İÇİNDEKİLER VERİ, SAYMA VE OLASILIK (8 Saat) Ünite Kazanımları... 4 Sayma Permütasyon (Sıralama) (6 saat)... 7 Konu Kavrama (Kazanım,,, 4,, 6, 7, 8)... 8 Pekiştirme Testi... Tekrarlı Permütasyon (6 saat)... 4 Konu Kavrama (Kazanım 9, 0,, )... Pekiştirme Testi... 7 Kombinasyon (Seçme) (8 saat)... 9 Konu Kavrama (Kazanım, 4,, 6, 7, 8, 9, 0)... 0 Pekiştirme Testi... 4 Paskal Üçgeni ve Binom Açılımı (6 saat)... 6 Konu Kavrama (Kazanım,,, 4,, 6, 7, 8)... 7 Pekiştirme Testi 4... Basit Olayların Olasılıkları ( saat)... Konu Kavrama (Kazanım 9, 0,,,, 4,, 6, 7, 8)... 4 Pekiştirme Testi... 9 PISA... 4 Tam Tur... 4 Acemi Testleri,,... 4 Amatör Testleri,... Uzman Testleri,... Şampiyon Testleri,... 9 ÖSYM Soruları... 6
KAZANIMLAR Kazanım,,, 4 : Saymanın temel ilkelerini kavrar. Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma yöntemlerini kullanarak hesaplar. Kazanım : Faktöriyeli kavrar ve faktöriyel ile ilgili işlemler yapar. Kazanım 6, 7, 8 : Permütasyonu kavrar ve permütasyon uygulamaları yapar. Kazanım 9, 0,, : Tekrarlı permütasyonu kavrar ve tekrarlı permütasyonla ilgili uygulama yapar. Kazanım, 4,, 6, 7 : Kombinasyonu kavrar ve kombinasyon uygulamaları yapar. Kombinasyon kavramı alt küme sayısı ile ilişkilendirilir. Kazanım 8, 9, 0 : Kombinasyonun geometrik uygulamalarını kavrar. Kazanım : Paskal üçgenini kavrar. Kazanım,,..., 8 : Binom açılımını kavrar ve binom açılımı içeren uygulamalar yapar. Kazanım 9, 0 : Örnek, uzay, deney, çıktı, bir olayın tümleyeni, kesin olay, imkânsız olay, ayrık olay ve ayrık olmayan olay kavramlarını açıklar. Kazanım,,..., 8 : Basit olayların olasılıkları ile ilgili uygulama yapar. Anahtar Kelimeler Toplama Yöntemi Çarpma Yöntemi Sayma Permütasyon Tekrarlı Permütasyon Faktöriyel Kombinasyon Paskal Üçgeni Binom Açılımı Olasılık Örnek Uzay Olay Deney, Çıktı Kesin Olay İmkânsız Olay Bir Olayın Tümleyeni Ayrık Olaylar Ayrık Olmayan Olay Bilgi ve İletişim Teknolojisi Kullanımı Bilgisayar, tablet, cep telefonu vb. cihazlarınızdan KAZANIMLAR www.desmos.com www.wolframalpha.com https://phet.colorado.edu/tr www.geogebra.org sitelerinden herhangi birine girerek, denklem çözümü, eşitsizlik çözümü, grafik çizimi vb. işlemleri yaparak öğrendiğiniz konularla ilgili daha detaylı ve görsel bilgilere ulaşabilirsiniz. 6
Sayma, Permütasyon (Sıralama) BİLGİ Toplama Yolu İle Sayma A ve B sonlu ayrık olaylar olmak üzere, bu olaylardan AKLINDA OLSUN A olayı a farklı şekilde, Her birinden istenilen B olayı b farklı şekilde sayıda gerçekleşebiliyorsa A veya B olayları a + b farklı şekilde gerçekleşir. koşulsuz ve sınırsız olarak kullanılabilen n çeşit nesne verilmiş olsun. Bu nes- Çarpma Yolu İle Sayma Herhangi ikisi ayrık olan olaylardan, nelerden oluşturula- bilecek "r"li dizilişlerin sayısı P ise, P = nr dir.. olay a farklı şekilde. olay a farklı şekilde h n. olay an farklı şekilde gerçekleşiyorsa,,,..., n olayları birlikte a a a.... an farklı şekilde gerçekleşir. Faktöriyel ve Permütasyon (Sıralama) n! = n (n ) (n )... Sabit İbn Kurra n! = n (n )! = n (n ) (n ) (n )! 86'da Harran'da doğmuştur. Yaşadığı çağın en büyük matematikçilerindendir. Sayılar, geometri ve trigonometri üzerine bir çok çalışma yapmıştır. 90 yılında Bağdat'ta vefat etmiştir. 0! =,! = r n ve r, n N olmak üzere n farklı elemandan r tanesinin sıralanmasına n nin r li permütasyonu denir ve P(n, r) ile gösterilir. Sonlu bir kümenin elemanlarının tamamının veya bir kısmının belirli bir sıra ile dizilişlerinden herbirine o kümenin bir permütasyonu denir. n! şeklinde hesaplanır. (n r )! Ayrıca P(n, r) = n (n ) (n )... (n r + ) dir. r tane çarpan Özellikler n! n! =n (n )!. P (n, n) = n! = n! 0! 4. P (n, n ) = n farklı nesne n farklı yere P(n, n) şekilde yerleştirilir. Çarpım kuralı yöntemi ile de. P (n, 0) = n! =. P (n, ) = AKLINDA OLSUN n! = n!! n n n... n yer = n (n )... = n! ayrı sonuç elde edilir. BİLGİ P (n, r) = 7
KAZANIM KAZANIM. pantolon ve 8 gömlek arasından bir pantolon veya bir gömlek kaç farklı şekilde seçilebilir? A) B) C) 8 D) E) 40 + 8 =. Bir kahve evinde 8 çeşit kahve ve çeşit pasta vardır. Bunlar arasından bir kahve veya bir pasta kaç farklı şekilde seçilebilir?. A B C A şehrinden B şehrine farklı, B şehrinden C şehrine farklı yol vardır. Buna göre, A dan C ye B den geçmek şartıyla kaç farklı yolla gidilebilir? A) B) C) D) 6 E) 9 = 6 A) B) C) 8 D) E) 4 8 + = 4. Bir lokantada çeşit çorba ve 7 çeşit yemek vardır. Bu lokantaya giren bir kişi bir çorba veya bir yemek çeşidini kaç farklı şekilde seçebilir? A) B) C) 7 D) E) + 7 =. Birbirinden farklı tişört ve pantolon arasından bir tişört ve bir pantolon kaç farklı şekilde giyilebilir? A) B) C) D) 8 E) =. farklı Matematik ve 4 farklı Fizik kitabı arasından Matematik ve Fizik kitabı kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 4 B) C) 0 D) 4 E) 4 4. Bir sınıfta kız ve 8 erkek öğrenci bulunmaktadır. Buna göre, bu sınıftan kaç farklı sınıf başkanı seçilebilir? A) 8 B) C) D) 40 E) 0 + 8 = 4 = 0 4. Bir okulun katı, her katta sınıfı ve her sınıfta öğrencisi vardır. Buna göre, bu okulda aynı anda en çok kaç öğrenci ders yapabilir? A) 0 B) 00 C) 96 D) 9 E) 90. Bir kişi 40 Türkçe, İngilizce, 8 Fransızca yayın yapan televizyonda herhangi bir dilde yayın yapan bir kanalı kaç farklı şekilde izleyebilir? A) 60 B) C) 48 D) 40 E) 0 = 0. 4 farklı oyuncak çocuğa kaç farklı şekilde verilebilir? A) 7 B) C) 6 D) 64 E) 8 KAVRAMA 40 + + 8 = 60. D. E. B 4. C. A 4 = 8. D. C. C 4. A. E 8
KAZANIM KAZANIM 4. A = {,,, 4,, 6, 7} kümesinin elemanları ile basamaklı kaç sayı yazılabilir? A) 7 B) 7 C) 7 6 D) 7! E)! 7 7 7 = 7 A = {0,,,, 4, } kümesi veriliyor. A kümesinin elemanları ile üç basamaklı;. Kaç sayı yazılabilir? A) 40 B) 80 C) 60 D) 44 E) 96 66& 66 = 80. A = {,,, 7, 9} kümesinin elemanları ile basamaklı rakamları farklı kaç sayı yazılabilir? A) B) 8 C) 7 D) 60 E) 48 4 = 60. Rakamları farklı kaç sayı yazılabilir? A) 80 B) 0 C) 00 D) 96 E) 48 4 & 4 = 00. A = {,, 4,, 6} kümesinin elemanları ile rakamları farklı ile bölünen basamaklı kaç sayı yazılabilir? A) B) C) 8 D) E) 60 4& 4 = { }. Kaç tek sayı yazılabilir? A) 80 B) 0 C) 00 D) 90 E) 64 6 & 6 = 90 {,, } 4. A = {,,, 4, 6} kümesinin elemanları ile basamaklı kaç çift sayı yazılabilir? A) B) 7 C) 64 D) 0 E) 48 4. ile bölünebilen kaç sayı yazılabilir? A) 80 B) 0 C) 00 D) 90 E) 60 6 & 6 = 60 { 0, } & = 7 { 46,, }. A = {,,, 4, } kümesinin elemanları ile basamaklı kaç tane tek sayı yazılabilir? A) B) 7 C) 64 D) 0 E) 48 & = 7 {,, }. B. D. A 4. B. B. ile bölünebilen rakamları farklı kaç sayı yazılabilir? A) 96 B) 64 C) 48 D) 6 E) 4 4+ 4 4 { 0} { } 4 + 4 4 = 6. B. C. D 4. E. D KAVRAMA 9
KAZANIM KAZANIM 6. Aşağıda verilen ifadelerin eşitlerini bulunuz. a) 6! +! b) 6!! c) 6!! 6! d)!. P(4, ) + P(, ) P(, ) işleminin sonucu kaçtır? A) 8 B) 0 C) 4 D) 6 E) 8 4!!! + = + 0 6 = 6!!!.. 4.. a) 70 + 0 = 840 b) 70 0 = 600 c) 70 0 6! d) = 6! (n + )! (n )! işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) (n + ) B) (n ) C) n + D) n + n E) n + n ( n+ ) n ( n )! = n + n ( n )! 0! +! +! işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 0! B)! C)! D) E) 0 0!( + + ) 0! 44 = = 0! 7! $ 0!! işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 7! B) 6! C)! D) 7 E) 7 6 76! = 4! 7! = ise a kaçtır? a $ A) B) C) 4 D) E) 6. A = {b, j, k, ş, m, p} kümesinin üçlü permütasyonlarının sayısı kaçtır? A) 0 B) 80 C) 7 D) 60 E) 7 P(6, ) = 6 4 = 0. A = {,,, 4, } kümesinin üçlü permütasyonlarının kaçında bulunur? A) 60 B) 48 C) 6 D) 4 E) 0 Tüm üçlü permütasyonlar İçinde olmayanlar P(, ) P(4, ) = 4 4 = 60 4 = 6 4. 4 P(, ) = P(n, n) eşitliğini sağlayan n değeri kaçtır? A) B) 4 C) D) E)! 4 = n! ( 4! = n! ( n = 4!. P(n, ) + P(, ) = 8 P(4, ) eşitliğini sağlayan n değeri kaçtır? A) 8 B) 9 C) 0 D) E) KAVRAMA Y76 4 a a = 7 ( = 6 a = 4. a) 840 b) 600 c) 70 0 d) 6. D. A 4. E. C n! 4! +! = 8 ( n ( n ) = 90 ( n )! n = 0. D. A. C 4. B. C 0
KAZANIM 7 KAZANIM 8. 4 kişi yan yana duran koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir? A) 8 B) C) 6 D) 4 E) P(4, ) = 4 =. farklı Tarih, 4 farklı Türkçe ve farklı Coğrafya kitabı bir rafa dizilecektir. a. Kitaplar rafa kaç farklı şekilde dizilebilir? A) 0 B) 9!! C)!! 4!! D) 6!! E)! ( + 4 + )! =!. sürücü yan yana bulunan 6 park yerine araçlarını kaç farklı şekilde park edebilir? A) 6 B) 44 C) 0 D) 96 E) 64 P(6, ) = 6 4 = 0 b. Aynı tür kitaplar yan yana olacak şekilde kaç farklı şekilde dizilebilir? A) 0 B) 9!! C)!! 4!! D) 6!! E)! C 4T T =! 4!!!. "ÇAP" kelimesinin harfleri kaç değişik biçimde sıralanabilir? A) B) C) D) 6 E) 7 P(, ) = = 6 c. Coğrafya kitapları başta ve sonda olmak şartıyla kaç farklı şekilde dizilebilir? A) 0 B) 9!! C)!! 4!! D) 6!! E)! C Dokuz kitap C & 9!! 444444444444444 4. takımın katıldığı bir turnuvada ilk üç derece kaç farklı şekilde oluşabilir? A) 6 B) 44 C) 0 D) 60 E) 4 P(, ) = 4 = 60. kız ve 7 erkek öğrenci bir sıra boyunca erkekler yan yana olmak şartı ile kaç farklı şekilde sıralanabilir? A) 0! B)! 8! C) 4! 7! D)! 7! E)! 4! KKK 7 ERKEK = 4! 7!. 4 arkadaş bir sinemadaki yan yana 4 koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir? A) 6 B) 44 C) 0 D) 60 E) 4 P(4, 4) = 4! = 4. B. C. D 4. D. E. Bir sınıftaki 8 kız ve erkek öğrenci şekildeki platformda kızlar yan yana ve erkekler yan yana olmak üzere iki sıra halinde kaç farklı şekilde dizilerek yıllık fotoğrafı çektirebilir? A) 0! B) 8!! C) 8!!! D) 8!!! E) 8!! 8!!! (Erkekler ve kızlar sıra değişebilir.). a) E b) C c) B. C. D KAVRAMA
Sayma, Permütasyon (Sıralama) PEKİŞTİRME TESTİ. arkadaş bir sinemadaki koltuğa kaç farklı şekilde oturabilir? A) B) 0 C) D) 0 E) P(, ) =! = 0. Birbirinden farklı matematik, fizik ve biyoloji kitabı bir rafa aynı tür kitaplar yanyana gelecek şekilde kaç farklı şekilde sıralanabilir? A) 0 B) C) 44 D) E) 60 M F B!!!! = 6 6 = 44. A = {,,, 4, } kümesinin elemanları ile rakamları farklı üç basamaklı kaç tek sayı yazılabilir? A) 8 B) 0 C) D) 4 E) 6 4 ( 4 = 6 {,, } 6. erkek ve kız bir sırada kızlar yanyana gelecek şekilde kaç farklı oturabilirler? A) 8! B) 7! C)! 4! D) 6!! E) 6!! K EEE ( 4!!. A şehrinden B şehrine 6 farklı yol ve B şehrinden C şehrine farklı yol vardır. Giderken kullanılan yol kullanılmamak ve B şehrine uğramak koşuluyla kaç değişik yoldan A şehrinden C şehrine gidilip dönülebilir? A) 600 B) 00 C) 400 D) 00 E) 00 6 4 = 600 7. Bir doktor, bir hemşire ve 6 sağlık memurdan oluşan bir ekip yan yana bir uçta doktor, diğer uçta hemşire olmak şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilirler? A) 440 B) 80 C) 60 D) 00 E) 960 H SSSSSS D ( 6! = 440 PEKİŞTİRME 4. 0 kişinin katıldığı bir yarışmada ilk derece kaç farklı şekilde oluşabilir? A) 90 B) 86 C) 84 D) 80 E) 76 P(0, ) = 0 9 = 90 8. Aynı anda oynanan üç futbol maçı kaç farklı şekilde sonuçlanabilir? A) 8 B) 7 C) 9 D) 6 E) = = 7
9. A = {0,,,, 4,, 6} kümesinin elemanları ile üç basamaklı, rakamları farklı ile bölünebilen kaç farklı doğal sayı yazılabilir? A) B) 0 C) D) 8 E) 00 6 + = {0} {} 0! $!. 0! ifadesinin eşiti kaçtır? A) 0 B) C) D) E) Tanımsız = 0. seçenekli 6 soruya ait cevap anahtarı oluşturulmak isteniyor. Birbirini takip eden herhangi iki sorunun cevabı farklı olmak üzere bu cevap anahtarı kaç farklı şekilde oluşturulabilir? A) 9 B) 94 C) 96 D) 98 E) 00 P( 0, ) 4. ifadesinin eşiti kaçtır? P( 4, ) A) 4 B) C) 6 D) 8 E) 0 0! 7! 4!! 0 98 = = 0 4 = = 96. A = {, 4, 6, 8} kümesinin elemanları ile rakamları farklı üç basamaklı sayılar küçükten büyüğe sıralanıyor. Buna göre 648 sayısı baştan kaçıncı sırada yer alır? A) B) 4 C) D) 6 E) 7 4 ( 4 = 4 tane sayı var. 6 tane ile başlayan 6 tane 4 ile başlayan 6 tane 6 ile başlayan 64, 68, 64, 648, 68, 684. 4.. 6.. Bir TV programına katılan bayan, bay konuk baylar yan yana ve bayanlar yan yana olmak şartıyla bir sırada kaç farklı şekilde oturabilirler? A)!!! B) (!)! C)!!! D)! E)!! EEE KK!!! ( n + )!. = 4 ise n kaçtır? ( n )! A) 4 B) C) 6 D) 7 E) 8 ( n+ ) n( n )! = 4 ( n = 6 ( n )! 6. A = {0, 4,, 6, 7, 8} kümesinin elemanları ile rakamları farklı üç basamaklı kaç sayı yazılabilir? A) 6 B) 44 C) 0 D) 00 E) 64 4( 4 = 00 PEKİŞTİRME. B. E. A 4. A. C 6. C 7. A 8. B 9. C 0. C. D. C. B 4. E. A 6. D
Sayma ve Olasılık PISA ÜRÜN KODLAMA Bir firma her gün stoklarına giren ürünleri kodlamak için 8 haneli bir kodu aşağıdaki gibi oluşturuyor. Ürün hangi ay geldi ise o ayın isminin ilk ve son harfi kodun ilk hanesini, kaçıncı gün geldi ise o günün sayısı kodun ve 4. hanelerini, Türk alfabesinden iki harf ile sıfırdan farklı bir rakam kullanılarak da kodun son hanesini oluşturuyor. Örneğin ŞT AB9 kodu ürünün ŞUBAT günü geldiğini gösteriyor.. TZ AB kodlu ürün hangi ayın kaçıncı günü gelmiştir? TEMMUZ. Eylül ayının herhangi bir gününde stoğa girebilecek ürün miktarı en çok kaçtır? 9 9 9 = 769. Eylül ayında toplam stoğa girebilecek toplam ürün miktarı en çok kaçtır? 769 0 = 7070 PISA 4
4.. ve 4. hanesindeki sayı olan bir üründeki kodun ilk iki harfi ne olabilir? gün olan aylar olabilir. OK, MT, MS, TZ, AS, EM, AK. Kodu silinmiş bir üründeki kod aşağıdaki şekilde görünmektedir. M AT4 Buna göre, bu ürünün Mayıs ayında gelmiş olma olasılığı kaçtır? MT (Mart) MS (Mayıs) EM (Ekim) KM(Kasım) & 4 PISA 4. Temmuz. 769. 7070 4. OK, MT, TZ, AS, EM, AK. /4
İyi bir başlangıç, yarı yarıya başarı demektir. Andre Gide ACEMİ. 0 atletin katıldığı bir koşuda ilk iki derece kaç farklı şekilde oluşabilir? A) 00 B) 90 C) 80 D) 70 E) 0. Bir zar iki kez atılıyor. Zarın üst yüzünde okunan sayıların aynı olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) 6 6 6 6 0 9 = 90 {(, ), (, ), (, ), (4, 4), (, ), (6, 6)} 6 = 6 6. Ankara'dan İzmir'e otobüs, 4 tren ve uçak gitmektedir. Ankara'dan İzmir'e gidecek bir kişi kaç farklı seçim yapabilir? A) B) 60 C) P(,) D) P(,) E) P(,) 6.!!! + 0! işleminin sonucu kaçtır? A) 80 B) 90 C) 0 D) 0 E)!!! = = 0! + 0! 0! + 4 + =. Şekildeki eş karelerin bir kısmının zemini mavi ile boyanmıştır. Seçilen br lik bir karenin zemininin mavi boyalı olma olasılığı kaçtır? 7 A) 0 9 B) 0 C) 0 D) E) 4 7. Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan altı nokta veriliyor. Bu noktalardan kaç doğru geçer? A) 8 B) 0 C) D) E) 0 6 c m= 7 P(M) = 0 4. Bir yüzü beyaz, yüzü mavi, yüzü sarı boyalı bir zar atılıyor. Üst yüzde görünen rengin sarı olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) 6 6 = 6 8. (x 4y) açılımında oluşan terimlerin katsayıları toplamı kaçtır? A) B) 0 C) D) E) ( - 4 ) = - ACEMİ 4
9. "976" sayısındaki rakamların yerleri değiştirilerek birbirinden farklı altı basamaklı kaç farklı doğal sayı yazılabilir? A) 0 B) 0 C) 84 D) 0 E) 44 6! 6 4! = = 0!!. Bir öğrenci 0 soruluk bir sınava girecek ve beş soru cevaplayacaktır. Öğrenci bu sınavda soruyu kaç değişik şekilde seçebilir? A) B) 6 C) 60 D) 6 E) 7 c 0 m= 0. 9 elemanlı bir kümenin elemanlı kombinasyonlarının sayısı kaçtır? A) 84 B) 76 C) 68 D) 48 E) 6 9 9 8 7 e o= =84 4. Herhangi üç tanesi doğrusal olmayan 7 nokta ile kaç farklı üçgen oluşturulabilir? A) B) C) 49 D) 6 E) 77 7 7 6 e o= =. 9! sayısı, 7! sayısının kaç katıdır? A) 4 B) 6 C) 7 D) 8 E) 90 9! = 9 8= 7 7!. Beş erkek, dört kız öğrenciden oluşan bir grup içinden dört kişilik bir ekip seçiliyor. Ekipteki kişilerin ikisinin erkek, ikisinin kız olma olasılığı kaçtır? 8 0 4 A) B) C) D) E) 7 7 4 e o e o 0 = 9 e o 4 ACEMİ. Bir torbada aynı büyüklükte 8 kırmızı, mavi ve 6 yeşil kalem vardır. Torbadan çekilen bir kalemin kırmızı veya mavi olma olasılığı kaçtır? A) 9 8+ = 6 9 B) 9 7 C) 8 7 D) 6 E) 6 7 6. 4 farklı mavi renkli biblo, farklı kırmızı renkli biblo ve farklı yeşil renkli biblo bir rafa dizilecektir. Buna göre, mavi renkli biblolar bir arada olmak üzere kaç değişik sıralama yapılabilir? A) 6! 4! 9! B) 4! C) 4!! D) 4! E) 6 4! MMMM KKKYY 4! 6! 46. B. A. A 4. C. C 6. E 7. D 8. A 9. D 0. A. C. A. A 4. B. C 6. A
Yapmakta ısrar ettiğimiz şey giderek kolaylaşır. İşin doğası değiştiğinden değil, bizim yapma yeteneğimiz geliştiğinden. Ralph Waldo Emerson AMATÖR. 444400 sayısındaki rakamların yerleri değiştirilerek 7 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir? A) 7 B) 96 C) 0 D) 44 E) 80 7! - 6! = 0-0 = 7 4!.! 4!. kız 4 erkek bir platformda erkekler ve kızlar kendi aralarında yan yana gelmek şartıyla kaç farklı şekilde resim çektirebilirler? A)!! 4! B)! 4! C) 7! D)! 7! E) KKK EEEE! 4!! 7! 4!!. 7 kişiden 'ü bir minibüsü kullanabilmektedir. Minibüsü kullanabilen kişi önde oturmak şartıyla 7 kişi üçü önde dördü arkada kaç farklı şekilde seyahat edebilir? A)! 4! B) 6! C)! 6! D)! E) 4!!! 4! 6. İki zar atıldığında, zarların üst yüzüne gelen sayılardan en az birisinin gelme olasılığı kaçtır? A) B) C) D) 7 E) 8 6 6 8 tane ya da tane olabilir. (,), (,), (,), (4,), (,), (6,) (,), (,), (,), (,4), (,6) olur. 6. Üç zar atıldığında zarların yüzlerindeki sayıların toplamının olma olasılığı kaçtır? A) 8 B) 4 C) D) 6 E) {(,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, )} 6 = 6 6 7. Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının 'ten küçük ve tek olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) 6 6 Sadece olabilir 6 4. 4 harf ve 0 rakam kullanılarak Denizli iline ait 0 biçiminde harf ve rakamdan oluşan (örneğin 0 BJK 06) kaç plaka hazırlanabilir? A) 4 0 B) 4 0 C) 4 0 9 D) 4 0 9 E) 4 0 4 4 4 0 0 = 4 0 8. Bir çift zar birlikte atıldığında üste gelen sayıların toplamının 8 den küçük olma olasılığı kaçtır? 7 A) B) C) D) E) 4 (, 6) (, ) (4, 4) (4, ) (4, 6) (, 6) (, ) (, 4) (, ) (, 6) - = 6 (6, ) (6, ) (6, 4) (6, ) (6, 6) 7 AMATÖR
9. Bir futbol takımı kaleci ve 0 futbolcudan oluşur. Milli takıma seçilen 6 sporcudan 'ü kalecidir. Orta saha oyuncusu Cenk takım kaptanı olmak şartı ile kaç farklı şekilde oluşturulabilir? A) 80 B) 60 C) 60 D) 640 E) 660 c m c m = 660 (Cenk zaten takımda) 9. Bir yayınevi 8 pazarlama elemanından 4 ünü Adana'ya, 4 ünü Niğde'ye gönderecektir. Bu görevlendirme kaç farklı şekilde yapılabilir? A) 0 B) 00 C) 90 D) 80 E) 70 8 4 c m c m= 70 4 4 0. paralel 4 doğru paralel doğru Şekildeki paralel doğrularla kaç tane paralelkenar oluşturulabilir? A) 7 B) 64 C) 60 D) 6 E) 0 4. P(n, r) = C(n, r) x eşitliğinde x yerine aşağıdakilerden hangisi gelmelidir? A) r! B) n! C) (r )! D) (n )! E) (r n)! n! n! = x ( x = r! ( n r)! ( n r)! r! 4 c m c m= 60. Bir sinema salonunda ikisi aynı saatte film gösterilmektedir.. Bir sınıftaki 4 öğrenciden matematik yarışması için 6 kişi ve seçilen kişiler arasından bir grup sözcüsü kaç farklı şekilde seçilir? A) c 4 m B) 4 8 c 6 m c m C) c 4 6 m c 4 6 6 m c m D) 4 6 c 6 m c m E) c 4 6 mc m Bu sinemada iki film kaç farklı şekilde izlenebilir? A) 8 B) 6 C) D) 9 E) 6 A A B C D c m c m+ c m = 9 AMATÖR. kişilik yüzme takımından kişi seçilecektir. Bu kişinin ikisi belli olduğuna göre, kişi kaç farklı şekilde seçilebilir? A) 80 B) 90 C) 00 D) 0 E) 0 c 0 m= 0 6. Düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan altı nokta veriliyor. Bu noktaların belli birini köşe kabul edecek biçimde kaç dörtgen çizilebilir? A) 0 B) C) 4 D) E) 0 c m= 0. A. A. D 4. E. A 6. B 7. E 8. E 9. E 0. C. D. E. E 4. A. D 6. A
Bir şeyi gerçekten yapmak isteyen bir yol bulur; istemeyen mazeret bulur. E. C. McKenzie UZMAN. A = {,,, 4, } kümesinin elemanları ile rakamları farklı en çok basamaklı kaç çift sayı yazılabilir? A) 8 B) C) 4 D) 6 E) 40 basamaklı + basamaklı + basamaklı + 4 + 4 = 4. ( n+ )! ( n+ 4)! = ( n+ )! + ( n+ 4)! eşitliğini sağlayan n doğal sayısı kaçtır? A) 7 B) 8 C) 9 D) 0 E) ( n+ 4)!( n+ ) = ( n = 9 ( n+ 4)!( n+ + ). e 9 o+ e 9 o+ e 9 o+ e 9 o+ e 9 o 7 9 toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 4 B) C) 6 D) 7 E) 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 e o+ e o+ e o+ e o+ e o+ e o+ e o + e o+ e o+ e o= 9 7 9 8 6 4 0 ABBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBC ABBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBC x x x = 9 x = 8 6. A = {,,, 4,, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde bulunur? A) B) C) 70 D) 9 E) 6 {, -, -, -, -} 8 c m= 70 4. {0,,,, 4, } kümesinin elemanları ile rakamları farklı basamaklı kaç tane çift sayı yazılabilir? 7. A B C Şekildeki birbirine dik çizgiler bir şehrin sokaklarını göstermektedir. Buna göre, A dan C ye, B den geçmek şartıyla en kısa yoldan kaç faklı şekilde gidilebilir? A) 8 B) 40 C) 4 D) 46 E) 4+ 4 4 { 0} {, 4} 0 + = A) 48 B) 60 C) 7 D) 80 E) 96 A'dan B'ye kez sağa ve kez aşağıya gidileceğinden! (s, s, a) = farklı şekilde gidilebilir. B den C'ye! kez, sağ ve kez aşağı gideceğinde (s, s, s, a, a, a) 6! = 0 0= 60!! 4. E örnek uzayında A E dir. P(A) = P(A ı ) olduğuna göre, P(A) kaçtır? 6 4 A) B) C) D) E) 7 6 4 A A ı = E P(A A ı ) = P(A) + P(A ı ) PA ( ) PE ( ) = PA ( ) + 4 PA ( ) = PA ( ) = 4 8. evli çiftten oluşan bir gruptan iki kişi seçilip tatile gönderilecektir. Seçilen iki kişinin eş olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) 9 9 c m 0 c m = 9 UZMAN
9. 0 0 c m+ c m+ c m+ c m toplamının eşiti aşağıdakilerden 6 7 8 9 hangisidir? A) c m B) c m C) c m D) c m E) c 4 m 9 8 8 9 9 0 0 c m+ c m= c m 6 7 7 c m+ c m= c m 7 8 8 c m+ c m= c m 8 9 9. 7 evli çift arasından kişi seçilecektir. Bir evli çiftin bulunması koşuluyla kaç farklı şekilde seçim yapılabilir? A) 6 B) 69 C) 7 D) 80 E) 84 7 c m $ c m.. = 84 7çiftten Kalan biri kiflidenbiri 0. C(n +, n) < 6 eşitsizliğini sağlayan kaç tane n doğal sayısı vardır? A) B) 4 C) D) E) ( n + )! < 6 ( ( n+ )( n+ ) < n!! n + n 0 < 0 ( n+ )( n ) < 0 n + > 0 veya n + < 0 Sadece 0 vesa lar. n < 0 n > 0 4. D R A K L C Şekildeki ABCD yamuğu üzerinde belirtilen P 0 nokta ile kaç farklı N doğru çizilebilir? M B A) 4 B) C) 0 D) 9 E) 0 0 4 c m c m c m c m c m+ 4 = 9. Bir otelde iki yataklı ve üç yataklı olmak üzere iki boş oda vardır. Beş kişiden belli ikisi aynı odada kalmak şartıyla, bu otele kaç farklı şekilde yerleşebilir? A) B) 4 C) D) 8 E) Belli iki kişi ya iki kişilik odada kalacak ya da yanlarına üç kişiden birini seçip üç kişilik odada kalacaktır. + = 4. (x y ) 7 ifadesinin x in azalan kuvvetlerine göre açılımında Mx 8 y 9 lu ifade baştan kaçıncı terimdir? A) B) C) D) 4 E) 7 7 r r d n ( x ) ( y ) & r= tür. r + = 4 UZMAN 6. 4 ü doğrusal olan 0 nokta ile kaç farklı doğru çizilebilir? A) B) 0 C) D) 40 E) 4 c 0 4 m c m+ = 40 6. Bir çember üzerindeki noktadan kaç farklı kiriş çizilebilir? A) B) 66 C) 80 D) 90 E) 0 c m=. C. E. E 4. D. C 6. C 7. B 8. A 9. D 0. D. B. D. E 4. D. D 6. A
Profesyonel, içindeki amatör ruhu her zaman muhafaza eden ve ondan coşku ve heyecan duyan kişidir. ŞAMPİYON. A = {,,, 4, } kümesinin elemanları birer kez kullanılarak küçükten büyüğe dört basamaklı sayılar yazılıyor. 76. sayı aşağıdakilerden hangisidir? A) 4 B) 4 C) 4 D) 4 E) 4 Binler basamağı olan 4 (4 tane) Binler basamağı olan 4 (4 tane) Binler basamağı olan 4 (4 tane) Binler basamağı 4 olan 4 4 4 4 (76. sayı). "TÜRKİYE" sözcüğündeki harfler rastgele düzenlendiğinde R ve K harflerinin birlikte bulunması olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) 7 7 7 6!! = 7! 7 6. Aşağıdaki şekilde bir hareketli A noktasından sağa ve aşağı hareket ederek çizgiler üzerinden B noktasına kaç farklı yoldan gidebilir? A. A = {0,,,, 4} kümesinin elemanları ile baştan ve sondan aynı okunan kaç tane basamaklı sayı yazılabilir? A) 8 B) 0 C) 4 D) 0 E) 6 Yüzler basamağı Yüzler basamağı Yüzler basamağı Yüzler basamağı 4 4 = 0 tane B A) 70 B) 68 C) 64 D) 6 E) 8 Tüm durumlardan geçemeyeceği yolları çıkarırsak, A 8!! 4! = 8 4! 4! 444! 444! C A dan C ye, D den B ye D B. Paskal üçgeninin 6. satırındaki sayıların toplamı, 6. satırdan önceki tüm satırlarda bulunan sayıların toplamından kaç fazladır? A) 6 B) C) D) E) 6 Her satırdaki sayıların toplamı, kendisinden önceki tüm satırlardaki sayıların toplamından fazladır. n(n )(n ) 4. P(n +, ) + = P(8,) eşitliğini sağlayan n doğal sayısı kaçtır? 7. C = {,,, 4,, 6, 7} kümesinin elemanları ile yazılan 7 basamaklı rakamları farklı sayıların kaç tanesinde rakamı 'ten önce gelir? 7! A) 7! B) 6! C) D) 6! E)! Permütasyon içinde rakamının ten önce geleni kadar 7! rakamının den önce geleni vardır. olur. 8. 4 daireli bir apartmanda 4 çift (karı-koca) oturmaktadır. Bu dört çift arasından içlerinde karı-koca olmayan kişi kaç farklı biçimde seçilebilir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 0 ( n+ )! n( n )( n ) + = 876 ( n )! n nn ( ) a k = 876 ( n = 8 A) 6 B) 8 C) 0 D) 4 E) 4 d n c m c m c m =. 4. 4çiftten Seçilençiftlerden üseçildi erkifliseçildi ŞAMPİYON 9
9. Hileli bir zarda çift sayı gelme olasılığı, tek sayı gelme olasılığının üç katıdır. Buna göre, zar atıldığında üst yüzüne tek sayı gelme olasılığı kaçtır?. A) 6 B) 4 C) 4 D) E) 4 0. P( Ç ) = P( T).. x x x+ x= x = 4 A B C D Şekilde bir şehrin birbirine dik sokakları verilmiştir. BC yolunu kullanmak şartıyla A dan D ye en kısa yoldan kaç farklı şekilde gidilebilir? A) 0 B) 44 C) 6 D) 0 E) 00 Yukarıdaki şekilde kaç dörtgen vardır? A) 64 B) 68 C) 7 D) 90 E) 0 4 6 c m c m= 6 = 90 4. Bir üçgenin üç dış teğet çemberinin aynı merkezli olma olasılığı a, kenar orta dikmelerinin tek noktadan geçme olasılığı b ise a + b kaçtır? A) B) C) D) 0 E) 4 4 A'dan B'ye s, a C'den D'ye 4s, a!!! 6! 4!! = 0 = 0 = 0 a = 0 (imkansız olay) b = (kesin olay) a + b =. A = {,,, 4,, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanları kullanılarak a > b > c > d şeklinde kaç farklı (abcd) dört basamaklı sayısı yazılabilir? A) 6 B) 8 C) 0 D) 98 E) 96 9 rakamdan 4 ü seçildiğinde kere küçükten büyüğe sıralama yapılabilir. 9 c m= 6 4. A = {0,,,, 4} kümesinin elemanları ile en az ve en fazla 4 basamaklı rakamları farklı kaç çift sayı yazılabilir? A) 7 B) 84 C) 9 D) 96 E) 00 4 4 4 + + + + + { 0} { 4, } { 0} { 4, } { 0} { 4, } 4 + 6 + + 8 + 4 + 6 = 00 ŞAMPİYON 60. (a + m b) n ifadesinin açılımında a 4 b lü terimin katsayısı 640 ise m kaçtır? A) B) 4 C) D) 6 E) 7 Tümü Hepsi farklı renk c mc mc m n n r b l ^a h (m b) = r r te r = ve n = için 0 4 c m c m a 4 m b 0 m = 640 m = 4. C. B. C 4. C. B 6. E 7. C 8. E 9. E 0. A. A. B. D 4. E. E 6. E 6. kırmızı, yeşil ve sarı kravat arasından rastgele kravat seçiliyor. Kravatların en az ikisinin aynı renk olma olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) 4 4
ÇIKMIŞ SORULAR. Pelin; bir kafeteryaya ait, yalnızca sıcak içecekler kısma yırtılmış olan aşağıdaki menüyü evinde buluyor.. Şekilde verilen düzgün dörtyüzlünün 6 ayrıtından rastgele tanesi boyanıyor. Buna göre, boyalı üç ayrıtın da aynı yüzde olma olasılığı kaçtır? Pelin bu kafeteryayı arayıp bir çeşit gözleme ve A) B) C) 4 D) E) 6 bir çeşit soğuk içecek veya bir çeşit poğaça ve bir çeşit sıcak içecek siparişi vermek istiyor. Kafeterya çalışanı bu siparişi farklı şekilde verebile- 06 / LYS ceğini söylüyor. Buna göre, bu kafeteryada kaç farklı sıcak içecek çeşidi vardır? A) B) C) D) 4 E) 4. Şekilde iki satır ve 7 hücreden oluşan bir tablo veriliyor. 07 / YGS. Aşağıda düzgün altıgen şeklindeki hücrelerden oluşturulmuş bir düzenek verilmiştir. Beyaz hücrelerin bazıları turuncu renge boyanacaktır. Bu tablonun 4 hücresi siyaha boyanarak desenler oluşturuluyor. Her satırda en az bir tane boyalı hücre olacak biçimde kaç farklı desen vardır? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) 4 06 / LYS Her bir mavi hücrenin içerisinde yazan sayı, o mavi hücre ile ortak kenarı olan ve turuncuya boyanacak toplam hücre sayısını göstermektedir. Buna göre, hücreler kaç farklı biçimde boyanabilir?. P(x) = (x + ) (x + ) 4 polinomunda x 4 lü terimin katsayısı kaçtır? A) 8 B) 0 C) D) 4 E) 6 A) 4 B) 8 C) 0 D) E) 6 06 / LYS ÖSYM 07 / LYS 6
6. Bir okulun basketbol takımında ikisi kardeş olmak üzere, toplam 8 oyuncu bulunmaktadır. Bu oyunculardan tanesi maça başlayacak kadroda yer almak üzere seçilecektir. Kardeşlerin ikisi de bu kadroda olacak biçimde kaç farklı seçim yapılabilir? A) 6 B) 4 C) 40 D) 0 E) 0 0 / YGS 7. Deniz, bir karenin köşe noktaları olan aşağıdaki dört noktadan rastgele ikisini kırmızıya, diğer ikisini ise maviye boyamış ve aynı renge boyadığı noktaları birleştiren doğru parçalarını çizmiştir. Bu doğru parçalarının kesişme olasılığı kaçtır? A) B) C) D) E) 4 4 6 0 / YGS 0. A, B ve C marka üç adet yerli otomobil ile X, Y ve Z marka üç adet yabancı otomobil tek sıra halinde aşağıdaki koşullara uygun olarak bir fuarda sergilenecektir. Yerli ve yabancı otomobiller kendi içerisinde art arda dizilecektir. A marka otomobil, tüm otomobiller arasında ilk veya son sırada olacaktır. X marka otomobil, yabancı otomobiller arasında ilk veya son sırada olacaktır. Buna göre, otomobiller kaç farklı biçimde sergilenebilir? A) 0 B) C) 4 D) 6 E) 8. A B 04 / YGS 8. A = {a, b, c, d} olmak üzere, A nın boş olmayan X, Y alt kümeleri için X Y = Ø X Y = A olacak şekilde kaç tane (X, Y) sıralı ikilisi vardır? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) 4 0 / LYS Yukarıda gösterilen küp biçimindeki hilesiz zar atılıyor ve bir yüzünün zeminle temas ettiği biliniyor. Buna göre, zarın A ve B köşelerinden yalnızca birinin zeminle temas etme olasılığı kaçtır? A) B) C) D) 6 E) 6 04 / YGS ÖSYM 9. m ve n gerçel sayılar olmak üzere, c m nx nx + m m ifadesinin açılımı x in kuvvetlerine göre sıralandığında sabit terimi 6 oluyor. Buna göre, n m oranı kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 0 / LYS. Birbirinden farklı 4 bilye; kardeşe, kardeşlerden her biri en az bilye alacak biçimde paylaştırılacaktır. Bu paylaşım kaç farklı şekilde yapılabilir? A) 4 B) C) 6 D) 40 E) 48 04 / LYS 64. E. B. D 4. E. B 6. E 7. A 8. E 9. B 0. D. C. C