ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

Transkript

1 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ Belgn ÖZER GRUP TANIMLAYAN YARIGRUP TAKDİMLERİ VE ADİAN GRAFİKLERİ MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 00

2 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ADİAN GRAFİKLERİ VE GRUP TANIMLAYAN YARIGRUP VE MONOİD TAKDİMLERİ Belgn ÖZER DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI Bu Tez 4/07/00 Trhnde Aşğıdk Jür Üyeler Trfındn Oybrlğ/Oyçokluğu le Kbul Edlmştr Doç.Dr. Gonc AYIK Doç.Dr.Hyrullh AYIK Yrd.Doç.Dr.Ersn KIRAL DANIŞMAN ÜYE ÜYE Doç.Dr. Ahmet TEMİZYÜREK ÜYE..... Prof. Dr. Bll VATANSEVER ÜYE Bu Tez Ensttümüz Mtemtk Anblm Dlınd hzırlnmıştır. Kod No: Prof. Dr. İlhm YEĞİNGİL Ensttü Müdürü Not: Bu tezde kullnıln özgün ve bşk kynktn ypıln bldrşlern, çzelge ve fotoğrflrın kynk gösterlmeden kullnımı, 5846 syılı Fkr ve Snt Eserler Knunundk hükümlere tbdr.

3 ÖZ DOKTORA TEZİ GRUP TANIMLAYAN YARIGRUP TAKDİMLERİ VE ADİAN GRAFİKLERİ Belgn ÖZER ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI Dnışmn :Doç.Dr. Gonc AYIK Yıl: 00, Syf: 87 Jür :Doç.Dr. Gonc AYIK :Doç. Dr. Hyrullh AYIK :Yrd.Doç.Dr. Ersn KIRAL :Doç.Dr. Ahmet TEMİZYÜREK :Prof.Dr. Bll VATANSEVER Bu tezde, GP tkdmler, GP tkdmlernn Adn grfkler, grup tnımlyn yrıgrup ve monod tkdmler ncelenmştr. Bölüm 3 te P=,,..., w =, w =,..., w = n n n formundk yrıgrup tkdmlernn Adn grfkler le lgl ulşıln sonuçlr verlmştr. Özel olrk P tkdm monod tnımlıyor se sğ ve sol Adn grfğnn bğlntılı olduğu gösterlmştr. Bölüm 4 te se bzı yrıgrup ve monod tkdmlernn grup tnımldığı gösterlmştr. Anhtr Kelmeler: Adn grfkler, yrıgrup tkdmler, monod tkdmler. I

4 ABSTRACT PhD THESIS SEMIGROUP PRESENTATIONS THAT DEFINE GROUPS AND ADIAN GRAPHS Belgn ÖZER ÇUKUROVA UNIVERSITY INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES DEPARTMENT OF MATHEMATICS Supervsor : Assoc. Prof. Dr.Gonc AYIK Yer: 00, Pges: 87 Jury : Assoc. Prof. Dr. Gonc AYIK : Assoc. Prof. Dr. Hyrullh AYIK : Assst. Prof. Dr. Ersn KIRAL : Assoc.Prof. Dr. Ahmet TEMİZYÜREK : Prof. Dr. Bll VATANSEVER In ths thess, we hve nvestgted the GP presenttons, Adn grphs of GP presenttons, semgroup nd monod presenttons whch defne groups. In secton 3, we hve gven the results mpled by the form of the Adn grphs of semgroup presentton of the form, P=,,..., w =, w =,..., w =. n n n In prtculr, we hve shown tht f P defnes monod then both the left nd rght Adn grphs of P re connected. In secton 4, t hs been shown tht some semgroup nd monod presenttons defne groups. Key Words: Adn grphs, semgroup presenttons, monod presenttons. II

5 TEŞEKKÜR Bu tezn bşrıy ulşmsınd emeğ geçen dnışmnım Doç.Dr. Gonc Ayık ın ve hocm Doç. Dr. Hyrullh Ayık ın fkrler, rehberlkler ve destekler her şmd etkl olmuştur. Doç. Dr. Gonc Ayık, ben mtemtksel problemler çözme konusund cesretlendrmes ve sbrı çn teşekkür ederm. Çukurov Ünverstes Mtemtk Bölümü hoclrımdn Prof. Dr. Yusuf Ünlü ye, Prof.Dr. Doğn Dönmez e ve Prof Dr. Bll Vtnsever e ve Prof. Dr. Nme Ekc ye ve Mtemtk Bölümü personelne ktkılrındn dolyı teşekkür ederm. Krdenz Teknk Ünverstes Mtemtk Bölüm Bşknı Prof. Dr. İhsn Ünver e çlışmlrımdk rehberlğ çn teşekkür ederm. Annem Servet Emrhn, bbm Mustf Emrhn, krdeşlerm Pervn, Mehmet ve Zfer Emrhn bn verdkler mdd ve mnev destekler çn teşekkür ederm. En büyük motvsyon kynğım, oğlum Fth Özer e ve eşme teşekkür ederm. III

6 İÇİNDEKİLER SAYFA ÖZ... I ABSTRACT... II TEŞEKKÜR... III İÇİNDEKİLER.....IV ŞEKİLLER DİZİNİ...V SİMGELER VE KISALTMALAR... VI. GİRİŞ.... YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Bğıntılr ve Denklkler Kongrünslr ve Bölüm Yrıgrubu Yrıgrup Tkdmler Monod Tkdmler Grup Tkdmler Yrıgrup Tkdm Bulmk çn Genel Metodlr Adn Grfkler GP TAKDİMLERİ VE ADİAN GRAFİKLERİ GP Tkdmler ve Adn Grfkler Üzerne Bulunn Sonuçlr GRUP TANIMLAYAN MONOİD VE YARIGRUP TAKDİMLERİ Grup Tnımlyn Yrıgrup Tkdmler Grup Tnımlyn Monod Tkdmler Grup Tnımldığı Gösterlen Monod ve Yrıgrup Tkdmler SONUÇLAR VE ÖNERİLER KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ IV

7 ŞEKİLLER DİZİNİ SAYFA Şekl.. Sol Adn Grfğ L( ) Şekl.. Sğ Adn Grfğ R( ) Şekl 3.. Sol Adn Grfğ LP ( ) V

8 SİMGELER VE KISALTMALAR S : S yrıgrubu S : { } S monod L m R n : Sol Sıfır Yrıgrubu :Sğ Sıfır Yrıgrubu e SL A. Z n : Brm Elemn : A Kümes Üzerndek Serbest Yrıgrup : n Elemnlı Sıfır Yrıgrubu R : Dkdörtgen Bnd mn, X : X trfındn doğuruln ltyrıgrup rnk( S ) : S nn rnkı ε A + : Boş kelme : A üzerndek serbest yrıgrup * A : A + { ε} R AR : Bğıntılr kümes : Tkdm + A / ρ : Bölüm yrıgrubu def( P ) : P nn tnımlılığı defs ( S ) : S yrıgrubunun yrıgrup noksnlığı def ( ) M M : M monodnn monod noksnlığı def ( ) G G : G grubunun grup noksnlığı Q n C n : Genelleştrlmş Kuternon grup : Zncr VI

9 . GİRİŞ Belgn ÖZER. GİRİŞ Son ltmış yıld yrıgrup teors büyük br gelşme göstermştr. Özellkle son yıllrd blgsyr blmnn hızl lerlemesne prlel olrk hesplnblr yrıgrup teors dh d popüler olmy bşlmıştır. Howe trfındn 976 yılınd yyınlnn monogrfı le yrıgrup teorde kvrmsl olrk stndrt oluşturulmuştur. Yrıgruplrın en bst örnekler, değşk syı kümelernn toplm ve çrpm şlemler le oluşturduğu cebrsel ypılrdır. Grup teor ve yrıgrup teor rsınd kuvvetl br bğlntı vrdır. İlk zmnlrd ypıln çlışmlrd gruplr çn bulunn sonuçlrı yrıgrup ypısı çn de ypmk yygındı. Grup ve yrıgruplr kvrmlr bkımındn prlellk gösterse ble ypısl olrk frklılıklrındn dolyı ynı sonuçlr ulşmk beklenemez. Yrıgrup teor metodlrı, grup teornn metodlrı le bzı yönleryle benzerlk gösterr. Bu benzerlklern örnekler (Bumslg S.M., Gersten M., Shpro M. ve Short H. 99; Epsten D.B.A., 99; Sms C.C., 994) de bulunblr. Her grup br yrıgrup olmsın rğmen bunun ters doğru değldr. Bu durumd ynı grubu tnımlyn grup ve yrıgrup tkdmlernden söz edeblrz Yrıgruplrın sonlu tkdm edleblrlğ le lgl lk çlışmlr, B.H. Neumnn, trfındn 967 yılınd gruplr çn Todd-Coxeter koset sym teknğne benzeyen sonlu tkdml yrıgruplr çn br sym metodunun tnımlnmsı le bşldı. Dh sonr A. Jur, trfındn 978 yılınd bu sym metodunun sptı ypıldı. Robertson E.F. ve Ünlü Y., trfındn 993 yılınd yrıgruplrd br sym metodu çn br blgsyr progrmı gelştrld. Wlker T.G., trfındn 99 de, bu progrm gelştrlerek progrmın uygulnblrlğ rtırıldı. Howe J.M., Ruskuc N., trfındn 994 yılınd, Wreth çrpımı, drekt çrpımlr, Schützenberger çrpımı ve Ruskuc N., Arujo I.M., trfındn 00 yılınd, Bruck-Relly genşlemes v.b. yrıgrup ve monod ypılrı göz önünde bulundurulup bunlrın sonlu tkdm edleblmes çn gerek ve yeter koşullr bulunmuştur. Hggns P.M., Howe J.M., Ruskuc, N., trfındn 998 yılınd dönüşüm yrıgruplrının doğury kümeler, Ayık H., Ruskuc N., trfındn 999

10 . GİRİŞ Belgn ÖZER yılınd Rees mtrs yrıgrubunun sonlu tkdm çn de gerek ve yeter koşullr bulunmuştur. Bu tezde verlen orjnl sonuçlr yukrıdk buluşlr üzerne kuruln yrıgrup tkdmlernn ve monod tkdmlernn grup tnımlyıp tnımlmdığı durumlr ncelenerek monod tnımlyn yrıgrup tkdmlernn Adn grfkler ncelenmştr. Öncelkle (Ayık H., Kuyucu F., Vtnsever B., 00; Ayık G., Ayık H., Ünlü Y., 008; Johnson D.L., 976 ve Smth G.C.) de ypıln çlışmlr ncelenerek rştırm konusu üzernde bu güne kdr bulunn sonuçlr derlend. Bu tezde yrıgrup teordek kullncğımız tüm tnım ve teoremlere kynk olrk Howe J.M., trfındn 995 yılınd yzıln Foundtons of semgroup theory ktbını vereblrz. Bu tezn. bölümünde, tezn tmmınd kullnıln temel tnım ve teoremler verlmştr. Ayrıc bu temel kvrmlr dh detylı olrk (Howe J.M., 995; Hggns, P.M, 99) de bulunblr. Bu temel kvrmlrdn, yrıgruplr, doğurylr, serbest yrıgruplr, monod ve grup tkdmler, tkdm bulmnın metotlrı ve Adn grfkler nltılmıştır. Üçüncü bölümde GP tkdmler ve Adn grfkler üzerne bulunn sonuçlr şğıddır. P = AR br yrıgrup tkdm olsun. A çn, ( w= ) R olck şeklde, br w ( A/ ) + kelmes vrs, y P nn gereksz br doğuryı denr. P = AR gereksz lşk çermeyen sonlu br yrıgrup tkdm ve S de P nn tnımldığı yrıgrup olsun. Eğer S w A + olck şeklde w Bu bölümde yrıc monod y d regüler br yrıgrup se, = formund R de br lşk vrdır. P=,, K, w =, w =, K, w = n n n formundk yrıgrup tkdmlernn Adn grfkler le lgl ulşıln sonuçlr yer lmktdır. Bu çeşt br tkdme doğury üreten tkdm (genertor producng) y d kısc GP tkdm derz. Bu bölümde GP tkdmlernn gereksz doğurylrı

11 . GİRİŞ Belgn ÖZER olmdığını ve her br w= lşks çn, w ve w nn yı çerdğn kbul edeceğz. P= AR =,,..., w =, w =,..., w = n n n gereksz lşk çermeyen br GP tkdm olsun. P br monod tnımlıyors, sol ve sğ Adn grfklernn bğlntılı olduğu yne üçüncü bölümde gösterld. Eğer P = AR bğlntılı br GP tkdm se, P le ynı yrıgrubu tnımlyn, P =,,..., v =, v =,..., v = n n n br GP tkdm, P nn bulunbleceğn gösterdk. Ayrıc P br GP tkdm ve S, P le tnımlı br yrıgrup olmk üzere AL AR, örneğn, AL AR se, S yrıgrubunun, P =,,..., u =, u =,..., u = n n n tkdm le tnımlı olduğu yne üçüncü bölümde sptlndı. P bğlntılı br GP tkdm olsun. Eğer, AL AR se, P br monod tnımldığı Adn grfğ kullnılmdn sptlndı. doğurylı, Bu tkdmden yol çıkrk, bölüm 4 te, uv, A + olck şeklde k P = b, u=, v = b yrıgrup tkdmnn br grup tnımldığı gösterlmştr. Yn Adn Grfğ devr olmyn br tkdmn grup tnımldığın br örnek olduğundn önem tşır. Yne 3

12 . GİRİŞ Belgn ÖZER bölüm 4 te { } * üzere u b, olck şeklde, M = bu, = br monod tkdm olmk ) Eğer u, hç b çermezse, M br grup tnımlmdığı ) Eğer u en z br b çerrse, M br grup tnımldığı sptlnmıştır. A { b, } =, w * A ve v * A b olmk üzere M = bvwv, = M3 = bvbwv, = l M4 = bvb, wvb = monod tkdmlernn grup tnımldığı gösterlmştr. Yukrıdk tkdmlern özel br durumu olrk Smth, G.C. de yer ln Teorem 4 ün lterntf sptı ypılmıştır. 4

13 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER. YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Boştn frklı S kümes üzernde br µ kl şlem (yn µ : S S S ) tnımlı se ( S, µ ) klsne br grupod denr. Eğer µ kl şlem brleşme özellğne shpse yn (( xy, ), z) = x, ( yz, ) ( ) µ µ µ µ se ( S, µ ) klsne br yrıgrup denr. (Burd dönüşüm sembollern sğın yzılmıştır.) İkl şlem cebrsel olrk lışık olduğumuz çrpm olrk lırsk notsyon bkımındn dh koly br gösterme shp oluruz. Bu durumd ( xyµ, ) yerne xy. vey xy olrk yzrsk yukrıdk eştlk ( xy) z = x( yz) elementer cebrdek brleşme özellğ formun dönüşmüş olur. n N olmk üzere le n tne x elemnının çrpımını fde edeceğz. S krdnl syısın S nn dereces dyeceğz. Yrıgrubu çrpımsl notsyond fde ederken çrpmnın ne olduğu çerkten bell se ( S,.) yerne sdece S yzcğız. Eğer br S yrıgrubund her xy, S çn xy = yx oluyors S ye değşmel yrıgrup denr. (Grup teordek beln fdes de kullnılır.) Br S yrıgrubu, eğer her x S çn n x x= x= x koşulunu sğlyn br elemnın shp se elemnın brm elemn, S ye de brm elemnlı yrıgrup vey dh genel fde le br monod denr. Br S 5

14 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER yrıgrubunun en fzl br tne brm elemnı vrdır. Eğer, her x S çn x = x = x koşulunu sğlıyors o zmn = ( çünkü brmdr) = ( çünkü brmdr). Eğer S brm elemn shp değl se monod formun getrmek çn ekstr br brm elemn kolyc ekleneblr. Her s S çn s= s = s ve.= olrk tnımlylım. Rutn kontroller sonucu S { } br monod olur. Şmd kümesn S S, S brm elemn shp se S = S {}, ks hlde olrk tnımlylım. S kümesn eğer gerekl se br brm eklenerek S den elde edlen monod olrk dlndırcğız. En z k elemnlı br yrıgrup S, her x S çn x0= 0x= 0 koşulunu sğlyn br 0 elemnın shp se 0 elemnın sıfır elemn, S kümesne de sıfırlı yrıgrup denr. Br S yrıgrubunun en fzl br tne sıfır elemnı vrdır. En z k elemnlı br yrıgrup S olmsındn kstımız br tek elemndn oluşn { e } trvl yrıgrubunun sıfır olrk lınmmsıdır ( e = e). Benzer şeklde, eğer S sıfır elemn shp değl se ekstr br sıfır elemn kolyc ekleneblr. Her s S çn s0= 0s = 0 6

15 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER olrk tnımlrsk brleşme hl geçerl olup S { 0} olrk genşleteblrz. O hlde S, S sıfır elemn shp se 0 S = S {} 0, ks hlde olrk tnımlylım. edlen yrıgrup olrk dlndırcğız. 0 S kümesn eğer gerekl se br sıfır eklenerek S den elde Bu ekstr brm ve sıfır elemn ekleyeblme çok koly olmsın krşın, yrıgruplrın çlışılmsını, sıfırlı monodlerle çlışılmsı çn ksn brden kısltmyız. Bu ekleme şn yprken yrıgrubun hyt özellklern kurbn etmemelyz. Eğer grup oln br yrıgrub sıfır elemnını eklersek grup olmyn br yrıgrup elde ederz. Sıfırlı yrıgruplr çnde, herhng k elemnının çrpımı sıfır oln oldukç trvl null yrıgruplr le krşılşırız. Boştn frklı herhng br S yrıgrubund çrpmyı b, S çn b= olrk tnımlrsk sol sıfır yrıgrup olrk dlndırıln yrıgrubu elde ederz. Sğ sıfır yrıgrup benzer şeklde tnımlnır. Eğer br S yrıgrubu e = e olck şeklde br e elemnı çerrse, e ye dempotent denr. Eğer S sdece dempotentlerden oluşuyors, S ye bnd denr. Eğer S hem bnd hem de değşmel se S ye yrıgrubu) denr. A br küme, yrılts (dempotentlern değşmel SL A, A nın boştn frklı ltkümelern kümes olsun. şlemn br kl şlem olrk llım. şlemne göre SL A br yrıltstr Çünkü: X X = X ve X Y = Y X dr. SL A y A üzernden serbest yrılts denr. { } Rmn, = (, j) m, j n 7

16 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER olsun. (, j), ( kl,) Rmn, çn (, j)( kl,) = (,) l olck şeklde br kl şlem tnımlylım. Bu şleme göre R mn, br yrıgruptur. Bndtır m değşmel değldr. R mn, ye br dkdörtgen bnd denr. Eğer xyx = x olck şeklde, y S vrs, S nn br x elemnın regülerdr denr. Eğer S nn her elemnı regüler se, S ye regüler yrıgrup denr. S br yrıgrup, S nn boştn frklı br I ltkümesne eğer her s S, I çn s I (sırsıyl s I ) se, I y br sol (sırsıyl sğ) del denr, eğer I hem sol hem de sğ del se, I y k ynlı del denr xy, S çn ( S,.) ve (,.) T k yrıgrup ve ϕ : S T br dönüşüm olsun. Eğer her ( xy) = ( x) ( y) ϕ ϕ ϕ oluyors ϕ ye br homomorfzm denr. ( S,., S ) ve (,., T ) ve T oln monodler se yukrıdk koşul ek olrk T sırsıyl brmler S ( ) ϕ = S T oluyors ϕ ye br monod homomorfzmsı denr. Bu homomorfzmlrın rlrındk frkı belrtmek çn yrıgrup homomorfzmsı ve monod homomorfzmsı fdeler kullnılır. Burd S ye ϕ nn tnım kümes (domn), T ye de değer kümes (codomn) denr. φ nn görüntü vey mj kümes { sϕ : s S} olrk tnımlnır. Eğer ϕ brebr se φ ye br monomorfzm denr. Eğer ϕ örten se φ ye br epmorfzm denr. Br ϕ : S T homomorfzmsı, tersnr yn ϕϕ, S 8

17 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER üzernde brm dönüşüm ϕ ϕ de T üzernde brm dönüşüm olck şeklde ϕ :T S br ϕ homomorfzmsı vrs ϕ : S T homomorfzmsın br zomorfzm denr. Eğer br ϕ : S T zomorfzmsı vrs S ve T ye zomorfk denr ve S T yzılır. Yn (,.) örten ve her b, S çn S ve (, ) T k yrıgrup olsun. ϕ : S T ye brebr, ( b. ) = ( ) ( b) ϕ ϕ ϕ olck şeklde br ϕ dönüşümü vrs S ve T zomorfktr. ϕ : S T ye br homomorfzm se ϕ ye S nn br endomorfzm denr. Brebr, örten br endomorfzme otomorfzm denr... Bğıntılr ve Denklkler Eğer X br küme se X X n herhng br ρ ltkümesne X üzernde br bğıntı denr. X üzerndek tüm bğıntılrın kümesn BX ( ) le gösterelm., X X ve X = {( xx, ): x X} kümelern X üzerndek bğıntılr örnek olrk vereblrz. ρ, X üzernde br bğıntı ve A X olmk üzere { ρ } ρ[ A] = y X :( y, ),( A) olrk tnımlylım. x X çn, ρ [{ x} ] yerne ρ [ x] yzcğız. ρσ, BX ( ) olmk üzere ρo σ kümes {( xy, ) X X : z X,( xz, ),(, z y) } ρo σ = ρ σ olrk tnımlnır. Her ρστ,, BX ( ) çn ρ σ se, ρoτ σ o τ ve τ oρ τ o σ olduğu çıktır. Ayrıc, BX ( ), o şlem le br yrıgruptur. ρ BX ( ) olmk üzere 9

18 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER { ρ} dom( ρ) = x X : y X,( xy, ) kümesne ρ nun tnım kümes { ρ} rn( ρ) = y X : x X,( xy, ) kümesne ρ nun değer kümes denr. ρσ, BX ( ) çn ρ σ se dom( ρ) dom( σ), rn( ρ) rn( σ) ve ρ[ x] x dom( ρ) dur. A X ρ BX ( ) çn ρ nun ters se, ρ[ A] { ρ[ ]: A} = şeklndedr. Her ρ {( xy, ) X X :( yx, ) ρ} = olrk tnımlnır. olmk üzere ρ de BX ( ) n br elemnıdır. Ayrıc ρβα,,, α,..., αn BX ( ) ( ρ ) = ρ ( α oα o... oα ) = α oα o... o α n n n ρ β ρ β dr. Burdn dom ( ρ) rn( ρ ) =, rn ( ρ) dom( ρ ) = ve ρ [ x] x rn( ρ) dr. ρ ρ, X üzernde herhng br bğıntı olsun. Eğer X ρ se ρ y ynsımlı, = ρ se, ρ y smetrk, ρo ρ ρ se ρ y geçşmel denr. ρ, ynsım, smetr ve geçşme özellklerne shp se ρ y X üzernde br denklk bğıntısı denr. ρ br denklk bğıntısı se, o zmn 0

19 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER dom( ρ) dom( ) X rn( ρ) rn( ) X X X olup dom( ρ) = rn( ρ) = X dr. Eğer ρ, X üzernde br denklk bğıntısı se o zmn ( xy, ) ρ yerne xρ y vey x y(mod ρ) yzcğız. ρ [ x] kümesne ρ sınıfı vey denklk sınıfı denr. X / ρ notstonu le tüm denklk sınıflrının kümesn göstereceğz. ρ : X X / ρ dönüşümü, her x X çn, ρ ( x) = ρ[ x] olrk tnımlnır ve bu dönüşüme doğl dönüşüm denr. Eğer θ : X Y br fonksyon se, θ o θ kümesne θ nın çekrdeğ denr ve Kerθ le gösterlr. ρ br denklk bğıntısı se, Kerρ = ρ dur. Eğer { ρ : I}, X üzerndek denklk bğıntılrının boş olmyn br les se, { ρ : I} de X üzernde br denklk bğıntısıdır. R, X üzernde herhng br denklk bğıntısı se, R y çeren denklk bğıntılrının br les boş değldr en zındn X X denklk bğıntısı vrdır. Böylece X üzernde R y çeren tüm denklk bğıntılrının kesşm de br denklk bğıntısıdır. Bu denklk bğıntısı X üzernde R y çeren en küçük denklk bğıntısıdır. R, X üzernde br denklk bğıntısı olsun. X üzernde R y çeren tüm denklk bğıntılrının kesşmn e R le gösterelm. R = n= R n kümesne R nn geçşmel kpnışı denr. Teorem... Eğer R br X kümes üzernde br bğıntı se R, X üzernde R y çeren en küçük geçşmel bğıntıdır. İspt: ( xy,, ) ( yz, ) R m n olsun. O hlde ( xy, ) R ve ( yz, ) R olck şeklde mn, poztf syılrı vrdır.

20 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER m n m n ( xz, ) R o R = R R + olup R geçşmeldr. Dkkt edlrse R = R R dur. T, X üzernde R y çeren bşk br geçşmel bğıntı olsun. R = R R T T T o o dr. Tümevrım le kolyc görüleceğ gb n=,,... çn n R y çeren en küçük geçşmel bğıntıdır. < T dr. Böylece R T olup R, X üzernde R Önerme... R, X üzernde br bğıntı se X üzernde R y çeren tüm denklk bğıntılrının kesşm e R [ R R X] = dur. İspt: S R R = X ve E S = olsun. Teorem.. den, E geçşmel ve R E dr. X S E olduğundn E ynsımlıdır. S tnımındn dolyı smetrktr. Yn S = S dr. O hlde her n çn n n n S = ( S ) = ( S ) olur. Böylece n n n U U U E = ( S ) = S = ( S ) = S = E n= n= n= olup E smetrktr. O hlde E, R y çeren br denklk bğıntısıdır. T, X üzernde R y çeren br bşk denklk bğıntısı olsun. O zmn X T ve R T = T olup S R R X T = dr. E = S, X üzernde S y çeren en küçük geçşmel bğıntı ve T geçşmel olduğundn E T dr. Böylece SoS T o T = T olup her n çn E = S T elde edlr. E R R = X nn X üzerndek R y çeren en küçük kongrüns olduğunu gösterdk. O hlde E e = R dr. <

21 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER e Önerme..3. R, X üzernde br denklk bğıntısı olsun. ( xy, ) R olmsı çn gerek ve yeter koşul y x= y vey n, her {,,..., n } çn ( z, z ) vey ( z+, z) R olmk üzere sonlu br + R x = z z... zn = y dzsnn olmsıdır. İspt: S R R = X ve W de y x y = vey n, her {,,..., n } çn ( z, z+ ) R vey ( z+, z) R olmk üzere sonlu br x = z z... zn = y dzs mevcut olck şeklde tüm ( xy, ) X X kllernn kümes olsun. W çıkç n ve her {,,..., n } çn ( z, z+ ) S olmk üzere x = z z... zn = y dzs mevcut olck şekldek tüm ( xy, ) X X kllernn kümesdr. Özel olrk S W dur. n ve ( xy, ) n S olsun. O zmn yukrıd belrtldğ üzere br dz vrdır. O hlde ( xy, ) W dur. Böylece e R W olduğu gösterlmş olur. Tersn göstermek çn ( xy, ) W llım. O hlde yne yukrıdk gb br dz vrdır. Bu bze n e ( xy, ) S R olduğunu gösterr. Böylece W e = R dr... Kongrünslr ve Bölüm Yrıgrubu Yrıgrup homomorfzmlernn çekrdeğ kongrüns olduğundn, kongrüns kvrmı yrıgrup teorde öneml yer tutmktdır. 3

22 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER Tnım... S br yrıgrup ve ρ, S üzernde br denklk bğıntısı olsun. Her xys,, S çn, ( xy, ) ρ ( sx, sy) ρ se, ρ y br sol kongrüns denr. Benzer yoll, her xys,, S çn, ( xy, ) ρ ( xs, ys) ρ se, ρ y br sğ kongruns denr. Eğer S hem sol hem de sğ kongrüns se, S, ye (k ynlı) kongrüns denr. Örnek... S br yrıgrup olsun. ) = {(, ): } S xx x S ) Φ S = S S ) G br grup ve N, G nn norml ltgrubu olsun. bğıntısı x y xy N olrk tnımlnsın. br kongrünstır. v) Eğer I, S yrıgrubunun br del se, hlde ρ I br kongrünstır. / I S ρ yı ( / ) { 0} ρ I yı ( I I) S olrk tnımlylım. O S I olrk düşüneblrz. İspt: ) ve ) nn kongrüns olduğu çıktır. Çünkü S ve Φ s brer denklk bğıntısı, ( xx, ) S ve st, S çn, ( sxt, sxt) S ve ( xy Φ, ) S çn, ( sxt, syt) Φ S dr. 4

23 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER ) {(, ) : } ρ N = xy G G xy N llım. ρ br denklk bğıntısıdır. ( xy, ) ρ ve g G olsun. N N xy N xy = xgg y = ( xg)( g y ) = ( xg)( yg) ( xg, yg) N Yn; ρ N br sğ kongrünstır ve yrıc, xy N ve N norml gxy ( ) g N olup, ( ) ( )( ) gxy g = gx gy N ( gx, gy) N olduğundn ρ N br sol kongrünstır. Dolyısıyl v) ( I I) {( xy, ): xy, I vey x y} I Eğer x S ρ N br kongrünstır. ρ = = = dr. ( xy, ) ρi ve s S olsun. = y se, sx = sy ve dolyısıyl ( sx, sy) ρi dır. Dğer durumd xy, olur. Fkt sx, sy I ve dolyısıyl gene ( sx, sy) ρi olur. Benzer şeklde, ρ I br sğ kongrünstır. Dolyısıyl, I ρ I br kongrünstır. < Teorem..3. ρ, S yrıgrubu üzernde br kongrüns olsun. S / ρ kümes, ( x/ ρ)( y/ ρ) = ( xy)/ ρ çrpmsı le br yrıgruptur. 5

24 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER İspt: Öncelkle yukrıdk çrpmnın y tnımlı olduğunu göstermelyz. Bu nedenle, x x/ ρ ve y y / ρ olsun. Yn, ( xx, ) ρ ve ( yy, ) ρ olsun. ρ br sğ kongrüns olduğundn, ( xx, ) ρ dn, ( xy, xy ) ρ elde ederz. Benzer yoll ρ br sol kongrüns olduğundn, ( xyxy, ) ρ olur. Son olrk geçşme le, ( x/ ρ)( y / ρ) ( xy)/ ρ ( xy )/ ρ ( x / ρ)( y / ρ) = = = olck şeklde, xy xy olur. Dolyısıyl çrpm y tnımlıdır. (, ) ρ (( x/ ρ)( y/ ρ))( z / ρ) = (( xy)/ ρ)( z / ρ) = = = (( xy) z))/ ( xyz ( ))/ ρ ρ ( x/ ρ)(( y/ ρ)( z / ρ)) olup çrpm şlem brleşmeldr. Böylece S / ρ kümes br yrıgruptur. < S / ρ yrıgrubun S nn ρ le bölümü denr. X ve Y boştn frklı k küme olsun. f : X Y dönüşümünün çekrdeğ, {(, ) : } Kerf = xy X xf = yf ve görüntü kümes { : } mf = xf x X olrk tnımlnır. Teorem..4. S br yrıgrup olsun. I) ρ, S yrıgrubu üzernde br kongrüns olsun. xf = x/ ρ le tnımlı f : S S / ρ dönüşümü br epmorfzmdr. 6

25 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER II) f : S T br homomorfzm olsun. f nn çekrdeğ, Kerf, S üzernde br kongrünstır ve S / Kerf İmf dr. İspt: I) xy, S çn ( )( ) ( )( ) ( xy) f = ( xy) ρ = xρ yρ = xf yf olup f br homomorfzmdr. Her x S çn xf = x/ ρ ve f örten olup f br epmorfzmdr. II) ( xy, ) Kerf llım. Yn xf = yf dr. s S çn ( sx) f = ( sf)( xf) = ( sf)( yf) = ( sy) f ve dolyısıyl ( sx, sy) nn br sğ kongrüns olduğu gösterlr. Kerf olup Kerf br sol kongrünstır. Benzer yoll, Kerf φ : S / Kerf İmf x/ Kerf xf dönüşümü tnımlylım. x/ Kerf = y / Kerf ( xy, ) Kerf xf = yf ( x/ Kerf) φ = ( y/ Kerf ) φ 7

26 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER yukrıdk denklğn dzsn soldn sğ okursk, φ nn y tnımlılığı çıkr ve sğdn sol okursk - olduğunu görürüz. φ nn örten olduğu çıktır. (( x/ Kerf)( y/ Kerf)) φ = (( xy)/ Kerf ) φ = ( xy) f = ( xf)( yf ) = (( x/ Kerf) φ)(( y/ Kerf ) φ) olup φ br homomorfzmdr. Dolyısıyl, φ br zomorfzmdr. < Tnım..5. S br yrıgrup ve π S S herhng br lşk olsun. st, elemnlrı çn, eğer S s = pqr, t = pqr ve ( q, q) π vey ( q, q) π olck şeklde, pq,, q, r S elemnlrı vrs, s den t ye br elementer geçş vrdır derz. Eğer her br ( n ) çn, z den z + e br elementer geçş vrs, s = z, z, z3,..., zn = t elemnlrının dzsne br elementer dz derz. Teorem..6. S br yrıgrup ve π S S herhng br lt kümes olsun. S üzernde ρ yen lşksn şğıdk gb tnımlylım. ( xy, ) ρ x den y ye br elementer dz vrdır. O hlde, ρ, S üzernde br kongrünstır. π ρ dur. Ayrıc, ρ, bu özellkle en küçük kongrünstır ve π y çeren dğer herhng σ kongrünslrı çn, ρ σ dır. 8

27 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER İspt: Uzunluğu oln dzler elementer olduğu çn ρ ynsımlıdır. Aynı zmnd s = z, z,..., zn = t br elementer dz se, t = z, z,..., z = s n n dzs de elementerdr. Dolyısıyl ρ smetrktr. Benzer yoll, s z, z,..., zn t = = ve t = u, u,..., um = v elementer dzler se, s = z, z,..., z, u,..., u = v n m dzs de elementerdr. Bunun çn, ρ geçşkendr. Son olrk, s = z, z,..., zn = t br elementer dz ve herhng u S çn, us = uz, uz,..., uzn = ut dzs de elementerdr. Bunun çn, ρ br sol kongrünstır ve ynı zmnd sğ kongrünstır. Dolyısıyl br kongrünstır. π elementer dzler). (,) st σ, S üzernde π ρ olduğu çıktır.( Uzunluğu oln σ olck şeklde herhng br kongrüns olsun. ρ keyf olsun. Eğer s = t se, (,) st σ dır. s t se, 9

28 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER s = z, z,..., zn = t elementer dzs vrdır. Keyf z, z + ( n ) çftn ele llım. Tnım..6 d olduğu gb, ( q, q) π y d ( q, q) π olck şeklde z = pqr ve z = + pqr yzrız. π σ olduğu çn, ( q, q) σ ve σ br kongrüns olduğundn, ( z, z+ ) = ( pqr, pqr) σ ve bu her ( n ) çn sğlnır. Son olrk, (,) st σ elde ederz. <.3. Yrıgrup Tkdmler S br yrıgrup, A d S nn br lt kümes olsun. A yı çeren S nn en küçük yrıgrubun A nın doğurduğu yrıgrup denr. A y bu yrıgrubun doğury kümes denr. A nın doğurduğu lt yrıgrubu A le göstereceğz. Önerme.3.. S br yrıgrup, A d S nn boş olmyn ltkümes olsun. O zmn { :, yı çeren nn ltyrıgrubu} A = U U A S dır. İspt: R= { U : U, A yı çeren S nn ltyrıgrubu} olsun. R, A yı çeren br lt yrıgrup olup A R dr. Ayrıc A, A yı çeren br ltyrıgrup olduğundn A { U : U, A yı çeren S nn ltyrıgrubu} 0

29 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER dır. O hlde R = { :, yı çeren nn ltyrıgrubu} U U A S A olup A = R dr. < S br yrıgrup ve A S olsun. O zmn { } A =... :, n An şeklndedr. Eğer S doğurylı yrıgrup denr. = A olck şeklde S nn sonlu br A kümes vr se S ye sonlu { } rnk( S) = mn A : A S, A = S olrk tnımlnn rnk( S ) doğl syısın S nn rnkı denr. S br yrıgrup olsun. S nn tek elemnlı br A { } monojenk yrıgrup denr. S = doğuryı vrs S ye = yzılır. S = monojenk br yrıgrup olsun. Eğer her j çn j se S sonsuz olup S ye serbest monojenk yrıgrup denr. Serbest monojenk yrıgrup (, + ) yrıgrubun zomorfktr. Şmd (Ayık, H., 998) de bulunn bzı kümelern rnkını nceleyelm. m elemnlı L m kümes üzerndek çrpmyı xy, Lm çn xy = x olrk tnımlylım. olduğundn, L m, m derecel br sol sıfır yrıgrubudur. xy, Lm çn xy = x L m nn en küçük doğury kümes kendsdr. Dolyısıyl rnk( L ) = L = m dr. m m

30 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER xx j Sıfır yrıgrup {,,..., } = x0 olduğundn, n Zn x0 x xn =, n göz önüne llım. x, x Z çn j n Z nn en küçük doğury kümes { } x,..., xn dr ve rnk( Z ) = n dr. n Şmd A kümes üzernden = =, I olduğundn, A çn X { } X { } I ( A ) lrın brleşmdr. Dolyısıyl, { } kümesdr ve rnk( SLA) = A dır. SL serbest yrıltsn ele llım. Her br A A { A} SL nın her elemnı bzı { } :, SL A nın en küçük doğury A br küme (lfbe) olsun. ε boş kelmey göstermek üzere, A dk tüm kelmelern kümesn * A, boş kelmeden frklı tüm sonlu... n kümesn A + le göstereceğz. Dkkt edlecek olurs A A + { ε} kl şlem kelmelernn = dr. A + dk ( L )( bb Lb ) = Lbb L b n m n m olrk tnımlylım. Böylece yukrıd tnımlnn bu kl şlem le A + br yrıgruptur. A + y A üzernde br serbest yrıgrup, A kümesne de A + nın doğury kümes denr. A= A + \ ( A + ) olduğundn doğury kümes tek türlü belldr. Eğer A { } = se A + = {,, 3,...} br sonsuz monojenk yrıgruptur. A se, o zmn A + değşmel olmk zorund değldr. Teorem.3.. S br yrıgrup, A br lfbe ve f : A S br dönüşüm olsun. O zmn φ A = f olck şeklde br tek φ : A + S homomorfzm vrdır.

31 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER İspt: φ : A + S dönüşümünü w =... n A + çn φ (... ) = f( ) f( )... f( ) n n olrk tnımlylım. φ homomorfzmdır çünkü ((... )( bb... b )) φ = (... bb... b ) φ n m n m = ( f)( f)...( f)( bf)( bf)...( b f) n = (... ) φ( bb... b ) φ n m m ve φ A = f dr. Yn her A çn, φ = f dr. ψ : A + S, ψ A= f olck şeklde bşk br homomorfzm olsun. O zmn her w =... n A + çn ψ(... ) = ψ( ) ψ( )... ψ( ) n = f( ) f( )... f( ) = φ(... ) n n n olup ψ = φ dr. O hlde φ tektr. S br yrıgrup ve d S yrıgrubunun doğuryı se ψ ( ) = olck şeklde br ψ : A + S homomorfzmsı vrdır. < Sonuç.3.3. Her yrıgrup br serbest yrıgrubun homomorfk görüntüsüdür. İspt: S br yrıgrup ve A d S nn br doğury kümes olsun. O zmn ψ : A + S A çn ψ = olck şeklde tek homomorfzm olrk tnımlylım. S = A olduğundn s S çn s =... n olck şeklde,,..., n A vrdır. (... n) ψ = s olduğundn ψ örtendr. < Dety çn ( Lllement, G., 979) bkınız. 3

32 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER + + A br lfbe ve R A A olmk üzere br yrıgrup tkdm AR klsdr. AR trfındn tnımlnn yrıgrup, ρ, R y çeren A + üzerndek en + küçük kongrüns olmk üzere A / ρ yrıgrubudur. A nın elemnlrın doğurylr, R nn elemnlrın tnımlı lşkler denr. Tpk tnımlı lşk ( uv, ) elemnlrını yzrk belrtrz. Örneğn, R genellkle u = v olrk yzılır. Genellkle A ve R y { b, } {( 5, ),( b 6, b),( b, b )} yerne 5 6,,, b = b = b b = b yzrız. S, AR le tnımlı br yrıgrup olsun. O hlde, w, w A + k kelmes çn, eğer benzer kelmeler se w w ve eğer S yrıgrubunun ynı elemnını gösterrlerse w = w yzrız. Yn ( w, w) ρ ve w = w lşks S de sğlnır derz. Örneğn A= { b, } ve R { b b} = = se, b = bdr. Fkt b b dr. Eğer br S yrıgrubu hem A hem de R sonlu olck şeklde AR le tnımlı se, tkdme sonlu tkdm ve S ye se sonlu tkdmldr denr. Teorem.3.4. AR br yrıgrup tkdm, ρ, R nn doğurduğu kongrüns, + S = A / ρ ve w, w A + olsun. O zmn wρ = wρ olmsı çn gerek ve yeter koşul w = w nn AR nn br sonucu olmsıdır. 4

33 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER İspt: {(, ) A + A + :, AR nnbrsonucudur} σ = αβ α = β olrk tnımlylım. ( w, w) σ ve w w se o zmn, α +, lşk br kez kullnılrk elde edlmş olmk üzere kelmelern sonlu br α den R dek br w α, α,..., αn w dzs vrdır. Eğer α γuδ ve α γvδ ( γδ, A ve + * ( uv, ) R R ) se α / ρ = ( γ / ρ)( u/ ρ)( δ / ρ) = ( γ / ρ)( v/ ρ)( δ / ρ) = α / ρ + dur. Böylece w/ ρ = w / ρ ve σ ρ olur. R σ olduğu, σ nın tnımındn çıktır. Ayrıc σ kongrüns olup, ρ σ dur. O hlde ρ = σ dr. < Önerme.3.5. AR br yrıgrup tkdm, S bu tkdm trfındn tnımlnn yrıgrup ve w, w A + olsun. O zmn S de w = w olmsı çn gerek ve yeter koşul w nn R dek lşkler kullnılrk w den elde edlyor olmsıdır. < + + Önerme.3.6. S, A kümes trfındn doğuruln br yrıgrup ve R A A olsun. AR nn S çn br tkdm olblmes çn gerek ve yeter koşul şğıdk koşullrın sğlnmsıdır. ) S, R dek tüm lşkler sğlr ve ) u zmn u = v lşks S de sğlnıyor olck şeklde uv, A + herhng k kelme se o = v, R nn br sonucudur. 5

34 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER İspt: AR, S çn br tkdm olsun. O zmn S, R dek tüm lşkler sğlr. ) nn sğlndığı çıktır. Tersn göstermek çn ) ve ) nn sğlndığını kbul edelm. φ : A + S brm dönüşüm, I : A A nın br genşlemes oln br epmorfzm ve ρ d R y çeren A + üzerndek en küçük kongrüns olsun. S, R dek tüm lşkler sğldığındn R Kerφ dr. Böylece ρ Kerφ dr. Dğer yndn eğer ( uv, ) Kerφ se o zmn S, u = v lşksn sğlr. O hlde u = v, R nn br sonucudur. Önerme.3.5 le, ( uv, ) ρ dır. Böylece ρ = Kerφ dr. Dolyısıyl + + S A / Kerφ = A / ρ yrıgrubu, AR trfındn tnımlnn yrıgruptur. < Örnek.3.7 n+ r r = tkdm ( n r ) +. dereceden ve n peryotlu monojenk yrıgrubu tnımlr. İspt: {,,... n n r M,..., + } =, le doğuruln ( n+ r ) derecel ve n peryotlu monojenk yrıgrup olsun. k nın tekrrlndığı ve ( n r) +, r nn lk tekrr ettğ kuvvet olck şeklde, r nn en küçük poztf k tmsyısı olduğunu blyoruz. Bu nedenle M, r n r + p p p p = lşksn sğlr. M, = lşksn sğlsın., n lk tekrrı olsun. Bu lşknn r n r + = lşksnn br sonucu olduğunu göstermek p p styoruz. Eğer p = p se, ve sonuç çıkr. Bu nedenle genellğ bozmksızın p > p olsun. İdd: Eğer p, p r ve p p (mod n) se, p p = lşks r n r + = den elde edleblr. Bu durumd bzı k çn, p p = kn yzblrz. O hlde, = p kn + p kn+ r p r ( k ) n n+ r p r ( k ) n r p r = =... = ( k ) n n + r p r ( k ) n r p r r p r p 6

35 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER p p dolyısıyl, = lşks r n r + = den elde edleblr. < r, M de tekrr eden nın en küçük kuvvet olduğundn, p p, p r olmlı, dolyısıyl r dr. n, p p bölmesn. O hlde, bzı k ve 0 < q< n çn, p p = kn+ q ve = =... = p p r r p r n+ r p r kn+ r p + kn p q p p q olur. O hlde, = p p ve p q < p dr. Bu, nn n lk tekrrı olmsı le çelşr. Bu nedenle p p (mod n) olmlıdır ve p p =, r n r + = nn br sonucudur. O hlde n+ r r = tkdm M y tnımlr. < + + Önerme.3.8. S, A kümes le doğuruln br yrıgrup ve R A A ve W A + olsun. ) S, R nn bütün lşklern sğlr. ) Her br w A + kelmes çn, w= w, R nn br sonucu olck şeklde, w W vrdır. ) u v olck şeklde uv, W se, S de u v dr. Yukrıdk üç koşul sğlnıyor se AR, S nn br yrıgrup tkdmdr. İspt: A, S yrıgrubunu doğurur ve R, S de sğlnır. Bu nedenle sdece S dek herhng br lşknn R nn br sonucu olduğunu göstermelyz. w = w, S de sğlnck şeklde w, w S nn keyf elemnlrı olsun. O hlde, () le, w = w, w w = w lşkler R nn br sonucu olck şeklde w, w W w olur. Bu nedenle, vrdır. () le, w = w w = w 7

36 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER R nn br sonucudur. Bunun çn S, AR tkdm le tnımlıdır. Örnek.3.9. S = { } şkr grubun yrıgrup tkdm = dır. ) A { } = ve f : A S ye f( ) = şeklnde tnımlnırs Af, S nn br doğuryıdır. ) R nn lşksnn S de sğlndığını gösterelm. π : A + S, f y geren doğl homomorfzm ve : A A + olsun. = π ( π)( π) = f. f =.. = = f = π O hlde, ) W { } n se, = lşks S de sğlnır. = olsun. Herhng br n n (.. n A + çn n = lşksn uygulylım). = se (yn n = se) W olur. n n.. olur. Benzer yoll devm edersek, elde edlr. Br lşk uygulyrk n n olup, n =, R nn br sonucudur. Ayrıc, W = olduğundn, W, S nn br knonk formudur. Böylece, S = = olur. Örnek.3.0. S = (,) t yrıgrubu yn n elemnlı devrl grup olsun. n = = ve W {,,..., } n+ P (tek) homomorfzm olsun. n = llım. ψ : A + n, olck şeklde S = olduğundn, { ψ } br doğury kümesdr. ψ nn tnımındn + m çn ψ ( m ) = m olup, özel olrk, ψ n+ ( ) n ψ( ) = + = = olduğundn, R dek lşk S de sğlnır. 8

37 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER m w A + olsun. Bölme lgortmsındn, m= r + qn, r n olck şeklde qr, vrdır. m qn+ r ( q ) n+ ( r ) + n+ ( q ) n+ ( r ) n+ ( q ) n+ ( r ) ( q ) n+ r r = = L = W Yn; m A + çn, m r =, R nn br sonucu olck şeklde br r W vrdır. r s, W çn, r s r s = lşks S de sğlnsın. O zmn, ψ( ) ψ( ) = yn r = s(mod n), r, s n olduğundn r = s olmlı yn r s = olmlıdır. + + Önerme.3.. S, A kümes le doğuruln br yrıgrup ve R A A ve W A + olsun. I) S, R nn bütün lşklern sğlr. II) Her br w A + kelmes çn, w= w, R nn br sonucu olck şeklde, w W vrdır. III) W S koşullrı sğlnıyor se, AR, S nn br yrıgrup tkdmdr. (Ruskuc, N., 995). İspt: I), II) ve III) koşullrının Önerme.3.8 n ), ) ve ) koşullrını verdğn göstermelyz. I) ve II) sırsıyl ) ve ) ye benzer olduğu çn, gerye ) nn I), II) ve III) den geldğn sptlmk klır. A doğurylrı R lşklern sğldığı çn, II) le, S nn her br elemnı, W den br kelme le temsl edlr. Bunun çn W S dr. Öyle k III) le W = S olur Yn S sonlu olduğundn, W nn frklı elemnlrı, S nn frklı elemnlrını temsl eder. < Örnek.3.. C = {,,, n} zmn n K ve n C n br yrıgrup olup zncr derz. { } C üzerndek çrpm d j. mx{ j} =, olsun. O + A=,, K, n, ψ : A Cn, ye götüren br homomorfzm olsun. Aψ, S nn br doğuryıdır. 9

38 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER P=,,, =, = n K n + +, llım. ψ ( ) ψ ( ) =. = ψ ( ) = ( + ) = (( + )) = ( + ) = + = ( ψ( )) + + = ( ) = ( )( ) = = Benzer şeklde = olup, = ( )( ) = = dr. Özetle, =, = ve = dr. Tümevrıml, =,, K, n çn, =, + + = ve = ve + + n = dr. < j n se, n = ( ) = L= ( ) K j j j + j j L= K = L = = + j j j j j Benzer şeklde, j = j gösterlr. Sonuçt, < j n çn, j = j ve = dr. j j { } W =,, K, ve n w K A + olsun. m w (, ) K = K = W {, } mx{,, K } m mx m m ve W = n olduğundn P Cn dr. Örnek.3.3. X { xyz,, } { bc,, } A= seçelm. f : A S tnımlylım. Af { x},{ y},{ z} = olmk üzere, S = ( PX ( )/, ) yn SL 3 olsun. { } ye, { x}, b { y}, c { z} şeklnde = olup, S nn br doğuryıdır. π : A + S, f y 30

39 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER geren doğl homomorfzm olmk üzere, R: =, b = b, c = c, b= b, c b = c, bc = cb şeklnde tnımlnn lşkler S de sğlnır. Gerçekten, = b olduğunu görelm. =, { } { } { } = = f = x x = x = f = π ( π) ( ) π olup, = lşks S de sğlnır. { } { } { } { } ( b)( π) = ( π)( bπ) = x y = y x = ( bπ)( π) = ( b)( π ) olup, b sğlnır. = b, S de sğlnır. O hlde, benzer şeklde dğer tüm lşklerde S de {{ } { } { } { } { } { } { }} PX ( )/ = x, y, z, xy,, xz,, yz,, xyz,, dr. W nn elemnlrı S nn elemnlrın eşt olck şeklde seçelm. j k { :,, { 0, } ve en z br sıfırdn frklı olsun. } W = bc jk A + W { bcb,,,, c, bc, bc} = ve w A + olsun. b= b, c = c ve bc = cb + lşklernden gerektğ kdr yrrlnrk mnr,, { 0} fkt en z br sıfırdn frklı olmk üzere w * m n r bc olur. Örneğn, cb cb cb bc olur. Eğer kelmenn çnde hç c olmsydı, 3

40 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER 3 b b b b elde edlr. bc =, m n r * j k b = b, c = c lşklernden gerektğ kdr fydlnrk, bc ve en z br sıfırdn frklı olck şeklde, jk, { 0,} vrdır. Yn 3 = b b ypblrz. Sonuç olrk, * m n r * w bc bc j k W R nn br sonucudur. W = 7= SL3 olduğundn, SL = bc = b = bc = cb= b c = c bc = cb 3,,,,,,, olur. Şmd bzı yrıgrup tkdmler ve onlrl tnımlı yrıgruplrın örneklern verelm. Örnek.3.4. P= = n = < j n,,..., n ( ), j j ( ) tkdm, A { } =,,..., n üzernden A SL serbest yrıltsn tnımlr. Çözüm: A, br yrıgrubudur. ve SL A çn br doğury kümesdr. Ayrıc, SL A, P dek lşkler sğlr. SL A dempotentlern değşmel {,..., { 0, }, } ε ε n n + W = A ε n 3

41 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER olsun. w, A + d herhng br kelme olsun. İlk olrk j = j formundk uygun n lşkler uygulyrk λ 0 ( n) olck şeklde λ λ... λ n formund br w kelmes elde edlr. Dh sonr = formundk lşkler mümkün olduğu n kdr çok uygulyrk, W den br w kelmes elde edlr. W = olduğundn, br öncek önermeden P, SL A serbest yrıltsn tnımlr. Teorem.3.5. AR br tkdm olsun ve S, AR le tnımlı br yrıgrup olsun. B kümes trfındn doğuruln herhng T yrıgrubu ve f : A B örten + dönüşümü çn, f nn tek homomorfzm genşlemes olck şeklde Φ: A T tnımlylım. Her ( uv, ) Ψ: S T br epmorfzmdr. R çn, uφ= vφ se, ( s/ ρψ ) sφ le tnımlı İspt: ψ nn y tnımlı olduğunu göstermek yeterldr.. sρ = sρ olck şeklde s, s A + llım. ( u, v) R vey ( v, u) R ve β γ çn, α = βuγ ve *, A α = β v γ olck şeklde + s α, α,..., αn s dzs vrdır. O hlde, α Φ ( β Φ)( u Φ )( γ ) α Φ ( β Φ )( v Φ + )( γ) dr. Fkt hpotez le, T de uφ= vφ dr ve dolyısıyl αφ= α + Φ dr. Her çn tekrrlyrk, sφ= sφ elde ederz. Br bşk deyşle, A le doğuruln ve R y sğlyn her yrıgrup S nn homomorfk görüntüsüdür. < 33

42 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER Önerme.3.6. Herhng br yrıgrup br tkdmle tnımlnblr. İspt: T herhng br yrıgrup olsun. A { t t T} = br lfbe ve R, x y = xy formund bütün lşklern kümes olsun. xy, T ve S, AR le tnımlı yrıgrubu göstersn. T yrıgrubu lşklermzn seçm le R dek lşkler sğlr ve bu nedenle Önerme.3.5 le, φ : S T, t vrdır. Yn T, S nn homomorfk görüntüsüdür. t olck şeklde doğl br epmorfzm w, w A + ve wφ = wφ olsun. w = x ve w = y lşkler S de sğlnck şeklde xy, T vrdır. Bunun çn xφ = yφ dr. Yn; x = y olck şeklde, x = y dr. Bunun çn φ br zomorfzmdr ve T, AR tkdm le tnımlıdır. < Sonlu br yrıgrup tkdm = AR çn noksnlık [defcency) R A olrk tnımlnır ve def ( ) le gösterlr. Sonlu tkdml br S yrıgrubu çn yrıgrup noksnlığı, { } def ( S) = mn def( ):, S çn sonlu br yrıgrup tkdm S olrk tnımlnır. Benzer şeklde grup ve monod noksnlığı tnımlnır. Teorem.3.7. P = AR br yrıgrup tkdm, S, P le tnımlı br yrıgrup olsun. P y grup tkdm olrk ele lırsk, G, P le tnımlı br grup olsun. Eğer S br grup se, G, S ye zomorfktr. İspt: S dek her lşk G de br lşk olup θ : S G homomorfzmn her S y G ye götürecek şeklde tnımlyblrz. S br grup olduğundn, θ slınd br epmorfzmdr. θ, - dr. Çünkü; bu tkdmdek S çn herhng br lşk G çn de br lşkdr. Ayrıc bunun ters de doğru olup, θ brebr ve örtendr. 34

43 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER S ve G rsındk lşklerde dh genel sonuçlr çn (Cmpbell C.M., Robertson E.F., Ruskuc N., Thoms R.M., 995; Robertson E.F., Ünlü Y., 993) e bkınız. Önerme.3.8. Eğer G, AR grup tkdm le tnımlı br grup ve H, R Q olck şeklde AQ grup tkdm le tnımlı br grup se, H, G nn homomorfk görüntüsüdür. Önermenn sptı (Johnson, D.L., 976; Önerme 4.) de verlmştr. Önerme.3.9. G br grup ve AR de G nn br monod tkdm se, AR ynı zmnd G nn br grup tkdmdr. Örnek.3.0. P = grup tkdm serbest devrl grubu yn (,+) grubunu tnımlr. P y monod tkdm olrk ele ldığımızd serbest monojenk monod ( + 0,+) monodn tnımlr. yn { } Örnek.3.. Q= bb, =, b = monod tkdm (,+) grubunu tnımlr..4. Monod Tkdmler * A kümes, ε = ε ve her w A + çn wε εw w = = çrpmsı le A + { ε} olrk tnımlnır. A br lfbe, R de A A ın br lt kümes olmk üzere br * * monod tkdm AR klsdr. AR trfındn tnımlnn monod, R, R dek boş kelme yerne e yzılmış olmk üzere AeRe ee e A,, =, = = ( ) 35

44 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER trfındn tnımlnn yrıgruptur. Dkkt edlecek olurs her yrıgrup tkdm ynı zmnd br monod tkdmdr. Eğer S, AR trfındn tnımlnn yrıgrup ve M de ynı tkdm trfındn tnımlnn monod se, M bstçe yen br brm eklenmş S dr. Eğer S brm elemn shp se, bu elemn yen eklenen brm elemn üzernde brm gb dvrnmycktır. Böylece M = S + dr. Önerme.4.. M br monod ve P de M nn br yrıgrup tkdm olsun. O zmn P ynı zmnd M nn br monod tkdmdr. Örnek.4.. M = { 0, } olsun. P = = monod tkdm M y tnımlr. P = b, = b, = bb, = b, = yrıgrup tkdm de M y tnımlr. Örnek.4.3. M { } =, ve = olrk tnımlı monod llım. P = = monod tkdm M y tnımlr. P = b, = bb, = bb, = b, = yrıgrup tkdm de M y tnımlr. Monod tkdm örnekler çn, (Crvlho, C., 003) e bkınız. 36

45 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER.5. Grup Tkdmler A br lfbe, A { : A} R A A A A * * ( ) ( ) olmk üzere AR =, A le brebr eşlenen br lfbe ve klsne br grup tkdm denr. AR le tnımlı grup AA R A,, = =ε,( ) trfındn tnımlnn monoddr. R dek lşkler sğlyn ve A trfındn doğuruln her grup, AR trfındn tnımlnn grubun br homomorfk görüntüsüdür. A trfındn tnımlnn grub A üzernde serbest grup denr. A üzerndek serbest grubu F le gösterelm. σ, { (, ),(, ): A} ε ε kümesn çeren en küçük kongrüns olsun. O zmn F le A A ρ zomorfktrler. * ( ) / Örnek.5.. A le tnımlı grup, A üzerndek serbest gruptur. η, { (, ε),(, ε): A} kümesn çeren en küçük kongrüns olck şeklde, F, A A η ye zomorfktr. Eğer * ( ) / w A A * ( ) kelmes, herhng br A çn, yd formund lt kelme çermezse, w A A * ( ) kelmes ndrgenmştr derz. RA ( ) bütün ndrgenmş kelmelern kümes olsun. Her A çn, ρε ( ) = ε, ρ ( ) =, ρ( ) = olck şeklde ρ :( A A ) RA ( ) tnımlylım. Eğer ( )... m ρ w = α α α m ve A, α {,}, m 37

46 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER olck şeklde, w A A * ( ) se, α α αn... n eğer n ve α = αn α ρ( w ) = α αm α... m dğer durumd olur. ρ şğıdk özellkler sğlr: ) Her w RA ( ) çn, ρ( w) w ) F de, ρ ( w) = w ) Her w, w RA ( ) çn, ρ( ww ) ρρ ( ( w) w) α α v) Her w RA ( ), A çn, ρ( w ) ρ( w) v) Her w, w RA ( ) ve A çn, ρ( w w ) ρρ ( ( w ) w ) ρρ ( ( w ) w ) ρ( ww ) α α α α Şmd F de w = w olck şeklde w w A A *, ( ) llım. Dolyısıyl w α, α,..., αn w dr. Burd, α +, α den = y d lşklernden br uygulnrk elde edlmştr. Dolyısıyl, özellk (v) le, ρα ( ) ρα ( + ) dr. Burdn, ρ w ρ w ndrgenmş kelmeye shp olmk mknsızdır. = ( ) ( ) olur. Bunun çn, ynı η sınıfınd k F y ww. = ρ( ww ) çrpmsı le RA ( ) olrk göz önüne lblrz..6. Yrıgrup Tkdm Bulmk çn Genel Metotlr Br S yrıgrubu çn tkdm bulurken üç genel metot vrdır. ) Drekt Metot (Thmn ve İspt) ) Tetze Dönüşümler 38

47 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER 3) Yrıgrubun ypısını kullnmk Drekt metot genellkle en çok kullnıln metottur. Bzı vrysyonlrı olmsın rğmen genellkle şğıdk dımlrı çerr. ) S çn br A doğury kümes bulmk. ) S y tnımlmk çn yeterl ve A dk doğurylr trfındn sğlnıyor olck şeklde br R lşkler kümes bulmk. 3) R dek lşkler uygulnrk A + dk her kelme W dek br kelmeye dönüştürüleblmek üzere br W A + kümes bulmk. 4) W dek frklı kelmelern S dek frklı kelmeler temsl ettğn sptlmk. Yukrıdk son k koşulu sğlyn W kümesne genellkle S çn knonk(norml) formlrın kümes denr. Br yrıgrup çn tkdm bulmnın üçüncü metodu yrıgrubun ypısı yrdımı le tkdm bulmktır. Bu metott br S yrıgrubunu dh bst I, T yrıgruplrı vsıtsıyl fde etmeye çlışırız. Sonr I, T yrıgruplrı çn tkdm bulup, S çn br tkdm bulmk üzere bu tkdmler bell şekllerde br ry getrrz. Br S yrıgrubu çn tkdm bulmnın dğer br metodu Tetze dönüşümlern uygulmktır. (Neumnn, B.H., 967) de bu metodu sol sıfır yrıgruplr çn tkdm bulmd kullndı. Tetze dönüşümlern eğer S çn br AR tkdmn zten blyorsk, uygulmk mümkündür ve o hlde S çn lterntf br tkdm verr. Fkr bzı elementer hreketler uygulyrk m tkdmle tnımlı yrıgrubu değştrmekszn AR tkdmn dönüştürmektr. Bu elementer hreketler genellkle Tetze dönüşümler olrk dlndırılır. Elementer Tetze dönüşümler dye blnen 4 temel dönüşüm vrdır. + (T) (Doğury Ekleme) Eğer w= b olck şeklde br w A vr se b A doğuryını ekleyerek ynı yrıgrubu tnımlmk üzere AR tkdmnden A { b} R { w= b} tkdm elde edlr. 39

48 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER (T) (Doğury Çıkrm) Eğer w b R w ( A/ b ) + ve = olck şeklde, { } b A vrs ynı yrıgrubu tnımlmk üzere AR tkdmnden A/ {} b R tkdm elde edlr. Burd R, R/ { w b} değştrerek elde edlen kümedr. (T3) (Bğıntı Ekleme) Eğer r = den, b nn her bulunduğu yer w le = s bğıntısı, AR le tnımlnn yrıgrupt sğlnıyors, AR tkdmnden AR { r = s} tkdm elde edlr. (T4) (Bğıntı Çıkrm) Eğer R dek r = s bğıntısı, AR tkdmnde R { r = s} dek bğıntılrın br sonucu se, AR tkdmnden AR { r = s} tkdm elde edlr. Grup teorde de Tetze dönüşümler benzerdr. (Bkz. Johnson, D.L., 976). Örnek.6.. S = {(,),(,),(,),(,)} dkdörtgen bnd olsun. O zmn, (,), b (,), c (,), d (,) olmk üzere, S nn Cyley Tblosu; = b, = bc, = d, = bb, = b, = bbc, = bd, = b, bcd,,, c ccb =, = dc, = ccd, = bd, = cdb, = ddc, = cd, = d dr. b = d, c = d olduğundn, (T) uygulnır se, = d, = d, d = d, = d, d =,( d) = d, d = d, = d, d, d d =, d d = d,( d ) = d, dd = d, d = d, dd = dd, = d, d = d d d = d ve d = d ynsımlı olduğundn gerekszdr. = d ve d = d lşkler de gerekszdr. Ayrıc, d = olduğundn, = d olduğundn, 40

49 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER d = d ve uygulnırs, d = d d gerekszdr. Bu ltı tne gereksz lşk çn, (T4) d, = d, =,( d) = d, d = d, d = d,( d) = d, dd = dd, = d elde edlr. d d = dd = d olup, d d = d, = ve dd = d nn br sonucudur. Benzer şeklde, d = gereksz olup, (T4) uygulnır se, d, = d, =,( d) = d, d = ddd, = d,( d) = d olur. ( d) = dd = d olup, ( d) = d, d = nın br sonucudur. Benzer şeklde, ( d) = d d gereksz olup, (T4) uygulnırs, d, = d, = dd, = dd, = d elde edlr. Teorem.6.. A, B, R, Q sonlu olck şeklde AR ve BQ tkdmlernn zomorfk yrıgruplrı tnımlmsı çn gerek ve yeter koşul BQ nun, AR den Tetze dönüşümlernn uygulmsının sonlu br dzsnden elde edlmesdr. (Arthur, R., Arujo, I.M., Thomson, R., 999). İspt: İsptın lk yrısı çn, BQ nun, AR den Tetze dönüşümlernn brnn tek uygulmsı le elde edlrse, AR ve BQ nun zomorfk yrıgruplrı tnımldığını göstermelyz. Her br dönüşümü sırsıyl kontrol edelm. ρ, R le doğuruln A + üzernde br kongrüns olsun. ρ, Q le doğuruln B + üzernde br kongrüns olsun. 4

50 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER (T) Ψ: A / ρ B / ρ + + / ρ / ρ olck şeklde br dönüşüm tnımlylım. Bu y tnımlıdır. Çünkü eğer w / ρ = w / ρ se, w, w den R dek lşklern br uygulmsıyl elde edleblr. Bu nedenle w, w den Q = R dek lşklern uygulmsıyl elde edleblr. Ψ örtendr. Çünkü / ρ = ( / ρψ ) ve b/ ρ = ( w/ ρψ ) dr. ψ - dr. Çünkü ( w / ρψ ) = ( w / ρψ ) w / ρ = w / ρ dür. Bu nedenle w, w den R den lşklern uygulmsıyl elde edleblr. R den lşklern uygulmsının bu dzsnde b nn olduğu her yer w le yer değştreblrz. Bunun çn, w, w den R dek lşklern br uygulmsıyl elde edleblr ve bu nedenle w / ρ = w / ρ dur. ψ çıkç br homomorfzmdr. Ve bu + nedenle A / ρ + ve B / ρ zomorfktr. (T) ψ : B + / ρ A + / ρ / ρ / ρ ( b) b/ ρ w/ ρ olck şeklde dönüşüm tnımlylım. Eğer w / ρ = w / ρ se, w, w den R den lşklern br uygulmsıyl elde edleblr. Bu dzde b nn olduğu her yer, w le yer değştreblrz. O hlde, ( w) φ / ρ = ( w ) φ / ρ 4

51 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER olur. Bunun çn ( w / ρψ ) = ( w / ρψ ) ve ψ y tnımlıdır. ψ çıkç br epmorfzmdr bu nedenle sdece gerye - lğ kontrol etmek klır. w / ρ = w / ρ w, w den R R den lşklern uygulmsıyl elde edleblr. Bunun çn w / ρ = w / ρ dur. (T3) Burd A (T4) Gene A = B ve ρ = ρ dr. Bu nedenle sonuç çıkr. = B ve ρ = ρ dür. İsptın dğer yrısı çn AR ve BQ tkdmler zomorfk yrıgruplrı tnımlsın. S dyelm. R = RA ( ) demek, R lşkler A doğurylrı cnsnden yzılır ve Q = QB ( ) demek Q lşkler B doğurylrı cnsnden yzılır. ARA ( ) tkdm le bşlylım. (T) le b = ba ( ), S çn AR tkdm cnsnden, b S kelmes çn br fde olck şeklde, B = BA ( ) lşkler le, gereksz B doğurylrını ekleyeblrz. Bu, ABRA, ( ), B= BA ( ) fdesn verr. Şmd, her A doğuryı, BQ tkdm le tnımlı zomorfk yrıgrubun br elemnı olrk lgılnblr, bu nedenle (T3) le, AUB RA ( ), B= BA ( ), A= AB ( ) y elde etmek çn, A= AB ( ) lşklern ekleyeblrz. Şmd, gereksz A doğurylrını çıkrmk çn (T) y kullnblrz ve BRAB ( ( )), B= BAB ( ( )) 43

52 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER elde edlr. Bu, S çn hl br tkdm olduğundn, QB ( ) lşkler bu yrıgrupt sğlnmlıdır. Bu nedenle, (T3) uygulyrk, BRAB ( ( )), B= BAB ( ( )), QB ( ) elde edlr. Bu tkdmle tnımlı yrıgrup, vrsyıml, BQB ( ) le tnımlı S yrıgrubun zomorfktr ve bu nedenle RAB ( ( )) ve B= BAB ( ( )) lşkler, QB ( ) nn sonuçlrı olmlıdır.. Bunun çn, BQB ( ) y elde etmek çn (T4) le onlrı tblrz. Teoremn gruplr çn oln versyonu çn (Johnson, D.L., 976; Önerme 4.5 ve 4.6) y bkınız..7. Adn Grfkler Bu kısımd, sdece sonlu grfkler yn sonlu köşelernn ve kenrlrının kümes le lglenrz. Br Γ grfğ çn, V ( Γ ), Γ nn köşelernn kümes ve E( Γ ), Γ nn kenrlrının kümesn göstersn. Γ grfğnde, u yu v ye brleştren br kenr vrs u, v köşeler komşudur derz. Bst br grfk, devr y d ktlı kenr çermeyen br grfktr. köşel ve nn ( )/ kenrlı tm ve bst grfğ gösterelm. K n, le, n Tnım.7.. Γ grfğnde br yol, v köşelernn ve e j kenrlrının v, e, v, e,... v, e, v o n n n değşen br dzdr. Burd her kenr frklıdır. 44

53 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER Tnım.7.. Γ grfğnde eğer vn = v0 se, br vo, e, v, e,... vn, en, vn yolun br devr derz. = AR br yrıgrup tkdm olsun. L( ) le göstereceğmz sol Adn grfğnn köşelernn kümes X ve her (, rs) R çn r ve s kelmelernn lk hrflern brleştren kenrlrdn oluşur. R( ) le göstereceğmz sğ Adn grfğnn köşelernn kümes X ve her (, rs) R çn r ve s kelmelernn son hrflern brleştren kenrlrdn oluşur. Şmd Adn grfklern br yrıgrup tkdm üzernde nceleyelm. = bcdbd = db db = cd b = d bb = ccb = cb,,,,,,, Şekl.. Sol Adn Grfğ L( ) (Ayık,G., 003) Şekl.. Sğ Adn Grfğ R( ) (Ayık,G., 003) 45

54 .YARIGRUP TEORİSİNDEKİ TEMEL TANIM VE TEOREMLER Belgn ÖZER e ler le ( =,,... m) rsındk yolu göstermek üzere bu yönsüz grfkte br yürüyüşün boyu m 0, 0,,..., m köşelernn ve e, e,..., e m kenrlrının br dzs trfındn belrlenr. Herhng k köşe rsınd br yürüyüş ypılblyors o Adn grfğne bğlntılı Adn grfğ denr. Yrıgrup grfkler ve Adn grfkler çn (Hggns P.M., 99) ve teork grfk termnolojs çn (Wlson J.J., Wtkns, 990) n bkınız. 46

55 3.GP TAKDİMLERİ VE ADİAN GRAFİKLERİ Belgn ÖZER 3.GP TAKDİMLERİ VE ADİAN GRAFİKLERİ Yrıgrup tkdmler ve Adn grfkler (Ayık G., Ayık H., Ünlü Y., 008) de çlışılmıştır. Ayrıc, grup y d monod tnımlyn yrıgrup tkdmler (Ayık H., Cmpbell C.M., O Connor J.J., Ruskuc N., 000; 000; 000b; 000c; Cmpbell C.M., Mtchell J.D., Ruskuc N., 00) de, ncelenmştr. Eğer br yrıgrup tkdm P = AR br grup tnımlıyors o zmn her A çn w A + olmk üzere w = formund R de br lşk olduğu ( Ayık H., Cmpbell C.M., O Connor J.J., Ruskuc N., 000b; Teorem.3 ) de ele lınmıştır. Bundn hreket ederek, şğıdk sonuçlrı sptlrız. AR br yrıgrup tkdm, ve S, AR le tnımlı br yrıgrup olsun. Eğer S br monod se, her br A çn, w A + olck şeklde w = formund R de br lşk vrdır. Aynı zmnd, Eğer S regüler br yrıgrup se, her br A çn, w A + olck şeklde w = formund R de br lşk vrdır. Bu bölümde P=,, K, w =, w =, K, w = n n n formundk yrıgrup tkdmlernn Adn grfkler le lgl ulşıln sonuçlrı vereceğz. Bu çeşt br tkdme doğury üreten tkdm (genertor producng) y d kısc GP tkdm derz. P = AR br yrıgrup tkdm olsun. A çn, ( w= ) R olck şeklde, br w ( A/ ) + kelmes vrs, y P nn gereksz br doğuryı denr. Bu bölümde GP tkdmlernn gereksz doğurylrı olmdığını ve her br w çn, w ve w nn yı çerdğn kbul edeceğz. = lşks 47