BAZI CENTRO-POLYHEDRAL GRUPLARIN PELL UZUNLUKLARI. G of the group G A by generated the

Transkript

1 BAZI CENTRO-OLYHEDRAL GRULARIN ELL UZUNLUKLARI Ömür DEVECİ 1, Hasa ÖZTÜRK 1 1 Kafkas Üiversitesi, Fe Edebiyat Fakültesi-36100/Kars odeveci36@hotmail.com Abstract I [13], Deveci ad Karaduma defied the ell orbit A G of the group G A by geerated the 1...,. I this paper, we examied the ell orbits of the cetro-polyhedral groups, set A a a a,,,,, for 3 ad the cetro-polyhedral groups 3,,4,,,5,,,6, 3,,, 4,,, 5,,, 6,, with respect to the geeratig set ad the order of geerators. 000 Mathematics Subject Classificatio: 11K31, 0F05, 0D60 Keywords: ell Series, Group, Leght Giriş Bilidiği gibi lieer idirgemeli diilere, matematik, fiik, bilgisayar bilimleri saat ve doğa bilimleri gibi moder bilimi bir çok alaıda rastlamaktadır. Bulara örek olarak [5,6,15-3,6,8-35,37] çalışmaları verilebilir. Gruplarda idirgemeli diiler, ilk olarak 1960 da Wall [36] tarafıda çalışılmıştır. Wall bu çalışmasıda, devirli gruplarda stadart Fiboacci diilerii periyotlarıı icelemiştir. Soraki süreçte, bir çok bilim adamı teoriyi çeşitli idirmeli diilere taşımıştır. Bulara örek olarak [1-3,7-1,14,4,5,7] çalışmaları verilebilir. ell diisi, 0 0, 1 1 başlagıç elemaları ile 1 içi bağıtısı ile taımlaır. ell diisi şeklide meydaa gelir. (1) 1 1 1,,5,1,9,70,169, Kılıç ve Taşçı [34] de geelleştirilmiş k-mertebede ell sayılarıı k diilerii, 1 k 0 içi This roject was supported by the Commissio for the Scietific Research rojects of Kafkas Uiversity. The roject umber. 013-FEF-7 81

2 i 1 eğer 1- i, 0 diğer durumlarda, Başlagıç elemaları ile, 0 ve 1i k içi bağıtısı ile taımlamışlardır. Burada..., () i i i i 1 k i, i. diii. terimidir. () de i k olarak alıırsa k ifadesi geelleştirilmiş k-mertebede ell sayısı olarak adladırılır. k olarak alıırsa k diisi stadart ell diisie idirgeir. Taım 1.1. Eğer bir dii belli bir oktada sora bir alt diii tekrarı şeklide meydaa geliyorsa bu diiye periyodiktir deir. Öreği; a, b, c, d, e, c, d, e, c, d, e, diisi periyodiktir ve peryodu 3 tür. Deveci ve Karaduma [11] de k geelleştirilmiş k-mertebede ell diisii m modulüe k, m k göre idirgeyerek, mod m i olmak üere k, m k, m 1, k m k m, diisii elde etmiş ve bu diii periyodik olduğuu göstermişlerdir. Bu çalışmada diisii periyodu hk m ile gösterilmiştir. Deveci ve Karaduma ayı çalışmada, solu bir gruptaki geelleştirilmiş k-mertebede ell diisii aşağıdaki gibi taımlamışlardır: Solu bir gruptaki geelleştirilmiş k-mertebede ell diisi, grubu 8 km, x 0, x1, x, x3,, x, elemalarıı bir diisidir. Burada, x0, x1, x,, x j 1 grubu üreteçleri olmak üere, bu üreteçler diii başlagıç elemaları olarak kabul edilerek j içi diii elemaları, şeklideki bağıtı yardımıyla taımlaır. x x x x ; j k içi xk xk 1 x 1 ; k içi Ayrıca, diii x0, x1, x,, x j 1 başlagıç elemalarıı grubu üreteçleri olması gerekir ve buda dolayı solu bir gruptaki geelleştirilmiş k-mertebede ell diisi grubu yapısıı yasıtır. x0, x1, x,, x j 1 tarafıda üretile solu bir gruptaki bir geelleştirilmiş k- mertebede ell diisi k ; 0 j 1 Q G x x ile gösterilir. Theorem 1.1 (Deveci ve Karaduma [13]). Solu bir gruptaki bir geelleştirilmiş k- mertebede ell diisi periyodiktir.

3 Bu çalışmada, QkG; x0 x j 1 diisii peirodu k ; 0 j 1 Taım l m > içi l m, Q G x x ile gösterilmiştir., polyhedral grubu aşağıdaki gibi taktim edlir l m : x y xy 1. l, m, polyhedral grubuu solu olması içi gerek ve yeter şart lm 1 m l lm lm olmak üere 0 l m polyhedral grubuu mertebesi lm dir. olmasıdır. l, m, Taım 1.3. l, m, içi l, m, cetro-polyhedral grubu aşağıdaki gibi taktim edlir l m : x y xy. Bu gruplar içi detaylı bilgi [,4] çalışmalarıda buluabilir. Taım 1.3 (Deveci ve Karaduma [13]). A a a a tarafıda üretile G A grubuu G elemalarıı aşağıdaki gibi taımlaa x i diisidir: A 1..., olmak üere A kümesi geelleştirilmiş ell orbiti G i 0 i 1 içi xi ai 1 başlagıç elema ile i 0 içi x x x x x olup burada 1 j 1 olacak şekilde i i i1 i i1 j j dir. j 1 G A diisi periyodik olup bu diii periyoduu uuluğu LEN A G ile gösterilmiştir. Burada 1 olarak alıırsa G A 83 diisi A G diisie idirgeir ve A G diisie G grubuu A gere kümesie göre ell orbiti deir. LEN AG ifadesie ise G grubuu A gere kümesie göre ell uuluğu deir. Dikkat edilirse bir grubu ell orbiti, gere sayısı basamak sayısı olarak alıa geelleştirilmiş k-mertebede ell diisidir. Dolayısıyla ell orbiti periyodiktir ve bu peryot 1 Q G; a a değerie eşittir. Yukarıdaki taımlarda açıkca görülür ki; solu bir grubu gerek ell orbitii uuluğu gerekse bu gruptaki geelleştirilmiş k-mertebede ell diisii periyodu seçile gere kümesie ve buu üeride seçilecek başlagıç elemalarıı diilişie bağlı olarak değişir.

4 Temel Souçlar ve İspatlar Teorem.1. G, cetro-polyhedral gruplarıda herhagi birisi olsu. Bu durumda G grubuu gere kümesie ve gere elemaları sıralamasıa göre ell uuluğu şeklidedir. LEN G 7, çift ise, 14, tek ise İspat. İspatı grubu içi yapacağı. Heme belirtelim ki, bu grup şeklide takdim edilir ve x ve y 4 dür. : xy i durumua göre,, orbiti içi aşağıdaki iki durum sö kousudur: Eğer sayısıı tek çarpaı var ise, 0 1,, orbiti x x, x y, x x x, x x, x x x x, x x, x x x x, x x, x x, 54i 1i1 i 1414i 1514i 1614i şeklide olup burada 1, N ve 1 ve ya 1 yada dir. Bu diii periyoduu uuluğuu belirmek içi x14 14 i x14, x15 14 i x15, x16 14 i x16 olacak şekilde e küçük i doğal sayıı belirlemek yeterli olcaktır. Dolayısıyla k 4i e küçük i doğal sayıı bulmamı gerekmektedir. Eğer çift ise LEN,, 14 7 olur. k N yai k i olacak şekilde i bu şartı sağlaya e küçük doğal sayı olacağıda Eğer tek ise i bu şartı sağlaya e küçük doğal sayı olacağıda LEN,, 14 olur. şeklide ise, Eğer, u u N,, orbiti 84

5 x x, x y, x 0 1 x x, x y, x x x, x y, x x x, x y, x, 14i 14i 14i1 14i şeklide olup bu diii periyoduu uuluğuu belirmek içi x x x, x x y, x x olacak şekilde e küçük i doğal sayıı belilemek 14i 0 14i1 1 14i yeterli olcaktır. Dolayısıyla k 4i k N sayıı bulmamı gerekmektedir. çift olduğuda LEN,, 14 7 olur. olup ve,, grupları içi ispat beer şekildedir. Teorem.. G, yai k i olacak şekilde e küçük i doğal i bu şartı sağlaya e küçük doğal gurubu olsu. Bu durumda G grubuu ve gere elemaları sıralamasıa göre ell uuluğu 14 dür yai gere kümesie şeklidedir. LEN 14 İspat. Heme belirtelim ki, bu grup : xy şeklide takdim edilir ve y ve x 4 dür. i tüm değerleri içi grubu oluşturduğu ell diisi x x, x y, x, x, x x, x x, x y, x x, x y, x, x, x x, x x, x y, x x, x y, x, şeklide olup bu diii periyoduu uuluğu 14 olur. Teorem.3. G,, veya,, cetro-polyhedral gruplarıda herhagi birisi olsu. Bu durumda G grubuu gere kümesie ve gere elemaları sıralamasıa göre ell uuluğu şeklidedir. LEN G h 3 4 1, çift ise, h3 4 1, tek ise 85

6 İspatı,, grubu içi yapacağı. Heme belirtelim ki, bu grup şeklide takdim edilir ve x y 4 1 ve 1 : xy i durumua göre dir.,, orbiti içi aşağıdaki iki durum sö kousudur: Eğer sayısıı tek çarpaı var ise, x x, x y, x 0 1,, orbiti x x, x x, x 8 h3 4 1 h h3 4 1 x x, x x, x 16 1 h3 41 h h3 41 x x, x x, x, 8i8 1 h3 41 ih3 41 h3 41 ih h3 41 ih3 41 şeklide olup burada, N dir. Bu diii periyoduu uuluğuu belirmek içi x x, x x, x x h 4 1 ih 4 1 h 4 1 h 4 1 ih h h 4 1 ih 4 1 h 4 1 olacak şekilde e küçük k N 1 k 1 i ve 1 k 4i 1 bulmamı gerekmektedir. Eğer çift ise LEN h3 4 1 olur. i i doğal sayıı belirlemek yeterli olcaktır. Dolayısıyla olacak şekilde e küçük i doğal sayıı i bu şartı sağlaya e küçük doğal sayı olacağıda Eğer tek ise i bu şartı sağlaya e küçük doğal sayı olacağıda LEN h olur şeklide ise, Eğer, u u N 0 1,, orbiti x x, x y, x x x, x y, x 4 1 h3 41 h h3 41 x x, x y, x 8 1 h3 41 h h3 41 x x, x y, x, 4 1 ih3 41 ih ih3 41 şeklide olup bu diii periyoduu uuluğuu belirlemek içi x x x, x x y, x x olacak şekilde e küçük i doğal h 4 1 i 0 h 4 1 i1 1 h 4 1 i sayıı belirlemek yeterli olcaktır. Dolayısıyla 1 k 4 1i k N i yai k i 86

7 olacak şekilde e küçük i doğal sayıı bulmamı gerekmektedir. çift olduğuda 4 1 olur. şartı sağlaya e küçük doğal olup LEN h3 Varsayım.1. G, kümesie ve gere elemaları yai şeklidedir. gurubu olsu. Bu durumda G grubuu i bu gere sıralamasıa göre ell uuluğu LEN h Lemma.1.i. LEN LEN ii. LEN LEN,,4 4,, 8. iii. LEN LEN iv. LEN LEN,,6 6,, 168. İspat. İspat Teorem. i ispatıa beer olarak direk hesaplama ile yapılır. h dir Kayaklar 1. Aydı, H. ad Dikici, R., The Fiboacci Quart., 36(3), 1998, Campbell, C. M., Campbell,.., J. Appl. Math. Comput., 19, 005, Campbell, C. M., Doostie, H. ad Robertso, E. F., Kluwer Academic ublishers, 1990, Coxeter, H. S. M., Moser, W. O. J., Geerator ad relatios for discrete groups, 3 rd editio, Spriger, Berli, Becker,. G., J. Number Theory, 49(3), 1994, Bosma W. ad Kraaikamp, C., J. Number Theory, 34(3), 1990, Deveci O. ad Karaduma, E., J. Appl. Math., , Deveci, O., Chiag Mai J. Sci., 40(1), 013, Deveci O. ad Karaduma, E., Discrete Dy. Nat. Soc., 011, Deveci O. ad Karaduma, E., Liear Algebra ad its Appl., 437, 01, Deveci O. ad Karaduma, E., The ell sequeces i fiite groups, Util. Math., to appear. 1. Deveci, O., The ell-adova sequeces ad the Jacobsthal-adova sequeces i fiite groups, Util. Math., to appear. 13. Deveci O. ad Karaduma, E., Requrrece Sequece İ Groups, LAMBERT Academic ublishig, Germay, Doostie H. ad Hashemi, M., J. Appl. Math. Comput. 0, 006,

8 15. El Naschie, M.S., Solitos & Fractals, 6, 005, El Naschie, M.S., Solitos & Fractals, 4, 005, Falco S. ad laa, A., Solitos ad Fractals, 41, 009, Fraekel A.S. ad Klei, S. T., Discrete Appl. Math., 64, 1996, Gogi N.D. ad Myllari, A.A., published i rogrammirovaie, 33(), 007, Kalma, D., The Fiboacci Quart., 0(1), 198, Kaluge, G. R., Makalah IF 3058 Kriptografi-Sem. II Tahu 010/011.. Kılıç E. ad Stakhov, A.., Solitos ad Fractals, 40, 009, Kirchoof, B.K., Rutishauser, R., Bot Gaette, 151(1), 1990, Kox, S.W., The Fiboacci Quart., 30(), 199, Lü K. ad Wag, J., Util. Math., 71, 007, Madelbaum, D. M., IEEE Trasactios o Iformatio Theory, 197, Oka, E., Aydi H. ad Dikici, R., Appl. Math. ad Compt., 143, 003, ich, R.E.G., Recurret sequeces modulo prime owers, I M. Galey (ed.) Crptography ad Codig III, IMA Coferece Series (s.) vol.45, Ist. Math. Ad Its Appl., Oxford uiversity ress 1993, rocedigs, 3rd IMA, Coferece Crptography ad Codig, Cirecester December Spiadel, V.W.,The family of metallic meas, Vis Math., 1(3), Spiadel, V.W., It. Math. J., (3), 00, Stakhov, A.., Rep. Natl. Acad. Sci., Ukraie, 9, 1999, Stakhov A.. ad Roi, B., Chaos, Solitos ad Fractals, 7, 006, Syei, W., It. J. lat Sci., 154(), 1993, Taşçı D. ad Kılıç, E., Appl. Math. Comput. 0, 006, Tuğlu, N., Kocer E.G. ad Stakhov, A.., Appl. Math. ad Compt., 155, 004, Wall, D.D., Amer. Math. Mothly, 67, 1960, Yılma, F. ad Bokurt, D., It. J. Cotemp. Math. Scieces, 4(34), 009,