Nuri ÖHENDEKCİ SPEKAL HESAP Yapıları ekileyen deprem dalgaları amamen belirli değildir; bu dalgaların özelliklerinde rasgelelik vardır. aman parameresine bağlı bu deprem dalgalarının farklı arilerde oluşmasıyla bir rasgele olaylar kümesi (işlem) meydana geleceğine göre, bu rasgele kümeleri dikkae alarak dinamik esap yapıldığında, elde edilen sonuçlarda da bir rasgelelik özelliği bulunacakır. Bu ür esaplara sokasik esap denilmekedir. Bir Serbeslik Dereceli Sisemler Bir serbeslik dereceli doğrusal elasik sieme ai diferansiyel areke denklemi, & + ξω x& + ω x f () () x şeklindedir. Burada ω sisemin doğal ireşim açısal frekansı, ξ sönüm oranı, f () ise dış yükür. () de f () f şeklinde bir karmaşık (complex) yük olarak verilirse, iω () e denklemin sıfır başlangıç şarları için çözümü, x() f () H(iω) f () ω ω + iξω ω (a) olarak bulunur. Burada H(iω) ransfer fonksiyonu adı ile anılır. Her iki arafın Fourier dönüşümü yapılırsa, V(iω) H(iω) P(iω) (b) bulunur. Burada V( ω ), Denklem in kararlı ireşimine ai frekans alanındaki çözümüdür. P( ω ) ise, f () nin Fourier dönüşümüdür. Denklem in sıfır başlangıç şarları için çözümü, Duamel inegrali yardımı ile, x () ( τ)f ( τ)dτ (3) şeklinde verilebilir Burada ( τ) fonksiyonu, τ anındaki birim darbe ekisine sisemin verdiği cevapır. Her iki arafın Fourier dönüşümü yapılırsa, iω V(iω) ( τ)f ( τ)e dτd (4) bulunur. Burada θ τ değişken dönüşümü yapılırsa,
Nuri ÖHENDEKCİ V(iω) τ τ ( θ)e iωθ dθ f ( τ)e iωτ dτ ( θ)e iωθ dθ P(iω) (5) bulunur. () fonsiyonunun sönümlenen bir fonksiyon olduğu düşünülerek inegral sınırlarındaki τ düşürülmüşür. (5) ve (b) karşılaşırıldığında ransfer fonksiyonunun, H(iω) ()e iω d (6) şeklinde, birim darbe fonksiyonunun Fourier dönüşümü olduğu görülür. Farklı arilerde oluşan depremlerin sokasik esap için bir oplum (populaion) oluşurdukları düşünülsün. Bu depremlerin bir anındaki oplum boyunca esaplanan oralamaları veya beklenen değeri, () E[ F() ] F ile göserilir. Benzer şekilde, ve anlarındaki değerlerinin çarpımlarının oplum boyunca olan oralaması, ookorelasyon fonksiyonu adını alır ve (, ) E[ F( )F( )] ile göserilir. Bu değer, depremlerin birbirlerine bağlılığını göseren bir büyüklükür. Aynı büyüklükler yapının depreme cevabı gibi, er rasgele işlem için esaplanabilir. Bu oralamalar zaman boyunca da esaplanırlar ve F (), F( )F( ) şeklinde göserilirler. Eğer bu rasgele işlemde, F ve zamandan bağımsız fonksiyonlar ise, praike, bu rasgele işleme, kararlı bir işlemdir denebilir. Eğer kararlı bir işlem için zaman boyunca esaplanan bu oralamalar birbirlerine eşise, aynı şekilde praike bu işleme ergodik işlem denir. τ olmak üzere, S iωτ F ( ω) F ( τ)e dτ (7) π ile güç spekral yoğunluk fonksiyonu elde edilir. Bir özel al olarak; büün frekans ekseni boyunca S F sabi ise bu işleme beyaz gürülü denmekedir. Bu durumda S F üm opluluk için aynı olduğundan, beyaz gürülü ergodik bir işlem olmakadır. Aynı zamanda Gauss dağılıma saipir (Cloug ve Penzien, 975). Denklem de f () fonksiyonu; sıfır oralamalı, kararlı F () rasgele işlemiyle emsil edilsin. Bu durumda () epki fonksiyonu da bir rasgele işlem olacakır. epki fonksiyonunun oralama veya beklenen değeri, E [ () ] E F( τ)( τ)dτ E[ F( τ) ] ( τ)dτ (8) olarak bulnur. Burada işlem, sıfır oralamalı E [ F( )] τ olduğu için,
Nuri ÖHENDEKCİ E [ () ] (9) olarak, epki işleminin de sıfır oralamaya saip olacağı sonucu çıkar. epki işleminin ookorelasyon fonksiyonu, +τ [ + τ) ] E F( θ)( θ)dθ F( θ)( + τ θ) dθ E ()( () şeklindedir. u θ v θ () değişken dönüşümü yapılırsa, E F( u) (u)du F( + τ v) (v) dv () + + +τ bulunur. () fonksiyonu < için değerini alır ve nin büyük değerleri için sönümlenir. Bu durumda inegral, E F( u)f(+ τ v)(u) (v) du dv (3) şeklinde yazılabilir. Bu ifadede yanlızca F fonksiyonları rasgele olduğuna göre, [ u)f( + τ v) ] (u) (v)du dv E F( ( τ v + u) (u) (v)du dv (4) olarak, epkiye ai ookorelasyon fonksiyonu bulunur. Denklem 4 den, ookorelasyon fonksiyonunun da yanlızca zaman farkı τ ya bağlı olduğu görülür. epkinin epki fonksiyonunun güç spekral yoğunluk fonksiyonu ise, bu işlemin ergodik olduğu kabulü ile, (4) e Fourier dönüşümü uygulanarak bulunabilir: iωτ S τ + τ π ( v u) (u) (v)e du dvd (5) Bu ifadede, θ τ v + u değişken dönüşümü yapılırsa,
Nuri ÖHENDEKCİ S ( ω) π (v)e H(iω)S + u v + u v iωv dv π H (iω) ( θ)(u)(v)e ( θ)e iωθ dθ iω( θ u+ v) (u)e du dvdθ iωu du (6) bulunur. Burada H (iω) H( iω) dır. Diğer bir göserimle, S ( ω ) H(iω) S ( ω) (7) olarak yazılabilir. Bu denklem, bir serbeslik dereceli doğrusal sisemlerde epkinin güç spekral yoğunluk fonksiyonunu, kararlı bir giriş işleminin güç spekral yoğunluk fonksiyonu cinsinden verir. Denklem 7 nin ers Fourier dönüşümü, yine bu işlem için ookorelasyon fonksiyonunu verecekir: iωτ ( τ) H(iω) S( ω) e dω (8) Denklem 9 a göre epkinin oralaması sıfırdır. Bu durumda, τ için, σ () H(iω) S( ω) dω (9) olarak bulunabilir. Eğer giriş işlemi kararlı Gauss dağılımına saipse, bu işleme ai güç spekral yoğunluk fonksiyonlarının doğrusal oplamlarıyla elde edilen fonksiyonun ai olduğu işlem de Gauss dağılımına saip olacakır (Cloug ve Penzien, 975). Denklem lineer bir denklem olduğu için, epki işlemi de Gauss dağılımına saip olacakır. Denklem 9 ise bu dağılımı emsil emeye yeerlidir. Çok Serbeslik Dereceli Sisemler Çok serbeslik dereceli doğrusal elasik sieme ai areke diferansiyel denklemi () e benzer şekilde, {} F [ m]{} & + [c]{} & + [k]{} () olarak verilebilir. Burada giriş fonksiyonu { F } rasgele bir işlem olduğu için, epki { } de bir rasgele işlem olacakır. Genelleşirilmiş koordinalarla ilişkisi, modal koordinalar cinsinden,
{ } []{} φ Nuri ÖHENDEKCİ () olarak verilebilir. Denklem ve ürevleri () de yerine konulursa, [] φ {} & + [c][] φ {} & + [k] [] φ {} {} F [ m] & () elde edilir. Bu denklemin er iki arafı, { φ } -ci modal vekör ile çarpılırsa, oragonalie özellikleri de dikkae alınarak, & + & P (3) ξ ω + ω elde edilir. Burada -ci modal koordina, ω ve ξ sırasıyla -ci moda ai doğal ireşim açısal frekansı ve sönüm oranıdır. Genelleşirilmiş dış yüke ai ifade ise, { φ } {} F P (4) M olarak verilebilir. Burada M, -ci moda ai genelleşirilmiş küledir. Bu ifadenin ookorelasyon fonksiyonu, [ ] [ φ ][ ][ φ] PP (5) olarak bulunur. Burada [ φ ], küle marisine göre normalize edilmiş mod şekli marisidir. Eğer F () kararlı ve Gauss dağılımına saip bir işlem ise, P () de kararlı ve Gauss dağılımına saip bir işlem olacakır. Bir serbeslik dereceli sisemlerde olduğu gibi, ve ( τ) P P ( τ v + u) (u) k (v)du dv (6) k k S k H (iω)s H (iω) (7) k P P k yazılabilir. Denklem 5 in er iki arafının Fourier dönüşümü yapılırsa, [ S ( ω )] [ φ ][ S ( ω) ][ φ] PP (8) bulunur. Modal koordinalara ai güç spekral yoğunluk fonksiyonu ise, (7) ve (8) yardımıyla, [ S ( )] [ H (iω)][ φ ][ S ( ω) ][][ φ H (iω)] ω (9)
Nuri ÖHENDEKCİ bulunur. Burada [ H (i )] [ H ( iω) ] ω dır. [ (i )] H ω ise köşegeninde ilgili moda ai ransfer fonksiyonunu bulunduran köşegen bir marisir. Bu denklem, modal koordinalara ai güç spekral yoğunluk fonksiyonunu, giriş işleminin güç spekral yoğunluk fonksiyonu cinsinden verir. Bu denklemde, [ S ( )] [ φ][ S ( ω ][ φ ] ω (3) ) bağınısı dikkae alınırsa, [ S ( )] [ φ] [ H (iω)] [ φ ] [ S ( ω) ] [ φ] [ H (iω ] [ φ ] ω (3) ) elde edilir. Burada, [ H(i )] [ φ] [ H (iω ] [ φ ] ω (3) ) olarak göserilirse, Denklem 3, [ S ( )] [ H(iω) ] [ S ( ω) ] [ H (iω)] ω (33) şeklini alır. Böylece çok serbeslik dereceli sisemlerde, epki işlemine ai güç spekral yoğunluk fonksiyonu, giriş işlemine ai güç spekral yoğunluk fonksiyonu cinsinden, (33) yardımı ile ifade edilmiş olur. [ ( )] S epki işlemine ai ookorelasyon fonksiyonu ise, [ ( τ) ] [ S ( ω) ] ω fonksiyonunun ers Fourier dönüşümü yardımı ile iωτ e dω (34) olarak elde edilebilir. Maksimumların Dağılımı Çok serbeslik dereceli sisemlerin spekral esabında, bir serbeslik dereceli sisemlerin epkilerinin maksimumları (modal spekral değerler) kullanılır. Eğer giriş bir rasgele işlem ise, epki de bir rasgele işlem olacakır. Bu durumda çok serbeslik dereceli sisemlerin spekral esabında, bu maksimumların dağılımı akkındaki bilgiye iiyaç vardır. Dirac dela fonksiyonu δ () ile göserilir ve aşağıdaki özellikleri sağlar:
Nuri ÖHENDEKCİ δ[x a] δ[x a]dx x a x a (35) Heaviside H[x] fonksiyonu ise, x > H [x] x / (36) x < şeklinde anımlanmışır. () değeri, belirli sabi bir a değeri üzerine çıkığında yapı için kriik durum oluşuğu düşünülsün. () fonksiyonunun a doğrusunun üzerinde ve alında bulunma adedi ile ilgili fonksiyon, U() H[() a] (37) olarak yazılabilir. Her ne kadar U () ürevsiz bir fonksiyon olsa da, Dirac dela fonksiyonu yardımı ile, U & () () & δ[() a] (38) olarak anımlanabilir. Burada U & (), () fonksiyonu a değerini aşağıdan yukarıya doğru kesiği nokada +, yukarıdan aşağıya doğru kesiği nokada - değerini alacakır. () fonksiyonunun a doğrusunu (,) süresi boyunca kesme sayısı ise Dirac dela fonksiyonu yardımı ile, N (a, ) U( & τ) dτ ( & τ) δ[( τ) a]dτ (39) olarak yazılabilir. f (x, x, & ), () nin olasılık yoğunluk fonksiyonu olmak üzere, bu sayının & beklenen değeri veya oralaması, E [ N(a, ) ] E ( & τ) δ[( τ) a]dτ x& f & (a, x, & ) dx& dτ ( & τ) δ[( τ) a]f & (a, x, & ) dτ dx dx& (4) şeklinde, kesmenin oralama değeri olarak bulunur. Birim zamandaki oralama kesme sayısı
Nuri ÖHENDEKCİ ise, υ de[n(a,)] ( a,) x f d & & (a,x,)d & x& (4) dir. Bu eşilik, ice formülü olarak anılmakadır (ice, 954). Denklem 4, aşağıdan yukarıya ve yukarıdan aşağıya doğru olan kesmelerin oplamının oranıyla ilgilidir. Yalnızca aşağıdan yukarıya doğru olan birim zamandaki kesme sayısı ise, x & > olduğu düşünülerek, + υ ( a,) x& f & (a,x,)d & x& (4) olarak yazılabilir. Eğer () sıfır oralamalı, kararlı Gauss dağılımına saip bir işlemse, () ve & () nin olasılık yoğunluk fonksiyonu, & x x& σ σ& f e & (x, x) & (43) πσ σ olarak verilebilir. Burada, sapmalarıdır. σ ve σ, sırasıyla, () ve & () işlemlerinin sandar & x a için (43), (4) de yerine konulursa, kesme oranı için, + σ& a σ υ (a) e & (44) πσ bulunur. Bu denklem farklı paramerelerle de ifade edilebilir. S ( ω ), () işleminin güç spekral yoğunluk fonksiyonu olmak üzere, n-ci dereceden spekral momenler: n λ n ω S ( ω) dω (45) şeklinde anımlanabilir; σ λ ve σ & λ olduğuna göre, Denklem 44, π λ λ + a λ υ (a) e (46) şeklinde yazılabilir. () işleminin maksimumlarının dağılımının Poisson dağılımına uyduğu düşünülsün. Poisson olasılık dağılım fonksiyonu,
Nuri ÖHENDEKCİ ( υ) P[n] n! n e ( υ) n,,.. (47) şeklindedir. Burada υ, birim zamanda meydana gelen olay sayısıdır. P[n] ise, (-) zaman aralığında n olay meydana gelme olsalığıdır. Bu ifadede υ, oralama kesme oranı olarak düşünülürse, (-) zaman aralığında sıfır olay (kesme) meydana gelme olasılığı, (47) yardımı ile, n için ( ) e υ olarak bulunur. Depremin başladığı anda yapının yıkılma olasılığı sıfır kabul edilirse, (-) zaman aralığında bu yapının yıkılma olasılığı, P f e + υ (a) (48) olarak verilebilir. Bu değerin esaplanmasında kabul edilen dağılım Poisson dağılımı idi. Düşük sönüm oranına saip yapılarda ise, maksimumların oluşması kümeler alinde olmakadır. Başka bir deyişle, a sınırı geçildiğinde buna bağlı olarak bir grup ilal daa olmakadır. Poisson dağılımı, olaylar arasında bağlanı olmadığını kabul eder. Maksimumların kümeler alinde birbirlerine bağlı oluşmaları ise buna ers düşmekedir. Bu ekiyi dikkae almak için kümelerin dağılımı yani cevabın zarfının (envelope) maksimumu Poisson dağılımına uydurulmuş ve υ + (a,) için bir düzelme çarpanı verilmişir (Vanmarcke, 97,975):. ( π δ r ) + e υ e (r) υ (r) ( r e ) (49) Burada r a σ normalize edilmiş sınır, υ + (r) (46) ile verilen yukarı kesme oranı ve λ δ (5) λ λ işlemin frekans içeriğinin dağılımı ile ilgili bir kasayıdır. Denklem 49, Denklem 48 de υ + (a) yerine konulursa, süresince max işleminin a veya r σ değeri üzerine çıkma olasılığı p bulunmuş olur. Bulunacak bu ifadeden r (,p) paremeresi yaklaşık olarak çekilebilir (Vanmarcke, 977).. δ πlog(n) [ log{ n [ e ]}] r(, p) (5) Burada p, işlemin süresince rσ değerinin alında kalma olasılığı ve
Nuri ÖHENDEKCİ λ λ n (5) π( logp) olarak anımlanmışır. a sınırının normalize edilmiş değeri olan r (,p), epe çarpanı adını alır ve işlemin sandar sapması verir. σ ile çarpımı, süresi boyunca, p olasılıkla aşılmayacak olan max (,p) değerini σ (53) max (,p) r(,p) Bu ifade spekral esapa, modların maksimumlarının birleşirilmesinde kullanılacak olan, aşılmama olasılığı belirli modal maksimumların esabı için kullanılabilir. Modların Birleşirilmesi Bir giriş işlemi alında çok serbeslik dereceli sisemin epkisinin güç spekral yoğunluk fonksiyonu (33) ile verilmişi. Bu maris ifadenin köşegen elemanları, S ( ω) H (iω)h (iω)s( ω) (54) olarak yazılabilir. epkinin varyansı ise, (9) yardımı ile, σ S ( ω)dω H (iω)h (iω)s ( ω) σ (55) olur. Burada σ, modlar arasındaki kovaryansır. Çapraz ilişki kasayısının ρ σ σ σ anımı ile, (55), σ ρ σ σ (56) şeklini alır. Burada σ ve σ, sırası ile, ω,ξ ve ω, ξ frekans ve sönüm oranlarına saip modların sandar sapmalarıdır. Denklem 56, Denklem 53 e yerine konulursa, r σ r ρ (57) rr elde edilir. Burada çok serbeslik dereceli sisemin er angi bir epkisine ai spekral
değer, r ise bu işleme ai epe çarpanıdır. ise aynı moda ai epe çarpanıdır. Nuri ÖHENDEKCİ -ci moda ai maksimum epki, r r( ω, ξ,,p) epe çarpanları, giriş işleminin güç spekral yoğunluk fonksiyonuna fazla duyarlı değildirler. Bu sayede, yaklaşık olarak üm modlara ai epe çarpanları birbirlerine ve modal birleşirmesi yapılan epkilerin epe çarpanlarına eşi alınabilir (Kiuregian, 98). Denklem 57 de ( r r ) r alınırsa, σ r ρ (58) bulunur. Denklem 58 ile verilen birleşirme CQC adıyla anılır. Burada ρ, giriş işleminin güç spekral yoğunluk fonksiyonuna bağlıdır. Eğer giriş işlemi bir beyaz gürülü olursa, bu bağlılık oradan kalkar. Bu durumda, 3 8 ξ ξ ( ξ + βξ ) β ( β ) + 4ξ ξ β( + β ) + 4( ξ + ξ ) β ρ (59) olarak bulunur (Kiuregian, 98). Burada, β ω ω dir. Eğer üm modal sönüm oranları birbirlerine eşiseler; ξ ξ ξ, Denklem 59, ( + β) 3 8ξ β ρ (6) ( β ) + 4ξ β ( + β) şeklini alır. Böylece; spekral esapa modların maksimumlarının birleşirilmesi için kullanılacak olan Denklem 58, yanlızca yapının özdeğerlerine ve ilgili epki spekrumu değerlerine bağlı olur. Modların maksimumlarının birleşirilmesinde CQC yöneminin kullanımı, giriş depreminin kararlı Gauss dağılıma saip, geniş ban kaplayan bir işlem olmasıyla daa iyi sonuçlar verir. Böyle olmasa bile praike, depremin kuvveli arekeine ai kısmı, yapının en büyük doğal periyodundan cok defalar büyükse ve maksimum epki bu bölgede oluşuyorsa, yaklaşım yeerince sağlanmış olur (Kiuregian, 98). Doğal periyoların bu bölgeden uzaklaşması durumunda aâ armaka faka diğer arafan, bu frekanslara ai modların yapının cevabına kakısı azalmakadır. Böylelikle CQC yönemi, deprem ekisi alındaki yapıların dinamik esabında kullanılabilir olmakadır.
Nuri ÖHENDEKCİ Düşük sönüm oranlarına saip ve modal frekansları birbirlerinden yeerince uzak olan sisemlerde, yaklaşık olarak, ρ ( ) ve ρ alınırsa, Denklem 58, (6) şeklini alır. Bu denklem, SSS (Square oo of e Sum of e Squares-Karelerinin oplamının Karekökü) olarak anılmakadır (Goodman, vd., 953). Bu ifade, modal frekansları birbirlerinden yeerince uzak yapılarda iyi sonuçlar vermekedir (Kiuregian, 98). ABSS(Mulak oplam) yönemi ise modal maksimum değerlerin birleşirilmesinde, (6) eşiliğini kullanır. Denklem 6 yardımıyla yapılan birleşirme, çözüm için bir üs sınır eşkil eden abarılı bir değerdir. Bu nedenle praike kullanımı sınırlıdır.