ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI

7 ÖRNEKLEME VE ÖRNEKLEME DAĞILIŞLARI 7.. Niçi Örekleme Yapılır 7.. Olasılıklı Örekleme 7... Basit Şas Öreklemesi 7... Tabakalı Örekleme 7... Küme Öreklemesi 7..4. Sistematik Örekleme 7.. Olasılıklı Olmaya Örekleme 7... Kota Öreklemesi 7.4. Örekleme Dağılışları 7.5. Aritmetik ortalama ve medyaı Örekleme Dağılımı 7.. Örek Oraıı Örekleme Dağılımı 7.7. Örek Varyasıı Örekleme Dağılımı 7.8. Örekleme Dağılışlarıı Özellikleri 7.8..Sapmasızlık 7.8.. Miimum Varyaslılık 7.8.. Ortalama Karesel Hata 7.9. Merkezi Limit Teoremi 7.0. Biom Dağılışıa Normal Dağılış Yaklaşımı 7.. Poisso Dağılımıa Normal Dağılış Yaklaşımı Prof. Dr. Levet ŞENYAY VII- İSTATİSTİK I

Bilgilerimizi, davraış ve hareketlerimizi büyük bir kısmı örekleme ile öğreilelere dayaır. Bu souç hem gülük yaşatı ve hem de bilimsel araştırmalar içi geçerlidir. Bir bütüde veya düyada ya da istatistiksel alamda populasyoda örek almak düyada yaşatı başladığıda beri yapılmaktadır. Bir ev kadıı yemek yaparke hazırlaa yemeği tadıa, tuzua bakması Bir laboratuarda tibbi amaçlı ka öreğii alıması gibi. Bazı örekler populasyou tüm karakteristik özelliklerii kapsar (ka gibi), bazı örekler ise kapsamaz (bir öğrecii okul populasyouu tüm karakteristiklerii kapsamadığı gibi) İstatistiği e öemli amacı, örek verilerie dayaılarak elde edile souçları, populasyou bilimeye özelliklerii tahmi etmek amacı ile yorumlamaya çalışmasıdır. Acak tüm istatistiksel araçları kullamaya karar vermede öce öreği alıdığı populasyou temsil etme yeteeğii var olması gerekir. Aksi halde yapılacak hiçbir istatistiksel aalizi soucua güveilemez. Örekteki veriler güveilir olmalıdır. Bir populasyou tahmi yötemi olasılık teorisie dayamalıdır. Bu edele herhagi bir öreği populasyodaki bireylerii öreğe girebilme şasları (olasılıkları) hesaplaabilir olmalıdır.bu durumda örek şasa bağlıdır bua (olasılıklı örekleme) deir.olasılıklı olmaya örekleme yötemleri de vardır. 7.. NİÇİN ÖRNEKLEME YAPILIR? Populasyou tümü her zama sayılamayabilir. (fiziksel olaaksızlık ) Populasyou tümüü saymak çok maliyetli olabilir. (örekleme maliyeti azaltır) Populasyou tümüü sayarke hata oraı artabilir. Araştırmada souç alma hızıı arttırır, örekte veri toplamak çoğu kez tüm populasyou saymakta daha hızlıdır. Bu sorgulamalar yüksek eğitimli persoel veya ekipma gerektirebilir ve bu imkaları mevcudiyeti de sıırlı olabilir. Bu durumlarda komple sayım uygulaması pratik değildir. Doğruluk Yüksek kalitede eğitilmiş persoel kullamak ve verile yoğu eğitimler, sahada yapılması gereke dikkatli çalışmalar edeiyle, örekleme daha doğru souçları üretebilir.

Niçi örekleme yapılır? Maliyeti idirmek ve doğruluğu arttırmak içi ve yukarıda sözü edile diğer edelerde Örekleme teorisi ile istatistiksel teori arasıdaki fark? Örekleme teoriside sosuz bir populasyo olabilir ve bir model yoktur. İstatistik teoride durum farklı. Örekleme asıl yapılır? ) Şas Öreklemesi (uygulamada gerçekleşmeyebilir) ) Şasa bağlı olmaya örekleme (uygulamada daha iyi souç verir) 7.. OLASILIKLI ÖRNEKLEME Populasyodaki bireyleri herbiri bilie bir olasılıkla öreğe girmektedir. Örek şasa bağlı bir seçimle oluşturulur. Öreği oluştururke bilie olasılıklar, örek soucuda populasyo içi bir tahmi elde edilirke kullaılmaktadır. Olasılıklı Örekleme Örekler S,S,...,S v her bir S i i seçilme olasılığı biliiyor π i Örekleme araştırmasıı temel adımları; Araştırmaı amacıı belirlemesi Örekleecek/hedef populasyou belirlemesi Toplaacak verileri kararlaştırılması İsteile hassasiyet derecesii belirlemesi Ölçüm metoduu belirlemesi(mail,tel,kişisel görüşme) Çerçeve (kayıt kapısı) Populasyo parçalara ayrılırke ortak oktalar olmamalı (overlap) Her populasyo elemaı sadece bir populasyo parçasıa ait olmalı (boşta kala elema olmamalı) Örek Seçimi Ökesit Saha çalışmalarıı orgaizasyou Verileri özetlemesi ve aalizi Daha soraki araştırmalar içi bilgi kazama

4 7... BASİT ŞANS ÖRNEKLEMESİ Birici çekiliş olasılığı İkici çekiliş olasılığı,,,,,, ici çekiliş olasılığı N N N Tüm birimi birlikte seçme olasılığı! N!.... N N N N! N Bu ayı zamada iadesiz şas öreği olarak da aılır. İadeli şas öreklemesi de; N. N... N N Örek seçimide şas sayıları tabloları kullaılır. Populasyodaki bireyleri öreğe girme olasılıkları eşit ise bu şekilde yapıla öreklemeye BASİT ŞANS ÖRNEKLEMESİ deir. N: Populasyo hacmi :Örek hacmi populasyodaki bireyi öreğe girme olasılığı N Eğer populasyo sıırsız ise ( N ) 0 kabul edilir..acak her bir bireyi N öreğe girme olasılığı birbirie eşit kabul edilir.sadece öreklemei iadeli ya da iadesiz olması fark etmez.

5 7... TABAKALI (STRATİFİED) ÖRNEKLEME Populasyo belli bazı özelliklere göre tabakalara bölüür.her bir tabakaı kedi içide homoje olmasıa, tabakalar arası heterojelik olmamasıa öze gösterilir.her bir tabakada basit şas öreği ile örek alıır. Şimdi, populasyou iki homoje tabakaya ayıralım. I.Tabaka a b c 5 II.Tabaka d = olsu Mümkü örekler Populasyo toplamıı tahmii Hata (Hata) ad 8-4 bd - cd 5 5 5 ortalama 0 4 O.K.H= 4 4 S= 4. 48 S.48 00 00 %9 B.Ş.Ö e orala daha küçük bir O.K.H daha iyi bir örekleme plaıdır. 7... KÜME (CLUSTER ) ÖRNEKLEME Populasyo belli kümelere ayrılır.kümeler arası homojelik araır,yai kümeler birbirlerie bezerler acak küme içide heterojelik vardır.kümeyi oluştura bireyleri birbiride farklı özellikler göstermesi isteir. Araştırma maliyetlerii azaltır. Survey araştırmalarıda çok kullaılır. Her bir kümede basit şas öreklemesi yapılarak alıa örekler birleştirilir. E iyi soucu almak içi, her bir küme içide çok farklı bireyleri içermesi gerekir.tabakalı öreklemei bir alamda tersie bezer. Öce kümeler arasıda seçim yapılır, daha sora kümeleri içide basit şas öreklemesi yapılır.

7..4. SİSTEMATİK ÖRNEKLEME Populasyou oluştura bireyler öcelikle sıralamalıdır veya sıralı halde olmalıdır..... N... k ilk şas sayısı elde edilir. k a a buluur. N Populasyo üzeride öce k, k+a, k+a,..., örekler sistematik olarak seçilir. 7.. OLASILIKLI OLMAYAN ÖRNEKLEME 7... KOTA (QUOTA) ÖRNEKLEME Olasılıklı olmaya örekleme metodudur. Geellikle sosyal koularla ilgili aketlerde kullaılır. 400 işçi 00 memur 00 asker 00 diğer ---------------------------- 000 populasyo büyüklüğü Kou işçileri ilgilediriyorsa sorular sadece işçilere sorulur. Kou tüm populasyou ilgilediriyorsa örek %40,%0,%0,%0, gibi oralarda ilgili gruplara bölüerek sorular sorulur. Halkı belli koulardaki eğilimii alamada içi kullaılır. Belli soruları belli kişilere sorulması temelie dayaır.

7 7.4. Örekleme Dağılışları Öceki bölümlerde bir şas değişkeii olasılık dağılışıı bilidiği varsayımı ile hesaplamalar yapıldı. Burada ise şas değişkeii belli değerlerdeki varsayıla olasılık, ortalaması ve varyasları ile ilgileilmektedir. Uygulamaları çoğuda bu bilgilere sahip olumaz. PARAMETRE: Bir populasyou sayısal açıklayıcı bir ölçüsüdür ve populasyodaki gözlemlerde hesaplaır. ÖRNEK İSTATİSTİĞİ: Bir öreği sayısal betimsel ölçüsüdür ve örekteki gözlemlerde hesaplaır. Sıkça kullaıla parametre ve örek istatistikleri Parametre Örek istatistiği Aritmetik ortalama Medya M m Varyas Stadart sapma s s Bir populasyo parametresi hakkıda e geiş bilgiyi hagi örek istatistiğii içerdiğie asıl karar verilecek? Burada bu soruya cevap verilecektir. Bir populasyo parametresi tahmilemek isteirse; Populasyo ortalaması ü tahmii içi kullaılabilecek bazı örek istatistikleri vardır. Bularda iki taesi; örek ortalaması m =örek medyaı Bularda hagisi içi daha iyi bir tahmii verir? Bu soruu cevabıı aramak içi aşağıdaki örek ele alıacaktır.

8 Örek: Bir zar atılışıda üst yüzdeki sayıyı göstersi. Populasyo parametresi içi; beklee değer 4 5 P() P() 4 5 E( ) P( )...,5 Acak bu değerii bir a içi bilimediğii ve buu tahmi etmek içi populasyada örek alıdığıı varsayalım, yai tek zar kez atılsı ve örek souçları;,, elde edilsi. 0 Örek aritmetik ortalaması, ve Örek medyaı m= şeklide buluur. =.5 4 5 X=. m=, m ye göre ye daha yakıdır. Zar kez tekrar atıldığıda farklı örek souçları elde edilebilir, öreği:,4, elde edilsi. 4, m=4 4 5 Burada ise m, ye da daha yakıdır. m

9 Bu örek souçları çok öemli bir oktayı göstermektedir. Bu tür deemelerde elde edile örek souçları kullaılarak, e örek ortalaması ( ), e de örek medyaı (m), populasyo ortalamasıa daima daha yakıdır deilemez. Buu içi örek dağılışıa gerek duyulmaktadır. 7.5. Aritmetik Ortalamaı ve Medyaı Örekleme Dağılımı adet ölçümde oluşa bir örekte hesaplaa bir örek istatistiği içi örekleme dağılışı, bu istatistiği bir olasılık dağılışıdır ve ilgili tüm olaaklı souçları içere örek uzayıda elde edilir. ÖRNEK : Büyük bir populasyoda alımış ölçümü (0,, ) olasılık dağılışı aşağıdaki gibidir. ( = ) X 0 P() a) Örek ortalaması ( ) ı örekleme dağılışı b) Örek medyaı (m) ı örekleme dağılışıı buluuz. Mümkü Örekler 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 5 0 0 4 0 m Olasılık p= / ( tek sayı gelmesi durumu) 0/ / 0/ / / / 0/

0 0 5 0 8 0 0 0 0 0 5 0 0 5 9 0 0 4 0 0 5 0 8 0 5 9 0 8 9 / 0/ / / / / / / / / / 0/ / 0/ / / / 0/ / 0/

Aritmetik Ortalama Örekleme Dağılışı 0 4 5 8 9 P Medya Örekleme Dağılışı m 0 P (m) 7 7 şeklide elde edilirler. 7.. Örek Oraıı Örekleme Dağılımı Birbiride bağımsız adet Beroulli Deeyii bir araya gelmesi soucuda X başarı sayısıı Biom Dağılımı a uygu olduğu bilimektedir. Populasyo ( aakütle ) örek oraıı bilimediği durumlarda olasılık hesaplamaları içi kullaacak dağılışı belirlemek bir problem olarak görümektedir. Örek olarak bir yei il ola bir ili A partisi içi oy oraıı belirlemesi veya yei çıka bir dergii tüm rakip dergiler dikkate alıda satış yüzdesii belirlemesi verilebilir. Bu gibi öreklerde başarı olasılığıı p yi tahmilemek amacıyla populasyoda alıa örekte elde edile bilgiler doğrultusuda pˆ hesaplaır. İlgileile başarı olasılığıı p i bilimediği durumlarda hacimlik örek alıdığıda X örekteki başarı sayısı olarak ele alıdığıda, örekte elde edile başarı olasılığı ( örek oraı ); pˆ X şeklide hesaplaır. Yukarıdaki ifadede X şas değişkeii dağılışıı Biom Dağılışı gösterdiği bilidiğie göre dağılışı beklee değer ve varyası; E( X ) = p Var ( X ) = p( - p )

bilgisi kullaılarak örek oraıı beklee değeri ( ortalaması ); X E pˆ E E( X ) p şeklide elde edilir. Bezer şekilde örek oraıı varyası; Var pˆ X Var Var ( X ) p( p) p( p) olarak elde edilir. Örek oraıı stadart sapması stadart hata adıı alır. Yukarıda elde edile iki souç birlikte ele alıdığıda örek oraıı örekleme dağılımı aşağıdaki gibi elde edilir. Başarı olasılığı p ola bir populasyoda alıa hacimlik bir rassal öreği başarı oraı pˆ olsu. Bu durumda; i. pˆ i örekleme dağılımıı ortalaması p dir: pˆ p E ii. pˆ i örekleme dağılımıı stadart sapması; pˆ p( p) olarak buluur. pˆ ~ N ( p, p ( - p ) / ) Merkezi limit teoremii bir soucu olarak Biom Dağılımı da başarı sayısı olarak adladırıla X i dağılımıı, büyük hacimli öreklerde, yaklaşık olarak Normal Dağılıma uygu olduğu bilimektedir. Bu souçta hareketle örek oraıda ortalamasıı çıkartıp soucu stadart hatasıa bölersek stadart ormal dağılıma uygu ola bir şas değişkei elde edilir.

Z pˆ p pˆ p sabitke örek hacmi arttığıda örek oraıı stadart hatası küçülür. Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi örek hacmi arttığıda pˆ i kedi ortalaması etrafıda yoğulaştığı görülmektedir. f pˆ ( ) =400 =00.8.7.7.80.84.88.9 pˆ Örek: Büyük bir populasyoda alıa ölçüm ile ilgili bir öceki öreğe döersek tek sayı gelme olayıı göstermek üzere örek oraıı beklee değerii ve varyasıı bularak dağılımıı elde ediiz. p 0/ / / / p 0/9 /9 4/9 9/9 P(p) 8/ / / /

4 8 0 E( pˆ ) 0. E pˆ 8 0 4 9 9 9 9 9 ( ) 0.85 E( pˆ ) ( E( pˆ )) 0.85 (0.) 0.074 p p p( p) 0.( 0.) 0.074 7.7. Örek Varyasıı Örekleme Dağılımı Ortalaması ve varyası ola bilimeye bir populasyoda X,X, X ile gösterile adet rassal bir örek alıdığıda populasyo varyası aşağıdaki gibi bir beklee değer ifadesie eşittir. E X ) ( Populasyo ortalaması varyası aşağıdaki gibi taımlaır. bilimediğide yerie X koularak ( X X ) örek s i ( X i X ) Örek varyası yukarıdaki gibi taımladığıa göre ou örekleme dağılımıı ortalaması yai populasyo varyasıa eşit olduğu görülmektedir. E ( s ) Burada ( ) s E ( ) s i ortalaması daha öcede ifade edildiği gibi;

5 ( ) E( s ) ( ) E ( s ) olarak elde edilir. s i varyası ise; ( ) s Var ifadeside yola çıkarak; ( ) ( ) Var ( s ) ( ) 4 olarak elde edilir. Var( s 4 ) ( ) Varyası ola bir populasyoda alıa hacimlik bir öreği örek varyası s olarak ifade edildiğide; i. s i örekleme dağılımıı ortalaması dir. E ( s ) ii. s i örekleme dağılımıı varyası, örekleme dağılımı Ki- Kare dağılımıa uygu olduğuu soucuda hareketle ; olarak elde edilir. Var( s 4 ) ( )

7.8. Örekleme Dağılışlarıı Özellikleri ) sapmasızlık ) miimum varyaslılık Eğer bir tahmileyici bu iki özelliği de sağlıyor ise bua e iyi tahmileyici deir. 7.8..Sapmasızlık Eğer örek istatistiğii örekleme dağılışıı ortalaması populasyo parametresie eşit ise bu istatistiğe parametrei sapmasız tahmileyicisi deir. : Parametre A, B : İstatistik f(a) içi sapmasız örek istatistiği A f(b) Sapma B içi sapmalı örek istatistiği

7 A istatistiğii örekleme dağılışı B istatistiğii örekleme dağılışı X 0 P() / / / a), ü sapmasız bir tahmiimidir? E() = P () E() = P () 0( ) + ( ) ( ) =5= 0 4 5 8 9 P E( ) p( ) 0( ) ( )... ( ) 5 E( ) Sapma= E 0, i sapmasız bir tahmileyicisidir. b) m, ü sapmalı bir tahmiimidir? m 0 P(m) 7 7

8 7 7 E(m) =mp (m) 0( ) ( ) ( ) 4, 5 Sapma= E(m)- =4,5-5 = -0,44 m, ü sapmalı bir tahmileyicisidir. 7.8.. Miimum Varyaslılık 0 P() 0 9 44 P() 0 9 44 5 E( ) p( ) E E() Var() = = 5 (5) 5 5 0 4 5 8 9 P 0 4 9 5 4 8 44 P 0 9 48 50 08 9 4 44 E( )= P 909 ) E( ) E( ) = Var( 909 =8, var( ) var( ) / 8. (5)

9 m 0 P(m) 7 7 m 0 9 44 m P(m) 0 7 008 E(m )= m P( m) 4, Var E ( m) E( m ) m =4,-4,5 =0,8 var( ) var( ) 8. mi.varyaslı 'dır. var( m) 0.8 dolayısıyla, 'ü sapmasız ve mi.varyaslı tahmileyicisidir. AÇIKLAMA: Var Var... Var Var Var Var( ) Var( ) Var Var ( )..., 8, SONUÇ: ı örekleme dağılışıı ortalaması ve stadart sapması populasyou relative frekas dağılımıı şekli göze alımaksızı. ı örekleme dağılışıı ortalaması ya eşittir. Öreklee populasyo ortalaması yai = dir.

0. ı örekleme dağılışıı stadart sapması ya eşittir. Öreklee populasyou stadart sapması, örek büyüklüğüü kare köküe bölüür. (ortalamaı stadart hatası olarak da aılır.) NOT: Eğer örek büyüklüğü,populasyo hacmi N ye göre büyük ise (/N=%5 veya daha fazla ise) solu populasyo düzeltme faktörü N N çarpılmalıdır. Çoğu örekleme durumlarıda bu düzeltme terimi e yakı olduğuda ihmal edilir. ile Öreği, öreklee populasyouu uiform olasılık dağılışıa sahip olduğuu varsayalım. f() * =0.5 =0.9 0 öreklee populas youu relative frekas dağılışı a b E ( ) / 0.5 Bu populasyoda = adet örek olduğuu varsayalım. Örek ortalamasıı örekleme dağılışıı aritmetik ortalaması =0.5 ve stadart 0.9 sapması 0. 09

relative frekas 0 0 0.09 - =0.5 + 0.8 Üiform dağılışıda = ölçüü 000 örekteki içi relative frekas histogramı 7.8.. ORTALAMA KARESEL HATA MSE ( Ortalama Karesel Hata ) E ˆ MSE( ˆ ) = = E ˆ m m E ˆ m m E ˆ m = 0 m = Var ˆ + (sapma) SAPMA i ˆ E i sapma b = m- i ˆ i.örek

-.9.9 - P m Q.9 ˆ m.9 e P b ˆ m t m b / d ˆ = e.9b / t / dt P b.9.9 b / t / e dt N=4 biliiyor a=,b=,c=5,d= ve a+b+c+d= olduğu bilimiyor = populasyo toplamı tahmilemek isteiyor. Mümkü örekler Örek toplamı Populasyo Hata toplamıı tahmii hata Ab 5 0-44 Ac 7 4-8 4 Ad 4 8 Bc 8 - Bd 5 0 8 84 Cd 7 4 44 ortalama 0 488 ˆ Ortalama Karesel Hata =E (tahmi-) = (tahmii hata kareleri) 488 = 8. Bu sapmasız bir örekleme plaıdır

S 8. 9.0 S 9.0 00 00 %4 oluşturuyor, burada stadart sapma populasyou %4 ii Çok iyi bir pla deemez 7.9. Merkezi Limit Teoremi Gülük yaşatımız içerisideki uygulamaları çoğuda karşılaşıla şas değişkei ( ), oldukça büyük sayıda bağımsız şas değişkeii toplamı yada ortalaması ( doğrusal bir foksiyou ) dır. Taım : Ortalaması, varyası ola bir dağılışta elde edile büyüklüğüdeki bir şas öreği,,..., ise, büyük değerleri içi varyaslı yaklaşık ormal dağılış gösterir., µ ortalamalı, σ / Taım :,,..., tae bağımsız şas değişkei olsu. Ortalamaları varyası biçimide elde edile yei değişke içi aşağıdakiler ise... söyleebilir. E E E.... E Var Var Var.... Var E Var

4 X E X X X X z Var X burada alımıştır. i i=,...,?(, ) ise lim z, Taım: Merkezi Limit Teoremi,,..., ; ortalaması varyası ola ve birbiride farklı dağılımlara uya adet bağımsız şas değişkei olsu. Bu şas değişkelerii toplamıı ortalamasıı ile gösterelim, büyüdükçe,, z ola z değişkei stadart ormal dağılışa yaklaşır. adet bağımsız tekdüze şas değişkeii ortalamasıı olasılık yoğuluk foksiyoları

5 f( ) f( ) = = f( ) =0 Teorem: Normal dağılışa sahip bir populasyoda çekile örekleri ortalamaları, örek büyüklüğü dikkate alımaksızı, ormal dağılışa sahiptir. Teorem: Örek büyüklüğü artışı ile ( ) herhagi bir dağılışta çekile örekleri ortalamalarıı ormal dağılışa yaklaşır. Bu teorem merkezi limit teoremidir. Not: Teorem: Eğer, ortalaması stadart sapması ola bir dağılışta hacimli şas örekleri çekilir ise bu örekleri aritmetik ortalamaları; ortalaması ve stadart sapması doğru olur. ola yaklaşık ormal dağılış gösterir. Bu yaklaşım büyüdükçe daha

Veya bir başka ifadeyle, Tekrar tekrar örek alıdığıda eğer yeteri kadar büyükse, gözlemleri toplamı da yai, i, ortalaması ve stadart sapması ola ormal dağılış gösterir. Bu teorem iki bakımda öemlidir. ) Niçi bazı gözlemler yaklaşık ormal dağılış gösterir. ) Tahmileyicileri ormal dağılış gösterdiği varsayım ile populasyo hakkıda karar verilir. Teoremi sakıcası yeteri kadar büyük olmalıdır cümlesii alamı amaca göre değişir. Acak her zama doğru olmamakla beraber bayağı küçük örekler içi de geçerli olabilir. Merkezi Limit Teoremi uyarıca X i ~ Herhagi bir dağılım (, ), X i bağımsız şas değişkei E X X X X... X Var Var E * X i dağılımı e olursa olsu, solu kalmak koşulu ile büyüdükçe Z i dağılımı stadart ormal dağılıma yaklaşır.

Teorem: Eğer bir ormal dağılışta bir populasyoda adet şas öreği alıırsa, ı örekleme dağılışı ormal dağılış olacaktır. Eğer gözlemlik bir şas öreği herhagi bir populasyoda seçilirse, ve yeteri kadar büyük ise, ı örekleme dağılışı ormal dağılış olacaktır. Örek büyüklüğü büyüdükçe, ı örekleme dağılışıa ormalite yaklaşımı daha iyi olur. Farklı örek büyüklükleri ( ) ve farklı populasyolar içi ı örekleme dağılışı orjial populasyo = içi =5 içi =0 içi

8 Örekleme dağılışı ile örek büyüklüğü arasıdaki ilişki: f ( ) = =4 = Bir istatistiği örekleme dağılışıı varyası, örek büyüklüğü ile ters oratılıdır. ( Bu tüm istatistikler doğru değildir, acak çoğu içi doğrudur. ) ı stadart sapması dır. Burada örekleme dağılışıı stadart sapmasıı ile oratılı olduğu söyleebilir. Bir istatistiği örekleme dağılışıı stadart sapmasıı ½ ye idirgemek içi, öreği 4 katıa ihtiyaç vardır. 4

9 Örek: Beroulli 0 P() q p a) ı örekleme dağılışıı ortalamasıı ve stadart sapmasıı buluuz. E( ) 0( q) ( p) p 0 p q p p p q q p pq( p q pq E( ) ) E( ) p pq b) p = 0.8 =, 0, 5, 00 = 000 örek ortalamasıı formüle ediiz. p 0.8 pq (0.8)(0.) 0.4 0,8 0,4 0 0,8 0,5 5 0,8 0,08 00 0,8 0,04

0 relative fr. relative fr. 0,8 0,4 0, 0,0 0,0 0,55,00 = =0 relative fr. relative fr. 0,4 0,4 0,0 0,0 =5 =00

7.0. Biom Dağılışıa Normal Dağılış Yaklaşımı X ~ biom dağılışı ise E p Var pq p(- p) dir büyük ise Merkezi Limit Teoremie göre, z E p Var ( ) p( p) büyüdükçe bu yaklaşım giderek iyileşir. Örek: ~ biom =0, p=0.5 ise = E() = p = 0(0.5) = 5 = () Var = p ( p 0(0.5)(0.5). 58 P( ) p ( p) P P P P 4 4 0 4 0 4 0.5 0.5 0. 0 8 7 0.5 0.5 0.5 0.5

f() 0 4 5 7 8 9 0 -, -0, 0 z Normal Dağılış Yaklaşımı ile Çözüm ~ N ( =5,.58) z P.5 5.58 4.5 5.58.5 4.5 P P. z 0. P 0.488 0.55 0.. z 0 P 0. z 0 Soru : P( Biom) 0. 0. P( Normal ) Bu durumu açıklayıız. 7.. Poisso Dağılımıa Normal Dağılış Yaklaşımı ~ Poisso dağılışı E()= =p Var()= büyük ise Merkezi Limit Teoremie göre;

E z Var olur. Örek: Bir polikliiğe güde ortalama 5 başvuru yapılmakta olup başvuruları poisso dağılışıa uygu olduğu bilimektedir. Belli bir güde 0 ile 0 arası başvuru yapılması olasılığı edir? =5 9.5 5 0.5 5 P0 0 P 5 5 P. z. P. z 0 P 0 z. 0.4 0.4 0.78 Süreklilik düzeltmesi yapılırsa f() P 9.5 5 0.5 5 0 0 P 5 P. z. 5 P. z 0 P0 z. 0.4 0.4 0. 78