Geometri Notları. Üçgen [ ] [ ] [ ] Mustafa YAĞCI,

Transkript

1 005 Gemetri tlrı Mustf YĞI, dğrudş lmyn (ynı dğru üzerinde ulunmyn) üç nkt ise [], [], [] dğru prçlrının irleşimine üçgeni denir. vey ile gösterilir. = [ ] [ ] [ ] Söyleyemeyeni derse lmm, n göre! in tnımınd d ne yzık ki meslektşlrımızın üyük ir ölümü ht ypmkt. Tıpkı enim de mesleğimin ilk yıllrınd yptığım gii. üyük Üstt Thsin Çizenel in 1959 yılınd kleme ldığı Çözümlü üzlem Gemetri Prlemleri isimli dev ypıtının snsözünde yzmış lduklrını urd yinelemek istiyrum. Kulğımız küpe lsun! kumuş ir kimseyle kummışı iririnden yırn geniş düşüne, ileri görüşe ship lm ve sğlm muhkeme edeilme nitelikleri, lüzumsuz znnettiğiniz dersler syesinde kznılır. u dersler, kuynlr için ir çeşit zihin tlimidir. Mtemtik öğretimi ise, u nitelikleri en iyi geliştiren ir vsıt lrk yüzyıllr yun ütün insnlık trfındn çk önemli tutulmuştur. u öğretimin ir mı d, insnı gelişigüzel knuşm lışknlığındn kurtrmk, kelimeleri tm ve yerinde kullnm yeteneğini kzndırmktır. Örnek lrk, i tnıml dediğimiz ir öğreni üç nktnın irleştirilmesinden meydn gelen şekil üçgendir derse; öğretmen hemen un itirz eder: Üç nkt ir dğru üzerinde lmz mı? u üç nkt ne çeşit çizgilerle irleştirileek? u ihtimlleri hes ktmdn knuştun. Snr; mtemtiksel tnımlr denir vey dı verilir kelimeleri ile iterler; sen ise, dir tkısı ile itirdin, dir, lur gii tkı ve kelimeler isptlnk hükümlerin snun gelirler. İşte öylee mtemtik derslerinde ütün tnım ve isptlrd her ihtimli hesplyrk ve yerinde kelimeler kullnrk çık vermemeye gyret ede ede prtik hytt d ynı niteliklere ship ir kimse lursunuz. Eğer mtemtik derslerinden tm nsiinizi lilirseniz rsgele knuşm lışknlığınızdn kurtulursunuz. u syede örnek lrk; ir knu üzerinde trtışılırken knu hkkınd ir fikriniz yks susmyı, vrs itirz meydn vermeyeek şekilde knuşmyı öğrenirsiniz. Okulu itirip prtik hyt tılın elette kuduğunuz derslerin knulrını unutksınız fkt sizde dın kültür dediğimiz öyle ir iz, öyle ir hzine klır ki u syede kummış nzrn pr ile elde edilemeyeek ir üstünlüğe ship lursunuz. Stırd değil de htırd klmsı dileğiyle iz kldığımız yerden devm edelim. üçgenini luşturduğumuz u,, nktlrın üçgenin köşeleri, u dğru prçlrın üçgenin kenrlrı ve öylee luşn,, çılrın d üçgenin iç çılrı denir. Kenrlr genellikle,, gii küçük hrflerle, köşeler ve çılr ise genelde,, gii üyük hrflerle gösterilir. Kenrlr ve çılr üçgenin temel elemnlrıdır. kplı ir şekil lup (knveks), çılrının iç ölgelerinin rkesitine üçgenin iç ölgesi vey içi denir. ışın d dış ölgesi vey dışı denir. in kendisi ile iç ölgesinin irleşimine de üçgensel ölge denir. Sru tipi. ve üçgensel ölgenin frkını yırt etmek gereken sru tipleri srulur. Çözüm ylu: in üç dğru prçsının irleşimi m üçgensel ölgenin dğru prçlrı ve nlr rsınd kln ölge lduğunu ilmek gerekir. K F Örnek. Yndki üçgeni ile EF çısının kesişimi nedir? L M Çözüm: dğru prçlrındn, çı d ışınlrdn E luşuyrdu. ğru prçsıyl ışının kesişimi ir nkt lğındn evımız K, L, M, nktlrıdır. K L F E M Örnek. Yndki üçgeni ile EF çısl ölgesinin kesişimi nedir? Çözüm: çısl ölgeye çının içi de dhil lduğundn

2 Mustf YĞI evımız [K] ile [LM] lmlıdır. K F Örnek. Yndki üçgensel ölgesi ile EF çısl ölgesinin kesişimi nedir? L M Çözüm: u sefer hem çının hem de üçgenin içi dhil lduğundn E evımız KLM dörtgensel ölgesi lmlıdır. ikkt edin, KLM dörtgeni değil! K L F E M Örnek. Yndki üçgensel ölgesi ile EF çısının kesişimi nedir? Çözüm: sel ölgeye üçgenin içi de dhil lduğundn evımız [KL] ile [M] lmlıdır. in kenrlrındn irine tn diyeek lursk, öteki iki kenr yn kenrlr, tn krşısındki çıy tepe çısı, öteki iki çıy d tn çılrı denir. ler kenrlrın göre sınıflndırılırlr. Kenrlrı frklı uzunlukt lnlr çeşitkenr üçgen, iki kenrı eşit lnlr ikizkenr üçgen ve üç kenrı eşit lnlr d eşkenr üçgen denir. enzer ir sınıflm üçgenin çılrın göre de ypılilir. Çeşitçı üçgen, ikizçı üçgen, eşçı üçgen gii çılrının ölçülerine göre de ir sınıflm ypılilir. r çılı üçgen, dik üçgen, geniş çılı üçgen gii Temel elemnlr lur d yrdımılr lmz mı? ir üçgende ir köşeden krşı kenrı dik keseek şekilde çizilen dğru prçsın u köşeye it yükseklik, ir köşeye it çıyı rtlyn dğrunun üçgen içinde kln dğru prçsın u köşeye it iççırty, ir köşeyi krşı kenrın rtsın irleştiren dğru prçsın d u köşeye it kenrrty denir. h n v Yukrıdki şekillerden ir üçgeninin köşesine it yükseklik, çırty ve kenrrtyın kilirsiniz. ir üçgende u üç dğru prçsın üçgenin yrdımı elemnlrı denir. ir üçgende 3 tne yükseklik, 3 tne iç çırty, 3 tne kenrrty vrdır. Yükseklikler h, h, h, iç çırtylr n, n, n, kenrrtylr v, v, v vey m, m, m ile gösterilir. Yükseklik ve kenrrtylrın indislerini küçük hrflerle fkt iç çırtylrın indislerini üyük hrflerle yzdığımız dikkt ediniz. Zir, yükseklik ve kenrrtylr kenrlrl m iç çırtylr çılrl lklıdır. u yrdımı elemnlr dim kendi rlrınd nktdştır (tek nktd kesişir). Yüksekliklerin kesiştiği yere üçgenin diklik merkezi (H) denir. İç çırtylrın kesiştiği yer üçgenin içteğet çemerinin merkezi (I), kenrrtylrın kesiştiği yer de üçgensel ölgenin ğırlık merkezidir (G). ir üçgende kenrrtylr ve iç çırtylr dim üçgen içinde kesişirler fkt yükseklikler üçgenin dışınd d kesişeilir. ir üçgenin kenr rt dikmelerinin (kenrın tm rtsındn dik keserek geçen dğrulr) kesiştiği yer, üçgenin çevrel çemer merkezidir (O). u özel nktlrın her iri kendi knusund detylı lrk işleneek ve hüküm ildiren kısımlr knıtlnktır. de çılr knusund ilmemiz gerekenler. Şimdi yvş yvş işlemler ypmy ve dlyısıyl gemetrinin güzelliklerini görmeye şlyğız. şğıd knıtlrıyl irlikte vermiş lduğumuz teremler düzlem gemetrinin temelleri lduğundn iyie kvrnmlı, yeterine htt fzlsıyl prtiğe dökülmelidir. unlr tm kvrnmdn ilerideki knulr geçmemenizi şiddetle tvsiye ederiz. β Terem. ir üçgende iç çılrın α θ ölçüleri tplmı 180 dir. Knıt: Herhngi ir köşeden geçen ve u köşenin krşısındki β θ kenr prlel ln ir dğru çizilir ve iç-ters çılr gereği ypılırs, üç çının ir dğru çı luşturduğu çıkr. lyısıyl α + β + θ = 180.

3 Mustf YĞI Terem. ir üçgende dış çılrın ölçüleri tplmı 360 dir. Knıt: α + β + θ = 180 lduğu knıtlndığındn dış çılr ln 180 α, 180 β, 180 θ değerleri tplnrk 540 (α + β + θ) = = 360 eşitliğine kly ulşılır. Terem. ir dış çının ölçüsü kendine kmşu lmyn iki iç çının ölçülerinin tplmıdır. Knıt: Gerek iç çılrın ölçüleri tplmındn gerekse yndki gii ir prlel dğru çizilerek, snr iç-ters çı görülerek rhtlıkl knıtlnilir. O O y- y- Terem. Kmşu iki eş çının kllrını kesen ir şk dğrunun luşturduğu çı dizisi (yn şekildeki, y, z çılrı) ir ritmetik dizidir. Yni; z y = y vey + z = y. Knıt: Oldukç kly! m(o) = m(o) = α lsun. m(o) = lduğundn O üçgeninde ir öneki terem gereği + α = y dir. iğer yndn m(o) = y lduğundn O üçgeninde ir öneki terem gereği y + α = z dir. Her iki eşitlikten α lr çekilir eşitlenirse z y = y eşitliğine ulşılır ki u d + z = y demektir. u sruyu dğrud çılr ilgisi ile de şöyle çözeilirsiniz: O dn geçen ye prlel dğru çizilir. m(o) = m(o) + m(o) = y = z. Terem. ir üçgeninin iç ölgesindeki her O nktsı için m(o) > m() dir. Knıt: ir üçgende ir dış çı y y z z ölçüsünün kendisine kmşu lmyn iç çı ölçüleri tplmın eşit lduğunu dlyısıyl her irinden üyük lduğunu göz önüne lırsk; m(ol) > m(l) ve m(ol) > m(l) lur, hlde m(o) > m(l) + m(l) = m(). O L Knıt: α + θ = 180 lduğundn α + θ = 90 lduğu rhtlıkl görüleilir. Terem. Yndki şekilde içe dönük çılrın tplmlrı, dış dönük ln çıy eşittir. Yni; + + = d. Knıt: dğrusunun dğrusunu kestiği nkty E diyelim. ir üçgende iki iç çının ölçüleri tplmı, üçünü çının dış ölçüsüne eşit lğındn m(e) = + dir. Yine ynı seepten; m() = m(e) + m(e) lmlıdır. O hlde; + + = d eşitliği knıtlnmış demektir. iz un Şlvr kurlı diyeeğiz. Terem. ir yıldızıl eşgenin köşe çılrının ölçü- e E leri tplmı 180 dir d + e = 180. d Knıt: ile dğrulrının E dğrusunu kestiği +e +d e E nktlr sırsıyl K ve P lsun. ir üçgende iki iç d çının ölçüleri tplmı üçünü çının dışının ölçüsünü vermesi gerektiğinden m(ke) = + e ve m(p) = + d lur. KP üçgeninde iç çılrın ölçüleri tplnırs d + e = 180 eşitliğine ulşılır. Terem. ir üçgenin iki iç çırtyındn luşn geniş çının ölçüsü, üçgenin kullnılmyn çısının ölçüsünün yrısının 90 fzlsıdır. d d + E Knıt: ve üçgenlerinin iç çılrının ölçüleri tplmın klım. + + n = 180 ve + + m = 180 eşitlikleri irlikte çözülürse m = 90 + n ulunur. m değerinin dim geniş lduğu dikkte lınmlıdır. İleride lzım lk. n m α α θ θ Terem. ir üçgende ynı köşeye it iç ve dış çırtylr iririne diktir. 3 n m Terem. ir üçgenin iki dış çırtyındn luşn dr çı ile üçgenin kullnılmyn çısının yrısı iririnin tümleridir.

4 Mustf YĞI Knıt: ve üçgenlerinin iç çılrının ölçüleri tplmın klım n = 180 ve + + m = 180 eşitlikleri irlikte çözülürse m = 90 n lduğu görülür. urd d m değerinin her hlükrd dr lduğu dikkte lınmlıdır. Zir u d ileride çkç lzım lk. Htt dim dr çılı üçgen lur. Terem. ir üçgenin n ir iç çısının çırtyı ile ir şk çısı- m nın dış çırtyındn luşn dr çının ölçüsü, üçgenin kullnılmyn çısının ölçüsünün yrısıdır. Knıt: n + = ve m + = eşitlikleri rtk çözülerek istenilen eşitlik yni m = n ulunur. Terem. çısı dik ln ir dik üçgeninin ye it iç çırtyı yi de kessin. den dğrusun çıkıln dikme yi de kesiyrs = dir. Knıt: ş durmyın! m() = m() = α lsun. α + θ = 90 lmk üzere; çısının ölçüsüne θ dersek; ters çılr eşittir teremi gereğine m() = θ lur. dik üçgen lduğundn çısının ölçüsü de θ lur. m() = m() lduğundn knıt tmmlnmış lur. θ θ θ α α Ek ilgi: üçgeni çısındn dlyı dim geniş çılı ir üçgen lur. H y +y H Terem. ir üçgende ir köşeye it yükseklikle, iç çırty rsınd kln çının ölçüsü kullnılmyn köşelerdeki iç çı ölçülerinin pzitif frkının yrısıdır. Knıt: Çk çk kly! m(h) = y lsun. y + = 90 ve + y + = 90 eşitliklerinden y = 90 = 90 lur. = + lduğu için = dir. öyle ir çı, üçgeni ikizkenr değilse luşur. Terem. ir üçgende iki yükseklik rsındki çı ile kullnılmyn köşedeki çı θ eşit y d ütünlerdir. α Knıt: hsi geçen çılrın içinde ulunduğu dörtgenin iç çılr tplmı hesplnırs knıt iter. Eğer yüksekliklerin rsındki θ çısı şekildeki gii geniş ln değil de dr ln seçilirse θ = α lur. 4

5 Mustf YĞI Çıkmış ÖSS-ÖYS srulrı 1. ir üçgende m() = 45 ve m() m() = 35 lduğun göre, m() değeri şğıdkilerden hngisidir? ) 45 ) 50 ) ) 85 E) ÜSS 4. Verilen şekilde çısının ölçüsü 50 ve ynı hrflerle gösterilen çılr iririne eşittir. y = 10 lduğun göre, çısının ölçüsü kç dereedir? ) 55 ) 60 ) 65 ) 70 E) ÖYS. 5. Şekilde gösterilmiş pzitif yönlü d çı ölçülerinin tplmı kç dik çıdır? ) 4 ) 5 ) 6 ) 7 E) ÜSS ) 100 ) 110 ) 10 ) 130 E) ÖSS Şekilde ˆ çısının ölçüsü α lduğun göre, H çısının ölçüsü şğıdkilerden hngisidir? her irinin ölçüsü 36 dir. =, = y lduğun göre, nin ve y insinden değeri şğıdkilerden hngisidir? ) α α ) 90 + ) 90 + α α ) 180 E) 180 α 1981 ÖYS ) y ) 3 y ) + y ) y E) 3y 1983 ÖYS 5

6 Mustf YĞI şğıdki ikizkenr üçgeninde ) 90 + α ) 90 3α + ) 90 + α ) 180 α E) 180 α 1984 ÖSS çısının ölçüsü kç dereedir? ) 45 ) 60 ) 7 ) 75 E) ÖYS şğıdki şekilde //, = dir. ) 80 ) 70 ) 60 ) 50 E) şğıdki şekilde, // E dır ÖYS çısının ölçüsü 30, çısının ölçüsü 100, çısının ölçüsü kç dereedir? ) 80 ) 85 ) 90 ) 95 E) ÖSS 1. şğıdki üçgeninde = dır. E çısının ölçüsü kç dereedir? ) 15 ) 30 ) 45 ) 60 E) ÖSS ) 45 ) 40 ) 35 ) 30 E) ÖSS 6

7 Mustf YĞI 13. şğıdki şekilde ve ikizkenr üçgendir. 16. un göre m() kç dereedir? ) 11 ) 9 ) 7 ) 5 E) ÖYS 14. Yukrıdki ikizkenr üçgeninde tn çısının ölçüsü kç dereedir? ) 74 ) 75 ) 76 ) 77 E) ÖYS Şekildeki ikizkenr üçgeninde tepe çısının ölçüsü kç dereedir? ) 15 ) 0 ) 5 ) 30 E) ÖSS Yukrıdki verilere göre, çısının ölçüsü kç dereedir? ) 30 ) 35 ) 40 ) 45 E) ÖYS Tn çılrı 4 ln ikizkenr ir üçgeninde, tepe çısını üç eş prçy ölen ışınlrın elirttiği çının ölçüsü çı kç dereedir? ) 36 ) 38 ) 40 ) 4 E) ÖYS Şekildeki üçgeninde çısının α türünden değeri şğıdkilerden hngisidir? ) 100 α ) 100 α ) α 10 ) α 0 E) α ÖSS 7

8 Mustf YĞI Şekildeki verilere göre, α çısı kç dereedir? ) 5 ) 30 ) 35 ) 40 E) ÖSS Yukrıdki verilere göre, çısını ölçüsü kç dereedir? ) 150 ) 140 ) 130 ) 10 E) ÖSS Yukrıdki verilere göre, çısının ölçüsü kç dereedir? ) 30 ) 40 ) 45 ) 50 E) ÖYS Yukrıdki şekilde = lduğun göre, in türünden değeri şğıdkilerden hngisidir? ) + 10 ) + 40 ) 40 ) 40 + E) ÖSS Yukrıdki verilere göre, m(p) = α kç dereedir? 5. ) 7 ) 8 ) 9 ) 10 E) ÖSS Yukrıdki verilere göre, m() = α kç dereedir? ) 138 ) 146 ) 148 ) 15 E) ÖSS Yukrıdki şekilde = lduğun göre, m(f) = kç dereedir? ) 30 ) 35 ) 40 ) 45 E) ÖSS 8

9 Mustf YĞI Yukrıdki şekilde ir eşkenr üçgen lduğun göre, m(fe) = α kç dereedir? ) 110 ) 105 ) 100 ) 95 E) ÖYS Yukrıdki verilere göre, m(ef) = α kç dereedir? ) 50 ) 54 ) 58 ) 60 E) ÖSS1 7. = = = = E Yukrıdki verilere göre, m(e) = α kç dereedir? ) 90 ) 60 ) 45 ) 30 E) ÖSS Yukrıdki şekilde ve irer ikizkenr üçgendir. = ve = lduğun göre, m() = α kç dereedir? ) 95 ) 100 ) 105 ) 110 E) ir üçgen 1999ÖSS 8. Yukrıdki verilere göre, m() + m(e) tplmı kç dereedir? Şekilde = ve = lduğun göre, m() = α kç dereedir? ) 35 ) 40 ) 45 ) 50 E) ÖSS ) 60 ) 75 ) 90 ) 135 E) ÖSS EVP HTRI 1 3 E E E E 5 6 E