Doğru Önermeler, Yanlış Önermeler Al Nesn Bu yazıda 6 mantık sorusu sorup yanıtlayacağız. Brnc Blmece. Yargıç karar recek. Mahkeme tutanaklarından şu blgler çıkıyor: Eğer A suçsuzsa, hem B hem C suçlu. Ya B ya C suçsuz 2. Ya A suçsuz ya B suçlu 3. Km ya da kmler suçlu, km ya da kmler suçsuz? İknc Blmece. Ayşe, Emn İhsan ayrı ayrı takımları tutuyorlar. Eğer İhsan Beşktaşlıysa, Emn Fenerbahçel 4. Eğer İhsan Fenerbahçely, Emn Galatasaraylı. Eğer Emn Beşktaşlı değl, Ayşe Fenerbahçel. Eğer Ayşe Galatasaraylıysa, İhsan Fenerbahçel. Ayşe nn, Emn n İhsan ın tuttukları takımları bulun. Üçüncü Blmece. Aşağıdak tümceler Ateş ten, Bülent ten Can dan duydum. Ben onların yalancısıyım. Ateş, ya Bülent ya Can yalancıdır, ded. Bülent, Ateş yalancıdır, ded. Can, hem Ateş hem Bülent yalancıdır, ded. Km ya da kmler yalancı? (Ek: Yalancı hep yalan söyler!) Dördüncü Blmece. Altı çocuktan ks br bahçeden elma aşırmış. Ama hang ks? Çocuklar büyük br günah şlemşler gb sorguya çeklrler. Hamd çocuk, Can la Göksun çaldı, der. Jale çocuk, Dlek le Tamer çaldı, der. Dlek çocuk, Tamer le Can çaldı, der. Göksun çocuk, Hamd yle Can çaldı, der. Can çocuk, Dlek le Jale çaldı, der. Tamer çocuk bulunamamış. (Yoksa br köşede elmaları mı yyor?) Sorgulanan beş çocuktan dördü yaramazlardan brnn adını doğru rmş, öbürünün adını yanlış rmş. Beşnc çocuk her k adı da yanlış rmş. Elma aşıran k yaramazı bulun. Beşnc Blmece. A, B, C dye adlandırılan üç nesnenn renkler mav, kırmızı yeşl. Aşağıdak üç önermeden salt br doğru: A kırmızı Daha öncek basımlarda bu yazının adı Doğru Yanlış Önermeler d! Mantıkla lgl br yazıya böyle mantıksız br başlık yakışmadığından, yazının adını değştrdm. 2 Bu önermeye göre hem B hem C suçsuz olablr. Bundan sonrak önerme çn de aynı şey geçerl. 3 Hem A suçsuz hem B suçlu olablr. 4 Eğer İhsan Beşktaşlı değl, bu önerme bze br şey öğretmyor. Aynı şey bundan sonrak önermeler çn de geçerl.
B kırmızı değl C mav değl Nesneler ayrı renklerde olduklarına göre, her nesnenn rengn bulun. Altıncı Blmece. Ayşe, Bülent, Cevdet Derya aralarında satranç turnuvası yaparlar. Turnuva bttkten sonra, Ayşe, Cevdet kazandı, Bülent knc geld, der; Bülent, Cevdet knc, Derya üçuncü geld, der; Cevdet, Derya sonuncuydu, Ayşe kncyd, der. Her üç kşnn öne sürdüğü k önermeden salt br doğrudur. Örneğn Ayşe nn öne sürdüğü Cevdet kazandı Bülent knc geld önermelernden yalnızca br doğrudur, ks brden doğru olamaz. Dolayısıyla Ayşe nn yanıtından, ya Cevdet n brnc olduğunu ya da Bülent n knc geldğn blyoruz. Bundan başka, ya Cevdet n brnc gelmedğn ya da Bülent n knc gelmedğn blyoruz. Turnuva sonucunda eştlk olmadığına göre, turnuvanın sıralaması nasıldır? Brnc Blmecenn Yanıtı: Eğer A suçsuzsa, brnc önermeye göre hem B hem C suçludur. Ama bu sonuç knc önermeyle çelşyor. Demek k A suçlu. A suçlu olduğundan, üçüncü önermeye göre B suçlu. B suçlu olduğundan, knc önermeye göre C suçsuz. Sonuç olarak, A B nn suçlu, C nn suçsuz olduğunu bulduk. İknc Blmecenn Yanıtı: Önce mantıkta kullanılan sözcüğü üzerne br k söz söyleyelm. Türkçede başka dllerde, Pazar günü hava güzel olursa pknğe gdeceğz tümces, pazar günü hava güzel değl pknğe gdlmeyecek anlamını da taşır. Her ne denl tümce bunu açık açık söylemyorsa da, bu anlam zlr. Mantık matematktey, pazar günü hava güzel olmazsa pknğe gdlp gdlmeyeceğ bu tümceden anlaşılmaz. Konumuz matematk mantık olduğundan, örneğn, İhsan Beşktaşlı değl, brnc tümce bze br blg rmez. Şmd blmecemze dönelm. Önce önermelermz smgelerle belrtelm. EB, Emn Beşktaşlı önermesn smgelesn. AG, Ayşe Galatasaraylı önermesn smgelesn... Bldklermz sıralayalım: I Brnc önermey, yan IB EF önermesn ele B EF alalım. Bu önerme, bze IB doğruysa, EF nn de doğru I olduğunu söylüyor. Ama, IB yanlışsa yen br blg F EG rmyor. Bunun gb üçuncü önerme, EB yanlışsa AF nn E değl doğru olduğunu söylüyor; EB doğruysa üçuncü önerme B AF bze yen br blg rmyor. A Eğer IB doğruysa, IB = yazalım; yanlışsa IB = 0 G EF yazalım. Bunu her önerme çn yapalım. Elde ettğmz yen önermeler yazalım:
Başka ne blyoruz? Herbrnn ayrı ayrı takımları EF = tuttuğunu blyoruz. Demek k, örneğn Emn Fenerbahçely, Ayşe İhsan Fenerbahçel EG = olamazlar; yan EF = AF = IF = 0 olmalı. Bunun ters de doğrudur: AF = IF = 0, EF = dr (br AF = Fenerbahçel olmalı!) Ayrıca, br kş k takımı brden tutamayacağından, örneğn EF = EB = EG = 0 EF = olmalı. Bunun da ters doğrudur: EB = EG = 0, EF = olmalı (Emn br takımı tutmalı!) G Sonuçlarımızı yandak tabloda göstereceğz. Yandak tablonun boş karelerne 0 (yanlış) (doğru) koyacağız. Her kolonda her sırada yalnızca br tane olması gerektğn blyoruz. Eğer EF =, EB = 0 dır. EB = 0 eştlğnden üçuncü önermeden AF = çıkar. Ama hem EF hem AF doğru olamaz. Demek k EF = 0 olmalı. Eğer IB =, brnc önermeden EF = eştlğ çıkar, k bunun doğru olmadığını yukarda görmüştük. Demek k IB = 0. Eğer AG =, dördüncü önermeden, EF = çıkar, k bunun doğru olmadığını görmüştük. Demek k AG = 0. Bu bulduğumuz üç sonucu tablomuzda gösterelm: IF = eştlğn varsayalım. İknc eştlğe göre, EG = B F G dr. EG = olduğundan, EB = 0 olmalı. EB = 0 olduğundan, A 0 üçuncü eştlğe göre, AF = olmalı. Ama hem AF hem IF E 0 doğru olamaz. Demek k IF = 0. I 0 Sonuç olarak, IB = EF = AG = IF = 0 eştlklern kanıtladık. Şmd, yukardak tabloyu her kolona sıraya br gelecek bçmde br türlü dır. IB = IF = EB = 0 AG = B A E I B F G A 0 0 E 0 0 I 0 0 Sonuç olarak, F tamamlayablrz: IB = IF = 0 eştlğn blyoruz. Demek k IG = olmalı (İhsan br takım tutmak zorunda!) EF İF = 0 olduğuna göre, AF = olmalı (br Fenerbahçey tutmalı!) AF = olduğundan, AB = 0 olmalı. AB = IB = 0 olduğundan, EB = olmalı (br Beşktaşlı olmalı!) Ayşe Fenerbahçel Emn Beşktaşlı İhsan Galatasaraylı Üçüncü Blmecenn Yanıtı: Ateş, Bülent Can yerne A, B C smgelern kullanacağız. A yalancı önermesn A = 0 olarak, A yalancı değl önermesn de A = olarak gösterelm. Aynı şey B C çn de yapalım. Şmd A, B C nn dedklern matematkçeye çevrelm. Önce A nın dedğn ele alalım. A, ya B ya C yalancıdır, dyor. Yan ya B = 0 ya C = 0 dır, dyor. Demek k, A yalancı değl (yan A = ), ya B = 0 ya C = 0 önermes doğrudur. Demek k, A = ya B = 0 ya C = 0 önermes doğrudur. Öte yandan, A = 0,
yan A yalancıysa, ya B = 0 ya C = 0 önermes doğru olamaz (çünkü A yalan söylüyordur); dolayısıyla B = C = eştlkler doğrudur. Sonuç olarak, A nın dedklernden, A = ya B = 0 ya C = 0 A = 0 B = C = önermeler çıkar. Aynı şey B C çn yapacak olursak, blmecemz braz daha matematklleşr. İşte blmecenn bze rdğ blglern matematkçes: A = ya B = 0 ya C = A = 0 eştlğn varsayalım. (4) e. 0 göre B = C = olmalı. C = 2 B = A = 0 olduğundan, (3) e göre B = 0 olmalı.. B, hem sıfıra hem bre eşt 3 C = A = B = 0 olamayacağından br çelşk elde. ederz. Demek k A = olmalı. 4 A = B = C = A = olduğundan, (2) den B nn. 0 olamayacağı çıkar. Demek k B = 0. 5 B = A = A = olduğundan, (3) ten C nn. 0 olamayacağı çıkar. Demek k C = 0. 6 C = ya A = ya B = Sonuç olarak B C yalancıdır,. 0 A yalancı değldr. Dkkat edlr son k blgy kullanmadık. Dördüncü Blmecenn Yanıtı: Çocukların adlarını C, D, G, H, J, T harfleryle smgeleyelm. Elmayı C aşırmışsa C = yazalım, yoksa C = 0 yazalım. Bunu her çocuk çn yapalım. Çocuklardan ksnn elma aşırdığını blyoruz. Demek k, C + D + G + H + J + T = 2 (*) eştlğn blyoruz. Başka ne blyoruz? Çocuklardan dördünün çalanlardan brnn adını doğru, öbürünün adını yanlış rdğn beşnc çocuğun her k adı da yanlış rdğn blyoruz. Demek k, rlen adların değerlernn toplamı 4 olmalı, yan (C + G) + (D + T) + (T + C) + (H + C) + (D + J) = 4 olmalı. Bu eştlkten, 3C + 2T + 2D + G + H + J = 4 (**) eştlğ çıkar. (*) eştlğn, (**) dan çıkarırsak, 2C + T + D = 2 (***) eştlğn buluruz. C, T D nn değer 0 olduğundan, (***) eştlğ k şıkkın olableceğn gösterr: Ya C = 0 T = D = eştlkler doğrudur, ya da C = T = D = 0 eştlkler. Brnc şık, Jale nn dedğnden olanaksızdır. Demek k knc şıktayız: C = T = D = 0. Hamd Göksun un dedklernden C = eştlğnden G = 0 H = 0 eştlkler çıkar. Gerye Jale kalır. Demek k elmaları Jale Can aşırmış. Beşnc Blmecenn Yanıtı: A kırmızıysa, knc önerme yanlış olmalı, yan B de kırmızı olmalı. Demek k A kırmızı olamaz. Dolayısıyla brnc önerme yanlıştır.
B kırmızı değl A kırmızı olmadığından C kırmızı olmalı. Ama o zaman da knc üçüncü önermeler doğru olur. Oysa önermelerden yalnızca brnn doğru olduğunu blyoruz. Demek k B kırmızı olmalı. Dolayısıyla knc önerme de yanlıştır. İlk k önerme yanlış olduğundan üçuncü önerme doğrudur. Yan C mav değldr. Bu blglerden kolaylıkla A nın mav, B nn kırmızı C nn yeşl olduğu çıkar. Altıncı Blmecenn Yanıtı: Ayşe nn dedklern ele alalım. a, Cevdet kazandı önermesnn doğruluk değer olsun. Yan, Cevdet turnuvayı gerçekten kazanmışsa, a = olsun. Yoksa a = 0 olsun. a 2, Bülent knc geld önermesnn doğruluk değer olsun. Ayşe nn dedklernden yalnızca br doğru olduğundan, ya a ya a 2 brdr. Ama ks brden br olamaz. Yan, a + a 2 2a a 2 = () eştlğ geçerldr. (Bu eştlk, ancak ancak a a 2 sayılarından br olduğunda doğrudur. Eğer her k sayı brden ya da br 0 sa yanlıştır.) Aslında () eştlğne gereksnmeyeceğz. a a 2 den yalnızca yalnızca brnn olduğunu blmek bzm çn yeterl olacak. Aynı bçmde, b, b 2, c, c 2, Bülent Cevdet n sırasıyla öne sürdükler önermelern doğruluk değerlern smgelesnler. Yukardak gb akıl yürüterek, b + b 2 2b b 2 = (2) c + c 2 2c c 2 = (3) eştlklern buluruz. Daha başka ne blyoruz? Cevdet hem brnc hem knc olamayacağından, ya a ya da b sıfır olmalı (ks brden de sıfır olablr.) Demek k, a b = 0. (4) Buna benzer br nedenden, b 2 c = 0 (5) eştlğ geçerldr. Daha btmed. Hem Bülent hem Cevdet knc olamayacağından, a 2 b = 0 (6) eştlğn blyoruz. Buna benzer nedenlerden, a 2 c 2 = 0 (7) b c 2 = 0 (8) eştlklern de blyoruz. Bu kz eştlkten a, a 2, b, b 2, c, c 2 sayılarını bulacağız. (4) eştlğn ele alalım. Bu eştlğe göre ya a ya da b sıfır olmalı. Önce b n sıfır olmadığını varsayalım. Demek k b =. (4) (6) ya göre a = a 2 = 0. Ama bu () le çelşyor. Demek k b sıfır olmalı. b = 0 eştlğn bulduk. Bu eştlkten (2) den b 2 = çıkar. Bu son eştlkten (5) ten c = 0 eştlğı çıkar. Bu son eştlkten (3) ten c 2 = eştlğ çıkar. Bu son eştlkten (7) den a 2 = 0 eştlğ çıkar. Bu son eştlkten () den a = eştlğn buluruz. Demek k a = b 2 = c 2 =. Dolayısıyla, turnuvanın sıralaması şöyle:. Cevdet 2. Ayşe 3. Derya 4. Bülent Sonucu bulmak çn (8) eştlğn kullanmadığımıza dkkatnz çekerm.