DOKTORA TEZİ. Zafer ÜNAL

ÖZET Doktora Tezi LORENZ UZAYINDA CEB IRSEL METOTLARLA K INEMAT IK Zafer ÜNAL Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal Dan şman: Prof. Dr. Yusuf YAYLI Bu tez beş bölümden oluşmaktad r. Birinci bölümde tezin önemi irdelenmiştir. Ikinci bölümde, tezde kullan lan temel tan m ve kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümde, helisel vektör alanlar ve bunlar n dual kuaterniyonlarla ilişkisi ele al nm şt r. Dördüncü bölümde, Öklid uzay nda helisel vektör alanlar yard m yla bir parametreli hareketlerin integral e¼grilerinin cinsi belirlenmiştir. Son bölümde, Öklid uzay nda yap lan işlemler Lorenz uzay na genelleştirilmiştir. 007, 64 sayfa Anahtar Kelimeler : Helisel vektör alan, Integral e¼grisi, Vida hareketi, 1-Parametreli hareket, Dual kuaterniyon, Öklid uzay, Lorenz uzay, Kinematik. i

ABSTRACT Ph.D. Thesis KINEMATICS WITH ALGEBRAIC METHODS IN LORENTZIAN SPACES Zafer ÜNAL Ankara University Graduate School of Natural And Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Yusuf YAYLI This thesis consists of ve chapters. In the rst chapter, is given the importance of thesis The second chapter, is devoted to the introduction. In the third chapter, the relationship between helicoidal vector elds and Dual quaternions is examined. In the fourth chapter, in Euclidean space, the classi cation of the integral curves of the one parameter motions are given by the help of the helicoidal vector elds. In the last chapter, the results which are required in Euclidean space are generalized into Lorentzian space. 007, 64 pages Key Words : Helicoidal vector eld, Integral curve, Screw motion, 1-parameter motion, Dual quaternion, Euclidean space, Lorentzian space, Kinematics. ii

TEŞEKKÜR Bana araşt rma olana¼g sa¼glayan ve çal şmalar m n her safhas nda yak n ilgi ve önerileri ile beni yönlendiren dan şman hocam, Say n Prof. Dr. Yusuf YAYLI (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi) ya ve yard mlar n esirgemeyen hocalar m, Say n Prof. Dr. H. Hilmi HACISAL IHO ¼GLU (Ankara Üniversitesi) na ve Say n Prof. Dr. Baki KARLI ¼GA (Gazi Üniversitesi) ya teşekkürlerimi bir borç bilirim. Son olarak, her aşamada bana destek olan sevgili eşim Derya ÜNAL ve biricik o¼glum Burak ÜNAL a teşekkürlerimi sunar m. Zafer ÜNAL Ankara, Eylül 007 iii

IÇ INDEK ILER ÖZET................................................................. i ABSTRACT.......................................................... ii TEŞEKKÜR......................................................... iii S IMGELER D IZ IN I.................................................. vi ŞEK ILLER D IZ IN I.................................................. vii 1. G IR IŞ............................................................. 1. TEMEL KAVRAMLAR............................................. HEL ISEL VEKTÖR ALANLARI VE DUAL KUATERN IYONLAR 6.1 Vidalar Üzerinde Işlemler......................................... 6.1.1 D Vektör uzay.................................................. 6.1. D Vektör uzay üzerinde Lie operatörü........................... 6.1. D üzerinde iççarp m............................................. 7.1.4 D de D nin temsili............................................... 7.1. işlemi......................................................... 7. Dual Say lar ve D Üzerinde Modül Yap s.......................... 8. Dual Kuaterniyonlar n Yeni Bir Geometrik Tan m............... 14.4 Norm ve H da Ters Eleman.......................................16 4. ÖKL ID UZAYINDA HEL ISEL VEKTÖR ALANLARI............ 0 4.1 1-Parametreli Hareketler......................................... 0 iv

4. E de Helisel Vektör Alanlar n n Integral E¼grileri................. 6 4. E n+1 Öklid Uzay nda Helisel Vektör Alanlar..................... 9. LORENZ UZAYINDA HEL ISEL VEKTÖR ALANLARI.......... 40.1 1-Parametreli Hareketler......................................... 40. Lorenz Uzay nda Helisel Vektör Alanlar..........................46..1 D vektör uzay..................................................47.. D de Lie operatörü............................................. 47.. D de iççarp m.................................................. 49..4 D de D nin temsili.............................................. 49. Helisel Vektör Alanlar n n Integral E¼grileri....................... 1.4 E n+1 1 Lorenz Uzay nda Helisel Vektör Alanlar.................... 4 KAYNAKLAR.......................................................64 ÖZGEÇM IŞ......................................................... 6 v

S IMGELER D IZ IN I E n R n E1 n O(n) SO(n) so(n) SE(n) se(n) A A X D y h y o D N(q) n-boyutlu Öklid uzay n-boyutlu reel vektör uzay n-boyutlu Lorenz uzay n-boyutlu ortogonal matrislerin grubu n-boyutlu ortogonal matrislerin özel altgrubu SO(n) matris Lie grubuna karş l k gelen Lie cebiri R n de kat cisim hareketlerinin grubu SE(n) Lie grubuna karş l k gelen Lie cebiri A n dönüşüm A dönüşümünün lineer k sm Helisel vektör alan Helisel vektör alanlar n n cümlesi Homogen çözüm Özel çözüm Dual say lar q dual kuaterniyonunun normu vi

ŞEK IL D IZ IN I Şekil 4.1 Ani hareket.................................................. 1 vii

1. G IR IŞ Son zamanlarda Diferensiyel Geometri konular n n Kinematikte yo¼gun bir şekilde ele al nd ¼g görülmektedir. Özelikle kat cisimlerin hareketlerinin Lie grup ve Lie cebir yap s yard m yla vida operatörlerinin geniş bir uygulamas verilebilmektedir. Uygulamalara cebirsel metotlar da epey zenginlik katmaktad r. Kinematikte temel kavramlar, modül yap lar yla daha da zenginleştirilmiştir. Chevallier (1991), modül yap s n kullanarak, kinematikteki kavramlar genişletmiş ve bu sayede Dual Kuaterniyonlar n yeni yap s n vermiş ve bu yeni yap y kat hareketlere uygulam şt r. Bu çal şmada, Chevallier (1991) in ele ald ¼g helisel vektör alanlar n n Kinematikte yeni uygulamalar verilmiştir. Lineer vektör alanlar n n tan m ve uygulamalar, Karger and Novak (198) taraf ndan verilmiştir. Acratalishian (1989), lineer vektör alanlar n n integral e¼grilerini Öklid uzay için incelemiş. Fakat hareketler ile ilişkisini vermemiştir. Helisel vektör alanlar, lineer vektör alanlar olarak ele al n p, bu vektör alanlar n n ani hareketlerle ilişkisi incelenmiştir. Ani hareketlerde; bir noktan n yörüngesinin, helisel vektör alanlar n n integral e¼grileri olarak verilebilece¼gi gösterilmiştir. Helisel vektör alanlar, lineer vektör alan olarak verilebildi¼ginden, bu vektör alanlar na bir matris karş l k getirilmiş ve bu matrisin rank yard m yla, yörüngelerin cinsi belirlenmiştir. Helisel vektör alanlar ile ani hareketlerin yörüngeleri aras ndaki ilişki, önce Öklid uzay nda, daha sonra da Lorenz uzay ndaki hareketler için verilmiştir. 1

. TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde, tez için gerekli olan baz temel kavram ve teoremleri verece¼giz. Tan m.1. V bir vektör uzay ve S de boş olmayan bir nokta cümlesi olsun. Aşa¼g daki şartlar sa¼glayan bir f : S S! V fonksiyonu varsa, S ye V ile birleştirilmiş bir a n uzay denir. (i) Her P; Q; R S için f(p; Q) + f(q; R) = f(p; R) (ii) Her P S, her ~v V için f(p; Q) = ~v olacak şekilde bir tek Q S noktas vard r (Hac saliho¼glu 199). Tan m.. A : E! E dönüşümüne a ndir denir e¼ger, A : R! R! MN! A(! MN) =! A(M)A(N) olacak şekilde bir A lineer dönüşümü varsa. A ya A n n lineer k sm denir. (Hac saliho¼glu 1998). Tan m.. Her M; N E için d(m; N) = d(a(m); A(N)) uzakl k koruyan A : E! E dönüşümüne izometri denir (Hac saliho¼glu 1998). Tan m.4. R de ortogonal matrislerin cümlesi; O() = fa R : A T A = AA T = Ig şeklinde tan mlan r. Bu cümle standart matris çarp m işlemine göre bir gruptur. Bu gruba ortogonal grup denir (Karger and Novak 198).

Tan m.. O() ortogonal grubunun bir altgrubu olan ve SO() = fa R : A T A = AA T = I; det A = 1g şeklinde tan mlanan gruba özel ortogonal grup denir (Karger and Novak 198). SO() grubunun tan m n aşa¼g daki şekilde de verebiliriz: SO() = fa R :< AX; AY >=< X; Y >; A O(); det A = 1; 8X; Y R g: SO() bir matris Lie grubudur. Tan m.6. tan mlan r: SO() Lie grubuna karş l k gelen so() Lie cebiri aşa¼g daki şekilde 0!! so() = f! R :! = 6! 4 0! 1 7 ;!T =!g!! 1 0 (Karger and Novak 198). Tan m.7. E n de parametrik bir e¼gri : I! E n t! (t) = ( 1 (t); :::; n (t)) ve X; E n üzerinde bir vektör alan olmak üzere, her t I için d = X((t)) ise, e¼grisine X vektör alan n n bir integral e¼grisi denir (Hac saliho¼glu 199). Yani, e¼grisinin her noktas ndaki h z vektörü X vektör alan n n bu noktadaki de¼geri

ile çak ş r. Tan m.8. V ; n-boyutlu bir vektör uzay, X; V üzerinde bir vektör alan olsun. E¼ger, A : V! V bir lineer dönüşüm olmak üzere, her v V için X v = A(v) ise, X vektör alan na lineerdir denir (Karger and Novak 198). Teorem.9. A; E de bir anti-simetrik matrisle verilen lineer dönüşüm olsun. Bu durumda A n n matris formu, 6= 0 olmak üzere 0 0 A = 6 7 4 0 olacak şekilde E ün bir ortonormal baz vard r (Karger and Novak 198). Tan m.10. SE() = fa : A = 4 g c 0 1 ; g R ; g T g = I ; c R 1; det g = 1g cümlesi, standart matris çarp m işlemiyle bir gruptur. (SE(); :) grubuna R de kat cisim hareketlerinin özel grubu denir (Karger and Novak 198). SE() grubu topolojik yap s yla ele al nd ¼g nda, 6-boyutlu bir topolojik manifolddur. Bu durumda, SE() bir matris Lie grubudur. Zaman zaman SE() yerine D notasyonunu da kullanaca¼g z. 4

Tan m.11. SE() Lie grubuna karş l k gelen se() Lie cebiri; se() = f4! v :! R ;! T =!; v R 1g şeklinde tan mlan r (Karger and Novak 198). Buradaki!; anti-simetrik matrisi, ~! R vektörü ile tek türlü belirlidir: ~! = (! 1 ;! ;! ) R )! = 6 4 0!!! 0! 1!! 1 0 7 R : Tan m.1. SE() Lie grubunun tanjant operatörü; T = 4! v $ f~!; ~vg şeklinde tan ml bir operatördür. Burada! R ;! T = (Karger and Novak 198).!; v R 1; ~!; ~v R dir Her T se() eleman na bir f~!; ~vg vektör çifti karş l k gelir. A(t) SE() e¼grisi, kat cismin hareketini göstermek üzere, T (t) $ f~!(t); ~v(t)g için, ~!; cismin hareketinin aç sal h z n ve ~v; cismin hareketinin lineer h z n belirtir. Tan m.1. Plücker koordinat sisteminde (~a;~a ) bir vida olmak üzere, X : E! R M! X(M) = ~a + ~a ^! OM şeklinde tan mlanan X dönüşümüne helisel vektör alan denir. ~a ya X in ekseni denir ve! X ile gösterilir.

. HEL ISEL VEKTÖR ALANLARI VE DUAL KUATERN IYONLAR -boyutlu Öklid uzay E ve buna karş l k gelen vektör uzay R olmak üzere, her M; N E noktas, R! de bir tek MN vektörü belirtir. ~u; ~v R için < ~u; ~v > ve ~u ^ ~v, R de s ras yla iççarp m ve vektörel çarp m göstersin..1 Vidalar Üzerinde Işlemler.1.1 D Vektör uzay Tan m.1 de verilen X helisel vektör alan n göz önüne alal m. alanlar n n cümlesini D ile gösterelim. Helisel vektör (X + Y )(M) = X(M) + Y (M); M E ( X)(M) = X(M); R işlemleriyle birlikte D cümlesi bir reel vektör uzay oluşturur. Şimdi bu vektör uzay üzerinde tan mlanan di¼ger işlemleri ele alal m..1. D Vektör uzay üzerinde Lie operatörü D üzerinde tan mlanan [ ; ] : D D! D (X; Y )! [X; Y ](M) = ~a ^ Y (M) ~ b ^ X(M) işlemini göz önüne alal m. Burada X(M) = ~a + ~a ^ OM,! Y (M) = ~ b + ~ b ^ OM! de¼gerleri yerlerine yaz l rsa, [X; Y ](M) = ~a ^~b + ~a ^~b + (~a ^~b) ^ OM! (:1:1) = [X; Y ](N) + (! X ^! Y ) ^ MN! 6

elde edilir ki, bu da [X; Y ] nin de bir helisel vektör alan oldu¼gunu gösterir. Ayr ca,! [X;Y ] = ~a ^~b şeklindedir. [ ; ] operatörü, antisimetrik, bilineer ve Jacobi özdeşli¼gi özeliklerini sa¼glar. Dolay s yla D; R üzerinde bir Lie cebiridir..1. D Üzerinde iççarp m [ j ] : D D! R (X; Y )! [X j Y ] =< ~a; ~ b > + < ~a ; ~ b > (:1:) şeklinde tan mlanan simetrik, bilineer, non-dejenere form, D de iççarp m olarak adland r l r. Bu iççarp m ifadesi M nin seçilişinden ba¼g ms zd r. E¼ger [X j Y ] = 0 ise, X ile Y karş l kl vidalar olarak adland r l rlar..1.4 D de D nin temsili A D bir kat hareket olsun. A : D! D X! A (X)(M) = A(X(A 1 (M))) (:1:) dönüşümü yard m yla D deki elemanlar D vektör uzay n n elemanlar cinsinden tan mlanm ş oldu. A lineer oldu¼gundan A dönüşümü de lineerdir. Ayr ca, her A; B D için (A:B) = A B ve! AX = A(! X ) 7

dir..1. işlemi D üzerinde tan mlanan : D! D X! X(M) = ~a dönüşümü lineerdir ve X sabit bir vektör alan d r. n n görüntüsü ve çekirde¼gi E üzerinde de¼ger alan altuzaylard r. Ayr ca, = = ~0 d r. D vektör uzay, D Lie grubuna karş l k gelen Lie cebirine izomorftur. Bunu.1.1,.1.4 ve.1. işlemleri yard m yla söyleyebiliriz. Bu işlemler aras nda çok say da ba¼g nt vard r. Şimdi bunlar n baz lar n ele alal m: [X j [Y; Z]] = [Y j [Z; X]] (:1:4) [X; [Y; Z]] = [X j Z]Y [X j Y ]Z+ < ~a;~c > Y < ~a; ~ b > Z: (:1:) Bu ba¼g nt lar adi anlamda vektörel çarp m n ve karma çarp m n genişletilmişi görünümündedir. Ikinci eşitlikten Jacobi özdeşli¼gini görmek kolayd r. Ayr ca, [X j Y ] = [X j Y ] =< ~a; ~ b > (:1:6) [X; Y ] = [X; Y ] = [X; Y ] (:1:7) 8

dir. D de D nin temsilinden [A X j A Y ](M) = [X j Y ](M) (:1:8) [A X; A Y ] = A [X; Y ] (:1:9) A X =! AX = A(! X ) (:1:10) elde edilir.. Dual Say lar ve D Üzerinde Modül Yap s Tan m..1. x; y R olmak üzere z = x + "y; " = 0, " 6= 0 şeklindeki say lara dual say lar denir ve D ile gösterilir. D s f r bölenli, birimli ve de¼gişmeli bir halkad r. R; D n n bir althalkas d r (Chevallier 1991). Teorem... D bir D-modüldür (Chevallier 1991). Ispat. z = x + "y D olmak üzere, + : D D! D (X; Y )! (X + Y )(M) = X(M) + Y (M) : D D! D (z; X)! z X = (x + "y) X = xx + yx (::1) işlemleri modül aksiyomlar n sa¼glar. D, D üzerinde bir Lie cebiridir. Burada Lie cebiri aksiyomlar ndan bilineerlik sa¼glatt r l rken, z D; X; Y D için [z X; Y ] = [X; z Y ] = z [X; Y ] eşitli¼ginde z R yerine z D al nm şt r. z [X; Y ] işlemi (::1) deki gibidir. 9

z R için zx çarp m ile z D için z X çarp m farkl d r. Şayet, z D ise, z X = 0, z = 0 veya X = 0 veya (Re z = 0 ve X = ~0) d r. Dolay s yla ikinci çarp m daha geneldir. D de R-lineerlik ve D-lineerlik farkl d r. f(zx) = zf(x) ifadesinde z D ise f D-lineerdir. f nin D-lineer olmas halinde matris gösterimi vard r. f R-lineer ise (z R) yoktur. f; D-lineer, f; R-lineer ve f = f: Kinematikte genellikle D-lineer operatörler kullan l r. Dinamikte bu do¼gru de¼gildir. Çünkü, momentum hesab nda, h zlar dual matrislerle ifade edilemez. R reel vektör uzay olmak üzere, D = R "R bir D-modüldür. D de zx bir dual say ile bir vektörün çarp m d r. (~e 1 ; ~e ; ~e ), R uzay n n bir baz ise, D uzay n n da D üzerinde bir baz d r. Key bir bx D eleman X b = bx 1 ~e 1 + bx ~e + bx ~e ; bx i D şeklinde yaz labilir. X b ya D de bir dual vektör ad verilir. R de bilinen skalar ve vektörel çarp m D e genişletilebilir. D de skalar ve vektörel çarp m bx : b Y = bx 1 by 1 + bx by + bx by D (::) 10

bx Y b = ~e 1 ~e ~e bx 1 bx bx by 1 by by (::4) = (bx by by bx )~e 1 + (bx by 1 by bx 1 )~e + (bx 1 by by 1 bx )~e şeklinde tan mlan r. D, D-modül yap s n n yan s ra bir Lie cebiri de yap labilir. [ ; ] : D D! D ( b X; b Y )! [ b X; b Y ] = b X b Y şeklinde tan mlanan işlemle D bir Lie cebiridir. f : R! R X! f(x) lineer dönüşümü, bf : D! D "X! b f("x) = "f(x) (::) şeklinde bir lineer dönüşüme genişletilebilir. Şimdi D D-modülü ile D D-modülü aras ndaki ilgiyi veren bir dönüşüm verelim. Bu dönüşüm iki cümle aras nda bir köprü oluşturur. Teorem... P E sabit bir nokta olmak üzere J P : D! D X! J P (X) = ~a + "X(P ) dönüşümü D-lineer ve D üzerinde bir Lie cebir izomor zmidir. Yani, J P örten ayr ca, J P ([X; Y ]) = J P (X) J P (Y ) dir (Chevallier 1991). birebir ve 11

Ispat. X; Y D olmak üzere, J P (X + Y ) = ~a + ~ b + "(X(P ) + Y (P )) = ~a + ~ b + "X(P ) + "Y (P ) = ~a + "X(P ) + ~ b + "Y (P ) = J P (X) + J P (Y ) dir. z D için J P (zx) = x ~a + "(xx(p ) + y ~a) (::6) zj P (X) = (x + "y)(~a + "X(P )) = x ~a + "(xx(p ) + y ~a) (::7) dir. (::6) ve (::7) den J P (zx) = zj P (X) elde edilir. O halde J P lineer bir dönüşümdür. D deki vektörel çarp m n genişletilmişi J P (X) J P (Y ) = (~a + "X(P )) ( ~ b + "Y (P )) = ~a ^~b + "(~a ^ Y (P ) ~ b ^ X(P )) = ~a ^~b + "[X; Y ](P ) = J P ([X; Y ]) (::8) şeklindedir. Dolay s yla J P bir Lie cebir izomor zmidir. Ayr ca, J P (X) : J P (Y ) = < ~a; ~ b > +"(< ~a; Y > + < X; ~ b >) = < ~a; ~ b > +"[X j Y ] (::9) dir. 1

Tan m..4. f j g : D D! D (X; Y )! fx j Y g =<! X ;! Y > +"[X j Y ] (::10) şeklinde tan mlanan dönüşüm simetrik, D-bilineer formdur. Özel olarak, D-bilineerlikten fzx j Y g = zfx j Y g; z D; X; Y D dir (Chevallier 1991). Teorem.. den aşa¼g daki sonucu verebiliriz: Sonuç... J P, D deki f j g D-bilineer form ile D deki ":" iççarp m n n izomor- zmas d r, yani J P (X) : J P (Y ) = fx j Y g dir (Chevallier 1991). fx j [Y; Z]g = fy j [Z; X]g (::11) [X; [Y; Z]] = fx j ZgY fx j Y gz (::1) formülleri (:1:4) ve (:1:) formüllerinin genişletilmiş halleridir. işlemlerimizde bunlar kullanaca¼g z. Bundan sonraki D deki f j g iççarp m D de¼gerli olup, reel de¼gerli olan [ j ] iççarp mdan daha ilginç bir yap ya sahiptir. (:1:) ve (::1) karş laşt r ld ¼g nda (::1) daha basit bir formdur. fx j Y g = 0, X ve Y secant ortogonal eksenlerdir fx j Xg = 0, ("X = 0), (! X = 0) (::1) fx j Xg = 1, (j! X j = 1 ve X s f r ad ma sahiptir). Normlanm ş bir X vidas E de bir do¼gru belirtir. Tersine, E deki her do¼gru bir X vidas ile gösterilebilir. 1

D D-modülde f; ; g bir yönlendirilmiş ortonormal baz olsun. fo; i; j; kg, E de ortonormal bir çat olmak üzere, ; ; D baz elemanlar! = i;! = j;! = k ve (O) = (O) = (O) = O (::14) şeklinde tan mlan r. Bu durumda fjg = fjg = fjg = 1; fjg = fjg = fjg = 0 (ortogonallik) [; ] = ; [; ] = ; [; ] = ; fj[; ]g = 1 (sa¼g el kural ) özelikleri sa¼glan r.. Dual Kuaterniyonlar n Yeni Bir Geometrik Tan m Kuaterniyon 180 da Sir W.R. Hamilton taraf ndan keşfedilmiştir. Hamilton kompleks say lar n bir benzerini R de aram şt r. R de C deki gibi bir yap n n bulunmad ¼g n 10 y ll k bir çal şman n sonucunda farketmiştir. Daha sonra bu yap n n R 4 deki karş l ¼g n kuaterniyon olarak tan mlam şt r. Kuaterniyonlar cebirini ve kinematikteki uygulamalar n Agrawal (1987), Hac saliho¼glu (198), Veldkamp (1976), ve Yayl (1988) referanslar nda bulabiliriz. Bilindi¼gi gibi basit kuaterniyonlar (s; ~v) ikilisi ile tan mlanabilir. Burada s R skalar k s m ve ~v R vektörel k s md r. Bu durumda bu operatörler üzerinde aşa¼g daki toplama ve çarpma işlemleri tan mlanabilir: q + q 1 = (s + s 1 ; ~v + ~v 1 ); (s; ~v) = (s; ~v); R (::1) qq 1 = (ss 1 < ~v; ~v 1 >; s~v 1 + s 1 ~v + ~v ^ ~v 1 ): (::) (::1) işlemleri ile kuaterniyonlar n H cümlesi birimi (0;~0) olan bir reel vektör uzay d r. (::1) ve (::) işlemleriyle birimi (1;~0) olan H bir reel cebirdir. Kuaterni- 14

yonlar n birleşme özeli¼gini sa¼glad ¼g n göstermek için, vektörel çarp m n ~u ^ (~v ^ ~w) + ~v ^ (~w ^ ~u) + ~w ^ (~u ^ ~v) = ~0 ~u ^ (~v ^ ~w) =< ~u; ~w > ~v < ~u; ~v > ~w özeliklerini kullan r z. Kuaterniyonlar n tan m n, D üzerinde Lie cebirine sahip D cümlesine (ve D de¼gerli) genişletebiliriz. Benzer özelikleri sa¼glatabiliriz. H = R R yerine H =D D cümlesini alaca¼g z. q = (z; X), z D, X D olmak üzere H üzerinde toplama, skalarla çarpma ve çarpma işlemleri q + q 0 = (z + z 0 ; X + X 0 ) (z; X) = (z; X); D (::) qq 0 = (zz 0 fx j X 0 g; zx 0 + z 0 X + [X; X 0 ]) şeklinde tan mlan r. Şimdi aşa¼g daki sonucu verelim: Sonuç..1. H cümlesi e = (1; 0) birim eleman olan bir halkad r. (::) de verilen ilk iki operatörle bir D-modül, son operatörle D üzerinde bir cebirdir (Chevallier 1991). D yi [:j:] iççarp m ile ve reel Lie cebir yap s yla alsayd k bu do¼gru olmazd. D yi D üzerinde modül ve Lie cebir yap s yla al rsak, Kuaterniyonlar Cebirine (dual) geometrik bir destek vermiş oluruz. (z; 0) H bir skalar kuaterniyon olup ze veya basitçe z ile gösterilir. (0; X) H bir pür dual kuaterniyon olup, [X] şaklinde tan mlan r. Genel olarak, q = (z; X) H kuaterniyonunda Sc(q) = z ve V e(q) = X; s ras ile, q nun skalar ve vektörel k s mlar n tan mlar. q nun eşleni¼gini q = (z; X) ile gösterece¼giz. Aşa¼g daki eşitliklerin 1

sa¼gland ¼g n kolayca söyleyebiliriz: q 1 q = q q 1 ; Sc(q 1 q ) = Sc(q q 1 ) (::4) Sc([X][Y ]) = fx j Y g; V e([x][y ]) = [X; Y ]: (::) E¼ger H n n bir eleman di¼ger bütün elemanlarla de¼gişimli ise, bu eleman bir skalard r..4 Norm ve H da Ters Eleman q H için q nun normu N(q) = q q = q q = (z + fx j Xg)e şeklinde tan mlan r. N(q) pozitif reel k s ml bir dual kuaterniyondur. Kolayca, N(qq 0 ) = N(q 0 q) = N(q)N(q 0 ); N(q) = N(q) (:4:1) oldu¼gu söylenebilir. N(q) dual say s n n tersinin olmas için reel k sm n n s f rdan farkl olmas gerekir. Bunun için q H n n tersinin olmas için Re N(q) 6= 0 dolay s yla bu pozitif olaca¼g ndan Re N(q) > 0 olmal ve q nun tersi q 1 = N(q) 1 q şeklindedir. Yukar da Chevallier (1991) taraf ndan verilen işlemleri, helisel vektör alan n matris formunda yazarak farkl bir biçimde verebiliriz: 16

D Vektör uzay Bir (~a;~a ) vidas n, matris formunda 4 a a şeklinde ifade ederiz. Burada ~a;~a R ve a R, a R 1 dir. Bu matrisi, X helisel vektör alan na karş l k gelen matris olarak alabiliriz. Bu durumda yaz labilir. X(M) = 4 a a 4 M 1 = 4 ~a ^ OM! + ~a 0 D de Lie operatörü X(M) = ~a + ~a ^! OM ve Y (M) = ~ b + ~ b ^! OM olmak üzere, X ve Y nin matris ifadeleri için X! 4 a a ; Y! 4 b b [X; Y ] = XY Y X = 4 a a 4 b b 4 b b ab ab ba ba = 4 4 = 4 ab ba ab ba 4 a a 17

olur ki, bunun vida karş l ¼g [X; Y ](M) = ~a ^~b + ~a ^~b + (~a ^~b) ^! OM dir. D de D nin temsili D kat hareketlerin grubu olmak üzere, A D olsun. A : D! D X! A (X)(M) = A(X(A 1 (M))) dönüşümü yard m yla D deki elemanlar D vektör uzay n n elemanlar cinsinden tan mlanm ş olur. A lineer oldu¼gundan A dönüşümü de lineerdir. Ayrca, her A; B D için (A:B) = A B ve! AX = A(! X ) dir. A dönüşümünü matris formunda ifade edecek olursak, A (X) = AXA 1 şeklindedir. Yani, A (X) = 4 A d 0 1 4! v 4 A 1 A 1 d 0 1 = 4 A!A 1 A!A 1 d + Av 0 1 dir, burada A!A 1, tipinde anti-simetrik bir matris ve A!A 1 d + Av, bir vektördür. Şimdi matrisleri kullanarak, (A:B) = A B oldu¼gunu gösterelim. 18

A = 4 A d 1 0 1 ; B = 4 B d 0 1 ve X = 4! v olmak üzere, 0 1 A (B (X)) = A @ 4 B d 4! v 4 B 1 B 1 d A 0 0 1 0 1 1 = A @ 4 B!B 1 B!B 1 d + Bv A (:4:) ve di¼ger taraftan = 4 AB!B 1 A 1 Ab!B 1 A 1 d 1 AB!B 1 d + ABv (AB) (X) = = = 4 AB Ad + d 1 4! v 4 B 1 A 1 B 1 A 1 B 1 d B 1 A 1 d 1 0 1 0 1 AB! 4 ABv 4 B 1 A 1 B 1 A 1 B 1 d B 1 A 1 d 1 0 1 4 AB!B 1 A 1 Ab!B 1 A 1 d 1 AB!B 1 d + ABv (:4:) elde edilir. (:4:) ve (:4:) den (A:B) = A B oldu¼gu görülür. 19

4. ÖKL ID UZAYINDA HEL ISEL VEKTÖR ALANLARI 4.1 1-Parametreli Hareketler Tan m 4.1.1. f : E! E x! f(x) = g(t)x + c(t) (4:1:1) dönüşümüne 1-parametreli hareket denir. Burada, g(t) SO(); c(t) R 1 dir. Bu hareketin matris formunda ifadesi 4 y(t) g(t) c(t) = 4 4 x 1 0 1 1 {z } {z } {z } Y (t) = A(t) : X şeklindedir. A(t) formundaki 1-parametreli matrisler, matris çarp m na göre bir grup oluştururlar. Bu grubu SE() ile gösterece¼giz. Yani, SE() = fa : A = 4 g c 0 1 ; g SO(); c R 1g: SE() bir Lie grubudur. Bu gruba karş l k gelen Lie cebirini de se() ile gösterelim. A 1 (t) = 4 g 1 (t) g 1 (t)c(t) 0 1 ve A(t) = 4 g(t) c(t) oldu¼gundan A(t)A 1 (t) = = g c 4 4 g 1 g 1 c 0 1 gg 4 1 gg 1 c + c 0

elde edilir.! = gg 1 ve v = gg 1 c + c dersek,!; tipinde anti-simetrik bir matristir. Bu durumda SE() Lie grubunun Lie cebiri se() = f4! v :! SO(); v R 1g olarak elde edilir. Lie cebirinin elemanlar helisel vektör alanlar ile bire bir eşlenirler. Şimdi helisel vektör alanlar ile ani hareketler aras ndaki ilişkiyi verelim: 1-parametreli harekette x noktas n n yörüngesi y(t) = g(t)x+c(t) dir. Buradan türev al n rsa, y(t) = g(t)x + c(t) = g(t)g 1 (t)(y(t) c(t)) + c(t) =!(t)y(t)!(t)c(t) y(t) =!(t)y(t) + v(t) c(t) elde edilir. Burada!(t) = g(t)g 1 (t); v(t) = vektörü y(0) =!(0)y(0) + v(0) d r.!(t)c(t) c(t) dir. t = 0 an nda h z Şekil 4.1. Ani hareket Şimdi y 1 (0) = y(0) = M noktas nda h z y(0) ile ayn olan ani hareketi bulal m. Bu hareketi y 1 (t) ile gösterelim. Bu durumda y 1 (t) =!y 1 (t) + v diferensiyel denklemini y 1 (0) = y(0) = M 1

başlang ç şart alt nda çözersek, 4 y 1 0 = 4! v 4 M 1 olmak üzere 4 y 1(t) 1 0 1 = exp @t 4! v A 4 M 1 = 4 g 1(t) c 1 (t) 4 M 0 1 1 elde edilir. Burada g 1 (t) SO(); c 1 (t) R 1 dir. Bulunan y 1 (t) e¼grisi, X = 4! v helisel vektör alan n n integral e¼grisidir. Örnek 4.1..! = 6 4 0 1 0 1 0 7 ; v = 6 4 0 0 1 7 olmak üzere, X = 6 4 0 1 1 0 0 1 7

helisel vektör alan n ele alal m. exp (sx) = 1X (sx) k k! k=0 0 1 1 0 1 0 0 1 6 0 1 7 6 7 4 4 = I 4 0! + s + s 1!! 0 1 1 0 1 0 0 1 6 7 6 7 4 4 +s + s 4 + :::! 4! s 1! + s4 s ::: ( 4! 1! + s :::)! s = 1! + s s ::: 1!! + s4 ::: 4! 6 1 s 7 4 0 1 cos s sin s sin s cos s = 6 1 s 7 4 0 1 bulunur. exp(sx) ile bir parametreli hareket tan mlanabilir. Bir noktan n yörüngesi bir helis e¼grisidir. Şimdi bir parametreli hareketlerin h z da¼g l m ile vida hareketleri aras ndaki ilgiyi Bottema and Roth (1979) un bak ş aç s yla ele alal m: Tan m 4.1.. f : R! R lineer dönüşümü, her ~u; ~v R için < f(~u); f(~v) >=< ~u; ~v > ise, yani iççarp m koruyorsa, f dönüşümüne ortogonal dönüşüm denir. Ortogonal dönüşümler cümlesi O() ile gösterilen bir grup oluştu-

rurlar. f O() ve det f = 1 olan dönüşümlerin grubuna SO() denir ve SO(), O() ün altgrubudur. Tan m 4.1.4. A : E! E dönüşümüne a ndir denir e¼ger, A : R! R! MN! A(! MN) =! A(M)A(N) olacak şekilde bir A lineer dönüşümü varsa. A ya A n n lineer k sm denir. Tan m 4.1.. E, boyutlu Öklid uzay olmak üzere, f : E! E P! f(p ) a n dönüşümü, E ün her P; Q noktas için d(p; Q) = d(f(p ); f(q)) şart n sa¼gl yorsa, f dönüşümüne izometri denir ve f(p ) = AP + C şeklinde tan mlan r. Farkl bir notasyonla ifade edecek olursak, P = AP + d (4:1:) dir. 1-parametreli hareketi gözönüne alal m. Yani, P = A(t)P + d(t) (4:1:) olsun. Bunun h z da¼g l m, P = _ AP + _ d şeklindedir. Di¼ger taraftan, (4:1:) den P = A 1 (P d) ifadesi (4:1:) de yerine 4

yaz l rsa, P = _ AA 1 (P d) + _ d veya _ AA 1 =! olmak üzere vektörel olarak P = ~! ^ (P d) + _ d elde edilir. Şimdi h z ~! ya paralel olan P noktalar n n geometrik yerini bulal m. Yani, ~! ^ (P d) + _ d = ~! (4:1:4) şart n sa¼glayan P noktalar n belirleyelim. taraf n n ~! ile iççarp m n al rsak, Bunun için (4:1:4) eşitli¼ginin her iki < ~! ^ (P d) + _ d; ~! >= < ~!; ~! > ve = < ~!; _ d > < ~!; ~! > bulunur. Bu son ifadeyi (4:1:4) de yerine yazarsak, ~! ^ (P d) = d _ + < ~!; d _ > ~! (4:1:) < ~!; ~! > elde edilir. a ^ x = b ve < a; b >= 0 şeklindeki bir denklemin çözümü x = a ^ b < a; a > + a şeklindedir (Bottema and Roth 1979). Buna göre, (41:) denkleminin çözümü P = d + ~! ^ _ d < ~!; ~! > + ~!

olarak bulunur. Bu ise, bir do¼gru belirtir. Bu do¼gruyu s ile gösterelim. S, bu do¼gru üzerinde bir nokta olsun. Bu durumda P = ~! ^ (P S) + ~! veya P = ~! ^! SP + ~! yaz labilir. Bu ise, ekseni s do¼grusu olan ~! aç sal h z ve ~! ötelemesine sahip vida hareketindeki h z da¼g l m ile ayn d r. 4. E de Helisel Vektör Alanlar n n Integral E¼grileri Helisel vektör alanlar ile bir parametreli hareketlerin Lie cebirinin elemanlar eşlenebilir. Dolay s yla, bunlar yard m yla 1-parametreli (ani) hareketleri elde ederiz. Bu ani hareketlerin yörüngelerini bir teoremle verelim: Teorem 4..1. X bir helisel vektör alan olsun. Yani, 4 X(M) 0 = 4! v 4 M 1 = 4!! ^! OM +! v 0 : (4::1) 1. rank[!; v] = ise, X in integral e¼grileri helislerdir.. rank[!; v] = ise, X in integral e¼grileri çemberlerdir.. rank[!; v] = 1 ise, X in integral e¼grileri paralel do¼grulard r. Ispat. 6 4 0 1 0 p 1 q 0 r 7 6 4 x y z 1 = 7 6 4 x 0 y 0 z 0 0 7 (4::) 6

(t) = (x(t); y(t); z(t)), Xj (t) = 0 (t) (4::) nin integral e¼grilerini hesaplayal m. 1. rank[!; v] = olsun. Bu durumda r 6= 0 d r ve (4::) den dx dy dz = y + p = x + q = r elde edilir. Üçüncü eşitlikten z(t) = rt + s bulunur. Ikinci eşitlikte türev al n r ve birinci eşitlik kullan l rsa, d y = y p ve buradan d y + y = p (4::4) ikinci basamaktan diferensiyel denklemi elde edilir. Bu denklemin özel çözümü y o = p ve homogen k sm n n çözümü y h = c 1 cos t + c sin t olur genel çözüm ise y = y o + y h y(t) = c 1 cos t + c sin t + p (4::) 7

olarak bulunur. Buradan x(t) = c 1 sin t c cos t + q yani, (t) = (c 1 sin t c cos t + q; c 1 cos t + c sin t + p; rt + s) (4::6) şeklindedir. ve 0 (t) = (c 1 cos t + c sin t; c 1 sin t + c cos t; r) < 0 (t); (0; 0; 1) >= r = sabit oldu¼gundan (t) bir helistir.. rank[!; v] = olsun. Bu durumda (4::) den r = 0 olaca¼g ndan dx dy dz = y + p = x + q = 0 d r. Denklemler çözülünce (t) = (c 1 sin t c cos t + q; c 1 cos t + c sin t + p; s) (4::7) elde edilir.. rank[!; v] = 1 ise, dx dy dz = 0 = 0 = 0 8

denklem sistemi çözüldü¼günde (t) = (pt + s 1 ; qt + s ; rt + s ) (4::8) bulunur. Bu da paralel do¼grular verir. Sonuç 4... E deki 1-parametreli uzay hareketlerinde, ani hareketler alt nda bir noktan n yörüngesi, ya bir helis, ya bir çember veya bir do¼grudur. Şimdi E deki hareketler için yap lanlar E n+1 Öklid uzay na genelleştirelim. 4. E n+1 Öklid Uzay nda Helisel Vektör Alanlar Tan m 4..1. E n+1 üzerinde f : E n+1! E n+1 x! f(x) = y(t) = g(t)x + c(t) şeklinde tan mlanan dönüşüme 1-parametreli genel hareket denir. Burada, g(t) SO(n + 1), c(t) R n+1 1 dir. Bu hareketin matris formundaki ifadesi 4 y(t) g(t) c(t) = 4 4 x 1 0 1 1 {z } {z } {z } Y (t) = A(t) : X şeklindedir. A(t) formundaki 1-parametreli matrisler, matris çarp m na göre G = fa : A = 4 g c 0 1 ; g SO(n + 1); c R n+1 1 g: şeklinde bir grup oluştururlar. G bir Lie grubudur. Bu gruba karş l k gelen Lie 9

cebirini de g ile gösterelim. O zaman, g = f4 S V : S R n+1 n+1 anti-simetrik; V R n+1 1 g olarak elde edilir. Lie cebirinin elemanlar helisel vektör alanlar ile bire bir eşlenirler. Tan m 4... S R n+1 n+1 bir anti-simetrik matris ve V R n+1 1 olmak üzere X : E n+1! R n+1 1 M! X(M) = V + S:! M (4::1) şeklinde tan mlanan lineer dönüşüme helisel vektör alan denir. Tan m 4... X bir helisel vektör alan ve : I! E n+1, t! (t) bir e¼gri olsun. E¼ger her t I için d = X((t)) (4::) oluyorsa, e¼grisine X helisel vektör alan n n integral e¼grisi denir. 1-parametreli harekette x noktas n n yörüngesi y(t) = g(t)x+c(t) dir. Buradan türev al n rsa, y(t) = g(t)x + c(t) = g(t)g 1 (t)(y(t) c(t)) + c(t) =!(t)y(t)!(t)c(t) y(t) =!(t)y(t) + v(t) c(t) elde edilir. t = 0 an nda h z vektörü y(0) =!(0)y(0) + v(0) d r. Şimdi y 1 (0) = y(0) = M noktas nda h z y(0) ile ayn olan ani hareketi bulal m. Bu 0

hareketi y 1 (t) ile gösterelim. Bu durumda y 1 (t) =!y 1 (t) + v diferensiyel denklemini y 1 (0) = y(0) = M başlang ç şart alt nda çözersek, 4 y 1 0 = 4! v 4 M 1 olmak üzere 4 y 1(t) 1 0 1 = exp @t 4! v A 4 M 1 = 4 g 1(t) c 1 (t) 4 M 0 1 1 elde edilir. Burada g 1 (t) SO(n + 1); c 1 (t) R n+1 1 dir. Bulunan y 1 (t) e¼grisi, X = 4! v helisel vektör alan n n integral e¼grisidir. Teorem 4..4. X; E n+1 de bir helisel vektör alan ve X in f0; u 1 ; :::; u n+1 g ortonormal çat s na göre matrisi; 4! v olsun. Burada! R n+1 n+1 bir anti-simetrik matris ve v R n+1 1 bir sütun matristir. Bu durumda; 1. rank[!; v] = n + 1 ise, X in integral e¼grileri, ortak eksenli ayn parametreli dairesel helis e¼grileridir. 1

. rank[!; v] = k, 1 k n ise, X in integral e¼grileri, paralel düzlemlere dik olan bir eksen üzerinde bulunan çemberlerdir.. rank[!; v] = k + 1, 1 k n ise, X in integral e¼grileri, dairesel helislerdir. 4. rank[!; v] = 1 ise, X in integral e¼grileri, paralel do¼grulard r. Ispat. X helisel vektör alan, her M = (x 1 ; :::; x n+1 ) E n+1 için 4 X(M); 0 = 4! v 0 0 4 M 1 = 6 4 0 1 0 0 a 1 1 0 a.......... 0 0 n 0 a n 1 0 n a n 0 0 a n+1 0 7 6 4 x 1 x. x n 1 x n x n+1 1 (4::) 7 X(M) = ( 1 x + a 1 ; 1 x 1 + a ; :::; n x n + a n 1 ; n x n 1 + a n ; a n+1 ) (4::4) olarak bulunur. E n+1 de e¼grisini ele alal m. : I! E n+1 t! (t) = ( 1 (t); :::; n+1 (t)) 1. n n X vektör alan na ait bir integral e¼grisi olabilmesi için d = X((t)) (4::) diferensiyel denklemini sa¼glamas gerekir. O halde bu diferensiyel denklemin çözümünü arayal m.

(4::) diferensiyel denkleminin (t) = M ve M = (x 1 ; :::; x n+1 ) başlang ç şartl integral e¼grisi X(M) = ( 1 x + a 1 ; 1 x 1 + a ; :::; n x n + a n 1 ; n x n 1 + a n ; a n+1 ) için d = X(M) (4::6) diferensiyel denkleminin çözüm e¼grisidir. (4::6) denkleminin aç k ifadesi dx 1 dx dx dx 4 dx n 1 dx n dx n+1 = 1 x + a 1 = 1 x 1 + a = x 4 + a = x + a 4. (4::7) = n x n + a n 1 = n x n 1 + a n = a n+1 şeklindedir. (4::7) denklem sisteminde işlemleri basitleştirmek amac yla i = 1, 1 i n

almam z genelli¼gi bozmaz. Bu durumda (4::7) sistemi; dx 1 dx dx dx 4 dx n 1 dx n dx n+1 = x + a 1 = x 1 + a = x 4 + a = x + a 4. (4::8) = x n + a n 1 = x n 1 + a n = a n+1 = c şeklini al r. (4::8) sisteminde son denklemin çözümü x n+1 = ct + d (4::9) şeklindedir. Geriye kalan n tane denklem ikişer ikişer çözülürler. (4::8) sisteminde ilk iki denklemi ele alal m: dx 1 dx = x + a 1 = x 1 + a : Ikinci denklemin türevi al n r ve dx 1 de¼geri yerine yaz l rsa, d x + x 1 = a 1 (4::10) 4

bulunur. Bu denklemin çözümü x = A 1 cos t + B 1 sin t a 1 şeklinde bulunur. Bu de¼gerin yerine yaz lmas yla x 1 = A 1 sin t B 1 cos t + a elde edilir. Bu şekilde devam edilirse, (n 1) ve n-inci denklem çiftinin çözümü x n 1 = A n sin t B n cos t + a n x n = A n cos t + B n sin t a n 1 şeklinde bulunur. Buradan X lineer vektör alan na karş l k gelen (t) integral e¼grisinin ifadesi; (t) = (A 1 sin t B 1 cos t + a ; A 1 cos t + B 1 sin t a 1 ; :::; A n sin t B n cos t + a n ; A n cos t + B n sin t a n 1 ; ct + d) (4::11) olur. 0 (t) = (A 1 cos t + B 1 sin t; A sin t + B cos t; :::; A n cos t + B n sin t; A n sin t + B n cos t; c) olmak üzere < 0 (t); (0; :::; 0; 1) >= c = sabit oldu¼gundan (t) bir helis belirtir.. rank[!; v] = k, 1 k n olsun.

(a) E¼ger rank[!; v] = n ise, bu durumda a n+1 = 0 olmas gerekir. Bu durumda (4::8) diferensiyel denklem sistemi dx 1 dx dx dx 4 dx n 1 dx n dx n+1 = x + a 1 = x 1 + a = x 4 + a = x + a 4. (4::1) = x n + a n 1 = x n 1 + a n = a n+1 = 0 olur. Bu denklem sisteminin çözümü (4::11) den (t) = (A 1 sin t B 1 cos t + a ; A 1 cos t + B 1 sin t a 1 ; :::; A n sin t B n cos t + a n ; A n cos t + B n sin t a n 1 ; d) bulunur. Bu integral e¼grilerinin çember oldu¼gu aşikard r. (b) rank[!; v] = r, r = ; 4; :::; n olsun. Bu durumda (4::) deki matristen rank[!; v] = r, i = 0; r + 1 i n 6

yaz labilir. Böylece (4::8) diferensiyel denklem sistemi; dx 1 dx dx r 1 dx r dx j = x + a 1 = x 1 + a. (4::1) = x r + a r 1 = x r 1 + a r = 0; r + 1 j n + 1 şekline dönüşür. Bu durumda denklem sisteminin çözümü (4::11) den (t) = (A 1 sin t B 1 cos t + a ; A 1 cos t + B 1 sin t a 1 ; :::; A r= sin t B r= cos t + a r ; A r= cos t + B r= sin t a r 1 ; d r+1 ; :::; d n+1 ) bulunur. Bu integral e¼grileri yine birer çemberdir.. rank[!; v] = k + 1, 1 k n olsun. (a) rank[!; v] = n + 1 ise, bu teoremin birinci ş kk n verir. (b) rank[!; v] = k + 1 = r + 1, r = ; 4; :::; n olsun. Bu durumda (4::) deki ilk matristen rank[!; v] = r + 1, i = 0; r + 1 i n ve a r+1 6= 0 7

yaz labilir. Böylece (4::8) diferensiyel denklem sistemi; dx 1 dx dx r 1 dx r dx r+1 dx j = x + a 1 = x 1 + a. (4::14) = x r + a r 1 = x r 1 + a r = a r+1 = 0; r + j n + 1 olur. Bu durumda (4::14) sisteminin çözümü (t) = (A 1 sin t B 1 cos t + a ; A 1 cos t + B 1 sin t a 1 ; :::; A r= sin t B r= cos t + a r ; A r= cos t + B r= sin t a r 1 ; a r+1 t; d r+ ; :::; d n+1 ) (4::1) olarak bulunur. Görüldü¼gü gibi (4::1) e¼grileri dairesel helislerdir. 4. rank[!; v] = 1 olsun. Bu ise, her i = 1; :::; n için i = 0 olmas demektir. Bu durumda (4::8) diferensiyel denklem sistemi dx 1 dx dx n+1 = a 1 = a. (4::16) = a n+1 olur. Bu denklem sisteminin çözümü; (t) = (a 1 t + d 1 ; a t + d ; :::; a n+1 t + d n+1 ) (4::17) 8

şeklindedir. Bu ise, paralel do¼grular verir. Böylece teoremin ispat tamamlanm ş olur. Bundan sonraki bölümde, Öklid uzay için yap lanlar, Lorenz uzay na genelleştirilecektir. 9

. LORENZ UZAYINDA HEL ISEL VEKTÖR ALANLARI.1 1-Parametreli Hareket Tan m.1.1. R üstünde, < ; > L : R R! R (~v; ~w)! <! v ;! w > L = v 1 w 1 + v w + v w ile tan mlanan < ; > L metrik tensörünü ele alal m. Bu durumda (R ; < ; > L ) ikilisine -boyutlu Lorenz uzay ad verilir ve R 1 ile gösterilir. Tan m.1.. E 1 üzerinde f : E 1! E 1 x! f(x) = y(t) = g(t)x + c(t) (:1:1) 1 dönüşümünü göz önüne alal m. Burada, g(t) SO(; 1) yani, " = 6 0 1 0 7 4 1 olmak üzere, g T = "g 1 " dur. Bunun matris formunda ifadesi 4 y(t) g(t) c(t) = 4 4 x 1 0 1 1 {z } {z } {z } Y (t) = A(t) : X (:1:) şeklindedir. A(t) formundaki 1-parametreli matrisler, matris çarp m na göre bir grup oluştururlar. Bu grubu SE(; 1) ile gösterece¼giz. Yani g(t) c(t) SE(; 1) = fa(t) : A(t) = 4 ; g(t) SO(; 1); c(t) R 1g (:1:) 0 1 şeklindedir. Bu gruba R 1 kat hareketlerinin Özel Öklidiyen grubu denir. SE(; 1) 40

bir matris Lie grubudur. (:1:) nin her iki taraf n n türevini al rsak, Y (t) = A(t)X (:1:4) bulunur ve (:1:) den X çekilerek, (:1:4) de yerine yaz l rsa; Y (t) = A(t)A 1 (t)y (t) elde edilir. W = A 1 (t) = A(t)A 1 (t) diyelim. 4 g 1 (t) g 1 (t)c(t) 0 1 ve A(t) = 4 g(t) c(t) oldu¼gundan W = A(t)A 1 (t) = = g c 4 4 g 1 g 1 c 0 1 gg 4 1 gg 1 c + c elde edilir.! T = "! " dur. gg 1 =! dersek,! Lorenz anlam nda anti-simetrik bir matristir. Yani, Gerçekten,! = 6 4 0 a b a 0 c b c 0 7 41

olmak üzere, "! " = = = 1 6 0 1 0 7 6 4 4 1 1 6 0 1 0 7 6 4 4 1 0 a b 6 a 0 c 7 4 b c 0 0 a b a 0 c 7 6 4 b c 0 0 a b a 0 c 7 b c 0 1 0 1 0 1 7 =! T dir. se(; 1) ile SE(; 1) Lie grubunun Lie cebirini gösterecek olursak, se(; 1) i elde edelim. oldu¼gundan A 1 (t) = 4 g 1 (t) g 1 (t)c(t) 0 1 ve A(t) = 4 g(t) c(t) A(t)A 1 (t) = = g c 4 4 g 1 g 1 c 0 1 gg 4 1 gg 1 c + c elde edilir.! = gg 1 ve v = gg 1 c + c dersek,! Lorenz anlam nda anti-simetrik bir matristir. Yani,! T = "! " dur. Bu durumda SO(; 1) Lie grubunun Lie cebiri se(; 1) = f4! v :! SO(; 1); v R 1g (:1:4) 4

olarak elde edilir. Şimdi, Lorenz anlam nda tipinde anti-simetrik matrislerde matris çarp m ile Lorenz anlam nda vektörel çarp m verelim. 0 a b x! X = 6 a 0 c 7 6 y 7 4 4 b c 0 z = (ay + bz; ax + cz; bx cy) veya! = 6 4 0 a b a 0 c b c 0 7!! = ( c; b; a) olmak üzere,!! ^L x = c b a x y z = ( ( bz ay); ( cz ax); cy + bx) = (ay + bz; ax + cz; bx cy) =! X dir. Şimdi (:1:1) ifadesini yeniden ele alal m. y(t) = g(t)x + c(t) ) x = g 1 (t)(y(t) c(t)) 4

olmak üzere, bunun h z da¼g l m, y = gx + c (:1:) şeklindedir. Di¼ger taraftan, (:1:1) den x = g 1 (y c) ifadesi (:1:) de yerine yaz l rsa, y = gg 1 (y c) + c =!(y c) + c =! ^L (y c) + c elde edilir. Her iki uzayda h z sabit olan noktalar (Pol noktalar n ) bulal m. Bunun için y = 0 denklemini çözmeliyiz. ~! ^L (y c) + c = 0 denkleminde y nin tek olarak bulunmas için det! 6= 0 olmal. Fakat,! T = "! " ) det! = ( 1) det! ) det! = 0 d r. Yani tek çözüm yoktur. O halde h z ~! ya paralel olan x noktalar n n geometrik yerini bulal m. Yani, ~! ^L (y c) + c = ~! (:1:6) şart n sa¼glayan x noktalar n belirleyelim. Bunun için (:1:6) eşitli¼ginin her iki 44

taraf n n ~! ile iç çarp m n al rsak, < ~! ^L (y c) + c; ~! > L = < ~!; ~! > L veya = < ~!; c > L < ~!; ~! > L bulunur. Bu son eşitli¼gi (:1:6) da yerine yazarsak, elde edilir. ~! ^L (y c) = c + < ~!; c > L < ~!; ~! > L ~! (:1:7) a ^L u = b ve < a; b > L = 0 şeklindeki bir denklemin çözümü u = a ^L b < a; a > L + a şeklindedir. Buna göre, (:1:7) denkleminin çözümü y = c ~! ^L c < ~!; ~! > L + ~! olarak bulunur. Bu ise, bir do¼gru belirtir. Bu do¼gruyu s ile gösterelim. S, bu do¼gru üzerinde bir nokta olsun. Bu durumda y = ~! ^L (y c) + c d r. (:1:6) dan ve son iki eşitlikten ~! ^L (S c) = ~!! y = ~! ^L Sy + ~! c yaz labilir. Bu ise, ekseni s do¼grusu olan ~! aç sal h z ve ~! ötelemesine sahip vida 4

hareketindeki h z da¼g l m ile ayn d r. Gerçekten,!! y = ~! ^L Oy ~! ^L = ~! + OS! ^L ~! + {z } {z} ~! ~a ~a = ~a! + ~a ^L Oy OS + ~! ^L! Oy elde edilir.. Lorenz Uzay nda Helisel Vektör Alanlar Plücker koordinat sisteminde (~a;~a ) ile ifade edilen bir vida X : E 1! R 1 M! X(M) = ~a + ~a ^L! OM helisel vektör alan ile birleşir.! a ya X in ekseni denir ve! X ile gösterilir. Helisel vektör alanlar n n cümlesini D ile gösterecek olursak, D, (X + Y )(M) = X(M) + Y (M); M E (X)(M) = X(M); R işlemleriyle birlikte bir reel vektör uzay d r. Bir (~a;~a ) vidas n, matris formunda 4 a a şeklinde ifade ederiz. Burada a; tipinde Lorenz anlam nda anti-simetrik bir matris ve a ; 1 tipinde sütun matrisi formundad r. Buna göre X helisel vektör alan n n matris gösterimi 4 X(M) 0 = 4 a a 4 M 1 46 = 4 ~a ^L! OM + ~a 0

şeklindedir. Şimdi helisel vektör alan için Öklid uzay nda yapt ¼g m z tan mlar Lorenz uzay için verelim:..1 D Vektör uzay Helissel vektör alanlar n n cümlesini D ile gösterecek olursak, D, (X + Y )(M) = X(M) + Y (M); M E 1 (X)(M) = X(M); R işlemleriyle birlikte bir reel vektör uzay d r. Bir (~a;~a ) vidas n, matris formunda 4 a a şeklinde ifade ederiz. Burada a; tipinde Lorenz anlam nda anti-simetrik bir matris ve a ; 1 tipinde sütun matrisi formundad r... D de Lie operatörü D üzerinde tan mlanan [ ; ] : D D! D (X; Y )! [X; Y ](M) = ~a ^L Y (M) ~ b ^L X(M) işlemini göz önüne alal m. Burada X(M) = ~a + ~a ^L de¼gerleri yerlerine yaz l rsa, [X; Y ](M) = ~a ^L ~ b + ~a ^L ~ b + (~a ^L ~ b) ^L! OM, Y (M) = ~ b + ~! b ^L OM! OM 47

elde edilir ki, bu da [X; Y ] nin de bir helisel vektör alan oldu¼gunu gösterir. Ayr ca,! [X;Y ] = ~a ^L ~ b şeklindedir. [ ; ] antisimetrik, bilineer ve Jacobi özdeşli¼gi özeliklerini sa¼glar. Dolay s yla D; R üzerinde bir Lie cebiridir. Yine bunu matris formunda şöyle ifade edebiliriz: X(M) = ~a + ~a ^L ifadeleri için! OM ve Y (M) = ~ b + ~! b ^L OM olmak üzere, X ve Y nin matris X! 4 a a ; Y! 4 b b [X; Y ] = XY Y X = 4 a a 4 b b 4 b b ab ab ba ba = 4 4 = 4 ab ba ab ba 4 a a olur ki, bunun vida karş l ¼g [X; Y ](M) = ~a ^L ~ b + ~a ^L ~ b + (~a ^L ~ b) ^L! OM olup, yukar daki tan m ile çak şmaktad r. 48

.. D de iççarp m D de [ j ] : D D! R (X; Y )! [X j Y ] =< ~a; ~ b > L + < ~a ; ~ b > L şeklinde tan mlanan simetrik, bilineer, non-dejenere form, D de iççarp m olarak adland r l r. Bu iççarp m ifadesi M nin seçilişinden ba¼g ms zd r...4 D de D nin temsili D kat hareketlerin grubu olmak üzere, A D olsun. A : D! D X! A (X)(M) = A(X(A 1 (M))) dönüşümü yard m yla D deki elemanlar D vektör uzay n n elemanlar cinsinden tan mlanm ş olur. A lineer oldu¼gundan A dönüşümü de lineerdir. Ayr ca, her A; B D için (A:B) = A B ve! AX = A(! X ) dir. A dönüşümünü matris formunda ifade edecek olursak, A (X) = AXA 1 şeklindedir. Yani, A (X) = 4 A d 0 1 4! v 4 A 1 A 1 d 0 1 = 4 A!A 1 A!A 1 d + Av dir, burada A!A 1 d+av, bir vektör ve A!A 1, tipinde Lorenz anlam nda antisimetrik bir matris, yani, (A!A 1 ) T = " (A!A 1 ) " dur. Gerçekten, A 1 = " A T " 49

ve! T = "! " oldu¼gundan (A!A 1 ) T = (A 1 ) T! T A T = (" A T ") T ( "! ")(" A 1 ") = " A " "! " " A 1 " = " (A!A 1 ) " bulunur. Şimdi matrisleri kullanarak, (A:B) = A B oldu¼gunu gösterelim. A = 4 A d 1 0 1 ; B = 4 B d 0 1 ve X = 4! v olmak üzere, 0 1 A (B (X)) = A @ 4 B d 4! v 4 B 1 B 1 d A 0 0 1 0 1 1 = A @ 4 B!B 1 B!B 1 d + Bv A (::1) ve di¼ger taraftan = 4 AB!B 1 A 1 Ab!B 1 A 1 d 1 AB!B 1 d + ABv (AB) (X) = = = 4 AB Ad + d 1 4! v 4 B 1 A 1 B 1 A 1 B 1 d B 1 A 1 d 1 0 1 0 1 AB! 4 ABv 4 B 1 A 1 B 1 A 1 B 1 d B 1 A 1 d 1 0 1 4 AB!B 1 A 1 Ab!B 1 A 1 d 1 AB!B 1 d + ABv (::1) elde edilir. (::1) ve (::) dan (A:B) = A B oldu¼gu görülür. 0

. Helisel Vektör Alanlar n n Integral E¼grileri Tan m..1. X bir helisel vektör alan ve : I! E 1, t! (t) bir e¼gri olsun. E¼ger her t I için d = X((t)) oluyorsa, e¼grisine X helisel vektör alan n n integral e¼grisi denir. Teorem... X = (~!; ~v) bir helisel vektör alan olsun. Yani, 4 X(M) 0 = 4! v 4 M 1 = 4 ~! ^L! OM + ~v 0 : 1. rank[!; v] = ise, X in integral e¼grileri Lorenzian helislerdir.. rank[!; v] = ise, X in integral e¼grileri Lorenzian çemberlerdir.. rank[!; v] = 1 ise, X in integral e¼grileri paralel do¼grulard r. Ispat. 6 4 0 1 0 p 1 q 0 r 0 1 7 6 4 x y z 1 = 7 6 4 x 0 y 0 z 0 1 7 (::1) (t) = (x(t); y(t); z(t)), Xj (t) = 0 (t) (::) nin integral e¼grilerini hesaplayal m. 1

1. rank[!; v] = olsun. (::) den dx dy dz = y + p = x + q = r elde edilir. Üçüncü eşitlikten z(t) = rt + s bulunur. Ikinci eşitlikte türev al n r ve birinci eşitlik kullan l rsa, d y = y + p ve buradan d y y = p (::) ikinci dereceden diferensiyel denklemi elde edilir. Bu denklemin özel çözümü y o = p ve homogen k sm n n çözümü y h = c 1 cosh t + c sinh t olur genel çözüm ise y = y o + y h y(t) = c 1 cosh t + c sinh t p (::4) olarak bulunur. Buradan x(t) = c 1 sinh t + c cosh t q

yani, (t) = (c 1 sinh t + c cosh t q; c 1 cosh t + c sinh t p; rt + s) (::) şeklindedir. 0 (t) = (c 1 cosh t + c sinh t; c 1 sinh t + c cosh t; r) ve < 0 (t); (0; 0; 1) > L = r = sabit oldu¼gundan (t) bir Lorenzian helistir.. rank[!; v] = olsun. Bu durumda (::1) den c = 0 olaca¼g ndan dx dy dz = y + p = x + q = 0 d r. Denklem sistemi çözülürse, (t) = (c 1 sinh t + c cosh t q; c 1 cosh t + c sinh t p; s) (::6) elde edilir.. rank[!; v] = 1 ise, dx dy dz = 0 = 0 = 0 denklem sistemi çözüldü¼günde (t) = (pt + s 1 ; qt + s ; rt + s ) (::7)

bulunur. Bu da paralel do¼grular verir. Şimdi, boyutlu Lorenz uzay için verdi¼gimiz ifadeleri n+1 boyutlu Lorenz uzay na genişletelim..4 E n+1 1 Lorenz Uzay nda Helisel Vektör Alanlar Tan m.4.1. E n+1 1 üzerinde f : E1 n+1! E1 n+1 x! f(x) = y(t) = g(t)x + c(t) şeklinde tan mlanan dönüşüme 1-parametreli genel hareket denir. Burada, g(t) SO(n + 1; 1); c(t) R n+1 1 dir. Bu hareketin matris formunda ifadesi 4 y(t) g(t) c(t) = 4 4 x 1 0 1 1 {z } {z } {z } Y (t) = A(t) : X şeklindedir. A(t) formundaki 1-parametreli matrisler, matris çarp m na göre G = fa : A = 4 g c 0 1 ; g SO(n + 1; 1); c R n+1 1 g: şeklide bir grup oluştururlar. G bir Lie grubudur. Bu gruba karş l k gelen Lie cebirini g ile gösterecek olursak, g = f4 S V : S R n+1 n+1; S T = "S"; V R n+1 1 g şeklinde elde edilir. Lie cebirinin elemanlar helisel vektör alanlar ile bire bir eşlenirler. 4

Tan m.4.. S R n+1 n+1 bir anti-simetrik matris ve V R n+1 1 olmak üzere X : E1 n+1! R n+1 1 M! X(M) = V + S:! M (:4:1) şeklinde tan mlanan lineer dönüşüme helisel vektör alan denir. Tan m.4.. X bir helisel vektör alan ve : I! E n+1 1, t! (t) bir e¼gri olsun. E¼ger her t I için d = X((t)) (:4:) oluyorsa, e¼grisine X helisel vektör alan n n integral e¼grisi denir. 1-parametreli harekette x noktas n n yöüngesi y(t) = g(t)x + c(t) dir. Burada türev al n rsa, y(t) = g(t)x + c(t) = g(t)g 1 (t)(y(t) c(t)) + c(t) =!(t)y(t)!(t)c(t) y(t) =!(t)y(t) + v(t) c(t) elde edilir. t = 0 an nda h z vektörü y(0) =!(0)y(0) + v(0) d r. Şimdi y 1 (0) = y(0) = M noktas nda h z y(0) ile ayn olan ani hareketi bulal m. Bu hareketi y 1 (t) ile gösterelim. Bu durumda y 1 (t) =!y 1 (t) + v diferensiyel denklemini y 1 (0) = y(0) = M

başlang ç şart alt nda çözersek, 4 y 1 0 = 4! v 4 M 1 olmak üzere 4 y 1(t) 1 0 1 = exp @t 4! v A 4 M 1 = 4 g 1(t) c 1 (t) 4 M 0 1 1 elde edilir. Burada g 1 (t) SO(n + 1; 1); c 1 (t) R n+1 1 dir. Bulunan y 1 (t) e¼grisi, X = 4! v helisel vektör alan n n integral e¼grisidir. Teorem.4.4. X; E n+1 1 de bir helisel vektör alan ve X in f0; u 1 ; :::; u n+1 g ortonormal çat s na göre matrisi; 4! v olsun. Burada! R n+1 n+1 bir anti-simetrik matris ve v R n+1 1 bir sütun matristir. Bu durumda; 1. rank[!; v] = n + 1 ise, X in integral e¼grileri, ortak eksenli ayn parametreli dairesel helis e¼grileridir.. rank[!; v] = k, 1 k n ise, X in integral e¼grileri, paralel düzlemlere dik olan bir eksen üzerinde bulunan çemberlerdir.. rank[!; v] = k + 1, 1 k n ise, X in integral e¼grileri, dairesel helislerdir. 4. rank[!; v] = 1 ise, X in integral e¼grileri, paralel do¼grulard r. 6

Ispat. X helisel vektör alan, her M = (x 1 ; :::; x n+1 ) E n+1 1 için 4 X(M) 0 = 4! v 0 0 4 M 1 = 6 4 0 1 0 0 a 1 1 0 a.......... 0 0 n 0 a n 1 0 n a n 0 0 a n+1 0 7 6 4 x 1 x. x n 1 x n x n+1 1 7 (:4:) X(M) = ( 1 x + a 1 ; 1 x 1 + a ; :::; n x n + a n 1 ; n x n 1 + a n ; a n+1 ) (:4:4) olarak bulunur. E n+1 1 de e¼grisini ele alal m. : I! E n+1 1 t! (t) = ( 1 (t); :::; n+1 (t)) 1. n n X vektör alan na ait bir integral e¼grisi olabilmesi için d = X((t)) (:4:) diferensiyel denklemini sa¼glamas gerekir. O halde bu diferensiyel denklemin çözümünü arayal m. (:4:) diferensiyel denkleminin (t) = M ve M = (x 1 ; :::; x n+1 ) başlang ç şartl integral e¼grisi X(M) = ( 1 x + a 1 ; 1 x 1 + a ; :::; n x n + a n 1 ; n x n 1 + a n ; a n+1 ) 7

için d = X(M) (:4:6) diferensiyel denkleminin çözüm e¼grisidir. (:4:6) denkleminin aç k ifadesi dx 1 dx dx dx 4 dx n 1 dx n dx n+1 = 1 x + a 1 = 1 x 1 + a = x 4 + a = x + a 4. (:4:7) = n x n + a n 1 = n x n 1 + a n = a n+1 şeklindedir. (4:4:7) denklem sisteminde işlemleri basitleştirmek amac yla i = 1, 1 i n almam z genelli¼gi bozmaz. Bu durumda (:4:7) sistemi; dx 1 dx dx dx 4 dx n 1 dx n dx n+1 = x + a 1 = x 1 + a = x 4 + a = x + a 4. (:4:8) = x n + a n 1 = x n 1 + a n = a n+1 = c 8

şeklini al r. (:4:8) sisteminde son denklemin çözümü x n+1 = ct + d (:4:9) şeklindedir. Geriye kalan n tane denklem ikişer ikişer çözülürler. (:4:8) sisteminde ilk iki denklemi ele alal m: dx 1 dx = x + a 1 = x 1 + a : Ikinci denklemin türevi al n r ve dx 1 de¼geri yerine yaz l rsa, bulunur. Bu denklemin çözümü d x x 1 = a 1 (:4:10) x = A 1 cosh t + B 1 sinh t a 1 şeklinde bulunur. Bu de¼gerin yerine yaz lmas yla x 1 = A 1 sinh t + B 1 cosh t a elde edilir. Bu şekilde devam edilirse, (n 1) ve n-inci denklem çiftinin çözümü x n 1 = A n sin t B n cos t + a n x n = A n cos t + B n sin t a n 1 şeklinde bulunur. 9

Buradan X lineer vektör alan na karş l k gelen (t) integral e¼grisinin ifadesi; (t) = (A 1 sinh t + B 1 cosh t a ; A 1 cosh t + B 1 sinh t a 1 ; :::; A n sin t + B n cos t + a n ; A n cos t + B n sin t a n 1 ; ct + d) (:4:11) olur. 0 (t) = (A 1 cosh t + B 1 sinh t; A sinh t + B cosh t; :::; A n cos t B n sin t; A n sin t + B n cos t; c) olmak üzere < 0 (t); (0; :::; 0; 1) >= c = sabit oldu¼gundan (t) bir helis belirtir.. rank[!; v] = k, 1 k n olsun. (a) E¼ger rank[!; v] = n ise, bu durumda a n+1 = 0 60

olmas gerekir. Bu durumda (:4:8) diferensiyel denklem sistemi dx 1 dx dx dx 4 dx n 1 dx n dx n+1 = x + a 1 = x 1 + a = x 4 + a = x + a 4. (:4:1) = x n + a n 1 = x n 1 + a n = a n+1 = 0 olur. Bu denklem sisteminin çözümü (:4:11) den (t) = (A 1 sinh t + B 1 cosh t a ; A 1 cosh t + B 1 sinh t a 1 ; :::; A n sinh t + B n cosh t + a n ; A n cosh t + B n sinh t a n 1 ; d) bulunur. Bu integral e¼grilerinin çember oldu¼gu aşikard r. (b) rank[!; v] = r, r = ; 4; :::; n olsun. Bu durumda (:4:) deki matristen rank[!; v] = r, i = 0; r + 1 i n yaz labilir. Böylece (:4:8) diferensiyel denklem sistemi; dx 1 dx dx r 1 dx r dx j = x + a 1 = x 1 + a. (:4:1) = x r + a r 1 = x r 1 + a r = 0; r + 1 j n + 1 61