ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ POTANSİYELİ BİR POLİNOM OLAN SCHRÖDİNGER DENKLEMLERİNİN JOST ÇÖZÜMLERİ

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEİ POTANSİYELİ BİR POLİNOM OLAN SCHRÖDİNGER DENKLEMLERİNİN JOST ÇÖÜMLERİ Fahriye ehra BABACAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 2 Her Haı Salıdır

ÖET Yüse Lisas Tezi POTANS IYEL I B IR POL INOM OLAN SCHRÖD INGER DENKLEMLER IN IN JOST ÇÖÜMLER I Fahriye ehra BABACAN Aara Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matemati Aabilim Dal Da şma: Yrd. Doç. Dr. Cafer COŞKUN Bu tez dört bölümde oluşmatad r. Il bölüm giriş sm a ayr lm şt r. Iici bölümde, spetral aalizi baz temel ta m ve teoremleri verilmiştir. Üçücü bölümde, ele al a Schrödiger tipi delemi Jost çözümü elde edilmiştir. Daha sora elde edile bu çözüm icelemiştir. Dördücü bölümde, Jost çözümüü itegral gösterimi elde edilmiştir. Ayr ca elde edile bu gösterimi baz özellileri icelemiştir. A¼gustos 2, 56 sayfa Aahtar Kelimeler: Schrödiger delemi, Jost çözümü, itegral gösterimi. i

ABSTRACT Master Thesis JOST SOLUTIONS OF SCHRÖD INGER EQUATIONS WITH A POLYNOMIAL DEPENDENT POTENTIAL Fahriye ehra BABACAN Aara Uiversity Graduate School of Natural Ad Applied Scieces Departmet of Mathematics Supervisor: Yrd. Doç. Dr. Cafer COŞKUN This thesis cosists of four chapters. The rst chapter is devoted to the itroductio. The secod chapter, some mai de itios ad theorems of spectral aalysis are give. I the third chapter, the solutio of Schrödiger equatio is obtaied. Ad tha this solutio is ivestigated. I the fourth chapter, itegral represetatio of Jost solutio is determied. Also this represetatio is ivestigated. August 2, 56 pages Key Words : Schrödiger equatio, Jost solutio, itegral represetatio. ii

TEŞEKKÜR Bu çal şma ousuu baa vere ve araşt rmalar m her aşamas da e ya ilgi ve öerileriyle bei yöledire da şma hocam, Say Yrd. Doç Dr. Cafer COŞKUN (Aara Üiversitesi Fe Faültesi) a, çal şmalar m esas da yard mlar gördü¼güm Say Prof. Dr. Elgiz BAYRAM (Aara Üiversitesi Fe Faültesi) a, yüse lisas yapt ¼g m süre boyuca verdi¼gi burs ile bei desteleye TÜB ITAK a ve çal şmalar m s ras da deste ve alay ş esirgemeye sevgili aileme e içte sayg ve teşeürlerimi suar m. Fahriye ehra BABACAN Aara, A¼gustos 2 iii

IÇ INDEK ILER ÖET......................................................... i ABSTRACT.................................................. ii TEŞEKKÜR.................................................. iii S IMGELER D I IN I........................................... v. G IR IŞ...................................................... 2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER........................ 2 3. JOST ÇÖÜMÜNÜN VARLI ¼GI............................ 3 3. Jost Çözümüü Varl ¼g................................... 3 3.2 Jost Çözümüü Özellileri................................ 4. JOST ÇÖÜMÜNÜN INTEGRAL GÖSTER IM I....... 25 KAYNAKLAR................................................ 55 ÖGEÇM IŞ................................................... 56 iv

S IMGELER D I IN I R N N 2 L (; ) f D Reel say lar ümesi Do¼gal say lar ümesi f : 2 N; 2g R f : jf()j d < f fosiyou L uzay dai ormu d d Gama fosiyou v

. G IR IŞ Matemati ve Fizi ala da pe ço uygulamaya sahip ola spetral teori; fosiyoel aalizi aa dallar da biri olup, belirli ters operatörlerle bular geel özellilerie ilişidir. Bir lieer diferesiyel operatörü baz spetral özellilerie göre bu operatörü şelii belirlemesie ters problem deir. Iici mertebede diferesiyel operatörleri ters problemleride öemli role sahip olalarda biri uatum teorisii ters saç lma problemidir. Kuatum meai¼gi ala da, Schrödiger operatörü yard m yla elde edile iici mertebede diferesiyel delemleri Jost çözümüü ve bu çözümü itegral gösterimii bulumas öemlidir. E eerji, V eerjiye ba¼gl potasiyel olma üzere y (E V (E; ))y delemi Schrödiger diferesiyel delemidir. 976 y l da Jaulet ve Jea çal şmalar da, 2 R içi p ve q omples de¼gerli ve R üzeride süreli türevleebilir fosiyolar olma üzere, y (q() p() 2 )y diferesiyel delemii Jost çözümü ve bu çözümü itegral gösterimi elde etmiş ayr ca ters saç lma problemi icelemişlerdir. Bu tezde ise; 2 R; 2 N 2 ve E 2 olma üzere, spetral parametresie ba¼gl ve potasiyeli, reel de¼gişeli omples de¼gerli q (,,...) fosiyolar da oluşa V (; ) q () poliom olmas durumuda elde X edile Schrödiger tipi diferesiyel delemii Jost çözümlerii icelemesi amaçlamatad r. Ayr ca ters saç lma problemleriii icelemesie yard mc olaca ola itegral gösterimi elde edilecetir.

2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER Bu bölümde daha sora ulla laca temel ta mlar ve teoremler verilmiştir. Ta m 2.. >< D (L) y : y 2 L 2 (; ) : >: ) y mevcut ve mutla sureli 2) `y 2 L 2 (o; ) 3) y () 9 > >; olma üzere; L ile ta m ümesi D (L) ola ve y 2 L 2 (; ) içi Ly : `y ola operatör ta mlayal m. Bu durumda L : D (L)! L 2 (; ) y! Ly : `y : y q () y operatörüe L 2 (; ) da Sturm-Liouville (S-L) operatörü deir (Bairamov vd. 999). X Teorem 2.. (Weierstrass M-Testi) f (); A üzeride ta ml fosiyolar bir serisi olsu. 2 A içi jf ()j a ve düzgü ya sat r (Balc 997). X X a < ise f () serisi A üzeride 2

3. JOST ÇÖÜMÜNÜN VARLI ¼GI Bu bölümde öcelile ele al a Schrödiger tipi delemii Jost çözümüü varl ¼g iceleece daha sora bu çözümü özellileri iceleecetir (Atosu vd. 99). 3. Jost Çözümüü Varl ¼g Bu tezde 2 R, m ; ; :::; içi S m : m o (m) < arg < olma üzere 2 S m ve ; ; :::; içi q fosiyolar aşa¼g dai oşular gerçeledi¼gi abul edilecetir. (a) q reel de¼gişeli omples de¼gerli, süreli bir fosiyo; ; 2; :::; içi q fosiyolar ise reel de¼gişeli omples de¼gerli süreli türevleebilir fosiyolard r. (b) ve ( jtj) jq (t)j 2 jq (t)j q 2 4 (t) dt ( jtj) (jq (t)j jq (t)j) dt; ( ; 2; :::) itegralleri mevcuttur. y delemii, s ras yla X q ()y 2 y, ( 2 N 2 ) (3..) lim f m(; )e ( )m i, lim f m(; )e ( )m i (3..2)!! oşullar gerçeleye Jost çözümleri f m(; ), f m (; ) ile gösterilsi. 2 S m içi bu çözümler 3

fm(; ) u m(; ) ep(( ) m i ( )m q (t)dt) (3..3) 2i şelide olacat r. f m(; ) (3..) delemii çözümü olara abul edildi¼gi içi bu delemi sa¼glayacat r. O halde (3..3) eşitli¼gii e göre ii ez türevi al p (3..) eşitli¼gide yerie yaz l rsa ' m() q () 4 q2 () ( )m q 2i () ile gösterilme üzere u m (; ) ( ) m i iq ())u m (; ) [' m() X q ()]u m(; ) (3..4) diferesiyel delemi elde edilir. Ayr ca (3..3) eşitli¼gii her ii taraf ep(( ) m i ) ile çarp l p! içi limit al p öüde buludurulursa lim f m(; )e ( )m i oldu¼gu göz! lim f m(; )e ( )m i lim!! u m(; ) ep(( ) m i ( )m q (t)dt) 2i eşitli¼gide lim! u m(; ) ep(( ) m i ( )m q (t)dt) 2i 4

elde edilir. jq (t)dtj < oldu¼guda ala sm limiti s f r olaca¼g da lim ep((! )m 2i q (t)dt) ep lim! (( )m 2i q (t)dt) oldu¼gu görülür. Di¼ger yada lim ep ((! )m i ) oldu¼guda lim ep((! )m i ( )m q (t)dt) 2i olur. Bu durumda lim! u m(; ) (3..5) elde edilir. O halde (3..5) oşulu alt da (3..4) diferesiyel delemii iceleme yeterli olacat r. Bu tezde icelemeler f m(; ) çözümü içi yap lacat r. f m (; ) çözümü içi de yap l r. Çüü bezer işlemler Teorem 3... çözümü (3..4) diferesiyel delemii (3..5) oşuluu sa¼glaya her e u m(; ) ( ) m ( ) m 2i jt j 2i! X ' m(t) q (t) u m(t; )dt ( ) m e ( )m 2i jt j q (t)u m(t; )dt (3..6) Volterra itegral delemii bir çözümüdür. 5

Ispat : Ispat içi u m (; ) ( ) m i iq ())u m (; ) [' m () ile verile delemi her ii taraf de sosuza itegre edilsi. u m (t; )dt ( ) m 2i ( ) m i X q ()]u m(; ) (3..7) u m (t; )dt (3..) q (t)u m (t; )dt X [' m (t) q (t)]u m(t; )dt (3..5) oşulu ve bu oşulu geretirdi¼gi lim! u m (; ) eşitli¼gi göz öüde buludurulup itegraller hesapla rsa sol taraftai itegral u m (t; )dt lim! u m (; ) u m (; ) u m (; ) ve sa¼g tarftai il itegral ise u m (t; )dt lim! u m(; ) u m(; ) u m(; ) buluur. Bu eşitliler göz öüde buludurularsa iici basamata (3..4) dife- 6

resiyel delemi u m (; ) ( ) m 2i u m(; ) ( ) m 2i (3..9) ( ) m i q (t)u m (t; )dt X [' m (t) q (t)]u m(t; )dt birici basamata (3..9) diferesiyel delemie döüşür. Elde edile bu delem ise ile çarp l rsa (3..9) eşitli¼gi I() e ( )m 2i ( t) d d (u m(; )I()) ( ) m 2i I() ( ) m i I()q (t)u m (t; )dt X I()[' m (t) q (t)]u m(t; )dt şelii al r. Yie bu eşitli¼gi her ii taraf [; ) üzeride itegre edilirse d ds (u m(s; )I(s))ds ( ) m 2i ( ) m i s s e ( )m 2i (s t) e ( )m 2i (s t) ds (3..) e ( )m 2i (s t) q (t)u m (t; )dtds " # X ' m (t) q (t) u m(t; )dtds 7

olur. Bu eşitlitei itegraller s ras yla hesapla rsa I d ds (u m(s; )I(s))ds lim v! [ u m(; ) u m(; )]e ( )m 2i (v t) u m(; )e ( )m 2i ( t), I 2 ( ) m 2i ( ) m 2i lim v! e ( )m 2i ( t), e ( )m 2i (s t) ds (e ( )m 2i (v t) e ( )m 2i ( t) ) ( ) m 2i I 3 s t e ( )m 2i (s t) q (t)u m (t; )dtds e ( )m 2i (s t) q (t)u m (t; )dsdt e ( ) m 2i (s t) ( ) m 2i jt q (t)u m (t; )dt e ( )m 2i ( t) ( ) m 2i q (t)u m (t; )dt buluur. Bezer işlemler yap l rsa (3..) eşitli¼gidei so itegral I 4 e ( )m 2i ( t) ( ) m 2i [' m (t) X q (t)]u m(t; )dt

şelide buluur. O halde I ; I 2 ; I 3 ; I 4 itegralleri yard m yla (3..) eşitli¼gi u m(; )e ( )m 2i ( t) e ( )m 2i ( t) ( ) m e ( )m 2i ( t) i ( ) m 2i q (t)u m (t; )dt e ( )m 2i ( t) ( ) m 2i [' m (t) X q (t)]u m(t; )dt halii al r. Bu eşitli¼gi her ii taraf e ( )m 2i ( t) ile çarp l rsa u m(; ) ( ) m e ( )m 2i ( t) 2 q (t)u m (t; )dt e ( )m 2i ( t) 2i [' m (t) X q (t)]u m(t; )dt buluur. So olara eşitli¼gi sa¼g taraf dai il itegralde smi itegrasyo uygula rsa e ( )m 2i ( t) 2 q (t)u m (t; )dt ( ) m i i e ( )m 2i (t ) q (t)u m(t; )dt e ( )m 2i (t ) 2i q (t)u m(t; )dt olur. Böylece u m(; ) ( ) m i i ( ) m e ( )m 2i (t ) q (t)u m(t; )dt e ( )m 2i (t ) 2i q(t)u m(t; )dt e ( )m 2i ( t) 2i [' m (t) X q (t)]u m(t; )dt 9

elde edilir. ' m (t) q (t) 4 q2 (t) ( )m q 2i (t) eşitli¼gi göz öüde buludurulursa u m(; ) ( ) m i ( ) m [q (t) 4 q2 (t) e ( )m 2i (t ) q (t)u m(t; )dt [ e( )m 2i ( t) 2i ] ( ) m X q 2i (t) q (t)]u m(t; )dt elde edilir. So itegralde q (t) 4 q2 (t) ( ) m q 2i (t) ' m(t) eşitli¼gi yerie yaz l rsa u m(; ) ( ) m ( ) m i e ( )m 2i (t ) 2i [' m(t) X q (t)]u m(t; )dt e ( )m 2i (t ) q (t)u m(t; )dt olara buluur. Böylece (3..4) diferesiyel delemii (3..5) oşulu alt da bir çözümüü oldu¼gu görülür. Şimdiyse bu delemi çözümüü Ard ş Yalaş mlar Yötemi ile arayal m. u m;(; ) ve u m;j (; ) ( )m e ( )m2i (t ) X ' 2i m(t) ( ) m i q (t)! u m;j (t; )dt e ( )m2i (t )q (t)u m;j (t; )dt; j ; 2; ::: olma üzere u m(; ) X j u m;j (; ) (3..)

serisi oluşturulsu. Yap laca çal şamalarda (3..) serisii düzgü ya sal ¼g a ihtiyaç vard r. Öcelile bu serii düzgü ya sal ¼g gösterilmeside ulla laca ola bir lemma ve birta m eşitsizliler verilecetir. Lemma 3... 2 S m ve olma üzere,,...,- içi e ( )m2i 2i eşitsizli¼gi gerçeleir (Guseiov vd. 2). 2 ) (3..2) Ispat : içi e ( )m2i 2i e ( )m2i tdt ) m2i t e( dt dt 2 oldu¼gu görülür. içise 2i ( )m 2 ( e im) ) s e ( ) m 2i sds eşitli¼gide yararla l rsa e ( ( )m 2 2i ( )m2i e im) ) < : s e ( ) m2i (s)ds 9 ( ) e m 2i sds ; s

olup s e ( ) m 2i s ds (s ) e ( ) m 2i s ds eşitli¼gi ulla l rsa e ( )m2i ( )m 2 2i ( s e ( e im) ) ) m 2i s ds < : 9 ; h i s (s ) e ( )m 2i sds elde edilir. Burada e ( )m2i 2i 2 ( ) < : s e ( s (s ) e ( 2 ( ) 2 ( ) s e ( 2 ( ) s e ( 2 ( ) < : < : < : < : 2 ) s )m 2i s ds 9 ) m 2i s ds ; h i ds s (s ) e ( ds (s ) e ( s ) m 2 Im s ds s ds e ( ) m 2 Im s ds 9 ; 9 ; ds s ) m 2 Im ds s ) m 2 Im s ds s t e ( )m 2 Im s ds ) m 2 Im t dt 9 ds s ds ; 9 ; 2

buluur ve böylece ispat tamamla r (Guseiov vd. 2). Şimdi bu eşitsizlite yararla lara, serii düzgü ya sal ¼g ispatlama içi ulla laca ola u m;j (; ) X 2 ) (t ) jq (t)j u m;j (t; ) dt (3..3) (t ) ' m (t) u m;j (t; ) dt jq (t)j u m;j (t; ) dt eşitsizli¼gii gerçeledi¼gi gösterilecetir (Nabiev ve Guseiov 26). u m;j (; ) ( )m e ( )m2i (t ) X ' 2i m(t) ( ) m i q (t)! u m;j (t; )dt e ( )m2i (t )q (t)u m;j (t; )dt; j ; 2; ::: olma üzere (3..2) eşitsizli¼gide ve bu eşitsizlite yerie t- al ca elde edile e ( )m2i (t ) 2i 2(t ) eşitsizli¼gide yararla lara u m;j (; ) e ( )m2i (t ) 2i X jq (t)j u m;j e ( )m2i (t ) 2i ' m (t) u m;j (t; ) dt (t; ) dt! u jq (t)j m;j (t; ) dt 3

X 2 2 ) (t ) ' m (t) u m;j jq (t)j u m;j (t ) jq (t)j u m;j (t; ) dt (t; ) dt (t; ) dt elde edilir. Şimdi () 2 (t ) jq (t)j q 2 4 (t) q 2 (t) dt X olma üzere (3..3) eşitsizli¼gide 2 ) u m; (; ) ; (t ) jq (t)j dt u m; (; ) X 2 2 (t ) ) (t ) jq (t)j u m; (t; ) dt jq (t)j q 2 4 (t) 2 jq (t)j u m; (t; ) dt q(t) u m;(t; ) dt 4

X 2 (); 2 (t ) ) (t ) jq (t)j dt jq (t)j q 2 4 (t) 2 q(t) dt ve j- içi u m;j (; ) o j () (j )! oldu¼gu abul edilirse Lemma 3.. de verile eşitsizli yard m yla u m;j (; ) 2 X 2 (t ) ' m (t) u m;j 2 ) jq (t)j u m;j (t; ) dt (t ) jq (t)j u m;j (t; ) dt (t ) ' m (t) f (t)g j dt (j )! X t X (j )! X 2 ) (t; ) dt (t ) jq (t)j f (t)g j dt (j )! 2 jq (t)j q 2 4 (t) 2 2 )(t (t) j 2 )(t ) ( q(t) ) jq (t)j d ) dt 2 jq (t)j q 2 4 (t) q 2 (t) ) ) ( ) jq (t)j dtd 5

(j )! X () 2 )(t 2 jq (t)j q 2 4 (t) q 2 (t) ) ) ( ) jq (t)j dt d buluur. d () d 2 jq (t)j q 2 4 (t) q 2 (t) ) X 2 )(t ) ( ) jq (t)j dt ve lim! () oldu¼guda u m;j (; ) (j )! f ()g j () j d() elde edilir. O halde tümevar m yötemi gere¼gice j ; ; ::: içi elde edilir. u m;j (; ) f ()g j artmaya fosiyo oldu¼guda her 2 R içi e az da bir a 2 R vard r öylei a < içi (a) () dir. O halde her 2 R ve 2 S m içi u m;j (; ) f ()g j f (a)g j 6

olup X f (a)g j j e (a) < oldu¼guda Weierstrass M-Testi gere¼gice zeride düzgü ya sat r. X u m;j (; ) serisi R S m ümesi ü- j O halde (3..) serisi (3..6) itegral delemii çözümüdür ve tetir. Gerçete u m(; ) u (; ) 2 X 4( ) m j ( ) m i e ( 2i ' m(t) )m2i! X q (t) e ( )m2i (t )q (t)u m;j (t; )dt5 3 u m;j (t; )dt u (; ) ( ) m e ( ( ) m i ( ) m ( ) m i e ( 2i ' m(t) )m2i e ( )m2i (t )q (t) )m2i! X q (t)! X u m;j (t; ) dt j! X u m;j (t; ) dt j 2i ' m(t)! X q (t) u m(t; )dt e ( )m2i (t )q (t)u m(t; )dt gerçeleir. 7

3.2 Jost Çözümüü Özellileri Bu s mda elde edile Jost çözümüü aalitili¼gi iceleip gerçeledi¼gi birta m eşitsizli verilecetir (Nabiev ve Guseiov 26). Teorem 3.2.. u m(; ) 2 S m içi aaliti ve 2 S m içi süreli olup aşa¼g dai eşitsizlileri gerçeler. ju m(; )j e () (3.2.) ju m(; ) j ()e () Ispat : j ; ; ::: içi u m(; ) S m üzeride aaliti içi ve S m üzeride süreli olup (3..) serisi R S m üzeride düzgü ya sa oldu¼guda bu seri her bir 2 R içi u m(; ) S m üzeride aaliti ve S m üzeride süreli olur. u m(; ) X j u m;j (; ) eşitli¼gi her ii taraf mutla de¼geri al p j ; ; ::: içi gerçelee eşitsizli¼gi göz öüde buludurulursa u m;j (; ) f ()g j u m (; ) X u m;j (; ) j X f ()g j j e ()

eşitsizli¼gi gerçeleir ve bu eşitsizlite yararla lara u m(; ) ( ) m ( ) m i e ( )m 2i ( t) 2i [' m(t) X q (t)]u m(t; )dt e ( )m 2i (t ) q (t)u m(t; )dt olma üzere u m (; ) e ( )m 2i ( t) X 2i ' m(t) q (t) u m(t; ) dt e ( ) m 2i (t ) jq (t)j u m (t; ) dt elde edilir ve (3..2) eşitsizli¼gi yard m yla u m (; ) [(t ) ' m (t) X jq (t)j u m (t; ) dt 2 ) ( )(t jq (t)j] u m(t; ) dt e () @ e () () [(t ) ' m (t) X 2 ) ( )(t jq (t)j]dta oldu¼gu görülür (Nabiev ve Guseiov 26). Lemma 3.2.. ( jtj)(jq (t)j 4 q 2 (t) q 2 (t) )dt < ve X ( jtj) jq (t)j dt < 9

oşullar alt da 2 R, 2 S m ve C ile C 2 sabitler olma üzere u m (; ) C ( mas(; )) eşitsizli¼gi gerçeleir (Nabiev ve Guseiov 26). Ispat : Teorem 3.2. gere¼gice > olma üzere m ; ; :::; içi u m fosiyou s rl d r. içi (3.2.) eşitsizli¼gii göz öüde buludururara eşitsizli¼gi elde etmeye çal şal m. (3..4) itegral delemii her ii taraf mutla de¼geri al r ve (3..2) eşitsizli¼gide yararla l rsa u m (; ) 2 X (t ) jq (t)j q 2 4 (t) q 2 (t) 9 2 (t ) jq (t)j u ; m(t; ) dt ) jq (t)j u m (t; ) dt (3.2.2) elde edilir. Daha apal bir gösterim içi jp (t)j jq (t)j 4 q(t) 2 q 2 (t) ve jp (t)j jq (t)j (,2,...,) al p (3.2.2) eşitsizli¼gii sa¼g taraf düzeleirse u m (; ) X 2 ) (t ) jp (t)j u m(t; ) dt 2

olur. Eşitsizli¼gi sa¼g taraf dai itegral (t ) jp (t)j u m (t; ) dt (t ) jp (t)j u m (t; ) dt (t ) jp (t)j u m (t; ) dt şelide ifade edilme üzere il itegralde (t ) ( ) ve iici itegralde (t ) t ( ) eşitsizlileride yararla lara üçültmeler yap l rsa u m (; ) X elde edilir. > içi sa¼glaa 2 ) < : ( ) jp (t)j u m (t; ) dt t ( ) jp (t)j u m (t; ) dt ; X 2 < ) ( ) jp (t)j u : m(t; ) dt 9 t jp (t)j u m(t; ) dt ; u m (; ) e () 9 2

eşitsizli¼gide yararla lara t jp (t)j u m (t; ) dt t jp (t)j e (t) dt t jp (t)j e () dt yaz ls K X 2 ) t jp (t)j e () dt olma üzere u m (; ) X K 2 ) ( ) jp (t)j u m (t; ) dt elde edilir. Bu eşitsizli göz öüde buludurulara U m(; ) u m(;) K(jj) ile gösterilme üzere U m (; ) ju m(; )j K( jj) X jj X jj K X 2 2 ) 2 ) ) eşitsizli¼gi elde edilir. Sa¼g taraftai itegralde ( ) ( ) ( ) jp (t)j ju m(t; )j dt jkj ( jj) jtj jj jp (t)j ju m(t; )j K( jtj) dt jtj jj jp (t)j U m (t; ) dt jj ( jj) eşitsizli¼gide yararla lara üçültmeler yap l rsa U m (; ) X 2 ) ( jtj) jp (t)j U m (t; ) dt (3.2.3) 22

olur. f() X 2 ) ( jtj) jp (t)j U m(t; ) dt ile gösterilme üzere f() > oldu¼guda (3.2.3) eşitsizli¼gide ju m(; )j f() (3.2.4) yaz l r ve eşitsizli¼gi her ii taraf X 2 )( jj) jp ()j ile çarp l rsa ju m(; )j X 2 )( jj) jp ()j f() X 2 jj) ) jp ()j elde edilir. Eşitsizli¼gi her ii taraf [; ) üzeride itegralleir ve U m (t; ) eşitli¼gide yararla l rsa X 2 jtj) )( jp (t)j df(t) dt df(t) dt X 2 ) ( jtj) jp (t)j dt olur ve burada f() X ep @ X ep @ K 2 2 ) ) ( jtj) jp (t)j dta ( jtj) jp (t)j dta elde edilir. Dolay s yla (3.2.4) eşitsizli¼gide U m (; ) K 23

elde edilir. ju m(; )j yerie jum(;)j K(jj) yaz l rsa olur burada KK K 2 al rsa ju m (; )j K( jj) K u m (; ) K2 ( jj) elde edilir. > içi u m (; ) e () e (a) K 3 al p, mas(k 2; K 3 ) C ile gösterilirse 2 R içi u m (; ) C ( mas( ; )) eşitsizli¼gi elde edilir. Bu durumda delemi çözümüü her içi s rl oldu¼gu görülür. 24

4. JOST ÇÖÜMÜNÜN INTEGRAL GÖSTER IM I Bu bölümde Fourier Döüşümü yard m yla (3..6) itegral delemii bir başa formdai çözümü ya da başa bir deyişle (3..6) delemii itegral gösterimi elde edilecetir (Nabiev ve Guseiov 26). (3..) diferesiyel delemii (3..2) oşuluu gerçeleye her bir çözümüü (3..6) itegral delemii çözümü oldu¼gu gösterilmişti. Şimdi ise (3..6) itegral delemii u m(; ) K m(; t)e ( )m 2i t dt (4.) şelide bir itegral gösterime sahip oldu¼gu gösterilecetir. Yie bu gösterim u m(; ) içi elde edilsi, u m (; ) içi de bezer işlemler yap lara elde edilebilece¼gi görülür. (4.) ile gösterile eşitli (3..6) delemide yerie yaz l rsa I K m(; t)e ( )m 2i t dt ile gösterilme üzere I ( ) m @ e ( )m2i (t )! X 2i ' m(t) q (t) K m(t; )e ( )m 2i d A dt (4.2) ( ) m i e ( )m2i (t )q (t) @ K m(; )e ( )m 2i d A dt elde edilir. Daha apal bir ifade içi p () ' m() ve p () q (); ( ; 2; :::; ) gösterimleri ulla l rsa (4.2) eşitli¼gi 25

K m (; t)e ( )2it dt ( ) m e ( )m2i (t ) 2i e ( )m2i (t ) ( ) m K m (t; )e ( 2i )2i d 9 ; dt X p (t)dt (4.3) ( X p (t) ( ) m i e ( )m2i (t )p (t)dt ( ) m i e ( )m2i (t )p (t) K m (t; )e ( )2i ddt şelii al r. (4.3) eşitli¼gii bu so hali düzelemede öce il ii itegrali döüşümüde yararla laca ola bir eşitli verilsi. t ; ve 2 S m içi e ( ( )m 2 2i ( )m2i eşitli¼gide yararla l rsa s e ( e im) ) ) m 2i s ds < : 9 ; h i s (s ) e ( )m 2i sds e ( )m2i (t ) e ( )m2i ( )m (m) 2i ( < : t ) (4.4) (s t ) e ( ) m 2i sds 9 (s ) e ( )m 2i sds ; 26

elde edilir. (4.3) eşitli¼gide J ( ) m e ( )m2i (t ) 2i X p (t)dt al p, bu itegrali içi e ( )m 2i ile çarp l p bölüsü. Bu durumda elde edile J ( ) m X e ( )m2i (t ) e ( )m2i 2i p (t)dt eşitli¼gide (4.4) eşitli¼gi ulla l rsa J X (m) < ( ) (s ) e ( )m 2i (s )ds : 9 (s t ) ( ) e m 2i (s )ds ; p (t)dt t elde edilir. Paratezi içidei ii itegralde de s uygula p, itegrasyo s ras da de¼gişim yap l rsa J itegrali J X (m) ) m 2i u @u ( )e( halii al r. Yie (4.3) eşitli¼gide p (t)dt u de¼gişe de¼giştirilmesi u (u t ) p (t)dta du J 2 ( ) m e ( )m2i (t ) 2i X p (t) K m(t; )e ( )2i ddt al ma üzere (4.4) eşitli¼gide J 2 içi J 2 X (m) < ( ) (s ) e ( )m 2i (s )ds : 9 (s t ) ( ) e m 2i (s )ds ; p (t)k m(t; )ddt t 27

yaz l r. Ii ez itegrasyo s ras da de¼gişim yap lara aşa¼g dai eşitli yaz l r. J 2 X (m) ) m 2i < s p (t) (s ) K ( : m(t; )ddt )e( 9 s s t p (t) (s t ) K m(t; )ddt ; ds s Bezer şeilde J 3 ( ) m i e ( )m2i (t )p (t) K m (t; )e ( )2i ddt al r ve u t de¼gişe de¼giştirilmesi yap l p itegrasyo s ras de¼giştirilirse J 3 ( ) m i e ( )m 2i u u p (t)k m(t; u t )dtdu eşitli¼gi elde edilir. So olara J 4 ( ) m i e ( )m2i (t )p (t)dt al p t u de¼gişe de¼giştirilmesi yap l rsa J 4 ( ) m i e ( )m2i up (u )du elde edilir. J ; J 3 ; J 4 itegralleride u yerie t ve t yerie s, J 2 itegralide ise s yerie t ve t yerie s yaz l rsa 2

I e ( t )m 2i t p (s) t ( X s (m) ( ) @t p (s)ds (t s ) K m(s; )dds t (t s ) p (s)ds t p (s) i( ) m (t ) K m (s; )ddsa t 9 p (s)k m(s; t s )ds i( ) m p (t ) ; dt olur. A(; t) X t (m) < ( ) : t p (s) p (s) t t i( ) m s p (s)ds t (t s ) K m(s; )dds 9 (t ) K m(s; )dds ; t (t s ) p (s)ds (4.5) p (s)k m(s; t s )ds i( ) m p (t ) ile gösterilme üzere (4.5) eşitli¼gi I K m(; t)e ( )2it dt A(; t)e ( )m 2i tdt şelide yaz labilir. Bu durumda K m (; t) A(; t) e ( )m 2i t dt 29

olur. Burada K m(; t) A(; t) C(; t) ile gösterilme üzere C(; t)e ( )m 2i tdt elde edilir. s C(; t) s C(; t) < : C(; t) ; < t < ; < t ile ta mlama üzere s C(; t)e ( )m 2i tdt dt C(; t)e ( )m 2i tdt oldu¼gu görülür. s C(; t)e ( )m 2i tdt ifadesi s C fosiyouu Fourier döüşümüdür. Fourier döüşümü lieer ve birebir bir döüşüm oldu¼guda aca birim fosiyou birim fosiyoa döüştürür. Buda dolay d r i s C(; t)e ( )m 2i tdt, s C(; t), C(; t) Yai K m(; t) A(; t) olup K m(; t) A(; t) oldu¼gu görülür. O halde 3

K m(; t) içi K m(; t) X t (m) < ( ) : t p (s) t s p (s)ds t (t s ) K m(s; )dds (t s ) p (s)ds (4.6) p (s) t i( ) m (t ) t 9 K m(s; )dds ; p (s)k m(s; t s )ds i( ) m p (t ) eşitli¼gi elde edilir. Şimdi bize (4.6) itegral delemi ha da bilgi verece icelemeler yapal m. Aşa¼g dai teoremde (4.6) itegral delemii bir çözümüü oldu¼gu ve bu çözümü te oldu¼gu gösterilece ayr ca bu çözümü gerçeledi¼gi bir eşitsizli verilecetir. Teorem 4.. 2 [a; ) ; (a 2 R) içi (4.6) itegral delemii çözümü vard r, tetir ve K m(; :) 2 L (; ) olma üzere K m () e () (4.7) eşitsizli¼gi gerçeleir (Nabiev ve Guseiov 26). Ispat : Bu teoremi ispat içi Ard ş Yalaş mlar Yötemi ulla ls. Buu içi t > olma üzere K m;(; t) X (m) ( ) @t i( ) m p (t ) p (s)ds t (t s ) p (s)dsa 3

ve j ; 2; ::: içi K m;j (; t) X t (m) ( ) p (s) t < : t i( ) m s p (s) t (t ) K m;j (s; )dds (4.) (t s ) K m;j (s; )dds 9 ; p (s)k m;j (s; t s )ds al s. (4.) eşitli¼giii il itegralide itegrasyo s ras da de¼giştirilme yap ls ve K m;j (; t) içi aşa¼g dai eşitli ulla lara işlemlere devam edilsi. K m;j (; t) X t (m) ( )f t i( ) m t (t ) t (t ) t p (s)k m;j (t s ) p (s)k m;j (s; t s )ds (s; )dsd p (s)k m;j (s; )gdsd Amaç (4.6) itegral delemii bir çözümü oldu¼guu göstermeti. Ele al a bu yalaş mlarla K m(; :) X j K m;j (; t) (4.9) serisi oluşturulsu. E¼ger bu serii ve t ye göre düzgü ya sa oldu¼gu gösterilirse bu seri (4.6) itegral delemii bir çözümü olacat r. Ve yie bu seride yararla lara K m(; :) 2 L (; ) oldu¼gu ve (4.7) eşitsizli¼gii gerçeledi¼gi gösterilecetir. (4.9) serisii ve t ye göre düzgü ya sa oldu¼guu gösterme içi Weierstrass M-Testide yararla lacat r. Buu içi j ; ; 2; ::: olma üzere K m;j () f ()g j (j )! (4.) 32

eşitsizli¼gi ulla lacat r. Bu edele işe (4.) eşitsizli¼gii gerçeledi¼gii göstermele başlayal m. K m;(; t) X (m) ( ) @t i( ) m p (t ) p (s)ds t (t s ) p (s)dsa olma üzere K m;(; t) dt X X t (m) ( ) jp (t )j dt t 2 ( ) @t < : jp (t )j dt t t (t s ) p (s)ds jp (s)j ds t 9 jp (s)j ds ; dt (t s ) p (s)dsa eşitsizli¼gi elde edilir. Burada I 2 X @ 2 )t t jp (s)j ds jp (t )ja dt al ma üzere I 2 X @ 2 ) t js tj jp (s)j ds jp (t )ja dt 33

olup d ( t) dt X 2 ( ) jp (t )j js tj t jp (s)j ds eşitli¼gide yararla l rsa I 2 2 d ( t) dt d ( t) dt ( ) lim! 2 () 2 () elde edilir. Bezer şeilde I 2 2 2 2 2 2 X X jp (s)j X X () 2 2 ( ) 2 ( lim ) s! t t (t s ) (t s ) (s ) jp (s)j ds (s ) jp (s)j ds jp (s)j dsdt t jp (s)j dtds ( s ) (s ) jp (s)j ds! ds 34

olup K m; (; t) dt I I 2 () elde edilir. () < oldu¼guda K m; (; t) dt < olur. O halde K m;(; t) 2 L (; ) oldu¼gu görülür. Bu durumda K m; fosiyouu t ye göre ormuda bahsedilebilir i burada K m; () () eşitsizli¼gii gerçeledi¼gi görülür. Şimdi j içi K m;j () f ()g j oldu¼gu abul edilsi. K m;j (; t) X t (m) ( ) t i( ) m < : t (t ) t (t ) p (s)k m(s; t t (t s ) p (s)k m(s; )dsd s )ds 9 p (s)k m(s; )dsd ; 35

olma üzere K m;j (; t) X dt (m) ( ) < : t K m;j (s; ) dsd dt X (m) ( ) t t (t ) t (t s ) (jp (s)j K m;j (s; ) )dsddt t jp (s)j K m ; j (s; t s ) dsdt jp (s)j (4.) (t ) olur. Burada I X 2 ( t ) (t ) t jp (s)j K m;j (s; ) dsddt al ma üzere itegrasyo s ras da de¼gişim yap l rsa I X X 2 ( 2 ( ) ) (t ) t jp (s)j K m;j jp (s)j K m;j (s; ) s (s; ) dsdtd (t ) dtdsd elde edilir. E içtei itegral hesapla rsa I X 2 ( ) (s ) jp (s)j jk m(s; )j dsd olur. Itegrasyo s ras da terar de¼giştirilme yap l r ve ( )( ) ) 36

oldu¼gu göz öüde buludurulursa I X X 2 ) )(s 2 ) )(s jp (s)j jp (s)j K m:j K m;j (s; ) dds (s)ds elde edilir. Yie (4..)eşitsizli¼gide I 2 X 2 ( jp (s)j K m;j ) t t (s; ) dsddt (t s ) (t ) al p itegrasyo s ras da ii ez de¼gişim yap l rsa I 2 X 2 ( jp (s)j K m;j X 2 ( ) ) t (s; ) dsdtd (t s ) jp (s)j K m;j (t s ) (s; ) (t ) dtdsd (t ) s elde edilir. E içtei itegral hesapla rsa I 2 X X X 2 ( 2 ) (s ) ) )(s 2 ) )(s jp (s)j jp (s)j K m;j jp (s)j K m:j (s; ) dsd K m;j (s; ) dds (s)ds 37

olur. So olara I 3 t al p itegrasyo s ras da de¼gişim yap l rsa I 3 s jp (s)j K m;j (s; t s ) dsdt jp (s)j K m;j (s; t s ) dtds olup, t! s de¼gişe de¼giştirmesi yap l rsa I 3 jp (s)j jp (s)j K m:j K m;j (s;!) d!ds (s) ds elde edilir. Tüm bu işlemlerde sora K m;j () f ()g j abulüde K m;j (; t) X dt X X 2 ) )(s 2 ) )(s jp (s)j K m:j 2 (s)ds ) )(s jp (s)j K m:j X 2 (s)ds ) )(s jp (s)j K m:j (s)ds (4.2) jp (s)j K m:j jp (s)j K m:j jp (s)j K m:j (s)ds (s)ds (s)ds 3

elde edilir. Burada X 2 ) )(s jp (s)j f(s)gj ds X 2 ) )(s jp (s)j f (s)g j ds S ile gösterilme üzere eşitli¼gide yararla l rsa s (s ) ( )(s ) d S X 2 s ) ( )(s ) jp (s)j f (s)g j dds olur, itegrasyo s ras de¼giştirilirse S X 2 ) ( )(s ) jp (s)j f (s)g j dsd olur. fosiyou artmaya fosiyo oldu¼guda alt s rda e büyü de¼gerii alacat r, bu durumda S f ()g j f ()g j f ()g j (j )! X 2 d () d d f ()g j d () ) ( )(s ) jp (s)j dsd 39

elde edilir. O halde (4.2) eşitsizli¼gi K m;j (; t) f ()g j dt (j )! (4.3) şelii al r. () < oldu¼guda K m;j (; t) dt < olacat r. Dolay s yla j ; ; 2; ::: içi K m;j (; :) 2 L (; ) olur i bu durumda K m;j fosiyolar t ye göre ormu mevcuttur. O halde (4.3) eşitsizli¼gide t > ve 2 a; ); (a 2 R) içi K m;j () f ()g j (j )! ; j ; ; 2; ::: elde edilir. artmaya fosiyo oldu¼guda a < ie (a) () olaca¼g da K m;j () f ()g j (j )! f (a)g j (j )! olur ve X f (a)g j j (j )! e (a) olup e (a) < oldu¼guda Weierstrass M Testi gere¼gice X j K m;j (; t) serisi t ye ve e göre düzgü ya sat r. O halde (4.6) delemii bir çözümü vard r ve bu çözüm tetir. 4

Şimdi gerçete (4.9) serisii (4.6) delemii bir çözüm oldu¼gu gösterilsi. K m(; t) K m;(; t) K m;(; t) X < X : j t t s i( ) m X j K m;j (; t) 2 )[ t (t ) p (s)k m;j (s; )dds (t s ) p (s)k m;j (s; )dds] t p (s)k m;j (s; t s )dsg olup (4.9) serisi e ve t ye göre düzgü ya sa oldu¼guda seri ile itegralleri yerleri de¼giştirilebilece¼gide K m(; t) K m;(; t) X t t 2 )f s i( ) m X f t t (t ) p (s) (t s ) p (s) t (m) ( )t p (s) X j X j X j K m;j K m;j K m;j (s; t s )ds p (s)ds t (t ) p (s)k m(s; )dds (s; )dds (s; )ddsg (t s ) p (s)ds t t s (t s ) p (s)k m(s; )ddsg i( ) m t p (s) j X K m;j (s; t s )ds i( )m p (t ) 4

elde edilir i bu da (4.9) serisii (4.6) delemii çözümü oldu¼guu gösterir. So olara yie (4.9) seriside yararlaara (4.7) eşitsizli¼gii gerçeledi¼gi gösterilsi. K m(; t) X j K m;j (; t) olma üzere K m () K m (; t) dt X K m;j (; t) dt; j olup üçge eşitsizli¼gide yararla l rsa elde edilir. K () m X K m;j (; t) dt j X K m;j (; t) serisii düzgü ya sal ¼g da ve K j eşitsizli¼gide faydala l rsa m;j () j () (j)! K m () X j X K j K m;j (; t) dt m;j () X f ()g j j e () (j )! elde edilir. Şimdi çeirde fosiyouu e göre türevleebilir oldu¼guu göstere teorem verilsi. 42

Teorem 4.2. 2 R; D K m(; :) 2 L (; ) olup () jq (t)j q 2 4 (t) q 2 (t) dt X 2 ) jt j q(t) dt ile gösterilme üzere D K m () ()( ())e () eşitsizli¼gi gerçeleir (Nabiev ve Guseiov 26). Ispat : Çeirde fosiyouu K m(; t) X j K m;j (; t) şelide yaz labildi¼gi gösterildi. Şimdi bu eşitli ulla lara; e¼ger j içi D K m;j (; t) türevii mevcut X oldu¼gu gösterilir ve bu türevlerde oluşa D K m;j (; t) serisii ya sa oldu¼gu gösterilirse D K m(; t) türevii mevcut oldu¼gu ispatla r. O halde öcelile j içi D K m;j (; t) türevlerii mevcut oldu¼gu gösterilsi. Öcelile j içi j K m;(; t) p (s)ds t p (s)ds X 2 < ) : t i( ) m p ( t) p (s)ds t 9 ( t s) p (s)ds ; olma üzere toplam içidei itegralde t-su de¼gişe de¼gişimi yap l rsa K m;(; t) p (s)ds t p (s)ds X (m) < ( ) : t i( ) m p ( t) t p ( t u)du t u p ( t 9 u)du ; 43

olur. Bu haliyle e göre türev al rsa ve terar t yap l rsa s u de¼gişe de¼gişimi D K m;(; t) p () p ( t) p () X (m) < ( ) : t i( ) m p ( t) X (m) < ( ) : t t t p ( t u)du p (s)ds p ( t) i( ) m p ( t) t t u p ( t 9 u)du ; 9 h i t ( t s) p (s)ds ; elde edilir. t K m;j (; t) t X t t p (s)k m;j (m) ( )f i( ) m t (t ) t (s; )dsd (t ) t p (s)k m;j (t s ) p (s)k m;j (s; t s )ds (s; )dsd p (s)k m;j (s; )gdsd olma üzere il itegral hariç di¼ger tüm itegrallerde t s u de¼gişe de¼gişimi 44

yap l rsa t K m;j (; t) t X t t p (s)k m;j (m) < ( ) : [(t i( ) m ) t (s; )dsd t (t ) p ( t u)k m;j ( t u; )dud (u ) ]p ( t u)k m;j ( t u; )dud 9 ; p ( t u)k m;j ( t u; u)du olur. Bu haliyle e göre türev al rsa t D K m;j (; t) X p ( t )K m;j ( t ; )d (m) < ( ) : t p ( t u)d K m;j ( t u; )]dud t t [(t ) (u ) ] [p ( t u)k m;j ( t u; ) p ( t u)d K m;j ( t u; )]dud i( ) m t (t ) [p ( t u)k m;j ( t u; ) [p ( t u)k m;j ( t u; u) p ( t u)d K m;j ( t u; u)]du olur. Il itegralde t s ve di¼ger itegrallerde t-us de¼gişe de¼gişimi 45

yap l rsa D K m;j (; t) X (m) ( ) < : t t (t ) [p (s)k m;j (s; ) p (s)d K m;j (s; )]dsd t t [(t ) ( t s ) ] [p (s)k m;j (s; ) p (s)d K m;j (s; )]dsd t i( ) m [p (s)k m;j (s; t s) p (s)d K m;j (s; t s)]ds t p (s)k m;j (s; t )ds elde edilir. Şimdi X j D K m;j (; t) serisii ya sa oldu¼guu gösterme içi ulla laca ola eşitsizli¼gii gerçeledi¼gii gösterelim. D K m;(; t) D K m;j (j ()g j () )f () X t (m) < ( ) : t p (s)ds (4.4) t 9 h i t ( t s) p (s)ds ; p ( t) i( ) m p ( t) olma üzere bu eşitli¼gi her ii taraf mutla de¼geri al p [; ) aral ¼g üzeride 46

itegralleirse D K m;(; t) X dt t 2 ( )ft t jp (s)j ds t ( t s) jp (s)j dsgdt jp ( t)j dt i( ) m jp ( t)j dt X t 2 ( )f t t jp (s)j ds t ( t s) jp (s)j dsgdt jp (s)j ds i( ) m jp (s)j ds eşitsizli¼gi elde edilir. s ras da de¼gişim yap l rsa Bu eşitsizlite toplam içidei itegrallerde itegrasyo D K m;(; t) dt jp (s)j ds X () 2 ) )(s jp (s)j ds buluur. () < oldu¼guda K m;(; t) 2 L (; ) olur. O halde K m; fosiyouu L (; ) uzay da t ye göre ormu mevcut olup D K m; () () 47

elde edilir. D K m;j (; t) X (m) ( ) < : t t (t ) [p (s)k m;j (s; ) p (s)d K m;j (s; )]dsd t t [(t ) ( t s ) ] [p (s)k m;j (s; ) p (s)d K m;j (s; )]dsd t i( ) m [p (s)k m;j (s; t s) p (s)d K m;j (s; t s)]ds t p (s)k m;j (s; t )ds olma üzere eşitli¼gii her ii taraf mutla de¼geri al p, [; ) üzeride itegralleir ve gereli üçültmeler yap l rsa D K m;j (; t) X dt (m) ( )f t t (t ) [jp (s)j K m;j (s; ) jp (s)j D K m;j (s; ) ]dsd t t (t ) ( t s ) [jp (s)j K m;j (s; ) jp (s)j D K m;j (s; ) ]dsdg t [jp (s)j K m;j (s; t s) jp (s)j D K m;j (s; t s) ]ds t p (s)k m;j (s; t )ds 4

elde edilir. Itegrasyo s ras da de¼gişili yap l rsa D K m;j (; t) X dt 2 ) (s ) (jp (s)j K m;j (s) jp (s)j D K m;j (s) )ds jp (s)j K m;j (s) ds (4.5) eşitsizli¼gi elde edilir. Bu eşitsizlite ve daha öce elde edile K m;j f ()g j () (j )! ve D K m; () () eşitsizlileride yararla l rsa j içi D K m;(; t) X dt 2 ) (s ) (jp (s)j K m; jp (s) (s)j D K m; jp (s)j K m; (s) ds (s) )ds X 2 ) (s ) [jp (s)j (s) jp (s)j (s)]ds jp (s)j (s)ds yaz labilir. ve fosiyolar artmaya fosiyo oldular içi alt s rda e 49

büyü de¼gerii al r ve yuardai eşitsizli D K m;(; t) dt ()[ X () jp (s)j ds X 2 ) 2 )(s ) jp (s)j ds X () () () ()[ () 2 () () X (s ) jp (s)j ds] 2 )(s ) jp (s)j ds 2 )(s ) jp (s)j ds] halii al r. () < ve () < oldu¼guda D K m;(; t) dt < olur i bu da D K m; 2 L (; ) oldu¼guu gösterir. Bu durumda D K m; fosiyouu L (; ) da t ye göre ormu mevcuttur ve D K m; () 2 () () eşitsizli¼gii gerçeler. j2 içi D K m;2(; t) dt X 2 ) (s ) (jp (s)j K m; (s) jp (s)j D K m; (s) )ds (4.6) jp (s)j K m; (s) ds X 2 ) (s ) (jp (s)j f (s)g 2 jp (s)j 2 (s) (s))ds 2! f ()g 2 2! jp (s)j f (s)g 2 ds 2! [ X 2 () jp (s)j ds 2 5 ) X 2 ) (s ) jp (s)j (s)ds (s ) jp (s)j ds]

yaz l r. X X X 2 2 2 X () f ()g 2 2! ) s ) ) (s ) jp (s)j (s)ds ( ( 2 ) () d () d d )(s )(s ( )(s ) jp (s)j (s)dds ) jp (s)j (s)dsd ) jp (s)j (s)dsd eşitli¼gide ve X jp (s)j ds yararla l rsa (4.6) eşitsizli¼gi 2 ) (s ) jp (s)j ds (s) eşitsizli¼gide D K m;2(; t) dt f ()g 2 () 2 () f ()g 2 2! 2! 3 () 2 () 2! şelii al r. Bu durumda K m;2(; t) 2 L (; ) olup K m;2 fosiyouu L (; ) da t ye göre ormu mevcuttur ve bu orm D K m;2 () 3 () f ()g 2 2! eşitsizli¼gii gerçeler. O halde j içi D K m;j () j () f ()g j (j )! 5

eşitsizli¼gii gerçeledi¼gii abul edelim. (4.5) eşitsizli¼gide ve abulümüzde D K m;j (; t) X dt 2 ) (jp (s)j K X m;j jp (s)j K 2 ) (s ) jp (s) (s)j D K m;j m;j (s) ds (s ) (s) )ds (jp (s)j f (s)g j jp (s)j (s) f (s)g j :j)ds (j )! jp (s)j f (s)g j ds yaz l r. Bir öcei ad mda yap la üçültmeleri bezeri yap l rsa D K m;j (; t) f ()g j dt () X j: () f ()g j ( )(s 2 () f ()g j () j X (j )! () ) (s ) jp (s)j f (s)g j ds (j )! j X (j )! () ) jp (s)j]ds 2 ) (s ) jp (s)j]dsd f ()g j () j (j )! () () j ( 2 ) [ (s) j ( )(s s [ (s) j ) ) jp (s)j dsd 52

f ()g j () j (j )! () f ()g j () j () f ()g j (j ) () f ()g j () j d () d d elde edilir. Böylece j içi K m;j (; t) 2 L (; ) olup D K m;j (j () ) () f ()g j (4.7) gerçeleir. Şimdi bu eşitsizli yard m yla gösterilsi. (4.7) eşitsizli¼gide X j D K m;j (; t) serisii ya sa oldu¼gu X D K m;j j () X (j ) () f ()g j j X () (j ) f ()g j j ( ) () 2 () 3 f ()g 2 4 f ()g 3 ::: 2! 3! ( ) () () f ()g 2 f ()g 3 ::: 2! 3! ( ) () () 2 f ()g 2 3 f ()g 3 ::: 2! 3! ( ) () () f ()g 2 f ()g 3 ::: 2! 3! ( ) () () () f ()g 2 f ()g 3 ::: 2! 3! ( ) ()( ()) () f ()g 2 f ()g 3 ::: 2! 3! ()( ())e () elde edilir. ve artmaya fosiyo oldu¼guda her 2 R içi e az da bir a 2 R vard r öylei a < içi (a) () ve (a) () olur. O halde her 53

2 R ve 2 S m içi, D K m;j () (j ) () f ()g j (j ) (a) f (a)g j X olup (j) (a)g j (a) f serisi ya sa oldu¼guda Weierstras M-Testi gere¼gice j X D K m;j (; t) serisi e ve t ye göre düzgü ya sat r. Dolay s yla D K m(; t) j mevcut olup L (; ) uzay dad r. Böylece ispat tamamla r (Nabiev ve Guseiov 26). 54

KAYNAKLAR Atosu, T., Klaus, M. ad va der Mee, C. 99. Wave scatterig i oe dimesio with absorptio, J. Math. Phys., 39, 957-992. Bairamov, E., Çaar, Ö. ad Krall, A.M. 999. Spectrum ad spectral sigularities quadratic pecil of a Schrödiger operators with a geeral boudry coditio, J. Di eretial Equatios, 5, 252-267. Guseiov, I.M., Nabiev, A.A. ad Pashayev, R.T. 2. Trasformatio operators ad asymptotic formulas for the eigevalues of a polyomial pecil of Sturm-Liouville operators, Siberia Math. J., 4, 452-464. Jaulet, M. ad Jea, C. 976. The iverse problem for the oe dimesioal Schrödiger equatio with eergy depet potetial I, II, A. Ist. H. Poicare Sect. A (N.S.), 25, 5-, 9-37. Nabiev, A.A. ad Guseiov, I.M. 26. O the Jost solutios of Schrödiger- type equatios with polyomial eergy-depedet potetial, Iverse Problems, 22, 55-67. 55

ÖGEÇM IŞ Ad Soyad : Fahriye ehra BABACAN Do¼gum Yeri : Artvi Do¼gum Tarihi :.2.95 Medei Hali : Bear Yabac Dili : Igilizce E¼gitim Durumu (Kurum ve Y l) Lise : Ayrac Yabac Dil A¼g rl l Lisesi 3) Lisas : Aara Üiversitesi Fe Faültesi Matemati Bölümü 7) Yüse Lisas : Aara Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matemati Aabilim Dal (Eylül 27 A¼gustos 2) 56