MIT Açık Ders Malzemesi hp://ocw.mi.edu 8.334 İsaisiksel Mekanik II: Alanların İsaisiksel Fiziği 8 Bahar Bu malzemeye aıfa bulunmak ve Kullanım Şarlarımızla ilgili bilgi almak için hp://ocw.mi.edu/erms ve hp://uba.acikders.org.r sielerini ziyare ediniz.
VIII. Kayıplı Dinamik VIII.A Bir Parçacığın Brown Harekei Mikroskop alında incelemeler, bir sıvı damlasındaki oz parçacığının rasgele irek bir hareke yapığını göserir. Bunun sebebi çok daha küçük sıvı parçacıklarının rasgele çarpmasıdır. Bu arz harekein (Brown harekei) kuramı, 95 yılında Einsein arafından gelişirilmişir, ve bir parçacığın hareke denkleminden başlar. m küleli bir parçacığın yer değişirmesi x () m x = x µ V x + f rasgele () (VIII.) arafından belirlenir. Parçacığa eki eden üç kuvve: (i) Sıvının ağdalılığından kaynaklı sürünme kuvvei. R yarıçaplı küresel bir parçacık için, düşük Reynolds sayısı limiindeki harekeliliği µ =(6π ηr) ile verilir, burada η belirli ağdalılıkır. (ii) Harici poansiyel V(x ), mesela küle çekimi, kaynaklı kuvve. (iii) Oralaması sıfır olan, sıvı parçacıklarının çarpmasından kaynaklı rasgele kuvve. Ağdalılık erimi, genelde, eylemsiz olana baskındır (yani hareke aşırı sönümlüdür), ve bundan sonra, ivme erimini ihmal edeceğiz. Bu durumda, denklem VIII., bir Langevin denklemine dönüşür: x = v (x )+η () (VIII.) burada v (x )= µ V/ x, deerminisik hızdır. Rasgele hızın, η () =µ f rasgele oralaması sıfırdır η () = Genelde, hızdaki gürülü için olasılık dağılımının Gaussiyan olduğu varsayılır, yani P [η ()] exp dτ η(τ) (VIII.3) (VIII.4) Gürülünün farklı bileşenlerinin, ve farklı zamanlarda bağımsız olduğuna, ve eşdeğişkesinin η α ()η β ( ) =Dδ α,β δ( ) (VIII.5) olduğuna dikka edin. 5
İsaisiksel Mekanik Ders Noları D parameresi, parçacıkların sıvı içerisinde dağılmasıyla ilgilidir. Herhangi bir poansiyelin yokluğunda, V(x )=, herhangi bir parçacığın anındaki konumu x () =x () + dτη(τ) ile verilir. Açıkça, x () x () ayrımının, ki rasgele Gaussiyan değişkenlerin oplamıdır, kendisi de oralaması sıfır olan, Gaussiyan dağılımlı bir değişkendir, ve değişkesi (x () x ()) = dτ dτ η (τ ) η (τ ) =3 DT olarak verilir. x () = da, yani P(x, = ) = δ 3 (x ), bırakılan bir parçacık opluluğu için, zamanında parçacıklar ile dağılırlar, ki bu dağılım dağılma denkleminin çözümüdür P(x, )= exp x P = D P Basi bir örnek, V(x )=Kx / olan Hook yayına bağlanmış bir parçacıkır. Şimdi, deerminisik hız v (x )= µkx ile verilir, ve Langevin denklemi x = µkx + η (), d e µk x () = e µk η () (VIII.6) d şeklinde yeniden düzenlenebilir. Denklemin dan ye kadar inegrali e µk x () x () = dτe µkτ η (τ) (VIII.7) verir, ve x () =x ()e µk + dτe µk( τ) η (τ) (VIII.8) Gürülü üzerinden oralamasını almak, oralama konumun x () = x ()e µk (VIII.9) τ =/(µk) karakerisik gevşeme süresi ile azaldığını göserir. Oralama erafındaki salınımlar, (x () x ()) = = 6D dτ dτ e µk( τ τ ) dτe µk( τ) Dδ(τ τ ) 3 η (τ ) η (τ ) 6 www.acikders.org.r
İsaisiksel Mekanik Ders Noları = 3D e µk µk 3D µk (VIII.) gibi davranır. Ancak, oz zerreleri T sıcaklığındaki sıvıyla dengeye ulaşıklarında, olasılık dağılımı, birimleşirilmiş Bolzman ağırlığını sağlamalıdır P denge (x )= K πk B T exp Kx k B T (VIII.) ki x =3k B T/K verir. Dinamiklerin, parçacığı T sıcaklığındaki sıvıyla dengeye geirmesi beklendiğinden, denklem VIII. D = k B Tµ (VIII.) olduğunu ifade eder. Bu, gürülüdeki salınımları, oramdaki kayıpla bağlayan Einsein bağınısıdır. Açıkça, uzun zamanlarda Langevin denklemi, T sıcaklığında, V(x ) = Kx / ponasiyeli içinde dengedeki bir parçacık için doğru oralama ve değişkeyi verir, eğer denklem VIII. sağlanırsa. Herhangi bir poansiyel için, büün olasılık dağılımının Bolzmann ağırlığına evrimleşeceğini göserebilir miyiz? P(x, ) x P(), bir parçacık, =anında daysa, parçacığı, anında x nokasında bulma olasılığını versin. Bu olasılık, + zamanında x de bulunan parçacığın, anında bir başka x nokasından geldiğine dikka ederek, yinelemeyle oluşurulabilir. Bu arz büün olasılıkları ekleyerek P(x, + ) = d 3 x P(x,)x T x elde edilir, burada x T x x P() x geçiş olasılığıdır. için, (VIII.3) x = x + v (x ) + η (VIII.4) burada η = + dτη(τ). Açıkça, η =ve η =D 3, ve denklem VIII.4 ü akip ederek, p(η )= exp η (VIII.5) Geçiş hızı, denklem VIII.4 e göre, sadece doğru genlike bir gürülü bulma olasılığır, ve x T () x = p(η )= exp (x x v(x )) x v (x ) = exp (VIII.6) zaman aralığının, boyuunda çok küçük parçalara bölerek, yukarıdaki evrim operaörünü ekrar ekrar uygulayarak P(x, ) = x T () / 7 www.acikders.org.r
İsaisiksel Mekanik Ders Noları = (x, ) (,) Dx (τ) N exp x v (x ) dτ (VIII.7) elde ederiz. İnegral, başlangıç ve biiş nokalarını birbirine bağlayan büün yollar üzerindendir; her yolun ağırlığı, klasik yörüngeden, x = v (x ), ne kadar sapığıyla ilişkilidir. Yineleme bağınısı (denklem VIII.3), P(x, )= d 3 x exp (x x v(x )) P(x, ), (VIII.8) y = x + v(x ) x = d 3 y = d 3 x ( + v (x )) = d 3 x ( + v (x )+O( ) (VIII.9) değişken değişikliği ile sadeleşirilebilir. Sadece merebesindeki erimleri uarak P(x, ) = [ v (x )] = [ v (x )] d 3 y e y P(x + y v(x ), ) e y d 3 y P(x, )+(y v(x )) P+ y iy j y i v j + v i v j i j P P + O( ) = [ v (x )] P v + D P P + O( ) elde ederiz. merebesindeki erimleri eşileyerek, Fokker-Planck denklemini elde ediriz: (VIII.) P + J =, J = v P D P olmak üzere (VIII.) Fokker-Planck denklemi, basiçe, olasılığın korunumunun ifadesidir. Olasılık akımının, deerminisik bir bileşeni vp ve rasgele bir bileşeni D P vardır. Durağan dağılım, P/ =,eğer ne akım yok olursa elde edilir. Arık, Bolzman ağırlığının, P denge (x ) exp [ V(x )/k B T ], P denge = v P denge /(µk B T ) olmak üzere, denklem VIII. deki salınım-kayıp koşulu sağlandığı sürece, durağan duruma gideceğini konrol emek kolaydır. 8 www.acikders.org.r