Cebir Notları Mustafa YAĞCI, Sayılar

Transkript

1 Cebir Notları Mustafa YAĞCI, Sayılar Bir çokluğu ifae etmek veya bir çokluğun bir iğerinen küçük mü büyük mü, eksik mi fazla mı, kısa mı uzun mu oluğunu anlatabilmek için günlük konuşma kelimelerinen başka kavramlara gereksinim uyarız. Bir insanın bir iğerine yaşını, boyunu, kaç çocuğu oluğunu anlatabilmesi için belki parmakları yeter ama saçına kaç kıl oluğunu veya ne kaar parası oluğunu anlatabilmesi için parmaktan öte bir şeye ihtiyaç uyar. İşte bu ihtiyaç uyulan şey sayı ır. Nesnelerin miktarının artmasıyla birlikte sayılar a artar. Her sayıya bir sembol bulmak mümkün olsa a, öğrenilip karıştırılmaan akıla tutulması mümkün eğilir. Dolayısıyla sınırlı ve mantıklı sayıa sembol bulunup bunların eğişik sıralara bir araya getirilmesiyle sayılar oluşturulmalıır. Mantıklı olan a buur. İşte sayıları ifae etmek için bir araya getirilen bu sembollere/işaretlere rakam enir. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembolleri günlük hayatta kullanığımız sayma üzeninin rakamlarıır. Bugüne kaar ünyaa yaşamış her millet, farklı farklı sembollerle olsa a, kenilerine göre rakamlar tanımlamışlarır. Örneğin Romalılar rakamları ve sayıları I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI,, L, LI,, C, CI,, M, MI, gibi sembollerle göstermişlerir. Görülüğü üzere her sembol eğişik sıralara bir araya gelerek farklı çoklukları anlatmaktaır. Dolayısıyla bunların her biri birer sayıır. Unutulmamalı ki her rakam bir sayıır ama her sayı bir rakam eğilir. Örnek. a ile b birer rakam olmak üzere a + b toplamı kaç farklı eğer alabilir? A) 9 B) 10 C) 18 D) 19 E) 20 Çözüm: Rakamların 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 oluklarını söylemiştik. Sorua a ile b nin farklı olukları söylenmeiğinen, onları aynı a alabileceğimizi unutmayın. Toplamın alabileceği en küçük eğer ile en büyük eğeri bulup kaç farklı eğer alabileceğini sayarak bulacağız. İkisine e 0 verirsek, a + b = 0 olur, ikisine e 9 verirsek a + b = 18 olur. Şu uruma toplam 0 an 18 e kaar 19 farklı eğer alabilir. Doğru cevap: D. Nasıl ki beş parmağın beşi bir eğil, sayılar a öyleir! Sayılar, bazı yönlerinen olayı birbirlerinen ayrılırlar. İlkokulan beri biliğiniz, bizim e tekrar göstereceğimiz üzere bazıları pozitiftir bazıları negatif, bazıları tektir bazıları çift, bazıları 2 basamaklıır bazıları 5, bazıları asalır bazıları eğil gibi Sayılar işte bu ayrımlara göre sınıflanırlar. En ilkel sayılaran başlayalım: Sayma Sayıları Aı üstüne saece nesneleri saymaya yarayan sayılarır. 1, 2, 3, 4, iye ilerlerler ve bitmezler. Bir son ları yoktur yani. Sonsuzlarır. Dikkat ein, sonsuzlarır iyoruz, sonsuza gier emiyoruz, çünkü sonsuz iye bir yer yoktur. Sonsuz, bir yer eğil, nitelemeir (sıfattır). Teorik olarak oğrusu buur ama bu yanlış ilimize o kaar yerleşmiştir ki sivrilmenin e alemi yok. Yazılarımızın ilerleyen bölümlerine yanlışlıkla yanlış yaparsam, yanlışlıkla yanlışımı üzeltme yanlışına üşmeyin! Tüm sayma sayılarının oluşturuğu kümeye Sayma Sayıları Kümesi enir. Bu küme bazı Türkçe kaynaklara S harfi ile gösterilse e siz evrensel olan N + sembolünü tercih ein, ben e öyle yapacağım. Örnek. x 5 ile x 2 sayılarınan saece bir tanesi sayma sayısı oluğuna göre x in alabileceği eğerlerin toplamı kaçtır? A) 6 B) 9 C) 12 D) 15 E) 18 Çözüm: Öncelikle verilen sayılar arasınaki farkın 3 oluğunu, aha sonra a bu sayıların büyük olanının (yani x 2 nin) 4 veya aha büyük bir sayma sayısı olamayacağını fark etmek gerekiyor. Çünkü 4 veya 4 ten büyük olan sayma sayılarının 3 eksiği e sayma sayısıır ve bu, sorua verilen bilgiyle çelişir. Şu uruma x 2 sayısı ya 1, ya 2, ya a 3 olmalıır. x 2 = 1 eşitliğinen x = 3, x 2 = 2 eşitliğinen x = 4, x 2 = 3 eşitliğinen e x = 5 bulunacağınan x in alabileceği eğerlerin toplamı 12 7

2 Doğal Sayılar Bir şeyleri saymak için o bir şeylerin illa var olması lazım eğil mi? Olmayan bir şey nasıl sayılacak? Peki ya sayılacak o şey yoksa? O zaman sayma sayılarınan hangisini kullanacağız? Sayma sayılarının her biri bir çokluğu simgeleiğinen hiçbirini kullanamayız. Bu yüzen sayma sayılarına olmayan bir şey bulmalıyız, olmayan şeyleri saymak veya olmaığını bir başkasına sayıyla anlatmak için. Gerçi bizen binlerce yıl önce bulmuşlar, sağolsunlar. Tanıştırayım: 0. Cümle içine e kullanayım: 10 an 10 çıktı mı 0 kalır! Sıfırın bulunması, şaşırtıcı bir şekile, 1 in ve 2 nin bulunmasınan binlerce yıl sonra olmuştur. Matematikte bir çığır açmıştır esek sanırım yanılmayız. Unutmayınız ki, sıfır ne pozitiftir ne e negatif! Ama sıfır çifttir, tek eğil! Sayma sayıları ile 0 ın birlikte oluşturukları bu kümeye Doğal Sayılar Kümesi eriz. N sembolü ile gösteririz, N yle eğil! Örnek. x 4y ile 4y x sayılarının ikisi e oğal sayı oluğuna göre 2x 8y + 5 kaçtır? A) 5 B) 9 C) 12 D) 15 E) 18 Çözüm: Buraa x 4y ile 4y x sayılarının birbirlerinin ters işaretlisi oluklarını fark etmek gerekiyor. Demek ki ya bu sayıların biri negatif iğeri pozitif, ya a ikisi e biren sıfır! Doğal sayıların arasına negatif sayılar olmaığınan iki sayının a 0 oluğunu anlıyoruz. Şu uruma x 4y = 0 oluğunan, onun 2 katı olan 2x 8y eğeri e 0 ır. O hale 2x 8y + 5 = olmalıır. Doğru cevap: A. Yalnız buraa ikkatinizi çekmek isteiğim bir şey var: Yeni bulunan sayılar, eskilerinen ayrı bir yere konmuyor, eski sayılara ekleniyor. Böylelikle nur topu gibi yeni bir sayı kümesi oluşuyor. Doğal sayılarla, önlerine işareti konmuş sayma sayılarının birleşimine Tam Sayılar Kümesi iyeceğiz. Z ile göstereceğiz. Tam sayıların başının a sonunun a olmaığını unutmayacağız. Pozitif tam sayılar kümesi Z +, negatif tam sayılar kümesi ise Z ile gösterilir. Anlayacağınız; Z = Z + {0} Z Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, } Tam sayıların bir başının ya a bir sonunun olmaması bize geometrieki oğru kavramını hatırlatıyor. Öyle ya, oğrunun a başı yok, sonu yok! İşte bu yüzen tam sayıları, bir oğru üzerine eşit aralıklarla alınmış noktalarla birebir eşleyebiliriz. Üzerineki herhangi bir noktayı 0 olarak işaretlersek, sağınaki noktalar pozitif tam sayıları, solunaki noktalar a negatif tam sayıları simgelerler Yukara resmeilmiş oğrusunun aı bunan böyle sayı oğrusu olacak. Görülüğü üzere, sağa oğru gittikçe noktaların simgeleikleri sayılar büyümekte, sola oğru gittikçe küçülmekteir. a Örneğin, yukara resmeilmiş a ve b sayıları için a nın b en küçük (veya b nin a an büyük) oluğunu anlarız ve bunu a < b (veya b > a) ile gösteririz. b Tam Sayılar Ahmet in 10 lirası varsa anlamamız gereken şey, cebine veya bir yere, kenine ait, bir kişiye öemesi gerekmeyen 10 lirasının gerçekten oluğuur. Peki ya Ahmet in hiç parası olmayıp üstüne üstlük bir e 10 lira borcu varsa? İşte bunu Ahmet in 10 lirası var yazarak göstereceğiz. Tam sayılar hiç olmasayı, n oluru? Bir şey olmazı. Fakat onları anlatmak için epey bir vakit kaybeerik. Bunun için insansoyu 0 an küçük sayıları icat etmiş. Aslına iyi e olmuş. Negatif sayıları anlatmak böylelikle çok kolay olmuş. Örnek. a ve b tam sayıları a < b < 6 eşitsizliklerini sağlamaktaysa a + b toplamı en çok kaç olabilir? A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 Çözüm: Negatif sayılar, biliğiniz üzere, işaretsiz eğerleri ne kaar küçükse o kaar büyüktürler. Bu yüzen b yi 7, a yı a 8 almalıyız ki toplam olabiliğince büyük çıksın. Şu uruma max(a + b) = ( 8) + ( 7) = 15 Doğru cevap: D. 8

3 Rasyonel Sayılar Önce kesir enen şeyi tanımlayalım, arınan rasyonel sayıların ne oluklarını anlatacağız. a ve b tam sayı olmak üzere (b sıfıran farklı) a b şeklineki ifaelere kesir enir. Bu kesirler bazen saeleşirler, = gibi, bazen saeleşemezler, 2 3 gibi. İster saeleşsinler, ister saeleşemesinler, kesirlerle tam sayıların oluşturukları kümeye Rasyonel Sayılar Kümesi enir. Aslına bakarsanız her x tam sayısı 1 x olarak a yazılabileceğinen tüm kesirler kümesine e rasyonel sayılar kümesi iyebiliriz. Bu küme tam sayılar kümesini kapsar ve Q ile gösterilir. Peki neen rasyonel enmiş acaba? Rasyonel, gerçekçi veya gerçek eğeri bilinen anlamına gelir. Tüm kesirlerin gerçek eğeri bilinir. Var olan ama gerçek eğerini bilemeiğimiz sayılar a varır. Örneğin π sayısı Yaklaşık eğerini biliyoruz ama tam eğerini hiçbir zaman bilemeyeceğiz! Reel Sayılar Bu sefer e önce irrasyonel sayıları tanımlayacağız. Arınan reel sayıların ne oluklarını vereceğiz. Tam sayı olan a ve b ler için eğeri a şekline yazılamayan sayılar varır. b 2, 3 3, 4 5, π, e, sin 15 o, tan 18 o, log 2 7 gibi Böyle sayılara rasyonel olmayan reel manasına irrasyonel sayılar enir ve bu sayıların belirttiği küme Q ile gösterilir. Bu sayıların onalık yazılımlarına virgülen sonraki kısmın hiçbir kuralının olmaığı bulunmuştur. Varsa bile günümüze kaar bulunamamıştır emiyoruz, olmaığı bulunmuştur iyoruz. Ökli in bulmuş oluğu bu kanıtın, günümüze kaar yapılmış en güzel 10 kanıttan biri oluğu konusuna tüm matematikçiler hemfikirir. Asal ve aralarına asal sayıları anlattığımız bölüme bu kanıtı vereceğiz. İrrasyonel sayılar nihayetine gerçek sayılar oluğunan onlara a sayı oğrusu üzerine yer varır. Karesi 2 olan pozitif sayının tamı tamına kaç oluğunu bilmesek bile öyle bir sayının var oluğunu biliyoruz. Peki sayı oğrusu üzerineki yeri neresiir? Örnek. Üzerine eşit aralıklarla noktalar alınmış aşağıaki sayı oğrusuna 3 A A ile gösterilen nokta hangi rasyonel sayıyı simgelemekteir? Sayı oğrusu üzerine oturtulmuş, yukaraki gibi bir ikizkenar ik üçgen üşünün. Dik kenar uzunlukları 1 oluğunan, Pisagor Teoremi gereğince hipotenüsünün uzunluğu 2 olacaktır. A) 19 6 B) 10 3 C) 7 2 D) 11 3 E) 23 6 Çözüm: 3 ü simgeleyen noktayla 4 ü simgeleyen nokta arasına 6 tane eşit uzunlukta aralık oluğunu fark etmek lazım. 3 ile 4 arasınaki uzaklık 1 oluğunan, bu 6 aralığın her birinin uzunluğu 1 ır. A noktası 3 ü simgeleyen noktanın sağına oluğunan 3 ten büyüktür, 6 hem e tam olarak 1 aralık sağına oluğunan 3 ten 1 6 büyüktür. Bu uruma A ile simgelenen sayı = 6 6 Doğru cevap: A Şimi bu ik üçgeni, sağ alt köşesi sabit kalmak üzere hipotenüsünün üzerine evirirsek, en başta üstte olan köşenin sayı oğrusuna enk üşeceği nokta 2 ye karşılık gelen nokta olacaktır. İşte, rasyonel sayılarla bu irrasyonel sayıların birleşimine Reel Sayılar Kümesi enir. Reel yerine gerçel veya gerçek eniği e olur. Bu küme R ile gösterilir. 9

4 Sanal Sayılar Bu sayılar a gerçel olmayıp yani gerçekte var olmayıp (sanki iğer sayılar gerçekte var!) matematikçilerin tanımlaığı sayılarır. Zaten bunun için sanal aını almışlarır. Karesi 1 olan bir sayı var olsun! enmiş ve aı a i iye konmuş. Sonra bu i sayısı reel sayılarla işlemlere sokularak i, 2i, 3 + i, 4 8i gibi sayılar tanımlanarak aile büyütülmüş. Peki ertlere erman olmuş mu? Hem e çok. Zamanı gelince yeteri kaar eğineceğiz. Peki niye i, başka harf mi kalmamış? erseniz, sebebi sanal ın İngilizce sinin imaginary olması olabilir. Onun baş harfinen olayı yani! Sanal sayılarla reel sayılar kümesinin birleşimine Karmaşık Sayılar Kümesi enir ve bu küme C ile gösterilir. Örnek. Aşağıaki sayılaran hangisi N +, N, Z, Q, R, C kümelerinin örünün elemanı olup kalan ikisinin elemanı eğilir? A) 4 B) 0 C) 1 D) 1 2 E) π Çözüm: N +, N, Z, Q, R, C kümeleri birbirlerini içine alarak büyüüğünen bu kümeleren birinin elemanı olan sayı mutlaka o kümenin sağınaki kümenin e elemanıır. O hale sayımız ört tanesinin elemanıysa sağan örüncüsünün elemanı yani en azınan bir tam sayı olmalıır. Fakat sayma sayısı ya a oğal sayı olmamalıır. Demek ki sayımız negatif bir tam sayıymış. Bu a C şıkkına 1 olarak verilmiş. Karmaşık sayılar kümesi, şu ana kaar gösteriğimiz ve bunan sonra göstereceğimiz tüm sayı kümelerini kapsar. Belki ilere başka sayılar a bulunacak veya tanımlanacak, bu sayee C yi e kapsayan bir babayiğit küme çıkacak! Kim bilir? Ünlü biri söylemiş, kimi hatırlamıyorum, ama katılıyorum: Allah sayma sayılarını yarattı, gerisi insanın işi! Toparlıyoruz: Ortaokula görüğünüz Kümeler ersinen, eğer A kümesinin tüm elemanları B kümesinin e elemanıysa; A ya B nin bir alt kümesi eniğini ve bunu A B yazarak gösteriğimizi veya B nin A yı kapsaığını ve bunu B A yazarak gösteriğimizi bilirsiniz. Şu uruma sayı kümeleri için + veya + yazabiliriz. Bir e A kümesine olup a B kümesine olmayan elemanların kümesi varı. Onu a A B veya A \ B ile gösteririz. Buna göre şu eşitlikleri yazabiliriz: N N + = {0}, Z N : Negatif tam sayılar kümesi, Q Z : Kesirli sayılar kümesi, R Q : İrrasyonel sayılar kümesi, C R : Sanal sayılar kümesi. Örnek. Aşağıakileren hangisi negatif tam sayılar kümesi olan Z yerine kullanılabilir? A) Q Z B) Q Z + C) R Q + D) Z N E) Z N Çözüm: Tam sayılar kümesi negatif tam sayılar, 0 ve sayma sayılarınan oluşmaktayı. 0 ve sayma sayıları birlikte oğal sayılar kümesini oluşturuğunan tam sayılaran oğal sayıları çıkarınca negatif tam sayıları buluruz. O hale negatif tam sayılar kümesi Z N olarak a gösterilebilir. Doğru cevap: E. Örnek. Aşağıaki kümeleren hangisinin eleman sayısı sonsuz eğilir? A) R Q B) Q Z + C) N Z + D) Z N E) Z N Çözüm: R Q irrasyonel sayılar kümesini oluşturuğunan bu küme sonsuz elemanlıır. Q Z + ise pozitif tam sayılar ışınaki rasyonel sayılar manasına gelir ki onlar a sonsuzur. Z N emek N emek, Z N emek e Z emek oluğunan bu kümeler e sonsuz elemanlıır. Fakat N Z + = {0} olup bu küme sonsuz elemanlı eğil, görülüğü üzere saece 1 elemanlıır. 10

5 CEVAPLI TEST 1 1. Rasyonel, Tam, Doğal, Karmaşık ve Reel sayılar kümelerinin bilinen gösterimleri hangi şıkta oğru sıraa verilmiştir? A) Q, Z, N, C, R B) R, N, Z, C, Q C) R, Z, N, C, Q D) Q, C, N, Z, R E) R, N, Z, C, Q 6. Aşağıaki bilgileren hangisi oğruur? A) Sayma sayıları kümesi, oğal sayılar kümesini kapsar. B) Rasyonel sayılar kümesi, tam sayılar kümesinin altkümesiir. C) 3 sayısı bir karmaşık sayıır. D) 3 sayısı irrasyonelir. E) Reel sayılar kümesi, tüm sayı kümelerini kapsar. 2. Reel sayılar kümesine olup a rasyonel sayılar kümesine olmayan sayılar hangileriir? A) Doğal sayılar B) İrrasyonel sayılar C) Negatif sayılar D) Tam sayılar E) Asal sayılar 7. 0, 1, 2, ( 2) 3 3 2, 7, 3, % 20, 4 0, 9 sayılarının kaç tanesi gerçelir? A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 3. Pozitif tam sayılar ile sayma sayılarının farkı neir? A) {0} B) {1} C) { 1} D) Z E) 8. Tam sayı olmayan rasyonel sayıların kümesi aşağıaki kümeleren hangisine eşittir? A) C Qʹ B) Q Z C) Qʹ R D) Qʹ Z E) R Z 4. 3 sayısı N, Z, Q, R, C kümelerinin kaç tanesinin elemanıır? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 9. N +, N, Z, Q, R, C kümelerinin beşinin elemanı olup birinin elemanı olmayan sayı aşağıakileren hangisiir? A) 1 B) 2i C) 1 D) π E) 0 5. Z tam sayılar kümesini, Q rasyonel sayılar kümesini ve R reel sayılar kümesini göstermekteir. Buna göre aşağıakileren hangisi irrasyonel sayılar kümesini gösterir? A) Q Z B) Q Z C) R Q D) R Q E) Q R 10. Herhangi iki elemanı arasına sonsuz sayıa elemanı olan kümelere yoğun küme enir. Yukaraki tanıma göre aşağıaki kümeleren hangisi yoğunur? A) {0, 1, 2} B) N C) Q D) Z E) N + 1. A 2. B 3. E 4. E 5. C 6. C 7. D 8. B 9. E 10. C 11