Giriş ÇEV 2006 Mühendislik Matematiği (Sayısal Analiz) DEÜ Çevre Mühendisliği Bölümü Doç.Dr. Alper ELÇĐ
Sayısal Analiz Nedir? Mühendislikte ve bilimde, herhangi bir süreci tanımlayan karmaşık denklemlerin veya tam çözümleri olmayan problemlerin yaklaşık çözümlerini veren sayısal yöntemleri inceleyen ve geliştiren matematik dalıdır.
Kullanım Alanları 1. Karmaşık ve tam çözümü olmayan matematiksel problemlerin çözülmesi 2. Denklemlerin ve matematiksel problemlerin bilgisayarda çözülmesi 3. Çeşitli çalışmalar sonucu toplanan verilerin bilgisayarla analiz edilip değerlendirilmesi
Sayısal Analiz Konuları Kök hesapları (Lineer olmayan denklemler için) Lineer denklemler sistemleri Đnterpolasyon (ara değer) hesapları Verilere eğri uydurma Regresyon analizi Sayısal türev Sayısal integral Diferansiyel denklemlerin yaklaşık çözümü Başlangıç değer problemleri Sınır değer problemleri
Sayısal Analiz ve Bilgisayar Nümerik analizde çok sayıda basit aritmetik işlem (+,,, ) art arda belli bir sistematik ile gerçekleştirilir (Algoritma) Elle problemler çözüldüğünde zaman alıcı olabiliyor! Ancak önce elle çözerek yöntem öğrenilebiliyor ve sonrasında daha kolay programlanabiliyor. Bilgisayar alanındaki gelişmeler sayısal analizin yaygınlaşmasını ve gelişmesini de beraberinde getirmiştir.
Matematiksel Model Bir süreci basitleştirerek temsil eden matematiksel denklemler bütünü. Bu denklemler iki farklı yaklaşımla çözülebilir: Analitik (tam çözüm) veya Sayısal (yaklaşık çözüm)
Analitik Çözüm Yöntemleri Avantajları: Tam çözüm (herhangi bir yaklaşım hatası yoktur) Az sayıda veri varsa uygun Nümerik çözüm ile karşılaştırılarak, Nümerik çözüm/yöntemin doğruluğu hakkında bilgi vermesi Dezavantajları: Çözüm zor ve hatta imkansız olabilir Gelişmiş çözüm teknikleri gerekebilir Çok sayıda basitleştirici kabul gerekebilir
Sayısal Analiz Yöntemleri Avantajları: Karmaşık sistemler çözülebilir Hesap yöntemleri basittir Analitik çözüme çok yakın çözümler verir Problemi bilgisayar çözebilir Dezavantajları: Yaklaşık çözüm verir -> hata içerir! Yakınsama problemleri olabilir Çok veri gerekebilir
Sayısal Analizin Đşleyişi Giriş verisi Hesap yöntemi (Algoritma) Sonuç
21,23 Sayısal Analiz Yaklaşımına Basit Bir Örnek 3 = 1,728 çok küçük 1,4 3 = 2,744 çok büyük 1,3 3 = 2,197 yaklaştık 1,25 3 = 1,953125 epey yaklaştık! 1,26 3 = 2,000376 çok yakın! Deneme-Yanılma yaklaşımı Tamam mı, devam mı? Nerede durmak gerekiyor?
Sayısal Analiz ile Çözülebilen Problemlere Örnekler SAYISAL İNTEGRAL π 0 2 ( ) 1+ cos x dx =? KÖK HESAPLARI x 3 + 2x 2 5sinx = ( ) 0 x =? f 1 (x)=e x ve f 2 (x)=2x+2 fonksiyonlarının belli bir aralıktaki kesişim noktasının hesaplanması x =? 0 y =? 0
Sayısal Analiz ile Çözülebilen Problemlere Örnekler (2) LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİN ÇÖZÜLMESİ 3,6x 1 + 2,4x 2 1,8x 3 = 6,3 4,2x 1 5,8x 2 + 2,1x 3 = 7,3 0,8x 1 + 3,5x 2 + 6,5x 3 = 3,7 x1 x =? 2 x3 İNTERPOLASYON (ARADEĞER) HESAPLARI x 2,00 2,25 3,00 3,50 y 3,70 4,20 6,70 9,50 x0 = 2,08 y 0 =?
Sayısal Analiz ile Çözülebilen Problemlere Örnekler (3) REGRESYON (EĞRI UYDURMA) t 0 0,5 1 1,5 2 2,5 C 10 27,2 73,9 201 546 1484,1 1600 1400 1200 Veriler Üstel regresyon eğrisi C = f(t) = A.e Bt =? 1000 C800 y = 10.02e 2x R² = 0.9999? 600 400 200 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 t
Sayısal Analiz ile Çözülebilen Problemlere Örnekler (4) EĞRİ UYDURMA B.Menderes nehir havzasındaki yağış miktarı ile nehrin debisi arasındaki ilişkiyi anlayabilmek için yapılan hidrolojik ölçümlerle aşağıdaki veriler elde edilmiştir: (Q= B.Menderes nehir debisi; x=yağış miktarı) Eğri uydurma tekniklerini uygulayarak, yağış-akış eğrisini bulmak x (cm) 47,0 44,5 49,8 50,8 52,1 69,8 66,1 58,4 61,0 Q (m 3 /s) 80,7 57,4 65,0 86,0 71,4 135 103 87,4 120
Sayısal Analiz ile Çözülebilen Problemlere Örnekler (5) SAYISAL İNTEGRASYON Bir nehire kazara ağır metal deşarj edilmiştir. Deşarj edilen toplam ağır metal miktarının tespit edilmesi amacıyla, deşarj noktasından itibaren 1,5 km boyunca 100 m aralıklarla nehir suyu örnekleri alınıp laboratuvarda ağır metal analizi yapılmıştır. Analiz sonucu elde edilen ağır metal konsantrasyon değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. Sayısal integrasyon tekniklerini uygulayarak, nehire deşarj edilen toplam kirletici kütlesini hesaplamak Nehir boyunca mesafe (m) C (g/m 3 ) Nehir boyunca mesafe (m) C (g/m 3 ) 0 0,811 800 11,150 100 2,028 900 8,012 200 4,293 1000 4,389 300 7,693 1100 2,205 400 11,670 1200 0,878 500 14,985 1300 0,290 600 16,287 1400 0,078 700 14,544 1500 0,019
Sayısal Analiz ile Çözülebilen Problemlere Örnekler (6) DİFERANSİYEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ d 2 dx y 2 + dy 5 dx + 4y = e x Sınır koşulları: x = 1 için y = 1 x = 3 için y = 13 y 2y + y = 3 + e 2x x = 1~ 3 aralığı için y değerleri nedir? y = 2y + e x Başlangıç koşulu: y(0)=2 x=1 y=?
1. Sayısal Analizde Hata Kavramı ÇEV 2006 Mühendislik Matematiği (Sayısal Analiz) DEÜ Çevre Mühendisliği Bölümü Doç.Dr. Alper ELÇĐ
Sayısal Analizde Hata ve Hata Kaynakları Giriş verisi Hesap yöntemi (Algoritma) Çıkış bilgisi (Sonuç) HATA HATA HATA
Hata Analizi Önemlidir Sayısal yöntemle bulunan çözümün hata analizi yapılması gerekir. Sayısal çözüm, varsa basit analitik çözüm ile veya deneysel verilerle kıyaslanmalı. Sayısal analizde elde edilen sonuçlar her zaman bir miktar hata içerecektir. Ancak hata kabul edilebilir sınırlar veya verilen tolerans sınırı içerisinde kalmalı Hata < verilen tolerans değeri
Sayısal analizde hata nedir? Hata: Gerçek (kesin) değer (x g ) ile hesaplanan (veya gösterilen) değer (x) arasındaki farktır Hata gösterim biçimleri: Mutlak hata: e mutlak =e= x g x Bağıl hata: e bağıl =e r =e / x g = x g x /x g
Hata Türleri 1. Kesme hatası (yaklaşım/yöntemden kaynaklı) 2. Yuvarlatma hatası 3. Ölçüm hatası (veri kaynaklı)
Kesme Hatası Kesin ve tam sonuç veren analitik bir yöntem yerine, yaklaşık sonuç veren sayısal bir yöntemin kullanılması sonucunda oluşan hatadır Örnek 1: Sonsuz terimli serilerin açılımında sadece ilk n terimin dikkate alınması sonucunda kesme hatası oluşur Taylor serisi:
Kesme Hatası (2) Örnek 2: Taylor serisi Örnek 3: sayısal türevdeki yaklaşımdan dolayı oluşan kesme hatası
Yuvarlatma Hatası 1. Bilgisayar ve hesap makinalarında sayıların sonlu basamaklarla gösterilerek kullanılması veya 2. Sayılarda noktadan sonraki bazı rakamların ihmâl edilmesi sonucunda oluşan hatadır Đşlem sayısı arttıkça yayılır Pi sayısı = π = 3,141592653897932846...
Hata hesaplamasına örnek f(x) = e x fonksiyonunun Taylor serisine açılımı aşağıdaki gibi verilmiştir. Bu açılım ile herhangi bir x değeri için fonksiyonun değeri yaklaşık olarak hesaplanabilir: x = 5 için: e x = 1+ x + 2 x 2! + 3 x 3! +... + a) Seride ilk dört terimin alınması ile oluşacak kesme hatasını, mutlak ve bağıl hata olarak hesaplayınız; b) Đlk dört terimin alınması ile elde edilecek yaklaşık değer, virgülden sonra üç haneye yuvarlatıldığında, toplam hatayı mutlak ve bağıl hata olarak hesaplayınız. c) Gerçek değer, virgülden sonra üç haneye yuvarlatıldığında, yuvarlatma hatasını mutlak ve bağıl hata olarak bulunuz + 4 x 4! n x n!
Ölçüm Hataları (Giriş verisindeki hatalar) Doğruluk: Ölçüm değerinin gerçek değere ne kadar yakın olduğunun ifadesidir Hassasiyet: Belli bir büyüklük için aynı şartlarda tekrarlanan ölçümlerin birbirine ne kadar yakın olduğunun ifadesidir
Düşük doğruluk, yüksek hassasiyet Sistematik hata var Rastgele hata minimum düzeyde
Yüksek doğruluk, düşük hassasiyet Sistematik hata gözlenmez Rastgele hata fazla
Düşük doğruluk, düşük hassasiyet Sistematik hata var Rastgele hata fazla
Yüksek doğruluk, yüksek hassasiyet Sistematik hata yok Rastgele hata minimum düzeyde