T.C DİCLE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ STANDART OLMAYAN BÜYÜME KOŞULLU ELİPTİK TİPTEN FARK DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİ Sezgi OĞRAŞ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI Temmuz DİYARBAKIR
TEŞEKKÜR Yüksek Lisas öğreimim boyuca bilgi ve tecrübeleride fazlasıyla yararladığım daışma hocam Sayı Prof. Dr. Rabil MAŞİYEV e, bei yetiştire ve bu tezi oluşturulmasıda desteklerii esirgemeye babam Prof. Dr. Sezai OĞRAŞ a, Lisas ve yüksek lisas öğreimim süresice verdikleri emeklerde dolayı başta Yrd. Doç. Dr. Bilal ÇEKİÇ olmak üzere, Dicle Üiversitesi Fe Fakültesi Matematik Bölümüdeki çok değerli Hocalarıma baa verdikleri emeklerde dolayı sosuz teşekkürlerimi suarım. I
İÇİNDEKİLER Sayfa TEŞEKKÜR. İÇİNDEKİLER... ÖZET... ABSTRACT... KISALTMA VE SİMGELER. I II IV V VI. GİRİŞ..... Stadart Olmaya Büyüme Koşullu Deklemler... Fark Deklemleri. 6.3. Fark Deklemlerii Sııfladırılması 9. ÖN BİLGİLER. 3.. Metrik Uzaylar... 3.. Vektör Uzayları... 8.3. Normlu Vektör Uzayları..4. İç Çarım ve Hilbert Uzayları. 8.5. Normlu Uzaylarda Komaktlık 3.6. Oeratörler ve Gömmeler 34.7. Sürekli Foksiyolar Uzayı. 37.8. Diferasiyelleebilir Foksiyolar Uzayı. 38.9. Solu Boyutlu Normlu Uzaylar 4.. Lebesgue Ölçümü ve Lebesgue Uzayı.. 46.. Sobolev Uzayı... 49 3. STANDART VE STANDART OLMAYAN BÜYÜME KOŞULLU DENKLEMLERİN ÇÖZÜMLERİNDE KULLANILAN TEOREMLER VE YAKLAŞIMLAR 53 3.. Temel Taımlar 53 3.. Varyasyoel Yaklaşım 56 3.3. Varyasyoel Yaklaşımda Kullaıla Teoremler.. 57 4. DİSKRET ( k) -LAPLACIAN OPERATÖRÜNÜ İÇEREN BİR DIRICHLET PROBLEMİ İÇİN ZAYIF ÇÖZÜMLER. 63 II
5. KIRCHHOFF TİPLİ ANİZOTROPİK DİSKRET SINIR DEĞER PROBLEMLERİ İÇİN ZAYIF ÇÖZÜMLER. 75 6. TARTIŞMA VE SONUÇLAR.. 87 7. KAYNAKLAR... 89 ÖZGEÇMİŞ.... 93 III
ÖZET STANDART OLMAYAN BÜYÜME KOŞULLU ELİPTİK TİPTEN FARK DENKLEMLERİNİN ÇÖZÜMLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Sezgi OĞRAŞ DİCLE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI İlk bölümde üzeride çalışıla uzayı gelişimi ve literatür hakkıda bilgi verilmiştir. İkici bölümde çalışma boyuca ihtiyaç duyula temel kavram, taım ve teoremlerde söz edilmiş, Lebesgue ve Sobolev uzayları hakkıda bilgi verilmiştir. Üçücü bölümde varyasyoel yaklaşım ve varyasyoel yaklaşımla ilgili temel kavram, taım ve teoremlerde söz edilmiş, ayrıca varyasyoel yaklaşımı uyguladığı bazı roblem türleride söz edilmiştir. Dördücü bölümde Diskret k-lalacia oeratörüü içere elitik bir deklem iceleerek, sıfırda farklı e az üç çözümü olduğu Ricceri üç kritik okta teoremi ile gösterilmiştir. Beşici bölümde Kirchhoff tili diskret roblem varyasyoel yaklaşımla iceleerek, sıfırda farklı çözümler bazı koşullar yardımıyla elde edilmiştir. Aahtar Kelimeler : Stadart Olmaya Büyüme Koşulu, Fark Deklemleri, Lebesgue ve Sobolev Uzayları, Varyasyoel Yaklaşım, Ricceri Üç Kritik Nokta Teoremi, Moutai-Pass Teoremi, Palais-Smale Koşulu. IV
ABSTRACT THE SOLUTIONS OF DIFFERENCE EQUATIONS AT ELLIPTIC TYPE INVOLVING NONSTANDARD GROWTH CONDITION MASTER S THESIS Sezgi OGRAS UNIVERSITY OF DICLE INSTITUE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES DEPARTMANT OF MATHEMATICS I the first chater, the ecessary kowledge about develomet of the sace ad literature are give. I the secod chater, some basic defiitios ad theorems are give which are the ecessary for roerly uderstadig of the followig chaters. Moreover, the Lebesgue ad Sobolev sace are metioed. I the third chater, variatioal aroach ad the related basic cocets, defiitios ad theorems are give. Furthermore, alicatios of variatioal aroach to the some roblem tyes are give. I the fourth chater, by examiig a ellitic equatio ivolovig a discrete k-lalacia oerator, at least three o-zero solutios are show with Ricceri s three critical oits theorem. I the fifth chater, by examiig via variatioal aroach discrete roblem at Kirchhoff tye, Key Words : Nostadard Growth Coditio, Differece Equatios, Lebesgue ad Sobolev Saces, Variatioal Aroach, Ricceri s three critical oits theorem, Moutai-Pass Theorem, Palais-Smale Coditio. V
SİMGELER, -Boyutlu Euclid (Öklid) Uzayı A, A kümesii kaaışı A, A kümesii sıırı u, u u ormu X, X uzayıı duali C, bölgeside sürekli foksiyolar uzayı L, bölgeside. mertebede itegralleebilir foksiyolar uzayı (Lebesgue uzayı) m, W, Sobolev uzayı, gradiet oeratörü, -Lalace oeratörü uk, u foksiyouu farkı VI
Sezgi OĞRAŞ. GİRİŞ.. Stadart Olmaya Büyüme Koşullu Deklemler Bu kısımda değişke üstlü Lebesgue ve Sobolev uzaylarıı tarihsel gelişimide kısaca bahsedilecek, daha sora stadart olmaya büyüme koşullu diferasiyel deklemler, bu deklemleri gelişimi, fiziksel alamı ve uygulamaları hakkıda bilgi verilecektir. So olarak da stadart olmaya büyüme koşullu diferasiyel deklemlerle ilgili şimdiye kadar yaıla çalışma ve elde edile souçlara kısaca değiilecektir. Değişke üstlü Lebesgue ve Sobolev uzayları ilk kez Orlicz (93) tarafıda iceleerek çeşitli souçlar elde edilmiş, ayrıca değişke üstlü Lebesgue uzayı reel aralıkta icelemiştir. Daha sora yie Orlicz tarafıda, N açık bir bölge, u :,, ve bazı özel koşulları sağlaya bir foksiyo olmak üzere, u u x dx (.) şeklideki modüler forma sahi foksiyo uzayları ele alımış ve literatürde Orlicz uzayı adıyla aıla foksiyo uzayı taımlamıştır. Acak (.) ile verile ifadede foksiyou tam olarak x değişkeie bağlı değildir ve ux x durumu da içerilmemektedir. Dolaysıyla bu aşamada sora araştırmalar, modüler uzaylar olarak adladırıla ve modülleri özel foksiyolarla taımlamadığı daha soyut bir araştırma sahasıda yoğulaşmıştır. Modüler uzaylar sistematik olarak ilk kez Nakao (95,95) tarafıda icelemiştir. Daha sora, Poloyalı matematikçiler Hudzik (976) ve Musielak (983) tarafıda modüler uzayları çok daha belirgi bir hali ola modüler foksiyo uzayları ile ilgili çalışmalar yaılmıştır. Reel aralıkta değişke üstlü Lebesgue uzayları ile ilgili ilk kasamlı çalışmalar Rus araştırmacılar Tseov (96) ve Sharaudiov (979) tarafıda gerçekleştirilmiştir. Daha sora 8'li yıllarda Zhikov (987) tarafıda, stadart olmaya büyüme koşullarıa sahi varyasyoel itegraller üzeride yaıla çalışmalar sayeside değişke üstlü uzaylarla ilgili yei bir araştırma
. Giriş alaı doğmuştur. Buula birlikte bazı İtalya araştırmacılar (99) tarafıda; c ve içi,, t F x t c t (.) olmak üzere, mi F x, u dx (.3) şeklide verile eerji itegralii miimizasyo roblemleriyle ilgili çalışmalar yaılmıştır. olmak üzere, (.) eşitsizliğide F foksiyou; :, x x t F x, t c t ölçülebilir bir foksiyo olacak şekilde seçilirse, F foksiyou stadart olmaya büyüme koşulua veya kısaca x-büyüme koşulua sahitir deir. Stadart olmaya büyüme koşulua sahi foksiyoları içere deklemlere de Stadart olmaya büyüme koşullu deklemler deir. Eğer F foksiyou; q, :,, x q x ölçülebilir foksiyolar olmak üzere, x q x t F x, t c t olacak şekilde seçilirse, F foksiyou, özelliğideki x q x -büyüme koşulua sahitir deir. Bu ikici eşitsizlik ilkie göre daha esek bir koşuldur. Stadart olmaya büyüme koşullu deklemleri ortaya çıkmasıda, şeklide taımlaa ve bir yere sahitir. Burada verile x x t t t sg t, x u div u u (.4) x x -Lalacia deklemi olarak adladırıla deklem öemli, x u x olmak üzere, x -Lalacia oeratörü'dür ve şeklide; x u u u u u :... x i x i x x x x i
Sezgi OĞRAŞ veya u x i u alıarak, i x i biçimide taımlaır. yüzde x u x u u x x x i i i i Dikkat edilirse x içi x -Lalacia deklemi lieer değildir, bu x-lalacia oeratörüü içere deklemler, lieer olmaya diferasiyel deklem sııfıdadırlar. Buula birlikte x -Lalacia deklemi, lieer olmaya elitik deklemler içi bir model oluşturur ve (.4) biçimideki diferasiyel deklemler, x u dx (.5) şeklideki (varyasyoel) itegrallere karşılık gelir. Dikkat edilirse (.4) eşitliğide x sabit olarak seçilirse o zama, u div u u (.6) şeklide taımlaa ve -Lalacia deklemi olarak adladırıla deklem elde edilir ki bu durumda (.6), u dx itegralie karşılık gele diferasiyel deklem olur. Ve yie (3.4) eşitliğide x olarak seçilirse o zama, şeklide Lalacia deklemi elde edilir. u divu (.7) Belirtmekte yarar vardır ki (.4), (.6) ve (.7) deklemleri arasıda öemli bazı yaısal farklılıklar mevcuttur. Lalacia deklemi lieerdir, yai eğer u ve v foksiyoları (.7) deklemii bir çözümü ise o zama, ve sabit olmak üzere, u v de bir çözümdür. -Lalacia deklemi ise durumu içi lieer değildir; acak scalable dir, yai geel olarak u v, (.6) içi bir çözüm değilke u bir 3
. Giriş çözüm olabilmektedir. x-lalacia deklemi içi lieer olmama durumu - Lalacia deklemie göre çok daha güçlüdür, dolayısıyla (.6) içi bir çözüm ola u i (.4) içi bir çözüm olabilmesi içi öcelikle olması gerekmektedir. Buula birlikte -Lalacia oeratörü -homojedir, yai her sayısı içi u u dur; acak x sabit ike x -Lalacia oeratörü homoje değildir. Bu durum bazı öemli zorluklar doğurur, öreği Lagrage Çaralar teorisi x-lalacia oeratörüü içere deklemlere uygulaamaz. Stadart olmaya büyüme koşullu diferasiyel deklemleri uygulama alaları oldukça geiş olu, belli başlı uygulama alaları Electrorheological Akışkalar Teorisi (Electrorheological Fluids Theory), Lieer olmaya eseklik Teorisi (Noliear Elasticity Theory), Görütü İyileştirme (Image Processig) ve Gözeekli Ortamlarda Akış (Flow i Porous Media) dır. Bular içeriside e öemlisi electrorheological akışkalar (ER akışkalar) teorisidir. Bu akışkalar, harici bir elektromayetik alaı etkisiyle, mekaik özellikleri etkili/şiddetli bir şekilde değiştirebilme kabiliyetie göre kategorize edilirler. ER akışkalar teorisiyle ilgili ilk öemli çalışma Wislow (949) tarafıda yaılmıştır. ER akışkalar fiziğii matematiksel modelii oluşturulmasıı birkaç farklı yötemi mevcuttur. Bular içeriside so zamalarda Rajagoal&Ruzicka () tarafıda elde edile ve daha sora Ruzicka ı () daha da geliştirdiği matematiksel model öe çıkmaktadır. Bu model, elektromayetik alalar ile hareketli akışkalar arasıdaki hassas etkileşimi hesaba katmaktadır. Bua göre, ER akışkaları hareketie karşılık gele temel matematiksel model aşağıdaki gibidir; Burada u : u divs u u. u f t 3 3 akışkaı hızıı vere foksiyou,,, 3 (.8) gradiet oeratörüü, : 3 basıç foksiyouu, f : harici kuvvetleri temsil 3 3 ede foksiyou ve olu, bu tesör S W, 33 : loc foksiyou da ekstra stres tesörüü göstermekte x S u x x Du x Du x (.9) 4
Sezgi OĞRAŞ T olarak verilir. Burada Du u u, u foksiyouu gradietii simetrik kısmı ve bir ağırlık foksiyoudur. Dikkat edilirse (.9) da x alıırsa, (.8) deklemi boyutladırılmamış (o-dimesioalized) Navier-Stokes deklemie döüşür. Buula birlikte, (.8) deklemi bilie Lalace deklemleride daha karmaşık olmasıa rağme, e yüksek mertebede türeve sahi terim içi, seçildiğide elde edile, x div Du x Du x (.) ifadesi Lalace deklemie oldukça bezerdir. Gerçekte, dejeere durumda yai ike (.), x -Lalacia deklemie döüşür. So yıllarda stadart olmaya büyüme koşullu diferasiyel deklemlerle ilgili çok yoğu ve yaygı çalışmalar yaılmaktadır öyle ki sadece so yıl içeriside de fazla araştırmacı () tarafıda 3 de fazla çalışma yayımlamıştır. Bu alada şu aa kadar yayılaşmış ola bazı öemli çalışmalara aşağıda yer verilmiştir. Zag (8) tarafıda; x, C olmak üzere, N ( N ) sıırlı bir bölge, x içi x u,, x div u u f x u x ux, x şeklide stadart olmaya büyüme koşullu ve Dirichlet sıır koşullarıa sahi lieer olmaya elitik deklem ele alımış, varyasyoel bir yaklaşımla, deklemi sıfırda farklı çözümlerii varlığı gösterilmiştir. N Mashiyev ve ark. () tarafıda; düzgü sıırıa sahi bir bölge, x içi C, x N, M : ve f : bazı büyüme koşullarıı sağlaya sürekli foksiyolar olmak üzere, 5
. Giriş şeklide lokal olmaya x x M u dx div u u f x, u, x x u, x x -Lalacia Dirichlet deklemi ( x -Kirchhoff deklemi) iceleerek, varyasyoel yaklaşım ve Krasoselskii Geus teorisi yardımıyla bu deklemi çözümlerii varlığı ve çokluğu elde edilmiştir. Fa () tarafıda; A ve B, W, x üzeride taımlı iki foksiyoel, a t F x, t f x, s ds sıfır oktasıda sigülerliğe sahi olabile bir foksiyo ve olmak üzere, şeklideki lokal olmaya formu ve Au u Bu f xu,, x x u, x x-lalacia Dirichlet deklemii varyasyoel olmaya şeklideki x u a dx u b Fx, udx f x, u, x x x u, x x-kirchhoff deklemii varyasyoel formu icelemiştir... Fark Deklemleri Bu kısımda Fark deklemlerii tarihsel gelişimide, taımıda, diferasiyel deklemlerle ola ilişkiside ve sııfladırılmasıda bahsedilecek, sorasıda ise bazı çalışmalarda örekler suulacaktır. Fark deklemi, bir ve daha çok değişkeli bir foksiyou solu farklar ile bağımsız değişkeleri arasıdaki cebirsel bir bağıtıdır. Foksiyoel deklem olarak da isimledirile fark deklemleri, diferasiyel deklemlere bezerlik gösterirler. Fakat iceleme süreci yöüde, diferasiyel deklemlerde daha yeidir. Diferasiyel 6
Sezgi OĞRAŞ deklemler yılı aşa bir sürede icelediği halde, fark deklemleri yıllık bir iceleme sürecide sistematik hale gelmiştir. Diferasiyel deklemleri vazgeçilmez bilimsel öemide doğada koukluklar yoktur yalış varsayımıa yer veriliyordu. Bu eski hioteze göre, fiziksel olayları matematiksel modeli, sürekli değişim oraları arasıdak deklemler ile ifade ediliyordu. Bu edele diferasiyel deklemler, fizik bilimie özgü matematiksel ifadeler olarak kabul ediliyordu. Fakat. yüzyıl başlarıda radyasyodaki quata ile biyolojide görüle geetik olaylarıdaki gelişmeler, tüm doğa olaylarıı, süreklilik terimleri ile ifade edilemeyeceğii göstermiştir. Eski yualılara göre, doğa olaylarıda görüle süreklilik ve kesiklilik arasıdaki zıtlaşma, doğadaki sürekliliği bir aldatmacısıydı. Güümüzde diferasiyel deklemlerde görüle süreksizlik halleri, fark deklemleri kullaılarak ortada kaldırılmak istemiştir. Solu Fark işlemleri Newto ile yayılmaya başlamış, Poicaré ye kadar uzamıştır, Boole ile zirveye ulaşmıştır. Daha sora Lalace fark deklemi üzeride çalışmıştır. 85 yılıda öce doğrusal fark deklemleri ele alımamıştı. 885 yılıda Poicaré ile doğrusal fark deklemi teorisie girilmiş, Lagrage doğrusal diferasiyel deklemi sabit katsayılı olması durumuda çözümüü elde etmiş, Guichard 887 de ikici yadaki foksiyou oliom olması durumudaki çözümüü icelemiş, Gelgru asimtotik çözümler üzeride çalışmış, Birkhoff ve Carmichael bu çalışmaları geişletmişlerdir. Liouville ve Sturm ikici mertebede self-adjoit doğrusal diferasiyel oeratörüü üzeride çalışmalar yamış ve kedi isimleri ile aıla Sturm- Liouville fark deklemii çözümüü ifade etmişlerdir. Fark deklemleri solu sayıda bilimeye foksiyoları farklarıı, dolayısıyla y f( x) foksiyouu x, x,..., x m oktalarıdaki değerlerii farklarıı içerir. Öreği ekoomi ile ilgili araştırmalarda y foksiyouu belli diskret (ayrık) zamalardaki değerii hesalamak gerekmektedir. Bu yüzde zamaa göre sürekli değişim hızı dy dt yi öcede belirlemiş solu bir zama içeriside y t diskret hız ile hesalamasıa döüştürebiliriz. Eğer zama birimii e eşit alırsak, o zama değişim hızı, y y( t) y( t).mertebe fark deklemi ile gösterilir. 7
. Giriş Diferasiyel deklemleri sayısal çözümlerii elde etmek içi bir yötem olarak bu deklemler uygu fark deklemlerie döüştürülebilir. Buu içi t ike fark deklemlerii çözümüü diferasiyel deklemi çözümüe yaklaştığıı gözlemesi gerekmektedir. Zamadaki değişim yeterice küçük değilse, yt () değişkeii zamaa bağlı değişimlerii diferasiyel ile taımlamak doğru olmayacaktır. Buu yerie fark deklemleri olarak ifade ettiğimiz yötemi kullaacağız. y f( x) foksiyouu türevii şöyle taımlayabiliyoruz: f ( x x) f( x) y y lim lim x ( x x) x x x x i davraışı yerie, belirli bir miktarda değiştirildiğii kabul edelim ve y i değişimii bua göre yeide yazarsak, f ( xx) f( x) y( xx) y( x) y( x) eşitliğii elde ederiz. simgesie fark işlemcisi diyoruz. Yukarıda yazdığımız so ifade, x aralığıa karşılık oluşa y aralığıı belirlemektedir. Yai bir fark deklemi, bir değişkei art arda değerleri arasıdaki farkı açıkça belirlemesidir. Başka bir deyişle bir değişkedeki değişiklik içi bir deklemdir. İki eryot arasıda bir değişkedeki değişim veya fark, şeklidedir. y( k ) ı.mertebe farkıı y( k) y() t y( t) y() t, t,,,... ile gösterelim. k, T y( k) y( k) y( k) ayrık aralık olu, şeklide yazılır. Burada souçla.mertebe fark deklemii y( k) ile gösterirsek; y( k) ( y( k)) ( y( k) y( k)) y( k) y( k) y( k) y( k) y( k) y( k) yk ( ) yk ( ) yk ( ) elde ederiz. Bezer işlemlerle m. mertebede farkları, şeklide taımlarız. Burada m m y( k) ( ) i C i y( kmi) C i m i m m! biomiyel katsayılardır. i!( m i)! 8
Sezgi OĞRAŞ.3. Fark Deklemlerii Sııfladırılması Mertebe: Bir fark deklemii mertebesi, deklemde mevcut farkı e yüksek mertebesidir. Öreği; yt ( ) 3 yt ( ) şeklide.mertebede bir fark deklemi sadece bir değişkei ilk farkıı içerir. Halbuki, yt ( ) yt ( ) 3 yt ( ) veya eşdeğer olarak t yerie t alarak, yt () yt ( ) 3 yt ( ) şeklide yazılabile.mertebede bir fark deklemi ayrı iki eryotta değişkeleri içerir. Bağımlı-Bağımsız Fark Deklemleri: Eğer fark deklemi açık olarak zamaa bağlı değilse o zama bu fark deklemie Bağımsız Fark Deklemi adı verilir. Aksi halde bağımsız olmaya adıı alır. Öreği; y( t) y( t) 3t fark deklemi t değişkeie açıkça bağımlı olduğu içi bağımsız olmaya bir deklemdir. Diğer tarafta, yt ( ) yt ( ) 3 fark deklemi açıkça t değişkeie bağlı olmadığıda bağımsızdır (autoomous). Lieer-Lieer Olmaya Fark Deklemleri: Eğer bir fark deklemi y() t, yt ( ), yt ( ), deklemleride herhagi lieer olmaya terimleri içerirse, o zama bu fark deklemie lieer olmaya (oliear) adı verilir. Eğer y terimlerii tümü de başka kuvvete yükseltilemiyorsa bu fark deklemleri de lieer adıı alır. Öreği; yt yt ( ) ( ) 3 ifadesi.mertebede lieer olmaya bağımsız bir fark deklemidir. Yie, yt ( ) log yt ( ) 3 deklemi de.mertebede lieer olmaya bir fark deklemidir. Acak; 9
. Giriş yt yt t ( ) ( ) 3 lieer fakat bağımsız olmaya yt ( ) 5 yt ( ) yt ( ) 3.mertebede, lieer ve bağımsız yt ( ) 5 yt ( ) 3.mertebede, lieer olmaya ve bağımsız yt () fark deklemleridirler. Çözümler: Bir fark deklemii çözümü kavramı, şimdiye kadar tartışılmış diğer çözüm kavramlarıda farklıdır. Fark deklemide bir çözüm, fark deklemii sağlaya yie bir foksiyodur. Halbuki cebirsel deklemde bir çözüm, bir değişkedir. Bir fark deklemii geellikle çok çözümleri vardır. Öreği; yt ( ) yt ( ), t,, şeklideki birici mertebede lieer fark deklemii bir çözümü yt ( ) t foksiyoudur. Matematikte solu farkları yaygı bir kullaımı vardır. Solu farklar resi olarak foksiyou ve ou türevlerii süreklilik kavramıı bir diskret (ayrık) versiyou olu, adi ve kısmi diferasiyel deklemleri çözümleride de geiş bir kullaım alaıa sahitir. Diferasiyel deklemlerle fark deklemleri arasıda sıkı ilişkiler mevcuttur. Dolayısıyla burada izlee amaç, diferasiyel deklemleri çözümlerii uygu fark deklemlerii çözümlerie idirgeebilmesidir. Bilgisayar bilimide, makie mühedisliğide, kotrol sistemleride, biyolojik veya yaay siir ağlarıda, ekoomide ve diğer birçok farklı araştırma alalarıda öemli soruları matematiksel modellemeleri, doğrusal olmaya diferasiyel deklemleri haliyle dikkate alımasıı gerektirmektedir. Bu sebele, so yıllarda birçok bilim adamı, diskret roblemler üzeride çalışmak içi alt ve üst sıır çözüm metotlarıı geliştirmiştir. Bularda bazıları; Agarwal ve ark. (,4,5), Boao ve Cadito (9), Cabada ve ark. (9), Mihailescu ve ark. (9) olarak verilebilir. Başlıca çalışmalarda örekler sualım.
Sezgi OĞRAŞ P. Cadito ve N. Giovaelli (8) tarafıda; sabit olduğu durumda; T ozitif bir tamsayı, {,,T } içi [,T ] ayrık aralık, ozitif reel bir arametre, () s s s ( ) ve f :[, T] sürekli bir foksiyo olmak üzere, ut u k f k, u k, k, T u roblemi araştırılmıştır. Kritik okta teoremi kullaılarak bu roblem içi çözümü varlığı ve tekliği gösterilmiştir. M. Mihailescu ve ark. (9) tarafıda; ozitif bir sabit, :,T, ve, tamsayı olmak üzere, qs:,t, foksiyoları sıırlı ve T bir ozitif k qk u k u k u k uk, k, T ut u roblemi üzeride durmuşlardır. Kritik okta teoremii kullaarak bu roblem içi çözümü varlığıı göstermişlerdir. B. Koe ve S. Ouaro () tarafıda; T ozitif bir tamsayı, uk ( ) uk ( ) uk ( ) fark oeratörü ve reel sayısı içi k [, T] olacak şekilde k ( ) ak (, ) içi bir öceki çalışmaı (Mihailescu ve ark., 9) bir geelleştirmesi ola, ak, uk f( k), k, T ut u roblemiyle ilgileilmiştir. Kritik Nokta Teoremi kullaılarak bu roblem içi zayıf çözümü varlığı ve tekliği gösterilmiştir. İleriki bölümlerde iceleyeceğimiz Kirchhoff roblemi (lokal olmaya x - Lalacia Dirichlet roblemi) içi; ( ) sıırlı bir bölge, her x içi x, C, f x, u : bazı özel koşulları (büyüme koşulu,
. Giriş Carathéodory koşulu) sağlaya, lieer olmaya bir foksiyo ve foksiyo olmak üzere, M t sürekli bir x x M u dx div u u f x, u, x x (.) u, x deklemi model olarak göz öüde tutulabilir. (.) roblemi, Kirchhoff (883) tarafıda;, P, h, E, L sabitler olmak üzere, L u P E u u dx, t h L (.) x x biçimide ifade edile deklemi bir modelidir. Aslıda (.) deklemi D Alambert i dalga deklemii geelleştirilmiş halidir. Fiziksel olarak (.) ile verile Kirchhoff x u deklemideki diverjası lokal olmaya M dx katsayısı, kietik eerjii x ortalama değerie bağlı bir foksiyodur. Buula birlikte (.) deklemii durgu (statioary) hali, ab u dxu f x, u, x u, x olarak Lios (978) tarafıda verilmiştir. (.) şeklideki Kirchhoff deklemii ayrık özelliği,, L aralığı üzeride u x kietik eerjisii L E u P dx L ortalamasıa bağlı x h L E u dx L x şeklideki lokal olmaya bir katsayı içere bir deklem olmasıdır.
Sezgi OĞRAŞ. ÖN BİLGİLER Bu bölüm, bu tez kasamıda bilimesi gerekli ola bazı temel kavram, taım ve teoremlerle birlikte üzeride çalışıla Lebesgue ve Sobolev uzayları hakkıda bilgi içermektedir... Metrik Uzaylar Taım... X boş kümede farklı bir küme olmak üzere X üzeride taımlı reel değerli d : X X foksiyou, M x, y X içi dx, y M x, y X içi dx, y x y 3 M x, y X içi dx, y d y, x 4 M x, yz, X içi dx, yd x, z d z, y (üçge eşitsizliği) özelliklerii sağlıyor ise d foksiyoua X üzeride bir metrik veya uzaklık foksiyou deir. Bu durumda X, d ikilisie bir metrik uzay ve M M özelliklerie de metrik aksiyomları adı verilir. 4 Örek... X olmak üzere d :, d x, y x y, xy, şeklide taımlaa d döüşümü üzeride bir metriktir. Bu metriğe üzerideki adi metrik veya öklid metriği deir. Örek..3. X olmak üzere d :, d z, z z z, z, z şeklide taımlaa d döüşümü üzeride bir metriktir. Bu metriğe üzerideki adi metrik veya öklid metriği deir. 3
. Bölüm Örek..4. X boş kümede farklı bir küme olmak üzere x, y X içi, d x, y, x y, x y şeklide taımlaa d döüşümü X üzeride bir metriktir. Bu metriğe X üzerideki ayrık metrik adı verilir. Örek..5. veya,, tüm sıralı reel veya komleks -lileri kümesii göstermek üzere, x x x x,,,..., d : olmak üzere, şeklideki döüşüme ise -boyutlu öklid uzayı deir.,,..., d x y xk y k, k y y y y içi üzerideki adi metrik veya öklid metriği,, d ikilisie Örek..6. l, terimlerii. kuvvette tolamları solu ola dizi uzayı olmak üzere x x x x,,,...,,,..., y y y y l d l ve : l içi, dx, y xk y k k şeklide taımlı d döüşümü l, d şeklideki Hilbert uzayıı oluşturur. l de bir metriktir. Bu metrik, özel olarak içi Taım..7. X, d metrik uzay ve G X olmak üzere, a sayısı içi dc, x c X elemaıa G kümesii bir yığılma oktası deir. olacak şekilde bir x X elemaı varsa b Eğer bir c G oktası G i bir yığılma oktası değilse c elemaıa G i yalıtık oktası (isolated oit) deir. 4
Sezgi OĞRAŞ Taım..8. X, d ve, oktası ve l Y olsu. x X ve Yd metrik uzaylar, E X, c oktası E i bir yığılma içi d x c ike,, d f x l olacak şekilde bir sayısı var ise l Y oktasıa f : E Y foksiyouu limiti deir ve lim f x l şeklide gösterilir. Burada c oktasıı E kümesie ait olması x c gerekmez. Taım..9. x,, X d metrik uzayıda bir dizi ve x sayısı içi öyle ki oktasıa yakısıyor deir ve bu durum, şeklide gösterilir. x X olmak üzere, içi d x x oluyorsa, x veya lim x x x dizisi x Teorem... lim x x ise; a x limiti tektir. b x dizisi sıırlıdır. c x,, x dizisii her k d Ek olarak y y y X elemaı içi). X d metrik uzayıda bir dizi ve x x alt dizisii limiti de x dır. ise d x, y d x, y olur (y X olmak üzere, X dizisi ve Taım... foksiyouu alalım. Eğer, X, d ve, içi d x c, Yd metrik uzaylar ve c X olmak üzere, f : X Y ike, d f x f c olacak şekilde bir sayısı var ise f foksiyou c oktasıda süreklidir deir. Eğer f foksiyou X kümesideki her oktada sürekli ise f foksiyou X uzayıda süreklidir deir. 5
. Bölüm Taım... X, d metrik uzay olsu. x içi m N olmak üzere, varsa x dizisie bir Cauchy dizisi deir., X te bir dizi olmak üzere, d x x olacak şekilde bir N sayısı m Taım..3. X, d metrik uzay ve E X olsu. E deki her Cauchy dizisi E deki bir oktaya yakısıyor ise E kümesie tamdır deir. Taım..4. X, d metrik uzayıdaki her Cauchy dizisi X teki bir oktaya yakısıyor ise X, d metrik uzayıa tam metrik uzay deir. Teorem..5. X, d metrik uzay ve E X olsu. a Eğer E kümesi tam ise kaalıdır. b Eğer X kümesi tam ve E kümesi kaalı ise E kümesi tamdır. Taım..6. X, d metrik uzay ve E X olsu. Eğer E deki her dizi, limiti E de ola yakısak bir alt diziye sahi ise E kümesie komakt küme deir. Eğer X komakt ise X, d metrik uzayı komakt olur. Teorem..7. Bir metrik uzaydaki komakt bir küme ayı zamada tamdır. Taım..8. X, d metrik uzay x X ve r ozitif bir sayı olmak üzere;, :, B x r xx d x x r kümesie x merkezli r yarıçalı bir açık yuvar,, :, B x r xx d x x r kümesie x merkezli r yarıçalı bir kaalı yuvar, 6
Sezgi OĞRAŞ, :, B x r xx d x x r kümesie x merkezli r yarıçalı bir yuvar yüzeyi adı verilir. Eğer içi x Ba, r olacak şekilde bir, B ar açık yuvarı varsa x dizisi X metrik uzayıda sıırlıdır deir. Ayrıca E Ba, r olacak şekilde B ar, açık yuvarı varsa E X alt kümesie X metrik uzayıda sıırlıdır deir. Taım..9. X, d metrik uzay ve E X olmak üzere; eğer B x E olacak şekilde bir sayısı varsa x E elemaıa E i bir iç oktası adı verilir., Taım... X, d metrik uzay ve G X olmak üzere; eğer G kümesii her oktası G i bir iç oktası ise G ye ( X te) bir açık küme deir. Taım... X, d metrik uzay ve F X alt kümesi verilsi. Eğer F tüm yığılma oktalarıı kasıyor ise F ye ( X te) bir kaalı küme deir. Örek... Her X, d metrik uzayı içi X ve kümeleri hem açık hem de kaalı kümelerdir. Teorem..3. X, d metrik uzay ve F X olmak üzere, F kümesi X te kaalıdır F i tümleyei c F X F, X te bir açık kümedir. Taım..4. E X olmak üzere; a E kümesii tüm iç oktalarıı kümesie E i içi deir ve E şeklide gösterilir. b E kümesii oktalarıı ve tüm yığılma oktalarıı kasaya kümeye E i kaaışı deir ve E şeklide gösterilir. 7
. Bölüm Teorem..5. X, d metrik uzay ve E X olmak üzere, E kümesi X te bir açık küme ve E kümesi X te bir kaalı kümedir. Taım..6. E X olmak üzere, içi, B sr açık yuvarı E ve kümelerii e az birer oktalarıı kasıyor ise yai Bs, r B s, r c E ise s X oktalarıı kümesi E ile gösterilir. E c E ve oktasıa E i bir sıır oktası deir. E i tüm sıır Taım..7. X, d metrik uzay ve E X olsu. X E ise E kümesie X te yoğu küme deir. Örek..8. rasyoel sayılar kümesi de yoğudur; acak tamsayılar kümesi de yoğu değildir. Taım..9. Bir X, d metrik uzayıı sayılabilir yoğu bir alt kümesi varsa bu uzaya ayrılabilir metrik uzay adı verilir. Örek..3. x x, x,..., x, y y, y,..., y şeklide taımlı d : içi, d x y xk yk k,, metriğiyle, d ayrılabilir metrik uzaydır... Vektör Uzayları Taım... V boş olmaya bir küme ve bir cisim olmak üzere, : VV V, x, y x y, ax, : V V ax döüşümleri ile sırasıyla vektörel tolama ve skalerle çarma işlemlerii taımlayalım. 8
Sezgi OĞRAŞ x, yz, Vve ab, içi aşağıdaki özellikler sağlası. -) x y y x -) x yzx y z 3-) x x eşitliğii sağlaya bir tek V vardır. eşitliğii sağlaya bir tek x V vardır. 4-) x x 5-) x x 6-) ax yax ay 7-) abxax bx 8-) abx a bx Bu durumda V ye cismi üzeride bir vektör uzayı (lieer uzay), elemalarıa ise vektör veya okta deir. V alıırsa V ye bir reel vektör uzayı, V alıırsa V ye bir komleks vektör uzayı deir. Taım... V, cismi üzeride bir vektör uzayı ve W, V i boş olmaya bir alt kümesi olsu. Eğer W, V vektör uzayıdaki tolama ve skalerle çarma işlemlerie göre bir vektör uzayı oluşturuyorsa W ye V i bir (lieer) alt uzayı deir. Teorem..3. W V kümesii V i bir alt uzayı olabilmesi içi gerek ve yeter koşul y, y W ve a, a içi ay ay W olmasıdır. Taım..4. V, cismi üzeride bir vektör uzayı olsu. x, x,..., x V ve a, a,..., a olmak üzere, ax ax... ax tolamıa x, x,..., x i lieer kombiasyou deir. Taım..5. W V olmak üzere, M de alıa her solu sayıdaki vektörü lieer kombiasyolarıı kümesie M i gerei Sa deir ve SaM olarak gösterilir. SaM, V i bir alt uzayıdır ve bu alt uzaya M i ürettiği alt uzay deir. 9
. Bölüm Taım..6. V, cismi üzeride bir vektör uzayı ve a, a,..., a olmak üzere, M x, x,..., x V olsu. ax ax... ax eşitliği acak ve acak a a... a olması halide gerçekleşiyorsa x, x,..., x vektörlerie lieer bağımsız, aksi halde e az bir a i,,..., ise lieer bağımlıdır deir. i Taım..7. V, cismi üzeride bir vektör uzayı ve W V olmak üzere, a M lieer bağımsızdır. b V SaM ise M ye V i bir tabaı veya bazı deir. Eğer M x x x üzere,,,...,, V i bir tabaı ise x V vektörü a, a,..., a olmak şeklide tek bir gösterime sahitir. x ax ax... ax Eğer V vektör uzayıı solu tabaı varsa V ye solu boyutlu vektör uzayı, aksi halde sosuz boyutlu vektör uzayı deir. Solu boyutlu bir vektör uzayıı bir tabaıdaki vektörleri sayısıa V i boyutu deir ve BoyV şeklide gösterilir..3. Normlu Vektör Uzayları Taım.3.. Bir X vektör uzayıda taımlı skaler değerli foksiyoa foksiyoel deir. Bir f foksiyoeli her x, yx ve her, içi, koşulu altıda bir lieer döüşüm olur. f x y f x f y Taım.3.. X, cismi üzeride bir vektör uzayı olsu.. : X, x x döüşümü; x, y X ve içi, N x x
Sezgi OĞRAŞ N x x 3 N x y x y (üçge eşitsizliği) özelliklerii sağlıyor ise X üzeride bir orm olur ve X,. ikilisie ormlu vektör uzayı deir. N N özelliklerie ise orm aksiyomları deir. Bu uzay X 3 içi reel ormlu uzay, X içi komleks ormlu uzay olur. Örek.3.3. içi öklid vektör uzayıı düşüelim.,..., x x x içi. : döüşümü, x x j ormu ile birlikte bir ormlu vektör uzayı j oluşturur. Bu orma deki adi orm veya öklid ormu deir. Örek.3.4. l uzayı, x x, x,..., y y, y,... sıırlı, yakısak ve komleks terimli dizileri uzayı olmak üzere l l olmak üzere, şeklideki vektörel tolama ve x y x y, x y, x y,... cx 3 3 cx, cx, cx,... 3 şeklideki skalerle çarma işlemlerie göre bir vektör uzayı olu ayı zamada, x su x k ormu ile bir ormlu uzaydır.. : l döüşümüe, l daki suremum ormu veya adi orm deir. k Örek.3.5. ab, ve a foksiyolar kümesi olmak üzere; Ca, b uzayı, b içi Ca, b, ab, üzerideki sürekli ve reel değerli f gt f t gt ve cf t cf t şeklide taımlı sırasıyla vektörel tolama ve skalerle çarma işlemlerie göre bir vektör uzayı olu bu uzay ayı zamada, f su t a, b f t
. Bölüm ormu ile bir ormlu uzaydır. Örek.3.6. l uzayı, x k x k şeklide taımlı. : l l döüşümü ile bir ormlu uzaydır. Taım.3.7. Her X,. ormlu uzayıda; x, y X olmak üzere, d x, y x y şeklide bir metrik elde edilebilir. Bu metriğe. ormu tarafıda üretile metrik veya. ormuu idirgediği metrik deir. Örek.3.8. ormlu vektör uzayıda (örek.3.3 te taımlaa), şeklideki adi (öklid) metrik elde edilir. dx, y x y xk y k k Örek.3.9. l ormlu uzayıda (örek.3.4 te taımlaa), d x, y x y su x k y k k şeklideki metrik (adi suremum metriği) elde edilir. Lemma.3.. Normlu bir X vektör uzayı üzeride bir orm tarafıda üretile bir d metriği; x, yz, X ve içi, a dx z, y z dx, y (öteleme değişmezliği) b dx, y dx, y özelliklerii sağlar. (mutlak homojelik özelliği)
Sezgi OĞRAŞ Taım.3.. x,,. X ormlu uzayıda bir dizi ve x lim x x X olsu. Eğer, oluyor ise x dizisi x oktasıa yakısıyor deir ve x x veya lim x x şeklide gösterilir. Normlu uzaylarda taımlaa bu yakısamaya orma göre yakısama veya güçlü yakısama deir. Taım.3.. x,,. X ormlu uzayıda bir dizi olsu. içi m, > Nolduğuda x x olacak şekilde bir N ozitif tamsayısı varsa, yai m, ike x x m m oluyorsa, x dizisie bir Cauchy dizisi deir. Teorem.3.3. Aşağıdaki öermeler doğrudur. i) Normlu uzaydaki yakısak her dizi bir Cauchy dizisidir. ii) Normlu uzaydaki her Cauchy dizisi sıırlıdır. iii) Bir X,. X ormlu uzayda x bir Cauchy dizisi x X oktasıa yakısak bir k x alt dizisie sahi ise iv) Bir,. X x dizisi x e yakısaktır. X ormlu uzayıda x ve y iki Cauchy dizisi ise, x y de bir Cauchy dizisidir (Musayev ve Al ). dizisi Taım.3.4. Bir X,. ormlu uzayı içideki her Cauchy dizisi X içideki bir oktaya yakısıyor ise bu X,. ormlu uzayıa tam uzay veya Baach uzayı adı verilir. Örek.3.5. X (veya X ) vektör uzayı, x a i x i b x i x i 3
. Bölüm c x max xi : i,,..., ormlarıa göre birer Baach uzayıdır. Örek.3.6. uzayı, X (veya X ) olmak üzere üzeride taımlı X vektör f,, Cab t a b max f t ormua göre bir Baach uzaydır. Örek.3.7. l ormlu vektör uzayı (örek.3.4 te taımlaa), ormua göre bir Baach uzayıdır. x su i x i Taım.3.8. X ormlu uzayıda taımlı tüm lieer ve sürekli foksiyoelleri kümesie X ormlu uzayıı duali deir ve X ile gösterilir. Bu uzay, uv x u x v x ve cu x cu x ; u, vx, xx, c şeklide taımlaa oktasal tolam ve çarım altıda bir vektör uzayıdır. Bu uzayda bir u X elemaıı ormu, u X x u x su xx x şeklide taımlaır. X uzayı. X ormu ile bir Baach uzayı olur. Ayrıca, X vektör uzayıı duali de ormlu vektör uzayı olduğuda dolayı bu uzayı da dual uzayı taımlaabilir. X Taım.3.9. X ormlu uzayı üzeride taımlı farklı iki orm. ve üzere, x X içi. olmak c x x c x olacak şekilde c, c reel sayıları varsa o zama adı verilir.. ve. ormlarıa dek ormlar 4
Sezgi OĞRAŞ Solu boyutlu ormlu (veya vektör) uzaylarda taımlaa tüm ormlar dektir(.9 kısmıda isatlı olarak ele alıacak). Dolayısıyla solu boyutlu ormlu uzaylarda taımlaa tüm ormlar o uzay üzeride ayı toolojiyi taımlarlar; öreği X ormlu uzayı üzerideki bir x dizisi,. (. ) ormua göre yakısak, sıırlı veya Cauchy ise,. (. ) ormua göre de yakısak, sıırlı veya Cauchy dir. Taım.3.. X ve Y iki ormlu uzay olmak üzere, eğer her x X içi L x Y x özelliğii sağlaya, X uzayıı Y uzayı üzerie döüştüre bire-bir lieer bir L oeratörü varsa X ve Y ormlu uzaylarıa izometrik olarak izomorfizma; L oeratörüe de X ve Y ormlu uzayları arasıda izometrik izomorfizma deir. X Taım.3.. X ormlu uzay ve A X olmak üzere, eğer A X oluyorsa, A kümesi X uzayıda yoğudur deir. Buula birlikte A ve B, X ormlu uzayıı iki alt kümesi olmak üzere; eğer her bir x B ve her içi, x y X olacak şekilde bir y A elemaı varsa A kümesi B de yoğudur deir. Taım.3.. X ormlu uzayı sayılabilir yoğu bir alt kümeye sahi ise X uzayıa ayrılabilir uzay deir. Taım.3.3. X ormlu uzayıı duali olarak taımlaa X uzayıa X uzayıı ikici duali deir. X dual uzayı da bir Baach uzay olur. Sabit bir x X elemaı ve u X içi, olacak şekilde bir x g: X (veya ) u g ( ) ( ) x u u x X vektör g foksiyoeli olduğuu varsayalım. Her x X içi bir tek sıırlı lieer foksiyoel karşılık geleceğide, T : X X 5
. Bölüm x T( x) g ( u) şeklide bir döüşüm taımlaabilir. Bu döüşüme kaoik döüşüm deir. Eğer, bu döüşüm üzerie ise bu durumda X uzayıa yasımalı uzay adı verilir. X yasımalı bir uzay ise X X olur. x Teorem.3.4. Yasımalı bir X,. X Baach uzayıı her alt uzayı da yasımalıdır (Musayev ve Al ). f Taım.3.5. X içi,,. X X ormlu bir uzay ve x bu uzayda bir dizi olsu. Eğer, her lim f x f x olacak şekilde bir x X x x z x ile gösterilir. elemaı varsa dizisie x a zayıf yakısıyor deir ve Teorem.3.6. Normlu bir verilsi. Bu durumda, z i) x x ise x elemaı tektir;,. X z ii) x x ise x dizisi sıırlıdır; X z iii) x x ise X uzayıda bir x dizisii her alt dizisi x x dizisi ve x a zayıf yakısaktır; z iv) x x ise x x olur. Buu tersi geel olarak doğru değildir; X elemaı z v) BoyX ise x x x x olur. Yai, solu boyutlu uzaylarda zayıf ile güçlü yakısaklık taımları çakışır (Musayev ve Al ). Teorem.3.7. Yasımalı bir X,. X Baach uzayıda sıırlı bir dizi ayı zamada X de zayıf yakısak bir alt diziye sahitir (Wag ). 6
Sezgi OĞRAŞ Teorem.3.8.,. X X ayrılabilir yasımalı bir Baach uzay ve x, X uzayıda sıırlı bir dizi ise o zama bu dizi X uzayıda zayıf yakısak bir alt diziye sahitir (Wag ). Teorem.3.9. X,. X ormlu bir uzay olsu. X uzayıı yasımalı olması içi gerekli ve yeterli koşul X uzayıı yasımalı olmasıdır. Eğer X uzayı ayrılabilir ise, X uzayı da ayrılabilirdir. Bu durumda, X ayrılabilir ve yasımalı bir uzay ise X ayrılabilir ve yasımalı bir uzay olur (Adams 975). Taım.3.3. X,. X bir ormlu uzay olsu. x k X, k,,... içi terimleri; S x, S x x,, S x x... x öüe alalım. şeklide taımlaa S dizisii göz xk xx... xk... sosuz tolamıa X içide bir seri adı verilir. x k k terimie serii geel terimi, S dizisie de serii kısmi tolamlar dizisi adı verilir. Eğer S kısmi tolamlar dizisi bir s X elemaıa yakısıyor ise yai lim S s veya lim S s ise xk xx... xk... sosuz tolamıa k (serisie) yakısaktır deir ve bu lim S s x k şeklide gösterilir. k Pozitif terimli deir. xk serisi yakısak ise k xk serisie mutlak yakısak seri k Mutlak yakısak bir seri daima yakısaktır; acak bu öermei tersi her zama doğru değildir. Öerme.3.3. Eğer X,. X ormlu uzayı içideki her mutlak yakısak seri yakısak ise X,. X bir Baach uzayıdır. 7
. Bölüm Taım.3.3. içide, x,,. olacak şekilde bir tek X ormlu uzayıda bir dizi olsu. x X içi cismi m lim x a x a dizisi varsa x dizisie X uzayıı bir Schauder bazı(tabaı) deir. x tolamıa sahi ola m ax serisie x i x tabaıa göre açılımı deir ve m x ax şeklide yazılır. Teorem.3.33. Bir Schauder bazıa sahi ola Baach uzayı ayrılabilirdir. Taım.3.34. X,. bir ormlu uzay ve V, X i bir lieer alt uzayı ise V,. de bir ormlu uzay olur. Bu uzaya,. Eğer ek olarak V kaalı ise V,. kaalı alt uzay olur. X uzayıı ormlu alt uzayı deir. Teorem.3.35. Bir Baach uzayıı her kaalı alt uzayı yie bir Baach uzayıdır. Teorem.3.36. X,. bir Baach uzayı ve V, X i bir lieer alt uzayı ise V,. i bir Baach uzayı olması içi gerek ve yeter koşul V i kaalı olmasıdır..4. İç Çarım ve Hilbert Uzayları Taım.4.. X (veya X ) ve X, cismi üzeride bir vektör uzayı olmak üzere,.,. : X X döüşümü; İ x X içi xx, ve xx, x İ x, y X içi xy, yx, ( cc, i karmaşık eşleiğidir ) 8
Sezgi OĞRAŞ 3 İ x, y X ve içi x, y x, y 4 İ x, yz, X içi x yz, xz, yz, koşullarıı sağlıyorsa bu döüşüme X üzeride bir iç çarım ve X,.,. ikilisie de iç çarım uzayı deir. olması durumuda (ii) özelliği x, y y, x şeklide olur. Örek.4.. x x x x, y y y y,,..., şeklide taımlı iç çarıma göre,,..., (veya x, y xkyk x, y xk yk k k bir iç çarım uzayıdır. ) içi, Örek.4.3. ab, ve a b içi Ca, b, ab, üzerideki sürekli ve reel(komleks) değerli foksiyolar kümesi olmak üzere; Ca, b uzayı, f gt f t gt ve cf t cf t şeklide taımlı sırasıyla vektörel tolama ve skalerle çarma işlemlerie göre bir vektör uzayı olsu. f, g Ca, b olmak üzere, f, g b a f t g t dt şeklide taımlı iç çarıma göre Ca, b bir iç çarım uzayıdır. Öerme.4.4. (Cauchy-Schwarz Eşitsizliği) X,.,. bir iç çarım uzayı ise x, y X içi, eşitsizliği sağlaır. x, y x, x y, y 9
. Bölüm Taım.4.5. X,.,. bir iç çarım uzayı ise x X olmak üzere bir x vektörüü ormu, x xx, (.4.) şeklide taımlaır. Eğer bu taım göz öüde buludurulursa Cauchy-Schwarz eşitsizliği, x, y x, x y, y x, y x, x y, y şeklide de yazılabilir. x, y x y (.4.) Öerme.4.6. X,.,. bir iç çarım uzayı üzerideki (.4.) ormu x, y X içi, x y x y x y (Paralel kear kuralı) x, y x y x y i xiy i x iy (Kutusal özdeşlik kuralı) 4 eşitliklerii sağlar. Paralel kear özelliği, bir ormlu uzayı iç çarım uzayı olu (eşitlik sağlaırsa) olmadığıı (eşitlik sağlamazsa) gösterir. Taım.4.7. X,.,. bir iç çarım uzayı ise x, y X içi, d x, y x y x y, x y taımıyla bu iç çarım uzayı bir metrik uzaydır, yai her iç çarım uzayı ayı zamada bir ormlu uzaydır. Teorem.4.8. X,. ormlu uzayıı bir iç çarım uzayı olması içi gerek ve yeter koşul x, y X vektörleri içi Paralel kear kuralıı sağlamasıdır. Teorem.4.9. Bir X,.,. iç çarım uzayı (.4.) ormua göre tam ise, başka bir deyişle X,.,. içideki her Cauchy dizisi X içide yakısak ise bu iç çarım uzayıa Hilbert Uzayı deir. 3
Sezgi OĞRAŞ Örek.4...,. : ll, x y x y döüşümü l üzeride bir iç, k k k çarımdır. Bu iç çarıma göre l iç çarım uzayı bir Hilbert uzayıdır. Bir cismi üzeride taımlı her Hilbert uzayı üzeride bir Baach uzayıdır; acak bir Baach uzayıı Hilbert uzayı olması gerekmez. Öreği, l olduğu halde ayı metrik altıda Hilbert uzayı değildir. uzayı bir Baach uzayı.5. Normlu Uzaylarda Komaktlık Taım.5.. X ormlu bir uzayda açık kümeleri bir ailesi D j,. X olsu. Eğer bir E X alt kümesi içi E Dj oluyorsa ailesie E kümesii bir açık örtüsü deir. Eğer solu ve j E D j j ise j j j D ailesie E kümesii solu alt örtüsü adı verilir. E kümesii örte ailesii her kümesii çaı bir da büyük değilse örtüsüe E kümesii örtüsü deir (Musayev ve Al ). Taım.5.. X,. X ormlu uzayı ve E X olsu. Eğer E kümesii her açık örtüsüü solu bir alt örtüsü varsa E kümesie X de komakt bir küme adı verilir. Eğer E kümesii E kaaışı X de komakt bir küme ise E ye X de bir ökomakt küme deir. X komakt (ö-komakt) bir küme ise X,. X ormlu uzayıa komakt (ö-komakt) ormlu uzay adı verilir. Ö-komaktlık kavramı (komaktlık kavramıda farklı olarak), verile kümei hagi uzayda icelediğie bağlıdır. Öreği,, açık aralığıda yer ala tüm rasyoel sayılar kümesi de ö-komakt olmasıa rağme da ö-komakt değildir. Normlu uzaylarda komaktlık ile ö-komaktlık kavramları dektir. 3
. Bölüm Taım.5.3. X,. X Baach uzayı ve E X alt kümesi verilsi. E içideki her dizii E de bir limit oktası varsa E kümesie X de bir dizisel komakt küme deir. Teorem.5.4. (Heie-Borel teoremi) i bir E alt kümesii komakt olması içi gerekli ve yeterli koşul bu kümei kaalı ve sıırlı olmasıdır (Wag ). Yukarıdaki teoremde içide her komakt küme içide kaalı ve sıırlıdır soucuu çıkarabiliriz. Ayrıca, de bir kümei komakt olması içi gerekli ve yeterli koşul bu kümei kaalı ve sıırlı olmasıdır. Fakat sosuz boyutlu Baach uzaylarıda kaalılık ve sıırlılık koşulu komaktlık içi gerekli olmasıa rağme yeterli bir koşul değildir. Lemma.5.5. Bir X,. X ormlu uzay ve E X alt kümesi verilsi. Eğer E kümesi X de komakt ise bu küme X de dizisel komakt bir kümedir (Musayev ve Al ). Taım.5.6. X,. X ormlu bir uzayı, bir x X oktası ve ozitif r sayısı verilsi. Bu durumda; r : B x x X x x r kümesie x merkezli ve r yarıçalı açık yuvar, r : B x x X x x r kümesie x merkezli ve r yarıçalı kaalı yuvar ve x x X : x x r kümesie x merkezli ve r yarıçalı yuvar yüzeyi deir. r X X X 3
Sezgi OĞRAŞ Taım.5.7. Bir X,. X ormlu uzay ve E X alt kümesi verilsi. Eğer her sayısı içi E kümesii solu sayıda açık yuvarlarda oluşa -örtüsü varsa E kümesie X de tamame sıırlı bir küme adı verilir. Teorem.5.8. Bir X,. X Baach uzay ve E X alt kümesi verilsi. E i X de ö-komakt olması içi gerek ve yeter koşul E i X de tamame sıırlı olmasıdır (Musayev ve Al ). Yukarıdaki teoremde; kaalı bir kümei tamame sıırlı bir küme olması içi gerek ve yeter koşul, bu kümei komakt bir küme olmasıdır. Böylece solu boyutlu uzaylarda doğru ola kaalılık+sıırlılık=komaktlık özelliği yerie, kaalılık+tamame sıırlılık=komaktlık özelliğii doğruluğu elde edilir. Teorem.5.9. Bir X,. X ormlu uzayıı solu boyutlu olması içi gerek ve yeter koşul, bu uzayı kaalı x X : x yuvarıı komakt olmasıdır [(Wag ), (Adams 975)]. Teorem.5. X,. X Baach uzayı ve taım kümesi E X ola f : E foksiyoeli verilsi. f foksiyoelii E üzeride düzgü sürekli olması içi gerek ve yeterli koşul; içi x, y E içi, olmasıdır. X x y f x f y Teorem.5. u, X,. X Baach uzayıı komakt E alt kümeside sürekli reel bir foksiyoel olsu. Bu durumda, u foksiyoeli E üzeride sıırlıdır ve bu küme üzeride bir e küçük ve bir e büyük değere ulaşır (Musayev ve Al ). 33
. Bölüm Taım.5.. X,. X Baach uzayı ve E X alt kümesi verilsi. Eğer E içideki her sosuz x dizisii bir x E oktasıa zayıf yakısaya bir alt dizisi varsa E kümesie X,. X de zayıf komakt (veya dizisel zayıf komakt) küme adı verilir. Teorem.5.3. X,. X Baach uzayıı zayıf komakt her kümesi sıırlıdır (Wag )..6. Oeratörler ve Gömmeler Taım.6.. X ve Y ayı K cismi üzeride iki vektör uzayı ve D T, X i bir alt kümesi olsu. T : DT X Y döüşümü D T i her bir elemaıı Y i bir elemaıa karşılık getiriyorsa, T ye oeratörüü taım kümesi deir. D T de Y ye bir oeratör adı verilir ve yy : y Tx, x DT kümesie T oeratörüü değer (veya görütü) kümesi deir. D T ye T Taım.6.. X ve Y ayı K cismi üzeride iki lieer uzay ve T : DT X Y bir oeratör olsu. Eğer T oeratörü, her x, y D ve her, K içi, T x y T x T y koşuluu sağlıyorsa bu oeratöre lieer oeratör deir. T Taım.6.3. DT X ve T : X Y oeratör olmak üzere, her x DT içi Tx Y c x (.6.) X olacak şekilde bir c sabiti varsa T oeratörüe D T üzeride sıırlıdır deir. Eğer DT X ise T oeratörüe sıırlıdır deir. 34
Sezgi OĞRAŞ (.6.) eşitsizliğii sağlaya c sayılarıı ifimumua T : X Y sıırlı lieer oeratörüü ormu deir. Bua göre, olur. Ayrıca (.6.) eşitsizliği x içi T if c : xd içi Tx c x Tx x X Y T Y X c yazılabilir ki bu durum da c i e az sol taraftaki ifadei T D kümesi üzeride alıa suremumu kadar olabileceğii gösterir. O halde (.6.) eşitsizliğide mümkü ola e küçük c i söz kousu olduğu suremum değerie T oeratörüü ormu deir ve şeklide gösterilebilir. Tx T su x xdt x X Y X de Y ye taımlaa bütü sıırlı ve lieer oeratörleri oluşturduğu uzay LX, Y şeklide gösterilsi. Eğer Y bir Baach uzay ise, Baach uzaydır. L X Y uzayı da bir Taım.6.4. T : X Y ike, oeratör, x X dizisi ve x X elemaı verilsi. Eğer x x x x ike T x T x T x T x X Y oluyorsa T oeratörüe x oktasıda süreklidir deir. Lieer oeratörler içi sıırlılık ve süreklilik kavramları dektir. Lieer olmaya oeratörler içi bu ifade geçerli değildir (Willem 996). Taım.6.5. T : X Y oeratör, X de x ve x X elemaı verilsi. Eğer, i) ike Y de Tx T x güçlü süreklidir, z x olacak şekilde x sağlaıyorsa T oeratörüe X dizisi x oktasıda 35
. Bölüm ii) ike Y de T x z T x sağlaıyorsa T oeratörüe x oktasıda zayıf süreklidir deir. Norma göre güçlü yakısak ola bir T oeratörü, ayı zamada zayıf yakısak olduğuda dolayı, eğer T oeratörü güçlü sürekli ise ayı zamada süreklidir. Bu yüzde güçlü süreklilik kavramı, süreklilikte daha güçlü bir kavramdır. Teorem.6.6. X yasımalı bir Baach uzayı ve T : X Y güçlü sürekli oeratör ise T oeratörü komakttır (Willem 996). Taım.6.7. f : X taımlı bir foksiyoel ve x olacak şekilde x X dizisi verilsi. Eğer, eşitsizliği sağlaıyorsa, f foksiyoelie x X elemaı içi x x f x lim if f x (.6.) X oktasıda altta yarı-süreklidir deir. Eğer (.6.) eşitsizliği x z x dizisi içi sağlaıyorsa, f foksiyoelie x X oktasıda altta zayıf yarı-süreklidir deir. Taım.6.8. f : X taımlı bir foksiyoel ve x olacak şekilde x X dizisi verilsi. Eğer, eşitsizliği sağlaıyorsa, f foksiyoelie x X elemaı içi x x f x lim if f x (.6.3) X oktasıda üstte yarı-süreklidir deir. Eğer (.6.3) eşitsizliği x z x dizisi içi sağlaıyorsa, f foksiyoelie x x X oktasıda üstte zayıf yarı-süreklidir deir. Eğer f foksiyoeli x X oktasıda (zayıf) sürekli ise, o zama f foksiyoeli X oktasıda (zayıf) altta yarı-sürekli ve (zayıf) üstte yarı-sürekli olur. Taım.6.9. X ve Y iki Baach uzayı ve T : X Y lieer oeratörü verilsi. Eğer T oeratörü X uzayıı her sıırlı kümesii Y uzayıı bir ö komakt kümesie 36
Sezgi OĞRAŞ döüştürüyorsa, T ye komakt lieer oeratör adı verilir. T komakt lieer oeratör ise ayı zamada tamame sürekli lieer oeratör olur. Taım.6.. X ve Y iki ormlu uzay olsu. Eğer, i) X, Y i bir alt uzayı, ii) Her x X içi X te Y ye I x x ile taımlaa I birim oeratörü sürekli, koşulları sağlaıyorsa X uzayı Y uzayıa gömülür deir ve X birim oeratörü doğrusal olduğuda (ii) koşulu her x X içi, I x Y c x X Y ile gösterilir. I olacak şekilde bir c sabitii varlığıa dektir. Eğer, I birim oeratörü komakt ise X uzayı Y uzayıa komakt gömülür deir ve X 975). Y ile gösterilir (Adams.7. Sürekli Foksiyolar Uzayı Taım.7.., de açık bir bölge ve u : de taımlı bir foksiyo olarak verilsi. Eğer, herhagi sayısı ve xx, elemaları içi xx olduğuda u x u x olacak şekilde yalız a bağlı bir ozitif sayısı buluabiliyorsa u x foksiyoua x x oktasıda süreklidir deir. da taımlı bütü sürekli foksiyoları oluşturduğu kümeye de sürekli foksiyolar uzayı deir ve C ile gösterilir. Bu uzay : : ; foksiyou sürekli C f f olarak ta yazılabilir ve bu uzayda taımlaa orm, şeklidedir. Taım.7.. olmak üzere her x, x f su f x C x X ve Y iki metrik uzay ve f foksiyou f : X Y şeklide taımlı X içi, 37
. Bölüm f x f x M x x Y X olacak şekilde M (Lischitz sabiti) ve ozitif sayıları varsa, f foksiyou. mertebede Lischitz koşuluu sağlar veya Lischitz-süreklidir deir. Lischitz, koşuluu sağlaya foksiyoları oluşturduğu uzay ise C X, Y şeklide gösterilir..8. Diferasiyelleebilir Foksiyolar Uzayı Taım.8..,..., egatif olmaya j leri bileşelisi ise ya çoklu idis deir ve x, mertebeye sahi ola x... x j j olarak taımlaır, yai x = x... x olur. Bua göre içi j D j ise, o zama x... D D D ifadesi. mertebede bir diferasiyel oeratör belirtir. Bu ifade, j u Du x x x... şeklide de yazılabilir. Ayrıca bir u foksiyouu gradieti, u u u u,,..., x x x şeklide ve u foksiyouu gradietii ormu, şeklide taımlaır. u u i x i Taım.8.. G, G alt kümesii kaaışıdır. de bir bölge içi Gve G kümesi i komakt (kaalı ve sıırlı) bir alt kümesi ise G şeklide gösterilir. G de taımlı bir u foksiyouu desteği, su u xg: u x 38
Sezgi OĞRAŞ şeklide taımlaır. Eğer suu ise, u foksiyou da komakt desteğe sahitir deir (Adams, R. A. 975). Taım.8.3., bölgeside, de bir bölge ve m egatif olmaya herhagi bir tamsayı olsu. m mertebesie kadar bütü Du m foksiyolarıı oluşturduğu uzay C ve C vektör uzayıdır. C kısmi türevleri sürekli ola u olarak yazılabilir. C m C m C C ve C alt uzayları sırasıyla bölgeside komakt destekli ola ve C uzaylarıdaki bütü foksiyolarda oluşur. C uzayıı m elemalarıa test foksiyou deir. açık bir bölge olduğuda dolayı C foksiyoları bölgeside sıırlı olması gerekmeyebilir. daki Taım.8.4., bölgeside Du de bir bölge ve m egatif olmaya herhagi bir tamsayı olsu. kısmi türevlerii sıırlı olduğu m uc m m belirttiği uzaya C vektör uzayı adı verilir. C ormu ile bir Baach uzayıdır. B u C m B max su D u x m x B uzayı, foksiyolarıı m Taım.8.5. Eğer uc foksiyoları bölgeside sıırlı ve düzgü sürekli ise bölgesii kaaışı ola bölgeside de tek, sıırlı ve süreklidir. m içi bölgeside Du sıırlı ve düzgü sürekli olduğu m uc foksiyoları 39
. Bölüm m m belirttiği vektör uzayı C şeklide gösterilir. m kaalı bir alt uzayıdır. C uzayıda taımlaa orm, ya da u m C max su D u x m x u u D u x m max su C m C m x m şeklide yazılır. Bu orm altıda C m C uzayı, C uzayı bir Baach uzayıdır. B uzayıı Taım.8.6. X ve Y iki Baach uzayı ve x X olsu. Eğer, f : X Y şeklide taımlaa oeratör her h X içi, olacak şekilde bir T LX, Y lim f x h f x Th varsa, f e x X oktasıda ve h yöüde Gateaux diferasiyelleebilirdir deir. T oeratörüe ise f i x X oktasıdaki Gateaux türevi adı verilir ve f x T şeklide gösterilir. Eğer bu durum her x X içi doğru ise f oeratörü Gateaux diferasiyelleebilirdir deir (Schechter 7). Taım.8.7. X bir Baach uzay ve x X olsu. Eğer, f : X foksiyoeli X de Gateaux diferasiyelleebiliyorsa ve bu Gateaux diferasiyeli sürekli ise f foksiyoelii diferasiyeli zayıf süreklidir deir (Duc ve Vu 5)..9. Solu Boyutlu Normlu Uzaylar Çalışmak içi e basit vektör uzaylar solu boyutlu olalardır. Bu edele ormlu uzaylarla çalışmak içi doğal bir yer solu boyutlu ormlu uzaylardır. Aşağıdaki örek bize her solu boyutlu uzayı bir orma sahi olduğuu gösterir fakat bu orm seçile tabaa bağlıdır. Bu her solu boyutlu uzay üzeride birçok farklı ormu olabileceğii bize söyler. 4