Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / Maıs 999 Matematik Soruları ve Çözümleri ( Đptal edilen sınav ). işleminin sonucu kaçtır? A) B) 5 C) D) E) Çözüm =.. = 5 =. = olduğuna göre, kaçtır? A) B) C) 0 D) E) Çözüm = = 4 = + 4 = + = 8 6 8 = 6 = 8 =
. 0 a = 00 b = 000 c = olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur? A) c < b < a B) c < a < b C) a < b < c D) a < c < b E) b < c < a Çözüm I. Yol 0 a = = 00 b = = =, 0 000 c = = =, 00 000 =, Paları eşit olan rasonel saılardan padası büük olan daha küçük olacağından, c < b < a olur. II. Yol 0 000 a = = 00 00 000 b = = 0 Paları eşit olan rasonel saılardan padası büük olan daha küçük olacağından, c < b < a olur. 000 c = Not : Rasonel Saılarda Sıralama Pozitif rasonel saıların sıralaması Paları eşit olan rasonel saılardan padası küçük olan daha büüktür.
4. ( 4)² ( )³ + 5 işleminin sonucu kaçtır? A) 0 B) C) 0 D) E) 4 Çözüm 4 ( 4)² ( )³ + 5 = 4 ( ) + 5 = 4 + + 5 = 5. 0 < a < b > 0 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur? A) a.b < 0 B) a.b > C) a.b < b D) a.b > b E) a.b < a Çözüm 5 0 < a < a < b > 0 a.b <.b a.b < b 6. A < B olmak üzere, üç basamaklı 5AB saısının 5 ile bölümünden kalan dir. Bu saının 4 ile bölünebilmesi için A nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 Çözüm 6 5AB saısının 5 ile bölümünden kalan B = vea B = 6 olur. 5AB saısının 4 ile bölünebilmesi için B = 6 olmalıdır. (son iki basamağının (AB) 4 ün katı olması gerekir.) 5A6 saısının 4 ile tam bölünebilmesi için, son iki basamağının (A6) 4 ün katı olması gerekir. A = {,, 5, 7, 9} A < B olduğuna göre, A = {,, 5} değerlerini alır. Toplam = + + 5 = 9 olur.
7. Bir saısının rakamlarının saı değerlerinin toplamı 5 tir. Buna göre, ² saısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 Çözüm 7 in, rakamlarının toplamı 5 olduğuna göre, 9 ile bölümünden kalan, 5 5 + = 7 Buna göre, ² nin 9 ile bölümünden kalan ² =. 7.7 = 49 4 + 9 = + = 4 bulunur. Not : 9 ile bölünebilme kuralı Bir saının 9 ile tam bölünebilmesi için, saının rakamlarının toplamının 9 vea 9 un katları olması gerekir. Bir saının 9 a bölümündeki kalan, saının rakamlarının toplamının 9 a bölümündeki kalana eşittir. 8. Üç basamaklı ABC saısı iki basamaklı AB saısından fazladır. Buna göre, A + B + C toplamı kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Çözüm 8 ABC = AB + 00.A + 0.B + C = 0.A + B + 90.A + 9.B + C = 9(AB) + C = = 9.5 + 7 A =, B = 5, C = 7 Buna göre, A + B + C = + 5 + 7 = 4 olur.
9. Rakamları birbirinden farklı olan ve üzler basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakam er değiştirdiğinde saı değeri 69 artan, üç basamaklı kaç tane ABC doğal saısı vardır? A) 8 B) 0 C) D) 4 E) 6 Çözüm 9 Saı = ABC olsun. CBA ABC = 69 olduğuna göre, (00.C + 0.B + A) (00.A + 0.B + C) = 69 99.C 99.A = 69 99.(C A) = 69 C A = 7 olur. C = 8 A = B = {0,,, 4, 5, 6, 7, 9} (A B C) ABC {08, 8, 8, 48, 58, 68, 78, 98} biçiminde 8 tane saı azılabilir. C = 9 A = B = {0,,, 4, 5, 6, 7, 8} (A B C) ABC {09, 9, 9, 49, 59, 69, 79, 89} biçiminde 8 tane saı azılabilir. Buna göre, istenen özellikte 8 + 8 = 6 tane saı azılabilir. 0. Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için,.s(a B) = 4.s(A B) = 5.s(B A) olduğuna göre, A B kümesinin eleman saısı en az kaçtır? A) B) 7 C) 5 D) 47 E) 60
Çözüm 0 A B kümesinin eleman saısının en az olması için, s(a B), s(a B), s(b A) nin en küçük değerini alması gerekir..s(a B) = 4.s(A B) = 5.s(B A) e.k.o.k.(, 4, 5) = 60 olduğuna göre, s(a B) = 0 s(a B) = 5 s(b A) = olur. s(a B) = s(a B) + s(a B) + s(b A) s(a B) = 0 + 5 + = 47 bulunur.. Pozitif gerçel (reel) saılar kümesi üzerinde her a, b için, a. b a * b= işlemi tanımlanmıştır. a+ b Buna göre, * 4 = * m eşitliğinde m saısı kaçtır? A) B) C) D) E) Çözüm * = * m 4. 4 + 4 =. m + m 0 = m + m 0m = + 9m m = a+ b. a, b, c farklı pozitif tamsaılar ve > 4 b a + b + c toplamının en küçük değeri kaçtır? b+ c, < 5 c olduğuna göre, A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
Çözüm a + b b > 4 a + > 4 b a > b b = için a = 4 olabilir. b+ c c < 5 b + c < 5c b < 4c b = için c = olabilir. a + b + c toplamının en küçük değeri = 4 + + = 7. b a=, b 4 a = olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır? A) B) 4 C) 6 D) 48 E) 60 Çözüm b a= b = a b 4 a = a a =. a a = (²) a a = 4 a a = 4.4 a = 4 a = 4 b =.4 = O halde, a.b = 4. = 48 elde edilir. 4. Bir şişenin ağırlığı boşken gram, ü sıvı ile doluken gramdır. Bu şişenin tamamı anı sıvı ile doluken ağırlığı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) C) D) E)
Çözüm 4 Şişe = gr (şişe +.sıvı ) = gr.sıvı = sıvı =.( ) gr Şişe + sıvı = +.( ) = + = gr bulunur. 5. Bir ailenin bütün birelerinin bugünkü aşları toplamı 50, üç ıl önceki aş ortalaması 7 dir. Üç ıl içinde bire saısında değişiklik olmaan bu ailede kaç bire vardır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 Çözüm 5 Ailenin bire saısı = n olsun. 7.n ( ıl önceki aşları toplamı) (7 + ).n = 50 (bugünkü aşları toplamı) n = 5 6. Bir parkta, bir kısmı kişilik, diğerleri 5 kişilik olan toplam 6 bank vardır. Banklardaki oturma erlerinin tamamı 6 kişilik olduğuna göre, 5 kişilik bank saısı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) Çözüm 6 5 kişilik bank saısı = kişilik bank saısı = olsun. + = 6 5 + = 6 = 7 bulunur.
7. Bir okuldaki her baan öğretmenin, okuldaki baan meslektaşlarının saısı, erkek meslektaşlarının saısının iki katından 6 fazla; her erkek öğretmenin de okuldaki baan meslektaşlarının saısı, erkek meslektaşlarının saısının üç katından eksiktir. Buna göre, okulda toplam kaç öğretmen vardır? A) B) 6 C) 40 D) 44 E) 48 Çözüm 7 Baan öğretmen saısı = b Erkek öğretmen saısı = e olsun. Verilenlere göre, b = e + 6 ve b = (e ) Bu iki denklem çözülürse, (e ) = e + 6 e = ve b = 9 bulunur. Toplam öğretmen saısı = b + e = 9 + = 40 elde edilir. 8. Bir havuzu % 0 lik tuzlu su akıtan bir musluk 0 saatte, % 0 luk tuzlu su akıtan başka bir musluk 5 saatte dolduruor. Boş olan bu havuz muslukların ikisi birlikte açılarak doldurulduğunda, havuzdaki suun tuz oranı üzde kaç olur? A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 0
Çözüm 8 Havuz = litre olsun. % 0 lik tuzlu su akıtan bir musluk 0 saatte havuzu doldurduğuna göre, saatte havuzun 0 litresini doldurur. % 0 luk tuzlu su akıtan başka bir musluk 5 saatte havuzu doldurduğuna göre, saatte havuzun 5 litresini doldurur. % 0 lik ( 0 litre tuzlu su) + % 0 luk ( 5 litre tuzlu su) = % a lık karışım ( 0 + 5 ) 0 0 a. +. =.( + ) + = a. 00 0 00 5 00 0 5 6 a = 4 9. Yukarıdaki şekilde, bir bankanın vadeli hesaplara ugulaacağı ıllık faiz oranlarını + 66 belirleen = fonksionunun grafiği verilmiştir. + Bu grafiğe göre, kaçıncı ıldan sonra ıllık faiz oranı % 0 un altına düşer? A). B) 4. C) 5. D) 6. E) 7. Çözüm 9 Verilenler göre, < 0 + 66 < 0 + 66 < 0 + 0 > 7 + 7. ıldan sonra ıllık faiz oranı % 0 un altına düşer.
0. Şekildeki ABC dik üçgeninin, A köşesinde bulunan iki hareketliden biri B e doğru v saatte v metre sabit hızla, öteki de C e doğru saatte metre sabit hızla anı anda harekete başlıor ve ilk kez [BC] üzerindeki D noktasında karşılaşıorlar.. AB = 4. AC ve CD = 60 m olduğuna göre, BC uzunluğu kaç m dir? A) 0 B) 00 C) 80 D) 60 E) 40 Çözüm 0. AB = 4. AC AB = 4 olsun. AC = olur. BC = 5 (pisagor) A B D olunu izleen hareketli, hızı v ise t saatte ( = v.t) AD = AB + BD = 4 + (5 60) = v.t ( * ) A C D olunu izleen hareketli, hızı v ise t saatte ( = v.t) AD = AC + CD = + 60 = v.t 6 + 0 = v.t ( ** ) ( * ) = ( ** ) 4 + (5 60) = 6 + 0 = 60 BC = 5 = 5.60 = 00 m. 5, 6, 7, 8, 9 rakamlarını kullanarak rakamları birbirinden farklı olan, üç basamaklı ve 780 den küçük kaç değişik saı azılabilir? A) 46 B) 4 C) 6 D) 0 E) 4
Çözüm abc saısı 780 den küçük olsun. a = 5 4. = saı azılabilir. (a = 5 ise b diğer 4 rakam arasından 4 değişik şekilde, c de kalan rakam arasından değişik şekilde seçilir.) a = 6 4. = saı azılabilir. (a = 6 ise b diğer 4 rakam arasından 4 değişik şekilde, c de kalan rakam arasından değişik şekilde seçilir.) a = 7. = 6 (a = 7 ise saının 780 den küçük olması için, b rakamı 5 ve 6 arasından değişik şekilde, c ise kalan rakam arasından değişik şekilde seçilir.) abc < 780 (a b c) + + 6 = 0 saı azılabilir.. < 0 olmak üzere, 8 8 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 6 B) C) 4 D) + 6 E) 4 + 6 Çözüm < 0 8 < 0 8 8 = ( + 8) 8 = + 8 8 = 8 8 < 0 8 < 0 8 8 = ( 8) 8 = + 8 8 = elde edilir.. +.. ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) E)
Çözüm.. + =.. + =.... + =.. ) ( + = ).( ) ).( ( ) ( ) ( + + = ).( = 4. a, b gerçel (reel) saılar ve A = a² + 8a + B = b² + 8b + 5 olduğuna göre, A nın en büük saı değeri ile B nin en küçük saı değeri toplamı kaçtır? A) 59 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80 Çözüm 4 I. Yol A = a + 8a + A = (a² 8a ) A = (a².4.a + 6 6 ) A = (a 4)² + 7 A = a + 8a + = (a 4)² + 7 a = 4 için A en büük değerini alır. A = 7 olur. B = b + 8b + 5 B = b +.9.b + 8 8 + 5 B = (b + 9)² 76 B = b + 8b + 5 = (b + 9)² 76 b = 9 için B en küçük değerini alır. B = 76 olur. Buna göre, A + B = 7 + ( 76) = 7 76 = 59 elde edilir.
II. Yol A = a² + 8a + a² + 8a + parabol eğrisi belirttiği için en büük saı değeri parabolün tepe noktasının (r, k) = (, ) = (a, A) nın A değeri olur. = a = 8 = 4.( ) A nın en büük değeri a = 4 için : = A = 4² + 8.4 + A = 7 olur. B = b² + 8b + 5 b² + 8b + 5 parabol eğrisi belirtir ve B nin en küçük saı değeri tepe noktasının (r, k) = (, ) = (b, B) nin B değeri olur. = b = 8 = 9. B nin en küçük değeri b = 9 için : = B = ( 9)² + 8.( 9) + 5 B = 76 olur. Buna göre, 7 76 = 59 elde edilir. Not : f() = a² + b + c biçimindeki parabollerin tepe noktası : T(r, k) ise b tepe noktasının apsisi : r = ve a tepe noktasının ordinatı : k = f(r) dir. Not : Parabolün en alt a da en üst noktasına tepe noktası denir. (r, k) parabolün tepe noktasının koordinatlarıdır.
Not : f : R R, f() = a² + b + c fonksionunun tepe noktasının koordinatlarını bulmak için fonksion f ( ) = ( r)² + k biçimine getirilir. Tepe noktasının koordinatları = (r, k) olsun. f() = a² + b + c b f ( ) = a.( ² + ) + c a b b² b² f ( ) = a.( ² + + ) + c a 4a² 4a² b b² b² f ( ) = a.( ² + + ) + c a 4a² 4a f ( ) = a.( + b 4ac b² )² + a 4a b r = ve a k 4ac b² = f ( ) = ( r)² + k elde edilir. 4a 5. + 6. + + 9= 0 denkleminin köklerinden biri dir. Buna göre, + değeri kaçtır? A) B) 5 C) 7 D) 9 E)
Çözüm 5 I. Yol + 6. + + 9= 0 ( + ) = 0 ( + ) = 0 + = ( + )² = ² ² +.. + ² = 9 ² + ² = 7 + = 7 II. Yol + 6. + + 9= 0 + = a olsun. a² 6a + 9 = 0 (a )² = 0 a = 0 a = + = + = ² ² +.. + ² = 9 ² + ² = 7 ² + ² = 7 denkleminin köklerinden biri ise + = 7 olur. 6. Katsaılarının toplamı olan bir P() polinomunun ( + ) ile bölümünden kalan 0 dur. Buna göre, P() polinomunun ² + ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 B) C) + D) 0 E)
Çözüm 6 Katsaılarının toplamı = P() = P( ) = 0 + = ( + ).( ) P() polinomunun, ( + ).( ) ile bölümünden kalan : m + n olsun. P() = [( + ).( )].Q() + m + n P() = [( + ).( )].Q() + m. + n = m + n = P( ) = [( + ).( )].Q( ) + m.( ) + n = 0 m + n = 0 kalan = m + n olduğundan, 4 elde edilir. m = n = 4 7. Yukarıda f doğrusal fonksionu ile g fonksionunun grafikleri verilmiştir. Buna göre, ( f og)(6) + ( gof )( ) değeri kaçtır? A) B) 5 C) 0 D) E) 9
Çözüm 7 f () fonksionu iki noktası bilinen doğru denkleminden, (4, 0) ve (0, ) 0 0 ( ) = 4 4 0 f () = = olur. f () = = ( + ). = f ( ) = + 4 bulunur. ( f og)(6) + ( gof )( ) = f ( g(6)) + g( f ( )) g (6) = f (6) =.6 = f ( ) =.( ) + 4 = f () =. + 4 = 6 g () = ( f og)(6) + ( gof )( ) = f ( g(6)) + g( f ( )) = f () + g() = 6 + = 9 Not : Đki noktası bilinen doğru denklemi A(, ) ve B(, ) =
8. ABCD doğrusal BEF doğrusal BC = BE CD = CE m(abf) = 68 m(def) = α Yukarıdaki verilere göre, m(def) = α kaç derecedir? A)50 B) 54 C) 58 D) 60 E) 64 Çözüm 8 m(abf) = 68 m(ebc) = 80 68 = BC = BE m(bec) = m(cbe) = olsun. + + = 80 = 84 m(bce) = 84 m(ecd) = 80 84 = 96 CD = CE m(ced) = m(cde) = olsun. + + 96 = 80 = 4 + + α = 80 84 + 4 + α = 80 α = 54 elde edilir. Not : Bir dış açının ölçüsü kendisine komşu olmaan iki iç açının ölçüleri toplamına eşittir.
9. ACB bir dik üçgen m(bca) = 90 m(bhc) = 90 AC = 0 cm AH = 6 cm BC = Yukarıdaki verilere göre, BC = kaç cm dir? A) 9 B) C) 5 D) 6 E) 8 Çözüm 9 AHC dik üçgeninde pisagor bağıntısından, 0² = 6² + HC ² HC = ACB dik üçgeninde öklid bağıntısından, ² = 6. HB HB = 9 BHC dik üçgeninde pisagor bağıntısından, ² = ² + 9² = 5 olarak bulunur. Not : Öklid bağıntıları I ) h² = p.k II ) c² = p.a b² = k.a III ) h² = b² + c²
0. ABC bir üçgen AD = DC m(abc) = 60 BC = 0 cm AE = cm BE = cm DE = Yukarıdaki verilere göre, DE = kaç cm dir? A) 5 B) 6 C) 7 D) E) 4
Çözüm 0 D noktası [AC] nin orta noktası olduğundan, D noktasından [BC] e paralel çizilirse, K noktası da [AB] nin orta noktası olur. AK = KB = 6 BE = KE = 6 = 5 AKD ABC KD BC = AK AB = AD AC KD = 5 [KD] // [BC] olduğundan, m(abc) = m(akd) = 60 m(ekd) = 80 60 = 0 EKD üçgeninin açıları 0 0 0 olur. Đkizkenar üçgende, ükseklik = kenarorta 0 60 90 üçgeninde, 60 nin karşısındaki kenar hipotenüsün katıdır. O halde, = 5. = 5 olarak bulunur. Not : Dik üçgen özellikleri Bir dar açının ölçüsü 0 olan dik üçgende, 0 karşısındaki kenarın uzunluğu hipotenüsün arısına, 60 karşısındaki kenar uzunluğu hipotenüsün katına eşittir.
. 6 m uzunluğundaki bir merdiven er ile 45 o lik açı apacak şekilde, ere dik bir duvara daandırılıor. Buna göre, merdiven aağının duvara olan uzaklığı kaç m dir? A) 4 B) 6 C) 7 D) 8 E) 0 Çözüm Merdiven aağının duvara uzaklığı = BC olsun. ABC üçgeni ikizkenar dik üçgen olduğuna göre, AB = BC = AC ² = BC ² + AB ² 6² = ² + ² = 8. ABCD bir dikdörtgen DN = CL AB = 6 cm BC = cm Yukarıdaki verilere göre, KLMN dörtgeninin alanı kaç cm dir? A) 8 B) 9 C) 0 D) E) 4
Çözüm ABCD dikdörtgeninde [NL] // [AB] çizilirse, alan(klmn) = alan(mnl) + alan(knl) olur. CL = olsun. BL = olur. alan(klmn) = alan(mnl) + alan(knl) alan(klmn) = 6. 6.( ) + = 9. ABCD bir paralel kenar AB = 6. AE BC = 4. BF Yukarıdaki şekilde EBF üçgeninin alanı 5 cm olduğuna göre, ABCD paralel kenarının alanı kaç cm dir? A) 96 B) 84 C) 7 D) 60 E) 48 Çözüm BF = olsun. AE = olsun. CF = EB = 5 olur. Alan(EBF) = 5.5..sin(EBF) = 5..sin(EBF) = Alan(ABCD) =.alan(abc) =..4.6.sin(ABC) = 4...sin(ABC) = 4. = 48 (sin(abc) = sin(ebf))
Not : Đki kenarı ve aradaki açısı verilen üçgenin alanı Alan (ABC) =.b.c.sin(a) Alan (ABC) =.a.c.sin(b) Alan (ABC) =.a.b.sin(c) 4. ABCD bir dik amuk m(adc) = 90 m(dab) = 90 m(ekb) = 90 BE = CE = 4 cm DC = cm AB = 8 cm Yukarıdaki verilere göre, AKE üçgeninin alanı kaç cm dir? A) 7 7 B) 5 7 C) 5 D) 7 E)
Çözüm 4 ABCD dik amuğunda [CT] [AB] çizilirse, DC = AT = BT = 8 = 6 olur. CT // EK ve CE = BE BKE BTC TK = KB = olarak bulunur. EKB dik üçgeninde, 4² = ² + EK ² EK = 7 Alan(AEK) = AK. EK = 5 7 olur. 5. ABCD bir eşkenar dörtgen [DO] açıorta [CO] açıorta DO = 6 cm DC = Yukarıdaki şekilde ABCD eşkenar dörtgeninin alanı 96 cm olduğuna göre, DC = kaç cm dir? A) 0 B) C) D) E) 6
Çözüm 5 Eşkenar dörtgende açıortalar köşegen ve eşkenar dörtgende köşegenler birbirini dik olarak ortaladığına göre, Alan(ABCD) = AC. BD 96 = AC. AC = 6 AC = 6 AO = OC = 8 DOC dik üçgeninde, ² = 6² + 8² (pisagor) = 0 bulunur. 6. Kenarları a, b, c, d ve e olan beşgenin her köşesinden, bu kaşei oluşturan kenarlara birer dikme çizilerek şekildeki,, z, t ve u açıları elde edilmiştir. Buna göre, + + z + t + u toplamı kaç derecedir? A) 860 B) 70 C) 640 D) 450 E) 60
Çözüm 6 Şekilde verilen,, z, t, u açıları, bulundukları köşeleri 80 e tamamladıklarından dış açı konumundadırlar. Konveks çokgenlerde dış açılar toplamı 60 olduğuna göre, + + z + t + u = 60 olur. 7. [CD] çap m(bmd) = 4 m(oab) = α Şekildeki M ve O merkezli çemberler B noktasında dıştan teğet ve [AO] // [CD] dir. Buna göre, m(oab) = α kaç derecedir? A) B) 0 C) 8 D) 6 E)
Çözüm 7 Merkezleri birleştirilen doğru, çemberlerin teğet noktasından geçer ani O, B, M doğrusaldır. [AO] // [CD] olduğuna göre, m(omd) = m(aob) = 4 olur. AO = OB AOB ikizkenar üçgen AOB ikizkenar üçgeninde iç açılar toplamından, α + α + 4 = 80 α = 56 α = 8 olarak bulunur. 8. KT = TL = 8 cm BM = cm OP = r Şekilde, arıçapı cm olan M merkezli çember, O merkezli, r arıçaplı çembere B noktasında içten teğet ve O merkezli çember içindeki [KL] kirişine de T noktasında teğettir. Buna göre, O merkezli çemberin arıçapı OP = r kaç cm dir? A) 0 B) C) D) E) 4
Çözüm 8 Teğet çemberlerde, merkezleri birleştirilen doğru, teğet noktasından geçer. Büük çemberde [KL] ve [BC] kirişleri T noktasında kesişmektedir. T noktasına göre kuvvet alınırsa, BT. TC = KT. TL 4. TC = 8.8 TC = 6 [BC] anı zamanda büük çemberin çapı olduğundan, BC = BT + TC = 4 + 6 = 0 BC = r r = 0 r = 0 bulunur. Not : Çemberde kuvvet bağıntıları P noktası çemberin içinde ve biri çemberi A ve B noktalarında, diğeri C ve D noktalarında kesen, iki kesen çizilirse, PA. PB = PC. PD olur.
9. O merkezli çember içine çizilen ukarıdaki düzgün altıgende K, L ve M bölgelerinin alanları hangi saılarla orantılıdır? K L M A) 6 B) 5 6 C) 6 D) 4 5 E) 4 6 Çözüm 9 Düzgün altıgende karşılıklı köşeleri birleştirilen köşegenler, altıgeni altı eşkenar üçgene aırırlar. Eşkenar üçgende, ükseklik = kenarorta olduğundan üçgenin alanını iki eş parçaa böler. Dolaısıla, M alanı 5 parçadan L alanı 4 parçadan K alanı parçadan oluşur. K, L, M bölgelerinin alanları, 4, 5 saıları ile orantılıdır.
40. Şekilde, taban arıçapı 6 cm olan dik koninin tepe noktası ve taban çemberi, O merkezli kürenin üzeindedir. Dik koninin hacmi 6π cm olduğuna göre, kürenin arıçapı kaç cm dir? A) 9 B) 0 C) D) E) 5 Çözüm 40 V koni =..r². h π 6π =. π.6². h h = 8 OHB dik üçgeninde HB = 6, OB = R ve OH = 8 R olacağından, R² = 6² + (8 R)² (pisagor) R = 0 elde edilir.
4. Şekildeki çember d doğrusuna T noktasında, eksenine ise A( m(toa) = 60 o olduğuna göre, çemberin arıçapı kaç birimdir?, 0) noktasında teğettir. A) B) C) D) E) 4 Çözüm 4 M noktası çemberin merkezi olsun. [OM], TOA açısının açıortaı olacağından, m(moa) = m(mot) = 0 olur. [MA] [OA] olduğundan, MOA üçgeni, 0 60 90 üçgeni olur. OA = r = MA = bulunur. Not : [OP] açıortadır.
4. Denklemleri d : + = 9 ve d : = 5 olan doğruların grafikleri, koordinat düzlemini şekildeki gibi beş bölgee aırmıştır. Buna göre, + > 9 ve < 5 eşitsizliğini sağlaan (, ) ikilileri hangi bölgededir? A) I. B) II. C) III. D) IV. E) V. Çözüm 4 + > 9 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulmak için, O(0, 0) başlangıç noktasını denklemde erine azalım. 0 > 9 O(0, 0) noktasının bulunduğu bölge olamaz. O halde I. ve II. bölgeler olur. < 5 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulmak için, O(0, 0) başlangıç noktasını denklemde erine azalım. 0 < 5 O(0, 0) noktasının bulunduğu bölge olur. O halde II., III. ve IV. bölgeler olur. Ortak çözüm kümesi II. bölgedir.
4. a 0 olmak üzere, denklemi a = olan doğru, koordinat eksenlerini K ve L noktalarında kesmektedir. M(6, 0) noktası için KLM üçgeninin alanı cm olduğuna göre, a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) B) 6 C) 8 D) 0 E) Çözüm 4 I. Yol a = = 0 için = L(0, ) = 0 için = a K(a, 0) olsun. oluşan KLM üçgeninin köşe noktalarını koordinatları, M(6, 0), L(0, ), K(a, 0) ise koordinatları belli olan üçgenin alan formülüne göre, 0 alan (KLM) =. 6 0 a a 0 0 =. ( ).a 6.( ) 4 = a + 48 a + 48 = 4 a = 8 a + 48 = 4 a = 4 8 + 4 =
II. Yol a = = 0 için = K(0, ) = 0 için = a L(a, 0) M(6, 0) a noktası için : a > 6 vea a < 6 olabilir. a < 6 ise Alan(KLM) = olduğuna göre, (6 a). = a = 8 a > 6 ise Alan(KLM) = olduğuna göre, ( 6). = a a = 4 Buna göre, 8 + 4 = elde edilir.
Not : Köşeleri A(a, b), B(c, d), C(e, f) olan üçgenin alanı, Alan (ABC) =. a c e b d f ifadesinin mutlak değeri ile bulunabilir. Alan (ABC) =. a c e b d f =. a c e a c b d f b d + + + Alan (ABC) =. [a.d. + c.f. + e.b.] [c.b. + a.f. + e.d.] Alan (ABC) =. [a.d + c.f + e.b] [c.b + a.f + e.d] Not : Köşeleri A(a, b), B(c, d), C(e, f) olan üçgenin alanı, Üçgenin koordinatları alt alta azılır. Đlk azılan alta bir daha azılır. Okların belirttiği çarpmalar apılır. Alan (ABC) =. (a.d + c.f + e.b) (b.c + d.e + f.a)
44. Şekildeki koordinat düzleminde, b > 0 olmak üzere, A(0, 5), B( 7, ), C(4, 0) ve D(0, b) noktaları verilmiştir. A(ABC) = A(ABD) olduğuna göre, CD doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 7 = 4 B) 5 = C) 7 + = 8 D) 8 4 = 6 E) 9 = 8 Çözüm 44 I. Yol A(ABC) = A(ABD) olduğuna göre, AB // CD olmak zorundadır. (ükseklikler eşit) Paralel doğrularda eğimler eşit olduğundan, m AB = m DC m AB = 5 ( ) 0 ( 7) = 7 Eğimi ve C(4, 0) noktası bilinen doğru denklemi, 7 = 0 4 7 + = 8 olur.
II. Yol A(ABC) = A(ABD) A(0, 5), B( 7, ), C(4, 0), D(0, b) 0 4 7 5 0. = 0 7 5 0. b. + + + 5 0 5 7 0 4 7 0 =. + + + 5 5 7 0 0 7 0 b 0.( ). + ( 7).0. + 4.( 5). ( 7).( 5). 0.0. 4.( ). = 0.( ). + ( 7).b. + 0.( 5). ( 7).( 5). 0.b. 0.( ). 0 + 0 0 5 0 + = 0 7b + 0 5 0 0 4 = 7b 5 7b + 5 = 4 b = 7 8 C(4, 0), D(0, 7 8 ) CD doğrusunun denklemi : 0 4 4 7 8 0 0 = 4 4 8 7 = 8 = 7 7 + = 8 elde edilir.
Not : Đki noktası bilinen doğrunun eğimi A(, ) ve B(, ) m = Not : Đki noktası bilinen doğru denklemi A(, ) ve B(, ) = Adnan ÇAPRAZ adnancapraz@ahoo.com AMASYA