KONU 8: SİMPLEKS ABLODA KARŞILAŞILAN BAZI DURUMLAR - II 8.. İki Evreli Yöntem Standart biçime dönüştürülmüş min /max Z cx AX b X (8.) biçiminde tanımlı d.p.p. nin en ii çözüm değerinin elde edilmesinde, A katsaılar matrisinde birim matris olmaması durumunda, simpleks algoritmasının kullanımı için geliştirilen bir diğer aklaşım İki Evreli Yöntem dir. Yöntemin birinci evresinde apa değişkenler sıfıra götürülerek verilen d.p.p. ne bir başlangıç temel ugun çözüm araştırılır. İkinci evrede, hiç apa vektör içermeen a da sıfır düzede apa vektör içeren bir temel ugun çözüm ile başlanarak, (8.) ifadesi ile tanımlı d.p.p. nin çözümü bulunur. Buna göre, en ii değeri elde edilmek istenilen d.p.p. min Z cx AX b X, vea max Z cx AX b X, (8.2) (8.3) biçiminde olur. İlk evrede orijinal değişkenlerin ve problemi standart hale getirmek için kullanılan değişkenlerin fiatları sıfır olarak alınır. Buna göre, Z (8.4) vea Z (8.5) olur. Simpleks öntemde hiç bir zaman negatif değer alamaz. En düşük sıfır olabilir. O zaman Z nin en düşük değeri sıfır olur. Bu durumda ancak nedenle Z olunca Evre-I in sonunda üç durum söz konusudur. olması ile olanaklıdır. Bu NO: (8.) ifadesi ile tanımlı d.p.p. nin en ii çözümünün bulunabilmesi için, birim matris oluşturmak amacıla eklenen apa değişkenlerin sıfır olması gerekir. Çünkü, AX b sisteminin çözümü alnız ve ancak AX b sisteminde olması ile mümkündür. Bu sistemin çözümü için Charnes in M Yöntemi ve İki evreli Yöntem geliştirilmiştir.
Durum : En iilik koşulu sağlandığında, max Z a da min Z ise, bir a da daha çok apa değişken temelde pozitif düzede kalmıştır. Bu durumda Evre-II e geçilemez. Problemin formülasonu hatalıdır. erilen d.p.p. nin ugun çözümü bulunamaz. Durum 2: En iilik koşulu sağlandığında, max Z a da min Z ve temelde apa değişken ok ise, Evre-I in son tablosu Evre-II nin ilk tablosu olacak biçimde Evre-II e geçilir. Bu evrede d.p.p. model değişkenlerine kendi fiatları verilir. Simpleks öntemin bilinen adımları ugulanır. Durum 3: En iilik koşulu sağlandığında, max Z a da min Z ve temelde sıfır düzeli apa değişken/değişkenler var ise, d.p.p. ne temel olmaan bir ugun çözüm bulunmuş olur. Evre-I sonunda temelde sıfır düzeli apa değişkenler var ise, bu apa değişkenlerin Evre-II de pozitif düzeli olması olasıdır. Eğer bu apa değişken/değişkenler pozitif düzeli hale gelirse, amaç fonksionunun değeri minimum problemde artar ki bu da Simpleks öntemin apısına akırı bir durumdur. Bunu önlemek için şu durumlara dikkat etmek gerekir: a. Evre-I sonunda temelde sıfır düzeli apa değişken olsun. emelin apa değişken içeren satırında temel dışı tüm değişkenler için ij ise, bu apa vektör temelden atılır. Daha küçük bir temel ile Evre-II e geçilir. Çünkü bu apa değişken X Br rk XBi min : ik ik (8.6) ölçütüne göre temelden çıkamaz. Bu durum kısıt kümesinde artık kısıt olduğunu gösterir. j için olan i. satır tablodan çıkarılır. Burada, i. kısıt artık kısıt tır. ij b. Evre-I sonunda, bir a da daha fazla apa değişken sıfır düzede temelde olsun. Yapa değişkenin bulunduğu satırda bir a da daha çok ij olsun. Evre-II nin her inelemesinde apa değişkenlerin sıfır düzeli kalacağından emin olmalıız. Evre-II de temele girecek vektörü belirlemek için her zaman kullanılan ölçüt kullanılır. emelde sıfır düzede apa değişken içeren bir a da daha çok i için ij ise, i. apa değişken temelden arılabilir ve a j temele alınır. emeldeki değişkenlerin değeri 2
değişmez. Eğer temelde birden çok apa değişken var ise, bu değişkenlerin değeri ine sıfır düzede kalacaktır. Bu durum bozulmuş çözüm dür. c. Evre-I sonunda, bir a da daha fazla apa değişken sıfır düzede olsun. emelin ap değişken içeren i. satırında temel dışı değişkene ilişkin bir a da daha çok olsun. Bu durumda, a k temele alınır. emelden çıkacak vektör seçimi için her zamanki ölçüt kullanılamaz. Bu ölçüt kullanılırsa d.p.p. nin modellenmesinde kullanılan değişkenlerden biri temelden çıkar. emelden çıkan değişkene ilişkin değer ik X Br olsun ( XBr ). ik olan apa değişken değeri XBi olduğundan, eni temelde bu apa değişken değeri ˆ XBr XBi XBi ik (8.7) rk olur. Elde edilecek olan bir sonraki simpleks tabloda apa değişken pozitif düzeli olarak temelde olacaktır. Bu istenilmeen bir durumdur. Bu durumdan kurtulmak için orijinal vektörün temelden çıkması erine ik olan apa değişkenlerden biri temelden çıkarılır. Bu durumda bozulmuş çözüm e ulaşılır. Örnek : (Durum ) P : min Z X 3X X X X2 2X3 4 X X3 4 X3 3 X, X, X 2 3 2 3 biçiminde tanımlı d.p.p. nin simpleks tablo ile en ii çözümünü bulunuz. Çözüm: erilen primal d.p.p. standart hale getirilir. P : min Z X 3X X X X X X X2 2X3 X4 4 X X3 X5 4 X3X6 3 X, i,2,...,5 i 2 3 4 5 6 2 A, 4 b 4 3 3
A katsaılar matrisinde birim matris olmadığından, standart haldeki primal probleme İki Evreli öntem ugulanarak, apa değişkenler eklenir. P : min Z X 3X X X X X X X2 2X3 X4 4 X X3 X5 2 4 X3 X6 3 3 X, i,2,...,5 i 2 3 4 5 6 2 3 2 A A katsaılar matrisinde birim matris oluşturulur. Buna göre, apa değişkenler hariç diğer değişkenlerin fiat değerleri sıfır alınarak, Evre-I de simpleks tablo ile çözümleme apılır. Evre-I ablo-i 4 X B 2 3 4 5 6 2 3 X 4 2 2 4 - - 3 3 - Z 7-2 - - olmalı ablo-ii 3 X B 2 3 4 5 6 2 3 X 2 /2 /2 /2 2 2-3/2 -/2 -/2-3 -/2 -/2 -/2 - Z 3-2 - - - - sağlandı Evre-I sonunda en iilik koşulu sağlandı. erilen d.p.p. için Z 3 olduğundan, temelde pozitif düzeli apa değişken vardır. erilen problemin formülasonu hatalıdır. Ugun çözüm oktur. Evre-II e geçilemez. 4
Örnek 2: (Durum 2) P : min Z 4X 6X 2XX2 3 X3X2 7 X, X 2 2 biçiminde tanımlı d.p.p. nin simpleks tablo ile en ii çözümünü bulunuz. Çözüm: erilen primal d.p.p. standart hale getirilir. P : min Z 4X 6X X X 2X X2 X3 3 X 3X2 X4 7 X, X, X, X 2 3 4 2 3 4 2 A 3, 3 b 7 A katsaılar matrisinde birim matris olmadığından, standart haldeki primal probleme İki Evreli öntem ugulanarak, apa değişkenler eklenir. P : min Z 4X 6X X X 2X X2 X3 3 X 3X2 X4 2 7 X, X, X, X,, 2 3 4 2 2 3 4 2 2 A 3 A katsaılar matrisinde birim matris oluşturulur. Buna göre, apa değişkenler hariç diğer değişkenlerin fiat değerleri sıfır alınarak, Evre-I de simpleks tablo ile çözümleme apılır. Evre-I ablo-i X B 2 3 4 2 3 2-2 7 3 - Z 3 4 - - olmalı 5
ablo-ii X B 2 3 4 2/3 5/3 - /3 X 2 7/3 /3 -/3 Z 2 / 3 5/3 - /3 olmalı ablo-iii X B 2 3 4 X 2/5-3/5 /5 X 2 /5 /5-6/5 Z sağlandı Evre-I sonunda en iilik koşulu sağlandı. erilen d.p.p. için Z olduğundan ve temelde apa değişken bulunmadığından Evre-I in son tablosu, Evre-II nin ilk tablosu olacak biçimde Evre-II e geçilir. Evre-II nin ilk tablosunda d.p.p. model değişkenlerine kendi fiatları verilir ve simpleks öntem ile devam edilir. Evre-II ablo-i 4 6 4 X B 2 3 4 X 2/5-3/5 /5 6 X 2 /5 /5-6/5 Z 74 / 5-6/5-8/5 sağlandı Evre-II nin ilk tablosunda en iilik ölçütü sağlanmıştır. emelde apa değişken oktur. erilen d.p.p. nin en ii çözümü elde edilmiştir. 2 / 5 X / 5 ve Z 74 / 5 6