Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi. Quadratic (Exceptional) Jordan Algebra of Dimension 54
|
|
- Ilkin Karabulut
- 5 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Afyo Kocatepe Üiversitesi Fe ve Mühedislik Bilimleri Dergisi Afyo Kocatepe Uiversity Joural of Sciece ad Egieerig AKÜ FEMÜBİD 8 (08) 00 (- 55) AKU J. Sci. Eg. 8 (08) 00 (- 55) DOİ: /fmbd Boyutlu (Eceptioal) Kuadratik Jorda Cebiri Atilla Akpıar Uludağ Üiversitesi, Fe Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü, Bursa. e-posta: aakpiar@uludag.edu.tr Geliş Tarihi: ; Kabul Tarihi: Aahtar kelimeler Eceptioal (kuadratik) Jorda cebirleri; Lokal halka; Octoio düzlem Özet Bu makalede, O karakteristiği ve de farklı bir R cismi üzeride taımlı bir octoio (Cayley- Dickso) R-cebiri, O ve 0 olmak üzere girdileri A OO lokal halkasıda alıarak oluşturula matris uzayıı H A, J ile gösterile simetrik elemalarıı bir özel alt kümesi ile çalışılmıştır. Bu küme üzeride bir orm form (determiat) ve bir iz form (bir matrisi izi) yardımıyla öce bir kübik cebir yapısı kurulmuş ve bu sayede 54 boyutlu (eceptioal) kuadratik Jorda cebiri elde edilmiştir. Quadratic (Eceptioal) Jorda Algebra of Dimesio 54 Keywords Eceptioal (quadratic) Jorda algebras; Local rig; Octoio plae Abstract I this paper, the special subset of symmetric elemets deoted by H A, J of matri spaces, whose etries are take from A OO local rig where O is a octoio (Cayley-Dickso) algebra defied over a field of characteristic ot two ad three, O ad 0, is studied. A cubic algebra structure is first costructed by a orm form (determiat of a matri) ad a trace form (trace of a matri) o the set, ad so it is obtaied (eceptioal) quadratic Jorda algebra of dimesio 54. Afyo Kocatepe Üiversitesi. Giriş Jorda cebirleri, bir fizikçi ola ve kuatum mekaiğii cebirsel formulasyouu elde etmeye çalışa P. Jorda tarafıda 90 ları başlarıda çalışılmıştır. Bu yödeki çalışmalarıyla, bu cebirler ile Lie grupları arasıdaki ilişkii görülmesie ve bazı geometrik keşiflere yol açmıştır. Moufag (9), Harmoik Nokta Teoremii sağlaya Dezargsel olmaya bir projektif düzlem öreği ola bir projektif octoio düzlem kurmuş ve bu düzlemi octoio (Cayley-Dickso) bölümlü cebiri ile koordiatlamıştır. Girdileri bir O octoio R-cebirde alıarak t oluşturula matris uzayıı X a X ivolusyou altıda simetrik kala elemaları H alt uzayı üzeride, X g Y XY YX O çarpma (Jorda çarpımı) işlemi taımlaırsa H O bir Jorda R-cebiri yapısıa sahip olur. Faulker (970) a göre, H O cebirii bir octoio düzlemi taımlamakta ilk olarak Jorda (949) kullamıştır. Jorda bu çalışmasıda O yu reel sayılar cismi üzeride taımlı bir reel octoio bölümlü cebiri olarak almış ve bir projektif düzlemi okta ve doğrularıı temsil etmek içi H O deki primitive idempotetleri kullamıştır. Freudethal (95), Jorda ı (949) çalışmasıdakie bezer bir kuruluş vermiştir. Spriger (960), Jorda ve Freudethal tarafıda verile taımı O u karakteristiği ve de farklı bir cisim üzeride taımlı bir octoio bölümlü cebir olması durumuda da geçerli olduğuu göstermiştir ve bu sayede bir projektif düzlemi okta ve doğrularıı temsil edebilmiştir.
2 Faulker (970), Jorda-Freudethal-Spriger de farklı olarak O yu keyfi karakteristikli bir cisim üzeride taımlı bir octoio (Cayley-Dickso) cebiri almıştır ve burada elde edile bir kuadratik Jorda cebir sııfı yardımıyla taımlaa octoio düzlemler üzeride çalışmıştır. Özka (06); R özdeşlikli, değişmeli ve birleşmeli lokal halka olmak üzere girdileri O octoio R- cebiride alıarak oluşturula matris uzayıı bir kaoik ivolusyoa göre simetrik kala elemalarıı bir özel alt kümesi ile çalışmıştır. Bu küme üzeride ikici bir iç işlem olarak Jorda çarpımı alıarak bu küme öce bir Jorda R cebir yapısıa sahip hale getirilmiş ve daha sora bu küme üzeride bir orm form (determiat) ve bir iz form (bir matrisi izi) taımlamıştır. Bu Jorda R cebiri bir kübik cebir olduğu gösterilerek bu cebiri literatürde iyi bilie 7 boyutlu bir (eceptioal) kuadratik Jorda cebiri olduğu ifade edilmiştir. Üstelik, bu cebir üzeride iz ve orm formu sağladığı özellikler ile bu cebir yardımıyla Bi (980) de verile octoio düzlem taımıdaki bağıtılar detaylı bir biçimde icelemiştir. Bu makalede, O yu karakteristiği ve de farklı bir R cismi üzeride taımlı bir octoio R-cebiri olarak seçeceğiz ama O ve 0 olmak üzere girdileri A OO lokal halkasıda alıarak oluşturula matris uzayıı H A, J ile gösterile simetrik elemalarıı bir özel alt kümesi ile çalışacağız. Özka (06) ı yüksek lisas tezidekie bezer metotla ve bu tezde elde edile bazı souçları da kullaarak öce bu cebiri bir kübik cebir olduğuu göstereceğiz ve elde edile cebiri 54 boyutlu (eceptioal) kuadratik Jorda cebiri olduğuu ifade edeceğiz.. bölüm, ihtiyaç duyula temel bilgileri taım ve teoremler olarak verildiği bölümdür.. bölümde bir özdeşlikli kuadratik Jorda cebir sııfı taıtılacaktır. 4. bölümde H A, J kümesii bir kübik R-cebir olduğua dair işlemler detaylı bir şekilde icelemiştir ve ihayetide bu cebiri 54 boyutlu kuadratik Jorda cebiri olduğu ifade edilmiştir.. Ö Bilgiler Bu bölümde; bu çalışmaya temel teşkil edecek taım ve teoremlere yer verilmiştir. Geel bilgileri bir araya getirilmeside, alfabetik sırayla, Beachy (999), Blyth ve Robertso (00), Çiftçi (05), Elma ve ark. (008), Faulker (04), Fraleigh (98), Hugerford (974), Jacobso (985), Malik ve ark. (997), McDoald (976), Schafer (996) çalışmalarıda faydalaılmıştır. Üstelik, bu bölüm içide verile spesifik bilgiler içi gerekli görüle yerlerde ayrıca başka çalışmalar da referas gösterilmiştir. Taım.. R i her a elemaı içi ai I ve Ia I şartlarıı sağlaya bir I alt halkasıa R halkasıı bir ideali deir. Taım.. R bir halka ve M R, R i bir ideali olsu. Eğer M I R şartıı sağlaya hiçbir I ideali yoksa M ye R i maksimal ideali deir. Taım.. Aşağıda birbirie dek olarak verile şartlarda bir taesii sağlaya bir R halkasıa lokal halka deir: a) R i bir tek maksimal ideali vardır. b) R i tüm birim olmaya (tersi olmaya) elemaları bir tek has idealde kapsaır. c) R i birim olmaya (tersi olmaya) elemaları bir has ideal oluşturur. d) r R içi ya r ya da r birimdir. Taım.4. Birleşmeli olmaya bir R halkasıda her a, b R içi ve a ab aa b abb abb sırasıyla, sol ve sağ altere şartları sağlaıyorsa R ye altere halka deir. Teorem.5. R bir altere halka olsu. Bu takdirde, Moufag özdeşlikleri olarak da isimledirile, aşağıdaki eşitlikler geçerlidir (Pickert, 955; Faulker, 04): a) baca baca b) acab acab
3 c) abca abca. Taım.6. M bir R modül olmak üzere, M i M ve M ile gösterile iki alt modülü (alt uzayı) verilsi. Eğer, ) M M M dir. ) M M dır. 0 şartları sağlaıyorsa M ye M ve M i direkt toplamı deir ve bu durumda M M M yazılır. Taım.7. R özdeşlikli bir halka ve M bir R modül olsu. M i kedisii ürete (veya gere) lieer bağımsız bir alt kümesie M bir bazı deir. Eğer M i bir bazıı oluştura solu sayıda i, i,..., i elemaları varsa M ye bir serbest (free) R modül deir. Taım.8. Bir M R modülü herhagi bir bazıdaki elema sayısıa M i boyutu deir. Taım.9. M, M,..., M ve M R modülleri verilsi. i,i özelliğide seçilmiş bir tamsayı, y, j ve j i içi M j j ve R, Mi olmak üzere aşağıdaki şartları sağlaya bir f M M L M M döüşümüe bir - : lieer döüşüm deir: NL) f (,...,, y,,..., ) i i f (,...,,,,..., ) f (,...,, y,,..., ) i i i i dir. NL) f (,...,,,,..., ) f (,...,,,,..., ) dir. i i i i Burada sadece i. bileşe göz öüe alıırsa f i bu bileşe içi lieer olduğu görülür. tae bileşe içi lieerlik şartlarıı sağlaması istediğide f ye -lieer döüşüm adı verilmektedir. Özel olarak alıırsa f ye -lieer (bilieer) döüşüm deir. Taım.0. M bir R modül olsu. M M M M L olmak üzere f : M R döüşümü -lieer ise f ye M üzeride -lieer döüşüm ya da kısaca -lieer form adı verilir. Taım.. f, M üzeride bir -lieer döüşüm olsu. Eğer her (,..., ) sıralı -lisi ve her i j içi f(,...,,...,,..., ) f(,...,,...,,..., ) i j j i ise f ye simetrik -lieer döüşüm, f(,...,,...,,..., ) f(,...,,...,,..., ) i j j i ise f ye ati-simetrik -lieer döüşüm deir. Taım.. M ve M iki R modül olsu. Aşağıdaki şartları sağlaya bir Q: M M döüşümüe bir kuadratik döüşüm deir: KU) Her dir (yai R ve her y M foksiyodur). KU) Her, y M içi içi Qy Q y Q derecede homoje poliom Q, y Q y Q Q y özelliğide M M de M ye bir simetrik ve -lieer döüşüm vardır (Lierizasyo ya da polarizasyo özelliği). M M ike Q kuadratik döüşümüe M üzeride bir kuadratik döüşüm deir. M R ike Q kuadratik döüşümüe bir kuadratik form, bu durumda Q, y ye de birleştirilmiş -lieer form deir (Burada Q, Q olduğua dikkat ediiz.). Taım.. M ve M iki R modül olsu. Aşağıdaki şartları sağlaya bir N : M M döüşümüe bir kübik döüşüm deir: KÜ) Her R ve her y M içi N y N y dir (yai N. derecede homoje poliom foksiyodur). KÜ) Her, y, z M içi N, y, z N y z N y N y z 6 N z N N y N z özelliğide M M M de M ye bir simetrik ve - lieer döüşüm vardır (Lierizasyo ya da polarizasyo özelliği).
4 M M ike N kübik döüşümüe M üzeride bir kübik döüşüm deir. M R ike N kübik döüşümüe bir kübik form, bu durumda N, y, z ye de birleştirilmiş -lieer form deir (Burada,, N N olduğua dikkat ediiz.). Thomas (04) ı çalışması yardımıyla Taım. ve Taım. ü geellemesi aşağıdaki biçimde yapılabilir. Taım.4. M ve M iki R modül olsu. bir tamsayı olmak üzere aşağıdaki şartları sağlaya bir f : M M döüşümüe bir. derecede döüşüm deir: ND) Her R ve her y M içi f y f y dir (yai f. derecede homoje poliom foksiyodur). ND) Her,,..., M ve H,,,..., k içi! B,,..., f S, S : f H H i k H, H k ih özelliğide M M M L M de M ye bir B f simetrik ve -lieer döüşüm vardır (Lierizasyo ya da polarizasyo özelliği). M M ike. derecede döüşüme M üzeride. derecede döüşüm deir. M R ike. derecede döüşüme bir. derecede form, bu durumda,,..., B ye de birleştirilmiş - f lieer form deir (Burada olacağıa dikkat ediiz.). B,,..., f ( ) Özel olarak; M üzerideki bir. derecede form bir lieer form olarak isimledirilir. içi Taım. de kuadratik ve içi Taım. de kübik ifadeleri daha öce kullaılmıştı. Schafer (996) da, bir birleşmeli cebirde bir Lie cebiri veya bir Jorda cebirii asıl elde edildiği aşağıda verilecektir. M bir birleşmeli R cebir ike M üzeride her, y M içi e y y y f biçimide yei bir çarpma (Lie çarpımı) işlemi taımlası. Burada, e 0 dır. Bu yei çarpma işlemi ile M de elde edile cebir M gösterilsi. M deki çarpma hem ati-komütatiftir hem de Jakobi Özdeşliği olarak bilie e y e z y e z e z e e y 0 eşitliğii sağlar. Bu şekilde elde edile M ile ye bir Lie cebiri deir. Üstelik M i bu işleme göre kapalı ola herhagi bir alt cebiri de Lie cebiri yapısıa sahip olur. M bir birleşmeli R cebir ike M üzeride her, y M içi g y y y biçimide yei bir çarpma (Jorda çarpımı) işlemi taımlası. Burada, g yai g dir. Bu yei çarpma işlemi ile M de elde edile cebir M ile gösterilsi. M daki çarpma hem değişmelidir hem de Jorda Özdeşliği olarak bilie g g gy g gy g eşitliğii sağlar. Bu şekilde elde edile M ya bir Jorda cebiri deir. Üstelik M ı bu işleme göre kapalı ola herhagi bir alt cebiri de Jorda cebiri yapısıa sahip olur. Böylece, Jacobso (968) da aşağıdaki taımı verebiliriz. Taım.5. Herhagi bir cebir M Jorda cebirii herhagi bir alt cebirie izomorf ise bu cebire özel Jorda cebiri adı verilir. Özel olmaya Jorda cebirleri eceptioal Jorda cebirleri olarak adladırılır. Taım.6. ( R,, ) ve ( R,, ) iki halka olsu. : R R birebir ve örte bir homomorfizm (veya ati-homomorfizm) ise döüşümüe R de R ye bir izomorfizm (veya ati-izomorfizm) deir. R i kedisi üzerie bir izomorfizmie (veya atiizomorfizmie) R üzeride bir otomorfizm (veya ati-otomorfizm) deir. 4
5 Taım.7. R bir halka olsu. i, R üzeride özdeşlik döüşümü olmak üzere mertebesi (peryodu) (yai f i ike f i) ola bir f otomorfizmie (veya ati-otomorfizmie) R i bir ivolusyou (veya ati-ivolusyou) deir. Taım.8. R bir halka ve f de R i bir ivolusyou (ya da ati-ivolusyou) olsu. R i f ivolusyou (ya da ati-ivolusyou) altıda değişmez kala elemalarıa elemaları deir. R i simetrik A bir altere cisim ve A olsu. A : A( ) A A ( 0) üzeride toplama ve çarpma iç işlemleri her aba, içi a b y z w z y w a b y z w z w yz şeklide taımlası. Teorem.9. A,, bir lokal altere halkadır ve birim olmaya elemalarıı oluşturduğu küme I A bir idealdir (Bluck, 99). Bu çalışmada A, reel sayılar üzeride bilie D dual sayılar halkasıı (Bez, 97) bir geellemesi olduğuda, altere dual sayılar halkası olarak da isimledirilebilir. A hakkıda daha detaylı bilgi içi Bluck (99) a bakılabilir. Teorem.0. A ı birleşmeli olması içi gerek ve yeter şart A ı birleşmeli olmasıdır. A ı merkezi Z ile gösterilsi. Bu durumda, A : Z Z Z Z kümesi A ı merkezi olup A ı değişmeli ve birleşmeli bir alt halkasıdır (Bluck, 99). A birleşmeli değil ise bu takdirde A kedi Z merkezi üzeride bir Cayley-Dickso (octoio) bölümlü cebiridir (Bruck-Kleifeld Teoremi olarak da isimledirile bu teorem içi bkz. (Steveso, 97; Faulker 04)). A birleşmeli değil ise A ı Schafer (996) da taımlaa çarpma ile birlikte 0 7 e, e,..., e biçimide bir baza sahip olduğu Bluck (99) da ifade edilmiştir. Karakteristiği de farklı olması durumuda Jacobso (985), s. 448 deki çarpım tablosu ile birlikte c, c, c sıfırda farklı elemalar olmak üzere A ı i =,i,i,i,i,i,i,i biçimide bir bazı vardır. Buda sora A ile, Z üzeride karakteristiği de farklı ola bir Cayley-Dickso (octoio) bölümlü cebiri kastedilecektir ve bu cebir O ile gösterilecektir. Şimdi, O cebiri üzeride aşağıdaki taımları ve bu taımlarda elde edile souçları verebiliriz. Taım.. a a i a i... a i O olmak üzere : O O içi a a i a i... a i biçimide taımlaa döüşüme eşleik alma döüşümü deir. Bu taıma göre O içi y ve yo, içi y dir, yai eşleik alma döüşümü O u bir ati-ivolusyoudur. Taım.. : O Z içi biçimide taımlaa döüşüme orm form, e de i ormu veya orm formu deir. Bu taıma göre a a i a i... a i O içi a c a c a c c a c a olur. Taım.. t: 0 4 c c a c c a c c c a O Z içi t biçimide taımlaa döüşüme iz form de i izi veya iz formu deir., t e Bu taıma göre a a i a i... a i O içi olur. t t a 0 Taım.4. OO Z ye her yo, içi 5
6 , y y y biçimide taımlaa döüşüme birleştirilmiş form deir. Taım.5., : t y t y form adı verilir. OO Z ye her yo, içi olarak taımlaa t ye jeerik iz Bu taıma göre, her O içi t, t t, y t y ve t, t olacağı açıktır., Bu cebir üzeride, bu souçlar ile birlikte iz ve orm foksiyolarıı sağladığı özellikleri aşağıdaki teorem yardımıyla veriyoruz. Bu souçları ispatı içi Schafer (996), Jacobso (985), Çelik (995), Akpıar (007) ve Özka (06) çalışmalarıa bakılabilir. Teorem.6., y, z O aşağıdakiler sağlaır: ) t iz formu lieerdir. ) y y ) t olsu. Bu takdirde dir (Norm form çarpılabilirdir) ² 0 dır. 4) 0 0 dır. Eğer 0 ise dir. 5), y t y, t dir. Özel olarak, y içi olur. 6) birleştirilmiş formu simetrik ve -lieerdir. 7) t jeerik iz formu simetrik ve -lieerdir. 8) t, y t, y dir. 9) y, zw zy, w, z y, w 0) y, wz w, yz y, w, z ) t asosyatiftir, yai t y, z t, yz ), y, y dir. ) t, y t t y, y dir. dir. dir. dir. A daki k : a eşleik alma döüşümü A ya k : y a y biçimide geişletilir. A üzeride t ile gösterile a iz form ve ile gösterile a orm form döüşümlerii A daki karşılıkları içi sırasıyla t ve sembolleri kullaılacaktır. t ve döüşümlerii, sırasıyla, t ve i A ya kısıtlamışları olduğu açıktır. Şimdi, O cebiri üzeride verdiğimiz tüm taım ve bu taımlarda elde edile souçları A OO cebiri üzerie taşıyabiliriz. Taım.7. AA Z A ye her aba, içi a, b a b a b biçimide taımlaa döüşüme birleştirilmiş form deir. Taım.8. AA Z A ye her aba, içi a, b: ab t t olarak taımlaa t ye jeerik iz form adı verilir. Bu durumda aşağıdaki souçları heme ifade edebiliriz. Her a y, b z wa içi a a ve ab b a dir, yai eşleik alma döüşümü A ı bir ati-ivolusyoudur (Bluck, 99). Üstelik, a t t y a a, y ( a) ve t t olur (Çelik, 995). Bu iki souca çalışma boyuca sıkça ihtiyaç duyacağız. Bu cebir üzeride, bu souçlar ile birlikte iz ve orm foksiyolarıı sağladığı özellikleri aşağıdaki teorem yardımıyla veriyoruz. Bu souçları çoğuu ispatı Bluck (99) ve Çelik (995) çalışmalarıda buluabilir. Teorem.9. a, b, c, d A olsu. Bu takdirde aşağıdaki öermeler sağlaır: ) t iz formu lieerdir (Bluck, 99). ) ab a b dir yai orm form çarpılabilirdir (Bluck, 99). ) a aa a ² t 0 dır (Bluck, 99). 4) a 0 ai dır. Eğer aa\ I a a a dir(bluck, 99). ise 6
7 5) a, b ab t dir. Özel olarak, b içi a, a t olur (Çelik, 995). 6) birleştirilmiş formu simetrik ve -lieerdir (Bluck, 99). 7) t jeerik iz formu simetrik ve -lieerdir (Bluck, 99). 8) ab, a, b t t dir. 9) ab, cd cb, ad a, c b, d dir. 0) ba, dc da, bc b, d a, c ) t asosyatiftir, yai ab, c a, bc dir. (Bluck, 99). ) a, b a, b dir. ) a, b a b a, b t t t dir. t t dir Bu çalışma boyuca çokça kullaacağımız bir soucu aşağıda ispatıı veriyoruz. Souç.0. Her a y, b z wa içi,,,, a b z w z y dir. İspat: Farklı iki yolda ispatı vermek mümküdür:. Yol: a, b y, z w y z w y z w z y w y z w olup, a y olduğu kullaılırsa ab,, y z z w z z y w,,, y z w z y w z z,,, y z w z y w z z,, elde edilir. So eşitlikte i birleştirilmiş form olduğu ve -lieerliği kullaılırsa, y, w z, y a, b, z z, w, y z, w, z, w z, y olarak buluur.. Yol: a, b ab t ve a, b t y z w t z w yz t z t w yz olur. So ifadede t y, y lieerliği kullaılırsa a, b, z t w t yz t a t t y olduğuda,,, z w y z olarak elde edilir. ve t iz formu. Özdeşlikli Kuadratik Jorda Cebirleri Bu bölümde, çalışacağımız Jorda cebir sııfı hakkıdaki bilgiler bir araya getirilmiştir. Jorda cebirleri hakkıda daha detaylı bilgi içi (Jacobso 968), kuadratik Jorda cebirleri hakkıda daha fazla bilgi içi (Jacobso, 969) çalışmalarıa bakılabilir. Öce kübik cebir taımı içide ihtiyaç duyulacak bazı kavramlar detaylı olarak ele alıacaktır. McCrimmo (004) da bir kübik döüşümü ilk ve tam lierizasyou ile ilgili bilgiler kullaılarak aşağıda souçlar elde edilmiştir. M bir R modül olsu. Her X M ve her R içi M üzeride bir N kübik döüşümü verilsi. Bu durumda, X... olacak biçimde,,..., R elemalarıı var olduğu kabul edilsi. Böylece, N kübik döüşümü N X N... N,,, i i N i j i j N i j k i j k i i j i jk 7
8 biçimide yazılarak,,..., halkasıa geişletilmiş olur. Şimdi N y R poliom yi hesaplamak istiyoruz.... ifadeside,,... 0 ve, y olarak seçilirse,, N y N N y N y N y olur. Burada,,, N y N N y N y N y yazılabilir. So eşitliği her iki tarafı ya bölüür ve 0 ike her iki tarafı limiti alıırsa N y N lim lim N, y N y, N y 0 0 N, y elde edilir. N, y ye N i oktasıda y yöüdeki diferasiyeli (veya yölü türevi) deir. Bu durumda,, N y N N olarak ifade y y edilebilir. Üstelik, N, y de kuadratik y de lieerdir. Bu özellikteki N, y ye N i ilk lierizasyou adı verilir.,, alarak N, y terimi yalız N y N N y N y N y eşitliğide bırakılırsa,, N y N y N y N N y () buluur. Burada,,, N y N y N y N N y () elde edilir. () de y alıırsa,, N N N N 8 N N N 8N N 7N 9N N 8N N 9N olur. N, M üzeride bir kuadratik döüşüm ve T de M üzeride taımlı bir simetrik ve -lieer döüşüm olmak üzere N : M M R döüşümü her içi N, y: T, y, y M M olarak taımlası. N ; de kuadratik y de lieer ola. derecede homoje bir poliom foksiyodur., : T y,,,,, T y olmak üzere özel olarak y içi N T T ve içi N y T y T y T y olur. Bu durumda N y alarak, de yerie ve y yerie,, N N, N, N N T T N N N N N elde edilir. N : p T T N olarak taımlası. Bu polioma jeerik miimum poliom adı verilir. Burada, her içi N 0 0 olacağıda p T T N 0 eşitliğii sağlaacağı açıktır. Burada, T T N T T N T : S ve : T S taımlaırsa N ve yazılabilir. Böylece, mümkü olacaktır. olarak olarak yazılması S döüşümü içi 8
9 S, y S y S S y ifadesie birleştirilmiş form deir. simetrik ola bir döüşümü M her, ym M içi özelliğide M üzeride -lieer ve y : y y M de M ye () olarak taımlası. Bu çarpımı bir başka ifadesi Freudethal çarpım olarak ileride (6) da verilmiştir. (6) yardımıyla işlemii işlemi üzerie dağılma özelliğie sahip olduğu gerçeğii görmek kolaydır. Aşağıdaki teorem S, y i bazı özelliklerii belirlemektedir. Teorem.. S, y birleştirilmiş form içi aşağıdaki öermeler doğrudur: i) S, y T y S, T T T ve S, S ii) S, y simetrik ve -lieerdir. dir. Bu durumda, Şimdi, N y z yi hesaplayabiliriz. dir.... ifadeside,,, ve z alarak;, y,, N, z N y, N y, z N z, N z, y N, y, z N y z N N y N z N y elde ederiz. So eşitlikte terimi yalız bırakılırsa alarak N, y, z N, y, z N y z N, y N, z N y, N y, z N z, N z, y N N y N z ve N u, v ile N v, u biçimideki tüm terimleri ya yaa getirerek,,,, N, z N z, N y, z N z, y N N y N z N y z N y z N y N y buluruz. Bu so eşitlikteki N u, v N v, u biçimideki tüm terimler yerie () de eşiti ola N u v N u N v yazılırsa,, N z N N z N y z N y N z N N y N z N y z N y z N y N N y elde edilir. Gerekli kısaltmalar yapılarak N, y, z yi N ye bağlı olarak,, N z N y z N N y N z N y z N y z N y yazılmış olur. Bu so ifadeye lierizasyou adı verilir. (4) N i tam Aşağıdaki ifade de N i tam lierizasyoua dektir:,, :,,, N y z N z y N y N z y olarak taımlası. Burada, eşitliği sağ tarafıdaki her bir terim yerie () de eşiti yazılırsa,,, N y N y, N N y N z y N y, z N z N y N y z N z y N y z N z N y ve böylece N, y, z N y z N y N z N y z N N y N z elde edilir ki bu (4) deki souçla ayıdır. N, y, z de y ve z yerie alıırsa,, 7N 8N 8N 8N N 7N 8N 8N 8N N 0N 4N 6N N N N N N N 9
10 elde edilir. Acak N,, N istediğide olması N y z N y N z N, y, z 6 N y z N N y N z olarak alıır. Her, y, zm M M içi N, y, z N y z N y N z 6 N y z N N y N z olarak taımlaa N : M M M R döüşümüe birleştirilmiş form deir. İspatı (Özka, 06) da bulua aşağıdaki teorem N ile T döüşümleri arasıdaki ilişkiyi tam olarak ifade etmektedir. Teorem.. Birleştirilmiş form içi aşağıdaki ifadeler geçerlidir: dir. Bu durumda i) N, y, z T z, y N, y, T, y N, y dir. ii) N, y, z birleştirilmiş formu simetrik ve - lieerdir.,, T y N y dir. Bu durumda, T y T T y T y (5) olduğu görülebilir. Bu souç ile birlikte, S, y T y T S ve S, y S y S S y olduğu y y y eşitliğide kullaılırsa; y gy T y yt T T y T, y (6) soucua ulaşılır ki bu eşitlik literatürde Freudethal çarpım olarak bilimektedir. () ve () de elde edilecek N( y) N( ) T(, y) T(, y ) N( y) ve ( y ( y) y ) eşitlikleri kullaarak ispatlaacak aşağıdaki teorem Faulker (04) da Lemma.5 olarak ifade edilmiştir. Teorem.. M bir R modül, N bir kübik döüşüm olmak üzere M, N, sistemide (cebiride) her, y, z, w M içi aşağıdaki öermeler geçerlidir: a) ( ) N( ) b) 4 ( y) N( ) y T(, y ) c) 4 ( y) y T(, y) y T( y, ) d) 8 ( y) ( z) 4 ( y z) T(, y) z T(, z) y T( y z, ) e) 4 ( y) ( w z) ( w y) ( z) ( w) ( y z) T( w, y) z T( w, z) y T( y z, ) w T( y z, w) Şimdi, Bi (980) de kübik cebir taımıı vermek içi hazırız. Taım.4. M, özdeşlikli bir R modül olsu. M üzeride biçimide bir kuadratik döüşüm ve M üzeride bir N kübik form taımlası. Eğer M üzeride aşağıdaki şartlar sağlaırsa M ye bir kübik R cebir deir: ) N dir. ) N() dir. ) T(, y) N, y dir. 4) dir. 5) y y y T y T y, olmak üzere T y y ve -5) şartlarıı hepsi R i tüm skalar geişlemeleri altıda sağlaır. Taım.4 ü. şartıda y N, y : N N y olarak ifade edilebileceğii daha öce belirtmiştik. Bu durumda N döüşümü de kuadratik y de lieer ola bir döüşüm olarak taımlamıştı. 40
11 Bir kübik cebir U y T, y y eşitliği altıda bir özdeşlikli kuadratik Jorda cebiridir (McCrimmo, 969)., U y T y y eşitliğide olarak seçilirse; U y T, y y T y y olur ve U y y olacağıda bu iki souç birleştirilirse T y y y yai y T y y elde edilir. Bu soucu Taım.4 ü 5 olu şartıda yer aldığıa dikkat ediiz., U y T y y eşitliğide y olarak alıırsa; U U T, T ( ) [ ] 0 ( ) [ T( ) ] 0 T T( ) T( ) T( ) S( ) ve böylece elde edilir. T S ( ) ( ) (7), U y T y y eşitliğide y olarak seçilirse; eşitliğide (5) yardımıyla U T(, ) [ ] T T T ve () yardımıyla ( ) ( ) ( ) [ ] T T elde edilir. So eşitlikte yazılırsa ( ) ( ) [ ] i eşiti (6) da T ( ) T( ) T ( ) T( ) [ ( ) ( ) ( T T T, )] olur ve so eşitlikte N( ) olduğu kullaılırsa T( ) T( ) N( ) T( ) T T T T ( ) ( ) ( ) (, ) buluur ki so eşitlikte gerekli kısaltmalar yapılarak T T N ( ) ( ) ( ) T T T ( ) ( ) ( ) T(, ) (8) soucua varılır. Burada T(, ) N(, ) N( ) olduğuda, (8) de T T N ( ) ( ) ( ) T( ) T( ) T( ) yazabiliriz ki T N T T T T ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T ( ) T( ) T( ) T ( ) T ( ) S( ) buluur. Burada (7) kullaılırsa, T T ( ) ( ) N ( ) 0 elde edilir. O halde bir kuadratik Jorda cebiride T T ( ) ( ) N ( ) 0 bağıtısı geçerlidir. Üstelik, N olduğuda bir elemaıı birim olması içi gerek ve yeter şart durumda N i birim olmasıdır ve bu N dir. Bu kuadratik Jorda cebiride Teorem. deki öermeler sağlaır. Bu öermelere bezer daha fazla souç görmek içi McCrimmo (969) a bakılabilir. 4. Bir Kuadratik Jorda Cebir Sııfı R karakteristiği ve de farklı bir cisim, O bir octoio R cebir, O ve 0 olmak üzere girdileri A OO cebiride alıa tüm matrisleri kümesi kısaca A ile gösterilecektir. A kümesi üzeride iç işlemi olarak bildiğimiz matris toplamı ve RA A dış işlemi olarak skalarla bir matrisi çarpımı alıırsa A kümesi bu işlemlerle birlikte R cismi üzeride bir vektör uzayı olur. A üzeride ikici bir iç işlem olarak alışageldiğimiz matris çarpımı alıırsa A,, 4
12 sistemi birleşmeli ama değişmeli olmaya özdeşlikli bir halka yai özdeşlikli bir R cebirdir.,, R i birimleri yai sıfırda farklı 0 0 elemaları olmak üzere 0 0 diyagoal 0 0 matrisii ele alalım ve her T içi a a a X a a a a a a A J X X özelliğide bir J : A A döüşümü taımlayalım. Bu döüşüm A R cebiri üzeride bir ivolusyodur. Gerçektede; her a a a X a a a a a a J X A içi 0 0 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 0 0 a a a 0 0 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a olup T J J X T 0 0 a a a a a a a a a a a a a a a a a a 0 0 a a a 0 0 a a a 0 0 a a a 0 0 a a a a a a a a a a a a a a a X a a a dir. Böyle bir ivolusyoa kaoik ivolusyo deir. Şayet bu ivolusyoda özel olarak I birim matris olarak seçilirse bu ivolusyoa stadart ivolusyo adı verilir (Jacobso, 968; McCrimmo, 004). Üstelik; her XYA, içi T T T T T Y X T T Y X J XY XY Y X J Y J X olduğuda J A üzeride bir ati- ivolusyodur. Şimdi, J ivolusyou yardımıyla A uzayıı simetrik elemalarıı bulmak istiyoruz. Simetrik elemaları oluşturduğu küme H A, J ile gösterilirse bu alt kümei herhagi bir elemaıı;,, Z A olmak üzere a a X a a a a formuda olduğu görülür. Gerçektede; 4
13 J X 0 0 a a a a a a a a a a a a 0 0 a a 0 0 a a 0 0 a a 0 0 a a 0 0 a a 0 0 a a 0 0 a a a a a a a a X a a a a dir. H A, J kümesi A vektör uzayıı bir alt uzayı olur. H A, J alt uzayı üzeride ikici bir iç işlem ola g işlemi, her XYA, T içi X g Y XY YX Jorda çarpımı olarak taımlaırsa A J H,,, g sistemi bir Jorda R cebiri olur. Burada XY ile A R cebiri üzerideki matris çarpımı kast edilmektedir. g işlemi değişmeli olduğuda H A J Jorda R cebiri değişmelidir. Bu çalışmada, A J,,, g H,,, g Jorda R cebirii öce bir kübik cebir olduğuu göstereceğiz ve 54 boyutlu bir (eceptioal) kuadratik Jorda cebiri olduğuu ifade edeceğiz. Şimdi bu cebir üzeride Jorda çarpımıı biraz daha detaylı iceleyelim: Her a y, b z wa ( i,, ) olmak i i i i i i üzere her X, Y A, eşitliğide; H J içi X g Y dij d a b b a a b b a a, b a, b a b a b,,, d a b a b b a b a a b b a a b, d a a b b b b a a b a a b a b, d b a a b a b b a b a a b a b,,, a b a b d a b a b,,, d a b a b b a b a a b b a a b, d b a b a a b a b a b b a a b, d a b b a b a a b b a a b a b, ve,, a, b a, b d a b a b olarak elde edilir. i, j, k,, dairesel permütasyou olmak üzere XY g matrisii bileşeleri ve,, d a b a b ii i i i j k k k j j (9) d a b b a a b ij j k i j i j i j k i j k (0) 4
14 biçimide yazılabilir. Burada i,, içi a y, b z w A ve i i i i i i,,,, i i i i i i i i a b z w y z olduğu (9) ve (0) da dikkate alıırsa d ve ii i i i, z, w y, z j k k k k k k, z, w y, z k j j j j j j, z, z, w y, z, w y, z i i i j k k k j j j k k k k i k j j j j k i i j j i i j j d ij j i j y k k i j z w k k y z w z w y z w y z k i j i j i j z i j z y w i j i j i j y k k i j z w k k j z z w y z z y w j k i j i j i j i j i j i j y i j k k i j z w k k z z w y z z y w j k i j i j i j i j i j i j y i j k k i j z w k k z z z k w y z z y w i j i j i j i j j i j yk i j w k olur. Burada j k i j i j i j k i j k d ij i eşleeğii ediiz. Böylece XY g Jorda çarpımı g X gy y e d d e d e ijk olarak da ifade edilebilir. Şimdi, J ii ii ij ij ij ji ijk d ji olduğua dikkat J H A,,, g kümesi üzeride kuadratik döüşüm olarak adjoit (ek) alma döüşümü, iz form olarak T X iz( X ) ve kübik form olarak da N X det X determiat foksiyou alıırsa Taım.4 deki kübik cebir şartlarıı sağladığıı yai J i bir kübik cebir olduğu göstereceğiz. Bu hedefe hazırlık olarak adjoit alma döüşümü, iz form, orm form ve kübik formla ilgili temel bilgileri veriyoruz. J i herhagi a a X a a a a elemaı içi a Z a Z a Z A, A ve A olmak üzere a a a a a a a a a a a a a a X a a a a a a a olur. Burada,, a y dir. i i i i R içi X X dir. Yai, adjoit alma döüşümü. derecede homoje bir foksiyodur. a a Üstelik J i herhagi X a a ve a a b b Y b b elemaları içi J üzeride b b ikili işlemi Q X, Y X Y : X Y X Y olarak taımlası. Burada, X X X X X 4X X X X olduğua dikkat ediiz. X Y de X ve Y matrisleri yerie yazılırsa, i,, içi a y, i i i b z w A ve i i i,,,, i i i i i i i i a b z w y z olmak üzere 44
15 X a b a b a b a b a b a b Y a a b b a a b b a a b b ab b a a b b a a, b b a b a a b b a a b b a b a a, b b a ab ba a b b a b a b a a, b olduğu görülür. Q X, Y i J üzeride simetrik ve -lieer bir döüşüm olduğuu görmek kolaydır. Böylece, aşağıdaki teoremi ifade edebiliriz. Teorem 4.. Adjoit alma döüşümü J üzeride bir kuadratik döüşümdür. X Y matrisii bileşeleri ciside de ifade etmek mümküdür. i, j, k,, dairesel permütasyou göstermek şartıyla X ii,. bileşei, i, i a, b ve i, j. bileşei, j k j k j k i i Y matrisii () i, j a b b a b a () j k i j i j k k k k i, i, z ve i, j, z y z i, w i j k j k j k i i y, z i i j k j k j k i i, w, j k i i i i, z j k j k j k i i, w y, z j k i i i i y z w z w k i i j j i i y j j k z w k k k y k k j z w y z z z y w k i j i j i j i j i j i j j z w k k k k y k k k k z z w y z z y w k i j i j i j i j i j i j j z w k k k k y k k k k j k z z i j i j z k k k k j k w y z z y w i j i j i j i j w y k k k k olur. Özel olarak X X yai bileşeleri ise i, i, ve, y X matrisii i, y i j k j k j k i i y, i i j k j k i j k i, yi j k j k i j k i i biçimide yazılabilir, burada i, j bileşeii eşleeğii ji,. bileşe olduğu görülür. i,, içi a y, b z wa içi i i i i i i,,,, i i i i i i i i a b z w y z olduğu () ve () de dikkate alıırsa 45
16 i, j y y y y olduğu kolayca görülebilir. Burada, a y A i i i k i i j j i i j j ( i,, ) içi j k k k k k k a, y Z A i i i i y y olduğu kullaılır ve gerekli çarpma işlemleri ile k i j y y i j i j i j y y i j i j birlikte bazı düzelemeler de yapılırsa j y k k k k N X, y y y j k i j i j i j y k k k k, y j k i j k k j k y y i j i j y, y k k t olur. y y y, y Taım 4.. T: J R içi X T X iz( X ) biçimide taımlaa döüşüme iz form, T X e de X matrisii izi deir. Bu taıma göre, Z T X a a X a a J içi a a A olur.,, t y y y, y, y, y y y t y y y Teorem 4.. T iz formu lieerdir. Taım 4.4. N: J R içi X N X det( X ) biçimide taımlaa döüşüme orm form, N X e de X matrisii determiatı deir. Teorem 4.5. Her XYJ, N X N Y içi N X g Y dir (Yai, orm form çarpılabilirdir.). İspat: g det g det det N X Y X Y X Y N X N Y olur. Herhagi bir a a X a a J içi a a a t a a a t a a a a ZA N X a a ijk i j k i elde edilir. So eşitlikte a y A içi t a t t y Z A olduğu dikkate alıırsa, y, y, y y t t y y N X ve burada N X t y y y, y, y t, y soucua varılır. ( i, j, k) (,,) dairesel permütasyou yardımıyla 46
17 N X t ( ijk ) i j k i, y t i j k i j ( ijk ) y y biçimide yazılabilir. Ayrıca, y R içi N X N X olduğua dikkat ediiz. Bu sebeple, N döüşümü. derecede homoje bir foksiyodur. Üstelik, J i herhagi X, Y ve Z elemaları içi JJJ de R ye N X, Y, Z N X Y Z N X Y N Y Z 6 N X Z N X N Y N Z olarak taımlaa döüşümü J üzeride simetrik bir döüşüm olduğu açıktır. N X Y Z t a b c a b c a b c 6,, ijk a b c i i i j k i i i a b a b a b i i j k a b i i t ijk t b c b c b c ijk b c i i j k i i a c a c a c i i j k a c i i t ijk a a a i j k ai t ijk b b b i j k bi t ijk c c c i j k ci t ijk olur. Burada bezer terimler bir araya getirilirse Burada a a b b X a a, Y b b a a b b c c Z c c yerie c c yazılırsa ve N X Y Z t a b c a b c a b c 6,, a b a b a b b c b c b c a c a c a c a a a tb b b c c c a b c t t t t i i i j k i i i ijk ijk ijk ijk t a b b c i i j k i i i i j k i i ijk a c a i i j k i i i j k i ijk b c i j k i i j k i ijk elde edilir. Bu so ifadede bazı çarpma işlemleri yapılarak gerekli sadeleşmeler ve düzelemeler yapılırsa 47
18 N X Y Z t b c c b a a c c a b a b b a c a b c a b a c a 6,, i j k i i i i i i i i ijk ijk a b c a b b c b i j k i i i i i i i i a b c a c b c c i j k i i i i i i i i ijk soucua ulaşılır. Şimdi a b c a b a c a i i i i i i i i terimii iceleyelim. Burada a b r ve c s i i i i i deirse a b c a b a c a i i i i i i i i r s r a s a i i i i i i ve so terime s i ekleyip çıkarırsak r s r s i i i i si a s i i ai r, s a, s i i i i elde edilir., -lieer bir döüşüm olduğuda r s a s r a s,,, i i i i i i i olur ki burada r a b ile s c olduğu i i i i i kullaılırsa r a s b c,, i i i i i soucua varılır. Böylece, a b c a b a c a b, c olduğu görülür. Bezer biçimde, i i i i i i i i i i a b c a b b c b a, c ve i i i i i i i i i i a b c a c b c c a, b olduğu görülebilir. Bu durumda, i i i i i i i i i i z w u v u v z w y t y u v u v y z w y z w z w y u v i j k z w u v i i i i y, u v i j k i i i i 6 N X, Y, Z, ijk ijk y z w, i j k i i i i ijk elde edilir. t içideki çarpma işlemleri yapılır ve a y, b z wa içi,,,, a b z w y z olduğu kullaılırsa, N X Y Z z u z v w u y u z u w v z u v y u t z w u u y v z w y z u v z z y w z, u z, v w, u i j k i i i i i i 6,, ijk ijk ijk u i j k i i v i i y u i i,,, z i j k i i w i i y z i i,,, buluur. t içideki toplama işlemlerie devam edilir ve gerekli düzelemeler yapılırsa N X Y Z t b, c a, c 6,, b c c b a a c c a b a b b a c ijk ijk i j k i i i j k i i ijk a b, i j k i i olur. Burada, i,, içi a y, b z w, c u v A olduğu i i i i i i i i i dikkate alıırsa, 48
19 N X Y Z z u u z y z v w u u w v z u u t z w v y u u y v z z u v w y z z y w 6,, ijk ijk ijk z, u z, v w, u i j k i i i j k i i i i ijk, u, v y, u i j k i i i j k i i i i ijk, z, w y, z i j k i i i j k i i i i ijk elde edilir. t içideki çarpma işlemlerie devam edilir ve gerekli düzelemeler yapılırsa 6 N X, Y, Z z u u z y z u u z z v w u u w v z u u w t u u z v y u u y v z z z v z z u w y z z y w u z, u, u, z i j k i i i j k i i i j k i i ijk ijk ijk ijk ijk z v w u,, i j k i i i i v y u,, i j k i i i i w y z,, ijk i j k i i i i olur. Bazı düzelemelerde sora N X Y Z z u u z y z v w u u w v z t u u w v y u u y v z z z v w y z z y w u z, u, u 6,, z u u z u u z z z u ijk ijk ijk ijk ijk i j k i i i j k i i ijk z, i j k i i z v w u,, i j k i i i i v y u,, i j k i i i i w y z,, i j k i i i i elde edilir. a y olduğu dikkate alıırsa A içi t a t t y N X Y Z 6,, t z u u z u u z z z u z v w u z u u z y u w v z v y u t u u w z u y v w y z z z v u z y w ijk ijk ijk ijk ijk z u u,, i j k i i i j k i i ijk z, i j k i i z v w u,, i j k i i i i v y u,, i j k i i i i w y z,, i j k i i i i buluur ve so bir düzeleme ile 49
20 N X Y Z z, u, u 6,, t z u u z u u z z z u ijk ijk i j k i i i j k i i ijk z, i j k i i z, v w, u i j k i i i i ijk, v y, u i j k i i i i ijk, w y, z i j k i i i i ijk z u u z y z v w u u w v z t u u w v y u u y v z z z v w y z z y w u soucua ulaşılır. Böylece N X, Y, Z i üzeride -lieer bir döüşüm olduğuu görebiliriz. Özetle aşağıdaki teoremi ifade edebiliriz. Teorem 4.6. N X, Y, Z J üzeride bir kübik formdur. N X, Y, Z de Z yerie X alıırsa, N X Y X z,, 6,, t z z z z z ijk ijk i j k i i i j k i i ijk z, i j k i i z, y w, i j k i i i i ijk, y y, i j k i i i i ijk, w y, z i j k i i i i ijk z z y z y w w y z t w y y y y z z z y w y z z y w olur. Ortak terimler ya yaa getirilerek J 4t z z z z 6 N X, Y, X ijk 4, i j k i i i j k i ijk,,, i j k z y w i i i i y i j k i i ijk ijk 4 z z y z y w w y z t w y y z olarak buluur. Taım 4.7. X T X izx lieer foksiyou yardımıyla ( X, Y) T( X, Y): T X g Y biçimide taımlaa döüşüme jeerik iz (-lieer) form adı verilir. Teorem 4.8. T( X, Y ) jeerik iz formu aşağıdaki özelliklere sahiptir. i) T simetriktir yai T( X, Y) T( Y, X ) dir. ii) T( X Y,Z) T( X, Y Z) dir yai T birleşmelidir. iii) T X, Y a, b a, b a, b dir. İspat: i) T( X, Y) T X gy iz X gy izyg X g T( Y, X ) T Y X olup T simetriktir. ii) Teorem. i i) si gereği N X, Y, Z T X Z, Y ve ii) si gereği N X, Y, Z simetrik olduğuda bu souç açıktır. iii) T X, Y T X Y iz X Y g g olup XY g matrisii izi (9) yardımıyla d + d + d toplamıa eşittir. Böylece,,,, a, b a, b a, b a, b T X Y a b a b ve, a, b a, b a, b T X Y elde edilir. Burada,,,, i i i i i i i i a b z w y z olduğu kullaılırsa, 50
21 ,, z, w y, z, z, w y, z, z, w y, z,, z, z, z, w y, z, w y, z, w y, z T X Y T X Y olarak elde edilir. iii) deki souç i, j, k,, dairesel permütasyou yardımıyla kısaca T X, Y z, i i i j k k () ijk, w y, z i j k k k k biçimide de yazılabilir. (5) de, T X Y T X T Y T X Y eşitliğide, T X Y, w, z y, z, w, z y, z, w, z y, z yazabiliriz ve burada gerekli işlemler yapılırsa,, z, z, z, w y, z, w y, z, w y, z T X Y,, z, z, z, w y, z, w y, z, w y, z T X Y elde ederiz ki bu souç () deki souçla ayıdır. Böylece, (6) da Freudethal çarpım olarak ifade ettiğimiz çarpım, jeerik iz form yardımıyla X Y X gy XT Y YT X (4) T X T Y T X gy I olarak yazılır. Burada Y X seçilirse, X X X gx T X X T X X T X T X T X X I g X X T X X T X T X I olup döüşümüü bir kuadratik döüşüm olduğu görülmektedir. X X T X X T X I eşitliği yukarıdaki souçla birlikte düşüülürse T X T X T X buu görelim: olmalıdır. Şimdi T X ve g,,, y y, i i i j k k i j k k k k T X T X X T X X ijk ijk 4, y i i j k i j k k eşitlikleri taraf tarafa çıkarılırsa elde edilir. Bu so ifadede gerekli sadeleşmeler yapılırsa 5
22 T X T X ijk,,, y 4 4, y i j k i j k k elde edilir. y y,, y, y, y, y, y T X y olduğuda T X T X T X elde edilir., a, b T X Y eşitliğide X yerie X alıırsa ijk j k i i, a a a a, b j k i j k i i i ijk (5) T X Y a a olur. Bu so ifadedeki toplam açılırsa, T X Y a a a a a a, b a a a, b a a a, b elde edilir ve i -lieerliği kullaılırsa, T X Y a a a a a, b a b a a b a b a a b a b,,,,, olarak yazabiliriz. Bu so ifadede a, b t a, b olduğu kullaılarak, T X Y a a a ta a, b a b a a b a b a a b a b, t,, t,, olur ve a, b a, b t t olduğu da kullaılırsa, a t a a, b a, b t a a, b a, b ta a, b a, b T X Y a a elde edilir. t i simetrik ve birleşme özelliğide, a t b a, a a, b t a b, a a, b ta a, b a, b T X Y a a soucua varırız ve bu soucu i, j, k,, dairesel permütasyou göstermek şartıyla, i j k j k i T X Y a ijk ijk a b,, i b a a j k i i t a b a ta a b t,, biçimide ifade edebiliriz.,, N X Y X t b, a a, a N X Y Z de Z yerie X alıırsa, 6,, b a a b a a a a a b a b b a a ijk ijk i j k i i i j k i i ijk a b, i j k i i 5
23 olur. a, a a olduğuda ve bazı ortak terimler bir araya getirilerek 6 N X, Y, X ijk ijk a b 4t b a a a b a a a b i j k a 4, i j k i i i j k i ijk elde edilir. Gerekli düzelemeler yapılırsa a 6 N X, Y, X ijk ijk a b 4, i j k i i i j k j k i 4t b a a a b a a a b olur ve t i lieerliğide a 6 N X, Y, X ijk ijk i j k j k i 4 a, b 4t b a a i j k i i t 4t a b a 4 a a b elde edilir. So olarak ab a, b kullaılırsa t t olduğu a 6 N X, Y, X ijk ijk a b i j k j k i 4, 4 t b a, a i j k i i a b a ta a b 4 t, 4, soucua ulaşılır. Böylece N X Y X T X Y,,,, 6,,, olduğu, yai T X Y N X Y X N X Y eşitliği elde edilmiş olur. Bu souç ile kübik cebir taımıı (yai Taım.4 ü). şartıı sağladığıı görmüş oluruz. Üstelik,, i j k j k i T X Y a ijk ijk a b,, i b a a j k i i t a b a ta a b t,, eşitliğide Y yerie X alımış olsaydı,, i j k j k i T X X a ijk ijk ijk ijk a a,, i a a a j k i i t ta a a ta a a a a,, i j k j k i i j k i ijk a ta a a i j k i j k i ijk 6 t a a, a 6, t ijk det X N X N X, X, X buluurdu. Dolayısıyla, a a a i j k ai N X X X N X T X X, T X X X,,, olurdu. Bu souç Teorem. (i) deki geel souçla uyumludur., i j k j k i T X Y a ijk ijk a b,, i b a a j k i i t a b a ta a b t,, eşitliğide Y yerie I alımış olsaydı,, j k j k ai T X ijk a a a T X N X,, X olurdu. Burada i,, içi a y A içi i i i, a y olduğua dikkat ediiz. i i i i N X, Y, Z de Z yerie I alıırsa, 5
24 a, b j k i i 6 N X, Y, ijk ijk a, b j k i i olup bu souç X Y matrisii ii, bileşelerii toplamıı iki katıa yai T X Y ye eşittir. O halde N X, Y, N X,, Y T X Y, dir. Bu souç Teorem. (i) deki geel souçla tutarlıdır. Şimdi, X gx Xg X çarpımıı hesaplaırsa, det X det X det X 0 0 det X 0 0 det X I N X I 0 0 olduğuda X gx X g X det X N X yazabiliriz. X matrisii tekrar eki alıırsa bu durumda X matrisii i, j. bileşeleri ile,. X N X X N X X matrisii i j bileşelerii ayı olduğu yai olduğu görülür. Bu ise kübik cebir taımı (yai Taım.4 ü). şartıı geçerli olduğuu gösterir. N ve olduğuu görmek çok kolaydır ki bular, sırasıyla, kübik cebir taımıı ve 4. şartlarıdır. Böylece J J H A,,, g i bir kübik cebir olduğuu göstermiş olduk. Bir kübik cebiri U Y T( X, Y) X X X Y eşitliği altıda bir özdeşlikli kuadratik Jorda cebiri olduğu. bölümde ifade edilmiştir. Bu cebiri boyutuu ise +++(8+8)+(8+8)+(8+8) = 54 olduğu açıktır. Kayaklar Akpıar, A., 007. Geometrik Yapılarda Çifte Ora. Doktora Tezi, Uludağ Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü, Bursa, 84. Beachy, J.A., 999. Itroductory Lectures o Rigs ad Modules. Lodo Mathematical Society Studet Tets 47, Cambridge Uiv. Press, UK, 8. Bez, W., 97. Vorlesuge über Geometrie der Algebre. Spriger, Berli, 68. Bi, R., 980. Octoio plaes over local rigs. Tras. Amer. Math. Soc., 6(), Bluck, A., 99. Cross-Ratios Over Lokal Alterative Rigs. Result Math., 9, Bluck, A., 99. Cross-ratios i Moufag-Kligeberg plaes. Geometriae Dedicata, 4, Blyth, T.S. ad Robertso E.F., 00. Further Liear Algebra. Spriger, UK, 0. Çelik, B., 995. No-Assosyatif Cebirler Üzerie Kurula Projektif Yapılar. Doktora Tezi, Uludağ Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü, Bursa, 77. Çiftçi, S., 05. Lieer Cebir. Dora Bası Yayı Dağıtım, Bursa, 40. Elma, R., Karpeko, N. ad Merkurjev, A., 008. The Algebraic ad Geometric Theory of Quadratic Forms. Amer. Math. Soc., Colloguium Publicatios, 56, 44. Faulker, J.R., 970. Octoio plaes defied by quadratic Jorda algebras. Mem. Amer. Math. Soc., 04, 7. Faulker, J.R., 04. The Role of Noassociative Algebra i Projective Geometry. Graduate Studies i Mathematics, 59, Amer. Math. Soc., Providece, R.I., 9. Fraleigh, J.B., 98. A First Course i Abstract Algebra. Third Editio, Addiso-Wesley Publishig Compay, 478. Freudethal, H., 95. Octave, Ausahmegruppe, ud Octavegeometrie. Mathematisch Istituut der Rijksuiversiteit te Utrecht, Utrecht, 49. Hugerford, T.W., 974. Algebra. Holt Riehart ad Wisto, Ic., New York,
25 Jacobso, N., 968. Structure ad Represetatios of Jorda Algebras. Colloq. Publ., 9, Amer. Math. Soc., Providece, R.I., 45. Jacobso N., 969. Lectures o Quadratic Jorda Algebras. Lecture Notes. Tata Istitute of Fudametal Research, Bombay, 8. Jacobso, N., 985. Basic Algebra I. Secod Editio, W.H. Freema ad Compay, New York, 499. Jorda, P., 949. Über Eie Nicht-Desarguessche Ebee Projektive Geometrie. Abh. Math. Sem. Uiv. Hamburg, 6, Malik, D.S., Mordeso, J.M. ad Se M.K., 997. Fudemetals of Abstract Algebra. The McGraw-Hill, New York, 66. McCrimmo K., 969. The Freudethal-Spriger-Tits Costructios of Eceptioal Jorda Algebras. Tras. Amer. Math. Soc., 9, McCrimmo, K., 004. A Taste of Jorda Algebras. Spriger, New York, 56. McDoald, B.R., 976. Geometric Algebra over Local Rigs. Marcel Dekker, Ic., New York ad Basel, 4. Moufag, R., 9. Alterativekörper ud der Satz vom vollstadige Verseit. Abh. Math. Sem. Uiv. Hamburg, 9, 07-. Özka, İ., 06. Lokal Halkalar Üzerie Octoio Düzlemler. Yüksek Lisas Tezi, Uludağ Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü, Bursa, 85. Pickert, G., 955. Projektive Ebee. Spriger, Berli, 4. Schafer, R.D., 996. A Itroductio to Noassociative Algebras. Dover Publicatios Ic., New York, 66. Spriger, T.A., 960. The Projective Octave Plae. Nederl. Akad. Wetesch. Proc. Ser. A, 6, Idag. Math.,, Steveso, F.W., 97. Projective Plaes. W. H. Freema ad Compay, Sa Fracisco, USA, 46. Thomas, E.G.F., 04. A Polarizatio Idetity for Multiliear Maps. Idagatioes Mathematicae, 5,
İDEAL ÇARPIMLARI (IDEAL PRODUCTS)
T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ (IDEAL PRODUCTS) 070216013 TUĞBA ÖZMEN 080216038 AYŞE MUTLU 080216064 SEVİLAY HOROZ Nil ehri, Düyaı e uzu ehridir (6.650
Detaylı1. GRUPLAR. 2) Aşağıdaki kümelerin verilen işlem altında bir grup olup olmadığını belirleyiniz.
Sorular ve Çözümleri 1. GRUPLAR 1) G bir grup olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri gösteriiz. i) e G birim elema olmak üzere e 1 = e. ii) a G olmak üzere (a 1 ) 1 = a. iii) a 1, a 2,, a G içi (a 1 a 2 a )
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferasiyel Deklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulumak veya kullaım koşulları hakkıda bilgi içi http://ocw.mit.edu/terms web sitesii ziyaret ediiz.
DetaylıPOLİNOMLAR. reel sayılar ve n doğal sayı olmak üzere. n n. + polinomu kısaca ( ) 2 3 n. ifadeleri polinomun terimleri,
POLİNOMLAR Taım : a0, a, a,..., a, a reel sayılar ve doğal sayı olmak üzere P x = a x + a x +... + a x + a x + a biçimideki ifadelere x e bağlı reel katsayılı poliom (çok terimli) deir. 0 a 0 ax + a x
Detaylı6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYI VEKTÖR UZAYLARI
6. BÖLÜM VEKTÖR LARI -BOYUTLU (ÖKLİT) I Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a 1, a 2,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay
DetaylıTOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR
TOPOLOJİK TEMEL KAVRAMLAR 1.1. Kümeler ve Foksiyolar A ı bir elemaıa B i yalız bir elemaıı eşleye bağıtıya bir foksiyo deir. f : A B, Domf = U A ve ragef B dir. Taım 1.1.1. f : A B foksiyou içi V A olsu.
Detaylı(3) Eğer f karmaşık değerli bir fonksiyon ise gerçel kısmı Ref Lebesgue. Ref f. (4) Genel karmaşık değerli bir fonksiyon için. (6.
Problemler 3 i Çözümleri Problemler 3 i Çözümleri Aşağıdaki özellikleri kaıtlamaızı ve buu yaıda daha fazla soyut kaıt vermeizi isteyeceğiz. h.h. eşitliğii ölçümü sıfır ola bir kümei tümleyei üzeride eşit
DetaylıBAĞINTI VE FONKSİYON
BAĞINTI VE FONKSİYON SIRALI N-Lİ x, x, x,..., x tae elema olsu. ( x, x, x,..., x ) yazılışıda elemaları sırası öemli ise x, x, x,..., x ) e sıralı -li deir. x, x, x,..., x ) de ( x (, x, x ( x, ) sıralı
DetaylıTümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri. n c = nc i= 1 n ca i. k 1. i= r n. Σ sembolü ile bilinmesi gerekli bazı formüller : 1) k =1+ 2 + 3+...
MC formülüü doğruluğuu tümevarım ilkesi ile gösterelim. www.matematikclub.com, 00 Cebir Notları Gökha DEMĐR, gdemir@yahoo.com.tr Tümevarım_toplam_Çarpım_Dizi_Seri Tümevarım Metodu : Matematikte kulladığımız
DetaylıPOLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK. Derleyen Osman EKİZ Eskişehir Fatih Fen Lisesi 1. GİRİŞ
POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı
Detaylıf n dµ = lim gerçeklenir. Gösteriniz (Bu teorem Monoton yakınsaklık teoreminde yakınsaklık f n = f ve (f n ) monoton artan dizi
4.2. Pozitif Foksiyoları İtegrali SOU : f ), M +, A) kümeside bulua foksiyoları mooto arta dizisi ve h.h.h. f = f ise f dµ = f dµ gerçekleir. Gösteriiz Bu teorem Mooto yakısaklık teoremide yakısaklık yerie
DetaylıLİNEER CEBİR DERS NOTLARI. Ayten KOÇ
LİNEER CEBİR DERS NOTLARI Aye KOÇ I MATRİSLER I.1. Taım F bir cisim olmak üzere her i = 1,2,..., m, j = 1,2,..., içi aij F ike a11 a12... a1 a21 a22... a 2 M M... M am1 am2... am (1) şeklide dikdörgesel
DetaylıBir Rasgele Değişkenin Fonksiyonunun Olasılık Dağılımı
5.Ders Döüşümler Bir Rasgele Değişkei Foksiyouu Olasılık Dağılımı Bu kısımda olasılık dağılımı bilie bir rasgele değişkei foksiyoları ola rasgele değişkeleri olasılık dağılımlarıı buluması ile ilgileeceğiz.
DetaylıT.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI
T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI GAUSS BALANS VE GAUSS KOBALANS SAYILARI ÜZERİNE YÜKSEK LİSANS TEZİ MUSTAFA YILMAZ DENİZLİ, TEMMUZ - 07 T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ
Detaylıv = ise v ye spacelike vektör,
D.P.Ü. Fe Bilimleri Estitüsü 1. ayı Mayıs 6 emi-pozitif Ortogoal Matrisler içi Alteratif İi Yötem WO ALERNAIVE MEHOD FOR EMI-POIIVE OROGONAL MARICE B. BÜKCÜ* *Gaziosmapaşa Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi,
DetaylıTÜME VARIM Bu bölümde öce,kısaca tümevarım yötemii, sorada ÖYS de karşılamakta olduğumuz sembolüü ve sembolüü ele alacağız. A. TÜME VARIM YÖNTEMİ Tümevarım yötemii ifade etmede öce, öerme ve doğruluk kümesi
DetaylıVenn Şeması ile Alt Kümeleri Saymak
Ve Şeması ile lt Kümeleri Saymak Osma Ekiz Bu çalışmada verile bir kümei çeşitli özellikleri sağlaya alt küme veya alt kümlerii ve şeması yardımıyla saymaya çalışacağız. Temel presibimiz aradığımız alt
DetaylıANADOLU ÜNivERSiTESi BiLiM VE TEKNOLOJi DERGiSi. SZASZ TIPI OPERATORlERlE poıinom AGIRUKU UZAYLARDA YAKLAŞıM. Nurhayat ispir 1
...\) O"'''t" ~.Q~Cıo;>~';. ANADOLU ÜNivERSiTESi BiLiM VE TEKNOLOJi DERGiSi cl o ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY \ L Cilt/Vol.: 3 - Sayı/No: 3 : 41-45 (00) ı ṯ rri('ho~o)\ Q~ XLV.
DetaylıT.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ. f-cebirlerinin İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER
T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ -CEBİRLERİNİN İKİNCİ SIRALI DUALİ VE BANACH A-MODÜLLERİ ÜZERİNDEKİ A-LİNEER OPERATÖRLER ESRA ULUOCAK DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI MATEMATİK
Detaylı2.2. Fonksiyon Serileri
2.2. Foksiyo Serileri Taım.. Herhagi bir ( u (x reel (gerçel değerli foksiyo dizisi verilsi. Bu m foksiyo dizisii tüm terimlerii toplamıa, yai u m (x + u m+ (x + u m+2 (x + u m+3 (x + + u m+ (x + = k=m
DetaylıDiziler ve Seriler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV
Diziler ve Seriler Yazar Prof.Dr. Vakıf CAFEROV ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üiteyi çalıştıkta sora; dizi kavramıı taıyacak, dizileri yakısaklığıı araştırabilecek, sosuz toplamı alamıı bilecek, serileri yakısaklığıı
Detaylı( 1) ( ) işleminde etkisiz eleman e, tersi olmayan eleman t ise te kaçtır? a) 4/3 b) 3/4 c) -3 d) 4 e) Hiçbiri
V MERSİN MATEMATİK OLİMPİYATI (ÜNV ÖĞR) I AŞAMA SINAV SORULARI ( Nisa 8) de ye taımlı, birebir ve örte f ve g foksiyoları her bir içi koşuluu sağlası g( a ) = ve f ( ) ( ) ( ) f = g a 4 = a ise a sayısı
DetaylıH.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Kısım Bir Reel Değişkeli Foksiyolar Teorisi Prof.Dr.Hüseyi Çakallı 3 H.L.Royde Real Aalysis çeviri ve düzeleme Prof.Dr.Hüseyi Çakallı Reel
DetaylıİÇİNDEKİLER. Ön Söz Polinomlar II. ve III. Dereceden Denklemler Parabol II. Dereceden Eşitsizlikler...
İÇİNDEKİLER Ö Söz... Poliomlar... II. ve III. Derecede Deklemler... Parabol... 9 II. Derecede Eşitsizlikler... 8 Trigoometri... 8 Logaritma... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü... 7 Diziler... 79 Özel Taımlı
Detaylı6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI
6. BÖLÜM VEKTÖR UZAYLARI -BOYUTLU (ÖKLİT) UZAYI Taım: Eğer pozitif bir tam sayı ise sıralı -sayı, gerçel sayılar kümesideki adet sayıı (a, a,, a ) bir dizisidir. Tüm sıralı -sayılarıı kümesi -boyutlu uzay
DetaylıMATEMATİK ANABİLİM DALI
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Serka ÖKTEN -NORMLU UZAYLAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 00 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ -NORMLU UZAYLAR Serka ÖKTEN ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN
DetaylıBazı Sonlu Klingenberg Düzlemleri İçin Üzerinde Olma Matrisleri
BAÜ FBE Dergisi Cilt:12, Sayı:1, 91-99 Temmuz 2010 Bazı Sonlu Klingenberg Düzlemleri İçin Üzerinde Olma Matrisleri Atilla AKPINAR * Uludağ Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü, Görükle,
Detaylı1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.
1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)
Detaylı(Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız. r s + t r s + t olduğunu ispatlayınız. + + + + olduğunu. + + = + + eşitliğini ispatlayınız.
Sayılar Teorisi Kouları Geel Sıavları www.sbelia.wordpress.com SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES) 4 4. a 4b (Sopphie Germai Deklemi) çarpalarıa ayırıız.. 4 4 = A ise A ı sadece = durumuda asal olduğuu ispatlayıız..
Detaylıolsun. Bu halde g g1 g1 g e ve g g2 g2 g e eşitlikleri olur. b G için a b b a değişme özelliği sağlanıyorsa
1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1), G de bir ikili işlemdir. 2) a, b, c G için a( bc)
DetaylıAnaliz II Çalışma Soruları-2
Aaliz II Çalışma Soruları- So gücelleme: 04040 (I Aşağıdaki foksiyoları (ilgili değişkelere göre türevlerii buluuz 7 cos π 8 log (si π ( si ta e 9 4 5 6 + cot 0 sec sit t si( e + e arccos ( e cos(ta (II
DetaylıBÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ. Doç.Dr. Suat ŞAHİNLER
BÖLÜM 3 YER ÖLÇÜLERİ İkici bölümde verileri frekas tablolarıı hazırlaması ve grafikleri çizilmesideki esas amaç; gözlemleri doğal olarak ait oldukları populasyo dağılışıı belirlemek ve dağılışı geel özelliklerii
DetaylıTOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER
TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI GRUPLAR ÜZERİNDE ANALİTİK İŞLEMLER ERDENER KAYA MERSİN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANA BİLİM DALI YÜKSEK LİSANS TEZİ MERSİN HAZİRAN 7 TOPLAMSAL ARİTMETİK YARI
DetaylıMÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI. Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MÖBİUS İNVERSİYON FORMÜLÜ, GENELLEŞTİRİLMELERİ VE UYGULAMALARI Mehmet YILDIZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ OCAK 200 ANKARA ii Mehmet YILDIZ tarafıda hazırlaa MÖBİUS
DetaylıÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Ebubekir TOPAK SERBEST LİE CEBİRLERİNDE HESAPLAMALAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 2008 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SERBEST
DetaylıBÖLÜM 3. ile gösterilir. m-boyutlu öklit kümesini tanımlayan m adet kümenin kartezyen (Catesian) çarpımı,
BÖLÜM 3 3. ÇOK DEĞİŞKENLİ REGRESYON İÇİN VEKTÖR VE MATRİS CEBRİ Bölüm de, doğrusal regresyo tek değişkeli basit model olarak ele alıarak açıklamıştı. Bölüm 4 de ise çok değişkeli (k değişkeli) model içi
Detaylı0 1 2 n 1. Doğu Akdeniz Üniversitesi Matematik Bölümü Mate 322
Bölüm 3. İkici Mertebede Lieer ve Sabit Katsaılı Diferesiel Deklemler 4 3. Geel Taımlar ( ) ( ) ( ) a ( ) + a ( ) + a ( ) +... + a ( ) + a ( ) = f ( ) () 0 şeklideki bir deklem. mertebede lieer deklem
DetaylıPOLĐNOMLAR YILLAR ÖYS
YILLAR 4 5 6 7 8 9 ÖSS - - - - - - ÖYS POLĐNOMLAR a,a,a,..., a P () = a + a +... + a R ve N olmak üzere; ifadesie Reel katsayılı.ci derecede bir değişkeli poliom deir. P()= a sabit poliom, (a ) P()= sıfır
DetaylıRANKI 2 OLAN SERBEST LIE CEBİRLERİNİN OTOMORFİZM GRUPLARININ SUNUMLARI 1 Reports Of Free Groups Otomorfizm Rank 2 Lie Algebras
RANKI OLAN SERBEST LIE CEBİRLERİNİN OTOMORFİZM GRUPLARININ SUNUMLARI Reports Of Free Groups Otomorfzm Rak Le Algebras Özge ÖZTEKİN Matematk Aa Blm Dalı Name EKİCİ Matematk Aa Blm Dalı ÖZET Bu çalışmada,
Detaylı( KÜME LİSTE, ORTAK ÖZELLİK, ŞEMA YÖNTEMİ ELEMAN SAYISI BOŞ, SONLU, SONSUZ KÜME ALT KÜME VE ÖZELLİKLERİ ) ... BOŞ KÜME. w w w. m a t b a z.
KÜME KAVRAMI Küme matematiği taımsız bir kavramıdır. Acak kümeyi, iyi taımlamış kavram veya eseler topluluğu diye tarif edebiliriz. Kümeler A, B, X, K,... gibi büyük harflerle Bir kümeyi oluştura eseleri
DetaylıSAYISAL ÇÖZÜMLEME. Sayısal Çözümleme
SAYISAL ÇÖZÜMLEME Saısal Çözümleme SAYISAL ÇÖZÜMLEME 8. Hafta İNTERPOLASYON Saısal Çözümleme 2 İÇİNDEKİLER Ara Değer Hesabı İterpolaso Doğrusal Ara Değer Hesabı MATLAB ta İterpolaso Komutuu Kullaımı Lagrace
Detaylı1.GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G. vardır. 3) a G için denir) vardır.
1.GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G, ) cebirsel yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir. 1) a, b, c G için a ( b c) ( a b) c (Birleşme özelliği)
DetaylıBağıntı YILLAR ) AxB BxA. 2) Ax(BxC) = (AxB)xC. 4) s(axb) = s(bxa) = s(a).s(b)
Bağıtı YILLAR 00 00 00 005 006 007 008 009 00 0 ÖSS-YGS - - - - - - - - - BAĞINTI ÖZELLĐKLER: SIRALI ĐKĐLĐ: (a,) şeklideki ifadeye ir sıralı ikili yada kısaca ikili deir (a,) sıralı ikiliside a ya irici
DetaylıLİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ-2
LİNEER OLMAYAN DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜM YÖNTEMLERİ SABİT NOKTA İTERASYONU YÖNTEMİ Bu yötemde çözüme gitmek içi f( olarak verile deklem =g( şeklie getirilir. Bir başlagıç değeri seçilir ve g ( ardışık
Detaylısorusu akla gelebilir. Örneğin, O noktasından A noktasına hareket, OA sembolü ile gösterilir
BÖLÜM 1: VEKTÖRLER Vektörleri taımlamak içi iki yol vardır: uzayda oktalara karşılık gele bir koordiat sistemideki oktalar veya büyüklük ve yöü ola eseler. Bu kısımda, ede iki vektör taımıı buluduğu açıklaacak
DetaylıDers 2: Küme Teorisi, Örnek Uzay, Permütasyonlar ve Kombinasyonlar
Ders 2: üme Teorisi, Örek Uzay, Permütasyolar ve ombiasyolar üme avramı üme İşlemleri Deey, Örek Uzay, Örek Nokta ve Olay avramları Örek Noktaları Sayma Permütasyolar ombiasyolar Parçalamalar (Partitio)
Detaylın ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10
KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açı Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerde alıtı yapma veya Kullaım Koşulları haıda bilgi alma içi http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.aciders.org.tr adresii ziyaret ediiz. 18.102
DetaylıGENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ FİBONACCİ VE LUCAS POLİNOMLARI
T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İLÖĞRETİM MATEMATİK ÖĞRETMENLİĞİ ANABİLİM DALI GENELLEŞTİRİLMİŞ İKİ DEĞİŞKENLİ FİBONACCİ VE LUCAS POLİNOMLARI Şerife TUNÇEZ YÜKSEK LİSANS TEZİ Daışma
Detaylı13.Konu Reel sayılar
13.Konu Reel sayılar 1. Temel dizi 2. Temel dizilerde toplama ve çarpma 3. Reel sayılar kümesi 4. Reel sayılar kümesinde toplama ve çarpma 5. Reel sayılar kümesinde sıralama 6. Reel sayılar kümesinin tamlık
DetaylıT.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR YÜKSEK LİSANS TEZİ.
T.C. BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR YÜKSEK LİSANS TEZİ İsmail AYDOĞDU Balıkesir, Hazira-009 ÖZET CHAKI PSEUDO SİMETRİK MANİFOLDLAR
DetaylıBir Sınıf Jacobi Matrisi İçin Özdeğer Problemi 1
S Ü Fe Ed Fa Fe Derg Sayı 7 (6-8, KONYA Bir Sııf Jacobi Matrisi İçi Özdeğer Problemi Oza ÖZKAN Selçu Üiversitesi, Fe-Edebiyat Faültesi, Matemati Bölümü 479 Kampüs, Koya simetri Jacobi matrislerii özdeğerleri
DetaylıREGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyon Basit doğrusal regresyon modeli: .. + n gözlem için matris gösterimi,. olarak verilir.
203-204 Bahar REGRESYON DENKLEMİNİN HESAPLANMASI Basit Doğrusal Regresyo Basit doğrusal regresyo modeli: y i = β 0 + β x i + ε i Modeli matris gösterimi, y i = [ x i ] β 0 β + ε i şeklidedir. x y 2 gözlem
DetaylıBu kısımda işlem adı verilen özel bir fonksiyon çeşidini ve işlemlerin önemli özelliklerini inceleyeceğiz.
Bölüm 3 Gruplar Bu bölümde ilk olarak bir küme üzerinde tanımlı işlem kavramını ele alıp işlemlerin bazı özelliklerini inceleyeceğiz. Daha sonra kümeler ve üzerinde tanımlı işlemlerden oluşan cebirsel
DetaylıEle Alınacak Ana Konular. Hafta 3: Doğrusal ve Zamanla Değişmeyen Sistemler (Linear Time Invariant, LTI)
5..5 Ele Alıaca Aa Koular Ayrı-zama işaretleri impuls dizisi ciside ifade edilmesi Ayrı-zama LTI sistemleri ovolüsyo toplamı gösterilimi Hafta 3: Doğrusal ve Zamala Değişmeye Sistemler (Liear Time Ivariat
DetaylıFonksiyonlarda Limit. Dizi fonksiyonu, tanım kümesindeki bütün 1, 2, 3,, n, sayma sayılarına, sırasıyla
Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya
DetaylıPROJE RAPORU. PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıların n. Dereceden Kökler Toplamı ve Trigonometrik Yansımaları
PROJE RAPORU PROJENİN ADI: Karmaşık Sayıları. Derecede Kökler Toplamı ve Trigoometrik Yasımaları PROJENİN AMACI: Karmaşık sayıı karekökleri toplamı sıfırdır. Peki. derecede kök toplamı içi de geçerli miydi?
DetaylıFEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 5. KİTAP LİNEER VEKTÖR UZAYLARI
FEN VE MÜHENDİSLİKTE MATEMATİK METOTLAR 5. KİTAP LİNEER VEKTÖR UZAYLARI 44 İÇİNDEKİLER I. CEBİRSEL TEMELLER A) Lieer Vektör Uzayları B) Lieer Bağımsızlık ve Boyut C) Skalar Çarpım ve Norm D) Hilbert Uzayları
DetaylıSERBEST LİE CEBİRLERİNDE HESAPLAMALAR * Computation In Free Lie Algebras*
Ç.Ü Fe Bilileri Estitüsü Yıl:2008 ilt:18-3 SERBEST LİE EBİRLERİNDE ESAPLAMALAR * oputatio I Free Lie Algebras* Ebubekir TOPAK Mateatik Aabili Dalı Ahet TEMİZYÜREK Mateatik Aabili Dalı ÖZET Bu çalışada
Detaylı18.06 Professor Strang FİNAL 16 Mayıs 2005
8.6 Professor Strag FİNAL 6 Mayıs 25 ( Pua) P,..., P R deki oktalar olsu. ( ai, ai2,..., a i) P i i koordiatlarıdır. Bütü P i oktasıı içere bir cx +... + cx = hiperdüzlemi bulmak istiyoruz. a) Bu hiperdüzlemi
Detaylı5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ
5 İKİNCİ MERTEBEDEN LİNEER DİF. DENKLEMLERİN SERİ ÇÖZÜMLERİ Bir lieer deklemi geel çözümüü bulmak homoje kısmı temel çözümlerii belirlemesie bağlıdır. Sabit katsayılı diferasiyel deklemleri temel çözümlerii
Detaylı6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016
6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği
DetaylıORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ
ORTALAMA EŞĐTSĐZLĐKLERĐNE GĐRĐŞ Lokma Gökçe Olimpiyat problemlerii çözümüde eşitsizlik teorisi öemli bir yer tutar. Baze bir maksimum miimum değer problemide, baze bir geometrik eşitsizlik kaıtıda, baze
Detaylın, 1 den büyük bir sayma sayısı olmak üzere,
KÖKLÜ SAYILAR, de üyük ir sayma sayısı olmak üzere, x = α deklemii sağlaya x sayısıa α ı yici derecede kökü deir. x m = x m O halde tersi düşüülürse, ir üslü sayıı üssü kesirli ise, o sayı köklü sayı içimide
DetaylıA COMMUTATIVE MULTIPLICATION OF DUAL NUMBER TRIPLETS
. Sayı Mayıs 6 A COMMTATIVE MLTIPLICATION OF DAL NMBER TRIPLETS L.KLA * & Y.YAYLI * *Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Matematik Bölümü 6 Tandoğan-Ankara, Türkiye ABSTRACT Pfaff [] using quaternion product
Detaylın ile gösterilir. 0) + ( n 1) + ( n 2) + + ( n n) =2n Örnek...4 : ( 8 3) = ( 8 Örnek...5 : ( 7 5) + ( 7 6) + ( 8 7) + ( 9 8) + ( 10
KOMBİNASYON tae esei r taesii seçimie elemaı r li kombiasyoları deir ve C(,r) veya ( ile gösterilir. 1) ( ) = ( 0) =1 r) C(;r)= ( r) =! ( r)!.r! 2) ( 1) = ( 1) = 3) ( r) = ( r) 4) ( a) = ( b) (r ) ise
DetaylıÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ Yüksek Lisas Tezi İDEMPOTENT DÖNÜŞÜMLER VE İDEMPOTENT DÖNÜŞÜMLER TARAFINDAN DOĞURULAN YARIGRUPLAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 0 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN
DetaylıTahmin Edici Elde Etme Yöntemleri
6. Ders Tahmi Edici Elde Etme Yötemleri Öceki derslerde ve ödevlerde U(0; ) ; = (0; ) da¼g l m da, da¼g l m üst s r ola parametresi içi tahmi edici olarak : s ra istatisti¼gi ve öreklem ortalamas heme
DetaylıDEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 6 Sayı: 1 sh Ocak 2004
DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 6 Sayı: 1 sh. 129-138 Ocak 2004 CEBİRSEL KATSAYILI HOMOJEN DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN FARK DENKLEMLERİ İLE ÇÖZÜMÜ (SOLUTION OF HOMEGENEOUS DIFFERANTIAL
DetaylıÇİN KALAN TEOREMİ. Chinese Remainder Theorem A.KILIÇ & V.SERT Ç ANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ
Chiese Remaider Theorem A.KILIÇ & V.SERT 2012 Ç ANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ İçidekiler Sayfa o Semboller 2 Ösöz 3 Öbilgiler 4 Geel Halkalar içi Çi Kala Teoremi 7 Çi Kala Teoremii Tamsayılar Halkasıa
DetaylıBAZI CENTRO-POLYHEDRAL GRUPLARIN PELL UZUNLUKLARI. G of the group G A by generated the
BAZI CENTRO-OLYHEDRAL GRULARIN ELL UZUNLUKLARI Ömür DEVECİ 1, Hasa ÖZTÜRK 1 1 Kafkas Üiversitesi, Fe Edebiyat Fakültesi-36100/Kars e-mail: odeveci36@hotmail.com Abstract I [13], Deveci ad Karaduma defied
DetaylıÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ LATİS SIRALANMIŞ -BÖLÜNEBİLİR RUPLAR MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA,008 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ LATİS SIRALANMIŞ -BÖLÜNEBİLİR
DetaylıMÜHENDİSLİK MEKANİĞİ (STATİK)
MÜHENDİSLİK MEKANİĞİ (STATİK) Prof. Dr. Meti OLGUN Akara Üiversitesi Ziraat Fakültesi Tarımsal Yapılar ve Sulama Bölümü HAFTA KONU 1 Giriş, temel kavramlar, statiği temel ilkeleri 2-3 Düzlem kuvvetler
DetaylıHiperbolik ve Küresel Uzaylarda Bir Simetrik Dörtyüzlünün Hacmi Üzerine. Abstract. Özet
Hiperboli Küresel Uzaylarda Bir Simetri Dörtyüzlüü Hacmi Üzerie Bai KARLIĞA arliaga@gazi.edu.tr Gazi Üirsitesi Fe Edebiyat Faültesi atemati Bölümü 06500 Aara T.oullar/Aara urat SAVAŞ msavas@gazi.edu.tr
DetaylıTĐCARĐ MATEMATĐK - 5.2 Bileşik Faiz
TĐCARĐ MATEMATĐK - 5 Bileşik 57ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER: Örek 57: 0000 YTL yıllık %40 faiz oraıyla yıl bileşik faiz ile bakaya yatırılmıştır Bu paraı yılı souda ulaşacağı değer edir? IYol: PV = 0000 YTL = PV (
DetaylıCebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteın Yöntemi
3 Cebirsel Olarak Çözüme Gitmede Wegsteı Yötemi Bu yötem bir izdüşüm tekiğie dayaır ve yalış pozisyo olarak isimledirile matematiksel tekiğe yakıdır. Buradaki düşüce f() çizgisi üzerideki bilie iki oktada
DetaylıProblem 1. Problem 2. Problem 3. Problem 4. PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisan 2010 LİSE - PROBLEMLERİ
PURPLE COMET MATEMATİK BULUŞMASI Nisa 2010 LİSE - PROBLEMLERİ c Copyright Titu Adreescu ad Joatha Kae Çeviri. Sibel Kılıçarsla Casu ve Fatih Kürşat Casu Problem 1 m ve aralarıda asal pozitif tam sayılar
DetaylıT.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI. Yüksek Lisans Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU.
T.C. BOZOK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Yüksek Lisas Tezi GENELLEŞTİRİLMİŞ NÖRLUND TOPLANABİLME METODU Elif SERİN Tez Daışmaı Yrd. Doç. Dr.Abdullah SÖNMEZOĞLU Yozgat 202
DetaylıOLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe)
OLĐMPĐYATLARA HAZIRLIK ĐÇĐN DOĞRUSAL ĐNDĐRGEMELĐ DĐZĐ PROBLEMLERĐ ve ÇÖZÜMLERĐ (L. Gökçe) Matematikte sayı dizileri teorisii ilgiç bir alt kolu ola idirgemeli diziler kousu olimpiyat problemleride de karşımıza
DetaylıTÜMEVARIM. kavrayabilmek için sonsuz domino örneği iyi bir modeldir. ( ) domino taşını devirmek gibidir. P ( k ) Önermesinin doğru olması halinde ( 1)
TÜMEVARIM Matematite ulladığımız teoremleri ispatlamasıda pe ço ispat yötemi vardır. Özellile doğal sayılar ve birço ouda ispatlar yapare tümevarım yötemii sıça ullaırız. Tümevarım yötemii P Öermesii doğruluğuu
Detaylı3. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 11, Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar
3. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 11, 2016 1 Önceki Dersteki Sorular ile İlgili Açıklamalar Lie nin üçüncü teoremi oarak bilinen ve Cartan tarafından asağıdaki gibi güçlendirilmiş bir teorem ile başlayalım:
DetaylıAKT201 MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ
AKT MATEMATİKSEL İSTATİSTİK I ÖDEV 6 ÇÖZÜMLERİ KESİKLİ RASLANTI DEĞİŞKENLERİ & KESİKLİ DAĞILIMLAR. X aşağıdaki olasılık foksiyoua sahip kesikli bir r.d. olsu. Bua göre;. ; x =.. ; x =. 4. ; x =. 5 p X
DetaylıKANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM. Neslihan KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
KANTOROVICH-STANCU TİP OPERATÖRLER İLE YAKLAŞIM Nesliha KOZAN BAŞAK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ŞUBAT 00 ANKARA Nesliha Koza BAŞAK taraıda hazırlaa KANTOROVICH-STANCU
DetaylıSİSTEMLERİN ZAMAN CEVABI
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ MAKİNE MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ MM306 SİSTEM DİNAMİĞİ SİSTEMLERİN ZAMAN CEVABI Kutuplar, Sıfırlar ve Zama Cevabı Kavramı Birici Mertebede Sistemleri Zama Cevabı İkici
DetaylıARAŞTIRMA MAKALESİ /RESEARCH ARTICLE
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ BİLİM VE TEKNOLOJİ DERGİSİ ANADOLU UNIVERSITY JOURNAL OF SCIENCE AND TECHNOLOGY Cilt/Vol.:10-Sayı/No: : 383-388 (009) ARAŞTIRMA MAKALESİ /RESEARCH ARTICLE BAZI ÜÇGENSEL VE DÖRTGENSEL
DetaylıAfyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi
Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon Kocatepe University Journal of Science and Engineering AKÜ FEMÜBİD 13 (2013) 011301 (1-7) AKU J. Sci. Eng. 13 (2013) 011301 (1-7)
DetaylıYrd.Doç. Dr. Mustafa Akkol
komşuluğu: Taım: ; isteildiği kadar küçük seçilebile poziti bir sayı olmak üzere a a açık aralığıa a R sayısıı komşuluğu deir Örek : Taım: a a a a ve 0 00 olsu ' i 0 00 0 00 999 00 : Z R bir dizi deir
DetaylıVII. OLİMPİYAT SINAVI. Sınava Katılan Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR k polinomu ( )
Sıava Katıla Tüm Talebe Arkadaşlara Başarılar Dileriz SORULAR 2 997. ( )( )( ) ( ) ( ) k x x x... k. x... 997. x poliomu ( ) a x a x... a x, a 0 ve k < k
DetaylıÖrnek 2.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III. Markov Süreçleri Ders 7. Koşulsuz Durum Olasılıkları. Örnek 2.1
Örek.1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI III Markov Süreçleri Ders 7 Yrd. Doç. Dr. Beyazıt Ocakta Web site: ocakta.bau.edu.tr E-mail: bocakta@gmail.com Reault marka otomobil sahilerii bir soraki otomobillerii de Reault
DetaylıGAMA FONKSİYONU. H. Turgay Kaptanoğlu. A. Tanım Gama fonksiyonu, 0 < x < değerleri için Euler integrali dediğimiz
GAMA FONKSİYONU H. Turgay Kaptaoğlu A. Taım Gama foksiyou, < < değerleri içi Euler itegrali dediğimiz Γ( = t e t dt itegrali ile taımlaır. Öce bu ifadei e demek olduğuu alamaya çalışalım. bir gerçel sayı
Detaylı2. Matematiksel kavramları organize bir şekilde sunarak, bu kavramları içselleştirmenizi sağlayacak pedagojik bir alt yapı ile yazılmıştır.
Sevgili Öğreciler, Matematik ilköğretimde üiversiteye kadar çoğu öğrecii korkulu rüyası olmuştur. Bua karşılık, istediğiiz üiversitede okuyabilmeiz büyük ölçüde YGS ve LYS sıavlarıda matematik testide
DetaylıBASAMAK ATLAYARAK VEYA FARKLI ZIPLAYARAK İLERLEME DURUMLARININ SAYISI
Projesii Kousu: Bir çekirgei metre, metre veya 3 metre zıplayarak uzuluğu verile bir yolu kaç farklı şekilde gidebileceği ya da bir kişii veya (veya 3) basamak atlayarak basamak sayısı verile bir merdivei
DetaylıSAÜ. Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER Dönemi Ders Notları. Prof. Dr.
SAÜ. Mühedislik Fakültesi Edüstri Mühedisliği Bölümü DİFERENSİYEL DENKLEMLER - Döemi Ders Notları Pro. Dr. Cemaletti KUBAT .Çok Değişkeli Foksiolarda Talor-McLauri Açılımları, Ekstremum Noktalar..Talor-McLauri
DetaylıOLİMPİYAT SINAVI. 9 x.sin x + 4 / x.sin x, 0 x π İfadesinin alabileceği en küçük tamsayı değeri kaçtır? A) 14 B) 13 C) 12 D) 11 E) 10
. ( ) ( ) 9 x.si x + 4 / x.si x, 0 x π İfadesii alabileceği e küçük tamsayı değeri A) 4 B) 3 C) D) E) 0. Yuvarlak bir masa etrafıda otura 5 şövalye arasıda rasgele seçile 3 taeside e az ikisii ya yaa oturma
Detaylıİstatistik Nedir? Sistem-Model Kavramı
İstatistik Nedir? İstatistik rasgelelik içere olaylar, süreçler, sistemler hakkıda modeller kurmada, gözlemlere dayaarak bu modelleri geçerliğii sıamada ve bu modellerde souç çıkarmada gerekli bazı bilgi
DetaylıÜSTEL VE Kİ-KARE DAĞILIMLARI ARASINDAKİ İLİŞKİNİN SİMULASYON İLE ÜRETİLEN RANDOM SAYILARLA GÖSTERİLMESİ
C.Ü. İktisadi ve İdari Bilimler Dergisi, Cilt 4, Sayı, 3 97 ÜSTEL VE Kİ-KARE DAĞILIMLARI ARASINDAKİ İLİŞKİNİN SİMULASYON İLE ÜRETİLEN RANDOM SAYILARLA GÖSTERİLMESİ Yalçı KARAGÖZ Cumhuriyet Üiversitesi
DetaylıFatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept.
Dijital Devre Tasarımı EEE122 A Ref. Morris MANO & Michael D. CILETTI DIGITAL DESIGN 4 th edition Fatih University- Faculty of Engineering- Electric and Electronic Dept. 2. BÖLÜM Boole Cebri ve Mantık
DetaylıT.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ
T.C. SELÇUK ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ SĠRKÜLANT MATRĠSLERĠN SAYISAL ĠġARET ĠġLEMEDE KULLANIMI Ahmet ÖTELEġ YÜKSEK LĠSANS TEZĠ Matematik Aabilim Dalıı Ağustos-0 KONYA Her Hakkı Saklıdır ÖZET
DetaylıMatematik Olimpiyatları İçin
KONU ANLATIMLI Matematik Olimpiyatları İçi İdirgemeli Diziler, Kombiatorik ve Cebirsel Uygulamaları LİSE MATEMATİK OLİMPİYATLARI İÇİN Lokma Gökçe, Osma Ekiz İdirgemeli Diziler ve Uygulamaları Lokma Gökçe,
DetaylıHİPER KÜRESEL HORMONİKLER Nursefa YAKUPOĞLU Yüksek Lisans Tezi Matematik Anabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Yrd. Doç. Dr.
HİPER KÜRESEL HORMONİKLER Nursefa YAKUPOĞLU Yüksek Lisas Tezi Matematik Aabilim Dalı Uygulamalı Matematik Bilim Dalı Yrd. Doç. Dr. Arzu AYKUT 2014 Her hakkı saklıdır ATATÜRK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ
Detaylı