Limit. 1.1 Soldan ve Sağdan Yaklaşım. 1.2 Fonksiyonun Limiti

Bölüm Limit. Soldan ve Sağdan Yaklaşım değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşıma soldan yaklaşım denir ve a biçiminde gösterilir. değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşıma sağdan yaklaşım denir ve a a + biçiminde gösterilir..2 Fonksiyonun Limiti Limit kavramını Şekil. üzerinde açıklayalım: Soldan Limit Grafiği verilen y = f ) fonksiyonu için, apsisleri; = a nın solunda yer alan ve giderek a ya yaklaşan Aa, y ),Bb, y 2 ),Cc, y 3 ),Dd, y 4 ), noktalarını göz önüne alalım: Bu noktaların apsisleri olan a,b,c,d, giderek a ya yaklaşıyor. Bu sırada, f a) = y, f b) = y 2, f c) = y 3, f d) = y 4,... ordinatları da giderek K ye yaklaşır. Bu eylem, simgesel olarak, f ) = K.) a

2 BÖLÜM. LİMİT Şekil.: Yaklaşım biçiminde gösterilir. Bunun anlamı f ) fonksiyonunun = a daki soldan itinin b olduğudur. Sağdan Limit Yukarıdakine benzer şekilde, apsisleri = a nın sağında yer alan ve giderek a ya yaklaşan Ee, y 8 ),F f, y 7 ),Gg, y 6 ), Hh, y 5 ),... noktalarını göz önüne alalım. e, f, g,h, apsisleri sağdan a ya yaklaşırken, f e) = y 5, f f ) = y 6, f g ) = y 7, f h) = y 8,... ordinatları giderek M ye yaklaşır. Bu durum simgesel olarak, f ) = M.2) a + biçiminde gösterilir. Bunun anlamı f ) fonksiyonunun = a daki sağdan itinin M olduğudur.

.3. UÇ NOKTALARDA LİMİT 3 Limit Tanım.. f ) fonksiyonunun = a noktasında soldan ve sağdan itleri var ve birbirlerine eşit iseler, fonksiyonun = a da iti vardır ve = a noktasındaki iti M = K ortak değeridir. Bu durum simgesel olarak, f ) = L.3) a biçiminde gösterilir. Bunun anlamı şudur: = a daki sağ it ve sol it değerleri birbirlerine eşittir ve onların ortak değeri fonksiyonun = a noktasındaki itidir. f ) fonksiyonunun = a daki soldan iti sağdan itine eşit değilse fonksiyonun = a noktasında iti yoktur. Tabii, sol ve sağ itlerden birisi yoksa, eşitlik olamayacağı için, fonksiyonun o naktada iti zaten olamaz..3 Uç Noktalarda Limit Şekil.2: Uç Noktalarda Limit Genel olarak, fonksiyonun soldan.) ve sağdan.2) itleri var ve birbirlerine eşitseler, fonksiyonun = a noktasında iti vardır, denilir. Sol ve sağ itlerin ortak değeri fonksiyonun itidir. Varsa, fonksiyonun itini.2)rit) biçiminde göstereceğiz. Bazen incelenecek fonksiyon bütün mat hbbr yerine sınırlı bir aralıkta tanımlı olabilir. Böyle durumlarda fonksiyonun uç noktalarına ancak tek yönden yaklaşılabilir. O nedenle, uç noktalarda it ve sürekliliği ancak tek yönlü yaklaşımla tanımlayabiliriz.

4 BÖLÜM. LİMİT f fonksiyonu [a, b) aralığında tanımlı ve değerleri [c, d) aralığında olsun. Bu fonksiyon için a, f a)) noktası bir uç noktadır. değişkeni a noktasına ancak sağdan yaklaşabilir. Dolayısıyla, f fonksiyonunun = a noktasında sağdan iti varsa, bu it değerini f fonksiyonunun = a noktasındaki it değeri olarak kabul edeceğiz. Örneğimizde, = b noktasında fonksiyon tanımlı değildir, ama soldan iti olabilir. varsa soldan it, f nin iti olarak kabul edilir. Tabii, fonksiyon = b noktasında tanımlı olmadığından, bu noktada fonksiyon sürekli olamaz. Bazı hallerde, kaldırılabilir süreksizliği var olabilir. Özetle, uç noktalardaki it ve süreklilik araştırılırken, yalnızca fonksiyonun tanımlı olduğu aralığın var olan tarafından tek yönlü it alınır. Fonksiyonun bir noktada itinin olması için, o noktada tanımlı olması zorunlu değildir. Bu durumda, varsa soldan.) ve sağdan.2) itlerinin varlığından söz edilebilir. Sol ya da sağ itlerden birisi yoksa ya da var oldukları halde eşit değilseler, fonksiyonun = a noktasında iti yoktur..4 Karl Weierstrass ın Tanımı λ > 0 ve u gerçel sayılar olmak üzere u λ,u +λ) aralığına u nun λ komşuluğu u λ) u + λ) kümesine de u nun λ delik komşuluğu denilir. Burada delik komşuluk terimi, aralığın ortasındaki u noktasının kümeye ait olmadığı anlamına gelir. değişkeni a ya yaklaşırken f ) değerleri L ye yaklaşıyorsa, f fonksiyonunun = a noktasında iti vardır ve bu it L dir denir. Bu tanım fiziksel bir algı yaratır, ama matematiğin istediği kesinliği vermez. Çünkü "yaklaşım" eylemi iyi tanımlı değildir. Onu herkesin aynı şekilde anlayacağı kesinliğe eriştirmek gerekiyor. Karl Weierstrass iti şöyle tanımladı: Tanım.2. f fonksiyonunun = a noktasında itinin olması için gerekli ve yeterli koşul, ϵ > 0 sayısına karşılık, değişkeni a nın delik δ komşuluğunda iken f ) değeri L nin ϵ komşuluğunda olacak biçimde bir δ > 0 sayısının varlığıdır. Buna bazen itin ϵ,δ) ile ifadesi denilir. Bu tanımın koşullarını şöyle açıklayabiliriz: L nin her L ϵ, L+ϵ) komşuluğuna karşılık, a δ) a+δ) olduğunda f ) L ϵ,l + ϵ) olacak biçimde a nın bir a δ) a + δ) delik komşuluğu vardır: a < δ f ) L, a)

.4. KARL WEİERSTRASS IN TANIMI 5 Limit tanımını, çoğunlukla, söylediklerimizi özetleyen şu simgesel biçemiyle kullanırız: Tanım.3. f ) = L a ϵ > 0) δ > 0) 0 < a < δ) f ) L < ϵ ) Bu tanımda f fonksiyonunun = a noktasında tanımlı olup olmaması önemli değildir. f a) hiç tanımlı olmayabilir, f a) L ya da f a) = L olabilir. Örnekler:. 2. dır. λ = λa.4) a p) = a n n + a n n + + a + a 0.5) polinomonun iti her a noktasında vardır ve dır. p) = pa).6) a 3. p) ve q) iki polinom ise qa) 0 olduğunda p) a q) = pa) qa).7) dır. 4. f ) = 2 +

6 BÖLÜM. LİMİT fonksiyonunun ssonsuza giderken itini yaklaşık değerlerle göstere: f 00) =.9802 f 000) =.9980 f 0000) =.9998 Buradan görüldüğü gibi, + iken fonksiyon değerleri 2 ye sınırsız yaklaşıyor. Şekil.3: Limit var; fonksiyon değeri var 5., < f ) = 2, = + 2, > Şekil.3 den sezilebileceği gibi, f ) = = L f fonksiyonu = noktasında tanımlıdır ve f ) = 2 dir. Bu değer fonksiyonun L = it değerine eşit değildir.

.5. LİMİT KURALLARI 7.5 Limit Kuralları olsun. f ) = L c g ) = M c Teorem.. λ bir sabit sayı ise dır. λ = λ.8) c Teorem.2. ise f ) = L c g ) = M c f ) ± g ) c c Teorem.3. f ) ± g ) = L ± M.9) c ise f ) = L c g ) = M c f ).g ) = f ). g )) = L.M.0) c c c Teorem.4.

8 BÖLÜM. LİMİT ise f ) = L c g ) = M 0 c f ) c g ) c f ) c g ) = L M.) Teorem.5. f ) = L c ve λ bir sabit ise λf ) = λ f )) = λl.2) c c Teorem.6. n N ve f ) = L c ise ) 2n+ f ) = 2n+ f ) c c ve a nın bir komşuluğunda a 0 ise ) 2n f ) = 2n f ) c c Teorem.7.

.5. LİMİT KURALLARI 9 n N ve ve ise f ) = L c ) n [f c )]n f ) = L n c Teorem.8..3) λ R ve ve ise f ) = L c c [λf ) ] = λ c f )) = λ L.4) Özetlersek, it için şu eşitlikleri yazabiliriz: λ = λ c f ) ± g ) = L ± M c Teorem.9. f ).g ) = L.M c f ) c g ) = L M 0) M λf ) = λl c 0 sin) 0 cos) = = 0 sin) = 0 cos) = 0 Alıştırmalar..

0 BÖLÜM. LİMİT Polinom:..6) kuralı gereğince, her n N) için a λn = λa n 2. Gene.6) kuralına göre, 53 7 + 3) = Çarpanlara Ayırma. Bazen 0 0 belirsizliği oluştuğunda, mümkünse pay ve payda çarpanlara ayrılır. Varsa kısaltmalar yapılarak belirizlik yokedilebilir. 2. 3. 2 ) + ) + = 2 2 + 2 3 ) + 2) + 2 = 4 3 9 9 3 9 3 )3 + ) ) 9 3 + = 6 4. 3 3 3 3 3 3 3 ) 3 3 = 9

.5. LİMİT KURALLARI 5. ) 4 = = 0 6. 2 2 + 5 3 2 + 2 3) + 3)2 ) + 3) ) 2 = 3 2 = 3 2 7. 2 4 3 2 + 6 4 + 3 3) 4 [2 + 3 + ] 2 4 4 [6 + + 3 ] = 2 6 = 3 3 Rasyonelleştirme:. Bazen köklü ifadelerde pay ve payda uygun çarpanlarla çarpılarak belirsizlik yok edilebilir. h 0 4 + h 4 4 + h 4 4 + h + 4. h h 0 h 4 + h + 4 4 ) 2 ) 2 + h 4 h 0 4 ) h + h + 4 4 + h) 4 4 h 0 ) h + h + 4 h 4 h 0 ) h + h + 4 = 2 4 = 4 2. Yukarıdaki ifadeyi daha genel olarak düzenleyebiliriz:

2 BÖLÜM. LİMİT h 0 a + h a h h 0 h 0 a + h a a + h + a. h a + h + a a ) 2 ) 2 + h a a ) h + h + a a + h) a a h 0 ) h + h + a h a h 0 ) h + h + a = 2 a 3. 3 ) 3 3 3 3 = = 3 2 3 3 = 2 3 3) 3) + 3) ) 4. h 0 3 8 + h 2 = 3 = 8 + h değişken değiştirimi yapılırsa h 2 2 3 2 3 2 h 2 2) 2 + 2 + 4) h 2 = 4 + 4 + 4) = 2 2 + 2 + 4)

.6. RASYNEL FONKSİYONLARDA LİMİT 3 Sonsuzdaki Limit bağımsız değişkeni ya da + iken f ), f ) g ) ya da f ) ) g ), f )g fonksiyonlarının yaklaştığı değerdir. Bu türlerde, a, a,, λδ, 0 0,,, 0, 0, durumları oluşabilir. İlk üç durmda ifade belirli sayılır: Birinci durum da it 0, ikinci durumda, üçüncü durumda λ δ Sonraki durumlar belirsiz ifadeler diye adlandırılır. Bu tür ifadelerin itlerini bulmak için genel geçerliği olan yöntem yoktur. Her probem için uygun çözüm yolları aranır. Çoğunlukla kullanılan yöntemler şunlardır:. Rasyonel ifadelerde it: p) = a n n + a n n +... + a + a 0 q) = b m n + b m m +... + b + b 0 f ) = p) q) verilmiş ise, p) 0 q) = p0) q0) = a 0 b 0 ve p), n > m, q) = a n b m, n = m 0, n < m.6 Rasynel Fonksiyonlarda Limit. Örneğin, ± = ± = ± = 0

4 BÖLÜM. LİMİT Şekil.4: Sonsuzda Limit

.6. RASYNEL FONKSİYONLARDA LİMİT 5 2. 4 3 2 2 + ± 3 3 5 ± 4 3 2 2 + 3 3 3 5 3 4 3 22 + 3 3 3 ± 3 3 5 3 3 4 2 + 3 ± 3 5 3 = 4 0 + 0 3 0 = 4 3 3. + 2 + 3 +... + n n 2 nn+) 2 n 2 nn + ) 2n 2 + n 2 = 2 4. 3 2 ) 3 2 + ) + ) 5. + + ) + = + 0 =

6 BÖLÜM. LİMİT Sonsuzda Limitin Olmadığı Durum. 2 + ± 2 + 5 ± 2 2 + 2 2+5 2 2 + 2 2 2 ± 2 + 5 2 2 + 2 ± 2 5 2 = + 0 0 0 + 0 = 0 = Köklü İfadelerin Sonsuzdaki Limiti. ± 2 + + ± ± ± = + 0 0 0 + 0 = ± 2 + + 2 + 2 + + 2 + 2. 2 3 + 3 2) = 2 3 + 3.2 2 = 2

.6. RASYNEL FONKSİYONLARDA LİMİT 7 Şekil.5: Köklü İfadelerin Sonsuzdaki Limiti

8 BÖLÜM. LİMİT 3. 3 2 6 = 0 = ± 4. 2 4 2 2 2) + 2) + 2) = 4 2 2) 2 5. Aşağıdaki problemde 0 0 belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için sağdakidaki işlemeleri yapalım: 4 2 ) ) 2 + 2 4 2 4 ) + 2 ) 4 4 ) + 2 ) = 6. Aşağıdaki problemde belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için sağdakidaki işlemeleri yapalım: 2 + 3 2 + 2 3 = 2 + 0 0 = 2 tanımsızlığı vardır. Tanımsızlık yokedilemez, li- 7. Aşağıdaki problemde 5 0 mit 5 2 = 0 3 8. ) h 0 h + h Alıştırmalar.2.

.6. RASYNEL FONKSİYONLARDA LİMİT 9. 2 3 8 2 3. 2 2 2 + 7 4 4 2 5. 2 3 4 3 2 2 7. 0 + 9. e/ ) 0 + Grafiği Şekil.6 gibi olan f fonksiyonu 2. 2 3 + + 4. 2 3 + 5 2 25 6. 2 3 4 3 2 2 8. 0 0. 0 ). = 4 noktasında tanımlı değildir. 2. 4 f ) = 2 4 + f ) olduğundan it var ve değri 2 dir. 3. Fonksiyon değeri olmadığında = 4 noktasında fonksiyon süreksizdir. 4. = noktasında f ) = 2 ve + f ) = 4 olduğundan it sol ve sağ itler birbirlerinden farklıdır. Dolayısıyla it yoktur ve fonksiyon = noktasında süreksizdir. 5. = 6 noktasında fonksiyon tanımlıdır ve f 6) = 2 dir. Oysa bu noktada 6 f ) = 5 6 + f ) olduğundan, sağ ve sol itler var ve birbirlerine eşittir. Fonksiyonun iti 5 ortak değeridir. Ama bu noktada f 6) 5 olduğundan fonksiyon süreksizdir.. Grafiği Şekil.7 gibi olan f fonksiyonu, a) = noktasında sol ve sağ itleri var ve farklı olduğu için, fonksiyon sıçrayan bir süreksizliğe sahiptir. Sol it, sağ it 2 dir. b) = noktasında sğ ve sol itler eşittir ve ortak değerleri olan 2 fonksiyonun itidir. Bu noktada fonksiyon değeri f ) = 3 olarak tanımlanmıştır. Limit değeri fonksiyon değerinden farklı olduğu için fonksiyon = noktasında süreksizdir. c) = 2 noktasında sol it 3, sağ it in f t y olmaktadır. Bu noktada sağ it yok sayılır. Dolayısıyla fonksiyonun iti yoktur, fonksiyon süreksizdir.

20 BÖLÜM. LİMİT Şekil.6: Limit 2. Grafiği Şekil.8 gibi olan f fonksiyonu için, a) = 2 noktasında sol ve sağ itler var, birbirlerinden farklıdır, Fonksiyonun = 2 noktasında iti yoktur. b) f 2) = 2 tanımlıdır. c) Limit olmadığı için fonksiyon = 2 noktasında süreksizdir. 3. Grafiği Şekil.9 gibi olan f fonksiyonu için, a) = 2 noktasında fonksiyon tanımsızdır. b) = 2 noktasında sol ve sağ itler var ve birbirleine eşittir. Dolayısıyla it var. c) = 2 noktasında fonksiyon tanımsız olduğu için süreksizdir. 4. Grafiği Şekil.0 gibi olan f ) = fonksiyonu için, a) f 0) tanımlı değildir. [Analiz sonsuz değerleri incelemez.] b) 0 = ve 0 + = + olduğundan sol ve sağ itler yoktur. Dolayısıyla fonksiyonun iti yoktur.

.6. RASYNEL FONKSİYONLARDA LİMİT 2 Şekil.7: Limit Şekil.8: Limit

22 BÖLÜM. LİMİT Şekil.9: Limit c) Limiti olmadığı için fonksiyon süreksizdir. 5. Grafiği Şekil. gibi olan f ) fonksiyonu için, a) f a tanımsızdır. b) sol ve sağ itler var ve ortak değerleri A ya eşittir. c) Fonksiyon tanımsız olduğu için = a noktasında süreksizdir. 6. 7. Grafiği Şekil.3 gibi olan f ) fonksiyonu için, a) fonksiyonun = 3 noktasında sol iti l sağ iti l 2 dir. Bu değerler farklı olduğu için it yoktur. b) Limiti olmadığı için = 3 noktasında fonksiyon süreksizdir. 8. Grafiği Şekil.4 gibi olan f ) fonksiyonu için, a) fonksiyonun = a noktasında sol iti L sağ iti L dir. Bu değerler eşittir.

.6. RASYNEL FONKSİYONLARDA LİMİT 23 Şekil.0: Limit Şekil.: Limit

24 BÖLÜM. LİMİT Şekil.2: Limit Şekil.3: Limit

.6. RASYNEL FONKSİYONLARDA LİMİT 25 b) Limiti var ve için f a) = L noktasında fonksiyon süreklidir. Şekil.4: Limit 9. Grafiği Şekil.5 gibi olan f ) fonksiyonu için, a) fonksiyonun = a noktasında sol iti L sağ iti L dir. Bu değerler eşittir. b) Limiti var ama için f a) = m değerinden farklı olduğu için fonksiyon süreksizdir. Şekil.5: Limit

26 BÖLÜM. LİMİT 0. Grafiği Şekil.6 gibi olan f ) fonksiyonu için, a) fonksiyonun = a noktasında sol iti L sağ iti L dir. Bu değerler eşittir. b) Limiti var ama için f a) = L eşitliği olduğu için fonksiyon süreklidir. Şekil.6: Limit. Grafiği Şekil.7 gibi olan f ) fonksiyonu için, a) fonksiyonun = a noktasında sol iti sağ iti + dir.sol ve sağ itler yoktur b) Fonksiyon bu noktada süreksizdir..7 Belisiz Şekiller Aşağıdaki örneklerde 0 0,,, 0., 00,, 0 belirsiz şekilleri için it bulma yöntemleri açıklanmıştır. Bu tür problemlerin çözümü için izlenen genel yöntem, verilen fonksiyon üzerinde, fonksiyon değerini değiştirmeyen uygun işlemler yaparak belirsizliği yoketmektir.. Aşağıdaki problemde 0 0 belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için 3 = 8 + h değişken değiştirimini yapalım: h 0 iken 2 olduğunu düşü-

.7. BELİSİZ ŞEKİLLER 27 Şekil.7: Limit nünüz. 3 3 8 + h 2 3 2 h 2 3 8 2 2 3 8 2 2 2) 2 + 2 + 4 2 2 + 2 + 4 = 4 + 4 + 4) = 2 2. Aşağıdaki problemde 0 0 belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için paydanın eşleniği ile çarpalım:

28 BÖLÜM. LİMİT t t 4 + t + 4 t) t 0 4 + t 4 t t 0 4 + t 4 t) 4 + t + 4 t) t 4 + t + 4 t) 0 4 + t) 4 t) t 4 + t + 4 t) 0 2t = 4 2 = 2 3. Aşağıdaki problemde belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için pay ve paydayı en yüksek dereceli in parantezine alarak mümkün kısaltmaları yapıyoruz: 4 7 3 2 + 4 3 4 7 ) 2 3 + 4 3 ) 2 4 7 3 + 4 3 ) 2 = 4 = 0 4. Aşağıdaki problemde 0. belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için ifa-

.7. BELİSİZ ŞEKİLLER 29 deyi düzenleyip köklü ifadenin eşleniği ile çarpalım: ). 0 + + 0 + + ) + + ) 0 + + + ) + ) 0 + + + ) 0 + + + ) = + ) = 2 5. Aşağıdaki problemde belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için ifadeyi düzenleyip Teorem.7 yi uygulanabilir hale getire: ) ) 2 + 2 + [ + ) ] 2 = e 2 = e 2 6. Aşağıdaki problemde = belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için ifadeyi aşağıdaki gibi düzenleye:

30 BÖLÜM. LİMİT 2 + = 2 + ) 2 2 + 2 + 2 + 2, < 0) + 2 7. Aşağıdaki problemde belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için ifadeyi aşağıdaki gibi düzenleye: + 2 + + + + + = + 2 + ) 2 2 + 2 + 2 + 2 +, > 0) + 2 8. Aşağıdaki problemde belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için ifadeyi düzenleyip Teorem.7 yi uygulanabilir hale getire:

.7. BELİSİZ ŞEKİLLER 3 ) ) 2 + 2 + [ + ) ] 2 = e 2 = e 2 9. Aşağıdaki problemde belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için ifadeyi aşağıdaki şekilde düzenleye: L f ) 2 + 8 3 + 2) ) 2 + 8 3 + 2) 2 + 8 3 + + 2)) 2 + 8 3 + + 2) 2 + 8 3 2 4 4 2 + 8 3 + + 2) 4 7 2 + 8 3 + + 2) 4 + 7 = ) ) + 8 3 + + 2 2 = 4 2 = 2 0. Aşağıdaki problemde 0 0 belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için ifadeyi aşağıdaki şekilde düzenleye:

32 BÖLÜM. LİMİT L 2 e ln 2 = e = e = e = 0 ln 2 2 2 ) L hospital kuralı). Aşağıdaki problemde 0 belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için ifadeyi aşağıdaki şekilde düzenleye: L ) e ln = e ln = e = e 0 = L hospital kuralı) 2. 2 + 5 + 6 + 2) + 3) 2 + 2 2 + 2 + 3) 2 = 5.8 Trigonometrik Fonksiyonlar. Trigonometrik fonksiyon içeren ifadelerin itlerini alırken, bazen uygun değişken değiştirimi ya da trigonometrik fonksiyonların yerine denk ifadeleri koyma çözüme götürebilir.

.8. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR 33 sin = 0 olduğunu gösteriniz. Çözüm: açısı radyan cinsinden M A ise 0 < < π 2 iken sin < < tan olduğunu şekilden görebiliyoruz. Bu eşitsizliklerden şunları yazabiliriz: sin < < tan sin sin < sin < tan sin < sin < sin sin.cos = cos 2. Son eşits,zliklerde 0 iken cendere kuralını uygularsak, çıkar. 0 cos = 0 sin = sin = 0 sin5 = 5 0 olduğunu gösteriniz. Çözüm: 0 sin5 ) 5 sin5 0 5 = 5 0 = 5 sin5 5 ) ) = 5. 3. sina) = a 0 b b

34 BÖLÜM. LİMİT olduğunu gösteriniz. Çözüm: sina) 0 b 0 = a b a b ) 0 sina) a ) = a b. 4. tana) = 0 a olduğunu gösteriniz. Çözüm: tana) sina) 0 a 0 a = cosa) ) =. 5. tana) 0 tanb) = a b olduğunu gösteriniz. Çözüm: tana) 0 tanb) 0 = a b a b ). 0 ) tana) a tanb) b 6. t sint) 0 cost) = 2 olduğunu gösteriniz. Çözüm: İfadede 0 0 belirsizliği vardır. Paydanın eşleniği ile çarpılıp bölünürse,

.8. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR 35 t sint) t sin tcos t + ) = cost) cos t )cos t + ) t sin tcos t + ) = sin 2 t) = t cos t + ) sin t 7. Buradan it alınırsa, [ t sint) cost) t 0 sint) çıkar. = 2 )] [. cos a cosb) 0 2 = b2 a 2 2 olduğunu gösteriniz. cost) + ) 0 ] = ).2 Çözüm: İfadede 0 0 belirsizliği vardır. Fonksiyon = 0 komşuluğunda Taylor serisine açılırsa, 8. cos a cosb) 2 = 2 b2 a 2 ) + 24 2 a 4 b 4 ) + 720 4 b 6 a 6 ) +O 6) Buradan it alınırsa, çıkar. cos a cosb) 0 2 [ 0 2 b2 a 2 ) + 24 2 a 4 b 4 ) + 720 4 b 6 a 6 ) +O 6) ] = b2 a 2 2 e ) = 0

36 BÖLÜM. LİMİT olduğunu gösteriniz. Çözüm: İfadede 0 0 belirsizliği vardır. Fonksiyon = 0 komşuluğunda Taylor serisine açılırsa, e ) = + 2 + 2 6 + 3 24 + 4 20 + 5 720 + +O 6) Buradan it alınırsa, çıkar. e ) 0 2 2 [ + + 0 6 + 3 24 + 4 20 + 5 720 + +O 6) ] = 9. e a e b = a + b 0 olduğunu gösteriniz. Çözüm: İfadede 0 0 belirsizliği vardır. Fonksiyon = 0 komşuluğunda Taylor serisine açılırsa, e a e b = a + b) + 2 a2 b 2 ) + 6 2 a 3 + b 3 + 24 3 a 4 b 4 ) + 20 4 a 5 + b 5 ) + 720 5 a 6 b 6 ) +O 6) Buradan it alınırsa, çıkar. 0 e a e b = 0 [a + b) + 2 a2 b 2 ) + 6 ] 2 a 3 + b 3 [ + 0 24 3 a 4 b 4 ) + 20 4 a 5 + b 5 ) + 720 5 a 6 b 6 ) +O 6) ] = b a

.8. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR 37 0. 9 3 9 3) + 3) 9 9 + 9) 9 9 9 + 9) 9 9) +9) 9 9 9) +9) > 9 < 9 = ± 6 it yok, ama sol ve sağ itler var.. 6 2 + 5 2 2 + 3 2 6 + + 5 ) 2 2 2 + 3 ) = 6 2 = 3 çıkar. 2. 2 5 3 2 + 2 4 2 5 ) 2 3 + 2 4 2 ) = 2 = 0 çıkar. 3. çıkar. 3 + 5 2 2 2 2 + 4 3 + 5 2 3 ) 2 2 + 4 2 ) = 2 =

38 BÖLÜM. LİMİT 4. 2 + 4 2 ) 2 + 4 2 ) 2 2 + 4 2 + ) 6 3 2 + 4 2 + ) 6 3 ) + 4 2 ) 2 = 6 = 6 çıkar. 5. ). 0 + 0 ) +. + ) +. 0 + ). 0 + ) ). 0 0 + = + 2 çıkar. 6. çıkar. 2 + 2 3 0 0 ) + 3) ) = 4

.8. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR 39 7. 8. 9. çıkar. + 4 3 )ln + ) ln +4 + ) 3 ) 33 ) 2 3 + 4) + ) = 9 ) + 4 L 3 )ln + ) + 4 3 ) ln + u) = +4 + ve v) = 3 diye. u).v) = λ = + u))v) = e λ sonucunu kullanarak ) + 4 L 3 )ln + ) + 4 3 ) ln + çıkar. = 9 2 3 + 6 L 2 2 4 2 2 3 + 2 3 ) 2 + 2) 6) 2 + 2) 2 2 + 4) 2 + 2) 6) 2 2 2 + 4) 2 6) = 24 8 = 3

40 BÖLÜM. LİMİT 20. çıkar. çıkar. 2 6 2 2 6 2)2 + 6 2) 2 )2 + 6 2) 4 6 2)) ) + )2 + 6 2) = 6 8) = 3 4 2. Aşağıdaki it bulunurken L u) = 0 = u) u) = e 0 0 0 u) v) 0 u) 0 v) eşitlikleri kullanılmıştır. çıkar. L 0 e + ) e + 0 0 e = e 0 = e [ = e.e = e 2 0 + ) e ) ) e [ + ) e e + ) e e ] e ] 0 e 22. u = u) ile v = v) fonksiyonları sürekli türetilebilir ve u).v) = λ ise

.8. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR 4 + u))v) = e λ bağıntısı vardır. Kanıt: Limiti alınacak ifadenin doğal logaritmasını alırsak, ln f ) = v)ln + u)) ln + u) = v) iken yukarıdaki ifade 0 0 belirsiz biçimini alır. O halde l Hospital Kuralı uygulanabilir: ln f ) ln[ + u)]v) v).ln[ + u)] ln[ + u)] v) u ) [+u)] v ) v 2 ) 9 3 9 3) + 3) 9 9 + 9) 9 9 9 + 9) 9 9) +9) 9 9 9) +9) > 9 < 9 = ± 6 it yok, ama sol ve sağ itler var. 23..6 25 2 64 5 8.6 5 8)5 + 8 5 8.6 5 + 8) = 6

42 BÖLÜM. LİMİT 24. 2 2 + 0 2 + 2 3 0 3) = 3 0 25. 3 + 64 4 + 4 + 4) 2 4 + 6) 4 + 4 2 4 + 6) = 48 4 26. 3 2 2 4 + 8 + 4) 2 4) 2 4 8 2 + 6 2 2 4) 2 2 + 2 = 4 27. L 0 + ) 5 + 5) 2 + 5 + ) 5 + 5) = + 5 + 0 2 + 0 3 + 5 4 + 5 5 0 2 + 0 3 + 5 4 + 5 2 0 + 0 + 5 2 + 3 ) 0 2 + 3 ) 0 + 0 + 5 2 + 3 ) 0 + 3 ) 0 + 0 + 0 + 0) 0 + 0) = 0 28. 2 L 2 2 4 2)) 2 2) + 2) 2 + 2) = 4

.8. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR 43 29. sin 2 L 0 sin 0 sin 0 = ).0) = 0 ) sin ) 0 sin ) 30. sin 2 L 0 2 ) sin sin 0 ) ) sin sin 0 0 = ).) = 3. ) L π + t an 2 6 ) π 6 + sin2 cos 2 cos 2 ) π 6 cos 2 + sin 2 ) 2 3 = 2 = 3 4

44 BÖLÜM. LİMİT 32. L 2sec 2 ) π 4 ) 2 π cos 2 4 ) 2 2 π 4 2 ) 3/2 = /2 = 3 33. L cot + csc ) π 3 cos π sin + ) sin 3 ) cos + π sin 3 ) 3/2 = 2 3 = 3 34. )) L sin 0 ) sin 0 0 ) = 0 35. L n n = olduğunu gösretiniz. L n ) n ) n ) = n = 0 =

.8. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR 45 36. L n 0 sin = olduğunu gösretiniz. Çözüm: Trigoometrik oran ve uzunluklarla çözüm yapılabilir. Ama L Hospital kuralı en kolayıdır: sin L n 0 cos n 0 cos n 0 = 37. L n 0 cos = 0 olduğunu gösretiniz. Çözüm: Trigoometride yarım açı formülleri ile doğrudan çözüm yapılabilir. Ama L Hospital kuralı en kolayıdır: cos L n 0 sin n 0 sin n 0 = 0 38. L n 0 e = olduğunu gösretiniz. Çözüm: e seriye açılarak çözüm yapılabilir. Ama L Hospital kuralı en kolayıdır: e L n 0 e n 0 e n 0 = e 0 = 39. L ) n ln = olduğunu gösretiniz.

46 BÖLÜM. LİMİT Çözüm: Ama L Hospital kuralı en kolayıdır: ) L n ln ) n n = 40. Aşağıdaki iti hesaplayınız. 2 4 L n 2 2 2) + 2) n 2 2 + 2 n 2 = 4 4. Aşağıdaki iti hesaplayınız. 2 L n 4 4 2 n 4 2 )2 + ) n 4 [ 2 + )] = 4 42. Aşağıdaki iti hesaplayınız. Çözüm: L Hospital kuralı en kolayıdır: sin3 L n 0 ) cos3 3 n 0 n 0 3cos3) = 3

.8. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR 47 43. Aşağıdaki iti hesaplayınız. Çözüm: L Hospital kuralı en kolayıdır: cos L n 0 2 ) sin 3 n 0 2 cos ) 3 n 0 2 = 2 44. 0 e a e b ) = b a olduğunu gösterinz. Çözüm: L Hospital kuralı en kolayıdır: ) e a e b L 0 ) ae a b)e b 0 ae 0 b)e 0 ) 0 = b a 45. 0 a b ) = ln ab olduğunu gösterinz. Çözüm: L Hospital kuralı en kolayıdır: a b ) L 0 ) e ln a e lnb 0 ) ln ae ln a lnbe lnb 0 0 ln ae 0 lnbe 0 ) = ln a lnb = ln a b

48 BÖLÜM. LİMİT