Parametrik doğru denklemleri 1 A noktasından geçen, doğrultman (doğrultu) vektörü w olan d doğrusunun, k parametresine göre parametrik denklemi: AP k w P A k w P A k w P A k W (P değişken nokta) A w P d
A(3, 5) noktasından geçen vektörüne paralel olan doğrunun k parametresine göre parametrik denklemini yazınız. a) k =0, k=-1, k =1/2 ve k=2 değerleri için doğru üzerindeki noktaları bulunuz. b) k 1 için doğru üzerindeki noktalar kümesinin belirttiği şekli bulunuz. c) k 2 için doğru üzerindeki noktalar kümesinin belirttiği şekli bulunuz. Alıştırma Ödev u ( 2,1) A(3, 5) u ( 2,1) P d
Parametrik doğru denklemleri 2 A ve B noktasından geçen doğrunun, k parametresine göre parametrik denklemi: AP k AB P A k B A P A k B A P A k B A A B P d (P değişken nokta) Özel olarak; 0 k 1 için *AB+ doğru parçasının denklemi elde edilir.
Alıştırma Ödev A(3, 5) ve B(2, 0) noktalarından geçen doğrunun k parametresine göre denklemini yazınız. a) k =0, k=1 ve k=2 değerleri için doğru üzerindeki noktaları bulunuz. A(3, 5) B(2, 0) P d b) 0 k 1 için doğru üzerindeki noktalar kümesinin belirttiği şekli bulunuz.
Bir doğrunun normal vektörü Bir doğrunun doğrultusuna dik olan vektöre doğrunun normal vektörü denir. A P n d d doğrusunun denklemi: AP n 0
Kartezyen doğru denklemleri Parametrik denklemle P değişken noktanın koordinatları (x, y) denklemde yazılarak parametre yok edilirse elde edilen denkleme doğrunun kartezyen denklemi denir. Eşitliğin bir tarafı sıfır olacak biçimde yazılmış doğru denklemlerine kapalı doğru denklemi denir. Örnek P (5,3) k (2,1) Parametrik denklemiyle verilen doğrunun kapalı kartezyen denklemini bulunuz.
Kapalı kartezyen doğru denkleminin incelenmesi ax + by + c = 0 denklemi a = 0 ise x eksenine paralel bir doğru belirtir. b = 0 ise y eksenine paralel bir doğru belirtir. c = 0 ise orijinden geçen bir doğru belirtir. ax + by + c = 0 (by = -ax c) doğrusunun doğrultman vektörü : w (b, a) normal vektörü : w n 0 n (a,b)
Alıştırma 3x + 4y = 0 doğrusunun grafiğini çiziniz ve a) doğrultu vektörünü bulunuz. b) normal vektörünü bulunuz. y O x
Eşitsizlikler ax + by + c 0, ax + by + c 0, eşitsizlikleri kapalı yarı düzlem, açık yarı düzlem belirtir. y O x
Alıştırma 2x - y + 4 0 eşitsizliğinin grafiğini çiziniz. y O x
İki doğrunun birbirine göre durumları 1 Doğrultu vektörlere göre kıyaslama d :P A m u 1 1 d :P B n u 2 2 1) u ile u lineer bağımlı u // u ve A B ise d ile d paraleldir. 1 2 1 2 1 2 2) u ile u lineer bağımlı ve A B ise d ile d çakışıktır. 1 2 1 2 3) u ile u lineer bağımsız u // 1 2 1 u ise d ile d kesişir. 2 1 2 u ile u arasındaki açıya d ile d arasındaki açı denir. 1 2 1 2
İki doğrunun birbirine göre durumları 2 Normal vektöre göre kıyaslama d : a x b y c 0 1 1 1 1 d : a x b y c 0 2 2 2 2 1) (a,b ) k (a,b ) ve c k c ise d ile d paraleldir. 1 1 2 2 1 2 1 2 2) (a,b ) k (a,b ) ve c k c ise d ile d çakışıktır. 1 1 2 2 1 2 1 2 3) (a,b ) k (a,b ) ise d ile d kesişir. 1 1 2 2 1 2 Kesişme noktası yok etme yöntemi ile bulunur.
Alıştırma 1 d : 2x y 4 0 1 d : 3x y 1 0 2 doğrularının birbirine göre durumunu inceleyiniz eğer varsa kesişme noktasını bulunuz.
Alıştırma 2 d : (x,y) (3 k,1 2k) 1 d : (x,y) (6 2m,2 4m) 2 doğrularının birbirine göre durumunu inceleyiniz eğer varsa kesişme noktasını bulunuz.
Tanjant oranı ile ilgili temel bilgiler
Doğrunun eğim açısı ve eğimi Doğrunun x ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açıya doğrunun eğim açısı denir. Bu açının tanjantına doğrunun eğimi denir. y O x
Eğim açısı ile eğimin incelenmesi
Alıştırma 1
Alıştırma 2
Doğrultu vektörü bilinen bir doğrunun eğimi Doğrultu vektörü : w (x,y ) eğim(m) 0 0 y x 0 0 y Özel olarak ax + by + c = 0 için: a w (b, a) eğim b w (x 0, y 0 ) x y = mx + n için: w ( 1, m) eğim m O
Alıştırma 1 3 Eğimi olan ve 2 A(4,0) noktasından geçen doğrunun denklemini ve doğrultusunu bulunuz. y w O x
Alıştırma 2 A(4,0) ve B(6,9) noktalarından geçen doğrunun eğimini ve denklemini bulunuz. y w x O
Eğimleri bilinen iki doğru arasındaki dar açının tanjantı
Alıştırma 1
Alıştırma 2
Ödev x 2y + 2 = 0 ile x 3y 6 = 0 doğruları arasındaki geniş açının tanjantını bulunuz.
Eğimi bilinen iki doğrunun durumları 1) Eğimleri farklı olan iki doğru kesişir. Özel olarak eğimleri çarpımı -1 olan iki doğru birbirine diktir. 2) Eğimleri eşit olan doğrular çakışık veya paraleldir. Eğim açıları eşit olan doğrular birbirine paraleldir. Eğimi olmayan doğrular da birbirine paraleldir. d k için d doğrusunun eğimi yoksa k doğrusunun eğimi 0 dır. Yani d doğrusu x eksenine dik k doğrusu x eksenine paraleldir.
Alıştırma 1
Ödev
Alıştırma 2
Doğrunun ötelenmesi - Ödev y O x
Noktanın doğruya uzaklığı K(x 0, y 0 ) n (a,b) u A AK h k : ax + by + c = 0 K noktasının k doğrusuna uzaklığı, doğruya dik olan u vektörünün uzunluğudur. u vektörü ise herhangi bir AK vektörünün normal vektör üzerindeki dik iz düşüm vektörüdür. AK n ax0 by0 c d(k,k) h u 2 2 n a b
Alıştırma 1. Yol vektör ile A(4, 3) AB n (2, 3) n h AB n n B AB n n 2. Yol formül ile
Paralel iki doğru arasındaki uzaklık d 1 : ax + by + c 1 = 0 d 2 : ax + by + c 2 = 0 h c c 1 2 a b 2 2 Örnek
Ödev
İki doğruya eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri d 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 Örnek k 1 k 2 d 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 k : 1,2 a x b y c a x b y c a b a b 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 d // d a a a, b b b 1 2 1 2 1 2 1 2 k1 k 2: ax by 0 c c 2
İki noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri d A B Örnek a) Uç noktaları A(1, 2) ve B(3, 0) olan AB doğru parçasının orta dikme doğrusunun denklemini bulunuz. b) A(1, 2) ve B(3, 0) noktalarına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerini bulunuz.
Ödev 1
Ödev 2
Ödev 3
Ödev 4
Ödev 5
Ödev 6
Ödev 7
Ödev 8
Ödev 9
Ödev 10
Ödev 11
Ödev 12
Ödev 13
Ödev 14
Ödev 15
Ödev 16
Ödev 17
Ödev 18
Ödev 19
Ödev 20
Ödev 21
Ödev 22
Ödev 23
Ödev 24
Ödev 25
Ödev 26
Ödev 27
Ödev 28
Ödev 29
Ödev 30
Ödev 31
Ödev 32
Ödev 33
Ödev 34
Ödev 35
Ödev 36
Ödev 37
Ödev 38
Ödev 39
Ödev 40
Ödev 41
Ödev 42
Ödev 43