Galois Teori, Örtü Uzayları ve Diferansiyel Denklemler

Hacettepe Üniversitesi Matematik Galois Bölümü Teori, Prof. Dr. ve Diferansiyel L. Michael Brown un Denklemler Anısına To Galois Teori, ve Diferansiyel Denklemler Hacettepe Üniversitesi Matematik Bölümü Prof. Dr. L. Michael Brown un Anısına Topoloji Çalıştayı II Yıldıray Ozan ODTÜ 08.12.17

Galois Teori F E Galois cisim genişlemesi G = Gal(E/F ). = {φ Aut(E) φ : E E, φ(x) = x, x F }, cisim genişlemesinin Galois grubu G = [E : F ] = dim F E Galois Eşlemesi H G E H. = {x E φ(x) = x, φ H} Ayrıca eğer N G normal altgrup ise E N /F bir Galois genişlemesidir ve karşılık gelen Galois grubu G/N olur. Hacettepe Üniversitesi Matematik Galois Bölümü Teori, Prof. Dr. ve Diferansiyel L. Michael Brown un Denklemler Anısına To

Hacettepe Üniversitesi Matematik Galois Bölümü Teori, Prof. Dr. ve Diferansiyel L. Michael Brown un Denklemler Anısına To Örnek F = Q Q[ω, 3 2] = E, ω = e 2πi/3 = 1 + i 3, 2 (p(x) = x 3 2 Q[x] polinomunun tüm köklerini içeren en küçük (splitting) cisimdir). Gal(E/F ) = S 3 =< φ, ψ φ 3 = ψ 2 = 1, ψφψ = φ 2 > ψ : E E, ψ(ω) = ω 2 = ω, ψ( 3 2) = 3 2 φ : E E, φ(ω) = ω, φ( 3 2) = ω 3 2

Hacettepe Üniversitesi Matematik Galois Bölümü Teori, Prof. Dr. ve Diferansiyel L. Michael Brown un Denklemler Anısına To

Hacettepe Üniversitesi Matematik Galois Bölümü Teori, Prof. Dr. ve Diferansiyel L. Michael Brown un Denklemler Anısına To Galois Teori P : Y X topolojik uzaylar arasında sürekli bir dönüşüm olsun. Her x X noktası etrafında bir U X açık komşuluğu olsun öyle ki, 1) P 1 (U) = α U α ayrık birleşimdir, ve 2) Her P Uα : U α U bir homeomorfizmadır. Bu durumda P : Y X fonksiyonuna bir örtü fonksiyonu veya sadece örtü uzayı denir. Bu konuşmada aksi söylenmedikçe X ve Y uzaylarının yol bağlantılı olduğunu kabul edeceğiz.

Hacettepe Üniversitesi Matematik Galois Bölümü Teori, Prof. Dr. ve Diferansiyel L. Michael Brown un Denklemler Anısına To Önerme: Sonlu G grubu Hausdorff, tıkız ve bağlantılı bir Y uzayı üzerinde serbest olarak etki ediyorsa P : Y X =. Y /G bölüm uzayı bir örtü uzayıdır. Örtü uzaylarının sınıflandırılması temel grup yardımıyla yapılır. Tanım:(Homotopi) f i : X Y, i = 0, 1, sürekli fonksiyonlar olsun. F : X [0, 1] Y sürekli bir fonksiyon olsun öyle ki 1) F (x, 0) = f 0 (x), x X, 1) F (x, 1) = f 1 (x), x X. Bu durumda f 0 ve f 1 fonksiyonlarına homotopiktir denir ve f 0 f 1 şeklinde yazılır. Homotopi bağıntısı bir denklik bağıntısıdır ve bir f fonksiyonunun denklik sınıfı [f ] ile gösterilir.

Hacettepe Üniversitesi Matematik Galois Bölümü Teori, Prof. Dr. ve Diferansiyel L. Michael Brown un Denklemler Anısına To Tanım:(Temel Grup) X topolojik bir uzay ve x 0 X bir nokta ise bu uzayın x 0 noktasındaki temel grubu π 1 (X, x 0 ) = {[γ] γ : [0, 1] X, γ(0) = γ(1) = x 0, sürekli eğri} sürekli eğrilerin homotopi sınıflarının grubu olarak tanımlanır. Burada kullandığımız homotopiler her adımda eğrinin uç noktalarını x 0 noktasında tutmaktadır. Tanım:(Büzülebilir Uzay) Eğer bir X uzayı için f 0 : X X, f 0 (x) = x, x X, birim fonksiyonu herhangi bir c X için f 1 : X X, f (x) = c, x X, sabit fonksiyonuna homotopik ise X uzayına büzülebilir uzay denir.

Örnekler Galois Teori π 1 ({x 0 }) π 1 (R n ) {1}. Aslında her büzülebilir X uzayının temel grubu aşikar gruptur. π 1 (S 1 ) Z π 1 (S 1 S 1 ) Z Z F 2, iki üreteçli serbest grup. π 1 ( n S 1 ) F n, n-üreteçli serbest grup. Hacettepe Üniversitesi Matematik Galois Bölümü Teori, Prof. Dr. ve Diferansiyel L. Michael Brown un Denklemler Anısına To

Galois Teori İçin Galois Eşlemesi Teorem: Eli yüzü düzgün bir X topolojik uzayının örtü uzayları ile π 1 (X, x 0 ) temel grubunun altgrupları arasında bire bir eşleme vardır: H π 1 (X, x 0 ) altgrubuna karşılık gelen örtü uzayı P : (Y, y 0 ) (X, x 0 ) ise P : π 1 (Y, y 0 ) π 1 (X, x 0 ) homomorfizmasının görüntüsü H altgrubudur. Ayrıca bir örtü uzayının katman sayısı bu örtü uzayına karşılık gelen altgrubun temel grup içindeki endeksine eşittir: P 1 (x 0 ) = [π 1 (X, x 0 ) : H] Son olarak eğer N π 1 (X, x 0 ) normal bir altgrup ve Y X karşılık gelen örtü uzayı ise Y X örtü uzayının otomorfizma gurubu N grubuna izomorfiktir ve Y /N bölüm uzayı doğal olarak X uzayına homeomorfiktir. Hacettepe Üniversitesi Matematik Galois Bölümü Teori, Prof. Dr. ve Diferansiyel L. Michael Brown un Denklemler Anısına To

Hacettepe Üniversitesi Matematik Galois Bölümü Teori, Prof. Dr. ve Diferansiyel L. Michael Brown un Denklemler Anısına To Galois Teori Modüler Grup ve PSL(2, Z) Z 2 Z 3 < [A], [B] > ( ) ( 0 1 1 0 A =, A 1 0 2 = 0 1 ( ) ( 0 1 1 0 B =, B 1 1 3 = 0 1 Modüler grubun altgruplarını anlamak için örtü uzaylarını kullanma tekniği Grothendieck in (Çocuk Çizimleri) teorisinin bir topolojik yorumudur. ), ),

S = {(x n ) x n R, n 0, x n = 0, n n 0, n x 2 n = 1} S büzülebilir bir uzaydır. BZ 2 = S /Z 2 = lim n S n /Z 2 BZ 3 = S /Z 3 = lim n S 2n 1 /Z 3 π 1 (BZ 2 ) Z 2 ve π 1 (BZ 3 ) Z 3 Sonuç (Van Kampen Teoremi nin) π 1 (BZ 2 BZ 3 ) Z 2 Z 3 Hacettepe Üniversitesi Matematik Galois Bölümü Teori, Prof. Dr. ve Diferansiyel L. Michael Brown un Denklemler Anısına To

Hacettepe Üniversitesi Matematik Galois Bölümü Teori, Prof. Dr. ve Diferansiyel L. Michael Brown un Denklemler Anısına To teorisi hem sayılar teorisi hem de cebirsel eğriler (Belyi Teoremi) ve yüzeyler teorisinde oldukça önemli bir tekniktir.

Hacettepe Üniversitesi Matematik Galois Bölümü Teori, Prof. Dr. ve Diferansiyel L. Michael Brown un Denklemler Anısına To Galois Teori Karmaşık Düzlemde Regüler Tekil Doğrusal İkinci Mertebeden Teorem: D C basit bağlantılı açık bir bölge ve P ve Q bu bölge üzerinde analitik (holomorfik) fonksiyonlar olsun. Bu durumda verilen d 2 ω dω + P(z) dz2 dz + Q(z) ω = 0 doğrusal denklemininin her z 0 D ve α, β C değerleri için ω (z 0 ) = α, ω(z 0 ) = β başlangıç değerlerini sağlayan tek bir çözümü vardır.

Hacettepe Üniversitesi Matematik Galois Bölümü Teori, Prof. Dr. ve Diferansiyel L. Michael Brown un Denklemler Anısına To Başka bir deyişle, V yukarıdaki doğrusal denklemin tüm çözümlerinin oluşturduğu karmaşık vektör uzayını gösterirse, bu uzay ile C 2 arasında bir doğrusal izomorfizma vardır: V C 2, ω (ω(z 0 ), ω (z 0 )). Şimdi ise D = {z C z 0, z < 1} sıfır noktası çıkarılmış birim disk olsun. π 1 (D) Z π : D D evrensel örtü uzayı ve G =< γ > Z bu örtü uzayının izomorfizma grubu olsun.

Şimdi P, Q birim disk üzerinde z = 0 dışında analitik fonksiyonlar olsun. Evrensel örtü olarak π : D = {z C u = x + iy, x < 0} D, π(u) = e u, modelini alalım. Başka bir deyişle, yukarıdaki diferansiyel denklemi z = e u formülünü kullanarak u ve ω cinsinden yazalım: d 2 ω dω + (z P(z) 1) du2 du + z2 Q(z) ω = 0 D basit bağlantılı bölgesinde denklemin katsayılarının analitik olması için gerek ve yeter şart lim z P(z), ve lim z 0 z 0 z2 Q(z) limitlerinin var olmasıdır. Hacettepe Üniversitesi Matematik Galois Bölümü Teori, Prof. Dr. ve Diferansiyel L. Michael Brown un Denklemler Anısına To

Şimdi basit bağlantılı D bölgesinde analtik katsayılı d 2 ω dω + (z P(z) 1) du2 du + z2 Q(z) ω = 0 denkleminin her u 0 D, α, β C değerleri için ω(u 0 ) = α, ω (u 0 ) = β, başlangıç değerlerini sağlayan tek bir ω çözümü vardır. γ : C( D) C( D), γ (f ) = f (γ(u)) = f (u + 2πi), homomorfizması γ (zp(z)) = γ (e u P(e u )) = e γ(u) P(e γ(u) ) = e u P(e u ) ve benzer şekilde γ (z 2 Q(z)) = z 2 Q(z) olduğudan denklemin her ω çözümü için γ (ω) de bir çözüm olacaktır. Dolayısıyla, Ṽ C 2 bu denklemin tüm çözümlerinin oluşturduğu vektör uzayı ise γ : Ṽ Ṽ, ω γ (ω), doğrusal bir dönüşümdür. Hacettepe Üniversitesi Matematik Galois Bölümü Teori, Prof. Dr. ve Diferansiyel L. Michael Brown un Denklemler Anısına To

Hacettepe Üniversitesi Matematik Galois Bölümü Teori, Prof. Dr. ve Diferansiyel L. Michael Brown un Denklemler Anısına To Ṽ C 2 karmaşık vektör uzayı üzerindeki γ : Ṽ Ṽ, operatörünün Jordan formu için iki durum vardır: Durum 1) Ṽ C 2 uzayının öyle β = { ω 1, ω 2 } tabanı vardır ki ( ) [γ c 0 ] β =, c, d C. 0 d Durum 2) Ṽ C 2 uzayının öyle β = { ω 1, ω 2 } tabanı vardır ki ( ) [γ c 1 ] β =, c C. 0 c

Hacettepe Üniversitesi Matematik Galois Bölümü Teori, Prof. Dr. ve Diferansiyel L. Michael Brown un Denklemler Anısına To Çözüm fonksiyonlarını yazmadan önce D değerli iki fonksiyon tanımlayalım: üzerinde çok log : C C, z = re i(θ+2kπ) ln r + (θ + 2kπ)i, k Z, ve α C herhangi bir karmaşık sayı olmak üzere z α : C C, z e α log z, z C.

Hacettepe Üniversitesi Matematik Galois Bölümü Teori, Prof. Dr. ve Diferansiyel L. Michael Brown un Denklemler Anısına To homomorfizması bu çok değerli fonksiyonlar üzerine etki eder: γ γ (log z) = log z + 2πi, γ (z α ) = γ (e α log z ) = e αγ (log z) = e α(log z+2πi) = e 2πiα z α

Hacettepe Üniversitesi Matematik Galois Bölümü Teori, Prof. Dr. ve Diferansiyel L. Michael Brown un Denklemler Anısına To Galois Teori Çözümlerin açık ifadesi Durum 1) Ṽ C 2 uzayının öyle β = {ω 1, ω 2 } tabanı vardır ki ( ) [γ c 0 ] β =, c C. 0 d Başka bir deyişle, γ (ω 1 ) = cω 1 ve γ (ω 2 ) = dω 2 olur. γ ( ω 1 ) = c ω 1 olduğuna göre her u D için ω 1 (u + 2πi) = c ω 1 (u) olur. Dolayısıyla, D üzerindeki bu analitik çözüm D üzerinde çok değerli bir çözüm vermektedir: z ω 1 (z). = { ω 1 (u) u = log z} = {c k ω 1 (u 0 ) e u 0 = z, k Z}

Bu durumda, e 2πiλ = c olmak üzere ω 1 (z)/z λ fonksiyonu D üzerinde tek değerli bir fonksiyon olacaktır. Bu ifadenin z = 0 noktasında kutupsal bir tekilliği olduğu gösterilebilir (tamamen teknik bir sonuç). O halde, çözümü ω 1 (z) = z λ c n z n = z λ1 c n z n, c 0 0, n= n 0 n=0 şeklinde yazabiliriz. Benzer şekilde, γ ( ω 2 ) = d ω 2 olduğundan ikinci çözüm de ω 2 (z) = z λ 2 d n z n, d 0 0, şeklinde yazılacaktır. n=0 Hacettepe Üniversitesi Matematik Galois Bölümü Teori, Prof. Dr. ve Diferansiyel L. Michael Brown un Denklemler Anısına To

Hacettepe Üniversitesi Matematik Galois Bölümü Teori, Prof. Dr. ve Diferansiyel L. Michael Brown un Denklemler Anısına To Durum 2) Ṽ C 2 uzayının öyle β = {ω 1, ω 2 } tabanı vardır ki ( ) [γ c 1 ] β =, c C. 0 c Başka bir deyişle, γ (ω 1 ) = cω 1 ve γ (ω 2 ) = ω 1 + cω 2 olur. Durum 1 e benzer olarak, ilk çözüm yine şeklinde olacaktır. ω 1 (z) = z λ 1 c n z n, c 0 0, n=0 İkinci çözüme geçmeden önce, ω 3 (z) =. 1 2πic log z ω 1(z) fonksiyonunu düşünelim. γ (ω 3 ) = 1 2πic (log z + 2πi) cω 1 = ω 1 + cω 3 elde ederiz.

Şimdi, ω 4. = ω2 ω 3 olarak tanımlanırsa γ (ω 4 ) = γ (ω 2 ) γ (ω 3 ) = (ω 1 + cω 2 ) (ω 1 + cω 3 ) = cω 4 elde edilir. O halde, yukarıda yaptığımıza benzer olarak c = e 2πiλ 2 olacak şekilde bir λ 2 C için, ω 4 (z) = z λ 2 d n z n, d 0 0, elde edilir. Son olarak, ω 2 = ω 3 + ω 4 n=0 eşitliğinden, ω 2 (z) = 1 2πic log z ω 1(z) + z λ 2 d n z n buluruz. Hacettepe Üniversitesi Matematik Galois Bölümü Teori, Prof. Dr. ve Diferansiyel L. Michael Brown un Denklemler Anısına To n=0

Hacettepe Üniversitesi Matematik Galois Bölümü Teori, Prof. Dr. ve Diferansiyel L. Michael Brown un Denklemler Anısına To Ayrıca, e 2πiλ 1 = c = e 2πiλ 2 olduğu için λ 1 λ 2 Z olmalıdır.

Galois Teori Alex Degtyarev, Topology of Algebraic Curves: An Approach via Dessins d Enfants, De Gruyter Studies in Mathematics, 2012. Yang-Hui He, James Read, Hecke groups, Dessins d Enfant and the Archimedean Solids, Frontiers in Physics, 2015. Yang-Hui He, John McKay, James Read, Modular groups, Dessins d Enfant and Elliptic K3 surfaces, LMS, J. Compt. Math. 16, 2013, 217-318. J. Hekking, Belyi Pairs, Dessins d Enfant and Hypermaps, 2014. Hacettepe Üniversitesi Matematik Galois Bölümü Teori, Prof. Dr. ve Diferansiyel L. Michael Brown un Denklemler Anısına To

Galois Teori Michio Kuga, Galois Dreams, 1993, Birkhauser. G.B. Shabat, V.A. Voevodsky, Drawing Curves over Number Fields, 1990. V.S. Varadarajan, Linear Meromorphic Differential Equaitons: A Modern Point of View, Bull. AMS 33, no. 1, 1996, 1-42. Hacettepe Üniversitesi Matematik Galois Bölümü Teori, Prof. Dr. ve Diferansiyel L. Michael Brown un Denklemler Anısına To

Hacettepe Üniversitesi Matematik Galois Bölümü Teori, Prof. Dr. ve Diferansiyel L. Michael Brown un Denklemler Anısına To İLGİNİZ İÇİN TEŞEKKÜRLER