RANKI İKİ OLAN SERBEST METABELYEN LİE CEBİRLERİ İÇİN BİR KOMUTATÖR TESTİ

Transkript

1 ANKI İKİ OLAN SEBEST METABELYEN LİE CEBİLEİ İÇİN Bİ KOMUTATÖ TESTİ Zerrn ESMELİGİL Çukurova Ünverstes, Matematk Bölümü, Adana, , , ÖZET. Bu çalışmada rankı k olan serbest metabelyen Le cebrlernde verlen k elemanlı br kümenn, serbest üreteç kümes olup olmadığını belrleyen br krter gelştrlmştr. Anahtar sözcükler: Serbest Le cebr,komütatör, Metabelyen Le cebr AMS (000) konu sınıflandırması: 7 B0, 7 B40. Grş W. Dcks [5] de, rankı k olan serbest asosyatf cebrlerde k elemanlı br kümenn br üreteç kümes olup olmadığını belrleyen br komutatör test vermştr. Bu krtern br benzer [3] de Drensky tarafından rankı k olan serbest cebrler çn verlmştr. Drensky, br K csm üzernde x ve y gb k eleman tarafından üretlen serbest cebrlern bazı sınıfları çn aşağıdak krter gelştrmştr: Br Φ endomorfzmnn otomorfzm olablmes çn gerek ve yeter koşul [ Φ( x), Φ( y) ] = α[ x, y] Br0 α Kçn olmasıdır. V. Drensky ve C. K. Gupta [4] de karakterstğ sıfır olan br csm üzerndek Le cebrlernn otomorfzm grubu çn br mnmal üreteç kümes bulmuşlardır. Serbet Le cebrlernn otomorfzm grupları, cebrn serbest üreteç kümelernn tanımlanmasında büyük rol oynar. İk üreteçl serbest metabelyen Le cebrlernn otomorfzmler [3] ve [9] da tanımlanmıştır. Bu otomorfzmlern yapısının blnmes serbest üreteç kümelernn de belrlenmesn sağlamıştır. Bu çalışmada, rankı k olan serbest metabelyen Le cebrlernde verlen k elemanlı br kümenn serbest üreteç kümes olup olmadığını belrleyen br krter gelştrlmştr.

2 . Temel Blgler K karakterstğ sıfır olan br csm ve F de K üzernde X { x x } =,..., n tarafından üretlen serbest Le cebr olsun. F cebrnn evrensel envelopng cebrn U( F ) le gösterelm. U( F ) üreteç kümes X olan br serbest asosyatf cebrdr. [6] da Fox serbest grup halkalarında türev tanımlayarak özellklern ncelemştr. Herhang serbest br asosyatf cebr, br serbest grup cebrne doğal olarak gömüldüğünden, teknk sonuçların çoğu serbest asosyatf cebrler çn de geçerldr. F ', F cebrnn türetlmş alt cebr ve F '' de F ' cebrnn türetlmş alt cebr olsun. ( ) u U F ve x X olmak üzere Burada operatörler,..., n dönüşümlerdr. ε :U( F) K her x u le sol Fox türevn gösterelm. = çn : U( F) U( F) şeklndek lneer X çn ε ( ) = 0 olarak tanımlanan homomorfzm olmak üzere aşağıdak şeklde tanımlanırlar: j ) = δ j ) u, v U ( F) çn ( F ) (Kronecker delta), ( ) U üzernde tanımlı olan F'' uv u v = ε ( v) + u x. x dönüşümlernn aldığı değerler ( F ) F çndedr. Dolayısıyla her u = u u u çn = +ΔF' olur. Burada F'' de F ' tarafından üretlen sağ dealdr. U cebr F'' Δ, ( F ) ' F U ε homomorfzmnn çekrdeğn Δ ve F nn, br deal se U( F ) de tarafından üretlen sağ deal Δ le gösterelm. f, uv, F ve f = [ uv, ] olsun. Fox türevler çn zncr kuralından [, ] uv v u = u v olduğu kolayca görüleblr. Bu çalışmada aşağıdak teknk önermelerden yararlanacağız.

3 Önerme :, ( ) yeter koşul =,..., n çn J U F nn br deal ve u Δ olsun.u JΔ olması çn gerek ve u J olmasıdır. Aşağıdak önerme temel tanım ve sonuçlardan elde edleblr. Önerme : F, nn br deal ve u F olsun. u ΔΔ olması çn gerek ve yeter koşul u ' olmasıdır. Lemma 3: v,..., vm, u F olsun. Eğer u, U ( F ) nn v,..., v m tarafından üretlen sağ dealne atse o zaman F nn v,..., v m tarafından üretlen altcebrne de attr. Bundan sonra bu çalışmada söz konusu olan bütün serbest Le cebrler, karakterstğ 0 olan br K csm üzerndek Le cebrler olarak düşünülecektr. 3. ankı k Olan Serbest Metabelyen Le Cebrler F, { x, y } kümes tarafından üretlen serbest Le cebr ve L de rankı olan serbest metabelyen Le cebr olsun. L y F le özdeşleştrp L = F yazacağız. F '' F '' Ayrıca vw, F olmak üzere ad v ( w) = [ v, w] notasyonunu kullanacağız. f, g F çn ( f, g )= [ad ( f ), g ] +[ f, ad v ( g) ] olduğu Jacob özdeşlğnden kolaylıkla görüleblr. O ad [ ] halde ad ( v), F nn br türevdr. Br H Le cebrnn brδ nlpotent türev çn ( w) ( w) δ δ δ e ( w) = w !! le tanımlanan e δ dönüşümü br Le cebr otomorfzmdr. Br v F ' F '' çn ( adv ) = 0 adv olup e br otomorfzmdr. Bu otomorfzme L nn br ç otomorfzm denr. Serbest metabelyen Le cebrlernn otomorfzmler le lgl ayrıntılar [3] te bulunablr. Önerme 4: L nn her otomorfzm br ç ve br lneer otomorfzmn bleşkesdr. Bu çalışmanın temeln oluşturan krter aşağıdak şekldedr. 3

4 Teorem 5: H { h, h } =, L nn br altkümes olsun. O zaman H nn L çn br üreteç kümes olablmes çn gerek ve yeter koşul br 0 α K çn [ h, h ] α [ x, y] olmasıdır. İspat: [ ] α[ ] h, h x, y,0 α K olsun. Her k tarafın Fox türevn alırsak, Önerme ve Önerme den h h h h = α y+δ F ' h h h h = α x+δ y y elde edlr. Gerekl düzenlemeler yapılırsa ve olduğu görülür. F ' h h y h α + h α +Δ F ' h h x h α + h α +Δ y y F ' O halde x ve y, U( L ) nn h ve h tarafından üretlen sağ dealne attrler. Buradan Lemma 3 gereğnce x ve y, L nn h ve h tarafından üretlen alt cebrne olur. Böylece H { h, h} Şmd H = { h, h}, L nn br üreteç kümes olsun. O zaman ( x F'' ) h ( y F'' ) h = kümesnn L nn br üreteç kümes olduğu sonucuna varılır. Φ + = ve Φ + = olacak şeklde L nn br Φ otomorfzm vardır. [] Önerme 3 ten L nn br otomorfzm br ç ve br lneer otomorfzmn bleşkes olduklarından, şeklde L nn br τ lneer otomorfzm ve br e adu ç otomorfzm vardır. adu Φ= e τ olacak adu e br ç otomorfzm olduğundan u L' olduğu açıktır. τ otomorfzmnn ( ), τ ( ) τ x = ax + by y = cx + dy olarak tanımlandığını kabul edelm. Burada abcd,,, K ve ad bc 0 dır. Şmd h ve h elemanlarının yapısını belrleyelm. ( ) ( adu τ )( ) ( )( ) [, ] '' h =Φ x + F '' = e x + F '' = + adu ax + by + F '' = ax + by + u ax + by + F 4

5 ve ( ) ( adu τ )( ) ( )( ) h =Φ y + F '' = e y + F '' = + adu cx + dy + F '' dr. [ ] = cx + dy + u, cx + dy + F '' Şmd [, ] h h elemanını hesaplayalım. [ h, h ] = ( ad bc)[ x, y] + a x, [ u, cx + dy] + b y, [ u, cx + dy] + c u, ax + by, x + d u, ax + by, y + uax, + by, ucx, + dy ( ) ( ) [ ] = ad bc x, y + a cx + dy, x, u + x, u, cx + dy ( [, ], [, ], ) + b cx+ dy y u + y u cx+ dy ( [, ], [, ], ) + c ax+ by x u x u ax+ by ( [, ], [, ], ) + d ax+ by y u y u ax+ by + uax, + by, ucx, + dy ( )[, ] [, ],( ), [, ],( ) = ad bc x y + x u ad bc y + y u bc ad x + a cx+ dy, x, u + b cx+ dy, y, u c ax + by, x, u d ax + by, y, u + uax, + by, ucx, + dy ( )[ ] ( ) [ ] = ad bc x, y + ad bc x, y, u + a cx+ dy, x, u + b cx+ dy, y, u c ax + by, x, u d ax + by, y, u + uax, + by, ucx, + dy Böylece [ ] ( )[ ] h, h ad bc x, y + F '' elde edlr. 5

6 F m, F serbest Le cebrnn m -ync dereceden alt merkez term olsun. m -ync sınıftan serbest nlpotent Sonuç 6: H { h, h }, =, F F m M M, Le cebrn M le gösterelm. cebrnn br alt kümes olsun. O zaman H kümesnn M cebrnn br serbest üreteç kümes olması çn gerek ve yeter koşul 0 α K M çn [ ] α [ ] h, h x, y + M '' olmasıdır. Serbest metabelyen Le cebrler çn elde ettğmz bu krter bazı Le cebrler çn geçerl olmayablr. Örneğn, [ ] α [ ] F cebrn ele alalım. Bu cebrn br H F { h, h } ' m = alt kümes çn h, h x, y + F' m olduğu halde H kümes br serbest üreteç kümes olmayablr. Bunu aşağıdak örnekle göreblrz. Örnek:, F {, } = F'' alalım. Φ: x x+ ar y y+ ar x y tarafından üretlen serbest Le cebr olsun. F = F nün ' F''' endomorfzmn düşünelm. r = r+ ' ve ' a = a +Δ, b = b +Δ U( F ) U( F = F '') olacak şekldek ab, elemanlarını a= xy,. x. xy,, b= xy,. y. xy, olarak seçelm. = + + ', = + + ' dyelm. [, ] h x ar h y br h, h = x, y + ar, y + x, br + ' bulunur. c [ x, y] [, ] [, ] ar, y + x, br ' olduğunu gösterelm: = dyelm. h h elemanı hesaplanırsa ar y + x br = ary yar + xbr brx = cxcry ycxcr + xcycr cycrx = cxcry cycrx ( ycxc xcyc) r c( xcry ycrx) [ yc, xc] r = 6

7 ( F ) ( ) [, ] [, ] ( ) [, ] [, ] [, ] [, ] = c xcry yxcr + yxcr ycrx yc xc r = c xcr y + cy xcr crx yc xc r = c xcr y + cy x cr yc xc r., U ' -modül olduğundan xcr ' c xcr, y + ' F dr. ' ' cy x, cr + ', yc, xc r + ' F dr. O halde ' A = c[ xcr, y] + cy[ x, cr] [ yc, xc] r F ve A ΔΔ dır. Buradan A ' olduğu görülür. a x, y. x. x, y b= x, y. y. x, y olarak seçlen ab, çn Benzer şeklde O halde = ve [ ar, y] + [ x, br] ' elde edlr. Şmd {, } + ve [ ] h h kümesnn L çn br serbest üreteç kümes olduğunu varsayalım. O zaman Φ : x + ' h, y+ ' h olarak tanımlanan otomorfzm br ç otomorfzm olup br v+ ' çn ' x vx, ' x ar ' + [ ] + = + + ve [ ] olup [ vx, ] + ' = ar+ ' ve [ ] y+ v, y + ' = y+ br+ ' vy, + ' = br+ ' elde edlr. Brnc eştlğ y, knc eştlğ x le çarpalım. vx,, y + ' = ary, + ', vy,, x + ' = xbr, + ' - bulunur. Bu eştlkler taraf tarafa toplanırsa ar, y + x, br + ' = v, x, y v, y, x + ' ve dolayısıyla [ ] [ ] vx,, y vy,, x ' x, y, v ' bulunur. v \ ' olduğundan [ x, y] çelşks elde edlr. O halde Φ br otomorfzm olamaz. Yan { h, h }, ' cebrnn br üreteç kümes değldr. elde edlr. Jacob özdeşlğ kullanılırsa [ ] 7

8 Kaynaklar:. Bahturn,Yu., (987), An Identcal elatons n Le Algebras, VNU Scence Pres, Utrecht,.. Cohn, P.M., (964), Subalgebras of Free Assocatve Algebras, Proc. London Math. Soc.,3,4, Drensky, V., (990), Automorphsms of elatvely Free Algebras, Comm. İn Alg., 8(), Drensky, V., Gupta, C., (990), Automorphsms of Free Nlpotent Le Algebras, Can.J. Math.,XLII,No., Dcks, W., (98), A commutator Test for two element to Generate the Free Algebra of ank Two., Bull. London Math. Soc., 4, Fox,.H., (953), Free Dfferental Calculus I. Dervatons n free Group ngs. Ann. of Math.,89, 57, eutenauer, C., (99), Applcatons of a Noncommutatve Jacoban Matrx, J. Pure Appl. Algebra, 77, Shplran, V., (993), On Generators of L Le Algebras, Proc. Amer. Math. Soc., 9, Smelkn, A. L., (973), Wreath Prducts of Le Algebras and Ther Applcaton n The theory of Groups. Trudy Moskow. Math. Obsch., 9, Transl: Trans. Moscow Math. Soc. (973), 9,