Ders Rasyonel Sayıların Kare ve Küpleri Rasyonel Sayıların Kare ve Küpleri Aşağıdaki rasyonel sayıların karelerini bulalım. a. a. e o =. = = 4 9 b. c. e 4 7 o = e 4 7 o. e 4 7 o = ( 4) = 6 7 49 Bilgi Kutusu c. 4 7 b. e o =. = = 9 4 d. 7 4 d. e 7 4 o = e 7 4 o. e 7 4 o = ( 7) = 49 4 6 Bir rasyonel sayının karesi hesaplanırken bu sayı kendisi ile çarpılır. a, b sıfırdan farklı tam sayılar olmak üzere e a b o = a b Aşağıdaki rasyonel sayıların küplerini bulalım. a. 4 a. e 4 o = 4. 4 b.. 4 = 4 = 7 64. a b = a b dir. c. 5 b. e o =.. = = 8 d. c. e 5 o = e 5 o. e 5 o. e 5 o = ( ) 5 = 8 5 d. e o = e o. e o. e o = ( ) = 7 8 05
Ders Rasyonel Sayıların Kare ve Küpleri Bilgi Kutusu Bir rasyonel sayının küpü hesaplanırken bu sayı kendisi ile iki kez çarpılır. a, b sıfırdan farklı tam sayılar olmak üzere e a b o = a b Kural. a b. a b = a b tür. Sıfır hariç bütün rasyonel sayıların karesi pozitiftir. Pozitif rasyonel sayıların küpü pozitif, negatif rasyonel sayıların küpü ise negatif rasyonel sayıdır. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulalım. a. e o + e o b. e 4 o e o c. e 5 o. e 5 4 o 9 4 - = 8 - = 7 9 8 8 8 6 - e -7 8 o = 9 + 54 = 6 6 6 () () e 9 4-8 o e + : 7 0 + o = 8-8 = 7 8 f p işleminin sonucunu bulalım. 4 5. 5 64 = 5 6 9 + 9 : e 5 o + f - 8 p = + 9 9 5 7-8 = 8 9. 7 5-8 (5) = 46-000 5 = -754 5 06
Bil - Bul - Uygula Rasyonel Sayıların Kare ve Küpleri. Aşağıdaki rasyonel sayıların karelerini hesaplayınız. a. 5 c., d. 0, e. 8. Aşağıdaki rasyonel sayıların küplerini hesaplayınız. a. 4 c. 5 b. 0 f. 6 9 b. 6 d. 0,5 e. 0, f. 000 = 0,07. Aşağıdaki eşitliklerin doğru olması için harflere karşılık gelen sayıları bulunuz. a. e 4 9 ox = 6 8 x =... b. e 5 o z c. e y o = 8 y =... d. e t 4 o 4. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz. a. 0 : ( 6 5 ) = b. e e 5 o = e- 0 o = 44 00 =,44 e- 8 o = 9 64 e 4 o = 64 e- 5 o = -7 5 e 0 o = 7 o : e 9 o = e 0 o = 00 69 e 0 o = 4 00 = 0,04 e- 6 9 o = 6 6 7 6 e 7 6 o = 4 6 e- 5 0 o = - 5 000 = -0,5 7 e 7 o = 4 8 = + 4 5 z =... = 7 64 t =... c. e 4 o + e 4 o = 6-64 = 4-9 (4) = 64 07
Ders Rasyonel Sayıların Kare ve Küpleri 5. Aşağıdaki üslü ifadelerin değerlerini bulunuz. 5 6 a. e 5 6 o = b. e 4 o = c. e o = d. e 6 9 o = 6. Aşağıdaki üslü ifadelerin değerlerini bulunuz. a. e o = b. e 6 o = c. e 4 o = d. e o = e 4 o = 6 9 7. Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz. a. (0,) = b. ( 0,5) = c. (,) = d. (,4) = e 0 o = 4 00 8. Aşağıdaki işlemleri üslü ifade şeklinde yazınız. a. e 8 o. e 8 o = e- b. 5 8 o 9. A = e 8 o ve B = e 4 o olmak üzere A:B işleminin sonucu kaçtır? A = e - 8 o = 9 64 0. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz. - 7 64. 5. 5 = e 5 c. e 0 7 o. e 0 7 o = d... o e -0 7 o 5 5 5 = e 5 o a. 0 : e 6 5 o = 0 : 6 b. e 4 o : e o = e- 5 c. e 5 4 o : e = 0 e- 5 0 o = 5 000 = 0,04 = -0,5 B = e 4 o = 64 e- 7 6 o = 49 6 = 5 6 : 44 = 5 6 : 44 9 4 A : B = 9 64 : 64 = 9 64. 64 = 9 6 8 5 o + e 5 o = o 5 + e- 5 o (5) 9 = 5 e- 9 o = 8 6 e 4 0 o = 576 00 = 5,76 5-5 = 4 5 e 7 o = 49 4 08
Test Rasyonel Sayıların Kare ve Küpleri. e 5 o üslü ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? A) 5 4. 4 B) 0 4 C) 5 4 D) 5 rasyonel sayısının çarpma işlemine göre tersinin küpü aşağıdakilerden hangisidir? A) 7 64. e 5 o = A 5 B) 9 6 olduğuna göre, A kaçtır? C) 6 9 D) 64 7 A) 9 B) 6 C) 6 D) 9 4. 0, sayısının karesi aşağıdakilerden hangisine eşittir? 5. a = 0,5 6. b= 0, olmak üzere, a b işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 0,5 B) 0,4 C) 0, D) 0, e e o o işleminin sonucu kaçtır? A) 4 7. 4 A) 5 6 B) C) 4 D) sayısının karesi aşağıdakilerden hangisidir? B) 4 6 C) 4 6 D) 5 6 8. e o + 5 9 e o işleminin sonucu kaçtır? A) 5 B) 5 C) 5 D) 5 A) B) 5 C) 4 5 D) 5 09
Test Rasyonel Sayıların Kare ve Küpleri 9. e o ifadesinin değeri kaçtır? A) 64 7 B) 4 C) 4 0. e 4 o.e o işleminin sonucu kaçtır?. e A) 9 4 A) 5 B) 9 C) 9 5 o e 5 o işleminin sonucu kaçtır? B) 5 C) 5 D) 64 7 D) 9 4 D) 5. Aşağıdaki ifadelerden hangisinin sonucu en küçüktür? 4. 5. A) e 5 o B) e 4 5 o C) e 7 o D) e o e e o. 5 + o. 6 e e o. 6 + o. 7 e e işleminin sonucu için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir? A) Yarıma eşittir. B) Bileşik kesirdir. C) Negatif rasyonel sayıdır. D) Basit kesirdir. e o = 5 5 5 e o = 5 4 + 4 7 8 e o = Y o o 6 Y D Y D I. II. III. IV. D. 9 : e o e 4 o : e 6 o işleminin sonucu kaçtır? A) 8 B) 0 C) 4 D) 8 Yukarıda verilen eşitliklerin doğru veya yanlış olma durumlarına göre ok yönünde ilerlendiğinde kaç numaralı çıkışa ulaşılır? A) I. B) II. C) III. D) IV. 0
Ders 4 Rasyonel Sayı Problemleri Rasyonel Sayı Problemleri 80 sayısının si kaçtır? 5 5 i 80 5 5 i 80 = 6 5 5 I. Yol si 6. = 7 6 6 6 Kural 6 6 Farklı bir yol ile çözersek 6 80. 5 = 7 dir. II. Yol Bir sayının verilen bir kesir kadarını bulmak için sayı ile verilen kesir çarpılır. x rasyonel sayı, a ve b tam sayı b 0 olmak üzere x sayısının Bütünden parçaya gidilirken sayı paydaya bölünür, pay ile çarpılır. a b si x. a b dir. 40 öğrencinin bulunduğu bir okulda öğrencilerin ü seminere katılmıştır. 8 Seminere katılmayan öğrenci sayısı kaçtır? 8 8-8 = 5 8 katılmayan öğrenci oranı 40. 5 8 = 50
Ders 4 Rasyonel Sayı Problemleri ü 0 olan sayı kaçtır? 5 Bir sayının 5 ünü bulmak için sayı 5 e bölünür, ile çarpılır. Ancak burada bir sayının 5 ü verildiği için işlemi tersten yapmalıyız. Yani sayıyı e bölüp 5 ile çarpmalıyız. 0 = 40, 40.5 = 00 dür. ü 0 40 40 40 5 5 i 0: = 40 0 5 Tamamı = 5 i 40. 5 = 00 Kural 40 40 40 40 40 Kesir değeri verilen bir rasyonel sayıyı bulmak için verilen sayı paya bölünür elde edilen bölüm payda ile çarpılır. 00 Parçadan bütüne gidilirken sayı paya bölünür, payda ile çarpılır. Bir akvaryumdaki balıkların sayısının si 6 ise akvaryumda toplam kaç balık vardır? 7 8 6 : 7 = 6. 7 = 56
Ders 4 Rasyonel Sayı Problemleri 70 sayısının 5 inin si kaçtır? 7 I. Yol 70 sayısının önce ini bulalım. 5 4 70. 5 = 4 dir. Sonra bulduğumuz sonucun sini 7 bulalım. O halde sonuç 6 4. 7 = dir. Farklı bir yol ile çözersek 70. II. Yol 0 70... = 5 7 5.7 Ayşe Hanım 5L lik sütün 5 ini çocuklarına içiriyor. Kalan sütün ünü yoğurt yapmak 4 için kullanıyor. Buna göre geriye kalan süt kaç litredir? Kalanın 4 ile yoğurt yapıldığı için 4 'i kaldı O hâlde en son kalan 4 5. 4 = 5 'dir. 5. = L = Kural Bir rasyonel sayının, kesrinin kesri bulunurken sayı bu kesirler ile çarpılır.
Ders 4 Rasyonel Sayı Problemleri Ali, elindeki limonların önce 8 ünü sonra ini satmıştır. Geriye tane limon kaldığına göre toplam kaç limon satmıştır? 8 + = + 4 = 7 8 8 satılanlar (4) 8 8-7 8 = 8 kalan Bir fırın 600 simidin sabah 5 sini, öğleden sonra kalanın ini satmıştır. Kalan simitler akşam satıldığına göre, akşam kaç simit satılmıştır? 5-5 = 5 - = 0 600. 5 = 40 ilk kalan Bir manav elindeki domateslerin 5 7 inin sini satınca geriye 45 kg domates kalıyor. 5 Buna göre, manavın elinde başlangıçta kaç kg domates vardır? 5 i satıldığına göre i kaldı. Yani 444444 5. = 5 Limonların 8 'i tane O hâlde 7 8 ı 7. = 84 dir. son kalan 5 45 : 7 = 45. 7 = 05 başlangıçtaki domates sayısı 4
Ders 4 Rasyonel Sayı Problemleri Betül okula yolun 0 ini yürüyerek, geriye kalan yolun 7 sini minibüsle gidiyor. 9 Betül ün gideceği 400 m yolu kaldığına göre, ev ile okul arası kaç km dir? 0 0-0 = 9 ilk kalan 0 9 7-7 9 = 9 Bir havuzun si su ile doludur. Havuza 60 L daha su konulursa havuzun yarısı dolacaktır. 9 Buna göre, havuzun toplam hacmi kaç L dir? 4 cm kalınlığındaki dergilerden kaç tanesi üst üste konulursa 60 cm yüksekliğin- deki bir rafı doldurur? 7 0. 9 = 5 son kalan Yolun 5 i 400 olduğuna göre 5 i 5400 = 000 m = km dir. 5 Havuzun 5 inden unu çıkardığımızda 60 lt kalır. 5-9 = 9-4 = 5 i 60 lt 5 5 (9) () o hâlde tamamı 60 : 5 8 = 60. 8 5 4 = 60. 4 5 = 6 lt dir. = 6 tane 5
Bil - Bul - Uygula Rasyonel Sayı Problemleri. Hangi sayının sinin 5 fazlası 7 eder? 7-5 = : =.. Bir sürahide 6 litre meyve suyu vardır. Bir bardak litre meyve suyu aldığına göre sürahideki meyve suyunun tamamı ile bu bardaklardan kaç tanesi doldurulabilir? 4 6 : 4 = : 4 =. 4 = 6 tane. Ahmet parasının önce 6 ini, sonra kalan parasının ini harcıyor. 5 Geriye TL si kaldığına göre, Ahmet in başlangıçtaki parası kaç TL dir? 6 6-6 = 5 6 ilk kalan si olan sayıyı bulmalıyız. 6 5 - : =. = 48 TL 5 = 4 5 5 6. 4 5 = son kalan 4. Bir otoparktaki otomobillerin ü LPG li, geri kalanı dizeldir. 7 Dizel araçların sayısı LPG li araçların sayısından 0 fazla olduğuna göre otoparkta kaç tane LPG li araç vardır? 7-7 = 4 7 dizel araç 4 7-7 = si 0 tane 7 5. Kadir tarlasının önce 9 sini, sonra kalanın ünü, sonra da kalan kısmın yarısını sürmüştür. 7 Sürülen kısım 8 dönüm olduğuna göre, sürülmeyen kısım kaç dönümdür? 4 7-4 7 = 4 7 ilk kalan - 4 9. = en son kalan 9 7 7-7 = 4 7 7 9. 4 7 = 4 9 O hâlde 7 si sonraki kalan.0 = 60 tanedir. 7 u 8 dönüm ise 9 u 8 : 7 = 4 dönüm 9 u 4. = 8 dönümdür. 9 6
Test 4 Rasyonel Sayı Problemleri. Bir yolun i asfaltlanmıştır. 8 Kalan yolun ü daha asfaltlandığında tüm yolun 4 kaçta kaçı asfaltlanmış olur? A) 9 B) 5 C) 5 D) A) 8 B) 6 C) D) 40 56 56 6. Bir konser biletlerinin 4 ü satıldığında 60 biletin satıldığı 7 görülüyor. Buna göre, satılmayan kaç bilet kalmıştır? A) 80 B) 40 C) 70 D) 0 m uzunluğundaki bir ipi 0 eşit parçaya bö-. Ayfer, 4 7 lüyor. Buna göre, bir parçanın uzunluğu kaç m dir? A) 7 B) 4 7 C) 7 6 4. Bir işi Serkan tek başına günde, aynı işi Murat tek başına 4 günde yapılabilmektedir. İkisi birlikte 4 gün çalışarak işin kaçta kaçını bitirebilirler? A) B) C) D) 6 4 5. 80 kg elmanın 8 kg ı çürümüştür. Çürük olmayanların ü satıldığına göre, geriye çürük olmayan kaç kg elma 4 kalmıştır? 6. Selim, bir şişe içindeki suyun sini içtikten sonra, 7 kalanın ini daha içiyor. 5 Buna göre, Selim şişe içindeki suyun kaçta kaçını içmemiştir? A) 4 7 B) 7 C) 7 D) 7 7. Alp, parasının ini harcadıktan sonra, kalan parasının 8 üyle kardeşine hediye alıyor. 7 Alp in geriye 60 TL si kaldığına göre, başlangıçta parasının tamamı kaç TL dir? D) 7 A) 00 B) 0 C) 40 D) 80 5 8. Bir sınıftaki 6. sınıf öğrencilerinin sayısı, 7. sınıf öğrencilerinin sayısının ü, 8. sınıf öğrencilerinin sayısının 4 ü kadardır. 6. sınıftaki öğrencilerin sayısı 8 olduğuna göre, 7. ve 8. sınıftaki öğrencilerin toplam sayısı kaçtır? A) 0 B) 8 C) 45 D) 5 7
Test 4 Rasyonel Sayı Problemleri 9. Bir top belirli bir yükseklikten yere bırakılıyor. Yere çarptıktan sonra ilk yüksekliğinin 7 si kadar zıplamaktadır. 9 O halde bu top 0 4 m yükseklikten bırakılırsa yere çarptıktan sonra ne kadar yükseğe zıplar? A) 6 B) 6 4 C) 5 D) 59 4 C 0. Yukarıdaki üçgen şeklindeki levhanın çevresi kaç metredir? 9 6 A) Yukarıdaki resimde verilen çekirge, her bir zıplayışında 5 metre ilerlemektedir. 6 O halde çekirgenin yaprağa ulaşması için kaç defa zıplaması gerekir? (Sayı doğrusunda her iki tam sayı B) 0 C) 9 D) 7 arası metredir.) A) 6 B) 8 C) 4 D) 9. Bir paketteki çikolataların sini Hatice, 5 0 ünü Bekir, 7 tanesini Kerem, 8 tanesini de Beyza yemiştir. C ilçesine ulaşmaktadır.. Melek, annesinden aldığı cevizlerin ilk iki gün boyunca. 4. her gün 5 ini, daha sonraki üç gün ise her gün 6 ini yiyor. Buna göre Melek, annesinin verdiği cevizlerin kaçta kaçını yememiştir? A) 5 B A B) 0 m 4 m m C) 7 D) 0 5 4 km C A A ilçesinden B ilçesine doğru hareket eden bir araç, önce yolun ünü, sonra da kalan yolun yarısını gidip 5 B Pakette çikolata kalmadığına göre, Hatice kaç çikolata yemiştir? Buna göre A ile B ilçelerinin arasındaki uzaklık kaç km dir? A) B) 5 C) 0 D) 5 A) 48 B) 60 C) 70 D) 75 8
Ders 5 Cebirsel İfadelerde İşlemler Cebirsel İfadelerle İşlemler Bilgi Kutusu İçinde en az bir bilinmeyen bulunan ve işlem içeren ifadelere cebirsel ifade denir. Cebirsel ifadelerde kullanılan x,y,z,a,b,c,... gibi harfler ve,, gibi sembollerden her birine değişken (bilinmeyen) denir. Bir sayının bir veya birden çok değişkenle ya da değişkenin değişkenle çarpımı şeklinde yazılan ifadelere terim denir. Terimi bir başka deyişle, bir cebirsel ifadedeki + veya lerle ayrılan kısımların her biri olarak da adlandırabiliriz. Değişkenin önüne çarpan şeklinde yazılan sayıya katsayı denir. Değişkeni olmayan terime sabit terim denir. Sabit terim aynı zamanda katsayıdır.. a 4x + 5 ifadesine ait Değişkenler: a, x Terimler: a, 4x, 5 Katsayılar:, 4, 5 Sabit Terim: 5. 4x 0x y + ab ifadesine ait Değişkenler: x, y, a, b Terimler: 4x, 0x y, ab Katsayılar: 4, 0, Sabit Terim: Yok (veya 0). 5m + n 6 ifadesine ait. 9p + 4pr k + 7 ifadesine ait Değişkenler: m, n Terimler: Katsayılar: 5,, -6 Sabit Terim: 5m, n, -6-6 Değişkenler: Terimler: Katsayılar: 9, 4, -, 7 Sabit Terim: 7 p, r, k 9p, 4pr, -k, 7 8xy 4x + 5y + cebirsel ifadesinin terim sayısını ve katsayılarının toplamını bulalım. Verilen cebirsel ifadede 8xy, 4x, 5y ve olmak üzere 4 tane terim vardır. Terimlerin katsayıları 8, 4, 5 ve olduğundan katsayılar toplamı 8 + ( 4) + 5 + = 0 dur 9
Ders 5 Cebirsel İfadelerde İşlemler Bilgi Kutusu Bir cebirsel ifadede, içerdiği değişkenler ve bu değişkenlerinin kuvvetleri aynı olan terimlere benzer terim denir. 7a + b 4a + 5b cebirsel ifadesindeki benzer terimleri bulalım. Değişkeni a olan terimler 7a ve 4a, değişkeni b olan terimler b ve 5b terimleridir. O halde 7a ile 4a benzer terim ve b ile 5b benzer terimlerdir. 0a 7ab a + ifadesini en sade şekliyle yazalım. Cebirsel ifadeleri en sade şekliyle yazma; benzer terimler arasında toplama veya çıkarma yapılarak ifadenin düzenlenmesi anlamına gelir. Verilen ifadede 0a ile a benzer terimlerdir. O halde 0a a = 7a olur. Burdan cebirsel ifadenin en sade hali 7a 7ab + olur. Bilgi Kutusu Cebirsel ifadelerde toplama ve çıkarma işlemleri benzer terimlerin toplanıp çıkarılması ve sabit terimlerin toplanıp çıkarılması olarak ifade edilir. Dikkat Cebirsel ifadelerde toplama ve çıkarma işlemleri benzer terimlerin katsayıları arasında gerçekleşir ve bu işlemler yapılırken tam sayılardaki toplama ve çıkarma işlemleri yöntemleri kullanılır. 0
Ders 5 Cebirsel İfadelerde İşlemler Aşağıdaki cebirsel ifadelerin en sade hallerini yazalım. a. 4xy + 5x xy b. 7x 5y + 9x + y xy + 5 c. 5x + 6x x d. 8a ab + 5b a + b x + 6x Kısa kenarı x + ve uzun kenarı x + 5 olan dikdörtgenin çevre uzunluğunu veren cebirsel ifadeyi yazalım. Dikdörtgenin çevre uzunluğu, kenar uzunluklarının toplamı olduğundan; x + + x + + x + 5 + x + 5 benzer terimler ve sabit terimler toplanır. O halde çevre 0x + olur. Bir sayının katının 5 fazlası ile aynı sayının katının eksiğinin toplamını bulalım. 6x + 6y Bu sayıya a diyecek olursak; Sayının katının 5 fazlası : a + 5 Aynı sayının katının eksiği : a şeklinde ifade edilir. Buradan istenen toplam (a + 5) + (a ) = a + 5 + a = 5a + olur.
Ders 5 Cebirsel İfadelerde İşlemler 7x + 4 ile x + cebirsel ifadelerinin farkını bulalım. Çıkarma işlemi (7x+4) (x + ) şeklinde ifade edilir. Buradan (7x+4) (x + ) = 7x + 4 x = 5x + olur.. Bir sayının 4 katının fazlası ile aynı sayının katının eksiğinin toplamını bulunuz.. x + 5 ile x cebirsel ifadelerinin farkını bulunuz. x,, x,, olmak üzere aşağıda modellenen toplama ve çıkarma işlemlerini yazalım. a. (4x + ) + (x - ) = 4x + + x - = 6x + x + 5 - x = x + 5 + = Modelde. toplananda x modelinden 4 tane, + modelinden tane olduğundan. toplanan 4x + ;. toplananda x modelinden tane, modelinden 4 tane olduğundan. toplanan x 4; sonuçta x modelinden tane, modelinden tane olduğundan x şeklinde ifade edilir. O halde modele ait matematik cümlesi (4x + ) + (-x - 4) = x - dir.
Ders 5 Cebirsel İfadelerde İşlemler b. ( 4x + 4) (x + ) = 7x + dir. = x,, x,, olmak üzere aşağıda verilen cebirsel ifadelere ait modelleri oluşturalım. a. (x + ) + (x ) b. ( 5x + 4) + ( x 6) a. (x + ) + (x ) işleminin sonucu x + + x = 4x dir. O halde modeliyle gösterilir. + = b. ( 5x + 4) + ( x 6) işleminin sonucu 5x + 4 x 6 = 6x dir. O halde + = modeliyle ifade edilir.
Ders 5 Cebirsel İfadelerde İşlemler. Aşağıdaki işlemlere ait modelleri oluşturunuz. a. (x + ) + (x ) b. ( x 4) + ( x + ) c. (5x + 7) (x + 4). Aşağıdaki modellerin belirttiği matematik cümlelerini yazınız. a. b. + = + = - ( x,, x, ) + = x +... 5x + 5 +... -x - 4 =... 4x + = -5x - x + + =... -4x + 4 +... (-x - ) =... -7x + 4
Ders 5 Cebirsel İfadelerde İşlemler Bir Doğal Sayıyı Bir Cebirsel İfade İle Çarpma doğal sayısı ile (x+) cebirsel ifadesini çarpalım. I. Yol II. Yol İşlemi, çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliğini kullanarak yapalım..(x + ) = (.x) +. = x + 6 olur. Modelleme ile yapalım. olmak üzere Bilgi Kutusu x, + III. Yol defa (x+) cebirsel ifadesini toplayarak yapalım. (x+) + (x+) = x + + x + = = (x+x) + (+) = x + 6 Bir doğal sayı ile bir cebirsel ifade çarpılırken doğal sayı ile cebirsel ifadenin bütün terimleri çarpılır. 6 doğal sayısı ile (x ) cebirsel ifadesini çarpalım. Çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliğini kullanalım. 6.(x ) = (6.x) (6.) = 8x bulunur. 5
Ders 5 Cebirsel İfadelerde İşlemler Aşağıda verilen çarpma işlemlerinin sonuçlarını bulalım. a..(x+) d. 0.(x ) b. 5.(x 4) e. 4.( x+4) c. 7.( x+5) f. 6.( x 8) Duygu'nun odasında bulunan dikdörtgen şeklindeki tablonun kısa kenarı 0 cm, uzun kenarı (x+5)cm olduğuna göre tablonun duvarda kapladığı alanı belirten cebirsel ifadeyi bulalım. Dikdörtgenin alanı = (Kısa kenar uzunluğu) x (Uzun kenar uzunluğu) dur. O halde x + 6 0x - 0 0x - 0 -x + 6-7x + 5 -x - 48 0.(x + 5) = (0.x) + (0.5) = 0x + 50 olur. 6
Ders 5 Cebirsel İfadelerde İşlemler Kerem in x TL si vardır. Oğuz un parası Kerem in parasının 5 fazlasının 4 katı olduğuna göre ikisinin paralarının toplamını veren cebirsel ifadeyi yazalım. Önce Oğuz un parasını bulalım. Oğuz un parası, Kerem in parasının 5 fazlasının 4 katı olduğuna göre x TL önce 5 ile toplanır, daha sonra bu toplam 4 ile çarpılır. 4. (x + 5) = (4.x) + (4.5) = 8x + 0 dir. Buradan paraların toplamı x + (8x + 0) = x + 8x + 0 = 0x + 0 olur.. Kenar uzunlukları 5 m ve (x+5)m olan bir dikdörtgenin alanını veren cebirsel ifadeyi yazalım. 5.(x + 5) = 5x + 5.5 = 5x + 75. Bir sayının katının fazlasının 5 katını veren cebirsel ifadeyi yazalım. (x + ).5 = x.5 +.5 = 0x + 5 7
Bil - Bul - Uygula Cebirsel İfadelerde İşlemler. Aşağıda verilen tablodaki boşlukları doldurunuz. Cebirsel ifade Değişkenler Terimler Katsayılar Sabit Terim a + 5b x + 4y + xy + 6 4xy + 6x + 5a k + 7 m n e f g + 4. Aşağıda verilen tablodaki boşlukları doldurunuz. Cebirsel ifade Terim Sayısı Katsayılar Toplamı x x 5 + y a + 4b + 6c k + 6m 5p + pr + 6r a, b x, y x, y, a k, m, n. Aşağıda verilen toplama ve çıkarma işlemlerini yapınız. a. (x+5) + (x+4) = x + 5 + x + 4 d. (x 6) ( x+8) = 5x + 9 b. ( x+7) + ( 5x ) = -x + 7-5x - e. (m+6) (4m 7) = -7x + 4 4. Aşağıdaki çarpma işlemlerini yapınız. a. 4.(a+) = 4a + d..(p+) a, 5b, 5 Yok = p + 6 = x - 6 + x - 8 = 4x - 4 = m + 6-4m + 7 = -m + c. (9k 4) + (6 k) = 9k - 4 + 6 - k f. (k 0) ( 6k 7) = k - 0 + 6k + 7 = 9k + 7 = 6k + e, f, s x, 4y, xy, 6-4xy, 6x, 5a k, 7 e, -f, -g, 4 m, -n, 4,, 6-4, 6, 5,, -, -, -, 4-9 4-6 Yok Yok 4 b..(x+) = 4x + e. (8 b). 4-6b c. 5.(x ) = 5x - 0 f. 40.(7k+) = 80k + 40 8
Test 5 Cebirsel İfadelerde İşlemler. x xy + 5 Aşağıdakilerden hangisi yukarıda verilen cebirsel ifadeye ait bir terim değildir? A) x B) x C) xy D) 5. 4a + 5ab + 7b 5 5. (x + ) + (x + 6) Yukarıdaki toplama işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? A) 6x + 9 B) 6x + 6 C) 5x + 9 D) 5x + Yukarıdaki cebirsel ifadenin terim sayısı kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 6. k + m 5km + 6 Yukarıdaki cebirsel ifadenin terimleri aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir? A) k, m, 5km B) k, m, 5k, 5m. pr s + 4p r C) k, m, 5km, 6 D) k, m, 5km, 6 cebirsel ifadesinin katsayılar toplamı kaçtır? A) B) 8 C) D) 7..(a 4b) 4. x + 6y +? cebirsel ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? Yukarıda verilen cebirsel ifadede katsayılar toplamının 4 olması için? yerine aşağıdaki ifadelerden A) 6a 48b hangisi gelebilir? B) 6a b C) a 48b A) 4a B) 4xy C) 5 D) 5z D) a b 9
Test 5 Cebirsel İfadelerde İşlemler 8. 9. (x+)cm B Yukarıdaki ABC üçgeninde AB = (x + ) cm, AC = (x 7) cm ve BC = ( x) cm dir. A ( x)cm (x 7)cm C x,, x,, olmak üzere 9. ve 0. soruları yukarıdaki bilgilere göre cevaplayınız. + = Yukarıdaki modelin belirttiği işlem aşağıdakilerden hangisidir? A) ( 6x ) + (7x + 4) = x + B) (x + 6) + ( 7x 4) = x C) (6x + ) + ( 7x 4) = x D) (4x + ) + (7x + 4) = x + 0. (4x ) ( x + 5) Cebirsel ifadesinin modelle gösterimi aşağıdakilerden hangisidir? D) 8x + 0 A) B) C) D) Buna göre bu üçgenin çevresini veren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir? A) 6x + 0 B) 4x + 0 C) 6x + 6 D) 4x + 6. Ümit in x TL si vardır. Alperen in parası Ümit in parasının 0 eksiğinin katı olduğuna göre Alperen in parasını belirten cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir? A) x 0 B) (x 0) C) 0(x ) + D) 0x +. Bir kenarının uzunluğu (x + 7)m olan kare şeklindeki bir bahçenin çevresinin uzunluğu kaç metredir? A) x + 8 B) 6x + 4 C) x + 7
Ders 6 Sayı Örüntüleri Sayı Örüntüleri. adım. adım. adım Yukarıda verilen şekil örüntüsünün genel kuralını bulalım. Yukarıdaki örüntüde, örüntüye kare ile başlanmış ve her adımda bir önceki adımdan kare fazla kullanılmıştır.. adım. adım + = 4. adım + + = 6 örüntü ikişer ikişer arttığından genel terim n olarak ifade edilir. n, örüntünün adım sayısını belirttiğinden n yerine adım sayılarını yazdığımızda verilen adımda kullanılan kare sayısını buluruz.. = tane. adım. = 4 tane. adım. = 6 tane. adım Bilgi Kutusu Bir örüntünün bütün adımları arasında ortak bir kural vardır. Buna genel kural (genel terim) denir. Dikkat Örüntülerde genel kuralı ifade ederken n harfi kullanılır. n örüntünün adım sayısını belirtir. 5, 0, 5, 0,... şeklinde devam eden sayı örüntüsünün genel kuralını bulalım. Örüntüdeki sayılar 5 er 5 er arttığı için örüntünün genel kuralı 5n dir.
Ders 6 Sayı Örüntüleri 8, 6, 4,,... şeklinde devam eden örüntünün genel kuralını bulunuz. 8 er 8 er arttığı için genel kural 8n dir.. adım. adım. adım Yukarıda verilen şekil örüntüsünün genel kuralını bulalım. Verilen örüntüde kareyle başlanmış ve her adımda bir önceki adımdan tane kare daha fazla kullanılmıştır.. adım. adım + = 4. adım + + = 7 4. adım + + + = 0 Örüntü üçer üçer arttığından genel terimde n vardır. Ancak n yerine yazdığımızda adımdaki şekil sayısına eşit olmuyor. Bu yüzden. adımda tane kare olduğundan genel terim (n ) şeklinde ifade edilir. O halde (n ) için;. adım. =. adım. = 4. adım. = 7 (n = ) (n = ) (n = ) Bilgi Kutusu Artış miktarı tek başına örüntünün genel kuralını ifade etmeyebilir. Bu durumda. adım artış miktarının ne kadar eksiği ya da ne kadar fazlası ise genel terime eklenir ya da çıkarılır....
Ders 6 Sayı Örüntüleri 8,, 8,,... sayı örtüsünün genel kuralını bulalım. Örüntüdeki sayılar beşer beşer artmaktadır. +5 +5 8,, 8,.... adımdaki sayı, artış miktarından fazla olduğu için genel terim (5n + ) şeklindedir. Aşağıda verilen sayı örüntülerinin genel terimlerini bulunuz. a. 4, 7, 0,,... c. 0, 4, 8,,... n + 4n + 6 b., 8, 5,,... d.,, 4, 45,... 7n - 6 n + Hilal, haftalık harçlıklarından para biriktirmeye karar vermiştir. İlk hafta 5 TL biriktiren Hilal,. hafta TL,. hafta 9 TL biriktirmiştir. İlerleyen haftalarda hep bir önceki haftadan 7 TL fazla biriktirdiğine göre biriktirdiği para ile hafta sayısı arasındaki ilişkiyi bulalım. Hilal. hafta 5. hafta. hafta 9... 4 ilerleyen adımlarda bir öncekinden 7 TL fazla para biriktirdiğinden örüntünün genel terimi (7n + 8) dir.
Ders 6 Sayı Örüntüleri Genel terimi n + 4 olan sayı örüntüsünün 8. adımını bulalım. Genel terimde n yerine 8 sayısı yazıldığında 8. adımı bulunur. O halde n= 8 için.8 + 4 = 8 olduğundan örüntünün 8. adımı 8 dir. Bilgi Kutusu Genel terimde ifade edilen n yerine adım sayısı yazıldığında istenilen adımdaki sayı bulunur. Genel terimi 4n olan sayı örüntüsünün 7. adımıyla. adımının toplamını bulalım. Verilen örüntüde n yerine sırayla 7 ve sayılarını yazalım. n = 7 için 4.7 = 6 ve n = için 4. = 50 bulunur. Buradan cevap 6 + 50 = 76 olur. Aşağıda verilen sayı örüntülerinin istenilen adımdaki değerlerini bulunuz. a. 5n + b. 0n 6 5.adım 5.5 + = 75 + = 78 d. 6n 00.adım 6.00 - = 600 - = 597.adım 0. - 6 = 0-6 e. n 8 0.adım.0-8 = 60-8 = 04 = 5 8. + 5 = 96 + 5 = 0 c. 8n + 5.adım f. 5n 4.adım 5.4 - = 60-4 = 69 4
Ders 6 Sayı Örüntüleri. adım. adım. adım Yukarıda bir şekil örüntüsünün ilk üç adımı verilmiştir. Buna göre kaçıncı adımda 7 tane üçgen olduğunu bulalım. Öncelikle örüntünün genel terimini belirleyelim.. adım. adım 6. adım 9 + + Artış miktarı. adımdaki sayıya eşit olduğu için genel terim n dir. O halde kaçıncı adımın 7 olduğunu bulmak için 7 yi e bölmeliyiz 7: = 9 9. adım 7 dir., 6, 0, 4,... sayı örüntüsünü şekil örüntüsü olarak gösterelim. Örüntünün genel kuralını bulalım.. adım. adım. adım () (6) (0) 4. adım (4) Sayı ve şekil örüntülerinin genel kuralı (4n ) dir. 5
Ders 6 Sayı Örüntüleri. adım. adım. adım. Yukarıdaki şekil örüntüsünün kaçıncı adımında 56 kare kullanılacağını bulunuz. Kare sayısı 4 er 4 er arttığı için kural 4n dir. 4n = 56 n = 56 4., 6,, 6,... sayı örüntüsünü şekil örüntüsü olarak gösterip, genel kuralını bulunuz.. adım. adım. adım Örüntüde verilen adımlar belli bir kurala göre devam etmektedir. Buna göre, örüntünün genel kuralını tabloda gösterelim. n = 4 tür. Genel kural 5n - 4 Beşgen sayısı... n Kenar sayısı 5 9...... İlişki 4. + 4. + 4. +... 4n + Genel kural (4n + ) dir. 6
Ders 6 Sayı Örüntüleri Genel kuralı (n + 7) olan sayı örüntüsünün ilk adımını bulalım. Genel kuralı n + 7 olan örüntüde n = için. adım =. + 7 = 9, n = için. adım =. + 7 = n = için. adım =. + 7 = olur. Buna göre sayı örüntüsü 9,,,... şeklindedir.. adım. adım. adım. Yukarıda verilen şekil örüntüsünün genel kuralını aşağıdaki tabloda gösteriniz. Altıgen sayısı... n Kenar sayısı İlişki 5. + 5. + 6. Genel kuralı (n 4) olan sayı örüntüsünün ilk 4 adımını bulunuz. n = için. - 4 = 7 n = için. - 4 = 8 9 40 6...... 5. +... 5n + 7
Bil - Bul - Uygula Sayı Örüntüleri. Aşağıda verilen sayı örüntülerinin genel kuralını bulunuz. a., 4, 6, 8, 0,... c.,,, 0,... b. 6, 4,, 0,... d. 5, 0, 5, 0,.... Aşağıda verilen şekil örüntülerinin genel kuralını bulunuz. a. b. = n = 9n - 6 = 8n - = 5n. adım. adım. adım. adım. adım. adım 4. adım. Aşağıda verilen şekil örüntüsünün 5. adımındaki bilye sayısını bulunuz.. adım. adım. adım 4. Aşağıda verilen örüntülerin istenilen adımdaki sayılarını bulunuz. a. 0, 4, 8, örüntüsünün. adımını bulunuz. b. Genel kuralı 8n - 5 olan sayı örüntüsünün. adımını bulunuz. n - Genel kural = n +.5 + = 5 Genel kural. 4n + 6, 4. + 6 = 98 8. - 5 = 5 n + 5., 7,, 7,... sayı örüntüsünün kaçıncı adımının 4 olduğunu bulunuz. Genel kural = 5n -, 5n - = 4 5n = 45 n = 9. adım 8
Test 6 Sayı Örüntüleri.. C) n + D) n +. adım. adım. adım Yukarıda verilen şekil örüntüsünün genel kuralı aşağıdakilerden hangisidir? A) n B) 6n Yukarıda genel kuralları verilen sayı örüntülerinden hangi ikisinin. adımındaki sayıları eşittir? C) n + D) 9n 6. Aşağıda verilen sayı örüntülerinden hangisinin genel kuralı yanlış verilmiştir? 4. Genel kuralı (5n 4) olan örüntünün 8. adımındaki sayı kaçtır? A) 6 B) C) 8 D) 4. adım. adım. adım Yukarıda verilen şekil örüntüsünün genel kuralı aşağıdakilerden hangisidir? A) n B) n 5. Genel kuralı 6n + 5 olan sayı örüntüsünün. adımında bulunan sayı ile 6. adımında bulunan sayının toplamı kaçtır? A) 8 B) 80 C) 79 D) 78 6. I. n + II. 4n + 5 III. n 0 IV. 6n 7 A) I ve II B) II ve IV C) I ve III D) III ve IV Örüntü Genel Kural A) 4, 8,, 6,... 4n B), 7,, 7,... 5n C) 7,, 5, 9,... 4n D) 8, 5,, 9,... 7n + 7., 6,, 6,... sayı örüntüsünün kaçıncı adımı 5 dir? A) B) C) 0 D) 9 9
Test 6 Sayı Örüntüleri 8. Emre, kumbarasında para biriktirmeye karar veriyor. İlk hafta kumbarasına 9 TL atan Emre, sonraki her hafta 6 TL atıyor. Buna göre 5. haftada biriktirdiği para miktarı kaçtır? A) 99 B) 9 C) 87 D) 8 9. A) 95 B) 05 C) D) 7. adım. adım. adım Örüntüde verilen adımlar belli bir kurala göre devam etmektedir. Buna göre. adımdaki şeklin kenar sayısı kaçtır? A) 7 B) 7 C) 70 D) 69. Genel kuralı 8n olan sayı örüntüsünün kaçıncı terimi 46 dır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 0. Renkli keçeli kalem kullanmayı seven Beyza, her hafta 4 er tane kalem alıyor.. 0,, 6, 9,... sayı örüntüsünün genel kuralı aşağıdakilerden hangisidir? A) n B) n + C) n D) n +. Genel kuralı 7n + 6 olan sayı örüntüsünün 5. adımı kaçtır? İlk hafta kalem alan Beyza nın 9. haftada kaç kalemi olduğu ve örüntünün genel kuralı aşağıdakilerden 4. 9, 4, 9, 4,... hangisinde verilmiştir? Yukarıda verilen sayı örüntüsünün 8. adımı ile 5. Örüntü Kural adımının toplamı kaçtır? A) 4n 5 B) n + 8 A) 0 B) 7 C) n + 9 D) 4n + 7 C) D) 47 40
Ders 7 Denklem Oluşturma Denklem İki kardeşten biri diğerinden yaş daha büyüktür. Buna göre küçük kardeşin yaşının alacağı farklı değerler için büyük kardeşin kaç yaşında olacağını bularak aşağıdaki tabloyu tamamlayalım. Küçük kardeşin yaşını x ile göstererek büyük kardeşin yaşının kaç olacağını ifade edelim. Küçük kardeşin yaşı Büyük kardeşin yaşı + = + = 4... +... =... 5...... x... x +... =... x + Betül çekmecesindeki tokalarını ikişerli grupladığında tane toka artmıştır. Toplam 45 tokası olduğuna göre kaç grup oluşturmuştur? Yukarıdaki problemi çözmek için gerekli olan denklemi oluşturalım. Grup sayısı x olsun. Her grupta toka olduğuna göre x toka gruplandırılmıştır. toka arttığına göre toplam toka sayısı (x+) dir. O halde denklem x + = 45 şeklindedir. Aşağıda verilen ifadelere karşılık gelen cebirsel ifadeleri (bilinmeyeni x ile göstererek) yazalım. a. Bir sayının 5 fazlası x + 5 b. Bir sayının katı x c. Bir sayının 4 i d. Bir sayının katının eksiği x - e. Bir sayının eksiğinin 4 katı 4(x - ) f. Bir sayının ünün 6 fazlası 7 g. Bir sayının eksiğinin 4 5 ü x 4 x 7 + 6 4(x - ) 5 40. 5 8 = 50 4
Ders 7 Denklem Oluşturma Hatırlayalım İçinde en az bir bilinmeyen bulunan ve işlem içeren ifadelere cebirsel ifade denir. Bir cebirsel ifadede kullanılan a, b, c, x, y, z gibi harfler veya,, gibi sembollerin her birine değişken (bilinmeyen) denir. Dikkat Bir sayı ile bir değişkenin çarpımı ifade edilirken genellikle çarpma sembolü kullanılmaz. Örneğin; 7xa veya 7.a ifadeleri 7a şeklinde gösterilir. a = 6kg = 5kg Yukarıdaki terazi dengededir. Bu terazideki dengeyi belirten eşitliği yazalım. Terazinin sol kefesinde (a + 6)kg, sağ kefesinde 5 kg bulunmaktadır. Terazi dengede olduğuna göre kefelerdeki ağırlıklar eşittir. O halde eşitliğimiz a + 6 = 5 dir. Bilgi Kutusu Bilinmeyen içeren eşitliklere denklem denir. Eşitlik = sembolü ile gösterilir. Eşitliğin solunda ve sağında bulunan ifadeler birbirine eşittir. İçinde bir bilinmeyen bulunan ve bu bilinmeyenin kuvvetinin olduğu denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. a, b, c tam sayı ve a 0 olmak üzere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin genel hali ax+b=c dir. 4
Ders 7 Denklem Oluşturma Denklemlerde Eşitliğin Korunumu Eş kütleli 4 küp ve eş kütleli 0 küreden, küpün kütlesi kürenin kütlesine eşittir. Bir küpün kütlesi 50 gr olduğuna göre tüm cisimleri kullanarak terazideki dengenin nasıl sağlanacağını bulalım ve kürenin kütlesinin kaç gram olduğunu bulabileceğimiz denklemi yazalım. küp küre 4 küp 8 küre olduğundan sol kefeye 4 küp sağ kefeye de 8 küre konduğunda denge sağlanır. Geriye kalan kürenin birini sağ kefeye diğerini sol kefeye koyduğumuzda denge korunmuş olur. küp 50 g olduğundan 4 küp 4.50 = 000 g dır. kürenin kütlesi x olsun. Buna göre sol kefedeki kütle 000+x gram sağ kefedeki kütle ise 8x gram olur. Terazi dengede olduğundan bu iki kütle eşittir. Buradan 000 + x = 8x olur. Bilgi Kutusu Bir denklemin her iki tarafı aynı sayı ile çarpılır veya bölünürse eşitlik bozulmaz. Bir denklemin her iki tarafına aynı sayı eklenir veya çıkarılırsa eşitlik bozulmaz. 4
Ders 7 Denklem Oluşturma 5 + 8 = + 7 eşitliğini sağlayan yerine gelecek sayıyı bulalım. 5 + 8 = + 7 = + 7 7 = + 7 7 (Eşitliğinin her iki tarafından 7 çıkardık.) 6 = Bir manav, dükkanındaki karpuzların hepsini satmıştır. İlk gün 45, ikinci gün 8 ve üçüncü gün 7 tanesini satmıştır. Başlangıçta toplam 90 tane karpuzu olduğuna göre dördüncü gün kaç karpuz satmıştır? Bu soruyu çözmek için gerekli olan denklemi kuralım. Manav ilk üç gün toplam 45+8+7 = 0 tane karpuz satmıştır. Dördüncü gün sattığı karpuz sayısı x olsun. O halde denklem 0 + x = 90 şeklindedir. Yardım amaçlı bir yemek organizasyonuna toplam 0 davetli katılmıştır. Davetlilerin bir kısmı 50 TL, kalanları 0 TL bağışlamışlardır. Yemek sonunda toplanan miktar 400 TL olduğuna göre 50 TL bağış yapanların sayısı kaçtır? Bu soruyu çözmek için uygun denklemi kuralım. 50 TL bağış yapanların sayısı x olsun. Toplam 0 davetli olduğu için geriye kalanların sayısı 0 x olur. Parasal toplama geçildiğinde x kişi 50 TL verdiği için 50x, (0 x) kişi 0 TL verdiği için 0.(0 x) TL toplanmıştır ve bu toplam 400 TL dir. O halde denklem 50x + 0.(0 x) = 400 şeklindedir. 44
Ders 7 Denklem Oluşturma Aşağıdaki soruları çözmek için gereken denklemleri oluşturunuz. a. Yalnızca atlar ve kazların bulunduğu bir çiftlikteki toplam hayvan sayısı 7 dir. Bu çiftlikteki hayvanların ayak sayılarının toplamı 94 olduğuna göre çiftlikteki at sayısı kaçtır? At x b. Bir öğrenci 70 sayfalık kitabın ilk gün 70, ikinci gün 55, üçüncü gün 65 ve dördüncü gün 45 sayfasını okumuştur. Kitabı beş günde bitirdiğine göre beşinci gün okuduğu sayfa sayısı kaçtır? c. 5 kişilik bir sınıfta 7 ve 8 yaşında öğrenciler bulunmaktadır. Öğrencilerin yaşları toplamı 80 olduğuna göre, 7 yaşındaki öğrencilerin sayısı kaçtır? 7 x d. Üç sayının toplamı 45 tir. Birinci sayı, ikinci sayının 5 katıdır. Üçüncü sayı da, ikinci sayının 4 eksiğidir. Buna göre üçüncü sayı kaçtır? I. 5x Kaz 7 - x 4x +.(7 - x) = 94 4x + 4 - x = 94 70 + 55 + 65 + 45 + x = 70 5 + x = 70 x = 5 8 5 - x 7x + 8(5 - x) = 80 7x + 00-8x = 80 II. x III. x - 4 x = 5 x = 6 -x + 00 = 80 x = 0 7x = 49 x = 7 5x + x + x - 4 = 45 7x - 4 = 45 45
Bil - Bul - Uygula Denklem Oluşturma. Aşağıdaki ifadelere karşılık gelen cebirsel ifadeleri karşılarına yazınız. a. Bir sayının 5 fazlası b. Bir sayının katının 0 eksiği c. Bir sayının 6 fazlasının katı d. Bir sayının katının eksiğinin yarısı e. Bir sayının 5 katının fazlasının f. Bir sayının eksiğinin ü i ile aynı sayının yarısının toplamı 5. Aşağıdaki ifadelere karşılık gelen denklemleri oluşturunuz. a. Ali nin kitaplarının sayısının fazlasının 5 katı 5 dir.... b. Nusret in yaşının 4 eksiğinin 5 katının yarısı 0 dir.... c. A Yandaki üçgenin çevresi 55 cm dir. Buna göre üçgenin bir kenarının uzunluğunu veren denklemi yazınız.. x cm B 4. 7.x=4 = (x 7) cm (x+5) cm C... = 6 kg olduğuna göre yanda verilen eşitlikte kaç kg dır? Yukarıdaki eşitlik aşağıdaki cümlelerden hangisinin matematik cümlesi olabilir? A) Bir miktar cevizin 7 fazlası 4 tanedir. B) Bir miktar şekerin 7 eksiği 4 tanedir. C) Bir miktar bilyenin 7 katı 4 tanedir. D) Bir miktar silginin 7 de i 4 tanedir. 46
Ders 7 Denklem Oluşturma 5. Aşağıdaki teraziler denge durumundadır. Buna göre modellere ait denklemleri yazınız. 6. + + + + +...... = x = 4 kg = 5 kg Yandaki terazi dengededir. Buna göre kütlesinin kaç kg olduğunu bulunuz. 7. Bir miktar pekmezin 4 katının fazlasının yarısı 5 litredir. a. 4x + Yukarıdaki ifadeye ait denklem aşağıdakilerden hangisidir? = 5 b.. (x + 4) = 5 c. 4x + = 5 d. 4. x + + + + = 5 47
Test 7 5. Bir sayının eksiğinin 7 katı = Bilinmeyen = 0 gram Yukarıdaki ifadeye ait cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir? BE Ç T Ö Y ZÜ A Y M IN LE L A R R I. Denklem Oluşturma A) x + 7 B) 7x C) 7(x ) D) (x+7) Yukarıdaki terazi dengede olduğuna göre bilinmeyeni veren denklem aşağıdakilerden hangisidir?. Bir şişe sütün fiyatı liradır. koli sütün fiyatı 4 lira olduğuna göre, kolide kaç şişe süt bulunduğunu veren denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) x + = 4 B) x = 4 + C) 4 x = D).x = 4 6.. 8 cm Peynir Peynir Peynir metre İS A x 5 x+5 C) 48 Bir sınıftaki öğrenciler şerli oturduklarında 4 kişi ayakta kalıyor. erli oturduklarında ise sıra boş kalıyor. (x+4) = (x ) x + 4 = x x + 4 = (x ) x = x + 4 D) 4x 8 = 7. ü cümlesine ait cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir? A) D) x + 0 = 60 B) 4x + 8 = 00 C) 4x 8 = 00 Bir sayının 5 eksiğinin C) x = 60 x A) B) C) D) Yukarıdaki rafta bulunan 4 özdeş peynir kutusundan birinin uzunluğu aşağıdaki denklemlerden hangisi ile hesaplanabilir? 4. B) x = x + 60 Buna göre bu sınıftaki sıra sayısını veren denklem aşağıdakilerden hangisidir? Peynir A) 4x + 8 = A) x = 60 x 5 x D) +5 B) Aralarında er yaş bulunan 4 kardeşin yaşları toplamı 50 dir. Buna göre en büyük kardeşin yaşını veren denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) x + (x+) + (x+6) + (x+9) = 50 x + x + x + x = 50 (x+) + (x+6) + (x+9) + (x+) = 50 x + (x ) + (x 6) + (x 9) = 50
Ders 8 Denklem Çözme Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin ü 5x + = denklemindeki x i bulalım. Denklemi modelleyelim x olsun. = Eşitliğin her iki tarafına ikişer tane 5x + + ( ) = + ( ) Bilgi Kutusu 0 0 = sayma pulu ekleyelim. 0 0 = Eşitliğini sağlayan x = bulunur. Bir denklemde bilinmeyeni bulmaya denklemi çözme, bu denklemi doğru yapan bilinmeyenin değerine denklemin çözümü (denklemin kökü) denir. x + 6 = 8 + 4 eşitliğini sağlayan x değerini bulalım. x + 6 = 8 + 4 x + 6 = x + 6 + ( 6) = + ( 6) x = 6 x = 8 49
e Ders 8 Denklem Çözme Bilgi Kutusu Bir denklemde eşitliğin her iki yanı sıfırdan farklı aynı sayıya bölünürse eşitlik bozulmaz. Aşağıdaki denklemleri çözünüz. a. x + 5 = + 6 b. 7x = 46 + x + 5 = 9 x = 4 x = 8 Kural Denklem çözülürken şu adımların izlenmesi çözümü pratikleştirir.. Bilinenler bir tarafta, bilinmeyenler bir tarafa toplanır.. Bir terim eşitliğin sağından soluna veya solundan sağına geçerse işareti değişir.. Her iki taraf bilinmeyenin katsayısına bölünür. 4. Bulunan sayı denklemin çözümüdür. x + = x + 7 denklemini çözelim. x 7x - = 49 7x = 5 x = 5 7 x + = x + 7 x x = 7 x = 4 x eşitliğin sol tarafına -x, de eşitliğin e sağ tarafına - olarak geçer. 50
Ders 8 Denklem Çözme 5(x ) = (x+7) denklemini çözelim. 5(x ) = (x + 7) 5x 5 = x + 5x 5 = x + 5x x = + 5 x +5 x = 6 x = 8 Aşağıdaki denklemleri çözünüz. a. x + = 5 e. x 7 = + 6 x + = x = 0 x = 5 b. x 5 = 7 + 4 f. 5.(x 0) = 0 x - 5 = x = 6 c. x + 8 = x g. 6 (x 9) = 4x 8 = x 4 = x x - 7 = 7 x = 4 x = 8 x - 0 = 0 x = 0 6 - x + 9 = -4x 5 - x = -4x d. 6 x = 0 h. x + 6 = x 5 = -x x = -5 6 + 0 = x 6 = x 8 = x 6 = 4x 4 = x 5
Ders 8 Denklem Çözme x + = x denklemini çözelim. x + = x I. Yol (İçler dışlar çarpımı yapılır.).(x + ) =.(x ) 4x + = x 4x x = x x = 5 II. Yol Her iki tarafın paydasını eşitleyelim. x + x (x + ) (x ) = = 6 6 () () 4x + = x x = 5 x x + = x + denklemini çözelim. 6 Paydaları eşitleyelim. x x + = x + (x ) ( x + ) = 6 (x+) 6 6 6 () () (6) x 9 + x = 6 x Kural a, b, c, d tam sayılar ve b 0, d 0 olmak üzere, a b = c d ise a.d = b.c dir. Buna içler dışlar çarpımı eşitliği denir. Kural a, b, c, d, e birer tam sayı ve c 0, e 0 olmak üzere, ax + b = d c e şeklindeki denklemler paydalar eşitlendikten sonra paylar eşitlenip çözülebilir. 5x = 4 x 6x 6 = 5 6 x = 5 olur. 5
Ders 8 Denklem Çözme Aşağıdaki denklemleri çözünüz. a.. (x ) (x+) = ( x) + b. c. x - 6 - x - = - x + -x - 9 = 5 - x -x + x = 5 + 9 x = 4 x = 7 x + 7 6 = x + 7 7.(x + 7) = 6.(x + ) 7x + 49 = 6x + 66 7x - 6x = 66-49 x = 7 d. x = x x x + 6 = 0 () () Birinci Dereceden Denklem Kurmayı Gerektiren Problemler 8 eksiğinin 6 katı 48 eden sayıyı bulalım. Aradığımız sayıya a diyelim. a sayısının 8 eksiğinin 6 katı = 6. (a 8) olarak ifade edilir. O halde denklem ve çözümü 6. (a 8) = 48 6a 48 = 48 +48.(x - ) =.(x - ) 4x - 6 = x - 4x - x = 6 - x = x - x + = 0 x + = 0 x = - 6a = 48 + 48 6a 6 = 96 a = 6 olur. 6 5
Ders 8 Denklem Çözme Hangi sayının katının 5 fazlası 85 eder? x + 5 = 85 x = 70 x = 5 Bir sayının katının 0 fazlası aynı sayının 0 eksiğine eşittir. Buna göre bu sayıyı bulalım. Bu sayı x olsun. x sayısının katının 0 fazlası = x + 0 x sayısının 0 eksiği = x 0 O halde denklem ve çözümü x + 0 = x 0 x 0 x x = 0 0 x = 50 x = 5 olur. Hangi sayının 4 katının eksiği aynı sayının katının 4 fazlasına eşittir? 4x - = x + 4 4x - x = 4 + x = 6 54
Ders 8 Denklem Çözme Hasan ve Hüseyin beraber fındık kırmaktadırlar. Tüm fındıklar kırılıp iş bittiğinde Hasan ın kırdığı fındık sayısı Hüseyin in kırdığı fındık sayısının katının fazlasına eşittir. Başlangıçta toplam 4 fındık olduğuna göre Hüseyin kaç fındık kırmıştır? Hüseyin in kırdığı fındık sayısı x olsun. x sayısının katının fazlası: x + Hasan ın kırdığı fındık sayısı x + dir. O halde denklem ve çözümü x + x + = 4 4x + = 4 4x + + ( ) = 4 + ( ) 4x 4 = 40 4 x = 5 olur. Yani Hüseyin 5 fındık kırmıştır. Toplamları 80 olan iki sayıdan biri diğerinin katından 0 eksiktir. Buna göre bu sayıları bulunuz. x + (x - 0) = 80 x + x - 0 = 80 x = 90 x = 0 Bir eşkenar üçgenin her bir kenar uzunluğunu 5 cm artırdığımızda çevresinin uzunluğu 6 cm olmaktadır. Bu üçgenin bir kenar uzunluğu kaç cm dir? Üçgenin bir kenarı k cm olsun. O halde k nın 5 fazlası k+5 dir. Buradan üçgenin çevre denklemi ve çözümü (k + 5) = 6 k + 5 = 6 k = k = 7 olarak bulunur. 55
Ders 8 Denklem Çözme Bir karenin her bir kenar uzunluğunu 4 cm azalttığımızda çevre uzunluğu 48 cm olmaktadır. Buna göre karenin bir kenarının uzunluğu başlangıçta kaç cm dir? Başlangıç uzunluğu x olsun 4.(x - 4) = 48 4x - 6 = 48 4x = 64 x = 6 Bir basketbol kursuna kayıt olmak isteyenler 00 TL kayıt ücreti ödüyorlar. Kursa başladıktan sonra A Takım a yükselene kadar aylık 70 TL ödenmektedir. Bu kursa kayıt yaptıran Yahya bir süre sonra A Takım a yükselmiştir. Bu süre içinde toplam 450 TL ücret ödediğine göre kaç ayın sonunda A Takım a yükselmiştir? Geçen ay miktarı x olsun. O halde denklem 00 + 70x = 450 olur. 00 + 70x = 450 70x = 450 00 70x 70 = 50 70 x = 5 Bir şehirdeki taksilerde açılış ücreti 4 TL ve her km başına ödenen ücret TL dir. İşten evine taksi ile dönen bir kişi taksiciye toplam 64 TL ödediğine göre bu kişinin evi ile işyerinin arası kaç km dir? Mesafe x km olsun 4 + x = 64 x = 60 x = 0 56
Ders 8 Denklem Çözme Yalnızca koyun ve tavukların bulunduğu bir çiftlikte toplam 40 hayvan bulunmaktadır. Bu hayvanların ayak sayılarının toplamı 40 olduğuna göre bu çiftlikte kaç koyun vardır? Koyunların sayısı x olsun. Toplam hayvan sayısı 40 olduğu için tavuk sayısı 40 x olur. Buradan denklem ve çözümü, 4x +.(40 x) = 40 4x + 80 x = 40 80 4x x = 40 80 x = 60 x = 0 olarak bulunur.. Bir aile bazı günler, bazı günler ekmek tüketiyor. 0 günde 70 ekmek tüketen bu ailenin ekmek tükettiği gün sayısı kaçtır? ekmek x x + 90 - x = 70 90 - x = 70 x = 0 x +.(0 - x) = 70. Toplamları 80 olan iki sayıdan büyük olan sayı küçük olan sayının katından 0 eksiktir. Buna göre, bu sayıları bulunuz. Küçük x ekmek 0 - x Büyük x - 0. Hangi sayının katının 0 fazlası aynı sayının 0 eksiğine eşittir? x + 0 = x - 0 x - x = -0-0 x = -50 x = -5 4. Bir gül ağaç cinsi, ekildiğinde 0 dal ve her dalında da gül çıkmaktadır. Bu gül ağacından bahçesine eken Hafize teyzenin toplam 80 tane gülü olduğuna göre, bahçede bu gül ağaçlarından kaç tane vardır? ağaçta 0. = 0 gül var 0x = 80 x ağaçta x.0 = 0x x = 6 ağaç 57
Bil - Bul - Uygula Denklem Çözme. Yanda verilen karenin çevresi 7 cm olduğuna göre, x kaçtır? 7 : 4 = 8 bir kenar uzunluğu 5x - = 8 5x = 0 x = 4 (5x ) cm. Ayşe her gün, bir önceki gün çözdüğü soru sayısının katı kadar soru çözüyor. 4. gün 60 soru çözdüğüne göre, ilk üç gün toplam kaç soru çözmüştür? x, x, 4x, 8x 8x = 60 x = 0. Bir pastanede eş kütleli açılmamış 5 çuval şeker vardır. Açılmış bir çuvaldaki 9 kg şeker ile birlikte toplam 4 kg şeker olduğuna göre açılmamış bir çuval şeker kaç kilogramdır? Bir çuvalda x kg şeker olsun 5x + 9 = 4 5x + 9 = 5 x = 5 4. Hatice, annesi 4 yaşındadır. Kaç yıl sonra annesinin yaşı, Hatice nin yaşının katı olacağını denklem kurarak bulunuz. x yıl sonra 4 + x =.( + x) 4 + x = 6 + x 4-6 = x - x 5. Ardışık üç tek sayının toplamı 87 dir. Buna göre bu sayıları denklem kurarak bulunuz. x, x +, x + 4 x + x + + x + 4 = 87 x + 6 = 87 x = 8 x = 7 0, 40, 80 0 + 40 + 80 = 40 soru 4444 7, 9, 6 = x = x 58
Test 8 Denklem Çözme. 5x = x denklemini sağlayan x değeri kaçtır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 A) 0 B) 5 C) 0 D) 5. 0. (x ) = 8.(x+) denklemindeki x in değeri kaçtır? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6. x 5 = 6 5y + = 6 olduğuna göre x+y kaçtır? 8. Bir baba, oğlu ise 8 yaşındadır. A) B) C) 4 D) 6 Kaç yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının katı olur? A) B) 4 C) 5 D) 6 4. a + 8 = 0 a + b = 0 olduğuna göre, b kaçtır? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 6. Bir çiftlikte tavuk ve ineklerin toplam sayısı 5 tir. 9. Ardışık tek sayının toplamı 5 dir. Buna göre en büyük sayı kaçtır? Yukarıdaki problemin çözümünü veren denklem aşa- 5. Aşağıdaki denklemlerden hangisinin kökü 5 değildir? ğıdakilerden hangisidir? Bu hayvanların ayak sayıları toplamı 0 olduğuna göre, çiftlikte kaç inek vardır? 7. Hangi sayının katının 5 fazlasının yarısı 6 dır? A) 0 B) 9 C) 7 D) 5 A) 5b 4 = 4b + B) k + = C) m + 8 = m D) (n ) = n 4 A) x + (x+) + (x+4) = 5 B) x + (x ) + (x+) = 5 C) x + (x ) + (x 4) = 5 D) x + (x+) + (x+) = 5 59
Test 8 Denklem Çözme 0. x + = 8 denklemini sağlayan x değeri kaçtır? C) denklemini sağlayan x değeri kaçtır D) 0 I B) 5 x = BE Ç T Ö Y ZÜ A Y M IN LE L A R R A) 8 5. A). B) C) D) 4x + = x 0 denklemini sağlayan x değeri kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 6. Ece, soru bankasından toplam 00 soru çözmüştür. İlk gün 60 soru, kalan soruları da her gün 5 soru çözerek bitirmiştir. Buna göre Ece soruları toplam kaç günde çözmüştür?. (x ) = (x+5) A) 6 B) 5 C) 4 D) denklemini sağlayan x değeri kaçtır? A) 5 4 B) 4 C) 4 D) 5 4 7.. k +k =0 4 = 5 kg = Karpuz denklemini sağlayan k değeri kaçtır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 Yukarıdaki terazi denge durumunda olduğuna göre bir karpuzun kütlesi kaç kilogramdır? 4. +, olmak üzere İS A x, + A),5 (x+) (x 4) = (x+) + ( 4x+) = (x+) + (x 4) = (x+) (x+4) = 60 C),5 D) = Yukarıdaki modelin belirttiği denklem aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) B) 8. Bir sinema filmine giden 5 izleyiciden 0 u öğrencidir. Öğrenci bileti 8 TL dir. İzleyiciler toplam 665 TL ödediklerine göre öğrenci olmayan izleyicilerin bileti kaç TL dir? A) B) C) 4 D) 5