, x 6,... x 3, x 2, x 5, x 7, x,... dizisi yukardaki ilk dizinin bir altdizisi olmayabilir, çünkü göstergeçler artan bir biçimde seçilmemiş, ilk iki terimde terslik var. Ancak x 3 terimi x 0 ya da x e eşitse bu dizi birinci dizinin bir altdizisi olabilir. Eğer x 3 terimi x 0, x ya da x 2 ye eşit değilse x 3, x 3, x 5, x 7, x,... dizisi de en baştaki dizinin bir altdizisi olmayabilir. Tanımı hissettirdikten sonra matematikselleşelim. Bir (x n ) n dizisi verilmiş olsun. Ayrıca, sürekli artan, yani her k için n k < n k+ eşitsizliğini sağlayan bir (n k ) k doğal sayı dizisi verilmiş olsun. O zaman, (x nk ) k dizisine (x n ) n dizisinin altdizisi adı verilir.

148 40 8. Gerçel Sayıların Tamlığı Eğer y k = x nk tanımını yaparsak, (x nk ) k = (y k ) k olur ve böylece alışık olduğumuz (y k ) k yazılımına kavuşuruz. Tanımı şöyle de verebilirdik. A N sonsuz bir altküme olsun. O zaman, göstergeçlerine göre doğal olarak sıralanmış (x k ) k A dizisi (x n ) n dizisinin bir altdizisidir. Örneğin A = 2N ise, elde ettiğimiz altdizi x 0, x 2, x 4, x 6,... altdizisi olur. Bir başka deyişle, bir altdizi, bir x 0, x, x 2, x 3, x 4, x 5,... Örneğin, yukar- dizisinden bazı terimlerin atılmasıyla elde edilen bir dizidir. daki diziden bazı terimleri silerek, altdizisini, yani x 0, x, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6,... x, x 3, x 4, x 6,... altdizisini elde ederiz. Eğer şansımız yaver gider de, x 3 = x 0 ya da x 3 = x olursa, o zaman, x 3, x 2, x 5, x 7, x,... dizisi (x n ) n dizisinin bir altdizisi olur, yoksa olmaz. Altdizilerde sık sık kanıtı çok basit olan şu olgu kullanılır: Kesin artan bir (n k ) k doğal sayı dizisi için, k n k olur. Bunu k üzerine tümevarımla kanıtlayabiliriz. Eğer k = 0 ise sorun yok, çünkü ne de olsa doğal sayı dizilerinden sözediyoruz. Eğer k 0 ise ve k n k ise, o zaman, k + n k + n k+ olur ve istediğimiz kanıtlanmış olur. İlk teoremimizde bu olguyu kullanacağız. Teorem 8.. Bir Cauchy dizinin her altdizisi Cauchy dir. Kanıt: (x n ) n, bir Cauchy dizisi, (x nk ) k dizisi de bu dizinin bir altdizisi olsun. ϵ > 0 herhangi bir sayı olsun. Öyle bir N var ki, her n, m > N için, x n x m < ϵ. Şimdi eğer k, l > N ise N < k n k ve N < l n l olduğundan, x nk x nl < ϵ olur. Bu da bizim kanıtlamak istediğimizdi. Benzer sonuç yakınsak diziler için de geçerlidir.

149 8.. Altdiziler 4 Teorem 8.2. Yakınsak bir dizinin altdizisi de yakınsaktır ve iki dizi aynı limite yakınsarlar. Kanıt: (x n ) n, bir a sayısına yakınsayan bir dizi olsun, (x nk ) k dizisi de bu dizinin bir altdizisi olsun. ϵ > 0 herhangi bir sayı olsun. Öyle bir N var ki, her n > N için, x n a < ϵ. Şimdi eğer k > N ise N < k n k olduğundan, olur. Bu da kanıtlamak istediğimizdi. x nk a < ϵ Yukardaki teoremin tersi yanlıştır elbet, yani yakınsak bir altdizinin varlığı dizinin yakınsak olduğu anlamına gelmez, mesela (( ) n ) n dizisinin, sabit dizisi ve sabit dizisi olmak üzere iki altdizisi vardır. Ancak şu teorem geçerlidir: Teorem 8.3. (x n ) n bir dizi ve A ve B, bileşimleri N olan iki sonsuz altküme olsun. Eğer (x n ) n A ve (x n ) n B altdizileri yakınsaksa ve aynı sayıya yakınsıyorlarsa o zaman (x n ) n dizisi de yakınsaktır ve bu ortak limite yakınsar. Kanıt: Ortak limite l diyelim. ϵ > 0 olsun. Varsayıma göre ve (n A ve n > N A ) x n l < ϵ (n B ve n > N B ) x n l < ϵ önermelerini sağlayan N A ve N B sayıları vardır. N = max{n A, N B } olsun. Eğer n > N ise, x n l < ϵ olur. Şimdi yukardakilerden daha zor ve daha fazla uygulaması olan bir sonuç kanıtlayacağız. Teorem 8.4. Bir Cauchy dizisinin bir altdizisi yakınsaksa dizinin kendisi de yakınsaktır ve her iki dizi de aynı limite yakınsar. Kanıt: (x n ) n, bir Cauchy dizisi olsun. (x nk ) k dizisi de bu dizinin yakınsak bir altdizisi olsun, diyelim a ya yakınsasın. (x n ) n dizisinin de a ya yakınsadığını kanıtlayacağız. ϵ > 0 herhangi bir sayı olsun. x n a sayısının bir zaman sonra, yani belli bir göstergeçten sonra ϵ dan küçük olduğunu göstereceğiz. Her zaman yaptığımız gibi, x n a < ϵ.

150 42 8. Gerçel Sayıların Tamlığı eşitsizliğinin doğru olması için n nin ne kadar büyük olması gerektiğini bulacağız. Bunun için, soldaki x n a ifadesiyle oynayıp, bu ifadeyi bildiğimiz küçük ifadeler cinsinden üstten sınırlayacağız. k herhangi bir doğal sayı olsun. Üçgen eşitsizliğinde x n a = (x n x nk ) + (x nk a) x n x nk + x nk a elde ederiz. En sondaki x n x nk ve x nk a ifadelerinin her birini küçültmeye çalışmalıyız. Birinci ifade (x n ) n bir Cauchy dizisi olduğundan, ikinci ifade ise (x nk ) k dizisi a ya yakınsadığından küçülür. Ayrıntılar önemli, ayrıntıları yazalım. Her iki ifadeyi de ϵ/2 den küçük yapacağız. Birinci ifadeden başlayalım. (x n ) n bir Cauchy dizisi olduğundan, öyle bir N vardır ki, her n, m > N için, x n x m < ϵ/2 olur. Demek ki eğer k, n > N ise, n k k > N olur ve x n x nk < ϵ/2 eşitsizliği elde edilir. İkinci ifadeye geçelim. (x nk ) k dizisi a ya yakınsadığından, öyle bir N vardır ki, her k > N için, x nk a < ϵ 2 olur. Şimdi k, hem N den hem de N den büyük herhangi bir sabit göstergeç olsun. Her n > k için, x n a = (x n x nk ) + (x nk a) x n x nk + x nk a < ϵ 2 + ϵ 2 = ϵ elde ederiz. Bu da teoremi kanıtlar. Örnekler 8.. a > 0 ise lim n a /n = olur. Kanıt: Gerekirse a yerine /a alarak a > varsayımını yapabiliriz. Bu varsayımla a n+ > a n > çıkar, dolayısıyla dizi azalır. Bundan da dizinin den büyükeşit bir limiti olduğu çıkar. Limite x diyelim (a /2n ) n dizinin bir altdizisidir, dolayısıyla Teorem 8.4 e göre x e yakınsar. Öte yandan a/2n = a /n olduğundan aynı dizi x e de yakındar. Demek ki x = x ve x =.

151 8.. Altdiziler lim n n /n = olur. Kanıt: Önce dizinin zamanla azalan olduğunu, yani n/n > (n + ) /(n+), yani n n+ > (n + ) n, yani ( n > + ) n n eşitsizliğinin zamanla doğru olduğunu kanıtlayalım. Ama Önsav 3.23 ten dolayı bu son eşitsizliği n 4 için biliyoruz. Demek ki dizi zamanla azalır ve dizinin den büyükeşit bir limiti vardır. Limite x diyelim. Terimleri (2n) /2n olan dizi bu dizinin bir altdizisi olduğundan Teorem 8.4 e göre bu altdizi de x e yakınsar. Öte yandan (2n) /2n = 2 /2n n /2n olduğundan, Örnek 8. e göre aynı dizi x e de yakındar. Demek ki x = x ve x = lim n n n 2 limitini bulun. Birinci Çözüm: n 2 = n(n + )(2n + )/6 eşitliğinden ve yukardaki iki alıştırmadan sonuç kolaylıkla bulunur. İkinci Çözüm: n n 2 n n 2 = n 3 eşitsizliklerinden ve yukardaki alıştırmadan kolaylıkla çıkar [A] a = 2, a 2 = 8 ve her n için, a 2n+ = a2n + a2n 2 ve a 2n+2 = a2na2n a 2n+ olsun. (a n) n dizisinin 4 e yakınsadığını kanıtlayın. Çözüm: İkinci formülden her n için a 2n+a 2n+2 = a 2n a 2n eşitliği çıkar, demek ki a 2n a 2n = a a 2 = 2 8 = 6, yani () a 2n = 6 a 2n. Buradan ve birinci formülden, kolaylıkla, a 2n a 2n+2 = 32 a 2 2n + 6 bulunur. b n = a 2n olsun. O zaman (b n ) n dizisi (a n ) n dizisinin bir altdizisidir ve b = a 2 = 8 ve (2) b n+ = 32 b 2 n + 6 olur. (2) den kolaylıkla, b n b n+ b n b n 4 çıkar. Ne yazık ki b in 4 ten küçükeşit olduğu doğru değil, ama b b 2 = 32 b = = olur. Bakalım b n terimleri bir zaman sonra hep 4 ten küçük oluyor mu? (2) kullanılarak yapılan kolay bir hesapla b n+ 4 (b n 4) 2 0 bulunur. Demek ki (b n) n dizisi n = 2 den sonra artan ve 4 tarafından üstten sınırlı, dolayısıyla bir limiti var. () e göre bu limit x x = 32 x 2 + 6

152 44 8. Gerçel Sayıların Tamlığı eşitliğini sağlamalı, yani limit 4 olmalı. Demek ki lim a 2n = 4. n () den dolayı (a 2n+ ) n dizisinin de limiti var ve bu limit de 6/4 = 4 e eşit. Teorem 8.3 e göre (a n ) n dizisi yakınsaktır ve 4 e yakınsar Artan bir dizinin yakınsak bir altdizisi varsa, dizinin de limiti olduğunu ve limitlerin eşit olduklarını kanıtlayın. Kanıt: (a n ) n artan bir dizi olsun. Artan bir f : N N fonksiyonu için, (a f(n) ) n altdizisinin a ya yakınsadığını varsayalım. (a n ) n dizisinin limitinin a olduğunu kanıtlayacağız. Bu amaçla bir ϵ > 0 seçelim. Öyle bir M seçelim ki her n > M için a ϵ < a f(n) < a + ϵ olsun. N = f(m + ) ve n > N olsun. O zaman, M + > M olduğundan, a n a N = a f(m+) > a ϵ olur. Bu, kanıtlamak istediğimizin yarısıydı. Şimdi diğer yarıyı kanıtlayalım. Hâlâ daha n > N. Diyelim a n a + ϵ. O zaman, n f(n) eşitsizliğinden dolayı, a + ϵ a n a f(n) olur. Ama n > N = f(m + ) M + > M olduğundan bu bir çelişkidir. Demek ki a n < a + ϵ. Alıştırmalar 8.6. Her altdizisinin dizinin kendisine eşit olduğu diziler hangi dizilerdir? 8.7. Sadece iki altdizisi olan tüm dizileri bulun Tüm kesirli sayıları içeren bir dizi var mıdır? 8.9. (x n ) n ve (y n ) n dizileri sırasıyla a ve b sayılarına yakınsasın. Bu iki diziyi şu yöntemle karalım: A ve B, N nin N = A B eşitliğini sağlayan iki ayrık ve sonsuz altkümesi olsun. f : A N ve g : B N iki artan eşleme olsun. (f ve g biriciktirler.) { xf(n) eğer n A ise z n = eğer n B ise y g(n) olsun. Böylece (z n) n dizisini elde ederiz. Örneğin, x 0, y 0, x, y, x 2, y 2, x 3, y 3, x 4, y 4,... bu yöntemle elde edilmiş bir dizidir ve burada A = 2N, B = 2N + alınmıştır. (z n ) n dizisinin yakınsak olması için a = b eşitliğinin gerek ve yeter koşul olduğunu kanıtlayın Eğer her n için x n x n+ eşitsizliği sağlanıyorsa, (x n ) n dizisine artan dizi adını veriyoruz. Azalan dizi de benzer şekilde tanımlanır. Her dizinin ya azalan ya da artan bir altdizisi olduğunu kanıtlayın. (Sonraki iki alıştırmaya bakabilirsiniz.) 8.. (a n ) n, en büyük terimi olmayan bir diziyse (a n ) n nin artan bir altdizisi olduğunu kanıtlayın; yani öyle artan bir (n k ) k doğal sayı dizisinin olduğunu gösterin ki, her k için, a nk < a nk+ olsun.

153 8.2. Gerçel Sayıların Tamlığı (a n) n bir dizi olsun. İlk k terimi atarak a k, a k+, a k+2,... altdizisini elde ederiz. Bu diziye (a n) n dizisinin k-kesilmiş altdizisi diyelim. Eğer (a n) n dizisinin her k-kesilmiş altdizisinin bir en büyük terimi varsa ve bu terime q k adını verirsek, o zaman (q k ) k dizisinin (a n) n dizisinin azalan bir altdizisi olduğunu kanıtlayın. (Bu altdizi elbette (a n ) n dizisinin bir altdizisidir.) ,, 0,, 0,,... dizisinin altdizileri kümesinin kardinalitesi kaçtır? 8.4. Sınırlı bir dizinin bir Cauchy altdizisi olduğunu kanıtlayın Yazı gelene kadar yazı-tura atıyorsunuz. Ortalama kaç kez para atarsınız? 8.6. Yazı-tura atıyorsunuz. Yazı gelirse puan, tura gelirse 0 puan alıyorsunuz. Ortalama kaç atışta n puanı tutturursunuz? 8.7. Sandviç Teoremi nin şu daha genel versiyonunu kanıtlayın: (x n ) n, (y n ) n ve (z n ) n üç dizi olsun. x n y n z n eşitsizlikleri sonsuz sayıda n için doğruysa ve (x n ) n ve (z n ) n dizileri aynı sayıya yakınsıyorlarsa, (y n ) n dizisi de yakınsaktır ve diğer dizilerle aynı sayıya yakınsar Bölüm 7 nin sonundaki alıştırmalara yeniden göz atın. Belki şimdi bazılarını daha kolay yapabilirsiniz. 8.2 Gerçel Sayıların Tamlığı Yakınsak bir dizinin bir Cauchy dizisi olduğunu Teorem 7.7 de kanıtlamıştık. Bu altbölümde her Cauchy dizisinin (gerçel sayılar kümesinde) yakınsak olduğunu kanıtlayacağız: Teorem 8.5. Her Cauchy dizisinin R de bir limiti vardır. Aynı olgu kesirli sayılar kümesi için geçerli değildir, yani Cauchy dizisi olan ama limiti kesirli sayı olmayan kesirli sayı dizileri vardır. Henüz kanıtlamadık ama genel terimi ( + /n) n olan dizi böyle bir dizidir. [N2, Bölüm 7B] de, x 0 = ve x n+ = x n + 2 x n + olarak tanımladığımız kesirli sayı dizisinin kesirli bir sayı olmayan 2 ye yakınsadığını görmüştük; aynı örneğin daha genelleşmiş halini Altbölüm 9. de göreceğiz. Demek ki yukardaki teoremi kanıtlamak için, gerçel sayılara özgü, kesirli sayılarda doğru olmayan bir olgu kullanılmalı. Bu olgu da ancak (SUP) aksiyomu olabilir. Teorem 8.5 in Kanıtı: Aslında bu aşamada teoremin kanıtı oldukça kolay. (x n ) n verilmiş bir Cauchy dizisi olsun. Kanıtımız için şu aşamalardan geçeceğiz:. (x n ) n nin monoton bir (y n ) n altdizisini bulacağız. 2. (x n ) n bir Cauchy dizisi olduğundan sınırlıdır (Teorem 7.0). Demek ki (y n ) n altdizisi de sınırlıdır. 3. Monoton ve sınırlı olduğundan, (y n ) n dizisi yakınsaktır (Sonuç 7.4). 4. Yukardaki maddeden (x n ) n nin yakınsak olduğu çıkar (Teorem 8.4).

154 46 8. Gerçel Sayıların Tamlığı 2, 3 ve 4 üncü aşamalardan zaten geçmişiz ve sadece birinci aşamayı kanıtlamak kalmış. Kanıtlayalım. Teorem 8.6. Her dizinin monoton bir altdizisi vardır. Kanıt: (x n ) n herhangi bir dizi olsun. Eğer bir n göstergeci için, a n a m eşitsizliği n den büyük her m göstergeci için sağlanıyorsa, n ye, bu kanıtlık, iyi göstergeç diyelim. Eğer sonsuz sayıda iyi göstergeç varsa artan bir altdizi seçmek kolaydır: (a k ) k artan bir altdizidir. Eğer sonlu sayıda iyi göstergeç varsa ve N iyi göstergeçlerin sonuncusuysa, her n > N için, a n > a m eşitsizliğinin sağlandığı bir m > n vardır. Bu durumda da (kesin) azalan bir altdizi kolaylıkla bulunur. Teorem 8.5, R tamdır olarak ifade edilir. Alıştırmalar 8.9. r (0, ) olsun. (nr n ) n dizisinin bir zaman sonra azaldığını kanıtlayın. Bundan dizinin limiti olduğunu çıkarın. Bundan da limitin 0 olduğunu kanıtlayın r (0, ) olsun. Terimleri x n = r + 2r nr n olan dizinin üstten sınırlı olduğunu kanıtlayın. Okuma parçası: Onluk Tabanda Açılım Ta ilkokuldan beri gerçel sayıları 56, gibi onluk tabanda yazmışızdır. Bu o kadar içimize işlemiştir ki, birçok kişi bu tür ifadeleri gerçel sayıların tanımı olarak kabul eder. Gerçekten de böyle öğretilmiştir ilk ve ortaöğretimde ve bu yüzden de birçok kişi anlaşılır (hatta haklı!) ama yanlış olarak 0, sayısını den küçük zanneder. Ama bu kitapta gerçel sayıları böyle onluk tabanda yazılmış biçimde vermedik. Gerçel sayıları aksiyomatik olarak tanımladık. Dolayısıyla bizim tanımladığımız gerçel sayılar kümesiyle ilkokul öğretmeninin tanımladığı gerçel sayılar kümesinin aynı kümeler olup olmadığı yanıtı merakla beklenen bir soru olmalıdır! x 0, herhangi bir doğal sayı olsun. x in, 56, gibi yazılan bir ifadeye eşit olduğunu kanıtlamak istiyoruz. Şimdilik hem 56, ifadesinin ne demek olduğunu bildiğimizi, hem de x = 56,

155 8.2. Okuma Parçası: Onluk Tabanda Açılım 47 eşitliğini varsayalım ve sağdaki sayının 56 sını ve virgülden sonraki rakamlarını x cinsinden teker teker bulalım. En baştaki 56 nın x cinsinden nasıl yazılacağı belli: 56, x in tamkısmıdır (bkz. Teorem 2.8 den önceki paragraf): 56 = [x]. 56 yı başarıyla bulduk. Ya virgülden sonraki ilk rakam olan 4 ü nasıl buluruz? Oldukça kolay: olduğundan, olur ve buluruz. Yukardaki yöntem, rakamları için, x [x] = 0, (x [x]) = 4, [0 (x [x])] = [4, ] = 4 a, a 2, a 3, a 4,... 0,a a 2 a 3 a 4... olarak yazılan sayının a ini buluyor: Eğer a = 0,a a 2 a 3 a 4... ise, a = [0 (a [a])] olur. Bu yöntemi tekrar tekrar uygulayarak x in rakamlarını teker teker bulabiliriz. Bunun için şu tanımları yapalım: x 0 = x = 56, , a 0 = [x 0 ] = 56, x = 0(x 0 a 0 ) = 4, , a = [x ] = 4, x 2 = 0(x a ) = 5, , a 2 = [x 2 ] = 5, x 3 = 0(x 2 a 2 ) = 9, , a 3 = [x 3 ] = 9, x 4 = 0(x 3 a 3 ) = 3, , a 4 = [x 4 ] = 3,... Böylece x sayısının onluk tabanda gösteriminin 56, 4, 5, 9, 3, 7,... rakamlarının her birini x cinsinden yazabiliriz. Bu rakamlara, yukarda yaptığımız gibi, a 0, a, a 2, a 3, a 4,...

156 48 8. Gerçel Sayıların Tamlığı adlarını verelim. Şimdi de, a 0, a a 2 a 3 a 4... olarak yazacağımız sayıyı tanımlayalım. Örnek 8.49 da, terimleri, y n = a 0 + a 0 + a a n 0 n olarak tanımlanan (y n ) n dizisinin bir Cauchy dizisi olduğunu kanıtlamıştık. Teorem 8.5 te ise, her Cauchy dizisinin gerçel sayılarda bir limiti olduğunu kanıtlamıştık. Demek ki (y n ) n dizisinin gerçel sayılarda bir limiti vardır. Şimdi teriminin tanımını verebiliriz: a 0,a a 2 a 3 a 4... a 0,a a 2 a 3 a 4... = lim n y n. Birazdan bu limitin en başta başladığımız sayı olan x olduğunu kanıtlayacağız. Önce tanımları tekrarlayalım ve bir örnek verelim. Tanım. a 0 N ve i > 0 için a i {0,,..., 9} olsun. y n = a 0 + a 0 + a a n 0 n olsun. O zaman (y n ) n bir Cauchy dizisidir; dolayısıyla bir limiti vardır. Bu limit, a 0,a a 2 a 3 a 4... olarak yazılır. Demek ki, tanım gereği, olur. lim n ( a 0 + a 0 + a a ) = a 0,a a 2 a 3 a 4... Örnek 8.2. Teorem. 0, =. Kanıt: Yukardaki tanıma göre, soldaki sayı, terimleri y n = n olarak tanımlanan (y n) n dizisinin limitidir. Demek ki, ( 9 0, = lim n ) 2 0 n = 9 ( 0 lim + n ) 0 n = 9 0 lim n ( ) /0 n /0 = 9 0 /0 =. Ve böylece istenen eşitlik kanıtlanmış oldu. Eşitliği kanıtlamak için 0, ifadesinin tanımını bilmemiz gerektiğini dikkatinize sunarız. Şimdi, her pozitif gerçel sayının a 0,a a 2 a 3 a 4... türünden bir açılımı olduğunu matematiksel olarak kanıtlayalım.

157 8.2. Okuma Parçası: Onluk Tabanda Açılım 49 Teorem 8.7. x > 0 bir gerçel sayı olsun. x 0 = x ve a 0 = [x 0 ] olsun. Ve n için, x n ve a n yi şöyle tanımlayalım: Her n 0 için x n+ = 0(x n a n ) ve a n+ = [x n+ ]. O zaman a 0 N, her n için a n {0,,..., 9} ve olur. x = a 0,a a 2 a 3 a 4... Kanıt: a 0 N olduğu belli. n 0 için, olduğundan, olur ve buradan da, x n+ = 0(x n a n ) = 0(x n [x n ]) ve 0 x n [x n ] < 0 x n+ < 0 a n+ = [x n+ ] {0,,..., 9} çıkar. Şimdi kanıtın önemli kısmına geçelim. eşitliğini kanıtlayalım. Yani ise, x = a 0,a a 2 a 3 a 4... y n = a 0 + a 0 + a a n 0 n x = lim n y n eşitliğini kanıtlayalım. Önce, n üzerine tümevarımla, 0 n (x y n ) = x n a n eşitliğini kanıtlayalım. n = 0 için, x y 0 = x 0 a 0 eşitliğini kanıtlamamız gerekir ki, bu da, x = x 0 ve y 0 = a 0 eşitliklerinden hemen çıkar. Şimdi eşitliği n için varsayıp n + için kanıtlayalım: ( 0 n+ (x y n+ ) = 0 n+ x y n a ) n+ 0 n+ = 0 0 n (x y n ) a n+ = 0(x n a n ) a n+ = x n+ a n+ İstediğimiz kanıtlanmıştır.

158 50 8. Gerçel Sayıların Tamlığı Şimdi, yukardakini kullanarak, her n için, x y n = 0n (x y n ) 0 n = x n a n 0 n = x n [x n ] 0 n buluruz ve bundan da 0 x y n < 0 n çıkar. Sandviç Teoremi (Teorem 5.) sayesinde teorem kanıtlanmış olur. Eğer x = a 0,a a 2 a 3 a 4... ise, a 0,a a 2 a 3 a 4... gösterimine x in onluk tabanda açılımı denir. Eğer x 0 ise ve x in onluk tabanda açılımı ise, a 0,a a 2 a 3 a 4... x = a 0,a a 2 a 3 a 4... yazarız. Bu da negatif x in onluk tabanda açılımıdır. Sonuç 8.8. Her x gerçel sayısı, bir kesirli sayı dizisinin limitidir. Kesirli sayı dizisinin terimlerini, a n {0,..., 9} rakamları için (onluk tabanda yazılımıyla), x n = [x], a a 2... a n olarak alabiliriz.

159 Vize Sınavı. r R olsun. A, r den küçük rasyoneller (kesirli sayılar) ve B, r den küçük irrasyoneller kümesi olsun. sup A = sup B = r eşitliklerini kanıtlayın. 2. Aşağıdaki formülleri n üzerine tümevarımla kanıtlayın: a. n k= k = n(n + )/2, b. n k= k2 = n(n + )(2n + )/6 c. n k= k3 = n 2 (n + ) 2 /4 = ( n k= k) 2 d. n k= k4 = n(n + )(2n + )(3n 2 + 3n )/30 3. A = {x 2 + y 2 : x, y N} olsun. A nın çarpma altında kapalı olduğunu kanıtlayın. 4. B = {x 2 + y 2 : x, y Q} \ {0} olsun. B nin çarpma ve bölme altında kapalı olduğunu kanıtlayın. 5. R nin (ya da Q nün) çıkarma ve bölme altında kapalı bir altkümesinin toplama ve çarpma altında da kapalı olduğunu kanıtlayın. 6. a. B, 4 üncü alıştırmadaki gibi olsun. u, v Q >0 için, ya ub vb = ya da ub = vb olduğunu kanıtlayın. b. {ub : u Q >0 } kümesinin sonsuz olduğunu kanıtlayın. Limit Alıştırmaları. Limitin tanımına giderek (/n) n dizisinin e yakınsamadığını gösterin. 2. Genel terimi ( ) n /n olan dizinin 0 a yakınsadığını kanıtlayın. 3. Genel terimi (n+4)/(n 2 +) olan dizinin bir zaman sonra azalan olduğunu ve limitinin 0 olduğunu kanıtlayın. 4. Her terimi pozitif olan ve 0 a yakınsayan ama bir zaman sonra hep azalmayan bir dizi bulun. 5. Her terimi pozitif olan ve 0 a yakınsayan bir dizinin artan bir altdizisi olabilir mi? 6. Aşağıdaki dizilerin limitlerini (varsa) bulun. a. 3n 4 n + 7 b. 2n 7 n 2 0 c. 3n2 4 n + 7 d. 2n2 + n n 2 + e. n3 2 n f. 2n 7 n 0 g. 3n n! h. n! (2n)! i. n! n n j. n4 n! k. 3 5 (2n ) l. n /n m. ( n ) n (2n) n 2

160 52 Vize Sınavı 7. Aşağıdaki limitleri bulun: 3n2 6n + 7 ( lim, lim n2 2n n), n 3n + 5 n 3 lim n 8. a 0 =, a n+ = (2a n + 5)/3 olsun. a. Her n için a n < 5 eşitsizliğini gösterin. b. Dizinin artan olduğunu gösterin. c. Dizinin limitinin olduğunu gösterin. d. Dizinin limitinin 5 olduğunu gösterin. (3 n)(2 + 7 n) 4 5 n 3 5 3n, lim 3n + 5 n 2 5 n n 9. Aşağıdaki diziler yakınsak mıdır? Eğer öyleyse limitlerini bulun. 0. a 0 = 6, a k+ = 6 + a k olsun. a. Dizinin ilk dört terimini yazın. b. Dizinin artan olduğunu gösterin. a 0 = 2 ve a n+ = (5a n + 7)/2; b 0 = ve b n+ = 3 /b n ; c 0 = ve c n+ = 3 2/c n. c. Dizinin üstten 6 tarafından sınırlı olduğunu gösterin. d. Dizinin yakınsak olduğunu gösterin. e. Dizinin limitinin 3 olduğunu gösterin.. a 0 = 2, a n+ = 2a n olsun. Yani 2, 2 2, 2 2 2,... dizisini ele alalım. Dizinin yakınsak olduğunu ve 2 ye yakınsadığını kanıtlayın. 2. x =, x 2 = 2 olsun. Her n 2 için, olsun. x n = x n + x n 2 2 a. Her n için, x n 2 eşitsizliklerini gösterin. b. Her n için, x n x n+ = /2 n eşitliğini gösterin. c. Her m > n için, x n x m < /2 n 2 eşitsizliğini gösterin. d. (x n ) n dizisinin bir Cauchy dizisi olduğunu gösterin. e. Her n için, x n x n+ = ( ) n /2 n eşitliğini gösterin. f. Her n için, eşitliğini gösterin. x n+ = x n+ x = ( )n 2 n g. (x n) n dizisinin limitini bulun (5/3).

161 Vize Sınavı [Gauss] 0 a 0 b 0 ve a n+ = an + bn 2 ve b n+ = a nb n olsun. a. Tümevarımla a n a n+ b n+ b n eşitsizliklerini gösterin. b. Hem (a n ) n dizisinin hem de (b n ) n dizisinin yakınsaklığını kanıtlayın. c. Limitlerin eşit olduğunu gösterin. Bu ortak değere a 0 ve b 0 sayılarının aritmetikgeometrik ortalaması adı verilir < b 0 < a 0 ve a n+ = 2anbn a n + b n ve b n+ = an + bn 2 olsun. Hem (a n ) n dizisinin hem de (b n ) n dizisinin yakınsaklığını ve limitlerin eşitliğini kanıtlayın. 5. a 0, b 0, c 0 verilmiş olsun. n için, a n+ = b n + c n 2, b n+ = a n + c n, c n+ = a n + b n 2 2 olarak tanımlansın. Dizilerin yakınsaklığını gösterin ve limitlerini hesaplayın. (Önce a 0 = b 0 = 0, c 0 = alabilirsiniz.) 6. a = ve a n+ = + + a n = 2 + an + a n olsun. Bu dizinin limitinin 2 olduğunu [N2] de göstermiştik, Bölüm 9. de de göstereceğiz. (a 2n) n ve (a 2n+) n altdizilerini ayrı ayrı ele alarak aynı sonucu bir başka yoldan elde edin. Buradan, 2 = eşitliği elde edildiğine dikkatinizi çekeriz a = 2 ve a n+ = 2 + a n olsun. Dizi yakınsak mıdır? Öyleyse limitini bulun. 8. k N ve x R olsun. (n k x n ) n dizisinin yakınsaklığını tartışın. 9. a 0 = a, a = b ve her n için, olsun. Dizinin yakınsaklığını tartışın. 20. Eğer sabit bir c (0, ) sayısı için, a n+ = + a n a n x n+2 x n+ c x n+ x n her n için sağlanıyorsa, o zaman (x n ) n dizisine büzen dizi denir. (Bkz. Altbölüm 9..) Büzen bir dizinin yakınsak olduğunu kanıtlayın. 2. Yazı tura atılıyor. Yazı geldiğinde puan, tura geldiğinde 2 puan alınıyor. p(n), n sayısına ulaşma olasılığı olsun. p(n) dizisinin limitinin 2/3 olduğunu kanıtlayın. Puanlar değişseydi sonuç ne olurdu? 22. Yukardaki soru gene, ama bu sefer zar atılıyor ve gelen zar kadar puan kazanılıyor.

162 54 Vize Sınavı 23. [Fibonacci Dizisi] f 0 = 0, f = ve her n 0 için, f n+2 = f n + f n+. olsun. Bu diziye Fibonacci dizisi adı verilir. lim n f n f n+ = eşitliğini kanıtlayın. Sağdaki sayı altın oran olarak bilinen sayıdır. 24. (a n) n sınırlı bir dizi olsun. (a n) n dizisinin yakınsak her altdizisinin limitinin aynı sayı olduğunu varsayalım. Dizinin yakınsak olduğunu kanıtlayın. 25. (a n ) n sınırlı bir dizi ve S = {x R : sonsuz sayıda n için x < a n } olsun. (a n ) n nin sup S ye yakınsayan bir altdizisi olduğunu kanıtlayın. Bundan Bolzano-Weierstrass Teoremi ni kanıtlayın: Sınırlı bir dizinin yakınsak bir altdizisi vardır. (Bkz. Teorem 9.4.) 26. lim n ( n + n) limitini hesaplayın. İpucu: İfadenin eşleniğiyle çarpıp eşleniğine bölün. 27. (q n ) n, limiti 0 olan pozitif bir kesirli sayı dizisi olsun. Her a > 0 için lim a q n = eşitliğini kanıtlayın.

163 9. Sınırlı Diziler 9. Büzen Diziler r (, ) iken, hem dizisinin hem de (r n ) n ( + r + + r n ) n dizisinin yakınsaklığını Bölüm 6 da kanıtlamıştık. Bu iki dizinin ortak bir özelliğini ortaya çıkaralım: Önce birinci diziyi ele alalım. ise, o zaman, x n = r n x n+2 x n+ = r n+2 r n+ = r r n+ r n = r xn+ x n olur. Şimdi ikinci diziye bakalım. Bu sefer, olsun. O zaman da olur. Her iki durumda da x n = + r + + r n x n+2 x n+ = r n+2 = r r n+ = r xn+ x n x n+2 x n+ = r x n+ x n elde ettik. Aslında bu iki dizinin yakınsamasını bu eşitliğe borçluyuz, hatta bundan daha zayıf bir koşul olan, x n+2 x n+ r x n+ x n eşitsizliğine borçluyuz. Bu özelliği sağlayan dizilere, ardışık terimler arasındaki mesafe belli bir orandan daha az büzülüyor anlamında, büzen dizi adı verilir.

164 56 9. Sınırlı Diziler Tanım. (x n ) n bir gerçel sayı dizisi olsun. Eğer sabit bir r (0, ) sayısı için, x n+2 x n+ r x n+ x n her n için sağlanıyorsa, o zaman (x n ) n dizisine büzen dizi, r ye büzme katsayısı denir. Eğer bu eşitsizlik yeterince büyük n ler için sağlanıyorsa, diziye zamanla büzen dizi denir. Zamanla büzüşen dizilerin yakınsak olduğunu kanıtlayalım. Teorem 9.. Zamanla büzen bir dizi yakınsaktır. Kanıt: (x n ) n büzen bir dizi olsun. (Zamanla büzen dizilerin yakınsaklığının kanıtı aynıdır.) Dizinin Cauchy dizisi olduğunu kanıtlayacağız ve böylece teorem kanıtlanmış olacak. ϵ > 0 ve n > m olsun. x n x m ϵ eşitsizliğinin sağlanması için m nin ne kadar büyük olması gerektiğini bulacağız ama önce bir k göstergeci için, x k+ x k teriminin ne kadar küçük olabileceğini bulmaya çalışalım. ve eşitsizliklerinden, eşitsizliğini elde ederiz. Bu ve eşitsizliğinden, x k+ x k r x k x k, x k x k r x k x k 2 x k+ x k r 2 x k x k 2 x k x k 2 r x k 2 x k 3 x k+ x k r 3 x k 2 x k 3 eşitsizliğini elde ederiz. Tümevarımla, kolaylıkla, her l =, 2,..., k için, eşitsizliğini ve l = k için de, x k+ x k r l x k l+ x k l x k+ x k r k x x 0

165 9.. Büzen Diziler 57 eşitsizliğini buluruz. Dizinin Cauchy olduğunu göstermek için, her k için geçerli olan bu son eşitsizliği kullanacağız. Fazla kalabalık etmemesi için, yerine a yazalım. Demek ki, x x 0 x k+ x k r k a eşitsizliği doğrudur. r, 0 ile arasında bir sayı olduğu için k çok büyük olduğunda r k a nın çok küçük olduğuna dikkatinizi çekeriz. Şimdi n > m için x n x m terimini küçültmeye geçebiliriz. Bu terimin ϵ dan küçük olması için m nin ne kadar büyük olması gerektiğini bulacağız. x n x m = (x n x n ) + + (x m+ x m ) eşitsizliğinden dolayı, x n x n + + x m+ x m r n a + + r m a = (r n + + r m )a = r m (r n m + + )a = r m rn m a a rm r r a rm r terimini ϵ dan küçük yapmak yeterli. Bunun için de, r m ϵ( r) a eşitsizliğinin sağlanması gerekir. Ama (r m ) m dizisinin 0 a yakınsadığını bildiğimizden, öyle bir N vardır ki, bu N den büyük m ler için, r m ϵ( r)/a eşitsizliği sağlanır ve bu da kanıtı tamamlar. Örnek 9.. Bu önemli teoremin bir uygulamasını verelim hemen. a 0 ise a ya yakınsayan bir dizi bulalım. a herhangi bir gerçel sayı olsun. (x n ) n dizisinin terimlerini tümevarımla şöyle tanımlayalım: ( ) x n+ = xn + a x n + Bu tanım sayesinde, eğer doğru bir x 0 değeri verilmişse, tüm x n leri hesaplayabiliriz. Ama bazı x 0 değerleri için dizi sonsuza dek hesaplanamaz. Örneğin, x 0 = için x hesaplanamaz olur. Ya da x 0 = a + 2 için x = olur ve bu sefer de x 2 hesaplanamaz olur. Dizinin sonsuza dek hesaplanamayacağı x 0 değerleri olsa da, dizinin sonsuza dek hesaplanabileceği sonsuz sayıda x 0 değeri

166 58 9. Sınırlı Diziler vardır. Örneğin eğer a pozitifse, x0 ı pozitif seçersek dizinin tüm terimleri pozitif olur, dolayısıyla hiçbir terimi olamaz, dolayısıyla böyle bir seçimle dizinin tüm terimleri hesaplanabilir. Eğer bu dizi yakınsaksa, limiti ancak a olabilir. Nitekim eğer dizinin limiti x ise, ( ) eşitliği bize, Teorem 5.4 ten dolayı x = x + a x + verir. Paydayı eşitleyerek ve sadeleştirerek x 2 = a buluruz. Demek ki eğer a < 0 ise ( ) dizisi (x 0 ne olursa olsun) yakınsak olamaz; dolayısıyla Cauchy de olamaz. Öte yandan eğer a 0 ise, bundan, dizinin -eğer yakınsaksa- karesi a olan bir sayıya, yani ya a ya da a ya yakınsadığı anlaşılır. Bundan böyle a nın pozitif olduğunu varsayacağız. Ayrıca x 0 0 varsayımını da yaparak dizinin tanımlı olup olmaması sorunuyla muhattap olmak zorunda kalmayacağız. Eğer a = ise, ilk terimden sonra olarak sabitleşen bir dizi elde ederiz ki bu da pek ilginç bir dizi değil, ayrıca Cauchy olduğu da çok belli. Dolayısıyla bundan böyle a varsayalım. Şimdi x n+2 x n+ ile x n+ x n arasındaki büzüşme ilişkisini bulmaya çalışalım. Kolay bir hesapla, x n+2 x n+ = x n+ + a x n+ + x n + a x n + = (a )(x n x n+ ) (x n+ + )(x n + ) = (a )(x n x n+ ) a 2x n + a + = xn+ xn 2x n + a + elde ederiz. Demek ki, a 2x n + a + terimine yoğunlaşmamız gerekiyor. Bu terimin her zaman den küçük olduğunu göstermek yetmez, bu terimin, n ne olursa olsun, den küçük aynı r sayısından küçük olduğunu göstermek gerekir. Şimdi bunu yapalım. İki değişik durumu ele alacağız: < a ve > a durumlarını. Eğer < a ise, kolaylıkla < x n eşitsizliği kanıtlanır, buradan da, a 2x n + a + = a 2x n + a + < a 2 + a + = a a + 3 < elde ederiz. Eğer > a ise, kolaylıkla a < x n eşitsizliği kanıtlanır, buradan da, elde ederiz. Demek ki, r yi, a 2x n + a + = a 2x n + a + < a 2a + a + = a 3a + < r = { a olarak tanımlarsak, o zaman 0 < r < ve a+3 eğer < a ise a +3a eğer > a ise x n+2 x n+ r x n+ x n olur. Sonuç: Dizi büzüşen bir dizidir; dolayısıyla yakınsar. Dizinin hangi sayıya yakınsadığını biliyoruz: a ya.

167 9.2. Kapalı Kutular Teoremi 59 Alıştırmalar 9.2. x n+ = 6 /x n ve x 0 = olsun. Her n için x n nin tanımlandığını ve x n 5 eşitsizliğini kanıtlayın; ayrıca x n 6 eşitsizliğini kanıtlayın. x n+ x n 25 x n x n (n ) eşitsizliğini kanıtlayın. (x n) n dizisinin limitini bulun Fibonacci dizisini ele alalım: x n+2 = x n + x n+ ve x 0 = x =. Ve olsun. y n = x n+ x n y n+ = y n + ve y 0 = eşitliklerini gözlemleyin. Her n için y n+ 2 eşitsizliklerini kanıtlayın. y n+ y n sayıları arasında bir önceki alıştırmadaki gibi bir eşitsizlik bulun. (y n ) n dizisinin limitini hesaplayın Her n için a n 3 ve a n+2 a n+ a 2 n+ a 2 n /7 olsun. (a n ) n dizisinin yakınsak olduğunu kanıtlayın s 0 ve x 0 0 sayıları verilmiş olsun. Her n 0 için x n+ = s + x n tanımını yapalım. Bu diziyi Örnek 7.4 te de incelemiştik. O alıştırmayı tekrar gözden geçirerek dizinin büzen olup olmadığını inceleyin. 9.2 Kapalı Kutular Teoremi Bu altbölümde, birbiri içine geçmiş kapalı aralıkların kesişiminin boşküme olamayacağını kanıtlayacağız. Teorem 9.2 (Kapalı Kutular Teoremi I). (a i ) i ve (b i ) i, her i < j için, a i a j b j b i eşitsizliklerini sağlasın. O zaman [a i, b i ] kesişimi boş değildir. Ayrıca, lim a i ve lim b i i i limitleri vardır ve limitlere sırasıyla a ve b dersek, a b ve [a i, b i ] = [a, b] olur. Dahası, eğer lim i (a i b i ) = 0 ise, a = b olur ve kesişim tek bir noktadan ibarettir.

168 60 9. Sınırlı Diziler Kanıt: (a i ) i dizisi artan ve her b i tarafından üstten sınırlıdır. Bundan da (a i ) i dizisinin limiti olduğu çıkar. Eğer a bu limitse, a i a b i olur. Demek ki (b i ) i dizisi azalan olduğu gibi aynı zamanda a tarafından da alttan sınırlıdır. Dolayısıyla a b b i olmak zorunda. Bu ikisini bir araya getirirsek, a i a b b i buluruz. Demek ki a x b eşitsizliklerini sağlayan her x tüm [a i, b i ] aralıklarındadır, yani [a, b] [a i, b i ] olur. Şimdi diğer tarafı kanıtlayalım. x tüm [a i, b i ] aralıklarında olsun. O zaman, a i x b i olur ve tarafların limiti alındığında, Sandviç Teoremi nden (Teorem 5.), a x b bulunur, yani x [a, b]. Eğer lim i (a i b i ) = 0 ise, elbette a = b olur ve kesişimde tek bir sayı vardır. Bu teoremden daha genel bir teorem kanıtlayabiliriz. Yukarda sayılabilir sayıda aralık aldık, oysa buna gerek yoktu: Teorem 9.3 (Kapalı Kutular Teoremi II). (K i ) i I bir kapalı aralıklar ailesi olsun ve her i, j I için ya K i K j ya da K j K i olsun. O zaman i I K i kesişimi boş değildir. Kanıt: K i = [a i, b i ] olsun. Her i, j I için, ya K i K j ya da K j K i ol-duğundan, ya a j a i b i b j ya da a i a j b j b i olur. Ama her durumda, a i b j olur. Demek ki {a i : i I}

169 9.3. Bolzano-Weierstrass Teoremi 6 kümesi üstten her b j tarafından üstten sınırlıdır. Dolayısıyla, {a i : i I} kümesinin en küçük üstsınırı, yani sup{a i : i I} sayısı vardır ve bu en küçük üstsınıra a dersek, her j I için olur. Demek ki a b j {b j : j I} kümesi alttan a tarafından alttan sınırlıdır. Dolayısıyla, inf{b j : j I} vardır ve bu en büyük altsınıra b dersek, a b olur. Bundan da, her i, j I için, a i a b b j eşitsizlikleri çıkar. Demek ki, her i I için [a, b] K i ve sonuç olarak, [a, b] i I K i olur. Şimdi diğer tarafı kanıtlayalım. x, kesişimde olsun. O zaman her i I için, a i x b i olur. Bundan da a x b çıkar. 9.3 Bolzano-Weierstrass Teoremi Ünlü Bolzano-Weierstrass Teoremi sınırlı her dizinin yakınsak bir altdizisi olduğunu söyler. Değişik türden ve daha genel ifadeleri de vardır. Klasik analizin temel teoremlerinden biridir. Bu bölümde bu teoremin birkaç değişik kanıtını göstereceğiz. (Daha önce sayfa 54 daki Alıştırma 25 te bunun bir kanıtını göstermiştik.) Teorem 9.4 (Bolzano-Weierstrass). Sınırlı bir dizinin yakınsak bir altdizisi vardır. Birinci (Standart) Kanıt: (x n ) n, sınırlı bir dizi olsun. Dizinin bir I aralığında olduğunu varsayalım. I aralığını tam ortasından ikiye bölüp sol ve sağ parçalarına bakalım. Bu parçalara I 0 ve I diyelim. I 0 ve I parçalarının yarıaçık ya da kapalı aralıklar olması önemli değil, her ikisinin de kapalı olduklarını varsayalım. Eğer sonsuz sayıda n göstergeci için, x n terimi I 0 daysa, I 0 dan bir x n terimi seçelim.

170 62 9. Sınırlı Diziler Eğer aksine, x n I 0 özelliğini sağlayan sonlu sayıda n göstergeci varsa, o zaman sonsuz sayıda n göstergeci için, x n terimi I dedir ve bu durumda x n elemanını I aralığından seçelim. Diyelim x n elemanını I aralığından seçtik. Bu eleman, kanıtın sonunda bulacağımız yakınsak altdizinin ilk terimi olacak. Şimdi bir sonraki x n2 elemanını seçeceğiz. Bunun için I aralığını tam ortadan ikiye bölelim. Bu aralıklara I 0 ve I adını verelim. Eğer sonsuz sayıda n göstergeci için, x n terimi I 0 daysa, I 0 aralığından, n 0 < n olacak şekilde bir x n terimi seçelim. Eğer aksine, x n I 0 özelliğini sağlayan sonlu sayıda n göstergeci varsa, o zaman sonsuz sayıda n göstergeci için, x n terimi I dedir ve bu durumda x n elemanını I aralığından seçelim. Diyelim x n elemanını I 0 aralığından seçtik. Bu eleman bulacağımız yakınsak altdizinin ikinci terimi olacak. Her aşamada, bir önceki aralığı tam ortadan ikiye böleceğiz ve bu iki aralıktan hangisinde sonsuz sayıda n göstergeci için x n terimi varsa, o aralığı seçeceğiz. (Eğer her ikisinde de sonsuz sayıda varsa, soldaki aralığı seçiyoruz. Böylece Seçim Aksiyomu nu gereksiz yere kullanmamış oluyoruz.) Kanıtın sonunda bulacağımız yakınsak dizinin bir sonraki terimini işte bu seçtiğimiz aralıktan seçiyoruz. Daha matematiksel olalım ve yukardaki inşayı daha simgesel olarak yapalım. Öyle bir (I k ) k kapalı aralıklar dizisi ve (n k ) k doğal sayı dizisi bulacağız ki, ) Her k için n k < n k+ olacak. 2) Her k için I k+ I k olacak. 3) I k+ in uzunluğu I k nin uzunluğunun yarısı kadar olacak. 4) Her k > 0 için, x nk I k olacak.

171 9.3. Bolzano-Weierstrass Teoremi 63 5) Her k için, x n I k ilişkisini sağlayan sonsuz sayıda n göstergeci olacak. Bu inşayı k üzerine tümevarımla yapacağız. Önce k = 0 için: I 0 = I olsun. Sadece 5 inci koşulun doğruluğunu kontrol etmemiz gerekiyor ki bu da I nın tanımından dolayı bariz: Her n için x n I = I 0 dir. Yukardaki özellikleri sağlayan, aralıklarını ve I = I 0 I... I k n 0 < n <... < n k doğal sayılarını (göstergeçlerini) seçtiğimizi varsayalım. (k = 0 da olabilir.) Bir sonraki I k+ aralığını ve n k+ doğal sayısını seçelim. Tümevarım varsayımına göre, sonsuz tane n için, I k aralığında x n teriminin olduğunu biliyoruz. I k aralığını tam ortadan ikiye bölerek iki kapalı aralığın birleşimi olarak yazalım. Bu iki kapalı aralığa I k,0 ve I k, adını verelim (soldaki hep I k,0 olsun mesela): I k = I k,0 I k,. Eğer sonsuz sayıda n göstergeci için x n I k,0 ise, I k+ = I k,0 olsun (böylece 2, 3 ve 5 inci koşullar sağlanmış olur). Eğer aksine x n I k,0 ilişkisini sonlu sayıda n göstergeci sağlıyorsa, o zaman sonsuz tane n göstergeci için x n I k, olur. Bu son durumda I k+ = I k,0 olsun (2, 3 ve 5 inci koşullar gene sağlanmış olur). Sonsuz sayıda n göstergeci için x n I k+ olduğundan x n I k+ ve n < n k ilişkilerini sağlayan bir n göstergeci vardır. Bu n lerin en küçüğüne n k+ diyelim. (Seçim Aksiyomu nu gene kullanmadık!) Böylece ve 4 üncü özellikler de sağlanmış oldu. İnşaat tamamlandı. Şimdi (x nk ) k dizisinin yakınsak olduğunu ya da (aynı şey) bir Cauchy dizisi olduğunu gösterelim. Yakınsaklığın Birinci Kanıtı: ϵ > 0 olsun. I nın uzunluğuna l diyelim. (3) e göre, I k nin uzunluğu l/2 k dır. Eğer r s ise, olduğundan, x nr I r I s ve x ns I s x nr x ns < l 2 s

172 64 9. Sınırlı Diziler olur. (Bkz. aşağıdaki şekil.) Demek ki eğer N doğal sayısı, l 2 N < ϵ eşitsizliğini sağlayacak kadar büyük seçilirse, o zaman her r s > N için, x nr x ns < l 2 s < l 2 N < ϵ olur. Demek ki (x nk ) k bir Cauchy dizisidir. Yakınsaklığın İkinci Kanıtı: I k = [a k, b k ] olsun. I nın uzunluğuna l diyelim. (3) e göre, I k nin uzunluğu l/2 k dır, yani Ayrıca, (2) ve (4) ten dolayı, b k a k = l 2 k. a k a k+ x nk b k+ b k. Demek ki (a k ) k üstten sınırlı ve artan bir dizi, dolayısıyla yakınsak. Benzer nedenden (b k ) k dizisi de yakınsak. Bu dizilerin limit a ve b ise, b a = lim (b l k a k ) = lim k k 2 k = 0 olur, yani a = b. Şimdi Sandviç Teoremi ne (Teorem 5. e) göre vardır (ve a ya eşittir). lim k x n k Bolzano-Weierstrass Teoremi nin İkinci (daha basit) Kanıtı: (x n ) n, sınırlı bir dizi olsun. Eğer (x n ) n dizisi sonlu sayıda değer alıyorsa, yani {x n : n N} kümesi sonluysa, o zaman bu dizi sabit bir altdizi içerir ve bu durumda istediğimiz yakınsak altdiziyi elde ederiz. Eğer (x n ) n dizisi sonsuz sayıda değer alıyorsa, o zaman bu dizinin her terimi değişik olan bir altdizisi vardır. (Neden? Ve bu altdiziyi Seçim Aksiyomu nu kullanmadan bulabilir misiniz?) Gerekirse

173 9.3. Bolzano-Weierstrass Teoremi 65 (x n ) n dizisi yerine her terimi değişik olan bu altdiziyi alarak, (x n ) n dizisinin her teriminin değişik olduğunu varsayabiliriz. (x n ) n dizisinin bir [a, b] aralığına sığdığını varsayalım. A = {x b : sonlu tane x n terimi [a, x] aralığında } kümesine bakalım. a A olduğundan, A. Ayrıca A kümesi b tarafından üstten sınırlı. Demek ki A nın bir en küçük üstsınırı var. c = sup A olsun. Şimdi c ye yakınsayan bir altdizi olduğunu kanıtlayacağız. k > 0 herhangi bir doğal sayı olsun. c /k < c olduğundan, c /k sayısı A nın bir üstsınırı değildir. Dolayısıyla c k d c eşitsizliklerini sağlayan bir d A vardır. A nın tanımına göre, [a, d] aralığında dizinin sonlu sayıda terimi bulunmaktadır. Öte yandan c < c + /k olduğundan, c + /k / A ve [a, c + /k] aralığında dizinin sonsuz sayıda terimi bulunmaktadır. Demek ki (d, c + /k] aralığında dizinin sonsuz sayıda terimi bulunmaktadır. Bundan da [ c k, c + ] k aralığında dizinin sonsuz sayıda terimi bulunduğu çıkar. x nk biri olsun. Demek ki, bu terimlerden olur ve bundan da [Sandviç Teoremi], çıkar. c k x n k c + k lim x n k = c k Bolzano-Weierstrass Teoremi nin Üçüncü (en basit) Kanıtı: (x n ) n, sınırlı bir dizi olsun. Her dizinin olduğu gibi, bu dizinin de monoton bir altdizisi vardır (Teorem 8.6). Her monoton ve sınırlı dizi gibi bu altdizi yakınsaktır (Teorem 7.). Alıştırmalar 9.6. c R olsun. Eğer bir dizinin c ye yakınsayan bir altdizisi varsa, c ye dizinin yoğunlaşma ya da limit noktası diyelim. Tek bir yoğunlaşma noktası olan sınırlı her dizinin yakınsak olduğunu kanıtlayın S R olsun. Eğer S nin her dizisinin yoğunlaşma noktası varsa S nin sınırlı olduğunu kanıtlayın.

174

175 0. Euler Sabiti e ve exp Fonksiyonu Kitabın bu en uzun bölümünde matematiğin en ünlü ve en yaygın kullanılan sabitlerinden biri olan e sayısını tanımlayacağız. Ayrıca halk arasında daha çok e x olarak bilinen exp fonksiyonunu tanımlayacağız. Bu bölüm sayesinde okurun diziler konusunda belli bir ustalık kazanacağını da düşünüyoruz. 0. Euler Sayısının Tanımı Teorem 0.. (( + /n) n ) n>0 dizisi 2 ile 3 arasında bir sayıya yakınsar. Kanıt: Karmaşık hesapları Altbölüm 3.2 de yaptık. Şimdi meyveleri toplayalım: Önsav 3.24 e göre dizi artıyor. Önsav 3.23 e göre dizi alttan 2 ile, üstten 3 ile sınırlı. Demek ki dizinin 2 ile 3 arasında bir limiti vardır. İkinci Kanıt: Örnek 3.38 da, x n = ( + n) n ve y n = ( + ) n+ n tanımlarını yapıp, (x n ) n dizisinin artan, (y n ) n dizisinin ise azalan olduğunu kanıtlamıştık. Bundan, ( 2 = x < x n = + n) n ( < + n) n+ = y n < y = 4 çıkar. Demek ki (x n ) n dizisi artan ve üstten 4 tarafından sınırlı; yani 4 ten küçük bir limiti var, diyelim e. Aynı şekilde (y n ) n dizisinin 2 den büyük bir limiti vardır, diyelim f. Şu hesaplardan e = f eşitliği çıkar: ( f = lim y n = lim + n) n+ (( = lim + n) n ( )) = lim ( + n) n ( lim + ) n = e lim ( + n + n ) = e. e < 3 eşitsizliği için, e y 5 = ( + /5) 6 < 3 eşitsizliğini farketmek yeterli.

176 68 0. Euler Sabiti e ve exp Fonksiyonu Euler sayısı ya da Napier sabiti olarak bilinen ve matematiğin π den sonra herhalde en ünlü ve ilginç sabiti olan bu limit, e harfiyle gösterilir. İlk 20 basamağı şöyledir: e = 2, e sayısının kesirli bir sayı olmadığını ilerde kanıtlayacağız. e sayısının 0 polinomu hariç hiçbir polinomun kökü olmadığı da bilinmektedir. Bundan böyle ( e = lim + ) n n n olacak. e nin başka tanımları da vardır; bunları da ilerde göreceğiz. Her n > 0 için ( + n) n ( + ) n+ e n + eşitsizliklerine de dikkatinizi çekeriz. Bu, Önsav 3.24 ten çıkar. Yukardaki teoremin kanıtında da kullanılmıştı. Örnekler 0.. n! > (n/e) n eşitsizliğini kanıtlayın. Kanıt: n üzerine tümevarımla kanıtlayacağız. n = için eşitsizlik yukarda kanıtlanan e > 2 > eşitsizliklerinden çıkıyor. Şimdi eşitsizliği n için kabul edip n + için kanıtlayalım: ( n ) n (n + )! = n! (n + ) > (n + ) e eşitsizliğinden dolayı, ( n e eşitsizliğini, ya da sadeleştirerek, ) ( ) n n+ n + (n + ) e n n (n + )n e eşitsizliğini kanıtlamanın yettiğini görürüz. Ama bu eşitsizlik, aynen, bildiğimiz ( e + ) n n eşitsizliğine denktir n! a(n/e) n eşitsizliği hangi a sayıları için geçerlidir? Yanıt: Eşitsizliğin n = için doğru olması için, e a olmalı. Şimdi eşitsizliğin n için doğru olduğunu varsayıp n + için kanıtlamaya çalışalım, bakalım a için nasıl bir koşul bulacağız: ( n ) n (n + )! = n! (n + ) a (n + ) e olduğundan, eğer ( n ) ( ) n n+ n + a (n + ) a e e

177 0.. Euler Sayısının Tanımı 69 ise istediğimiz kanıtlanır. Bu eşitsizlikte a sadeleştiğinden, a üzerine yeni bir koşul elde etmeyiz. Bakalım eşitsizlik doğru mu? Bu eşitsizliğin, sadeleştirmelerden sonra, ( + n ) n e eşitsizliğine eşdeğer olduğunu görmek zor değil. Ama bu son eşitsizliğin doğru olduğunu biliyoruz. Demek ki herhangi bir a e için sorudaki eşitsizlik doğru Aşağıdaki eşitsizliği kanıtlayın. ( ) n n + n!. e Kanıt: Bir üstteki örnekte a = e alabileceğimizi gördük. Öyle yapalım. Demek ki, ( n ) n n! e. e Sadeleştirmeleri yaparsak (n için) istediğimizi elde ederiz ! > eşitsizliğini gösterin. Kanıt: e < 3 olduğundan, Örnek 0. den n! > (n/3)n çıkar. Bunu n = 300 e uygularsak istediğimizi buluruz lim n (n!) /n =. Kanıt: Örnek 0. den hemen çıkar lim n n!/n n = 0. Kanıt: x n = n!/n n olsun. O zaman, ( + /n) n dizisi artan olduğundan, olur. Demek ki x n+ (n + )! n n = x n (n + ) n+ n! = n! n n (n + ) n n! = n n (n + ) = n ( + /n) n 2 Buradan tümevarımla, x n+ 2 x n. x n+k 2 k x n çıkar. k yı sonsuza götürerek, istediğimizi kanıtlamış oluruz. Biraz Tarih. e sayısının ilk izlerine, logaritmayı icat eden İsviçreli matematikçi John Napier nin 68 tarihli bir kitabının sonundaki ekteki cetvellerde rastlanır; o cetvelleri de William Oughtred in hazırladığı sanılıyor. Napier nin kitabında açık açık e den bahsedilmemekte, sadece bazı logaritmaların e sayısı kullanılarak hesaplandığı anlaşılmaktadır. e nin matematiksel bir sabit olarak ilk kullanımı yılları arasında, Leibniz in Christian Huygens e yazdığı mektuplardadır. Bu mektuplarda sabite e değil b adı verilmiştir. Jacob Bernoulli bileşik faizleri çalışırken ((+/n) n ) n dizisinin farkına varmıştır. Dizinin yakınsak olduğunu kanıtlamış ve limitini, yani e sayısını hesaplamaya çalışmıştır. Euler, e sayısını 727 de kullanmaya başlamıştır. e sayısını basımevine ilk sokan da Euler dir, 736 da yayımlanan Mechanica adlı eserinde e olarak sözetmiştir bu sayıdan. Büyük olasılıkla üs anlamına gelen exponentiation sözcüğünün ilk harfi olarak e demiştir. Son derece alçakgönüllü olan ve başkalarının çalışmalarına çok saygılı olan Euler in bu sayıya kendi adından dolayı e demiş olması pek muhtemel değil.

178 70 0. Euler Sabiti e ve exp Fonksiyonu ( + /n) n sayıları e sayısına pek o kadar çabuk yakınsamaz. Dizinin ilk k =, 2, 3, 4, 5 terimini ve virgülden sonraki ilk doğru rakamları gösterelim: n ( + /n) n , , , , Görüldüğü gibi dizi e sayısına çok yavaş yakınsıyor. yakınsayan bir dizi bulacağız. İlerde e ye daha çabuk 0.2 (( + x/n) n ) n Dizisi Bu altbölümde, bir x gerçel sayısı için (( + x ) n ) n n dizisine takılacağız. Her bir x için ayrı bir diziden sözettiğimizi anlamışsınızdır. Eğer x Q ise bu dizinin e x sayısına yakınsayacağını kanıtlayacağız. Önce dizinin yakınsaklığını gösterelim. Önsav 0.2. Eğer x > 0 ise, (( + x/n) n ) n dizisi artan ve üstten sınırlı bir dizidir; dolayısıyla yakınsaktır. Kanıt: Önsav 3.24 e göre dizi artar. Sonuca ulaşmak için dizinin üstten sınırlı olduğunu göstermeliyiz. Bu amaçla, x ten büyükeşit bir k doğal sayısı seçelim. + x n + k n olduğundan, (( + k/n) n ) n dizisinin üstten sınırlı olduğunu kanıtlamak yeterli. Onu da şimdi kanıtlıyoruz: Önsav 0.3. Eğer k bir doğal sayıysa, (( + k/n) n ) n dizisi e k üstten sınırlıdır. tarafından Kanıt: ( + k/n) n teriminde n yerine kn alırsak, dizi artan olduğundan, daha büyük bir sayı buluruz. Demek ki, ( + n) k n ( + k ) kn ( = + kn [( = + kn n) n) n ] k e k. Demek ki dizi üstten sınırlıdır. Savımız kanıtlanmıştır.

179 0.2. (( + x/n) n ) n Dizisi 7 Bu yaptıklarımızdan, lim n (+x/n) n limitinin varlığı ve eğer x k N ise, bu limitin e k sayısından küçükeşit olduğu çıkar, çünkü artan ve üstten sınırlı bir gerçel sayı dizisi her zaman yakınsaktır (Teorem 7.). Önsav 0.2 nin kanıtı tamamlanmıştır. Birazdan q Q için lim n ( + q/n) n = e q eşitliğini kanıtlayacağız. Önsav 0.4. Eğer x > 0 ise, (( x/n) n ) n dizisi yakınsaktır ve ( lim x ) n [ ( = lim + x ) n ] n n n n olur. ( Kanıt: Eğer lim n x 2 /n 2) n = eşitliğini kanıtlarsak işimiz iş, çünkü o zaman, ( ) n ( x ) n x2 n = ( 2 ) n + x n n ve ( lim x n = lim n n) n ( ) n x2 n ( 2 ) + x n = n lim n ( x2 lim n ( + x n ) n = ( lim n + x n n 2 ) n ( olur. lim n x 2 /n 2) n = eşitliğini kanıtlayalım. Önsav 3.7 ye göre, her n > x için, ) n ( x2 n = nx2 n 2 x2 n 2 n = eşitsizliği çıkar. Bundan ve Sandviç Teoremi nden (Teorem 5.), ) n lim ( x2 n n 2 = bulunur. Ve işte söz verdiğimiz eşitliğin kesirli sayılar için kanıtı: Önsav 0.5. Eğer q Q ise, lim n ( + q/n) n = e q olur. Kanıt: Birinci Durum. q = 0 ise her şey apaçık. Bundan böyle q 0 olsun. İkinci Durum. q N durumuna bakalım. Önsav 0.3 te, ( lim + q ) n e q n n eşitsizliğini kanıtladık. Şimdi eşitliği kanıtlayacağız. Bunun için ( + n) q n/q = e lim n ) n

180 72 0. Euler Sabiti e ve exp Fonksiyonu eşitliğini göstermek yeterli, çünkü bu eşitliği gösterebilirsek, o zaman, ( lim + q [ n ( = lim + n n) q ) ] n/q q [ ( = lim + q ) ] n/q q = e q n n n n olur. Dolayısıyla lim n ( + q/n) n/q = e eşitliğini gösterelim. Eğer ((+q/n) n/q ) n dizisinde tüm n leri değil de sadece q nün bir katı olan n leri alırsak (n = qm), o zaman ( ( + q ) ) n/q n dizisinin, ( ( + q ) ) qm/q qm m altdizisini, yani, (( + ) m ) m m altdizisini elde ederiz. Bu son dizi de Teorem 0. e göre e ye yakınsar. Demek ki yakınsak olduğunu bildiğimiz (( + q/n) n/q ) n dizisinin bir altdizisi e ye yakınsıyor. Bundan (( +q/n) n/q ) n dizisinin de e ye yakınsadığı çıkar (Teorem 8.2). Yani q N için, eşitliği kanıtlanmıştır. n ( lim + q ) n = e q n n Üçüncü Durum. Şimdi de q Q >0 durumuna bakalım. a, b N için, q = a/b yazalım. O zaman, ( + q ) n ( = + a ) n n bn olur. ((+a/bn) bn ) n dizisine bakalım; bu ((+a/n) n ) n dizisinin bir altdizisidir ve o da bir önceki durumdan e a sayısına yakınsar. Böylece ( lim + a ) bn = e a n bn bulunur. Öte yandan, (( + a/bn) n ) n dizisi Önsav 0.2 ye göre yakınsaktır. Demek ki, [ ( lim + a ) n ] b ( = lim + a ) bn ( = lim + a ) m = e a n bn n bn m m ve her iki taraf da pozitif olduğundan, bulunur. lim n ( + a bn ) n = e a/b

181 0.2. (( + x/n) n ) n Dizisi 73 Dördüncü Durum. Son olarak q Q <0 olsun. O zaman q > 0 olur ve üçüncü durumdan, ( lim q ) n = e q n n bulunur. Demek ki, Önsav 0.4 ten ( lim + q ) n [ = n n lim n ( q ) n ] = (e q ) = e q n çıkar. Önsav 0.5 tamamıyla kanıtlanmıştır. Örnek 0.7. ( ) + n dizisi ıraksar. (Bkz. Örnek 6.2.) n Kanıt: ( + ) n ( = ( ) n + n n ve ( lim + ) n = e n n eşitliklerinden ve lim n (( ) n ) n dizisinin ıraksak olmasından çıkar. ) n Alıştırma 0.8. Terimleri ( 2 + n ) n olan dizi ıraksar mı? Gerçel sayılarla üs almayı öğrendiğimizde, yukardaki teoremi r gerçel sayıları için de kanıtlayacağız, yani ( lim + r ) n = e r n n eşitliği doğru olacak. Daha doğrusu, bu eşitlik (nerdeyse) e r nin tanımı olacak. Şimdilik şunu kolaylıkla kanıtlayabiliriz ama: Sonuç 0.6. Eğer p r q ve p, q Q ise, ( e p lim + r ) n e q n n olur. Kanıt: Varsayımdan, her n için, + p n < + r n < + q n ve ( + p ) n ( < + r ) n ( < + q ) n n n n çıkar. Üç tarafın da limitini alırsak, Sandviç Teoremi nden (Teorem 0.5) ve Önsav 5.6 dan, ( e p lim + r ) n e q n n buluruz.

182 74 0. Euler Sabiti e ve exp Fonksiyonu Örnek 0.9. Aşağıdaki limiti hesaplayın: Çözüm: ( ) 5n n + /3 = n /2 lim n ( ) 5n n + /3. n /2 ( + /3n /2n Payın ve paydanın limitlerini ayrı ayrı hesaplayalım: ) 5n ( ) ( + /3n) n 5 =. ( /2n) n ( + /3n) n = ( ( + /3n) 3n) /3 e /3 ve olur. Demek ki ( /2n) n = ( ( /2n) 2n) /2 = ( e ) /2 e /2 ( ) 5n ( ) n + /3 e /3 5 ( = e /3+/2) 5 = e 25/6. n /2 e /2 Alıştırmalar 0.0. Aşağıdaki limitleri hesaplayın: 0.. lim n ( n n+ ( lim + ) n (, lim ) n (, lim + 3 ) 2n. n 2n n n n 5n ) n ve limn ( 2n 5n+3 ) n limitlerini hesaplayın (n!/n n ) n dizisinin bir zaman sonra azaldığını ve den küçük olduğunu kanıtlayın. lim n n!/n n = 0 eşitliğini kanıtlayın k sabit bir doğal sayı olsun. ((kn)!/n n ) n dizisinin limitini - varsa - bulun. 0.3 e ye Yakınsayan Bir Başka Dizi Bu altbölümde e sayısına daha çabuk yakınsayan bir başka dizi bulacağız. Tabii ( + /n) n dizisi yerine terimleri ( + ) 2n, ( + n ) n 2 ( 2n 2, + ) n! n! olan dizilerden birini alırsak, e sayısına çok daha çabuk yakınsayan diziler buluruz ama bu mızıkçılık sayılır. Yukarda, e sayısını, terimleri ( + ) n n

183 0.3. e ye Yakınsayan Bir Başka Dizi 75 olan dizinin limiti olarak tanımladık. Binom açılımını kullanarak bu terimi açalım ve ortaya çıkan ifadeyle oynayalım: ( + ) n = ( ) n n n n i n i = n! n i!(n i)! n i = + n! i!(n i)! n i i= n n(n ) (n i + ) = + i! n i i= n n(n ) (n i + ) = + n i i! i= n ( = + ) ( 2 ) ( i ) n n n i! i= n n + i! = i!. Demek ki, i= ( + n) n Sağ tarafta bulduğumuz dizinin terimlerini (Excel de mesela) hesaplayalım: n i!. n n inci terim (yaklaşık) ,5 3 2, , , , , , , , , , , , Eğer kitaplarda yazan e = 2, eşitliği gözönüne alınırsa, sağdaki dizinin de e ye yakınsadığı tahmin edilir. Bu tahmin doğrudur elbette; bu kadar da rastlantı olmaz... Ayrıca, bu yeni dizinin e ye eskisine oranla daha çabuk yakınsadığı da belli, ne de olsa terimler hep daha büyükeşit. Bu yeni dizinin e ye yakınsadığını kanıtlayalım. Kanıt biraz uzun sürecek.

184 76 0. Euler Sabiti e ve exp Fonksiyonu 0.4 exp Fonksiyonu Yukarda, dizisine baktık. Bu diziyi genelleştirip, her x R için, terimleri n n olan diziye bakacağız. Bu dizi yakınsaktır; daha doğrusu bir Cauchy dizisidir ve Cauchy dizisi olduğundan yakınsaktır. Bunu kanıtlayalım. Teorem 0.7. Terimleri n olan dizi bir Cauchy dizisidir, dolayısıyla yakınsaktır. Bu dizinin limiti exp x, bazen de exp(x) ya da Exp(x) olarak yazılır: ) x2 exp x = lim ( + + n x! 2! + + xn. n! Bu bölümün sonunda exp = e eşitliğini kanıtlayacağız. Hatta daha da ileri gidip, q Q için, daha da şaşırtıcı olan i! x i i! x i i! exp q = e q eşitliğini kanıtlayacağız. exp 0 = eşitliği daha şimdiden bariz olmalı. Gerçel üs almasını bilsek, x R için, exp x = e x eşitliğini kanıtlardık ama ne yazık ki henüz bilmiyoruz! İlerde, bir gerçel sayının gerçel bir gücünü tanımladığımızda bu eşitliği de kanıtlayacağız. Bu fonksiyon hakkında, türevinin olması ve türevinin kendisine eşit olması gibi daha da şaşırtıcı olguları üçüncü cilde saklıyoruz. Teorem 0.7 nin Kanıtı: Kanıt pek kolay olmasa da zenginleştirici olacak. Yavaş yavaş, yöntemi tartışa tartışa kanıtlayacağız. x 0 eşitsizliğini varsayabiliriz. ϵ > 0 herhangi bir gerçel sayı olsun. n x i m i! x i i! < ϵ

185 0.4. exp Fonksiyonu 77 eşitsizliğinin sağlanması için n > m sayılarının ne kadar büyük olmaları gerektiğini bulacağız. Soldaki (küçültmemiz gereken) ifadeyle oynayalım: n x i m i! x i i! = n x i n i! x i i! i=m+ i=m+ En sağda n m tane terim toplanmış. Bu toplamı ta en başta verilmiş olan pozitif ϵ sayısından küçük yapacağız. Toplamda bulunan bu n m tane x i i! sayısının her birini (ϵ a göre çok küçük) sabit bir α sayısından daha küçük yapmak işe yaramaz, çünkü o zaman ϵ dan küçük yapmak istediğimiz toplamın (n m)α dan küçük olduğu ortaya çıkar ki, m yi sabit tutup n yi büyütürsek, (n m)α sayısı sonsuza kadar büyür ve sadece ϵ u değil, her sayıyı aşar. Burada kullanmamız gereken bilgi, x ne kadar büyük olursa olsun, i çok çok büyük olduğunda, x i /i! sayısının çok çok küçük olduğu ve bir sonraki x i+ /(i + )! sayısının bundan daha daha küçük olduğu. Bu dediğimizi matematiksel olarak ortaya çıkaran küçük bir hesap yapalım şimdi: x i+ (i + )! = x x i i + i! < x x i N i! = r x i i! Burada, i yi daha sonra belirleyeceğimiz belli bir N sayısından büyükeşit aldık; ayrıca r = x /N aldık. N doğal sayısını da, zamanı geldiğinde r = x N < eşitsizliğini sağlayacak kertede büyük seçeceğiz, yani N sayısı, x ten büyük bir doğal sayı olacak; hatta N yi daha şimdiden x ten büyük bir doğal sayı olarak seçelim. Birazdan N nin seçiminde bir başka belirleyici kısıtlama daha bulacağız. Şimdilik sadece r = x /N < kısıtlamasıyla yetinip N nin daha başka hangi kısıtlamalara maruz kalması gerektiğini - sabırla - araştıralım. Her i > N için geçerli olan x i+ (i + )! < r x i i! eşitsizliğinden, kolayca, i > j > N için, x i i! < r x i x i 2 x i < r2 <... < ri j (i )! (i 2)! j! eşitsizliklerini elde ederiz.

186 78 0. Euler Sabiti e ve exp Fonksiyonu Başladığımız hesaplara devam edelim: n > m > N için, 0 < r < olduğundan, n x i m i! x i i! = n x i n i! x i n < r i (m+) x m+ i! (m + )! i=m+ = x m+ (m + )! n i=m+ i=m+ < x m+ r n m (m + )! r r i (m+) = < x m+ i=m+ x m+ n (m+) (m + )! (m + )! r buluruz. En sondaki ifadeyi ϵ dan küçük yapmalıyız, yani N sayısını, her m > N için, x m+ < ϵ( r) (m + )! eşitsizliğini sağlayacak biçimde seçmeliyiz. Ama ( ) x n j=0 r i n! n dizisi 0 a yakınsadığından (Örnek 6.), böyle bir N sayısı bulmak mümkündür: N sayısı, r = x /N sayısını den küçük yapacak kadar büyük seçildiği gibi, bir de ayrıca, her m > N için, x m+ < ϵ( r) (m + )! eşitsizliğini doğru kılacak kadar da büyük seçilsin. Bu durumda, hesaplardan devam ederek, n > m > N için, istediğimiz, n x i m i! x i i! <... < x m+ (m + )! r < ϵ eşitsizliğini elde ederiz. Kanıtımız tamamlanmıştır. Bu önemli kanıtı kitabi bir şekilde yazalım. Teorem 0.7 nin Kitabi Kanıtı: x 0 eşitsizliğini varsayabiliriz. ϵ > 0 herhangi bir gerçel sayı olsun. x ten büyük bir N tamsayısı vardır. r = x N olsun. Demek ki 0 < r <.

187 0.4. exp Fonksiyonu 79 Ayrıca, ( x n/n! ) n dizisi de 0 a yakınsadığından (bkz. Örnek 6.), her n > N 2 için x n < ϵ( r) n! eşitsizliğini sağlayan bir N 2 sayısı vardır. Son olarak, N = max{n, N 2 } olsun. Her i > N için, x i+ (i + )! = x x i i + i! bulunur. Demek ki, i > j > N için, < x x i N i! = r x i i! x i i! < r x i x i 2 x j < r2 <... < ri j (i )! (i 2)! j! olur. Böylece, 0 < r < olduğundan, n x i i! = n x i n i! i=m+ = x m+ (m + )! n i=m+ i=m+ < x m+ r n m (m + )! r x i i! < r i (m+) = n i=m+ r i (m+) x m+ n (m+) (m + )! j=0 (m + )! r < ϵ < x m+ x m+ (m + )! r i elde ederiz. Kitabi kanıtımız tamamlanmıştır. Cümleten geçmiş olsun. Artık exp x = lim ( + n ) x2 + x! 2! + + xn n! tanımını verebiliriz. e sayısına geri dönmeden önce, x 0 için, exp x + x! + x2 2! + + xn n! eşitsizliğine dikkat edelim. Teorem 0.8 in kanıtının son hamlesinde gerekecek. Örnek 0.4. Eğer y 0, y,..., y n 0 ise olur çünkü ve olur. ( + y 0 )( + y ) ( + y n ) exp(y y n ) + y i + yi! + y2 i 2! + y3 i + = exp yi 3! ( + y 0 )( + y ) ( + y n ) exp y 0 exp y exp y n = exp(y y n )

188 80 0. Euler Sabiti e ve exp Fonksiyonu 0.5 e ye Yakınsayan Bir Başka Dizi (devam) Söz verdiğimiz gibi, lim n n i! = e eşitliğini, yani exp = e eşitliğini kanıtlayacağız. Bir önceki altbölümde limitin olduğunu kanıtladık (x = alın.) Geriye limitin e olduğunu kanıtlamak kaldı. Bunu kanıtlamak için, terimleri ( n i! ) ( + ) n n olan dizinin 0 a yakınsadığını kanıtlamamız yeterlidir. Ama elimiz değmişken, en genel şeyi kanıtlayalım, çok daha fazla zahmetli olmayacak: Teorem 0.8. exp x = lim n ( + x n Kanıt: exp in tanımından dolayı, (( n lim n x i i! ) ) n ) ( + x ) n = 0 n eşitliğini kanıtlamalıyız. Hesaplara başlayalım. Daha önce de sık sık yaptığımız gibi, ( + x/n) n ifadesinin yerine bu ifadenin binom açılımını yazacağız. ( n ) ( x i ( + x ) n n x i n ( ) ) n x i n ( ( ) ) n = i! n i! i n i = i! i n i x i i=2 Tarafların mutlak değerlerini alırsak, ( n ) x i ( + x n n = i! n) i=2 ( i! ( ) ) n i n i x i n i! i=2 ( ) n i n i x i buluruz. En sağdaki ifadeyi (n yi büyütmeyi göze alarak) dilediğimiz kadar küçültebileceğimizi göstermemiz lazım. Bu aşamada kanıtı nasıl bitirebileceğimizi tartışalım. Bu tartışmanın yararlı olduğuna da inanıyoruz. Bilinçsizce yapılan hesapların bir sonuç vermesini beklemek mucize beklemek gibi bir şeydir. Hesaplara girişmeden önce ne yapmak gerektiğini bilmek, en azından üç aşağı beş yukarı hissetmek gerekir. Çok küçültmek istediğimiz bu ifadede, tam tamına n tane terim toplanıyor. İşte o terimler: i! ( ) n i n i x i

189 0.5. e ye Yakınsayan Bir Başka Dizi (devam) 8 (i = 2,..., n). Eğer bu n terimin her birini dilediğimiz kadar küçültebilirsek, işimiz iş, o zaman toplamı da istediğimiz kadar küçültebiliriz... demek içimizden geçiyor hemen ama bu yanlış. x = olsa bile yanlış. Çünkü eğer her bir terimi, örneğin, aşağı yukarı /n kadar küçültürsek, o zaman n tane terimin toplamını aşağı yukarı (n ) n kadar küçültmüş oluruz ve çok çok küçük bir sayı olmadığından (ve çok çok küçük bir sayı olmadığından!) bu küçültme bir işimize yaramaz. Burada yapılması gereken, her bir terimi, mesela, eğer mümkünse, /n 2 kadar küçültmektir, çünkü o zaman n tane terimin toplamını (n ) n 2 n kadar küçülmüş oluruz ve n çok büyük olduğunda ifade de çok küçük olur. Demek ki her n ve her i =, 2,..., n için i! ( ) n i n i x i n 2 eşitsizliğini kanıtlamamız yeterli. (x = özel durumuna bile razıyız!) Eğer bunu kanıtlamayı beceremezsek, ki beceremeyiz, çünkü yanlış, o zaman, /n 2 yerine, ( ) n i! i n i x i f(n) eşitsizliğini ve lim nf(n) = 0 n eşitliğini sağlayan /n 2 den daha küçük bir f fonksiyonu bulmamız gerekecek. Yukardaki tartışma aydınlatıcıdır aydınlatıcı olmasına ama aynı zamanda beyhudedir! Yöntemimiz yukarda tartıştığımız gibi olmayacak ama ona yakın olacak. Öyle bir f fonksiyonu bulacağız ki, hem her 2 i n için olacak, hem de her n 2 için, i! ( ) n i n i n f(i) x i i=2 f(i) n

190 82 0. Euler Sabiti e ve exp Fonksiyonu ifadesi n den bağımsız bir B(x) sayısı tarafından üstten sınırlı olacak. Eğer bunu başarabilirsek, o zaman, n x i ( i! + x ) n n = n n i! i=2 n i=2 ( ) n i n i x i f(i) x i B(x) n n i=2 f(i) n x i olur ve n çok büyük olduğunda, bu sayı çok küçük olur. İşte plan bu. Planımızı gerçekleştirmeden önce oldukça kolay bir savı aradan çıkaralım. Sav. 0 a i x ise (x a ) (x a k ) x k (a + + a k ) x k olur. Kanıt: Eşitsizliği k üzerine tümevarımla kanıtlayacağız. Eğer k = ise eşitlik sözkonusu ve her şey çok bariz. Şimdi eşitsizliğini varsayıp, eşitsizliğini kanıtlayalım. (x a ) (x a k ) x k (a + + a k ) x k (x a ) (x a k+ ) x k+ (a + + a k+ ) x k (x a ) (x a k+ ) = (x a ) (x a k ) (x a k+ ) ( x k (a + + a k ) x k ) (x a k+ ) = x k+ (a + + a k+ ) x k + (a + + a k ) x k a k+ x k+ (a + + a k+ ) x k. Eşitsizliğimiz kanıtlanmıştır. Ve canalıcı sav: Sav 2. Her 2 i n doğal sayısı için, eşitsizliği geçerlidir. 0 i! ( n i ) n i 2n (i 2)!

191 0.5. e ye Yakınsayan Bir Başka Dizi (devam) 83 Kanıt: Sav den yararlanıp ortadaki terimle oynayacağız. ( ) n i! i n i = i! n! (n i)! i! n i = ( n! ) i! (n i)! n i = ( ) n(n )(n 2) (n i + ) i! n i = n i n(n )(n 2) (n i + ) i! n i = n i (n )(n 2) (n i + ) i! n i n i (n i ( (i ))n i 2 ) i! = i! n i ( (i ))n i 2 n i = (i )i 2 i! n = 2n (i 2)!. Kanıtlamamız gereken birinci eşitsizlik, yani ifadenin 0 olduğu yukardaki hesabın daha ikinci satırından anlaşılıyor. Şimdi artık Teorem 0.8 in kanıtına nihai noktayı koyabiliriz. Her zamanki gibi küçük bir hesap yapacağız. x i sabitleyip hesaplara devam edelim: n x i ( i! + x ) n n n ( ) n i! n i n i x i = i=2 n n 2n (i 2)! x i = x 2 2n i=2 i=2 = x 2 2n n 2 j=0 Şimdi ϵ > 0 verilmiş olsun. N yi, x j j! x 2 2n 2Nϵ > x 2 exp x exp x. i=2 ( i! x i 2 (i 2)! ( ) ) n i n i x i eşitsizliğini sağlayacak kadar büyük seçelim. Her n > N için, n x i ( i! + x ) n... x 2 x 2 exp x < exp x < ϵ n 2n 2N buluruz. Son olarak, her iki tarafın n sonsuza giderken limitini alalım. Teorem 0.8 kanıtlanmıştır.

192 84 0. Euler Sabiti e ve exp Fonksiyonu Sonuç 0.9. Eğer x Q ise, exp x = lim ( + n olur. Kanıt: Teorem 0.5, 0.7 ve 0.8 den çıkar. ) x2 + x! 2! + + xn = e x n! Örnekler < e olduğundan, her n > 0 için n < 2 n < e n ve dolayısıyla lim n exp n = olur < e olduğundan, her n > 0 için /n > 2 n > e n ve dolayısıyla lim n exp( n) = 0 olur lim n n(n /n ) = eşitliğini kanıtlayın. Kanıt: A N olsun. Önsav 0.2, 0.3 ve 0.5 e göre terimleri ( + A/n) n olan dizi artarak exp A ya yakınsadığından, her n > exp A için ( + A/n) n exp A < n olur. Buradan, her n > exp A için, A < n(n /n ) çıkar exp fonksiyonu polinomiyal bir fonksiyon değildir. Kanıt: p, derecesi d olan gerçel katsayılı bir polinom olsun. p yi açık biçimde yazalım: p(x) = p 0 + p X + p 2 X p d X d. p yi bir n > 0 doğal sayısında değerlendirelim: p(n) = p 0 + p n + p 2 n p d n d sayısını buluruz. p nin derecesi d olduğundan, p d 0 dır. Çıkan sayıyı n d ye bölelim: p(n) = p0 n d n + p d n + + p d d n + p d elde ederiz. Şimdi n yi sonsuza götürelim: bulunur. Öte yandan eğer k > d ise, p(n) lim = p n n d d 0 p(n) lim = 0 n n k bulunur ve k < d ise, p d nin pozitif ya da negatif oluşuna göre, ± bulunur. Demek ki p polinomunun derecesi, p(n) lim R \ {0} n n k ilişkisini sağlayan yegâne doğal sayıdır. Dolayısıyla bir f fonksiyonunun polinomiyal olmadığını kanıtlamak için, yukarda bulduklarımızın doğru olmadığını kanıtlamak yeterlidir. Demek ki eğer her k doğal sayısı için, exp(n) lim n n k = olduğunu kanıtlayabilirsek, o zaman exp fonksiyonunun polinomiyal bir fonksiyon olmadığını da kanıtlamış oluruz. Bunun da kanıtı kolay, çünkü her k > 0 doğal sayısı için şu olur: exp(n) n k = n k n i i! k+ n i i! n k = ( k i! n k i ) + k! + n (k + )!.

193 0.6. exp x in Yaklaşık Değerini Bulmak exp x in Yaklaşık Değerini Bulmak exp x in yaklaşık bir değerini bulmak için, exp x = lim ( + n ) x2 + x! 2! + + xn n! eşitliğinden yararlanıp, büyük bir n sayısı için, exp x yerine, + x! + x2 2! + + xn n! sayısını hesaplayabiliriz. n yi ne kadar büyük alırsak, exp x e o kadar yakın bir sayı buluruz. Ancak yaptığımız hatanın üstsınırını bilmezsek, bu kestirimiz (yaklaşık hesabımız yani) uygulamada hiçbir işe yaramaz. Sosyologlar bile, bir anket yayımladıklarında hata payını, örneğin, sonuçlarımız %95 olasılıkla ±%3 doğrudur diyerek belirtirler... Önce aşina olduğumuz türden hesaplar yaparak + x! + x2 2! + + xn n! terimleri arasındaki farkı bulalım. n > m olsun. n x i m i! x i n x i n = i! i! x i n = x m+ i! i=m+ n m = x m+ = x m+ (m + )! = x m+ (m + )! = x m+ (m + )! x m+ (m + )! j=0 n m j=0 n m j=0 n m j=0 n m j=0 i=m+ x j (j + m + )! (m + )! (j + m + )! x j j!(m + )! x j (j + m + )! j! ( j+m+ j x j j! ) x j j! i=m+ x m+ exp x. (m + )! x i m i! Demek ki, n x i m i! x i i! < x m+ exp x (m + )!

194 86 0. Euler Sabiti e ve exp Fonksiyonu (Eğer x 0 ise tüm mutlak değerler kalkabilir.) Her iki tarafın da n sonsuza giderken (m sabit kalacak) limitini alalım. Sağ taraf hiçbir yere gitmediğinden, ( n ) lim x i m n i! x i i! x m+ exp x (m + )! elde ederiz. Limiti mutlak değerinin içine sokabiliriz (Önsav 5.2.iv): n x i m lim n i! x i i! x m+ exp x (m + )! yani, buluruz. Bu bize, exp x ile exp x m x i i! x m+ exp x (m + )! + x! + x2 2! + + xm m! sayısı arasındaki azami farkı veriyor. m çok büyük bir sayı olduğunda bu fark görüldüğü gibi küçülüyor. Bir şey kanıtladık: Sonuç 0.0. Her x R ve m N için, m exp x x i i! x m+ exp x. (m + )! Bulduğumuz bu sonucun ne işe yarayabileceğini sorgulayabilir okur. Nitekim, exp x sayısıyla exp x in yaklaşık değeri arasındaki farkı, içinde exp x bulunan bir ifadeyle sınırladık; biz zaten exp x i tam olarak bilmediğimizden, bu yaptığımız ne işe yarayabilir ki? Yarar! x ten büyükeşit bir q kesirli sayı bulalım. O zaman exp x exp q = e q 3 q olur (neden?) ve yukardaki teoremdeki eşitsizliği m exp x x i i! x m+ (m + )! 3q olarak yazabiliriz. Örneğin exp i, yani e yi en fazla 000 de hatayla bulmak istiyorsak, yukarda q = x = alırız ve m exp i! = m exp i! 3 (m + )!

195 0.6. exp x in Yaklaşık Değerini Bulmak 87 buluruz; ardından, 3 (m + )! 000 eşitsizliğini sağlayan bir m bulmak gerekiyor. m = 6 yetiyor. Demek ki, sayısı e ye 000 de yakın, yani, +! + 2! + + 6! = 2, , e 2, Fena bir iş yapmadık doğrusu. Tabii Sonuç 0.0 dan daha ince ve daha doğru kestirimler yapılabilir. Ama amacımız bu değil. İleri sınıflarda, exp x ifadesi, daha doğrusu, lim ( + n ) x2 + x! 2! + + xn n! ifadesi x, kare bir matrisken, ya da x bambaşka uzaylardayken (örneğin karmaşık bir sayıyken) de anlamlı olacak. Bunu doğru kılan n! sayısının çok büyük bir sayı olmasıdır, aynı olgu n! yerine örneğin n 2 alırsak doğru olmaz, nitekim, lim ( + n ) x x x xn n 2 limiti ancak ve ancak x ise vardır, yoksa dizi ıraksaktır. benzer ifadeleri kanıtlamanın kolay yöntemlerini göreceğiz. İlerde bu ve Alıştırmalar 0.9. Her x R ve q Q için exp(qx) = (exp x) q eşitliğini kanıtlayın Her q Q için exp(q) = e q eşitliğini kanıtlayın lim n exp( n) = 0 eşitliğini kanıtlayın lim n exp(/n) = eşitliğini kanıtlayın. (Dikkat: exp 0 = eşitliği yetmez, exp fonksiyonunun sürekli olduğunu (hatta sürekliliğin tanımını bile) henüz bilmiyoruz; tanımlara geri dönün.) e 2 sayısını en fazla milyonda hatayla hesaplayın e sayısının virgülden sonraki k inci basamağı 9 değilse, bu basamağı bulmak için, e m kestiriminde m kaç olmalıdır? exp e sayısı en fazla on binde hatayla bulun lim n n i=2 ( ) limitini bulun. i i!

196 88 0. Euler Sabiti e ve exp Fonksiyonu Her x, y R için, exp(x+y) = (exp x)(exp y) eşitsizliğini kanıtlayın. Bundan exp( x) = (exp x) eşitliğini çıkarın Her x R ve her q Q için, exp(qx) = (exp x) q eşitsizliğini kanıtlayın. (Bir önceki alıştırmayı kullanarak önce q N için, sonra q Z için kanıtlayın.) Her x R için, exp x > 0 eşitsizliğini kanıtlayın Her x, y R için, eğer x < y ise, exp x < exp y eşitsizliğini kanıtlayın lim n e /n = ve lim n n(e /n ) = eşitliklerini kanıtlayın Her x R için, ( ( ( lim n exp x + ) )) exp x = exp x n n eşitliğini kanıtlayın (n /n ) n dizisinin zamanla azaldığını kanıtlayın. Buradan lim n n /n = eşitliğini kanıtlayın (bkz. Örnek 8.2) lim n (n + ) /n ve lim n (n!) /(n )! limitlerini bulun Her x R için, terimleri n ( ) i x 2i (2i)! ve n ( ) i x 2i+ (2i + )! olan dizilerin yakınsak olduklarını kanıtlayın (Örnek 5.29). Bu dizilerin limitleri sırasıyla cos x ve sin x olarak yazılır. sin 2 x + cos 2 x = eşitliğini kanıtlayın (x n ) n, pozitif ve limiti olan bir dizi olsun. Limitin 0 ve den farklı olduğunu varsayalım. lim n x /n n = eşitliğini kanıtlayın. Limit 0 ya da olursa ne diyebilirsiniz? 0.7 exp(x + y) = exp x exp y Başlıktaki eşitliği kanıtlayıp bu eşitliğin önemli birkaç sonucunu vereceğiz. Kanıtımızda okurun hoşlanacağını umduğumuz güzel hesaplar yapacağız. Bu tür hesaplarla arası hoş olmayan matematikçi adayı okurun dikkatlice okumasında sonsuz yarar vardır. Bölüm 6 da Cauchy çarpımını gördüğümüzde, burada yaptığımız çok daha basit biçimde çıkacak. Teorem 0.. Her x, y R için, exp(x+y) = exp x exp y eşitliği geçerlidir. Kanıt: Kanıtlamak istediğimiz eşitliğin sağındaki ve solundaki ifadelerin ikisi de birer limit. Nitekim, soldaki ifade, exp fonksiyonunun tanımı gereği, lim n n (x + y) i olur. Sağdaki ifade de, gene tanım gereği, ( lim n n i! ) ( x i lim i! n n ) y i i!

197 0.7. exp(x + y) = exp x exp y 89 ifadesine eşittir; ama bunu, lim n (( n ) ( x i n i! )) y i i! olarak da yazabiliriz. Demek ki birinci limitle bu son limitin birbirine eşit olduğunu göstermeliyiz. Bir başka deyişle, (( n ) ( x i n ) ( y i n )) (x + y) i lim = 0 n i! i! i! eşitliğini göstermeliyiz. Demek ki, terimleri ( n ) ( x i n ) ( y i n ) (x + y) i i! i! i! olan dizinin 0 a yakınsadığını göstermeliyiz. Oldukça karmaşık görünümlü bir dizi... n = 0,, 2, 3 için dizinin terimlerini hesaplamakta yarar var. n = 0 için, = 0 elde edilir. n = için, elde edilir. n = 2 için, ilk elde, ( + x + x2 2 ( + x)( + y) [ + (x + y)] = xy ) ) ( + y + y2 [ + (x + y) + 2 ] (x + y)2 2 elde edilir. Çarpmalar ve sadeleştirmeler yapıldığında da geriye sadece, kalır. n = 3 için, ilk elde, ) ( + x + ( x2 2 + x3 + y + y y3 6 x 2 y 2 + xy2 2 + x2 y 2 4 ) (x + y)2 [ + (x + y) ] (x + y)3 6 elde edilir. Çarpmalar ve sadeleştirmeler yapıldığında da geriye sadece (!), x 3 y 6 + x2 y 2 + xy x2 y x3 y x3 y 3 36

198 90 0. Euler Sabiti e ve exp Fonksiyonu kalır. n = 4 için sonucun ne çıkacağını bulmayı okura bırakıyoruz. (Hesapları yapmakta çok yarar vardır. Şiddetle öneririz.) Okur elini çamura bulayıp hesapları gerçekten yaparsa, iki ilginç tespitte bulunacaktır. a. Birinci terimden çıkarılan ikinci terim tamamen sadeleşmekte ve ortadan kaybolmaktadır. Örneğin n = 3 durumunda, ifadesinden çıkarılan ) ) ( + x + ( x2 2 + x3 + y + y y3 6 + (x + y) + (x + y)2 2 + (x + y)3 6 ifadesinin her terimi birinci ifadede de aynı katsayıyla bulunduğundan sadeleşerek yok olmaktadır. b. Hesap sonucu bulunan ifadedeki terimlerin en küçük derecesi giderek büyümektedir. Örneğin, n = için 2 nci dereceden (xy), n = 2 için 3 üncü dereceden (x 2 y/2 + ) n = 3 için 4 üncü dereceden: (x 3 y/6 + ) kalan bulunmaktadır. Okur hesapları yaparsa n = 4 için en küçük derecesi 5 olan bir kalan bulacağını görecektir. Kalanın en büyük dereceli teriminin, x n y n n! n! olduğu belli. Henüz başlamadığımız kanıta devam edelim. x ve y iki sabit sayı olsun. Birazdan bu sabit sayıları pozitif alabileceğimizi göreceğiz, yani teoremi pozitif x ve y sayıları için kanıtlamanın yeterli olduğunu göreceğiz. Ama şimdilik x ve y herhangi iki gerçel sayı. ϵ > 0 herhangi bir gerçel sayı olsun. ( n ) ( x i n i! ) ( y i n i! ) (x + y) i i! < ϵ eşitsizliğinin doğru olması için n nin ne kadar büyük olması gerektiğini bulacağız. Kolları sıvayıp, mutlak değer içindeki canavarı açalım ve birçok terimin sadeleşeceğini umalım.

199 0.7. exp(x + y) = exp x exp y 9 Canavarı parça parça açalım. Önce ilk ifade: ( n ) ( x i n ) ( y i n ) x i n = y j = i! i! i! j! j=0 x i y j = i! j!. 0 i n, 0 j n n n j=0 x i y j i!j! Şimdi ikinci ifade: n (x + y) i = i! = = n n j=0 n i ( i ) j=0 j x i y i j i j+k=i i! i! j!(i j)! i! x j y k j!k! = x j y i j = = n 0 j+k n j=0 n ( i i j) i! xi y i j i j=0 x j y k j!k! Ve şimdi σ kapsamındaki ifadeleri kısaltmak amacıyla x i y i j j!(i j)! = = {(i, j) : 0 i n, n < i + j 2n} tanımını yapıp iki ifade arasındaki farka bakalım: ( n ) ( x i n ) ( y i n ) (x + y) i = i! i! i! = i,j n (i,j) 0 i+j n x i y j i!j! x i y i i!j!. x i y j i!j!. 0 i+j n x i y i i!j! Görüldüğü ve denemelerimiz sonucu tahmin ettiğimiz gibi derecesi n den küçükeşit olan terimler kayboldu ve geriye dereceleri n + den 2n ye kadar uzanan terimler kaldı. Hesaplarımız sonunda bulduğumuz ifadenin mutlak değerinin ϵ dan küçük olması için n nin ne kadar büyük olması gerektiğini bulacağız (belli bir N sayısından büyük olacak, işte o N dir bulmak istediğimiz.) Üçgen eşitsizliğinden, x i y j i!j! x i y j i!j!

200 92 0. Euler Sabiti e ve exp Fonksiyonu bulunur. Dolayısıyla sağdaki terimi ϵ dan küçük yapmalıyız ve dolayısıyla x ve y sayılarının pozitif olduklarını varsayabiliriz ve dolayısıyla mutlak değerleri kaldırabiliriz. (x ya da y sıfırsa yukardaki toplam da 0 dır ve kanıtlayacak bir şey kalmaz.) Bundan böyle, x, y > 0 sayıları için, x i y j i!j! ifadesini (n yi yeterince büyük alarak) ϵ dan küçük yapmaya çalışacağız. x ya da y sayılarından biri diğerinden büyükeşittir. Diyelim x, y den büyükeşit olsun. O zaman, x i+j i!j! ifadesi yukardaki ifadeden büyükeşittir. (Formülün başına koyduğumuz simgesi, bir önceki formülden devam ediyoruz anlamına geliyor.) Demek ki bu son ifadeyi ϵ dan küçük yapmalıyız. Bu son ifade de şuna eşit: = (i + j)! i!j! x i+j (i + j)! = ( i + j i ) x i+j (i + j)!. i ve j yi n ile sınırlamazsak daha büyük bir ifade buluruz, yukardaki hesabı devam ettirelim: ( ) i + j x i+j i (i + j)!. n<i+j 2n Şimdi bu son ifadeyi ϵ dan küçük yapmalıyız. x k ların katsayılarını bir parantezde toparlayarak bu son ifadeyi şöyle de yazabiliriz: = 2n k=n+ ( k ( ) ) k x k 2n 2n i k! = 2 k xk k! = k=n+ k=n+ (2x) k. k! ϵ dan küçük yapmamız gereken bu son ifadeye alıcı gözle bakalım. Bir şey anımsatıyor mu? ( Evet deyin!) exp 2x e yakınsayan dizinin terimlerini anımsıyor musunuz? exp fonksiyonunun tanımını anımsatalım: exp(2x) = lim n k=0 n (2x) k. k! Yani, terimleri n (2x) k k=0 k!

201 0.7. exp(x + y) = exp x exp y 93 olan dizi yakınsak bir dizidir (exp 2x e yakınsar) ve yakınsak olduğundan bir Cauchy dizisidir. Bu yüzden, öyle bir N vardır ki, her m > n > N için, m (2x) k n (2x) k k! k! k=0 farkı ϵ dan küçük olur. Eğer burada m = 2n alacak olursak, her n > N için, farkı, yani 2n k=0 (2x) k k! 2n k=n+ k=0 n (2x) k k=0 (2x) k toplamı ϵ dan küçük olur. İstediğimiz en sonunda kanıtlanmıştır. Bu önemli teoremin önemli sonuçlarını irdelemeden önce kanıtına bir göz atalım. Kanıtta elde edilen (( n ) ( x i n ) ) y i n (x + y) i lim = 0 n i! i! i! yakınsaklığın aslında gerçel sayılarla pek ilgili olmadığını gördünüz mü? x ve y nin birer sayı olduklarını unutun ve bunları iki bilinmeyenli (ya da değişkenli) bir polinomun değişkenleri olarak görelim. ( n x i i! ) ( n y i i! ) k! k! n (x + y) i ifadesini hesaplamak için yaptığımız işlemlere yakından bakacak olursanız, her x i y j teriminin belli bir n den sonra kaybolduğu görülecektir. Nitekim, exp fonksiyonu bambaşka uzaylarda da tanımlanacak ve bu bölümde kanıtladığımız exp(x + y) = (exp x)(exp y) eşitliği bu uzaylarda da geçerli olacaktır. Şimdi teoremin önemli sonuçlarını çıkaralım: Sonuç 0.2. exp 0 = ve her x R için exp( x) = exp x olur. Kanıt: Birinci eşitlik aslında exp x in tanımından belli: Bu tanımda x = 0 almak yeterli. İkinci sonuç bunun bir sonucu: = exp 0 = exp(x x) = exp(x + ( x)) = (exp x)(exp( x)). i! Demek ki exp( x) = (exp x).

202 94 0. Euler Sabiti e ve exp Fonksiyonu Sonuç 0.3. Her x R için, exp x > 0. Hatta eğer x 0 ise exp x, yoksa 0 < exp x <. Kanıt: Eğer x 0 ise, exp x in pozitif, hatta den büyükeşit olduğu tanımından ve her şeyinden belli: ( + x n) n >. Bir başka kanıt: Eğer x 0 ise, + x! + x2 2! + + xn n!. Eğer x > 0 ise, x > 0 olduğundan, bu bulgudan ve Sonuç 0.2 den, exp x = exp( x) > 0 çıkar. Kanıtlamamız gereken exp x < eşitsizliği de bundan çıkar. Sonuç 0.4. exp kesin artan bir fonksiyondur, yani x < y için exp x < exp y olur. Kanıt: Teorem 0. den ve Sonuç 0.3 ten, bulunur. exp y = exp(x + (y x)) = (exp x) exp(y x) < exp x Sonuç 0.5. Her x R ve her q Q için exp(qx) = (exp x) q ve dolayısıyla exp q = e q. Kanıt: Önce q nün bir doğal sayı olduğunu varsayalım. Bu durumda sonuç, q üzerine tümevarımla, teoremin doğrudan bir sonucu olan, exp((q + )x) = exp(qx + x) = exp(qx)(exp x) eşitliğinden çıkar. Şimdi q Q >0 olsun. a, b N için q = a/b yazalım. O zaman, yukarda yapılana göre, olur ve exp hep pozitif olduğundan, (exp(qx)) b = exp bqx = exp ax = (exp x) a exp(qx) = (exp x) a/b = (exp x) q elde edilir. q Q <0 durumu, bundan ve Sonuç 0.3 ten çıkar. Aynı sonuç Sonuç 0.9 dan da çıkar. Alıştırmalar Bir kumarbaz kazanma şansının milyonda olan bir oyunu milyon kez oynuyor. Kumarbazın tek bir oyun bile kazanamama olasılığı aşağı yukarı kaçtır?

203 0.7. Okuma Parçası : e Kesirli Bir Sayı Değildir 95 Okuma Parçası : e Kesirli Bir Sayı Değildir Başlıktaki önermeyi kanıtlayacağız. Aslında bu önermeden çok daha güçlü bir önerme doğrudur: e sayısı sadece kesirli olmamakla kalmaz, cebirsel bir sayı bile değildir, yani hiçbir n ve a 0,..., a n Q için, a 0 + a e + + a i e i + + a n e n + e n = 0 eşitliği sağlanmaz. Cebirsel olmayan sayılara aşkın sayılar denir. e nin aşkınlığını 873 te Charles Hermite kanıtlamıştır ve e, tarihte aşkın olduğu kanıtlanan ilk sayıdır. π nin aşkınlığını daha sonra, 882 de Ferdinand von Lindemann kanıtlamıştır. Ama Hermite in teoremini kanıtlamak çok zor olduğundan, biz sadece başlıktaki önermeyi kanıtlamakla yetineceğiz. Teorem 0.6. e kesirli bir sayı değildir. Kanıt: Sonuç 0.9 da kanıtladığımız lim n n i! = e eşitliğini kullanacağız. e nin kesirli bir sayı olduğunu ve p ve q pozitif doğal sayıları için p/q sayısına eşit olduğunu varsayalım. Demek ki, q!e = lim n n q! i! q! = q! +! + + q! q! + lim n n i=q+ olur. Hem q!e hem de eşitliğin sağ tarafındaki ilk toplamlar doğal sayı olduklarından, kuyruktaki n q! R = lim n i! i=q+ limiti de bir doğal sayıdır. Toplamdaki terimleri sadeleştirsek, R = lim n n j=q+ (q + ) (q + j) sayısının bir doğal sayı olduğunu buluruz. Ama j > için, (q + ) (q + j) < (q + ) j q! i! olduğundan, R lim n n j= (q + ) j

204 96 0. Euler Sabiti e ve exp Fonksiyonu olmalı. Sağ taraftaki limiti hesaplamayı biliyoruz (bkz. Teorem 6.2): R lim n n j= = q + lim n (q + ) j = lim n j=0 n j= ( ) j q + n ( ) j = q + q + = q <. q+ R pozitif doğal sayısının den küçük olduğunu kanıtladık! Daha neler! Biraz Tarih. Lindemann aslında e sayısıyla ilgili çok daha genel bir teorem kanıtlamıştır: Eğer 0 α cebirselse (yani katsayıları Q da olan ve 0 olmayan bir polinomun köküyse), e α sayısı aşkındır (yani cebirsel değildir). Kanıtlamadığımız ve bu ders notlarında kanıtlamayacağımız (ama kitabı çok değil yirmi sayfa daha uzatarak kanıtlayabileceğimiz) meşhur Euler eşitliğine göre e iπ = olduğundan, iπ cebirsel olamaz, dolayısıyla π de cebirsel olamaz... Bundan da, sadece çentiksiz cetvel ve pergel kullanarak, verilmiş bir dairenin alanına eşit bir karenin çizilemeyeceği çıkar... Madem ki e ve π cebirsel değiller, o zaman e+π ve eπ sayılarının her ikisi birden cebirsel olamazlar, yoksa, hem e hem de π, x 2 (e + π)x + eπ = 0 denklemini sağlarlardı ve her ikisi birden cebirsel olurlardı... Tabii bu akıl yürütme, e + π ya da eπ sayılarından hangisinin aşkın olduğunu söylemiyor. Her ikisi birden de aşkın olabilirler ve muhtemelen de öyleler. 897 de ABD nin İndiana eyaleti az kaldı π yi kesirli bir sayı olarak kabul eden bir yasa çıkarıyordu. Rastlantı eseri o anda mecliste bulunan bir matematikçi rezaleti engellemiştir. Okuma Parçası 2 : Bileşik Faizler Bankaya A lira yatırdığınızı ve bankanın yüzde yüz faiz verdiğini düşünün. Bir yıl sonunda bankada 2A liranız olur. Eğer banka %5, yani 0,5 faiz verseydi, o zaman yıl sonunda bankada A + 5A/00 liranız olurdu, ilk yatırdığınız A lira ve buna ilaveten faizden gelen 5A/00. Bankanın yıllık faizi x ise, (%00 faiz x = demektir) bir yıl sonra paranız Ax artar ve toplam A + Ax = A( + x) kadar paranız olmuş olur. Paranızı bankadan çekmez de, faiziyle birlikte bir yıl daha bekletirseniz, o zaman ikinci yılın faizi bu A( + x) üstünden hesaplanır ve ikinci yılın sonunda A( + x)( + x) = A( + x) 2 kadar paranız olur. Faizine hiç dokunmadan parayı bankada n yıl bırakırsanız ve faiz bu n yıl içinde değişmezse, n yıl sonra bankada, A( + x) n

205 0.7. Okuma Parçası 2 : Bileşik Faizler 97 liranız birikmiş olur. Şimdi de bankanın faizi müşterilerine altı ayda bir ödediğini varsayalım. O zaman, altı ay sonra bankadaki paranız ( A + x ) 2 lira olur, çünkü yıllık faiz x ise, altı aylık faiz bunun yarısı kadar, yani x/2 dir. Eğer bu para bir sonraki altı ay boyunca da bankada işletilirse, o zaman bankadan x ten daha fazla yıllık faiz alırsınız, çünkü banka, ikinci altı ayda ilk altı ay sonunda verdiği faize de faiz işleyecektir. Böylece yıl sonunda paranız ( A + x ) 2 2 lira olur ki bu da elbette yıllık ödenen x faizden daha fazla para getirir. Ya faiz üç ayda bir ödenirse? O zaman bir yıl sonra, ( A + x ) 4 4 liranız olur. Eğer faiz her ay ödenirse ve anaparaya ve faizine hiç dokunmazsanız, yıl sonunda, ( A + x ) 2 2 kadar paranız olur. Faiz günlük de ödenebilir ve o zaman bankada yıl sonunda ( A + x ) kadar paranız birikir. Genel olarak, eğer faizler yılda n kez ödenirse, o zaman yıl sonunda ( A + x ) n n kadar paranız birikir. Şimdi, yıl başında liranızın (A = ) ve faizin %00 (x = ) olduğunu varsayalım. O zaman yıl sonunda bankada ( + ) n n liranız olur. n ne kadar büyükse, yani banka faizi ne kadar sık öderse, yıl sonunda bankada biriken paranız o kadar artar. n yi sonsuza götürürsek, e buluruz. Yani banka paranızı %00 faizle işletirse ve faizi her an öderse, o zaman yıl sonunda, e = 2, liranız olur. Faizin ne kadar sıklıkla ödendiği pek büyük bir fark yaratmıyor: Yıllık: 2 0 günlük: 2, aylık: 2,25 5 günlük: 2, aylık: 2,444 günlük: 2,7457 aylık : 2,6304 sürekli: 2,7828

206 98 0. Euler Sabiti e ve exp Fonksiyonu Okuma Parçası 3 : e Sayısının Değişik Gösterimleri e sayısının çeşitli gösterimlerini kanıtlamadan yazacağız. Okur kendi başına kanıtlamaya çalışabilir ve çalışmalıdır. Aşağıda, x i ifadesi, lim n n anlamına kullanılacaktır. Önce bildiklerimizi yazalım. Benzer eşitlikler: ( e = lim + n = n n) ( ( ) i = i! e = = = ( i= ) = lim n ) 2i = (2i)! 2 3 4i 2 (2i + )! = i 2 2 i! = i= x i ( i! = lim ) n n n ( ( + 2 n) n/2 = i + = 2 i! ( = 9i 2 + (3i)! i 3 5 i! = i= i 4 5 i!. i + (2i + )! ) /2 2 i. i! 4i i+ (2i + )! Bu tür eşitlikler çoğaltılabilir. Bir başka türden belki ama gene de standart sayılabilecek bir eşitlik: [ (n + ) n+ n n ] e = lim n n n (n ) n. n-inci Bell sayısı, n elemanlı bir kümenin toplam parçalanış sayısıdır, yani küme üzerindeki değişik denklik ilişkisi sayısıdır. (Bu ad ünlü İskoç matematikçi yazar Eric Temple Bell in ( ) onuruna verilmiştir.) Örneğin, n = 3 ise, {, 2, 3} kümesinin parçalanışları, {, 2, 3}; {}, {2, 3}; {2}, {, 3}; {3}, {, 2}; {}, {2}, {3} ) 2

207 0.7. Okuma Parçası 3: e Sayısının Değişik Gösterimleri 99 olmak üzere 5 tanedir, yani p 3 = 5. İlk Bell sayıları şöyledir:,, 2, 5, 5, 52, 203, 877, 440, 247, Bell sayıları arasında kanıtlaması oldukça kolay olan şu ilişki vardır: B n+ = n ( ) n B i. i Biraz önce verdiğimiz eşitlikler şöyle genelleştirilebilir: e = i= i n B n i!. Peki ya şu Dobinski formülüne ne demeli? B n = e i n n!. Şimdi tuhaf bir eşitlik verelim. p k, k-inci asal olsun. Örneğin p = 2, p 2 = 3, p 3 = 5 vs. Eğer n 2 bir doğal sayıysa, n, n den küçükeşit asalların çarpımı olsun. Örneğin, p 4 = 7 = = 20. Şimdi çarpıcı eşitliği verebiliriz: e = lim n (p n ) /pn. Bir sonraki okuma parçasından, e nin neden ilginç bir sayı olduğu bir kez daha gün yüzüne çıkacak. Buna bağlantılı olarak: /n kazanma olasılığıyla kumar oynayan bir kumarbazın n kez oynadığında hiç kazanmama olasılığı, n büyük olduğunda, yaklaşık /e dir. İlk Görünüşe Aldanma! f(n) = [e (n )/2 ] + olsun. Buradaki [x], x in tamkısmını ifade etmektedir. f(), f(2),..., f(9) değerleri şöyledir:, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55; yani Fibonacci dizisinin ilk sayıları. Ama bir sonraki değer f(0) = 44 olur! Demek ki neymiş? İlk görünüşe aldanmamak lazımmış!

208 Euler Sabiti e ve exp Fonksiyonu Okuma Parçası 4 : Yer Bulma Olasılığı Kendi adlarını okuyacak kadar bile okuma yazması olmayan n kişi bir ziyafete davet edilmişler. Davet eden kişi, davet edilenlerin okuma yazma bilmediğini tahmin edemediğinden, ziyafet masasındaki yerleri belirlemek için konukların adlarını bir kartona yazıp tabaklarının üstüne koymuş. Hiçbir şeyin farkında olmayan ve varmayan konuklar masaya rasgele yerleşmişler. En az bir kişinin doğru yere oturma olasılığı kaçtır? Yanıtı önce küçük n ler için bulalım. Belki bir fikir verir. (Acemice bir yaklaşım!) n = ise, gelen tek davetlinin yanlış yapma ihtimali yoktur, mecburen kendisine ayrılan yere oturacaktır. Bu durumda en az bir kişinin doğru yere oturma olasılığı dir. n = 2 ise, ya ikisi de doğru ya da ikisi de yanlış oturacaklardır; olasılık %50, yani /2 dir. n = 3 ise çeşitli yerleşme biçimlerini çizelim. Sol tarafa kişileri, 2, 3 diye yazalım, sağ tarafa da kartonda yazan adları. Ok da kişinin oturduğu yerin kartonunu göstersin. İşte 6 durum: Sadece ilk 4 yerleşmede en az bir kişi doğru oturmuş. Son iki yerleşmede herkes yanlış yere oturmuş. Demek ki en az bir kişinin doğru yere oturma olasılığı 4/6, yani 2/3. Olasılık bu sefer arttı. Şimdi n = 4 olsun. Yukardaki gibi şekil yaparsak, çok uzar, işin içinden çıkamayız. Yerleşimleri daha cebirsel bir biçimde simgeleme yöntemi bulmalıyız. Yukardaki 6 yerleşimi şöyle gösterelim: Örneğin (23) yerleşimi, numaralı konuk 2 numaralı iskemleye, 2 numaralı konuk 3 numaralı iskemleye ve 3 numaralı konuk numaralı iskemleye oturuyor demektir. (3)(2) ise numara 3 numaranın yerine, 3 numara numaranın yerine oturmuş ve 2 numara da kendi yerine oturmuş demektir. Kendi numarasına oturanları hiç göstermesek de olur. O zaman (3)(2) yerine kısaca (3) yazabiliriz. Herkesin kendi yerine oturduğu durumu da Id olarak gösterelim.

209 0.7. Okuma Parçası 4: Yer Bulma Olasılığı 20 Bu anlaşmayla n = 4 için tüm durumları teker teker yazabiliriz: Id, (2), (3), (4), (23), (24), (34), (23), (24), (32), (34), (42), (43), (234), (243), (2)(34), (3)(24), (4)(23), (234), (243), (324), (342), (423), (432). Sadece ilk üç satırda en az bir kişi kendi yerine oturmuş, yani toplam 24 durumun 5 inde. Olasılık bu sefer 5/24 = 5/8 bulunur. Bir önceki olasılıktan daha düşük. Bir de n = 5 için bulalım ama bu sefer daha çabuk olalım. (Bu, matematik yapalım demektir!) En az kişinin doğru yerleştiği yerleşimleri sayalım: Id: tane. Tipi (2) olan yerleşimler, yani tam 3 kişinin doğru yere oturduğu yerleşimler, bunlardan toplam ( ) 5 = 0 2 tane var. Tipi (23) olan yerleşimler, yani tam 2 kişinin doğru yere oturduğu yerleşimler, toplam ( ) 5 2 = 20 3 tane. Tipi (2)(34) olan yerleşimler, toplam ( 5 ) ( 2 3 2) 2 = 5 tane. Tipi (234) olan yerleşimler, toplam ( ) 5 3! = 30 4 tane. Demek ki = 76 değişik yerleşimde en az kişi kendine ayrılan yere oturuyor. Toplam yerleşme sayısı da 5! = 20 olduğundan, bu durumda olasılık 76/20 = 9/30 dir. Bu sefer olasılık arttı, çünkü 5 8 < 9 30.

210 Euler Sabiti e ve exp Fonksiyonu Bulduğumuz olasılıkları teker teker yazalım: n = için, n = 2 için /2, n = 3 için 4/6, n = 4 için 5/24, n = 5 için 76/20. Sanki hiçbir kural ya da formül yok... Var ama. Bulacağız. En azından paydaya n! koyabileceğimiz belli! Bunun nedeni çok bariz olmalı: Toplam yerleşme sayısı n! çünkü ne de olsa n kişi ve n yer var, dolayısıyla n elemanlı bir kümenin eşlemeleri söz konusu. Bu toplam n! tane eşlemenin kaçının en az bir elemanı sabitlediğini bulmalıyız. Bu sayıyı n! sayısına böldüğümüzde istediğimiz olasılığı buluruz. {, 2,..., n} kümesinin eşleşmelerinden oluşan kümeye S n diyelim. S n = n! olduğunu biliyoruz. T i, S n nin, i sayısını sabitleyen eşlemelerinden oluşan küme olsun. Örneğin eğer n = 4 ve i = 2 ise, T 2 = {Id, (3), (4), (34), (34), (43)} olur. T i = (n )! çünkü T i kümesi, n tane elemanı olan {, 2,..., n}\{i} kümesinin eşlemelerinden oluşur. Hesaplamak istediğimizin, n i= kümesinin eleman sayısı olduğuna dikkatinizi çekerim. T i lerin bir resmi aşağıda. T i Eğer değişik i ler için T i kümeleri kesişmeseydi, bu birleşimin eleman sayısı tam tamına T i kümelerinin eleman sayısının toplamı, yani n T i i=

211 0.7. Okuma Parçası 4: Yer Bulma Olasılığı 203 olurdu. ( T i = (n )! olduğundan, bu toplam tam n! olur.) Ama maalesef T i ler kesişiyorlar. T i,j, hem i yi hem de j yi sabitleyen eşlemelerin kümesi olsun, yani, T i,j = T i T i, olsun. Eğer i j ise, olur. T i,j = (n 2)! Bu tanımı genelleştirelim. i,..., i k {,..., n} göstergeçleri için, T i,...,i k kümesi S n nin i,..., i k sayılarını sabitleyen eşlemelerinden oluşan küme olsun. Yani T i,...,i k = T i T i2... T ik olsun. Eğer i,..., i k sayıları birbirinden değişikse, olur. T i,...,i k = S n k = (n k)! yazılı- Elbette, örneğin, T,4,2 = T 4,,2 = T 2,4, = T,2,4. Bundan böyle T i,...,i k mını sadece i < i 2 <... < i k n

212 Euler Sabiti e ve exp Fonksiyonu eşitsizliğini sağlayan i, i 2,..., i k göstergeçleri için kullanacağız. T i lerin birleşiminin eleman sayısını bulmak için [N] de kanıtladığımız İçindelik-Dışındalık Teoremi ni kullanacağız: T i = T i T i,i 2 + T i,i 2,i 3 i i i <i 2 i <i 2 <i 3 yani T i = i n ( ) k k= i... i k n Bu teoremi durumumuza uygulayalım. Eğer i < i 2 <... < i k n ise, göstergeçler birbirinden değişik olacağından, T i,...,i k = S n k = (n k)! eşitliğini biliyoruz. Ayrıca her k =,..., n için, tam ( ) n k tane i < i 2 <... < i k n eşitsizliğini sağlayan i= {i, i 2,..., i k } kümesi olduğunu biliyoruz. demek ki, n n ( ) n T i = ( ) k (n k)! k k= T i,...,i k. olur. Bu sayıyı daha tıkız bir biçimde hesaplayalım: n n ( ) n T i = ( ) k (n k)! k i= k= n = ( ) k n! (n k)! k!(n k)! k= n = ( ) k n! n k! = n! ( ) k k! k= k=

213 0.7. Okuma Parçası 4: Yer Bulma Olasılığı 205 buluruz. Demek ki, hesaplamak istediğimiz olasılık, n i= T i = n! n ( ) k olur. İstediğimizi bulduk. Ancak, n çok büyükken, örneğin n = 000 iken ya da n = iken bu sayıyı hesaplamak çok zordur. Matematikçiler bu gibi durumlarda n yi sonsuza götürürler ki n çok büyükken yaklaşık bir değer bulunabilsin. Aynı şeyi faiz hesaplarında da yapmıştık. Yukarda n yi sonsuza götürürsek e buluruz (bkz. Sonuç 0.9). Teorem 0.7. Rastgele eşlenen n çiftten en az birinin kendi eşiyle eşlenme olasılığı, n sonsuza giderken /e ye yakınsar, yani n çok büyükken bu olasılık yaklaşık /e dir. k= k!

214

215 . Yakınsak Dizi Örnekleri II Yakınsaklık konusunu birkaç örnekle perçinleyelim. Örneklerden bazılarını geçmişte görmüştük ama burada değişik yöntemler deneyeceğiz. Örnekler.. Eğer a > 0 ise lim n a /n =. Kanıt: Eğer a = ise kanıtlayacak bir şey yok. Bundan böyle a olsun. a > durumunda eşitliği kanıtlamamız yeterli, nitekim bu durumda kanıtladığımızı varsayarsak, 0 < a < ise, b = /a olsun; o zaman b > olur ve lim a /n = lim b /n = lim b /n = = elde ederiz. Bundan böyle a > eşitsizliğini varsayalım. (a /n ) n dizisi azalan bir dizidir, çünkü a n+ < a n eşitsizliğinin taraflarının n(n + ) inci kuvvetini alırsak, bu eşitsizlikle, a n < a n+ eşitsizliğinin birbirine denk olduklarını görürüz; ama a olduğundan bu son eşitsizlik doğrudur. (a /n ) n dizisi aynı zamanda pozitif bir dizi olduğundan, dizi yakınsaktır. Şimdi de dizinin limitini bulalım. Dizinin limitine x diyelim. a /n > olduğundan, x dir. (a /2n ) n dizisi (a /n ) n dizisinin altdizisi olduğundan, (a /2n ) n dizisi de x e yakınsar. Bu zekice gözlemden x i bulacağız. x 2 = (lim a /2n ) 2 = lim a 2/2n = lim a /n = x eşitliğinden dolayı, x 2 = x buluruz. Ama x olduğundan, buradan x = çıkar..2. lim n n /n =. Kanıt: Dizinin bir zaman sonra azalan olduğunu kanıtlarsak o zaman dizinin yakınsak olduğunu da kanıtlamış oluruz. Kanıtlayalım. (n + ) n+ < n n eşitsizliğinin her iki tarafının da n(n + ) inci gücünü alacak olursak, bu eşitsizlikle, (n + ) n n n+

216 208. Yakınsak Dizi Örnekleri II eşitsizliğinin denk olduklarını görürüz. Şimdi bu son eşitsizliği n n ye bölecek olursak, bu son eşitsizlikle, ( + n ) n < n eşitsizliğinin denk olduklarını görürüz. Ama sol taraftaki ( + ) n n terim n sonsuza gittiğinde (e sayısına) yakınsar, bunu geçen sayımızda görmüştük, dolayısıyla bir zaman sonra ( + n ) n < n eşitsizliği doğru olur. Dizinin yakınsak olduğunu artık biliyoruz. Limite x diyelim. Dizinin terimleri de x n olsun: x n = n /n ve lim n n/n = x. Ama (x 2n) n, (x n) n dizisinin bir altdizisi, dolayısıyla bu altdizinin limiti de x olmalı. Bu zekice gözlemi ve Örnek. i de kullanarak x i bulacağız: x = lim x 2n = lim(2n) /2n = lim(2 /2n n /2n ) = lim(( 2) /n (n /n ) /2 ) = lim( 2) /n lim(n /n ) /2 = lim(n /n ) /2 = (lim n /n ) /2 = x /2. Dolayısıyla x 2 = x ve x olduğundan, x = bulunur..3. lim n ( + n 2 ) n =. Kanıt: ϵ > 0 olsun. olduğundan, yeterince büyük n için, ( + n 2 ) n = lim ( + n ) n 2 = e. n 2 ( ( + ) ) n 2 /n (e + ϵ) /n n 2 olur. Örnek. e göre en sağdaki dizi e yakınsadığından, istediğimiz sonuç Sandviç Teoremi nden çıkar (Teorem 5.)..4. lim n ( + n ) n 2 =. Kanıt: e > ϵ > 0 olsun. olduğundan, yeterince büyük n için, ( lim + ) n = e. n n (e ϵ) n ( + ) n 2 n olur. e ϵ > olduğundan, en soldaki terim sonsuza gider. ( ) n n.5. lim n +n =. e 2 Kanıt: Aşağıda. (Okun, yani iminin anlamı belli: n sonsuza giderken dizinin limiti anlamına geliyor.) ( ) n ( ) n ( n n + 2 = = 2 ) n + n n + n + ( = 2 ) n+ ( 2 ) e 2 = e 2. n + n +

217 . Yakınsak Dizi Örnekleri II 209 ( ) n 3n 5.6. lim n 7+4n = 0. Kanıt: Parantezin içindeki ifade den küçük olan 3/4 e yakınsar. Eğer 3/4 < a < ise, belli bir aşamadan sonra, ( ) n 3n 5 0 < a n 7 + 4n olur ve sağ taraf 0 a yakınsadığından sonuç bulunur. ( ) n 3n 5.7. lim n 7+3n = e 4. Kanıt: n değişkenini değiştirerek (önce m = 7 + 3n, sonra p = m/3) limiti alınması gereken ifadeyi daha aşina olduğumuz bir şekle getirelim: ( ) n 3n 5 = 7 + 3n ( m 2 m ( m 2 m ) m 7 ( 3 m 2 = m ) m ( 3 3p 2 = 3p ) 7 ) m 3 ( 3 m 2 m ) p ( = 4 ) p e 4. p (Bkz. Teorem 0.5.) Buradaki işareti aynı limiti var anlamına gelmektedir. Alıştırmalar.8. Aşağıdaki limitleri hesaplayın:.9. lim n ( lim n n n+ ( ) /n (, lim + ) n (, lim ) n (, lim + 3 ) 2n. n n 2n n n n 5n ) n ve limn ( 2n 5n+3 ) n limitlerini hesaplayın..0. (n!/n n ) n dizisinin bir zaman sonra azaldığını ve den küçük olduğunu kanıtlayın. lim n n!/n n = 0 eşitliğini kanıtlayın... a = 6 ve k için, a k+ = 6 + a k olsun. a 2, a 3 ve a 4 ü yazın. lim n a n = 3 eşitliğini kanıtlayın. İpucu: Dizi artar ve 6 dan küçüktür..2. a 0, a = a ve k için, a k+ = 6 + a k olsun. (a n ) n dizisinin yakınsak olması için a nın alabileceği değerleri bulun.

218

219 2. Sonsuza Iraksayan Diziler ve Sonsuzlar 2. Sonsuza Iraksayan Diziler II Her terimi x n = n olan dizinin sürekli artan bir dizi olduğu belli, çünkü ne de olsa bir sonraki terim bir önceki terime pozitif bir sayı eklenerek elde ediliyor. Benzer şekilde, her terimi y n = n 2 olan dizi de sürekli artar. Ancak bu iki dizi arasında önemli bir fark vardır, ikinci dizi üstten sınırlıdır, çünkü her n için, y n 2 eşitsizliği sağlanır (Bkz. Bölüm 7), oysa birinci dizi üstten sınırlı değildir, yani her sayıyı bir zaman sonra aşar; nitekim, Altbölüm 7.2 de, her n doğal sayısı için, x 2 n + n/2 eşitsizliğini kanıtladık; dolayısıyla dizinin bir limiti olamaz. Bu tür dizilerin sonsuza ıraksadığı söylenir. Matematiksel tanım şöyle: Tanım. (x n ) n bir dizi olsun. Hangi A sayısı verilirse verilsin, eğer her n > N için, x n > A eşitsizliğini sağlayan bir N göstergeci varsa, o zaman (x n ) n dizisinin sonsuza ( a) ıraksadığı ya da sadece ıraksadığı söylenir ve bu, olarak yazılır. lim x n = n

220 22 2. Sonsuza Iraksayan Diziler ve Sonsuzlar Demek ki bölümün başında verdiğimiz örnekte, ( lim n ) = n eşitliği sözkonusu. Benzer biçimde, dizisi de sonsuza ıraksar elbet. Ancak, 0,, 2, 3, 4, 5, 6,... 0,,,, 2,, 3,, 4,, 5,, 6,,... dizisi sonsuza ıraksamaz, çünkü her iki terimin arasına konmuş olan koyu puntolu ler dizinin sonsuza gitmesini engeller; dizi hiçbir zaman, örneğin 2 yi hep aşmaz. Dikkat: Burada sonsuz diye bir kavramı tanımlamadık, sadece bir dizinin sonsuza gitmesi nin ne demek olduğunu söyledik, yani dizi-sonsuza-gidiyor kavramını tanımladık. Tanımımıza göre, sonsuza gitmek demek, dizinin her A sayısını belli bir N göstergecinden sonra hep (yani her n > N için; sadece bazı n ler için değil) aşması demektir. lim n x n = ifadesinde aslında bir eşitlikten sözedilmemektedir, çünkü diye özel bir matematiksel nesne tanımlanmamıştır. Ama lafın gelişi ve alışkanlıklardan dolayı lim n x n = eşitliğinden bahsedeceğiz. Bir sonraki bölümde diye bir nesneyi yapay (hem de çok yapay, alabildiğine yapay, daha yapayı olamaz) bir biçimde var ettiğimizde, o zaman lim n x n = ifadesinden bir eşitlikmiş gibi sözetmeye biraz daha fazla hak kazanacağız. Bu simgesi bir sayı olmamasına karşın o kadar bir sayıymış gibi algılanır ki, bazen sonsuza ıraksar yerine sonsuza yakınsar dendiği bile olur; görürseniz şaşırmayın. Tanımın Tartışması. Bir (x n ) n dizisinin sonsuza ıraksadığını kanıtlamak için, önce herhangi bir A sayısı seçilir ve ardından, x n > A eşitsizliğinin sağlanması için n göstergecinin ne kadar büyük, yani eşitsizliğin sağlanması için n nin hangi N sayısından daha büyük olması gerektiği araştırılır. Bulunan N sayısı (aslında göstergeci) elbette A ya göre değişir; A ne kadar büyükse, N göstergeci de o kadar büyük olmalıdır. Bu yüzden N yerine, N nin

221 2.. Sonsuza Iraksayan Diziler II 23 A ya göre değiştiğini göstermek amacıyla N A yazılabilir. Ama dikkat, bu yazılım, A verildiğinde işimizi gören tek bir N vardır anlamına gelmez. Nitekim, eğer A sayısı N göstergecinden sonra aşılıyorsa, aynı sayı elbette N den büyük herhangi bir N göstergecinden sonra da aşılır. Yani verilmiş bir A için işimizi gören sonsuz sayıda N göstergeci vardır. Amaç, işimizi gören bu N lerin en küçüğünü bulmak değildir, kesinlikle değildir. (Bu en küçük N göstergecinden sadece bir tane vardır ama kimsenin umurunda değildir kendileri ve böyle bir uğraşa girmek genellikle çok zahmetli ve zahmetli olduğu kadar da gereksiz bir iştir.) Eğer bir A için, istediğimiz eşitsizlikleri gerçekleştiren bir N göstergeci bulmuşsak, aynı göstergeci elbette A dan küçük sayılar için de kullanabiliriz; dolayısıyla marifet küçük bir A sayısı için ilgili N yi bulmak değil, büyük A lar için ilgili N yi bulmaktır. Örneğin eğer 8000 den büyük her A için istediğimizi sağlayan bir N bulabilirsek, bu, her A için bir N bulabiliriz demektir. Sonsuza ıraksamanın dizinin kendisiyle değil, kuyruğuyla ilgili bir özellik olduğunu anlamışsınızdır, yani sonsuza ıraksayan bir dizinin terimlerinin arasına sonlu sayıda terim sıkıştırırsanız ya da diziden sonlu sayıda terim silseniz, elde ettiğiniz dizi gene sonsuza ıraksar. Geriye sonsuz sayıda terim kalacak şekilde terim silsek de sonsuza ıraksaklık değişmez. Artan bir dizinin sonsuza ıraksadığını göstermek için, her A sayısı için x N > A eşitsizliğini sağlayan tek bir N göstergeci bulmak yeterlidir, çünkü o zaman, eğer n > N ise, x n x N > A eşitsizlikleri de sağlanır. Azalan diziler sonsuza gidemezler, ama arada bir azalan diziler sonsuza gidebilirler; örneğin., 0, 2,, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 6, 5,..., n, n,... dizisi azalan bir dizidir ama sonsuza ıraksar. Teorem 2.. Artan bir dizi ya yakınsaktır ya da sonsuza ıraksar. Kanıt: Dizi sınırlıysa, o zaman limitinin olduğunu biliyoruz (Teorem 7.). Eğer dizi sınırsızsa, o zaman verilmiş herhangi bir A sayısını belli bir N göstergecinden sonra aşar. Ama dizi artan olduğundan, o göstergeçten sonra dizi A sayısını sürekli aşar. Alıştırmalar 2.. Sonsuza ıraksayan bir dizinin bir zaman sonra pozitif olması gerektiğini kanıtlayın Sonsuza ıraksayan bir dizinin alttan sınırlı olduğunu kanıtlayın lim n x n = ise lim n x n = olduğunu kanıtlayın. Tersi doğru mudur? 2.4. Sonsuza ıraksayan bir dizinin artan bir altdizisi olduğunu kanıtlayın Sonsuza ıraksayan bir dizinin her altdizisinin de sonsuza ıraksadığını kanıtlayın lim n (n 2 n) = eşitliğini kanıtlayın.

222 24 2. Sonsuza Iraksayan Diziler ve Sonsuzlar 2.7. lim n n 2 4 3n 2.8. lim n 2n 2 3 4n = eşitliğini kanıtlayın. = eşitliğini kanıtlayın Sonsuza ıraksayan iki dizinin toplamının da sonsuza ıraksadığını kanıtlayın Sonsuza ıraksayan iki dizinin çarpımının da sonsuza ıraksadığını kanıtlayın. 2.. lim n x n = ise ve r > 0 ise, lim n rx n = eşitliğini kanıtlayın p(x) = a k X k + +a X +a 0 bir polinom ve k > 0 olsun. a k > 0 olsun. lim n p(n) = eşitliğini kanıtlayın. Bir önceki sayfada, Bir (x n ) n dizisinin sonsuza ıraksadığını kanıtlamak için, önce herhangi bir A sayısı seçilir ve ardından, x n > A eşitsizliğinin sağlanması için n nin ne kadar büyük, yani hangi N sayısından daha büyük olması gerektiği araştırılır demiştik. Bu araştırma şu işten ibarettir: Yeterince büyük n göstergeçleri için, x n teriminden daha küçük, ama gene de n yi büyüterek istediğimiz kadar büyütebileceğimiz ve görünümü x n den daha sade bir y n terimi bulmak. Böylece, yeterince büyük n ler için, x n y n olur. Şimdi x n > A eşitsizliği yerine y n > A eşitsizliğini elde etmeye çalışmalıyız. y n nin görünümü x n den daha sade olduğundan, problemi daha basite indirgemiş oluruz. Eğer bu indirgeme sonuca ulaşmak için yeterli değilse, yeterince büyük n ler için, y n z n eşitsizliğinin sağlandığı daha basit görünümlü bir z n ifadesi aranır. Ama dikkat, z n yi örneğin hep 5000 den küçük bir şey seçerseniz, bu, hapı yuttuğunuzun resmidir, o zaman bu seçimle x n nin 500 den büyük olduğunu gösteremezsiniz! Örneğin z n yi n ya da n gibi bir şey seçebilirseniz, o zaman sorun çözüldü demektir, ne de olsa bunlar bir zaman sonra her A sayısını geçeceklerdir. Dikkat ettiyseniz yukarda önerdiğimiz yöntem şunu söylüyor: lim x n = n eşitliğini kanıtlamak için, bir zaman sonra x n y n eşitsizliğinin sağlandığı ve lim y n = n eşitliğinin sağlandığı bir (y n ) n dizisi bulmak gerekir. Eğer lim y n = n eşitliğini kanıtlayamıyorsanız, aynı yöntem (x n ) n yerine (y n ) n dizisiyle denenir. Önerdiğimiz bu yöntemin doğruluğu bir teoremle saptanabilir.

223 2.. Sonsuza Iraksayan Diziler II 25 Teorem 2.2. Eğer lim n y n = ise ve bir zaman sonra (yani yeterince büyük n ler için) x n y n eşitsizliği sağlanıyorsa, o zaman lim n x n = olur. Kanıt: Rastgele bir A sayısı alalım. N sayısı, her n > N için y n > A olacak biçimde seçilsin. (y n ) n dizisi sonsuza gittiğinden böyle bir N vardır. Ayrıca N 2, her n > N 2 için, x n y n eşitsizliği sağlayacak biçimde seçilsin. Varsayımdan dolayı böyle bir N 2 vardır. Nihayet N = max{n, N 2 } olsun. Şimdi her n > N için, x n y n > A olur ve kanıt tamamlanır. Benzer sonuçları çoğaltabiliriz ve çoğaltacağız. Ancak önce sonsuza ıraksadığı yukarda sunduğumuz örneklerdeki kadar bariz olmayan bir örnek sunalım. Örnekler 2.3. lim n n 3 2n+7 3n 2 +n+4 =. Kanıt: A verilmiş herhangi bir sayı olsun. n 3 2n + 7 3n 2 + n + 4 > A eşitsizliğinin sağlanması için N nin ne kadar büyük olması gerektiğini bulacağız. Soldaki terimle oynayalım: n 3 2n + 7 3n 2 + n + 4 > n3 2n 3n 2 + n + 4 Sağdaki terim, soldakinden daha sade ama sadece biraz daha sade, yeterince sade değil, devam edelim. Eğer n yi yeterince büyük almayı göze alırsak, ki göze almalıyız, paydayı 4n 2 ye çıkarabiliriz ve o zaman sağdaki terim hem küçülür hem de sadeleşir. 3n 2 + n + 4 < 4n 2 olması için, n 2 > n + 4 olmalı ve bunun için de n 3 yeterli. Demek ki n yi 3 ten büyük almayı kabullenirsek, n 3 2n + 7 3n 2 + n + 4 > n3 2n 3n 2 + n + 4 > n3 2n = n2 2 4n 2 4n elde ederiz. Paydadaki n yi sadeleştirmek için paydaki 2 yerine n koyabiliriz, çünkü n 3 > 2: n 3 2n + 7 3n 2 + n + 4 > n3 2n 3n 2 + n + 4 > n3 2n = n2 2 > n2 n 4n 2 4n 4n = n. 4 Yüzdük yüzdük kuyruğuna geldik. En sağdaki ifadeyi A dan büyük yapmalıyız, bu çok kolay, n yi 4A + den büyük seçelim. Artık N nin ne olması gerektiği belli, olsun. O zaman, her n > N için, olur ve kanıt tamamlanır. N = max{[4a + ] +, 3} n 3 2n + 7 3n 2 + n + 4 > n3 2n 3n 2 + n + 4 > n3 2n = n2 2 4n 2 4n > n2 n 4n = n 4 > N 4 A

224 26 2. Sonsuza Iraksayan Diziler ve Sonsuzlar Yukarda verdiğimiz kanıttan çok daha başkaları ve muhtemelen daha kısaları vardır. Amacımız sadece yöntemi örneklendirmekti. Aynı örneği bir başka yöntemle kanıtlamaya çalışalım lim n n 3 2n+7 3n 2 +n+4 =. Kanıt: Limiti alınacak ifadenin payını ve paydasını n 2 ye bölelim: n 3 2n + 7 3n 2 + n + 4 = n n n n n sonsuza giderken, sağdaki ifadenin paydası 3 e yakınsıyor. Payın n sonsuza giderken tam ne yaptığı belli değil, ama çok da belirsiz değil. Paydaki n 2. n 2 n + 7 n 2 ifadesi, sonsuza ıraksayan n terimiyle, limiti 0 olan 2/n+7/n 2 teriminin toplamı. Böyle bir toplamın da sonsuza gitmesini beklemek, imkânsızı istemek olmasa gerek! Nitekim birazdan kanıtlayacağımız üzere bu böyledir. Demek ki pay sonsuza ıraksar. Payda da 3 e yakınsıyordu. Bu iki bilgiden başlangıçtaki ifadenin sonsuza ıraksadığı çıkar. Bütün bunları birazdan aşağıda göreceğiz. Bu örnek, tahmin edileceği üzere polinomlarla ilgili genel bir teoremin özel bir halidir (bkz. Teorem 2.0 ve Teorem 2.) lim n (n!) /n =. Kanıt: Önce dizinin artan olduğunu, yani (n!) /n < (n + )! /(n+) eşitsizliğini kanıtlayalım. Her iki tarafın da n(n + ) inci gücünü alacak olursak, kanıtlamak istediğimizin, (n!) n+ < (n + )! n eşitsizliğine dönüştüğünü görürüz. Bu eşitsizliği, n! n n! < n! n (n + ) n olarak yazıp gereken sadeleştirmeyi yaparsak, bu sefer, n! < (n + ) n eşitsizliğini kanıtlamamız gerektiğini görürüz. Ama her i n doğal sayısı için, i < + n olduğundan, bu son eşitsizlik elbette doğrudur. Demek ki artan bir dizi sözkonusu. Dolayısıyla eğer dizinin limiti yoksa, dizi sonsuza gider. Bir an için dizinin limitinin olduğunu varsayalım ve limite x diyelim ve x n = n! /n olsun. Elbette x > 0 olmak zorunda. lim n x n = x olduğundan, lim n x 2n = x olur. Şimdi x 2n terimini açalım: x 2n = (2n)! /2n = (n!(n + )(n + 2) (n + n)) /2n = n! /2n ((n + )(n + 2) (n + n)) /2n > n! /2n (n n ) /2n = x /2 n n /2 elde ederiz. Sağ taraftaki x /2 n n /2 teriminin limiti elbette dur (çünkü x > 0). Demek ki sol taraftaki x 2n terimi de a gider. Bu da istediğimizi kanıtlar.

225 2.. Sonsuza Iraksayan Diziler II 27 Şimdi sonsuza ıraksamayla toplama ve çarpma gibi işlemler arasındaki ilişkileri irdeleyelim. Toplamayla İlişkiler. İlk olarak sonsuza ıraksamakla dizilerin toplanması konusuna eğilelim. Önsav 2.3. Sonsuza ıraksayan bir diziyle alttan sınırlı bir dizinin toplamı sonsuza ıraksar. Kanıt: (x n ) n sonsuza ıraksayan, (y n ) n de B tarafından alttan sınırlı bir dizi olsun. A herhangi bir sayı olsun. Belli bir zaman sonra, x n + y n > A eşitsizliğinin geçerli olduğunu kanıtlamak istiyoruz. y n B olduğundan, doğrudur. Demek ki, yani, x n + y n x n + B x n + B > A x n > A B eşitsizliğinin belli bir zaman sonra geçerli olduğunu kanıtlamak yeterli. Ama (x n ) n sonsuza ıraksadığından bu doğru: Öyle bir N vardır ki, her n > N için, x n > A B eşitsizliği geçerlidir. Sonuç 2.4. Sonsuza ıraksayan bir diziyle yakınsak bir dizinin toplamı sonsuza ıraksar. Kanıt: Yakınsak bir dizi sınırlı olduğundan istediğimiz sonuç Önsav 2.3 ten çıkar. Sonuç 2.5. Sonsuza ıraksayan iki dizinin toplamı sonsuza ıraksar. Kanıt: Sonsuza ıraksayan bir dizi alttan sınırlı olduğundan istediğimiz sonuç Önsav 2.3 ten çıkar. Çarpmayla İlişkiler. Sonsuza ıraksayan bir diziyle terimleri negatif olan bir diziyi çarparsak, sonsuza ıraksayan bir dizi elde etmeyiz elbette. Sonsuza ıraksayan bir diziyle terimleri pozitif olan bir diziyi çarparsak da her zaman sonsuza ıraksayan bir dizi elde etmeyiz. Örneğin, sonsuza ıraksayan (n) n>0 dizisiyle terimleri pozitif olan (/n) n>0 dizisini çarparsak, sonsuza ıraksayan bir dizi değil, sabit dizisini buluruz. Demek ki çarpmada toplamadan biraz daha dikkatli davranmalıyız. Bir sonraki önsavı ifade etmek için bir tanıma ihtiyacımız var. (x n ) n bir dizi olsun. Eğer bir ϵ > 0 için, xn > ϵ oluyorsa, o zaman (x n ) n dizisi için

226 28 2. Sonsuza Iraksayan Diziler ve Sonsuzlar 0 dan uzak duruyor denir. Limiti 0 olan diziler 0 dan uzak duramazlar. Öte yandan limiti 0 dan değişik olan ve hiçbir zaman 0 olmayan diziler 0 dan uzak dururlar. Eğer x n > ϵ eşitsizliği belli bir göstergeçten sonra sağlanıyorsa, dizinin zamanla 0 dan uzak durduğu söylenir. Limiti 0 olan diziler zamanla da 0 dan uzak durmazlar ama limiti olan ve limitin 0 dan değişik olduğu diziler 0 dan uzak dururlar. Dizinin zamanla 0 dan uzak durmasıyla, dizinin 0 a yakınsayan bir altdizisinin olmaması aynı şeydir. Bütün bunları okura alıştırma olarak bırakıyoruz. Önsav 2.6. Sonsuza yakınsayan bir diziyle, zamanla hem pozitif olan ve hem de 0 dan uzak duran bir dizinin çarpımı sonsuza ıraksar. Kanıt: (y n ) n zamanla pozitif olan ve 0 dan uzak duran bir dizi olsun; diyelim bu dediklerimiz N göstergecinden sonra gerçekleşsin, yani bir ϵ > 0 ve her n > N için, hem y n > 0 hem de y n > ϵ olsun. Demek ki her n > N için, y n > ϵ > 0 olur. Bir de sonsuza ıraksayan bir (x n ) n dizisi alalım. (x n ) n dizisinin terimleri her sayıyı bir zaman sonra aştığından, 0 ı da bir zaman sonra aşarlar, yani pozitif olurlar. Yukardaki N yi gerekirse daha da büyük seçerek, her n > N için, x n > 0 varsayımını yapabiliriz. Bu hazırlıklardan sonra şimdi artık işin özüne inebiliriz. A, herhangi bir sayı olsun. Belli bir göstergeçten sonra x n y n > A eşitsizliğinin geçerli olduğunu kanıtlamak istiyoruz. Bu göstergeci N den büyükeşit alacağımıza söz verirsek, x n y n > x n ϵ olur. Şimdi sağdaki x n ϵ terimini A dan büyük yapmalıyız, yani x n yi A/ϵ dan büyük yapmalıyız. Ama (x n ) n dizisi sonsuza ıraksadığından, bu mümkündür. Yukardaki N yi bir de ayrıca, her n > N için, x n > A/ϵ eşitsizliği gerçekleşecek kadar büyük seçelim.

227 2.. Sonsuza Iraksayan Diziler II 29 Sonuç 2.7. Sonsuza ıraksayan bir diziyle pozitif bir sayıya yakınsayan bir dizinin çarpımı sonsuza ıraksar. Kanıt: Pozitif bir sayıya yakınsayan bir dizi zamanla hem pozitiftir hem de 0 dan uzak durur. Sonuç 2.8. Sonsuza ıraksayan iki dizinin çarpımı sonsuza ıraksar. Kanıt: Sonsuza ıraksayan bir dizi zamanla i (örneğin) aşar, dolayısıyla zamanla pozitiftir ve 0 dan uzaktır. Yukardaki önsavı uygulayalım. Sonuç 2.9. Eğer (x n ) n sonsuza ıraksayan bir diziyse ve r > 0 ise, (rx n ) n dizisi de sonsuza ıraksar. Kanıt: Sabit r dizisi, r > 0 olduğundan pozitif ve 0 dan uzaktır. Teorem 2.0. k > l ve p k q l > 0 olmak üzere, ve iki polinom olsun. O zaman olur. p(x) = p k X k + + p X + p 0 q(x) = q l X l + + q X + q 0 p(n) lim n q(n) = Kanıta girişmeden önce biraz düşünelim. Teoremin doğru olmasının nedeni, n çok büyük olduğunda, p(n) = p k n k + + p n + p 0 sayısının p k n k ölçeğinde bir şey olmasıdır. Aynı şey q(n) için de geçerli olduğundan, n çok büyükken, p(n) q(n) p kn k p l n l = p k n k l p l aşağı yukarılığı geçerlidir. En sağdaki terim de elbette her A sayısını geçtiğinden teorem doğrudur. Teorem 2.0 un Kanıtı: Gerekirse p ve q polinomlarının her ikisini de le çarparak p k ve q l katsayılarının pozitif olduklarını varsayabiliriz. p(n)/q(n) ifadesinin payını ve paydasını n l ye bölelim: p(n) q(n) = p kn k + + p l n l + p l n l + + p 0 q l n l + q l n l + + q 0 = p kn k l + + p l + p l n + + p 0 n l q l + q l n + + q 0 n l.

228 Sonsuza Iraksayan Diziler ve Sonsuzlar Demek ki (p(n)/q(n)) n dizisini terimleri ve (p k n k l + + p l ) + (p l n + + p 0 n l ) q l + q l n + + q 0 n l olan dizilerin çarpımı olarak görebiliriz. İkinci dizinin pozitif bir sayı olan /q l ye yakınsadığını biliyoruz. Birinci dizinin sonsuza ıraksadığını kanıtlarsak, sonucumuz Sonuç 2.7 den çıkacak. Birinci dizi, terimleri p k n k l + + p l ve p l n + + p 0 n l olan iki başka dizinin toplamı. Terimleri p l n + + p 0 n l olan dizinin 0 a gittiğini biliyoruz. Terimleri p k n k l + + p l olan dizinin sonsuza ıraksadığını kanıtlarsak, Sonuç 2.4 ten istediğimize ulaşırız. p k n k l + + p l = n k l (p k + p k n + + p l n l k ) eşitliğinden ve Sonuç 2.7 den dolayı, lim n n k l = ve lim n (p k + p k n + + p l n l k ) = p k eşitliklerini kanıtlamak yeterli. İkinci limitin doğru olduğunu biliyoruz. Birinciyi kanıtlamalı. k > l olduğundan, n k l n olur ve Teorem 2.2 den dolayı birinci limit de doğru. Kanıtını okurlara bırakacağımız ve kanıtı yukardaki kanıttan pek değişik olmayan bundan daha genel bir teorem geçerlidir aslında. Teorem 2.. k > l ve p k q l > 0 olmak üzere, ve p(x) = p k X k + + p X + p 0 q(x) = q l X l + + q X + q 0 iki polinom ve lim n x n = olsun. O zaman p(x n ) lim n q(x n ) = olur. Dolayısıyla eğer p k q l < 0 ise, limit olur.

229 2.. Sonsuza Iraksayan Diziler II 22 Sonuç 2.2. p, derecesi en az olan ve başkatsayısı pozitif olan bir polinomsa ve lim n x n = ise lim n p(x n ) = olur. Başkatsayı negatifse limit olur. Okur herhalde 0 a yakınsamakla sonsuza ıraksamak arasında yakın bir ilişkinin olduğunu düşünüyordur. Biraz dikkat etmek koşuluyla bu doğrudur. Teorem 2.3. Eğer lim n x n = ise, lim n /x n = 0 olur. Eğer lim n x n = 0 ise ve (x n ) n dizisi zamanla pozitif oluyorsa, lim n /x n = olur. Kanıt: Okura bırakılmıştır. Sonuç 2.4. l > k ve p k q l > 0 olmak üzere, ve p(x) = p k X k + + p X + p 0 q(x) = q l X l + + q X + q 0 iki polinom ve lim n x n = olsun. O zaman olur. p(x n ) lim n q(x n ) = 0 Kanıt: Teorem 2. ve 2.3 ten çıkar. Benzer biçimde eksi sonsuza ıraksama yı da tanımlayabiliriz: Tanım. (x n ) n bir dizi olsun. Hangi A sayısı verilirse verilsin, eğer her n > N için, x n < A eşitsizliğini sağlayan bir N göstergeci varsa, o zaman (x n ) n dizisinin eksi sonsuza (ya da a) ıraksadığı söylenir ve bu, lim x n = n olarak yazılır. Eksi ve artı sonsuza ıraksamak elbette birbirine çok yakın iki kavramdır: Teorem 2.5. (x n ) n bir dizi olsun. O zaman, olur. lim x n = lim x n =. n n

230 Sonsuza Iraksayan Diziler ve Sonsuzlar Kanıt: Soldan sağa kanıtlayalım. A herhangi bir sayı olsun. lim n x n = olduğundan, öyle bir N vardır ki, n > N ise, x n > A olur. (Sonsuza gitme nin tanımında, yani (*) koşulunda A yerine A alın.) Demek ki n > N için x n < A oluyor, yani lim n x n =. Sağdan sola da aynı biçimde kanıtlanır. Alıştırmalar 2.6. Eğer lim n x n = ve her n için x n 0 ise ve q > 0 kesirli bir sabit sayıysa, lim n x q n = olduğunu kanıtlayın Eğer r > ise ve lim n q n = ise lim n r q n = olduğunu kanıtlayın < r < ise ve lim n q n = ise lim n r qn = 0 eşitliğini kanıtlayın Öyle (x n) n ve (y n) n dizileri bulun ki, a. her n için y n >, b. her n için x n Q, c. lim n x n =, d. lim n y x n n R olsun Eğer p polinomunun derecesi en az ise ve başkatsayısı negatifse, lim n p(n) = eşitliğini kanıtlayın Eğer lim n x n = ise, lim n /x n = 0 eşitliğini kanıtlayın C, a ıraksayan diziler kümesi, C u, zamanla pozitif ve sıfırdan uzak diziler kümesi olsun. C C u = C + C = C eşitliklerini kanıtlayın x n = (n!) /n olsun. (x n ) n dizisinin artan olduğunu ve sonsuza ıraksadığını kanıtlayın. 2.2 Sonsuzları R ye Eklemek R Tamsıralaması. Gerçel sayılar kümesi R ye yepyeni bir eleman ekleyelim. simgesiyle göstereceğimiz bu yeni elemana sonsuz adını verelim., gerçel bir sayı değildir, yepyeni bir şeydir, daha doğrusu yepyeni bir simgedir, o kadar bambaşka bir şeydir ki bu yeni simgeye sayı bile denmez. elemanını R nin en sonuna koyalım, yani R nin bildiğimiz sıralamasını, R { } kümesine şöyle genişletelim: Her r R için, r < olsun. Böylece R nin eski sıralamasını korumuş oluruz ve R { } kümesi tamsıralanmış bir küme olur. Bu tamsıralamada,, her gerçel sayıdan daha büyüktür. Yani her x, y R { } için, ya x < y ya x = y ya da y < x.

231 2.2. Sonsuzları R ye Eklemek 223 X, R { } kümesinin boş olmayan herhangi bir altkümesi ise o zaman sup X mutlaka vardır, nitekim eğer X R ve X üstten sınırlıysa o zaman sup X, R nin bir elemanıdır, öte yandan X ise ya da X R üstten sınırlı değilse, sup X = olur. Tamsıralanmış R { } kümesine diye göstereceğimiz bir başka eleman daha ekleyelim ve yukarda tanımlanan R { } kümesinin tamsıralamasını R {, } kümesine şu kuralla genişletelim:, R { } kümesinin bütün elemanlarından daha küçük olsun. Böylece R {, } kümesi tamsıralanmış olur. Bu tamsıralamada en küçük eleman, en büyük elemandır. R {, } kümesini R simgesiyle gösterelim: R = R {, }. R kümesinde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme gibi temel işlemlerden söz edeceğiz; bir sonraki bölümde de inf, sup ve limit alma gibi işlemlerden. Temel İşlemler. Toplamayı, çıkarmayı ve çarpmayı şöyle tanımlayalım: x sütunuyla y sırasının kesiştiği yere x y işleminin sonucunu yazdık. Çarpı olan yerleri tanımsız kabul ediyoruz. Görüldüğü gibi R deki işlemler aynen R kümesinde de geçerli.

232 Sonsuza Iraksayan Diziler ve Sonsuzlar Bu işlemler rastgele tanımlanmadılar. Bu işlemler, aşağıdaki teorem doğru olsun diye tanımlanmışlardır. Teorem 2.6. (x n ) n ve (y n ) n iki gerçel sayı dizisi olsun. lim x n, lim y n R n n olsun. Eğer işlemi yukardaki +,, ve / işlemlerinden biriyse ve ( ) ( ) lim x n lim y n n n işlemi tanımlıysa, ( ) ( ) lim (x n y n ) = lim x n lim y n n n n olur. Kanıt: Bu teorem büyük ölçüde önceki altbölümde kanıtlandı. Olası eksiklikler okura bırakılmıştır. Alıştırma R kümesinde kesirli sayıyla üs alma işlemini tanımlamak isteseydiniz nasıl tanımlardınız?

233 3. Dizilerin Alt ve Üstlimitleri (A, <) tamsıralı herhangi bir küme olsun. X A, boş olmayan bir altküme ve a A olsun. Eğer her x X için, x a oluyorsa, a ya X in üstsınırı denir, daha doğrusu (A, <) tamsıralamasında üstsınır denir, çünkü üstsınır A üzerine konulan sıralamaya göre değişir. Eğer a, X in bir üstsınırıysa, a dan büyük her eleman da X in bir üstsınırıdır; yani üstsınırdan tek bir tane olmayabilir. Ama bazen de hiç üstsınır yoktur; örneğin A = R ise ve X, N yi içeriyorsa X in bir üstsınırı olamaz. Öte yandan eğer A = R { } ise, (tüm gerçel sayılardan daha büyük olan) elemanı, A nın boş olmayan her altkümesinin bir üstsınırıdır. X in üstsınırlarının en küçüğüne -eğer varsa- en küçük üstsınır denir ve en fazla bir tane olan bu eleman sup X olarak gösterilir. Bilindiği üzere R nin boş olmayan ve üstten sınırlı her altkümesinin bir en küçük üstsınırı vardır. En büyük altsınır da -olduğunda- inf X olarak gösterilir. Bir önceki bölümde tanımladığımız R = R {, } tamsıralamasını anımsayalım: un her gerçel sayıdan büyük, un ise her gerçel sayıdan küçük olmasına karar verilmişti. R kümesinin (daha doğrusu tamsıralamasının) boş olmayan her X altkümesinin inf X olarak gösterilen en büyük altsınırı vardır. Benzer şekilde sup X de her zaman vardır. Örnek 3.. Aşağıdaki örneklerde sup ve inf, R tamsıralamasında alınmıştır. sup R =, inf R =. sup R =, inf R =. sup Z =, inf Z =. sup N =, inf N = 0, sup[, 5] = 5, inf[, 5] =, sup(, 5) = 5, inf(, 5) =, sup{, 5, 7} = 7, inf{, 5, 7} =, X = { /n : n =, 2,...} ise, sup X = 0, inf X =.

234 Dizilerin Alt ve Üstlimitleri Alıştırmalar 3.2. x R ve A(x) = {x n : n N} olsun. sup A(x) ve inf A(x) i bulun x R ve A(x) = {x n : n N} olsun. sup A(x) ve inf A(x) i bulun x R ve A(x) = {x n : n Z} olsun. sup A(x) ve inf A(x) i bulun x R ve A(x) = {x 2n : n Z} olsun. sup A(x) ve inf A(x) i bulun. Eğer = X Y ise, sup X sup Y ve inf X inf Y olur elbette, bir başka deyişle sup artan, inf ise azalan bir fonksiyondur. Limit. Terimleri R kümesinden olan dizilerin limitlerinden de söz edebiliriz. Açıklayalım: (x n ) n, terimleri R kümesinde olan bir dizi olsun ve I = {n : x n R}, I = {n : x n = }, I = {n : x n = } tanımlarını yapalım. (y n ) n = (x n ) n I olsun, yani (y n ) n, (x n ) n I dizisinden ve ları çıkardığımızda kalan altdizi olsun. Eğer I ve I kümelerinden ikisi birden sonsuzsa, o zaman -tanım gereği- (x n ) n dizisinin limiti yoktur. Eğer I ve I kümelerinin ikisi birden sonluysa, o zaman (x n ) n dizisinin limitinin olup olmadığına ve varsa limitin ne olduğuna (y n ) n dizisine bakıp karar verelim: lim x n = lim y n. n n Sonuç ya da da çıkabilir; ya da limit hiç olmayabilir, bu durumda (x n ) n dizisinin de limiti olmadığını söyleyeceğiz. Eğer I sonsuz, I sonluysa, o zaman diziden ve ları atalım, geriye kalan dizi sonluysa ya da a ıraksıyorsa, o zaman (x n ) n dizisinin limitinin olduğunu söyleyelim: lim x n =. n Eğer I sonsuz, I sonluysa, o zaman diziden ve ları atalım, geriye kalan dizi sonluysa ya da a ıraksıyorsa, o zaman (x n ) n dizisinin limitinin olduğunu söyleyelim: lim x n =. n

235 Bu limit kavramı bir önceki bölümde R üzerine tanımlanan dört işlemle uyumludur, yani Teorem 2.6 R için de geçerlidir. Terimleri R de olan ve artan bir (x n ) n dizisinin limiti dizinin en küçük üstsınırıdır elbette: lim n x n = sup{x n : n N}. Limsup ve Liminf. (x n ) n, terimleri R kümesinden olan bir dizi olsun. Bizi asıl ilgilendiren, dizinin gerçel sayı dizisi olduğu durumdur ama şimdilik bu genellikte almanın bir mahsuru yok. Gene de okur sürekli olarak (x n ) n dizisinin gerçel sayı dizisi olduğu durumu irdelemesinde yarar vardır. {x n : n N}, kümesi R kümesinin de bir altkümesidir. Dolayısıyla her n N için, X n = {x m : m > n} kümesinin R kümesinde en büyük altsınırı vardır: inf X n. (Eğer dizinin terimleri gerçel sayılar olsaydı, o zaman inf X n, R { } kümesinin bir elemanı olurdu.) (x n ) n dizisinin belki ilk birkaç terimi dışında tüm terimleri inf X n den büyükeşittir; nitekim her m > n için, olur. Şekil aşağıda: inf X n x m 227 Her n için X n X n+ olduğundan, (inf X n ) n artan bir dizidir. Benzer şekilde X n kümesinin en küçük üstsınırı vardır: sup X n. (Eğer dizinin terimleri gerçel sayılar olsaydı, o zaman sup X n, R { } kümesinin bir elemanı olurdu.) (x n ) n dizisinin belki ilk birkaç terimi dışında tüm terimleri sup X n den küçükeşittir; nitekim her m > n için, olur. sup X n x m

236 Dizilerin Alt ve Üstlimitleri Ayrıca, (sup X n ) n azalan bir dizidir. Alıştırma 3.6. (x n ) n bir gerçel sayı dizisi olsun. Eğer belli bir n için sup X n = ise her n için sup X n = olması gerektiğini kanıtlayın. Eğer belli bir n için inf X n = ise her n için inf X n = olması gerektiğini kanıtlayın. Sonuç olarak, belki dizinin başındaki sonlu sayıdaki terim dışında, (x n ) n dizisi inf X n ile sup X n arasına sıkışmıştır: Her m > n için, olur. inf X n x m sup X n Yani dizinin kuyruğu, her n için, R kümesinin [inf X n, sup X n ] kapalı aralığındadır. n büyüdükçe bu aralıklar küçülür ve dizinin özünün (yani kuyruğunun, yani bizi ilgilendiren kısmının) ne kadar küçük bir aralığa sığıştığını görebiliriz. inf X n R olduğundan, (inf X n ) n dizisinin R kümesinde en küçük üstsınırı vardır. (x n ) n dizisinin altlimiti, sup{inf X n : n 0} olarak tanımlanır ve lim x n ya da lim inf x n

237 229 olarak gösterilir. Demek ki lim inf x n = sup{inf{x m : m n} : n 0} = lim n {inf{x m : m n} : n 0}. Şu yazılımların da kullanıldığı olur: lim inf x n = lim inf X n = lim inf x m = lim inf x m = sup n n m n n m>n Elbette her n için, inf X n lim inf x n olmalı. inf x m n 0 m>n (x n ) n dizisinin üstlimiti de benzer şekilde tanımlanır: lim sup x n = lim sup X n = lim sup x m = lim sup x m = inf sup x m. n n m n n m>n n 0 m>n Elbette her n için sup X n lim inf x n olmalı. Dikkat: Dizi gerçel sayı dizisi olsa da, lim sup x n ve lim sup x n, R kümesinin herhangi bir elemanı olabilir, yani herhangi bir gerçel sayı olabileceği gibi, ya da olabilir. Kimi zaman lim inf x n ve lim sup x n ifadelerindeki n yanıltıcı olabilir, olmasın! Bu ifadelerde aslında n yoktur! Yani bu ifadeler n den bağımsızdır, aynen lim n x n ve na n ifadelerinin n den bağımsız olduğu gibi... Örneğin lim inf xn = lim inf xm. Örnekler 3.7. lim sup n = lim inf n = lim sup ( ) n n =, lim inf ( ) n n = lim sup /n = lim inf /n = Eğer n çiftse x n = n, tekse x n = 0 olsun. O zaman lim sup x n =, lim inf x n = 0 olur. 3.. n eğer n 0 mod 3 ise n x n = /n eğer n mod 3 ise 2 + /n eğer n 2 mod 3 ise olsun. O zaman limsup x n = 2, lim inf x n = 0 olur. Dizinin 0 a, e ve 2 ye yakınsayan altdizileri vardır p n, n inci asal sayı olsun. lim inf(p n+ p n ) = 2 eşitliği matematikte ikiz asallar sanısı olarak bilinir ve matematiğin bugüne kadar kanıtlanmamış en önemli ve en ünlü önermelerinden biridir.

238 Dizilerin Alt ve Üstlimitleri Alıştırma 3.3. Terimleri verilmiş şu dizilerin lim sup ve lim inf ini bulun: ( ) n + /n, 2 n + 3 n, 2 n + 3 n, ( )n, ( )n n, n [ ] n n n+ 3 3, ( ) n (2 + 3/n), n+( )n (2n+). n lim inf ve lim sup ün önemini daha iyi kavramak için kolaydan zora doğru giden birkaç sonuç kanıtlayalım. (x n ) n ve (y n ) n iki dizi olsun. Dizinin terimleri R ya da R kümelerinden olabilir, elde edeceğimiz sonuçlar değişmeyecek. Böyle yazılan diziler için de X n ve Y n kümeleri yukarda verilen anlama gelecekler, örneğin, olacak. Önsav 3.. lim inf x n lim sup x n. Y n = {y m : m > n} Kanıt: Her m > n için, olduğundan, her m > n için, inf X n inf X m sup X m sup X n inf X m sup X n olur. Eğer n yi sabitleyip her iki tarafın da m ye göre limitini (ya da en küçük üstsınırını) alırsak lim inf x m sup X n buluruz. Sol taraftaki ifade m den bağımsızdır. Şimdi her iki tarafın da n ye göre limitini (ya da en büyük altsınırını) alalım. lim inf x m lim sup x n buluruz ki bu da aynen lim inf x n lim sup x n anlamına gelir. Bu önsavdan dolayı, lim inf x n = ise lim sup x n = ve lim sup x n = ise lim inf x n = önermeleri doğrudur.

239 23 Önsav 3.2. Eğer (x n ) n ve (y n ) n iki diziyse, o zaman lim sup (x n + y n ) lim sup x n + lim sup y n ve lim inf (x n + y n ) lim inf x n + lim inf y n olur. Kanıt: Birinci eşitsizliği kanıtlamakla yetinelim. Elbette, her n için, sup {x m + y m : m > n} sup {x m : m > n} + sup {x m : m > n}. Şimdi her iki tarafın da limitini alırsak, istediğimiz kanıtlanmış olur. Yukardaki eşitsizlik eşitliğe çevrilemez: x n = ( ) n ve y n = ( ) n+ olsun. O zaman x n + y n = 0 ve olur. lim sup (x n + y n ) = 0, lim sup x n = lim sup y n = Alıştırma 3.4. lim inf x n = lim sup ( x n ) eşitliğini kanıtlayın. Önsav 3.3. lim inf x n = ancak ve ancak lim n x n = ve lim sup x n = ancak ve ancak lim n x n =. Kanıt: Birincisini kanıtlamak yeterli, diğeri birincisine çok benzer. Önce varsayımını yapalım. Tanıma göre, lim inf x n = sup inf x n =. n>n N 0 A herhangi bir gerçel sayı olsun. Demek ki belli bir N için, A < inf n>n x n; yani her n > N için, A < x n ve lim n x n =. Şimdi de lim n x n = varsayımını yapalım. inf n>n x n sayılarının her sayıyı aştıklarını göstermek gerekiyor; yani A hangi gerçel sayı olursa olsun, belli bir N için inf n>n x n > A eşitsizliğini, yani her n > N için x n > A eşitsizliğini göstermeliyiz, ki bu da lim n x n = varsayımının doğrudan sonucu.

240 Dizilerin Alt ve Üstlimitleri Önsav 3.4. i. Eğer lim inf x n ise, ϵ > 0 hangi gerçel sayı olursa olsun, dizinin sadece sonlu sayıda terimi lim inf x n ϵ sayısından küçüktür. ii. Eğer lim inf x n ise, dizinin sonsuz sayıda terimi lim inf x n + ϵ sayısından küçüktür. iii. Eğer lim inf x n = ise, r hangi gerçel sayı olursa olsun, dizinin sadece sonlu sayıda terimi r den küçüktür. Kanıt: i. Eğer lim inf x n = ise, tanım gereği, lim inf x n ϵ = olduğundan, önsav bariz. Bundan böyle olsun. l = lim inf x n R l ϵ < l = sup inf x m n 0 m>n olduğundan, l ϵ sayısı {inf m>n x m : n 0} kümesinin bir üstsınırı olamaz. Demek ki, l ϵ < inf m>n x m eşitsizliğini sağlayan bir N vardır, yani, her n > N için, l ϵ < x n eşitsizliği geçerlidir. Dolayısıyla l ϵ sayısından küçük en fazla N + tane x n terimi olabilir. ii. Eğer lim inf x n = ise, lim inf x n + ϵ = olacağından, önerme bariz. Bundan böyle l = lim inf x n R olsun. Dizinin sadece sonlu sayıda teriminin l + ϵ sayısından küçük olduğunu varsayalım. Demek ki öyle bir n var ki her m > n için, x m l + ϵ.

241 233 Dolayısıyla, ve bu bir çelişkidir. iii. Bu aynen Önsav 3.3. inf X n l + ϵ > l = sup inf X n Aşağıdaki önsav da benzer şekilde kanıtlanabilir. Önsav 3.5. i. Eğer lim sup x n ise, ϵ > 0 hangi gerçel sayı olursa olsun, dizinin sadece sonlu sayıda terimi lim sup x n + ϵ sayısından büyüktür. ii. Eğer lim sup x n ise, dizinin sonsuz sayıda terimi lim sup x n ϵ sayısından büyüktür. iii. Eğer lim sup x n = ise, r hangi gerçel sayı olursa olsun, dizinin sadece sonlu sayıda terimi r den büyüktür. Yukardaki iki önsava göre, her a < lim inf x n < lim sup x n < d için, sonlu sayıda terim dışında, dizinin tüm terimleri (a, d) aralığındadır. Yani, [lim inf x n, lim sup x n ] kapalı aralığını içeren her (a, d) açık aralığı dizinin hemen hemen tüm terimlerini içerir. Ayrıca [lim inf x n, lim sup x n ] kapalı aralığı bu özelliği sağlayan en küçük kapalı aralıktır. (Okura alıştırma.) Bir sonraki önsavın şekli aşağıda: Şekil şunu anlatmak istiyor: lim sup x n, (x n ) n dizisinin yakınsak altdizilerinin R de en büyüğüdür (sonsuzlar dahil olmak üzere) ve lim sup x n en küçüğüdür.

242 Dizilerin Alt ve Üstlimitleri Önsav 3.6. i. Her (x n ) n dizisinin lim n y n = lim inf x n ve lim n z n = lim sup x n eşitliklerini sağlayan (y n ) n ve (z n ) n altdizileri vardır. ii. Eğer (y n ) n, (x n ) n dizisinin yakınsak bir altdizisiyse lim inf x n lim n y n lim sup x n olur. iii. Yani lim inf x n ve lim sup x n, (x n ) n dizisinin yakınsak olan ya da sonsuza yakınsayan altdizilerinin limitlerinin sırasıyla en küçüğü ve en büyüğüdür. Kanıt: i. Eğer lim sup x n = ise, Önsav 3. den, lim inf x n = bulunur ve istediğimiz, Önsav 3.3 ten çıkar. Şimdi lim sup x n = varsayımını yapalım. Demek ki her n için (ya da tek bir n için), sup X n =. Öyle bir artan (n k) k göstergeç dizisi bulacağız ki, her k > 0 için, x n k > k olacak ve bu da kanıtı tamamlayacak. sup X 0 = olduğundan, dizinin pozitif terimleri olmalı. n 0 göstergeci x n0 > 0 olacak biçimde seçilsin. İstediğimiz koşulları sağlayan, n 0 < n < n 2 <... < n k sonlu bir göstergeçler dizisinin seçildiğini varsayalım. Bir sonraki n k göstergecini seçeceğiz. sup X 0 = olduğundan, {n : x n > k} sonsuz bir kümedir, dolayısıyla n k den büyük bir elemanı vardır. n k bu tür elemanlardan biri olsun, örneğin en küçüğü. Şimdi de lim sup x n R varsayımını yapalım. l = lim sup x n olsun. Öyle bir artan (n k) k göstergeç dizisi bulacağız ki, her k > 0 için, x n k l < k olacak ve bu da kanıtı tamamlayacak. n 0 = 0 olsun. İstediğimiz koşulları sağlayan, n 0 < n < n 2 <... < n k sonlu bir göstergeçler dizisinin seçildiğini varsayalım. Bir sonraki göstergeç olan n k yı seçeceğiz. Önsav 3.5.i e göre, l + 2k den büyük sadece sonlu sayıda x n terimi var. Öte yandan, Önsav 3.4.ii ye göre, dizinin sonsuz sayıda terimi l 2k sayısından büyüktür. Demek ki öyle bir n k > n k göstergeci vardır ki, olur. Bu da istediğimizi kanıtlar. l 2k < x n k < l + 2k

243 (x n ) n dizisinin lim inf x n ye yakınsayan bir altdizisi olduğu benzer şekilde kanıtlanır. ii. (y n ) n, (x n ) n dizisinin yakınsak bir altdizisi olsun. l = lim n y n olsun. l lim sup x n eşitsizliğini gösterelim. Eğer lim sup x n = ya da l = ise sorun yok. Eğer lim sup x n = ise, Önsav 3.3 ten dolayı, l de olmak zorunda ve gene sorun yok. Eğer l = ise, X n kümesi hiçbir n için sınırlı olamaz ve lim sup x n = olur. Bundan böyle lim sup x n ve l birer gerçel sayı olsunlar. Bir çelişki elde etmek için lim sup x n < l eşitsizliğini varsayalım. ϵ > 0, lim sup x n < l ϵ eşitsizliğini sağlayan herhangi bir sayı olsun. Varsayımdan dolayı, sonsuz sayıda n sayısı için x n (l ϵ, l + ϵ) olur. Demek ki, sonsuz sayıda n için, lim sup x n < l ϵ < x n olur. Ama bundan da her n için, l ϵ < sup X n çıkar, yani l ϵ < lim sup x n, bir çelişki. Bir sonraki teorem önemli. Teorem 3.7. (x n ) n dizisinin bir gerçel sayıya yakınsaması ya da ± a ıraksaması için gerek ve yeter koşul, lim inf x n = lim sup x n eşitliğidir ve bu durumda, lim n x n = lim sup x n olur. Kanıt: Önsav 3.6 nın bir sonucudur. Ama bu sonucu bir de tanımlardan hareketle kanıtlayalım. lim n x n = l olsun. Demek ki ϵ > 0 ne olursa olsun, öyle bir N var ki her n > N için, l ϵ < x n < l + ϵ. Demek ki Dolayısıyla sup X n l + ϵ ve inf X n l ϵ. l ϵ inf X n lim inf x n lim sup x n sup X n l + ϵ, 235 yani l ϵ lim inf x n lim sup x n l + ϵ.

244 Dizilerin Alt ve Üstlimitleri Bu her ϵ > 0 için geçerli olduğundan, lim inf x n = lim sup x n bulunur. Şimdi lim inf x n = lim sup x n = l eşitliğini varsayalım. lim x n = l n olmasın. Demek ki öyle bir ϵ > 0 var ki, sonsuz sayıda n için, yani ya sonsuz sayıda n için ya da sonsuz sayıda n için x n l ϵ; x n l + ϵ x n l ϵ. (İkisi birden de sonsuz defa gerçekleşebilir.) Birinci durumda lim sup x n l + ϵ > l, ikinci durumda bulunur. Her ikisi de bir çelişki. lim inf x n l ϵ < l Önsav 3.8. (x n ) n ve (y n ) n iki pozitif dizi olsun. Eğer lim sup x n 0 ise ve lim n y n varsa ya da sonsuzsa, o zaman, lim sup x n y n = lim sup x n lim n y n eşitliği geçerli olur. xxxxxxxxxx kanıtı gösden geçir, önerme değişti. Yanlıştı. xxxxxxxxxxx Kanıt: ( ) eşitsizliğini kanıtlamak kolay: ( ) lim sup x n y n = lim sup x m y m lim n = lim n m n ( ) sup x m lim m n n n ( ) sup x m sup y m m n m n ( ) sup y m = lim sup x n lim sup y n. m n Aynı eşitsizliği şöyle de kanıtlayabiliriz: lim sup x n = x ve lim n y n = y olsun. x ya da y nin sonsuz olduğu durumlar oldukça kolay, kendimizi x ve y nin sonlu olduğu durumla kısıtlayalım. Herhangi bir ϵ > 0 alalım. Demek ki yeterince büyük n ler için, 0 < x n < x + ϵ ve 0 < y n < y + ϵ

245 237 olur. Dolayısıyla, 0 < x n y n < (x + ϵ)(y + ϵ) = xy + ϵ(x + y + ϵ) olur. Ama ϵ sayısını istediğimiz kadar küçük seçebileceğimizden, bu hesaptan, (x n y n ) n dizisinin altdizilerinin en büyük limitinin xy olduğu çıkar. (Bunun doğruluğundan emin olun.) Demek ki, lim sup x n y n xy eşitliği geçerlidir. Demek ki x ya da y sayılarından biri 0 a eşitse istediğimiz eşitsizliği elde ederiz. Bundan böyle x > 0 ve y > 0 eşitsizliklerini varsayalım. Şimdi ϵ > 0 sayısı, 0 < x ϵ ve 0 < y ϵ eşitsizliklerini sağlayacak kadar küçük seçilsin. x in tanımından dolayı x ϵ < x n eşitsizliğinin sağlandığı sonsuz sayıda n vardır (Önsav 3.4.i). Ama y ϵ < y n eşitsizliği bir zaman sonra hep sağlandığından, x ϵ < x n ve y ϵ < y n eşitsizliklerinin ikisi birden sonsuz sayıda n göstergeci için sağlanır. Dolayısıyla, yani (x ϵ)(y ϵ) < x n y n, xy < x n y n + ϵ(x + y ϵ) eşitsizliği sonsuz sayıda n için sağlanır. Demek ki, xy lim sup x n y n olur. (Neden?) Önsavımız kanıtlanmıştır. Örnekler 3.5. Eğer (s n) n pozitif bir seriyse, aşağıdaki eşitsizlikleri gösterin: lim inf x n lim inf x + + x n n lim sup x + + x n n lim sup x n. Kanıt: Ortadaki eşitsizlik bariz. Sonuncu eşitsizliği göstermekle yetinelim. N < M < n olsun. x N+ + + x n (n N) max{x N+,..., x n} (n N) sup x k n sup x k k>n k>n

246 Dizilerin Alt ve Üstlimitleri olduğundan olur. Demek ki, x + + x n n = x + + x N n x + + x N M x + + xn M + x N+ + + x n n + x N+ + + x n n + sup x k k>n x + + x n sup x + + x N + sup x k n>n n M k>n olur. Şimdi N yi sabitleyip M yi sonsuza götürsek, bu eşitsizlikten x + + x n sup sup x k n>n n k>n eşitsizliğini ve bu son eşitsizlikte N yi de sonsuza götürürsek istediğimizi elde ederiz Eğer (x n ) n pozitif bir diziyse, lim inf x n+ x n lim inf n x n lim sup n x n lim sup x n+ x n olur. Kanıt: Ortanca eşitsizlik bariz. Birinciyle üçüncü benzer. Üçüncüyü kanıtlayalım. a = lim sup n x n ve b = lim sup x n+ x n olsun. a b eşitsizliğini kanıtlayacağız. Bunun için her c > b için a c eşitsizliğini kanıtlamamız yeterli. Böyle bir c alalım. Demek ki öyle bir N vardır ki, her n N için ve x n+ x n c x N+ x N+2 x n x n = x N x N c n N = xn x N x N+ x n x N cn olur. Eğer d = x N tanımını yaparsak, x x N n dc n ve x /n n d /n c elde ederiz. Demek ki lim sup x /n n lim sup d /n c = lim d /n c = c olur.

247 Kısım III Seriler 239

248

249 4. Seriler 4. Tanımlar İki sayıyı toplamayı herkes bilir. Üç ya da dört sayıyı da kolaylıkla toplayabiliriz. Ama sonsuz sayıda sayı toplamak çok daha çetin bir uğraştır, hatta başlı başına bir sanattır diyebiliriz. Bu bölümde bu sanata bir giriş yapacağız ve ilerki bölümlerde konuyu çok daha derinlemesine işleyeceğiz. (x n ) n bir gerçel sayı dizisi olsun. İşte bu dizinin açık hali: x 0, x, x 2, x 3, x 4, x 5,... Bu dizinin terimlerini en soldan başlayarak teker teker toplayalım. s 0 = x 0, s = x 0 + x, s 2 = x 0 + x + x 2, s 3 = x 0 + x + x 2 + x 3... s n = x 0 + x + + x n =... n x i dizisini elde ederiz. Toplamlar sonlu olduklarından, dizinin varlığıyla ilgili herhangi bir sorun yoktur. Böylece elde edilen (x 0 + x + + x n ) n toplamlar dizisinin bir limiti olduğunda (bu limit illa R de olmak zorunda değil, R de de olabilir yani ± da olabilir), bu limit, x i ya da x i ya da i 0 x i hatta i x i ve hatta x i

250 Seriler olarak gösterilir, yani tanım gereği, x i = i 0 x i = i x i = x i = lim n n x i = lim n (x x n ) olur. Eğer metinde satırlar tarafından alttan ve üstten sıkıştırılmışsak x i yazılımını tipografik nedenlerden dolayı özellikle tercih edeceğiz. Aynı yazılımı göstergeç kümesinin ne olduğunun önemli olmadığı durumlarda da kullanacağız. Eğer limit bir gerçel sayıysa, bu gerçel sayıya x i serisi nin limiti ya da toplamı denir ve x i serisi nin bu limite yakınsadığı söylenir. Bu limiti, x 0, x, x 2, x 3, x 4, x 5,... sayılarının hepsinin birden toplamı olarak algılamak istemek doğaldır. Nitekim öyle algılanır ve -biz pek yapmayacağız ama- kimileyin x i yerine, x 0 + x + + x n + yazılır. Eğer limit bir gerçel sayı değilse, yani ± ise o zaman serinin ± a ıraksadığı söylenir. lim n s n = l R {± } ise xi = l yazılır. Örnekler 4.. i = olur çünkü bu durumda s n = n = n(n + ) 2 olur ve bu dizinin limiti dur /i = eşitliğini Altbölüm 7.2 de göstermiştik. Bu seriye harmonik seri denir Eğer her n için x n 0 ise, kısmi toplamlar dizisi artan bir dizidir, dolayısıyla x i ya bir gerçel sayıdır ya da sonsuz x R \ {, } olsun. n x 2i x = 2i+ x x 2n+ eşitliği n üzerine tümevarımla oldukça kolay bir biçimde kanıtlanabilir. Demek ki x 2i x 2i+

251 4.. Tanımlar serisi eğer x > ise x sayısına ve eğer x < ise x = x x sayısına yakınsar. ( + i2 i ) serisinin yakınsak mıdır? Yanıt: + i2 i = ( + i2 i ) ( + i 2 + i ) ( + i2 + i ) = ( + i2 + i ) > ( 3i2 + i 2 + i ) = 3i olduğundan ve Örnek 4. e göre /3i serisi sonsuza ıraksadığından, sorudaki seri de sonsuza ıraksar. Herhalde anlaşılmıştır: x i ifadesine seri denir. Bir serinin limitinin hesaplanması için limiti alınan n sonlu toplamlarına serinin kısmi toplamları adı verilir. Kısmi toplamları s n (ya da t n ) olarak göstermek bir gelenek haline gelmiştir: s n = x i n x i. x i ise serinin genel terimidir. Diziyi toplamaya x 0 dan değil de, x den ya da belli bir x k teriminden başlayabiliriz. Bu durumda, seri, i=k x i ya da i k olarak yazılır. Bazen de göstergeci çift olan terimleri toplamak isteyebiliriz; bu durumda, x i ya da i 2N gibi yazılımlar uygulanır. Tanım gereği, x2i = x i x 2i x 2i = lim n olur. Önemli olan toplanacak terimlerin en fazla sayılabilir sonsuzlukta olması ve (şimdi söyleceğimiz önemli) doğal sayılar gibi iyisıralanmış olmalarıdır. Bu önemli konuyu biraz daha açalım. n x 2i

252 Seriler x 0, x, x 2,... sayılarını bu sırayla topladığımıza dikkatinizi çekeriz. Sayıları x 24 +x 0 +x gibi rastgele bir sırayla toplamıyoruz, çünkü ne de olsa x i sayılarının sıralamasına göre s n kısmi toplamları değişebilir ve sıralamaya göre farklı bir lim n s n limiti yani değişik bir toplam bulabiliriz. Biraz yukarda sözünü ettiğimiz i 2N x i serisi için x 0, x 2, x 4,... sıralaması seçilmiştir. Daha genel olarak eğer A N sonsuz bir doğal sayı kümesiyse, i A x i serisi A kümesi doğal sıralamayla sıralanmış olarak toplandığı varsayılacaktır, yani f : N A sıralamayı koruyan (yegâne) eşlemeyse, i A x i toplamının i N x f(i) anlamına geldiğini açık açık söylemeden varsayacağız. Kalanlar. Eğer x i serisi yakınsaksa, R m sayıları, i>m x i olarak tanımlanır: R m = n x i = x i = lim x i. i>m i=m+ n i=m+ Bu sayılara x i serisinin kalanları adı verilir. Elbette, ( n m ) n xi = lim x i = lim x i + x i n n = m x i + lim n n i=m+ x i = i=m+ m x i + i=m+ x i = s m + R m olur. m çok büyük olduğunda, s m sayısı serinin limitine çok yakın olduğundan, R m kalanı çok küçülür: lim m R m = 0 olur. Örnek =, yani i(i + ) = olur. i= Kanıt: i(i + ) = i i + eşitliğini gözönüne alarak kısmi toplamları hesaplayalım: s n = n(n + ) ( = ) ( ) ( ) + + ( n ) = n + n +. Kısmi toplamların limitinin olduğu bariz; demek ki serinin limiti dir. Bulduğumuz eşitliği yazalım: i= i(i + ) = i= ( i ). i + Sağ taraftaki seriye teleskopik seri adı verilir. Teorem 4.2 ve sonrasında teleskopik serilere daha yakından bakacağız.

253 4.. Tanımlar 245 Şimdilik bir seriyi, sadece kısmi toplamların limiti olduğunda tanımladık. Şimdi bu tanımı anlamsız bir biçimde genişletelim ve herhangi bir (x i ) i gerçel sayı dizisi verildiğinde, xi ifadesine de seri diyelim. Eğer kısmi toplamların limiti yoksa, bu ifadenin hiçbir anlamı yoktur, tanımsızdır, ama bu yazılım öylesine pratiktir ki yazmamak yazmaktan daha büyük bir günahtır. Eğer kısmi toplamlar dizisi yakınsaksa ya da ± a ıraksıyorsa, tanım gereği, xi = lim n olur; birinci durumda x i serisi n x i = lim n (x x n ) lim (x 0 + x + + x n ) n sayısına yakınsar, ikinci durumda ± a ıraksar denir. Örneğin, i! = e (Sonuç 0.9) ve birazdan Örnek 4.7 de kanıtlayacağımız (ama aslında Teorem 6.2 de kanıtladığımız) üzere, eğer < r < ise, r i = r olur. Öte yandan, i =, ( i) =, i= i = olur. (İlk ikisi bariz, sonuncusu için bkz. Altbölüm 7.2.) Ama mesela, ( ) i ifadesi anlamsızdır çünkü kısmi toplamlar dizisi, 0,, 0,, 0,... diye gider ve limiti yoktur. Kısmi toplamlar bir sayıya yakınsamadığında, x i serisinin ıraksadığı söylenir. Yukarda verdiğimiz ikinci örnek, r i serisi, basit ama son derece önemlidir. Bu örnekteki seriye geometrik seri denir. Örnek 4.7. Eğer < r < ise, r i = r olur. Aksi halde seri ıraksar. Eğer r ise seri sonsuza ıraksar.

254 Seriler Kanıt: Bu örnekte toplanan dizi,, r, r 2, r 3,..., r n,... dizisidir. Kısmi toplamlar dizisinin genel terimi ise { + r + r r n = r n+ r n + eğer r ise eğer r = ise olur. İşte bu dizinin limitini bulmalıyız. Bu limiti bulmak pek zor değildir, Teorem 6.2 de bulmuştuk: eğer r < ise lim ( + r + n r2 + + r n r ) = eğer r ise yok eğer r ise Eğer bu örnekte r = /2 alırsak, 2 i = 2 buluruz. Toplamı i = den başlatırsak sonuç çıkar: Eğer r = ise, kısmi toplam, i= 2 i =. + r + r r n = n + bulunur; bu durumda kısmi toplamların limiti yoktur, kısmi toplamlar sonsuza ıraksarlar. Genel olarak, eğer r ise, + r + r r n n + bulunur, ve bu kısmi toplamlar dizisi sonsuza ıraksadığından, r iken, r i = bulunur. Eğer r ise, n üzerine tümevarımla, kolaylıkla, { + r + r r n eğer n çiftse = 0 eğer n tekse eşitsizlikleri kanıtlanabilir ve dolayısıyla bu durumda, r i ifadesi anlamsızdır, seri ıraksar. Bunun böyle olduğu, r iken doğru olan eşitliğinden de bellidir. n r i = rn+ r Bu örnekte bulduklarımız ilerde çok önemli olacaklar. Bir teorem altında toparlayalım:

255 4.. Tanımlar 247 Teorem 4.. r i serisi sadece < r < iken yakınsar ve bu durumda olur. r i = r Alıştırmalar 4.8. x i Z olsun. x i serisinin yakınsak olması için (x i) i dizisinin zamanla sabit 0-dizisi olmasının gerek ve yeter olduğunu kanıtlayın Aşağıda resimdeki gibi bir ABC dik üçgeni alın. C den AB ye bir dik inin. Bu dikmenin ayağından BC ye dik inin. Bu dikmenin ayağından AB ye dik inin. Bu dikmenin ayağından BC ye dik inin. Bunu böyle sonsuza kadar devam ettirin. Elde edilen zigzag çizginin uzunluğunu bulun. C A B 4.0. Aşağıdaki koyu renk spiral yarım çemberlerden tahmin edileceği gibi inşa edilmiştir. Bu spiralin uzunluğunu bulun. Seriler limitlerden çok daha ilginç ve zor ve dolayısıyla eğlenceli bir konudur. Çoğu zaman serinin toplamını bulamayacağız, sadece yakınsak olduğunu kanıtlamakla yetineceğiz. Geçmiş bölümlerde seri adını anmadan birçok yakınsak seri örneği vermiştik. Bu örneklerin birkaçını sıralayalım. Teorem 0.7 de her x R için x i i!

256 Seriler serisinin yakınsadığını ve Sonuç 0.9 da her x Q için, x i i! = ex olduğunu kanıtlamıştık. Çok daha fazla seri örneği göreceğiz. Bir seri özünde bir dizidir. Bunu gördük. Ama bir dizi de istenirse bir seri olarak görülebilir. Nitekim eğer (s n ) n dizisi verilmişse, x 0 = s 0 ve n > 0 için x n = s n s n tanımlarını yapalım. O zaman s n = n x i olur. Bir sonraki altbölümde bu fikri sömüreceğiz. 4.2 Teleskopik Seriler Bir örnekle başlayalım. Örnek 4.. Örnek 7.0 da, i= serisinin yakınsak olduğunu kanıtlamıştık ama hangi sayıya yakınsadığını gösterememiştik. Yakınsaklığı bir kez daha ama bu sefer değişik bir kanıtla kanıtlayalım. Kısmi toplamlar i 2 s n = n 2 olsun. (s n ) n pozitif ve artan bir dizidir. Her i için, s n = n < (n )n ( = + ) ( ) ( n ) n = + n = 2 n < 2 olduğundan, (s n) n dizisi üstten 2 tarafından sınırlıdır; dolayısıyla lim n s n limiti vardır ve 2 den küçüktür. Böylece 0 < i 2 2 i= eşitsizliğini kanıtlamış olduk. Kısmi toplamlar sayesinde seriyi alttan daha iyi sınırlayabiliriz: i= i > = Örnek 7.0 un sonunda yaptıklarımızdan serinin alttan 3/2 ile sınırlandığı çıkar. Ama kısmi toplamlarda ne kadar ileri gidersek serinin toplamına o kadar yakınsarız, örneğin bulduğumuz bu 3/2 altsınırını henüz yedinci kısmi toplamda aşarız. Daha da ileri gidelim: s 00,

257 4.2. Teleskopik Seriler 249 Seriyi üstten de daha yakından sınırlayabiliriz: ( s n = ) n 2 Demek ki, < = ( (n )n ) ( + 4 ) = n = 6 36 n < 6 36.,63498 < i= i < ( n ) n Birinci örneğimizi genelleştiren basit ama çok yararlı bir teorem sunalım şimdi. Teorem 4.2 (Teleskopik Seri). (x i x i+ ) serisinin yakınsaması için, (x n ) n dizisinin yakınsak olması yeter ve gerek koşuldur. Bu durumda, (xi x i+ ) = x 0 lim n x n olur. Kanıt: (x i x i+ ) serisinin kısmi toplamlarına bakalım: n (x i x i+ ) = x 0 x n+. Kısmi toplamlar dizisinin yakınsaması için, belli ki lim n x n limitinin olması yeter ve gerek koşuldur ve bu durumda kısmi toplamların limiti ancak olabilir. x 0 lim n x n Teoremde, ilk göstergeç olarak 0 yerine herhangi bir k sayısı alabilir ve o zaman (x i x i+ ) = x k lim x n n bulurduk. i k

258 Seriler Örnekler 4.2. Eğer yukardaki teoremde x i = /i alırsak ve serinin toplamını 0 dan değil de den başlatırsak birinci örnekte bulduğumuz sonucu buluruz: Daha ilginç bir örnek bulalım. olsun. Teoreme göre, i= i(i + ) =. x i = (i + )2 i(i + 2) (x i x i+) = x lim n xn = 4 3 = 3 i olur. Kolay bir hesapla, bulunur. Demek ki, x i x i+ = i= 2i + 3 i(i + )(i + 2)(i + 3) 2i + 3 i(i + )(i + 2)(i + 3) = 3 olur Örnekleri çoğaltabiliriz. Teoremi (x i x i+2 ) durumuna da uyarlayabiliriz: eşitliğinden, buluruz. (Neden?) Bundan da, i= i= 2 i(i + 2) = i i i(i + 2) = + 2 = 3 2 i= i(i + 2) = 3 4 çıkar. (Neden?) 4.4. ( i + i) serisi ıraksaktır. Kanıt: Teorem 4.2 den hemen çıkar: lim n i = i + i 2 (i + ) = ( ) 2 i = 2 (i + ) 2 olur Aşağıdaki seriyi hesaplayın: i= i= i(i + 2)(i + 3). Çözüm: Önce her i için, i(i + 2)(i + 3) = a i + b i c i + 3

259 4.2. Teleskopik Seriler 25 eşitliğini sağlayan a, b ve c sayılarını bulalım. Yukardaki eşitliği i ile çarparsak, buluruz ve sonra i = 0 alırsak (i + 2)(i + 3) = a + bi i ci i + 3 a = /6 bulunur. b yi bulmak için i ile yaptığımızı i + 2 için yapıp, sonra da i = 2 alalım; sonuçta b = /2 buluruz. Benzer şekilde c bulunur: c = /3. Demek ki, i(i + 2)(i + 3) = 6i 2(i + 2) + 3(i + 3). Böylece seri biraz daha teleskopik seriye benzer ama henüz tam anlamıyla değil. Bu aşamada = 2 eşitliğini kullanıp sağdaki terimin ( 6 i ) + ( i i + 3 ) i + 2 terimine eşit olduğunu kanıtlamalıyız. Şimdi n n i(i + 2)(i + 3) = ( 6 i= i= ( i i + 2 serisini hesaplarsak birçok sadeleştirme olur ve ( + ) + ( ) elde ederiz (a n ) n herhangi pozitif bir dizi olsun. a 0 + a 0 + ) + ( 3 i + 3 )) i + 2 = 5 36 a ( + a 0 )( + a ) + a 2 ( + a 0 )( + a )( + a 2 ) + = serisi yakınsaktır. Kanıt: p i = i j=0 ( + a j) olsun. Demek ki serisinin yakınsaklığını kanıtlamamız lazım. Her i için, ve olur. Bu eşitliği p ip i ifadesine bölersek, a i p i p i = p i ( + a i ) p i p i = p i ( + a i) p i = a ip i p i p i = a i p i a i i j=0 ( + aj)

260 Seriler olur. Demek ki n a i = a n 0 a i + = a 0 + p i p 0 p i p 0 ve i= n ( i= p i p i ) a i = lim. p i n p n = a 0 p 0 + p 0 p n = p n Son olarak (p n ) n dizisinin ya sonlu bir sayıya yakınsadığını ya da sonsuza ıraksadığını göstermemiz lazım. Ama bu dizi artan bir dizi olduğundan bu bariz. Demek ki mesela a i = i alırsak, i= i i! = = buluruz. Ama e sayısını kullanarak bunun daha kolay bir kanıtını bulabiliriz tabii. Eğer bir serinin sonlu sayıda terimi dışında her terimi 0 ise, o zaman sonlu bir toplam elde ederiz ve bu durumda seri elbette bu sonlu toplama yakınsaktır. Aksi durumda, seride 0 a eşit olan terimleri silersek fazla bir şey kaybetmeyiz. Yakınsaklığı ya da ıraksaklığı bozmayan, yakınsak olduğunda toplamın da bozulmadığı bir seri elde ederiz. Dolayısıyla gerektiğinde serilerimizde hiçbir terimin 0 olmadığını varsayabiliriz. Seriler, dizilerden çok daha zor ve ama daha eğlenceli bir konudur. Özellikle x e göre değişen ci x i türünden seriler eğlenceyi doruk noktasına çıkarırlar. Alıştırmalar 4.8. Şu eşitliği kanıtlayın: i= i(i + )(i + 3) = İpucu: Önce i(i + )(i + 3) = 3i 2(i + ) + 6(i + 3) eşitliğini bulun ve sağ tarafı 3 ( n n + ) ( 6 n + ) n + 3 olarak yazın. Bkz. Örnek xi = s ise, her r R için rx i = rs, yani, rx i = r x i eşitliğini kanıtlayın xi = s ve y i = t ise, (x i + y i ) serisinin s + t ye yakınsadığını, yani (x i + y i ) = xi + y i eşitliğini kanıtlayın xi = s ve y i = t ise, x i y i serisinin st ye yakınsamak zorunda olmadığını gösterin. (Bu konuda bkz. Bölüm 6.) Çözüm için Yusuf Ünlü ye teşekkür ederiz. Daha sonra göreceğimiz d Alembert, Cauchy ve Raabe kıstasları bu serinin yakınsaklığına karar vermeye yetmiyor. Bu da teleskopik seri yönteminin ne kadar güçlü olduğunu gösterir.

261 4.3. Serilerle İlgili İki Basit Gözlem Teorem 4.2 de alarak i= x i = i 2 (i + )(i + 2) 3i + (i + )(i + 2)(i + 3) serisini hesaplayın = 3 eşitliğini kanıtlayın. (İpucu: Örnek 4.6 daki gibi.) 2 i(i + )(i + 2) = eşitliğini kanıtlayın. 4 i= Teleskopik serilerden esinlenerek, bir k > 0 tamsayısı için, i(k + i) = ( + k ) k eşitliğini kanıtlayın. i= 4.3 Serilerle İlgili İki Basit Gözlem Cauchy Kıstası. Bir serinin yakınsak olup olmadığını bilmek kolay olmayabilir, ama yakınsaksa hangi sayıya yakınsak olduğunu bulmak bambaşka düzeyde bir problemdir; çok zor olduğu gibi bu mümkün de olmayabilir çünkü örneğin o güne dek kimse serinin yakınsak olduğu sayıya bir ad vermemiştir, yani seri bugüne dek insanoğlunun dikkatini çekmemiş bir sayıya yakınsayabilir ve elbette bu durumda yapacak fazla bir şey yoktur. Serinin hangi sayıya yakınsadığı bilinmese de, serinin yakınsak olduğu kanıtlanabilir. Bunun için kıstaslar - yakınsama kıstasları - vardır. İşte bunlardan çok sık kullanılanlardan biri: Teorem 4.3 (Cauchy Kıstası). Bir x i serisinin bir gerçel sayıya yakınsaması için yeter ve gerek koşul şudur: Her ϵ > 0 için öyle bir N olmalı ki, her n > m > N için, n x i < ϵ olsun. i=m Kanıt: Serinin yakınsaması demek, tanım gereği, kısmi toplamlar dizisi olan ( n dizisinin yakınsaması demektir. Bu dizinin yakınsaması da, dizinin Cauchy dizisi olmasıyla eşdeğerdir; yani her ϵ > 0 için öyle bir N olmalı ki, her n > x i ) n

262 Seriler m > N için, yani, olmalı. n x i m x i < ϵ, n x i < ϵ i=m Bu kıstasın uygulanışına geçmişte birçok örnek vermiştik. Örneğin Teorem 0.7 de x i i! serisinin yakınsadığını aynen bu yöntemle göstermiştik. Bu kıstasla i i harmonik serisinin yakınsamadığını da gösterebiliriz. Nitekim eğer teoremde ve her N için, (N den büyük olan) 0 < ϵ < 2 m = N + ve n = 2N + alırsak, n 2N+ i = i=m i=n+ 2N+ i i=n+ 2N + = N + 2N + 2 ϵ buluruz. Bu kıstastan x i ve y i serileri yakınsaksa, (x i + y i ) serisinin ve eğer r R ise rx i serisinin yakınsak olduğu çıkar. Ama bu sonuçları ilerde, Bölüm 6 da çok daha doğal biçimde (sadece tanımlara başvurarak) bulacağız. Bu Cauchy kıstasının, Altbölüm 8.2 de sözedeceğimiz çok daha önemli Cauchy kıstasıyla karıştırılmaması gerekir. Örnekler (x n ) n artarak sonsuza ıraksayan bir diziyse serileri ıraksaktır. xi+ x i x i ve x i+ x i x i+

263 4.3. Serilerle İlgili İki Basit Gözlem 255 Kanıt: (s n) n, birinci serinin kısmi toplamları dizisi olsun. Eğer m < n ise s n s m = n i=m x i+ x i x i+ n i=m x i+ x i x n+ = x n+ x m x n+ olur. Şimdi n yi x n+ 2x m olacak kadar büyük seçelim. O zaman, bir önceki satırdan devam ederek 2x m x m = x m x n+ x n+ 2 buluruz. Demek ki kısmi toplamların dizisi (s n) n Cauchy dizisi değildir ve birinci seri yakınsak olamaz. İkinci serinin ıraksaklığının kanıtı da benzerdir Bir önceki örnekte x i = i alarak, /i serisinin bir kez daha ıraksak olduğu anlaşılır [Stieltjes] Eğer (a n ) n azalarak 0 a yakınsayan bir diziyse, sonsuza ıraksayan öyle bir bn pozitif serisi vardır ki, a nb n yakınsak olur. Kanıt: u n = /a n ve b n = un+ un u n+ olsun. O zaman lim n u n = olur. Dolayısıyla Örnek 4.26 e göre b n = olur. Ama a n b n = bn = un+ u n = u n u nu n+ u n u n+ olduğundan a i b i teleskopik bir seridir. Ve lim n /u n = 0 eşitliğinden dolayı a i b i yakınsar [Stieltjes] Eğer (a n ) n artarak sonsuza ıraksayan bir diziyse, öyle bir yakınsak b n pozitif serisi vardır ki, a n b n ıraksak olur. Kanıt: b n = a n a n+ olsun. Teleskopik seri olduğundan b i yakınsar. Ama a n b n = a n+ a n a n+ olduğundan, Örnek 4.26 e göre b n ıraksaktır. Alıştırmalar xi yakınsaksa, lim 2n n i=n xi = 0 eşitliğini kanıtlayın ( ) lim n n + 2 (n + ) + + = 0 2 (n + n) 2 eşitliğini gösterin (Abel) (x n) n azalarak 0 a yakınsayan pozitif bir dizi olsun. Eğer x i yakınsaksa lim n nx 2n = 0 eşitliğini gösterin. İpucu: nx2n n i= x n+k 0. (Teorem 4.6 ya ve kanıtına da bakın.) Genel Terimin Sıfıra Yakınsaması. Bir seride bir anlamda sonsuz sayıda sayı toplanır. Bu sonsuz toplam ın sonlu bir sayı olabilmesi için, gittikçe küçülen sayılar toplamak gerektiği hissedilebilir. Nitekim öyledir de. Teorem 4.4. Eğer x i serisi yakınsaksa, o zaman lim n x n = 0 olur.

264 Seriler Kanıt : ϵ > 0 olsun. Bir önceki teoreme göre öyle bir N vardır ki, her m > N için, m+ x i < ϵ i=m yani x m+ < ϵ. Bu da her n > N + için, x n < ϵ demektir. Kanıt 2: s serinin limiti olsun. ϵ > 0 olsun ve s n = x x n olsun. Tanımlar gereği, s = lim s n n olur. Ve tabii ki (altdizi olduğundan), olur. Demek ki, Teorem bir kez daha kanıtlanmıştır. lim s n+ = lim s n = s n n lim x n = lim (s n+ s n ) = s s = 0. n n Sonuç 4.5. Eğer (x n ) n dizisi 0 a yakınsamıyorsa (yakınsak değilse de), o zaman x i serisi yakınsak değildir. Ama teoremin ters istikameti doğru değildir, yani lim x n = 0 n doğru olsa da, x i serisi yakınsamayabilir. Örneğin, lim n n = 0 olmasına karşın yukarda gördüğümüz üzere i = i olur. Bu sonuç sayesinde, yakınsamaktan oldukça uzak olan serilerin ıraksadıkları kolaylıkla kanıtlanabilir. Ama, i i serisi, genel terimi 0 a gittiğinden bu sonucun kapsamına girmiyor. Bu serinin yakınsamadığını Teorem 4.4 ün kanıtındaki fikri kullanarak şöyle de gösterebiliriz:

265 4.3. Serilerle İlgili İki Basit Gözlem 257 Teorem 4.6. Eğer x i yakınsak serisinin terimleri pozitif ve azalansa o zaman lim n nx n = 0 olur. Kanıt: s n kısmi toplamlar olsun. (x n ) n dizisi azalan olduğundan, nx 2n x n+ + + x 2n = s 2n s n olur. Demek ki lim n nx 2n = 0 ve dolayısıyla lim n 2nx 2n = 0. Şimdi tek sayılara geçelim. Benzer şekilde (n + )x 2n+ x n+ + + x 2n+ = s 2n+ s n. Demek ki lim n (n+)x 2n+ = 0. Buradan kolaylıkla lim n (2n+)x 2n+ = 0 çıkar. (Nasıl?) Bütün bunlardan şu çıkıyor: x i serisinin yakınsaması için x i sayılarının 0 a azalarak yakınsaması yetmez, ayrıca bu sayıların 0 a hızlı yakınsaması da gerekir. Örneğin /i2, 0 a yeterince hızlı yakınsadığından, i /i2 serisi yakınsaktır. Yakın gelecekte s > ise, i /is serisinin yakınsak olduğunu göreceğiz. Sonuç 4.7. i= /i serisi ıraksar. Örnekler ( ) i + i serisi ıraksar. Kanıt: Sonuç 4.5 i uygulamaya çalışalım: ( i + i)( i + + i) i + i = = 0 i + + i i + + i Genel terimin limiti 0 olduğundan, serinin yakınsak mı yoksa ıraksak mı olduğunu Sonuç 4.5 in yöntemiyle anlayamayız. Ama Örnek 4.4 den serinin ıraksak olduğunu biliyoruz Eğer 0 < a < ise lim n ( + a n ) n =. Kanıt: Aşağıdaki hesapları yapalım: 0 ( + a n ) n = a n ( ( + a n ) n + ( + a n ) n ( + a n ) + ) Demek ki a n n( + a n ) n. 0 ( + a n ) ( + a n ) n nan. Ama Teorem 4.6 dan dolayı lim n na n = 0 olduğundan, Sandviç Teoremi ne göre ( ) lim ( + a n ) = 0 n ( + a n ) n olur. lim n ( + a n ) = olduğundan, bundan, lim n ( + a n ) n =

266 Seriler ve lim ( + n an ) n = çıkar. Bu son eşitlik de istediğimizi verir lim n (n /n ) /n limitini bulun. Çözüm: Herhangi bir a < alalım. Bir önceki örneğe göre yeterince büyük n göstergeçleri için ( + a /n ) n < 2 < n olur. Buradan a < (n /n ) /n çıkar. Öte yandan (n /n ) /n (n /n ) /n = n /n2 = (n 2 ) /n2 n /n. Son iki paragraftan istenen limitin olduğu kolaylıkla çıkar (bkz. Örnek 4.5.) [Abel] Her (a n) n dizisi için, lim a nb n = 0 a i yakınsak önermesini sağlayan bir (b n) n dizisi yoktur. Kanıt: Tam tersine böyle bir (b n) n dizisinin olduğunu varsayalım. Elbette sonsuz sayıda b n = 0 olamaz, yoksa bu n ler için a n yi çok büyük seçerek yakınsamaması gereken serilerin yakınsadığını kanıtlamış oluruz. Dolayısıyla her n için b n 0 varsayımını yapabiliriz. lim a n b n = 0 ile lim a n b n = 0 önermeleri arasında fark olmadığından, b n > 0 varsayımını yapabiliriz. a n = /nb n gibi, lim a n b n = 0 eşitliğini sağlayan pozitif bir seri alalım. ϵ > 0 rastgele olsun. O zaman a n b n < ϵ olduğundan b n > an, dolayısıyla ϵ olur. Bundan da b i > ai ϵ b i = çıkar. Demek ki c n = b b n dizisi sonsuza ıraksar. Örnek 4.26 e göre terimleri a n = olan seri ıraksar. (Eski a n yi unutun!) Ama cn cn c n b na n = b n c n c n c n = c n 0 olduğundan bir çelişki elde ederiz [Abel] Sonsuza ıraksayan her a i serisi için, lim b n /a n = 0 eşitliğini sağlayan sonsuza ıraksayan bir b i serisi vardır. Kanıt: a i > 0 varsayımını yapabiliriz. s n = a a n ve olsun. O zaman b n = an s n = sn sn s n b n a n = s n 0 olur. Ayrıca Örnek 4.26 e göre b n serisi ıraksar. Birkaç İlginç Seri. Ya kanıtlama yöntemi için henüz yeterince matematik geliştiremediğimizden ya da π gibi bazı matematiksel nesnelerin tanımlarını henüz vermediğimizden şu anda kanıtlayamayacağımız birkaç eşitlik sunuyoruz.

267 4.4. Serilerin Terimleriyle Oynamak serisinin yakınsaklığını Bölüm 7 de kanıtlayacağız. (Limit ln 2 dir ama henüz ln diye bir fonksiyon görmediğimizden şu anda bu olgu okura bir anlam ifade etmeyebilir.) Tek sayılarla π sayısı arasında bir ilişki var mıdır diye sorulsa, aklı başında herhangi biri yok der herhalde! Ama yanlış! Şu toplamdan sözetmiştik bir zamanlar: = π = π2 6. /n lerin toplamının sonsuz olduğunu biliyoruz: =. Bu seride toplanan terim sayısını azaltalım... Tüm /n leri toplayacağımıza, asal n ler için /n leri toplayalım; bakalım ne oluyor... p asal p = =. Gene sonsuz çıkar... Demek ki asal sayıların sayısı çok az değil, terslerinin toplamını sonsuz yapacak kadar çok asal sayı var... 3 ve 5 gibi, 5 ve 7 gibi, ve 3 gibi, 7 ve 9 gibi, aralarında 2 fark olan asallara ikiz asallar denir. Sonsuz sayıda ikiz asal olduğu sanılıyorsa da, bu sanı bugüne dek kanıtlanamadı. Brun, ikiz asalların bir anlamda o kadar çok olmadığını kanıtlamıştır. Şu anlamda çok değillerdir: ( 3 + ) ( ) ( ) ( ) + 9 serisi yakınsaktır, yani bu toplam sonlu bir sayıdır. Brun sabiti adı verilen bu sayının değeri aşağı yukarı, tür. Bu yaklaşık değer, 0 6 ya kadar olan asallar bulunarak hesaplanmıştır. 4.4 Serilerin Terimleriyle Oynamak Bu altbölümde amacımız bir serinin terimleri gruplandığında ya da terimlerinin yerleri değiştiğinde ya da seriye yeni terimler eklendiğinde seride ne gibi değişikliklerin olduğunu anlamaya çalışmak. İlk okumada bu altbölüm üstün körü okunabilir. Seriden Terim Atmak. Bir önceki bölümde kanıtlanan Teorem 4.3, bir serinin yakınsaklığının ya da ıraksaklığının, toplanan diziden çok, dizinin kuyruğuna göre değiştiğini de söylüyor: Kuyrukları aynı olan iki diziden birinin toplamı yakınsaksa diğerinin de toplamı yakınsaktır ve biri ıraksaksa diğeri de ıraksaktır. Yani bir seriye sonlu sayıda terim eklersek ya da bir seriden sonlu sayıda

268 Seriler terim silersek ya da her iki işlemi birden yaparsak, serinin yakınsaklığında ya da ıraksaklığında bir değişiklik olmaz. (Tabii yakınsak olduğunda elde edilen toplam değişebilir.) Bu o kadar bariz ki teorem adı altında yazmıyoruz bile. Serinin Terimlerini Gruplamak. Yakınsak serilerin terimlerini teker teker toplayacağımıza ikişer ikişer toplayabiliriz, yani yakınsak bir seriyi x x i + sonsuz toplamı olarak göstereceğimize, (x 0 + x ) + (x 2 + x 3 ) + + (x 2i + x 2i+ ) + sonsuz toplamı olarak da gösterebiliriz, çünkü ne de olsa, kısmi toplamlar dizisi (s n ) n yakınsaksa, bunun bir altdizisi olan (s 2n+ ) n dizisi de aynı sayıya yakınsar. Bu bulduğumuz sadece ikişer ikişer toplama için değil, ikişer üçer gruplama ve hatta her türlü gruplama için de geçerlidir elbet, çünkü gruplanarak elde edilen serinin kısmi toplamları başladığımız serinin kısmi toplamlarının bir altdizisidir. Bir teorem daha kanıtladık: Teorem 4.8. Eğer bir seri yakınsaksa, serinin terimlerini gruplayarak elde edilen seri de aynı sayıya yakınsaktır. Örneğin, serisi yakınsaktır, çünkü, i= i= ( ) (2i) 2 + (2i + ) 2 ( ) (2i) 2 + (2i + ) 2 = eşitliği geçerlidir ve sağdaki serinin yakınsak olduğunu biliyoruz (Bölüm 7). Gruplayarak ayrı sayılara yakınsayan (dolayısıyla yakınsak olmayan) seri örneği için bkz. Örnek 7.2. Ama dikkat: Bir seri gruplanarak yakınsak oluyorsa, bu, gruplanmamış orijinal serinin yakınsak olduğunu göstermez. Örneğin, x i = ( ) i ise x i yakınsamaz; ama terimleri ikişer ikişer gruplarsak, terimleri 0 olan dizi buluruz ki bu da elbette 0 a yakınsayan bir seri verir. Aynı felaket, serinin genel terimi 0 a yakınsıyorsa da başımıza gelebilir. Örneğin, ( ) ( + + i=2 i ) 2 ( ) +

269 4.4. Serilerin Terimleriyle Oynamak 26 serisine bakalım. k ıncı parantezdeki a + + b toplamının a b sayıları şöyle seçiliyorlar: a, toplamda daha önce belirmeyen ilk doğal sayı (bir sonraki parantezde a = 232 olacak örneğin); b ise, a + a b toplamını k dan büyükeşit yapan en küçük doğal sayı. i /i serisi sonsuza ıraksadığından her a için böyle bir b bulmak mümkündür. Serinin yukardaki gibi gruplaşmış hali, terimleri sürekli 0 olan seridir ve elbette bu gruplaşmış seri 0 a yakınsar; ama aynı seriyi parantezlerden arınmış biçimde görürsek, bu sefer seri yakınsamaz, çünkü belli aşamalarda parantezsiz serinin kısmi toplamları her k doğal sayısına eşit olurlar. (b sayısı bazı kısmi toplamlar her k olsun diye itinayla seçilmişlerdir.) Öte yandan gruplanan terim sayısı sınırlı tutulursa ve serinin genel terimi 0 a yakınsıyorsa, her şey yolunda gider: Teorem 4.9. Eğer bir serinin genel terimi 0 a yakınsıyorsa ve terimler en fazla b terim içeren bloklar halinde (terimlerin sıraları bozulmadan) gruplandığında seri yakınsak bir seriye dönüşüyorsa, o zaman başlangıçtaki seri de (yani gruplaşmamış seri de) yakınsaktır; üstelik gruplanmış ve gruplanmamış seriler aynı sayıya yakınsarlar. Bu teoremi kanıtlamadan önce kanıtı çok daha kolay olan şu teoremi kanıtlayalım: Teorem 4.0. x i bir seri olsun. lim n x n = 0 varsayımını yapalım. Bir k > 0 doğal sayısı için (s kn ) n kısmi toplamların bir s sayısına yakınsadığını varsayalım. O zaman x i serisi de s sayısına yakınsar. Kanıt: ϵ > 0 olsun. lim n x n = 0 eşitliğinden dolayı her n > N için x n < ϵ/2k eşitsizliğini sağlayan bir N vardır. lim n s kn = s eşitliğinden dolayı her n > N 2 için s s kn < ϵ/2 eşitsizliğini sağlayan bir N 2 vardır. N = (k+) max{n, N 2 } ve n > N olsun. n yi k ya bölelim: Bir n 0 > max{n, N 2 } ve bir r = 0,,..., k için, n = kn 0 + r olur. Buradan da s s n = s (s kn0 + x kn x kn0 +r) s s kn0 + x kn x kn0 +r ϵ 2 + ϵ 2k + + ϵ 2k = ϵ çıkar, ki bu da istediğimizi kanıtlar.

270 Seriler Şimdi yukardaki fikri genelleştirip Teorem 4.9 u kanıtlayalım. Teorem 4.9 un Kanıtı: Seri x i olsun. s n de x i serisinin kısmi toplamları olsun: n s n = x i. Şimdi 0 < j k j k b eşitsizliğini sağlayan bir 0 = j 0 < j < j 2 < j 3 <... göstergeç dizisi ele alalım ve x i serisini (x x j ) + (x j + + x j2 ) + biçiminde gruplayıp böylece elde edilen k=0 j k+ x i i=j k serisinin bir t sayısına yakınsak olduğunu varsayalım. t m bu gruplaşmış serinin kısmi toplamlarını simgelesin: j m k+ j m+ t m = = x i = s jm+. Varsayımdan dolayı eşitliğini biliyoruz ve k=0 i=j k x i lim t m = t m lim s n = t n eşitliğini kanıtlamak istiyoruz. Bunun için s n lerle t m ler arasında bir ilişki bulacağız. n verilmiş olsun. j m+ < n j m+2 eşitsizliklerini sağlayan m sayısını seçelim. O zaman, s n = n x i = j m+ x i + n i=j m+ x i = t m + n i=j m+ x i buluruz. Demek ki, s n t m = n i=j m+ x i n x i i=j m+

271 4.4. Serilerin Terimleriyle Oynamak 263 olur. m nin seçiminden dolayı, en sağdaki toplamda en fazla b terim vardır. (x n ) n dizisi 0 a yakınsadığından, n yi büyüterek (ki o zaman m ve j m de büyürler) s n t m sayısını dilediğimiz kadar küçültebiliriz, yani ve dolayısıyla lim s n t m = 0 n lim (s n t m ) = 0 n olur. Belki söylemeye bile gerek yok ama m sayısı n ye bağımlıdır ve n sonsuza gittiğinde m de sonsuza gider (çünkü n (m + 2)b eşitsizliği geçerlidir); dolayısıyla, lim s n = lim (s n t m ) + lim t m = lim t m = lim t m = t n n n n n olur. Kanıtımız tamamlanmıştır. Eğer serinin terimleri 0 ise, gruplanan terim sayısına sınır koymak gereksizdir. O zaman da her şey yolunda gider: Teorem 4.. Eğer terimleri negatif olmayan bir serinin genel terimi 0 a yakınsıyorsa ve terimler (sıraları bozulmadan) herhangi bir şekilde gruplandığında seri yakınsak bir seriye dönüşüyorsa, o zaman başlangıçtaki seri de (yani gruplanmamış seri de) yakınsaktır; üstelik gruplanmış ve gruplanmamış seriler aynı sayıya yakınsarlar. Kanıt: Bir önceki kanıttaki gösterimi kabul edelim ve aynı fikri devam ettirelim. n s n t m = aşamasına kadar geldik. Bundan sonra, s n t m = n i=j m+ x i i=j m+ x i j m+2 i=j m+ x i = t m+ t m şeklinde devam edelim. (t m ) m dizisi Cauchy olduğundan, n yi, dolayısıyla m yi de yeterince büyük alırsak, t m+ t m sayısını her sayıdan küçük yapabiliriz. Şimdi bir önceki teoremin kanıtındaki gibi devam edelim. Serinin Terimlerini Karmak. Yukarda serinin terimlerinin yerlerini değiştirmemiştik. Şimdi serinin terimlerinin yerlerini değiştirdiğimiz zaman başımıza geleceklere bakalım.

272 Seriler Terimleri özel bir biçimde kararak, serinin yakınsaklığının ya da ıraksaklığının bozulmayacağını görebiliriz. Örneğin serisi yerine x 0 + x + x 2 + x x 2i + x 2i+ + x + x 0 + x 3 + x x 2i+ + x 2i + serisine bakabiliriz. Eğer birinci seri yakınsaksa ikinci seri de yakınsaktır. s n ve t n bu iki serinin (bu sırayla) kısmi toplamları olsun ve birinci serinin s ye yakınsadığını varsayalım. t n leri s n cinsinden hesaplamaya çalışalım. t 2n+ = x + x x 2n+ + x 2n = s 2n+ olur. Ama t 2n de küçük bir düzeltme payı gerekir: t 2n = x + x x 2n 2 + x 2n+ = t 2n + x 2n+ = s 2n + x 2n+. Demek ki, Teorem 4.4 ten dolayı, lim t 2n = lim (s 2n + x 2n+ ) = s. n n Aynı zamanda lim t 2n+ = lim s 2n+ = s n n olduğundan, (t n ) n kısmi toplamlar dizisinin limiti de vardır ve bu limit s ye eşittir (Alıştırma 8.9). Aynı biçimde, eğer ikinci seri yakınsaksa birinci seri de yakınsaktır. Yukarda serinin terimlerini ikişer ikişer kardık. Beşer beşer de karabilirdik, bir şey değişmezdi. Ayrıca beşer beşer hep aynı biçimde de karmak zorunda değiliz, her seferinde ayrı bir karma kullanabiliriz. Bunu birazdan kanıtlayacağız. Ama okur dikkatli olmalıdır, terimler rastgele uzunlukta gruplar halinde karılırsa yakınsak seriler ıraksayabilir. Birazdan bir örnek göreceğiz. Yakınsaklığın değişmemesi için ya yukardaki gibi özel karmaları ya da bazı özel serileri almak gerekir. Teorem 4.3 te göreceğimiz üzere, terimleri pozitif olan bir seriyi istediğimiz gibi karabiliriz, yakınsaklığı/ıraksaklığı değişmez. Ama terimleri negatif ve pozitif olan serileri kararken dikkatli olmak gerekir. Teorem 4.2. j > 0 bir doğal sayı olsun. Her k 0 için σ k, {0,,..., j } kümesinin bir eşleşmesi olsun. Her i doğal sayısı için, r i sayısı 0 r i < j ve i = kj + r i olacak biçimde seçilsin. y i = x kj+σk (r i ) olarak tanımlansın. Eğer x i ve y i serilerinden biri yakınsaksa diğeri de yakınsaktır. Ayrıca bu durumda her iki seri de aynı sayıya yakınsar.

273 4.4. Serilerin Terimleriyle Oynamak 265 Kanıt: x i serisinin s ye yakınsadığını varsayalım. Yaptığımız karma, x i serisinin terimlerini, en baştan başlayarak, j li bloklar halinde karıyor, ama her j lik bloğu değişik biçimde karabilir. Her k doğal sayısı için, terimleri x kj, x kj+,..., x kj+(j ) x kj+σk(0), x kj+σk (),..., x kj+σk (j ) terimlerine dönüşüyor. Dolayısıyla eğer s n ve t n sayıları x i ve y i serilerinin (bu sırayla) kısmi toplamlarıysa, her k ve 0 r < j doğal sayıları için, s kj+r = t kj+r x kj x kj+r + x kj+σk (0) + + x kj+σk (r) elde ederiz. Teorem 4.4 ten dolayı her 0 r < j için, lim t kj+r = lim s kj+r = s j j olur. Demek ki i y i serisi de s ye yakınsıyor. Şimdi y i serisinin yakınsadığını varsayalım. x i serisi de y i serisinden yukardaki biçimde elde edilir. Bunun için σ k yerine σ k almak yeterlidir. Dolayısıyla aynı sonuç y i serisi için de geçerlidir. Bu teoremi hafifçe genelleştirmek mümkündür. Karmalarını hep j tane terim üzerine olma koşulunu, karma yapılan terim sayısını sınırlı tutmak koşuluyla değiştirebiliriz. Eğer karma yukardaki gibi terbiyeli bir biçimde yapılmazsa, başlangıçtaki seri yakınsak bile olsa, kararak elde edilen seri bir başka sayıya yakınsayabilir, hatta ıraksak olabilir. Bir örnek verelim. ( ) i+ i Örnek Bölüm 7 de i serisinin yakınsak olduğunu göreceğiz, şimdilik bu serinin yakınsadığını varsayalım. Şimdi serinin terimlerini karacağız. j = 0,, 2 için, eğer j = ise 2i+ y 3i+j = eğer j = 2 ise 4i+2 eğer j = 0 ise 4i+4 olsun. (y i ) i dizisinin (( ) i+ /i) i dizisinin bir karması olduğunu kanıtlamak oldukça kolay. Şimdi i yi serisine bakalım: (y n) n dizisi 0 a yakınsadığından, Teorem 4.9 a göre, yakınsaklığı bozmadan, i yi serisini şöyle gruplayabiliriz: ( ) ( ) ( ) 0 2 +

274 Seriler ve serisini, yani i ( )i+ /i serisinin yarısı olan ( ) + serisini buluruz. Görüldüğü gibi toplam yarıya indi! Öte yandan eğer serinin terimleri negatif değilse terimlerini istediğimiz gibi karabiliriz, yakınsaklık ve toplam değişmez: Teorem 4.3. x i, terimleri pozitif olan bir seri olsun. σ, N nin bir eşleşmesi olsun. O zaman, eğer x i ve x σ(i) serilerinden biri yakınsıyorsa diğeri de yakınsar ve yakınsadıklarında aynı sayıya yakınsarlar. Kanıt: s n ve t n sırasıyla x i ve i x σ(i) serilerinin kısmi toplamları, s ve t de serilerin limitleri olsun. Her iki kısmi toplamlar dizisi de artan dizidir. (t n ) n dizisinin üstten s tarafından sınırlı olduğunu kanıtlayacağız. olsun. Hesaplayalım: t n = m(n) = max{σ(0),..., σ(n)} n x σ(i) m(n) x i = s m(n) s. Demek ki (t n ) n dizisi de, dolayısıyla x σ(i) serisi de yakınsak. Eğer limite t dersek, yukardaki eşitsizlikten t s elde ederiz. Ama şimdi s, t ve σ ile yaptığımızı t, s ve σ ile de yapabiliriz ve bu sefer s t elde ederiz. Bu teorem biraz daha genel bir haliyle de doğrudur. Bkz. Teorem 5.9. Kimi zaman göstergeç kümesini sonsuz parçalara ayırmak zorunda kalabiliriz. Eğer serinin terimleri pozitifse bu bir sorun teşkil etmez. Kanıta geçmeden önce bunun yararını gösteren bir örnek verelim. Örnek serisini toplamak istediğimizi varsayalım. Bu seriyi şöyle açalım: ( ) ( ) ( ) ( ) + Teorem 4.8 ve 4. e göre bu serilerden biri yakınsaksa diğeri de yakınsaktır ve iki seri de bu durumda aynı sayıya yakınsarlar. Şimdi bu ikinci serinin yakınsaklığını kanıtlamaya çalışalım. İkinci serideki her parantezin ilk terimini alarak

275 4.4. Serilerin Terimleriyle Oynamak 267 serisini, (ikinci parantezden başlayarak) her parantezin ikinci terimini alarak serisini, (üçüncü parantezden başlayarak) her parantezin üçüncü terimini alarak serisini alalım ve bunu böylece sonsuza kadar devam edelim. Elde ettiğimiz seriler yakınsaktır: = = = 2 2 Bunları toplarsak da 2 buluruz. Bu bulgudan, birinci ve ikinci serilerin 2 ye yakınsadığını söyleyebilir miyiz? Ne yaptığımızın farkına vardınız mı? } 2 {{ 2 2 } }{{ } }{{ } 2 adet 3 adet 4 adet serisini hesaplamak için, sayıları, seride önerildiği ve her Avrupalının yapacağı gibi terimleri soldan sağa doğru teker teker toplayacağımıza, aşağıdaki gibi dizip Çinliler gibi en sol sütundan başlayarak yukardan aşağı topladık ve sonra sütunların toplamlarını topladık: En sol sütunun toplamı. Bir sonraki sütunun toplamı /2. Soldan üçüncü sütunun toplamı /4. Vs. Soru belli: Bunu yapmaya hakkımız var mı? Yani satırların toplamının toplamı, sütunların toplamının toplamına eşit midir? Yanıt: Evet var! Bir sonraki teoremde bunu kanıtlayacağız. Teorem 4.4. i 0 x i terimleri negatif olmayan bir seri ve N = A 0 A A 2..., N nin herhangi bir parçalanışı olsun. i. Eğer x i serisi yakınsaksa, her j için i A j x i serisi de yakınsaktır. Ayrıca, eğer y j = i A j x i tanımını yaparsak, y j serisi de yakınsaktır ve bu seri x i toplamına eşittir. ii. Her j için i A j x i serisi yakınsak olsun. y j = i A j x i tanımını yapalım. Eğer y j serisi de yakınsaksa o zaman x i serisi de yakınsaktır ve bu seri yj toplamına eşittir.

276 Seriler Kanıt: i. i A j x i serisinin kısmi toplamları elbette x i serisinden küçükeşittir. Kısmi toplamları artan bir dizi oluşturduğundan, i A j x i serisi yakınsaktır (Teorem 7.) ve toplamı x i serisinden küçükeşittir. Demek ki y j x i. yj serisinin kısmi toplamları x i serisi tarafından üstten sınırlanmıştır ve yj serisi yakınsar (Teorem 7.) ve yj x i olur. Şimdi eşitliği kanıtlayalım. ϵ > 0 olsun. k yı yeterince büyük seçerek xi (y y k ) farkını ϵ dan küçük yapabileceğimizi kanıtlamalıyız. Ama tek bir k için farkı ϵ dan küçük yapmak yeterli, çünkü k büyüdükçe yukardaki fark küçülür. Önce öyle bir n bulalım ki, xi (x x n ) < ϵ olsun. Ardından öyle bir k bulalım ki, olsun. O zaman elbette, 0,,..., n A 0 A A 2... A k x x n y y k olur. Dolayısıyla, xi (y y k ) x i (x x n ) < ϵ i 0 olur. Birinci önerme kanıtlanmıştır. ii. Verilmiş bir i için, j(i) göstergeci, i A j(i) içindeliğini sağlayacak biçimde seçilmiş olsun. O zaman x i y j(i) olur. Dolayısıyla, x x n y j(0) + + y j(n) y j olur. Demek ki x i serisinin kısmi toplamları üstten y j tarafından sınırlıdır. Bundan da, Teorem 7. yardımıyla, x i serisinin yakınsak olduğu ve xi y j

277 4.4. Serilerin Terimleriyle Oynamak 269 eşitsizliği çıkar. Şimdi eşitliği gösterelim. ϵ > 0 olsun. n yi yeterince büyük seçerek yj (x x n ) farkını ϵ dan küçük yapabileceğimizi kanıtlamalıyız. Ama tek bir n için farkı ϵ dan küçük yapmak yeterli, çünkü n büyüdükçe yukardaki fark küçülür. Hatta sağda toplanan x i lerin göstergeçlerinin illa 0 dan n ye gitmeleri gerekmez, aradan sadece bazı göstergeçleri seçsek de yeter. Önce öyle bir k seçelim ki, yj (y y k ) < ϵ 2 olsun. Her j = 0,..., k için öyle bir sonlu I j A j göstergeç kümesi vardır ki, y j i I j x i < ϵ 2(k + ) olur. O zaman tanımını yaparsak, I = I 0 I... I k olur. Demek ki, yj i I (y y k ) i I ( ) x i = yj (y y k ) + < ϵ/2 + ϵ/2 = ϵ. Şimdi n yi o kadar büyük seçelim ki x i < ϵ 2 ( I = I 0 I... I k {0,,..., n} (y y k ) i I olsun. Bu durumda, yj (x x n ) y j x i < ϵ olur. Teorem kanıtlanmıştır. Yukardaki teoremin ikinci kısmı herhangi bir seri için ve sonlu sayıda parçalanma için de doğrudur: Teorem 4.5. x i herhangi bir seri olsun. N = A B, N nin herhangi bir parçalanışı olsun. Eğer i A x i ve i B x i serileri yakınsaksa ve toplamlar a ve b ye eşitse, o zaman x i serisi de yakınsaktır ve bu seri a + b toplamına eşittir. i I x i )

278 Seriler Kanıt: s n, x i serisinin kısmi toplamı olsun. A n = A {0,,..., n} ve B n = B {0,,..., n} olsun. Ayrıca a n = x i ve b n = i A n i B n x i tanımlarını yapalım. Her a n, i A x i serisinin bir kısmi toplamıdır. (a n ) n dizisinin i A x i serisinin kısmi toplamları dizisinden tek farkı, (a n ) n dizisinde bazı kısmi toplamların tekrar etmesidir, nitekim A n = A n+ olduğunda a n = a n+ olur. Aynı şeyler (b n ) n dizisi için de geçerlidir. Dolayısıyla (a n ) n dizisi a ya ve (b n ) n dizisi b ye yakınsar. Tanımdan dolayı s n = a n + b n olduğundan, lim n s n vardır ve a + b ye eşittir. Sonuç 4.6. x i herhangi bir seri olsun. N = A... A k, N nin herhangi bir parçalanışı olsun. Eğer her j =,..., k için i A j x i serisi yakınsaksa ve toplamlar a i ye eşitse, o zaman x i serisi de yakınsaktır ve bu seri a + + a k toplamına eşittir. Teorem 4.4 ü ilerde Teorem 5.0 olarak genelleştireceğiz.

279 5. Pozitif Seriler ve Mutlak Yakınsaklık 5. Pozitif Seriler Terimleri negatif olmayan serilerin analizi oldukça kolaydır. Nitekim, böyle bir serinin yakınsaması için, kısmi toplamlarının sınırlı olması yeter ve gerek koşuldur. Bunun çok kolay kanıtını birazdan vereceğiz. Böylece, terimleri negatif olmayan bir serinin yakınsaklığını, serinin hangi sayıya yakınsadığını bilmeden de bulabilme imkanına sahip olacağız. Geçmişte bunun örneklerini çok gördük. Örneğin, i 5 serisinin terimleri pozitiftir ve bu serinin kısmi toplamları n i= i= i 5 n i= i 2 < 2 eşitsizliğini sağladığından (Örnek 7.0), Teorem 7. den dolayı, seri yakınsar. Ancak, bırakın hangi sayıya yakınsadığının bilinmesini, serinin ne tür (örneğin kesirli) bir sayıya yakınsadığı bile bilinmiyor... Bu ve benzer konular bugün revaçta olan araştırma konularıdır. Terimleri negatif olmayan bir seriye kısaca pozitif seri diyeceğiz. Böyle bir i 0 x i serisinin kısmi toplamlar dizisi s n = x 0 + x + + x n artan bir dizidir elbet. Dolayısıyla pozitif bir seri eğer ıraksaksa ancak a ıraksayabilir (Teorem 2.). Örneğin i /i = (Bölüm 7.2). Teorem 5.. Pozitif bir serinin yakınsaması için kısmi toplamlar dizisinin üstten sınırlı olması yeter ve gerek koşuldur. Kanıt: Eğer seri s ye yakınsıyorsa, kısmi toplamlar dizisi (s n ) n artan bir dizi olduğundan, s n s elde edilir.

280 Pozitif Seriler ve Mutlak Yakınsaklık Şimdi de, artan bir dizi olan kısmi toplamlar dizisi (s n ) n nin üstten sınırlı olduğunu varsayalım. O zaman Teorem 7. e göre, (s n ) n dizisi, yani seri yakınsaktır. Kanıttan da anlaşılacağı üzere, Teorem 5. bize aslında biraz daha fazla bilgi veriyor: Teorem 5.2. Eğer x i pozitif bir seriyse, x i serisinin yakınsaması için kısmi toplamlar dizisinin üstten sınırlı olması yeter ve gerek koşuldur. Ayrıca eğer M, kısmi toplamların bir üstsınırıysa, xi M olur ve eğer m, kısmi toplamların en küçük üstsınırıysa, xi = m olur. Ayrıca her n için olur. n x i x i Tabii bütün bu dediklerimizin doğru olması için, serinin terimlerinin hep değil, sadece bir zaman sonra negatif olmamaları yeterlidir. Sonuç 5.3. x i pozitif bir seri olsun. (x ik ) k, (x i ) i dizisinin bir altdizisi olsun. Eğer x i serisi yakınsaksa, k x i k serisi de yakınsaktır ve limiti x i sayısından küçükeşittir. Eğer k x i k serisi ıraksaksa, x i serisi de ıraksaktır. Kanıt: x i = s olsun. s n ve t n sayıları sırasıyla, x i ve k x i k kısmi toplamları olsunlar. Elbette, serilerinin t n = x i0 + x i + + x in x 0 + x + + x in = s in s olur. Teorem 5.2 ye göre x ik çıkar. Örnekler 5.. Örnek 6.8 de, terimleri serisi yakınsaktır. İkinci kısım birincisinden x i = i j= j(i j) = (i ) + 2(i 2) + + j(i j) + + (i ), olan dizinin 0 a yakınsadığını, yani, lim i xi = 0

281 5.. Pozitif Seriler 273 eşitliğini kanıtlamıştık. Demek ki, i=2 serisinin yakınsak olma ihtimali var (Sonuç 4.5). Bu seri yakınsak mıdır? Değildir : j(i j) = ( i i j + ) j olduğundan, x i = i j= olur. Ama n i= terimleri i j= ( i j(i j) = i j= x i i i j + j= ) j i ( + ) = 2 i > i /i dizisinin üstten sınırlı olmadığını biliyoruz (Bölüm 7.2). Demek ki olan seri sonsuza ıraksar. j(i j) 5.2. (x n ) n sonsuza ıraksayan artan bir dizi olsun. Eğer q > 0 bir kesirli sayı ise xi+ x i x q i xi+ serisi yakınsaktır. Eğer q 0 ise seri ıraksaktır. Kanıt: q = 0 durumunu Örnek 4.26 te irdelemiştik. Bundan q 0 durumu da çıkar çünkü eğer x i > ise, x i+ x i x q i x x i+ x i i+ x i+ olur. Şimdi q = olsun. O zaman, teleskopik seri elde ederiz: xi+ x i x q i x = x i+ x i = ( i+ x i x i+ x i ) =, x i+ x 0 ve seri yakınsar. Buradan kolaylıkla serinin q için de yakınsadığı görülür. Son olarak 0 < q < olsun. Sonuç 3.20 de x = x i/x i+ alırsak, x i ( ( ) q ) xi x i+ q x i+ elde ederiz. Bu eşitsizliğin taraflarını x q i sayısına bölersek, x i+ x i x q i x ( i+ q x q ) i x q i+ buluruz. Terimleri sağdaki ifade olan seri teleskopik seridir ve yakınsar. Demek ki terimleri soldaki ifade olan seri de yakınsar [du Bois-Reymond] Yakınsak her a i pozitif serisi için, lim b n/a n = eşitliğini sağlayan yakınsak bir b i serisi vardır. Kanıt: Her i için a i > 0 varsayımını yapabiliriz. s n = a a n, s = lim n s n ve u n = = s s n i=n ai olsun. O zaman lim n u n = olur. Bir q > 0 kesirli sayısı seçelim. b n = u n+ u n u q nu n+ Yusuf Ünlü ye ve İlham Aliyev e teşekkürler.

282 Pozitif Seriler ve Mutlak Yakınsaklık olsun. Örnek 5.2 ye göre b i yakınsaktır. Ayrıca b n = u n+ u n u q = nu n+ u q n u q = (s s n ) q (s s n ) q (s s n ) n u n+ olduğundan, eğer q < ise olur. = (s s n ) q (s n s n ) = u q n a n b n = u q n a n Alıştırmalar 5.4. Teorem 5.2 yi kullanarak x i ve y i pozitif yakınsak serilerse, (x i + y i ) serisinin de yakınsak olduğunu kanıtlayın. (Bir sonraki alıştırmaya da bakın mutlaka.) 5.5. Serinin yakınsaklığının tanımını kullanarak, x i ve y i serileri yakınsaksa, (x i +y i ) ve rx i serilerinin de yakınsak olduğunu ve (x i +y i ) = x i + y i ve rx i = r x i eşitliklerini kanıtlayın. Teorem 4.3 ve 4.4 e göre pozitif bir serinin terimlerini istediğimiz sırada ve istediğimiz gibi gruplayarak toplayabiliriz. Bu da serinin yakınsaklığına karar vermede hatırı sayılır bir kolaylık sağlar. Hatta bu durumda seriyi yazmak da kolaylaşır: Eğer X R 0 sayılabilir bir kümeyse, x X x anlamlıdır; nitekim X i nasıl iyisıralarsak sıralayalım, diyelim X = {x 0, x,..., x n,...}, olarak iyisıraladık, o zaman, Teorem 4.3 e göre, n x n serisinin değeri (bir gerçel sayı ya da ), X in seçilen iyisıralamasından bağımsızdır. Dolayısıyla bu seriyi x X x ya da X x hatta X olarak tanımlayabiliriz. Hatta eğer 0 / X ise x X /x ifadesi de anlamlıdır. İşte bir örnek = n N\{0} Bir başka örnek: Eğer P asal sayılar kümesiyse, P n. p = Ve son örnek: Eğer K, doğal sayılarda pozitif karelerin kümesiyse, K k = anlamına gelir. Bölüm 7.2 de n /n serisinin toplamının sonsuza ıraksadığını gördük. Peki tüm n leri değil de bazı n lerin terslerini toplarsak ne olur? Örneğin P asal

283 5.. Pozitif Seriler 275 sayılar kümesi olmak üzere P p serisi yakınsak mıdır, yoksa ıraksak mıdır? n /n = olduğundan, hislerimiz, eğer çok asal varsa seri sonsuza ıraksamalı ama az asal varsa seri yakınsamalı diyor. Bu durumda seri gerçekten sonsuza ıraksar ama bunun kanıtı kolay değildir 2. Aşağıda bu minvalde bir soru ve şık çözümünü bulacaksınız. Örnek 5.6. B, onluk tabanda yazıldığında içinde 0 rakamı belirmeyen doğal sayılar kümesi olsun. n n B serisinin yakınsaklığını inceleyelim. Önce hislerimizi konuşturalım. B kümesinde doğal sayıların birçoğu var mıdır, yoksa tam tersine B kümesinde az mı sayı vardır? n basamaklı bir doğal sayıda 0 belirmeme olasılığı, n çok büyük olduğunda çok küçüktür. ( milyar defa zar attığınızda, en az bir defa şeş geleceğinden emin olmalısınız. Nerdeyse...) Dolayısıyla B kümesinde az sayı olduğu ve serinin yakınsak olması gerektiği söylenebilir. Göreceğiz... olsun. α = G k = n B,n<0 k n olsun. Bulmak istediğimiz elbette lim k G k limitidir. Her k için G k < 0α eşitsizliğini kanıtlayacağız ve böylece serinin yakınsak olduğunu kanıtlamış olacağız. k = için G k = G = α < 0α olduğundan eşitsizlik doğru. Şimdi eşitsizliğin k için doğru olduğunu varsayıp k + için kanıtlayalım.,..., 9 sayılarını muaf tutarak B deki n sayılarının son hanelerini 0 a dönüştürelim ve böylece elde edilen sayıyı n olarak gösterelim. Elbette n sayısı 0 a bölünür ve n = n /0 B olur. Ayrıca elbette 0n = n < n n + 9 = 0n + 9 olur; dolayısıyla tam 9 tane n B sayısı aynı n B sayısını verir. Şimdi hesap yapalım (aşağıdaki toplamlarda doğal sayıların istisnasız hep B kümesinden alındığını varsayacağız, yani /205 gibi sayılar belirmeyecek): G k+ = n<0 k+ < α + = α n = α + 0<n<0 k+ n 0<n<0 k+ Demek ki seri 0α dan daha küçük bir sayıya yakınsar. 0<n<0 k+ n n = α + 0 n = α + 9G k < α + 9α = 0α. 0 n <0 k Alıştırma 5.7. C, içinde rakamı bulunmayan pozitif doğal sayılar kümesi olsun. n C serisi yakınsak mıdır ve yakınsaksa yukardaki örnekte verilen n B /n serisinden küçük müdür? n 2 Bugün artık kanıtı bilinen Bertrand Postulatı na göre her n > doğal sayısı için n ile 2n arasında bir asal vardır. Bu serinin sonsuza ıraksadığı Bertrand Postulatı ndan çıkar.

284 Pozitif Seriler ve Mutlak Yakınsaklık 5.2 Kıyaslama Teoremleri Aşağıdaki yakınsaklık kıstasının çok sık uygulaması vardır: Teorem 5.4 (Karşılaştırma/Kıyaslama Kıstası). x i ve y i iki pozitif seri olsun. Eğer yeterince büyük i ler için x i y i oluyorsa, o zaman, i. Eğer y i serisi yakınsaksa x i serisi de yakınsaktır. ii. Eğer x i serisi ıraksaksa y i serisi de ıraksaktır. Kanıt: İlk birkaç terimi yok sayarak, x i y i eşitsizliğinin her i için vuku bulduğunu varsayabiliriz. i. Teorem 5.2 ye göre n x i n y i y i eşitsizliklerinden dolayı, x i serisinin kısmi toplamlar dizisi, y i serisi tarafından üstten sınırlanır. Gene Teorem 5.2 ye göre x i serisi yakınsar ve xi y i olur. ii. Birinci kısımdan çıkar. Örnekler serisinin yakınsak olduğunu kanıtlayın. Çözüm: Seri (4i + )(4i + 3) olarak yazılabilir. Ama (4i + )(4i + 3) < (4i + ) 2 olduğundan ve sağdaki terimlerden oluşan seri yakınsadığından, Teorem 5.4 e göre sorudaki seri de yakınsar i ri /i serisi < r < için mutlak yakınsaktır, r için sonsuza ıraksaktır. Kanıt: 0 r < için, r i /i r i ve bu durumda i ri yakınsak olduğundan, Teorem 5.4 e göre i ri /i serisi de yakınsaktır r için, r i /i /i olduğundan ve i /i ıraksak olduğundan, Teorem 5.4 e göre i ri /i serisi de ıraksaktır. i= 2 2i 3i 3 +4 serisi yakınsaktır. Kanıt: Bu seri pozitif değildir, ama sadece ilk üç terimi pozitif değildir ve böylece Karşılaştırma Kıstası nı uygulayabiliriz. 2i 3i i 3i = 3 i 2 3 Sorudaki serinin π/8 e yakınsadığı bilinmektedir. Bir başka kitabımızda kanıtlarız.

285 5.2. Kıyaslama Teoremleri 277 olduğundan ve yakınsak olduğundan Teorem 5.4 e göre serimiz yakınsaktır. 5.. i>0 serisi ıraksaktır çünkü i 2 i2 i 2 ve dolayısıyla i= i 2 i2 > i olur i 2 + serisi ıraksaktır çünkü i > 0 için olur ve /i serisi ıraksaktır. + i 2 i2 + i = 2 2 i Alıştırma 5.3. r < için i ri /i serisinin ıraksadığını kanıtlayın. (Ama seri a ıraksamaz.) Şimdi pozitif seriler üzerine hayatı kolaylaştıran birkaç kolay sonuç kanıtlayalım. Sonuç 5.5. x i ve y i iki pozitif seri olsun. i. lim sup x i y i olsun. Eğer /y i yakınsaksa x i de yakınsaktır. Eğer xi ıraksaksa /y i de ıraksaktır. ii. Eğer lim inf x i y i 0 ve /y i ıraksaksa x i de ıraksaktır. Kanıt: i. lim sup x i y i olduğundan (x i y i ) i dizisi üstten sınırlıdır. Demek ki öyle bir A > 0 vardır ki her i göstergeci için x i y i A olur. Demek ki xi A /y i olur. Sonuç bundan ve Teorem 5.4 ten çıkar. ii. lim inf x i y i 0 olduğundan lim inf x i y i > 0 olur. Demek ki öyle bir A vardır ki her i göstergeci için A x i y i olur. Demek ki x i A /y i = olur. Buna benzer bir sonuç için bkz. Teorem 5.7. Sonuç 5.6 (Oran Kıyaslama Testi). x i ve y i iki pozitif seri olsun. Bir zaman sonra x i+ x i y i+ y i olsun. i. Eğer y i yakınsaksa x i de yakınsaktır. ii. Eğer x i ıraksaksa y i de ıraksaktır. Kanıt: Eşitsizlik, N göstergecinden doğru olsun ve b = y N /x N olsun. Varsayımdan dolayı, her i N için, x i x N = b, y i y N yani x i by i olur.

286 Pozitif Seriler ve Mutlak Yakınsaklık i. Eğer y i yakınsaksa o zaman by i serisi de yakınsaktır. Sonuç, x i by i eşitsizliğinden ve Teorem 5.4 ten çıkar. ii. Eğer x i ıraksaksa, x i by i eşitsizliğinden ve Teorem 5.4 ten, by i serisinin de a ıraksadığı çıkar. Demek ki y i serisi de a ıraksar. Örnekler 5.4. Sonuç 5.5.i deki koşul yeterlidir ama gerekli değildir. Örneğin x i = /2 i ve y i = i! olsun. O zaman /y i yakınsaktır ve lim sup x i y i = lim sup i!/2 i = lim i!/2 i = olur (Örnek 6.) ama gene de x i yakınsar Eğer i bir kare değilse x i = /i 2 olsun, eğer i bir kareyse, x i = /i 2/3 olsun. Ve y i = i olsun. Bu durumda /y i ıraksaktır ve lim sup x i y i = olur ama Örnek 9.5 te göreceğimiz üzere x i serisi yakınsar. (Bu arada lim inf x iy i = 0 eşitliğine dikkat çekelim.) Sonuç 5.5.ii için de gerekliliğin geçerli olmadığını göstermeyi okura bırakıyoruz (i /i ) serisi yakınsak mıdır? Yanıt: Örnek 0.7 ye göre lim n /n = n /n olur. Demek ki bir A > 0 için, mesela A = için, n /n > A n olur. /i sonsuza ıraksadığından, (i /i ) serisi de sonsuza ıraksar. Teorem 5.7 (Kummer Kıstası, 837). x i ve y i iki pozitif seri olsun. Eğer lim i x i /y i = l 0, ise, serilerden biri yakınsaksa diğeri de yakınsaktır. Kanıt: l > 0 olmak zorunda. ϵ u, l ϵ > 0 olacak biçimde seçelim, mesela ϵ = l/2 olabilir. a = l ϵ olsun. Öyle bir N vardır ki, her n > N için, a = l ϵ x i y i l + ϵ, ve dolayısıyla ay i x i olur. Eğer x i serisi yakınsaksa ya da y i serisi ıraksaksa, sonuç Teorem 5.4 ten çıkar. Eğer y i serisi yakınsaksa ya da x i serisi ıraksaksa, aynı kanıt l yerine /l ile yapılır. Bu teorem şiirsel bir dilde şunu söylüyor: Eğer (x i ) i ve (y i ) i dizileri sonsuza doğru eşdeğerlerse, yani (x i /y i ) i dizisinin limiti varsa ve bu limit 0 (ya da ) değilse, o zaman x i ve y i pozitif serilerinin doğaları aynıdır. Örnekler i 3i 3 4 serisi yakınsaktır. Kanıt: i /i2 yakınsak olduğundan, Teorem 5.7 den çıkar.

287 5.2. Kıyaslama Teoremleri serisi yakınsaktır. Kanıt: 2 i + 3 i+ i i+ 2 i + 3 i+ 3i+ i i+ 7 = 3 ( ) i 3 2i olduğundan ve (3/49) i geometrik serisi yakınsak olduğundan (çünkü < 3/49 < ) seri yakınsaktır xi pozitif ve yakınsak bir seriyse xix i+ serisi de yakınsaktır. Kanıt: Doğrudan Kummer kıstasından çıkar < q < p iki kesirli sayı olsun. n p n q serisinin yakınsaklığını tartışın. Tartışma: np n q n p = /n p q olduğundan, teoreme göre, eğer p 2 ise seri yakınsar ve eğer p ise seri ıraksar. Diğer durumlar için bkz. Örnek i>0 serisi yakınsar mı? i +/i Yanıt: Yakınsamaz. Bunu görmek için seriyi ıraksak olduğunu bildiğimiz /i serisiyle kıyaslamak yeterli: /i i+/i = = i /i /i+/i i olduğundan, Teorem 5.7 ye göre seri ıraksar. Alıştırma x i pozitif ve yakınsak bir seriyse x i/i serisinin de yakınsak olduğunu kanıtlayın. Kummer Dönüşümü. Teorem 5.7 yi şöyle de kanıtlayabiliriz: x i serisinin yakınsak olduğunu varsayalım (mesela!) O zaman, xi = ( ( ly i + l y ) ) i x i = l y i + ( l y ) i x i x i x i olur. Ama olduğundan, bir zaman sonra l y i lim = n x i ly i < x i olur ve en sağdaki serinin terimleri x i den küçük olurlar ve böylece Teorem 5.8 e göre, en sağdaki ( l y ) i x i x i serisi mutlak yakınsak olur. Demek ki, (K) yi = ( xi ( l y ) ) i x i. l x i

288 Pozitif Seriler ve Mutlak Yakınsaklık Hemen bir uygulama verelim. olsun. O zaman l = lim i x i /y i = olur ve yukar- Örnek x i = ve y i(i+) i = i 2 daki (K) formülü, i= i = 2 = i= i= eşitliğini verir. Bu eşitlikten de, i(i + ) i= ( i i + + i= eşitliği elde edilir. Eğer sağdaki toplamın π2 6 verir elbette. Alıştırmalar ( i + ) i i= i 2 (i + ) i(i + ) ) i 2 (i + ) = i 2 i= = Aşağıdaki serilerin yakınsak olup olmadıklarını belirleyin. i i= i 2 (i + ) olduğu biliniyorsa, bu bize daha fazla bilgi i 2 0 i=3 (2i + ) 2 [i 2 (i + )] i=3 2i + i 2 (i + ) i= i 2 + i + i(i + )! i= i 3 + i + i i+ + 3i 7 i i + 3 i 6 i 4 2i 3 3i i serisinin toplamını bulun. 3 3i Her k doğal sayısı için, i(i + ) (i + k) i= toplamını bulun H n = + /2 + + /n olsun. n /H n serisinin ıraksadığını kanıtlayın. 5.3 Mutlak Yakınsaklık Pozitif serilerin önemi aşağıdaki teoremle daha da belirginleşecek. Teorem 5.8 (Cauchy). Eğer x i serisi yakınsaksa x i serisi de yakınsaktır ve x i x i x i olur. (Ama genellikle iki serinin limiti arasında bundan başka herhangi bir ilişki yoktur.) Kanıt: Toplamlar arasında bir ilişki olmadığından, x i serisinin kısmi toplamları dizisinin Cauchy olduğunu kullanabiliriz ancak; bunu kullanarak x i

289 5.3. Mutlak Yakınsaklık 28 serisinin kısmi toplamları dizisinin de Cauchy olduğunu kanıtlayacağız. ϵ > 0, herhangi bir gerçel sayı olsun. Öyle bir N bulacağız ki, her n > m > N için, n m x i x i < ϵ yani, () olsun. Ama n i=m+ olduğundan, her n > m > N için, n i=m+ x i n i=m+ x i < ϵ n i=m+ x i < ϵ eşitsizliğinin sağlandığı bir N bulmak yeterli, çünkü o zaman () elbette sağlanır. Ama x i serisi yakınsak olduğundan, böyle bir N vardır (Teorem 4.3). Toplamlar arasındaki eşitsizlik bariz olmalı çünkü benzer eşitsizlik kısmi toplamlar arasında vardır. Teorem 5.8 in İkinci (Zeki) Kanıtı: 0 x i + x i 2 x i eşitsizliklerinden, 2 x i serisi yakınsak olduğundan (bkz. Alıştırma 5.4 ya da 5.5), Teorem 5.4 e göre (x i + x i ) pozitif serisi de yakınsaktır. Öte yandan x i n x i = n n (x i + x i ) x i olduğundan, xi = (x i + x i ) x i olur. Bu teoremin tersi doğru değildir, yani x i serisi yakınsak olsa da xi serisi ıraksayabilir. En standart karşıörnek, ( ) i i +

290 Pozitif Seriler ve Mutlak Yakınsaklık serisidir. Bu serinin yakınsak olduğunu Altbölüm 7. de göreceğiz ama yani ( ) i i +, i + serisinin ıraksak olduğunu biliyoruz (Bölüm 7.2). Eğer x i serisi yakınsıyorsa, x i serisine mutlak yakınsak denir. Yukardaki teoreme göre, mutlak yakınsak bir seri yakınsaktır. i ( )i /i serisi gibi yakınsak olan ama mutlak yakınsak olmayan serilere koşullu yakınsak seri denir. Koşullu yakınsak serilerin analizi mutlak yakınsak serilerin analizinden daha zordur. Örnekler i= ( ) i i serisi mutlak yakınsaktır (Trigonometrik Fonksiyonlar.) Her x R için, cos x = ( ) i x 2i (2i)! ve sin x = ( ) i x 2i+ (2i + )! serileri mutlak yakınsaktırlar. Nitekim, ( ) i x 2i (2i)! = x 2i (2i)! x i i! = exp x olur ve Teorem 5. e göre cos x serisi mutlak yakınsar. Bu arada, çok daha iyisini kanıtlayacağımız cos x exp x eşitsizliğine dikkatinizi çekerim. sin x için kanıt benzerdir. Bunlar gerçekten lise yıllarından âşina olduğumuz sinüs ve kosinüs fonksiyonlarıdır. Bu kitapta, her ciddi matematik kitabında olduğu gibi, böyle tanımlanacaklar. Bir sonraki ciltte sin ve cos fonksiyonları üzerine çok daha fazla şey kanıtlayacağız exp fonksiyonunun serisi mutlak yakınsaktır. Bariz. Yukardaki örneklerde olduğu gibi, mutlak yakınsak bir seri yardımıyla tanımlanmış fonksiyonların çok hoş özellikleri vardır ve diğer fonksiyonlara göre daha hoş davranırlar. Bir sonraki ciltte mutlak yakınsaklıktan çok yararlanacağız. Teorem 4.3 e göre mutlak yakınsak bir serinin terimlerini kararsak gene mutlak yakınsak (dolayısıyla yakınsak) bir seri elde ederiz. Şimdi Teorem 4.3 ü genelleştirerek terimleri karılmış iki mutlak yakınsak serinin aynı sayıya yakınsadığını göstereceğiz: Teorem 5.9. x i, mutlak yakınsak bir seri olsun. σ, N nin bir eşleşmesi olsun. O zaman, eğer x i ve x σ(i) serilerinden biri yakınsıyorsa diğeri de yakınsar ve yakınsadıklarında aynı sayıya yakınsarlar.

291 5.3. Mutlak Yakınsaklık 283 Kanıt: x i serisinin s ye yakınsadığını varsayalım. ϵ > 0 olsun. Seri mutlak yakınsak olduğundan, öyle bir M vardır ki, her n > M için x i < ϵ/2 i>n olur. Ayrıca, seri s ye yakınsadığından, öyle bir M 2 vardır ki, her n > M 2 için, n x i s ϵ/2 olur. ve M = max{m, M 2 } N = max{σ (0), σ (),..., σ (M)} olsun. σ bir eşleme olduğundan, N M olur. Herhangi bir n > N M sayısı alalım ve A = {σ (0), σ (),..., σ (M)} {0,,..., n}, B = {0,,..., n} \ A, u = min σ(b) = min({σ(0), σ(),..., σ(n)} \ {,..., M}) > M, v = max σ(b) = max({σ(0), σ(),..., σ(n)} \ {,..., M}) u tanımlarını yapıp hesaplayalım: n x σ(i) s = x σ(i) s + x σ(i) x σ(i) s + x σ(i) i= i A i B i A i B x σ(i) s + M x σ(i) x j s i A i B j= + x σ(i) i B M = x j s j= + M v x j x j s j σ(b) j= + x j j=u M v x j s + x j ϵ/2 + ϵ/2 = ϵ j= j=m+ Demek ki x σ(i) = s olur. Son olarak Teorem 4.4 ü genelleştirelim:

292 Pozitif Seriler ve Mutlak Yakınsaklık Teorem 5.0. i 0 x i bir seri ve N = A 0 A A 2... N nin herhangi bir parçalanışı olsun. i. Eğer x i serisi mutlak yakınsaksa, her j için i A j x i serisi de mutlak yakınsaktır. Ayrıca, eğer y j = i A j x i tanımını yaparsak, y j serisi de mutlak yakınsaktır ve bu seri x i toplamına eşittir. ii. Her j için i A j x i serisi mutlak yakınsak olsun. y j = i A j x i tanımını yapalım. Eğer y j serisi de mutlak yakınsaksa o zaman x i serisi de mutlak yakınsaktır ve y j = x i olur. Kanıt: i. Her j için i A j x i serisinin mutlak yakınsak olduğu bariz çünkü ne de olsa i A j x i serisinin kısmi toplamları x i sayısından küçükeşittir. yj serisinin mutlak yakınsaklığı da Teorem 4.4 ten çıkıyor. Şimdi y j = x i eşitliğini gösterelim. ϵ > 0 olsun. Öyle bir N seçelim ki, her n > N için, n xi x i = x i < ϵ 2 i>n olsun. Buradan, çıkar. Öyle bir N 2 seçelim ki, x i < ϵ 2 i>n {0,,..., N } A 0... A N2 olsun. N = max{n, N 2 } olsun. Eğer n > N ise, n y y n x i = x i + + x i i A 0 i A n ifadesinde x 0,..., x N terimleri sadeleşir ve dolayısıyla serilerdeki üçgen eşitsizliğinden n y y n x i x i < ϵ 2 i>n eşitsizliği çıkar. Demek ki, y y n x i y y n n x i + n x i x i < ϵ 2 + ϵ 2 = ϵ olur. (i) kanıtlanmıştır. ii. x i serisinin mutlak yakınsaklığı Teorem 4.4 ten çıkar. Şimdi (i) i uygulayıp kanıtı bitirebiliriz. n x i

293 6. Serilerle İşlemler Serilerle toplama ve çıkarma yapabiliriz. Çarpma da yapılır ama çarpma işleminin tanımlanması toplama ve çıkarma kadar kolay değildir. Önce toplama ve çıkarmayla başlayalım, ardından çarpmaya el atacağız. Bu arada, biraz daha zor olan çarpma bölümünün hayatı çok kolaylaştırdığını, geçmişte kanıtladığımız exp(x + y) = (exp x)(exp y) gibi eşitlikleri kanıtladığı gibi birçok trigonometrik eşitliği de bir çırpıda kanıtladığını söyleyelim. Yani Cauchy çarpımı bölümü ciddiyetle ve dikkatle okunmalıdır. 6. Toplama, Çıkarma ve Bir Sayıyla Çarpma Kolay olan işlemle başlayalım: Toplama. Teorem 6.. Eğer x i ve y i serileri yakınsaksa, o zaman, (x i + y i ) serisi de yakınsaktır ve (xi + y i ) = x i + y i eşitliği geçerlidir. Kanıt: Kanıt çok kolay: (xi + y i ) = lim n Teorem kanıtlanmıştır. = lim n ( n n (x i + y i ) = lim x i + n n x i + lim n ) n y i n y i = x i + y i. Aynı teorem x i ve y i serileri ± a ıraksadıklarında da doğrudur, yeter ki biri diğeri olmasın:

294 Serilerle İşlemler Teorem 6.2. Eğer x i ve y i serileri R de değer alıyorlarsa ve R de xi + y i toplamı tanımlıysa, o zaman, (x i + y i ) serisi de R de değer alır ve (xi + y i ) = x i + y i eşitliği geçerli olur. Kanıt: Okura bırakılmıştır. Alıştırma 6.. Eğer x i serisi ± ye yakınsıyorsa ve y i serisinin kısmi toplamları (alttan/üstten) sınırlıysa, o zaman (x i + y i ) serisinin de ± ye yakınsadığını kanıtlayın. Teorem 6.3. Eğer x i serisi yakınsaksa ve r R ise, o zaman, rx i serisi de yakınsaktır ve rxi = r x i eşitliği geçerlidir. Kanıt: Bunun da kanıtı çok kolay: ( n rxi = lim rx i = lim r n n n x i ) = r lim n n x i = r x i. Aynı sonuç x i serisi ± a ıraksadığında da doğrudur: Teorem 6.4. Eğer x i serisi R kümesinde değer alıyorsa ve r R ise, o zaman, rx i serisi de R kümesinde değer alır ve rx i = r x i eşitliği geçerli olur. Kanıt: Okura bırakılmıştır. Sonuç 6.5. Eğer x i ve y i serileri R de değer alıyorlarsa ve R de xi y i toplamı tanımlıysa, o zaman, (x i y i ) serisi de R de değer alır ve (xi y i ) = x i y i eşitliği geçerlidir. Kanıt: Teorem 6.2 ve Teorem 6.4 ten çıkar. Bunlar kolaydı. Çok daha güçlü bir sonuca geçiyoruz.

295 6.2. Cauchy Çarpımı Cauchy Çarpımı Serilerde çarpmayı tanımlamak biraz daha zordur. İlk akla gelen ( ) ( ) xi yi = x i y i tanımında iş yoktur, hem de hiç iş yoktur, hiçbir işe yaramaz. Çarpmanın tanımı için biraz daha düşünmeliyiz. x i ve y i serilerinin n-inci kısmi toplamlarını çarpalım: (x 0 )(y 0 ) = x 0 y 0 (x 0 + x )(y 0 + y ) = x 0 y 0 + (x 0 y + x y 0 ) + x y (x 0 + x + x 2 )(y 0 + y + y 2 ) = x 0 y 0 + (x 0 y + x y 0 ) + (x 0 y 2 + x y + x 2 y 0 ) +(x y 2 + x 2 y ) + x 2 y 2 (x 0 + x + x 2 + x 3 )(y 0 + y + y 2 + y 3 ) = x 0 y 0 + (x 0 y + x y 0 ) +(x 0 y 2 + x y + x 2 y 0 ) + (x 0 y 3 + x y 2 + x 2 y + x 3 y 0 ) +(x y 3 + x 2 y 2 + x 3 y ) + (x 2 y 3 + x 3 y 2 ) + x 3 y 3 Yukarda, çarpımdaki x i y j terimlerini i+j nin değerlerine göre gruplayalım. Bir anlamda x i, y j ve x i y j terimlerine sanki sırasıyla i, j ve i + j inci dereceden terimlermiş gibi davranalım i + j nin 0 olduğu grup, tüm kısmi çarpımlarda hep aynı kalıyor: x 0 y 0. i + j nin olduğu grup ikinci satırda beliriyor ve o satırdan sonra hiç değişikliğe uğramıyor: x 0 y + x y 0. Öte yandan i + j değerinin 2 ya da daha büyük olduğu gruplar bir süre değişiyorlar, ama bir zaman sonra da sabitleniyorlar. Örneğin i+j nin 2 olduğu grup, ikinci adımda x y olarak beliriyor, ama bir sonraki adımda x 0 y 2 + x y + x 2 y 0 oluyor ve bundan sonra hiç değişmiyor. Ve i + j nin 3 olduğu grup dördüncü adımda sabitleniyor, o adımdan sonra hep (x 0 y 3 + x y 2 + x 2 y + x 3 y 0 ) oluyor. Genel olarak, i + j nin k olduğu grup k + inci adımda sabitlenecek, daha önce değil. Anlaşılacağı üzere, x i serisinin n inci kısmi toplamıyla y i serisinin m inci kısmi toplamını çarpıp, çarpımı yukardaki gibi i + j değerine göre gruplarsak, ( n x i ) m j=0 y j = n+m k=0 i+j=k, i n, j m x i y i

296 Serilerle İşlemler eşitliğini elde ederiz. Sağ tarafta toplanan i+j=k, i n, j m terimleri n ve m ye göre değişir. Ama n k ve m k ise bu terim artık değişmez, yani n ve m yi k dan büyükeşit alırsak değişmez. Ayrıca i+j = k n ise, zorunlu olarak i n olur. O halde, k = n = m alarak, şu tanımı yapmak için yeterli nedenimiz var: x i y j z k = x i y j = x i y j = i+j=k, i k, j k i+j=k k x i y k i. İşte, iki serinin Cauchy çarpımını bu z k lerin toplamı olarak tanımlayacağız: ( ) ( ) xi yi = k z k = k i+j=k x i y j. Tanımın böyle yapılmasının nedeni aşağıdaki teoremde gizli: Teorem 6.6 (Cauchy). x i ve y i serileri mutlak yakınsaksa ve z k yukardaki gibi tanımlanmışsa, o zaman z i serisi de mutlak yakınsaktır ve zi = ( xi ) ( yi ) olur. Kanıt: Bu teoremin kanıtı, yukardaki teoremlerin kanıtından çok daha fazla dikkat ve yoğunlaşma gerektirir. Ama kanıtı muhteşem güzelliktedir. x i y j sayılarını bir tablo halinde yazalım:

297 6.2. Cauchy Çarpımı 289 Ve X n = x 0 + x + + x n, Y n = y 0 + y + + y n, Z n = z 0 + z + + z n, olsun. Şimdi X n Y n çarpımını ve Z n toplamını bir tablo üstünde temsil etmeye çalışalım. Her z k, yukardaki şekildeki k ıncı çaprazın üstündeki sayıların toplamıdır (ve aşağıdaki şekilde gösterilmişlerdir). Örneğin, z n, A n B n çaprazının üstündeki sayıların toplamıdır. Demek ki Z n ve Z 2n sayıları, sırasıyla OA n B n ve OA 2n B 2n üçgenlerinin içinde bulunan sayıların toplamıdır. Ayrıca, X n Y n sayısı, OA n C n B n dörtgeninin içindeki sayıların toplamıdır.

298 Serilerle İşlemler Eğer her x i ve y i 0 ise, şekilden de görüleceği üzere, her n için, Z n X n Y n Z 2n ve dolayısıyla X n Y n Z 2n X 2n Y 2n eşitsizlikleri doğru olur. Eğer X ve Y sayıları sırasıyla x i ve y i serilerinin limitleriyse, son eşitsizlikten ve Sandviç Teoremi nden, (Z n ) n dizisinin limitinin XY olduğu çıkar. Şimdi, x i ve y i sayılarının pozitif olduklarını varsaymaktan vazgeçelim. ve z k = i+j=k x i = x i, y i = x i olsun. Şekilden de görüleceği üzere, eğer tanımını yaparsak, x iy j = x k y x 0y k = n = {(i, j) : i n, j n, i + j > n} X n Y n Z n = x i y j eşitliği ve aynı nedenden, X ny n Z n = x iy j eşitliği geçerlidir. Demek ki, X n Y n Z n = x i y j x i y j = x i y j = x iy j = X ny n Z n olur. Ama kanıtımızın birinci kısmından yukardaki eşitliğin en sağdaki teriminin 0 a yakınsadığını biliyoruz. Demek ki 0 = lim n (X ny n Z n ) = XY lim n Z n, yani Kanıtımız bitmiştir. lim Z n = XY. n

299 6.2. Cauchy Çarpımı 29 Bu teoremi, yakınsak olsunlar veya olmasınlar, x i ve y i serilerinin çarpımının tanımı olarak kullanabiliriz. Eğer z k = i+j=k x i y j = k x i y k i ise, z i serisine x i ve y i serilerinin Cauchy çarpımı adı verilir. Yukardaki teoreme göre eğer xi ve y i serileri mutlak yakınsaksa, Cauchy çarpımıyla limitlerin (sayısal olarak) çarpımları arasında bir fark yoktur. Örnekler 6.2. Yukardaki teoremin bir uygulaması olarak, (exp x)(exp y) = exp(x + y) eşitliğini (bir defa daha) kanıtlayalım. Kanıt: exp serisinin mutlak yakınsak olduğunu bildiğimizden, yukardaki teoremi uygulayabiliriz. x i = x i /i! ve y i = y i /i! olsun. O zaman, z k = i+j=k x i y j = x i y j i! j! = k! k! i!j! xi y i = k! i+j=k i+j=k ( ) k k x i y k i = i olur ve Teorem 6.6 dan dolayı, ( ) ( x i ) y i exp x exp y = = z i = (x + y) i = exp(x + y) i! i! i! (x + y)k k! elde ederiz r < olsun ve Cauchy çarpımında x i = y i = r i alalım. x i mutlak yakınsak olduğundan ve sayısına yakınsadığından, Cauchy çarpımı da mutlak yakınsaktır. Cauchy r çarpımının terimleri, n z n = r i r n i = (n + )r n olduğundan, (n + )r n = ( r) 2 olur Yakınsak iki serinin Cauchy çarpımı yakınsak olmak zorunda değildir. Örneğin, x i = y i = ( )i i + olsun. Gelecek bölümde göreceğimiz Teorem 7. e göre x i = y i yakınsaktır. Cauchy çarpımının terimi ( z n = ( ) n (n + ) + ) 2 n + 3 (n ) + + (n + ) olur. Ama i n + için i (n + i) (n + ) (n + ) = (n + ) 2

300 Serilerle İşlemler olduğundan z n n + (n + ) 2 = olur ve genel terimi 0 a yakınsamadığından z i yakınsak olamaz. Ancak birazdan Cauchy çarpımının yakınsak olması için iki diziden sadece birinin mutlak yakınsak olmasının yettiğini göreceğiz. Alıştırmalar 6.5. Örnek 5.29 dan cos x = ( ) i x 2i (2i)!, sin x = ( ) i x 2i+ (2i + )! tanımlarını anımsayalım. Teorem 6.6 yı kullanarak, her x, y gerçel sayıları için, sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x ve cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y eşitliklerini kanıtlayın Teorem 6.6 yı kullanarak, her x gerçel sayısı için, sin 2 x+cos 2 x = eşitliğini kanıtlayın r < için nr n = r ( r) 2 eşitliğini kanıtlayın. İpucu: Örnek r < için Cauchy çarpım formülünü terimleri x i = r i ve y i = ir i olan serilere uygulayın. İpucu: Alıştırma 6.7. Teorem 6.6 nın geçerli olması için, serilerin ikisinin birden değil, sadece birinin mutlak yakınsak olması yeterlidir: Teorem 6.7 (Mertens). x i mutlak yakınsaksa, y i yakınsaksa ve z k = k x i y j = x i y k i i+j=k olarak tanımlanmışsa, o zaman z i serisi de mutlak yakınsaktır ve zi = ( xi ) ( yi ) olur. Kanıt: Yukardaki teoremin kanıtındaki X n, Y n ve Z n tanımlarını kabul edelim. Herhangi bir ϵ > 0 seçelim. Z n XY sayısının bir zaman sonra ϵ dan küçük olduğunu kanıtlayacağız. Bunun için, önce Z n ifadesiyle oynayalım: n Z n = z k = n n i x i y j = x i = = k=0 i+j n n x i Y n i = n Y k x n k = k=0 n (Y k Y )x n k + Y k=0 j=0 y j n [(Y k Y )x n k + Y x k n ] k=0 n x n k = k=0 n (Y k Y )x n k + Y X n. k=0

301 6.2. Cauchy Çarpımı 293 Demek ki, ve Z n XY = Z n XY n (Y k Y )x n k + Y (X n X) k=0 n Y k Y x n k + Y X n X. k=0 Sağdaki toplamı, n yi yeterince büyük seçerek ϵ dan küçük yapacağız. En sağdaki Y X n X teriminde bir sorun yok. Sorun, toplanan Y k Y x n k ifadelerinde. Eğer k büyükse, Y k Y küçük olur; eğer k küçükse, n k büyük olur ve o zaman da x n k küçük olur; yani her iki durumda da Y k Y x n k ifadesi küçüktür. Bu iyi haber. Ama bu küçük ifadelerden az buz değil, tam n+ tane var; her biri çok küçük de olsa, n çok büyük olduğundan, bu ifadeler toplandığında ϵ u aşabiliriz. Bu sorunu aşmanın bir yolu var. lim n Y n = Y olduğundan, öyle bir N vardır ki, her k > N için, Y k Y < ϵ/3 + x i olur. lim n Y n = Y olduğundan, { Y n Y : n N} kümesi üstten sınırlıdır. lim n x n = 0 olduğundan, öyle bir N 2 vardır ki, her k > N 2 için, ϵ x k < + 3(N + ) sup Y n Y olur. lim n X n = X olduğundan, öyle bir N 3 vardır ki, her n > N 3 için, X n X < ϵ/3 + Y olur. Şimdi N = N + N 2 + N 3 olsun. Her n > N için, n Z n XY Y k Y x n k + Y X n X k=0 N = Y k Y x n k + k=0 k=0 n k=n + N ϵ Y k Y n < + 3(N + ) sup Y n Y + Y k Y x n k + Y X n X k=n + ϵ/3 + x i x n k ϵ/3 + Y + Y (N + )ϵ Y k Y = + 3(N + ) sup Y n Y + ϵ k=n + x n k 3 + ϵ/3 + Y x i + Y < ϵ 3 + ϵ 3 + ϵ 3 = ϵ

302 Serilerle İşlemler eşitlik ve eşitsizliklerini elde ederiz ve böylece kanıtımız tamamlanmış olur. 6.3 Cesàro Ortalaması ve Toplamı Bir (x n ) n dizisinin Cesàro ortalaması, eğer varsa, x + + x n lim n n limitidir, yani dizinin ilk n teriminin aritmetik ortalamasının limitidir. Belki beklenmedik bir şekilde, dizinin ortalamalarının limiti dizinin limitidir. Eğer dizinin limiti varsa elbette... Ama dizinin limiti olmasa da Cesàro ortalaması olabilir. x i = ( ) i+ ise, dizi yakınsak değildir ama kolayca görüleceği üzere dizinin Cesàro ortalaması /2 dir. Bu altbölümde bu sonucu ve bu sonucun serilere olan ilginç bir uygulamasını kanıtlayacağız. Cesàro ortalamalarının hem soyut hem de uygulamalı matematiğin çok önemli bir konusu olan Fourier serilerine önemli uygulamaları vardır. Teorem 6.8 (Cauchy, 82). Eğer lim n x n varsa, Cesàro ortalaması da vardır ve iki sayı birbirine eşittir. Yani lim n x n varsa, olur. x + + x n lim n n = lim n x n Kanıt: lim n x n = x olsun. x i 0 alabileceğimizi gösterelim önce. y n = x n x olsun. O zaman, y + + y n n = (x x) + + (x n x) n = x + + x n n x olur. Demek ki (x n ) n dizisinin Cesàro ortalamasının x olduğunu göstermekle (y n ) n dizisinin Cesàro ortalamasının 0 olduğunu kanıtlamak aynı şey. Dolayısıyla, (y n ) n dizisinin limiti 0 olduğundan, (x n ) n dizisi yerine (y n ) n dizisini alarak bundan böyle lim n x n = 0 varsayımını yapabiliriz. ϵ > 0 verilmiş olsun. s n = x + + x n olsun. lim n x n = 0 olduğundan, her n > N için, x n < ϵ 2 eşitsizliklerinin sağlandığı bir N vardır.

303 6.3. Cesàro Ortalaması ve Toplamı 295 lim n s N /n = 0 olduğundan, her n > M için, s N /n < ϵ/2 eşitsizliklerinin sağlandığı bir M vardır. M yi N den büyük alabiliriz. O zaman, her n > M için, s n = s N n n + x N+ + + x n n s N n + x N+ + + x n n n N tane < ϵ {}}{ 2 + ϵ ϵ 2 = ϵ (n N)ϵ/2 + < ϵ 2 n 2 + nϵ/2 n = ϵ 2 + ϵ 2 = ϵ olur. Bu da, lim n s n /n = 0 eşitliğini, yani teoremi kanıtlar. Örnekler 6.9. x i = /i olsun. Teorem 6.8 e göre, olur Aşağıdaki limiti gösterin: lim n n lim n n n i= i = 0 n i i =. (Bkz. Alıştırma 5.2.) Çözüm: lim n i i = eşitliğinden ve teoremden hemen çıkıyor. 6.. Eğer lim n (x n+ x n ) = l ise lim n x nn = l olduğunu kanıtlayın. Kanıt: y n = x n+ x n olsun. O zaman olur. Ama teoreme göre, i= x n x 0 = y n + y n y 0 olur. Demek ki, y n + y n y 0 lim = l n n x n lim n n = lim x n x 0 y n + y n y 0 = lim = l. n n n n İstediğimiz kanıtlanmıştır. Geometrik ortalama da aritmetik ortalama gibi davranır ama terimleri ve limiti pozitif alma koşuluyla. Yeri gelmişken bunu da kanıtlayalım: Teorem 6.9. (x n ) n, limiti x olan pozitif bir dizi olsun. O zaman limiti vardır ve x e eşittir. lim (x x n ) /n n

304 Serilerle İşlemler Kanıt: Önce x > 0 varsayımını yapalım. Küçük bir ϵ > 0 sayısı seçelim. Bu ϵ sayısının 0 < x ϵ eşitsizliğini sağladığını varsayabiliriz. Her n > N için x n x < ϵ eşitsizliğinin sağlandığı bir N seçelim. x x 2 x N çarpımına a diyelim. O zaman her n > N için, yazarsak, x x 2 x n = x x 2 x N x N+ x n = ax N+ x n a(x ϵ) n N x x 2 x n a(x + ϵ) n N eşitsizliklerini buluruz. Bu eşitsizlikleri biraz daha düzgün yazalım: a (x ϵ) N (x ϵ)n x x 2 x n Her üç tarafın da n inci kökünü alırsak a (x + ϵ) N (x + ϵ)n. ( ) a /n ( ) (x ϵ) N (x ϵ) (x x 2 x n ) /n a /n (x + ϵ) N (x + ϵ) buluruz ve n sonsuza giderken limit alındığında (Alıştırma 6.3 ten dolayı), x ϵ lim n (x x 2 x n ) /n x + ϵ çıkar. Bu da istediğimizi kanıtlar. Eğer x = 0 ise, x n < ϵ eşitsizliğini kullanıp aynı sonucu elde edebiliriz. Daha kolay olan kanıtı okura bırakıyoruz. Aynı sonuç, Teorem 3.26 da kanıtlanan (AG n ) (x x 2 x n ) n x + + x n n eşitsizliğinden ve Teorem 6.8 den de çıkar.

305 6.3. Cesàro Ortalaması ve Toplamı 297 Örnekler 6.2. Teorem 6.9 dan lim n n /n = eşitliğini bir kez daha kanıtlayabiliriz. Nitekim olsun. O zaman x = ve olur. Teoremi uygulamak yeterli Aynı sonucu kullanarak eşitliğini kanıtlayabiliriz. Nitekim x n = n + n x x n = n lim n n n n! = e ( n + x n = n olsun. O zaman x = e olur. Ayrıca sadeleştirmelerden sonra, bulunduğundan, Teorem 6.9 dan, bulunur. Bu da tabii demektir. x x 2 x n = ) n (n + )n n! n + lim n n = e n! lim n n n n! = e Tanım. (x i ) i bir dizi olsun. i x i serisinin kısmi toplamlarına s n diyelim: s n = x + x x n. Bu (x i ) i dizisinin Cesàro toplamı, eğer varsa, s + + s n lim n n limitidir, yani kısmi toplamların aritmetik ortalamalarının limitidir. Teorem 6.0. Eğer i x i serisi yakınsaksa, Cesàro toplamı da vardır ve eşitliği sağlanır. s + + s n lim n n = i= x i Öte yandan i x i serisi yakınsak olmasa da Cesàro toplamı olabilir. Örneğin, x i = ( ) i+ ise, i x i serisi yakınsak değildir ama kolayca görüleceği üzere dizinin Cesàro toplamı /2 dir.

306 Serilerle İşlemler Kanıt: i x i serisi x e yakınsasın. s n = x + + x n olsun. O zaman, varsayıma göre, lim n s n = x. Şimdi (s n ) n dizisine Teorem 6.8 i uygulayalım: buluruz. s + + s n lim n n = x Alıştırmalar 6.4. x n = ( ) n n ve σ n = x + + x n n olsun. lim sup σ n ve lim inf σ n sayılarını bularak (x n ) n dizisinin Cesàro ortalamasının olmadığını gösterin Cesàro ortalaması olmayan ve sadece 0 ve den oluşan bir dizi bulun Limiti olmayan ama Cesàro ortalaması olan bir dizi bulun. Cesàro nun Diğer Toplamları. İtalyan diferansiyel geometrici Ernesto Cesàro ( ) başka toplamlar da bulmuştur. Eğer bir (a n ) n dizisi verilmiş olsun. a n, = a n olsun ve her k 0 doğal sayısı için, (a n,k ) n dizisini şöyle tanımlayalım: Eğer k = 0 alırsak, eşitliğini elde ederiz. Ayrıca, a n,k = n a i,k. a n,0 = a a n = s n a n, = s s n olur, yani a n, kısmi toplamların toplamıdır. Bir başka tanıma daha ihtiyacımız var, (e n ) n dizisi, tümevarımla, e 0 = ve n için e n = 0 olarak tanımlanmış olsun. O zaman e n,k sayıları şöyle olur:

307 6.3. Cesàro Ortalaması ve Toplamı 299 k 0 için (a n ) n dizisinin (C, k)-toplamını şöyle tanımlayalım: a n,k lim. n e n,k (a n ) n dizisinin (C, 0)-toplamı bildiğimiz sonsuz toplamdır: a n,0 lim = lim n e a n,0 = lim n,0 n n n a n, = lim n n a i = a i (a n ) n dizisinin (C, )-toplamı bu bölümde ele aldığımız Cesàro toplamıdır. a n,0 lim = lim n e n,0 n n a n,0 n + s n = lim n n + = lim s n n n. Genel bir teoreme göre, bir dizinin (C, k)-toplamı varsa (C, k + )-toplamı da vardır.

308

309 7. Dalgalanan Seriler 7. Leibniz Testi Önceki bölümlerde daha çok terimleri pozitif sayılar olan serilere bakmıştık. Bu bölümde terimleri bir pozitif bir negatif olan serilere bakacağız. Bakacağımız seriler, a n 0 gerçel sayıları için, ( ) i a i biçiminde yazılan serilerdir. Bu tür serilere dalgalanan ya da alterne seriler denir. Perihan Mağden in tabiriyle içlerinden en en ennnnn bilineni, ( ) i+ i= serisidir. Bu seri yakınsaktır. (Ve limiti ln 2 dir, yani 2 nin doğal logaritmasıdır. Ama henüz logaritma mogaritma görmediğimizden bu ln 2 sayısı okura şimdilik bir şey ifade etmeyebilir.) Yukarda ele alınan ( ) i a i türünden bir serinin yakınsak olması için, Teorem 4.4 te gördüğümüz üzere, i lim a n = 0 n olmalıdır. Ancak bu koşul yetmez, daha fazlasına gerek var. Teorem 7. (Leibniz). (a i ) i azalarak 0 a yakınsayan pozitif bir dizi olsun. O zaman, ( ) i a i serisi yakınsaktır. Kanıt: s n = a 0 a + + ( ) n a n, kısmi toplamlar olsun. dizilerine bakacağız. (s 2n ) n ve (s 2n+ ) n

310 Dalgalanan Seriler Birincisinin azalan, ikincisinin artan olduğunu ve her ikisinin de aynı limite yakınsadığını kanıtlayacağız. Elde ettiğimiz bilgiler aşağıdaki şekli verecek. Sav. (s 2n ) n azalan bir dizidir. Kanıt: s 2n s 2n+2 eşitsizliğini göstermeliyiz. Ama s 2n+2 nin içindeki s 2n yi ortaya çıkarırsak, (a n ) n dizisinin azalan olmasını kullanarak bunu kolaylıkla görebiliriz: s 2n+2 = s 2n + ( ) 2n+ a 2n+ + ( ) 2n+2 a 2n+2 = s 2n a 2n+ + a 2n+2 = s 2n (a 2n+ a 2n+2 ) s 2n. Sav 2. (s 2n+ ) n artan bir dizidir. Kanıt: s 2n+ s 2n+3 eşitsizliğini göstermeliyiz. Kanıt aynen yukardaki gibi: s 2n+3 = s 2n+ + ( ) 2n+2 a 2n+2 + ( ) 2n+3 a 2n+3 = s 2n+ + a 2n+2 a 2n+3 = s 2n+ + (a 2n+2 a 2n+3 ) s 2n+. Sav 3. s 2n s 2n+. Kanıt: Çok kolay: s 2n s 2n+ = a 2n+ 0. Sav 4. Her n ve m için, s 2n+ s 2m. Kanıt: n m varsayımını yapalım. O zaman yukardaki üç savdan, s 2n+ s 2m+ s 2m s 2n. çıkar. n m varsayımında kanıt benzerdir.

311 7.. Leibniz Testi 303 Şimdi teoremin kanıtını bitirebiliriz. Sav 2 ve 4 e göre, (s 2n+ ) n artan ve üstten sınırlı bir dizidir; demek ki bir limiti vardır. Bu limite u adını verirsek, Sav 4 e göre, her m için, u s 2m olur. Sav e ve bu eşitsizliğe göre, (s 2m ) m azalan ve alttan sınırlı bir dizidir; demek ki bir limiti vardır. Bu limite v adını verirsek, yukardaki eşitsizlikten dolayı u v olur. Şimdi Sav 3 ü kullanalım: v u = lim n s 2n lim n s 2n+ = lim n (s 2n s 2n+ ) = lim n a 2n+ = 0. Demek ki u = v ve (s 2n+ ) n ve (s 2n ) n dizileri aynı sayıya yakınsıyorlar. Dolayısıyla (s n ) n dizisi de aynı sayıya yakınsar. Teorem kanıtlanmıştır. Yukardaki kanıttan, her n ve m için, bulunur. Demek ki ayrıca, s 2n+ ( ) i a i s 2m 0 s 2n ( ) i a i s 2n s 2n = a 2n ve 0 ( ) i a i s 2n s 2n 2 s 2n = a 2n olur. Yani her n N için ( ) i a i s n an olur. Bunu da not edelim. Sonuç 7.2 (Kanıtın Sonucu). (a n ) n azalan ve 0 a yakınsayan pozitif bir diziyse, ( ) i a i serisi yakınsaktır ve n ( ) i a i ( ) i a i a n olur. Böylece, ( ) i = i i=

312 Dalgalanan Seriler toplamına, yani henüz bilmediğimiz ln 2 sayısına dilediğimiz kadar (/n kadar) yakınsayabiliriz. Bu seriyi şöyle yazalım: ( ) i i + ve kısmi toplamları (Excel kullanarak) hesapladım: s 0 = s = 0,5 s 2 = 0, s 5 = 0, s 9 0, s 0 0, s 0, s 99 0, s 00 0, s 999 0, s 000 0, Örneğin, s 999 = 0, eşitliğinden, 0, ( ) i bulunur. Nitekim gerçek değer şudur: ( ) i i + 0, i + = 0, Alıştırma 7.. Aşağıdaki serilerin yakınsak olup olmadığını belirleyin. i= ( ) i 3 i, i= ( 2) i i 2, ( 2) i, ( ) i i 3 i i i 3 +, ( ) i i 3 i 4 i 2 +, i= i= ( ) i (e 2), ( ) i 2 +i i i/2 i + 5, ( ) i i + i, ( ) i i 2 i +. ( ) i 2 /i, Örnek 7.2. Genel terimi 0 a gitmeyen serisine bakalım. Bu seriyi önce şöyle parantezleyelim: ( ) ( ) + 4 Bu durumda şunu elde ederiz: Bir de şöyle parantezliyelim: ( ) < 2. ( 2 2 ) ( ) ( ) 7

313 7.2. Riemann Düzenleme Teoremi 305 Bu durumda şunu elde ederiz: >. İki farklı parantezlemeyle farklı toplamlar elde edildiğine göre başlangıçtaki seri yakınsamaz. (Bkz. Teorem 4.8.) 7.2 Riemann Düzenleme Teoremi Pozitif bir serinin terimlerinin yerlerini değiştirirsek yakınsaklığın bozulmayacağını ve limitin değişmeyeceğini gördük (bkz. Teorem 4.3). Yakınsak olan ama mutlak yakınsak olmayan seriler (bu tür serilere koşullu yakınsak seri denir) bu konuda dramatik bir fark gösterirler: Böyle bir serinin terimlerinin yerlerini değiştirirsek seriyi dilediğimiz sayıya yakınsattırabiliriz, hatta dilersek ± a bile ıraksattırabiliriz! Teorem 7.3 (Riemann Düzenleme Teoremi). a i koşullu yakınsak olan bir seri olsun. b R, rastgele olsun. O zaman doğal sayılar kümesi N nin a σ(i) = b eşitliğini sağlayan bir σ eşleşmesi vardır. Kanıt: P = {i N : a i 0} ve N = {i N : a i < 0} olsun. Önce a i ve a i i N i P i serilerinin sırasıyla + ve a yakınsadıklarını kanıtlayalım. Nitekim, eğer ve P n = P {0,,..., n} N n = N {0,,..., n} ise, a i serisinin kısmi toplamı olan s n sayısı, s n = a i + i P n i N n a i eşitliğini sağlar. (s n ) n dizisinin bir limiti olduğundan, i P n a i ve i N n a i serilerinden biri yakınsaksa diğeri de yakınsaktır, biri ıraksaksa diğeri de ıraksaktır. Öte yandan a i serisi mutlak yakınsak olmadığından, ai =

314 Dalgalanan Seriler olur, yani i P n a i i N n a i serisi + a ıraksar, yani hem i P n a i hem i N n a i dizisi yakınsak olamaz. Demek ki i P n a i ve i N n a i serilerinin ikisi birden ıraksaktır, biri + a, diğeri de tabii ki a ıraksar. b nin bir gerçel sayı olduğunu varsayalım. Demek ki i P için, a i leri toplayarak toplamı istediğimiz kadar büyütebiliriz, örneğin b den büyük yapabiliriz ve daha sonra bu toplama i N için, a i leri ekleyerek toplamı istediğimiz kadar küçültebiliriz, örneğin b nin altına inebiliriz. Bu prosedürü böyle, bir ileri bir geri devam ettireceğiz. Aklımıza ilk geleni denersek başarıya ulaşırız. P ve N kümelerini artan bir şekilde göstergeçleyelim: ve için, p(0) < p() < p(2) <... < p(k) <... n(0) < n() < n(2) <... < n(k) <... P = {a p(i) : i N} ve N = {a n(i) : i N} olsun. b nin pozitif olduğunu varsayalım. a p(0), a p(), a p(2),... sayılarını b yi aşana kadar toplayalım ve b yi aştığımız ilk yerde duralım. Diyelim, a p(0) + + a p(k0 ) < b a p(0) + + a p(k0 ). Şimdi toplamına, negatif olan a p(0) + + a p(k0 ) a n(0), a n(), a n(2),... sayılarını, toplam b nin altına inene dek toplayalım. Diyelim a p(0) + +a p(k0 )+a n(0) + +a n(l0 ) < b a p(0) + +a p(k0 )+a n(0) + +a n(l0 ) oluyor. Şimdi toplamına a p(0) + + a p(k0 ) + a n(0) + + a n(l0 ) a p(k0 +), a p(k0 +2),...

315 7.2. Riemann Düzenleme Teoremi 307 terimlerini b yi geçene dek ekleyelim ve b yi geçer geçmez duralım. Bunu böyle sürekli devam edersek, elde edilen a p(0) + + a p(k0 ) + a n(0) + + a n(l0 ) + a p(k0 +) + + a p(k ) + a n(l0 +) + + a n(l ) + a p(k +) + + a p(k2 ) + a n(l +) + + a n(l2 ) + serisi k 0 + adımda b yi aşar, k 0 + l adımda b den küçük olur, sonra k 0 + l 0 + k + 3 adımda tekrar b yi aşar... Ve sonunda b ye yakınsar... Ama söylemek yetmez, bu serinin gerçekten b ye yakınsadığını kanıtlamak gerekiyor. Kanıtlayalım. Burada önemli olan nokta, her i için i k i ve i l i eşitsizlikleri ve lim i a i = 0 eşitliğidir (çünkü a i serisi yakınsaktır). Yani ϵ > 0 ne kadar küçük olursa olsun, eğer M yeterince büyükse i > M için, eklenen a p(ki +j) sayılarının mutlak değerleri ϵ dan küçük olurlar, çünkü p(k i+j ) p(k i ) i > M olur. Dolayısıyla kısmi toplamlar b yi aştıklarında b + ϵ sayısını geçemezler, b nin altına indiklerinde de b ϵ sayısından küçük olamazlar, yani kısmi toplamlar bir zaman sonra (b ϵ, b + ϵ) aralığının içinde kalmak zorunda kalırlar. Örnekler < a < b < olsun olur. ( ) i + + a + b + a 2 + b 2 + a 3 + b 3 + = a i + b i = a + b i+ serisinin terimlerini iki pozitif terim ve bir negatif terim olarak karalım: ( ) i serisinin toplamına l dersek, bu serinin 3l/2 sayısına yakınsadığını kanıtlayacağız. Bunun için, Teorem 4.0 a göre s 3n kısmi toplamlarının 3l/2 sayısına yakınsadığını i+ kanıtlamak yeterli. Yani i= ( 4i 3 + 4i ) = 3l 2i 2 eşitliğini kanıtlamalıyız. Parantezi hesaplayalım önce. Kolay bir hesapla, 4i 3 + 4i 2i = 8i 3 2i(4i 3)(4i ) > 0

316 Dalgalanan Seriler çıkar. Kummer Kıyaslama Kıstası na göre (Teorem 5.7), /i 2 yakınsak olduğundan bu seri de yakınsaktır. Şimdi limiti zekice bir hesapla bulalım: ( s 3n = + 3 ) ( ) ( ) ( n 3 + 4n ) 2n ( = ) ( ) 8 ( ) ( + + 4n 3 4n 2 + 4n 2 + 4n 4n ) 4n (( = ) ( )) (( ) 8 (( ) ( )) (( 4n 3 4n 2 + 4n + 4n ( = n ) + En sondaki dizi de l + l/2 = 3l/2 sayısına yakınsar. ) ( + 4n 2 4n ( 6 )) 8 )) ( n )

317 8. d Alembert ve Cauchy Kıstasları 8. d Alembert Kıstasları Bir serinin yakınsak olup olmadığını anlamak için en pratik yöntemlerden biri bu bölümde kanıtlayacağımız d Alembert Yakınsaklık Kıstası dır. Örneğin bu kıstasla, yakınsaklığını kanıtlamak için Bölüm 0 te bayağı uğraştığımız x i /i! serisinin yakınsaklığı kolayca kanıtlanır. Teorem 8. (d Alembert Yakınsaklık Kıstası). Eğer x i+ lim i x i limiti varsa ve den küçükse, o zaman x i serisi mutlak yakınsaktır. Eğer limit varsa ve den büyükse ya da limit sonsuzsa o zaman seri ıraksar. Eğer limit e üstten yakınsıyorsa da seri ıraksar. Limit olmadığında ya da limit e eşit olduğunda teoremin x i serisi hakkında hiçbir ipucu vermediğine dikkatinizi çekeriz. Nitekim limit olmadığında ya da limit olduğunda, seri yakınsayabilir de ıraksayabilir de. Örnekler 8.. x i = ya da /i ise bildiğimiz üzere seri ıraksar, x i = /i 2 ise seri yakınsar (Örnek 7.0) ve her üç durumda da oranların limiti dir. Demek ki limitin olduğu durumda teoremin bir şey söylememesi, teoremin bir eksikliği değil, doğa öyle emrediyor. Bu arada x i = /i olduğunda, x i+ x i < olur ama gene de x i serisi ıraksar, yani d Alembert kıstasını kullanmak için oranların den küçük olması yetmez, illa limitin den küçük olması gerekir a (, ) olsun. a i serisinin yakınsadığını biliyoruz. Bu serinin terimlerini ikişer ikişer karalım: a + + a 3 + a 2 + a 5 + a 4 + Teorem 4.2 ye göre bu seri de yakınsar. Ama terimlerin oranı tekliğe ya da çiftliğe göre /a ya da a 3 olur ve oranlar dizisi yakınsamaz.

318 30 8. d Alembert ve Cauchy Kıstasları 8.3. k N olsun. Eğer x < ise i k x i serisi mutlak yakınsar. Nitekim bu durumda katsayıların mutlak değerlerinin oranı ( ) (i + ) k x i+ k i + = x x < i k x i i olur. Teoremin son önermesinin kanıtı kolay: Eğer x i+ /x i dizisi e üstten yakınsıyorsa, yani yeterince büyük i ler için x i+ /x i oluyorsa, o zaman seri ıraksar, çünkü o zaman, ( x i ) i dizisi artar ve 0 a yakınsayamaz. Teoremde x i 0 eşitsizliği gerekiyormuş gibi görünse de bu eşitsizliğin bir zaman sonra doğru olması (elbette!) yeterlidir. Teoremi kanıtlamadan önce birkaç standart örnekle teoremin nasıl uygulanacağını gösterelim. İlerde başka örnekler de göreceğiz. Örnekler 8.4. [Geometrik Seri]. x i serisi x < ise mutlak yakınsar. x ise seri ıraksar. Kanıt: x i = x i olduğundan, x i+ x i+ lim = lim = x i x i i x i 8.5. olur ve x ± ise her şey teoremden çıkar. x = ± durumları kolay. (Ama teoremin kanıtı bu örneği kullandığından, bunu teoremin bir uygulaması olarak sunmak bilimsel ahlaksızlık sınıfına girer!) x i /i! serisi her x için mutlak yakınsaktır. Kanıt: x i = x i /i! olduğundan, x i+ lim = lim i x i i x i+ (i+)! x i i! x = lim i i + = 0 < olur ve teoreme göre seri her x için mutlak yakınsaktır. Bu seriye exp x adını vermiştik ve belli bir e gerçel sayısı ve her x Q için exp x = e x eşitliğini kanıtlamıştık. x R için, e x ifadesini tanımladığımızda, exp x = e x eşitliğini her x R için de kanıtlayacağız Her x gerçel sayısı için, cos x = ( ) i x 2i (2i)! ve sin x = ( ) i x 2i+ (2i + )! serileri mutlak yakınsaktır. Kanıt: Aynı yöntemle kanıtlanır. Bu örneği Alıştırma 6.5 de başka bir yöntemle göstermiştik ( 5) i 3 2i+ (i + ) serisi yakınsak mıdır? Çözüm: Teoremde i= x i = ( 5) i 3 2i+ (i + )

319 8.. d Alembert Kıstasları 3 alalım. O zaman, x i+ x i = 5 i+ 3 2i+ (i + ) 5(i + ) = 3 2i+3 (i + 2) 5 i 3 2 (i + 2) 5 9 < olur. Teoreme göre seri yakınsaktır i! i= serisi yakınsak mıdır? 5 i Çözüm: Teoremde x i = i!/5 i alalım. O zaman, x i+ x i = (i + )! 5 i = i + 5 i+ i! 5 > olur ve teoreme göre i!/5 i serisi ıraksaktır. Bir başka kanıt: 5 i i= serisi bilindiği üzere e 5 sayısına yakınsar. Dolayısıyla i! lim i 5i /i! = 0 ve buradan lim i i!/5i = çıkar. Genel terimi 0 a yakınsamadığından i!/5 i serisi yakınsayamaz k N olsun. d Alembert kıstasına göre, eğer x < ise ( ) i + k x i i i serisi mutlak yakınsar, eğer x > ise ıraksar. x = ise de serinin ıraksadığı belli. x = ise de seri ıraksaktır (Alıştırma 4.8). Alıştırmalar 8.0. n= n e n 8.. k Q verilmiş olsun. e n n= n serisinin yakınsak olduğunu gösterin. n= n k e n serisinin yakınsak olduğunu gösterin serisinin ıraksak olduğunu gösterin n n= serisi hangi x sayıları için yakınsaktır? x n 8.4. a Q >0 verilmiş olsun. a n n a serisi hangi a sayıları için yakınsaktır? Teorem 8. in Kanıtı: Limite l diyelim ve önce l < varsayımını yapalım. Her x i yerine x i koyarak, terimlerin pozitif olduklarını varsayabilir ve mutlak değer işaretlerinden kurtulabiliriz. l + ϵ < eşitsizliği geçerli olacak şekilde pozitif bir ϵ sayısı seçelim. Mesela ϵ = ( l)/2 olabilir. x i+ lim = l i x i olduğundan, belli bir N göstergecinden sonra, yani her i N için, l ϵ < x i+ x i < l + ϵ olur. (Aşağıdaki şekle bakın.) Burada önemli olan sadece, her i N için 0 < x i+ x i < l + ϵ < eşitsizlikleri olacak. l + ϵ sayısına s adını verelim.

320 32 8. d Alembert ve Cauchy Kıstasları Demek ki 0 < s < ve her i N için, x i+ < sx i. Yani, İlk iki eşitsizlikten, elde ederiz. Üçüncüsüyle birlikte x N+ < sx N x N+2 < sx N+ x N+3 < sx N+2... x N+2 < sx N+ < s 2 x N x N+3 < sx N+2 < s 2 x N+ < s 3 x N elde ederiz. Genel olarak, kolay bir tümevarımla, her j 0 için, x N+j < s j x N elde ederiz. Şimdi, x i serisinin n > N için s n kısmi toplamlarına bakalım: s n = n x i = N = N x i + n N x i + x N j=0 n x i = i=n s j = N N n N + j=0 x N+j < x i + x N s n N+ s N < n N x i + N j=0 s j x N x i + x N s. En sondaki ifade n den bağımsız olduğundan, böylece (s n ) n artan dizisinin üstten sınırlı olduğunu kanıtlamış oluruz. Demek ki (s n ) n dizisinin limiti vardır ve x i serisi mutlak yakınsaktır. Şimdi l > olsun (l = da olabilir.) Serinin yakınsak olmadığını kanıtlamak için, ( x n ) n dizisinin limitinin 0 olamayacağını kanıtlayacağız (Teorem 4.4). Demek ki gene x n > 0 varsayımını yapabiliriz. Önce l nin bir gerçel sayı olduğunu varsayalım. l ϵ > eşitsizliği geçerli olacak kadar küçük pozitif bir ϵ sayısı seçelim. Mesela ϵ = (l )/2 olabilir. x i+ lim i x i olduğundan, bir zaman sonra, yani belli bir N göstergecinden sonra, yani her i N için, l ϵ < x i+ < l + ϵ x i = l

321 8.. d Alembert Kıstasları 33 olur. Burada önemli olan sadece, her i N için < l ϵ < x i+ x i eşitsizlikleri olacak. l ϵ sayısına s adını verelim. Demek ki s > ve her i N için, x i+ > sx i. Aynı eşitsizliklerin l = ise de geçerli olduğunu kanıtlayalım. Nitekim, x i+ lim i x i = olduğundan, s > ne olursa olsun, yeterince büyük i göstergeçleri için, x i+ x i > s olur. Demek ki l, bir gerçel sayı da olsa, da olsa, öyle bir s > ve N vardır ki, her i N için x i+ > sx i olur. Buradan, i = N için, x N+ > sx N elde ederiz. Bunu ve i = N + için elde edilen eşitsizliği birleştirerek, elde ederiz. Devam edecek olursak, x N+2 > sx N+ > s 2 x N x N+3 > sx N+2 > s 2 x N+ > s 3 x N elde ederiz. Genel olarak, kolay bir tümevarımla, her j 0 için, x N+j > s j x N > x N elde ederiz. Demek ki (x n ) n dizisi 0 a yakınsayamaz. Yakın gelecekte (bu bölümde) bu kıstası genelleştireceğiz. Ama önce çok kullanışlı olan bu kıstasa birkaç örnek daha verelim. Örnekler 8.5. x R için, n=0 serisinin yakınsaklığını tartışın. 4 7 (3n + ) x n (n + )!

322 34 8. d Alembert ve Cauchy Kıstasları Tartışma: d Alembert Kıstasını uygulamaya çalışalım: x n+ x n = 3n + 4 n + 2 x 3x. Demek ki x < /3 ise seri yakınsar, hem de mutlak yakınsar; x > /3 ise seri ıraksar. Ama x = /3 ise d Alembert Kıstası serinin yakınsaklığına ya da ıraksaklığına karar veremez. x = /3 durumunda y n = /n alarak Oran Kıyaslama Testi ni (Sonuç 5.6) uygulayabiliriz: x n+ x n y n+ y n = 3n + 4 n n n + = n + 4 3(n + )(n + 2) > 0 olduğundan, seri x = /3 iken de ıraksar. Eğer x = /3 ise, dalgalı bir seri yle karşı karşıyayız. x = /3 durumunda terimler azalarak (kanıtı kolay) 0 a yakınsadığından (kanıtı zor, bkz. Örnek 9.4) Leibniz testine göre seri x = /3 iken yakınsar Binom katsayılarını ( ) n n! n(n ) (n i + ) = = i i!(n )! i! ve binom açılımını anımsayalım: ( ) n ( + x) n n = x i = i Eğer i > n ise, sayısı 0 a eşit olduğundan, ( + x) n = n n(n ) (n i + ) i! n(n ) (n i + ) x i. i! n(n ) (n i + ) x i i! yazabiliriz. Şimdi sol tarafa değil de sağ tarafa, yani n(n ) (n i + ) x i i! serisine bakalım. Buradaki n doğal sayısını herhangi bir α gerçel sayısı yapalım. Böylece, α ya göre değişen α(α ) (α i + ) f α (x) = x i i! serisini elde ederiz. Elbette, α bir doğal sayı olduğunda, bu seri (sonlu bir toplam olduğundan) yakınsaktır ve her x için, f α(x) = ( + x) α olur. Ve ilginç soru: Diğer α lar için seri ne olur? Hangi x ler f α(x) serisi yakınsar? Yanıt hem şaşırtıcı hem de basit: Eğer α bir doğal sayı değilse, her x < için f α(x) serisi yakınsar. Bunu görmek için d Alembert Kıstası nı uygulamak yeterli: xn+ = α(α ) (α n) x n+ n! (n + )! α(α ) (α n + )x n x n = α n x x. n + Bu seriye ikinci cildin sonuna doğru çok daha etraflıca eğileceğiz.

323 8.. d Alembert Kıstasları Şu serinin yakınsaklığını tartışın ve yakınsak olduğunda toplamı bulun: x 2k x. 2k k= Çözüm: Tabii ki her şeyden önce x ± olmalı, yoksa terimler tanımlı değil. d Alembert kıstasını uygulayalım. k x2 x k = x 2k olsun. O zaman, x 2k+ = x 2k2 = (x 2k) 2 = ( x 2k) ( + x 2k) eşitliğini kullanarak, x k+ x 2k x 2 = = x2 x k x 2k+ x 2k + x 2k elde ederiz. Eğer x < ise, bu ifadenin limiti 0 dır. Eğer x > ise de 0 dır çünkü x 2k + x = 2k /x 2k + x 2k olur ve sağdaki ifadenin paydası sonsuza gider. Demek ki d Alembert kıstasına göre seri her x ± için mutlak yakınsaktır. Serinin limitini bulmak için kısmi toplamları hesaplayalım (bkz. Örnek 4.4): n x n 2k + ( + x 2k ) n x = n = 2k x 2k x + + x 2k 2k x 2k k= k= = n k= x 2k + n k= k k= k k= x = 2k x 2 x 2n = x. x 2n Demek ki eğer x < ise x 2k x = 2k x = x x, eğer x > ise olur. Alıştırmalar i (i!) 2 (2i)! n a n k= k= x 2k x = 2k x serisinin yakınsak olduğunu kanıtlayın. serisinin yakınsak olması için a nın sağlaması gereken koşulları bulun i= serisinin yakınsak olduğunu kanıtlayın. (4i)! i (i!) i Bu serinin /π sayısına yakınsadığı 95 te ünlü Hint matematikçi Srinivasa Ramanujan

324 36 8. d Alembert ve Cauchy Kıstasları d Alembert Kıstası işe yaramadığı zaman, yani limit olduğunda, Altbölüm 9.2 de kanıtlayacağımız Raabe Kıstası da kullanılabilir. Teoremin kanıtına dikkatlice bakacak olursak, varsayımı tam gücüyle kullanmadığımızı görürüz. Nitekim, teoremin birinci kısmının kanıtında, yeterince büyük i ler için, l ϵ < x i+ x i < l + ϵ < eşitsizliklerini değil, yeterince büyük i ler için, 0 < x i+ x i < l + ϵ < eşitsizliklerini kullandık, ve bu son koşul da birincisinden daha zayıf bir koşuldur. Velhasılı kelam, verdiğimiz kanıt, aslında daha genel bir önermenin kanıtıdır. Teorem 8.2 (d Alembert Yakınsaklık Kıstası 2). Eğer lim sup x i+ x i < ise, x i serisi mutlak yakınsaktır. Eğer lim inf x i+ x i > ise seri ıraksar. Kanıt: Her x i yerine x i koyarak, terimlerin pozitif olduklarını varsayıp mutlak değer işaretlerinden kurtulabiliriz. lim sup x i+ x i = l < olsun. l + ϵ < eşitsizliği geçerli olacak şekilde pozitif bir ϵ sayısı seçelim. Mesela olabilir. Önsav 3.5.i e göre, ( ϵ = l 2 xi+ x i i dizisinin sadece sonlu sayıda terimi l + ϵ sayısından büyüktür. Demek ki belli bir N sayısından büyükeşit i ler için, ( ) tarafından anlaşılmıştır. ) x i+ x i < l + ϵ <

325 8.. d Alembert Kıstasları 37 eşitsizliği geçerli olur. Bu aşamada kanıta aynen yukardaki teoremin kanıtındaki gibi devam edebiliriz. Şimdi lim inf x i+ x i = l > varsayımını yapalım. O zaman lim sup x i x i+ = /l < olur. Demek ki teoremin kanıtlanan kısmına göre /x i yakınsar ve dolayısıyla lim n /x n = 0 olur. Buradan da (x n ) n dizisinin limitinin 0 olamayacağı ve dolayısıyla x i serisinin ıraksadığı çıkar. Teoremin ikinci kısmının lim sup için doğru olmadığı, yani lim sup x i+ x i > ise serinin yakınsak olabileceği Örnek 8.2 den anlaşılıyor. Terimlerinde n! gibi faktoryel olan serilerde genellikle d Alembert Kıstası kullanılır. Bir sonraki altbölümde terimlerinde x n gibi n inci güçlerin belirdiği serilerde kullanılan ve d Alembert Kıstası ndan daha genel olan Cauchy kıstasını göreceğiz. Alıştırmalar 8.2. i>0 (i/i ) i serisinin yakınsak olduğunu kanıtlayın lim n a n = l (, ) olsun. a i i serisinin yakınsak olduğunu kanıtlayın Aşağıdaki serilerin her x için yakınsak olduğunu kanıtlayın: cosh x = x 2i (2i)!, sinh x = x 2i+ (2i + )!. Yukarda tanımlanan cosh x ve sinh x serileri R den R ye giden iki fonksiyon tanımlarlar. Bu fonksiyonlara sırasıyla hiperbolik kosinüs ve hiperbolik sinüs adı verilir Aşağıdaki eşitlikleri kanıtlayın: cosh x = exp x + exp( x) 2, sinh x = exp x exp( x) 2, exp x = cosh x + sinh x Şu seriler hangi x ler için yakınsaktır? Önce, her n için, 2 i i! xi, (i!) 2 (2i)! xi, i i x i, i= ( ) n 2n + = 2 n 2i i i x i, x i i! 2 i + 3. i eşitliğini kanıtlayın, sonra, Cauchy çarpımı formülünü kullanarak eşitliğini kanıtlayın. sinh(2x) = 2 cosh x sinh x

326 38 8. d Alembert ve Cauchy Kıstasları 8.2 Cauchy Kıstası (Kök Testi) Seriler konusuna başlar başlamaz geometrik serinin öneminden söz etmiştik. Birçok serinin yakınsaklığı ya da ıraksaklığı, seriyi geometrik seriyle karşılaştırarak anlaşılır. Geçen bölümde gördüğümüz d Alembert Kıstası bu karşılaştırma yöntemlerinden biridir örneğin. (Teoremin kanıtındaki uzun hesaba bakarsanız, d Alembert Kıstası nın geometrik seriyi tam nerede ve nasıl kullandığını görürsünüz.) Bu altbölümde bir seriyi geometrik seriyle karşılaştırmanın bir başka yolunu göreceğiz. Teorem 8.3 (Cauchy Kıstası, namı diğer Kök Testi). x i bir seri olsun. i. Eğer lim i x i /i limiti varsa ve lim i x i /i < ise, x i serisi mutlak yakınsaktır. ii.eğer lim i x i /i > ise (limit da olabilir), x i serisi ıraksaktır. Bir kez daha kıstasın limit e eşit olduğunda herhangi bir fikir beyan etmediğini gözlemleyelim. Limitin olduğu durumlar en ilginç durumlardır. Cauchy Kıstası nı çok sık kullanma gereksinimini duyacağız. Kanıtlamadan önce birkaç standart örnek verelim. Örnekler [Geometrik Seri] x i serisi x < ise mutlak yakınsar. x ise seri ıraksar. Kanıt: x i = x i olduğundan, lim i x i i = lim n xi i = x olur ve x ± ise her şey teoremden çıkar. x = ± durumları kolay. (Ama teoremin kanıtı bu örneği kullandığından, bunu teoremin bir uygulaması olarak sunmak - en hafif tabirle - doğru değildir!) exp x = x i /i! serisi her x için mutlak yakınsaktır. Kanıt: x i = x i /i! olduğundan, sayfa 69 deki örnekte kanıtlanan lim n (n!) /n = eşitliğinden dolayı, lim x i /i = lim i i xi /i x i! = lim i i! = 0 /i olur. Teoreme göre seri her x için mutlak yakınsaktır i /ii serisi yakınsaktır. Kanıt: lim i x i /i = lim i /i = 0 < i /i5i serisi yakınsaktır. Kanıt: /i 5i /i i olduğundan, bir üsttekinden çıkar x R için, ( ) 5n 3n x n 2n + serisinin yakınsaklığını tartışın. Kanıt: Gerekeni yapalım: ( ) 5 3n x 2n +

327 8.2. Cauchy Kıstası (Kök Testi) 39 dizisinin limitinin ne zaman den küçük olduğunu bulmalıyız. Bunu yapmak oldukça kolay: Teoremi uygulayarak, x < (2/3) 5 ise serinin mutlak yakınsak olduğunu, x > (2/3) 5 ise serinin ıraksak olduğunu buluruz. x = (2/3) 5 ise Cauchy Kıstası bir işe yaramaz. x = (2/3) 5 durumunda, seri, ( ) 5n n /3 n + /2 halini alır. Genel terimin limitini alalım: ( ) 5n ( ) 5n n /3 /3n lim = lim = lim n ( /3) 5n n n + /2 n + /2n lim n ( + /2n) 5n = (lim n ( /3n) 3n ) 5/3 e 5/3 = (lim n ( + /2n) 2n ) 5/2 e 0 5/2 Böylece x = (2/3) 5 durumunda serinin ıraksak olduğunu buluruz. x = (2/3) 5 durumunda da serinin genel terimi - aynen yukarda olduğu gibi - 0 a yakınsamaz, dolayısıyla seri bu durumda da ıraksar. Görüldüğü gibi Cauchy Kıstası çok yararlıdır. Genel terimi n ye bağlı bir kuvvet olan serilerde ilk olarak aklımıza Cauchy Kıstası gelmelidir; muhtemelen bizi sonuca götürecektir. Alıştırma i /ii/2 serisinin yakınsak olduğunu kanıtlayın. Teorem 8.3 ün Kanıtı: Limite l diyelim: lim x i /i = l i olsun. Kanıtın ana fikri şöyle: Büyük i ler için x i, l i civarındadır, dolayısıyla xi serisi l i geometrik serisine benzer. Önce l nin den küçük olduğunu varsayalım. x i yerine x i alarak, serinin pozitif bir seri olduğunu varsayabiliriz ve böylece mutlak değer işaretlerinden kurtuluruz. ϵ > 0 sayısı, l + ϵ < eşitsizliğini sağlayacak biçimde seçilsin. Belli bir göstergeçten sonra, diyelim N göstergecinden sonra, l ϵ < x /i i < l + ϵ < olur. Bizim için önemli olan, den küçük belli bir u = l + ϵ ve her i > N için x /i i < u < eşitsizlikleri olacak. (Yani limitin l olduğunu kullanmayacağız bile!) Demek ki her i > N için x i < u i

328 d Alembert ve Cauchy Kıstasları olur. Dolayısıyla, n > N için, n inci kısmi toplama bakacak olursak, n N x i = x i + = N n i=n+ x i N x n + N+ un+ x n + u u < N n i=n+ u i N x n + u N+ x n + u N+ u eşitsizliğini buluruz. Yani kısmi toplamlar üstten sınırlıdır. Demek ki x i serisinin limiti vardır. Şimdi de l > eşitsizliğini varsayalım. Eğer l bir gerçel sayıysa, ϵ > 0 sayısı, l ϵ > eşitsizliğini sağlayacak biçimde seçilsin. Belli bir göstergeçten sonra, diyelim N göstergecinden sonra, < l ϵ < x /i i < l + ϵ olur. Bizim için önemli olan aslında belli bir u > sayısı için (u = l ϵ alın) < u < x /i i eşitsizliklerini sağlayan sonsuz sayıda i bulmak olacak (yani bir kez daha limitin l olduğunu kullanmayacağız.) Kolayca görüleceği üzere böyle bir u, l = ise de vardır. Demek ki her i > N için < u i < x i olur ve x i teriminin limiti 0 olamaz, yani x i serisi yakınsayamaz. Eğer lim i x i /i = ise ama x i /i dizisi e üstten yakınsıyorsa, yani x i /i ise, o zaman seri ıraksar, çünkü o zaman x i olmak zorundadır ve lim i x i limiti kesinlikle 0 olamaz. Örneğin, ( ) n + /3 5n n /2 serisinin ıraksaklığı bu sayede hemen anlaşılır. Kanıttan da anlaşılacağı üzere aslında çok daha genel bir teorem kanıtladık: Teorem 8.4 (Cauchy Kıstası 2). x i bir seri olsun. Eğer lim sup x i /i < ise, x i serisi mutlak yakınsaktır. Eğer lim sup x i /i > ise (dolayısıyla lim inf x i /i > ise de), x i serisi ıraksaktır. Bu teoremin - artık kolay olması gereken - kanıtını okura bırakıyoruz. n u i

329 8.3. Cauchy-d Alembert Karşılaştırması Cauchy-d Alembert Karşılaştırması Bu altbölümde, önceki iki altbölümde gördüğümüz iki kıstası karşılaştıracağız. Cauchy Yakınsaklık Kıstası nın bir anlamda d Alembert Yakınsaklık Kıstası ndan daha genel olduğunu göreceğiz. x Teorem 8.5. (x i ) i pozitif bir dizi olsun. Eğer lim i+ i x i limiti varsa o zaman lim i x /i i limiti de vardır ve iki limit birbirine eşittir: x i+ lim i x/i i = lim. i x i Kanıt: Örnek 3.6 ten çıkar. Alıştırmalar Terimleri a n = n n /n! olan diziye Teorem 8.5 i uygulayarak lim n n (n!) /n = e eşitliğini kanıtlayın Teorem 8.5 i uygulayarak lim n n n = eşitliğini kanıtlayın. Demek ki x i pozitif serisinin yakınsaklığını anlamak için d Alembert Kıstası nı uygulamaya kalkıp, x i+ lim = i x i bulmuşsak, ardından Cauchy Kıstası nı uygulamaya kalkışmak gereksiz bir uğraştır çünkü zorunlu olarak lim i x/i i = bulunacaktır. Ayrıca, önce Cauchy Kıstası nı uygulayıp lim i x/i i = bulmuşsak, o zaman, yukarda kanıtladığımız teoreme göre ya lim i x i+ /x i diye bir limit olmayacaktır ya da bu limit olacaktır ama e eşit olacaktır, yani bu durumda da ikinci kıstası uygulamak nerdeyse gereksizdir. ( Nerdeyse dedik çünkü x i /i dizisi e alttan yakınsamasına rağmen, x i+ / x i dizisi e üstten yakınsayabilir, dolayısıyla seri ıraksayabilir; yani Cauchy Kıstası nın yakınsaklığına karar veremediği bir seriye d Alembert Kıstası bazı ender durumlarda olumsuz yanıt verebilir.) Ama aşağıdaki Örnek 8.38 den anlaşılacağı üzere, x i+ / x i dizisinin limiti olmasa da x i /i dizisinin limiti olabilir.

330 d Alembert ve Cauchy Kıstasları Örnekler < a < b < olsun. Şu seriye bakalım: + + a + b + a 2 + b 2 + a 3 + b 3 + d Alembert kıstasını uygulamaya çalışalım. Dizinin terimlerine x n diyelim. Her n için öyle bir k var ki (k aşağı yukarı n nin yarısı) ya ya da Demek ki, b > a olduğundan x n+ x n = ( a b x n+ x n = a ) k ( ) k b. a lim sup x n+ x n = ve lim inf x n+ x n = 0 olur ve genelleştirilmiş d Alembert kıstası bile serinin yakınsaklşığına ya da ıraksaklığına karar veremez. Cauchy kıstasını uygulamaya çalışalım. Elbette lim (x n) /n = n olur, yani Cauchy kıstası da bu durumda karar veremez. Üstelik limit e soldan gittiğinden, yani her n için (x n) /n < olduğundan Cauchy kıstasının inceliklerinden de yararlanamayız. (Bkz. sayfa 320.) İşin gerçeği: Seri pozitif olduğundan, + + a + b + a 2 + b 2 + a 3 + b 3 + = a i + b i = a + b olur ve seri yakınsaktır! lim n (n!) /n =. Teorem 8.5 te x n = /n! alalım. olduğundan, teoreme göre, x n+ /(n + )! lim = lim = lim n x n n /n! n n + = 0 ( ) /n lim n x/n n = lim = 0 n n! olur. Demek ki, /n! > 0 olduğundan, lim n n! /n = olur lim n n /n =. Teoremde x n = n alalım. x n+ n + lim = lim = n x n n n olduğundan, lim n n /n = olur. Alıştırma a ve b iki pozitif gerçel sayı olsun. Her n doğal sayısı için x n yi şöyle tanımlayalım: { a k b k eğer n = 2k ise x n = a k+ b k eğer n = 2k + ise xi pozitif serisinin yakınsaklığını anlamak için d Alembert ve Cauchy kıstaslarını uygulayın. Hangisi karar verebiliyor? Serinin toplamını bulun.

331 8.4. Yakınsaklık Yarıçapı 323 Not: Bazen ne d Alembert ne Cauchy ne de daha sonra göreceğimiz Raabe kıstası bir serinin yakınsaklığına karar verebilir. Bu durumlarda teleskopik seri yöntemini denemeye çalışmakta yarar vardır. Örneğin Örnek 4.7 ün yakınsaklığına karar vermek için bu bölümde gördüğümüz ve ilerde göreceğimiz kıstaslar karar veremezler ama teleskopik seri fikriyle bu serinin yakınsadığını kolaylıkla kanıtlayabilmiştik. 8.4 Yakınsaklık Yarıçapı Geçmişte, verilmiş bir x gerçel sayısına göre değişen seri örnekleri gördük sık sık. Örneğin, exp x = x i /i! bu tür serilerden biriydi. ai x i biçiminde yazılan serilere kuvvet serisi adı verilir. Tabii kuvvet serileri bazı x ler için yakınsaktır, bazıları için ise değildir. Bu seri gibi, anlamsız bir X için ai X i biçiminde yazılan biçimsel serilere biçimsel kuvvet serisi adı verilir. Üçüncü ciltte biçimsel kuvvet serilerinden uzun uzadıya sözedeceğiz. Dikkat: Biçimsel kuvvet serileri fonksiyon değildirler, sadece anlamsız birer ifadedirler. Eğer biçimsel bir kuvvet serisini, a 0 + a X + a 2 X a n X n + olarak yazarsak, biçimsel kuvvet serilerinin polinomların genelleştirilmiş bir hali olduklarını görürüz; nitekim, eğer her m > n için a m = 0 ise, yukardaki biçimsel kuvvet serisi, a 0 + a X + a 2 X a n X n polinomuna dönüşür. Eğer x gerçel sayısı için a i x i serisi yakınsaksa, o zaman ai X i biçimsel kuvvet serisini x te değerlendirip a i x i sayısını elde ederiz. Bu bölümde irdeleyeceğimiz soru şu: (a i ) i sayı dizisi verilmiş olsun ya da -aynı şey- bir a i X i biçimsel kuvvet serisi verilmiş olsun; hangi x gerçel sayıları için ai x i kuvvet serisi yakınsaktır, ve tabii, hangi x gerçel sayıları için seri ıraksaktır? Biçimsel bir kuvvet serisinin en azından 0 da yakınsak olduğu belli. Ama 0 dan başka hangi sayılarda yakınsaktır?

332 d Alembert ve Cauchy Kıstasları Bu önemli bir soru, çünkü eğer her x B R için a i x i serisi yakınsaksa, o zaman a i X i kuvvet serisi B den R ye giden bir fonksiyon tanımlar: x a i x i ; ve bu tür fonksiyonlar, polinomlardan sonra analizi ve anlaşılması en kolay fonksiyonlardır. Cauchy Kıstası nı kullanarak bu altbölümde bu sorunun yanıtını bulacağız. Teorem 8.6. (a i ) i bir dizi, S = lim sup a i /i R 0 { } ve R = S R 0 { } olsun. O zaman x < R eşitsizliğini sağlayan her x için a i x i serisi mutlak yakınsaktır ve x > R eşitsizliğini sağlayan her x için a i x i serisi ıraksaktır. Cauchy Kıstası sayesinde teoremin kanıtı sadece birkaç satırdan ibaret olacak. Ufuk açıcı olduğunu iddia edemeyeceğimiz kanıta başlamadan önce teoremin kendisini tartışalım. Problemi tersine çevirip şu soruyu da sorabiliriz: Eğer X R ise ve f : X R bir fonksiyonsa, f yi yukardaki gibi bir kuvvet serisi olarak yazabilir miyiz, yani öyle bir (a i ) i dizisi var mıdır ki, her x X için, f(x) = a i x i olsun? Örneğin exp x, tanımı gereği, X = R için, böyle bir fonksiyondur. Bu tür fonksiyonlar ele avuca gelen fonksiyonlar olduğundan, soru ve bu sorunun varyasyonları matematikte ve fizikte önemlidir. Eğer X sonlu bir kümeyse, her f fonksiyonunun bu özelliği vardır, çünkü sonlu küme üstüne tanımlanmış bir fonksiyon her zaman bir polinom (dolayısıyla bir kuvvet serisi) olarak yazılabilir. Marifet, X daha büyük olduğunda, örneğin açık bir aralık olduğunda f nin bu özelliğinin olup olmadığını anlamaktır. Bu tür fonksiyonların analizi polinomların analizi kadar kolay olmasa da polinomların analizinden sadece bir dirhem daha zordur, polinom olmasalar da polinomiyal fonksiyonlara oldukça benzerler. Örneğin eğer n yi yeterince büyük seçersek, + x! + x2 2! + x3 3! + + xn n!

333 8.4. Yakınsaklık Yarıçapı 325 sayısı exp x e çok yakın olur. Zaten hesap makinaları da exp x i bu yöntemle hesaplarlar, belli bir n için, + x + x2 2 + x xn n! sayısını bize exp x diye yuttururlar. Aynı şey sin ve cos gibi aşkın olarak nitelenen fonksiyonlar için de geçerlidir. Zaten biz de bu fonksiyonların tanımını liselerde alışılageldiği gibi dik üçgenler ve düzlem geometrisi kullanılarak değil, kuvvet serileriyle vermiştik: sin x = ( ) i x 2i+ (2i + )!, cos x = ( ) i x2i (2i)!. Yukardaki exp, sin ve cos örneklerinin her biri R de analitik tir, yani kuvvet serileriyle tanımlanan bu fonksiyonlar R den R ye giden fonksiyonlardı. Şimdi f(x) = x gibi daha masum görünüşlü bir fonksiyonu ele alalım. Bu fonksiyon (, ) aralığında bir seri olarak ifade edilebilir. Nitekim, defalarca kanıtlandığımız üzere, her x (, ) için, eşitliği geçerlidir. f(x) = x = x i Teorem 8.6 nın Kanıtı: x = 0 ise her şey bariz. Artık x 0 olsun. Cauchy Teoremi ne göre, lim sup a i x i /i < ise, ai x i serisi mutlak yakınsaktır. Ama lim sup a i x i /i = lim sup a i /i x = x lim sup a i /i olduğundan, lim sup a i x i /i < koşulu, x < lim sup a i /i = R koşuluna denktir. (Bu dediğimiz, /0 = tanımıyla lim sup a i /i = 0 ise de geçerlidir!) Benzer şekilde, x > R ise, serinin ıraksaklığı kolaylıkla gösterilir. İstediğimiz kanıtlanmıştır.

334 d Alembert ve Cauchy Kıstasları R ye a i X i kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı adı verilir. R nin sonsuz olabileceğini unutmayalım, ki bu durumda seri her x için yakınsaktır. Katsayılar büyüdükçe yakınsaklık yarıçapı azalır elbet, ama aynı da kalabilir. x i ve ix i serilerinin ve katsayıları daha da büyük olan i 2 x i serisinin yakınsaklık yarıçapı dir. Örnek 8.40 ın sonunda R nin 0 olduğu bir kuvvet serisi bulacaksınız; bu durumda seri sadece x = 0 için yakınsaktır. Bu arada, teoremin, x = R eşitliği halinde, R = 0 olmadıkça, kuvvet serisinin yakınsaklığı hakkında herhangi bir ipucu vermediğine de dikkatinizi çekeriz. Demek ki, a i X i kuvvet serisi, teoreme göre ( R, R) aralığında tanımlanmış bir fonksiyon veriyor ve bu fonksiyonu en fazla, [ R, R] aralığına uzatabiliriz (o da eğer R sonlu bir sayıysa tabii!) Sonuç 8.7. Eğer a i x i 0 yakınsaksa, o zaman x < x 0 eşitsizliğini sağlayan her x için a i x i serisi mutlak yakınsaktır ve serinin yakınsaklık yarıçapı x 0 olur. Son olarak kanıtlacağımız aşağıdaki sonuç, 0 ı içeren bir aralık sözkonusu olduğunda, biçimsel kuvvet serleriyle kuvvet serileri arasında büyük bir ayrım olmadığını söylüyor. Teorem 8.8. Eğer bir R > 0 ve her x [0, R) için a i x i = b i x i ise o zaman her i için a i = b i olur. Kanıt: c i = a i b i tanımını yaparak, eğer [0, R) üzerinde c i x i = 0 ise her c i nin 0 olduğunu kanıtlamalıyız. Teorem 8.6 ya göre, R yi gerekirse daha küçük seçerek her x [0, R] için c i x i serisinin mutlak yakınsak olduğunu varsayabiliriz. Bu hazırlıklardan sonra teoremin kanıtına geçelim. Kuvvet serisini x = 0 da değerlendirerek, c 0 = 0 eşitliğini elde ederiz. Şimdi c = 0 eşitliğini gösterelim. x 0 için, c = x c i+2 x i olduğundan, c = 0 eşitliğini göstermek için, c i+2 x i serisinin 0 içeren bir aralıkta sınırlı olduğunu göstermek yeterli. (Neden?) Eğer x (0, R) ise, ci+2 x i = c x

335 8.4. Yakınsaklık Yarıçapı 327 olduğundan, c i+2 x i serisi de yakınsaktır; dolayısıyla mutlak yakınsaktır. Demek ki her 0 < x < R için, ci+2 x i ci+2 x i c i+2 S i = B olur. Böylece c = 0 eşitliği ispatlanmış oldu. Aynı yöntemle c 2 = c 3 =... = 0 eşitlikleri gösterilebilir. Örnekler X i /i kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı dir ve bu kuvvet serisi sadece ve sadece x [, ) için yakınsaktır. Kanıt: Teoremi kullanıp, lim sup a i /i = lim sup /i /i = lim /i /i sayısını hesaplayalım. bulacağımızı iddia ediyoruz; demek ki eşitliğini iddia ediyoruz. Ama, lim i /i = lim i i/i = eşitliğini Örnek 8.37 de görmüştük Aşağıdaki kuvvet serilerinin yakınsaklık yarıçapları dur, yani bu seriler her x R için yakınsarlar. X i i!, ( ) i X 2i+ (2i + )!, ( ) i X 2i (2i)!. Kanıt: Sadece birincisini (bir defa daha!) kanıtlayalım. lim sup a i /i = lim sup /i! /i sayısını hesaplayalım. 0 bulacağımızı iddia ediyoruz; bu dediğimiz, Örnek 8.36 da kanıtladığımız lim i! /i = eşitliğinden çıkar. Demek ki, bu örnekteki biçimsel kuvvet serilerinden her biri bize R den R ye giden bir fonksiyon verir. Defalarca söylediğimiz gibi bu fonksiyonlara, sırasıyla, exp, sin ve cos adı verilir. Aslında, X i i! biçimsel kuvvet serisinin her gerçel sayıda yakınsaklığını bildiğimizden (Örnek 8.5), bu kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı dur ve böylece teoremi kullanarak, lim sup i! /i = eşitliğini bir kez daha kanıtlayabiliriz. Yakınsaklık yarıçapı 0 da olabilir. Örneğin, i!x i serisinin yakınsaklık yarıçapı 0 dır, yani bu kuvvet serisini sadece x = 0 da değerlendirebiliriz (ve yanıt çıkar) [BR] Bu örnekte iki serinin Cauchy çarpımının yakınsaklık yarıçapının, çarpılan iki serinin yakınsaklık yarıçaplarından bağımsız olduğunu göreceğiz. a(x) = ( ( )i+ + 3i+ 2 i+ ) x i

336 d Alembert ve Cauchy Kıstasları ve b(x) = i x i 2 olsun. O zaman a(x) serisinin yakınsaklık yarıçapı 2 dir, b(x) inki ise /2 dir. Biraz hesapla, a(x) ile b(x) serilerinin Cauchy çarpımının c(x) = xi 3i+ olduğu görülür. c(x) serisinin yakınsaklık yarıçapı 3 tür. Bunun neden böyle olduğunu anlamak zor değildir. Yakınsaklık yarıçapları içinde a(x) = 3 x 2 + x = 2x (3 x)(2 + x), b(x) = x = x + 2 2x, 2x c(x) = a(x)b(x) = (3 x)(2 + x) x + 2 2x = 3 x olur. Sadeleşmeler, yakınsaklık yarıçapını artırıyor. Bkz. Alıştırma Alıştırmalar a > 0 için, (x a) i serisinin hangi x sayıları için yakınsak olduğunu bulun a ve b, iki pozitif sayı olsun. + bx + abx 2 + a 2 bx 3 + a 2 b 2 x 4 + a 3 b 2 x 5 + serisinin yakınsaklık yarıçapının / ab olduğunu gösterin. (Serinin katsayıları sırasıyla b ve a ile çarpılarak elde ediliyor.) (a n ) n dizisi sınırlıysa a i x i serisinin yakınsaklık yarıçapının en az olduğunu kanıtlayın lim n a n varsa a i x i serisinin yakınsaklık yarıçapının en az olduğunu kanıtlayın. (İpucu: Bir önceki alıştırma.) ai yakınsaksa a ix i serisinin yakınsaklık yarıçapının en az olduğunu kanıtlayın. (İpucu: Bir önceki alıştırma.) İki kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapları r ve r 2 olsun. Bu serilerin Cauchy çarpımının yakınsaklık yarıçapının min{r, r 2} olduğunu gösterin. 8.5 Kuvvet Serilerinin Türev ve İntegralleri i ia ix i kuvvet serisine (bazılarının tahmin edeceği nedenden) i 0 a ix i kuvvet serisinin türevi adı verilir ve bu, ( ) a i X i = ia i X i i= olarak yazılır. Kuvvet serisinin türevinin tanımını, (a 0 + a X + a 2 X a n X n + ) = a + 2a 2 X + 3a 3 X na n X n +

337 8.5. Kuvvet Serilerinin Türev ve İntegralleri 329 olarak vermek, tanımı biraz daha çabuk anlaşılır kılabilir ve yapılacak olası yanlışları önleyebilir, çünkü örneğin, a i X 2i+ kuvvet serisinin türevi, verilen ilk tanıma alel acele bakıp sanılabileceği gibi, değil, (2i + )a i X 2i i= (2i + )a i X 2i olur, çünkü bu kuvvet serisinin ilk terimi a 0 X tir. Bu yüzden, 0 a i X = 0 anlaşmasını yaparak, kuvvet serisinin türevinin tanımını ( ) a i X i = ia i X i. olarak vermek daha pratiktir. Bir kuvvet serisinin türevinin de türevi alınabilir tabii ve bu türev alma işlemini dilediğimiz kadar sürdürebiliriz. Bir kuvvet serisinin türevleri birinci, ikinci, üçüncü... türevler olarak bilinir. Kuvvet serisinin 0 ıncı türevinin kendisine eşit olduğu kabul edilir. Bir f kuvvet serisinin n inci türevini f (n) olarak yazarsak, f (0) = f, f () = f, f (n+) = (f (n) ) eşitlikleri doğrudur. Türevlerin f, f, f iv olarak yazıldığı da olur. Özellikle f ve f pek sık kullanılan bir yazım türüdür. Türeve hemen birkaç örnek verelim. (exp X) = exp X, (sin X) = cos X, (cos X) = sin X.

338 d Alembert ve Cauchy Kıstasları Buradaki exp X, cos X ve sin X tahmin edilen kuvvet serileri anlamına gelirler. Tanımları anımsayarak, bunları teker teker kanıtlayalım. Önce2 exp: (exp x) = ( ) x i = i! i= ix i i! = i= x i (i )! = j=0 x j j! = exp x. Şimdi açıklayamayacağımız haklı nedenlerden, matematikte (exp x) yerine exp x yazılır. Bunun gibi, (sin x) ve (cos x) yerine sin x ve cos x yazılır. Görüldüğü gibi, exp fonksiyonu kendi türevine ve hatta türevlerine eşit: exp = exp = exp (n). Okur, alıştırma olarak türevine eşit olan tüm kuvvet serilerini bulabilir. Şimdi de sin kuvvet serisinin türevini hesaplayalım: sin x = = ( ) ( ) i x 2i+ = (2i + )! ( ) i x2i (2i)! = cos x. ( ) i x 2i (2i + ) (2i + )! Ve en nihayet cos kuvvet serisinin türevi: ( ) cos x = ( ) i x2i = ( ) i (2i) x2i = ( ) i x 2i (2i)! (2i)! (2i )! i= i= = ( ) i x 2i (2i )! = ( ) j x 2j+ = sin x. (2j + )! i= j=0 Demek ki (kuvvet serileri olarak görüldüğünde), sin = sin ve cos = cos; yani sin ve cos kuvvet serilerinin ikinci türevleri bu kuvvet serilerinin negatiflerine eşit. Şimdi durduk yerde kuvvet serilerinin türevleri konusuna niye girdik? sorusunu soran okurları şu teoremi kanıtlayarak yanıtlayalım: Teorem 8.9. Bir kuvvet serisinin ve türevinin yakınsaklık yarıçapları eşittir. 2 Büyük harf X yerine, sanki bir sayıymışçasına küçük harf x i kullanıyoruz. Ama bu yazılım seriyi daha az kuvvet serisi yapmaz tabii.

339 8.5. Kuvvet Serilerinin Türev ve İntegralleri 33 Örneğin, kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı olduğundan, türevi olan ix i, yani i i 0 X i (i + )X i kuvvet serisinin de yakınsaklık yarıçapı dir. Bundan da ix i kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapının olduğu çıkar. (Neden?) i 0 i 0 Teorem 8.9 in Kanıtı: Kuvvet serimiz i 0 a ix i olsun. Bu kuvvet serisinin türevi ia i x i i dir. Ama bu türevin yakınsaklık yarıçapıyla, bunun x le çarpılmışı olan ia i x i i serisinin yakınsaklık yarıçapı aynıdır. Demek ki, lim sup ia i /i = lim sup a i /i eşitliğini kanıtlamamız yeterli; kanıtlayalım: lim sup ia i /i = lim sup a i /i i /i = lim sup a i /i lim i /i = lim sup a i /i. Burada Önsav 3.8 i ve Örnek 8.37 yi kullandık. i 0 b ix i kuvvet serisinin türevi i 0 a ix i ise o zaman b i x i i 0 kuvvet serisine, i 0 a ix i kuvvet serisinin integrali (Fransız etkisinde kalmış eskilerin diliyle entegrali adı verilir.) Elbette, ib i x i = a i x i i i 0 olmalı. Dolayısıyla b 0 herhangi bir gerçel sayı olabilir ama i için, a i = ib i olmalı, yani b 0 sabit terimi dışında, i 0 a ix i kuvvet serisinin integralinin diğer katsayıları tamamıyla a i katsayıları tarafından belirlenmiştir.

340 d Alembert ve Cauchy Kıstasları Teorem 8.0. Bir kuvvet serisinin ve integralinin yakınsaklık yarıçapları eşittir. Kanıt: Okura bırakılmıştır; aynen Teorem 8.9 in kanıtı gibidir. Alıştırma x < için ix i = x ( x) 2 eşitliğini kanıtlayın. Aynı eşitlik < x < 0 için de geçerlidir ama bu kitaptakinden daha derin analiz yapmadan bunu nasıl kanıtlayabileceğimizi göremedik.

341 9. Birkaç Önemli Yakınsaklık Kıstası Daha 9. Riemann Serisi ve Kıstası Geçmişte birçok seriyi geometrik seriyle, yani serisiyle karşılaştırmıştık. Bize çok yardımcı olan bu seriyi dost seri ya da yardımcı seri olarak algılayabiliriz. Seriler konusunda bu nitelemeyi hakeden bir başka tür seri daha vardır. p-serileri ya da Riemann serileri, yani bir p için, ζ(p) = i p türünden yazılan serilerdir bunlar. ζ(p) yazılımı klasiktir. Adına Riemann zeta fonksiyonu denir. (Ama neden fonksiyon dendiği ve fonksiyonsa tanım kümesinin ne olduğu şimdilik bir muamma olmalı.) Matematiğin ve sayılar kuramının en önemli ve en muamma fonksiyonlarından biridir. Asal sayıların dağılımıyla yakın ilişkisi vardır. Eğer p = 2 ise bu serilerin yakınsaklığını geçmişte birçok kez kanıtlamıştık. Dolayısıyla p > 2 ise de bu serinin yakınsaklığını biliyoruz. Öte yandan p < 2 ise bu serinin yakınsaklığı hakkında şimdilik bir şey bilmiyoruz. r i i= Teorem 9.. p kesirli bir sayı olsun. O zaman, i= i p serisi p > ise yakınsaktır, aksi halde ıraksaktır. Bu teorem p R ise de geçerlidir. Teorem 9. ışığında, p R iken i p nin tanımı verildiğinde bunun kanıtı çok kolay olacak.

342 Birkaç Önemli Yakınsaklık Kıstası Daha Birinci Kanıt: Eğer p ise, /n p /n ve olduğundan, olur. Bundan böyle p > olsun. Kısmi toplamların i= i= i = i p = + p sayısı tarafından üstten sınırlandığını kanıtlayacağız, böylece serinin yakınsaklığı kanıtlanmış olacak. Demek ki bir sonraki savı kanıtlamak yeterli. Sav. Eğer p > bir kesirli sayıysa her n 2 için, n i=2 olur. Sav ın Kanıtı: n = 2 için, eşitsizlik, i p n p p 2 p 2 p p eşitsizliğine dönüşür. Yani, p+ 2 p eşitsizliğini kanıtlamalıyız. Önsav 3.8 de x = alırsak, savımız n = 2 için kanıtlanmış olur. Şimdi n 2 için, eşitsizliğini varsayıp, n+ i=2 n i=2 i p n p p (n + ) p ip p eşitsizliğini kanıtlayalım. Böylece savımız tümevarımla kanıtlanmış olacak. Tümevarım varsayımına göre, n+ i=2 i p = n i=2 i p + (n + ) p n p + p (n + ) p

343 9.. Riemann Serisi ve Kıstası 335 olduğundan, n p p + (n + ) p (n + ) p p eşitsizliğini kanıtlamak yeterli. Bu son ifadeyle biraz oynayalım. Önce sonra paydaları eşitleyerek, (n + ) p n p (n + ) p, p p (n + ) p n p (n + ) = (n + ) p nn p n = ( + n) p n n elde ederiz, yani + p ( n + ) p n eşitsizliğini kanıtlamak yeterli. Ama Önsav 3.8 de x = /n alınırsa bunun doğru olduğu görülür. Sav la birlikte teorem de kanıtlanmıştır. Teorem ve Kanıtı Üzerine. Tahmin edileceği üzere, kanıtladığımız teorem sadece kesirli p sayıları için değil, gerçel p sayıları için de geçerlidir. Bunu bir gerçel sayıyla üs almayı öğrendiğimizde göreceğiz. Bu teorem, integral kıstası denen bir kıstasla çok daha kolay biçimde, birkaç satırda kanıtlanır. Kitaplarda da genellikle integral testini kullanan kanıtlar bulunur. (Üçüncü ciltte bu testi göreceğiz.) Aslında verdiğimiz kanıtta yaptığımız, integral kıstasını kullanarak, teoremi kanıtlamak için Sav daki eşitsizliği kanıtlamamız gerektiğini anlayıp, o eşitsizliği elementer yöntemlerle kanıtlamaktan ibarettir; yoksa Sav daki eşitsizliği tahmin etmek ortalama bir ölümlüye nasip olmaz. Yani her ne kadar integral kıstasını kanıtımızda açık açık kullanmamışsak da, bu kıstası üstü kapalı bir biçimde kullandık. Aşağıda aynı teoremin iki değişik kanıtını daha vereceğiz. Teorem 9. in Çok Daha Makul İkinci Kanıtı: olsun. O zaman her k için, S 2 k S 2 k = S n = n i= i p (2 k + ) p + (2 k + 2) p kp olur. Sağ tarafta tam 2 k tane terim var ve her biri /2 (k )p sayısından küçük. Demek ki, S 2 k S 2 k 2 k 2 (k )p = 2 (k )(p ).

344 Birkaç Önemli Yakınsaklık Kıstası Daha Dolayısıyla, S 2 k = (S 2 k S 2 k ) + (S 2 k S 2 k 2) + + (S 2 S ) + S < 2 (k )(p ) + 2 (k 2)(p ) p + + < /2 p + olur ve böylece S 2 k toplamlarının sınırlı olduğu anlaşılır. Bundan, artan bir dizi olan (S n ) n nin de sınırlı olduğu çıkar. Dolayısıyla dizinin limiti vardır. Örnekler 9.. Uygulama olarak, i= i i + serisinin yakınsak olduğunu gösterelim. Bu seriyi, teorem sayesinde yakınsak olduğunu bildiğimiz, i 3/2 i i+ lim i i 3/2 i= dizisiyle karşılaştıracağız. Birinin i inci terimini diğerinin i inci terimine bölüp limiti alalım: i 3/2 = lim i i i + = lim i /2 i = lim = 0,. i i + i i + (En sondaki limitin olduğunun kanıtını okura bırakıyoruz.) Teorem 5.6 ya göre, i i + serisi yakınsaktır serisi yakınsaktır çünkü i(i 2 ) i= i(i2 ) i(i2 i 2 /2) 2 i 3/2 olur ve teoreme göre sağdaki terimlerin serisi yakınsaktır serisiyle karşılaştırarak, i serisinin yakınsak olduğunu görürüz. i 3/2 i p Q olsun. dizisi p > iken yakınsak, aksi halde ıraksaktır. Çünkü p > (2i+) p ise (2i + ) < p (2i) < p 2 p i p olur ve p için (2i + ) p (3i) < p 3 p i p olur Eğer n bir kare değilse a n = /n 2 olsun, eğer n bir kareyse, a n = /n 2/3 olsun. O zaman ai yakınsar çünkü, ai = i + 2 i = 2/3 i kare değil i kare i kare değil olur ve en sağdaki toplamı alınan iki seri yakınsaktır. /i 2 + i 4/3 i 2 + i 4/3

345 9.. Riemann Serisi ve Kıstası 337 Şimdi bu teoremin iki sonucunu yazalım. Sonuçların uygulamalarını daha sonra göreceğiz. Sonuç 9.2 (Riemann Kıstası). x n pozitif bir seri olsun. i. Eğer bir s > için lim n n s x n = 0 ise seri yakınsar. ii. Eğer bir s < için lim n n s x n = ise seri ıraksar. Kanıt: y n = /n s olsun. i. Teoreme göre y n yakınsaktır. Ve varsayıma göre x n lim = 0 n y n olur. Sonuç 5.5 e göre x n yakınsar. ii. Teoreme göre y n ıraksaktır ve varsayıma göre y n lim = 0 n x n olur. Sonuç 5.5 e göre x n ıraksar. Sonuç 9.3. x n pozitif bir seri olsun. z n (s) = x n+ x n ( ) n s + n olsun. i. Eğer her n > N için, z n (s) nin negatif olduğu bir s > ve N varsa, o zaman xn serisi yakınsaktır. ii. Eğer her n > N için, z n (s) nin negatif olduğu bir s ve N varsa, o zaman x n serisi ıraksaktır. Kanıt: Bu sonuç, yukardaki teoremin ve Oran Kıyaslama Teoremi nin (bkz. Sonuç 5.6) doğrudan bir sonucudur. Alıştırmalar 9.6. Aşağıdaki serilerin yakınsaklığını tartışın. i= i + i i +, i= i= i 2 + i + i 3, (2i + ) 2 i 2 (i + ), i= i= i 3 + i + i 2, (2i + ) 2 i(i + ), i=2 i 2 + ( ) i i +, i 3 i + + ( ) i i Eğer s > ise (s )ζ(s) < s eşitsizliğini gösterin. (s )ζ(s) eşitsizliği de doğrudur. Bunları kullanarak, eğer s n > ise ve lim n s n = ise lim n (s n )ζ(s n ) = eşitliğini kanıtlayın.

346 Birkaç Önemli Yakınsaklık Kıstası Daha 9.8. p Q olsun. i> serisi hangi p kesirli sayıları için yakınsaktır? ( n p ) n n Yukardaki alıştırmalarda verdiğimiz örneklerin yakınsaklığı ya da ıraksaklığı d Alembert ya da Cauchy kıstaslarıyla anlaşılamaz; illa Riemann Kıstası nı kullanmak gerekir. Cauchy ve Riemann kıstasları r n geometrik serisini nirengi serisi olarak kabul ettiğinden, bu kıstasların işe yaradığı seriler oldukça çabuk yakınsarlar ya da ıraksarlar. Öte yandan Riemann Kıstası n /np serisini nirengi serisi olarak kabul eder ve p sayısı e yakın olduğunda bu seriler çok zor (yani çok yavaş) yakınsarlar ya da ıraksarlar. Yani Riemann Kıstası unutulmaması gereken oldukça güçlü bir kıstastır. Örnekler 9.9. α(p) = i= ( ) i i p Serisi Eğer p > ise, serinin mutlak yakınsadığı, eğer p ise serinin mutlak yakınsamadığı bu bölümde kanıtlanan teoremden belli. Eğer p 0 ise, serinin ıraksadığı genel terimin 0 a yakınsamamasından anlaşılıyor. Eğer 0 < p ise serinin koşullu yakınsadığı (yani yakınsadığı ama mutlak yakınsamadığı), Bölüm 7 de kanıtladığımız Leibniz Testi nden belli. Sonuç olarak seri, (, 0], (0, ] ve (, ) aralıklarında değişik davranışlar sergiliyor, sırasıyla ıraksıyor, koşullu yakınsıyor ve mutlak yakınsıyor. Anımsarsanız kuvvet serilerinde durum hiç bu kadar çetrefilli değildi. (Bkz. Teorem 8.6.) < q < p kesirli sayılar olsun. n>2 n p n q serisi yakınsak mıdır? Yanıt: Sonuç 9.2 bize sonucu verir: Eğer p > ise seri yakınsar çünkü eğer s kesirli sayısı p > s ve s > q eşitsizliklerini sağlarsa, n s n p n = 0 q n p s /ns q olur. Eğer p < ise seri ıraksar çünkü eğer s = ise olur. 9.. p Q olsun. n s n p n q = i> n n p n q = n p /np q ( n p ) n n serisi hangi p kesirli sayıları için yakınsaktır?

347 9.. Riemann Serisi ve Kıstası 339 Yanıt: ( ( n p ) = n p n n = ( ) ( ) n n n + n ( ) n + n n p n(n ) n + n p ) = n(n ) n n p 2+ /2 = n p 3/2 = n p ( ( ) n n ) n n + n n np n + n n 2 karşılaştırmasından dolayı, eğer p 5/2 ise seri ıraksar, aksi halde yakınsar. n 2 n Teorem 9. in Üçüncü Kanıtı: Üçüncü kanıt daha genel bir teoremden kaynaklanır: Teorem 9.4 (Cauchy). (a n ) n, azalan ve terimleri 0 dan büyük bir dizi olsun. n a n serisinin yakınsak olması için gerek ve yeter koşul, 2 i a 2 i = a + 2a 2 + 4a 4 + 8a 8 + serisinin yakınsak olmasıdır. Kanıt: Kısmi toplamların sınırlı olduklarını göstermek yeterli. s n = a + a a n, t n = a + 2a 2 + 4a n a 2 n, olsun. Eğer n < 2 k ise s n t k olur çünkü s n s 2 k = a + (a 2 + a 3 ) + + (a 2 k + + a 2 k ) a + 2a k a 2 k = t k. Demek ki (t k ) k dizisinin limiti varsa (s n ) n dizisi üstten sınırlıdır ve limiti vardır. Öte yandan eğer n > 2k ise s n t k /2 olur çünkü s n s 2 k = a + a 2 + (a 3 + a 4 ) + + (a 2 k a 2 k) a 2 + a 2 + 2a k a 2 k = t k 2. Demek ki (s n ) n dizisinin limiti varsa (t k ) k dizisi üstten sınırlıdır ve limiti vardır. Teorem 9. bundan kolaylıkla çıkar: i= /ip serisinin yakınsak olması için yeter ve gerek koşul, 2 i (2 i ) p = ( 2 p ) i i= serisinin yakınsak olmasıdır, ki bu geometrik serinin ancak p > için yakınsak olduğunu biliyoruz. i=

348 Birkaç Önemli Yakınsaklık Kıstası Daha Teorem 9.4 daha genel bir teorem vardır. Yeri gelmişken o teoremi de belirtelim: Teorem 9.5 (Cauchy Yoğunlaşma Teoremi). (x n ) n pozitive ve azalan bir dizi olsun. (k n ) n kesin artan bir doğal sayı dizisi olsun. Öyle bir M > 0 sayısının olduğunu varsayalım ki, her 0 < n N için olsun. Bu durumda k n+ k n M(k n k n ). xn ile (k i+ k i )x ki serilerinden biri yakınsaksa diğeri de yakınsaktır. Kanıt: Serilerin kısmi toplamlarına sırasıyla s n ve t n diyelim. n < k m için, tanımıyla, A = x x k0 s n s km A + (x k0 + + x k ) + + (x km + + x km+ ) A + (k k 0 )x k0 + + (k m+ k m )x km = A + t m olur. Bu da (t m ) m dizisi sınırlıysa (s n ) n dizisinin sınırlı olduğunu gösterir. Öte yandan eğer n > k m ise, ve dolayısıyla s n s km (x k x k ) + + (x km a km ) (k k 0 )a k + + (k m k m )a km Ms n (k 2 k )a k + + (k m+ k m )a km = t m t 0 olur. Bu da (s n ) n dizisi sınırlıysa (t m ) m dizisinin sınırlı olduğunu gösterir. 9.2 Raabe Kıstasları Teorem 8. de duyurulan ve kanıtlanan d Alembert Kıstası nı anımsayalım. Aynen şöyle söylüyordu o kıstas: d Alembert Yakınsaklık Kıstası. Eğer x i+ lim i x i limiti varsa ve den küçükse, o zaman x i serisi mutlak yakınsaktır. Eğer limit varsa ve den büyükse ya da sonsuzsa o zaman seri ıraksaktır.

349 9.2. Raabe Kıstasları 34 Limit olduğunda d Alembert Kıstası bize serinin yakınsaklığı hakkında herhangi bir bilgi vermiyor. Örneğin, (2i)! 4 i (i + )!i! serisine d Alembert Kıstası uygulamaya çalışalım (terimleri faktoriyel barındıran serilere genellikle d Alembert Kıstası uygulanmaya çalışılır): (2i+2)! 4 i+ (i+2)!(i+)! (2i)! 4 i (i+)!i! = (2i + 2)(2i + ) 4(i + 2)(i + ). Görüldüğü gibi limit çıktı ve d Alembert Kıstası bize yakınsaklık konusunda bir ipucu vermedi. d Alembert Yakınsaklık Kıstası nın bize yakınsaklık hakkında bir ipucu vermediği bir başka seri, i= serisidir. Ama neyse ki bu serinin limiti olduğunu biliyoruz. Bu altbölümde, limit olduğunda başvurulabilecek bir başka kıstas kanıtlayacağız, Raabe Kıstası. Bu kıstas sayesinde yukardaki serinin yakınsak olup olmadığını anlayabileceğiz. Bir an için, x i pozitif serisinin terimlerinin, i 2 x i+ lim = i x i eşitliğini sağladığını varsayalım. Ve α i terimlerini, α i = x i+ x i olarak tanımlayalım. (α i ) i dizisi elbette 0 a yakınsar ama dizinin 0 a nasıl yakınsadığı önemli. (α i ) i dizisinin (/i) i dizisiyle karşılaştırılması bize x i serisinin yakınsaklığı konusunda ipucu verebilir. Teorem şöyle: Teorem 9.6 (Raabe Kıstası). Eğer ( lim i x ) i+ i x i limiti varsa ve den büyükse o zaman x i serisi mutlak yakınsaktır. Öte yandan limit den küçükse seri ıraksaktır. Limit olduğunda Raabe Kıstası da serinin yakınsaklığı konusunda bir fikir beyan etmekten aciz. Seriler konusunda güçlüklerden ilelebet kurtulmanın yolu yoktur. Doktor ancak ağrı kesici verebiliyor...

350 Birkaç Önemli Yakınsaklık Kıstası Daha Teorem 9.6 nın Birinci Kısmının Kanıtı: Her zaman olduğu gibi x i yerine x i alarak serinin pozitif olduğunu varsayabiliriz ve böylece mutlak değerlerden kurtuluruz. Limite l diyelim. ϵ > 0 sayısı, l ϵ > eşitliğini sağlayacak kadar küçük olsun. Varsayımdan dolayı öyle bir N vardır ki, her i > N için, ( < l ϵ < i x ) i+ < l + ϵ x i olur. Bizim için önemli olan ilk iki eşitsizlik olacak. l ϵ yerine p diyelim. Demek ki yeterince büyük i için, ( < p < i x ) i+ x i olur, yani öyle bir p > vardır ki, yeterince büyük i göstergeçleri için, x i+ x i p i olur. Aslında Raabe Kıstası nı kanıtlamak için sadece bu eşitsizliğe ihtiyacımız olacak, teoremin önermesindeki limitin varlığı ya da yokluğu umurumuzda olmayacak. Dolayısıyla limitten kurtulup çok daha genel bir teorem kanıtlayabiliriz: Teorem 9.7 (Raabe Kıstası II). Eğer x i > 0 ise ve yeterince büyük i göstergeçleri için x i+ p x i i eşitsizliklerinin sağlandığı i den bağımsız bir p > sayısı varsa, o zaman x i serisi yakınsaktır. Kanıt: Teoremi kanıtlamak için Teorem 9. de kullanılan Önsav 3.8 in bir benzerine ihtiyacımız var. Sav. Her p ve 0 < x < gerçel sayıları için px ( x) p eşitsizliği geçerlidir. Bu savı bu notlarda buraya kadar verilen bilgilerle kanıtlamamıza imkân yok, çünkü henüz bir p gerçel sayısı için x gibi bir sayının p inci gücünü almayı henüz tanımlamadık. Bir sayının p inci gücünü sadece kesirli p sayıları için biliyoruz. Ama ne gam! Eğer teoremin varsayımı gerçel bir p sayısı için geçerliyse, o zaman aynı varsayım kesirli bir p sayısı için de geçerlidir. Nitekim, eğer q kesirli sayısı, < q < p eşitsizliklerini sağlıyorsa, yeterince büyük i göstergeci için, x i+ p x i i q i

351 9.2. Raabe Kıstasları 343 olur. Demek ki bundan böyle teoremdeki p nin kesirli olduğunu varsayabiliriz ve yukardaki sav yerine aşağıdaki savı kanıtlamakla yetinebiliriz: Sav 2. Her p kesirli sayısı ve 0 < x < gerçel sayısı için eşitsizliği geçerlidir. Ama bu aynen Önsav px ( x) p Teorem 9.6 nın Birinci Kısmının Kanıtının Devamı: Sav a göre, yeterince büyük i göstergeçleri için, x i+ p ( x i i ) p (i )p /i p = i i p = /(i ) p eşitsizliği doğrudur. Sonuç bundan ve Oran Kıyaslama Teoremi nden (bkz. Sonuç 5.6) çıkar. Nitekim x i serisini, yakınsak olduğunu Teorem 9. den bildiğimiz i= i/p serisiyle kıyaslayabiliriz. Teoremin ikinci kısmının kanıtını okura alıştırma olarak bırakıyoruz. Raabe kıstasının bir başka kanıtı ve farklı ve daha genel bir önerme için bkz Önsav 9.0. Sonuç 9.8. Eğer yeterince büyük i göstergeçleri için x i+ /x i p/i eşitsizliklerinin sağlandığı i den bağımsız bir p > sayısı varsa, o zaman lim i x i = 0 olur. Örnekler 9.2. Bu kıstası uygulayarak, (2i)! 4 i (i + )! i! serisinin yakınsaklığını kanıtlayabiliriz. Kanıt: Eğer x i bu serinin i inci terimiyse, ( i x ) ( ) i+ (2i + 2)(2i + ) i(6i + 6) = i = x i 4(i + 2)(i + ) 4(i + 2)(i + ) 3 2 > olur. Demek ki seri yakınsaktır. Bu serinin, (2i ) (2i + 2) + serisi olduğuna dikkatinizi çekeriz. Buradan da genel terimin 0 a yakınsadığını, yani lim n (2n)! 4 n (n + )! n! = 0 eşitliğini buluruz. Hesapta olmayan başlı başına ilginç bir eşitlik.

352 Birkaç Önemli Yakınsaklık Kıstası Daha 9.3. Raabe Kıstası nı i= görürüz, nitekim, bulunur i i 2 serisine uygularsak serinin yakınsak olduğunu (bir kez daha) ( x ) ( ) i+ i 2 i(2i + ) = i = x i (i + ) 2 (i + ) 2 > 2 i 4 7 (3i + ) (i + )!3 i serisi yakınsak mıdır? Kanıt: d Alembert kıstasının bir sonuç vermeyeceği hemen anlaşılır, çünkü eğer x i yukardaki serinin i inci terimiyse, o zaman, x i+ = 3i + 4 x i 3i + 6 olur ve bu ifadenin limiti dir. Raabe kıstasını uygulamaya çalışalım: ( i x ) ( i+ = i 3i + 4 ) ( ) 2 = i x i 3i + 6 3i + 6 ve bu dizi den küçük olan 2/3 e yakınsar. Raabe kıstasına göre seri ıraksar a ve b iki sayı olsun. Şu seriye bakalım: + + a ( + a)(2 + a) ( + a)(2 + a)(3 + a) b ( + b)(2 + b) ( + b)(2 + b)(3 + b) + Raabe kıstasını uygulamaya çalışalım (mutlak değerleri atarak!): ( ) ( ( + a)(2 + a)... (i + + a) ( + b)(2 + b)... (i + b) i = i i + + a ) ( + b)(2 + b)... (i + + b) ( + a)(2 + a)... (i + a) i + + b = b a + /i + a/i b a olduğundan, b > a + ise seri mutlak yakınsar, b < a + ise seri ıraksar. Eğer b = a + ise Raabe kıstası bize bir şey söylemiyor ama bu durumda serinin genel terimi ( + a)(2 + a) (i + a) (2 + a)(3 + a) (i + + a) = + a i + + a olduğundan, seriyi /i serisiyle kıyaslayarak, serinin ıraksak olduğunu anlarız a, b, c, d gerçel sayılar olsun. Şu seriye bakalım: a(a + c)(a + 2c) (a + ic) b(b + d)(b + 2d) (b + id) Eğer c = d = 0 ve b = alırsak, a i+ geometrik serisini elde ederiz. Dolayısıyla, serimiz genelleştirilmiş bir geometrik seri olarak addedilebilir. Eğer a =, b = 4, c = d = 2 alırsak, Örnek 9.2 u elde ederiz. Eğer a = b = ise Örnek 9.5 yi elde ederiz. Bu serinin hangi a, b, c, d sayıları için yakınsak olduğunu anlamaya çalışalım. Seriye d Alembert Kıstası nı uygulamaya kalkışalım: a + (i + )c b + (i + )d c d

353 9.3. Kummer-Dini Kıstası 345 Eğer c < d ise seri yakınsar, eğer d < c ise seri ıraksar. Ama eğer c = d ise serinin yakınsayıp yakınsamadığını anlayamayız. d = c > 0 durumunda Raabe Kıstası - nı uygulamaya çalışalım. Nitekim yukardaki örnekte olan da bu: d = c = 2 > 0. ( i x ) i+ x i ifadesinin i sonsuza giderken limitini alalım: ( ) ( ) i xi+ a + (i + )c b a = i = i x i b + (i + )c b + (i + )c b a. c Demek ki, eğer c > 0 ise, a(a + c)(a + 2c) (a + ic) b(b + c)(b + 2c) (b + ic) serisi b > a + c ise mutlak yakınsar, b < a + c ise ıraksar. Eğer b = a + c ise bu yöntem bize serinin yakınsaklığı ya da ıraksaklığı hakkında bir şey söylemez; ama /i serisiyle kıyaslayarak bu durumda serinin ıraksak olduğu kolaylıkla gösterilebilir [Hipergeometrik Seri] a, b, c üç sayı olsun. Şu seriye bakalım: + a b a(a + ) b(b + ) a(a + )(a + 2) b(b + )(b + 2) x + c 2 c(c + ) x c(c + )(c + 2) x3 + d Alembert kıstasını kullanmaya çalışalım. u i, x i nin katsayısı olsun. u i+ (a + i + )(b + i + ) = u i (i + 2)(c + i + ) olduğundan, yeterince büyük i için bu oranlar pozitif olacak ve d Alembert (ya da Raabe) kıstasını uygulamak için mutlak değerlere ihtiyaç yok. d Alembert kıstası uygulandığında, serinin x < için mutlak yakınsak olduğu, x > için ıraksak olduğu kolaylıkla çıkar. Bundan böyle x = olsun. Bu durumda Raabe kıstasını uygulamaya çalışalım. j = i + tanımını yaparak, i ( u i+ u i ) = i ( (a + i + )(b + i + ) (i + 2)(c + i + ) ) ( = i ) (a + j)(b + j) (j + )(c + j) j(c a b + ) ab c (c a b + ) ab/j c/j = i = i (j + )(c + j) (j + )(c/j + ) (c a b + ) ab/j c/j = c a b + (c/j + )(j + )/i buluruz. Demek ki c > a + b ise seri yakınsar, c < a + b ise seri ıraksar. c = a + b durumunda da seri yakınsar. Bunun için bkz. [Bro, sayfa 40-4]. 9.3 Kummer-Dini Kıstası Bu altbölümde, d Alembert ve Raabe kıstaslarından daha genel (bkz. Örnek 9.20 ve Sonuç 9.0) bir kıstas göreceğiz 2. İlk olarak Kummer tarafından bulunan bu türden bir kıstas, daha sonra Dini tarafından aşağıda açıklanan biçimiyle kanıtlanmıştır. 2 Bu bölüm için [Bro] dan yararlanılmıştır.

354 Birkaç Önemli Yakınsaklık Kıstası Daha Teorem 9.9. (a n ) n ve (b n ) n iki kesin pozitif dizi ve a n c n = b n b n+ a n+ olsun. i. Eğer lim inf c n > 0 ise a i yakınsaktır. ii. Eğer b i = ve lim sup c n < 0 ise a i = olur. xxxx Bunun tersi de doğru. Eğer a i yakınsaksa koşulu sağlayan (b n ) n vardır. Galiba b n olarak a i serisinin kuyruğunu almak yetiyor. xxxxxxxxxxx Kanıt: i. l = lim inf c n > 0 olsun. O zaman öyle bir 0 < c < l vardır ki her i için yani a i c < c i = b i b i+, a i+ a i b i a i+ b i+ > ca i+ olur. Bu eşitsizlikleri i = 0 dan i = n e kadar toplarsak, sadeleştirmelerden sonra n a 0 b 0 a 0 b 0 a n b n > c elde ederiz. Demek ki a i serisinin kısmi toplamları a 0 b 0 /c den küçüktür, dolayısıyla seri yakınsaktır. ii. l = lim inf c n < 0 olsun. O zaman öyle bir N vardır ki, her i N için yani b i olur. Demek ki her i > N için, a i i= a i+ b i+ = c i < 0, a i b i < a i+ b i+ a i a N b N < a i b i ya da a i > a N b N b i olur, ki bu da a i = eşitliğini gösterir. Örnekler

355 9.4. Dirichlet ve Abel Kıstasları Teorem (a n) n dizisinden ziyade (a n/a n+) n oranlar dizisi üzerine bir varsayım yaptığından, (a n) n dizisi örneği vereceğimize oranlar dizisi örneği vermek yeterli. Bir a sayısı için, a n = n + a a n+ n olsun. b n = n 2 olsun. O zaman a n c n = b n b n+ = n(n + a) (n + ) 2 = (a 2)n a n+ olur. Demek ki eğer a > 2 ise, lim c n = > 0 olur. Böylece teoremin (i) şıkkından a i serisinin a > 2 ise yakınsak olduğu çıkar. (Bir sonraki örnekte daha iyi bir sonuç elde edeceğiz.) /bi yakınsak olduğundan bu durumda teoremin ikinci şıkkını uygulayamayız Gene bir a sayısı için, olsun. Bu sefer b n = n alalım. O zaman a n a n = n + a a n+ n c n = b n b n+ = (n + a) (n + ) = a a n+ olur. Demek ki eğer a > ise, lim c n = a > 0 olur ve teoremin (i) şıkkından a i serisi a > ise yakınsak olur. (Yukardakinden daha iyi bir sonuç.) Bu sefer /b i = olduğundan teoremin (ii) şıkkını da uygulayabiliriz: Eğer a < ise a i serisi ıraksaktır. Eğer a = ise kıstas bir sonuca varamıyor Teoremde b n = alırsak, d Alembert kıstasını buluruz. Sonuç 9.0 (Genelleştirilmiş Raabe Kıstası). ( ) a i pozitif bir seri olsun. i. Eğer lim inf n an a n+ > ise a i yakınsar. ( ) ii. Eğer lim sup n an a n+ < ise a i ıraksar. Kanıt: Teoremde b n = n almak yeterli. 9.4 Dirichlet ve Abel Kıstasları Bu bölümde terimleri illa pozitif olmak zorunda olmayan serilerin yakınsaklığıyla ilgileneceğiz. (a n ) n ve (b n ) n iki dizi olsun. olsun. O zaman () A n = a a n n a i b i = A n b n+ n A i (b i+ b i ) olur. Nitekim sağdaki ifadede, i j < n + ise a i b j terimi bir kez A j b j de bir kez de A j b j de beliriyor, ama bu ifadeler ters işaretli olduklarından bunlar

356 Birkaç Önemli Yakınsaklık Kıstası Daha birbirini götürüyor ve a i b j kalmıyor. i < n + ise a i b n+ ifadeleri de sadeleşiyor. Böylece sağ tarafta sadece a i b i ifadeleri kalıyor. Aynı eşitliği şöyle de kanıtlayabiliriz: A = 0 tanımıyla, n a i b i = n (A i A i )b i = n A i b i n A i b i+ + A n b n+. () formülüne Abel in kısmi toplam formülü adı verilir 3. Şu sonucu elde ettik: Teorem 9.. Eğer A i (b i+ b i ) serisi ve (A n b n+ ) n dizisi yakınsaksa ai b i serisi de yakınsaktır ve olur. ai b i = lim n A nb n+ A i (b i+ b i ) Teorem 9.2 (Dirichlet Kıstası). a i serisi, kısmi toplamları sınırlı olan bir seri ve (b n ) n azalarak 0 a yakınsayan bir dizi olsun. O zaman a i b i serisi yakınsar. Kanıt: A n = a a n olsun. Diyelim her n için A n M. O zaman lim n A n b n+ = 0 olur. Demek ki Teorem 9. e göre A i (b i+ b i ) serisinin yakınsak olduğunu göstermeliyiz. (b n ) n dizisi azaldığından, A i (b i+ b i ) = A i b i+ b i = A i (b i+ b i ) M(b i+ b i ) olur. Ama (b i+ b i ) serisi teleskopiktir ve lim n b n = 0 olduğunu biliyoruz. Demek ki (b i+ b i ) serisi yakınsaktır. Dolayısıyla A i (b i+ b i ) serisi mutlak yakınsaktır. Teorem 9.3 (Abel Kıstası). a i serisi yakınsaksa ve (b n ) n dizisi azalarak ya da artarak yakınsayan bir diziyse a i b i serisi yakınsar. Kanıt: Yukardaki yazılımı kabul edelim. Varsayıma göre A n b n+ yakınsar. Teorem 9. e göre A i (b i+ b i ) serisinin yakınsak olduğunu kanıtlamalıyız. ( A i ) i dizisi üstten M tarafından sınırlanmış olsun. O zaman, A i (b i+ b i ) = A i b i+ b i ±M(b i+ b i ) olur. Terimleri sağdaki ifade olan seri teleskopik bir seridir ve (b i ) i dizisinin limiti vardır, demek ki yakınsaktır; dolayısıyla A i (b i+ b i ) serisi mutlak yakınsaktır. Alıştırmalar 3 İntegral görmüşler için: Bu formülün integrali parçalara ayırmaya (integration by parts) benzediğine dikkatinizi çekeriz.

357 9.4. Dirichlet ve Abel Kıstasları ai serisi yakınsaksa ve (b i b i+) serisi mutlak yakınsaksa a ib i serisinin yakınsak olduğunu kanıtlayın ai serisinin kısmi toplamları sınırlıysa, lim n b n = 0 ise ve (b i b i+) serisi mutlak yakınsaksa a ib i serisinin yakınsak olduğunu kanıtlayın. Bir başka Abel kıstası aşağıda: Teorem 9.4 (Abel Kıstası). i 0 x i bir seri olsun. Şu özellikleri sağlayan (ϵ n ) n ve (y n ) n dizileri varsa,. x n = ϵ n y n, 2. n i=m y i sayıları üstten sınırlıdır, 3. n=0 ϵ n+ ϵ n serisi yakınsaktır, 4. lim n ϵ n = 0, o zaman i 0 x i serisi yakınsaktır. Kanıt: i 0 x i serisinin kısmi toplamlarının bir Cauchy dizisi olduğunu göstereceğiz. Bu amaçla 0 dan büyük herhangi bir ϵ sayısı seçelim. y m,n = n i=m olsun. Varsayıma göre öyle bir A var ki, her m ve n için, olur. Tanımdan dolayı, her i < p için, y m,n A y i y i = y i,p y i+,p olur. Demek ki, her m < n < p için n n n x i = ϵ i y i = ϵ i (y i,p y i+,p ) i=m i=m i=m n = ϵ my m,p + y i+,p (ϵ i+ ϵ i ) ϵ n y n+,p i=m n ϵ m y m,p + y i+,p ϵ i+ ϵ i + ϵ n y n+,p i=m n ( ) A ϵ m + ϵ i+ ϵ i + ϵ n i=m olur. Biz, her m < n için ( ) n n x i A ϵ m + ϵ i+ ϵ i + ϵ n i=m i=m

358 Birkaç Önemli Yakınsaklık Kıstası Daha eşitsizliğini aklımızda tutalım. Şimdi sağdaki ifadeyi (yeterince büyük m < n sayıları için) ϵ dan küçük yapacağız. lim n ϵ n = 0 olduğundan, öyle bir N vardır ki, her n > N için, ϵ n < ϵ 3A olur. Ayrıca, ϵ i+ ϵ i i 0 serisi yakınsak olduğundan, kısmi toplamları bir Cauchy dizisidir ve dolayısıyla öyle bir N 2 vardır ki, her n > m > N 2 için, n i=m ϵ n+ ϵ n < ϵ 3A olur. Şimdi N = max{n, N 2 } olsun. Her n > m > N için, ( ) n n ( ϵ x i A ϵ m + ϵ i+ ϵ i + ϵ n < A 3A + i=m i=m olur. Kanıtımız tamamlanmıştır. ϵ 3A + ϵ ) = ϵ 3A Eğer (ϵ n ) n azalarak 0 a yakınsayan bir diziyse, üçüncü koşul otomatik olarak sağlanır çünkü, n ϵ i+ ϵ i = ϵ 0 ϵ n+ ϵ 0 olur. Bu teoremden yola çıkarak Leibniz teoremini (Teorem 7.) bir kez daha kanıtlayabiliriz: Teorem 9.5 (Leibniz). (ϵ n ) n azalarak 0 a yakınsayan pozitif bir dizi olsun. O zaman ( ) n ϵ n serisi yakınsaktır. Kanıt: x n = ( ) n ϵ n ve y n = ( ) n olsun. Teorem 9.6 nın, 2 ve 4 üncü varsayımları bariz biçimde doğru. 3 üncü varsayım ise Teorem 4.2. Her ne kadar karmaşık sayıları henüz görmediysek ve, en azından bu ve sonraki ciltlerde görmeyeceksek de, bu teoremi terimleri karmaşık sayılar olan ilginç bir seriye uygulayalım: Karmaşık Sayıları Bilenlere Örnek. Eğer z / 2πZ ise e inz n= serisi yakınsaktır. n Kanıt: Eğer z 2πZ, e inz /n = /n olur ve bu durumda serinin sonsuza gittiğini biliyoruz. Şimdi z / 2πZ olsun. Abel Kıstası nda, x n = e inz /n, y n = e inz ve ϵ n = /n olsun. Sadece 2 nci koşulu kanıtlamak biraz zordur. a = e iz olsun. O zaman, n > m için, n y k = k=m n e ikz = k=m n i=m a k = am a n+ a

359 9.4. Dirichlet ve Abel Kıstasları 35 olur ve bu sayıların üstten sınırlı olduklarını kanıtlamak kolaydır. Daha genel olarak eğer (ϵ n ) n azalarak 0 a yakınsayan bir diziyse, z / 2πZ ise ϵ n e inz serisi yakınsaktır. Bunun da kanıtı aynen yukardaki gibidir. Gerçel ve karmaşık kısımları ayırarak, bundan, ϵn cos nz ve ϵ n sin nz serilerinin de yakınsak olduğu çıkar.

360

361 Karışık Alıştırmalar. (a n ) n dizisinin limiti a olsun. Eğer her n, m > N için, a n a m < ϵ ise, her n > N için, a n a < ϵ olduğunu kanıtlayın. 2. a ve b iki gerçel sayı olsun. (x n ) n dizisini şöyle tanımlayalım: x = a, x 2 = b ve her n 2 için, xn + xn 2 x n = 2 olsun. Yani dizinin her terimi önceki iki terimin aritmetik ortalaması. Şimdi y = x ve her n 2 için, y n = x n x n olsun. i. (x n ) n dizisinin yakınsak olduğunu kanıtlayın. İpucu : Dizinin ilk birkaç terimini kâğıt üstünde gösterin. İpucu 2: a b varsayımının bir zararı olamaz. Önce tümevarımla, her k için, x 2k x 2k+ x 2k+2 x 2k eşitsizliklerini kanıtlayın. Demek ki (x 2k ) k dizisi azalmaz, (x 2k+ ) k dizisi artmaz ve her k ve l için x 2k+ x 2l olur. Sonra, gene tümevarımla, x 2k+2 x 2k+ = (b a)/2 k eşitliğini kanıtlayın. Bu kadar ipucu yeterli olmalı. ii. y n serisinin yakınsak olduğunu kanıtlayın. İpucu: Teorem 4.2. iii. Buradan x n nin değerini a ve b cinsinden bulun. İpucu: x n, y n serisinin kısmi toplamıdır. Ayrıca n 2 için, y n = ( ) n b a 2 n 2 dir. iv. lim n x n yi bulun. 3. x R ve x için, x 2 n ( x) 2n+ serisinin yakınsaklığını ve ıraksaklığını tartışın. 4. Aşağıdaki serilerin yakınsak olup olmadıklarına karar verin ve yakınsıyorlarsa hangi sayıya yakınsadıklarını bulun: i= i 2 + 3i + 2 2i 3 + i + 4, i= 5i3 + 2 i i 2i 3 + 3i + 4, 2i +, 2i 2 +, i= i= i i +, i(i + )(i + 2), 2 i 2 i, ( 3 i + 3 i), i=2 5 i 6 i+, 2 i i, 2i + (i 2 + )(i 2 + 2i + 2), 4i 3 i 3 4i. i=3

362 354 Karışık Alıştırmalar 5. Aşağıdaki serilerin yakınsayıp yakınsamadıklarına karar verin: ( ) i i + i, ( ) i i 2 i +, ( ) i 5 3i (3i )!, 5 3i (3i )!, ( ) i i 2 + i 3 +, ( ) i ( ) i + 2i i 6. Aşağıdaki serilerin yakınsaklığına ya da ıraksaklığına karar verin: ( ) i i + 3, i ( ) i i. i=2 7. xi pozitif ve ıraksak bir seri olsun. x i y i = x x i tanımını yapalım. y i serisinin de ıraksadığını kanıtlayın. İpucu: m m k=0 y i+k > x k i+m k=0 x k eşitsizliğini kullanabilirsiniz. k=0 8. Aşağıdaki serilerin hangileri yakınsak, hangileri ıraksaktır? n + n n k, n ( ) n(n+) n, n + ( ) n 2 3 n n, n + n n, n! n + n (n!) 2, n (2n)!, 2 n n! n, 3 n n! n n, n 2 n 2 (k N bir sabit), 2n ( n ) n n, n, n n n, n!, ( n n ). 9. a i, 2 nin virgülden sonraki i inci basamağı olsun. ai x i = + 4x + x 2 + 4x 3 + serisinin yakınsaklık yarıçapının olduğunu kanıtlayın. 0. a 0 = ve i için, { 2ai eğer i çiftse a i+ = 3a i eğer i tekse olsun. a ix i serisinin yakınsaklık yarıçapının / 6 olduğunu kanıtlayın.. Sabit bir r gerçel sayısı alalım. a 0 = ve i için, a i+ a i = i + r i + 2 olsun. a ix i serisinin yakınsaklık yarıçapı kaçtır?

363 Karışık Alıştırmalar cosh x ve sinh x kuvvet serilerinin türevlerini bulunuz. (Bkz. Alıştırma 8.23.) 3. Altbölüm 8.4 teki Cauchy çarpımını ve Cauchy çarpımı hakkındaki teoremleri kullanarak şu (trigonometrik) eşitlikleri kanıtlayın: cos 2 x + sin 2 x =, sin(x + y) = cos x sin y + sin x cos y, cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y. 4. Terimleri a n =! + 2! + 3! + + n! olan dizi yakınsak mıdır? 5. Terimleri a n =! + 2 2! + 3 3! + + n n! olan dizi yakınsak mıdır?

364

365 Kısım IV Ekler 357

366

367 20. Ekler 20. Üs Almak - Yusuf Ünlü Kitabın oldukça erken bir safhasında, Bölüm 3 te, pozitif bir gerçel sayının kesirli bir kuvvetini tanımladık, böylece örneğin, 3 7/5 ya da 2 = 2 /2 gibi üslü sayıların anlamını öğrendik. Altbölüm 3.3 ten hemen sonra okunabilecek ve Yusuf Ünlü ye borçlu olduğumuz bu bölümde, 2 2 ya da 3 2 gibi, bir gerçel sayının sadece kesirli değil, gerçel üssünü tanımlayacağız. Plan şöyle: a 0 gerçel sayısı verilmiş olsun. Eğer (q n ) n kesirli sayı dizisi R de bir sayıya yakınsıyorsa (a qn ) n dizisinin bir Cauchy dizisi, dolayısıyla yakınsak olduğunu kanıtlayacağız (Önsav 20.4). Bu sonuçtan cesaret alarak, eğer (q n ) n dizisi x R sayısına yakınsıyorsa a x sayısını a x = lim n aq n olarak tanımlamayı düşünebiliriz. Ama bunun geçerli bir tanım olması için lim n a qn limitinin x e yakınsayan (q n ) n dizisinden bağımsız olması lazım. Bunu da şöyle kanıtlayacağız. Önce ([nx]/n) n dizisinin x e yakınsadığını kanıtlayacağız (Önsav 20.3). Ardından, a x = lim n a[nx]/n tanımını yapacağız. Son olarak, eğer (q n ) n dizisi x R sayısına yakınsıyorsa a x = lim n aq n eşitliğini kanıtlayacağız (Önsav 20.6) ve böylece istediğimize ulaşmış olacağız. Tabii bir ara, eğer x Q ise Bölüm 3 te tanımlanan a x sayısıyla bu altbölümde tanımlanan a x sayısının birbirine eşit olduklarını göstermemiz gerekecek; bunu da Önsav 20.5 te kanıtlayacağız. Aynı tanıma aşağı yukarı aynı planla ikinci ciltte çok daha genel bir teorem kanıtlayarak ulaşacağız. Bu bölüm boyunca Teorem 3.8 i - referans vermeden - sık sık kullanacağız. Bu konuyla ilgili olarak okur Örnek 6.4 ü ilginç bulabilir.

368 Ekler Önsav 20.. x [, ] kesirli bir sayı ve 0 < a bir gerçel sayı olsun. O zaman a x x a max{, a } olur. Kanıt: Eğer a = ya da x = 0 ise önsavın doğruluğu aşikâr. Bundan böyle a ve 0 < x eşitsizliklerini varsayabiliriz. Dört değişik durum olabilir. Birinci Durum: < a ve 0 < x olsun. Önsav 3.20 ye göre, a x x = ax x a. Demek ki a x x (a ) = x a ve bu durumda önsav kanıtlanmış olur. İkinci Durum: < a ve x < 0 olsun. Bu durumda a x < olur. Dolayısıyla, 0 < x olduğundan a x = a x a x a x x a < x a olur. Üçüncü Durum: 0 < a < ve 0 < x olsun. < a olduğundan birinci durumdan dolayı a x = (a ) x x a olur. Bu eşitsizliği a x ile çarparak, kolaylıkla a x x a (a ) x bulunur. < a ve 0 < x olduğundan x < olur ve yukardaki eşitsizlikten (a ) x < a ve a x x a a elde edilir. Dördüncü ve Son Durum: 0 < a < ve x < 0 olsun. < a ve 0 < x olduğundan birinci durumdan dolayı olur. a x = (a ) x x a = x a a Böylece her durumda önsav kanıtlanmış olur. Eğer k N ise T k (a) = max {a k, a k} tanımını yapalım. Eğer s Q ve s k N ise a s T k (a) olur elbette. Son olarak A k (a) = T k (a) max{, a } tanımını yapalım.

369 20.. Üs Almak - Yusuf Ünlü 36 Önsav r, s Q, k N, 0 < a R olsun. Eğer r s ve s k ise olur. a r a s A k (a) r s a Kanıt: Yukardaki önsavda x = r s alırsak, a r s r s a max{, a } elde ederiz. Her tarafı a s ile çarparsak ve a s max { a k, a k} eşitsizliğini kullanırsak istediğimiz sonucu elde ederiz. Önsav Eğer x R ise lim n [nx] n Kanıt: Her n N için, olduğundan, ve n 0 için = x olur. [nx] nx < [nx] + 0 nx [nx] < 0 x [nx] n < n olur. Buradan da istenen sonuç kolayca çıkar. Önsav < a R ve (q n ) n kesirli bir sayı dizisi olsun. Eğer (q n ) n dizisi (R de) yakınsaksa, (a q n ) n dizisi bir Cauchy dizisidir. Kanıt: a varsayımını yapabiliriz. (q n ) n dizisi yakınsak olduğundan sınırlıdır. k N, dizinin mutlak değerlerinin bir üstsınırı olsun. ϵ > 0 olsun. Eğer q n q m < ise, Önsav 20.2 den dolayı, a q n a q m A k (a) a q n q m olur. Dolayısıyla, verilmiş bir ϵ > 0 için N sayısını, her n, m > N için, { } ϵ q n q m < min, A k (a) a eşitsizliği doğru olacak biçimde seçersek, her n, m > N için, a q n a q m A k (a) a q n q m < ϵ olur. Böylece (a q n ) n dizisinin Cauchy dizisi olduğu kanıtlanmış oldu. Şimdi artık üs almayı tanımlayabiliriz. Ama daha önce tanımladığımız üs almayla birazdan tanımlayacağımız üs almayı kısa bir süre için ayrıştırmalıyız.

370 Ekler Aşağıda önce a x ifadesini tanımlayacağız; hemen sonra da, x Q için bu ifadenin Altbölüm 3. de tanımladığımız (ve çok eskiden beri aşina olduğumuz) a x ifadesine eşit olduğunu göstereceğiz. Tanım. a R >0 ve x R olsun. a x sayısını şöyle tanımlayalım: Önsav x Q için a x = a x. a x = lim n a[nx]/n. Kanıt: Eğer x Z ise a x = a x eşitliği tanımdan hemen anlaşılıyor, çünkü ne de olsa [nx] = nx. Demek ki önsav x Z için doğru. Şimdi p ve q > 0 tamsayıları için x = p/q olsun. (a [qnx]/qn ) n dizisi (a [nx]/n ) n dizisinin bir altdizisi olduğundan, tanımda n yerine qn alarak, (a x ) q = ( lim n a [nx]/n) q = ( limn a [qnx]/qn) q = ( lim n a [np]/qn) q = limn a [np]/n = a p = a p elde ederiz. (Sondan iki önceki eşitlikte Teorem 5.4.vi yı kullandık.) a x = a p/q = a x eşitliği kanıtlanmıştır. Bundan böyle a x yerine a x yazacağız; bu hakkı yukarda elde ettik. Şimdi de tanımın x e yakınsayan ([nx]/n) n dizisinden bağımsız olduğunu gösterelim. Önsav Eğer (q n ) n kesirli sayı dizisi x e yakınsıyorsa, o zaman olur. lim n aq n = a x Kanıt: x in mutlak değerinden büyük bir k N seçelim. Önsav 20.3 ten dolayı, ( lim q n [nx] ) = lim n n q [nx] n lim n n n = x x = 0 olduğundan, yeterince büyük n doğal sayıları için, q n < 2k, [nx] n < 2k ve q n [nx] n < olur. Önsav 20.2 den dolayı, bu tür n ler için, 0 a qn a [nx]/n A2k (a) a q n [nx] n olur. a, k ve A 2k (a) sayıları n ye göre sabit olduklarından, sağ tarafın limiti (n sonsuza gittiğinde) 0 dır. Sandviç Teoremi ne göre sol taraf da 0 a gider.

371 20.2. Çifte Diziler ve Seriler 363 Teorem Her x, y R ve a 0 için a x+y = a x a y ve (a x ) y = a xy olur. Kanıt: a 0, varsayımını yapabiliriz. Birincisi Önsav 20.6 nın nerdeyse doğrudan bir sonucu. İkincisini kanıtlayalım. (p n) n ve (q n ) n kesirli sayı dizileri sırasıyla x ve y ye yakınsasınlar. O zaman (p n q n ) n kesirli sayı dizisi xy ye yakınsar. Demek ki, ( lim n eşitliğini, yani Teorem 5.4.vi ya göre, ( lim n ) qn lim m apm = lim n apnqn ) lim m apmqn = lim n apnqn eşitliğini kanıtlamalıyız. Tüm p m q n ve q n kesirli sayılarından daha büyük bir b pozitif doğal sayısı seçelim. Rastgele bir 0 < ϵ < A b (a) a seçelim. Son olarak, öyle bir N sayısı seçelim ki, her n, m > N için, olsun. Bu durumda, p m p n < ϵ 2bA b (a) a p m q n p n q n = p m p n q n < p m p n b < ϵ 2A b (a) a olur. En sağdaki sayı /2 den, dolayısıyla den de küçük olduğundan, Önsav 20.4 e göre a pmqn a pnqn < A b (a) p m q n p n q n a < ϵ 2 olur. Yukardaki eşitsizlikte m yi sonsuza götürürsek, her n > N için, ϵ lim m apmqn a pnqn 2 < ϵ ve bu da istediğimizi kanıtlar Çifte Diziler ve Seriler Tanım kümesi N N olan bir fonksiyona çifte dizi adı verilir 2. Eğer fonksiyon a ise, a(n, m) yerine a n,m yazılır ve çifte dizi (a n,m ) n,m olarak gösterilir. 2 Bu bölüm için [A] dan yararlanılmıştır.

372 Ekler Bundan böyle her n, m N için a n,m teriminin bir gerçel sayı olduğunu varsayacağız. a R olsun. (Yukardaki paragraftaki a yı artık unutabiliriz.) Eğer her ϵ > 0 sayısı için, n, m > N a n,m a < ϵ önermesini sağlayan bir N varsa, a ya (a n,m ) n,m çifte dizisinin limiti denir. Bu durumda ikinci bir limit daha olamaz ve yazılır. Örnekler lim a n,m = a n,m 20.. Her n, m N \ {0} için a n,m = nm n 2 + m 2 olsun. Bu durumda a n,n = /2 ve a n,2n = /5 bulunur. Demek ki bu örnekte çifte dizinin limiti yoktur Her n, m N \ {0} için a n,m = n + m n 2 + m 2 olsun. Bu durumda limit vardır ve 0 a eşittir. Nitekim ϵ > 0 olsun. N sayısı, N > 2/ϵ eşitsizliği doğru olacak kadar büyük seçelim. O zaman her n, m > N için, olur. n + m n 2 + m 2 = n n 2 + m 2 + m n 2 + m 2 < n n 2 + m m 2 = n + m < N + N = 2 N < ϵ lim n (lim m a n,m ) ile lim n,m a n,m birbirine karıştırılmamalı. Nitekim Örnek 20. de ( ) nm lim lim n m n 2 + m 2 = lim 0 = 0 n eşitliğini gördük ama lim n,m nm n 2 + m 2 limiti yoktu. Öte yandan şu teorem geçerlidir: Teorem lim n,m a n,m = a olsun. Ayrıca her n için lim m a n,m limitinin olduğunu varsayalım. O zaman lim n (lim m a n,m ) vardır ve a ya eşittir. Kanıt: a n = lim m a n,m olsun. ϵ > 0 verilmiş olsun. Yeterince büyük n sayıları için a n a < ϵ

373 20.2. Çifte Diziler ve Seriler 365 eşitsizliğini göstereceğiz ve bu da istediğimizi kanıtlayacak. lim n,m a n,m = a olduğundan, öyle bir N vardır ki her n, m > N için, a n,m a < ϵ 2 olur. Her n için a n = lim m a n,m olduğundan, öyle bir N 2 (n) vardır ki, eğer m > N 2 (n) ise, a n a n,m < ϵ 2 olur. Şimdi n > N verilmiş olsun. Bir m > max{n, N 2 (n)} sayısı seçelim. O zaman yukardaki iki eşitsizlik n ve m için doğru olur. Demek ki, Kanıtımız tamamlanmıştır. a n a a n a n,m + a n,m a < ϵ 2 + ϵ 2 = ϵ. (a n,m ) n,m bir çifte dizi olsun. i,j a i,j ifadesine çifte seri denir. Standart serilerle yaptığımız gibi, bazı durumlarda, (şimdilik anlamsız olan) i,j a i,j ifadesini birazdan bir gerçel sayı ya da ± olarak anlamlandıracağız. s n,m = n m i= j= a i,j olsun. s n,m sayısına i,j a i,j çifte serisinin kısmi toplamı adı verilir. Eğer lim n,m s n,m limiti varsa ve a ise (a = ± bile olsa), a i,j = a i,j yazılır. Eğer limit ± ise çifte serinin ± a ıraksadığı, aksi halde çifte serinin yakınsak olduğu ve a gerçel sayısına yakınsadığı ya da serinin toplamının a olduğu söylenir. i,j a i,j yerine çoğu zaman a i,j yazacağız. Toplamlar i = 0 ya da j = 0 dan başlamak zorunda değiller elbet. Örneğin çifte serisinde i = j = 0 olamaz. ij i 2 + j 2

374 Ekler Eğer a i,j çifte serisi yakınsaksa a i,j çifte serisi de yakınsaktır (bunun kanıtını okura bırakıyoruz) ve bu durumda a i,j çifte serisinin mutlak yakınsak olduğu söylenir. ai,j bir çifte seri olsun ve f : N N N bir eşleme olsun. O zaman k a f(k) dizisine a i,j çifte serisinin (yeniden) dizilişi adı verilir. Teorem a i,j bir çifte seri ve a f(k) bu çifte serinin bir dizilişi olsun. i. a f(k) serisiyle a i,j çifte serisinden biri mutlak yakınsaksa diğeri de mutlak yakınsaktır. Eğer a i,j çifte serisi mutlak yakınsaksa ve toplamı a ise şunlar doğrudur: ii. k a f(k) = a olur. iii. i a i,j ve j a i,j serileri mutlak yakınsaktır. iv. x j = i a i,j ve y i = j a i,j olsun. O zaman j x j ve i y i serileri mutlak yakınsaktır ve toplamları a dır. Kanıt: Eğer a i,j çifte serisi mutlak yakınsaksa, a f(k) serisinin kısmi toplamları a i,j çifte serisinin münasip kısmi toplamlarından küçükeşit olduğundan, elbette a f(k) serisi mutlak yakınsar. f örten olduğundan, diğer istikamet de benzer şekilde kanıtlanır. Bundan böyle a i,j çifte serisinin mutlak yakınsak olduğunu ve toplamın a olduğunu varsayalım. Önce a f(k) serisinin toplamının f fonksiyonundan bağımsız olduğunu kanıtlayalım. g : N N N bir başka eşleme olsun. af(k) = a g(k) eşitliğini kanıtlayacağız. b k = a f(k) ve c k = a g(k) tanımlarını yapalım. Ayrıca h = g f : N N olsun. h bir eşlemedir. Bu durumda, c h(k) = a g(h(k)) = a f(k) ve dolayısıyla Teorem 5.9 a göre, ag(k) = c k = c h(k) = a f(k) olur. İstediğimizi kanıtladık. Bu ortak toplama a adını verelim. Daha sonra a = a eşitliğini kanıtlayacağız. i a i,j ve j a i,j serileri a f(k) serisinin altdizileri olduğundan (iii) önermesi bariz.

375 20.2. Çifte Diziler ve Seriler 367 j x j ve i y i serilerinin mutlak yakınsaklığı Teorem 5.0 dan çıkar. Aynı teoremden bu toplamlarının a sayısına eşit olduğu çıkar. Geriye a = a eşitliğini kanıtlamak kaldı. S n,m = n m a i,j j=0 ve A = lim n,m S n,m olsun. ϵ > 0 olsun. Öyle bir N seçelim ki, n, m N ise 0 A S n,m < ϵ 2 olsun. n t n = a f(i) ve s n,m = tanımlarını yapalım. M yi, n m j=0 a i,j {(i, j) : i, j = 0,,..., N} {f(0),..., f(m)} içindeliği doğru olacak kadar büyük seçelim. f fonksiyonu örten olduğundan bu mümkündür. O zaman t M s N,N toplamında beliren a i,j terimlerinde ya i > N ya da j > N olmak zorundadır, çünkü diğerleri sadeleşir. Demek ki n M ise, üçgen eşitsizliğinden, çıkar. Benzer nedenden, t n s N,N A S N,N < ϵ 2 a s N,N A S N,N < ϵ 2 olur. Son iki satırdan da n M ise t n a < ϵ bulunur. Demek ki a = a olur. Kanıtımız tamamlanmıştır. Örnek Her n, m N için eğer m = n + ise a n,m = eğer m = n ise 0 aksi halde

376 Ekler olsun. Bir tablo halinde yazacak olursak a n,m sayıları şöyle olur (sütunlar m yi, sıralar n yi göstersin): Böylece olur. Demek ki, olur. Öte yandan, olur. Demek ki,.. a n,m = m n a n,m =..... { eğer n = 0 ise 0 eğer n > 0 ise a n,m = n m { eğer m = 0 ise 0 eğer m > 0 ise a n,m = m olur. Demek ki Teorem 20.9 a göre i,j a i,j çifte serisi yakınsak değildir, nitekim eğer n > m ise s n,m eğer m > n ise = 0 eğer m = n ise olur. n a n,m ve n m a n,m serileri- Aşağıdaki teorem bazı durumlarda m nin eşit olduğunu söylüyor: n Teorem Her n, m N için a n,m 0 olsun. Her j için i a i,j serisi ve j i a i,j serisi yakınsak olsun. O zaman her i için j a i,j serisi ve i j a i,j serisi yakınsaktır ve a i,j = a i,j i j j i olur. Kanıt: Her j için a n,j i a i,j olduğundan, m a n,j j=0 m a i,j j=0 i olur. Bu eşitsizlikte m yi sonsuza götürürsek, her n için j=0 a n,j serisinin yakınsak olduğunu görürüz. Bu, birinci önerme. İkincisini kanıtlayalım. y j = j=0 i a i,j

377 20.2. Çifte Diziler ve Seriler 369 i a i,j ve x i = j=0 a i,j olsun. j=0 y j x i eşitliğini kanıtlamalıyız. İşte kanıtı: ( m m y j = a i,j = j=0 j=0 = lim = n i j=0 m n j=0 m a i,j m j=0 a i,j j=0 eşitsizliğinde m yi sonsuza götürürsek, lim n ) n a i,j = lim n a i,j = n m j=0 x i a i,j y j j=0 x i buluruz. Diğer eşitsizlik benzer şekilde kanıtlanır. Son olarak şu teoremi kanıtlayalım: Teorem 20.. a i ve b j iki mutlak yakınsak seri olsun. O zaman çifte serisi mutlak yakınsaktır ve olur. a i b j i,j a i b j = a i bj i,j Kanıt: i,j a ib j çifte serisinin kısmi toplamlarının a i b j çarpımından küçük eşit olduğunu kanıtlamak zor değil. Dolayısıyla i,j a ib j çifte serisi yakınsar. c i,j = a i b j olsun. f : N N N eşlemesi öyle tanımlanmış olsun ki, her n doğal sayısı için, f fonksiyonu {0,,..., n 2 } kümesiyle {0,,..., n} {0,,..., n}

378 Ekler kümesi arasında bir eşleme olsun. Teorem 20.9 a göre c f(k) = a i b j i,j k olur. Demek ki k c f(k) = ( a i ) ( b j ) eşitliğini kanıtlamak yeterli. Ancak, f nin tanımından dolayı, n 2 c f(k) = ( n ) n a i b j = a i k= olur. Demek ki terimleri i,j n n 2 k= c f(k) olan dizi yakınsaktır. Ama bu dizi terimleri n k= c f(k) olan (yakınsak) dizinin altdizisidir. Demek ki her iki dizi de aynı sayıya yakınsar. Dolayısıyla, ( n n 2 n ) n c f(k) = lim c f(k) = lim c f(k) = lim a i k n k=0 = lim n n k= ( n ) n a i lim n j=0 b j n j=0 b j ( ) ( ) = ai bj j=0 b j olur Sonsuz Çarpımlar (x n ) n herhangi bir sayı dizisi olsun. p n = x 0 x x n olsun. p n ye n inci kısmi çarpım diyebiliriz. Eğer lim n p n limiti varsa x i = lim n p n tanımını yapmak isteyebiliriz. Ne yazık ki çoğu zaman (ama her zaman değil) kabul gören tanım bu kadar basit değil. Önce genellikle kabul edilen tanımı yazalım, sonra neden bu tanımın kabul edilmesi gerektiğini gösteren bir sonuç kanıtlayacağız.

379 20.3. Sonsuz Çarpımlar 37 Eğer belli bir N 0 göstergeci için, (p n = x N0 +x N0 +2 x n ) n>n0 dizisinin 0 dan farklı bir limiti varsa, o zaman sonsuz çarpımının yakınsak olduğu ve sonsuz çarpımın olduğu söylenir ve bu sonsuz çarpım x i x 0 x x N0 lim n p n xi ya da x i olarak yazılır. i=k x i ya da U N için i U gibi gösterimlerin anlamı bariz olmalı. Elbette herhangi bir N 0 N için, N 0 x i = x i i=n 0 + olur. Demek ki sonsuz bir çarpımın 0 olması için terimlerden en az birinin 0 olması ve sadece sonlu sayıda terimin 0 olması gerek ve yeter koşuldur. Mesela sabit 0 dizisinin sonsuz çarpımı yoktur! Ya da her iki teriminden biri 0 olan bir dizinin sonsuz çarpımı yoktur. Bir başka örnek: (/i) i>0 dizisinin sonsuz çarpımı yoktur çünkü N 0 ne olursa olsun, lim n n i = 0 i=n 0 olur. Bu arada tanımın ve x i sayısının N 0 ın seçiminden bağımsız olduğunu gözlemleyelim (aksi halde tanım, tanım olmazdı!) Bunun basit kanıtını okura alıştırma olarak bırakıyoruz. Tanımın böyle olmasını okur doğal karşılamayabilir. Ama bu tanım daha pratiktir. İşte bu tanımın daha pratik olmasının nedenlerinden biri: x i x i

380 Ekler Teorem x i sonsuz çarpımı yakınsaksa o zaman lim n x n = olur. Kanıt: N 0 ve n > N 0 için p n tanımdaki gibi olsun. lim n p n = p olsun. Tanıma göre p 0 olmalı. Eğer n > N 0 + ise, x n = p n p n olduğundan ve sağ tarafın limiti p /p = olduğundan, istediğimiz sonucu elde ederiz. Sonuç Sonsuz sayıda terimi 0 olan bir dizinin sonsuz çarpımı yakınsak olamaz. Örnek i=2 ( /i) sonsuz çarpımının kısmi çarpımları p n = n = n n olduğundan, sonsuz çarpımın yakınsadığı söylenemez. Bu durumda sonsuz çarpımın 0 a ıraksadığı söylenir. Yukardaki teoremden dolayı x n yerine (y n = x n tanımıyla) + y n ve xi yerine ( + y i ) yazmak nerdeyse bir gelenek olmuştur. Demek ki x i çarpımının yakınsak olması için lim n y n = 0 olmalıdır. Teorem (y n ) n pozitif bir dizi olsun. ( + y i ) sonsuz çarpımının yakınsak olması için y i serisinin yakınsak olması gerek ve yeter koşuldur. Bu durumda yi ( ) ( + y i ) exp yi olur. Kanıt: olan Önce sonsuz çarpımın yakınsak olduğunu varsayalım. Kanıtı bariz y 0 + y + + y n ( + y 0 )( + y ) ( + y n ) ( + y i ) eşitsizliğinden, pozitif bir seri olan y i serisinin sonsuz çarpım tarafından sınırlı olduğu, dolayısıyla yakınsak olduğu çıkar. Şimdi y i serisinin yakınsak olduğunu varsayalım. Örnek 0.4 a göre, ( ) ( + y 0 )( + y ) ( + y n ) exp(y y n ) exp yi olur. Demek ki artan bir dizi olan kısmi çarpımlar dizisi exp ( y i ) tarafından üstten sınırlıdır, dolayısıyla yakınsaktır.

381 20.3. Sonsuz Çarpımlar 373 Örnekler Eğer s > ise ( + /i s ) yakınsaktır, aksi halde ıraksaktır Gene üçüncü ciltte Wallis formülü olarak bilinen eşitliğini kanıtlayacağız. π 2 = 4i 2 (2i )(2i + ) = i= Teorem ( + y i ) sonsuz çarpımının yakınsak olması için şu koşul yeter ve gerek koşuldur: Her ϵ > 0 için öyle bir N var ki, her N < m < n için olur. ( + y m+ ) ( + y n ) < ϵ Kanıt: Önce ( + y i ) sonsuz çarpımının yakınsak olduğunu varsayalım ve limite p diyelim. Kısmi çarpımları da her zamanki gibi p n olarak gösterelim. Gerekirse ilk birkaç terimi silerek, + y i lerin > 0 olduklarını varsayabiliriz. Bu varsayımla p > 0 ve her p n > 0 olur. Öyle bir N 0 alalım ki, her m > N 0 için olsun. Bu durumda, her m > N 0 için () p m p < p 2 p 2 < p m < 3p 2 olur. Şimdi ϵ > 0 verilmiş olsun. Öyle bir N > N 0 vardır ki, her n > m > N için, p n p m < ϵ p 2 olur. Buradan, () in ilk yarısıyla birlikte n ( + y i ) = p n p m = p n p m i=m+ p m < ϵp/2 p m < ϵ çıkar ve istediğimiz kanıtlanmış olur. Ters istikameti kanıtlayalım. Koşul sağlanmış olsun. Koşulda ϵ = /2 alıp öyle bir N 0 bulalım ki, her N 0 < m < n için ( + y m+ ) ( + y n ) < 2

382 Ekler olsun. Demek ki N 0 dan sonraki terimlerin hiçbiri 0 olamaz ve ayrıca eğer i>n 0 ( + y i ) sonsuz çarpımı yakınsaksa, bu sonsuz çarpım 0 olamaz, /2 ile 3/2 arasında bir sayı olmalı. İlk birkaç terimi atarak, N 0 = varsayımını yapabiliriz, yani her m için p m < /2 ya da 2 < p m < 3 2 varsayımını yapabiliriz. Şimdi ( + y i ) sonsuz çarpımının yakınsaklığını kanıtlayabiliriz. Koşula göre her ϵ > 0 için öyle bir N var ki her n > m > N için p n p m = n ( + y i ) < 2ϵ/3 ve i=m+ p n p m < 2ϵ p m < ϵ 3 olur. Demek ki (p n ) n dizisi bir Cauchy dizisi, dolayısıyla yakınsak. Şimdi de mutlak yakınsaklığa eş düşen sonucu kanıtlayalım: Teorem Eğer ( + y i ) yakınsaksa, ( + y i ) de yakınsaktır. Kanıt: Bir önceki teoremi kullanacağız. ve ( + y m+ ) ( + y n ) ( + y m+ ) ( + y n ) ifadelerinin içindeki çarpımları yapalım ve her birinden çıkaralım (sabit terim kaybolur) ve ardından birincisine üçgen eşitsizliğini uygulayalım, aynen ikincisini buluruz. Demek ki, ( + y m+ ) ( + y n ) ( + y m+ ) ( + y n ) olur. Böyle bir önceki teorem istediğimiz sonucu verir. Eğer (+ y i ) yakınsaksa, (+y i ) sonsuz çarpımına mutlak yakınsak denir. Teorem 20.4 ten hemen şu çıkar: Sonuç ( + y i ) sonsuz çarpımının mutlak yakınsak olması için gerek ve yeter koşul y i serisinin mutlak yakınsak olmasıdır.

383 20.3. Sonsuz Çarpımlar 375 Örnekler Her z < için ( + z n ) sonsuz çarpımı yakınsaktır Mutlak yakınsak olmayan bir sonsuz çarpım örneği: ) ( ( )i. i Bu sonsuz çarpımın kısmi çarpımlarını hesaplayabiliriz. Eğer i tekse, ) ) ( ( ( )i ( )i+ = i i + i= olduğundan, kısmi çarpımlar ya ya da ( )i i çıkar. Demek ki sonsuz çarpım e yakınsar Her z sayısı için ) z2 mutlak yakınsaktır çünkü /i 2 yakınsaktır. Üçün- i 2 cü ciltte i=i 0 ( eşitliğini kanıtlayacağız. Burada ) sin πz = πz ( z2 i= ( i ) 2 i 2 i=2 çarpımının kısmi çarpımlarını hesaplayalım: (i )(i + ) = i2 i 2 olduğundan, sadeleşmelerden sonra, n ( i ) = (n )(n + ) = n n 2 2n i=2 kalır. Demek ki sonsuz çarpım /2 imiş. Şimdi Teorem 20.4 ün kanıtını tamamlayabiliriz: Teorem Her i için 0 y i < olsun. O zaman ( y i ) sonsuz çarpımının yakınsak olması için, y i serisinin yakınsak olması gerek ve yeter koşuldur. Kanıt: y i yakınsaksa, 0 y i olduğundan, mutlak yakınsaktır. Dolayısıyla ( yi ) mutlak yakınsaktır. Şimdi sonsuz çarpımın yakınsak olduğunu ve p ye yakınsadığını varsayalım. Teoremin varsayımları altında, olduğundan, ( + y 0 )( + y ) ( + y n ) + y i y i ( y 0 )( y ) ( y n ) p

384 Ekler olur. Buradan ( + y i ) sonsuz çarpımının yakınsak olduğu çıkar. Demek ki Teorem 20.4 e göre y i yakınsaktır. Örnekler Eğer s > ise ( /i s ) mutlak yakınsaktır. Eğer s = ise i=2 ( /is ) = i=2 ( /i) sonsuz çarpımının 0 a ıraksadığını Örnek 20.4 te görmüştük. Eğer s < ise, < n s < n s olduğundan kısmi çarpımlar /n den de küçük olurlar ve bu durumda da sonsuz çarpım 0 a ıraksar. i=2 i=2 ( ) 2 i(i + 2) sonsuz çarpımı mutlak yakınsaktır elbet. Bu durumda kısmi çarpımları hesaplayarak sonsuz çarpımı bulabiliriz: n ( ) 2 p n = = 4 i(i + 2) (n + 2)(n ) = n n(n + ) 3n olduğundan, sonsuz çarpım /3 olur Toplanabilir Aileler Yakınsak bir seri, aslında sayılabilir sonsuzluktaki iyisıralanmış bir sayı kümesini (ya da ailesini) toplamak demektir. Eğer sayı kümesinin elemanları a 0, a, a 2, a 3,... olarak iyisıralanmışsa, o zaman bu sayıların toplamını a i = lim (a a n ) n limiti olarak tanımlamıştık (tabii limit varsa.) Toplamın iyisıralamaya göre değiştiğini de gördük (Altbölüm 7.2). Bu toplam ın sonlu toplamları anımsatan birçok hoş özelliğini kanıtladık. Örneğin, yakınsak serilerin toplama ya da yakınsak serileri bir sayıyla çarpma eylemleri aynen sonlu toplamlardaki gibi davranıyor: i a i + i b i = i (a i + b i ), λ a i = λa i, ( i a i + i b i) + c i = i a i + ( b i + c i ) gibi. Ama ne yazık ki sonlu toplamların her özelliği sonsuz toplamlara sirayet etmiyor. Örneğin a i toplamı varsa ve J N ise i J a i toplamı olmayabilir; bunu görmek için a i = ( ) i /(i + ) ve J = 2N almak yeterli. Serilerin

385 20.4. Toplanabilir Aileler 377 çarpımı bile ancak özel durumda tanımlanmıştı (Cauchy çarpımı, bkz. Teorem 6.7). Ama pozitif sayıların toplamı çok daha fazla sonlu bir toplam gibi davranıyordu. Bu altbölümde, pozitif serilerin yakınsaklığını genelleştireceğiz: Sadece sayılabilir sonsuzlukta ve iyisıralanmış değil, iyisıralanmış olsun ya da olmasın çeşitli sonsuzlukta sayıları da toplamaya çalışacağız. Çok başarılı olacağımız söylenemez ama q Q a q ya da X R a X gibi toplamları bazı ender durumlarda tanımlayabileceğiz. I herhangi bir küme ve a = (a i ) i I herhangi bir gerçel sayı ailesi olsun. (Yani a, I dan R ye giden bir fonksiyondur; a(i) yerine a i yazıyoruz sadece.) S = S(I), I nın sonlu altkümeleri kümesi olsun. J S için s J = i J a i = J a i = J a olarak tanımlansın. J sonlu bir küme olduğundan, bu tanımda sonlu bir toplam sözkonusu ve tanımda bir sorun yok. Bu gösterimleri bu altbölümün başından sonuna kadar kabul edeceğiz. Şimdi (a i ) i ailesinin toplanabilir olmasının ve toplamının s olmasının tanımını verelim: Her ϵ > 0 sayısı için, öyle bir J = J(ϵ) S vardır ki, her J K S için s K s < ϵ olur. Bu durumda (a i ) i ailesine toplanabilir aile denir. Toplamın s olduğunu gönül rahatlığıyla söyleyebilmemiz için şu sonucu kanıtlamamız gerekiyor: Önsav Toplanabilir bir ailenin toplamı biriciktir. Kanıt: Toplanabilir aileye a = (a i ) i diyelim. s ve t sayıları a ailesinin iki toplamı olsun. ϵ > 0 olsun. Tanıma göre öyle J s, J t S vardır ki, J s K S = s K s < ϵ/2 J t K S = s K t < ϵ/2 olur. Şimdi K = J s J t olsun. O zaman, s t s s K + s K t ϵ/2 + ϵ/2 = ϵ olur. Bu her ϵ > 0 için doğru olduğundan s = t olmalıdır. Bu önsav sayesinde, eğer a = (a i ) i ailesinin toplamı varsa ve toplamı s ise a = s yazabiliriz. Şu sonuç bariz olmalı:

386 Ekler Önsav İki toplanabilir ailenin ayrık bileşimi toplanabilirdir ve bileşimin toplamı ailelerin toplamına eşittir. İlk olarak eğer a = (a i ) i ailesi sonluysa (yani I sonluysa) a toplamının aynen bildiğimiz s I toplamı olduğunu kanıtlayalım. Önsav Eğer a = (a i ) i ailesi sonluysa (yani I sonluysa) o zaman a vardır ve bu sayı aynen bildiğimiz s I sayısıdır. Kanıt: Eğer I sonluysa, s = s I = I a i sayısının a sayısına eşit olduğu tanımdan çıkıyor, nitekim her ϵ > 0 için tanımdaki J = J(ϵ) kümesini I ya eşit alalım. Bu durumda her I K F için I = K ve dolayısıyla s K s = s K s I = 0 < ϵ olur. Şimdi de, pozitif seriler için, daha önce kitapta tanımladığımız yakınsaklık kavramının hiç uzağına düşmediğimizi kanıtlayalım. Önce yardımcı bir önsav: Önsav Eğer a = (a i ) i ailesi toplanabilirse ve her i I için a i 0 ise, o zaman her K S için s K a olur. Kanıt: ϵ > 0 olsun. J = J(ϵ), toplanabilirliğin tanımında ϵ a tekabül eden sonlu göstergeç kümesi olsun. O zaman s K J a < ϵ olur. Bunu şöyle yazalım: Demek ki s K + s J\K a < ϵ. ϵ s J\K < s K a < ϵ s J\K < ϵ. Bu her ϵ > 0 için doğru olduğundan, s K a 0 olur. Önsav Eğer a = (a i ) i N pozitif bir diziyse, daha önce kitapta tanımlanan a i kavramıyla biraz önce tanımlanan a kavramı çakışır: Toplamların biri varsa diğeri de vardır ve iki toplam eşittir. Kanıt: Önce a i = a i = s R varsayımını yapalım. Seri yakınsaklığının tanımına göre, s n = a a n tanımıyla, lim n s n = s olur. Herhangi bir ϵ > 0 sayısı alalım. Öyle bir N göstergeci vardır ki, her n N için s s n < ϵ olur. J = {0,,..., N} olsun. Herhangi sonlu bir J K N altkümesi alalım. Ve K {0,,..., n} içindeliğini sağlayan bir n N seçelim. Elbette n N olur. O zaman s s K = s s K s s n < ϵ olur ve bu da istediğimizi kanıtlar: s = a.

387 20.4. Toplanabilir Aileler 379 Şimdi a sayısının olduğunu varsayalım. Bir ϵ > 0 seçelim. J S, tanımdaki ϵ sayısına tekabül eden J olsun. N sayısını J {0,,..., N} olacak kadar büyük seçelim. n > N olsun. K = {0,,..., n} olsun. J K S olduğundan, s N a = a s N a s K = a sk < ϵ olur. Teorem Pozitif bir a = (a i ) i ailesinin toplanabilir olması için sonlu toplamlar kümesinin üstten sınırlı olması yeter ve gerek koşuldur. Bu durumda a = sup{sk : K F} olur. Kanıt: Önce ailenin toplanabilir olduğunu varsayalım. Önsav e göre a sonlu toplamların bir üstsınırıdır, ve toplanabilirliğin tanımı gereği bu sayı sonlu toplamların en küçük üstsınırıdır. Şimdi sonlu toplamlar kümesinin üstten sınırlı olduğunu varsayalım ve en küçük üstsınıra s diyelim. ϵ > 0 olsun. J = J(ϵ) S kümesi s ϵ < s J olacak biçimde seçilsin. N sayısı J {0,,..., N} içindeliği doğru olacak biçimde seçilsin. n > N olsun. O zaman, olur, ki bu da istediğimizi kanıtlar. s s n = s s n s s J < ϵ Şimdi de bu kapsamda Cauchy koşulunun ne anlama geldiğini görelim. a = (a i ) i bir sayı ailesi olsun. Eğer her ϵ > 0 için, ya da buna eşdeğer olan (K S ve I 0 K = ) = s K < ϵ (K S ve I 0 K = ) = s K s I0 < ϵ önermesini sağlayan sonlu bir I 0 I göstergeç kümesi varsa a = (a i ) i ailesine Cauchy ailesi denir. Birazdan tahmin edilen sonucu kanıtlayacağız ama önce bir tanım daha gerekiyor: Eğer J I ise ve her j J için b j = a j ise (b j ) j J ailesine (a i ) i I ailesinin bir altailesi denir. Önsav Bir Cauchy ailesinin altailesi de Cauchy dir

388 Ekler Kanıt: a = (a i ) i bir Cauchy ailesi ve (b j ) j bu ailenin bir altailesi olsun. ϵ > 0 olsun. I 0 I, Cauchy ailesi tanımındaki I 0 olsun. J 0 = I 0 J olsun. O zaman J 0, J nin sonlu bir altkümesidir. Eğer K J, J 0 dan ayrık bir kümeyse, K, I 0 dan da ayrık bir kümedir, nitekim K I 0 = (K J) I 0 = K (J I 0 ) = K J 0 = olur. Dolayısıyla s K < ϵ olur. Teorem Bir ailenin toplanabilir olmasıyla Cauchy olması arasında fark yoktur. Kanıt: Önce a = (a i) i ailesinin toplanabilir olduğunu varsayalım. Toplama s diyelim. ϵ > 0 olsun. Toplanabilirliğin tanımından dolayı öyle sonlu bir J I göstergeç kümesi vardır ki, her J K F için s s K < ϵ/2 olur. Öyle bir J sabitleyelim. O zaman her J K F için s K s J s K s + s s J < ϵ/2 + ϵ/2 = ϵ olur. Ters istikamette, a = (a i ) i ailesinin Cauchy olduğunu varsayalım. Pozitif (ya da negatif) a i lerden oluşan altdizi bir önceki önsava göre Cauchy olduğundan, Önsav ye göre her a i nin pozitif (ya da negatif) olduğunu varsayabiliriz. Tanımda ϵ = alalım ve öyle bir I 0 F bulalım ki eğer K F, I 0 dan ayrıksa, s K < olsun. O zaman her K F için, Demek ki s K = s K I0 + s K\I0 s I0 + s K\I0 s I0 +. {s K : K F} kümesi üstten sınırlıdır ve dolayısıyla en küçük üstsınırı vardır. Teorem e göre a ailesi toplanabilirdir. Sonuç Eğer a = (a i ) i ailesi toplanabilirse, her ϵ > 0 için, kümesi sonludur. {i I : a i ϵ} Kanıt: a ailesinin Cauchy olduğunu biliyoruz. ϵ > 0 verilmiş olsun. I 0, Cauchyliğin tanımındaki gibi olsun. Eğer k I \ I 0 ise tanımdaki K kümesini {k} olarak alalım. Şimdi konunun en önemli teoremini kanıtlayalım. Teorem Eğer a = (a i ) i ailesi toplanabilirse o zaman {i I : a i 0} kümesi sayılabilirdir.

389 20.4. Toplanabilir Aileler 38 Kanıt: Her n N\{0} için I n = {i N : a i > /n} olsun. O zaman I n I n+ ve I n = {i I : a i 0} n>0 olur. Sonuc ye göre her I n sonludur. Demek ki I en fazla sayılabilir sonsuzlukta olabilir. Toplanabilir ailelerle ilgili bilgilendirmeyi burada kesiyoruz. Daha fazla bilgiye ulaşmak isteyen, örneğin [Bo] ya başvurabilir.

390

391 Formüler Formüllerin doğru olduğu koşullar ve serilerin kapsam alanı belirtilmemiştir. Sağdaki sayı sayfa numarasıdır. Aynı formül birkaç farklı yerde belirebilir n < n k > k r + r r k = rk+ r ( + s) n + ns ( r) n nr px ( + x) p (n + )x n nx n x p p < xq q px ( + x) p px ( + x) p px ( x) p ( + /n) n ( ) ( + x n n+ n < + n+) x ( + k/n) n [( + /n) n ] k ab a+b a+bx 4 x 2 2(ab) / (abc) /3 a+b+c (a a 2 a n ) n a + +a n n n+ ab n a+nb n

392 384 Formüler ( ) ( ± n n+ n ± +n) ( ) n+2 + ( n+ < + n+ n) n! < ( n+ 2 2 n n! n < ( n+ n n ) n n n < ) n ( n n ( 2n+ 3 n(n+)/2 n+) ) n(n+)/ s = n i= a i ise n i= ( + a i) n si i! ( ) + s n n + s! + s2 2! + + sn n! n 2 n n x n+ = x 2 n x n+ = x n x n+ = x 2 n + 3x n x n+ = 6 /x n y n+ = y n x n+ = s + x n , 22, 59 lim a = a lim /n = lim n 2 = lim n 3 n 2 +n 5 = lim r/n q = a n+ = a +a n b n+ = a b n lim n!/n n = , 23, 69 lim n n i= i = lim n + n+ + + n+n n = n + n+ + + n+n ( n ) lim 2 + n n = /

393 Formüler 385 lim 3n2 4n+5 4n 2 5n+ = lim n n p n q (n+) p (n+) = q ) = lim ( n n n n 2 +n lim n i j i= j= = n lim a n = lim a 0+ +a n n lim ( + n + n 2 ) /n = lim n k= k2 +3k+ (k+2)! = lim ( 2 ) ( ) ( ) ( ) n(n+) = ( n ) lim 2 + n = lim n k n k+ (n ) k+ = k lim n i= = n 2 +i lim ( n 2 n ) = lim n k= k3 +6k 2 +k+5 (k+3)! lim n i j 2 i= j= n 4 lim r n lim ( + r + r r n ) lim r n /n! = lim (r + /n) n lim r /n = , 42, 207 lim a xn lim nr n = , 23, 46 lim n q r n = , 23, 53 lim n /n = , 43, 88, 207, 297, 32, 322 lim n i= i (n i) = a n+2 = an+a n , 52 lim n+4 3n 2 +2 = lim n n /n2 =

394 386 Formüler f n+2 = f n + f n , 54 a n+2 = (a n a n+ ) /2 (a 0 a 2 )/ a 0 + +a n n , 28, 237, 294 na n ( a) < a n < n( a) na n ( a) < a n < n( a) a 0 + +a n b 0 + +b n n n , 3 k 2 k 3 k 4 k n k 2 n n 2 3n 2n a n+ = an+bn 2 ve b n+ = a n b n , 53 3a n+ = 2 + a 3 n , 23 lim n n k r n = a n = 3 5 (2n ) (2n) a n+ = 3(+an) 3+a n n + n+ + + n+n ( ) x n + a x n x n+ = 2 a n+ = a n+b n 2 ve b n+ = a n+ b n a n+ = a n+b n 2 ve a n+ b n+ = a n b n x n+ = s +x n x n+ = s x n } {{ } n tane n n i++ i = n lim u 0x 0 + +u n x n u 0 + +u n = x n lim x n yn = lim x n x n y n y n

395 Formüler 387 lim k +2 k + +n k n k+ = k x k x k+ < /2 k x k x k+ < c k lim n n a 2n+ = a 2n+a 2n 2 ve a 2n+2 = a 2na 2n a 2n x n+ = x n+2 x n r + 2r nr n , = a n+ = 2a n a n+ = 2a nb n a n +b n ve b n+ = a n+b n a n+ = bn+cn 2, b n+ = an+cn 2, c n+ = an+bn a n+ = + 2 = a n = 2+an a n a n+ = 2 + a n lim ( n + n) x n+ = xn+a x n x n+ = 6 /x n (( + /n) n ) n> lim ( + n) n = e ( ) ( + n n+ n + n+) e n! > ( ) n n e n! ( ) n+ n e ! > lim (n!) /n = , 26, 322 (( ) + x n ) n n ( + k n n) e k (( ) x n ) n n lim ( + q/n) n = e q

396 388 Formüler ( + n n) e p lim ( + n) r n e q ( + n n) n i! n /i! n xi /i! ( ) exp x = lim + x! + x2 2! + + xn n! , 84 ( + x 0 )( + x ) ( + x n ) exp(x x n ) lim n /i! = e exp x = lim ( + x n) n (x a ) (x a k ) x k (a + + a k ) x k i! ( ) n i n i 2n (i 2)! lim n(n /n ) = exp x n x n+ exp x xi i! (n+)! lim (n + ) /n lim (n!) /(n )! lim e /n = lim n(e /n ) = exp(x + y) = exp x exp y exp 0 = exp( x) = exp x exp x < exp y f(n) = [e (n )/2 ] (n + ) n+ < n n (n + ) n n n lim ( + n 2 ) n = lim ( + n) n 2 = ( ) n lim n +n = e 2 lim ( 3n 5 7+4n) n =

397 Formüler 389 lim ( 3n 5 7+3n) n = e a k+ = 6 + a k n i= /i lim n3 2n+7 3n 2 +n+4 = x 2 i x 2i+ i(i+) = r i = r , 30, 38, , 34, 344 i 2 2i+3 i(i+)(i+2)(i+3) = i(i+2) = ( i + i) , 257 lim n ( + a n ) n = lim n (n /n ) /n = i+ i 2 (i+) 2 = i(i+2)(i+3) = n an (+a i) = lim n (+a i) i i! = i(i+)(i+3) = i+ (i+)(i+2)(i+3) = i(i+)(i+2) = i i(k+i) = ( k ) k x i /i! , 30, 38, 327 i= /i , 257 xi+ x i x i = xi+ x i x i+ = xi yakınsaksa, lim 2n i=n x i =

398 390 Formüler lim ( n 2 + (n+) (n+n) 2 ) = lim n nx n = = π n ( i i= i(n i) ) = xi+ x i x p i x i n C n x i /i , 279 2i 3i i i (i /i ) i i i +3 i i i+ xi x i n p n q , 338 i i(i+) (i+k) /2+ +/i = (exp x)(exp y) = exp(x + y) (n + )r n = ( r) 2 ( ) n ( n+ i= i(n+ i) ) sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y ir i = r , 332 ( r) 2 sin 2 x + cos 2 x =

399 Formüler 39 lim n n i= i = lim n n i= i i = lim (x x n ) /n = lim x n lim n n n! = e i ik x i ( 5) i /3 2i+ (i + ) i!/5 i ( i+k ) i i x i (3n+) (n+)! x n ( + x) n = n(n ) (n i+) i! x i ( + x) α = α(α ) (α i+) i! x i x 2 k x 2k i (i!) 2 /(2i)! i/a i cosh x = x 2i /(2i)! sinh x = x 2i+ /(2i + )! n ( 2n+ ) 2i = 2 n cosh(2x) = 2 cosh x sinh x x i /i! /i 5i ( 3i 2i+) 5i x i /i i/ n lim n = e (n!) /n X i i! i!x i

400 392 Formüler i /ip i i+ / i(i 2 ) i i 3 + i /(2i + )p i ( )i /i p i x 2 i (ki+ k i )x ki (2i)! 4 i (i+)!i! (2i)! 4 i (i+)! i! lim (2n)! 4 n (n+)! n! = (3i+) (i+)!3 i + +a +b + (+a)(2+a) (+b)(2+b) + (+a)(2+a)(3+a) (+b)(2+b)(3+b) a(a+c)(a+2c) (a+ic) i b(b+d)(b+2d) (b+id) a b c x + a(a+) b(b+) 2 c(c+) x2 + a(a+)(a+2) b(b+)(b+2) 2 3 c(c+)(c+2) x n einz n a x x a lim [nx]/n = x i=2 ( /i) yi ( + y i ) exp ( y i ) ( + /i s ) i 2 (2i )(2i+) ( + z n ) ( ) ( )i i = ( ) z i 2 ( ) i = ( /i s ) ) i=2 ( 2 i(i+2) =

401 Kaynakça [A] Tom M. Apostol, Mathematical Analysis, a modern approach to advanced calculus, Addison-Wesley, 3 üncü basım 969. [BB] Edwin Beckenbach ve Richard Bellman, An Introduction to Inequalities, Randon House The L.W. Singer Company, New Mathematical Library 96. [Bo] Alain Bouvier, Théorie Elementaire des Séries, Hermann 97. [BR] G. Bouligand ve J. Rivaud, L Enseignement des Mathématiques Générales par les Problèmes, Librarie Vuibert, 4 üncü basım, 968. [Bra] Robert L. Brabenec, Resources for the Study of Real Analysis, Classroom Resource Materials, Mathematical Association of America [Bro] T. J. I a Bromwich, An Introduction to the Theory of Infinite Series, AMS Chelsea Publishing, üçüncü basım 99 ( inci basım 908). [Ch] G. Chilov, Analyse Mathématique, fonctions d une variable, (Rusçadan Fransızcaya çeviren Vitali Kharine) 973, Traduction française Editions Mir, 99. [CJ] Richard Courant ve Fritz John, Introduction to Calculus and Analysis I, 98 basımı, Springer, Classics in Mathematics, 99. [Cv] Zdravko Cvetkovski, Inequalities, Springer 202. [HLP] G. Hardy, J. E. Littlewood ve G. Pólya, Inequalities, Cambridge Mathematical Library. İlk basım 934. [Kn] Konrad Knopp, Infinite Sequences and Series, (çeviren F. Bagemihl), Dover Publications 956. [Ko] P.P. Korowkin, Eşitsizlikler, çeviri H. Şahinci, TMD 962, 60 sayfa. [La] Loren C. Larson, Problem Solving Through Problems, Springer-Verlag 983. [Lee] Hojoo Lee, Topics in Inequalities. (Halen gelişmekte olan kitabı bulmak için internetten arayınız.) [MD] Matematik Dünyası dergisi ( TMD [MOD] Radmila Bulajich Manfrino, José Antonio Gómez Ortega, Rogelio Valdez Delgado, Inequalities, a mathematical olympiad approach, Birkhäuser [N] Ali Nesin, Sezgisel Kümeler Kuramı, 3 üncü basım, Nesin Yayıncılık 20. [N2] Ali Nesin, Sayıların İnşası, Nesin Yayıncılık tarafından muhtemelen 202 de yayımlanacak. Bkz. TÜBA açık ders notları: [N3] Ali Nesin, Aksiyomatik Kümeler Kuramı, Nesin Yayıncılık tarafından yayımlanacak. Bkz. TÜBA açık ders notları: [SCY] D.O. Shklarsky, N.N. Chentzov ve I.M. Yalom, The USSR Olympiad Problem Book, Selected Problems and Theorems of Elementary Mathematics, Dover Publications, Inc [Sp] Murray R. Spiegel, Théorie et Applications de l Analyse, Serie Schaum, McGraw-Hill 974. [St] J. Michael Steele, The Cauchy-Schwarz Master Class, an introduction to the art of mathematical inequalities, MAA ve Cambridge University Press [Ş] Erdoğan Şuhubi, Fonksiyonel Analiz, İTÜVakfı 200. [T] Tosun Terzioğlu, Fonksiyonel Analizin Yöntemleri, Matematik Vakfı 998. [T2] Tosun Terzioğlu, An Introduction to Real Analysis, Matematik Vakfı [T3] Tosun Terzioğlu, Bir Analizcinin Defterinden Seçtikleri, Nesin Yayıncılık 203.

402 394 KAYNAKÇA

403 Dizin +, 0 >, 6, 74, 00, 00 n a, 35 3, 9 a, 9, 53 ai,j, 36 i,j a i,j, 36, 0 a /n, 35 x q, 36 <, 9, 6, 6, 74, 28 2 a, 35 a, 35 /a, 5 0, 9, 0, 2 0 dan uzak durmak, 24 0 la çarpma, 4, 9, 0, 4 a, 5 Abel kıstası, 344, 345 Abel, Niels Henrik, 25, 254 Abel in kısmi toplam formülü, 344 açık aralık, 8 aksiyom, 0, 2 Aliyev, İlham, 3, 08, 269 altaile, 375 altdizi, 35, 36 alterne seriler, 297 altın oran, 20, 50 altlimit, 22 altsınır, 22 alttan sınırlı küme, 22 alttan yakınsamak, 97 aralık, 8 aritmetik ortalama, 8, 45, 54 aritmetik-geometrik ortalama, 49 aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliği, 45, 54, 8 Arşimet, 8 Arşimet cismi, 27, 76 Arşimet özelliği, 27 artan dizi, 3, 27, 40, 209 aşkın fonksiyon, 32 aşkın sayı, 9 azalan dizi, 3, 40 Bell, Eric Temple, 94 Bell sayısı, 94 Bernoulli eşitsizlikleri, 4 Bernoulli, Jacob, 4, 43, 65 Beyarslan, Özlem, 6 biçimsel kuvvet serisi, 39 bileşik faizler, 92 binom açılımı, 30 binom katsayıları, 30 bir, 9, 0 birleşme özelliği, 2, 4 Bolzano, Bernard, 8 Bolzano-Weierstrass Teoremi, 50, 57 bölme, 5 bölme algoritması, 27, 29 Brun sabiti, 255 büyük O, 0 büzen dizi, 49, 5, 52 büzme katsayısı, 52 Cauchy ailesi, 375 Cauchy, Augustin-Louis, 8, 24, 290, 335 Cauchy çarpımı, 283, 287, 324 Cauchy dizisi, 29, 3, 35, 4 Cauchy kıstası, 249, 34 Cauchy yakınsaklık kıstası, 36, 37 Cauchy Yoğunlaşma Teoremi, 336 Cauchy eşitsizliği, 53 Cauchy-Lagrange eşitsizliği, 53 cebirsel sayı, 9, 92 Cesàro ortalaması, 290 Cesàro toplamı, 293 Cesàro toplamları, 294 Cesàro, Ernesto, 294 cisim, 2 cos, 306 cos, 84, 278, 288, 32, 326 cosh, 33 çapraz matris, 08 çarpımsal ters, 5 çarpma, 9, 4 çarpma (doğal sayılarda), 25 çıkarma, 3 395

404 396 DIZIN çifte dizi, 359 çifte seri, 36 d Alembert yakınsaklık kıstası, 305, 37, 336, 337 d(x, y), 20 D, 69 dalgalanan seriler, 297 değişme özelliği, 2, 4 değişmeli grup, 2 değişmeli halka, 2 Demokrit, 8 Dini, Ulisse, 34 Dirichlet kıstası, 344 dizi, 67 diziliş, 362 Dobinski formülü, 95 doğal sayılar kümesi, 24 du Bois-Reymond, Paul, 269 e, 06, 63 65, 92 eksi a, 3 eksi sonsuza ıraksamak, 27 en büyük altsınır, 22, 22 en küçük eleman, 26 en küçük üstsınır, 2, 22 endis, 68 entegral, 327 Euler eşitliği, 92 Euler, Leonhard, 7, 65 Euler sabiti e, 63 exp, 63, 72, 8, 278, 28, 306, 326 Fermat, Pierre de, 26 Fibonacci dizisi, 70, 0, 50, 55, 95 Fourier serileri, 290 Gauss, Carl Friedrich, 8, 49 genel terim, 239 geometrik dizi, 03 geometrik ortalama, 45, 54, 292 geometrik seri, 24, 306, 34 gerçel sayı, 2 gerçel sayılar sistemi, 2 gerçel sayılar yapısı, 2 gerçel sayıların aksiyomları, 9, 0, 2 gerçel sayıların tamlığı, 35 göstergeç, 68 grup, 2 halka, 2, 28 harmonik dizi, 2 harmonik seri, 238, 250 Hermite, Charles, 9 hiperbolik kosinüs, 33 hiperbolik sinüs, 33 hipergeometrik seri, 34 Huygens, Christian, 65 ıraksak, 7 ıraksamak, 238, 24 ikiz asallar, 255 ikiz asallar sanısı, 225 inf, 22, 22 integral, 324, 327 irrasyonel sayılar, 38 iyisıralı küme, 26 Jordan kanonik biçim, 08 kalanlar, 240 kaos, kapalı aralık, 8 kapalı kutular teoremi, 55, 56 karşılaştırma kıstası, 272 kesin artan, 3 kesin azalan, 3 kesirli sayı, 29 kesirli sayılar kümesi, 2, 29 kısmi çarpım, 366 kısmi toplam (çifte serilerin), 36 kısmi toplamlar, 239 kıyaslama kıstası, 272 kıyaslama teoremleri, Koch kartanesi, 0 Korkmaz, Aslı Can, 6 koşullu yakınsak seri, 278 kök, 3 kök testi, 34 Kummer-Dini Kıstası, 34 Kummer dönüşümü, 275 Kummer, Ernst, 274, 34 Kummer kıstası, 274 kuvvet serisi, 39, 324 küçük o, 0 küçüktür, 0 L Hospital kuralı, 26 Leibniz, Gottfried, 65, 297, 346 Leibniz testi, 297 lim n, 74 liminf, 223 limit, 70, 74, 79 limit (R kümesinde), 222 limit (serilerde), 238 limit (çifte dizinin), 360 limit noktası, 6 limsup, 223 Lindemann, Ferdinand von, 9, 92 Mağden, Perihan, 297 maksimum, 7 max, 7 Mechanica, 65 Mertens Teoremi, 288 mesafe, 20 min, 7 monoton altdizi, 42 monoton dizi, 3

405 DIZIN 397 mutlak değer, 9 mutlak negatif, 7 mutlak pozitif, 7 mutlak yakınsak çifte seri, 362 mutlak yakınsak sonsuz çarpım, 370 mutlak yakınsaklık, N, 23, 24 Napier, John, 65 Napier sabiti, 64 negatif, 7 Nesbitt eşitsizliği, 59 O, 0 o, 0 onluk tabanda açılımı, 46 oran kıyaslama testi, 273 orta nokta, 8 Oughtred, William, 65 özdeğer, 08 Özkaya, Görkem, 6, 44, 08 özvektör, 08 x i, 366, 367 π, 8, 9, 92, 272, 3 Peano aksiyomları, 25 polinom, 96, 25, 27 polinomlarda yakınsaklık, 96 pozitif, 7 pozitif seriler, Q, 0, 2, 23, 29 R, 9 R, 28, 22 R >0, 8 R 0, 8 Raabe kıstası, Ramanujan, Srinivasa, 3 rasyonel sayı, 29 Riemann düzenleme teoremi, 30 Riemann kıstası, 333 Riemann serisi, 329 Riemann zeta fonksiyonu, 329 X, 270, 238 i, 238 x X, 270, 238 i 0, 238 sabit dizi, 75 sadeleştirme, 3, 5 Sandviç Teoremi, 83 sayı ailesi, 373 seri, 237, 239, 24 serilerle işlemler, 28 sıfır, 9, 0 sıfıra ıraksamak, 368 sınırlı dizi, 86, 00, 32 sıralama, 6 sıralı cisim, 2, 2 sıralı değişmeli grup, 2 sıralı halka, 2 Sierpinski halısı, Sierpinski üçgeni, 0 sin, 306 sin, 84, 278, 288, 32, 326 sinh, 33 sonsuz, 24, 28 sonsuz çarpım, sonsuza ıraksamak, 23, 27, 238 sonsuza ıraksayan diziler, 2, 207 sonsuzdan iniş, 26 Stieltjes, Thomas Joannes, 25 SUP, 0, 2 sup, 22, 79, 22 SUP aksiyomu, 2 Şahin, Çiğdem, 6 tamkısım, 29, 30 tamlık, 4, 42 tamsayılar kümesi, 28 tamsıralama, 2 teleskopik seri, 240, terim terim işlem, 69 tersin tersi, 4, 5 toplam (çifte serinin), 36 toplam (sayı ailesinin), 373 toplam (seri), 238 toplama, 9, 2 toplama (doğal sayılarda), 25 toplamanın özellikleri, 2 toplamsal ters, 2, 3 toplanabilir aile, 373 tümevarımla kanıt ilkesi, 24, 25, 27 tümevarımsal altküme, 23 türev, 324 üçgen eşitsizliği, 9, 20 Ünlü, Yusuf, 3, 42 44, 248, 269, 355 üs almak, 3, üstlimit, 22 üstsınır, 2, 22 üstten sınırlı kümeler, 22 Wallis formülü, 369 X-dizisi, 67 yakınsak çifte seri, 36 yakınsak diziler, 70, 7 yakınsak sonsuz çarpım, 367 yakınsaklık yarıçapı, 322, 324 yakınsamak, 70, 79, 238, 24 yakınsar, 79 yarısıralama, 2 yoğun, 30, 38

406 398 DIZIN yoğunlaşma noktası, 6 Z, 23, 28 zamanla 0 dan uzak durmak, 24 zamanla büzen dizi, 52 zamanla sabitleşen dizi, 68 Zenon, 8