ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN İLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEİ MORREY UAYLARINDA HARDY-LITTLEWOOD MAKSİMAL OPERATÖRÜ ve RIES POTANSİYELİNİN SINIRLILIĞI Ferit GÜRÜ MATEMATİK ANAİLİM DALI ANKARA 2 Her hakkı saklıdır

2 ÖET Yüksek Lisas Tezi MORREY UAYLARINDA HARDY-LITTLEWOOD MAKSİMAL OPERATÖRÜ ve RIES POTANSİYELİNİN SINIRLILIĞI Ferit GÜRÜ Akara Üiversitesi Fe ilimleri Estitüsü Matematik Aabilim Dalı Daışma : Prof. Dr. Ayha Şerbetçi u çalışmada, M maksimal oeratörüü ve I α Riesz otasiyelii L,λ (Rⁿ) Morrey uzaylarıda varlık ve sıırlılık koşulları icelemiştir. u tez çalışması dört bölümde oluşmaktadır. irici bölüm giriş kısmıdır. İkici bölümde, temel taım ve teoremlere yer verilmiştir. Üçücü bölümde, klasik maksimal foksiyo ve Riesz otasiyeli taıtılmış ve bu oeratörleri varlık ve sıırlılığı L (Rⁿ) Lebesgue uzaylarıda gösterilmiştir. So bölüm ola dördücü bölümde ilk öce, λ olmak üzere, L,λ (Rⁿ) Morrey uzayı taıtılmış, bu uzay üzeride taımlaa orm ve λ ı durumlarıa göre L,λ (Rⁿ) uzayıı yaısı hakkıda bazı souçlar verilmiştir. Daha sora, L,λ (Rⁿ) uzaylarıda Hardy-Littlewood maksimal oeratörüü sıırlılığı Guliyev (29) tarafıda verilmiş ola teorem yardımıyla gösterilmiştir. L,λ (Rⁿ) uzaylarıda I α Riesz otasiyelii sıırlılığı iki farklı yöde Sae ve Adams tii sıırlılık olarak gösterilmiştir. uu içi Guliyev (29) tarafıda verilmiş ola iki farklı teorem kullaılmıştır. So olarak L,λ (Rⁿ) Morrey uzaylarıda M maksimal oeratörüü ve I α Riesz otasiyelii sıırlılığı içi Chiareza ve Frasca (987) tarafıda verilmiş ola alteratif isatlar verilmiştir. Ocak 2, 56sayfa Aahtar Kelimeler : L (Rⁿ) uzayı, L,λ (Rⁿ) Morrey uzayı, Hardy-Littlewood maksimal foksiyou, Riesz otasiyeli, kuvvetli ve zayıf ti sıırlılık. i

3 ASTRACT Master Thesis THE OUNDEDNESS OF HARDY-LITTLEWOOD MAXIMAL OPERATOR AND RIES POTENTIAL IN MORREY SPACES Ferit GÜRÜ Akara Uiversity Graduate School of Natural ad Alied Sciece Deartmet of Mathematics Suervisor: Prof. Dr. Ayha Şerbetçi I this study, existece ad boudedess coditios of M maximal oerator ad I α Riesz otetial i the L,λ (Rⁿ) Morrey saces are ivestigated. This thesis cosists of four chaters. The first chater is devoted to itroductio. I the secod chater, basic defiitios ad theorems take lace. I the third chater, classical maximal fuctio ad Riesz otetial are itroduced ad existece ad boudess of these oerators are showed i the L (Rⁿ) Lebesgue saces. I the fourth chater which is the last chater firstly, for λ, L,λ (Rⁿ) sace is itroduced ad the orm which is itroduced o this sace ad some results of accordig to the states of λ about structre of L,λ (Rⁿ) sace are give. The, the boudedess of Hardy-Littlewood maximal oerator i the L,λ (Rⁿ) saces is showed with the hel of the theorem which was give by Guliyev (29). The boudedess of I α Riesz otetial i the L,λ (Rⁿ) saces is showed as Sae ad Adams tye boudess with two differet ways. For this aim two differet theorems which were give by Guliyev (29) is used. Fially, alterative roofs which were give for boudedess of M maksimal oerator ad I α Riesz otetial i the L,λ (Rⁿ) Jauary 2, 56 ages Key Words : L (Rⁿ) sace, L,λ (Rⁿ) Morrey sace, Hardy-Littlewood maximal fuctio, Riesz otetial, strogly ad weakly tye boudedess. ii

4 TEŞEKKÜR aa bu kouda çalışma ve ilerleme imkaı vere, yardımlarıı esirgemeye tez daışmaım sayı Prof. Dr. Ayha ŞERETÇİ 'ye (Akara Üiversitesi, Fe Fakültesi, Matematik ölümü) ve her türlü desteği ve yardımı esirgemeye aileme saygı ve teşekkürlerimi suarım. Ferit GÜRÜ Akara, Ocak 2 iii

5 IÇ INDEK ILER ÖET i ASTRACT ii TEŞEKKÜR iii S IMGELER vi. G IR IŞ TEMEL KAVRAMLAR L (R ) LEESGUE UAYLARINDA MAKS IMAL FONKS IYON ve RIES POTANS IYEL I Maksimal Foksiyo Riesz Potasiyeli L ; (R ) MORREY UAYLARINDA HARDY-LITTLEWOOD MAKS IMAL OPERATÖRÜ ve RIES POTANS IYEL I L ; (R ) Morrey Uzaylar L ; (R ) Uzaylar da Maksimal Oeratörü S rl l ¼g L ; (R ) Uzaylar da Riesz Potasiyelii S rl l ¼g...37 iv

6 4.3. Sae tii s rl l k Adams tii s rl l k L ; (R ) Morrey Uzaylar da M Maksimal Oeratörüü ve I Riesz Potasiyelii S rl ¼g Içi Alteratif Isatlar...43 KAYNAKLAR ÖGEÇM IŞ v

7 S IMGELER D I IN I m Lebesgue ölçüsü L (R ) Lebesgue uzay Su f f i deste¼gi L loc (R ) R de lokal itegralleebile foksiyolar uzay S R de birim küre w irim kürei yüzey ala ^f f foksiyouu fourier döüşümü f g f ile g i kovolüsyou A S (x; r) f M I L ; (R ) c (x; r) A karakteristik foksiyou Schwarz uzay R de x merkezli r yar çal aç k yuvar f foksiyouu da¼g l m foksiyou Maksimal oeratör Riesz otasiyel oeratörü Morrey uzay Gamma foksiyou R de x merkezli r yar çal aç k yuvar tümleyei vi

8 . G IR IŞ Maksimal foksiyo ve Riesz otasiyeli harmoik aalizi öemli koular aras dad r. Özellikle k smi türevli deklemler teorisi ve matematiksel zikte birçok uygulamalar vard r. Maksimal foksiyo R i stadart kümeleride içi Hardy- Littlewood taraf da ta mlam ş ve Wieer taraf da - boyutlu R Öklid uzay a geişletilmiştir. Ayr ca f 2 L loc (R ) olmak üzere Mf Hardy-Littlewood maksimal foksiyou Mf(x) su r> j (x; r)j ve < < olmak üzere I f Riesz otasiyeli (x;r) jf(y)j dy I f(x) () olarak ta mla r. urada () 2 2 R f(y) jx yj dy şeklidedir. Morrey uzaylar Morrey taraf da 938 y l da elitik k smi diferesiyel deklemler ve varyasyolar aalizi teorisideki roblemlerle ilgileirke ortaya ç kar lm şt r. Daha sora Navier-Stokes ve Schrödiger deklemleri, süreksiz katsay l elitik roblemler ve otasiyel teorisie öemli uygulamalar ortaya ç km şt r. L ; (R ) Morrey uzaylar,, ve f 2 L loc (R ) olmak üzere kfk ; su r> r x2r (x;r) jf(y)j C dya ormu solu ola foksiyolar tüm s ar uzay d r, burada (x; r) x merkezli r yar çal yuvar belirtmektedir. ugü Morrey uzaylar da Hardy-Littlewood maksimal foksiyou ve Riesz otasiyelii varl k ve s rl l k koşullar, Morrey (938), Peetre (969), Fe erma ve Stei (97), Adams (975), Chiareza ve Frasca

9 (987), Fazio ve Ragusa (993), Guliyev (29) gibi birçok matematikçi taraf da çal ş lmaktad r. Tezi amac, M maksimal oeratörüü ve I Riesz otasiyelii L ; (R ) Morrey uzaylar da varl k ve s rl l k koşullar icelemektir. Tez dört bölümde oluşmaktad r. irici bölüm giriş k sm a ayr lm şt r. Ikici bölüm di¼ger bölümler içi gerekli ola temel ta m ve teoremleri içermektedir. Üçücü bölümde, klasik maksimal foksiyo ve Riesz otasiyeli ta t lm ş ve bu oeratörleri varl k ve s rl l ¼g ile ilgili çal şmalar yer alm şt r. So bölüm ola dördücü bölümde olmak üzere, L ; (R ) Morrey uzay ta t lm ş, bu uzay üzeride ta mlaa orm ve durumlar a göre L ; (R ) uzay ya s hakk da baz souçlar verilmiştir. Daha sora, L ; (R ) uzaylar da Hardy- Littlewood maksimal oeratörüü s rl l ¼g Guliyev (29) taraf da verilmiş ola teorem yard m yla gösterilmiştir. L ; (R ) uzaylar da I Riesz otasiyelii s rl l ¼g iki farkl yöde Sae ve Adams tii s rl l k olarak gösterilmiştir. uu içi Guliyev (29) taraf da verilmiş ola iki farkl teorem kulla lm şt r. So olarak L ; (R ) Morrey uzaylar da M maksimal oeratörüü ve I Riesz otasiyelii s rl l ¼g içi Chiareza ve Frasca (987) taraf da verilmiş ola alteratif isatlar verilmiştir. 2

10 2. TEMEL KAVRAMLAR Ta m 2.. X bir K cismi üzeride bir vektör uzay olsu. E¼ger bir k:k : X! R x! kxk döüşümü 8x; y 2 X ve 8a 2 K içi (N) kxk ve kxk, x (N2) kaxk jaj kxk (N3) kx + yk kxk + kyk özelliklerii sa¼gl yorsa bu döüşüme X üzeride orm ad verilir. (X; k:k) ikilisie bir ormlu vektör uzay deir. (X; k:k) ormlu uzay k saca X ile gösterilir. Ta m 2.2. X ve Y iki lieer uzay ve T : D T X! Y bir foksiyo olsu. T foksiyoua oeratör deir. urada D T, T i ta m kümesi ve T (D T ) Y de T i görütü kümesidir. urada D T, T i ta m kümesi ve T (D T ) Y de T i görütü kümesidir. E¼ger D T, X i bir lieer alt uzay ve T bir lieer döüşüm ise her, 2 R (veya C) ve x, y 2 X içi dir. T (x + y) T (x) + T (y) Ta m 2.3. ir T : X! Y lieer döüşüm ve X ve Y, K cismi üzeride iki vektör uzay olsu. Her 2 R + ve her x, y 2 X içi T (x + y) T x + T y T (x) T x sa¼gla yorsa T ye alt lieer oeratör deir. Ta m 2.4. X ve Y ormlu uzaylar ve D (T ) X olmak üzere, T : D (T )! Y lieer oeratör olsu. E¼ger her x 2 D (T ) içi, kt xk A kxk olacak şekilde bir A reel say s varsa, T oeratörüe s rl d r deir. ir T oeratörüü ormu kt k kt xk su kxk x2d(t ) x6 3 olarak ta mla r.

11 Ta m 2.5. E¼ger bir f (x) foksiyou içi heme her yerde T f (x) ise T oeratörüe ozitif oeratör deir. Ta m 2.6. X ve Y ormlu uzaylar, D (T ) X olmak üzere, T : D (T )! Y bir oeratör ve x 2 D (T ) olsu. E¼ger verile her " > say s a karş l k, kx x k < koşuluu gerçekleye her x 2 D (T ) içi, kt x T x k < " olacak şekilde bir > say s varsa T ye x da süreklidir deir. Ta m 2.7. (Süreklilik ve S rl l k) X ve Y ormlu uzaylar ve D (T ) X olmak üzere, T : D (T )! Y lieer oeratör olsu. u durumda T i sürekli olmas içi gerek ve yeter koşul T i s rl olmas d r. Ta m 2.8. (Cebir ve - Cebiri) X bir küme olsu. E¼ger X i alt kümelerii bir A s f içi aşa¼g daki özellikler sa¼gla yorsa bu durumda A s f a X üzeride bir cebirdir deir: (i) X 2 A (ii) Her E 2 A içi E c XE 2 A (iii) k ; 2; :::; içi E k 2 A ise [ k E k 2 A E¼ger (iii) şart yerie Her 2 N içi E 2 A ) [ E 2 A şart koulursa A cebirie bir cebiri ad verilir. Ta m 2.9. (orel Cebiri) ir K s f kasaya -cebirlerii e küçü¼güe K üretti¼gi (do¼gurdu¼gu) -cebiri deir. R deki bütü aç k (a; b) aral klar do¼gurdu¼gu -cebirie orel cebiri deir ve (R ) ile gösterilir. olmas halide (R ) orel cebiri (R) ile gösterilir. (R) i her bir elema a orel kümesi deir. Ta m 2.. X bir küme ve A; X üzeride bir cebiri olsu. u durumda (X; A) ikilisie bir ölçülebilir uzay, A daki her bir kümeye de A-ölçülebilir küme veya k saca ölçülebilir küme ad verilir. 4

12 Ta m 2.. Ölçülebir Foksiyo (X; A) bir ölçülebilir uzay ve f : X! R bir foksiyo olsu. E¼ger 8 2 R içi f (]; +[) fx 2 X : f (x) > g 2 A oluyorsa f ye ölçülebilir foksiyo deir. X üzerideki ölçülebilir foksiyolar ailesi M (X; A) ile.gösterilir. Ta m 2.2. (X; A) bir ölçülebilir uzay olsu. A üze-ride ta ml geişletilmiş reel de¼gerli bir foksiyou (i) (;) (ii) Her A 2 A içi (A) S P (iii) Her ayr k (A ) dizisi içi A (A ) özelliklerii sa¼gl yorsa bu foksiyoa ölçü deir. E¼ger her A 2 A içi (A) < ise ye solu ölçü ad verilir. Ta m 2.3. Ölçü Uzay ir X kümesi, X i alt kümelerii bir A -cebiri ve A üzeride ta ml bir ölçüsüde oluşa (X; A; ) üçlüsüe bir ölçü uzay ad verilir. Ta m 2.4. D ş Ölçü X bir küme ve P (X) de X i kuvvet kümesi olsu. P (X) üzeride ta ml, geişletilmiş reel de¼gerli bir foksiyou (i) (;) (ii) Her E 2 P (X) içi (E) (iii) A X içi (A) () (iv) Her bir 2 N içi A 2 P (X) ise S P A (A ) şartlar sa¼glarsa foksiyoua X üzeride bir d ş ölçüdür deir. Ta m 2.5. bir dizisi, Lebesgue D ş Ölçüsü (I k ), R i s rl ve aç k alt aral klar A (I k ) : A [ o I k olsu. P (R) üzeride ( ) X m (A) if l (I k ) : (I k ) 2 A k 5

13 biçimide ta mlaa m bir d ş ölçüdür. u d ş ölçüye Lebesgue d ş ölçüsü deir. Lebesgue d ş ölçüsü R i her bir alt aral ¼g a ou uzulu¼guu karş l k getirir. boyutlu R uzay da Lebesgue d ş ölçüsüü ta mlamak içi I fx : a i x i b i ; i ; :::; g boyutlu kaal aral klar göz öüe alal m. u aral klar hacimleri v (I) Y (b i a i ) i biçimidedir. Key bir E R kümesii Lebesgue d ş ölçüsü ( ) X [ m (E) if v (I k ) : E I k ; I k bir aral k k k ile ta mla r. 8A R içi e¼ger m (A) m (A \ E) + m (A \ (R E)) Caratheodary Ölçümü ise E kümesie Lebesgue ölçülebilirdir deir. Teorem 2.. karş l k getirir. R üzerideki Lebesgue d ş ölçüsü, her bir aral ¼ga ou hacmii Souç 2.. A say labilir bir küme ise m (A) d r. Souç 2.2. [; ] kümesi say lamaya bir kümedir. Ta m 2.6. Lebesgue Ölçüsü M (R; m ), m d ş ölçüsüe göre ölçülebile R i alt kümelerii s f olsu. m Lebesgue d ş ölçüsüü M (R; m ) s f a da (R) s f a da ola k s tlamas a Lebesgue ölçüsü deir, m ile gösterilir. Ta m 2.7. (X; A; ) bir ölçü uzay olsu. E¼ger bir öerme(özellik) ölçüsü s f r ola bir küme d ş da do¼gru ise, o öerme (özellik) heme her yerde do¼grudur deir. Ta m 2.8. (L P Uzay ) (X; ; ) bir ölçü uzay olsu. < < olmak üzere 8 < L f 2 M(X; ) : : 6 X 9 jfj d < ;

14 kümesie - ici kuvvette itegralleebile foksiyolar s f deir. L uzay da bir f foksiyouu ormu ile ta mla r. 8 >< kfk >: X jfj da ; < ess su jf(x)j ; x2x dir. ess su jf(x)j if f : m (x 2 X : jf(x)j > ) g x2x Ta m 2.9. (Örtü) irleşimleri A kümesii kasaya U i kümeler ailesie A kümesii bir örtüsüdür deir. u U i kümelerii her biri aç ksa bu halde U i, A kümesii aç k örtüsüdür deir. irleşimleri A kümesii kasaya alt toluluklar ailesie verile örtüü alt örtüsü ismi verilir. E¼ger bu toluluklar ailesi solu say da kümelerde oluşuyorsa, bu örtüye solu alt örtü deir. Ta m 2.2. X kümesii her aç k örtüsüü solu say da bir alt örtüsü varsa, X kümesie komaktt r deir. Kaal ve s rl her kümei aç k örtüsüü solu say da bir alt örtüsü vard r. Yai, kaal ve s rl her küme komaktt r. Ta m 2.2. ir f foksiyouu deste¼gi f (x) 6 şart sa¼glaya x oktalar kaa ş d r ve Su f fx : f (x) 6 g ile gösterilir. E¼ger f foksiyouu deste¼gi komakt bir küme ise bu durumda f komakt destekli foksiyo ad al r. Ta m f ölçülebilir bir foksiyo olmak üzere her komakt K kümesi üzeride K jfj d < ise f foksiyoua lokal (yerel) itegralleebilirdir deir ve 8 9 < L loc (R ) : f : jfj d < ; K R ; K komakt ; yaz l r. Ayr ca, K 7

15 8 >< L loc (R ) >: f : K jfj da 9 > < ; K R ; K komakt ile gösterilir. >; Teorem 2.2. E¼ger ise L (R ) L loc (R ) L loc (R ) dir. Ta m (Hölder eşitsizli¼gi) > ve + olmak üzere f 2 L, g 2 L olsu. u durumda f g 2 L ve kf gk kfk kgk sa¼gla r (Neri 97). Ta m (Mikowski eşitsizli¼gi) içi e¼ger f, g 2 L ise (f + g) 2 L ve dir (Neri 97). kf + gk kfk + kgk Ta m (Schwarz eşitsizli¼gi) f(x) 2 L 2 ve g(x) 2 L 2 olsu. b a 8 < f(x) g(x) dx : b a jf(x)j < dx ; : b a jg(x)j 2 9 dx ; 2 eşitsizli¼gie Schwarz eşitsizli¼gi deir. Ta m R ile boyutlu Öklid uzay gösterelim. x (x ; :::; x ), y (y ; :::; y ) 2 R ve jxj x 2 + ::: + x 2 x 2 R ; jxj olsu. Tüm R de veya R i bir alt kümeside ta ml bir foksiyo g(x) g (x ; :::; x ) ve f, [; ) da heme her yerde ta ml tek de¼gişkeli foksiyo olsu. E¼ger - de¼gişkeli bir g(x) foksiyou herhagi bir tek de¼gişkeli f(x) foksiyouu yard m yla g(x) f (jxj) şeklide gösterilebiliyorsa g ye radyal foksiyo deir. Yai g (x ; :::; x ) f x 2 + ::: + x 2 8

16 dir. Teorem 2.3. (Fubii) f, R m+ üzeride ölçülebilir bir foksiyo ve I jf (x; y)j dxdy I 2 R +m jf (x; y)j dxa dy I 3 R m R jf (x; y)j dya dx R R m itegralleride e az biri mevcut ve solu olsu. I 2 içi bu R üzeride bir g itegralleebile foksiyou vard r öyleki g (y) heme her y içi içteki itegrale eşittir alam dad r ve I 3 içi de ay s geçerlidir. u durumda (a) Heme her y 2 R m içi f (:; y) 2 L (R ) dir. (b) Heme her x 2 R içi f (x; :) 2 L (R m ) dir. (c) R R m f (:; y) dy 2 L (R ) (d) R R f (x; :) dx 2 L (R m ) (e) I I 2 I 3 elde edilir. Ta m x (x ; :::; x ) ve y (y ; :::; y ), R de vektörler olmak üzere R, X - boyutlu Öklidye uzay (x; y) x j y j iç çar m ile doat lm ş R ; - boyutlu reel uzayd r. urada x i mutlak de¼geri jxj j X j x 2 j! 2 ile ta mla r. R üzeride dx dx :::dx ile Lebesgue ölçüsüü gösterece¼giz. R uzay üzeride f foksiyouu (Lebesgue) itegrali f(x)dx ::: f(x ; :::; x )dx :::dx ile gösterilir. 9

17 Çok katl itegrali kutusal koordiatlarda ifade etmek ço¼gu kez kulla şl olmaktad r. r jxj olsu ve S fx : jxj g ile birim küreyi gösterilim. R f(jxj)dx; dx dx :::dx itegralii hesab içi; r < ; ; :::; 2 ; 2 olmak üzere x r cos x 2 r si cos 2 x 3 r si si 2 cos 3 ::: x r si si 2 ::: si döüşümü ya l r. u döüşümü Jakobiyei Y J (r; ; :::; ) r (si j ) j olarak hesala r. f(jxj)dx R j 2 r ::: f(r)j(r; )drd :::d f(r)dr ::: 2 j w f(r)r dr Y (si j ) j d :::d elde edilir, burada w, birim kürei yüzey ala d r.

18 Geel olarak R f(jxj)dx f (r si ; :::; r si ::: si ) r drd :::d S f(r; )r ddr S biçimde yaz l r. urada d; S üzeride dx taraf da belirlee yüzey ölçüsüdür. Ta m x 2 R ve f(x) ve g(x) ölçülebilir foksiyolar olsular. u durumda f(y)g(x y)dy f(x R R y)g(y)dy itegralie f ile g i kovolüsyou deir ve f g ile gösterilir. Teorem 2.4. E¼ger f, g 2 L ise bu durumda h f g heme her yerde vard r ve L e aittir. Ayr ca khk kfk kgk sa¼gla r (Neri 97). Teorem 2.5. (Youg ) olsu. E¼ger f 2 L ve g 2 L ise bu durumda h f g heme her yerde vard r ve L uzay a aittir. Ayr ca khk kfk kgk eşitsizli¼gi gerçekleir (Neri 97). Teorem 2.6. (Youg ) f 2 L ve g 2 L olsu, + ve + r u durumda h f g olmak üzere h 2 L r dir ve olsu. khk r kfk kgk sa¼gla r (Neri 97). Ta m (Fourier Döüşümü) f 2 L (R ) olsu. ^f (x) (2) R f (y) e i(x;y) dy

19 ile verile ^f foksiyou f foksiyouu Fourier döüşümü olarak adlad r l r. urada (x; y) x y + ::: + x y dir. Fourier döüşümü ^f (x) (2) 2 f (y) e i(x;y) dy R veya ^f (x) R f (y) e 2i(x;y) dy olarak da al abilir. E¼ger ve f 2 L (R ) ise bu durumda olur. ^f (x) 2 + f (y) e ixy dy Lemma 2.. E¼ger f (x) f (x ) f 2 (x 2 ) :::f (x ) ise ^f (x) ^f (x ) ^f 2 (x 2 ) ::: ^f (x ) sa¼gla r. Teorem 2.7. (Riema-Lebesgue) E¼ger f 2 L (R ) ise bu durumda ^f s rl ve düzgü süreklidir. Ayr ca jxj! ike f(x) b! d r. Teorem 2.8. f, g 2 L olsu. E¼ger h f g ise bu durumda b h f b bg d r (Neri 97). Teorem 2.9. f, g 2 L olsu. u durumda bf(x)g(x)dx f(x)bg(x)dx dir (Neri 97). Teorem 2.. (Parseval-Placherel) f 2 L 2 (R ) olsu. u durumda bf(x) (2) f(y)e i(x;y) dy R 2

20 Fourier döüşümü vard r: Ayr ca f b (2) 2 kfk2 2 dir. E¼ger Fourier döüşümüü bf(x) f(y)e 2i(x;y) dy R ile ta mlarsak bu durumda f b kfk 2 2 (Parseval formülü) < f; b ^g >< f; g > (Placherel formülü) olur. urada < f; g >, f ile g i iç çar m göstermektedir ve < f; g > f gdx dir. Ta m 2.3. f 2 L (R ) ve f i Fourier döüşümü bf(y) (2) f(x)e i(x;y) dx R şeklide verilsi. u durumda f(x) f(y)e b i(x;y) dy R formülüe Fourier döüşümleri içi ivers formülü deir Ta m 2.3. (Homoje Foksiyo) ve reel say lar olmak üzere f(x) jj f(x) oluyorsa f ye : derecede homoje foksiyo deir. 3

21 Ta m (Karakteristik Foksiyo) A R olsu. 8 < ; x 2 A A : ; x 2 A ile ta mlaa A foksiyou A karakteristik foksiyou olarak adlad r l r. Ta m ir s foksiyouu görütü kümesi solu elemada meydaa geliyorsa s ye bir basit foksiyodur deir. s : X! fa ; a 2;:::; a g R x! s (x) a k ; k Ta m ir ( ; :::; ) egatif olmaya j tamsay lar s ral -lisie katl -idis deir. jj + ::: + dir. E¼ger ve iki katl -idis ise + ( + ; :::; + ) dir. ezer şekilde, D j x j olmak üzere D jj x x 2 2 :::x + 2 +:::+ x x 2 2 :::x D D 2 2 :::D jj. mertebede bir diferesiyel oeratördür. Özel olarak D (;:::;) f f dir. ir boyutlu durumda D, d dx e idirgeir. Örek olarak R 3 te (2; ; 5) ise biçimidedir. D 7 x 2 x 5 3 D 2 D 5 3 Ta m (Schwarz Uzay ) R uzay da sosuz kez diferesiyelleebilir ve isteile ve katl -idisleri içi su x D f(x) < x2ir 4

22 koşuluu sa¼glaya foksiyolar s f a Schwarz Uzay deir. Schwarz Uzay S ile gösterilir. K saca S f : R! C ; f 2 C : su x D f(x) < x2r dir. Di¼ger yada ve katl -idisler oldu¼guda ( ; :::; ), ( ; :::; ) ve j, j 2 N [ fg, j ; 2; ::: dir. urada x x :::x ; x (x ; :::; x ) ; ( ; :::; ) dir. D x ::: x E¼ger f 2 S ise bu durumda f s rl d r, f 2 L (R ), f sosuz kez diferesiyelleebilirdir, ^f (x) 2 S, ^f (x) sosuz kez diferesiyelleebilirdir. Teorem 2.. yo¼gudur. E¼ger < ise L deki basit foksiyolar kümesi L de Ta m (Kuvvetli ve ay f Ti S rl l k) ; olmak üzere T : L (R )! L (R ) bir oeratör olsu. E¼ger 8 f 2 L (R ) içi kt fk A kfk olacak biçimde f de ba¼g ms z bir A > sabiti varsa T oeratörüe kuvvetli (; ) tiidedir deir. bir ölçü olmak üzere e¼ger 8 > içi fx : A kfk jt f(x)j > g ; < olacak şekilde ve f de ba¼g ms z bir A sabiti varsa T döüşümüe zay f (; ) tiidedir deir (Sadosky 979). 5

23 Teorem 2.2. (Riesz-Tori) ; ; ; olmak üzere T; ( ; ) ve ( ; ) tili bir oeratör olsu. u durumda +, + ( < < ) olmak üzere T; kuvvetli (; ) tili bir oeratördür. Teorem 2.3. (Marcikiewicz Ara De¼ger Teoremi) < ; ve 6 olmak üzere T oeratörü zay f ( ; ) ve zay f ( ; ) tili oeratör olsu. Ayr ca ve +, + ( < < ) biçimide ta mlas. u durumda T oeratörü (; ) tili oeratördür. Ta m Vitali Örtü Lemmas E, s rl çal ola f j g küreler ailesii birleşimi taraf da örtüle R i ölçülebilir bir alt kümesi olsu. O halde,, 2,..., k,...(solu veya sosuz) ayr k dizilerii seçtikte sora öyle ki X m( k ) Cm(E ) k sa¼gla r. uradaki C sadece ye ba¼gl ola ozitif bir sabittir. C 5 olacakt r (Stei 97). Ta m (Da¼g l m Foksiyou) (X, ) bir ölçü uzay ve f : X! R (veya C) ölçülebilir bir foksiyo olsu. şeklide ta mlaa f () (fx 2 X : jf (x)j > g) f : (, )! [, ] foksiyoua f foksiyouu da¼g l m foksiyou deir. 6

24 3. L (R ) LEESGUE UAYLARINDA MAKS IMAL FONKS IYON ve RIES POTANS IYEL I Maksimal foksiyo ve Riesz otasiyeli harmoik aalizi öemli koular aras dad r. Özellikle k smi türevli deklemler teorisi ve matematiksel zikte birçok uygulamalar vard r. u bölümde klasik maksimal foksiyo ve Riesz otasiyeli ta mlaarak, bu oeratörleri varl k ve s rl l k özellikleri iceleecektir. 3. Maksimal Foksiyo f 2 L loc (R ) olsu. Temel Lebesgue Teoremi e göre lim r7! m((x; r)) (x;r) ifadesi heme her x içi geçerlidir, burada f(y)dy f(x) (x; r) fy 2 R : jx yj < rg x merkezli r yar çal aç k yuvard r. Yukar daki limit yerie suremum ve f yerie jf j al arak f i maksimal foksiyou ta mla r. Maksimal foksiyo R i stadart kümeleride içi Hardy Littlewood taraf da ta mlam ş ve Wieer taraf da - boyutlu R Öklid uzay a geişletilmiştir (Stei 97). Ta m 3... f : R 7! R lokal itegralleebilir bir foksiyo olsu. f i maksimal foksiyou; biçimide ta mla r. Mf(x) su r> R üzeride bir g foksiyou içi m((x; r)) (x;r) jf(y)j dy m fx : jg(x)j > g g () 7

25 olsu. g 2 L ike sa¼gla r. Gerçekte R jg(y)j dy R dg () dg () itegralie k smi itegrasyo uygula rsa; dg () lim 7! g () g () d fx 2 R : jg(x)j > g dxd g () d R fx 2 R : jg(x)j > g d dx R dx d R fx2r :jg(x)j>g + R jg(x)j d dx R jg(x)j ddx R jjg(x)j dx R jg(x)j dx oldu¼gu görülür ve isteile eşitlik elde edilir. Teorem 3... R üzeride ta mlaa f foksiyou içi (i) f 2 L (R ), ise Mf maksimal foksiyou heme her yerde soludur. (ii) E¼ger f 2 L (R ) ise 8 > içi m fx : Mf(x) > g A jf(x)j dx R sa¼gla r, burada A sadece boyuta ba¼gl bir sabittir ve m Lebesgue ölçüsüdür. (iii) f 2 L (R ), < ise Mf 2 L (R ) ve kmfk A kfk eşitsizli¼gi gerçekleir (Stei 97). 8

26 Isat: Öcelikle teoremi (ii) ifadesii isatlayal m. E fx : Mf(x) > g olsu. 8x 2 E içi x (x; r), x merkezli yuvar E da bulusu. u durumda Mf(x) su r> m( x ) x jf(y)j dy oldu¼guda Mf(x) > ) x jf(y)j dy > m( x ) (3..) elde edilir. urada m( x ) < kfk elde ederiz. f kg, E da bulua ayr k yuvarlar bir dizisi olsu. u durumda Vitali Örtü Lemmas da X m( k ) cm(e ) (3..2) k olur. (3::) eşitsizli¼gide x yerie S k k al rsa bu durumda kfk > S k k X jf(y)j dy > m( k ) cm(e ) k elde edilir. u eşitsizlikte R jf(y)j dy > cm(e ) elde edilir ve burada E fx : Mf(x) > g yerie yaz l rsa m fx : Mf(x) > g < jf(y)j dy c R oldu¼gu görülür. urada A seçilerek (ii) i isat tamamla r. c R Şimdi < içi (i) ve (iii) ifadelerii isatlayal m. jmfj dx i solu R oldu¼guu gösterelim. R üzeride ta ml bir g(x) foksiyouu da¼g l m foksiyou g () m fx 2 R : jg(x)j > g 9

27 ile ta mla r. g 2 L (R ) ike R jg(y)j dy dg () d r. Şimdi m(e ) m fx : jmf(x)j > g g () ve g Mf al rsa kmfk R (Mf) dx m(e )d (3..3) elde edilir. u itegrali hesalayabilmek içi m(e ) içi bir eşitsizlik elde edelim. uu içi f foksiyouu 8 < f(x) ; jf(x)j 2 f (x) : ; jf(x)j < 2 olarak ta mlayal m. u durumda jf(x)j jf (x)j + 2 ) Mf(x) Mf (x) + 2 sa¼gla r. urada E fx : Mf(x) > g x : Mf (x) > o 2 oldu¼guda m(e ) m fx : Mf(x) > g m x : Mf (x) > o 2 2

28 elde edilir. Dolay s yla (ii) de m(e ) m x : Mf (x) > o 2A 2 R jf (x)j dx oldu¼gu görülür. Souç olarak m(e ) 2A jf(x)j dx jfj> 2 eşitsizli¼gi sa¼gla r. u so eşitsizli¼gi (3::3) de yerie yazarsak kmfk m(e )d 2A C jf(x)j dxa d jfj> 2 elde edilir. Fubii Teoremide bu çift katl itegrali de¼gerii hesalamak içi itegrasyo s ras de¼giştirelim. > oldu¼guda 2jf(x)j 2 d j2jf(x)j j2f(x)j elde edilir. u çift katl itegrali de¼geri 2A jfj j2fj dx (A ) R R jfj dx olarak buluur. Souç olarak kmfk (A ) jfj dx R elde edilir ve eşitsizli¼gi her iki taraf da ici derecede kuvvet al rsa kmfk A jfj dxa R A kfk 2

29 buluur. öylece teoremi (i) ve (iii) ifadeleri isatlam ş olur. urada A sabiti hesalad ¼g da buluur. A , < <, < < 3.2 Riesz Potasiyeli f yeterice düzgü bir foksiyo olmak üzere f foksiyouu Lalasyei; f X j 2 f x 2 j biçimide ta mla r. f 2 S olmak üzere F ^f(x) f(x) (2) 2 R e i(xy) ^f(y)dy dir. e i(xy) e i(x y +:::+x y ) olmak üzere ( ) f(x) (2) 2 (2) 2 (2) 2 R R R e i(xy) ^f(y) e ix y x 2 jyj 2 e i(xy) ^f(y)dy x 2 2 e ix 2y 2 ::: + e ixy x 2 ^f(y)dy I f F jyj F, f 2 S (3.2.) oldu¼guda ) ( ) f F jyj 2 F f yaz labilir. ilidi¼gi gibi Lalace oeratörü elitik oeratördür. P. Seeley göster- 22

30 miştir ki e¼ger bir elitik L oeratörü içi Lf F (x)f f formülü mevcut ise o zama ou isteile komleks kuvveti içi L z f F z (x)f f geçerlidir. Dolay s yla bu teoreme göre Lalace oeratörü içi ( ) z f F jyj 2z F f yaz labilir. Dolay s yla görüür ki z 2 içi ( ) 2 f F jyj F f (3.2.2) geçerlidir. Yai (3:2:) ve (3:2:2) de görüür ki Riesz otasiyelii ve egatif kesir kuvvetii geelleşmiş alamda Fourier döüşümleri ay d r. u durumda I ( ) 2, < < (3.2.3) ifadesi yaz labilir. (3:2:3) formülü Riesz otasiyelii e kadar öemli bir oeratör oldu¼guu gösterir. Çükü (3:2:2) i yard m yla Lalace oeratörüü egatif kesir kuvvetleri ta mlaabilir, burada < < ve () olmak üzere (I f) (x) () I oeratörüe Riesz otasiyeli deir. R f(y) jx yj dy Teorem (Riesz Potasiyeli Içi Hardy-Littlewood-Sobolev Teoremi) o < <, < < ve olsu. 23

31 (i) E¼ger f 2 L (R ) ise (I f) (x) jx yj + f(y)dy () R itegrali heme her x içi mutlak yak sakt r. (ii) E¼ger > ise bu durumda ki fk A ; kfk eşitsizli¼gi gerçekleir. (iii) E¼ger f 2 L (R ) ise bu durumda A kfk m fx : ji f(x)j > g, Tüm lar içi Yai, f! I f döüşümü (; ) zay f titir (Stei 97). Isat: K (x) olsu. f! I jxj f döüşümü yerie f! K f döüşümüü göz öüe alal m ( Iki döüşüm aras da bir sabitle çar m kadar fark vard r). () K y K + K 2 olarak ayr şt ral m. urada 8 8 < K(x) ; jxj < K(x) ; jxj > K (x) K 2 (x) : ; jxj > : ; jxj biçimidedir. urada herhagi bir ozitif sabittir. urada K f K f + K 2 f elde edilir. K f ve K 2 f i heme her x içi mutlak yak sak oldu¼gu gösterilirse K f i heme her x içi mutlak yak sak oldu¼gu, dolay s yla I f i heme her x içi mutlak yak sak oldu¼gu gösterilmiş olur. (K f) (x) jxj K (x t)f(t)dt jxj f(t) jx tj dt 24

32 Youg Teoremide; kk fk kfk jxj kfk w jx tj dt kfk w ) K f heme her x içi mutlak yak sakt r. (K 2 f) (x) jxj> K 2 (x t) f(t)dt d < jxj> f(t) jx tj dt dir., i dualii belirtmek üzere + oldu¼guda, Hölder eşitsizli¼gide (K 2 f) (x) jxj> 2 f(t) jx tj dt 6 4 jxj> 3 7 jx tj dt5 kfk elde edilir. Paratez içideki itegrali yak sak olmas içi ( ) > olmas gerekir. ( ) kfk w ( ); d ( ) c kfk ) kk 2 fk c kfk ) kk 2 fk < olu + A kfk c w ( ) ) K 2 f heme her x içi mutlak yak sakt r. O halde ) K f K f + K 2 f oldu¼guda ) K f heme her x içi mutlak yak sakt r. > 25

33 öylece I f i heme her x içi mutlak yak sak oldu¼gu elde edilir. Dolay s yla teoremi (i) ifadesi isatlam ş olur. Şimdi (iii) yi isatlayal m: (I f) (x) () R () R () jyj f(y) dy (y! x + y) jx yj f (x + y) jyj dy f (x + y) jyj dy + () jyj> f (x + y) jyj dy (I f) (x) + (I 2 f) (x) (3.2.4) elde edilir. (3:2:4) de fx : j(i f)(x)j > 2g fx : j(i f) (x)j > g [ fx : j(i 2 f)(x)j > g gerçekleir. O halde yukar daki kümei ölçüsü m fx : j(i f)(x)j > 2g m fx : j(i f) (x)j > g+m fx : j(i 2 f)(x)j > g (3.2.5) şeklidedir. Şimdi bu ifadeleri ayr ayr hesalayal m: m fx : j(i f) (x)j > g mfx:j(i f)(x)j>g mfx:j(i f)(x)j>g dx j(i f) (x)j dx (I f) (x) dx R ki fk elde edilir. Youg teoremide m fx : j(i f) (x)j > g ki fk A kk fk AP P kk k kfk 26

34 buluur. urada kk k jxj w jxj dx C A da S w ddx; j A w c m fx : j(i f) (x)j > g c kfk c kfk (3.2.6) elde edilir. Ayr ca Hölder eşitsizli¼gide eşitsizli¼gi gerçekleir. m fx : j(i 2 f)(x)j > g A kk 2k kfk kk 2 k jxj> C jxj dxa c 2 oldu¼guda ve kk 2 k kfk c 2 kfk seçilirse kk 2 fk ve böylece m fx : jk 2 fj > g elde edilir. ) c 2 kfk ) c2 kfk (3.2.7) (3:2:5),(3:2:6) (3:2:4) de kulla l r ve (3:2:5) de u yerie (3:2:7) deki ifadesi 27

35 yaz l rsa! kfk c2 kfk m fx : j(i f)(x)j > 2g c kfk kfk c ; ) kfk kfk kfk c ; c ; buluur. Yukar daki ifadede içi f 2 L (R ) al d ¼g da I f Riesz otasiyeli isatlam ş olur. olmak üzere zay f (; ) tiide oeratördür. öylece (iii) ifadesi Şimdi (ii) yi isatlayal m. Isat yaarke Marcikiewicz Iterolasyo Teoremi de yararlaaca¼g z. (iii) de dolay I zay f (; ) ; tili oeratördür. ( ; ) ; tili oeratör, ( ; ), ( ; ) say lar Marcikiewicz Iterolasyo Teoremi e uygu olarak seçelim. I zay f ( ; o ) ve ( ; ) tili oeratördür. u durumda Marcikiewicz Teoremi de < < ve +, + olmak üzere I kuvvetli (; ) tili oeratördür. + ( ) oldu¼guda veya + oldu¼guda Marcikiewicz Iterolasyo Teoremi de ki fk c kfk, 28

36 elde edilir. öylece teoremi isat tamamlam ş olur. Öerme >, <, < <,, ve f 2 L (R ), M f 2 L (E), E R olsu. u durumda M ki fk C Lr(E) f L (E) kfk (3.2.8) gerçekleir, burada r (Adams 975). + () () ve C, f ve E de ba¼g ms z bir sabittir Isat: Isat yaarke Hedberg (972) i Riesz Potasiyelleri içi uygulam ş oldu¼gu temel düşüceyi taki edece¼giz. u durumda f 6 içi, I f (x) kümesi > olmak üzere I f (x) jx yj< I + I f (y) jx yj dy + jx yj f (y) jx yj dy şeklide yaz labilir. k 2 ve a k (x) y : 2 k jx yj < 2 k+ olsu. O takdirde I jx X yj< f (y) jx yj dy k a k (x)fy:2 k jx yj<2 k+ g f (y) jx yj dy dir. urada 29

37 jij X k jx yj jf (y)j dy; < < oldu¼guda a k(x) X 2 k 2 k+ (2 k+ ) jf (y)j dy k M f (x) su r r! 2 X k 2 X k jx yj<r 2 k + M f (x) 2 k M f (x) C M f (x), < < a k(x) jf (y)j dy, C oldu¼guda A elde edilir. ezer şekilde, I jx X yj> f (y) jx yj dy k a k (x)fy:2 k jx yj<2 k+ g f (y) jx yj dy dir. urada, I X k a k (x) X k jx yj jf (y)j dy 2 k 2 k+ (2 k+ ) a k (x) jf (y)j dy r M f (x) su jf (y)j dy, oldu¼guda r! jx yj<r X 2 k 2 k+ M f (x) k 3

38 X k 2 2 k k+k k + X k! 2 k( ) M f (x) M f (x) < <, < < oldu¼guda C M f (x) < elde edilir. (x) M f(x) M f(x) ozitiftir. u seçim kolayca, ji f (x)j jij + seçilirse hiotezimiz gere¼gi (x) solu ve heme her yerde I C M f (x) + C M f (x) M f (x) M f (x) C + C (M f (x)) (M f (x)) C C C M f (x) (M f (x)) M f (x) (M f (x)) M f (x) + C M f (x) (M f (x)) (M f (x)) (M f (x)) oldu¼guu gösterir. Yai, dir. ji f (x)j C M f (x) (M f (x)) Teorem 3... deki (iii) özelli¼gide ve Hölder eşitsizli¼gide M ki fk C Lr(E) f L (E) kfk eşitsizli¼gi elde edilir. u da isat tamamlar. 3

39 4. L ; (R ) MORREY UAYLARINDA HARDY-LITTLEWOOD MAKS IMAL OPERATÖRÜ ve RIES POTANS IYEL I L ; (R ) Morrey uzaylar Morrey taraf da 938 y l da elitik k smi diferesiyel deklemler ve varyasyolar aalizi teorisideki roblemlerle ilgileirke ortaya ç kar lm şt r. Daha sora Navier-Stokes ve Schrödiger deklemleri, süreksiz katsay l elitik roblemler ve otasiyel teorisie öemli uygulamalar ortaya ç km şt r. u bölümde ilk öce, olmak üzere, L ; (R ) Morrey uzay ta t lacak, bu uzay üzeride ta mlaa orm ve durumlar a göre L ; (R ) uzay ya s hakk da baz souçlar verilecektir. Daha sora, L ; (R ) uzaylar da Hardy- Littlewood maksimal oeratörüü s rl l ¼g Guliyev (29) taraf da verilmiş ola teorem yard m yla gösterilecektir. L ; (R ) uzaylar da I Riesz otasiyelii s rl l ¼g iki farkl yöde Sae ve Adams tii s rl l k olarak gösterilecektir. uu içi Guliyev (29) taraf da verilmiş ola iki farkl teorem kulla lacakt r. So olarak L ; (R ) Morrey uzaylar da M maksimal oeratörüü ve I Riesz otasiyelii s rl l ¼g içi Chiareza ve Frasca (987) taraf da verilmiş ola alteratif isatlar verilecektir. 4. L ; (R ) Morrey Uzaylar Ta m 4.. uzaylar, < ve f 2 L loc (R ) olmak üzere L ; (R ) Morrey kfk L; kfk L; (R ) su r kfkl((x;r)) C < (4..) x2r r> olacak biçimdeki foksiyolar uzay d r. urada C sabiti sadece f ye ba¼gl d r ve (x; r), merkezi x ve yar ça r ola aç k yuvar göstermektedir. öyle ta mlaa kfk L;, L ; (R ) uzay da bir yar ormdur ( f sabit oldu¼guda kesi olarak kfk L; d r). L ; (R ) uzaylar daki foksiyolar bir sabit fark yla eşit foksiyolar olarak al d ¼g da (4::) de verile orm ile L ; (R ) uzay bir aach uzay d r. L ; (R ) uzaylar ya lar hakk da baz souçlar aşa¼g da verilmiştir: 32

40 a) oldu¼guda L ; (R ) L (R ), yai bilie Lebesgue uzay d r. jf(x)j dx C < (x;r) dir. b) oldu¼guda L ; (R ) L (R ) dir. Gerçekte, f 2 L ; (R ) olsu. Temel Lebesgue Teoremi e göre lim r!o m ( (x; r)) (x;r) jf (y)j dy jf (x)j dir. u durumda jf (x)j lim r!o m ( (x; r)) elde edilir. öylece f 2 L (R ) dir ve (x;r) jf (y)j C dya! kfk L; kfk L! kfk L; eşitsizli¼gi gerçekleir. c) < veya > ise, o halde L ; (R ) olu burada, R de a dek ola foksiyolar kümesii belirtmektedir. 4.2 L ; (R ) Uzaylar da Maksimal Oeratörü S rl l ¼g Şimdi de Guliyev (29) taraf da L ; (R ) uzaylar da M maksimal oeratörü içi verile eşitsizli¼gi isatlayaca¼g z. Teorem < < ve f 2 L loc (R ) alal m. u durumda C; f, x 2 R ve t > da ba¼g ms z olmak üzere > içi kmfk L((x;t)) Ct t r kfk L((x;r)) dr (4.2.) eşitsizli¼gi gerçekleir (Guliyev 29). 33

41 Isat: < < alal m. f foksiyou f f + f 2, f (y) f (y) (x;2t) (y), f 2 (y) f (y) c (x;2t) (y), t > olarak ta mla rsa kmfk L((x;t)) km (f + f 2 )k L((x;t)) kmf + Mf 2 k L((x;t)) kmf k L((x;t)) + kmf 2k L((x;t)) elde edilir. < < olmak üzere Teorem 3... deki (iii) özelli¼gide kmf k L((x;t)) kmf k L(R ) C kf k L(R ) C kfk L((x;2t)) (4.2.2) elde edilir. urada C, f de ba¼g ms z bir sabittir. (4:2:2) de ve kfk L((x;2t)) ormu t ye göre azalmaya oldu¼guda kolayca kmf k L((x;t)) Ct r kfk L((x;r)) dr Ct 2t r kfk L((x;r)) dr (4.2.3) t elde edilir. Mf 2 i s rl l ¼g içi ilk olarak aşa¼g daki eşitsizli¼gi isatlayaca¼g z: c (x;t) jx yj jf (y)j dy C t s kfk L((x;s)) ds, < t < (4.2.4) u isat yaabilmek içi > seçilirse, Hölder eşitsizli¼gide 34

42 c (x;t) jx yj jf (y)j dy jx yj + jf (y)j dy s ds c (x;t) s ds jx jx yj yj + jf (y)j dy C C C C C C t s t s t t t t s s s s fy2r :tjx kfk L((x;s)) kfk L((x;s)) kfk L((x;s)) kfk L((x;s)) yjsg jx yj + L ds ((x;s)) tjx S yjs s s s kfk L((x;s)) ds kfk L((x;s)) ds t C jx yj dy A ddx A ( ) s ( ) ds ds ds t elde edilir. z 2 (x; t) içi Mf 2 (z) su j (z; r)j r> C su (z;r) r2t ( c (x;2t)\(z;r)) C su r2t ( c (x;2t)\(z;r)) jf 2 (y)j dy jy jx zj jf (y)j dy yj jf (y)j dy 35

43 C jx yj jf (y)j dy c (x;2t) elde edilir. u durumda C; x, t de ba¼g ms z bir sabit olmak üzere (4:2:4) de Mf 2 (z) C s kfk L((x;s)) ds C 2t s t kfk L((x;s)) ds dir. öylece, sabit x ve t içi Mf 2 (z) foksiyou z ye ba¼gl olmaya bir ifadeyle s rla r. u durumda kk L((x;t)) t ddx A S x Ct oldu¼gu içi kmf 2 k LP ((x;t)) C s kfk kk L((x;s)) L ((x;t)) ds (4.2.5) t dir. Souç olarak (4:2:3) ve (4:2:5) de (4:2:) elde edilir. u da isat tamamlar. Teorem < < ve < < olmak üzere d r. kmfk ; C kfk ; Isat: Teorem de 36

44 kmfk ; su t r>o x2r C su t r>o x2r C su t r>o x2r C su t r>o x2r C su r>o kmfklp ((x;t)) t r t kfk ; r t x2r C kfk ; t kfk ; lim kfk ; t kfk LP ((x;r)) dr a! r dr r j a t o elde edilir. öylece isat tamamlam ş olur. u isat, bölüm souda da de¼gidi¼gimiz gibi Chiareza ve Frasca (987) taraf da M maksimal oeratörü içi verilmiş ola Teorem i alteratif bir isat d r. 4.3 L ; (R ) Uzaylar da Riesz Potasiyelii S rl l ¼g 4.3. Sae tii s rl l k u kesimde L ; (R ) uzaylar da I Riesz otasiyeli içi Guliyev (29) taraf da verile s rl l k koşuluyla ilgili iki farkl teoremi isatlayaca¼g z. u teoremler yard m yla I Sae tii ve Adams tii s rl l ¼g ayr ayr isatlayaca¼g z. Teorem < <, < <, durumda ki fk L((x;t)) Ct eşitsizli¼gi gerçekleir (Guliyev 29). t ve f 2 Lloc (R ) olsu. u r kfk L((x;r)) dr (4.3..) Isat: < < alal m. f foksiyou f f + f 2, f (y) f (y) (x;2t) (y), f 2 (y) f (y) c (x;2t) (y), t > olarak ta mla rsa I f (x) I f (x) + I f 2 (x) 37

45 elde edilir. < <, < <, olmak üzere Teorem deki (ii) özelli¼gide ki f k L((x;t)) ki f k L(R ) C kf k L(R ) C kfk L((x;2t)) elde edilir. urada C, f de ba¼g ms z bir sabittir. Ayr ca, kfk L((x;2t)) Ct r kfk L((x;r)) dr 2t oldu¼gu göz öüe al rsa ki f k L((x;t)) Ct r kfk L((x;r)) dr (4.3..2) elde edilir. jx zj t, jz yj 2t oldu¼guda jx zj t 2t jz yj 2 dir. Dolay s yla jx yj jx z + z yj jx zj + jz yj t + jz yj 3 jz 2 yj ve jz yj jz x + x yj jz xj + jx yj t + jx yj jz yj + jx 2 yj ) jz yj jx 2 yj dir. Souç olarak, 38

46 2 jz yj jx yj 3 jz yj 2 elde edilir. öylece ki f 2 k L((x;t)) c (x;2t) C c (x;2t) f (y) jz yj dy L((x;t)) jf (y)j jx yj dy ((x;t)) L (R ) elde edilir. > c (x;2t) jf(y)j jx yj dy seçilerek, Hölder eşitsizli¼gide C C C C c (x;2t) 2t 2t 2t 2t s s s s s jx yj + jf (y)j fy2r :2tjx kfk L((x;s)) kfk L((x;s)) kfk L((x;s)) kfk L((x;s)) yjsg jx yj s C dsa dy jx yj + C jf (y)j dya ds jx yj + L ds ((x;s)) 2tjx S 2t yjs s C jx yj dya ddx A ( ) s ( ) ds ds ds C 2t s s s + kfk L((x;s)) ds 2t 39

47 C s kfk L((x;s)) ds (4.3..3) elde edilir. Di¼ger yada 2t ise d r. u de¼ger (4:3::3) de yerie yaz l rsa, ki f 2 k L((x;t)) C C 2t s s ( +) kfk L((x;s)) ds kfk L((x;s)) ds 2t Ct s kfk L((x;s)) ds (4.3..4) 2t elde edilir. Souç olarak, (4:3::2) ve (4:3::4) de (4:3::) isatla r. Teorem (Sae) < <, < <, < < olsu. ( ), ve diyelim. u durumda ki fk ; C kfk ; eşitsizli¼gi gerçekleir. Isat. Teorem de ve eşitli¼gi kulla larak ki fk ; su t r> x2r C su t r> x2r C su t r> x2r ki fk L((x;t)) t r t kfk ; r t kfk L((x;r)) dr r dr 4

48 C su t r> x2r C su t r> x2r C su r> t x2r C kfk ; kfk ; lim kfk ; t kfk ; t a! r j a t o elde edilir. öylece isat tamamlam ş olur Adams tii s rl l k Teorem < <, < < f, x ve t de ba¼g ms z olmak üzere ve f 2 Lloc (R ) olsu. u durumda C; ji fj Ct Mf (x) + C eşitsizli¼gi gerçekleir (Guliyev 29). t r kfk L((x;r)) dr (4.3.2.) Isat: < < alal m. f foksiyou f f + f 2, f (y) f (y) (x;2t) (y), f 2 (y) f (y) c (x;2t) (y), t > olarak ta mla rsa I f (x) I f (x) + I f 2 (x) elde edilir. ji f (x)j Ct Mf (x) eşitsizli¼gi Hedberg (972) taraf da gösterilmiştir (ak z Teorem ). I f 2 içi ise Hölder eşitsizli¼gide, 4

49 ji f 2 (x)j jx yj jf (y)j dy c (x;2t) C jf (y)j dy r dr C C C c (x;2t) 2t t 2t<jx yj<r kfk L((x;r)) kfk L((x;r)) jx yj C jf (y)j dya r dr t<jx yj<r r C dxa r dr ddx A r dr t S t C kfk L((x;r)) ) r( r dr t C r kfk dr L((x;r)) t dir. öylece (4:3:2:) isatla r. Teorem (Adams) < <, < <, < < durumda olsu. u gerçekleir, burada ki fk ; C kfk ; dir ve C sadece,,, ya ba¼gl d r. Isat: r r C r de, r > olmak üzere r x merkezli t yar çal aç k yuvar olmak üzere Mf(x) kfk ; seçilirse ve (x; t) 42

50 ki fk ; su t> t x2r su t t> x2r su t t> x2r su t t> x2r su t t> x2r su t t> x2r su t t> x2r C kfk ; C kfk ; C kfk ; C kfk ; (x;t) (x;t) (x;t) (x;t) (x;t) (x;t) (x;t) su t t> x2r ji f (y)j C dya ji f (y)j C dya Cr Mf (x) + C Cr Mf (x) + C kfk ; C C kmfk ; kfk ; r Mf (x) kfk ; r Teorem de t kfk dt A L((x;r)) r t t Mf(x) + C r! C (Mf (x)) kfk kmfk L ((x;t)) ; Teorem de Mf(x) + C C dx A dt t A C dxa C dxa C kfk ; dxa Mf (x) kfk ;! kfk ; A C dxa elde edilir. öylece isat tamamla r. 4.4 L ; (R ) Morrey Uzaylar da M Maksimal Oeratörüü ve I Riesz Potasiyelii S rl ¼g Içi Alteratif Isatlar u kesimde L ; (R ) Morrey uzaylar da M maksimal oeratör ve I Riesz Potasiyeli içi kesim 4.2. ve 4.3. de verile s rl l k teoremlerii isatlar a alteratif 43

51 olarak Chiareza ve Frasca (987) taraf da verile s rl l k teoremlerii isatlayaca¼g z. Teorem < <, < < olsu. u durumda kmfk ; c kfk ; (4.4.) gerçekleir, burada c, f de ba¼g ms z bir sabittir. olsu. u durumda t jfmf > tg \ r (x)j cr kfk ; (4.4.2) gerçekleir, burada c sabiti x, r, t ve f de ba¼g ms zd r., f 2 L ;, < < içi Mf, R de h.h.y. soludur (Chiareza ve Frasca 987). Isat: Isat yaabilmek içi öcelikle bir lemma verelim. Lemma f ve ; R üzeride ozitif reel de¼gerli foksiyolar olsu. r > içi, (f (x)) r (x) dx r jf(x)j r (x) dx R R eşitsizli¼gi gerçekleir. Uyar f (f ; f 2 ; :::) R üzeride bir foksiyo dizisi olsu. f k: terimi, yai f k ; f k maksimal foksiyoudur. f k maksimal foksiyou fk (x) su jqj Q jf k (y)j dy; ile verilir; burada suremum, merkezi x ola tüm küler üzeride al r. 44

52 Lemma deki eşitsizlik kulla larak, olmak üzere herhagi f ve foksiyolar içi R (Mf) dx c elde edilir (Fe erma ve Stei 97). R jfj (M ) dx (4.4.3) u durumda r (x ; r) yuvar karakteristik foksiyou ve f 2 L ; alarak (4:4:3) de aşa¼g daki eşitsizlik elde edilir. R (Mf) r dx r 8 >< (Mf) dx c jfj (M ) dx + >: 2r 2r : fx : jx x j < 2rg R 2r fx : jx x j 2rg ) jx x j r r ) (jx x j r) r X k 2 k+ r 2 k r 9 > jfj (M ) dx >; olur. dir. Ayr ca ) M (x;r) su r> r (jx x j r) j(x;r)j su r> >< ( x ;r) r(x ;r) 8 >: j(x;r)j ( x ;r) (y) dy ; x 2 r ; x 2 r dy c (x;r)\(x ;r) dir. Dolay s yla M (x;r) r (jx x o j r) dir. urada, r 8 >< (Mf) dx c jfj dx + >: 2r X k 2 k+ 2 k r 45 9 r > jfj (jx x j r) dx >;

53 dir. Di¼ger tarafta jx x j r 2 k r oldu¼guda dir. So olarak r r (jx x j r) 8 >< (Mf) dx c jfj dx + >: 2r r (2 k r) X k r (2 k r) 2 k+ r 9 > jfj dx >; elde edilir. urada orma geçilirse r kmfk ; c ( c kfk ; olur. Paratezdeki tolam aç larak, (2r) + X k (2r) kfk ; + X ( 2 k+ (2 k r) r 2 + (2r) + X k r X k r lim r cr k 2 k+ (2 k r) kfk ; X 2 k+ ) (2 k r) k ) 2 k! 4 (2 k ) ; < <! ; < < (2 k ) (2 ) k k! 2 2 A ; ; < < < < elde edilir. Dolay s yla, r kmfk ; c kfk ; r dir. öylece kmfk ; c kfk ; ) kmfk ; c kfk ; buluur. içi isat, zay f tahmie karş l k gele (4:4:3) ile ay d r. Gerçekte (4:4:3) 46

54 de içi (Mf) dx c jfj (M ) dx dir. ezer şekilde (Mf) r dx R R R 8 9 >< X > (Mf) dx c jfj (M ) dx + jfj (M ) dx >: r k >; 2r 2 k+ r 2 k r 8 9 >< X r > c jfj dx + jfj >: (jx x j r) dx k >; 2r 2 k+ 2 k 8 r 9 >< X r > c jfj dx + >: (2 k r) jfj dx k >; 2r 2 k+ r elde edilir. urda orma geçersek, r kmfk ; c ( (2r) kfk ; + c kfk ; ((2r) + c kfk ; r X k 2 k+ (2 k r) kfk ; X 2 k+ ) (2 k r) k ) elde edilir. kmfk ; c kfk ; ) kmfk ; c kfk ; ) t jfmf > tg \ r (x)j cr kfk ; olu burada Mf i R de h.h.y. de solu oldu¼gu görülür. Teorem < <, < <, < < alal m. u durumda ki fk ; c kfk ; (4.4.4) gerçekleir, burada (4.4.5) dir. 47

55 içi t jfji fj > tg \ r j cr kfk ; (4.4.6) elde edilir. (26) ve (28) de c sadece,,, ya ba¼gl d r (Adams 975 ). Isat: Isat Hedberg (972) de Riesz otasiyelleri içi kulla la yötemde hareketle yaaca¼g z: >, f 2 L ; olsu. u durumda f 6 içi, I f kümesi > olmak üzere I f(x) jx yj f(y) jx yj dy + jx yj> f(y) jx yj dy I + I 2 şeklide yaz labilir. k 2 ve a k (x) y : 2 k < jx yj 2 k olsu. O zama I jx yj f(y) jx yj dy X ko 2 k <jx yj2 k f(y) jx yj dy dir. urada ji j X jx yj jf(y)j dy k 2 k <jx yj2 k X 2 k 2 k k jx yj2 k jf(y)j dy X 2 k Mf(x); < < k c Mf(x); < < ) ji j c Mf(x) eşitsizli¼gi elde edilir (Hedberg 972). Ikici itegral içi, ( +) 2 ; > ve + olsu. I 2 jx yj> f(y) jx yj dy 48

56 olmak üzere Hölder eşitsizli¼gide ji 2 j jx yj> jf(y)j C jx yj dya jx yj> jx yj ( + C ) dya I 3 I 4 elde edilir. I 3 içi I 3 X k 2 k <jx yj2 k+ X k jx X k X k X k c yj2 k+ (2 k ) jx jf(y)j jx jf(y)j C j2 k j dya yj2 k+ 2 k+ (2 k ) (2 k+ ) 2 k+! (2 k ) kfk ; C yj dya jf(y)j C dya jx yj2 k+ (2 k+ ) jf(y)j C dya jx yj2 k+ jf(y)j C dya elde edilir. üzere + 2 içi aratez içideki tolam aç l rsa < < olmak 49

57 X k 2 k+! (2 k ) 2 X k X k c < 2 k+ (2 k ) k 2 2 (2 k ) 2 X k A! (2 k ) 2! elde edilir. So olarak I 4 ü hesala rsa, I 4 jx yj> eşitli¼gide kutusal koordiatlara geçilerek jx yj ( + C ) dya I 4 r ( + ) r dra r + + b! lim c + jb! elde edilir. urada + 2 içi ( ) , < < ) + < 2 oldu¼guda ) I c elde edilir. Dolay s yla ji 2 j I 3 I 4 c + kfk ; c ( ) kfk ; 5

58 elde edilir. urada hareketle ji fj c Mf + c + kfk ; c Mf + c ( ) kfk ; elde edilir. Mf kfk ; ( ) içi! ( ) ji fj c Mf Mf + c kfk ; Mf kfk ;! Mf kfk ;! ( ) +) c (Mf)( ( ) kfk ( ) ; + c (Mf) ( +) ( ) kfk ; kfk ( ) ; c ( +) (Mf) ( ) ( ) kf k; + ( ) c (Mf) ( ) kf k ( ) ; kfk ;! elde edilir. Souç olarak ki fk ; su r> r x2r su r r> x2r su r r> x2r su r> x2r r su r r> x2r (x;r) (x;r) (x;r) kfk ; ji fj C dya ji fj C dya (Mf) (x;r) ) kfk ( ) ; (x;r) ( ) kfk ( ) ; (Mf) C dx A dx C A ( ) ( ) ) (Mf) ( ) C dxa 5

59 su r> x2r r su r r> x2r r kfk ; (x;r) ) ) r ( ) kfk ( ) ; ( ) kfk ( ) ; kfk ( ) ; kfk ( ) c kfk ; (Mf) C dxa (x;r) kmfk ; kmfk ; su r r> x2r ( ) (x;r) ( ) seçilirse r ; kmfk ( ) A (Mf) C dxa (Mf) C dxa (x;r) ( ) (Mf) C dxa r elde edilir. urada kmfk ( ), (4:4:) de ; ; elde edilir ki bu da isat tamamlar. Teorem (Sae) < <, < <, < < ve diyelim. u durumda olsu. ( ), ki fk ; c kfk ; eşitsizli¼gi gerçekleir. Isat: E¼ger ( ) seçilerek Teorem uygula rsa sadece L ( ) ; L ; oldu¼guu göstermek yeterli olacakt r. Di¼ger yada e¼ger ; ( ) ( ) ise L ; L ; gerçekleir (Peetre 969). Dolay s yla L ; L ;, kfk ; kfk ; 52

60 dir. urada elde edilir. öylece isat tamamla r. ki fk ; c kfk ; c kfk ; 53

61 KAYNAKLAR Adams, D.R A ote o Riesz otetials, Duke Math. J. 42, eett, C., Devore, R.A. ad Sharley, R. 98. Weak-L ad MO, Aals of Math. 3, 6-6. Chiareza, F. ad Frasca, M Morrey saces ad Hardy-Littlewood maximal fuctio, Red. Math., 7, Coifma, R.C. ad Fe erma, C Weighted orm ieualities for maximal fuctios ad sigular itegrals, Studia Mathematica, 5, Coifma, R. ad Rochberg, R. 98. Aother characterizatio of MO, Proc. Amer. Math. Soc. 79, Fazio, G.D. ad Ragusa, M.A Iterior estimates i Morrey saces for strog solutios to odivergece form euatios with discotiuous coe ciets, J. Fuct. Aal. 2, Fe erma, C. ad Stei, E.M. 97. Some maximal ieualities, Amer. J. Math. 93, 7-5. Garcia- Cuerva, J. ad Rubio de Fracia, J. L Weighted orm ieualities ad related toics, North-Hollad Mathem. Studies 6 Amsterdam. Guliyev, V.S. 29. oudedess of the maximal, otetial ad sigular oerators i geeralized Morrey saces.j. Ieual. Al., Art. ID 53948, 2. Hedberg, L.I O certai covolutio ieualies, Proc. Amer. Math. Soc. 36, Mizuhara, T. 99. oudedess of some classical oerators o geeralized Morrey saces,} Harmoic Aalysis (S. Igari, Editor), ICM 9 Satellite Proceedigs, Sriger - Verlag, Tokyo, Morrey, C O the solutios of uasi-liear ellitic artial di eretial euatios, Tras. Amer. Math. Soc., 43, Muckehout, ejami 972. "Weighted orm ieualities for the Hardy maximal fuctio". Trasactios of the America Mathematical Society, 54

62 vol. 65: Neri, U. 97. Sigular Itegrals, Sriger Verlag, New York. Peetre, J O the theory of L ; saces, Jour. Fuct. Aal. 4, Peetre, J O covolutio oerators leavig L ; saces ivariat, A. Mat. Pura e Al. (IV) 72, Sadosky, C Iterolatio of oerators ad sigular itegrals. Marcel Dekker Ic., 375., New York. Stei, E.M. ad Weiss, G. 97. Itroductio to Fourier Aalysis o Euclidea Saces, Priceto Uiv. Press. Stei, E.M. 97. Sigular Itegrals ad Di eretiability Proerties of Fuctios, Priceto Uiversity ress Priceto, New Jersey. Stei, E.M Harmoic Aalysis. Priceto Uiversity Press. Torchisky, A Real-Variable Methods i Harmoic Aalysis, Academic Press, Orlado. 55

63 ÖGEÇM IŞ Ad Soyad : Ferit GÜRÜ Do¼gum Yeri: Ayval k Do¼gum Tarihi: Medei Hali: ekar Yabac Dili: Igilizce E¼gitim Durumu (Kurum ve Y l) Lise : Akara aşket Aadolu Lisesi (22) Lisas : Akara Üiversitesi Fe Fakültesi Matematik ölümü (28) Yüksek Lisas : Akara Üiversitesi Fe ilimleri Estitüsü Matematik Aabilim Dal (Şubat 28-Ocak2)