Geometri Notları. Kenar-Açı Bağıntıları Mustafa YAĞCI,

Transkript

1 00 Geometri Notlrı Mustf YĞI, Kenr-çı ğıntılrı Üçgenin tnımını htırlyrk derse şlylım:,, doğrusl olmyn üç nokt olduğund, [], [] ve [] nin irleşimine üçgeni denirdi. ir n için üçgeni oluşturn doğru prçlrını irer kirit çöpü gii düşünün. Üçgenin oluşmsı için, kirit çöplerinin sdee uçlrının iririne değmesi gerektiğini nlıyoruz. Sdee uçlrı iririne değeek. Peki, unu oylrı ne olurs olsun, her üç kirit çöpüyle ypmk mümkün müdür? Tii ki hyır! Örneğin, yukrd soldki üç kirit çöpüyle unu ypmk mümkündür m sğdki üç kirit çöpüyle üçgen ypılmz. n lttki kirit çöpü u iş için fzl uzun! İşte u derste, üç doğru prçsının üçgen oluşturm şrtını rştırğız. ğer oluşturmıyorlrs hngisinde ne kdr ir değişiklik gerekir? O değişiklik ypıldı diyelim, herhngi ikisinin oyunu sit tutrk rlrını çtığımızd üçünüsünü üyültmek mi gerekir, yoks küçültmek mi? üyültmekse ne kdr üyütmek, küçültmekse ne kdr küçültmek? İşte u gii sorulr evplr ryğız. Htt dh d kurlyğız. Öne çok önemli ir teoremle şlıyoruz. unu iyi nlyın, ilerde çokç krşılşksınız. Teorem. ir üçgende en uzun kenrın krşısınd en üyük çı, ortn kenrın krşısınd ortn çı, en kıs kenrın krşısınd en küçük çı vrdır. Yni; > > ise m() > m() > m() dir. Knıt: > > olk şekilde ir üçgeni çize- lim. [] kenrı üzerinde = olk şekilde θ θ - ir noktsı llım. Şekle θ göre m() = θ + ve m() = θ olur. Yni m() > m() olur. enzer şekilde [] üzerinde = olk şekilde ir noktsı lıp m() > m() olduğu d knıtlnilir. O hlde knıt itti. Sonuç: ir üçgenin iç çı ölçüleri toplmı 0 o olduğundn, eğer çılrındn iri geniş çıys, o çı kesinlikle en üyük çıdır. O hlde, üçgen geniş çılı ise geniş çının krşısındki kenr kesinlikle en uzun kenrdır. ğer iki uzunluk eşit isse krşılrındki çılr d eşittir. Örnek. = oln ir üçgeninde ve köşelerinden H inen yükseklik- ler üçgen içinde ir H noktsınd kesişiyorlr. > θ θ ise = tmsyı olrk en çok kç olilir? Çözüm: H ve H çılrının eşliğine dikkt ediniz. O zmn > θ olmsı ize m() > m() olduğunu nltır. O hlde > olmlıdır ki evp. Örnek. Yndki üçgeninde m() = o olup, > veriliyor. un göre m() = tmsyı olrk en z kç deree olilir? Çözüm: m() = o ilgisinden m() + m() = o uluruz. > verildiğinden m() > m() olmsı gerekir. m() = o m() diye m() > o m() yni m() > o olur. O hlde m() = > o olduğundn en z o olur.

2 Mustf YĞI Şöyle de düşüneilirdiniz: Üçgen ikizkenr olsydı, yni = olsydı, = o olurdu. > olduğundn m() > m() olur, o hlde en küçük tmsyı = o olmlıdır. Örnek. Yndki üçgeninde > > veriliyor. u- n göre m() tmsyı olrk en çok kç deree olilir? Çözüm: Üçgen eşkenr olsydı, her ir çının ölçüsü 0 o olurdu, o hlde en üyük değeri tmsyı olrk o dir. Örnek. dışükey eşgeninde =, = = ve = θ β = dir. < θ < β ise = kç frklı tmsyı değeri lilir? Çözüm: ile üçgenlerinin yn kenrlrının eşit uzunlukt olduğun dikkt ediniz. < β olduğundn > olmlıdır. iğer yndn üçgen eşitsizliğinden >. O hlde < < olduğundn, frklı tmsyı değeri lilir. Örnek. Yndki şekilde noktsı çısının iç ölgesindedir. =, = ve = = ise kç frklı tmsyı değeri lilir? Çözüm: m() > m() olduğundn > = olmlıdır. Üçgen eşitsizliğinden de < olduğunu iliyoruz. O hlde {, 0,, } olmk üzere frklı değer lilir. Örnek. üçgeni ikizkenr olup, çevresi 0 irimdir. m() > m() ise nin lileeği en üyük tmsyı değeri kçtır? Çözüm: m() > m() ise > dir. iğer yndn + = 0 verildiğinden = 0 olur. 0 > eşitsizliğinden < 0 ulunur. Sonuçt nin en üyük tmsyı değeri dur. Teorem [Üçgen eşitsizliği]. ir üçgende herhngi ir kenrın uzunluğu her zmn diğer iki kenrın uzunluğunun toplmındn küçük, frkındn üyüktür. Yni; < < +, < < +, < < +. Knıt: [] kenrını yönünde = kdr uztlım. ir ikizkenr üçgen olur. m() = m() olur. undn dolyı Kenr-çı ğıntılrı m() > m() olur. u d + > demektir. enzer şekilde + > ve + > ulunur. + > ise > dir. Tii > olileeğinden > yzmlıyız. O hlde < < +. u kurl üçgen eşitsizliği diye ilinir. Yni verilen üç uzunluğun üçgen oluşturup oluşturmyğını u eşitsizlikten nlrız. İki kenrın toplmının dim üçünü kenrdn dh uzun olduğun frklı ir yklşım getirelim. minim eğeneeksiniz: ile noktlrı rsındki en kıs yol nedir? doğru prçsı değil mi? İşte ondn dolyı < +. Örnek. ir eşkenr üçgen ve P u üçgen içinde ir noktdır. Çevre() Çevre(P) = ise Çevre() tmsyı olrk P en z kç olilir? Çözüm: şkenr üçgenin kenrın diyelim. P = ve P = olsun. Çevre() Çevre(P) = ( + + ) = = verilmiş. Yni + =. iğer yndn P üçgeninde üçgen eşitsizliğinden + > olduğunu iliyoruz. > olduğundn >, o hlde Çevre() = > olur. evımız. Örnek. ve irer üçgendir. =, =, = ve = ise tmsyı olrk kç frklı değer li- lir? Çözüm: de üçgen eşitsizliğinden + = + = > olur. üçgeninde üçgen eşitsizliğinden <, o hlde < < olduğundn 0 frklı tmsyı değeri lilir.

3 Mustf YĞI Örnek. =, = ve = oln ir üçgeninin çevresi tmsyı olrk en z ve en çok kç olilir? Çözüm: Üçgen eşitsizliğinden < < olur. Yni < < dir. Çevre() = + olduğundn < + < olur. O hlde en z, en çok olmlıdır. Örnek. Yndki üçgeninde = + ve + 0- = 0 ise = nın lileeği tmsyı değerlerinin en çok olmsı için kç olmlıdır? Çözüm: = nın lileeği tmsyı değerlerinin en çok olmsı için üçgenin ikizkenr olmsı gerekir, çünkü her hlükrd diğer iki kenrın toplmı olk m frk en z üçgen ikizkenr olduğund olk, yni > 0 olk. Üçgenin ikizkenr olduğu n d = tür. Teorem. ir üçgeninin kenrlrı,, pozitif doğl syılrı olmk üzere < ise nin lileeği değerler tne ve u değerlerin toplmı ( ) dir. Knıt: Üçgen eşitsizliğinden < < + olduğunu iliyoruz. O hlde değeri + den şlmk üzere + e kdr tüm tmsyı değerlerini lilir. Terim syısı formülünden ( + ) ( ) = olduğundn knıt iter. Toplm formülünden de ( ) ( )/ = ( ) olduğu knıtlnır. Teorem. ir üçgeninin kenrlrı,, pozitif doğl syılrı olmk üzere ölçüsü en üyük çı ise nin lileeği değerler tne ve u değerlerin toplmı ( ) ( )/ dir. Knıt: Ölçüsü en üyük çı ise en uzun kenr dır. Üçgen eşitsizliğine göre < < + olur. Fkt < olmsı gerektiğinden eşitsizlik < < hlini lır. O hlde değeri + den şlmk üzere e kdr tüm tmsyı değerlerini lilir. Terim syısı formülünden ( ) ( ) = olduğundn knıt iter. Toplm formülünden diğeri enzer şekilde knıtlnilir. Kenr-çı ğıntılrı Teorem. ir üçgende ir kesenin oyu dim yrımçevreden kısdır. Knıt: de üçgen eşitsizliğinden < +, de üçgen eşitsizliğinden < + d ulunur. d unlr trf trf toplnırs < d = u olur ki < u olduğu knıtlnmış olur. Örnek. ve irer üçgen olup,,, noktlrı doğrusldır. P = ve Q = ise Çevre() + Çevre() top- Q P lmı tmsyı olrk en z kç olilir? Çözüm: Çevre() > 0 ve Çevre() > olduğundn Çevre() + Çevre() > olur ki evp tir. Teorem. ir üçgenin her kenrı yrımçevreden kısdır. Knıt: < + olduğunu knıtlmıştık. şitsizliğin her iki ynın ekleyelim. < + + = u olduğundn < u olduğu knıtlnmış olur. enzer şekilde < u ve < u. k ilgi: Sdee üçgende değil, tüm konveks çokgenlerde ir kenr uzunluğu dim yrımçevreden küçüktür. Knıtı ynı yukrd yptığımız giidir. u ilgi sizi şğıdki gii ir soru tipiyle krşı krşıy ırkilir. Örnek. Uzunluğu 0 irim oln yndki tel ükülerek ir üçgen ypılıyor. u üçgenin ir kenrı tmsyı olrk en çok kç irim olilir? Çözüm: Her üçgende + > olduğunu iliyoruz. Her iki trf ekleyelim. + + > ve dolyısıyl 0 > olduğundn <, o hlde ir kenr tmsyı olrk en çok olilir. ynı soruyu ir de dörtgen ve eşgen için çözünüz. Örnek. eşgeninde =, =, =, = ise tmsyı olrk en çok kç olilir? Çözüm: < = olduğundn nin en üyük tmsyı değeri olilir.

4 Mustf YĞI Örnek. Yndki dörtgeni dışükey olup, =, = ve = dur. un göre = in tmsyı olrk lileeği en küçük ve en üyük değerlerin toplmı kçtır? Çözüm: ir dışükey dörtgende, herhngi ir kenr her zmn diğer üç kenrın toplmındn küçüktür. O hlde in en üyük değeri olilir. iğer yndn < olduğundn üçgen eşitsizliği gereği in en küçük tmsyı değeri olilir. O hlde evp + =. Örnek. Yndki üçgeninin kenrı üzerinde = olk şekilde ir noktsı lınıyor. = ve = ise Çevre() tmsyı olrk en z kç olilir? Çözüm: çısı dim geniştir, o hlde >. İkiz kenrlr dersek hem > uluruz. Ç() = + + > olduğundn en z olilir. Örnek. Yndki üçgeninde =, = ve = ise in - lileeği frklı tmsyı değerlerinin toplmı kçtır? Çözüm: Yine üçgen eşitsizliğinden + < < olur. O hlde < < dır. in lileeği değerlerin toplmı = 0 ulunur. Örnek. üçgeninde = ve = tir. üçgeninde de = ve = dir. = tmsyı olrk en çok kç olilir? Çözüm: in olildiğine üyük olmsı, ve nin üyük olmsın ğlı. < ve < olduğundn + < dir, o hlde en fzl olilir. Kenr-çı ğıntılrı Örnek. Yndki dörtgeninde = ve = olrk veriliyor. Çevre() + Çevre() toplmının lileeği en küçük tmsyı değeri kçtır? Çözüm: Çevre() >, Çevre() > olduğundn Çevre() + Çevre() > dır. O hlde en küçük tmsyı değeri olur. Örnek. Yndki çprz dörtgeninde =, =, = ve y = y dir. un göre + y toplmının tmsyı olrk lileeği en küçük değer kçtır? Çözüm: + y toplmının olildiğine küçük olmsı nin küçük olmsıyl mümkün. de üçgen eşitsizliğinden > dır. + y > > eşitsizliğinden tmsyı olrk en küçük olileeğini nlrız. Örnek. Yndki üçgeninde = 0 ve 0 = olrk veriliyor. P ve Q noktlrı Q P [] nin üzerindeyken PQ üçgeninin çevresi tmsyı olrk en çok kç olilir? Çözüm: < olduğundn Çevre() < dir. Çevre(PQ) < Çevre() < olduğundn Çevre(PQ) tmsyı olrk en çok değerini lilir. Örnek. ve üçgenleri köşeleri ortk ve kenrlrı tmsyı oln irer üçgendir. y =, =, = ve = iken + = + y toplmı en çok kç olilir? Çözüm: en çok, y en çok 0 olileeğinden, + y toplmı en çok olilir. Teorem. ir üçgenin ir yüksekliği, itişik kenrlrdn y hngisi küçükse onunl dh küçük çı ypr. H Knıt: < olsun. m() > m() olur. Öyleyse çısının tümleri çısının tümlerinden dh küçük olktır.

5 Mustf YĞI Yni şekle göre < y olup; m(h) < m(h). Teorem. ir üçgenin ir kenrortyı, itişik kenrlrdn hngisi küçükse onunl dh üyük çı ypr. Knıt: < ve = y ise şekle göre > y olduğunu göstereeğiz. v nın ye göre simetriği olsun. Nokty göre simetri dolyısıyl =// ve m( ) = olur. üçgeninde > olduğu ' için > y dir. O hlde knıt tmmlndı demektir. Pisgor ğıntılrı. ir üçgeninde m() = < 0 o isse < + m() = = 0 o isse = + m() = > 0 o isse > +. Knıt: ik üçgen konusun kınız. Örnek. Yndki üçgeninde I ve I irer iç çıortydır. I = ve I = ise = kç frklı tmsyı değeri lilir? Çözüm: urd dikkt edilmesi gereken tek nokt, I çısının geniş olduğudur. Onun için < < olur. O hlde, frklı tmsyı değeri lır. Örnek. Yndki üçgeninde = ve = olup,,, noktlrı doğrusldır. m() = < 0 o ise nin lileeği tmsyı değerlerinin toplmı kçtır? Çözüm: çısı dik olsydı, Pisgor Teoremi gereği = 0 olurdu. emek ki < 0, diğer yndn >. O hlde = ulunur. Teorem. ir üçgende yrdımı elemnlr kenrlrl ters orntılıdır. Yni ir yrdımı elemn en kıs isse krşısındki kenr en uzun olnıdır. Yni; > > h < h < h > > n < n < n > > v < v < v Knıt: Okuyuuy ırkılmıştır. I Kenr-çı ğıntılrı Teorem. ir üçgende i kenrın inen yükseklik, çıorty, kenrorty rsınd h i n i v i ğıntısı vrdır. Knıt: Okuyuuy ırkılmıştır. Teorem. ir üçgenin iç ölgesinde lınk isteksel ir y z noktnın üçgenin köşelerine oln uzklıklrı toplmı dim çevrenin yrısındn (u) üyük, çevreden (u) küçüktür. Yni, köşelere oln uzklıklr, y, z ise u < + y + z < u. Knıt:,, üçgenlerinde üçgen eşitsizliğinden; + y > y + z > + z > olur. u eşitsizlikler trf trf toplnırs; + y + z > ( + + )/ ulunur. Yni; u < + y + z. ununl irlikte; + > y + z + > + z + > + y eşitsizlikleri trf trf toplnırs; + + > + y + z ulunur. Yni; + y + z < u. Sonuç olrk; u < + y + z < u. Uyrı: urd önemli oln ir nokt vr: + y + z toplmının lileeği en küçük tmsyı değeri her zmn u dn üyük en küçük tmsyı değildir. Yni u eşitsizlik en dr eşitsizlik değil. Örnek. Yndki konkv dörtgeninde =, =, = ve = y veriliyor. y un göre + y toplmının tmsyı olrk lileeği en küçük ve en üyük değerlerin toplmı kçtır? Çözüm: + y > > olduğundn en küçük değer tmsyı olrk olilir. iğer yndn + > + y olduğundn en üyük değer de tür. + = olur. F Teorem. ir üçgende yrdımı elemnlrın uzunluklrının toplmı çevreden küçük m çevrenin H yrısındn üyük- tür. Yni; üçgende yrı çevreye u denilirse u < h + h + h < u, u < n + n + n < u,

6 Mustf YĞI u < v + v + v < u. Knıt: Yndki gii ir üçgeni çizelim. = h, = h ve F = h olsun. dik üçgeninden h <, dik üçgeninden h < ve F dik üçgeninden h < ulunur. u eşitsizlikler trf trf toplnırs h + h + h < + + = u olduğu knıtlnmış olur. yrı H yi herhngi ir nokt gii düşünerek; u < H + H + H < h + h + h olduğundn eşitsizliğin solu d knıtlmış olur. u < n + n + n < u ve u < v + v + v < u eşitsizliklerinin knıtını d iç çıorty ve kenrorty konulrınd ulilirsiniz Teorem. ir üçgeninde + < v < +. Knıt: üçgeninde = v kenrorty olsun. ve üçgenlerinde üçgen eşitsizliği gereğine < v ve < v / / v olur. u iki eşitsizlik trf trf toplnırs + < ' v olur. kenrortyını = kdr uztlım. noktsın göre simetrik olduklrındn = = dir. üçgeninde üçgen eşitsizliğine göre de < + yni v < + dir. ulduğumuz iki sonuu irleştirirsek + < v < + ulunur. Teorem. ir üçgende kenrorty uzunluklrının toplmı çevreden küçük m çevrenin yrısındn üyüktür. Yni; üçgende yrı çevreye u denilirse u < v + v + v < u. Knıt: ir öneki teoremde ulduğumuz eşitsizliği çemersel dönüşüm ile her kenrorty için yzıp trf trf toplylım: + < v < + + < v < < v < < (v + v + v ) < ( + + ) olduğundn u < v + v + v < u eşitsizlikleri knıtlnmış olur. Teorem. Konveks ir dörtgende köşegenlerin toplmı, dörtgenin yrımçevresinden üyük m tm çevresinden küçüktür. v Kenr-çı ğıntılrı Knıt:, ve, üçgenlerini ele llım. Sır ile şu eşitsizlikler yzılır: < + e f < + d O d < + d < + u eşitsizlikler trf trf toplnırs + < d olur. Sonr O, O, O, O üçgenlerini ele llım: < O + O < O + O < O + O d < O + O ulunur ve u eşitsizlikler trf trf toplnırs d < O + O + O + O = + olur ki ilk ulduğumuz eşitsizlik ile irlikte düşünülürse knıt tmmlnmış olur. Uyrı. ört kenrının d uzunluğu verilen ir konveks dörtgende u < e + f < u eşitsizlikleri en dr rlık değildir. öyle dörtgenlerde e + f her zmn krşılıklı kenrlr toplmının üyük olnındn ile üyüktür. y t z Örnek. Yndki konveks dörtgeninde =, =, = ve = ise + toplmının lileeği en küçük tmsyı değeri kçtır? Çözüm: < + < olduğunu iliyoruz m u ize, u toplmın olileeğini nltmz. Sdee u toplmın, u rlıkt olduğunu söyler. Peki ne ypğız? ve üçgenlerinde üçgen eşitsizliğinden + y > ve z + t > olduğunu iliyoruz, o hlde + y + z + t = + >, diğer trftn ve üçgenlerinde üçgen eşitsizliğinden de + t > ve y + z > olduğunu iliyoruz. Yni + y + z + t = + >, o hlde u iki sonuun kesişimi olrk + > olmlıdır. Şşırmyın, unun seei, köşegenlerin irirleriyle ters orntılı olmsıdır. irinin en küçük değerini ldığını düşündüğümüzde diğerinin de en küçük değerini lıp, unlrı toplymyız, çünkü o n diğeri en üyük değerini lıyordur.

7 Mustf YĞI Teorem. ir konveks dörtgenin dört köşesine M oln uzklıklrının toplmı en küçük oln nokt, d O u dörtgenin köşegenlerinin kesim noktsıdır. Knıt: Herhngi ir M noktsını dörtgenin köşelerine irleştirelim. M, M üçgenlerinde < M + M ve < M + M dir. u iki eşitsizliği trf trf toplrsk; + = O + O + O + O < M + M + M + M olduğundn knıt iter. Teorem. Konveks ir dörtgeninde en üyük, en küçük kenr ise m() > m() ve m() > m(). d Knıt: köşegeninin dörtgenden yırdığı iki üçgeni ele llım. üçgeninde > olduğundn m() > m() dir. üçgeninde > olduğundn m() > m() dir. u iki eşitsizliği trf trf toplyrk m() > m() elde edilir. köşegeninin dörtgenden yırdığı iki üçgeni ele lrk ve ynı muhkemeleri tekrrlyrk m() > m() elde edilir. Örnek. dışükey dörtgeninde =, =, = ve = olrk veriliyor. nin en küçük tmsyı değerini ldığı n kçtır? Çözüm: en küçük değerini ldığınd, en üyük değerini lır ifdesi doğru ols d, = olduğund = olur demek ynlıştır. O hlde n pğız? üşünün Teorem. ir dik üçgende, ir dr çının çıortyının krşı kenrdn yırdığı prçlrdn dik çı trfındki dh küçüktür. Knıt: m() = 0 o ve ' N m(n) = m(n) ise N < N olduğunu knıtlyğız. dik köşesinin N çıortyın göre simetriği olsun. N çıortyı çısının simetri ekseni olduğundn noktsı üzerine düşer. m( N) = 0 o ve N = N olur. N dik üçgeninde N < N olduğundn N < N ulunur. Örnek. çısı dik oln dörtgeninin köşesinden kenrın inilen dikme yğı olsun. m() = 0 o, m() = 0 o ve m() = 0 o ise =, = y ve = z rsınd ir eşitsizlik yzınız. Kenr-çı ğıntılrı Çözüm: üçgeninin ye göre simetriğine üçgeni diyelim. = olur. iğer yndn L üçgeni de ikizkenr olur. L = = z olduğundn L = y z olur. L üçgeninde hipotenüs en uzun kenr olduğundn y z >, düzenlersek y > + z dir. Ort tn. ir üçgende iki kenrın ort noktlrını / / irleştiren doğru prçsın F / ort tn denir. Şekilde / / [], [F], [F] irer ort / / tndır. Ort tn dim / / üçünü kenr (tn) prleldir ve tnın yrısı uzunluktdır. Knıtlrı enzerlik konusund ulilirsiniz. ir üçgenin tne ort tnı vrdır. / / Örnek. üçgeninde kenrorty olup, çısı diktir. = ise tmsyı olrk en z kç olilir? Çözüm: den ye çizilen prlel doğru, yi de kessin. ort tn olur. dik üçgeninde > olduğundn = > olur. O hlde evımız. V V ' y-z y L 0 Örnek. üçgeninde V kenrortydır. = ve = ise V = kçtır? Çözüm: V den ye çizilen prlel yi de kessin. [V] ort tn olur. V =, = = olduğundn, üçgen eşitsizliği gereği < 0 0 z z z

8 Mustf YĞI < tir. O hlde, frklı tmsyı değeri lilir. Örnek. = ve = oln yndki üçgeninde m() = > 0 o ise V kenrortyının oyunun lileeği tmsyı değeri kçtır? Çözüm: V den ye prlel çizilen doğru yi de kessin. [V] ort tn olur, oyu d olur. iğer yndn V çısı geniş olduğundn V çısı dr, undn dolyı V çısı geniş olur. u durumd sdee değerini lilir. Örnek. üçgeninde ve çılrın it iç çıortylr I noktsınd ke- sişmektedir. I üçgeninde I IV kenrortyının oyu irim ise tmsyı olrk en z kç olilir? V Çözüm: urd dikkt edilmesi gereken nokt I çısının geniş olduğudur. Tm 0 o olsydı, muhteşem üçlü gereği = olurdu m m(i) > 0 o olduğundn > dır. O hlde tmsyı olrk en küçük değeri dir. Ort(y) ve ters ort(y) üçgen. Ort tnlrdn oluşn üçgene (F) ort üçgen vey orty üçgen denir. Orty üçgenin lnı orijinl üçgenin () lnının / ü, çevresi ise / si kdrdır. Nsıl ki F üçgenine üçgeninin ort üçgeni deniyor, üçgenine de F üçgeninin ters ort(y) üçgeni denir. iklik merkezi. ir üçgenin üç kenrın it üç yüksekliği dim tek noktd kesişir. u nokty üçgenin iklik Merkezi denir. H V V =H iklik merkezi genelde H ile gösterilir. Üçgen drçılı ise diklik merkezi üçgenin içinde, geniş çılı ise dışınddır. ğer üçgen dik ise diklik merkezi dik kenrlrın kesiştiği köşedir. H Kenr-çı ğıntılrı Öne yüksekliklerin neden noktdş olduğunu gösterelim, dh sonr d diklik merkezinin üçgenin içinde, üstünde vey dışınd olmsının neden üçgenin çılrın ğlı olduğun ir yorum getirelim. üçgeninin ters-ort ' ' üçgeni oln üçgenini çizelim. Yni öyle ir H üçgeni çizelim ki üçgeni onun ort üçgeni (kenr ort noktlrını köşe kul eden üçgen) olsun. ir üçgeninin kenr ' ort dikmelerinin noktdş olduklrını ve kesiştikleri noktnın d üçgenin çevrel çemerinin merkezi olduğunu iliyoruz. O hlde u üçgeninde de öyle. Ort üçgenin kenrlrı sıl üçgene dim prlel olduğundn hsi geçen kenr ort dikmeler üçgeninin yükseklikleridir. O hlde ilk kısım knıtlnmış oldu. Gelelim ikini kısm: üçgeni geniş (vey dr) çılı olsydı üçgeni de ye enzer olduğundn geniş (vey dr) çılı olktı. öyle üçgenlerin çevrel çemer merkezinin üçgenin dışınd (vey içinde) olğını iliyoruz. O hlde diklik merkezi de üçgenin dışınd (vey içinde) olur. ğer ir dik üçgen olsydı, üçgeni de dik üçgen olurdu ki çevrel çemer merkezi hipotenüsünün ort noktsı olktı, u d ort üçgeninin herhngi ir köşesi demek zten Peki, herhngi ir üçgenin üç yüksekliğini irer kirit çöpü gii elime lsm, uçlrını ikişer ikişer iririne değdirerek her zmn ir üçgen ypilir miyim? Öyle y, unlr kenrorty ols ypiliyordum Üzgünüm ki; yüksekliklerde unu ypmk her zmn mümkün değil Çünkü yükseklikler kenrlrl ters orntılı olduğundn (temel ln formülünü htırlyınız), yüksekliklerin çrpımsl tersleri kenrlrl doğru orntılıdır. Yni kenr uzunluklrının un izin vermesi lzım. u d ize şu eşitsizliği yzm hkkı verir (üçgen eşitsizliği): < < +, h h h h h

9 Mustf YĞI < < +, h h h h h < < +. h h h h h Örnek. ir yüksekliği irim, şk ir yüksekliği de irim oln ir üçgenin, üçünü yüksekliği kç frklı tmsyı değeri lilir? Çözüm: < < + olduğundn h h h h h < < + eşitsizliği geçerlidir. h < < olduğundn h, {,, } değerleri olmk üzere frklı tmsyı değeri h lilir. Örnek. = ve = oln ir üçgeninde ve köşelerinden inen yükseklikler üçgen içinde ir H noktsınd kesişiyorlr. un göre H = kç frklı tmsyı değeri lilir? Çözüm: iklik merkezi üçgenin iç ölgesinde olduğundn, üçgeninin dr çılı olduğunu nlıyoruz. m() = 0 o olsydı, = olurdu, m() < 0 o olduğundn < tir. iğer yndn < + olduğundn > tür. O hlde, {,, 0,,,, } olmk üzere frklı tmsyı değeri lilir. ik Üçgenlerde Trigonometrik ornlr. ir dik üçgende kenrlrın irirlerine ornlrının özel dlrı vrdır. kenr vr diye frklı orn yzılileeğinden, yrı orn tnımlyğız: kosinüs (os), sinüs (sin), tnjnt (tn), kotnjnt (ot), seknt (se), koseknt (s). ik kenrlrı ve, hipotenüsü oln ir dik üçgeni çizilsin. m() = olsun. Sinüs. çısının krşısındki dik kenrın hipotenüse oln ornın, çısının sinüsü denir. sin ile gösterilir. sin() = sin = Kenr-çı ğıntılrı Kosinüs. çısının komşusundki dik kenrın hipotenüse oln ornın, çısının kosinüsü denir. os ile gösterilir. os() = os = Tnjnt. çısının krşısındki dik kenrın komşusundki dik kenr oln ornın, çısının tnjntı denir. tg vey tn ile gösterilir. tn() = tn = Kotnjnt. çısının komşusundki dik kenrın krşısındki dik kenr oln ornın, çısının kotnjntı denir. tg vey ot ile gösterilir. ot() = ot = Seknt. Hipotenüsün, çısının komşusundki dik kenr oln ornın, çısının sekntı denir. se ile gösterilir. se() = se = Koseknt. Hipotenüsün, çısının krşısındki dik kenr oln ornın, çısının kosekntı denir. ose vey s ile gösterilir. s() = s = yrı, ot =, tn se =, os s = sin olduğundn, yni ot, se ve s zten sin, os, tn insinden yzılildiğinden ilk trigonometrik orn diğerlerine göre dh çok önem rzetmektedir. sin + os = ve tn = sin os eşitliklerini yukrıd verilen eşitliklerden rhtlıkl çıkrilirsiniz. yrı sıkç krşılşğımız zı özel çılrın trigonometrik değerlerini ilmemizde fyd vr. Hepsinin knıtını özel üçgenler kullnrk ypilirsiniz. Mtemtikçiler kvrmlrı genelleştirme eğilimindedirler. Zten mtemtik üyük ölçüde geli-

10 Mustf YĞI şimini öyle genellemelere orçludur. r çılr için tnımldığımız u ornlrı geniş ve üstün çılr için de tnımlyiliriz. u konu dh çok Trigonometri konusun girdiğinden dety girmeden knıt ypmdn irkç formül ve eşitsizlik vereeğiz. yrı eğer çok merk ediyorsnız enden trigonometrik değerleri ulunileek tüm çılrın (, dereenin tm ktlrı) tüm trigonometrik değerlerini isteyeilirsiniz. o,. o, 0 o, o, 0 o,. o, o gii özel çılrın trigonometrik değerlerini de özel üçgenler konusund vermiştik zten. Sonuçlr. * sin ve os ornlrı [, ] rlığınddır. u rlığın dışınd değerler lmzlr. * tn ve ot ornlrı reel her değeri lilir. * se ve s ornlrı, sin ve os ornlrı 0 olduğund tnımsız olur, unun dışınd den üyük vey den küçüktür. * iririni tümleyen çılrdn irinin kosinüsü, tnjntı, sekntı, diğerinin sırsıyl sinüsü, kotnjntı, kosekntıdır. * iririni ütünleyen çılrın sinüsleri ve kosekntlrı eşittir. * iririni ütünleyen çılrın kosinüsleri, tnjntlrı, kotnjntlrı, sekntlrı mutlk değere eşit fkt zıt işretlidirler. * sin = sin os * os = os sin = os = sin tn * tn = tn Üç kenr uzunluğu verilen ir çeşitkenr üçgenin herhngi ir çısı vey u çının herhngi ir trigonometrik değeri sorulurs, unu Kosinüs Teoremi ile rhtlıkl uliliriz. Tii ki u teorem çeşitkenr üçgenlerde sğlndığı gii diğer tüm üçgenlerde de sğlnır. yrı çılrı ve ir kenrı verilmiş ir üçgenin verilmeyen şk ir kenrı d Sinüs Teoremi nden rhtlıkl ulunilir. Şimdi u teoremleri vereeğiz. Fkt undn öne trigonometrik ornlrı tnımlylım. Kosinüs Teoremi. ir üçgeninde, = + os eşitliği geçerlidir. Kenr-çı ğıntılrı Knıt: ğer = 0 o ise, kosinüs teoremi tm tmın Pisgor teoremidir. undn öyle 0 o olsun. nın 0 o den üyük y d küçük olmsın göre iki şıkkımız vr. H irini Şık: h 0 o. Yndki şekilden tkip edelim. d δ Tnımlrdn dolyı, os = sin( 0 o ) = sin δ = d/. unu klımızd tutlım, irzdn gerekeek. H ye Pisgor uygulrsk, = h + d uluruz. unu d klımızd tutlım, u d gerekeek. Son olrk, H ye Pisgor uygulyıp yukrd ulduğumuz iki eşitliği yerlerine koylım: = ( + d) + h = + d + h + d = + + d = + os. u şıkt teoremimiz knıtlnmıştır. İkini Şık: 0 o. Gene yndki şekilden tkip edelim. y Tnım göre os = y/. Pisgor Teoremi ni şekildeki iki dik üçgene uyguly- H h rk, = y + h ve = + h elde ederiz. Şimdi unlrı kullnrk, = + h = + y = + ( + y)( y) = + ( + y)( + y y) = + ( + y) y( + y) = + y = + os elde ederiz ki, u d izim knıtlmk istediğimiz eşitlik. sin os os Knıt-: = ( sin ) + ( os ) = sin + os + os = + os olduğundn knıt iter. 0

11 Mustf YĞI Soru tipi. Yndki gii,, d, d, e değerleri verilip, değeri sorulur. e Çözüm yolu. Üç kenr uzunluğu d ilinen üçge- ninde kosinüs teoremi yrdımıyl os ulunur, sonr üçgenindeki kosinüs teoreminde yerine yzılrk ulunur. Soru tipi. Yndki gii,, d, d, e değerleri verilip, değeri sorulur. e Çözüm yolu. Üç kenr uzunluğu d ilinen üçgenin- de kosinüs teoremi yrdımıyl os ulunur, sonr üçgenindeki kosinüs teoreminde yerine yzılrk ulunur. Soru tipi. Yndki gii ir e şekilde,,, d, e, değerlerinden eşi verilir, ltını d sorulur. Çözüm yolu. Üç kenrı d ilinen üçgende kosinüs teoremi yrdımıyl os ulunur, u değer diğer üçgende kosinüs teoreminde yerine yzılrk ev ulşılır. Soru tipi. ve kenrlrı verilip, çısının ir çısındn küçük vey üyük olduğu verilir. u durumd in lile- eği değerler sorulur. Çözüm yolu. çısının ölçüsü tm o olduğund in kç olğı kosinüs teoremi yrdımıyl ulunur. ulunnın p olduğunu frzedelim. m() < o ise < < p, m() > o ise p < < +. iğer sınır değerlerini üçgen eşitsizliği yrdımıyl ulduk. Örnek. üçgeninde = ve = olrk veriliyor. m() = < 0 o ise kç frklı tmsyı değeri lilir? Çözüm: = 0 o olsydı, = olurdu. unu kosinüs teoreminden ulduk. O hlde <. iğer yndn, üçgen eşitsizliğinden >. Kenr-çı ğıntılrı Sonuç olrk {,, } olmk üzere frklı tmsyı değeri lilir. Soru tipi. ir üçgenin herhngi çı ölçüsü ve kenr uzunluğu verilip, diğer kenrlrdn iri sorulur. Çözüm yolu: Sinüs Teoremi nden kolylıkl çözüleilir. Uygun şrtlr ltınd, çı ölçüsü ve kenr uzunluğu verilip, diğer β ir çı ölçüsü sorulduğund d Sinüs Teoremi uygulnilir. Örnek. Yndki şekilde ve 0 veriliyor. =, = ve = 0 ise = kç olur? 0 Çözüm: = olduğunu hemen yzlım. in ulunilmesi os() değerinin ilinmesine ğlı. iğer yndn m() = m() olduğundn os() = diye os() =. = =. Örnek. ir ymuk, =, =, =, = olduğun göre m() kç dereedir? Çözüm: İster den ye prlel olrk geçen doğruyu çizin, isterseniz şekilde yptığımız gii den y prlel olrk geçen doğrusunu. prlelkenr olur. üçgeninde kosinüs teoreminden, = + os = os os = olduğundn = m() = 0 o dir.

12 Mustf YĞI Kenr-çı ğıntılrı Örnek. ir dik üçgen olup, den geçen merkezli çemer hipotenüsü de kesiyor. =, = olduğun göre = kçtır? Çözüm: Çemerde kuvvet teoreminden hemen çözüleileek u soruyu iz şu n kosinüs teoremiyle çözeeğiz. [] yrıçp olduğundn = dır. iğer yndn m() = iken os = olur. üçgeninde kosinüs teoreminden, = + ulunur ki, denklemin pozitif kökü = dir. F 0 F L 0 Örnek. ir eşkenr dörtgen, F = =, F = = m() = 0 o ise F = kçtır? Çözüm: den kenrın prlel oln L doğrusunu çizelim. FL = ve L = olur. LF çısının ölçüsü de 0 o olğındn LF üçgeninde kosinüs teoreminden, = + ( ) = + + = olur ki urdn = ulunur. θ 0 O θ Örnek. Yndki kirişler dörtgeninin yrıçpı dir. m() = θ, m() = θ ise = kçtır? Çözüm: Kiriş dörtgenlerinde krşılıklı çı ölçüleri toplmı 0 o ydi. O hlde θ = 0 o ve θ = o olur. O hlde m() = o ve dolyısıyl m(o) = 0 o ulunur. Gerisi kosinüs teoremine kldı: = + ( ) = + diye = + = + = +. θ Örnek. üçgeninde,, =, =, = ise = kçtır? Çözüm: m() = olsun. os değerini ulilirsek, üçgeninde kosinüs teoreminden soruyu çözeriz. m() = θ olsun. ile θ ütünler olduğundn os = os θ = olur. O hlde, = + ( ) = + = diye = = ulunur. irekt olrk, üçgeninde çısın ğlı ir kosinüs teoremi de yzilirdik, dh kıs sürerdi m ütünler çılrın kosinüslerinin irirlerinin zıt işretlileri olduğunu d htırlylım istedim. Örnek. ir kre =, θ m() = θ ise tn θ kçtır? Çözüm: Krenin ir kenr uzunluğu olsun. = = olur. = = θ/ olduğundn üçgeninde kosinüs teoreminden θ os θ yı ulup, ordn tn θ değerini ulğız. = + os θ os θ = ulunur. Uygun dik üçgeni çizerek, θ dr çı olduğundn, tn θ = olduğu rhtlıkl ulunilir.

13 Mustf YĞI üçgeninde tn( θ ) = olduğundn, yrım çı formüllerini kullnrk d tn θ y ulşılilirdi, tvsiyemiz odur, ilerde göreeğiz. Örnek. ve irer üçgendir. =, =, =, = = ise = kçtır? Çözüm: m() = ve m() = θ olsun. ile θ nın ütünler θ olduğun d dikkt edin. üçgeninde kosinüs teoreminden os θ yı ulğız. os = os θ olduğundn unu üçgenindeki kosinüs teoremi uygulmsınd yerine koyğız. Uztmyyım, os θ = çıktığındn os = olur. Yerine yzılırs = 0 olrk ulunur. Örnek. kirişler dörtgeninde, + =, + = +, + = = +, m() = olduğun göre os kçtır? Çözüm: [] köşegenini çizelim. oyun d diyelim. + + Hemen üçgeninde hem + de üçgeninde kosinüs teoremi uygulyğız. = + ( + ) ( + ) os = + + ( + ) os m() = olsun. ile ütünler olduğundn os = os olur. = ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) ( os ) = ( + + ) os Şimdi ulduğumuz u frklıymış gii görünen iki değerini eşitleyeeğiz. = + + ( + ) os = ( + + ) os eşitliği düzenlenirse, = ( + + ) os ( + ) = ( + ) os olduğundn os = ulunur. + θ Kenr-çı ğıntılrı Örnek. Yndki kirişler dörtgeninde, =, = =, = ise = kçtır? Çözüm: m() = θ olsun. ir öneki örnekten seeplenelim: On göre os θ =. üçgeninde kosinüs teoremi uygulnırs, = + ( ) = + + = olduğundn = ulunur. Örnek. ir üçgenin kenr uzunluklrı oln,, rsınd + = + + ğıntısı geçerliyse, u üçgenin çısının ölçüsü kç dereedir? Çözüm: ( + ) ( + + ) = olduğundn ( + ) = olur. + + = eşitliğinden = + + ulunur ki, kosinüs teoremi gereği = + os olduğunu ildiğimizden = os ulunur. os = çıktığındn m() = 0 o olrk ulunur. Örnek. ir üçgenin kenr uzunluklrı oln,, rsınd ( ) = ğıntısı geçerliyse, u üçgenin çısının ölçüsü kç dereedir? Çözüm: = eşitliğinde gerekli sdeleştirmeler ypılırs, ( + ) = ( + ) ( + ) çıkr. u d = + demektir. Üst sorud yptığımız gii = os dersek, os = çıktığındn m() = 0 o olrk ulunur.

14 Mustf YĞI Sinüs Teoremi. herhngi ir üçgen olsun. çılr sırsıyl, β, γ diyelim. O zmn = = sin sin β sin γ eşitlikleri geçerlidir. yrı, eğer üçgenin köşeleri R yrıçplı ir çemerin üstündeyse, u değerler R ye eşittir. Knıt-: Çemerin merkezine O diyelim. Şekildeki gii O dn ye dik inelim. O m(op) = eşitliğine dikktinizi çekerim. O = O ol- P duğundn, OP ikizkenr ir üçgendir, dolyısıyl m(op) = m(po). Şimdi OP üçgeninde hesplylım: P sin = sin(op) = =. O R emek ki = R. (ikkt: ğer çısı sin 0 o den fzlys, o zmn O noktsı üçgenin dışınd klır m gene ynı eşitliği elde ederiz.) ynı şeyi diğer çılrl d yprsk teoremi elde ederiz. Knıt-: köşesinden geçen çp çemeri noktsınd kessin. m( ) = 0 o ve R m( ) = m() olur. sin = sin = olduğundn eşitliğin iri gösterilmiş olur. iğerleri de si- ' R metrik şekilde knıtlnilir. Örnek. ir üçgeninde, sin + sin = sin eşitliği geçerliyse, u üçgen ilesi hkkınd ne söyleneilir? Çözüm: Sinüs Teoremi ne göre, = = = R sin sin sin diye sin = R, sin = ve sin = R R. Verilen ğıntıd u değerler yerlerine yzılırs, ( R ) + ( R ) = ( R ) olur ki, sdeleştirilirse + = ulunur. O hlde u eşitliğin geçerli olduğu üçgen ilesi çısı dik oln üçgen ilesidir. Kenr-çı ğıntılrı Örnek. ir üçgeninde = olup, os = olrk veriliyor. u üçgenin çevrel çemerinin yrıçpı kçtır? Çözüm: Uygun dik üçgeni hemen çizerseniz sin = olduğunu görürsünüz. Sinüs Teoremi gereği = R olduğunu iliyoruz. ve sin değer- sin leri u eşitlikte yerlerine yzılırs R =. olrk ulunur. Soru tipi. Yndki şekilde,,, d, değerlerinden dördü verilip, eşini sorulur. d Çözüm yolu: Stewrt Teoremi yrdımıyl ulunur. Stewrt Teoremi. Yndki e şekil için; e d + d = d. + d Knıt: ve çılrın ship üçgenlerde kosinüs teoremi uygulnıp e değeri çekilirse istenilen elde edilir. Uyrı. İkizkenr üçgenlerde Stewrt Teoremi çok dh sit ir hl lır. =. Genel Stewrt formülünden u eşitliğin knıtını ypilirsiniz. Çemerde kuvvet konusund d şık ir knıtını dh göreeksiniz. Soru tipi. dn ye, ye uğrmk kydıyl, en kıs yolun oyu vey yolun en kıs olmsı için nin nerede lınmsı gerektiği sorulur. Çözüm yolu: irz detylı oldu m şğıdki hikye sorunu çözer: Koordintlrı verilmiş ve noktlrını irer köy, eksenini de ir ırmk gii düşünün. köyündesiniz. Köyünüzde ir yrışm ypılıyor. Kim ırmktn su içtikten sonr en erken köyüne vrk? Herkes, eğer hızlrınd değişiklik olmzs ırmğ ilk vrnın, ye de ilk vrğını düşünür. m u köyde kzlrın yğı öyle değil! Tvşn kplumğdn hızlıdır m her zmn tvşn kplumğyı geçemez değil mi? h hızlı olmktns dh kıs yolu terih etmek dh fydlıdır çoğu zmn. Şimdi dediklerimi iyi dinleyin.

15 Mustf YĞI y köyünün ırmğ göre simetriğine şekildeki gii köyü (, d) (, ) diyelim. Simetrik nesnelerin O P(n, 0) '(, -) simetri eksenine eşit uzklıklrd olduğun değinmiştik, htırlyın. emek ki h köyünden ye gitmişsin, h köyünden. Peki, köyünden köyüne en kıs yol ne? u iki köyü irleştiren doğru prçsı. O hlde ırmktn su içeeğin yer, tm u doğru prçsının eksenini kestiği yer, yni P noktsı olmlıdır. Her zmnki gii hızlı oln değil, zeki oln kzndı! Yni, P + P en z ise, P, doğrusldır. Kenr-çı ğıntılrı Çözüm: P yi doğrusunun d doğrusunu kestiği yerde olrk lsydık P P mksimum olurdu m P yi [] üstünde lm meuriyetimiz vr. O hlde P yi tm nin olduğu yerde lırsk = olrk uluruz. Örnek. ve noktlrındn d doğrusun inilen dikme yklrı ve olsun. P noktsı [] üzerinde değişken ir nokt ise P + P toplmının lileeği en küçük değer kçtır? Çözüm: noktsını orijin gii düşünürsek (, ), P(, 0) ve (0, ) olur. u üç noktnın doğrusl olmsı hlinde P + P = olur ki, iki nokt rsındki uzklık formülünden evp olur. Soru tipi. Toplmın en küçük olduğu durum gii, frkın en üyük olduğu durum d sorulur. Çözüm yolu: P P en çok ise, ve P doğrusl olur. y unun seei de P noktsının ve ile ynı doğru üzerinde ulunmmlrı hlinde P diye ir üçgen oluşturklrı ve P üçgen eşitsizliğinden P P O frkının her hlükrd den küçük olğıdır. P d Örnek. ve noktlrındn d doğrusun inilen dikme yklrı ve olsun. P noktsı [] üzerinde değişken ir nokt ise P P frkının lileeği en üyük değer kçtır? P d