Kazanım : Asal sayıları özellikleriyle belirler. Doğal sayıların asal çarpanlarını belirler. ASAL SAYILAR 1 ve kendisinden başka hiçbir sayma sayısına tam bölünemeyen 1 den büyük doğal sayılara asal sayılar denir. En küçük asal sayı dir. 1 asal sayı değildir. Çünkü; bir sayının asal sayı olabilmesi için iki tane böleninin bulunması gerekir. 1 sayısı yalnızca kendine bölündüğü için asal sayı içerisinde yer almaz. Asal sayılardan sadece çifttir. Diğer tüm asal sayılar tektir. İki basamaklı bir sayının asal olup olmadığını anlamak için sayının sırasıyla,, ve ile tam bölünüp bölünemediğine bakılır. Eğer bölünmüyorsa sayı asaldır. 1 den 100 e kadar olan doğal sayılardan asal olanları belirlemede kullanılan aracın adı Eratosthenes ( Eratosten ) Kalburu dur. Eratosthenes ( Eratosten ) Kalburu yardımıyla asal sayıları bulurken; 1-1 in üzerine çarpı atın. - yi yuvarlak içine alıp nin katlarının üzerine çarpı atın. - ü yuvarlak içine alıp ün katlarının üzerine çarpı atın. 4- i yuvarlak içine alıp in katlarının üzerine çarpı atın. - yi yuvarlak içine alıp nin katlarının üzerine çarpı atın. Bu işlemlerin sonucunda çarpı atılmamış sayıları yuvarlak içine alınız. Yuvarlak içine alınmış sayılar asal sayılardır. 1 ile 100 arasındaki asal sayılar :,,,, 11, 1, 1, 19,, 9, 1,, 41, 4, 4,, 9, 61, 6, 1,, 9, 8, 89, 9 ÖRNEK: A iki basamaklı doğal sayısı asal sayı olduğuna göre A nın alabileceği değerlerin çarpımını A, 9 A =, 9 olabileceğinden.9 = dir. ÖRNEK: B1 iki basamaklı doğal sayısı asal sayı olduğuna göre B nin alabileceği değerlerin toplamını 1
DOĞAL SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI ÖRNEK: Aşağıdaki sayıların asal çarpanlarını Bir doğal sayının çarpanlarından asal olanlarına bu doğal sayının asal çarpanları denir. Bir doğal sayının asal çarpanlarını bulurken iki yöntem kullanılır. Bu yöntemler çarpan ağacı yöntemi ve asal çarpan algoritması (bölen listesi) yöntemidir. 48 64 ÖRNEK: 0 sayısının asal çarpanlarını 1.YOL: (Asal Çarpan Ağacı) 6 96 0 10 0 =.. 0 =.. olduğundan 0 =. tir. 0 nin asal çarpanları ve tir..yol: (Bölen Listesi) ÖRNEK: 4. şeklinde asal çarpanlarına ayrılan sayıyı 4. =... = 16. 9 = 144 ÖRNEK: Aşağıda asal çarpanlarının çarpımı şeklinde verilen sayıları.. = 0 10 1 ile bölme işlemi bitmeden e, ile bölme işlemi bitmeden e, ile bölme işlemi bitmeden ye geçilmez. 1 i elde edene kadar işlem devam eder... =.. =.. = 0 =.. =. 0 nin asal çarpanları ve tir.. =
ÖRNEK: A Yanda A sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali verilmiştir. Buna göre A sayısı kaçtır? E A =... = 4.9. = 180 ÖRNEK: Aşağıda asal çarpanlarına ayrılmış hali verilen sayıları A ÖRNEK: 80.. Yanda 80 sayısının asal çarpanlara ayrılmış hali verilmiştir. Buna göre a + b + c nin değerini 80 140 0 1 B 11 ÖRNEK: Aşağıda bazı sayıların asal çarpanlarına ayrılmış hali verilmiştir. Buna göre, harflere karşılık gelen sayıları a b 100. a =? b =? C 84.. a =? b =? c =? 10.. a =? b =? c =? D 0.. a =? b =? c =? a b 144. a =? b =?
Kazanım : İki doğal sayının ortak bölenleri ile ortak katlarını belirler; ilgili problemleri çözer. İKİ DOĞAL SAYININ ORTAK BÖLENLERİ VE KATLARI Birden fazla sayının ortak bölenlerini bulabilmek için bu sayıların ayrı ayrı bölenleri bulunur ve ortak olanlar alınır. ÖRNEK: 4 ile 6 doğal sayılarının ortak bölenlerini 4 = 1 x 4 6 = 1 x 6 4 = x 1 6 = x 18 4 = x 8 6 = x 1 4 = 4 x 6 6 = 4 x 9 6 = 6 x 6 ÖRNEK: 6 kg pirinç ve 4 kg bulgur birbirine karıştırılmadan ve hiç artmayacak şekilde eşit büyüklükte poşetlere paketlenecektir. Buna göre, poşetler en çok kaç kg olmalıdır? Pirinç ve bulgur özdeş poşetlere paylaştırılacağından poşetlerin ağırlığı hem 6 yı hem 4 yi bölen bir sayı olmalıdır. 6 1 4 6 9 1 18 6 4 1 6 14 1 4 Poşetler en çok 6 kg olmalıdır. ÖRNEK: 4 lt Ayçiçek yağı ve lt zeytinyağı birbirine hiç karıştırılmadan ve hiç artmayacak şekilde eşit hacimli şişelere doldurulacaktır. Buna göre, bu şişelerin hacmi en çok kaç lt olmalıdır? 4 1 4 6 8 1 4 6 1 4 6 9 1 18 6 Ortak bölenleri = 1,,, 4, 6, 1 Ortak bölenlerinin en büyüğü = 1 ÖRNEK: Aşağıdaki doğal sayıların ortak bölenlerinin en büyüğünü 0 40 6 60 ÖRNEK: Boyutları 1 m ve 16 m olan dikdörtgen şeklindeki bir odanın zemini özdeş kare şeklindeki fayanslarla döşenecektir. Buna göre, özdeş fayansların bir kenarının uzunluğu en fazla kaç m our? Kare fayansların bir kenarı hem 1 yi hem de 16 yı bölen bir sayı olmalıdır. 1 1 4 6 1 16 1 4 8 16 Fayansların bir kenarı en fazla 4 m olmalıdır. 16 4 4
ÖRNEK: Uzun kenarı cm, kısa kenarı 0 cm olan bir mukavvanın üzerine hiç boşluk kalmayacak şekilde eşit büyüklükte kareler çizilecektir. Karenin bir kenarının uzunluğu en çok kaç cm olur? ÖRNEK: Macera Ormanı na geziye giden Güneş Ortaokulu 6 A öğrencileri 4 erli ve 6 şarlı sıra olabiliyorlar. Buna göre, 6 A sınıfından en az kaç öğrenci geziye katılmıştır? Öğrenciler 4 erli sıra olabildiğine göre öğrenci sayısı 4 ün bir katı olmalıdır. Birden fazla sayının ortak katlarını bulabilmek için bu sayıların ayrı ayrı katları bulunur ve ortak olanlar alınır. ÖRNEK: 1 ve 0 doğal sayılarının ortak katlarını 1 in katları = 1, 0, 4, 60,, 90, 10, 10 0 nin katları = 0, 40, 60, 80, 100, 10 1 ve 0 nin ortak katları = 60, 10 1 ve 0 nin ortak katlarının en küçüğü = 60 Öğrenciler 6 şarlı sıra olabildiğine göre öğrenci sayısı 6 ınn bir katı olmalıdır. Öğrenci sayısı hem 4 ün hem de 6 nın bir katıdır. 4 ün katları = 4, 8, 1, 16, 0, 4, 8,, 6 6 nın katları = 6, 1, 18, 4, 0, 6, 4 Geziye katılan öğrenci sayısı en az 1 dir. ÖRNEK: Bir çiçekçi elindeki gülleri erli ve 8 erli demetlere ayırabiliyor. Buna göre, çiçekçide gül sayısı en az kaçtır? ÖRNEK: Aşağıdaki doğal sayıların ortak katlarının en küçüğünü 8 1 4 14 9 1 9 18 4 ÖRNEK: Kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm olan dikdörtgen şeklindeki kartonlarla kare şeklindeki bir mukavva hiç boşluk kalmayacak şekilde kaplanacaktır. Buna göre, oluşacak karenin bir kenarı en az kaç cm olur? Karenin bir kenarı hem 6 nın bir katı hem de 8 in bir katı olmalıdır. 6 nın katları = 6, 1, 18, 4, 0 8 in katları = 8, 16, 4, Karenin bir kenarının uzunluğu en az 4 cm olmalıdır.
ÖRNEK: İki hemşireden biri günde bir, diğeri günde bir nöbet tutmaktadır. Hemşirelerin ikisi de aynı gün nöbet tuttuktan kaç gün sonra tekrar nöbetleri aynı güne denk gelir? 6 4 ALIŞTIRMALAR 1- Aşağıda verilen doğal sayıların asal çarpanlarını 90 4 10 80 100 1 140 - Aşağıda verilen doğal sayıları asal çarpanlarına ayırınız ve asal çarpanların çarpımı şeklinde yazınız. 10 1 0 6
- Aşağıda asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazılmış olan doğal sayıları - Aşağıda verilen asal çarpanlarına ayrılmış hali verilen doğal sayıları A.. B. C..11 A D.. E.. F.. B 4- Aşağıda verilen eşitliklerde a, b ve c yerine yazılması gereken sayıları 1..11 168.. C a b 189. 0.. a b 108. 600.. D
E 11 - Aşağıda verilen doğal sayıların ortak katlarının en küçüğünü 4 6 8 F 11 10-1 6 1 1 16 6- Aşağıda verilen doğal sayıların ortak bölenlerinin en büyüğünü 4 10 8 10 18 4 14 1 8-0 kg ve 4 kg lık çuvallarda bulunan unların tamamı birbirine karıştırılmadan eşit ağırlıklı paketlere konulacaktır. Buna göre, bu paketlerin ağırlığı en fazla kaç kg olmalıdır? 0 0 1 1 0 6 8
9- Uzunlukları 1 m ve 0 m olan iki tel hiç artmayacak ve en büyük uzunluğa sahip olacak şekilde eşit parçalara ayrılacaktır. Buna göre, her bir telin uzunluğu kaç m olur? 1-1 1 işlemini yapacak olan Atahan, 6 kesirlerin paydalarını en az kaçta eşitleyebilir? 10-6 kesrinin en sade halini bulmak 40 isteyen Dinçer, kesrin pay ve paydasını aynı sayıya bölecektir. buna göre, Dinçer in sadeleştirme yapacağı sayının en büyük değeri kaçtır? 1- Güneş Koleji teneffüs zillerinden 1.kademeninki 0 dk da,. kademeninki 40 dk da bir çalmaktadır. Zillerin ikisi birden aynı anda çaldıktan en az kaç dk sonra birlikte çalar? 11- Esra Öğretmen 6 - B sınıfındaki öğrencilerini erli ve 4 erli olacak şekilde sıralara yerleştirebiliyor. Buna göre, 6 B sınıfının mevcudu en az kaç öğrencidir? ESRA ÇAKIR 9