ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ KUATERNİYONLARA AİT MATRİSLER İÇİN DE MOIVRE VE EULER FORMÜLLERİ Mücahit MERAL MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2009 Her hakkı saklıdır
TEZ ONAYI Mücahit MERAL tarafından hazırlanan Kuaterniyonlara Ait Matrisler İçin De Moivre ve Euler Formülleri adlı tez çalışması 23.11.2009 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı nda YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir. Danışman: Prof. Dr. H. Hilmi HACISALİHOĞLU Ankara Üniversitesi, Matematik Anabilim Dalı Jüri Üyeleri Başkan: Prof. Dr. H. Hilmi HACISALİHOĞLU Ankara Üniversitesi, Matematik Anabilim Dalı Üye : Prof. Dr. Yusuf YAYLI Ankara Üniversitesi, Matematik Anabilim Dalı Üye : Prof. Dr. Erdoğan ESİN Gazi Üniversitesi, Matematik Anabilim Dalı Yukarıdaki sonucu onaylarım. Prof. Dr. Orhan ATAKOL
Enstitü Müdürü
ÖZET Yüksek Lisans Tezi KUATERNİYONLARA AİT MATRİSLER İÇİN DE MOIVRE VE EULER FORMÜLLERİ Mücahit MERAL Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. H. Hilmi HACISALİHOĞLU Bu tez yedi bölümden oluşmuştur. Birinci bölüm, giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde, reel ve dual kuaterniyonlar tanıtılmış, kutupsal formdaki ifadeleri bulunmuş, bazı tanımlara yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, reel ve dual kuaterniyonlar için De-Moivre ve Euler formülleri ifade edilmiş, ispatlarına yer verilmiştir. Dördüncü bölümde, reel ve dual kuaterniyonlara karşılık gelen matrisler için De-Moivre ve Euler formülleri ifade ve ispat edilmiştir. Beşinci bölümde, bu matrislerin kuvvetleri alınmış,. dereceden kökleri bulunmuş, kesirli üslerine ulaşmak için bir teknik verilmiştir. Altıncı bölümde, kuaterniyonlarla ilgili Maple da yazılmış bazı programlara ve örneklere yer verilmiştir. Yedinci bölümde, bu matrislerin kuvvetlerinin geometrik anlamlarına değinilmiştir. Kasım 2009, 65 sayfa Anahtar Kelimeler: Reel kuaterniyonlar, Dual Kuaterniyonlar, De-Moivre Formülü, Euler formülü. i
ABSTRACT Master Thesis DE-MOIVRE AND EULER FORMULAS FOR MATRICES OF QUATERNIONS Mücahit MERAL Ankara University Graduate School of Natural And Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. H. Hilmi HACISALİHOĞLU This thesis consist of seven chapters. The first chapter is devoted to Introduction. In the second chapter, the real and dual quaternions were introduced, has found expression in polar form, some definitions are included.in the third chapter, De-Moivre and Euler formulas for real and dual quaternions are expressed and proven. In the fourth chapter, De-Moivre and Euler formulas for matrixes of real and dual quaternions are expressed and proven. In the fifth chapter, forces of these matrixes were taken and roots were calculated. A technique was given in order to get the rational forces. In the sixth chapter, some programs for forces which were about quaternions was written at Maple and some examples were given. In the seventh chapter, the geometric means of the forces of these matrixes were described. November 2009, 65 pages Key Words: Reel Quaternions, Dual Quaternions, De-Moivre s formula, Euler s formula. ii
TEŞEKKÜR Yalnızca bu çalışmada değil tüm yüksek lisans çalışmalarım boyunca beni sürekli yönlendiren, matematiğe, bilime bir bakış açısı kazandıran değerli hocam Prof. Dr. H. Hilmi HACISALİHOĞLU na (Ankara Üniversitesi), verdiği ödevlerle bu çalışmanın kapılarını aralayan, sorduğu sorularla çalışmamı yönlendiren, her istediğimde bana zamanını ayıran değerli hocam Prof. Dr. Yusuf YAYLI ya (AnkaraÜniversitesi), bana Ankara da ağabeylik yapan, beni motive eden, bana inanan değerli hocam İsmail GÖK e (Ankara Üniversitesi) bana her zaman babalık yapan değerli hocam Doç. Dr. Ayhan ŞERBETÇİ ye (Ankara Üniversitesi), bana vakit ayıran ve bu teze önemli şeyler katan Prof. Dr. Cengizhan MURATHAN (Uludağ Üniversitesi) ve Doç. Dr. Basri ÇELİK (Uludağ Üniversitesi) hocalarıma, değerli hocalarım Prof. Dr. Murat ALP (Niğde Üniversitesi) ve Doç. Dr. Elçin YUSUFOĞLU na (Dumlupınar Üniversitesi), benim hep yanımda olan aileme, bana her zaman inanan ve güvenen hayat arkadaşım Ayşe DURGUT a teşekkürlerimi bir borç bilirim. Mücahit MERAL Ankara, Kasım 2009 iii
İÇİNDEKİLER ÖZET.i ABSTRACT.ii TEŞEKKÜR iii ŞEKİLLER DİZİNİ vi 1. GİRİŞ...1 2. REEL VE DUAL KUATERNİYONLAR 3 2.1 Reel Kuaterniyonlar.3 2.1.1 Reel kuaterniyonların kutupsal formu 4 2.2 Dual Kuaterniyonlar 5 2.2.1 Dual kuaterniyonların kutupsal formu...7 3. KUATERNİYONLAR İÇİN DE-MOIVRE VE EULER FORMÜLLERİ 9 3.1 Reel Kuaterniyonlar için De-Moivre Formülü..9 3.2 Reel Kuaterniyonlar için Euler Formülü.11 3.3 Dual Kuaterniyonlar için De-Moivre Formülü 11 3.4 Dual Kuaterniyonlar için Euler Formülü 13 4. KUATERNİYONLARA AİT MATRİSLER İÇİN DE-MOİVRE VE EULER FORMÜLLERİ. 15 4.1 Reel Kuaterniyona Karşılık Gelen Matris... 15 4.2 Reel Kuaterniyona Karşılık Gelen Matris İçin De-Moivre Formülü...19 4.3 Reel Kuaterniyona Karşılık Gelen Matris İçin Euler Formülü...22 4.4 Dual Kuaterniyona Karşılık Gelen Matris.. 24 4.5 Dual Kuaterniyona Karşılık Gelen Matris İçin De-Moivre Formülü...28 4.6 Dual Kuaterniyona Karşılık Gelen Matris İçin Euler Formülü....31 5. UYGULAMALAR.. 33 5.1 Kuaterniyon Matrislerinde Üs Alma....33 5.2 Üsler Arasındaki İlişki....34 5.3 Kuaterniyon Matrislerinde Kök Bulma.... 39 5.3.1 Kuaterniyon matrislerin. dereceden kökleri..39 5.3.2 Kuaterniyon matrislerin karekökleri...41 5.3.3 Kuaterniyon matrislerin küpkökleri..42 iv
5.4 Kuaterniyon Matrislerinin Rasyonel Üsleri..44 6. MAPLE UYGULAMALARI...45 6.1 Maple Yardımıyla Reel Kuaterniyon Matrisinde Üs Alma.45 6.2 Maple Yardımıyla Kök Bulma...50 6.3. Maple Yardımıyla Matrisin Kesirli Üssünü Alma.. 55 6.4 Maple Yardımıyla Dual Kuaterniyon Matrisinde Üs Alma....58 7. GEOMETRİK ANLAM.. 59 7.1 Vektör Kuaterniyonların Çarpımı ve Geometrik Anlamı...59 7.2 Dual Kuaterniyonlar, Dönme, Kaydırma, Vida Operatörleri....62 7.3 Kuaterniyonun Üssünün Geometrik Anlamı...63 KAYNAKLAR..64 ÖZGEÇMİŞ... 65 v
ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil 7.1 İki kuaterniyonun çarpımının geometrik anlamı..61 Şekil 7.2 Bir kuaterniyonun üssünün geometrik anlamı.63 vi
1. GİRİŞ Karmaşık sayılar 18. Yüzyılın başlarında çok araştırılan konuların başında geliyordu. William Rowan Hamilton karmaşık sayılardakine benzer çarpmayı öncelikle de üçlü sayıların çarpımında denemiş ama olumlu sonuç alamamıştı. Daha sonra de aynı deneme olumlu sonuç vermişti. Hamilton un 1843 de ulaştığı bu olumlu sonuçla dördeyler olarak ta bilinen kuaterniyonların doğduğunu söyleyebiliriz. Hamilton bu olumlu sonuca Dublin de kraliyet kanalında gezerken ulaşmış ve hemen o köprünün üzerine bulduğu sonuçları kazımıştır. Hamilton hayatının geriye kalan 22 yılında da kuaterniyonlarla ilgili önemli çalışmalar yapmıştır. Son yıllarında özellikle kuaterniyonların kullanım alanları ile ilgilenmiştir. Kuaterniyonlar teorisi sonraki yıllarda çok gelişmiş, dual ve split kuaterniyonlar türetilmiş ve bunlarla ilgili de birçok çalışma yapılmıştır. Halen ülkemizde lisans ve lisansüstü düzeyinde epeyi üniversitede kuaterniyonlar teorisi dersi okutulmakta ve bu konuda çalışan çok sayıda matematikçi bulunmaktadır. Kuaterniyonlardan türetilmiş olan Cayley sayılarını sekizliler olarak düşünebilirsiniz. Karmaşık Sayıları da ikilliler olarak düşünürsek Kuaterniyonlar, karmaşık sayılardan daha genel ama Cayley sayılarının da bir özel halidir. Kuaterniyonlar sol öteleme (sol çarpım) işlemiyle birlikte bir matrisle eşleştirilebilir. Bu matris 44 tipinde, elemanları reel sayılar olan bir karesel matristir. Diğer bir deyişle kuaterniyonlar cismi ile bu matrislerin oluşturduğu cisim arasında bire bir, örten ve homomorfizma olan bir dönüşüm tanımlanabilir. E. CHO, karmaşık sayılarda bilinen De-Moivre formülünün Kuaterniyonlar için de doğru olduğunu göstermiştir. YAYLI ve KABADAYI, De-Moivre formülünün dual kuaterniyonlar için de geçerli olduğunu bizlere göstermiştir. Bizde bu çalışmada De Moivre formülünün reel ve dual kuaterniyonlara karşılık gelen matrisler için de geçerli olduğunu gösterdik. Böylelikle bu matrislerin tüm tam sayı kuvvetlerine sorunsuzca ulaştık. Bu tür matrislerin kesirli üslerini bulmak içinse öncelikle. dereceden kökler 1
bulunmuş, bu kökler yardımıyla kesirli üsler alınmaya çalışılmıştır. Çalışmamızda ayrıca bu tür matrislerin kuvvetini alan, köklerini bulan ve dual kuaterniyon matrislerinin üslerini alan Maple programları yazılmış ve bu programlar sayesinde çözülmüş örneklere de yer verilmiştir. Matrislerin üsleri arasındaki ilişkiler de bu çalışmanın kapsamı içindedir. Son olarak çalışmamızda matrislerin kuvvetini almanın geometrik olarak ne anlama geldiğini tartıştık. 2
2. REEL VE DUAL KUATERNİYONLAR 2.1 Reel Kuaterniyonlar Bir reel kuaterniyonun cebirsel ifadesi,,, keyfi reel sayılar olmak üzere... (1) biçiminde ifade edilebilir. Burada, ve üç boyutlu vektör uzayında birim vektörlerdir... 1 (2) eşitliğini sağlar. ( 2 ) denklemlerinden hareketle..,.. (3) denklemleri elde edilebilir. (1) reel kuaterniyonunu reel kısmı, vektörel kısmı ve... (4) olmak üzere (5) şeklinde de ifade edebiliriz. nun eşleniği : (6) dir. Eğer 0 ise... (7) olur ki buna vektör kuaterniyon denir. Burada ise (8) dir. bir reel kuaterniyon olmak üzere nun normu : (9) 3
dir (Hacısalihoğlu 1983). 2.1.1 Reel kuaterniyonların kutupsal formu (1) denklemi ile verilen reel kuaterniyonu. (10) biçiminde kutupsal formda ifade edilebilir. Burada, (11) özeliklerini sağlayan bir açısı ve birim vektörü,,,, (12) dir. Gerçekten de..........,,. işlemleri ile sonuca ulaşabiliriz. Burada vektörünün birim vektör olduğunu (12) yardımıyla 4
1 olarak kolayca görebiliriz. 1 ise reel kuaterniyonu, reel birim kuaterniyon olarak adlandırılır. birim kuaterniyonu kutupsal formda, (13) olmak üzere. (14) biçiminde elde edilebilir. Gerçekten de..... dir. Burada birim vektörü için olduğu kolayca görülebilir (Ward 1997)..... 1... 1... 1 2.2 Dual Kuaterniyonlar. 0, 0,, (15) cümlesine dual sayılar cümlesi denir. Bu cümle birimli, değişmeli bir halkadır. Bir dual kuaterniyonun cebirsel şekli,,, keyfi dual sayılar olmak üzere 5
... (16) biçiminde ifade edilebilir. Burada, ve üç boyutlu vektör uzayında birim vektörlerdir. Bu vektörler için.. 1 (17) eşitlikleri sağlanır. (17) denklemlerinden hareketle..,.. (18) denklemleri elde edilebilir. (16) dual kuaterniyonu, skalar kısmı, vektörel kısmı ve... (19) olmak üzere (20) biçiminde de ifade edebiliriz. nun eşleniği : (21) dir. Eğer A 0 ise... (22) olur ki buna dual vektör kuaterniyon denir. Burada ise (23) dir. bir dual kuaterniyon olmak üzere nun normu : (24) dir (Hacısalihoğlu 1983). 6
2.2.1 Dual kuaterniyonların kutupsal formu ( 16 ) denklemi ile verilen dual Q kuaterniyonu. (25) olarak kutupsal formda ifade edilebilir. Burada, 26 özeliklerini sağlayan bir. (27) dual açısı ve bir birim vektörü,,,, 28 dir. Gerçekten de..........,,. dir. Burada vektörünün birim vektör olduğunu ( 28 ) yardımıyla 7
1 olarak görebiliriz. 1 ise dual kuaterniyonu, dual birim kuaterniyon olarak adlandırılır. Q birim dual kuaterniyonu kutupsal formda, (29) olmak üzere. (30) biçiminde elde edilebilir. Gerçekten de... 1...... dir. Burada birim vektörü için 1... dır (Yaylı ve Kabadayı 2009). 1... 1 8
3. KUATERNİYONLAR İÇİN DE-MOIVRE VE EULER FORMÜLLERİ 3.1 Reel Kuaterniyonlar için De-Moivre Formülü Birim kuaterniyonların cümlesi ve birim vektör kuaterniyonların cümlesi olmak üzere 1 (31) 1, (32) olsun.. 1 ve 0 olduğundan herhangi bir için 1 olduğunu biliyoruz. Burada (. ) işlemi öklid iç çarpımını, ( ) işlemi kuaterniyon çarpımını ve ( ) işlemi de vektörel çarpımı gösterir (Cho 1998). Lemma 3.1.1 olmak üzere... (33) dir (Cho 1998). İspat 3.1.1 için 1 bilgisini de kullanarak............... elde edilebilir. Ayrıca burada.. (34).. (35) trigonometrik özdeşliklerini de kullandık (Cho 1998). 9
Teorem 3.1.2 için. olmak üzere.. (36) dir (Cho 1998). İspat 3.1.2 İspatı tümevarım yöntemiyle yapalım. negatif olmayan bir tamsayı olsun. 2 için teoremin doğruluğu Lemma 3.1.1 i de kullanarak.... 2. 2 olarak gösterebiliriz... olduğunu varsayalım.. 1. 1 olduğunu gösterelim........ 1. 1. negatif bir tamsayı olsun..... Böylelikle ispat tamamlanmış oldu (Cho 1998). 10
3.2 Reel Kuaterniyonlar için Euler Formülü için 1 dir. Bu bilgiden yola çıkarak, 1 olduğunu da görüp herhangi bir için 1 wθ θ 2! 3! 4! yazılabilir. Burada 1 θ 2! 4! 3! 5!. 1 37 2! 4! 38 3! 5! açılımlarını da kullandık (Cho 1998). 3.3 Dual Kuaterniyonlar için De-Moivre Formülü Birim dual kuaterniyonların cümlesi ve birim vektör dual kuaterniyonların cümlesi olmak üzere 1... 1 (39) 1, (40) olsun.. 1 ve 0 olduğundan herhangi bir için 1 olduğunu biliyoruz. Burada (. ) işlemi öklid iç çarpımını, ( ) işlemi kuaterniyon çarpımını ve ( ) işlemi de vektörel çarpımı gösterir (Yaylı ve Kabadayı 2009). 11
Lemma 3.3.1 olmak üzere... (41) dir (Yaylı ve Kabadayı 2009). İspat 3.3.1. ve. dual açılar olmak üzere dual değişkenli fonksiyonlar için... olacağını biliyoruz. Ayrıca için 1 bilgisini de kullanarak............... elde edilebilir. Burada.. (42).. (43) trigonometrik özdeşliklerini de kullandık (Yaylı ve Kabadayı 2009). Teorem 3.3.2 için Q. olmak üzere dir... (44) İspat 3.3.2 Burada. bir dual açıdır. İspatı tümevarım yöntemiyle yapalım. negatif olmayan bir tamsayı olsun. 2 için teoremin doğruluğunu Lemma 3.3.1 i de kullanarak... 12
. 2. 2 olarak gösterebiliriz... olduğunu varsayalım.. 1. 1 olduğunu gösterelim........ 1. 1. negatif bir tamsayı olsun..... Böylelikle ispat tamamlanmış oldu (Yaylı ve Kabadayı 2009). 3.4 Dual Kuaterniyonlar için Euler Formülü için 1 dir. Bu bilgiden yola çıkarak, 1 olduğunu da görüp. için 1 w 2! 3! 4! 1 2! 4!. 3! 5! 13
yazılabilir. Burada 1 45 2! 4! 46 3! 5! açılımlarını da kullandık (Yaylı ve Kabadayı 2009). 14
4. KUATERNİYONLARA KARŞILIK GELEN MATRİSLER İÇİN DE-MOIVRE VE EULER FORMÜLLERİ 4.1 Reel Kuaterniyona Karşılık Gelen Matris bir reel kuaterniyon olsun. Sol çarpım fonksiyonunun. şeklinde tanımlayalım. 1,,, olmak üzere dönüşümü den e lineer bir dönüşümdür. Bu dönüşüm bir dönmeye karşılık geldiğinden kolayca gösterilebilir ki açıyı ve normu korur. (47). (48) ü geren vektörler şunlardır. 1 1,0,0,0 0,1,0,0 0,0,1,0 0,0,0,1... ve 1 olsun. 1. 1.... 1............... 15
.................................. Böylece dönüşümünün matris temsili 49 dir. Açıkça; gösterilebilir ki bu matris ortogonaldir. Yani. ve 1 dir. Böylece 4, dir ki burada., de in dönmesine karşılık gelir. Kuaterniyon cebiri birleşmeli olduğundan matrislerde de aynı özelik sağlanır. Böylece dönüşümü, reel kuaterniyon uzayı ile bileşenleri reel sayılar olan 44 tipindeki matrisler uzayı arasında şu şekilde tanımlanabilir.,,.,,, 50... 51 Burada matrislerde toplama işlemi, matrislerde çarpma işlemidir (Ward 1997). 16
Teorem 4.1.1,,.,,,... Şeklinde tanımlanan dönüşümü bir izomorfizimdir (Ward 1997). İspat 4.1.1 dönüşümünün izomorfizim olduğunu göstermek için 1-1, örten ve homomorfizma olduğunu göstermemiz gerekir. Öncelikle bu dönüşümün homomorfizma olduğunu yani aşağıdaki eşitlikleri sağladığını gösterelim. (52). (53), ve...,... olsun...................... 17
. Burada............ olarak düşünüldü (Ward 1997). Şimdide 1-1 olduğunu gösterelim........, 1,. Öyleyse,,, dir. O halde dir. Örten olduğunu gösterelim.,,,, (54),,,,, (55) 18
olmak üzere her, için olacak şekilde vardır. Böylelikle ispat tamamlanmış oldu. matrisini kutupsal formda yazalım. birim kuaterniyon olsun........,.,.,.. Buradan.......... (56).. şeklinde matrisinin kutupsal formdaki ifadesine ulaşabiliriz. 4.2 Reel Kuaterniyona Karşılık Gelen Matris İçin De-Moivre Formülü reel birim kuaterniyon, nun kutupsal formu. olmak üzere kuaterniyonuna karşılık gelen matrisler için De-Moivre formülünü bulalım. Lemma 4.2.1........................ olmak üzere. matrisi 19
. şeklindedir............. İspat 4.2.1. olsun..... =... Böylelikle ispat tamamlanmış oldu. Teorem 4.2.2 Her tamsayısı için matrisinin. kuvveti............ dir. Yani............ 20
........................ İspat 4.2.2 Pozitif tamsayılar için ispatı tümevarımla yapalım. 2 için ifadenin Lemma 4.2.1 den doğruluğu kolayca. 2. 2. 2 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2 2. 2. 2 2........................ görülebilir. için doğru olduğunu varsayıp için de doğruluğunu gösterelim............. 21
1. 1. 1 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1 1. 1. 1 1 negatif bir tamsayı olsun..................................... olur ki bu da ispatı tamamlar. Teorem 4.2.2 de verilen formülü biz reel kuaterniyonlara karşılık gelen matrisler için De-Moivre formülü olarak adlandırabiliriz. 4.3 Reel Kuaterniyona Karşılık Gelen Matris İçin Euler Formülü bir matris olsun. Biz matrisini 22
0 0 (57) 0 0 seçelim. olduğu hemen görülebilir. Gerçekten de;. 0 0. 0 0 0 0 = 0 0........................ 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1. 2! 3! 1 2! 4! 3! 5!. (58) 0 0. 0 0............. 23
4.4 Dual Kuaterniyona Karşılık Gelen Matris bir dual kuaterniyon olsun. Sol çarpım fonksiyonunu. olarak tanımlayalım. 1,,, olmak üzere dönüşümü den e lineer bir dönüşümdür. Bu dönüşüm bir dönmeye karşılık geldiğinden kolayca gösterilebilir ki açıyı ve normu korur. (59). (60) ü geren vektörler şunlardır. 1 1,0,0,0 0,1,0,0 0,0,1,0 0,0,0,1... ve 1 olsun. 1. 1.... 1..................... 24
............................... Böylece dönüşümünün matris temsili 61 olarak ifade edilebilir. Açıkça; gösterilebilir ki bu matris ortogonaldir. Yani. ve 1 dir. Böylece 4, dir ki burada., de in dönmesine karşılık gelir. Kuaterniyon cebiri birleşmeli olduğundan matrislerde de aynı özelik sağlanır. Böylece dönüşümü, dual kuaterniyon uzayı ile bileşenleri dual sayılar olan 44 tipindeki matrisler uzayı arasında şu şekilde tanımlanabilir.,,.,,, 62.... 63 Burada matrislerde toplama işlemi, matrislerde çarpma işlemidir. 25
Teorem 4.4.1 :,,.,,,... Şeklinde tanımlanan dönüşümü bir izomorfizimdir. İspat 4.4.1 dönüşümünün izomorfizim olduğunu göstermek için 1-1, örten ve homomorfizma olduğunu göstermemiz gerekir. Öncelikle bu dönüşümün homomorfizma olduğunu yani aşağıdaki eşitlikleri sağladığını gösterelim. (64). (65), ve...,... olsun...................... 26
. Burada................ olarak düşünüldü. Şimdi de 1-1 olduğunu gösterelim...., 1,. Öyleyse,,, dir. O halde dir. Örten olduğunu gösterelim.,,,, (66),,,,, (67) 27
olmak üzere her, için olacak şekilde bir vardır. Böylelikle ispat tamamlanmış oldu. matrisini kutupsal formda yazalım. birim kuaterniyon ve. dual açı olsun........,.,.,. Buradan........... (68). şeklinde matrisinin kutupsal formdaki ifadesine ulaşabiliriz. 4.5 Dual Kuaterniyona Karşılık Gelen Matris İçin De-Moivre Formülü dual birim kuaterniyon, nun kutupsal formu. olmak üzere kuaterniyonuna karşılık gelen matrisler için De-Moivre formülünü bulalım. Lemma 4.5.1........................ olmak üzere. matrisi 28
............. şeklindedir. İspat 4.5.1. ve. dual açılar. olsun..... =.... Böylelikle ispat tamamlanmış oldu. Teorem 4.5.2 Her tamsayısı için matrisinin. kuvveti............ dir. Yani............ 29
......................... İspat 4.5.2. dual açı olmak üzere pozitif tamsayılar için ispatı tümevarımla yapalım. 2 için Lemma 4.5.1 den ifadenin doğruluğu kolayca. 2. 2. 2 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2 2. 2. 2 2........................ olarak görülür. İfadenin için doğru olduğunu varsayıp için de doğruluğunu gösterelim............. 30
1. 1. 1 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1 1. 1. 1 1 negatif bir tamsayı olsun..................................... olur ki bu da ispatı tamamlar. Teorem 4.5.2 de verilen formülü biz dual kuaterniyonlara karşılık gelen matrisler için De-Moivre formülü olarak adlandırabiliriz. 4.6 Dual Kuaterniyona Karşılık Gelen Matris İçin Euler Formülü bir matris olsun. Biz matrisini 31
0 0 (69) 0 0 seçelim. olduğu hemen görülebilir. Gerçekten de;. 0 0. 0 0 0 0 = 0 0........................ 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1. 2! 3! 1 2! 4!. 3! 5! 0 0. 0 0............ 32
5. UYGULAMALAR 5.1 Kuaterniyon Matrislerinde Üs Alma İncelediğimiz dönüşümlerin birbirleri ile olan ilişkisini aşağıdaki şema yardımıyla daha iyi görebiliriz. reel kuaterniyonunu matrisine çeviren dönüşümünü daha önce ifade ettik. Bu dönüşümün bir izomorfizim olduğunu yani yapıyı koruyan, bire bir, örten bir dönüşüm olduğunu Teorem 4.1.1 de gösterdik. reel kuaterniyonunu matrisine çeviren dönüşümü de aynı dönüşümdür. Bir reel kuaterniyonunun. kuvveti i bulmayı CHO nun makalesinden biliyoruz. Bizim burada ilave olarak ortaya koyduğumuz şey ise matrisinin. kuvveti olan i bulmak için bir metot geliştirmektir. Aynı zamanda ( 70 ) eşitliğini göstermektir. matrisinin tüm tamsayılar için üssünü almak mümkündür. pozitif bir tamsayı olsun. matrisi öncelikle (56) yardımıyla kutupsal formda yazılır. Daha sonra Teorem 4.2.2 yardımıyla kutupsal formdaki bu matrisin kuvveti alınır. Son olarak bu matrislerde işlemler yapılarak bulunur. negatif bir tamsayı olsun. 33
1 olduğunu biliyoruz. 0 olduğundan matrisinin tersi vardır. O halde gibi düşünmek üssü almak için yeterli olacaktır. Tahmin edileceği gibi bir matriste yukarıdaki işlemleri yapmak zahmetli bir iştir. Bu yüzden bu işlemleri yapacak bir program Maple yardımıyla yazılmış. Maple da çözülmüş çeşitli örnekler bu bölüme ilave edilmiştir. 5.2 Üsler Arasında İlişki Bir reel kuaterniyona karşılık gelen matrisin üsleri arasındaki ilişkiyi gösteren aşağıdaki teoremler ifade edilebilir. Teorem 5.2.1 birim reel kuaterniyonunun kutupsal formdaki ifadesi. dir. 1 olsun. olması için gerek ve yeter koşul olmasıdır. İspat 5.2.1 olsun. O halde., dir....... 2. 2 olduğu için 2 dir.. Diğer taraftan olsun.. 34
. olmak üzere yazılabilir. Buradan 2,.. Teorem 5.2.2 birim reel kuaterniyonunun kutupsal formdaki ifadesi. dir. 1 olsun. kuaterniyonuna karşılık gelen matris olsun. olması için gerek ve yeter koşul olmasıdır. İspat 5.2.2 İspatı Teorem 5.2.1 den kolayca görülür. Teorem 5.2.3 reel kuaterniyonunun kutupsal formdaki ifadesi. dir. 1 olsun. olması için gerek ve yeter koşul olmasıdır. İspat 5.2.3 olsun. O halde., dir... 35
.... 2. 2. olduğu için 2 dir... Diğer taraftan olsun..... olmak üzere ve yazılabilir. Buradan 2,.. Teorem 5.2.4 reel kuaterniyonunun kutupsal formdaki ifadesi. dir. 1 olsun. ya karşılık gelen matris olsun. olması için gerek ve yeter koşul olmasıdır. İspat 5.2.4 İspatı Teorem 5.2.3 den kolayca görülür. 36
Teorem 5.2.5 bir birim reel kuaterniyonunun kutupsal formdaki ifadesi. dir. 0, için olacak şekilde 0, aralığının içine düşen bir sayısı vardır ve tektir. İspat 5.2.5.. olsun.., olacak şekilde 0, aralığının içine düşen bir sayısı vardır ve tektir..... 2. 2.. Teorem 5.2.6 reel kuaterniyonunun kutupsal formdaki ifadesi. dir. 0, için olacak şekilde 0, aralığının içine düşen bir sayısı vardır ve tektir. İspat 5.2.6 Teorem 5.2.5 den kolayca görülebilir. Özel Haller 1.) 1 ve olsun.. 37
1. 1 2. 2 olduğu için 2 dir... 2.) Buradan hemen yazılabilir. 3.) 1 ve olsun.. 1. 1 2. 2 olduğu için 2 dir... 4.) Buradan hemen yazılabilir. 38
5.3 Kuaterniyon Matrislerinde Kök Bulma 5.3.1 Kuaterniyon matrislerin. dereceden kökleri (1) ile verilen reel kuaterniyonun kutupsal formu (10) şeklindedir. Bu kuaterniyona karşılık gelen matrisin (49) şeklinde, bu matrisin kutupsal şeklinde yazılmış halinin de (56) şeklinde olduğunu biliyoruz. (56) daki matrisi daha genel halde olmak üzere 2. 2. 2 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2 2. 2. 2 2 şeklinde ifade etmiştik. denkleminin n tane kökü vardır. Bu denklemden elde edilir. O halde 2 2. 2 2. 2 2.. 2 2.. 2 2.. 2 2.. 2 2. 2 2. 0 için ilk kök............ 39
1 için ikinci kök............ 1 için. kök şeklinde ifade edilebilir. Teorem 5.3.1 (56) ile verilen matrisinin. dereceden köklerinin ailesi olsun. : 1, olmak üzere,, ç dir. İspat 5.3.1... olsun. 1 1 olarak bulunur. Eğer tek sayı ise 1 çift sayıdır. Öyleyse 1 40
1 dır. Eğer çift sayı ise 1 tek sayıdır. O halde 1 1 dır. 5.3.2 Kuaterniyon matrislerin karekökleri (56) daki matrisi daha genel halde olmak üzere 2. 2. 2 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2 2. 2. 2 2 şeklinde ifade edilebilir. denkleminin iki kökü vardır. Bu denklemden elde edilir. O halde 2 2 2. 2 2 2. 2 2 2 2. 2. 2 2 2. 2. 2 2 2. 2. 2 2 2. 2. 2 2 2 2. 2 2 2. 2 2 0 için ilk kök 41
2. 2. 2 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2 2. 2. 2 2 1 için ikinci kök 2. 2. 2 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2 2. 2. 2 2 2. 2. 2 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2 2. 2.. 2 2 Buradan hemen görülebilir ki 0 dır. 5.3.3 Kuaterniyon matrislerin küpkökleri (56) daki matrisi daha genel halde olmak üzere 2. 2. 2 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2 2. 2. 2 2 şeklinde ifade etmiştik. denkleminin üç kökü vardır. Bu denklemden elde edilir. O halde 42
............ 0 için ilk kök 3. 3. 3 3. 3. 3. 3. 3. 3. 3. 3. 3 3. 3. 3 3 1 için ikinci kök 3 2 3. 3 2 3. 3 2 3 3 2 3. 3 2 3. 3 2 3. 3 2 3. 3 2 3. 3 2 3. 3 2 3. 3 2 3. 3 2 3 3 2 3. 3 2 3. 3 2 3 3 2 3 2 için üçüncü kök 3 4 3. 3 4 3. 3 4 3 3 4 3. 3 4 3. 3 4 3. 3 4 3. 3 4 3. 3 4 3. 3 4 3. 3 4 3. 3 4 3 3 4 3. 3 4 3.. 3 4 3 3 4 3 43
5.4 Kuaterniyon Matrislerinin Rasyonel Üsleri Bölüm 5.1 de Bölüm 4.2 yardımıyla kuaterniyona karşılık gelen matrislerin tüm tamsayı üslerine ulaşmıştık. Bölüm 5.3 de ise bu tür matrislerin. dereceden kökleri verilmişti. Bu bölümde (49) matrisinin kesirli üslerini bu kökler yardımıyla nasıl alabileceğimizi gösterelim.,, olsun. (49) tipinde bir matris olmak üzere diye düşünerek matrisinin kesirli üslerini alabiliriz. matrisini Bölüm 5.1 den bulabiliriz. Bu matrisin. dereceden kökleri bize matrisini verecektir. ( matrisinin 4. dereceden kökleri) ( matrisinin karekökleri) 44
6. MAPLE UYGULAMALARI 6.1 Maple Yardımıyla Reel Kuaterniyon Matrisinde Üs Alma Örnek 6.1.1 1 reel kuaterniyonu verilmiş olsun. Bu kuaterniyona karşılık gelen matris 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 dır. Bu matrisin 5. kuvveti Maple yardımıyla aşağıdaki şekilde hesaplanır. > with(linalg): > a:=1; b:=1; c:=1; d:=1; > N[q]:=sqrt(a^2+b^2+c^2+d^2); > N[m]:=sqrt(b^2+c^2+d^2); > s:=solve(cos(x)=a/n[q]); > n:=5; 45
> e:=cos(n*s); > f:=(b/n[m])*sin(n*s); > g:=(c/n[m])*sin(n*s); > h:=(d/n[m])*sin(n*s); > A:=matrix(4,4,[e,-f,-g,-h,f,e,-h,g,g,h,e,-f,h,-g,f,e]); > B:=evalf(evalm(((N[q]^(n))*A)),6); Aynı matrisin 4. üssüde > with(linalg): > a:=1; b:=1; c:=1; d:=1; 46
> N[q]:=sqrt(a^2+b^2+c^2+d^2); > N[m]:=sqrt(b^2+c^2+d^2); > s:=solve(cos(x)=a/n[q]); > n:=-4; > e:=cos(n*s); > f:=(b/n[m])*sin(n*s); > g:=(c/n[m])*sin(n*s); > h:=(d/n[m])*sin(n*s); > A:=matrix(4,4,[e,-f,-g,-h,f,e,-h,g,g,h,e,-f,h,-g,f,e]); 47
> B:=evalf(evalm(((N[q]^(n))*A)),6); Örnek 6.1.2... reel kuaterniyonu verilmiş olsun. Bu kuaterniyona karşılık gelen matris 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 dir. Bu matrisin bazı üslerini alalım. olmak üzere 5 için 100 için 48
7 için Teorem 5.2.2 den 3 olduğundan sonuçlarına da varabiliriz. 49
6.2 Maple Yardımıyla Kök Bulma Örnek 6.2.1 1 reel kuaterniyonu verilmiş olsun. Bu kuaterniyona karşılık gelen matris 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 dır. Bu matrisin küp köklerini Maple yardımıyla aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz. > with(linalg): > a:=1; b:=1; c:=1; d:=1; > N[q]:=sqrt(a^2+b^2+c^2+d^2); > N[m]:=sqrt(b^2+c^2+d^2); > s:=solve(cos(x)=a/n[q]); > n:=3; > e:=k->(n[q]^(1/n))*cos((s+2*k*pi)/n); > f:=k->(n[q]^(1/n))*(b/n[m])*sin((s+2*k*pi)/n); 50
> g:=k->(n[q]^(1/n))*(c/n[m])*sin((s+2*k*pi)/n); > h:=k->(n[q]^(1/n))*(d/n[m])*sin((s+2*k*pi)/n); > T:=i->evalf(matrix(4,4,[e(i),-f(i),-g(i),- h(i),f(i),e(i),-h(i),g(i),g(i),h(i),e(i),-f(i),h(i),- g(i),f(i),e(i)])); > i=0..n-1; > for i from 0 by 1 while i < n do T(i) end do; 51
Aynı matrisin 6. dereceden kökleri > with(linalg): > a:=1; b:=1; c:=1; d:=1; > N[q]:=sqrt(a^2+b^2+c^2+d^2); > N[m]:=sqrt(b^2+c^2+d^2); > s:=solve(cos(x)=a/n[q]); > n:=6; > e:=k->(n[q]^(1/n))*cos((s+2*k*pi)/n); > f:=k->(n[q]^(1/n))*(b/n[m])*sin((s+2*k*pi)/n); > g:=k->(n[q]^(1/n))*(c/n[m])*sin((s+2*k*pi)/n); 52
> h:=k->(n[q]^(1/n))*(d/n[m])*sin((s+2*k*pi)/n); > T:=i->evalf(matrix(4,4,[e(i),-f(i),-g(i),- h(i),f(i),e(i),-h(i),g(i),g(i),h(i),e(i),-f(i),h(i),- g(i),f(i),e(i)])); > i=0..n-1; > for i from 0 by 1 while i < n do T(i) end do; 53
Örnek 6.2.2... reel kuaterniyonu verilmiş olsun. Bu kuaterniyona karşılık gelen matris 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 dir. Bu matrisin karekökleri, yani : Küp kökleri, yani : 54
6.3 Maple Yardımıyla Matrisin Kesirli Üssünü Alma Örnek 6.2.1 1 reel kuaterniyonu verilmiş olsun. Bu kuaterniyona karşılık gelen matris 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 dır. Bu matrisin -2/3. üssünü Maple yardımıyla aşağıdaki şekilde hesaplayabiliriz. > with(linalg): > a:=1; b:=1; c:=1; d:=1; > N[q]:=sqrt(a^2+b^2+c^2+d^2); 55
> N[m]:=sqrt(b^2+c^2+d^2); > s:=solve(cos(x)=a/n[q]); > n:=3; > l:=-2; > e:=k->(n[q]^(1/n))*cos((s+2*k*pi)/n); > f:=k->(n[q]^(1/n))*(b/n[m])*sin((s+2*k*pi)/n); > g:=k->(n[q]^(1/n))*(c/n[m])*sin((s+2*k*pi)/n); > h:=k->(n[q]^(1/n))*(d/n[m])*sin((s+2*k*pi)/n); > T:=i->evalf(matrix(4,4,[e(i),-f(i),-g(i),-h(i),f(i),e(i),- h(i),g(i),g(i),h(i),e(i),-f(i),h(i),-g(i),f(i),e(i)])); 56
> i=0..n-1; > for i from 0 by 1 while i<n do T(i) end do; > for i from 0 by 1 while i<n do evalm(t(i)^l) end do; 57
6.4 Maple Yardımıyla Dual Kuaterniyon Matrisinde Üs Alma Örnek 6.4.1 1 2 3 4 5 6 7 8 dual kuaterniyonuna karşılık gelen matris olsun. matrisini bulunuz. > with(linalg): > a:=1; b:=2; c:=3; d:=4; e:=5; f:=6; g:=7; h:=8; > A:=matrix(8,8,[a,b,-c,-d,-e,-f,-g,-h,0,a,0,-c,0,-e,0,- g,c,d,a,b,-g,-h,e,f,0,c,0,a,0,-g,-0,e,e,f,g,h,a,b,-c,- d,0,e,0,g,0,a,0,-c,g,h,-e,-f,c,d,a,b,0,g,0,-e,0,c,0,a]); > B:=evalm(A^4); 58
7. GEOMETRİK ANLAM 7.1 Vektör Kuaterniyonların Çarpımı ve Geometrik Anlamı, yani iki birim vektör kuaterniyon olsun. O halde 1, 0, olduğunu görebiliriz....... olmak üzere ile nin kuaterniyon çarpımı :......, dir., 0 ise (İki vektör kuaterniyonun çarpımı, vektör kuaterniyondur.), 0 ise (İki vektör kuaterniyonun çarpımı, kuaterniyondur.) İç çarpım simetrik, vektörel çarpım anti simetrik olduğundan,, dır. Buradan,, 59
dir. olmak üzere,. dir. Burada dir..., bulunur. ( Hacısalihoğlu 1983 ) Sonuç 7.1.1.,,., olmak üzere nın anlamı bir vektör kuaterniyonunu kuaterniyonu ile çarpmak demek, vektörünü normali olan düzlem üzerinde kadar döndürmek demektir (Hacısalihoğlu 1983). 60
Şekil 7.1 İki kuaterniyonun çarpımının geometrik anlamı Birim kuaterniyonlar yardımıyla herhangi bir eksen etrafında dönme. de herhangi bir ekseni etrafında bir vektörünün kadar dönmesiyle elde edilsin. Eğer. olması durumunda dir. Matrislerde. 1. dir.,, birim dönme elemanı ve matris de 0 0 0 dir (Hacısalihoğlu 1983). 61
7.2 Dual Kuaterniyonlar, Dönme, Kayma, Vida Operatörleri Dönme Operatörü: ve iki birim dual vektör kuaterniyonlar olsun. ve ye karşılık gelen doğrular sırası ile ve olsun. 0 ve ile arasındaki açı. olmak üzere 0 dır. ve birim dual vektör olmak üzere; olarak bulunur. Burada. operatörüne dönme operatörü denir. Kayma Operatörü: ile arasındaki açı. olmak üzere 0 olsun. Bu durumda ve ye karşılık gelen doğrular paraleldir., 0, 0 dır. 1 1 1 operatörüne kayma operatörü denir. Vida Operatörü: ile arasındaki açı. olmak üzere 0, 0 olsun. Bu durumda ve ye karşılık gelen doğrular kesişmeyen ve paralel olmayan doğrulardır. ve ye 62
karşılık gelen doğrular sırası ile ve olsun. ve doğrularının ortak dikme doğrusuna karşılık gelen ve ile sağ sistem oluşturan birim dual vektör olsun.. yazabiliriz.. birim dual kuaterniyonu ile bir birim dual vektörünü soldan çarpmak demek ya karşılık gelen doğruyu nin doğrultu ve yönünde nin dual kısmı kadar kaydırmak hemen ardından da etrafında nin reel kısmı kadar döndürmektir (Hacısalihoğlu 1983). 7.3 Kuaterniyonun Üssünün Geometrik Anlamı,, 1 1., olmak üzere nın anlamı bir vektör kuaterniyonunu kuaterniyonu ile çarpmak demek, vektörünü normali olan düzlem üzerinde 1 kadar döndürmek demektir. Şekil 7.2 Bir kuaterniyonun üssünün geometrik anlamı 63
KAYNAKLAR Cho, E. 1998 De-Moivre s Formula for Quaternions, Appl. Math. Lett. Vol. 11 No. 6 pp.33-35, 1998 Elsevier Science Ltd., Great Britain Hacısalihoğlu, H. H. 1983 Hareket Geometrisi ve Kuaterniyonlar Teorisi, Gazi Üniversitesi Fen-Fakültesi Yayınları Mat. No. 2. Hacısalihoğlu, H.H. 2000 Vektör Uzaylarının Lineer Dönüşümleri ve Matrisler, Lineer Cebir, Ankara Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Yayınları, Ankara, I: 298 Kula, L. ve Yaylı, Y. 2006 Dual Sayı Üçlülerinin Değişmeli Çarpımı, Dumlupınar Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi 10. Sayı Kütahya Mayıs Ölmez, O. 2006Genelleştirilmiş Kuaterniyonlar ve Uygulamaları, Yüksek Lisans Tezi Ankara Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Ankara Ward, J.P. 1997 Quaternions and Cayley Numbers Algebra and Applications, Kluwer Academic Publishers,London, 54-102 Yaylı, Y. and Kabadayı, H. 2009 De Moivre s Formula For Dual Quaternions, (Yayına gönderildi) 64
ÖZGEÇMİŞ Kişisel Bilgiler Adı Soyadı Doğum Yeri : Mücahit MERAL : BURSA Doğum Tarihi : 14.05.1979 Medeni Hali Yabancı Dili : Bekar : İngilizce Eğitim Durumu ( Kurum ve Yıl ) Lisans : Dumlupınar Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü (2005) Yüksek Lisans : Ankara Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Matematik Anabilim Dalı (Aralık 2009) Yayınları M. MERAL, A. ŞİMDİ, Lagrange İnterpolasyon Polinomu Yardımı ile Volterra Türü Lineer İntegro-Diferensiyel Denklemlerin Nümerik Çözümleri, XIX. Ulusal Matematik Sempozyumu, 22-25 Ağustos 2006, KÜTAHYA 65