PEANO UZAYLARI VE HAHN-MAZURKIEWICZ TEOREMİ ÜZERİNE

Transkript

1 SAÜ Fe Edebiyat Dergisi (-) Z.GÜNEY ve M.ÖZKOÇ PEANO UZAYLAR VE HAHN-MAZURKEWCZ TEOREMİ ÜZERİNE Zekeriya GÜNEY, Murad ÖZKOÇ Muğla Üiversitesi Eğitim Fakültesi Ortaöğretim Fe ve Matematik Alalar Eğitimi Bölümü 48 Kötekli-MUĞLA Muğla Üiversitesi Fe Fakültesi Matematik Bölümü 48 Kötekli-MUĞLA ÖZET Camille Jorda (838 9), 887 de sürekli düzlem eğrisi taımıı aşağıdaki gibi vermiştir: Eğer f, [,] kapalı birim aralığıda Euclid düzlemie sürekli bir foksiyo ise buu f[] görütüsüe bir sürekli eğri deir. 89 da Giuseppe Peao (858 93), daha sora David Hilbert (86 943) ve başkaları, Jorda ı taımıa uya fakat alışılmışı aksie bir düzlemsel bölge biçimide eğri örekleri verice, kou topolojicileri ilgisii çekmiş ve eğri kavramı, Hausdorff uzayları, kompaktlık, ikici sayılabilirlik, bağlatılılık, yerel bağlatılılık gibi topolojik kavramlarla ilişkiledirilerek geişletilmiştir. Çalışmamızda Peao uzayları adı verile bu geişletilmiş eğri kavramı, topolojik ayrıtıları ve örekleriyle ele alımıştır. Aahtar Kelimeler: Peao uzayı, kompakt Hausdorff ayrılabilir ikici sayılabilir bağlatılı yerel bağlatılı topolojik uzaylar. ON THE PEANO SPACES AND HAHN-MAZURKEWCZ THEOREM ABSTRACT For the cotiuous plae curves, i 887, Camille Jorda (838 9), gave followig defiitio: if f is a cotiuous fuctio of the closed uit iterval [,] ito the Euclidea plae, the its image f[] is called a cotiuous curve. 89 Giuseppe Peao (858 93) the David Hilbert (86 943) ad the others, whe gave examples of curve which is appropriate Jorda s defiitio but as opposite usual, tha the topic aroused iterest of topologists ad the cocept of curve has bee expaded with topological cocepts as Hausdorff spaces, compactess, the secod coutable, coected, locally coected. our 5

2 Z.GÜNEY ve M.ÖZKOÇ SAÜ Fe Edebiyat Dergisi (-) study, this expaded the cocept of curve has bee take up with topological details ad examples. Keywords: Peao space, compact Hausdorff separable secod coutable coected local coected topological spaces.. ÖN BİLGİLER.. Eğri Kavramıı Gelişimi Geometri, Adrey Petrovich Kiselyov (85 94) tarafıda Geometrik şekilleri özelliklerii iceleye bilim olarak taımlamıştır; Felix Klei (849 95) ı 87 de verdiği taım ise Geometri eş geometrik şekillerde ortak ola özellikleri iceler şeklidedir[]. Bu taımlarda geçe geometrik şekiller okta kümeleridir ve bular arasıda eğri diye iteledirileleri diğerleride ayırt etme problemii geometri bilim tarihide öemli bir yeri vardır. Berard Bolzao (78 848) geometride, kavramsal taım ve aksiyomları et olarak verilmesii öemii vurgulamış ve eğri, yüzey, solid kavramlarıı tam taımlarıı aramıştır. Bolzao, matematiği işe yararlılığıı daha çok bir zihi atremaı olmasıda geldiğii ve uygulamada çok teorik yöüü öemli olduğuu vurgulamış ve geometrii temel kavramlarıı fizik düyada değil akıl ve matıkta hareketle ele alıması gerektiğii savumuştur []. Georg Cator (845 98), bir kapalı karei tüm oktalarıı, bir kearıı oktalarıyla eşleebileceğii kaıtlamış ve böylece farklı boyutta okta kümelerii dek olamayacağıa dair, o zamaa kadar yaygı ola iacı kırmıştır [,3]. Buu üzerie Richard Dedekid (83 96), farklı boyutta okta kümeleri arasıdaki eşlemeleri sürekli olamayacağıı ileri sürmüş ve daha sora Cator u boyut değişmezliği adı altıda formüle ettiği bu presip kaıtlamaya çalışılmıştır. Bu çalışmalarla Cator Paradoksu u ortada kaldırılacağıa iaılırke, 89 da Giuseppe Peao (858 93), bir kare bölgei tüm oktalarıda oluşa bir space fillig eğri oluşturarak, matematikçileri bir eğri hakkıdaki sezgisel düşücelerii alt üst etmiştir [,4,5,7]. Soraları çeşitli space fillig eğriler oluşturulmuştur. Bularda bir üçge yüzeyii tüm oktalarıı içere bir örek tüm aalizi ile birlikte [4] te verilmiştir. 6

3 SAÜ Fe Edebiyat Dergisi (-) Z.GÜNEY ve M.ÖZKOÇ Bir kare yüzeyii kaplaya bir örek [5] te bulumaktadır. David Hilbert (86 943) tarafıda verile ve bir karei tüm oktalarıda oluşa başka bir Peao eğrisi, limiti olduğu eğri dizisii ilk üç terimi ile [6] da çizilerek açıklamıştır. Bu terimleri aalitik kurallarıı. bölümde hesaplamış buluuyoruz. William Osgood ( ) pozitif dış ölçümü ola bir basit kapalı eğri, Heri Lebesgue (875 94) ölçülebilir bir alaı ola ilgiç eğri örekleri vermişlerdir. Üstelik Peao eğrisii aksie Lebesgue eğrisii katlı oktaları da yoktur. Jorda ı bir kapalı eğri düzlemi, her ikisii de sıırı olduğu iki bölgeye ayırır öermesie rağme Luitze Egbertus Ja Brouwer (88 966), düzlemi üç bölgeye ayıra ve her birii sıırı olduğu bir kapalı eğri öreği üretmiştir. William Hery ve Grace Chisholm Youg ı Theory of Sets of Poits (96) adlı kitaplarıda ilgiç eğrileri bir kataloğu bulumaktadır. Adolf Hurwitz (859 99), ilk matematik kogreside, Nedir basit kapalı eğri? Nedir bir eğri? Geelde bir kapalı eğri ve sadece Cauchy teoremii ifadesideki kabul edilebilir bazı eğriler veya tamamı mı? diye sormuştur. Felix Hausdorff (868 94), topolojik uzaylar teorisi ve okta küme teorisii souçları birleştirilerek geel bir eğri kavramıı oluşturulmasıı öermiştir. Eğri kavramıı pür matematiksel şekilleişi topolojistler tarafıda gerçekleştirilmiştir. Bular arasıda James Waddell Alexader (888 97), Solomo Lefschetz (884 97), Zygmut Jaiszewski (888 9), Waclaw Sierpiski (88 969) ve Stefa Mazurkiewicz ( ) sayılabilir. So üç topolojist, öğrecileri Broislaw Kaster (893 99) ve Casimir Kuratowski (896 98) ile birlikte boyut eğri sorularıyla ilgili topolojik problemler üzeride öemli ilerlemeler kaydetmişlerdir. Pavel Urysoh (898 94), düzlemsel eğrii bir gerçek topolojik taımıı, düzlemde hiçbir yerde yoğu olmaya bir sürekli olarak vermişti. Has Hah ( ) ı formüle ettiği ve öemii vurguladığı eğrileri taımlama problemi, eğri olmaı e öemli özelliğii boyutlu olmak olduğuu ileri süre Karl Meger (9 985) gibi birçok topolojist tarafıda ele alımıştır []. Nipissig Üiversitesi matematikçileride Murat Tucalı, Hah- Mazurkiewicz teoremii geelleştirilişleri üzerie bir doktora tezi hazırladı ve bu tezde hareketle yazdığı bazı makaleler de Proceed of the America Mathematical Society da yayıladı (99). Murat Tucalı, [9] de H-M teoremii, Hah-Mazurkiewicz Teoremi, [,] aralığıı bir 7

4 Z.GÜNEY ve M.ÖZKOÇ SAÜ Fe Edebiyat Dergisi (-) Hausdorff uzayıa sürekli görütülerii, lokal bağlatılı metrik cotiua ları sııfı olarak karakterize eder şeklide taıtmıştır. Alexadrov, Cator kümesii Hausdorff sürekli görütülerii, kompakt metrik uzaylar sııfı olarak karakterize etmiştir. Nikiel (988) kompakt sıralı uzayları lokal bağlatılı sürekli görütüleri Bula ve Turzaski (986) ise kompakt sıralı uzayları sürekli görütüleri ile ilgili bazı souçlar elde etmişlerdir. Bu çalışmalar sıralı sürekli eğrileri ve kompakt sıralı uzayları sürekli görütüleri ola uzaylar sııfı ile ilgili öemli gelişmelerdir[9]. Tucalı ı çalışmaları bu koularla ilgili bir geel bakış içermektedir. Souç olarak geel bir topolojik eğri, belli özellikleri ola bir topolojik uzaydır ve Peao u bu aşamaya gelimesideki hatırı sayılır rolü edeiyle, bu alamdaki eğrilere Peao Uzayları deilmiştir [7]. Aşağıda bu topolojik gelişmeleri bir bölümü, içerdiği birçok temel topolojik kavramla birlikte matematiği biçimsel sembolik dili ile formüle edilmiştir... Kullaıla Terimler, Semboller, Kısaltmalar ( X, ) topolojik uzayı; kompakt:kom., sayılabilir kompakt:say. kom., yerel kompakt:yer. komp., Hausdorff ( T ) uzayı: H., ikici sayılabilir:. say., bağlatılı:bağ., bağlatısız:bağ.sız, yerel bağlatılı:yer. bağ., ayrılabilir:ayr., total bağlatısız uzay:tot. bağ.sız, regüler uzay:reg., tam regüler uzay:tam reg., Baach uzayı: B -uz., bileşeler ailesi: bil X, kapalılar ailesi: K, açık örtü: A, baz: B, metrik topolojik uzay: ( X, ) m. top. uz., ayrılabilir metrik uzay:ayr. m. uz., tam metrik uzay:tam m. uz., d metrikli metrik uzay: ( Xd, ) m. uz., ( X, ) metrik uzayıı açıklarıkapalıları: - K, sıırlı sürekli gerçel foksiyolar uzayı: C ( X, ) bir A d d kümesii türev kümesi: DA ( ), bir A kümesii çapı: da ( ), bir A kümesii kardialitesi: A, sıırlılık: d( A ), soluluk: A, sayılabilirlik: A, sayılabilir sosuzluk: A, sosuzluk: A sayılamaz sosuzluk: A, Cauchy dizisi:c-diz., oktasal, yakısaklık:ok. yak., düzgü yakısaklık:düz. yak., ormda yakısaklık:or. yak., Y alt uzayıa relatif topoloji:, Y d alışılmış topoloji: d 8

5 SAÜ Fe Edebiyat Dergisi (-), i alışılmış topolojisi:, Z.GÜNEY ve M.ÖZKOÇ homeomorfizm:home., birim kapalı aralık: [,], Jorda eğrisi:j-eğ., sürekli eğri:sür. eğ., space-fillig eğri:s-f eğ., M( A): A kümesii maksimali..3. Yararlaıla Kavramları Formel Taımları.3.. Kompaktlık : ( X, ) kom. : [( A )( A = X) ( A A)( A )( A X)].3.. Sayılabilir kompaktlık : ( X, ) say. kom. : [( A )( A )( A = X) ( A A)( A )( A = X)].3.3. İkici Sayılabilirlik : ( X, ).say.: ( B )( B )( B, içi baz).3.4. Yerel Kompaktlık : ( X, ) yer. komp. : ( x X )( A )( x A)( cl( A) komp.).3.5. Bağlatılılık : ( X, ) bağ. : [( A, B \ { })( A B ) X A B].3.6. Bağlatısızlık : ( X, ) bağ.sız : ( A, B \ { })( A B )( X A B).3.7. Yerel Bağlatılılık : ( X, ) yer. bağ. : [ x A ( B )( x B A)(( B, ) bağ.)].3.8. Total Bağlatılılık : ( X, ) tot. bağ.sız : [( x, y X ) ( x y) ( A ( x))( B ( y))( A B )( X A B)].3.9. Bir Topolojik Uzayı Bileşeleri : ( Y, ) alt uzayı ( X, ) topolojik uzayıı bir bileşei: Y Y M{ Z [( Z, ) bağ.]( Z X )} : bil X Z.3.. Ayrılabilirlik : ( X, ) ayr. : ( A X )( A )( cl( A) X ).3.. Tam Regülerlik : ( X, ) tam. reg.: [( X, ) T ] [( a A K ) ( f C( X, ))( f [ A] {})( f ( a) )]...[3].4. Yararlaıla Teoremler B.4.. (( X, d) tam m. uz.)( d( F ) )( ) ( X F F )( F ( F ) F K ) d.4.. [ f : ( X, d ) ( Y, d ) sür.][ f f düz.] f : ( X, d ) ( Y, d ), f ( x) lim f ( x) sür. 9

6 Z.GÜNEY ve M.ÖZKOÇ SAÜ Fe Edebiyat Dergisi (-).4.3. [ f C( X, ) { f f : ( X, d), sıırlı, sür.}] ( f sup f ( x) ) f f or. yak. : f f düz. yak [( X, ) kom.]( Y K ) ( Y, ) kom [( X, ) kom.][ f : ( X, ) ( Y, ) sür.] ( f[ X], ) kom. f [ X].4.6. ( A )( A K )( d( A) ) A kom ( A )( A kom.) ( A K )( d( A) ).4.8. (( X, d) m. uz.)( A X )( A kom.) ( A K )( d( A) ) (.4.9. A )( A K )( d( A) ) A kom..4.. [( X, ) H.]( x X )( Y X )( x Y)[( Y, ) kom.] Y ( A, B )( x A)( Y B)( A B ).4.. [( X, ) H.]( Y X )[( Y, ) kom.] Y K.4.. [( X, ) kom.][( Y, ) H.][ f : ( X, ) ( Y, ) bij. sür.] f, home [( X, ) kom.][( Y, ) H.][ f : ( X, ) ( Y, ) sür.] f, kap ( X, ).say. [( X, ) say. kom.][( X, ) kom.] ( X, ) kom. ( X, ) yer. kom [( X, ) bağ.][ f : ( X, ) ( Y, ) sür.] ( f[ X], ) bağ f [ X] ( X, ) B-uz. ( X, ) yer. bağ [ ( X, ) yer. bağ.][( X, ) bağ. değil][ ( Y, ) bağ.] [( Y, ) yer. bağ. değil].4.9. [( X, ) top. uz.]( Z bil X ) Z K.4.. [( X, ) yer. bağ.]( Y )( Z bily ) Z.4.. [( X, ) yer. bağ.]( Z bil X) Z.4.. [( X, ) top. uz.][( Y )( Z bily ) Z ] ( X, ) yer. bağ [( X, ). say.]( A )( A )( A A) ( A A)( A )( A A ).4.4. [( X, ). say.]( B )( B, içi baz) ( B B)( B içi baz)( B ),.4.5. ( X, d) ayr. m. uz. ( X, ). say. [3,7] Y Y d

7 SAÜ Fe Edebiyat Dergisi (-). DÜZLEMSEL SÜREKLİ EĞRİ Z.GÜNEY ve M.ÖZKOÇ Taım.. (Jorda 887) [,] kapalı birim aralığıda Euclid düzlemie sürekli bir f foksiyouu altıdaki f[] görütüsüe de bir sürekli eğri (sür. eğ.) deir [6]. f [ ], 'de sür. eğ.: f : sür. Taım.. (Space-fillig eğri): Bir düzlemsel bölgei her oktasıda geçe bir sürekli eğriye de bir space-fillig eğri (s-f eğ.) deir. f [ ], 'de s-f eğ.: ( a f [ ])( )( B( a, ) f [ ]) Örek.. Hilbert Space-Fillig Eğrisi: Geel terimi f : = [,] ve ilk üç terimii kuralı ( t,/ 4), t [,/8] (/ 4, t), t [/8,/ ] f :, f ( t) ( t,3/ 4), t [/,3/8] (3/ 4, t), t [3/8,5/8] ( t,/ 4), t [5/8,], f ( t) ( x ( t), y ( t))

8 Z.GÜNEY ve M.ÖZKOÇ SAÜ Fe Edebiyat Dergisi (-) ( t,/8), t [,3/3] (/8, t), t [3/3,5/3] ( t,3/8), t [5/3,7 /3] (3/8, t), t [7 /3,9/3] ( t,5/8), t [9/3,/3] (/8, t), t [/3,3/3] f :, f ( t) ( t,7 /8), t [3/3,9/3] 3 3 f :, f ( t) (7 /8, t), t [9/3,/3] ( t,5/8), t [/ 3,3/ 3] (5/8, t), t [3/3,5/3] ( t,3/8), t [5/3,7 /3] (7 /8, t), t [7 /3,9/3] ( t,/ 4), t [9/3,] ( t,/6), t [,/8] (7 /6, t), t [/8,3/8] ( t,3/6), t [3/8,5/8] (5/6, t), t [5/8,7 /8] ( t,/6), t [7 /8,/8] (/6, t), t [/8,3/8] ( t,3/6), t [3/8,5/8] (3/6, t), t [5/8,7 /8] ( t,5/6), t [7 /8,9/8] (/6, t), t [9/8,/8] ( t,7 /6), t [/8,5/8] (5/6, t), t [5/8,7 /8] ( t,5/6), t [7 /8,9/8] (7 /6, t), t [9/8,35/8] ( t,/6), t [35/8,37 /8] (5/6, t ), t [37 /8,39/8] ( t,9/6), t [39/8,43/8] (/6, t), t [43/8,45/8]

9 SAÜ Fe Edebiyat Dergisi (-) ( t,/6), t [45/8,47 /8] (3/6, t), t [47 /8,49/8] ( t,3/6), t [49/8,5/8] (/6, t), t [5/8,53/8] ( t,5/6), t [53/8,57 /8] (5/6, t), t [57 /8,59/8] ( t,3/6), t [59/8,6/8] (7 /6, t), t [6/8,63/8] ( t,5/6), t [63/8,65/8] (9/6, t), t [65/8,67 /8] ( t,3/6), t [67 /8,69/8] 3 3 f :, f ( t) (/6, t), t [69/8,7/8] ( t,5/6), t [7/8,75/8] (5/6, t), t [75/8,77 /8] ( t,3/6), t [ 77 /8,79/8] (3/6, t), t [79/8,8/8] ( t,/6), t [8/8,83/8] (5/6, t), t [83/8,85/8] ( t,9/6), t [85/8,89/8] (/6, t), t [89/8,9/8] ( t,/6), t [9/8,93/8] (9/6, t), t [93/8,99/8] ( t,5/6), t [99/8,/8] (/6, t), t [/8,3/8] ( t,7 /6), t [3/8,7 /8] (5/6, t), t [7 /8,9/8] ( t,5/6), t [9/8,/8] (3/6, t), t [/8,3/8] ( t,3/6), t [3/8,5/8] ( 5/6, t), t [5/8,7 /8] Z.GÜNEY ve M.ÖZKOÇ 3 3 ( t,/6), t [7 /8,/8] (/6, t), t [/8,3/8] f :, f ( t) ( t,3/6), t [3/8,5/8] (7 /6, t), t [5/8, 7 /8] ( t,/6), t [7 /8,] 3

10 Z.GÜNEY ve M.ÖZKOÇ ola, bir içi SAÜ Fe Edebiyat Dergisi (-) f sürekli foksiyolar dizisii ele alalım. {, 3, 4,...} f foksiyoları belirli bir kuralla bir öceki elde edildiği içi f dizisi bir f : = [,], f ( t) ( x( t), y( t )) f foksiyouda foksiyoua düzgü oktasal olarak yakısadığı gösterilebilir. Teorem.4. gereğice f süreklidir. O halde taım. gereğice f[] bir sürekli eğridir. Fakat görütü kümesi, ilk üç terimi, f [ ] { f ( t) t } {( x( t), y( t)) t } f[ ] {( x, y) / 4 x 3 / 4, y / 4} {( x, y) x / 4, / 4 y 3 / 4} {( x, y) / 4 x 3 / 4, y 3 / 4} {( x, y) x 3 / 4, / 4 y 3 / 4} f[ ] {( x, y) / 8 x 7 / 8, y / 8} {( x, y) x / 8, / 8 y 3 / 8} {( x, y) / 8 x 3 / 8, y 3 / 8} {( x, y) x 3 / 8, 3 / 8 y 5 / 8} {( x, y) / 8 x 3 / 8, y 5 / 8} {( x, y) x / 8, 5 / 8 y 7 / 8} {( x, y) / 8 x 7 / 8, y 7 / 8} {( x, y) x 7 / 8, 5 / 8 y 7 / 8} {( x, y) 5 / 8 x 7 / 8, y 5 / 8} {( x, y) x 5 / 8, 3 / 8 y 5 / 8} {( x, y) 5 / 8 x 7 / 8, y 3 / 8} {( x, y) x 7 / 8, / 8 y 3 / 8} 4

11 SAÜ Fe Edebiyat Dergisi (-) f3 [ ] {( x, y) 7 / 6 x 9 / 6, y /6} {( x, y) x 7 / 6, /6 y 3 / 6} {( x, y) 5 / 6 x 7 / 6, y 3 / 6} {( x, y) x 3 / 6, /6 y 3 / 6} {( x, y) /6 x 5 / 6, y /6} {( x, y) x /6, /6 y 3 / 6} {( x, y) /6 x 3 / 6, y 3 / 6} {( x, y) x 3 / 6, 3 / 6 y 5 / 6} {( x, y) /6 x 3 / 6, y 5 / 6} {( x, y) x /6, 5 / 6 y 7 / 6} {( x, y) /6 x 5 / 6, y 7 / 6} {( x, y) x 5 / 6, 5 / 6 y 7 / 6} {( x, y) 5 / 6 x 7 / 6, y 5 / 6} {( x, y) x 7 / 6, 5 / 6 y / 6} {( x, y) 5 / 6 x 7 / 6, y / 6} {( x, y) x 5 / 6, 9 / 6 y / 6} {( x, y) /6 x 5 / 6, y 9 / 6} {( x, y) x /6, 9 / 6 y / 6} {( x, y) /6 x 3 / 6, y / 6} {( x, y) x 3 / 6, /6 y 3 / 6} {( x, y) /6 x 3 / 6, y 3 / 6} {( x, y) x /6, 3 / 6 y 5 / 6} {( x, y) /6 x 5 / 6, y 5 / 6} {( x, y) x 5 / 6, 3 / 6 y 5 / 6} {( x, y) 5 / 6 x 7 / 6, y 3 / 6} {( x, y) x 7 / 6, 3 / 6 y 5 / 6} {( x, y) 7 / 6 x 9 / 6, y 5 / 6} {( x, y) x 9 / 6, 3 / 6 y 5 / 6} {( x, y) 9 / 6 x 5 / 6, y 3 / 6} {( x, y) x / 6, 3 / 6 y 5 / 6} {( x, y) / 6 x 5 / 6, y 5 / 6} {( x, y) x 5 / 6, 3 / 6 y 5 / 6} {( x, y) 3 / 6 x 5 / 6, y 3 / 6} {( x, y) x 3 / 6, / 6 y 3 / 6} {( x, y) 3 / 6 x 5 / 6, y / 6} Z.GÜNEY ve M.ÖZKOÇ 5

12 Z.GÜNEY ve M.ÖZKOÇ {( x, y) x 5 / 6, 9 / 6 y / 6} {( x, y) / 6 x 5 / 6, y 9 / 6} {( x, y) x / 6, 9 / 6 y / 6} {( x, y) 9 / 6 x / 6, y / 6} {( x, y) x 9 / 6, 5 / 6 y / 6} {( x, y) 9 / 6 x / 6, y 5 / 6} {( x, y) x / 6, 5 / 6 y 7 / 6} {( x, y) / 6 x 5 / 6, y 7 / 6} {( x, y) x 5 / 6, 5 / 6 y 7 / 6} {( x, y) 3 / 6 x 5 / 6, y 5 / 6} {( x, y) x 3 / 6, 3 / 6 y 5 / 6} {( x, y) 3 / 6 x 5 / 6, y 3 / 6} {( x, y) x 5 / 6, /6 y 3 / 6} {( x, y) / 6 x 5 / 6, y / 6} {( x, y) x / 6, / 6 y 3 / 6} {( x, y) 9 / 6 x / 6, y 3 / 6} {( x, y) x 9 / 6, /6 y 3 / 6} ola f[ ] görütü kümeler dizisii limiti, K {( x, y) x, y } SAÜ Fe Edebiyat Dergisi (-) kapalı birim karesidir. O halde taım. gereğice bu Jorda eğrisi bir space fillig eğridir. Bu eğri, Hilbert i space fillig eğrisi olarak biliir[6]. Geişletilmiş Heie-Borel teoremi gereğice her bir terimi kompakt ola f[ ] küme dizisii yakısaklığı, uzayıı kompakt alt kümeleride oluşa i alışılmış metriği olmak üzere) [7] de verile h : H ( ) H ( ), tam metrik H ( ) kümesii ( d, h( A, B) max{max(mi d( a, b)), max(mi d( a, b ))} a A Hausdorff Metrik li ( H( ), h ) metrik uzayıda alamlıdır. b B b B a A Peao da sora yukarıdaki gibi birçok örekleri işa edile space-fillig eğrileri keşfedilmeleriyle, eğrileri bir boyutlu olduğua dair sezgisel görüşler sarsılırke, eğriler içi yei topolojik taımlamalar getirilme gereği ortaya çıkmış ve eğrileri belirli şartları sağlaya bir topolojik uzay olarak ele alıma düşücesi gelişmiştir []. 6

13 SAÜ Fe Edebiyat Dergisi (-) 3. PEANO UZAYLAR Z.GÜNEY ve M.ÖZKOÇ Taım 3.. (Peao Uzayı ( PU - )) : ( X, ) bir T topolojik uzayı olmak üzere eğer da X e örte ve sürekli bir foksiyo varsa ( X, ) topolojik uzayıa bir Peao uzayı ya da bir sürekli eğri deir. ( X, ) P- U : [( X, ) T ][ f : ( X, ) sür., örte] Örek 3.. X { }, {, X } olmak üzere ( X, ) topolojik uzayı bir Peao uzayıdır. Çükü bu uzay T dir ve foksiyou sürekli ve örtedir. f : ( X, ), f ( x ) Teorem 3.. Her Peao uzayı kompakt ve bağlatılı bir topolojik uzaydır. ( X, ) P- U [( X, ) komp.][( X, ) bağ.] İspat: Teorem.4.4 ve teorem.4.6 ı soucu. Teorem 3.. Her Peao uzayı ikici sayılabilir bir topolojik uzaydır ( X, ) P- U ( X, ). say. İspat : A ( A )( cl( A) )( A ), ayr.,. say. ( B )( B )[ B, (, ) içi baz] B { A ( A B)( A )} B, (, ) içi sayılabilir açık baz... ( i) 7

14 Z.GÜNEY ve M.ÖZKOÇ ( X, ) P-U A B [( X, ) T ][ f : ( X, ) sür., örte], komp.(.4.6) f, kap. \ A K f[\ A] B {\ f [\ A] A B} ( B )( B )... ( ii) ( x X )[( X, ) T ] { x} K f [{ x}] f : ( X, ) sür. K.4.6 f [{ x}] komp. x B f [{ x}] f [ B] ( i) ( y f [{ x}])( C )( y C f [ B]) K B A B ( A )( f [{ x}] A f [ B]) \ f [ B] \ A \ f [{ x}] f [\ B] \ A f [\{ x}] f [ f [\ B]] f [\ A] f [ f [\{ x}]] \ B f [\ A] \{ x} x \ f [\ A] B O halde B, ( X, ) içi baz... ( iii) ( ii), ( iii) B, ( X, ) içi sayılabilir baz ( X, ).say. Teorem 3.3. Her Peao uzayı yerel bağlatılıdır. ( X, ) P- U ( X, ) yer. bağl. İspat : ( X, ) P- U [( X, ) T ][ f : ( X, ) sür., örte] SAÜ Fe Edebiyat Dergisi (-) f : ( X, ) sür., örte Y A bil f [ Y ] A bağ. f [ A], Y 'de bağ. Z bily f [ A] Z f [ A] Z ( A bil f [ Y ])( f [ Z ] A).4. K f [ Y ] bil f [ Y ] \ f [ Z ] f [\ Z ] f[ f [\ Z]] \ Z Z f : ( X, ) kap.(.4.3).4. [ Z] O halde [( Y )( Z bily ) Z ] ( X, ) yer. bağ. f K 8

15 SAÜ Fe Edebiyat Dergisi (-) Z.GÜNEY ve M.ÖZKOÇ Teorem 3.4. Bir Peao uzayı, kompakt, bağlatılı, ikici sayılabilir ve yerel bağlatılı bir T uzayıdır. ( X, ) P- U [( X, ) komp., bağ.,. say., yer.bağ., T ] İspat: Teorem 3., 3. ve 3.3 ü soucu. Teorem 3.5. (Hah-Mazurkiewicz Teoremi): Bir topolojik uzayı bir Peao uzayı olması içi gerek ve yeter şart, kompakt, bağlatılı, ikici sayılabilir ve yerel bağlatılı bir T uzay olmasıdır. İspat: ( ) : Teorem 3.4. ( ) :[8],[9],[6]. 4. SONUÇ ( X, ) P- U [( X, ) komp., bağ.,. say., yer.bağ., T ] Sezgiciler, her şeyde pratikliği tercih ederler ve eğri kousuda da sezgisel olarak herkes ayı besbelli kavramı alar, o halde işi uzatmaya gerek yoktur diye düşüürler. Biçimciler, sezgileri yaıltabileceğie dair birçok örek ortaya koymuşlardır ve buları eğri kavramı ile ilgili ola bazılarıı çalışmamızda kou ettik. Ayrıca, klasik eğri kavramıı, biçimci pür matematikçiler tarafıda belki alaşılması daha zor fakat dakik taımları yapılmış birçok topolojik kavramla ilişkiledirilerek asıl pür matematikselleştirildiğii açıkladık. Çalışmamızda, obje dil olarak, herhagi bir ulus dili yerie, matematiği evresel sembolik dilii kullaılmasıa öze gösterilmiştir. Eğri kavramı, Tucalı ve diğerlerii yaptığı gibi [9], başka bazı daha ileri topolojik kavramlarla da ilişkiledirilebilir ve daha da soyutlaştırılabilir. KAYNAKLAR [] Yaglom,.M. (çev:vehbi Kemal Güey), Geometrik Trasformasyolar, Türk Matematik Dereği Yayıları, Sayı:34, İstabul, 969. [] Crilly, T., The Emergece of Topological Dimesio Theory, History of Topology,.M. James, Amsterdam, 999. [3] Güey, Z., Metrik ve Topolojik Formüller, Muğla Üiversitesi Yayıları, Muğla, 3. 9

16 Z.GÜNEY ve M.ÖZKOÇ SAÜ Fe Edebiyat Dergisi (-) [4] Magoldt, H.V., Kopp, K., Yüksek Matematiğe Giriş, çev:berki Yurtsever, İstabul, 964. [5] Godeaux, L., (çev:ferruh Şemi), Çeşitli Geometriler, Türk Matematik Dereği Yayıları, Sayı:7, İstabul, 965. [6] Simmos, G.F., troductio to Topology ad Moder Aalysis, Tokyo, 963. [7] Savacı, F.A., Kaos ve Fraktal Geometri, Matık, Matematik ve Felsefe. Ulusal Sempozyumu Bildirileri, İstabul Kültür Üiversitesi Yayıları, 3, s [8] Wilder, R. L., The Origi ad Growth of Mathematical Cocepts, Bull. Amer. Math. Soc., 59, 953, pp [9] Tucalı, M., O Geeralizatios of the Hah- Mazurkiewicz Theorem, Caadia Mathematical Society Witer Meetig, Kigsto, ON, Caada,