ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ FERMI-WALKER TÜREVİ VE GEOMETRİK UYGULAMALARI. Fatma KARAKUŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ FERMI-WALKER TÜREVİ VE GEOMETRİK UYGULAMALARI Fatma KARAKUŞ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 202 Her Hakkı Saklıdır

ÖZET Doktora Tezi FERMI-WALKER TÜREV I VE GEOMETR IK UYGULAMALARI Fatma KARAKUŞ Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dal Dan şman: Prof.Dr. Yusuf YAYLI Bu tez beş bölümden oluşmaktad r. Birinci bölüm, giriş k sm na ayr lm şt r. Ikinci bölümde temel tan m ve kavramlar verilmiştir. Üçüncü bölümde Frenet çat s, Darboux çat s ve Bishop çat s na göre Fermi-Walker türevi incelenmiştir. Dördüncü bölümde Lie gruplar üzerinde Fermi-Walker türevi ifade edilmiştir. Beşinci bölümde hiperyüzeyler üzerinde Fermi türevi incelenmiş ve genellemeler yap lm şt r. 202, 62 sayfa Anahtar Kelimeler : Fermi-Walker türevi, Non-rotating çat, Lie grubu, Hiperyüzey, Bishop çat s, Fermi türevi i

ABSTRACT Ph.D. Thesis FERMI-WALKER DERIVATIVE AND GEOMETRIC APPLICATIONS Fatma KARAKUŞ Ankara University Graduate School of Natural And Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Yusuf YAYLI This thesis consists of ve chapters. The rst chapter is devoted to the introduction. The second chapter, de nitions which are needed in the further chapters are given. In the third chapter, the Fermi-Walker derivative is expressed according to Frenet frame, Darboux frame and Bishop frame. In the fourth chapter, the Fermi-Walker derivative is expressed on Lie groups. In the fth chapter, the Fermi derivative is examined on the hypersurfaces and generalized for n dimensional space. November 202, 62 pages Key Wor: Fermi-Walker derivative, Non-rotating frame, Lie group, Hypersurface, Bishop frame, Fermi derivative ii

TEŞEKKÜR Yüksek lisans ve doktora çal şmalar m n her aşamas nda benden yard m ve bilgilerini esirgemeyen, bugüne ulaşmamdaki en önemli destekçim, de¼gerli hocam Say n Prof. Dr. H.Hilmi HACISAL IHO ¼GLU na (Bilecik Şeyh Edebali Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi) en derin sayg lar mla teşekkürlerimi sunar m. Bana bu çal şmay vererek çal şmam boyunca sordu¼gum her soruyu sab rla cevaplayan hocam Say n Prof. Dr. Yusuf YAYLI ya (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi) teşekkürlerimi sunar m. Her daim yan mda olan, beni destekleyen, bugünlere gelmemdeki emeklerini hiçbir zaman ödeyemeyece¼gim can m aileme sonsuz teşekkürler. Iyi ki vars n z. Doktora çal şmam maddi olarak destekleyen TÜB ITAK a teşekkürlerimi sunar m. Fatma KARAKUŞ Ankara, Kas m 202 iii

IÇ INDEK ILER ÖZET... i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜR... iii S IMGELER D IZ IN I... v. G IR IŞ... 2. TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR... 2 2. n-boyutlu Öklid Uzay... 2 2.2 Öklid Uzay ve Fermi-Walker Türevi... 9 2.3 Lie Grubu ve Fermi-Walker Türevi... 2 2.4 Hiperyüzeyler ve Fermi Türevi... 4 3. FERMI-WALKER TÜREV I VE NON-ROTATING ÇATI... 6 3. Frenet Çat s ve Fermi-Walker Türevi... 6 3.2 Darboux Çat s ve Fermi-Walker Türevi... 22 3.3 Bishop Çat s ve Fermi-Walker Türevi... 30 4. L IE GRUPLARI ÜZER INDE FERMI-WALKER TÜREV I... 34 5. H IPERYÜZEYLER ÜZER INDE FERMI TÜREV I... 45 5. 4-Boyutlu Öklid Uzay ndaki Yüzeyler Üzerinde Fermi Türevi... 45 5.2 4-Boyutlu Öklid Uzay ndaki Hiperyüzeyler Üzerinde Fermi Türevi... 48 5.3 n-boyutlu Öklid Uzay nda Fermi Türevi... 54 KAYNAKLAR... 58 ÖZGEÇM IŞ... 6 iv

S IMGELER D IZ IN I E n (s) (s) G r er T s w n-boyutlu Öklid uzay E n uzay nda birim h zl e¼gri (s) e¼grisinin s-noktas ndaki e¼grili¼gi (s) e¼grisinin s-noktas ndaki burulmas Lie grubu Levi-Civita koneksiyonu Fermi-Walker türevi Fermi türevi Fermi-Walker anlam nda Darboux vektörü v

. G IR IŞ Bu çal şmada Fermi-Walker türevi ele al narak, bu türevin diferensiyel geometri aç s ndan uygulamalar n araşt rd k. Bunun için önce Öklid uzay nda, daha sonra da herhangi bir yüzey üzerinde bir e¼gri ele al p bu e¼gri boyunca Fermi-Walker türevini ve bu türeve göre, Fermi-Walker parelel olmay inceledik. Daha sonra, Fermi türevine göre bu e¼grinin Frenet çat s n n de¼gişimini elde ettik. Bu çat için Darboux vektörünün geometrik yorumunu vermeye çal ş p benzer işlemleri yüzey üzerindeki çat lar için tekrar ettik. Paralel vektör alanlar n n diferensiyel geometride önemli uygulamalar vard r.r; E n in koneksiyonu ve T; e¼grisinin te¼geti olmak üzere T;nin boyunca paralel olmas r T T = 0 demektir. Bu bize E n de geodezik olmay veriyor. Benzer şekilde ryüzeyinin koneksiyonu T; boyunca M de paralel ise r T T = 0 sa¼glan r. Bu bize M de yani yüzey üzerinde geodezik olmay verir. E n nin bütün do¼grular geodeziklerdir. Acaba E n de bütün e¼griler geodezik olur mu? Bunun cevab Fermi türevi ile elde edilen koneksiyonda sakl d r.gerçekten ; E n de bir e¼gri olmak üzere ve r e de Fermi türevi ise r e T T = 0 çözümü E n de bütün e¼griler için sa¼glan yor. Yani bir cins e¼griler ile do¼grular ayn anlamda oluyor. Fermi- Walker türevi ve geometrik uygulamalar n n verdi¼gimiz bu tez, diferensiyel geometride bildi¼gimiz birçok kavram n yeniden bu türeve göre tan mlanmas ile geometriye sa¼glayaca¼g yararlar bak m ndan önemlidir. Fermi-Walker paralel vektör alanlar n n hareketlerde önemli bir uygulamas vard r. Örne¼gin Bishop çat s Fermi-Walker paralel çat d r. Hareketlerin modellenmesinde Frenet çat s yerine Fermi- Walker paralel çat kullan l r. Son zamanlarda bu türevin ziksel uygulamalar da çok çal ş lan konulardand r. Bu bak mdan bu tez zikte ve matematikte uygulamalar oldu¼gundan bu konuda çal şanlar için önemli bir kaynak olacakt r.

2. TEMEL TANIM VE KAVRAMLAR Bu bölümde di¼ger bölümlerde kullan lacak olan temel tan mlar ve kavramlar aç klanm şt r. Di¼ger bölümlerde kullan lan kavramlarla ilgili baz teorem ve önermeler verilmiştir. 2. n-boyutlu Öklid Uzay Tan m 2... A boş olmayan bir cümle ve bir K cismi üzerindeki vektör uzay V olsun. Aşa¼g da verilen önermeleri do¼grulayan bir f : A A! V fonksiyonu varsa, A ya V ile birleşen A n Uzay denir. (i) 8P; Q; R 2 A için f (P; Q) + f (Q; R) = f (P; R) (ii) 8P 2 A ve 2 V için f (P; Q) = olacak şekilde bir tek Q 2 A noktas vard r (Hac saliho¼glu 2000). Tan m 2..2. Bir reel a n uzay A ve A ile birleşen bir vektör uzay da V olsun. V vektör uzay nda, x = (x ; x 2 ; :::; x n ) ve y = (y ; y 2 ; :::; y n ) olmak üzere, h; i : V V! IR n (x; y)! hx; yi = x i y i şeklinde bir iç çarp m tan mlan rsa, A a n uzay na Öklid Uzay denir ve E n ile gösterilir (Hac saliho¼glu 2000). Tan m 2..3. n-boyutlu Öklid uzay E n ve I; IR nin irtibatl aç k alt cümlesi olmak üzere, : I R! E n i= 2

dönüşümü diferensiyellenebilir ise (I) cümlesine E n de bir e¼gri ve t 2 I de¼gişkenine de e¼grinin parametresi denir (Hac saliho¼glu 2000). Tan m 2..4. M e¼grisi (I; ) koordinat komşulu¼gu ile verilmiş olsun. E¼ger 8s 2 I için 0 (s) = ise M e¼grisi (I; ) koordinat komşulu¼guna göre birim h zl e¼gri, denir. Bu durumda e¼grinin s 2 I parametresine yay parametresi denir (Hac saliho¼glu 2000). Tan m 2..5. M e¼grisi (I; ) koordinat komşulu¼gu ile verilmiş olsun. Bu durumda = 0 ; 00 ; :::; (r) sistemi lineer ba¼g ms z ve 8 (k) ; k > r için (k) 2 Sp f g olmak üzere den elde edilen fv ; :::; V r g ortonormal sistemine, M e¼grisinin Frenet r- ayakl alan ve m 2 M için fv (m) ; :::; V r (m)g ye ise m 2 M noktas ndaki Frenet r-ayakl s denir. Her bir V i ; i r ye Frenet vektörü denir (Hac saliho¼glu 2000). Tan m 2..6. : I IR! E 3 e¼grisi, t 2 I için e¼grinin te¼get vektör alan e¼grinin asli normal vektör alan T (t) = k 0 (t)k 0 (t) N(t) = 00 (t) k 00 (t)k ve e¼grinin binormal vektör alan B(t) = 0 (t) ^ 00 (t) k 0 (t) ^ 00 (t)k olmak üzere bu vektörlerden oluşan ft; N; Bg sistemine Frenet 3-ayakl s denir. ft; N; Bg Frenet 3-ayakl s ortonormal bir çat d r (Hac saliho¼glu 2000). Tan m 2..7. M e¼grisi (I; ) koordinat komşulu¼gu ile verilmiş olsun. s 2 I ya karş l k gelen (s) noktas ndaki Frenet r-ayakl s fv (s) ; :::; V r (s)g olsun. Buna 3

göre k i : I! IR; i r D E s! k i (s) = V 0 i (s) ; V i+ (s) şeklinde tan ml k i fonksiyonuna M e¼grisinin i-yinci e¼grilik fonksiyonu ve s 2 I için k i (s) reel say s na da (s) noktas nda M nin i-yinci e¼grili¼gi denir (Hac saliho¼glu 2000). Teorem 2... M E n e¼grisi (I; ) koordinat komşulu¼gu ile verilsin. s 2 I yay parametresi olmak üzere, (s) noktas ndaki i-yinci e¼grilik k i (s) ve Frenet r-ayakl s fv (s) ; :::; V r (s)g ise V 0 (s) = k i (s) :V 2 (s) V 0 i (s) = k i (s) :V i (s) + k i (s) :V i+ (s) ; < i < r V 0 r (s) = k r (s) :V r (s) olur (Hac saliho¼glu 2000). Tan m 2..8. : I IR! E 3 s! (s) = ( (s) ; 2 (s) ; 3 (s)) s yay parametresi ile verilen bir e¼grinin (s) noktas ndaki Frenet 3- ayakl s ft; N; Bg olsun. T 0 (s) = k (s) :N (s) N 0 (s) = k (s) :T (s) + k 2 (s):b(s) B 0 (s) = k 2 (s) N (s) denklemlerine Frenet formülleri denir (Hac saliho¼glu 2000). Burada k = ; k 2 = al nabilir. 4

Tan m 2..9. : I IR! E 3 e¼grisi için (s) = k (s) = 00 (s) de¼gerine (s) e¼grisinin s noktas ndaki e¼grili¼gi denir (Carmo ve Monfedo 976). Tan m 2..0. : I IR! E 3 e¼grisi yay parametresi ile verilmiş olsun. 00 (s) 6= 0 olmak üzere B 0 (s) = (s) :N(s) eşitli¼gi ile tan ml (s) say s na (s) e¼grisinin s noktas ndaki burulmas denir. k 2 (s) = (s) burulmas, e¼grinin düzlemden ne kadar sapt ¼g n ölçer (Hac saliho¼glu 2000). Tan m 2... M; E n Öklid uzay nda bir hiperyüzey ve : I IR! M regüler bir e¼gri olsun. Her t 2 I için 0 (t) h z vektörü, (t) noktas nda M hiperyüzeyinin bir e¼grilik vektörü ise e¼grisine, M hiperyüzeyi üzerinde bir e¼grilik çizgisi denir (Sabuncuo¼glu 2006). Tan m 2..2. E n Öklid uzay nda yay parametresi ile verilen (s) e¼grisinin s noktas ndaki burulmas (s) = 0 ise (s) e¼grisine düzlemsel e¼gri denir (Hac saliho¼glu 2000). Tan m 2..3. M; E n Öklid uzay nda bir hiperyüzey ve : I IR! M regüler bir e¼gri olsun. Her t 2 I için 0 (t) h z vektörü, (t) noktas nda M hiperyüzeyinin bir asimptotik vektörü ise e¼grisine, M hiperyüzeyi üzerinde bir asimptotik e¼gri denir (Sabuncuo¼glu 2006). Tan m 2..4. E n+ de M hiperyüzeyi üzerindeki parametre e¼grisi : I IR! M olsun. : I IR! M e¼grisinin her noktas ndaki ivme vektörü M hiperyüzeyine ortogonal ise e¼grisine M hiperyüzeyinde geodezik e¼gri denir (Hac saliho¼glu 2000). Tan m 2..5. 4-boyutlu Öklid uzay nda birim h zl bir e¼gri : I IR! E 4 ve 5

e¼grisinin Frenet elemanlar ft; N; B; ; g olsun 0 = d D 00 ; 00E 6= 0 olmak üzere ise e¼grisine Frenet e¼grisi, denir (Inoguchi 2002). Tan m 2..6. E n Öklid uzay nda birim h zl bir e¼gri : I R! E n, e¼grisinin Frenet çat s fv ; V 2 ; :::; V n g ve Frenet e¼grilikleri fk ; k 2 ; :::; k n g olsun. e¼grisinin Frenet e¼grilikleri sabit ise e¼grisine w-e¼grisi denir (Klein ve Lie 87, Chen vd. 992). Tan m 2..7. E 3 Öklid uzay nda bir (s) e¼grisinin birim te¼get vektör alan T = 0 (s) olsun. T vektör alan belirli bir u vektörü ile sabit aç yap yorsa (s) e¼grisine genel helis denir (Hac saliho¼glu 2000). Tan m 2..8. E n uzay nda yay parametresi ile verilen (s) e¼grisinin s burulmas (s) 6= 0 noktas ndaki ve s noktas ndaki e¼grili¼gi (s) = sabit ise (s) e¼grisine Salkowski e¼grisi denir (Salkowski 909). Tan m 2..9. E n uzay nda yay parametresi ile verilen (s) e¼grisinin s burulmas (s) = sabit noktas ndaki ve s noktas ndaki e¼grili¼gi (s) 6= 0 ise (s) e¼grisine anti Salkowski e¼grisi denir (Salkowski 909). Tan m 2..20. M bir diferensiyellenebilir (C ) manifold olsun. M üzerindeki C vektör alanlar n n uzay (M) ve M den IR ye C fonksiyonlar n uzay C (M; IR) 6

olmak üzere, M üzerinde; g : (M) (M)! C (M; R) şeklinde tan mlanan pozitif, simetrik ve 2-lineer g Riemann metri¼gi ile birlikte M ye bir Riemann manifoldu denir ve (M; g) şeklinde gösterilir (Kobayashi vd. 996). Tan m 2..2. M; n boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold ve M üzerindeki C vektör alanlar n n uzay (M) olmak üzere; r : (M) (M) 2 lineer! (M) (; Y )! r (; Y ) = r Y dönüşümü, 8; Y; Z 2 (M) ve 8f; g 2 C (M; IR) için i) r (Y + Z) = r Y + r Z ii) r f+gy Z = f (r Z) + g (r Y Z) iii) r (fy ) = f (r Y ) + (f) Y özelliklerini sa¼gl yor ise r ya M üzerinde bir A n Koneksiyon ad verilir (Hac saliho¼glu 2000). Tan m 2..22. (M; g) n boyutlu bir Riemann manifoldu ve r da M üzerinde tan mlanan bir a n koneksiyon olmak üzere 8; Y; Z 2 (M) için i) r Y r Y = [; Y ] ii) g (Y; Z) = g (r Y; Z) + g (Y; r Z) şartlar n sa¼glad ¼g nda r ya M üzerinde s f r torsiyonlu Riemann Koneksiyonu veya M nin Levi-Civita Koneksiyonu denir (Hac saliho¼glu 2000). Teorem 2..2. E n deki e¼grisinin r Levi-Civita koneksiyonuna göre e¼grilikleri k i ( i n) ve fv ; V 2 ; :::; V n g tanjant uzay n n Levi-Civita türevleri r T V i olmak 7

üzere r V V = k (s) :V 2 (s) r V V i = k i (s) :V i (s) + k i (s) :V i+ (s) ; < i < r r V V r = k r (s) :V r (s) olur(hac saliho¼glu 2000, Monterde 2007). Önerme 2... 3-boyutlu reel uzay formu M de bir e¼gri : I IR! M ve kabul edelim ki M = S 3 olsun. Bu nedenle S 3 üzerindeki herhangibir e¼gri IR 4 de olarak düşünebilir. 4-boyutlu Öklid uzay ndaki e¼grinin fe ; e 2 ; e 3 ; e 4 ; k ; k 2 ; k 3 g Frenet elemanlar ile ft; N; B; ; g içsel Frenet elemanlar aras ndaki ba¼g nt t = e olmak üzere r T T = k (e 2 he 2 ; i ) N = (e 2 he 2 ; i ) q he 2 ; i 2 = B = q k 2 r ^ e ^ e 2 2 k dir (Monterde 2007). Uyar 2... 4-boyutlu Öklid uzay nda birim h zl bir e¼gri : I IR! E 4 ve e¼grisinin Frenet elemanlar ft; N; B; ; g olsun. Frenet e¼grisinin geodezik olmas için gerek ve yeter şart = 0 olmas d r (Inoguchi 2002). Tan m 2..23. E 3 Öklid uzay nda birim h zl : I IR vektör alan T olsun. E¼gri boyunca! E 3 e¼grisinin te¼get ht; N i = ht; N 2 i = hn ; N 2 i = 0 şart n sa¼glayan vektör alanlar N ve N 2 = T ^ N olmak üzere T; N ; N 2 vektör 8

alanlar hareketli e¼grisi byunca ortonormal bir çat oluşturur. çat s na Bishop çat s denir (Bishop 975). Bu ft; N ; N 2 g Teorem 2..3. Birim h zl : I IR! E 4 e¼grisi boyunca e¼grinin Frenet çat s ft; N; B ; B 2 g ve ft (s) ; M (s) ; M 2 (s) ; M 3 (s)g birim h zl (s) e¼grisinin Bishop çat s olsun. Buna göre çat denklemleri 2 6 4 T 0 M 0 M 0 2 M 0 3 3 2 = 7 6 5 4 3 2 3 0 k k 2 k 3 T k 0 0 0 M k 2 0 0 0 7 6M 5 4 2 7 5 k 3 0 0 0 M 3 şeklinde verilir. Burada k ; k 2 ; k 3 Bishop çat s na göre (s) e¼grisinin e¼grilik fonksiyonlar d r ve k = k cos cos k 2 = k ( cos sin + sin sin cos ) k 3 = k (sin sin + cos sin cos ) eşitlikleriyle verilirler (Yayl vd. 202). 2.2 Öklid Uzay ve Fermi-Walker Türevi Tan m 2.2.. n boyutlu Öklid uzay E n de : I IR! E n parametre e¼grisi boyunca bir vektör alan için Öklid türevi d dt olmak üzere : = d dt = 0 ise vektör alan na e¼grisi boyunca Öklid anlam nda paraleldir, denir (Hac saliho¼glu 2000). Tan m 2.2.2. ; s yay parametreli : I IR! E n uzay e¼grisi boyunca herhangi 9

bir vektör alan olmak üzere er T = r T ht; i A + ha; i T şeklinde tan mlanan e r T türevine (s) uzay e¼grisi boyunca vektör alan n n Fermi- Walker Türevi denir. Burada T = d ; A = dt (Benn and Tucker 989). Tan m 2.2.3. ; s yay parametreli (s) uzay e¼grisi boyunca herhangi bir vektör alan olmak üzere e¼gri boyunca vektör alan n n Fermi-Walker türevi er T = 0 ise vektör alan na (s) uzay e¼grisi boyunca Fermi-Walker anlam nda paraleldir, denir (Benn ve Tucker 989). Tan m 2.2.4. s yay parametreli (s) uzay e¼grisi boyunca U; V ve W ortonormal vektörler olmak üzere er T U = 0 er T V = 0 er T W = 0 ise bu vektörlerin oluşturdu¼gu fu; V; W g çat s na non-rotating çat denir (Balakrishnan 2005). Tan m 2.2.5. s yay parametreli (s) uzay e¼grisi boyunca er T T =! ^ T er T N =! ^ N er T B =! ^ B olaca¼g ndan! = T 0

vektörüne ft; N; Bg Frenet çat s na göre Fermi-Walker anlam nda darboux vektörü denir (Karakuş ve Yayl, 202). s den s + e kadar hareket, fn; Bg düzleminin T ekseni etraf nda aç s kadar dönmesidir. Yani fn; Bg düzlemi aç sal h z yla döner. Tan m 2.2.6. n boyutlu Öklid uzay E n de bir yüzey M, M yüzeyi üzerinde bir e¼gri : I IR! M olsun. e¼grisinin te¼get vektör alan T = 0 birim normal vektör alan n olmak üzere k 0 k ve yüzeyin Y = n ^ T eşitli¼giyle tan mlanan Y vektör alan n alal m. Vektörel çarp m n özeliklerinden dolay ft (s) ; Y (s) ; n (s)g kümesi, T (s) E n uzay n n ortonormal bir çat s olur. Bu çat ya (; M) e¼gri-yüzey ikilisinin çat s ya da Darboux çat s denir (Gray vd. 2006, Sabuncuo¼glu 2006). Tan m 2.2.7. M E 3 te herhangi bir yüzey, ft; Y; Ng darboux çat s ve yüzey üzerindeki s yay parametreli : I E 3! M e¼grisi boyunca er T T =! ^ T er T Y =! ^ Y er T N =! ^ N olaca¼g ndan! = t r T vektörüne ft; Y; N g Darboux çat s na göre Fermi-Walker anlam nda darboux vektörü denir (Karakuş ve Yayl 202). s den s + e kadar hareket, fy; Ng düzleminin T ekseni etraf nda t r aç s kadar dönmesidir. Yani fy; Ng düzlemi t r aç sal h z yla döner.

2.3 Lie Grubu ve Fermi-Walker Türevi Tan m 2.3.. G diferensiyellenebilir bir manifold olsun. : G G! G; (a; b) = ab ve G deki inversiyon operatörü olan : G! G; (a) = a dönüşümlerinin her ikisi de diferensiyellenebilir ise G ye Lie grubu denir(boothby 975). Tan m 2.3.2. h; i bi-invaryant metrik ile G bir Lie grubu ve ; : I! G Frenet e¼grisi boyunca herhangi bir vektör alan olsun. E¼ger ; vektör alan n n Fermi-Walker türevi er T = 0 ise vektör alan na (s) Frenet e¼grisi boyunca Fermi-Walker anlam nda paraleldir, denir (Karakuş ve Yayl 202). Tan m 2.3.3. G Lie grubu : I IR! G; Lie grubu üzerinde bir Frenet e¼grisi, (s) e¼grisinin Frenet çat s ft; N; Bg ve r; Levi-Civita konneksiyonu olmak üzere er T T = e! ^ T er T N = e! ^ N er T B = e! ^ B olur. : I IR! G Frenet e¼grisi boyunca e! = ( G ) (s) T vektörüne Lie grubunda Fermi-Walker anlam nda darboux vektörü denir (Karakuş ve Yayl 202). 2

Önerme 2.3.. G Lie grubu : I IR! G; Lie grubu üzerinde bir e¼gri, V e¼grinin h z vektör alan ve e¼gri boyunca herhangibir vektör alan W olsun. r; Levi-Civita konneksiyonu olmak üzere r V W = : W 2 [W; V ] dir (Crouch ve Silva Leite 995). Tan m 2.3.4. G bir Lie grubu : I IR! G; Lie grubu üzerinde birim h zl e¼gri ve e¼grisinin Frenet elemanlar ft; N; B; ; g olmak üzere V e¼grinin h z vektör alan ve e¼gri boyunca herhangibir vektör alan W olsun. r; Levi-Civita konneksiyonu olmak üzere G = h[t; N] ; Bi 2 şeklinde tan mlan r (Çiftçi 2009). Teorem 2.3.. (Lancert) G bir Lie grubu olsun. c bir sabit say olmak üzere G de bir e¼grinin genel helis olmas için gerek ve yeter şart = c + G olmas d r (Çiftçi 2009). Önerme 2.3.2. G bir Lie grubu, : I IR! G Lie grubu üzerinde birim h zl e¼gri ve e¼grisinin Frenet elemanlar ft; N; B; ; g olmak üzere [T; N] = 2 G B [T; B] = 2 G N eşitlikleri vard r (Çiftçi 2009). Uyar 2.3.. h; i bi-invaryant metrik ile G bir Lie grubu olsun. Farkl Lie gruplar için aşa¼g daki eşitlikler verilebilir. i) E¼ger G bir Abel grubu ise G = 0; 3

ii) E¼ger G = SO 3 ise G = 2 ; iii) E¼ger G = SU 2 ise G = (Fornari et al. 2003). 2.4 Hiperyüzeyler ve Fermi Türevi Tan m 2.4.. M; IR 3 uzay n n bir alt kümesi olsun. M nin her bir p noktas için p 2 ' (U) ve ' (U) M olacak biçimde ' : U! IR 3 düzgün ve regüler dönüşümü bir homeomor zm ise M kümesine, IR 3 uzay nda bir yüzey denir (Sabuncuo¼glu 2006). Tan m 2.4.2. E n, n-boyutlu Öklid uzay nda (n denir (Hac saliho¼glu 2000). ) boyutlu yüzeye Hiperyüzey Tan m 2.4.3. E n+ de bir hiperyüzey M ve M hiperyüzeyi üzerinde bir parametre e¼grisi : I IR! M olsun. e¼grisi boyunca M ye te¼get olan bir vektör alan n n Levi-Civita türevi r T olmak üzere r T = 0 ise vektör alan na Levi-Civita anlam nda paraleldir, denir (Hac saliho¼glu 2000). Tan m 2.4.4. M hiperyüzeyi üzerinde : I IR! M birim h zl bir e¼gri, her yerde e¼grisine dik ve e¼gri boyunca yüzeye te¼get di erensiyellenebilir bir vektör alan olsun. r; M nin Levi-Civita konneksiyonu olmak üzere s = r T hr T ; T i T şeklinde tan mlanan s (Thorpe 979). Tan m 2.4.5. türevine e¼gri boyunca vektör alan n n Fermi türevi denir M hiperyüzeyi üzerinde : I R! M birim h zl bir e¼gri, her yerde e¼grisine dik ve e¼gri boyunca yüzeye te¼get di erensiyellenebilir bir vektör 4

alan olsun. r; M nin Levi-Civita konneksiyonu olmak üzere s = 0 ise vektör alan na yüzey üzerindeki (s) e¼grisi boyunca Fermi-Walker anlam nda paraleldir, denir (Thorpe 979). Tan m 2.4.6. M hiperyüzeyi üzerinde : I IR! M birim h zl bir e¼gri ve (s) e¼grisi boyunca U; V ve W ortonormal vektörler olmak üzere U s V s W s = 0 = 0 = 0 ise bu vektörlerin oluşturdu¼gu fu; V; W g çat s na non-rotating çat denir (Karakuş ve Yayl 202). 5

3. FERMI-WALKER TÜREV I VE NON-ROTATING ÇATI Bu bölümde Fermi-Walker türevi Öklid uzay nda al nan herhangi bir e¼gri boyunca incelenmiştir. Ilk önce Öklid uzay nda Frenet çat s na göre ifade edilen herhangibir vektör alan al nm şt r. Bu vektör alan n n e¼gri boyunca Fermi-Walker türevi ve türevle ilgili elde edilen sonuçlar incelenmiştir. 3. Frenet Çat s ve Fermi-Walker Türevi Lemma 3... ; s yay parametreli (s) uzay e¼grisi boyunca herhangi bir vektör alan olmak üzere, vektör alan n n e¼gri boyunca Fermi-Walker türevi er T = r T (B ^ ) şeklinde ifade edilir (Balakrishnan 2005). Ispat : er T = r T er T = r T er T = r T ht; i r T T + hr T T; i T ht; i (N) + hn; i T ht; i N + hn; i T er T = r T (h; T i N h; Ni T ) olur. Vektörel çarp m n (u ^ v) ^ w = hw; ui v hw; vi u özeli¼gini kullan rsak er T = r T ((T ^ N) ^ ) er T = r T (B ^ ) elde edilir. Sonuç 3... vektör alan n n s yay parametreli (s) uzay e¼grisi boyunca Fermi- 6

Walker türevi ile vektör alan n n (s) uzay e¼grisi boyunca Öklid türevinin çak şmas için gerek ve yeter şart = B olmas d r. Burada B binormal vektör ve sabittir (Karakuş ve Yayl 202). Ispat : Lemma 3... den er T = r T (B ^ ) olup er T = r T olmas için = B olmal d r. Teorem 3... ; 2 ve 3 ; s e ba¼gl fonksiyonlar olmak üzere = T + 2 N + 3 B vektör alan s yay parametreli (s) uzay e¼grisi boyunca Fermi-Walker anlam nda paraleldir ancak ve ancak d r (Karakuş ve Yayl 202). (s) = sabit: 2 (s) = c cos (s) 3 (s) = c 2 cos (s) + c 2 sin c sin (s) (s) Ispat : (=)) ; s yay parametreli (s) uzay e¼grisi boyunca Fermi-Walker anlam nda parelel olsun. Buna göre er T = r T (B ^ ) 7

er T = d d2 T + (r T T ) + N + 2 (r T N) d3 + B + 3 (r T B) (B ^ ( T + 2 N + 3 B)) olup gerekli düzenlemeler yap l rsa d d2 er T = T + (s) 3 N + d3 + (s) 2 B elde edilir. vektör alan (s) uzay e¼grisi boyunca Fermi-Walker anlam nda parelel oldu¼gundan er T = 0 olup, d = 0 d 2 (s) 3 = 0 d 3 + (s) 2 = 0 elde edilir. Denklem sisteminin çözümünden, bulunur. 2 (s) = c cos (s) 3 (s) = c 2 cos (s) (s) = sabit + c 2 sin (s) c sin (s) ((=) = T + 2 N + 3 B olmak üzere (s) = sabit 2 (s) = c cos (s) 3 (s) = c 2 cos (s) 8 + c 2 sin c sin (s) (s)

olsun. er T = r T (B ^ ) den d d2 er T = T + (s) 3 N + d3 + (s) 2 B denklemini elde ederiz. Bu denklemde d d 2 d 3 = 0 = c (s) sin (s) = c 2 (s) sin (s) + c 2 (s) cos c (s) cos (s) (s) yaz l rsa er T = 0 olur. Teorem 3..2. ; 2 ; 3 sabitler olmak üzere s yay parametreli düzlemsel (s) uzay e¼grisi boyunca = T + 2 N + 3 B vektör alan Fermi-Walker anlam nda paraleldir (Karakuş ve Yayl 202). Ispat : er T = r T (B ^ ) er T = ( r T T + 2 r T N + 3 r T B) (B ^ ( T + 2 N + 3 B)) ifadesinden er T = (s) ( 2 B 3 N) olur. s yay parametreli (s) uzay e¼grisi düzlemsel oldu¼gundan (s) = 0 9

olup er T = 0 elde edilir. Sonuç 3..2. Bütün Frenet vektörleri s yay parametreli düzlemsel e¼gri boyunca Fermi-Walker anlam nda paraleldir (Karakuş ve Yayl 202). Ispat : Teorem 3..2. de a) = ; 2 = 3 = 0 al n rsa ve = T er T T = 0 olur. b) = 3 = 0; 2 = al n rsa ve = N er T N = (s) B elde edilir. c) = 2 = 0; 3 = al n rsa = B ve olur. er T B = (s) N s yay parametreli düzlemsel e¼grilerde (s) = 0 20

oldu¼gundan er T N = 0 er T B = 0 olacakt r. Sonuç 3..3. Düzlemsel e¼griler boyunca ft; N; Bg Frenet çat s non-rotating çat d r (Karakuş ve Yayl 202). Sonuç 3..4. Frenet çat s n n! = T + B darboux vektörü ile! = T Frenet çat s na Fermi-Walker anlam nda darboux vektörü birbirinden farkl d r ve çak şmazlar (Karakuş ve Yayl 202). Teorem 3..3. s yay parametreli (s) uzay e¼grisi anti-salkowski e¼grisidir ancak ve ancak! = T Fermi-Walker anlam nda darboux vektörü Fermi-Walker anlam nda pareleldir (Karakuş ve Yayl 202). Ispat : er T! = r T! (B ^! ) er T! = = d T + (r T T ) (B ^ T ) d T + () N () N er T! = d T olacakt r. (s) uzay e¼grisi anti-salkowski e¼grisi ise (s) = sabit (s) 6= 0 oldu¼gundan er T! = d T 2

er T! = 0 olup! = T darboux vektörü Fermi-Walker pareleldir. Benzer şekilde! = T Frenet çat s na göre Fermi-Walker anlam nda Darboux vektörü Fermi-Walker paralel ise er T! = 0 ve d = 0 dan (s) = sabit (s) 6= 0 olacakt r. Buna göre (s) uzay e¼grisi anti-salkowski e¼grisidir. 3.2 Darboux Çat s ve Fermi-Walker Türevi Bu bölümde vektör alan Darboux çat s na göre tan mlanm şt r. E¼gri-yüzey çat s na göre al nan vektör alan n n Fermi -Walker türevi incelenmiştir. Vektör alan n n hangi e¼griler boyunca Fermi-Walker paralel oldu¼gu aç klanm şt r. Lemma 3.2.. : I! M herhangi bir e¼gri, M E 3 te herhangi bir yüzey, ft; Y; ng Darboux çat s ve ; (s) e¼grisi boyunca herhangi bir vektör alan olmak üzere, yüzey üzerindeki e¼gri boyunca vektör alan n n Fermi-Walker türevi er T = r T [( g n n Y ) ^ ] şeklinde ifade edilir (Karakuş ve Yayl 202). Ispat : er T = r T ht; i A + ha; i T 22

ifadesinde T = d A = r T T = g Y + n n dir. Buna göre er T = r T ht; i ( g Y + n n) + h g Y + n n; i T er T = r T g ht; i Y n ht; i n + g hy; i T + n hn; i T er T = r T g (ht; i Y hy; i T ) n (ht; i n hn; i T ) olur. Vektörel çarp m n (u ^ v) ^ w = hw; ui v hw; vi u özeli¼gini kullan rsak ve T ^ Y = n T ^ n = Y oldu¼gundan gerekli düzenlemeler yap l rsa er T = r T (( g n n Y ) ^ ) elde edilir. Sonuç 3.2.. ; yüzey üzerindeki (s) e¼grisi boyunca herhangi bir vektör alan olsun. ; vektör alan n n (s) e¼grisi boyunca Fermi-Walker türevi ile ; vektör alan n n Öklid türevinin çak şmas için gerek ve yeter şart = ( g n n Y ) olmas d r. Burada sabittir (Karakuş ve Yayl 202). 23

Ispat : Lemma 3.2.. den er T = r T (( g n n Y ) ^ ) olup er T = r T olmas için = ( g n n Y ) olmal d r. Teorem 3.2.. ; 2 ve 3 ; s e ba¼gl fonksiyonlar olmak üzere yüzey üzerindeki s yay parametreli : I! M e¼grisi boyunca = T + 2 Y + 3 n vektör alan Fermi-Walker anlam nda paraleldir ancak ve ancak (s) = sabit 2 (s) = c cos t r (s) 3 (s) = c 2 cos t r (s) dir (Karakuş ve Yayl 202). + c 2 sin c sin t r (s) t r (s) Ispat : (=)) ; yüzey üzerindeki s yay parametreli (s) e¼grisi boyunca Fermi-Walker anlam nda paralel olsun. er T = r T (( g n n Y ) ^ ) ifadesinden er T = d d2 d3 T + (r T T ) + Y + 2 (r T Y ) + N + 3 (r T N) g [N ^ ( T + 2 Y + 3 N)] + n [Y ^ ( T + 2 Y + 3 N)] 24

olur.bu denklemde r T T = g Y + n n r T Y = g T + t r n yaz l r ve gerekli düzenlemeler yap l rsa r T n = n T t r Y d d2 er T = T + t r (s) 3 Y + d3 + t r (s) 2 n elde edilir. vektör alan yüzey üzerindeki s yay parametreli (s) e¼grisi boyunca Fermi-Walker anlam nda paralel oldu¼gundan er T = 0 olup d = 0 d 2 t r (s) 3 = 0 d 3 + t r (s) 2 = 0 olacakt r. Denklem sisteminin çözümünden, (s) = sabit olur. 2 (s) = c cos t r (s) + c 2 sin t r (s) 3 (s) = c 2 cos t r (s) c sin t r (s) 25

((=) = T + 2 Y + 3 N vektör alan olmak üzere (s) = sabit 2 (s) = c cos t r (s) 3 (s) = c 2 cos t r (s) + c 2 sin c sin t r (s) t r (s) olsun. er T = r T (( g n n Y ) ^ ) denkleminden d d2 er T = T + t r (s) 3 Y + d3 + t r (s) 2 n elde edilir. Burada d d 2 d 3 = 0 = c t r (s) sin t r (s) = c 2 t r (s) sin t r (s) + c 2 t r (s) cos c t r (s) cos t r (s) t r (s) yaz l rsa er T = 0 elde edilir. Teorem 3.2.2. ; 2 ; 3 sabitler olmak üzere s yay parametreli (s) e¼grisi e¼grilik çizgisi ise = T + 2 Y + 3 n vektör alan (s) e¼grisi boyunca Fermi-Walker anlam nda paraleldir (Karakuş ve Yayl 202). Ispat : er T = r T (( g n n Y ) ^ ) 26

ifadesinden er T = [ (r T T ) + 2 (r T Y ) + 3 (r T n)] g (n ^ ) + n (Y ^ ) elde edilir. Bu denklemde r T T = g Y + n n r T Y = g T + t r n yaz l r ve gerekli düzenlemeler yap l rsa r T n = n T t r Y er T = t r ( 2 n 3 Y ) elde edilir. s yay parametreli (s) e¼grisi e¼grilik çizgisi oldu¼gundan t r = 0 olup er T = 0 olur. Örnek 3.2.. M = S 2 ve ; 2 ; 3 sabitler olmak üzere küre üzerindeki bütün e¼griler boyunca = T + 2 Y + 3 n vektör alan Fermi-Walker anlam nda paraleldir. Çünkü küre üzerindeki bütün e¼griler e¼grilik çizgisidir. Sonuç 3.2.2. Darboux çat vektörleri yüzey üzerindeki s yay parametreli (s) e¼grilik çizgileri boyunca Fermi-Walker anlam nda paraleldir (Karakuş ve Yayl 202). Ispat : Teorem 3.2.2. de 27

a) = ; 2 = 3 = 0 al n rsa ve = T er T T = 0 olur. b) = 3 = 0; 2 = al n rsa ve = Y er T Y = t r n elde edilir. c) = 2 = 0; 3 = al n rsa = n ve olur. er T n = t r Y s yay parametreli (s) e¼grisi e¼grilik çizgisi oldu¼gundan t r (s) = 0 olup er T Y = 0 er T n = 0 olacakt r. Sonuç 3.2.3. Yüzey üzerindeki s yay parametreli (s) e¼grilik çizgileri boyunca ft; Y; ng e¼gri-yüzey çat s non-rotating çat d r (Karakuş ve Yayl 202). 28

Teorem 3.2.3. Yüzey üzerindeki s yay parametreli t r = sabit olan (s) e¼grileri boyunca darboux çat s na göre Fermi-Walker anlam nda darboux vektörü! = t r T Fermi-Walker anlam nda pareleldir (Karakuş ve Yayl 202). Ispat : er T! = r T! [( g n n Y ) ^! ] er T! = dtr T + t rr T T [( g n n Y ) ^ t r T ] elde edilir. Burada er T! = dt r T + t rr T T g t r (n ^ T ) + n t r (Y ^ T ) r T T = g Y + n n n ^ T = Y Y ^ T = N yaz l rsa, den er T! = dt r T + t r g Y + t r n n g t r Y n t r n er T! = dt r T olacakt r.! = t r T darboux vektörü Fermi-Walker anlam nda parelel oldu¼gundan er T! = 0 olup t r = sabit olacakt r. 29

3.3 Bishop Çat s ve Fermi-Walker Türevi Bu bölümde de Fermi-Walker türevi Bishop çat s na göre ifade edilen herhangi bir vektör alan için incelenmiştir. Lemma 3.3.. ft; N ; N 2 g Bishop çat s, s yay parametreli (s) uzay e¼grisi ve e¼gri boyunca herhangi bir vektör alan olmak üzere, Bishop çat s ndaki e¼gri boyunca vektör alan n n Fermi-Walker türevi er T = r T k (N 2 ^ ) + k 2 (N ^ ) şeklinde ifade edilir (Karakuş ve Yayl 202). Ispat : er T = r T ht; i A + ha; i T ifadesinde T = d A = r T T = k N + k 2 N 2 yaz l r ve gerekli düzenlemeler yap l rsa, er T = r T ((k N 2 k 2 N )) ^ den er T = r T + k (h; N i T h; T i N ) k 2 (h; T i N 2 h; N i T ) elde edilir. Vektörel çarp m n (u ^ v) ^ w = hw; ui v hw; vi u 30

özeli¼gini kullan rsak er T = r T + k ((N ^ T ) ^ ) k 2 ((T ^ N 2 ) ^ ) olur. Burada N ^ T = N 2 T ^ N 2 = N yaz l rsa er T = r T k (N 2 ^ ) + k 2 (N ^ ) elde edilir. Sonuç 3.3.. vektör alan n n Bishop çat s ndaki e¼gri boyunca Fermi-Walker türevi ile Öklid türevinin çak şmas için gerek ve yeter şart = (k N 2 k 2 N ) olmas d r. Burada sabittir (Karakuş ve Yayl 202). Ispat : Lemma 3.3.. den er T = r T k (N 2 ^ ) + k 2 (N ^ ) olup er T = r T olmas için = (k N 2 k 2 N ) olmal d r. Teorem 3.3.. ft; N ; N 2 g Bishop çat s ve ; 2 ; 3 sabitler olmak üzere s yay parametreli bütün (s) uzay e¼grileri boyunca = T + 2 N + 3 N 2 vektör alan Fermi-Walker anlam nda paraleldir (Karakuş ve Yayl 202). 3

Ispat : er T = r T k (N 2 ^ ) + k 2 (N ^ ) ifadesinden er T = [ (r T T ) + 2 (r T N ) + 3 (r T N 2 )] k (N 2 ^ ) + k 2 (N ^ ) elde edilir. Bu denklemde r T T = k N + k 2 N 2 r T N = r T N = k T k 2 T yaz l r ve gerekli düzenlemeler yap l rsa er T = 0 elde edilir. Sonuç 3.3.2. Bishop çat vektörleri bütün (s) e¼grileri boyunca Fermi-Walker anlam nda paraleldir (Karakuş ve Yayl 202). Ispat : Teorem 3.3.. de a) = ; 2 = 3 = 0 al n rsa ve = T er T T = 0 olur. b) = 3 = 0; 2 = al n rsa = N ve er T N = 0 32

elde edilir. c) = 2 = 0; 3 = al n rsa = N 2 ve er T N 2 = 0 olur. Sonuç 3.3.3. s yay parametreli bütün (s) e¼grileri boyunca ft; N ; N 2 g Bishop çat s non-rotating çat d r (Karakuş ve Yayl 202). 33

4. L IE GRUPLARI ÜZER INDE FERMI-WALKER TÜREV I Bu bölümde önceki bölümden farkl olarak 4-boyutlu E 4 Öklid uzay nda bir Lie grubu ald k. Fermi-Walker türevini ile ilgili tan m ve kavramlar Lie gruplar için inceledik. Lemma 4.. E 4 te bir Lie grubu G, ve r; Levi-Civita konneksiyonu olmak üzere, vektör alan n n : I IR! G Frenet e¼grisi boyunca Fermi-Walker türevi, er T = r T [T; ] (B ^ ) 2 şeklinde ifade edilir. Ispat : er T = r T ht; i A + ha; i T ifadesinde ve Lie çarp m n n r V W = : W 2 [W; V ] [u; v] = [v; u] özeli¼gini kullan rsak er T = r T 2 [T; ] ht; i r T T + hr T T; i T olur. Frenet denklemlerinden T = d A = r T T = N er T = r T [T; ] ht; i (N) + hn; i T 2 er T = r T [T; ] ht; i N + hn; i T 2 er T = r T [T; ] (h; T i N h; Ni T ) 2 34

olur. Vektörel çarp m n (u ^ v) ^ w = hw; ui v hw; vi u özeli¼gini kullan rsak er T = r T [T; ] ((T ^ N) ^ ) 2 er T = r T [T; ] (B ^ ) 2 elde edilir. Teorem 4.. E 4 te bir Lie grubu G ve r; Levi-Civita konneksiyonu olsun. ; 2 ve 3 ; s e ba¼gl fonksiyonlar olmak üzere = T + 2 N + 3 B vektör alan : I IR! G Frenet e¼grisi boyunca Fermi-Walker anlam nda paraleldir ancak ve ancak d r. (s) = sabit: 2 (s) = c cos ( G ) (s) 3 (s) = c 2 cos ( G ) (s) + c 2 sin c sin ( G ) (s) ( G ) (s) Ispat : (=)) = T + 2 N + 3 B vektör alan : I IR! G Frenet e¼grisi boyunca Fermi-Walker anlam nda paralel olsun. Buna göre r T = d T + r T T + d 2 N + 2r T N + d 3 B + 3r T B olup ft; N; Bg Frenet çat s n n Levi-Civita türevleri r T T = N r T N = T + B r T B = N 35

yaz l rsa r T = d T + (N) + d 2 N + 2 ( T + B) + d 3 B + 3 ( r T = d 2 T + N) d2 + d3 3 N + + 2 B olur. [T; ] = [T; T + 2 N + 3 B] [T; ] = [T; T ] + [T; 2 N] + [T; 3 B] [T; ] = [T; T ] + 2 [T; N] + 3 [T; B] denkleminde [T; T ] = 0 [T; N] = 2 G B [T; B] = 2 G N yaz l rsa [T; ] = 2 ( 3 G ) N + 2 ( 2 G ) B elde edilir. B ^ = N 2 T olup er T = r T [T; ] (B ^ ) 2 ifadesinden d d2 er T = T + ( G ) (s) 3 N + d3 + ( G) (s) 2 B elde edilir. vektör alan (s) Frenet e¼grisi boyunca Fermi-Walker anlam nda paralel oldu¼gundan er T = 0 36

olup, d = 0 d 2 ( G ) (s) 3 = 0 d 3 + ( G) (s) 2 = 0 elde edilir. Denklem sisteminin çözümünden, bulunur. 2 (s) = c cos ( G ) (s) 3 (s) = c 2 cos ( G ) (s) ((=) = T + 2 N + 3 B olmak üzere (s) = sabit + c 2 sin ( G ) (s) c sin ( G ) (s) (s) = sabit 2 (s) = c cos ( G ) (s) 3 (s) = c 2 cos ( G ) (s) + c 2 sin c sin ( G ) (s) ( G ) (s) olsun. er T = r T [T; ] (B ^ ) 2 ba¼g nt s ndan d d2 er T = T + ( G ) (s) 3 N + d3 + ( G) (s) 2 B 37

denklemini elde ederiz. Bu denklemde d d 2 d 3 = 0 = c ( G ) (s) sin ( G ) (s) = c 2 ( G ) (s) sin ( G ) (s) + c 2 ( G ) (s) cos c ( G ) (s) cos ( G ) (s) ( G ) (s) yaz l rsa er T = 0 olur. Teorem 4.2. E 4 te bir Lie grubu G ve r; Levi-Civita konneksiyonu olsun. ; 2 ; 3 sabitler ve 2 6= 0; 3 6= 0 olmak üzere = T + 2 N + 3 B vektör alan n n : I IR! G Frenet e¼grisi boyunca Fermi-Walker anlam nda paralel olmas için gerek ve yeter şart G = olmas d r. Ispat : er T = r T [T; ] (B ^ ) 2 ifadesinden er T = (r T T ) + 2 (r T N) + 3 (r T B) [B ^ ( T + 2 N + 3 B)] 2 [T; T + 2 N + 3 B] elde edilir. Bu denklemde Levi-Civita türevleri r T T = N r T N = T + B r T B = N 38

[T; T ] = 0 [T; N] = 2 G B [T; B] = 2 G N ve B ^ = N 2 T yaz l rsa er T = ( G ) (s) ( 3 N + 2 B) elde edilir. Buna göre Fermi-Walker paralel olmas için = G olmal d r. Uyar 4.. E 4 te bir Lie grubu G ve r; Levi-Civita konneksiyonu olsun. ; 2 ; 3 sabitler ve 2 = 0; 3 = 0 olmak üzere = T vektör alan bütün e¼griler boyunca Fermi-Walker anlam nda paraleldir. Teorem 4.3. E 4 te bir Lie grubu G ve r; Levi-Civita konneksiyonu olmak üzere : I IR! G Frenet e¼grisinin Frenet çat s ft; N; Bg olsun. ft; N; Bg Frenet vektörlerinin (s) Frenet e¼grisi boyunca Fermi-Walker anlam nda paralel olmas için ancak ve ancak = G olmal d r. Ispat Uyar 4.. den a) = ; 2 = 3 = 0 al n rsa = T 39

ve er T T = 0 olur. b) Uyar 4.. ve Teorem 4.2. den, = 3 = 0; 2 = al n rsa ve elde edilir. = N er T N = ( G ) B c) Uyar 4.. ve Teorem 4.2. den, = 2 = 0; 3 = al n rsa ve = B er T B = ( G ) N olur. Burada = G oldu¼gundan er T N = 0 er T B = 0 elde edilir. Sonuç 4.. E 4 te G Lie grubu üzerindeki = G olan Frenet e¼grileri boyunca ft; N; Bg Frenet çat s non-rotating çat d r. Sonuç 4.2. E 4 te G = (R 3 ; +) Lie grubu : I IR! IR 3 Frenet e¼grisi ve e¼grinin Frenet çat s ft; N; Bg olsun. ft; N; Bg Frenet çat s non-rotating çat d r 40

ancak ve ancak G = 0 d r. Sonuç 4.3. E 4 te G bir Lie grubu, : I IR! G e¼grisi G de bir genel helis ve e¼grinin Frenet çat s ft; N; Bg olsun. ft; N; Bg Frenet çat s genel helis e¼grisi boyunca non-rotating çat d r ancak ve ancak (s) e¼grisi bir geodeziktir. Ispat : Teorem 4.3. den, er T T = 0 er T N = ( G ) (s)b er T B = ( G ) (s)n d r. (s) e¼grisi bir geodezik iken = 0 = G oldu¼gundan ft; N; Bg Frenet çat s non-rotating çat d r. Ispat n di¼ger k sm aç kça görülmektedir. Teorem 4.4. E 4 te bir Lie grubu G ve r; Levi-Civita konneksiyonu olmak üzere : I IR! G Frenet e¼grisinin Frenet çat s ft; N; Bg olsun. G = sabit olan (s) Frenet e¼grileri boyunca ew = ( G ) (s) T Fermi-Walker anlam nda darboux vektörü, Fermi-Walker anlam nda paraleldir. Ispat : Lemma 4. den er T ew = r T ew 2 [T; ew ] (B ^ ew ) d ( er T ew G ) = T + ( G ) r T T 2 [T; ( G) T ] (B ^ ( G ) T ) elde edilir. Burada r T T = N [T; T ] = 0 4

B ^ T = N yaz l rsa, d ( er T ew G ) = T + ( den G ) N 2 ( G) [T; T ] ( G ) (B ^ T ) er T ew = d ( G) T olacakt r. ew = ( G ) (s) T darboux vektörü Fermi-Walker anlam nda parelel oldu¼gundan er T ew = 0 olup olacakt r. G = sabit Di¼ger yandan, iken G = sabit er T ew = 0 olaca¼g ndan ew = ( G ) (s) T Fermi-Walker anlam nda darboux vektörü, Fermi- Walker anlam nda paralel olur. Sonuç 4.4. E 4 te G bir Lie grubu, : I IR! G e¼grisi G de bir genel helis ve e¼grinin Frenet çat s ft; N; Bg olsun. Fermi-Walker anlam nda darboux vektörü ew = ( G ) (s) T, Fermi-Walker anlam nda paraleldir ancak ve ancak = sabit tir. Ispat : (s) e¼grisi G de bir genel helis olsun Bu durumda Lancret teoreminden = c + G 42

ve teorem 4.4. den oldu¼gundan olur. G = sabit = sabit Teorem 4.5. : I! S 3 bir genel helis e¼grisi ve e¼grinin Frenet çat s ft; N; Bg olsun. Bu durumda aşa¼g daki önermeler denktir. i) (s) bir geodeziktir, ii) k =, iii) Frenet çat s ft; N; Bg non-rotating frame dir, iv) = 0; = Burada k ; k 2 ; k 3 e¼grinin asli e¼grilik fonksiyonlar, e¼grinin içsel e¼grilik fonksiyonu ve e¼grinin torsiyon fonksiyonudur. Ispat : (s) bir geodezik olsun. Bu durumda = 0 ve k = olur. Sonuç 4.3. ten, ft; N; Bg Frenet çat s non-rotating çat d r. Sonuç 4.3 ve Uyar 2.2.. den = elde ederiz. Buna göre (s) bir geodezik olur. Uyar 4.2. : I R E 4 te bir Lie grubu G ve r; Levi-Civita konneksiyonu olmak üzere! G Frenet e¼grisinin Frenet çat s ft; N; Bg olsun. G Lie grubu bir 43

Abel grubu iken ft; N; Bg Frenet çat s non-rotating çat d r ancak ve ancak = 0 d r. Uyar 4.3. E 4 te bir Lie grubu G ve r; Levi-Civita konneksiyonu olmak üzere : I IR! G Frenet e¼grisinin Frenet çat s ft; N; Bg olsun. G = SO(3) iken ft; N; Bg Frenet çat s non-rotating çat d r ancak ve ancak = dir. 2 44

5. H IPERYÜZEYLER ÜZER INDE FERMI TÜREV I Bu bölümde 4-boyutlu Öklid uzay ndaki yüzey üzerinde al nan bir e¼gri ve vektör alan n n Fermi türevi (Thorpe 979) incelenmiştir. 5. 4-Boyutlu Öklid Uzay ndaki Yüzeyler Üzerinde Fermi Türevi Lemma 5... E 3 teki M yüzeyi üzerinde : I! M birim h zl bir e¼gri, her yerde (s) e¼grisine dik ve e¼gri boyunca yüzeye te¼get di erensiyellenebilir bir vektör alan olsun. r; M nin Levi-Civita konneksiyonu ve yüzeyin Darboux çat s ft; Y; ng olmak üzere ; vektör alan n n e¼gri boyunca Fermi türevi s d (ln (s)) = şeklinde ifade edilir. Ispat : s = r T hr T ; T i T ; vektör alan n n Levi-Civita türevi r T = d d ; n n yaz l rsa s = d s = d d ; n n d ; n n d d ; T T + d ; n n; T T d ; n hn; T i T her yerde (s) e¼grisine dik ve e¼gri boyunca yüzeye te¼get di erensiyellenebilir bir vektör alan oldu¼gundan h; T i = 0 ve h; ni = 0 d r. Buna göre s = d + ; dn n + ; dt T olur. Burada dt = gy + n n 45

dt = nt t r Y yaz l rsa s = d s = d s = d t r h; Y i n + g h; Y i T h; Y i ( g T + t r n) h; Y i dy elde edilir. Burada h; T i = 0 ve 2 (M) oldu¼gundan = (s) Y olacakt r. Buna göre s s d (s) = Y d (ln (s)) = elde edilir. Sonuç 5... vektör alan ; Fermi türevi ile lineer ba¼g ml d r. s Sonuç 5..2. M; E 3 te herhangi bir yüzey olmak üzere = (s) Y vektör alan n n M üzerindeki bütün e¼griler boyunca Fermi paralel olmas için ancak ve ancak (s) = sabit olmal d r. Ispat : Lemma 5... den, buna göre s d (ln (s)) = (s) = sabit 46

olmal d r. Sonuç 5..3. E 3 te herhangi bir M yüzeyi üzerinde : I IR! M birim h zl bir e¼gri olsun. (s) asimptotik e¼gri ise e¼grinin normali N e¼gri boyunca Fermi paraleldir. (s) geodezik e¼gri ise e¼grinin binormali B e¼gri boyunca Fermi paraleldir.burada ft; N; Bg e¼grinin Frenet çat s, ft; Y; ng yüzeyin darboux çat s d r. Ispat : (s) asimptotik e¼gri olsun. Bu durumda Y = N den N s = 0 olacakt r. (s) geodezik e¼gri olsun.buna göre Y = B olup B s = 0 elde edilir. Teorem 5... E 3 te herhangi bir M yüzeyi üzerinde : I IR! M geodezik bir e¼gri olsun. = (s) Y vektör alan n n e¼gri boyunca Levi-Civita paralel olmas için = (s) Y vektör alan e¼gri boyunca Fermi paralel olmal d r. Ispat : = (s) Y vektör alan geodezik e¼gri boyunca Levi-Civita paralel olsun. Bu durumda vektör alan e¼gri boyunca Fermi paraleldir. 47

Vektör alan = (s) Y geodezik e¼gri boyunca Fermi paralel olsun. Bu durumda (s) = 0 g = 0 olur. Buna göre vektör alan n n Levi-Civita türevi r T = d Y ( g (s)) T r T = 0 olur. vektör alan e¼gri boyunca Levi-Civita paraleldir. Örnek 5... E 3 te S 2 birim küre olmak üzere = (s) Y vektör alan n n büyük çemberler boyunca Levi-Civita paralel olmas için ancak ve ancak = (s) Y vektör alan büyük çemberler boyunca Fermi paralel olmal d r. Gerçekten küre üzerindeki büyük çemberler geodeziklerdir. Bu nedenle Teorem 5... den büyük çemberler boyunca Levi-Civita paraleldir ancak ve ancak vektör alan büyük çemberler boyunca Fermi paraleldir. 5.2 4-Boyutlu Öklid Uzay ndaki Hiperyüzeyler Üzerinde Fermi Türevi Bu bölümde 4 boyutlu Öklid uzay ndaki hiperyüzey üzerinde herhangi bir e¼gri ald k. E¼gri boyunca ald ¼g m z herhangi bir vektör alan n n Fermi türevini inceledik. Vektör alan n n 4-boyutlu Öklid uzay ndaki hiperyüzey üzerinde al nan e¼gri boyunca Fermi paralel olmas için gerekli durumlar incelenmiştir. Bu bölümde M E 4 te hiperyüzey, : I R! M hiperyüzey üzerinde birim h zl e¼gri olmak üzere e¼gri boyunca Frenet çat s ft; N; Bg dir. r; M nin Levi-Civita konneksiyonu, ve, Levi-Civita konneksiyonuna göre e¼grinin, s ras yla, e¼grilik ve torsiyonudur. Lemma 5.2.. E 4 teki M hiperyüzeyi üzerinde : I IR! M birim h zl bir e¼gri, her yerde (s) e¼grisine dik ve e¼gri boyunca M hiperyüzeyine te¼get di eren- 48

siyellenebilir bir vektör alan olsun. r; M nin Levi-Civita konneksiyonu T e¼grinin te¼get vektör alan ve n; M nin normali olmak üzere ; vektör alan n n e¼gri boyunca Fermi türevi şeklinde ifade edilir. s = d d ;! n!n d ;!!T T Ispat : s = r T hr T ; T i T ; vektör alan n n Levi-Civita türevi r T = d d ; n n yaz l rsa s = d s = d d ; n n d ; n n d d ; T T + d ; n n; T T d ; n hn; T i T olur. Buna göre s = d d ; n n d ; T T elde edilir. Teorem 5.2.. E 4 te herhangi bir M hiperyüzeyi üzerinde : I R! M birim h zl e¼gri boyunca ft; N; Bg çat s vard r. ve 2 ; s e ba¼gl fonksiyonlar olmak üzere = N + 2 B vektör alan (s) e¼grisi boyunca Fermi paraleldir ancak ve ancak d r. (s) = c cos (s) + c 2 sin (s) 2 (s) = c 2 cos (s) c sin (s) Ispat : 49

(=)) = N + 2 B vektör alan : I IR! M e¼grisi boyunca Fermi paralel olsun. Buna göre Fermi türevinden s = r T hr T ; T i T s = d d2 N + r T N + B + 2 r T B d d2 N + r T N + B + 2 r T B; T T olur. ft; N; Bg Frenet çat s n n Levi-Civita türevleri r T T = N r T N = T + B r T B = N yaz l r ve gerekli düzenlemeler yap l rsa s = d N + ( T + B) + s = d (s) 2 N + d2 B + 2 ( d2 + (s) B N) + ( ) T elde edilir. vektör alan (s) e¼grisi boyunca Fermi parelel oldu¼gundan s = 0 olup, d (s) 2 = 0 d 2 + (s) = 0 elde edilir. Denklem sisteminin çözümünden, (s) = c cos (s) + c 2 sin (s) 50

bulunur. 2 (s) = c 2 cos (s) c sin (s) ((=) Tersine = N + 2 B olmak üzere olsun. (s) = c cos (s) + c 2 sin (s) 2 (s) = c 2 cos (s) s = r T c sin (s) hr T ; T i T ba¼g nt s ndan s = d (s) 2 N + d2 + (s) B denklemini elde ederiz. Bu denklemde yaz l p düzenlenirse elde edilir. (s) = c cos (s) + c 2 sin (s) 2 (s) = c 2 cos (s) s = 0 c sin (s) Sonuç 5.2.. ve 2 sabitler olmak üzere = 0 ise = N + 2 B vektör alan (s) e¼grisi boyunca Fermi paraleldir. Ispat : = N + 2 B vektör alan n n : I R! M e¼grisi boyunca Fermi türevinden s = r T hr T ; T i T 5

s = r T N + 2 r T B h r T N + 2 r T B; T i T olur. ft; N; Bg Frenet çat s n n Levi-Civita türevleri r T T = N r T N = T + B r T B = N yaz l r ve gerekli düzenlemeler yap l rsa s = ( T + B) + 2 ( N) + h ( T + B) + 2 ( N) ; T i T s = ( ) T + ( ) B ( 2 ) N ( ) T s = ( ) B ( 2 ) N s = (s) ( B 2 N) elde edilir. (s) = 0 ise s = 0 olur. Teorem 5.2.2. E 4 te herhangi bir M hiperyüzeyi üzerinde : I IR! M birim h zl e¼gri boyunca ft; N; Bg çat s vard r. fn; Bg vektörlerinin (s) e¼grisi boyunca Fermi-Walker anlam nda paralel olmas için ancak ve ancak (s) = 0 olmal d r. Ispat : Sonuç 5.2.. den 52

= ; 2 = 0 al n rsa bu durumda = N buradan da N s = (s) B elde edilir. = 0; 2 = al n rsa = B ve B s = (s) N olur. Buna göre (s) = 0 oldu¼gundan N s = 0 B s = 0 olacakt r. Sonuç 5.2.2. = 0 ise fn; Bg e¼gri boyunca non-rotating dir. Teorem 5.2.3. E 4 te herhangi bir M hiperyüzeyi üzerinde : I IR! M birim h zl e¼gri boyunca herhangi bir vektör alan olsun.vektör alan n n e¼gri boyunca Fermi türevi ile Levi-Civita türevinin çak şmas için ancak ve ancak = B olmal d r. Burada B binormal vektör ve sabittir. Ispat : s = r T hr T ; T i T 53

ba¼g nt s nda olmas için yani, s = r T hr T ; T i T = 0 = B olmal d r. 5.3 n-boyutlu Öklid Uzay nda Fermi Türevi Bu bölümde n boyutlu Öklid uzay ndaki herhangi bir e¼gri boyunca vektör alan n n Fermi türevini inceledik. Vektör alan n n n boyutlu Öklid uzay ndaki e¼gri boyunca Fermi paralel olmas için gerekli durumlar ve Fermi türevinin özelikleri incelenmiştir. Bu bölümde n 4 olmak üzere M bir Riemann manifold, : I IR! M e¼grisi M de birim h zl bir w e¼grisi, fv ; V 2 ; :::; V n g e¼gri boyunca M nin te¼get uzay, r; M nin Levi-Civita konneksiyonu ve k i ( i n), konneksiyona göre e¼grinin e¼grilikleridir. Teorem 5.3.. ; 2 ; ::: n 2 ; s e ba¼gl fonksiyonlar olmak üzere = n P 2 vektör alan n n e¼gri boyunca Fermi paralel olmas için olmal d r. 2 6 4 Ispat : = n P 2 i= 0 0 2 : : : 0 n 2 2 3 = 7 5 6 4 3 0 k 2 0 : : : 0 2 k 2 0 k 3 : : : 0 0 k 3 0 : : : : : : : : : : : : 6 : : : k n 2 7 4 5 0 0 : : : k n 2 0 2 : : : n 2 i V i+ vektör alan e¼gri boyunca Fermi paralel olsun. 54 3 7 5 i= i V i+

Buna göre Fermi türevinden s = r T hr T ; T i T s = d n 2 di k 2 2 V 2 + i=3 dn 2 + k i i 2 k i i V i + + k n 2 n 3 V n elde edilir. Burada 3 > n 2; n P 2 i=3 di + k i i 2 k i i vektör alan e¼gri boyunca Fermi paralel oldu¼gundan V i = 0 olmal d r. = n P 2 i= i V i+ d k 2 2 = 0 d 2 + k 2 k 3 3 = 0 : : : d n 2 + k n 2 n 3 = 0 olur. Denklem sisteminin çözümünden 2 6 4 0 0 2 : : : 0 n 2 2 3 = 7 5 6 4 3 0 k 2 0 : : : 0 2 k 2 0 k 3 : : : 0 0 k 3 0 : : : : : : : : : : : : 6 : : : k n 2 7 4 5 0 0 : : : k n 2 0 2 : : : n 2 3 7 5 elde edilir. Bu teoremde n = 4 al n rsa teorem 5.2.. elde edilir. 55

Sonuç 5.3.. k i = 0 (2 i n 2) ise fv ; V 2 ; :::; V n g e¼gri boyunca non-rotating dir. Örnek 5.3. E 5 te M = E 4 te bir hiperyüzey ve ft; M ; M 2 ; M 3 g birim h zl : I IR! E 4 E 5 e¼grisinin Bishop çat s olmak üzere E 4 teki bütün e¼griler boyunca fm ; M 2 ; M 3 g non-rotating dir. Teorem 5.3. = n P 2 alanlar olmak üzere i) kk = sabit i= i V i+ ve Y = n P 2 i= i V i+ e¼gri boyunca Fermi paralel vektör ii) h; Y i = sabit iii) = sabit iv) + Y ve c vektör alanlar e¼gri boyunca Fermi paraleldir. Burada i ve i ; s e ba¼gl fonksiyonlar, c bir reel say da ve Y aras ndaki aç d r. Ispat : i) = n P 2 i= i V i+ vektör alan e¼gri boyunca Fermi paralel olsun. Buna göre d kk 2 s = 0 d = 2 ; kk = sabit olur. ii) = n P 2 i= i V i+ ve Y = n P 2 i= i V i+ vektör alanlar e¼gri boyunca Fermi paralel olsun. Buna göre s = 0; Y s = 0 56

d h; Y i = d ; Y + ; dy h; Y i = sabit elde edilir. iii) = n P 2 i= olmak üzere olur. iv) = n P 2 olsun. i= i V i+ ve Y = n P 2 i= i V i+ ve Y = n P 2 i V i+ e¼gri boyunca Fermi paralel vektör alanlar = arccos i= = sabit h; Y i kk ky k i V i+ vektör alanlar e¼gri boyunca Fermi paralel Bu durumda ve ( + Y ) s ( + Y ) s (c) s (c) s = s + Y s = 0 = c s = 0 elde edilir. 57

KAYNAKLAR Balakrishnan, R. April 2005. Space curves, anholonomy and nonlinearity. Pramana Journal of Physics, Vol. 64, Number 4, pp. 607-65. Barros, M. May 997. General helices and a Theorem of Lancret. Proceeding of the American Mathematical Society, Vol. 25, Number 5, pp. 503-509. Benn, I. M. and Tucker,R. W. 989. Wave mechanics and inertial guidance. The American Physical Society, Vol,39, Number 6, pp. 594-60. Berry, M. V. 984. Proc. R. Soc. London, A392. Bishop, R. L. 975. There is More than One Way to Frame a Curve. The American Mathematical Monthly, Vol. 82, Number 3, pp. 246-25. Carmo, P. and Monfedo, P. 976. Di erantial Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall, Inc. Englewood Cli s, New Jersey. Chen, B. Y., Deprez, J. and Verheyen, P. 992. Immersions with geodesics of 2-type. In Geometry and Topology of Submanifol IV, Belgium. Crouch, P. and Silva Leite, F. 995. The dynamic interpolation problem on Riemannian manifol, Lie groups and symmetric spaces. J. Dynam. Control Systems, Vol., Number 2, pp. 77-202. Çiftçi, Ü. August 2009. A generalization of Lancret s theorem. Journal of Geometry and Physics, Vol. 59, pp. 597-603. Dandolof, R. 989. Berry s Phase and Fermi-Walker Parallel Transport. Elsevier Science Publishers, Vol. 39, Number -2, pp. 9-20. Fermi, E. 922. Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fiz. Mat. Nat., 3, 84-306. Fornari, S., Do Espirito-Santo, N., Frensel, K. and Ripoll, J. 2003. Constant mean curvature hyper-surfaces in Lie group with a bi-invariant metric. Manuscripta Math., Vol., Number 4, pp. 459-470. 58

Gray, A., Abbena, E. and Salamon, S. 2006. Modern Di erential Geometry of Curves and Surfaces With Mathematica, Chapman&Hall CRC, pp. 528-530. Guggenheimer, H. W. 963. Di erential Geometry, McGraw-Hill, New York. Hac saliho¼glu, H. H. 2000. Diferensiyel Geometri, Cilt I. A. Ü. Fen Fakültesi, s.54-75, Ankara. Hac saliho¼glu, H. H. 2000. Diferensiyel Geometri, Cilt II. A. Ü. Fen Fakültesi, s. 54-68, Ankara. Hawking, S. W. and Ellis, G. F. R. 973. The large scale structure of spacetime, Cambridge Univ. Press, 4.. Inoguchi, J. I. August 2002. Biharmonic curves in Minkowski 3-space. Hindawi Publishing Corp. IJMMS 2003. 2, pp. 365-368. Klein, F. and Lie, S. 87. Uber diejenigen ebenenen kurven welche durch ein geschlossenes system von einfach unendlich vielen vartauschbaren linearen Transformationen in sich. Ubergehen. Math. Ann. 4. pp. 50-84. Karakuş, F. and Yayl, Y. 202. On the Fermi-Walker Derivative and Nonrotating Frame. Int. Journal of Geometric Metho in Modern Physics, Vol. 9, Number 8. pp. 250066--. Karakuş, F. and Yayl, Y. 202. The Fermi Derivative in the Hyper-surfaces. Int. Journal of Mathematics, (submitted-202). Karakuş, F. and Yayl, Y. 202. The Fermi-Walker Derivative in Lie Groups. Int. Journal of Geometric Metho in Modern Physics, (submitted-202). Kobayashi, S. and Nomizu, K. 996. Foundations of di erential geometry, John Wiley and Sons, Inc., New York. Mano, S. 998. Fermi derivative and Fermi-Walker transports over (L n ; g)- spaces. Internat. J. Modern Phys. A, 3, Number 25. pp. 4289-4308. 59